例说构造法解题对中学生数学思维的培养

㊀㊀㊀㊀㊀例说构造法解题对中学生数学思维的培养
例说构造法解题对中学生数学思维的培养Һ任兰兰㊀（江苏省苏州市吴中区城西中学，江苏㊀苏州㊀２１５１１１）
㊀㊀ʌ摘要ɔ灵活构造数学模型（如函数㊁方程㊁图形等）会使得一些问题的求解或证明变得直观㊁简便．构造法要求学生具备一定的知识储备，教学中大量构造法的训练也会使学生的数学思维得到培养和提高．本文通过例子谈一谈用构造法解题的过程对中学生类比思维㊁化归思维和数形结合思维的培养．
ʌ关键词ɔ构造法；中学数学；数学思维在初中数学解题中，同一道题往往有不同的解题方法，因此巧妙㊁便捷的解题方法往往会让人眼前一亮．构造法是集巧妙和便捷于一体的数学方法，主张观察题目条件和相关结论，摆脱思维定式，巧妙构造数学模型解决问题．一般情况下，数学模型的构造不仅会使问题简单化，而且会启发学生对数学方法的认知，使学生的思维高度一种凌驾于题目之上．应用构造法解题能激发学生的学习兴趣，培养学生的数学思维．笔者从题目出发，从以下三个方面讨论构造法对学生数学思维的培养．
一㊁对类比思维的培养
类比思维是指在处理数学问题时，将该问题与已经成功求解过的问题做比较，找到二者的共同点，构建类似的数学模型来解决当前问题．构造法在培养学生类比思维上有积极的作用．如这道题：已知等式（ｃ－ａ）２－４（ａ－ｂ）（ｂ－ｃ）＝０，求证ａ＋ｃ＝２ｂ．分析：若直接将本题条件中的完全平方和两个一次因式的乘积展开，则不能轻松化简等式得到所证结论．相反，若将条件类比一元二次方程根的判别式Δ，则该题的证明就简单很多．证明过程：已知（ｃ－ａ）２－４（ａ－ｂ）（ｂ－ｃ）＝０，可构造方程（ａ－ｂ）ｘ２＋（ｃ－ａ）ｘ＋ｂ－ｃ＝０，若二次项系数为０，则ａ＝ｂ，结合已知条件易知ａ＝ｂ＝ｃ，从而ａ＋ｃ＝２ｂ；若二次项系数不为０，则ａʂｂ，由方程根的判别式Δ＝０（已知条件），即说明构造的方程有两个相等的实数根，观察方程系数发现ａ－ｂ＋ｃ－ａ＋ｂ－ｃ＝０，故知方程根为ｘ１＝ｘ２＝１，可使用韦达定
理建立根与系数的关系：ｘ１ｘ２＝ｂ－ｃ
ａ－ｂ
＝１，即ｂ－ｃ＝ａ－ｂ，故ａ＋ｃ＝２ｂ．
再如这道题：已知不等式ａｘ２＋ｂｘ＋４＞０的解是－２＜ｘ＜３，求ｘ２＋３ｂｘ＋３ａ＞０的解．分析：此题中给定的条件是一个含参数的一元二次不等式的解，求的是另外一个含参数的一元二次不等式的解，可将题目所给的一元二次不等式和一元二次方程进行类比，构造一个一元二次方程后进行求解．求解过程：构造一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋４＝０（ａ＜０），由题意得所
构造方程的两根为ｘ１＝－２，ｘ２＝３，由韦达定理知ｘ１＋ｘ２＝－ｂ
ａ
＝
１，ｘ１ｘ２＝４ａ＝－６，所以ａ＝－２３，ｂ＝２
３，将ａ，ｂ代入所求不等
式中得ｘ２＋２ｘ－２＞０，故所求不等式的解为ｘ＜－１－３或ｘ＞
３－１．
以上两例均以构造方程为主线，将类比思维渗透其中．第一例要求学生在求证过程中将已知条件类比到一元二次方程根的判别式，第二例要求学生在求解过程中将一元二次不等式与一元二次方程做类比．整个构造的过程能巩固学生所学的知识，加深学生对一元二次方程的理解与认知，对培养学生的类比思维有促进作用．
二㊁对化归思维的培养
化归思维是指将一个数学问题运用已经学习的知识进行转化和归结，将原本复杂的问题由难化易，由繁化简．在应用构造法解题时，必要的转化和归结对数学模型的构造对学生有启发作用，熟练运用构造法解题对学生的化归思维有很好的培养作用．例如这道题：已知ｘ和ｙ都是实数，并且ｘ＝８－ｙ，ｚ２＝ｘｙ－１６，求证ｘ＝ｙ．分析：若按常规思维，直接将ｘ＝８－ｙ代入到ｚ２＝ｘｙ－１６中，可化简得ｚ２＋（ｙ－４）２＝０．由两个平方和为０知各项都为０，得ｚ＝０和ｙ＝４；再由条件ｘ＝８－ｙ可知ｘ＝４，从而ｘ＝ｙ．