桁架算例计算(刚度椭圆)
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三角关系：
(2)
l2 sin(1 2 ) l0 sin(0 1 ) 0 l2 sin(4 2 ) l3 sin(3 4 ) 0 l sin( ) l sin( ) 0 3 5 6 5 6 3
9 个标量方程组成方程组：
(7)
其实，只要求解这个方程组就可以得到 1
6 用 l1 , l4 , l5 表示的表达式。
cos 1l1 l1 sin 11 l2 sin 22 0 l2 sin 22 l3 sin 33 cos 4l4 l4 sin 44 0 cos 5l5 l5 sin 55 l6 sin 66 l3 sin 33 0 [l2 cos(1 2 ) l0 cos(0 1 )]1 l2 cos(1 2 )2 0 [l2 cos(4 2 ) l3 cos(3 4 )]4 l2 cos(4 2 )2 l3 cos(3 4 )3 0 [l cos( ) l cos( )] l cos( ) l cos( ) 0 3 5 6 5 6 5 3 3 5 3 6 5 6 6 3
(6)
讨论一:当 l1 , l4 , l5 可变， l2 , l3 , l6 不变。则 l2 l3 l6 0 。
cos 1l1 l1 sin 11 l2 sin 22 0 sin 1l1 l1 cos 11 l2 cos 22 0 l2 sin 22 l3 sin 33 cos 4l4 l4 sin 44 0 l cos l cos sin l l cos 0 2 2 2 3 3 3 4 4 4 4 4 cos 5l5 l5 sin 55 l6 sin 66 l3 sin 33 0 sin 5l5 l5 cos 55 l6 cos 66 l3 cos 33 0 [l cos( ) l cos( )] l cos( ) 0 1 2 0 0 1 1 2 1 2 2 2 [l2 cos(4 2 ) l3 cos(3 4 )]4 l2 cos(4 2 )2 l3 cos(3 4 )3 0 [l3 cos(3 5 ) l6 cos(5 6 )]5 l3 cos(3 5 )3 l6 cos(5 6 )6 0
(18)
将(18)代入(10)得：
4
(19)
将(19)和(16)代入(18)得：
3 (CE DB)l1 CFl4
由方程(14)得：
(20)
6
l3 cos(3 5 ) l6 cos(5 6 ) l (CE DB) cos(3 5 ) l CF cos(3 5 ) 5 3 l1 3 l4 l6 cos(5 6 ) l6 cos(5 6 ) l6 cos(5 6 )
(3)
l1 cos 1 l2 cos 2 l0 cos 0 0 l sin l sin l sin 0 1 2 2 0 0 1 l2 cos 2 l3 cos 3 l4 cos 4 0 l2 sin 2 l3 sin 3 l4 sin 4 0 l5 cos 5 l6 cos 6 l3 cos 3 0 l sin l sin l sin 0 5 6 6 3 3 5 l2 sin(1 2 ) l0 sin(0 1 ) 0 l2 sin(4 2 ) l3 sin(3 4 ) 0 l3 sin(3 5 ) l6 sin(5 6 ) 0
(22)
Jl1 Kl4 Ll5
将(22)代入(21)得：
6 G( Jl1 Kl4 Ll5 ) Hl1 Il4 (GJ H )l1 (GK I )l4 (GL)l5
所以：
(23)
1 B 2 AB 3 CE DB E 4 5 J GJ H 6
H 点的输出：
xH l1 cos 1 l5 cos 5 yH l1 sin 1 l5 sin 5 5 H
以上三个方程分别两边求导：
(5)
xH cos 1l1 l1 sin 11 cos 5l5 l5 sin 55 yH sin 1l1 l1 cos 11 sin 5l5 l5 cos 55 H 5
以下为求解过程： 由方程(12)得：
(9) (10) (11) (12) (13) (14)
2
将(15)代入(9)得：
l2 cos(1 2 ) l0 cos(0 1 ) 1 A1 l2 cos(1 2 ) cos 1 l1 Bl1 l1 sin 1 Al2 sin 2
