高中数学基础知识归类——献给高三考生11页word文档

高中数学基础知识归类——献给高三(文科)考生
最后冲刺的诀窍：高考最后两个月要拾遗补缺。

抓基础，理清头脑中的知识网络，而不
应该去攻难度太大的题。

可适当去做一些综合性的题，对自己会很有好处的。

如果以前有错题本的话，现在应该看看了；最后一个月复习数学关键是“看”：看练习题，看复习资料。

一眼能看出解题思路的，从此不管它；看不出的，就在草稿纸上演算，演算到理清思路为止，并在题前做“#”记号；很难的综合题，则进行正规演算，目的仍是寻找思路，这种题一直做出了结果，就在题前做“*”记号。

三五天或一周之后，再回过头来看，有“#”的看一看，一般能看出从何处下手；有“*”的看一看，在草稿纸上演算，知道怎么做再停止。

因为这个时候正确与否不重要，重要的是知道该如何下手解这些题，以及需要用哪些知识来解题。

基础知识
一.集合与简易逻辑
1.注意区分集合中元素的形式.如：{|lg }x y x =—函数的定义域；{|lg }y y x =—函数的值域； {(,)|lg }x y y x =—函数图象上的点集.
2.集合的性质： ①任何一个集合A 是它本身的子集,记为A A ⊆.②空集是任何集合的子集,记为
A ∅⊆.③空集是任何非空集合的真子集；注意:条件为A
B ⊆,在讨论的时候不要遗忘了A =∅
的情况含n 个元素的集合的子集个数为2n ；真子集个数为21n -；非空真子集个数为22n
-. 3.补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。

4.原命题: p q ⇒；逆命题: q p ⇒；否命题: p q ⌝⇒⌝；逆否命题: q p ⌝⇒⌝；互为逆否的两个命题是等价的.如：“βαsin sin ≠”是“βα≠”的 条件.(答：充分非必要条件)
5.若p q ⇒且q p ≠>,则p 是q 的充分非必要条件(或q 是p 的必要非充分条件或q 的一个充分非必要条件是p 或p 的一个必要非充分条件是q).
6.注意命题p q ⇒的否定与它的否命题的区别: 命题p q ⇒的否定是p q ⇒⌝；否命题是
p q ⌝⇒⌝. 命题“p 或q ”的否定是“p ⌝且q ⌝”；“p 且q ”的否定是“p ⌝或q ⌝”.
如：“若a 和b 都是偶数，则b a +是偶数”的否命题是“若a 和b 不都是偶数,则b a +是奇数” 否定是“若a 和b 都是偶数,则b a +是奇数”. 7.常见结论的否定形式
)
1.①映射f :A B →是：⑴ “一对一或多对一”的对应；⑵集合A 中的元素必有象且A 中不 同元素在B 中可以有相同的象；集合B 中的元素不一定有原象(即象集B ⊆).
②一一映射f :A B →： ⑴“一对一”的对应；⑵A 中不同元素的象必不同,B 中元素都有原象. 2.函数f : A B →是特殊的映射.特殊在定义域A 和值域B 都是非空数集！据此可知函数图像
与x 轴的垂线至多有一个公共点,但与y 轴垂线的公共点可能没有,也可能有任意个.
3.函数的三要素：定义域,值域,对应法则.研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则.
4.求定义域:使函数解析式有意义(如:分母0≠;偶次根式被开方数非负;对数真数0>,底数0>
且1≠；零指数幂的底数0≠)；实际问题有意义；若()f x 定义域为[,]a b ,复合函数[()]f g x 定义域由()a g x b ≤≤解出；若[()]f g x 定义域为[,]a b ,则()f x 定义域相当于[,]x a b ∈时()g x 的值域. 5.求值域常用方法: ①配方法(二次函数类)；②逆求法(反函数法)；③换元法(特别注意新元的范围).④三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域；
⑤不等式法⑥单调性法；⑦数形结合：根据函数的几何意义,利用数形结合的方法来求值域； ⑧判别式法（慎用）：⑨导数法(一般适用于高次多项式函数).
