台儿庄区第二高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

台儿庄区第二高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
一、选择题
1． 已知M 是△ABC 内的一点，且=2
，∠BAC=30°，若△MBC ，△MCA 和△MAB 的面积分别为，
x ，y ，则+的最小值是（
）
A ．20
B ．18
C ．16
D ．9
2． 函数f （x ）＝，关于点（－1，2）对称，且f （－2）＝3，则b 的值为（ ）
kx ＋b x ＋1
A ．－1
B ．1
C ．2
D ．4
3． 设f （x ）=asin （πx+α）+bcos （πx+β）+4，其中a ，b ，α，β均为非零的常数，f （1988）=3，则f （2008
）的值为（ ）
A ．1
B ．3
C ．5
D ．不确定
4． 四棱锥的底面为正方形，底面，，若该四棱锥的所有顶点都在
P ABCD -ABCD PA ⊥ABCD 2AB =体积为
同一球面上，则（ ）24316
π
PA =A ．3 B ． C ．
D ．
729
2
【命题意图】本题考查空间直线与平面间的垂直和平行关系、球的体积，意在考查空间想象能力、逻辑推理能力、方程思想、运算求解能力．
5． 平面向量与的夹角为60°，=
（2，0），||=1，则|+2|=（ ）A ．
B ．
C ．4
D ．12
6． 已知U=R ，函数y=ln （1﹣x ）的定义域为M ，集合N={x|x 2﹣x ＜0}．则下列结论正确的是（ ）
A ．M ∩N=N
B ．M ∩（∁U N ）=∅
C ．M ∪N=U
D ．M ⊆（∁U N ）
7． 已知直线x+ay ﹣1=0是圆C ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y+1=0的对称轴，过点A （﹣4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B
，则|AB|=（ ）A ．2
B ．6
C ．4
D ．2
8． 在ABC ∆中，2
2
2
sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是（ ）1111]
A ．(0,
6
π
B ．[
,)6
π
π C. (0,
]3
π
D ．[,)
3
π
π9． 若双曲线C
：x 2﹣=1（b ＞0）的顶点到渐近线的距离为，则双曲线的离心率e=（
）
A ．2
B ．
C ．3
D ．
10．已知点A （﹣2，0），点M （x ，y ）为平面区域上的一个动点，则|AM|的最小值是（
）
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
A ．5
B ．3
C ．2
D ．
11．如图所示为某几何体的正视图和侧视图，则该几何体体积的所有可能取值的集合是（
）
A ．{， }
B ．{，， }
C ．{V|≤V ≤}
D ．{V|0＜V ≤}
12．我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大的创举，这个伟大创举与我国古老的算法——“辗转相除法”实质一样，如图的程序框图源于“辗转相除法”．当输入a ＝6 102，b ＝2 016时，输出的a 为（
）
A ．6
B ．9
C ．12
D ．18
二、填空题
13．甲、乙两个箱子里各装有2个红球和1个白球，现从两个箱子中随机各取一个球，则至少有一个红球的概率为 ．
14．直线ax+
by=1与圆x 2+y 2=1相交于A ，B 两点（其中a ，b 是实数），且△AOB 是直角三角形（O 是坐
标原点），则点P （a ，b ）与点（1，0）之间距离的最小值为 ．
15．在中，已知角的对边分别为，且，则角ABC ∆C B A ,,c b a ,,B c C b a sin cos +=B 为
.
16．设变量满足约束条件，则的最小值是，则实数y x ,22022010x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩
22
(1)3(1)z a x a y =+-+20-a =
______．
【命题意图】本题考查线性规划问题，意在考查作图与识图能力、逻辑思维能力、运算求解能力．17．若实数x ，y 满足x 2+y 2﹣2x+4y=0，则x ﹣2y 的最大值为 ．
18．已知函数()()31
,ln 4
f x x mx
g x x =++=-.{}min ,a b 表示,a b 中的最小值，若函数
()()(){}()min ,0h x f x g x x =>恰有三个零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．
三、解答题
19．已知函数f （x ）=e ﹣x （x 2+ax ）在点（0，f （0））处的切线斜率为2．（Ⅰ）求实数a 的值；
（Ⅱ）设g （x ）=﹣x （x ﹣t ﹣）（t ∈R ），若g （x ）≥f （x ）对x ∈[0，1]恒成立，求t 的取值范围；（Ⅲ）已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1=（1+）a n ，求证：当n ≥2，n ∈N 时 f （）+f （
）+L+f （
）＜n •（
）（e 为自然对数的底数，e ≈2.71828）
．
20．已知函数f （x ）
=
．
（1）求函数f （x ）的最小正周期及单调递减区间；（2）当时，求f （x ）的最大值，并求此时对应的x 的值．
21
．2()sin 2f x x x =+
.（1）求函数()f x 的单调递减区间；
（2）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若(12
A f =，ABC ∆的面积为.