[l2 cos(1 2 ) l0 cos(0 1 )]1 l2 cos(1 2 )2 0 [l2 cos(4 2 ) l3 cos(3 4 )]4 l2 cos(4 2 )2 l3 cos(3 4 )3 0 [l3 cos(3 5 ) l6 cos(5 6 )]5 l3 cos(3 5 )3 l6 cos(5 6 )6 0
(15)
1
将(16)代入(15)得：
(16)
2 A1 ABl1
由方程(13)得：
(17)
3
l2 cos(4 2 ) l3 cos(3 4 ) l cos(4 2 ) A 4 2 1 C4 D1 l3 cos(3 4 ) l3 cos(3 4 ) (l3 DB sin 3 l2 AB sin 2 ) cos 4 l1 l4 El1 Fl4 l4 sin 4 l3C sin 3 l4 sin 4 l3C sin 3
即：
(25)
xH cos 1 l1 B sin 1 l5 J sin 5 yH sin 1 l1 B cos 1 l5 J cos 5 J H
(1)
l1 cos 1 l2 cos 2 l0 cos 0 0 l sin l sin l sin 0 1 2 2 0 0 1 l2 cos 2 l3 cos 3 l4 cos 4 0 l2 sin 2 l3 sin 3 l4 sin 4 0 l5 cos 5 l6 cos 6 l3 cos 3 0 l5 sin 5 l6 sin 6 l3 sin 3 0
从(24)中将 1 , 5 的表达式代入(6)得：
0 0 CF F K GK I
0 0 l1 0 l4 0 l L 5 GL
(24)
xH cos 1l1 l1 sin 1 Bl1 cos 5l5 l5 sin 5 ( Jl1 Kl4 Ll5 ) yH sin 1l1 l1 cos 1 Bl1 sin 5l5 l5 cos 5 ( Jl1 Kl4 Ll5 ) H Jl1 Kl4 Ll5
(4)
12 个量： l1
l6 , 1 6 ；
已知其中 3 个 l ，那么其中 6 个变量可以用其他三个变量表示。 对以上 9 个方程分别两边求导：
cos 1l1 l1 sin 11 cos 2l2 l2 sin 22 0 sin 1l1 l1 cos 11 sin 2l2 l2 cos 22 0 cos 2l2 l2 sin 22 cos 3l3 l3 sin 33 cos 4l4 l4 sin 44 0 sin l l cos sin l l cos sin l l cos 0 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 cos 5l5 l5 sin 55 cos 6l6 l6 sin 66 cos 3l3 l3 sin 33 0 sin 5l5 l5 cos 55 sin 6l6 l6 cos 66 sin 3l3 l3 cos 33 0 sin( )l [l cos( ) l cos( )] l cos( ) 0 1 2 2 2 1 2 0 0 1 1 2 1 2 2 sin(4 2 )l2 [l2 cos(4 2 ) l3 cos(3 4 )]4 l2 cos(4 2 )2 sin(3 4 )l3 l3 cos(3 4 )3 0 sin(3 5 )l3 [l3 cos(3 5 ) l6 cos(5 6 )]5 l3 cos(3 5 )3 sin(5 6 )l6 l6 cos(5 6 )6 0
将(8)中的每个方程如下列出：
(8)
cos 1l1 l1 sin 11 l2 sin 22 0 l2 sin 22 l3 sin 33 cos 4l4 l4 sin 44 0 cos 5l5 l5 sin 55 l6 sin 66 l3 sin 33 0
B4 B2
yo
B3
B6
xo
O
B1
B5
H
Bi , li , i
位置分析：
l1ei1 l2 ei2 l0ei0 0 i2 i i l2 e l3e 3 l4e 4 0 l ei5 l ei6 l ei3 0 6 3 5
将(1)展开得：
(21)
G5 Hl1 Il4
将(21)代入(11)得：
5
l3 (CE DB)sin 3 l6 H sin 6 l CF sin 3 l6 I sin 6 cos 5 l1 3 l4 l5 l5 sin 5 l6G sin 6 l5 sin 5 l6G sin 6 l5 sin 5 l6G sin 6
