自动检测技术 2.4 随机误差的分析

佳估计值，可以证明
^
1 n 1
n i 1
2 i
(2.4—27)
称为贝塞尔公式。式中 n 1 ，若n＝l，则
^
值
不定，表明测量的数据不可靠。
第2章 测量误差和测量结果处理
标准差的最佳估计值还可以用下式求出
^
1 n 1
n i 1
xi2
n
x
2
(2.4—28)
这是贝塞尔公式的另一种表达形式。^ 有时简称 标准差估计值。
第2章 测量误差和测量结果处理
当测量次数 n 时，样本平均值的极限定义为 测得值的数学期望
Ex
lim ( 1 n n
n i 1
xi )
式中Ex也称作总体平均值。
(2.4-2)
第2章 测量误差和测量结果处理
假设上面的测得值中不含系统误差和粗大误差， 则第i次测量得到的测得值xi与真值之间的绝对误差就 等于 随机误差
第2章 测量误差和测量结果处理
题2.12图
第2章 测量误差和测量结果处理
2.13 用准确度s＝1．0级，满度值100 a的电流表
测电流，求示值分别为80 A和40 A时的绝对误差和
相对误差。
2.14
某4
1 2
位(最大显示数字为19 999)数字电压
表测电压，该表2V档的工作误差为 ± 0．025％(示
第2章 测量误差和测量结果处理
2．均匀分布 在测量实践中，均匀分布是仅次于正态分布的一 种重要分布，如图所示。 均匀分布的特点是，在误差范围内，误差出现的 概率各处相同。
图2.4-3 均匀分布的概率密度
第2章 测量误差和测量结果处理
3．极限误差 对于正态分布的随机误差，根据式(2．4-18)，可
i 1
x
/
n
(2.4—32) (2.4—33)
第2章 测量误差和测量结果处理
三、有限次测量下测量结果的表达
由于实际上只可能做到有限次等精度测量，因而我们分
别用式
1
n 1
n i 1
i2
来计算测得值的标准差；
用 / n 来计算算术平均值的标准差。 x
实际上是两种标准差的最 佳估值。
算术平均值的标准差随测量次数n的增大而减小，但 减 小速度要比n的增长慢得多，即仅靠单纯增加测量次数来减 小标准差收益不大，因而实 际测量中n的取值并不很大，一 般在0~20之间。
Ex A (n )
(2.4—4)
由于随机误差的抵偿性，当测量次数n趋于无限大
时， 趋于零：
lim ( 1 n n
n
i) 0
i 1
(2.4—5)
即随机误差的数学期望等于零。得：
Ex A
(2.4—6)
即测得值的数学期望等于被测量真值A.
第2章 测量误差和测量结果处理
实际上不可能做到无限多次的测量，对于有限次测 量，当测量次数足够多时近似认为
仍以§2．3中表2.3-1为例，可以算出
^
1 n
n
i2
i 1
0.259
第2章 测量误差和测量结果处理
5．算术平均值的标准差
如果在相同条件下对同一被测量分成m组，每组
重复n次测量，则每组测得值都有一个平均值 x 。由
于随机误差的存在,这些算术平均值也不相同，而是围
绕真值有一定的分散性，即算术平均值与真值间也存
第2章 测量误差和测量结果处理
同样可以求得随机误差落在 2 和 3范围内的概率为：
P i 2
2
1
e
2 2 2
d
0.954
2 2
(2.4—24)
P i 3
3
1
e
2 2 2
d
0.997
3 2
(2.4—25)
即当测得值xi的置信区间为 [Ex 2 , Ex 2 ] 和 [Ex 3 , Ex 3 ] 时的置信概率分别为0.954和0.997。
对误差 U ，示值相对误差 x 和实际相对误差 A .
第2章 测量误差和测量结果处理
2.8 标称值为1.2kΩ ，容许误差 ±5％的电阻，其 实际值范围是多少?
2.9 现检定一只2.5级量程100V电压表，在50V刻 度上标准电压表读数为,18V，问在这一点上电压表是 否合格?