22．已知a ，b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B=2sinAsinC ．（Ⅰ）若a=b ，求cosB ；（Ⅱ）设B=90°，且a=
，求△ABC 的面积．
23．在直角坐标系中，已知一动圆经过点且在轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨xOy (2,0)y 迹为曲线．
C （1）求曲线的方程；111]
C （2）过点作互相垂直的两条直线，，与曲线交于，两点与曲线交于，两点，(1,0)C A B C E F 线段，的中点分别为，，求证：直线过定点，并求出定点的坐标．
AB EF M N MN P P 24．已知函数f （x ）=x 3+x ．
（1）判断函数f （x ）的奇偶性，并证明你的结论；（2）求证：f （x ）是R 上的增函数；
（3）若f （m+1）+f （2m ﹣3）＜0，求m 的取值范围．（参考公式：a 3﹣b 3=（a ﹣b ）（a 2+ab+b 2））
台儿庄区第二高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题
1． 【答案】B 【解析】解：由已知得
=bccos ∠
BAC=2
⇒bc=4，
故S △ABC =x+y+=bcsinA=1⇒x+y=，而
+=2（+）×（x+y ）=2（5++）≥2（5+2
）=18，
故选B ．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，向量的数量积的运算．要注意灵活利用y=ax+的形式．　
2． 【答案】
【解析】解析：选B.设点P （m ，n ）是函数图象上任一点，P 关于（－1，2）的对称点为Q （－2－m ，4－n ），
则，恒成立．
{
n ＝km ＋b m ＋14－n ＝
k （－2－m ）＋b －1－m )
由方程组得4m ＋4＝2km ＋2k 恒成立，∴4＝2k ，即k ＝2，
∴f （x ）＝，又f （－2）＝＝3，
2x ＋b
x ＋1－4＋b －
1∴b ＝1，故选B.3． 【答案】B
【解析】解：∵f （1988）=asin （1988π+α）+bcos （1998π+β）+4=asin α+bcos β+4=3，∴asin α+bcos β=﹣1，
故f （2008）=asin （2008π+α）+bcos （2008π+β）+4=asin α+bcos β+4=﹣1+4=3，故选：B ．
【点评】本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于中档题．　
4． 【答案】B
【解析】连结交于点，取的中点，连结，则，所以底面，则,AC BD E PC O OE OE PA P OE ⊥ABCD O
到四棱锥的所有顶点的距离相等，即球心，均为，所以由球的体积
O 12PC ==可得
，解得
，故选B ．34243316ππ=7
2
PA =
5．【答案】B
【解析】解：由已知|a|=2，
|a+2b|2=a2+4ab+4b2=4+4×2×1×cos60°+4=12，
∴|a+2b|=．
故选：B．
【点评】本题是对向量数量积的考查，根据两个向量的夹角和模之间的关系，根据和的模两边平方，注意要求的结果非负，舍去不合题意的即可．两个向量的数量积是一个数量，它的值是两个向量的模与两向量夹角余弦的乘积，结果可正、可负、可以为零，其符号由夹角的余弦值确定．
6．【答案】A
【解析】解：由1﹣x＞0，解得：x＜1，
故函数y=ln（1﹣x）的定义域为M=（﹣∞，1），
由x2﹣x＜0，解得：0＜x＜1，
故集合N={x|x2﹣x＜0}=（0，1），
∴M∩N=N，
故选：A．
【点评】本题考察了集合的包含关系，考察不等式问题，是一道基础题．
7．【答案】B
【解析】解：∵圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2 =4，
表示以C（2，1）为圆心、半径等于2的圆．
由题意可得，直线l：x+ay﹣1=0经过圆C的圆心（2，1），
故有2+a﹣1=0，∴a=﹣1，点A（﹣4，﹣1）．
∵AC==2，CB=R=2，
∴切线的长|AB|===6．
故选：B．
【点评】本题主要考查圆的切线长的求法，解题时要注意圆的标准方程，直线和圆相切的性质的合理运用，属于基础题．
8．【答案】C
【解析】
考点：三角形中正余弦定理的运用.
