2020人教版中考数学圆的有关性质word专项练习

圆的有关性质
一、选择题
1、（2016泰安一模）如图，以点P为圆心，以为半径的圆弧与x轴交于A，B两点，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（6，0），则圆心P的坐标为（）
A．（4，）B．（4，2） C．（4，4） D．（2，）
【考点】垂径定理；坐标与图形性质；勾股定理．
【分析】过点P作PC⊥AB于点C，利用垂径定理以及结合点A和点B的坐标即可得出点C 的坐标，即可得出AC的长度，从而可得出PC的长度，且点P位于第一象限，即可得出P 的坐标．
【解答】解：过点P作PC⊥ AB于点C；
即点C为AB的中点，
又点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（6，0），
故点C（4，0）
在Rt△ PAC中，PA=，AC=2，
即有PC=4，
即P（4，4）．
故选C．
2、（2016枣庄41中一模）如图，DC是以AB为直径的半圆上的弦，DM⊥ CD交AB于点M，CN⊥ CD交AB于点N．AB=10，CD=6．则四边形DMNC的面积（）
A．等于24 B．最小为24 C．等于48 D．最大为48
【考点】垂径定理；勾股定理；梯形中位线定理．
【分析】过圆心O作OE⊥ CD于点E，则OE平分CD，在直角△ ODE中利用勾股定理即可求得OE的长，即梯形DMNC的中位线，根据梯形的面积等于OE•CD即可求得．
【解答】解：过圆心O作OE⊥ CD于点E，
连接OD．则DE=CD=×6=3．
在直角△ODE中，OD=AB=×10=5，
OE===4．
则S四边形DMNC=OE•CD=4×6=24．
故选A．
3、(2016·上海普陀区·一模)下列命题中，正确的是（）
A．圆心角相等，所对的弦的弦心距相等
B．三点确定一个圆
C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
D．弦的垂直平分线必经过圆心
【考点】命题与定理．
【分析】根据有关性质和定理分别对每一项进行判断即可．
【解答】解：A、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故本选项错误；
B、不在一条直线上的三点确定一个圆，错误；
C、平分弦的直径不一定垂直于弦，错误；
D、弦的垂直平分线必经过圆心，正确；
故选D
【点评】此题考查了命题与定理，关键是熟练掌握有关性质和定理，能对命题的真假进行判断．
4、(2016·山东枣庄·模拟)如图，在半径为6cm的⊙O中，点A是劣弧的中点，点D是优弧上一点，且∠D=30°，下列四个结论：
①OA⊥BC；②BC=6；③sin∠AOB=；④四边形ABOC是菱形．
其中正确结论的序号是（）
A．①③ B．①②③④ C．②③④D．①③④
【考点】垂径定理；菱形的判定；圆周角定理；解直角三角形．
【专题】几何图形问题．
【分析】分别根据垂径定理、菱形的判定定理、锐角三角函数的定义对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：∵点A是劣弧的中点，OA过圆心，
∴ OA⊥BC，故①正确；
∵ ∠ D=30°，
∴ ∠ ABC=∠ D=30°，
∴ ∠ AOB=60°，
∵ 点A 是劣弧的中点，
∴ BC=2CE，
∵ OA=OB，
∴ OA=OB=AB=6cm， ∴ BE=AB•cos30°=6×=3cm ， ∴ BC=2BE=6cm ，故②正确；
∵ ∠ AOB=60°， ∴ sin∠AOB=sin60°=
， 故③正确；
∵ ∠ AOB=60°，
∴ AB=OB，
∵ 点A 是劣弧的中点，
∴ AC=AB，
∴ AB=BO=OC=CA，
∴ 四边形ABOC 是菱形，
故④正确．
故选：B ．
【点评】本题考查了垂径定理、菱形的判定、圆周角定理、解直角三角形，综合性较强，是一道好题．
5、(2016·陕西师大附中·模拟)如图，⊙O 的半径为2，弦AB=23 ，点C 在弦AB 上, 14AC AB
，则OC 的长为（ ） A . 2
B. 3
C.