6.求函数解析式的常用方法：⑴待定系数法(已知所求函数的类型)； ⑵代换(配凑)法； ⑶方程的思想----对已知等式进行赋值，从而得到关于()f x 及另外一个函数的方程组。

7.函数的奇偶性和单调性
⑴函数有奇偶性的必要条件是其定义域是关于原点对称的,确定奇偶性方法有定义法、图像法等；
⑵若()f x 是偶函数,那么()()(||)f x f x f x =-=；定义域含零的奇函数必过原点((0)0f =)；
⑶判断函数奇偶性可用定义的等价形式：()()0f x f x ±-=或()
()1(()0)
f x f x f x -=±≠；
⑷复合函数的奇偶性特点是：同则偶异则奇. 注意：若判断较为复杂解析式函数的奇偶性，
应先化简再判断；既奇又偶的函数有无数个 (如()0f x =定义域关于原点对称即可).
⑸奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性；
⑹确定函数单调性的方法有定义法、导数法、图像法和特值法(用于小题)等. ⑺复合函数单调性由“同增异减”判定. （提醒：求单调区间时注意定义域）
如：函数12
2log (2)
y x x =-+的单调递增区间是_____________.(答：(1,2))
8.函数图象的几种常见变换⑴平移变换：左右平移---------“左加右减”（注意是针对x 而言）； 上下平移----“上加下减”(注意是针对()f x 而言).⑵翻折变换：()|()|f x f x →；()(||)f x f x →.
⑶对称变换：函数()y f x =与()y f x =-的图像关于直线0x =(y 轴)对称；函数()y f x =与
函数()y f x =-的图像关于直线0y =(x 轴)对称； ④若函数()y f x =对x R ∈时，()()
f a x f a x +=-或
()(2)f x f a x =-恒成立,则()y f x =图像
关于直线x a =对称；
⑤若()y f x =对x R ∈时,()()f a x f b x +=-恒成立,则
()y f x =图像关于直线2
a b x +=
对称；
⑥函数()y f a x =+,()y f b x =-的图像关于直线2b a
x -=
对称(由a x b x +=-确定)；
9.函数的周期性：⑴若()y f x =对x R ∈时()()f x a f x a +=-恒成立,则 ()f x 的周期为2||a ； ⑵若()y f x =是偶函数,其图像又关于直线x a =对称,则()f x 的周期为2||a ；
⑶若()y f x =奇函数,其图像又关于直线x a =对称,则()f x 的周期为4||a ； ⑷若()y f x =关于点(,0)a ,(,0)b 对称,则()f x 的周期为2||a b -； ⑸()y f x =
的图象关于直线
x a =,()x b a b =≠对称,则函数()y f x =的周期为2||a b -；
⑹()y f x =对x R ∈时,()()f x a f x +=-或1
()
()f x f x a +=-
,则()y f x =的周期为2||a ；
10.对数：⑴log log n n a a b b =(0,1,0,)a a b n R +>≠>∈；⑵对数恒log (0,1,0)a N a N a a N =>≠>；
1
log log
a a
n
M
=
；⑷对数换底公式
log
log
log b
b
a
N
a
N=(0,1,0,1)
a a
b b
>≠>≠；
推论：1211
23
log log log1log log log log
n
a b c a a a n a n
b c a a a a a
-
⋅⋅=⇒⋅⋅⋅=
.
11.方程()
k f x
=有解k D
⇔∈(D为()
f x的值域)；()
a f x
≥恒成立[()]
a f x
⇔≥
最大值, ()
a f x
≤恒成立[()]
a f x
⇔≤
最小值.
12.恒成立问题的处理方法：⑴分离参数法(最值法)；⑵转化为一元二次方程根的分布问题；
13.处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系；
14.二次函数解析式的三种形式：①一般式：2
()(0)
f x ax bx c a
=++≠；②顶点式：
2
()()(0)
f x a x h k a
=-+≠；③零点式：
12
()()()(0)
f x a x x x x a
=--≠.
15.一元二次方程实根分布:先画图再研究0
∆>、轴与区间关系、区间端点函数值符号;
16.复合函数：⑴复合函数定义域求法：若
()
f x的定义域为[,]
a b,其复合函数[()]
f g x的定义域可由不等式
()
a g x
≤b
≤解出；若[()]
f g x的定义域为[,]
a b,求()
f x的定义域，相当于[,]
x a b
∈
时,求
()
g x的值域；⑵复合函数的单调性由“同增异减”判定.
17.对于反函数,应掌握以下一些结论：⑴定义域上的单调函数必有反函数；
18.依据单调性,利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题：
()()()0
f u
g x u
h x
=+≥(或0
≤)()
a u b
≤≤()0
()0
f a
f b
≥
⎧
⇔⎨
≥
⎩(或
()0
()0
f a
f b
≤
⎧
⎨
≤
⎩)；
19.函数
(0,)
ax b
cx d
y c ad bc
+
+
=≠≠
的图像是双曲线：①两渐近线分别直线
d
c
x=-
(由分母为零确定)和直线
a
c
y=
(由分子、分母中x的系数确定)；②对称中心是点
(,)
d a
c c
-
；
20.函数(0,0)
b
x
y ax a b
=+>>
：增区间为(,)
-∞+∞
,减区间为
[0),(0
-
.