9．【答案】B
【解析】解：双曲线C：x2﹣=1（b＞0）的顶点为（±1，0），
渐近线方程为y=±bx，
由题意可得=，
解得b=1，c==，
即有离心率e==．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用点到直线的距离公式，考查运算能力，属于基础题．
10．【答案】D
【解析】解：不等式组表示的平面区域如图，
结合图象可知|AM|的最小值为点A到直线2x+y﹣2=0的距离，
即|AM|min=．
故选：D．
【点评】本题考查了不等式组表示的平面区域的画法以及运用；关键是正确画图，明确所求的几何意义．
11．【答案】D
【解析】解：根据几何体的正视图和侧视图，得；
当该几何体的俯视图是边长为1的正方形时，它是高为2的四棱锥，其体积最大，为×12×2=；当该几何体的俯视图为一线段时，它的底面积为0，此时不表示几何体；所以，该几何体体积的所有可能取值集合是{V|0＜V ≤}．故选：D ．
【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出几何体的结构特征是什么，是基础题目．　
12．【答案】
【解析】选D.法一：6 102＝2 016×3＋54，2 016＝54×37＋18，54＝18×3，18是54和18的最大公约数，∴输出的a ＝18，选D.
法二：a ＝6 102，b ＝2 016，r ＝54，a ＝2 016，b ＝54，r ＝18，a ＝54，b ＝18，r ＝0.∴输出a ＝18，故选D.
二、填空题
13．【答案】9
8
【
解
析
】
【易错点睛】古典概型的两种破题方法：（1）树状图是进行列举的一种常用方法，适合于有顺序的问题及较
复杂问题中基本事件数的探求．另外在确定基本事件时，可以看成是有序的，如与不同；有),(y x ()1,2()2,1时也可以看成是无序的，如相同．（2）含有“至多”、“至少”等类型的概率问题，从正面突破比)1,2)(2,1(较困难或者比较繁琐时，考虑其反面，即对立事件，应用求解较好．(1)(A P A P -=14．【答案】 ．
【解析】解：∵△AOB 是直角三角形（O 是坐标原点），∴圆心到直线ax+
by=1的距离d=
，
即d==，
整理得a 2+2b 2=2，
则点P （a ，b ）与点Q （1，0）之间距离d==
≥
，
∴点P （a ，b ）与点（1，0）之间距离的最小值为．
故答案为：
．
【点评】本题主要考查直线和圆的位置公式的应用以及两点间的距离公式，考查学生的计算能力．　
15．【答案】4
π
【
解
析
】
考
点：正弦定理．
【方法点晴】本题考查正余弦定理,根据正弦定理，将所给的含有边和角的等式化为只含有角的等式，再利用三角形的三角和是，消去多余的变量，从而解出角.三角函数题目在高考中的难度逐渐增加，以考查三︒180B 角函数的图象和性质，以及三角形中的正余弦定理为主，在年全国卷（ ）中以选择题的压轴题出
2016现.
16．【答案】2±【
解
析
】
17．【答案】10
【解析】
【分析】先配方为圆的标准方程再画出图形，设z=x ﹣2y ，再利用z 的几何意义求最值，只需求出直线z=x ﹣2y 过图形上的点A 的坐标，即可求解．
【解答】解：方程x 2+y 2﹣2x+4y=0可化为（x ﹣1）2+（y+2）2=5，
即圆心为（1，﹣2），半径为的圆，（如图）
设z=x ﹣2y ，将z 看做斜率为的直线z=x ﹣2y 在y 轴上的截距，
经平移直线知：当直线z=x ﹣2y 经过点A （2，﹣4）时，z 最大，
最大值为：10．
故答案为：10．
18．【答案】()
53,44--【解析】
试题分析：()23f x x m '=+，因为()10g =，所以要使()()(){}()min ,0h x f x g x x =>恰有三个零点，须满足
()10,0,0f f m ><<，解得51534244
m m >->⇒-<<-考点：函数零点
【思路点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵f （x ）=e ﹣x （x 2+ax ），
∴f ′（x ）=﹣e ﹣x （x 2+ax ）+e ﹣x （2x+a ）=﹣e ﹣x （x 2+ax ﹣2x ﹣a ）；
则由题意得f ′（0）=﹣（﹣a ）=2，
故a=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f （x ）=e ﹣x （x 2+2x ），
由g （x ）≥f （x ）得，
﹣x（x﹣t﹣）≥e﹣x（x2+2x），x∈[0，1]；
当x=0时，该不等式成立；
当x∈（0，1]时，不等式﹣x+t+≥e﹣x（x+2）在（0，1]上恒成立，
即t≥[e﹣x（x+2）+x﹣]max．
设h（x）=e﹣x（x+2）+x﹣，x∈（0，1]，
h′（x）=﹣e﹣x（x+1）+1，
h″（x）=x•e﹣x＞0，
∴h′（x）在（0，1]单调递增，
∴h′（x）＞h′（0）=0，
∴h（x）在（0，1]单调递增，
∴h（x）max=h（1）=1，
∴t≥1．
（Ⅲ）证明：∵a n+1=（1+）a n，
