江苏省赣榆高级中学2012届高三期末模拟数学试卷

第9题图 0 1 2 6 7 8 8 0 2 8 0 2 2
8 7
9 8 7 6 2 0 1 0
第8题图 江苏省赣榆高级中学2012届高三数学期末模拟试卷
一、填空题
1．已知集合{}1A =，{}19B =, ，则A B =
．
2．已知复数z 的实部为1-，模为2，则复数z 的虚部是 ．
3．若函数
2()5
f x mx x =++在[2)
-+∞，上是增函数，则m 的取值范围
是 ．
4．已知关于x 的不等式250
ax x a
-<-的解集为M ，若5M ∉,则实数a 的取值范
围是 ．
5．若点(cos ,sin )P αα在直线2y x =-上,则sin 22cos 2αα+= ．
6．数列{n a ｝的前n 项和
2
23(N*)n S n n n =-∈,则4a = ．
7．若函数)(x f 的导函数为34)('2+-=x x x f ，则函数)1(-x f 的单调递减区间
为 ．
8．某校开展了丰富多彩的校本课程，甲、乙两班各随机抽取10名学生的学分，用茎叶图表示(如图所示），若1
s 、2
s 分别表示甲、乙两
班各自10名学生学分的标准差，则1
s 2
s （请填“＜",“＝”，
“＞”）
9．如图，半圆的直径6AB =，O 为圆心，C 为半圆上不同于A B 、的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则()PA PB PC +⋅的最小值是 ．
10．过直线x y =上的一点作圆
2)4(22=-+y x 的两条切线21,l l ，当1l 与2l 关于x y =对称时，1
l 与2
l 的夹角为 ．
P
E
11．平面向量也叫二维向量,二维向量的坐标表示及其运算可以推广到n(n≥3）维向量，n 维向量可用（x1,x2，x3,x4,…，xn ）表示．设a ＝（a1,a2,a3，a4，…，an ），b ＝(b1，b2，b3，b4,…，bn ），规定向
量a 与b 夹角θ的余弦为
∑∑∑====
n
i i
n
i i
n
i i
i b
a b
a 1
21
2
1cos θ，已知n 维向量a ，b ，当a ＝
(1,1,1，1，…，1),b ＝（－1,－1，1，1，1，…,1)时，cosθ等于 ． 12．将边长为3的正四面体以各顶点为顶点各截去(使截面平行于底面)边长为1的小正四面体，所得几何体的表面积为_ ． 13．等腰ABC Rt ∆中，斜边24=BC ，一个椭圆以C 为其中一个焦点，另一个焦点在线段AB 上，且椭圆经过B A ,两点，则该椭圆的离心率为 ．
14．若实数c b a ,,满足11111
1,122222a b a b b c a c ++++=++=，则c 的最大值是
．
二、解答题（本大题共6小题,共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．（本小题满分14分）
平面直角坐标系xOy 中,已知向量()()()6123AB BC x y CD ===--, , , , , , 且
//AD BC
．
(1）求x 与y 之间的关系式;
（2）若AC BD ⊥，求四边形ABCD 的面积．
16．(本小题满分14分）
如图,在四棱锥P －ABCD 中,底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD,PA=AD ，
，E
是线段PD 上的点，F 是线段AB 上
的点，且(0)PE BF
ED FA λλ==>．
（1)判断EF 与平面PBC 的关系，并证明； （2）当λ为何值时，DF ⊥平面PAC?并证明．
18．(本小题满分16分)
已知椭圆)
0(1:2222>>=+b a b y a x C 的焦距为32，离心率为23．
（1）求椭圆的方程；
(2）设过椭圆顶点),0(b B ,斜率为k 的直线交椭圆于另一点D,交x 轴于点
E ，且|||,||,|DE BE BD 成等比数列，求2k 的值．
17．（本小题满分14分）
如图所示:一吊灯的下圆环直径为4m ，圆心为O,通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态,并且与天花板的距离)(OB 即为2m ，在圆环上设置三个等分点A1，A2，A3．点C 为OB 上一点(不包含端点O 、B ），同时点C 与点A1，A2，A3，B 均用细绳相连接，且细绳CA1，CA2，CA3的长度相等．设细绳的总长为y ．
（1）设∠CA1O = θ (rad ），将y 表示成θ的函数关系式；
（2）请你设计θ，当角θ正弦值的大小是多少时，细绳总长y 最小，并指明此时 BC 应为多长．
19．(本小题满分16分） 已知:三次函数c bx ax x x f +++=23)(,在),2(),1,(+∞--∞上单调增,在（—1，2）
上单调减，当
且仅当4>x 时，
.54)(2
+->x x x f （1）求函数f （x)的解析式； （2）若函数
)
ln()1()2(3)
()(m x m x x f x h ++--'=
，求)(x h 的单调区间．
20．(本小题满分16分) 设)(n f
k
为关于n 的)(N k k ∈次多项式．数列｛an}的首项1
1
a
=，前n
项和为n
S ．对于任意的正
整数n,()n
n k a
S f n +=都成立．
（1）若0k =，求证:数列{an}是等比数列；
（2）试确定所有的自然数k ，使得数列｛an}能成等差数列． 数学Ⅱ(附加题) 21．设矩阵
A 00m n ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
