高中数学 课时作业6 球的体积和表面积 新人教A版必修2-新人教A版高一必修2数学试题

课时作业6 球的体积和表面积
基础巩固
1．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的( ) A ．2倍
B ．22倍
C.2倍
D.3
2倍
解析：球的表面积扩大到原来2倍，半径扩大到原来的2倍，体积扩大到原来的22倍． 答案：B
2．一个正方体的表面积与一个球的表面积相等，那么它们的体积比是( ) A.
6π
6
B.
π
2
C.
2π
2
D.
6π6
解析：设正方体的边长为a ，球的半径为R ，则6a 2
＝4πR 2
.则a R ＝6π3，则a 3
43
πR
3
＝
34π·⎝ ⎛⎭⎪⎫6π33＝6π6
. 答案：A
3．把3个半径为R 的铁球熔成一个底面半径为R 的圆柱，若不计损耗，则圆柱的高为( )
A ．R
B ．2R
C ．3R
D ．4R
解析：设圆柱的高为h ，则3×43πR 3＝πR 2
·h ，所以h ＝4R .
答案：D
4．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为2，这个球的表面积为6π，则这个正四棱柱的体积为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：S 表＝4πR 2
＝6π，所以R ＝62.设正四棱柱底面边长为x ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫22x 2＋1＝R 2
，所
以x ＝1.所以V 正四棱柱＝2.故选B.
答案：B
5．(2019年某某高一检测)已知球面上的四点P 、A 、B 、C ，PA 、PB 、PC 的长分别为3、4、5，且这三条线段两两垂直，则这个球的表面积为( )
A ．202π
B ．252π
C ．50π
D ．200π
解析：球面上的四点P 、A 、B 、C ，PA 、PB 、PC 的长分别为3、4、5，且这三条线段两两垂直，是长方体的一个角，扩展为长方体，两者的外接球相同，长方体的对角线长为32
＋42
＋52
＝52，外接球的半径为522.外接球的表面积为4π⎝ ⎛⎭
⎪⎫5222
＝50π，故选C.
答案：C
6．将棱长为2的正方体削成一个体积最大的球，则这个球的体积为( ) A.16
3
π
B.4π3
C.32
3
π
D ．4π
解析：根据题意知，此球为正方体的内切球，所以球的直径等于正方体的棱长，故r ＝1，所以V ＝43πr 3
＝43
π. 选B.
答案：B
能力提升
1．(2019年某某高三模拟)一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图1所示，则三棱锥的外接球的表面积为( )
图1
A ．20π
B ．25π
C ．29π
D ．13π
解析：由三视图可知该几何体是一个底面为直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥，可扩展为长方体，则长方体的对角线长即为外接球的直径，所以2R ＝32
＋42
＋22
＝29，即R ＝292，所以该三棱锥外接球的表面积为S ＝4πR 2
＝4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫2922＝29π，故选
C.
答案：C
2．如图2，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm ，如果不计容器厚度，则
球的体积为( )
图2
A. 500π3
cm 3
B. 866π3cm 3
C. 1 372π3
cm 3
D. 2 048π3
cm 3
解析：利用球的截面性质结合直角三角形求解．如图3，作出球的一个截面，则MC ＝8－6＝2(cm)，BM ＝12AB ＝12×8＝4(cm)．设球的半径为R cm ，则R 2＝OM 2＋MB 2＝(R －2)2＋42
，
∴R ＝5，
图3
∴V 球＝43π×53＝5003π(cm 3
)．
答案：A
3．(2019年某某某某二十中高一月考)已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，
C 为该球面上的动点，若三棱锥O
ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )
A ．36π
B ．64π
C ．144π
D ．256
解析：如图4所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC 的体积最
大，设球O 的半径为R ，此时V O ABC
＝V C
AOB
＝13×12×R 3
＝16
R 3＝36，故R ＝6，则球O 的表面积为4πR 2
＝144π，故选C.