如：已知函数
1
2
()ax
x
f x+
+
=
在区间
(2,)
-+∞上为增函数,则实数a的取值范围是 (答：1
2
(,)
+∞
).
三.数列
1.由n
S求
n
a,1*
1
(1)
(2,)
n
n n
S n
a
S S n n N
-
=
⎧⎪
=⎨
-≥∈
⎪⎩注意验证1
a是否包含在后面
n
a的公式中,若不符合要
单独列出.如：数列
{}
n
a满足111
5
3
4,
n n n
a S S a
++
=+=
，求n
a
(答：
{1
4(1)
34(2)
n
n
n
a
n
-
=
=
⋅≥).
2.等差数列1
{}
n n n
a a a d
-
⇔-=(d为常数)
11
2(2,*)
n n n
a a a n n N
+-
⇔=+≥∈
3.等差数列的性质：①
()
n m
a a n m d
=+-,m n
a a
m n
d-
-
=
；
②m n l k
m n l k a a a a
+=+⇒+=+(反之不一定成立)；特别地,当2
m n p
+=时,有2
m n p
a a a
+=
；
③若
{}
n
a、{}
n
b是等差数列,则{}
n n
ka tb
+(k、t是非零常数)是等差数列；
④等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”即232
,,,
m m m m m
S S S S S
--仍是等差数列；
⑤等差数列
{}
n
a
,当项数为2n时,
S S nd
-=
偶奇,1n n
S a
S a
+
=
奇
偶；项数为
21
n-时,
(*)
n
S S a a n N
-==∈
偶中
奇,21(21)
n n
S n a
-
=-,且1
S n
S n
=
-
奇
偶；
()(21)
n n
n n
A a
B b
f n f n
=⇒=-
.
⑥首项为正(或为负)的递减(或递增)的等差数列前n项和的最大(或最小)问题,转化为解不等式
100n n a a +≥⎧⎨≤⎩(或100n n a a +≤⎧⎨≥⎩).也可用
2n S An Bn =+的二次函数关系来分析. 4.等比数列
12
1
111{}(0)(2,*)n n
n n n n n n a a a q q a a a n n N a a q +--+⇔
=≠⇔=≥∈⇔=.
5.等比数列的性质 ①n m
n m a a q -=
,
n q ={}
n a 、{}n b 是等比数列，则{}n ka 、
{}
n n a b 等也是等比数列；
③
111111(1)1111(1)(1)(1)(1)n
n n n
q q a a a a a q q q q na q na q S q q q ------==⎧⎧⎪⎪==⎨⎨-+≠=≠⎪⎪⎩⎩
；④m n l k m n l k a a a a +=+⇒=(反之不一定成
立)；m n
m n m n n m S S q S S q S +=+=+. ⑤等比数列中232,,,m m m m m S S S S S --(注：各项均不为0)仍是等比数列.
6.①如果数列{}n a 是等差数列,则数列
{}n a A (n a A 总有意义)是等比数列；如果数列{}n a 是等比数列,则数列{log ||}(0,1)a n a a a >≠是等差数列；
②若{}n a 既是等差数列又是等比数列,则{}n a 是非零常数数列；
③如果两个等差数列有公共项,那么由他们的公共项顺次组成的数列也是等差数列，且新数列的公差是原两个等差数列公差的最小公倍数；如果一个等差数列和一个等比数列有公共项,那么由他们的公共项顺次组成的数列是等比数列,由特殊到一般的方法探求其通项；
④三个数成等差的设法：,,a d a a d -+；四个数成等差的设法：3,,,3a d a d a d a d --++；
三个数成等比的设法：,,a q
a aq
；四个数成等比的错误设法：3
3
,
,,a
a q
q
aq aq (为什么？)
7.数列的通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式.
⑵已知n S (即12()n a a a f n +++=)求n a 用作差法：
11,(1),(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨
-≥⎩. ⑶已知12()n a a a f
n ⋅⋅⋅=求n a 用作商法：()
(1)(1),(1),(2)
n f n f n f n a n -=⎧⎪=⎨≥⎪⎩.
⑷若1()n n a a f n +-=求n a 用迭加法. ⑸已知
1
()
n n
a a
f n +=,求n a 用迭乘法.
