黑龙江省大兴安岭地区2021届新高考数学第二次调研试卷含解析

黑龙江省大兴安岭地区2021届新高考数学第二次调研试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若双曲线C ：2
21x y m
-=的一条渐近线方程为320x y +=，则m =（ ）
A ．
49
B ．
94
C ．
23
D ．
32
【答案】A 【解析】 【分析】
根据双曲线的渐近线列方程，解方程求得m 的值. 【详解】
由题意知双曲线的渐近线方程为()0y x m
=>，320x y +=可化为3
2
y x =-32=，解得4
9
m =
. 故选：A 【点睛】
本小题主要考查双曲线的渐近线，属于基础题.
2．已知双曲线22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的左、右顶点分别为1A ，2A ，虚轴的两个端点分别为1B ，
2B ，若四边形1122A B A B 的内切圆面积为18π，则双曲线焦距的最小值为（ ）
A ．8
B ．16
C ．
D ．
【答案】D 【解析】 【分析】
根据题意画出几何关系，由四边形1122A B A B 的内切圆面积求得半径，结合四边形1122A B A B 面积关系求得
c 与ab 等量关系，再根据基本不等式求得c 的取值范围，即可确定双曲线焦距的最小值.
【详解】
根据题意，画出几何关系如下图所示：
设四边形1122A B A B 的内切圆半径为r ，双曲线半焦距为c ， 则21,,OA a OB b == 所以2221A B a b c =
+=，
四边形1122A B A B 的内切圆面积为18π， 则218r ππ=，解得32OC r ==
则112212122111
422
A B A B S A A B B A B OC =
⋅⋅=⨯⋅⋅四边形， 即11
2243222
a b c ⋅⋅=⨯⋅⋅故由基本不等式可得22
22323262
a b c +=≤=，即62c ≥， 当且仅当a b =时等号成立. 故焦距的最小值为122故选：D 【点睛】
本题考查了双曲线的定义及其性质的简单应用，圆锥曲线与基本不等式综合应用，属于中档题.
3．已知平面向量,a b r r 满足||||a b =r r
，且2)a b b -⊥r r ，则,a b r r 所夹的锐角为（ ）
A ．
6
π B ．
4
π C ．
3
π D ．0
【答案】B 【解析】 【分析】
根据题意可得2)0a b b -⋅=r r
，利用向量的数量积即可求解夹角.
因为))0b b b b -⊥⇒-⋅=r r r r
2
||b b ⋅=r r
而2cos ,2||||||
a b a b a b a b b ⋅⋅===⋅r r r r r r r r r
所以,a b r
r 夹角为4
π
故选：B 【点睛】
本题考查了向量数量积求夹角，需掌握向量数量积的定义求法，属于基础题.
4．已知函数()sin3cos3f x x x =-，给出下列四个结论：①函数()f x
的值域是⎡⎣；②函数
4f x π⎛⎫+ ⎪⎝
⎭为奇函数；③函数()f x 在区间,32ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦单调递减；④若对任意x ∈R ，都有
()()()12f x f x f x ≤≤成立，则12x x -的最小值为3
π
；其中正确结论的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C 【解析】 【分析】
化()f x
)4x π
-
可判断①，求出4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的解析式可判断②，由,32x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
得
353[
,]444
x π
ππ
-
∈，结合正弦函数得图象即可判断③，由
()()()12f x f x f x ≤≤得12min 2
T
x x -=可判断④.
【详解】 由题意，(
))4f x x π=
-，所以()f x
∈⎡⎣，故①正确；4f x π⎛⎫+= ⎪⎝
⎭
)]44x ππ+-
=)2x π+
=x 为偶函数，故②错误；当,32x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，353[
,]4
44
x π
ππ
-
∈，()f x 单调递减，故③正确；若对任意x ∈R ，都有 ()()()12f x f x f x ≤≤成立，则1x 为最小值点，2x 为最大值点，则12x x -的最小值为
23
T π
=，故④正确.