2.10 现校准一个量程为100mV，表盘为100等分刻 度的毫伏表，测得数据如下：
第2章 测量误差和测量结果处理
对于精密测量，常需进行多次等精度测量，在基 本消除系统误差并从测量结果中剔除坏值后，测量结 果的处理可按下述步骤进行：
①列出测量数据表；
②计算算术平均值 x
，残差 i
及
2 i
；
③ 按式
1
n 1
n i 1
i2
、 x
/
n
计算
和 x
；
④给出最终测量结果表达式：
x x 3 x
第2章 测量误差和测量结果处理
2.12 如题2.12图所示，用内阻为Rv的电压表测量A、 B)两点间电压，忽略电源E、电阻R1、 R2的误差，求：
①不接电压表时，A、B间实际电压UA； ②若 RV 20k，由它引入的示值相对误差和实际 相对误差各为多少? ⑧若 RV 1M ，由它引入的示值相对误差和实际 相对误差又各为多少?
第2章 测量误差和测量结果处理
[例1] 用电压表对某一电压测量10次，设已消除系统 误差及粗大误差，测得数据及有关计算值如表所示，试给 出最终测量结果表达式。
第2章 测量误差和测量结果处理
解： 计算得到 i 0 ，表示 x 的计算正确。
进一步计算得到：
1 n 1
n
i2
i 1
1 10 1
1 n
n
i
i 1
0
x Ex A
(2.4—7) (2.4—8)
在实际测量工作中，当基本消除系统误差又剔除粗大误 差后，虽然仍有随机误差存在，但多次测得值的算术平均 值很接近被测量真值，因此就将它作为最后测量结果，并 称之为被测量的最佳估值或最可信赖值。
第2章 测量误差和测量结果处理
2．剩余误差 当进行有限次测量时，各次测得值与算术平均值之差， 定义为
求：①将各校准点的绝对误差U 和修正值c填在 表格中；
②10mV刻度点上的示值相对误差 x 和实际相对 误差 A ；
③确定仪表的准确度等级； ④确定仪表的灵敏度。
第2章 测量误差和测量结果处理
2.11 WQ—1型电桥在f＝ 1 kHz时测0.1pF～110pF 电容时，允许误差为± 1.0％ × (读数值)±0.01％× (满量程值)，求该电桥测得值分别为lpF、10pF、100pF 时的绝对误差、相对误差。
1
E
lim
n
n
xi
lim
n
x
A
在这种前提下，我们用测量值数列的标 准差 来 表征测量值的分散程度，并有
lim n
1 n
n
2 i
i1
第2章 测量误差和测量结果处理
实际上不可能做到n 的无限次测量。当n为有限值
时，我们用残差 i xi x ；来近似或代替真正的随
机误差 i
，用
^
表 示有限次测量时标准误差的最
述。方差定义为 n ，时测量值与期望值之差
的平方的统计平均值，即
2
1 lim n n
n i 1
( xi
Ex )2
因为随机误差 i xi Ex ，故
2
lim
n
1 n
n
2 i
i 1
(2.4-11) (2.4-12)
第2章 测量误差和测量结果处理
由于实际测量中 i 都带有单位(mV，uA等)，因而
i xi x
对上式两边分别求和，有
n
i
i 1
n i 1
xi
nx
n i 1
xi
n
1 n
n i 1
xi
0
(2.4—10)
当n足够大时，残差的代数和等于零
当n→∞时， x Ex ，此时残差等于随机误差δi
第2章 测量误差和测量结果反映了实际测量的精密度即测量值的分 散程度。由于随机误差的抵偿性，因此不能用它的算 术平均值来估计测量的精密度，而应使用方差进行描
10
i2
i1
0.0303
/ n 0.0303/ 10 9.57 103 x
因此该电压的最终测量结果为
x 75.045 0.028(V )
第2章 测量误差和测量结果处理
习题二
2.1 解释下列名词术语的含义：真值、实际值、标 称值、示值、测量误差、修正值。
2.2 什么是等精度测量?什么是不等精度测量? 2.3 按着表示方法的不同，测量误差分成哪几类? 2.4 说明系统误差、随机误差和粗差的主要特点.