若以构造法证此题，则可先对已知条件进行转化归结，将原条件化归为一元二次方程中的韦达定理形式的条件，然后构造满足该韦达定理形式条件的一元二次方程，即可完成证明．证明过程：由ｘ＝８－ｙ得ｘ＋ｙ＝８①，由ｚ２＝ｘｙ－１６得ｘｙ＝ｚ２＋１６②，构造满足①②的一元二次方程ｔ２－８ｔ＋ｚ２＋１６＝０．因为ｘ，ｙ是所构造方程的两根，所以判别式Δ＝（－８）２－４（ｚ２＋１６）ȡ０，即－４ｚ２ȡ０，即ｚ２ɤ０，由于ｚ２ȡ０，因此ｚ＝０．将ｚ＝０代入判别式中得Δ＝６４－４（０＋１６）＝０，即说明所构造的方程有两个相等的实数根，故ｘ＝ｙ．
再如这道题：计算１＋１２＋１３＋
１４()ˑ１２＋１３＋１４＋１
５
()
－１＋１２＋１３＋１４＋
１５(
)ˑ１２＋１３＋１
４
(
)
的值．分析：此题虽是一道计算题，若按常规方法将多项式乘积展开，然后求值，则计算量太大，而且十分容易出错，不利于学生数学解题思路的拓展．如果在解题前仔细观察式子就会发现，所求是两个多项式乘积作差的形式，而且两个多项式乘积中的括号里有
一部分是相同的，都是１２＋１３＋１
４
，故可先对原式进行转化
归结，然后构造参数，对参数化后的因式乘积化简，最后通过化简结果代入求值，这样就会简便很多．求解过程：令ａ＝
１２＋１３＋１４，ｂ＝１２＋１３＋１４＋１
５
，则原式化归为（１＋ａ）ｂ－（１＋ｂ）ａ＝ｂ＋ａｂ－ａ－ａｂ＝ｂ－ａ＝１２＋１３＋１４＋１５－
１２＋１３＋１４()
＝１
５
．以上两例都是先通过化归，对题目中所给的条件或原式进行一定的转化，将其归结为已经学习到的某一个知识点上，然后基于对该知识点的理解和应用对原题进行证明或求解．在第一例中，对比证明此题的两种方法不难发现，常
㊀㊀㊀㊀㊀规方法注重的是学生代入因式化简计算的能力及学生对平方和为０的结果的分析能力；而构造法培养的是学生对已知条件转化和归结的能力及对方程根与系数的认知与应用的逆向思维能力．此题能应用构造法证明的关键步骤是对已知条件的化归，基于化归后所得的韦达定理形式的条件，再去构造满足条件的方程，做进一步的分析论证．在第二例中，对比常规展开直接计算的方法和构造参数后得到的因式化简求值方法不难发现，构造法的计算量远远低于常规方法，该题中最重要的思想是化归，将原式进行化归后解题马上就豁然开朗．这两道题的构造法证明和求解过程在很大程度上能培养学生的化归思维，不失为课堂教学中的典型题．
三㊁对数形结合思维的培养
著名数学家华罗庚说： 数无形时少直觉，形少数时难入微． 数形结合一直是中学数学中的巧妙解题思维之一．它是指在遇到数学问题时，通过观察和分析，发现可以画出相应的数学图形，在图形中展示各个变量之间的数量关系，然后应用图形的性质或定理求解㊁证明相关问题．
已有的文献表明，构造图形的方法对很多数学问题的解决有较大的应用价值，构造图形创新了中学数学的解题思路．笔者认为，在中学数学中，构造图形辅助解题不仅重在 巧应用 ，还能启发和培养学生的数形结合思维．好的思维能引导学生举一反三，使学生遇到类似问题时会有意识地将代数问题转化为几何问题．如这道题：在әＡＢＣ中，ＡＣ＝１３，ＡＢ＝５，ＢＣ＝１０，求әＡＢＣ的面积．分析：在初中阶段，已知三角形三边求面积，大多考虑使用海伦公式Ｓ＝ｐ（ｐ－ａ）（ｐ－ｂ）（ｐ－ｃ）（ｐ是三角形的半周长）．记ａ＝１０，
ｂ＝１３，ｃ＝５，所以ｐ＝１
２（１０＋１３＋５），由海伦公式
Ｓ＝
ｐ（ｐ－ａ）（ｐ－ｂ）（ｐ－ｃ），得Ｓ＝ｐ（ｐ－ａ）（ｐ－ｂ）（ｐ－ｃ）＝
７
２
．从上述解答过程看，海伦公式的使用确实能求解该三角形的面积，但是有两个地方值得注意：第一，该题使用海伦
公式会面临较为复杂的代数计算；第二，海伦公式并不常用，目前初中生对海伦公式的记忆并不深刻．基于这两点原因，此题对于基础较为薄弱的学生来说可能无从下手，同时此题对会用海伦公式求解的学生来说是计算量较大的一道题，不容易得出正确答案．若用构造法解此题，则会十分简便．可以考虑构造一个正方形，用大正方形的面积减周围三图１