【点睛】
本题考查三角函数的综合运用，涉及到函数的值域、函数单调性、函数奇偶性及函数最值等内容，是一道较为综合的问题.
5．已知()21,+=-∈a i bi a b R ，其中i 是虚数单位，则z a bi =-对应的点的坐标为（ ） A ．()12,- B ．()21,-
C ．()1,2
D ．()2,1
【答案】C 【解析】 【分析】
利用复数相等的条件求得a ，b ，则答案可求． 【详解】
由21a i bi +=-，得1a =，2b =-．
z a bi ∴=-对应的点的坐标为(a ，)(1b -=，2)．
故选：C ． 【点睛】
本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数相等的条件，是基础题． 6．已知命题p ：“a b >”是“22a b >”的充要条件；:q x ∃∈R ，|1|x x +≤，则（ ） A ．()p q ⌝∨为真命题 B ．p q ∨为真命题 C ．p q ∧为真命题 D ．()p q ∧⌝为假命题
【答案】B 【解析】 【分析】
由2x
y =的单调性，可判断p 是真命题；分类讨论打开绝对值，可得q 是假命题，依次分析即得解 【详解】
由函数2x
y =是R 上的增函数，知命题p 是真命题．
对于命题q ，当10x +≥，即1x ≥-时，11x x x +=+>； 当10x +<，即1x <-时，11x x +=--， 由1x x --≤，得1
2
x =-，无解，
因此命题q 是假命题．所以()p q ⌝∨为假命题，A 错误；
p q ∨为真命题，B 正确；
p q ∧为假命题，C 错误；
()p q ∧⌝为真命题，D 错误．
故选：B 【点睛】
本题考查了命题的逻辑连接词，考查了学生逻辑推理，分类讨论，数学运算的能力，属于中档题.
7．已知a b r r ，满足23a =r ，3b =r ，6a b ⋅=-r r ,则a r 在b r 上的投影为（ ）
A ．2-
B ．1-
C ．3-
D ．2
【答案】A 【解析】 【分析】
根据向量投影的定义，即可求解. 【详解】
a r 在
b r 上的投影为
6cos 23a b a b
θ⋅-===-r
r r r . 故选:A 【点睛】
本题考查向量的投影，属于基础题.
8．运行如图所示的程序框图，若输出的值为300，则判断框中可以填（ ）
A ．30i >?
B ．40i >?
C ．50i >?
D ．60i >?
【答案】B 【解析】 【分析】
由30020010203040=++++，则输出为300，即可得出判断框的答案 【详解】
由30020010203040=++++，则输出的值为300，401050i =+=，故判断框中应填40i >？ 故选：B ．
【点睛】
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题． 9．已知函数()ln f x x =，()()23g x m x n =++，若()0,x ∀∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立.记
()23m n +的最小值为(),F m n ，则(),F m n 的最大值为（ ）
A ．1
B ．
1
e
C ．
21e
D ．
31e
【答案】C 【解析】 【分析】
根据()0,x ∀∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立可构造函数()()ln 23h x x m x n =-+-,求导后分情况讨论
()h x 的最大值可得最大值最大值()1ln 23123h m n m ⎛⎫
=-+-- ⎪+⎝⎭
,
即()ln 2310m n -+--≤.根据题意化简可得()()()2323ln 231m n m m +≥+-+-⎡⎤⎣⎦,求得
()()(),23ln 231F m n m m =+-+-⎡⎤⎣⎦,再换元求导分析最大值即可.
【详解】
由题, ()0,x ∀∈+∞总有()ln 23x m x n ≤++即()ln 230x m x n -+-≤恒成立. 设()()ln 23h x x m x n =-+-,则()h x 的最大值小于等于0. 又()()1
'23h x m x
=
-+, 若230m +≤则()'0h x >,()h x 在()0,∞+上单调递增, ()h x 无最大值. 若230m +>,则当123x m >
+时,()
'0h x <,()h x 在1,23m ⎛⎫
+∞ ⎪+⎝⎭
上单调递减, 当1023x m <<
+时,()'0h x >,()h x 在10,23m ⎛⎫ ⎪+⎝⎭
上单调递增.