(2)
l2 sin(1 2 ) l0 sin(0 1 ) 0 l2 sin(4 2 ) l3 sin(3 4 ) 0 l sin( ) l sin( ) 0 3 5 6 5 6 3
9 个标量方程组成方程组：
(7)
其实，只要求解这个方程组就可以得到 1
6 用 l1 , l4 , l5 表示的表达式。
cos 1l1 l1 sin 11 l2 sin 22 0 l2 sin 22 l3 sin 33 cos 4l4 l4 sin 44 0 cos 5l5 l5 sin 55 l6 sin 66 l3 sin 33 0 [l2 cos(1 2 ) l0 cos(0 1 )]1 l2 cos(1 2 )2 0 [l2 cos(4 2 ) l3 cos(3 4 )]4 l2 cos(4 2 )2 l3 cos(3 4 )3 0 [l cos( ) l cos( )] l cos( ) l cos( ) 0 3 5 6 5 6 5 3 3 5 3 6 5 6 6 3
(6)
讨论一:当 l1 , l4 , l5 可变， l2 , l3 , l6 不变。则 l2 l3 l6 0 。
cos 1l1 l1 sin 11 l2 sin 22 0 sin 1l1 l1 cos 11 l2 cos 22 0 l2 sin 22 l3 sin 33 cos 4l4 l4 sin 44 0 l cos l cos sin l l cos 0 2 2 2 3 3 3 4 4 4 4 4 cos 5l5 l5 sin 55 l6 sin 66 l3 sin 33 0 sin 5l5 l5 cos 55 l6 cos 66 l3 cos 33 0 [l cos( ) l cos( )] l cos( ) 0 1 2 0 0 1 1 2 1 2 2 2 [l2 cos(4 2 ) l3 cos(3 4 )]4 l2 cos(4 2 )2 l3 cos(3 4 )3 0 [l3 cos(3 5 ) l6 cos(5 6 )]5 l3 cos(3 5 )3 l6 cos(5 6 )6 0
(18)
将(18)代入(10)得：
4
(19)
将(19)和(16)代入(18)得：
3 (CE DB)l1 CFl4
由方程(14)得：
(20)
6
l3 cos(3 5 ) l6 cos(5 6 ) l (CE DB) cos(3 5 ) l CF cos(3 5 ) 5 3 l1 3 l4 l6 cos(5 6 ) l6 cos(5 6 ) l6 cos(5 6 )
(3)
l1 cos 1 l2 cos 2 l0 cos 0 0 l sin l sin l sin 0 1 2 2 0 0 1 l2 cos 2 l3 cos 3 l4 cos 4 0 l2 sin 2 l3 sin 3 l4 sin 4 0 l5 cos 5 l6 cos 6 l3 cos 3 0 l sin l sin l sin 0 5 6 6 3 3 5 l2 sin(1 2 ) l0 sin(0 1 ) 0 l2 sin(4 2 ) l3 sin(3 4 ) 0 l3 sin(3 5 ) l6 sin(5 6 ) 0
(22)
Jl1 Kl4 Ll5
将(22)代入(21)得：
6 G( Jl1 Kl4 Ll5 ) Hl1 Il4 (GJ H )l1 (GK I )l4 (GL)l5
所以：
(23)
1 B 2 AB 3 CE DB E 4 5 J GJ H 6
H 点的输出：
xH l1 cos 1 l5 cos 5 yH l1 sin 1 l5 sin 5 5 H
以上三个方程分别两边求导：
(5)
xH cos 1l1 l1 sin 11 cos 5l5 l5 sin 55 yH sin 1l1 l1 cos 11 sin 5l5 l5 cos 55 H 5
以下为求解过程： 由方程(12)得：
(9) (10) (11) (12) (13) (14)
2
将(15)代入(9)得：
l2 cos(1 2 ) l0 cos(0 1 ) 1 A1 l2 cos(1 2 ) cos 1 l1 Bl1 l1 sin 1 Al2 sin 2