⑹已知数列递推式求n a ,用构造法(构造等差、等比数列)：①形如1n n a ka b -=+,1n
n n a ka b -=+,
1n n a ka a n b -=+⋅+(,k b 为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等比
数列后, 再求n a .②形如1
1n n n a ka b
a --+=
的递推数列都可以用 “取倒数法”求通项. 8.数列求和的方法：①公式法：等差数列,等比数列求和公式；公式：
12
123(1)n n n ++++=
+222216
123(1)(21)
n n n n ++++=
++；
②分组求和法；③倒序相加；④错位相减；⑤分裂通项法. 四.三角函数
1.α终边与θ终边相同2()k k Z αθπ⇔=+∈；
α终边与θ终边共线()k k Z αθπ⇔=+∈；α终边 与θ终边关于x 轴对称()k k Z αθπ⇔=-+∈；α终边与θ终边关于y 轴对称 2()k k Z απθπ⇔=-+∈；α终边与θ终边关于原点对称2()k k Z απθπ⇔=++∈；
2.弧长公式：||l r θ=；扇形面积公式：2
11
22||S lr r θ==扇形
；1弧度(1rad )≈57.3︒.
3.三角函数符号(“正号”)规律记忆口诀：“一全二正弦,三切四余弦”.
4.三角函数同角关系中(八块图)：注意“正、余弦三兄妹
sin cos x x ±、sin cos x x ⋅”的关系.如
2
(sin cos )12sin cos x x x x ±=±等. 5.对于诱导公式,可用“奇变偶不变，符号看象限”概括； (注意：公式中始终视α为锐角)
6.角的变换：已知角与特殊角、已知角与目标角、已知角与其倍角或半角、两角与其和差角等
变换.如：()ααββ=+-；2()()ααβαβ=++-；2()()αβαβα=+--；
2
2αβ
αβ++=⋅
；
2
2
2
()(
)
αβ
β
α
αβ+=-
--等；“1”的变换：22
1sin cos tan cot 2sin30tan45x x x x =+=⋅=︒=︒；
7.重要结论：sin cos )a x b x x ϕ+=+其中tan b
a ϕ=）；
重要公式
2
2cos 1sin 2α
α-=
2
cos α=
1cos 22
α
+
sin 1cos 2
1cos sin tan
α
ααα
α
-+==
=
2
2|cos sin |
θθ
==±.
万能公式：
2
2tan 1tan sin 2αα
α+=
；
2
2
1tan 1tan cos 2αα
α-+=
；
2
2tan 1tan tan 2αα
α-=
.
8.正弦型曲线sin()y A x ωϕ=+的对称轴
2
()
k x k Z π
πϕ
ω
+
-=
∈；对称中心
(
,0)()
k k Z πϕ
ω
-∈；
余弦型曲线cos()y A x ωϕ=+的对称轴()
k x k Z πϕ
ω-=
∈；对称中心2
(
,0)()
k k Z π
πϕ
ω+-∈；
9.熟知正弦、余弦、正切的和、差、倍公式，正、余弦定理，处理三角形内的三角函数问题勿
忘三内角和等于180︒,一般用正、余弦定理实施边角互化；正弦定理：sin sin sin 2a
b
c
A B C
R
==
=；
余弦定理：
222
22
222()222cos ,cos 1
b c a
b c a
bc
bc
a b c bc A A +-+-=+-=
=
-；
正弦平方差公式：
22
sin sin sin()sin()A B A B A B -=+-；三角形的内切圆半径2ABC
S a b c r ∆++=； 面积公式：
1
2
4sin abc
R
S ab C ∆=
=
；射影定理：cos cos a b C c B =+.
10.ABC ∆中,易得：A B C π++=,sin sin()A B C =+,cos cos()A B C =-+,tan tan()A B C =-+. ④锐角ABC ∆中,
2
A B π
+>
,sin cos ,cos cos A B A B ><,222
a b c +>,类比得钝角ABC ∆结论.
11.角的范围：异面直线所成角2(0,]π；直线与平面所成角2[0,]
π；二面角和两向量的夹角[0,]π；
直线的倾斜角[0,)π；注意术语:坡度、仰角、俯角、方位角等. 五.平面向量
1.设11(,)a x y =,22(,)b x y =. (1)1221//0a b x y x y ⇔-=；(2)121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=.
2.平面向量基本定理：如果
1e 和2e 是同一平面内的两个不共线的向量,那么对该平面内的任一向
量a ,有且只有一对实数1λ、2λ,使1122a e e λλ=+.