233 D. 72
6、（2016·吉林东北师范大学附属中学·一模）如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，若80B ∠=︒，则ADC ∠的度数是
（A ）60°． （B ）80°． （C ）90°． （D ）100°． O D
C
B A
答案：D
7、 （2016·江苏省南京市钟爱中学·九年级下学期期初考试）如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足是E ，∠ A=30°，CD=6，则圆的半径长为（ ）
A ．2 B
．2 C ．4 D ．
答案：A
8、（2016·天津五区县·一模）如图，A 、D 是⊙O 上的两个点，BC 是直径，若∠ D=35°，则∠ OAC 的度数是（ ）
A ．35°
B ．55°
C ．65°
D ．70°
【考点】圆周角定理．
【分析】在同圆和等圆中，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，所以∠ AOC=2∠ D=70°，而△ AOC 中，AO=CO ，所以∠ OAC=∠ OCA，而180°﹣∠ AOC=110°，所以∠ OAC=55°．
【解答】解：∵∠ D=35°，
∴ ∠ AOC=2∠ D=70°，
∴ ∠ OAC=（180°﹣∠ AOC）÷2=110°÷2=55°．
故选：B ．
【点评】
本题考查同弧所对的圆周角和圆心角的关系．规律总结：解决与圆有关的角度的相关计算时，一般先判断角是圆周角还是圆心角，再转化成同弧所对的圆周角或圆心角，利用同弧所对的圆周角相等，同弧所对的圆周角是圆心角的一半等关系求解，特别地，当有一直径这一条件时，往往要用到直径所对的圆周角是直角这一条件．
9、(2016·重庆巴蜀 ·一模）一个圆形人工湖如图所示，弦AB 是湖上的一座桥，已知桥AB 长100m ，测得圆周角∠ACB=45°，则这个人工湖的直径AD 为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【分析】连接OB．根据圆周角定理求得∠AOB=90°；然后在等腰Rt△AOB中根据勾股定理求得⊙O的半径AO=OB=50m，从而求得⊙O的直径AD=100m．
【解答】解：连接OB．
∵∠ACB=45°，∠ACB=∠AOB（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），
∴∠AOB=90°；
在Rt△AOB中，OA=OB（⊙O的半径），AB=100m，
∴由勾股定理得，AO=OB=50m，
∴AD=2OA=100m；
故选B．
10、(2016·重庆巴南·一模）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为（）
A．2 B．4 C．4 D．8
【分析】根据圆周角定理得∠BOC=2∠A=45°，由于⊙O的直径AB垂直于弦CD，根据垂径定
理得CE=D E，且可判断△OCE为等腰直角三角形，所以CE=OC=2，然后利用CD=2CE进行计算．
【解答】解：∵∠A=22.5°，
∴∠BOC=2∠A=45°，
∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，
∴CE=DE，△OCE为等腰直角三角形，
∴CE=OC=2，
∴CD=2CE=4．
故选：C．
11、（2016·湖南湘潭·一模）如图，AB 是⊙O 直径，130AOC ∠=，则D ∠=
A ．25
B ． 65
C ．15
D ．35 答案：A 12、（2016·吉林长春朝阳区·一模）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在圆周上，连结BC 、OC ，过点A 作AD∥ OC 交⊙O 于点D ，若∠ B=25°，则∠ BAD 的度数是（ ）
A ．25°
B ．30°
C ．40°
D ．50°
【考点】圆周角定理；平行线的性质．
【分析】根据∠ B=25°，得 ∠ C=25°，再由外角的性质得∠ AOC，根据平行线的性质得出∠ BAD 的度数．
【解答】解：∵ OB=OC，
∴ ∠ B=∠ C，
∵ ∠ B=25°，
∴ ∠ C=25°，