故在123x m =
+处()h x 取得最大值()11ln 1ln 2312323h n m n m m ⎛⎫=--=-+-- ⎪
++⎝⎭
. 故()ln 2310m n -+--≤,化简得()()()2323ln 231m n m m +≥+-+-⎡⎤⎣⎦.
故()()(),23ln 231F m n m m =+-+-⎡⎤⎣⎦,令()23,0t m t =+>,可令()()ln 1k t t t =-+, 故()'ln 2k t t =--,当21t e >
时, ()'0k t <,()k t 在2
1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
递减；
当2
10t e <<
时, ()'0k t >,()k t 在21
0,e ⎛⎫
⎪⎝⎭
递增. 故在21t e =
处()h t 取得极大值,为222
21111
ln 1=k e e e e
⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故(),F m n 的最大值为21
e
. 故选：C 【点睛】
本题主要考查了根据导数求解函数的最值问题,需要根据题意分析导数中参数的范围,再分析函数的最值,进而求导构造函数求解()23m n +的最大值.属于难题.
10．过双曲线22
221x y a b
-= (0,0)a b >>的左焦点F 作直线交双曲线的两天渐近线于A ,B 两点，若B 为
线段FA 的中点，且OB FA ⊥（O 为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）
A B
C ．2
D 【答案】C 【解析】
由题意可得双曲线的渐近线的方程为b
y x a
=±. ∵B 为线段FA 的中点，OB FA ⊥ ∴OA OF c ==，则AOF ∆为等腰三角形. ∴BOF BOA ∠=∠
由双曲线的的渐近线的性质可得BOF xOA ∠=∠ ∴60BOF BOA xOA ∠=∠=∠=︒
∴
tan 60b
a
=︒=223b a =.
∴双曲线的离心率为22c
a
e a
a
==
== 故选C.
点睛：本题考查了椭圆和双曲线的定义和性质，考查了离心率的求解，同时涉及到椭圆的定义和双曲线的定义及三角形的三边的关系应用，对于求解曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式c
e a
=
；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范围)．
11．2019年10月1日，中华人民共和国成立70周年，举国同庆.将2,0,1,9,10这5个数字按照任意次序排成一行，拼成一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为
A ．96
B ．84
C ．120
D ．360
【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】
2,0,1,9,10按照任意次序排成一行，得所有不以0开头的排列数共444A 96=个，其中含有2个10的排列数共24A 12=个，所以产生的不同的6位数的个数为961284-=.故选B ．
12．在ABC ∆中，,2,BD DC AP PD BP AB AC λμ===+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
，则λμ+= （ ）
A ．13
- B ．
13
C ．12
-
D ．
12
【答案】A 【解析】 【分析】
先根据,2BD DC AP PD ==u u u r u u u r u u u r u u u r
得到P 为ABC ∆的重心，从而1133
AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，故可得
1133AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，利用BP AP AB =-uu r uu u r uu u r 可得23
BP AB AC =-+u u u r u u u
r u u u r ，故可计算λμ+的值．
【详解】
因为,2,BD DC AP PD ==u u u r u u u r u u u r u u u r
所以P 为ABC ∆的重心，
所以11311,22222AD AB AC AP AB AC =+∴=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,
所以1133AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ,
所以2133
BP AP AB AB AC =-=-+u u u r u u u r u u u r u u u
r u u u r ，因为BP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，