3.设11(,)a x y =,22(,)b x y =,则1212||||cos a b a b x x y y θ⋅==+；其几何意义是a b ⋅等于a 的长度
与b 在a 的方向上的投影的乘积；a 在b 的方向上的投影
12
2||cos ||a b
a b x θ⋅=
=+ 4.三点A 、B 、C 共线AB ⇔与AC 共线；与AB 共线的单位向量||AB
AB ±
.
5.平面向量数量积性质：设11(,)a x y =,22(,)b x y =,则12
cos ||||a b
a b x θ⋅==
+:
,a b 〈〉为锐角0a b ⇔⋅>,,a b 不同向；
,a b 〈〉为直角0a b ⇔⋅=；,a b 〈〉为钝角0a b ⇔⋅<,,a b 不
反向.
6.平面向量数量积的坐标表示：⑴若11(,)a x y =,22(,)b x y =,则1212a b x x y y ⋅=+；
||(AB x = ⑵若(,)a x y =,则2
22
a a a x y =⋅=+.
7.1P
,P ,2P 三点共线⇔存在实数λ、μ使得1
2
OP OP OP λμ=+且1λμ+=.
9.三角形中向量性质：①AB AC +过BC 边的中点：||
||
||
||
(
)(
)
AB AC AB AC AB AC AB AC +
⊥-
；
②
13
()0PG PA PB PC GA GB GC G
=
++⇔++=⇔为ABC ∆的重心；
③PA PB PB PC PA PC P ⋅=⋅=⋅⇔为ABC ∆的垂心；
六.不等式
1.掌握课本上的几个不等式性质，注意使用条件，另外需要特别注意：
①若0ab >,b a >,则1
1
a b >
.即不等式两边同号时,不等式两边取倒数,不等号方向要改变. ②如果对不等式两边同时乘以一个代数式,要注意它的正负号,如果正负号未定,要注意分类讨论.
2.掌握几类不等式(一元一次、二次、绝对值不等式、简单的指数、对数不等式)的解法,尤其注意用分类讨论的思想解含参数的不等式；勿忘数轴标根法,零点分区间法.
3.掌握重要不等式,(1)均值不等式：若0,>b a ,22
11a b a b
++(当且仅当b a =时取
等号)使用条件：“一正二定三相等 ” 常用的方法为：拆、凑、平方等；(2),,a b c R ∈，
222
a b c ab bc ca ++≥++(当且仅当a b c ==时,取等号)；(3)公式注意变形如：
2
2
2
2
2
(
)a
b a b ++≥,
2
2
(
)a b ab +≤；(4)若0,0a b m >>>,则b
b m a
a m
++<
(真分数的性质)；
5.证明不等式常用方法：⑴比较法：作差比较：0A B A B -≤⇔≤.注意：若两个正数作差比较有困难,可以通过它们的平方差来比较大小；
⑺最值法,如：()a f x >最大值,则()a f x >恒成立.()a f x <最小值
,则()a f x <恒成立. 七.直线和圆的方程
1.直线的倾斜角α的范围是[0,π）；
2.直线的倾斜角与斜率的变化关系
2
tan ()
k π
αα=≠
(如右图)：
3.直线方程五种形式：⑴点斜式：已知直线过点00(,)x y 斜率为k ，则直线方程为
00()
y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴的直线.⑵斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b 和斜
率k ，则直线方程为y kx b =+,它不包括垂直于x 轴的直线. ⑶两点式：已知直线经过
111(,)P
x y 、222(,)P x y 两点,则直线方程为1121
21
y y x x y y x x ----=
,它不包括垂直于坐标轴的直线.
⑷截距式：已知直线在x 轴和y 轴上的截距为,a b ,则直线方程为1
x
y a
b
+
=,它不包括垂直于坐标
轴的直线和过原点的直线.⑸一般式：任何直线均可写成0Ax By C ++=(,A B 不同时为0)的形式. 提醒：⑴直线方程的各种形式都有局限性.(如点斜式不适用于斜率不存在的直线,还有截距式呢？)
⑵直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等⇔直线的斜率为1-或直线过原点；直线两截距互为相反数⇔直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等⇔ 直线的斜率为1±或直线过原点. ⑶截距不是距离,截距相等时不要忘了过原点的特殊情形.
4.直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=的位置关系： ⑴平行⇔12210A B A B -=(斜率)且12210B C B C -≠(在y 轴上截距)； ⑵相交⇔12210A B A B -≠；(3)重合⇔12210A B A B -=且12210B C B C -=.