∵ ∠ AOC=2∠B，
∴ ∠ AOC=50°，
∵ AD∥OC，
∴ ∠ BAD=∠ AOC=50°，
故选D ．
【点评】本题考查的是圆周角定理，以及平行线的性质，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等是解答此题的关键．
13、（2016·河北石家庄·一模）下列图形中，∠ 1一定大于∠ 2的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【考点】三角形的外角性质；对顶角、邻补角；平行线的性质；圆周角定理．
【分析】根据对顶角、内错角、外角、圆周角的性质，对选项依次判断即可得出答案．
【解答】解：A 、根据对顶角相等，∠ 1=∠ 2，故本选项错误；
B 、根据两直线平行、内错角相等，∠ 1=∠ 2，故本选项错误；
C 、根据外角等于不相邻的两内角和，∠ 1＞∠ 2，故本选项正确；
D 、根据圆周角性质，∠ 1=∠ 2，故本选项错误．
故选C ． O D B A C
【点评】本题主要考查了对顶角、内错角、外角、圆周角的性质，难度适中．
14、（2016·河北石家庄·一模）如图，已知EF 是⊙O 的直径，把∠ A 为60°的直角三角板ABC 的一条直角边BC 放在直线EF 上，斜边AB 与⊙O 交于点P ，点B 与点O 重合，且AC 大于OE ，将三角板ABC 沿OE 方向平移，使得点B 与点E 重合为止．设∠ POF=x，则x 的取值范围是（ ）
A ．30≤x≤60
B ．30≤x≤90
C ．30≤x≤120
D ．60≤x≤120
【考点】圆周角定理；平移的性质．
【专题】压轴题；动点型．
【分析】分析可得：开始移动时，x=30°，移动开始后，∠ POF 逐渐增大，最后当B 与E 重合时，∠ POF 取得最大值，即2×30°=60°，故x 的取值范围是30≤x≤60．
【解答】解：开始移动时，x=30°，
移动开始后，∠ POF 逐渐增大，
最后当B 与E 重合时，∠ POF 取得最大值，
则根据同弧所对的圆心角等于它所对圆周角的2倍得：
∠ POF=2∠ ABC=2×30°=60°，
故x 的取值范围是30≤x≤60．
故选A ．
【点评】本题考查圆周角定理和平移的基本性质是：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
15、（2016·湖北襄阳·一模）如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ，∠ABC =60°.若动点P 以2cm/s 的速度从B 点出发沿着B→A 的方向运动，点Q 从A 点出发沿着A →C 的方向运动，当点P 到达点A 时，点Q 也随之停止运动．设运动时间为t(s)，当△APQ 是直角三角形时，t 的值为（ ） A.34 B. 33- C. 34或33- D. 3
4或33-或3
答案：C
16、 (2016·新疆乌鲁木齐九十八中·一模)如图，已知⊙O 的直径AB 为10，弦CD=8，CD⊥ AB 于点E ，则sin∠ OCE 的值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【考点】垂径定理；解直角三角形．
【分析】由AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥ AB，根据垂径定理，可求得CE 的长，然后由勾股定理即可求得OE ，继而求得sin∠ OCE 的值．
【解答】解：∵ AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥ AB， ∴ CE=CD=×8=4，OC=AB=×10=5， ∴ OE==3， ∴ sin∠ OCE==．
故选B ．
【点评】此题考查了垂径定理、勾股定理以及三角函数．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
二、填空题
1、(2016·浙江镇江·模拟)如图，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC =30°，3 BC ，则⊙
O 的半径等于 ▲ ．
答案：3