所以211
=,,333
λμλμ-=∴+=-，故选A ．
【点睛】
对于ABC ∆，一般地，如果G 为ABC ∆的重心，那么()
13
AG AB AC =+u u u r u u u r u u u r
，反之，如果G 为平面上一点，且满足()
13
AG AB AC =+u u u r u u u r u u u r
，那么G 为ABC ∆的重心． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知多项式(2)(1)m n x x ++=2012m n
m n a a x a x a x L ++++++满足01416a a ==，，则
m n +=_________，012m n a a a a +++++=L __________．
【答案】5 72 【解析】
∵多项式()
()
21m
n
x x ++= 2012m n
m n a a x a x a x ++++++L 满足01416a a ==，
∴令0x =，得0214m n
a ⨯==，则2m =
∴2(2)(1)(44)(1)m n n x x x x x ++=+++
∴该多项式的一次项系数为11
414116n n n n n n C C --+=
∴1
3n n
C -=
∴3n = ∴5m n +=
令1x =，得23
012(12)(11)72m n a a a a ++⨯+=+++⋅⋅⋅+=
故答案为5，72
14．某市高三理科学生有15000名，在一次调研测试中，数学成绩ξ服从正态分布(
)2
100N σ
，，已知
()801000.40P ξ<≤=，若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析，则应从120分以上的试卷中
抽取的份数为__________. 【答案】10 【解析】 【分析】
由题意结合正态分布曲线可得120分以上的概率，乘以100可得. 【详解】 解：1
(120)[12(80100)]0.102
P P ξξ≥=
-<≤=， 所以应从120分以上的试卷中抽取1000.1010⨯=份. 故答案为：10. 【点睛】
本题考查正态分布曲线，属于基础题.
15．若3
2
2
(cos )a x x dx π
π-=+⎰，则5
(x 的展开式中含x 的项的系数为_______. 【答案】80- 【解析】 【分析】
首先根据定积分的应用求出a 的值,进一步利用二项式的展开式的应用求出结果. 【详解】
(
)
2
2
3
42
2
1cos sin 24a x x dx x x π
π
π
π--
⎛⎫=
+=+= ⎪⎝⎭⎰Q ，
55
x x ⎛
⎛∴= ⎝
⎝
根据二项式展开式通项：455315
5()(2)r
r r
r
r r
r T C x C x --+=⋅=⋅-⋅， 令4
513
r -
=，解得3r =， 所以含x 的项的系数33
5(2)80C -=-.
故答案为：80- 【点睛】
本题考查定积分，二项式的展开式的应用,主要考查学生的运算求解能力,属于基础题.
16．已知2
24()ln ,()()
e f x x g x x a ==-，如果函数
()()()h x f x g x =-有三个零点，则实数a 的取值范围是____________ 【答案】()3,e +∞ 【解析】 【分析】
首先把零点问题转化为方程问题，等价于2
24ln ()e x x a =-
有三个零点，两侧开方，可得x a =±
a x =. 【详解】
若函数()()()h x f x g x =-有三个零点，即224ln ()e x x a =-零点有，显然1x >，则有22
4()ln e a x x
-=，可
得x a =
a x =±(
)g x x =±(
)g x x =，函
数单调递增，
0g
=
<，()
220g e e e =->，所以函数在区间()1,+∞上只有一解，对于
函数(
)g x x =+()()3
2'ln 10x g x e x
-=-=，解得x e =，()'0g x <，解得1x e <<，()'0g x >，解得x e >，所以函数在区间()1,e 上单调递减，在区间(),e +∞上单调递增，()23g e e e e =+=，当1x →时，()g x →+∞，当x →+∞时，()g x →+∞，此时函数若有两个零点，则有3a e >，综上可知，若
函数()()()h x f x g x =-有三个零点，则实数a 的取值范围是()3,e +∞. 故答案为：()3,e +∞ 【点睛】
本题考查了函数零点的零点，恰当的开方，转化为函数有零点问题，注意恰有三个零点条件的应用，根据函数的最值求解参数的范围，属于难题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足πsin sin 3c A a C ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
. （Ⅰ）求角C 的大小；
（Ⅱ）若ABC V 的面积为1a b -=，求c 和()cos 2A C -的值.