5.直线系方程：①过两直线1l ：1110A x B y C ++=,2l
：2220A x B y C ++=.交点的直线系方程可设为111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=；②与直线:0l Ax By C ++=平行的直线系方程可设为
0()Ax By m m c ++=≠；③与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线系方程可设为0Bx Ay n -+=.
6.点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离公式
d =
；
两条平行线10Ax By C ++=与20Ax By C ++=的距离是
d =
.
8.设三角形ABC ∆三顶点11(,)A x y ,22(,)B x y ,33(,)C x y ,则重心
123123
(
,)33x x x y y y G ++++；
9.⑴圆的标准方程：222
()()x a y b r -+-=.
⑵圆的一般方程： 22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->.特别提醒：只有当2240D E F +->时,
方程22
0x y Dx Ey F ++++=才表示圆心为22(,)D
E
--,的圆(二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆0A C ⇔=≠,且
220,40B D E AF =+->). ⑶圆的参数方程：cos sin x a r y b r θ
θ
=+⎧⎨
=+⎩(θ为参数),其中圆心为(,)a b ,半径为r .圆的参数方程主要
应用是三角换元：
222cos ,sin x y r x r y r θθ+=→==； 10.点和圆的位置关系的判断通常用几何法(计算圆心到直线距离).点00(,)P x y 及圆的方程
222()()x a y b r -+-=.①
222
00()()x a y b r -+->⇔点P 在圆外； ②22200()()x a y b r -+-<⇔点P 在圆内；③222
00()()x a y b r -+-=⇔点P 在圆上.
11.过圆外一点作圆的切线,一定有两条,如果只求出了一条,那么另外一条就是与x 轴垂直的直线.
12.直线与圆的位置关系,通常转化为圆心距与半径的关系,或者利用垂径定理,构造直角三角形解决弦长问题.①d r >⇔相离 ②d r =⇔相切 ③d r <⇔相交
13.圆与圆的位置关系,经常转化为两圆的圆心距与两圆的半径之间的关系.设两圆的圆心距为d ,
两圆的半径分别为,r R ：d R r >+⇔两圆相离；d R r =+⇔两圆相外切； ||R r d R r -<<+⇔
两圆相交；||d R r =-⇔两圆相内切； ||d R r <-⇔两圆内含；0d =⇔两圆同心.
14.过圆1C ：221110x y D x E y F ++++=,2C ：222220x y D x E y F ++++=交点的圆(相交弦)系方程为
2222111222()()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=.1λ=-时为两圆相交弦所在直线方程. 15.解决直线与圆的关系问题时,要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距
构成 直角三角形,切线长定理、割线定理、弦切角定理等等).
16.求解线性规划问题的步骤是：(1)根据实际问题的约束条件列出不等式；(2)作出可行域,写出目标函数(判断几何意义)；(3)确定目标函数的最优位置,从而获得最优解. 八.圆锥曲线方程
1.椭圆焦半径公式：设00(,)P x y 为椭圆
22
221(0)x y a b a b +=>>上任一点,焦点为1(,0)F c -,2(,0)F c ,
则
1020
,PF a ex PF a ex =+=-(“左加右减”)；
2.双曲线焦半径：设00(,)P x y 为双曲线22
221(0,0)
x y a b a b -=>>上任一点,焦点为1(,0)F c -,2(,0)F c ,则：
⑴当P 点在右支上时,1020||,||PF a ex PF a ex =+=-+；⑵当P 点在左支上时,10||PF a ex =--,
20
||PF a ex =-；(e 为离心率).另：双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为22
2
20x y a b -=.
3.抛物线焦半径公式：设00(,)P x y 为抛物线2
2(0)y px p =>上任意一点,F 为焦点,则
2||p PF x =+；22(0)y px p =->上任意一点,F 为焦点，则0
2
||p
PF x =-+.
4.共渐近线
b
a
y x
=±
的双曲线标准方程为
22
22
x y a b λ-=(λ为参数,0λ≠).
5.两个常见的曲线系方程：共焦点的有心圆锥曲线系方程22
2
21x y a k b k +=--,其中
22max{,}k a b <.当22min{,}k a b <时,表示椭圆；当2222
min{,}max{,}a b k a b <<时,表示双曲线.