2、（2016泰安一模）如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD⊥ AB 于点H ，连接OC ，AD ，若BH ：CO=1：2，AD=4，则⊙O 的周长等于 8π ．
【考点】圆周角定理；勾股定理；垂径定理．
O A B C
【分析】已知BH：CO=1：2，即BH=OH=OC；在Rt△ OCH中，易求得∠ COH=60°；
由于弧BC=弧BD（垂径定理），利用圆心角和圆周角的关系可求得∠ DAB=30°；
在Rt△ADH中，可求得DH的长；也就求出了CH的长，在Rt△ COH中，根据∠ COH的正弦值和CH的长，即可求出OC的半径，进而可求出⊙O的周长．
【解答】解：∵半径OB⊥ CD，
∴ ，CH=DH；（垂径定理）
∵ BH：CO=1：2，
∴ BH=OH=OC；
在Rt△ OCH中，OH=OC，
∴ ∠ COH=60°；
∵ ，
∴ ∠ DAH=∠ COH=30°；（圆周角定理）
在Rt△ AHD中，∠DAH=30°，AD=4，则DH=CH=2；
在Rt△ OCH中，∠COH=60°，CH=2，则OC=4．
∴ ⊙O的周长为8π．
3、(2016·陕西师大附中·模拟)A．如图，小丽荡秋千，秋千链子的长OA为2.5米，秋千向两边摆动的角度相同，摆动的水平距离AB为3米，则秋千摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差（即CD）为 0.5 米
4、(2016·上海普陀区·一模)半圆形纸片的半径为1cm，用如图所示的方法将纸片对折，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则折痕CD的长为cm．
【考点】垂径定理；勾股定理．
【分析】作MO交CD于E，则MO⊥ CD．连接CO．根据勾股定理和垂径定理求解．
【解答】解：作MO交CD于E，则MO⊥ CD，连接CO，
对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，
则ME=OE=OC，
在直角三角形COE中，CE==，
折痕CD的长为2×=（cm）．
【点评】作出辅助线，构造直角三角形，根据对称性，利用勾股定理解答
5、(2016·上海闵行区·二模)点P为⊙O内一点，过点P的最长的弦长为10cm，最短的弦长为8cm，那么OP的长等于 3 cm．
【考点】垂径定理；勾股定理．
【分析】根据直径是圆中最长的弦，知该圆的直径是10cm；最短弦即是过点P且垂直于过点P的直径的弦；根据垂径定理即可求得CP的长，再进一步根据勾股定理，可以求得OP 的长．
【解答】解：如图所示，CD⊥ AB于点P．
根据题意，得
AB=10cm，CD=8cm．
∵ CD⊥ AB，
∴ CP=CD=4cm．
根据勾股定理，得OP===3（cm）．
故答案为：3．
【点评】此题综合运用了垂径定理和勾股定理．正确理解圆中，过一点的最长的弦和最短的弦．
6、（2016·吉林东北师范大学附属中学·一模）如图，AB是O的直径，点C在O上
、重合），过点C作O的切线交AB的延长线于点D，连结AC．若（点C不与A B
∠的度数是°．
∠=︒，则D
25
A
答案：40
7、（2016·江苏常熟·一模）如图，在△ ABC中，AB=AC=5cm，cosB=．如果⊙O的半径为cm，且经过点B，C，那么线段AO= 5 cm．
【考点】垂径定理；等腰三角形的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义．
【专题】压轴题．
【分析】利用三角函数求BD的值，然后根据勾股定理求出AD，OD的值．最后求AO．
【解答】解：连接BO，设OA与BC交于点D，
根据题意，得OA垂直平分BC．
∵AB=AC=5cm，cosB=，
∴BD=3．
根据勾股定理得
AD==4；
OD===1．
∴AO=AD+OD=5，
故答案为5．
【点评】考查了锐角三角函数的概念、勾股定理．
8、（2016·江苏省南京市钟爱中学·九年级下学期期初考试）当点A（1，2），B（3，﹣3），C（m，n）三点可以确定一个圆时，m，n需要满足的条件．
答案：5m+2n≠9
9、（2016·天津南开区·二模）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，AC=2，BC=1，