【答案】（Ⅰ）3π
；（Ⅱ）c =，()6
os 22c 1A C -=
. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）运用正弦定理和二角和的正弦公式，化简πsin sin 3c A a C ⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
，即可求出角C 的大小； （Ⅱ）通过面积公式和 1a b -=，可以求出,a b ，这样用余弦定理可以求出c ，用余弦定理求出cos A ，根据同角的三角函数关系，可以求出sin A ，这样可以求出sin 2,cos 2A A ,最后利用二角差的余弦公式求出()cos 2A C -的值. 【详解】
（Ⅰ）由正弦定理可知：sin sin a c A C =,已知πsin sin 3c A a C ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，所以
sin sin sin (sin cos
cos sin )33
C A A C C π
π
⋅=⋅⋅+⋅，(0,)sin 0A A π∈∴≠Q ,
所以有sin tan 3
C C C C π
=⇒=⇒=
.
（Ⅱ）41
sin 12,132a S ab C ab a b b =⎧=⋅==-=⇒⎨
=⎩
，由余弦定理可知：
2
2
2
2cos 13c a b ab C c =+-⋅=⇒=222cos sin 21313
b c a A A bc +-==⇒==
,
211
sin 22sin cos 22cos 113
A A A A A =⋅=
=-=-,
()cos 2cos 2cos sin 2s 1111
132i 6
n 2A C A C A C -
⨯+=+⋅=
-⋅=.
本题考查了正弦定理、余弦定理、面积公式、二倍角公式、二角差的余弦公式以及同角的三角函数关系，考查了运算能力.
18．已知0,0a b >>，函数()2f x x a x b =++-的最小值为1． （1）证明：22a b +=．
（2）若2a b tab +≥恒成立，求实数t 的最大值． 【答案】（1）2；（2）9
2
【解析】
分析：（1）将()2f x x a x b =++-转化为分段函数，求函数的最小值 （2）分离参数，利用基本不等式证明即可． 详解：（Ⅰ）证明：2
b a -<
Q ()3,,23,2x a b x a b f x x a b a x b x a b x ⎧
⎪--+<-⎪
⎪∴=-++-≤≤⎨⎪
⎪
+->⎪⎩
，显然()f x 在,2b ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，在,2b ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，
所以()f x 的最小值为122b b f a ⎛⎫
=+=
⎪⎝⎭
，即22a b +=． （Ⅱ）因为2a b tab +≥恒成立，所以
2a b
t ab
+≥恒成立， ()2121121229
25+222
a b a b a b ab b a b a b a +⎛⎫⎛⎫≥+=++=+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当23a b ==
时，2a b ab +取得最小值9
2
， 所以92t ≤，即实数t 的最大值为9
2
．
点睛：本题主要考查含两个绝对值的函数的最值和不等式的应用，第二问恒成立问题分离参数，利用基本不等式求解很关键，属于中档题． 19．已知函数()(
)1e x
f x x a =+-，a R ∈.
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）当1a ≥时，证明：()ln 1f x a a a -+≤. 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】
（1）求导得()1e x
f x a ='-，分类讨论0a ≤和0a >，利用导数研究含参数的函数单调性；
（2）根据（1）中求得的()f x 的单调性，得出()f x 在ln x a =-处取得最大值为
()1ln ln 1ln 1f a a a a a a ⎛⎫
-=-+-=-- ⎪⎝⎭
，构造函数()ln 1ln g a a a a a a =---+，利用导数，推出
()()11g a g ≤=，即可证明不等式.