6.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB 12|AB x x -
12]|y y -(弦端点1122(,),(,)A x y B x y ,由方程(,)0
y kxc b F x y =+⎧⎨=⎩消去y 得到02
=++c bx ax ,0∆>,k 为斜率). 这里体现了解几中“设而不求”的思想；
7.椭圆、双曲线的通径(最短弦)为2
2b
a
,焦准距为
2
b
c
p =
,抛物线的通径为2p ,焦准距为p ；
双曲线
22
2
21(0,0)x y a b a b -=>>的焦点到渐近线的距离为
b ；
8.中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆,双曲线方程可设为
22
1Ax By +=(对于椭圆0,0A B >>)；
9.抛物线2
2(0)y px p =>的焦点弦（过焦点的弦）为
AB ,11(,)A x y 、22(,)B x y ,则有如下结论：
10.椭圆
22
2
21(0)x y a b a b
+=>>左焦点弦12||2()AB a e x x =++,右焦点弦12||2()AB a e x x =-+.
11.对于2
2(0)y px p =≠抛物线上的点的坐标可设为
20
0(
,)2y y p
,以简化计算.
12.圆锥曲线中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.在椭圆22
22
1x y a b +=中,以00(,)P x y 为中点的弦所在直线斜率
2020
b x k a y =-
；在双曲线
22
221x y a b -=中,以00(,)
P x y 为中点
的弦在直线斜率2
20
b x k a y =
；在抛物线22(0)y px p =>中,以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率0
p
y k =
.
13.求轨迹方程的常用方法：
⑴直接法：直接通过建立x 、y 之间的关系，构成(,)0F x y =,是求轨迹的最基本的方法.
⑵待定系数法：可先根据条件设所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数,代回所列的方程即可. ⑶代入法(相关点法或转移法). ⑷定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义,则可由曲线的定义直接写出方程. 九.直线、平面、简单几何体
1.异面直线所成角的求法：⑴平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点,作另一条的平行线. ⑵补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体,如正方体、平行六面体、长方体等,其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；
2.直线与平面所成角：过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段,是产生线面角的关键.
3.空间距离的求法：求点到平面的距离,一是用垂面法,借助面面垂直的性质来作.因此,确定已知面的垂面是关键；二是不作出公垂线,转化为求三棱锥的高,利用等体积法列方程求解.
4.正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长；
5.球的体积公式
3
43
V R π=
,表面积公式2
4S R π=；掌握球面上两点A 、B 间的距离求法：
⑴计算线段AB 的长；⑵计算球心角AOB ∠的弧度数；⑶用弧长公式计算劣弧AB 的长. 十一.概率与统计
1.掌握抽样的三种方法：⑴简单随机抽样(包括抽签法和随机数表法)；⑵系统抽样,也叫等距 抽样；⑶分层抽样(按比例抽样),常用于某个总体由差异明显的几部分组成的情形.它们的共同点都是等概率抽样.对于简单随机抽样的概念中,“每次抽取时的各个个体被抽到的概率相等”.如从含有N 个个体的总体中,采用随机抽样法,抽取n 个个体,则每个个体第一次被抽到的概率为
1N
,第二次被抽到的概率为1
N ,…,故每个个体被抽到的概率为n N
,即每个个体入样的概率为n
N
. 5.总体分布的估计：用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法,一般地,样本容量越大, 这种估计就越精确,要求能画出频率分布表和频率分布直方图；⑴学会用样本平均数
121
11
()n n
i
i x n
n x x x x =∑=++⋅⋅⋅+=去估计总体平均数；⑵会用样本方差
222121
[()()n
S x x x x =-+-+
22221
1
1
1
()]()()
n
n
n i i i i n n x x x x x nx ==∑∑⋅⋅⋅+-=-=-去估计总体方差和总体标准方差；
6.等可能事件的概率公式：⑴()n
m
P A =
； ⑵互斥事件有一个发生的概率公式为：()P A B += ()()P A P B +；⑶相互独立事件同时发生的概率公式为()()()P AB P A P B =； 十二.导数
1.导数的定义：()f x 在点0x 处的导数记作0
0000()()
()lim x x x f x x f x x y f x =∆→+∆-∆''==.
2.函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义是指：曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处切线的斜率,
即曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线的斜率是0()f x ',切线方程为000()()()y f x f x x x '
-=-.
5.常见函数的导数公式:0C '=(C 为常数)；1()()n n x nx n Q -'=∈.(sin )cos x x '
=；(cos )sin x x '=-； ()ln x x a a a '=；()x x e e '=；1
(log )log a a x x e '=.1(ln )x
x '=
6.导数的四则运算法则：()u v u v '''±=±；()uv u v uv '''=+；2
()u u v uv v
v
''-'=
.