第2章 测量误差和测量结果处理
2.4 随机误差分析
第2章 测量误差和测量结果处理
一、测量值的数学期望和标准差
1．数学期望
设对被测量x进行n次等精度测量，得到n个测得值
x1, x2, x3, xn
由于随机误差的存在，这些测得值也是随机变量。
定义
为
x
1 n
n i 1
xi
(2.4-1)
也称作样本平均值。
xi i xi A
(2.4-3)
式中 xi、i 分别表示绝对误差和随机误差。
第2章 测量误差和测量结果处理
随机误差的算术平均值：
1 n
n
i
i 1
1 n
n
( xi
i 1
A)
1 n
n i 1
xi
1 n
n i 1
A
1 n
n i 1
xi
A
第2章 测量误差和测量结果处理
当 n 时，上式中第-项即为测得值的数学期望Ex， 所以
以算出随机误差落在 [ , ] 区间的概率为
P{i
}
1
2
e
2 2 2
d
0.683
(2.4-23)
该结果的含义可理解为:
在进行大量等精度测量时，随机误差 i 落在[ , ] 区
间的测得值的数目占测量总数目的68.3％；
或者说，测得值落[Ex , Ex ] 范围(该范围在概率论
中称为置信区间)内的概率(在概率论中称为置信概率)为0.683。
(2.4—30)
第2章 测量误差和测量结果处理
在有限次测量中，以
^
x
表示算术平均值标准差的
最佳估值，有
^
^
x / n
(2.4—31)
^
因为实际测量中n只能是有限值，所以有时就将
^
和 x 叫作测量值的标准差和测量平均值的标准差，
从而将式(2．4-27)和(2．4-31)直接写成
1 n 1
n
i2
在着随机误差。我们用
x
来表示算术平均值的标准
差，由概率论中方差运算法则可以求出
x
/
n
(2.4—29)
第2章 测量误差和测量结果处理
同样定义
x
3 x
为算术平均值的极限误差，x
与真值间的误差超过这一范围的概率极小，因此，测
量结果可以表示为
x＝算术平均值土算术平均值的极限误差
x x
x 3 x
第2章 测量误差和测量结果处理
2.5 有两个电容器，其中C1 2000 40 pF,C2 470 pF 5% ， 问哪个电容器的误差大些?为什么?
2.6 某电阻衰减器，衰减量为20 0.1dB ，若输入 端电压为1 000mV，输出端电压等于多少?
2.7 用电压表测量电压，测得值为5．42V，改用标 准电压表测量示值为5．60V，求前一只电压测量的绝
第2章 测量误差和测量结果处理
仪表刻度值(mV) 标准仪表示值(mV)
绝对误差U (mV)
修正值c(mV)
0
10
20
30
0．0 9．9 20．2 30．4
第2章 测量误差和测量结果处理
40
50
60
70
80
90
100
39．8
50．2
60．4
70．3
80．0 89．7 100．0
第2章 测量误差和测量结果处理
值)n个字，现测得值分别为0．001 2V和1．988 8V，
问两种情况下的绝对误差和示值相对误差各为多少?
第2章 测量误差和测量结果处理
2.15 伏—安法测电阻的两种电路示于题2.15图(a)、 (b)，图中 A 为电流表，内阻RA， V 为电压表，内阻 Rv，求：
①两种测量电路中，由于RA 、 Rv的影响，只。的 绝对误差和相对误差各为多少?
方差 2 是相应单位的平方，使用不甚方便。为了与随
机误差 i 单位一致，将式(2.4-12)两边开方，取正平方 根，得
lim
n
1 n
n
2 i
i1
(2.4-13)
式中 定义为测量值的标准误差或均方根误差，也
称标准偏差，简称标准差。
第2章 测量误差和测量结果处理
二、随机误差的正态分布 1．正态分布 随机误差的大小、符号虽然显得杂乱无章，事先 无法确定，但当进行大量等精度测量时，随机误差服
可见，随机误差绝对值大于30的概率(可能性)仅为0.003或
0．3％，实际上出现的可能极小，因此定义
3
(2．4-26)
极限误差，也称随机不确定度。
第2章 测量误差和测量结果处理
4. 贝塞尔公式
在上面的分析中，随机误差 i xi Ex xi A
，其中xi为第i次测得值，A为真值，为xi的数学期望，且
从统计规律。理论和测量实践都证明，测得值 xi与随
机误差 i 都按一定的概率出现。
第2章 测量误差和测量结果处理
图2.4—1 xi 的正态分布曲线
图2.4—2 i 的正态分布曲线
大多数情况下，测得值在 期望值上出现的概率最大， 随着对期望值偏离的增大， 出现的概率急剧减小。
表现在随机误差上，等于零 的随机误差出现的概率最大， 随着随机误差绝对值的加大， 出现的概率急剧减小。