个直角三角形的面积，即可得到所求三角形的面积．求解过程：如图１所示，构造正方形ＤＧＣＥ，ＡＤ＝１，ＤＢ＝２，ＢＧ＝１，ＡＥ＝２，ＣＧ＝３，ＣＥ＝３．由勾股定理知ＡＣ＝１３，ＡＢ＝５，ＢＣ＝１０，即әＡＢＣ满足
题意．ＳәＡＢＤ＝１２ˑ１ˑ２＝１，ＳәＡＥＣ＝１
２ˑ２ˑ
３＝３，ＳәＢＧＣ＝
１２ˑ１ˑ３＝３
２
，Ｓ正方形ＤＧＣＥ＝３ˑ３＝９，所以ＳәＡＢＣ＝Ｓ正方形ＤＧＣＥ－ＳәＡＢＤ－ＳәＡＥＣ－ＳәＢＧＣ＝９－１－３－
３２＝７
２
．再如这道题：已知０＜ａ＜２，０＜ｂ＜２，试证明：
ａ２＋ｂ２＋
ａ２＋（２－ｂ）２＋（２－ａ）２＋ｂ２＋（２－ａ）２＋（２－ｂ）２＞４２．分
析：本题涉及的变量只有ａ和ｂ，但在证明要求中含有很多根号，这给证明结论带来不小的困难．仔细观察后发现，可以使用构造图形的方法，以数形结合的思维解之．ａ，ｂ都是大于且０
小于２的数，因此可构造一个边长为２的正方形ＡＢＣＤ，在正方形相邻的两边上截对应的ａ，ｂ长度，添加辅助图２
线即可完成本题的证明．证明过程：如图２所示，构造边长为２的正方形ＡＢＣＤ，其中ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＤＡ＝２，在ＡＢ上取ＡＥ为ａ，在ＡＤ上取ＡＧ为ｂ，过点Ｅ和点Ｇ作ＢＣ和ＡＢ的平行线交ＣＤ，ＢＣ于点Ｆ和点Ｈ，ＧＨ和ＥＦ的交点为Ｏ，连接ＡＯ，
ＢＯ，ＣＯ，ＤＯ，ＢＤ，ＡＣ．因为ＡＥ＝ａ，ＥＯ＝
ＡＧ＝ｂ，所以在ＲｔәＡＥＯ中，由勾股定理知ＡＯ２＝ＡＥ２＋ＥＯ２＝ａ２＋ｂ２，即ＡＯ＝ａ２＋ｂ２．同理在ＲｔәＯＦＣ中ＣＯ＝
（２－ｂ）２＋（２－ａ）２，在ＲｔәＥＯＢ中ＢＯ＝
（２－ａ）２＋ｂ２，在
ＲｔәＤＯＦ中ＤＯ＝ａ２＋（２－ｂ）２．由三角形两边之和大于第
三边，所以有ＡＯ＋ＣＯ＞ＡＣ，即ａ２＋ｂ２＋
（２－ｂ）２＋（２－ａ）２＞
ＡＣ＝
２２＋２２＝２２①，同理ＢＯ＋ＤＯ＞ＢＤ，即
（２－ａ）２＋ｂ２＋ａ２＋（２－ｂ）２＞ＢＤ＝２２＋２２＝２２②，①式加②式得：
ａ２＋ｂ２＋
（２－ｂ）２＋（２－ａ）２＋
（２－ａ）２＋ｂ２＋
ａ２＋（２－ｂ）２＞
２２＋２２＝４２．
以上两例通过构造图形的方法，将代数问题几何化，将原本较为复杂的代数计算或证明放到一个正方形中，结合勾股定理的应用，将问题由复杂转化为简单，十分巧妙．第一例通过构造图形，用大面积减小面积的方法取代了复杂烦琐的无理因式的乘积计算．第二例通过构造图形，以直角三角形的斜边长度分别表示不等式左边的四个代数式，然后由三角形的三边关系得到不等式的证明．这两道题的整个求解和求证过程中巧妙新颖㊁通俗易懂，在很大程度上拓展了学生的解题思路，有利于学生数形结合思维的培养．
四㊁结㊀语
通过以上论述不难得出，在中学数学中，应用构造法解题具有较好的便捷性和较高的技巧性．应用构造法解题能够启发学生思考问题的方向，对求解和证明相关问题有着很大的辅助作用．在教学中，教师要善于引导学生对题目条件多观察㊁分析和联想，引导学生对所学过的数学知识灵活运用，注重提高学生的构造能力．在应用构造法解题时，教师不仅要让学生真实体会到构造法解题带来的愉悦感，还要通过这些数学模型的构造过程，使学生的数学思维得到一定程度的培养和训练．在初中阶段，学生的类比㊁化归和数形结合的数学思维一旦养成，对学生今后数学学习有着很大的帮助，对提升学科核心素养也大有裨益．
ʌ参考文献ɔ
［１］梁淑秋．探索构造法在初中数学中的运用［Ｊ］．宁德师范学院学报（自然科学版），２０１５（１）：８９－９１．
［２］张传鹏．基于数学核心素养提升的构造法解题［Ｊ］．中学数学研究，２０１８（４）：３０－３２．
［３］朱海燕．运用 构造法 ，创新数学解题思路［Ｊ］．数学教学通讯，２０１７（７）：７６－７７，８０．。