，若矩阵A 的属于特征值1的一个特征向量为10⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，
属于特征值2的一个特 征向量为
01⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，求实数m n ,
的值．
22．已知⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别是2cos ρθ=和2sin a ρθ=（a 是非零常数)．
（1） 将两圆的极坐标方程化为直角坐标方程；
A
第23题图 P
B
M
C
（2) 若两圆的圆心距为错误!，求a 的值．
23．在四棱锥P – ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PA 底面ABCD ，点M 是棱PC 的中点，AM 平面PBD ．
⑴求PA 的长;
⑵求棱PC 与平面AMD 所成角的正弦值．
24．设n 是给定的正整数，有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，同时满足下列条件：
①{}n i a i
2,,2,1,1,1 =-∈；
②对任意的1k l n ≤≤≤，都有221
2
l
i i k a =-∑
≤．
（1）记n
A 为满足对“任意的1k n ≤≤，都有021
2=+-k k a a
”的有序数组
122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，的个数,求n A ；
(2)记n
B 为满足“存在1k n ≤≤，使得021
2≠+-k k a a
”的有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，
，，的个数，求n
B ．
数学参考答案 一、填空题: 1．
{}1 9，
； 2．
3
； 3．
104⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，; 4． [1,25] ； 5． —2;
6． 11 ； 7． ［2，4］； 8．<； 9．
9
2-
；
10．
3π
;
11n n 4-．；
12．
3
7； 13． 36- ; 14． 2-log23 ．
二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分)
平面直角坐标系xOy 中，已知向量()()()6123AB BC x y CD ===--, , , , , , 且
//AD BC
．
（1）求x 与y 之间的关系式；
（2）若AC BD ⊥，求四边形ABCD 的面积． 【
解
】（
1
）
由
题
意
得
(4 2)AD AB BC CD x y =++=+-，,
()BC x y =,
， ………………………2分
因为//AD BC ， 所以
(4)(2)0
x y y x +--=，即
20
x y +=，① …………………………………………………4分
(2)由
题
意
得
(6 1)
AC AB BC x y =+=++，，
(2 3)
BD BC CD x y =+=--，， ………………6分
因为AC BD ⊥, 所
以
(6)(2)(1)(3)0
x x y y +-++-=,
即
2242150
x y x y ++--=，
② ………………………8分 由
①②得
2 1 x y =⎧⎨
=-⎩，，
或
6 3.
x y =-⎧⎨
=⎩， (1)
0分 当2 1
x y =⎧⎨
=-⎩，
时，
(8 0)AC =，,(0 4)
BD =-，，则
1=16
2
ABCD S AC BD =四边形 (12)
分
B
第16题图
P
F
E
A D
当
6 3
x y =-⎧⎨
=⎩，
时,(0 4)AC =，
，(8 0)BD =-，,则1=16
2
ABCD S AC BD =四边形 …………………14分
所以，四边形ABCD 的面积为16． 16．（本小题满分14分)
如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形,PA ⊥平面ABCD ，PA=AD
，，E 是线段PD 上的点,F 是线段AB 上
的点,且(0)PE BF
ED FA λλ==>．
（1)判断EF 与平面PBC 的关系,并证明； （2）当λ为何值时，DF ⊥平面
PAC?并证明．
16、(1)作//FG BC 交CD 于G ，连接EG ，
则而,
,BF CG
PE BF
FA GD ED FA λ===
,//,PE CG
PC EG ED GD ∴
=∴又//,,FG BC BC
PC C FG GE G ==
∴
平面PBC
//
平面EFG ．又EF ⊂
平面PBC ，∴EF
//
平面PBC ．………………………………6分 （
2
）
当
1
λ=时
，
DF
⊥
平
面
PAC ． …………………………………………………………8分 证明如下：
1λ=
，则
F 为AB 的中点，又1
2AB
,
∴在FAD Rt ∆与ACD Rt ∆中，
2tan ==
∠AF AD AFD ，2tan ==∠AD CD
CAD , (11)
分
.,AFD CAD AC DF ∴∠=∠∴⊥
又PA ⊥平面ABCD,DF ⊂平面ABCD,PA DF ∴⊥，
DF ∴⊥
平面
PAC ． ………………………………………………………………14分
17．（本小题满分14分)