∴=，又a1=1，
∴n≥2时，a n=a1••…•=1••…•=n；
对n=1也成立，
∴a n=n．
∵当x∈（0，1]时，f′（x）=﹣e﹣x（x2﹣2）＞0，
∴f（x）在[0，1]上单调递增，且f（x）≥f（0）=0．
又∵f（）（1≤i≤n﹣1，i∈N）表示长为f（），宽为的小矩形的面积，
∴f（）＜f（x）dx，（1≤i≤n﹣1，i∈N），
∴[f（）+f（）+…+f（）]=[f（）+f（）+…+f（）]
＜f（x）dx．
又由（Ⅱ），取t=1得f（x）≤g（x）=﹣x2+（1+）x，
∴f（x）dx≤g（x）dx=+，
∴[f（）+f（）+…+f（）]＜+，
∴f（）+f（）+…+f（）＜n（+）．
【点评】本题考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程的思想、化归与转化的思想、数形结合的思想，考查运用数学知识分析和解决问题的能力．
20．【答案】
【解析】解：（1）f （x ）=﹣
=sin 2x+
sinxcosx ﹣
=+sin2x ﹣=sin （2x ﹣
）…3分周期T=π，
因为cosx ≠0，所以{x|x ≠
+k π，k ∈Z}…5分当2x ﹣∈，即+k π≤x ≤
+k π，x ≠+k π，k ∈Z 时函数f （x ）单调递减，所以函数f （x ）的单调递减区间为，，k ∈Z …7分
（2）当
，2x ﹣∈，…9分sin （2x ﹣
）∈（﹣，1），当x=时取最大值，故当x=时函数f （x ）取最大值为1…12分
【点评】本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，三角函数最值的解法，属于基础题．
21．【答案】（1）（）；（2）.5,36k k ππππ⎡⎤+
+⎢⎥⎣⎦k ∈Z 【解析】
试题分析：（1）根据可求得函数()f x 的单调递减区间；（2）由3222262k x k πππππ+
≤-≤+12A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭可得，再由三角形面积公式可得，根据余弦定理及基本不等式可得的最小值. 1
3A π
=12bc =
试题解析:（1）111()cos 22sin(2)2262
f x x x x π=
-=-+，令3222262k x k πππππ+≤-≤+，解得536
k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈，∴()f x 的单调递减区间为5[,36k k ππππ++（k Z ∈）.
考点：1、正弦函数的图象和性质；2、余弦定理、基本不等式等知识的综合运用．
22．【答案】
【解析】解：（I ）∵sin 2B=2sinAsinC ，由正弦定理可得：
＞0，
代入可得（bk ）2=2ak •ck ，
∴b 2=2ac ，
∵a=b ，∴a=2c ，
由余弦定理可得：cosB===．（II ）由（I ）可得：b 2=2ac ，
∵B=90°，且a=
，∴a 2+c 2=b 2=2ac ，解得a=c=．∴S △ABC ==1．　
23．【答案】（１） ；（２）证明见解析；．
24y x (3,0)【解析】
（2）易知直线，的斜率存在且不为0，设直线的斜率为，，，
11(,)A x y 22(,)B x y 则直线：，，(1)y k x =-1212(,22
x x y y M ++由得，24,(1),
y x y k x ⎧=⎨=-⎩2222(24)0k x k x k -++=，
2242(24)416160k k k ∆=+-=+>
考点：曲线的轨迹方程；直线与抛物线的位置关系．
【易错点睛】导数法解决函数的单调性问题：（1）当不含参数时，可通过解不等式)(x f )0)((0)('
'<>x f x f 直接得到单调递增（或递减）区间．（2）已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件恒成立，解出参数的取值范围（一般可用不等式恒成立的理论求解），应注意),(),0)((0)(''b a x x f x f ∈≤≥参数的取值是不恒等于的参数的范围．)('
x f 24．【答案】
【解析】解：（1）f （x ）是R 上的奇函数
证明：∵f（﹣x）=﹣x3﹣x=﹣（x3+x）=﹣f（x），
∴f（x）是R上的奇函数
（2）设R上任意实数x1、x2满足x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，
f（x1）﹣f（x2）=（x1﹣x2）+[（x1）3﹣（x2）3]=（x1﹣x2）[（x1）2+（x2）2+x1x2+1]=（x1﹣x2）[（x1+x2）2+x22+1]＜0恒成立，
因此得到函数f（x）是R上的增函数．
（3）f（m+1）+f（2m﹣3）＜0，可化为f（m+1）＜﹣f（2m﹣3），
∵f（x）是R上的奇函数，∴﹣f（2m﹣3）=f（3﹣2m），
∴不等式进一步可化为f（m+1）＜f（3﹣2m），
∵函数f（x）是R上的增函数，
∴m+1＜3﹣2m，
∴。