7.复合函数的导数：x u x y y u '''
=⋅.
8.导数的应用：
(1)利用导数判断函数的单调性：设函数()y f x =在某个区间内可导,如果()0f x '>,那么()
f x 为增函数；如果()0f x '
<,那么()f x 为减函数；如果在某个区间内恒有()0f x '=,那么()f x 为常数；
(2)求可导函数极值的步骤：①求导数)(x f '；②求方程0)(='x f 的根；③列表：检验)(x f '在方程0)(='x f 根的左右的符号，如果左正右负,那么函数()y f x =在这个根处取得最大值；如果左负右正,那么函数()y f x =在这个根处取得最小值；
(3)求可导函数最大值与最小值的步骤：①求()y f x =在(,)a b 内的极值；②将()y f x =在各极值点点的极值与()f a 、()f b 比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.
十三.复数
1.理解复数、实数、虚数、纯虚数、模的概念和复数的几何表示.
2.熟练掌握与灵活运用以下结论：⑴a bi c di a c +=+⇔=且(,,,)c d a b c d R =∈；⑵复数是
实数的条件：①0(,)z a bi R b a b R =+∈⇔=∈；②z R z z ∈⇔=；③2
0z R z ∈⇔≥. 3.复数是纯虚数的条件: ①z a bi =+是纯虚数0a ⇔=且0(,)b a b R ≠∈； ②z 是纯虚数 0(0)z z z ⇔+=≠；③z 是纯虚数2
0z ⇔<.
4.⑴复数的代数形式：z a bi =+；⑵复数的加、减、乘、除运算按以下法则进行：设1z a bi =+, 2(,,,)z c di a b c d R =+∈,则12()()z z a c b d i +=+++,12()()()()z z a bi c di ac bd ad bc i =++=-++,
5.几个重要的结论：⑴2(1)2i i ±=±；⑵11i i i +-=,11i
i i -+=-；⑶
1230()n n n n i i i i n N ++++++=∈； 十四.注意答题技巧训练
1.技术矫正：考试中时间分配及处理技巧非常重要,有几点需要必须提醒同学们注意： ⑴按序答题,先易后难.一定要选择熟题先做、有把握的题目先做.
⑵不能纠缠在某一题、某一细节上,该跳过去就先跳过去,千万不能感觉自己被卡住,这样会心慌， 影响下面做题的情绪.
⑶避免“回头想”现象,一定要争取一步到位,不要先做一下,等回过头来再想再检查,高考时间较紧张,也许待会儿根本顾不上再来思考.
⑷做某一选择题时如果没有十足的把握,初步答案或猜估的答案必须先在卷子上做好标记,有时间再推敲,不要空答案,否则要是时间来不及瞎写答案只能增加错误的概率.
2.规范化提醒：这是取得高分的基本保证.规范化包括：解题过程有必要的文字说明或叙述,注意解完后再看一下题目,看你的解答是否符合题意,谨防因解题不全或失误,答题或书写不规范而失分.总之,要吃透题“情”,合理分配时间,做到一准、二快、三规范.特别是要注意解题结果的规范化. ⑴解与解集：方程的结果一般用解表示(除非强调求解集)；不等式、三角方程的结果一般用解集(集合或区间)表示.三角方程的通解中必须加k Z ∈.在写区间或集合时,要正确地书写圆括号、方括号或大括号,区间的两端点之间、集合的元素之间用逗号隔开.
⑵带单位的计算题或应用题,最后结果必须带单位,解题结束后一定要写上符合题意的“答”. ⑶分类讨论题,一般要写综合性结论.
⑷任何结果要最简.如
21
4
2
=
=
.
⑹函数问题一般要注明定义域(特别是反函数).
⑺参数方程化普通方程,要考虑消参数过程中最后的限制范围.
⑻轨迹问题：①轨迹与轨迹方程的区别：轨迹方程一般用普通方程表示,轨迹则需要说明图形形状.②有限制条件的必须注明轨迹中图形的范围或轨迹方程中x 或y 的范围. ⑼分数线要划横线,不用斜线.
3.考前寄语：①先易后难,先熟后生；②一慢一快：审题要慢,做题要快；③不能小题难做,小题大做, 而要小题小做,小题巧做；④我易人易我不大意,我难人难我不畏难；⑤考试不怕题不会,就怕会题做不对；⑥基础题拿满分,中档题拿足分,难题力争多得分,似曾相识题力争不失分；⑦对数学解题
有困难的考生的建议：立足中下题目,力争高上水平,有时“放弃”是一种策略.。