那么cos∠ABD的值是．
考点：与圆有关的概念及性质
答案：
试题解析：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AB==3，
∵CD⊥AB，∴，∴∠ABD=∠ABC，∴cos∠ABD=cos∠ABC= =，故答案为：
10、(2016·四川峨眉 ·二模）⊙O 的半径为a ，AB ，CD 是互相垂直的两条直径，点P 是圆周上一动点，过点P 作PM AB ⊥于点M ，PN CD ⊥于点N ，连结MN ， 点Q 是MN 的中点，当点P 从点A 出发沿圆周顺时针运动一周 回到点A 时，点Q
走过的路径长为： ▲ . 答案：a π
11、（2016·辽宁丹东七中·一模）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 都在⊙O 上， 若∠C=20°，则∠ABD 的度数等于
答案：70º
12、(2016·新疆乌鲁木齐九十八中·一模)如图，在⊙O 中，AB 为直径，C 、D 为⊙O 上两点，若∠ C=25°，则∠ABD= 65° ．
【考点】圆周角定理．
【专题】推理填空题．
【分析】由已知可求得∠ A 的度数，再根据圆周角定理及三角形内角和定理即可求得∠ ABD 的度数．
【解答】解：连接AD ．
∵ ∠ C=25°（已知），
∴ ∠ C=∠ A=25°；
∵ AB 是⊙O 的直径，
∴ ∠ ADB=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴ ∠ ABD=90°﹣25°=65°．
故答案是：65°．
C D Q P M N O
【点评】本题考查了圆周角定理．解答该题时，需熟练运用圆周角定理及其推论．
13、(2016·云南省曲靖市罗平县·二模)如图，⊙O是△ ABC的外接圆，若AB=OA=OB，则∠ C等于30 °．
【考点】圆周角定理；等边三角形的判定与性质．
【专题】计算题．
【分析】先判断△ OAB为等边三角形，则∠AOB=60°，然后根据圆周角定理求∠ C的度数．【解答】解：∵ AB=OA=OB，
∴ △ OAB为等边三角形，
∴ ∠ AOB=60°，
∴ ∠ C=∠ AOB=30°．
故答案为30．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等边三角形的性质．
14、(2016·云南省·一模)如图，AD是⊙O的直径，弦BC⊥ AD，连接AB、AC、OC，若∠ COD=60°，则∠ BAD=30°．
【考点】垂径定理；圆周角定理．
【分析】根据圆周角定理得到∠ DAC的度数，根据垂径定理得到答案．
【解答】解：∵∠ COD=60°，
∴ ∠ DAC=30°，
∵ AD是⊙O的直径，弦BC⊥ AD，
∴ =，
∴ ∠ BAD=∠DAC=30°，
故答案为：30°．
【点评】本题考查的是垂径定理和圆周角定理，垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧、等弧所对的圆周角相等是解题的关键．
三、解答题
1、如图，AB 是⊙O 的直径、C 是AB 延长线上一点，CD 与⊙O 相切于点E ,AD CD ⊥于点D .
(1)求证:AE 平分DAC ∠;
(2)若AB =4，60ABE ∠=︒.
①求AD 的长;
②求出图中阴影部分的面积.
答案：解: (1)如图，连接OE ，
90,90,OEC ADC OE ∠=︒∠=︒∥AD ，
所以AE 平分DAC ∠.
(2)AD =cos303AE ︒=. 433
OAE S S S π∆=-=-阴影扇OAE . 2、（2016青岛一模）如图，AB 是⊙O 的直径，∠ ABC=70°，则∠ D 的度数为 20° ．
【考点】圆周角定理．
【分析】由AB 是⊙O 的直径，可得∠ ACB=90°，然后由圆周角定理，可求得∠ D 的度数．
【解答】解：∵ AB 是⊙O 的直径，
∴ ∠ ACB=90°，
∵ ∠ ABC=70°，
∴ ∠ A=90°﹣∠ ABC=20°，
∴ ∠ D =∠ A=20°．
故答案为：20°．
3、（2016枣庄41中一模）如图，在△ ABC 中，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 、BC 于点D 、E ，点F 在AC 的延长线上，且AC=CF ，∠ CBF=∠ CFB．
