北航结构优化设计课程总结2

结构优化课程总结
结构优化的课程首先介绍了结构优化的概念。

在工程师设计各种结构时，他们所设计的结构必须足够安全且拥有足够的强度，以保证能实现结构的所有功能，同时又要满足机械要求和减少成本，因此工程师要综合考虑各种因素。

工程上，一般只会有更适合的设计而不会存在最好的设计，而通过考虑各种限制来寻求最适合的设计的过程，就称为结构优化。

优化的概念源自于数学，简单来说，就是指寻求各种问题、设计的最优解。

优化问题是建立在数学理论和方法的基础上的，我们课程中所提及的结构优化问题基本上都是以非线性数学规划问题显示的，一般表述如下所示： min f (x )
s.t. g j (x )≤0 j =1，···，m
式中，X ={x 1，x 2，…，x n }T
是设计变量，f (x )是目标函数，g j (x )≤0是约束，m 是变量的总数，g j (x )是约束函数。

该问题的意思就是在X 的可行域内，寻求得一组X ={x 1，x 2，…，x n }T 能够使f (x )取得最小值，同时也满足所有的约束条件g j (x )≤0。

关于数学规划，有一些基本的概念与理论。

课上介绍了关于凸集的概念。

对于一个集合S (S ⊆E n )，如果对于其中的任意两个点X 1和X 2，满足下式：
λX 1+(1−λ)X 2⊆S 0≤λ≤1
则称集合S 为凸集。

类似的还有凸函数的定义：对于一个定义在凸集上的函数f (x )，如果满足f [λX 1+(1−λ)X 2]≤λf (X 1)+(1−λ)f (X 2),(0≤λ≤1)，则称其为凸函数；如果满足f [λX 1+(1−λ)X 2]<λf (X 1)+(1−λ)f (X 2),(0<λ<
1)，则称其为严格凸函数。

对于一个数学规划问题，若它的可行域R 是一个凸集，而且它的目标函数是一个凸函数，那么该问题就可以称为是凸规划。

接下来引入了库恩-塔克条件的概念。

对于一个非线性数学规划问题，如果
f (x )和
g j (x )是不同的，而X ̅∈R 是该问题的解，则必然存在一组拉格朗日算子λ=
{λ1,λ2,…,λm }T ，满足下列要求： (NLP)
ðf(X̅)ðx i +∑λjðg j(X̅)
ðx i
m
j=1
=0 i=1,2,…,n
g j(X̅)λj=0 j=1,2,…,m
g j(X̅)≤0
λj≥0
库恩-塔克条件是非线性规划领域中最重要的理论成果之一，是确定某点为极值点的必要条件；但一般来讲它并不是充分条件，因此满足这一条件的点并非一定就是极值点。

但是对于凸规划，库恩-塔克条件是极值点存在的充分必要条件。

与传统的结构设计相比，结构优化旨在寻求在各种需求与约束条件下结构设计问题的最优解，它将数学规划的理论和结构分析的方法结合起来进行寻优，在结构分析过程中，通常会使用有限元的方法，这样能让最终优化结果更少依赖人的直觉。

结构优化的典型数学模型里，一般会有目标函数、约束函数与设计变量，而设计变量又会包括截面变量、形状变量和拓扑变量等。

在结构优化问题中，一般约束函数都是隐函数，而且约束和变量都是大量的，它的计算过程基本都需要利用计算机进行自动计算。

在第二章和第三章中，介绍了有限元法和连续体元素的建立。

结构分析是为了计算在各种工况和环境条件下结构的响应情况，包括位移、应力和振动等，以此来获得结构的刚度、强度和共振频率等有效性参数，用来检验结构的安全性。

有限元法是一种用于获取各种工程问题近似解的数值分析技术，它最初开发用于研究复杂机身结构中的应力，现在扩展并应用于连续介质力学的广泛领域。

有限元法的基本步骤有：1.离散化（元素划分与编号，必须满足协调性要求）；2.选择差值函数；3.单元分析，找出单元属性（单元刚度矩阵）；4.整体分析，组合单元属性以建立系统刚度矩阵；5求解整体方程。

在基本地介绍完有限元方法后，又简要介绍连续结构力学的基本概念和经典理论及其在有限元方法中的应用，因为对于更加常见的工程结构来说，我们应该采用连续体元素来进行计算。

( KT )。