图4
答案：C
4．(2019年某某省某某一中、某某一中等八所重点中学高三联考)某几何体的三视图如图5所示，则该几何体的外接球的表面积为( )
图5
A．136π B．144π C．36π D．34π
解析：本题考查三视图，空间几何体的表面积．还原出空间几何体，如图6，
图6
四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥BC，AD⊥DC.取AC的中点E，取PC的中点O，
连接OE，所以OE⊥平面ABCD，且OA＝OB＝OC＝OD＝R＝22＋（3
2
）2＝
17
2
，即四棱
锥P­ABCD的外接球的半径R＝17
2
.所以该几何体的外接球的表面积S＝4πR2＝34π.选
D.
答案：D
5．如图7是一个几何体的三视图，根据图中的数据可得该几何体的表面积为________．
图7
解析：由几何体的三视图知，该几何体的下半部分是底面半径为3，高为4，母线长为
5的圆锥，上半部分是半径为3的半球，∴该几何体的表面积S＝5×π×3＋1
2
×4π×32＝
33π，故答案为33π.
答案：33π
6．正三棱锥的高和底面边长都等于6，则其外接球的表面积为________．
图8
解析：如图8，过正三棱锥P­ABC的顶点P作PM⊥平面ABC于点M，则球心O在PM上，
|PM |＝6，连接AM ，AO ，则|OP |＝|OA |＝R ，在Rt △OAM 中，|OM |＝6－R ，又|AB |＝6，且△ABC 为等边三角形，故|AM |＝2362－32＝23，则R 2－(6－R )2＝(23)2
，则R ＝4，所以球的表
面积S ＝4πR 2
＝64π.
答案：64π
7．边长为42的正方形ABCD 的四个顶点在半径为5的球O 的表面上，则四棱锥O ­ABCD 的体积是________.
解析：因为正方形ABCD 外接圆的半径r ＝（42）2
＋（42）2
2＝4.又因为球的半径
为5，
所以球心O 到平面ABCD 的距离d ＝R 2
－r 2
＝3， 所以V O ­ABCD ＝13×(42)3
×3＝32.
答案：32
8．在四棱锥S ­ABCD 中，底面ABCD 是边长为32的正方形，且各侧棱长均为2 3.求该四棱锥外接球的表面积．
图9
解：取正方形ABCD 的中心O 1，连接SO 1并延长交球面于点E . 连接CO 1，CE ，如图9.
则球心O 在SE 上，即SE 为球的直径，且SC ⊥EC . ∵AB ＝32，∴O 1C ＝3.
在Rt △SO 1C 中，SC ＝23，∴SO 1＝ 3.
在Rt △SCE 中，Rt △SCE ∽Rt △SO 1C ，∴SC 2
＝SO 1·SE ，∴SE ＝SC 2SO 1＝（23）2
3
＝4 3.∴
球半径R ＝2 3.∴球的表面积为S ＝4πR 2＝4π·(23)2
＝48π.
拓展要求
1．棱长为1的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的8个顶点都在球O 的表面上，E 、F 分别是棱AA 1、
DD 1的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为( )
A.2
2
B ．1
C ．1＋
2
2
D. 2
解析：如图10，设直线EF 被球O 截得的线段为PQ ，
图10
作OH ⊥EF 于H ，依题意， 球O 半径OP ＝OA 1＝32，OH ＝12
. 故PQ ＝2PH ＝2 OP 2
－OH 2
＝2
⎝ ⎛⎭⎪⎫322－⎝ ⎛⎭
⎪⎫122
＝ 2. 答案：D
2．如图11，体积为V 的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点．设V 1为小球相交部分(图中阴影部分)的体积，V 2为大球内、小球外的部分(图中黑色部分)的体积，则下列关系式中正确的是( )
图11
A ．V 1>V
2
B ．V 2<V
2
C ．V 1>V 2
D ．V 1<V 2
解析：由题图知大球半径R＝2r(小球半径)，又由图知V大－4V小＋V1＝V2，
∴4
3
πR3－
4
3
πr3·4＋V1＝V2，
∴16
3
πr3＋V1＝V2，
∴V2＞V1. 答案：D。