（1）求证：直线BF 是⊙O 的切线；
（2）若点D，点E分别是弧AB的三等分点，当AD=5时，求BF的长和扇形DOE的面积；（3）填空：在（2）的条件下，如果以点C为圆心，r为半径的圆上总存在不同的两点到点
O的距离为5，则r的取值范围为5﹣5＜r＜5+5 ．
【考点】切线的判定；扇形面积的计算．
【分析】（1）根据直角三角形的判定证明∠ ABF=90°即可；
（2）连接DO，EO，根据题意证明△ AOD是等边三角形，得到△ ABC是等边三角形，根据勾股定理求出BF的长，根据扇形面积公式：求出扇形DOE的面积；
（3）求出圆心距OC=5，根据题意解答即可．
【解答】（1）证明：∵ ∠ CBF=∠ CFB，
∴ CB=CF，
又∵ AC=CF，
∴ CB=AF，
∴ △ ABF是直角三角形，
∴ ∠ ABF=90°
∴ 直线BF是⊙O的切线；
（2）解：连接DO，EO，
∵ 点D，点E分别是弧AB的三等分点，
∴ ∠ AOD=60°，
又∵ OA=OD，
∴ △ AOD是等边三角形，
∴ ∠ OAD=60°，
又∵ ∠ ABF=90°，AD=5，
∴ AB=10，
∴ BF=10；
扇形DOE的面积==π；
（3）解：连接OC，则圆心距OC=5，
由题意得，5﹣5＜r＜5+5，
故答案为：5﹣5＜r＜5+5．
4、(2016·山东枣庄·模拟)如图，已知△ ABC内接于⊙O，且AB=AC，直径AD交BC于点E，F是OE上的一点，使CF∥ BD．
（1）求证：BE=CE；
（2）试判断四边形BFCD的形状，并说明理由；
（3）若BC=8，AD=10，求CD的长．
【考点】垂径定理；勾股定理；菱形的判定．
【分析】（1）证明△ ABD≌ △ ACD，得到∠ BAD=∠ CAD，根据等腰三角形的性质即可证明；
（2）菱形，证明△ BFE ≌ △ CDE，得到BF=DC，可知四边形BFCD是平行四边形，易证BD=CD，可证明结论；
（3）设DE=x，则根据CE2=DE•AE列方程求出DE，再用勾股定理求出CD．
【解答】（1）证明：∵ AD是直径，
∴ ∠ ABD=∠ ACD=90°，
在Rt△ ABD和Rt△ ACD中，
，
∴ Rt△ ABD≌ Rt△ ACD，
∴ ∠ BAD=∠ CAD，
∵ AB=AC，
∴ BE=CE；
（2）四边形BFCD是菱形．
证明：∵ AD是直径，AB=AC，
∴ AD⊥ BC，BE=CE，
∵ CF∥ BD，
∴ ∠ FCE=∠ DBE，
在△ BED和△ CEF中
，
∴ △ BED≌ △ CEF，
∴ CF=BD，
∴ 四边形BFCD是平行四边形，
∵ ∠ BAD=∠ CAD，
∴ BD=CD，
∴ 四边形BFCD是菱形；
（3）解：∵ AD是直径，AD⊥ BC，BE=CE，
∴ CE2=DE•AE，
设DE=x，
∵ BC=8，AD=10，
∴ 42=x（10﹣x），
解得：x=2或x=8（舍去）
在Rt△ CED中，
CD===2．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质：垂径定理、圆周角定理，三角形全等的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，三角形相似的判定与性质，熟悉圆的有关性质是解决问题的关键．
5、(2016·上海普陀区·一模)如图，已知AD是⊙O的直径，AB、BC是⊙O的弦，AD⊥ BC，垂足是点E，BC=8，DE=2，求⊙O的半径长和sin∠ BAD的值．
【考点】垂径定理；解直角三角形．
【分析】设⊙O的半径为r，根据垂径定理求出BE=CE=BC=4，∠AEB=90°，在Rt△ OEB中，由勾股定理得出r2=42+（r﹣2）2，求出r．求出AE，在Rt△ AEB中，由勾股定理求出AB，解直角三角形求出即可．
【解答】解：设⊙O的半径为r，
∵ 直径AD⊥ BC，
∴ BE=CE=BC==4，∠AEB=90°，
在Rt△ OEB中，由勾股定理得：OB2=0E2+BE2，即r2=42+（r﹣2）2，
解得：r=5，
即⊙O的半径长为5，
∴ AE=5+3=8，
∵ 在Rt△ AEB 中，由勾股定理得：AB==4， ∴ sin∠ BAD===．
