圆的标准方程 教案

数学与信息科学学院
教
案
课题圆的标准方程专业数学与应用数学指导教师王凡彬
班级20XX级3班姓名徐才欢
学号20110241031
20XX年5月5日
§4.1.1 圆的标准方程
教学目标
知识目标：掌握圆的标准方程及其推导过程；会根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程以及从圆的标准方程中熟练准确地找出圆心坐标和半径．
能力目标：通过对圆的标准方程推导的学习，培养学生用代数的方法解决几何问题的能力，渗透数形结合的思想；培养学生自主探究，合作交流的能力．
情感目标：培养学生积极思考、自主构建知识体系的学习态度；让学生感受数学的现实美、抽象美，体会圆的标准方程形成过程的严谨美．
教学重点
圆的标准方程的求法及应用.
教学难点
根据不同的已知条件，运用待定系数法求圆的标准方程.
教学方法
教法：探究式教学法，讲练结合法. 学法：教师引导下的探究式学习.
教学教具：三角板，圆规，彩色粉笔. 课 型：新授课 教学过程
一、导入新课
前面我们已经学习了两点间的距离公式，已知1122(,),(,),A x y B x y A B 、间的距离为多少？在平面直角坐标系当中，确定直线的要素是什么？圆呢？
现在请同学们结合自己身边的事例想一想，有哪些图形是圆形的？下面有几幅图，大家观察下，正对着大家的这个面的图形是什么形状？
可见在生活中是非常常见的.古希腊毕达哥拉斯学派认为“一切平面图形中最美的是圆形.”那么同学们拿出你们的三角板和圆规在本上画出在直角坐标系中的一个圆. 二、探究新知
我们一起来画一个圆,设圆心为(,)C a b ,半径为r ，大家回想一下如何求直线的方程的？设(,)M x y 为圆上任一点，那M 点满足什么条件？我们把满足这种条件的集合称为圆.如果设集合为P ，如何用集合语言来描述以(,)C a b 为圆心，r 为半径的圆？（{}P M MC r ==）我们知道了M C 、点的坐标，可以计算出
22(x )()CM a y b =-+-，根据CM r =，则有22(x )()a y b r -+-=，化简后为222()()x a y b r -+-=.
那我们很容易就能知道，若点(,)M x y 在圆上,由上述讨论可知,点M 的坐标满足方程；反之若点M 的坐标满足方程,这就说明点M 与圆心C 的距离为r ,即点M 在圆心为A 的圆上.我们把这个方程称为以(,)C a b 为圆心，r 为半径的圆的标准方程.
三、例题讲解
例 1 写出圆心为)3,2(-A ，半径长为5的圆的标准方程，并判断点
)1,5(),7,5(21---M M 是否在圆上.
分析:要求写出圆的标准方程,只需要找出圆心和半径即可.判断点是否在圆上,可直接把点代入到方程中看等式是否成立.
解:圆心是)3,2(-A ,半径长等于5的圆的标准方程是 25)3()2(22=++-y x .
把点)7,5(1-M 的坐标代入方程25)3()2(22=++-y x ,左右两边相等,点1
M 的坐标适合圆的方程,所以点1M 在这个圆上;把点)1,5(2--M 的坐标代入方程
25)3()2(22=++-y x ,左右两边不相等,点2M 的坐标不适合圆的方程,所以点
2M 不在这个圆上.
探究:点),(000y x M 在圆222r y x =+内的条件是什么?在圆222r y x =+外呢? 说明: 计算点到圆心的距离与半径的大小关系入手.点与圆的位置关系：
设点到圆心的距离为d
d r <⇔在圆内； d r =⇔在圆上； d r >⇔在圆外.
例2 ABC ∆的三个顶点的坐标分别是(5,1),(7,3),(2,8)A B C --,求它的外接圆的方程.
分析：要求三角形的外接圆的方程，需要找出圆心和半径，而外接圆的圆心就是ABC 的三边的垂直平分线的交点，它到三顶点的距离相等.
解：设所求圆的方程为222()()x a y b r -+-= 因为(5,1),(7,3),(2,8)A B C --都在圆上，则有
⎪⎩
⎪⎨⎧=--+-=--+-=-+-)
3(.)8()2()2()3()7()1(,)1()5(222222222r b a r b a r b a 解此方程组得
⎪⎩
⎪
⎨⎧=-==.5,3,2r b a 所以，ABC 的外接圆的方程为：2
2
(2)(3)=25x y -++.
四、巩固练习
练习 已知圆C 的圆心为（—1，4），半径等于4，判断原点与圆C 的位置关系
解：由已知条件，可得圆的标准方程为，22(1)(4)16x y ++-=， 将原点坐标o （0,0）代入方程，有22(01)(04)1716++-=>， 所以原点在圆c 外. 五、课时总结
1 知识梳理
（1）圆的标准方程 （2）点与圆的位置关系 2 方法总结
待定系数法
3 思想提炼
用代数的方法解决几何问题，数形结合的思想.
六、课后作业
1、必做题:习题4.1 A组1(2)(4),3
选做题:B组1题
2、复习本节内容并预习下一节圆的标准方程.板书设计
1 非多媒体教学
2 多媒体辅助教学。