18柯西函数方程

第十八讲 柯西函数方程（抽象函数）
例1：定义在R 上的单调函数)(x f 满足对任意x ,y 均有)()()(y f x f y x f +=+,且.1)1(=f (1)求)0(f 的值,并判断)(x f 的奇偶性;(2)解关于x 的不等式:.02)2()2(2
<+++-x f x x f 解：（1）()()()f x y f x f y +=+，故令0x y ==，有(0)(0)(0)f f f =+(0)0f ∴= 又令0x y x y +==-，即，(0)()()0f f x f x =+-=()()0f x f x ∴+-=()f x ∴为奇函数。

（2）
(1) 1.f =()()()()()()(11)112(21)213(31)314f f f f f f f f f ∴+=+=+=+=+=+=；
()(1)(1)(1)1=-+=-+f x f n f f n 全部相加得：()()11=-+=f n n n ；
同理()⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫=⋅=++
+=⇒
= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭m n n n n n n
f n f m f f f n f m m m m m m
个
，故()R x x x f ∈=对恒成立。

故22222034041x x x x x x x -+++<⇒-->⇒><-或。

例2：设()y f x =是定义在R +
的函数，并且满足)()()(y f x f xy f +=，()
131f =，且当1x >时，()0f x <． （1）求)1(f 的值， （2）判断()f x 的单调性并证明；（3）如果()(10)2f x f x +-<-，求x 的取值范围。

解：（1）
()()()f xy f x f y =+，故令1x y ==，有(1)(1)(1)f f f =+(1)0f ∴=
又令11y x y x ⋅=⇒=，1(1)()()0x f f x f =+=1
()()x f f x ∴=-
（2）令120x x >>，故1
2
1x x >，()()()11122210x f f x f f x f x x x ⎛⎫⎛⎫
=+=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，()f x ∴为单调减函数。

（3）
()131f =，()
13(3)1f f ∴=-=-；()()(33)332f f f ∴⋅=+=-；()()(10)9f x f x f ∴+-< 故可得：(
)0100
91109
⎧>⎪
->⇒>>⎨⎪->⎩x x x x x 。

另解：()1311111113333333⎛⎫⎡⎤ ⎪⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫⋅=++
+=⇒=⇒=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
⎪⎝⎭n n n f f f f x f n f n log n 个个
同理：
秒杀秘籍：柯西函数方程
二元函数方程：R R f →:)()()(y f x f y x f +=+是一个非常重要的函数方程，这个方程最早由法国数学 家柯西加以研究的，后来称之为柯西函数方程。

很多问题可以通过变化归结为柯西函数方程。

通常这类函数方程的解不是唯一的，为了使解是唯一，我们大多给予一些附加条件。

解这类函数方程的步骤是：依次求出独立变量取正整数值、整数值、有理数值，直至所有实数值，而得 到函数方程的解。

对于常见的二元函数方程式我们有以下之结果：
(1)
()()()f x y f x f y +=+，()(1)f x xf =（正比例函数）(2) )()()(y f x f y x f =+，x
f x f )]1([)(=（指数函数）(
)()()(y f x f xy f +=，x x f b log )(=（对数函数） (4) )()()(y f x f xy f =，a x x f =)(（幂函数） 解题口诀：和为零，积为一，加变减，乘变除.
和为零：就是先令0x y ==，求出(0)f ，再令0x y x y +==-，即，求出()()f x f x -=-；
积为一：就是先令1x y ==，求出(1)f ，再令11y x y x ⋅==，即，求出1
()()f f x x
=-； 加变减：就是将()f x y +变成()12()f x y f x x -⇒-的过程； 乘变除：就是将()f x y ⋅变成12()x x
f f y
x ⎛⎫
⇒
⎪⎝⎭
的过程；
1
311111113333333⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎡⎤⎡⎤⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
==+++==⇒=⇒=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⎣⎦
⎣⎦⎣⎦n
n n
n
n n
m m m m m m m
n
m n n n f f f f f mf
n f f log m
m m 个
()x x f 3
1log =∴对于定义在R +的函数恒成立；故()210log log 3
13
1-<-+x x ，解得：()19∈x ,.
例3：设函数()f x 的定义域是R ，对任意x ,y 恒有()()()f x y f x f y +=⋅，且当0x >时，()01f x << ．（1）求证：()01f =，且当0x <时，()1f x <；（2）判断()f x 在R 上的单调性； 解：（1）()()()f x y f x f y +=⋅，故令0x y ==，有(0)(0)(0)f f f =(0)1f ∴=或者(0)0f =，当(0)0f =
时，
(0)()(0)0f x f x f +=⋅=，这与当0x >时，()01f x <<矛盾，故只有(0)1f =；
又令0x y y x +=⇒=-，(0)()()1f f x f x =⋅-=()1
()
f x f x ∴-=
当0x >时，()01f x <<，故当0x <时，0x ->，()1()f x f x -=
()01f x <-< 1
01()
f x ∴<
< ()1f x >对0x <时恒成立。