【详解】
解：（1）由于()(
)1e
x
f x x a =+-，得()1e x
f x a ='-，
当0a ≤时，()0f x '>，此时()f x 在R 上递增； 当0a >时，由()0f x '=，解得ln x a =-， 若(),ln x a ∈-∞-，则()0f x '>， 若()ln ,x a ∈-+∞，()0f x '<，
此时()f x 在(),ln a -∞-递增，在()ln ,a -+∞上递减. （2）由（1）知()f x 在ln x a =-处取得最大值为：
()1ln ln 1ln 1f a a a a a a ⎛⎫
-=-+-=-- ⎪⎝⎭
，
设()ln 1ln g a a a a a a =---+，则()1
1ln g a a a
'=-
-， 令()11ln h a a a =-
-，则()211
0h a a a
'=-≤， 则()h a 在[
)1,+∞单调递减，∴()()10h a h ≤=， 即()0g a '≤，则()g a 在[
)1,+∞单调递减 ∴()()11g a g ≤=， ∴()ln ln 1f a a a a --+≤， ∴()ln 1f x a a a -+≤. 【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，涉及分类讨论和构造新函数，通过导数证明不等式，考查转化思想和计算能力.
20．已知函数()2
x ax f x e
=，直线1y x e =为曲线()y f x =的切线（e 为自然对数的底数）．
（1）求实数a 的值；
（2）用{}min ,m n 表示,m n 中的最小值，设函数()()()1min ,0g x f x x x x ⎧⎫=->⎨⎬⎩
⎭，若函数
()()2h x g x cx =-为增函数，求实数c 的取值范围．
【答案】（1）01a x ==；（2）31,2e ⎛
⎤-∞- ⎥⎝⎦
. 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：（1）先求导，然后利用导数等于1
e
求出切点的横坐标，代入两个曲线的方程，解方程组，可求得01a x ==；（2）设()f x 与1
x x
-
交点的横坐标为0x ，利用导数求得()()0201,01min ,{,x x x x x g x f x x x x x x e -<≤⎧⎫=-=⎨⎬⎩⎭>，从而()()20
2
2
2
01,0{,x x cx x x x h x g x cx x cx x x e
--<≤=-=->，然后利用()'0h x ≥求得c 的取值范围为31,2e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦
. 试题解析：
（1）对()f x 求导得()()
()2222?··x x
x x x x xe x e f x a a e e --=='． 设直线1
y x e
=
与曲线()y f x =切于点()00,P x y ，则 ()00200001
{21
·x x ax x e e x x a e e
=-=，解得01a x ==，
所以a 的值为1．
（2）记函数()()211,0x x F x f x x x x x e x ⎛
⎫=--=-+> ⎪⎝
⎭，下面考察函数()y F x =的符号，
对函数()y F x =求导得()()2
21
1,0x
x x F x x e x -=
--
>'． 当2x ≥时，()0F x '<恒成立．
当02x <<时，()()2
2212x x x x +-⎡⎤
-≤=⎢⎥⎣⎦
，
从而()()222221*********x
x x x F x e x e x x x
-=
--
≤--<--=-<'． ∴()0F x '<在()0,∞+上恒成立，故()y F x =在()0,∞+上单调递减．
()()2143
10,202
F F e e =
>=-<，∴()()120F F <， 又曲线()y F x =在[]1,2上连续不间断，所以由函数的零点存在性定理及其单调性知∃唯一的()01,2x ∈，使()00F x =．
∴()()00,,0x x F x ∈>；()0,x x ∈+∞，()0F x <，
∴()()0
2
01
,01min ,{
,x
x x x x g x f
x x x x x x e -<≤⎧
⎫=-=⎨⎬⎩
⎭>， 从而()()202
2
201
,0{
,x x cx x x x
h x g x cx x cx x x e
-
-<≤=-=->，
∴()()
20
1
12,0{22,x cx x x x
h x x x cx x x e
+-<<-->'=，
由函数()()2
h x g x cx =-为增函数，且曲线()y h x =在()0,∞+上连续不断知()0h x '≥在()00,x ，
()0,x +∞上恒成立．
①当0x x >时，()220x
x x cx e
--≥在()0,x +∞上恒成立，即22x x
c e -≤在()0,x +∞上恒成立， 记()02,x x u x x x e -=
>，则()03
,x
x u x x x e
'-=>， 当x 变化时，()(),u x u x '变化情况列表如下：
∴()()()3min 3u x u x u e
极小===-， 故“22x x c e -≤
在()0,x +∞上恒成立”只需()3min
1
2c u x e ≤=-，即3
12c e ≤-． ②当00x x <<时，()21
12h x cx x
-'=+，当0c ≤时，()0h x '>在()00,x 上恒成立，
综合①②知，当312c e
≤-时，函数()()2
h x g x cx =-为增函数．
故实数c 的取值范围是31,2e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦
考点：函数导数与不等式. 【方法点晴】
函数导数问题中，和切线有关的题目非常多，我们只要把握住关键点：一个是切点，一个是斜率，切点即在原来函数图象上，也在切线上；斜率就是导数的值.根据这两点，列方程组，就能解决.本题第二问我们
采用分层推进的策略，先求得()()()1min ,0g x f x x x x ⎧⎫=->⎨⎬⎩
⎭的表达式，然后再求得()h x 的表达式，
我们就可以利用导数这个工具来求c 的取值范围了.