[l2 cos(1 2 ) l0 cos(0 1 )]1 l2 cos(1 2 )2 0 [l2 cos(4 2 ) l3 cos(3 4 )]4 l2 cos(4 2 )2 l3 cos(3 4 )3 0 [l3 cos(3 5 ) l6 cos(5 6 )]5 l3 cos(3 5 )3 l6 cos(5 6 )6 0
(15)
1
将(16)代入(15)得：
(16)
2 A1 ABl1
由方程(13)得：
(17)
3
l2 cos(4 2 ) l3 cos(3 4 ) l cos(4 2 ) A 4 2 1 C4 D1 l3 cos(3 4 ) l3 cos(3 4 ) (l3 DB sin 3 l2 AB sin 2 ) cos 4 l1 l4 El1 Fl4 l4 sin 4 l3C sin 3 l4 sin 4 l3C sin 3
即：
(25)
xH cos 1 l1 B sin 1 l5 J sin 5 yH sin 1 l1 B cos 1 l5 J cos 5 J H
(1)
l1 cos 1 l2 cos 2 l0 cos 0 0 l sin l sin l sin 0 1 2 2 0 0 1 l2 cos 2 l3 cos 3 l4 cos 4 0 l2 sin 2 l3 sin 3 l4 sin 4 0 l5 cos 5 l6 cos 6 l3 cos 3 0 l5 sin 5 l6 sin 6 l3 sin 3 0
从(24)中将 1 , 5 的表达式代入(6)得：
0 0 CF F K GK I
0 0 l1 0 l4 0 l L 5 GL
(24)
xH cos 1l1 l1 sin 1 Bl1 cos 5l5 l5 sin 5 ( Jl1 Kl4 Ll5 ) yH sin 1l1 l1 cos 1 Bl1 sin 5l5 l5 cos 5 ( Jl1 Kl4 Ll5 ) H Jl1 Kl4 Ll5
(4)
12 个量： l1
l6 , 1 6 ；
已知其中 3 个 l ，那么其中 6 个变量可以用其他三个变量表示。 对以上 9 个方程分别两边求导：
cos 1l1 l1 sin 11 cos 2l2 l2 sin 22 0 sin 1l1 l1 cos 11 sin 2l2 l2 cos 22 0 cos 2l2 l2 sin 22 cos 3l3 l3 sin 33 cos 4l4 l4 sin 44 0 sin l l cos sin l l cos sin l l cos 0 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 cos 5l5 l5 sin 55 cos 6l6 l6 sin 66 cos 3l3 l3 sin 33 0 sin 5l5 l5 cos 55 sin 6l6 l6 cos 66 sin 3l3 l3 cos 33 0 sin( )l [l cos( ) l cos( )] l cos( ) 0 1 2 2 2 1 2 0 0 1 1 2 1 2 2 sin(4 2 )l2 [l2 cos(4 2 ) l3 cos(3 4 )]4 l2 cos(4 2 )2 sin(3 4 )l3 l3 cos(3 4 )3 0 sin(3 5 )l3 [l3 cos(3 5 ) l6 cos(5 6 )]5 l3 cos(3 5 )3 sin(5 6 )l6 l6 cos(5 6 )6 0
将(8)中的每个方程如下列出：
(8)
cos 1l1 l1 sin 11 l2 sin 22 0 l2 sin 22 l3 sin 33 cos 4l4 l4 sin 44 0 cos 5l5 l5 sin 55 l6 sin 66 l3 sin 33 0
B4 B2
yo
B3
B6
xo
O
B1
B5
H
Bi , li , i
位置分析：
l1ei1 l2 ei2 l0ei0 0 i2 i i l2 e l3e 3 l4e 4 0 l ei5 l ei6 l ei3 0 6 3 5
将(1)展开得：
(21)
G5 Hl1 Il4
将(21)代入(11)得：
5
l3 (CE DB)sin 3 l6 H sin 6 l CF sin 3 l6 I sin 6 cos 5 l1 3 l4 l5 l5 sin 5 l6G sin 6 l5 sin 5 l6G sin 6 l5 sin 5 l6G sin 6