（2）令12x x >，()()()()()
()()112112221
1f x f x x f x f x f x f x f x -=⋅
=<∴<，()f x ∴为单调减函数。

1.定义R 上的函数()f x 满足：()()(),(9)8,(3)f xy f x f y f f =+==且则（ B ） A ．2 B ．2 C ．4 D ．6
2.定义在区间（-1，1）上的减函数()f x 满足：()()f x f x -=-。

若2
(1)(1)0f a f a -+-<恒成立，则实数a 的取值范围是___________________.
3.已知函数()f x 是定义在(0,+∞)上的增函数,对正实数,x y ,都有:()()()f xy f x f y =+成立.则不等式
2(log )0f x <的解集是___1<X<2__________________.
4.()f x 的定义域为(0,)+∞，对任意正实数,x y 都有()()(),(4)2,(2)f xy f x f y f f =+==且则 1
2
5.如果()()(),(1)2,f x y f x f y f +==且则(2)(4)(6)(2015)(1)
(3)
(5)
(2014)
f f f f f f f f +++
+=
16 ；则2(1)(2)(1)f f f ++
222(2)(4)(3)(6)(4)(8)(3)(5)(7)
f f f f f f f f f +++++=
6.对任意整数y x ,函数)(x f y =满足：()()()1f x y f x f y xy +=+++，若1)1(=f ，则=-)8(f （ C ）
A.-1
B.1
C. 19
D. 43 7..对任意实数,x y ，均满足[]2
2
()()2(),(1)0,(2014)f x y f x f y f f +=+≠=且则__1007 _____.
8.已知函数()y f x =的定义域为R,且不恒为0,且对任意,x y R ∈,都有()()()f x y f x f y +=+;(1)求(0)f 的值;(2)判断函数()y f x =的奇偶性;(3)当0x >时,()0f x <,判断函数()y f x =的单调性。

9.已知定义在区间(0,)+∞上的函数()f x 满足:恒有()()()f xy f x f y =+,且当1x >时,()0f x <.(1)求(1)f 的值;(2)证明:函数()f x 在区间(0,)+∞上为单调递减函数;(3)若(3)1f =-,(ⅰ)求(9)f 的值; (ⅱ)解不等式:(3)2x
f <-.
10.设函数()y f x =是定义在+R 上的函数,并且满足下面三个条件:(1)对正数*
,x y R ∈都有
()()()f x y f x f y =+;(2)当1x >时,()0f x <;(3)(3)1f =-｡则(Ⅰ)求(1)f 和1
()9
f 的值;(Ⅱ)如果不等式
()(2)2
f x f x +-<成立,求x 的取值范围.(Ⅲ)如果存在正数k ,使不等式()(2)2f kx f x +-<有解,求正数k 的取值范围
11.函数()y f x =的定义域为{}
0D x x ≠，且满足对于任意,x y D ∈，有()()()f xy f x f y =+，
（1）求(1)f 的值；
（2）判断()f x 的奇偶性并证明；（3）如果()()(4)1,31263f f x f x =++-≤，且()f x 在()0,+∞上是增函数，求x 的取值范围。

12.已知函数()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数,且(1)1f =,若[],1,1x y ∈-,0x y +≠ 有
[]()()()0x y f x f y +⋅+>.(1)判断()f x 的单调性,并加以证明;(2)解不等式1
()(12)2
f x f x +<-;
13.已知函数)(x f 是定义在[-1,1]上的奇函数,且1)1(=f ,若0)
()(,0],1,1[,>++≠+-∈y
x y f x f y x y x
(1)证明: )(x f 在[-1,1]上是增函数;(2)解不等式)1
1()21(-<+x f x f ;
14.若定义在R 上的函数()f x 对任意的12,x x R ∈，都有1212()()()1f x x f x f x +=+-成立，且当0x >时，()1f x >。