【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，解直角三角形的应用，能根据垂径定理求出BE 是解此题的关键．
6、(2016·上海浦东·模拟)（本题满分10分）如图，AB 是⊙O 的弦，C 是AB 上一点，∠AOC =90°，OA =4，OC =3，求弦AB 的长．
解：过点O 作OD ⊥AB 于D
在Rt △AOC 中，222OA OC AC +=，AC = 5
在Rt △AOC 中，4COS 5OA OAC AC ∠== ； 在Rt △ADO 中，COS DA OAD AO ∠=
， 所以AD OA AO AC =，165AD =. 因为在⊙O 中，OD ⊥AB ， 所以AB =2AD =5162⨯
， 所以AB =325
． 7、（2016·天津市南开区·一模）如图，AB 是⊙O 的直径，C ，P 是
上两点，AB=13，AC=5． （1）如图（1），若点P 是
的中点，求PA 的长； （2）如图（2），若点P 是的中点，求PA 的长．
【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．
【专题】几何综合题．
【分析】（1）根据圆周角的定理，∠ APB=90°，P是弧AB的中点，所以三角形APB是等腰三角形，利用勾股定理即可求得．
（2）根据垂径定理得出OP垂直平分BC，得出OP∥ AC，从而得出△ ACB∽ △ 0NP，根据对应边成比例求得ON、AN的长，利用勾股定理求得NP的长，进而求得PA．
【解答】解：（1）如图（1）所示，连接PB，
∵ AB是⊙O的直径且P是的中点，
∴ ∠ PAB=∠ PBA=45°，∠ APB=90°，
又∵ 在等腰三角形△ APB中有AB=13，
∴ PA===．
（2）如图（2）所示：连接BC．OP相交于M点，作PN⊥ AB于点N，
∵ P点为弧BC的中点，
∴ OP⊥BC，∠ OMB=90°，
又因为AB为直径
∴ ∠ ACB=90°，
∴ ∠ ACB=∠OMB，
∴ OP∥ AC，
∴ ∠ CAB=∠ POB，
又因为∠ ACB=∠ ONP=90°，
∴ △ ACB∽ △ 0NP
∴ =，
又∵ AB=13 AC=5 OP=，
代入得 ON=，
∴ AN=OA+ON=9
∴ 在Rt△ OPN中，有NP2=0P2﹣ON2=36
在Rt△ ANP 中 有PA===3 ∴ PA=3． 【点评】本题考查了圆周角的定理，垂径定理，勾股定理，等腰三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，作出辅助线是本题的关键．
8、(2016·山西大同 ·一模）如图，已知：AB 是O 的弦，CD 是O 的直径，CD ⊥AB ，垂足为E ，且点E 是OD 的中点，O 的切线BM 与AO 的延长线相交于点M ，连接AC 、CM
（1）若AB=43，求O 的半径及弧AB 的长度.
（2）求证：四边形ABMC 是菱形.
答案：
解（1）连接OB
∵OA=OB ，E 是AB 的中点
∴∠AOE=∠BOE, OE ⊥AB
又∵OE=12
OA ∴∠OAB=30°，∠AOE=60° 设AO 为x ，则OE=
12x ∴x=4
∴弧AB 长l=
（2）由（1）∠OAB=∠OBA=30°
∠BOM=∠COM=60°，∠AMB=30°
∴AB=BM
在△COM 和△BOM 中
OC=OB
∠COM=∠BOM
OM=OM
∴△COM ≌△BOM （SAS ）
∴CM=BM=AB
∴AB ∥CM
∴ABCD 是菱形
9、（2016·河北石家庄·一模）先阅读材料，再解答问题：
小明同学在学习与圆有关的角时了解到：在同圆或等圆中，同弧（或等弧）所对的圆周角相等．如图，点A 、B 、C 、D 均为⊙O 上的点，则有∠ C=∠ D．小明还发现，若点E 在⊙O 外，
90MBO CD CM AB ∠∠=∴
⊥⊥又MCO= 且CD
且与点D在直线AB同侧，则有∠ D＞∠ E．
请你参考小明得出的结论，解答下列问题：
（1）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，7），点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（3，0）．