21．对于非负整数集合S （非空），若对任意,x y S ∈，或者x y S +∈，或者x y S -∈，则称S 为一个好集合．以下记S 为S 的元素个数．
（1）给出所有的元素均小于3的好集合．（给出结论即可） （2）求出所有满足4S =的好集合．（同时说明理由）
（3）若好集合S 满足2019S =，求证：S 中存在元素m ，使得S 中所有元素均为m 的整数倍． 【答案】（1）{0}，{0,1}，{0,2}，{0,1,2}．（2）{0,,,}b c b c +；证明见解析．（3）证明见解析． 【解析】 【分析】
（1）根据好集合的定义列举即可得到结果；
（2）设{},,,S a b c d =，其中a b c d <<<，由0S ∈知0a =；由0d c S <-∈可知d c c -=或d c b -=，分别讨论两种情况可的结果；
（3）记1009n =，则21S n =+，设{}1220,,,,n S x x x =⋅⋅⋅，由归纳推理可求得()1i x im i n =≤≤，从而得到22n M x nm ==，从而得到S ，可知存在元素m 满足题意. 【详解】
（1）{}0，{}0,1，{}0,2，{}0,1,2． （2）设{},,,S a b c d =，其中a b c d <<<， 则由题意：d d S +∉，故0S ∈，即0a =，
考虑,c d ，可知：0d c S <-∈，d c c ∴-=或d c b -=， 若d c c -=，则考虑,b c ，
2c b c c d <+<=Q ，c b S ∴-∈，则c b b -=，
{},,2,4S a b b b ∴=，但此时3b ，5b S ∉，不满足题意；
若d c b -=，此时{}0,,,S b c b c =+，满足题意，
{0,,,}S b c b c ∴=+，其中,b c 为相异正整数．
（3）记1009n =，则21S n =+，
首先，0S ∈，设{}1220,,,,n S x x x =⋅⋅⋅，其中1220n x m x x M <=<<⋅⋅⋅<=， 分别考虑M 和其他任一元素i x ，由题意可得：i M x -也在S 中，
而212210,n n M x M x M x M --<-<-<⋅⋅⋅<-<，()21i n i M x x i n -∴-=≤≤，
2
n M
x ∴=
， 对于1i j n ≤<≤，考虑2n i x -，2n j x -，其和大于M ，故其差22n i n j j i x x x x S ---=-∈， 特别的，21x x S -∈，2122x x m ∴==，
由31x x S -∈，且1313x x x x <-<，3213x x x m ∴=+=， 以此类推：()1i x im i n =≤≤，
22n M x nm ∴==，此时(){}0,,2,,,1,,2S n m nm n m nm =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅，
故S 中存在元素m ，使得S 中所有元素均为m 的整数倍． 【点睛】
本题考查集合中的新定义问题的求解，关键是明确已知中所给的新定义的具体要求，根据集合元素的要求进行推理说明，对于学生分析和解决问题能力、逻辑推理能力有较高的要求，属于较难题.