（1）求证：()1f x -为奇函数；（2）求证：()f x 是R 上的增函数；（3）若(4)5f =，解不等式2(32)3f m m --<．
15.已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有1()()()2
f m n f m f n +=++,且1
()02f =,当12x >
时, ()f x >0. (1)求(1)f ; (2)求和(1)(2)(3)...(10)f f f f ++++ (3)判断函数()f x 的单调性,并证明.
16.定义在区间（0，∞）上的函f(x)满足：（1）()f x 不恒为零；（2）对任何实数,x q ,都有)()(x qf x f q
=.
（1）求证：方程()0f x =有且只有一个实根；（2）若1a b c >>>，且2a c b +=求证：2()()()f a f c f b ⋅<；
秒杀秘籍：柯西函数方程处理符号和常数的技巧
(1) ()()()0;()()()2()()()f b f x y f x f y b f x f x b f x y f x f y b
⎧=-⎪
+=++⇒-+=-⎨⎪-=--⎩
，()(1)f x xf b =-（一次函数）
(2) ()00
()()()1()()()1f x y f x f y f x y
xy f x f y f xy ⎧=+⎪
+=⇒-⎨+-=⎪-⎩
，
(3)()()010()()=()()()⎧==⎪⎪=⋅⇒⎛⎫⎨⋅+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎪⎩
y
n n f x f f x y f x f x x x f x f x f x 个个，()
11()log -=f f x x （对数函数） (4) ()()()()()()()()()10,10()()()11f xy f x f y xy x y
f f f xy xf y yf x f x f x xf f x ⎧=-=⎪⎪
=+⇒⎡-⋅⎤=-+-=-⎨⎣⎦⎪=+⎪⎩（导函数）
(5)
)()()(y f x f xy f =，a x x f =)(（幂函数）
17.函数()f x 的定义域为R,并满足以下条件:①对任意x R ∈,有()f x >0;②对任意,x y R ∈,有
()[()]y f xy f x =;③1
()13
f >. (1)求(0)f 的值; (2)求证: ()f x 在R 上是单调减函数; (3)若0
a b c >>>且2
b a
c =,求证:()()2()f a f c f b +>.
18.定义在R +
上的函数()f x 满足: ①对任意实数m ,()()m
f x mf x =; ②(2)1f =。

(1)求证:()()()f xy f x f y =+对任意正数,x y 都成立; (2)证明()f x 是R +
上的单调增函数;(3)若()(3)2f x f x +-≤求x 的取值范围.
19.已知函数)(x f 在(1,1)-上有定义，1)2
1(-=f ，当且仅当10x >>时，0)(<x f ，且对任意
(1,1)()()().1x y
x y f x f y f xy
+∈-+=+、都有（1）求证：)(x f 为奇函数；
（2）求证：)(x f 在（－1，1）上单调递减；（3）求不等式1)1()(≥++x f x f 的解集.
20.已知函数()f x 的定义域关于原点对称且满足()1()()
1()()()
f x f y f x y f x f y -+=+，（2）存在正常数a ，使()1f a =.
求证：()f x 是奇函数。

21.定义在(1,1)-上的函数()f x 满足：（1）对于任意,(1,1)x y ∈-，都有()()(
)1x y
f x f y f xy
++=+当(1,1)x ∈-时，有()0f x >求证:()f x 是奇函数；
22.已知函数()f x ,()g x 在R 上有定义，对任意的,x y R ∈有()()()()()f x y f x g y g x f y -=- 且
(1)0f ≠（1）求证：()f x 为奇函数（2）若(1)(2)f f =， 求(1)(1)g g +-的值
23.已知定义在R 上的单调函数()f x ,存在实数0x ,使得对于任意实数12,x x ,总有
0102012()()()()f x x x x f x f x f x +=++恒成立。

(Ⅰ)求0x 的值；(Ⅱ)若0()1f x =,且对任意正数x ,有
()1
()12
x g x f =+, ,求()g x ；
24.已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意的,,a b R ∈都满足: ()()()f a b af b bf a ∙=+. (1)求(0),(1)f f 的值; (2)判断()f x 的奇偶性,并证明你的结论;
若(2)2f =,()*(2)
()n f g n n N n
=∈,求()g n 的解析式
25.函数f (x )对一切实数x ,y 均有f (x +y)-f (y)=(x +2y+1)x 成立，且f (1)=0，（1）求(0)f 的值；（2）对任意的
11(0,)2x ∈，21
(0,)2
x ∈，都有f (x 1)+2<log a x 2成立时，求a 的取值范围．
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