①在图1中作出△ ABC的外接圆（保留必要的作图痕迹，不写作法）；
②若在x轴的正半轴上有一点D，且∠ ACB=∠ ADB，则点D的坐标为（7，0）；
（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，m），点B的坐标为（0，n），其中m＞n＞0．点P为x轴正半轴上的一个动点，当∠ APB达到最大时，直接写出此时点P 的坐标．
【考点】圆的综合题．
【分析】（1）①作出△ ABC的两边的中垂线的交点，即可确定圆心，则外接圆即可作出；
②D就是①中所作的圆与x轴的正半轴的交点，根据作图写出坐标即可；
（2）当以AB为弦的圆与x轴正半轴相切时，对应的∠ APB最大，根据垂径定理和勾股定理即可求解．
【解答】解：（1）①
②根据图形可得，点D的坐标是（7，0）；
（2）当以AB为弦的圆与x轴正半轴相切时，作CD⊥ y轴，连接CP、CB．
∵ A的坐标为（0，m），点B的坐标为（0，n），
∴ D的坐标是（0，），即BC=PC=，
在直角△ BCD中，BC=，BD=，
则CD==，
则OP=CD=，
故P的坐标是（，0）．
【点评】本题考查了垂径定理以及勾股定理，正确理解当以AB为弦的圆与x轴正半轴相切时，对应的∠APB最大，是关键．
10、（2016·广东·一模）（本题满分10分）定义：数学活动课上，乐老师给出如下定义：有一组对边相等而另一组对边不相等的凸四边形叫做对等四边形．
理解：（1）如图1，已知A、B、C在格点（小正方形的顶点）上，请在方格图中画出以格点为顶点，AB、BC为边的两个对等四边形ABCD；
（2）如图2，在圆内接四边形ABCD中，AB是⊙O的直径，AC=BD．求证：四边形ABCD是对等四边形；
（3）如图3，在Rt△PBC中，∠PCB=90°，BC=11，tan∠PBC=，点A在BP边上，且AB=13．用圆规在PC上找到符合条件的点D，使四边形ABCD为对等四边形，并求出CD的长．
解：（1）如图1所示（画2个即可）．
（2）如图2，连接AC，BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=∠ACB=90°，
在Rt△ADB和Rt△ACB中，
∴Rt△ADB≌Rt△ACB，∴AD=BC，
又∵AB是⊙O的直径，∴AB≠CD，∴四边形ABCD是对等四边形．
（3）如图3，点D的位置如图所示：
①若CD=AB，此时点D在D1的位置，CD1=AB=13；
②若AD=BC=11，此时点D在D2、D3的位置，AD2=AD3=BC=11，
过点A分别作AE⊥BC，AF⊥PC，垂足为E，F，
设BE=x，∵tan∠PBC=，∴AE=，
在Rt△ABE中，AE2+BE2=AB2，即，解得：x1=5，x2﹣5（舍去），
∴BE=5，AE=12，∴CE=BC﹣BE=6，
由四边形AECF为矩形，可得AF=CE=6，CF=AE=12，在Rt△AFD2中，
，∴，，
综上所述，CD的长度为13、12﹣或12+．
11、（2016·广东深圳·一模）如图，在边长为2的圆内接正方形ABCD中，AC是对角线，P 为边CD的中点，延长AP交圆于点E．
（1）∠ E= 45 度；
（2）写出图中现有的一对不全等的相似三角形，并说明理由；
（3）求弦DE的长．
【考点】相似三角形的判定与性质；圆周角定理．
【专题】几何综合题．
【分析】由“同弧所对的圆周角相等”可知∠ E=∠ ACD=45°，∠ CAE=∠ EDC，所以△ ACP∽ △ DEP；求弦DE的长有两种方法：
一，利用△ACP∽△DEP的相似比求DE的长；
二、过点D作DF⊥AE于点F，利用Rt△ DFE中的勾股定理求得DE的长．
【解答】解：（1）∵ ∠ ACD=45°，∠ ACD=∠ E，
∴ ∠ E=45°．
（2）△ ACP∽ △ DEP，
理由：∵ ∠ AED=∠ACD，∠ APC=∠ DPE，
∴ △ ACP∽ △ DEP．
（3）方法一：
∵ △ ACP∽ △ DE P，
∴ ．
∵ P为CD边中点，
∴ DP=CP=1
∵ AP=，AC=，
∴ DE=．
方法二：
如图2，过点D作DF⊥ AE于点F，
在Rt△ ADP中，AP=．
又∵ S△ ADP=AD•DP=AP•DF，
∴ DF=．
∴ DE=DF=．
【点评】此题主要考查相似三角形的判定及圆周角定理的运用．。