22．如图，已知在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，E F G ，，分别为AC PA PB ，，的中点，且
2AC BE =.
（1）求证：PB BC ⊥；
（2）设平面EFG 与BC 交于点H ，求证：H 为BC 的中点. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】
（1）要做证明PB BC ⊥，只需证明BC ⊥平面PAB 即可；
（2）易得PC ∥平面EFG ，PC ⊂平面PBC ，利用线面平行的性质定理即可得到GH ∥PC ，从而获得证明 【详解】
证明：（1）因为PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以PA BC ⊥.
因为2AC BE =，所以BA BC ⊥.
又因为BA PA A ⋂=，BA ⊂平面PAB ，PA ⊂平面PAB ， 所以BC ⊥平面PAB .
又因为PB ⊂平面PAB ，所以PB BC ⊥.
（2）因为平面EFG 与BC 交于点H ，所以GH ⊂平面PBC . 因为E F ，分别为AC PA ，的中点， 所以EF ∥PC .
又因为PC ⊄平面EFG ，EF ⊂平面EFG ， 所以PC ∥平面EFG .
又因为PC ⊂平面PBC ，平面PBC I 平面EFG GH =， 所以GH ∥PC ， 又因为G 是PB 的中点， 所以H 为BC 的中点. 【点睛】
本题考查线面垂直的判定定理以及线面平行的性质定理，考查学生的逻辑推理能力，是 一道容易题.
23．设椭圆E:
（a,b>0）过M （2，2） ，N(6,1)两点，O 为坐标原点，
（1）求椭圆E 的方程；
（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥u u u r u u u r
？若
存在，写出该圆的方程，若不存在说明理由．
【答案】（1）22184
x y +=（2）22
83x y +=
【解析】
试题分析：（1）因为椭圆E:22
221x y a b +=（a,b>0）过M （2，2），N(6,1)两点,
所以2222421{611a b a b +=+=解得2211
8{114
a b =
=所以228{4a b ==椭圆E 的方程为22
184x y +=
（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥u u u r u u u r
,设该
圆的切线方程为y kx m =+解方程组2
2
{184
y kx m
x y =++=得22
2()8x kx m ++=,即222(12)4280k x kmx m +++-=,
则△=2
2
2
2
2
2
164(12)(28)8(84)0k m k m k m -+-=-+>,即22840k m -+>
122
2122412{2812km
x x k m x x k +=-
+-=
+，
2222222
2
2
1212121222
2
(28)48()()()121212k m k m m k y y kx m kx m k x x km x x m m k k k --=++=+++=-+=+++2222222
2
2
12121212222
(28)48()()()121212k m k m m k y y kx m kx m k x x km x x m m k k k --=++=+++=-+=
+++ 要使OA OB ⊥u u u r u u u r
,需使
,即22222
28801212m m k k k
--+=++,所以223880m k --=,所以22
38
08
m k -=≥又22840k m -+>,
所以222{38m m >≥,所以2
83m ≥,即26m ≥26m ≤,
因为直线y kx m =+为圆心在原点的圆的一条切线,
所以圆的半径为2
1m r k =
+,2
22
228
381318
m m r m k
===-++,26
3
r =
, 所求的圆为22
83x y +=
,此时圆的切线y kx m =+都满足26m ≥或263
m ≤-, 而当切线的斜率不存在时切线为26
3
x =±与椭圆22184x y +=的两个交点为
或
2626
(满足OA OB ⊥u u u r u u u r ,
综上, 存在圆心在原点的圆2
2
8
3
x y +=
，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥u u u r u u u r ．
考点：本题主要考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，圆与椭圆的位置关系．
点评：中档题，涉及直线与圆锥曲线的位置关系问题，往往要利用韦达定理．存在性问题，往往从假设存在出发，运用题中条件探寻得到存在的是否条件具备．（2）小题解答中，集合韦达定理，应用平面向量知识证明了圆的存在性．。