如图所示：一吊灯的下圆环直径为4m,圆心为O,通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离)(OB 即为2m ，在圆环上设置三个等分点A1，A2，A3．点C 为OB 上一点（不包含端点O 、B),同时点C 与点A1,A2,A3，B 均用细绳相连接，且细绳CA1，CA2,CA3的长度相等．设细绳的总长为y ．
（1）设∠CA1O = θ （rad ）,将y 表示成θ的函数关系式；
（2)请你设计θ，当角θ正弦值的大小是多少时,细绳总长y 最小，并指明此时 BC 应为多长．
17． （Ⅰ）解:在Rt △COA1中，
θcos 2
1=
CA ,θtan 2=CO ，
………2分
θθ
tan 22cos 2
331-+⋅
=+=CB CA y =
2cos )sin 3(2+-θθ（
40π
θ<
<）……7分
（Ⅱ）
θθθθθθ222/
cos 1sin 32
cos )sin )(sin 3(cos 2-=----=y ，
令0='y ,则31sin =
θ
………………12分
当
31sin >
θ时，0>'y ；31
sin <
θ时,0<'y ，
∵θsin =y 在]4,0[π
上是增函数
∴当角θ满足31
sin =
θ时，y
最小，最小为224+；此时BC
2
2
2-
=m (16)
分
18．（本小题满分16分)
已知椭圆)
0(1:2222>>=+b a b y a x C 的焦距为32,离心率为23
．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过椭圆顶点),0(b B ,斜率为k 的直线交椭圆于另一点D ，交x 轴于点E ，且|||,||,|DE BE BD 成等比数列，求2
k 的值．
19．(本小题满分16分) 已知：三次函数
c bx ax x x f +++=23)(，在),2(),1,(+∞--∞上单调增,在(-1，
2）上单调减,当且仅当4>x 时，
.54)(2
+->x x x f （1)求函数f （x)的解析式; （2）若函数)
ln()1()2(3)
()(m x m x x f x h ++--'=
，求)(x h 的单调区间．
解:(1）)(x f 在),2(),1,(+∞--∞上单增，（—1，2)上单减
023)(2=++='∴b ax x x f 有两根－1，2
c
x x x x f b a b a +--=∴⎪⎩⎪⎨⎧-=-=∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
=⨯--=+-∴623)(623321322123
…………4分
令522554)()(2
32-+--
=+--=c x x x x x x f x H
)2)(13(253)(2-+=--='x x x x x H
),2(),31,()(+∞--∞在x H 单调增，)
2,31
(-单调减
故110)31(0
)4(-=∴⎪⎩⎪
⎨
⎧<-=c H H
11623)(2
3---
=∴x x x x f
故
.11623)(2
3---
=x x x x f
………………………………………………6分
(2）∵
633)(2'--=x x x f
)2)(ln()1(1)(≠->++-+=∴x m x m x m x x h 且
m x x m x m x h +-=
++-
='∴1
11)(
当m≤－2时，－m≥2，定义域：),(+∞-m 0)(>'x h 恒成立，),()(+∞-m x h 在上单增； 当12-≤<-m 时，12≥->m ，定义域：),2()2,(+∞- m
0)(>'x h 恒成立，),2(),2,()(+∞-m x h 在上单增
当m >－1时，－m 〈1,定义域：),2()2,(+∞- m 由0)(>'x h 得x 〉1，由0)(<'x h 得x <1．
故在（1,2），（2，+∞)上单增；在)1,(m -上单减 所以当m≤－2时，h （x)在(－m ，+∞）上单增； 当12-≤<-m 时,),2(),2,()(+∞-m x h 在上单增；
当m >－1时,在（1，2）,（2，+∞）上单增；在(－m,1）单减………16分
20．（本小题满分16分） 设)(n f
k
为关于n 的)(N k k ∈次多项式．数列{an ｝的首项1
1
a
=，前n
项和为n
S ．对于任意的正
整数n ，()n
n k a
S f n +=都成立．
（1）若0k =,求证：数列｛an ｝是等比数列；
（2）试确定所有的自然数k ，使得数列｛an ｝能成等差数列． 【证】（1）若0k =，则()k
f n 即0
()f n 为常数，不妨设0
()f n c =（c 为常数）．
因为()
n
n k a
S f n +=恒成立,所以1
1
a S
c
+=，即1
22
c a
==．
而且当2n ≥时，2
n
n a S +=， ①
112
n n a S --+=， ② ①－②得 120(2)n n a a n n --=∈N ，≥．
若an=0,则
1=0
n a -,…，a1=0，与已知矛盾,所以*0()
n a n ≠∈N ．
故数列{an ｝是首项为1，公比为1
2
的等比数
列． ………………………………………………4分 【解】（2）(i ） 若k=0，由（1）知，不符题意，舍去． (ii ） 若k=1，设1
()f n bn c =+(b ，c 为常数)，
当2n ≥时，n
n a S bn c
+=+， ③
11(1)n n a S b n c
--+=-+， ④
③
－
④
得
12(2)
n n a a b n n --=∈N ，≥．………………………………………………………
……7分
要使数列{an ｝是公差为d （d 为常数）的等差数列，必须有n
a b d
=-（常
数)，
而a1=1,故{an}只能是常数数列,通项公式为an =1()*
n ∈N ，
故当k=1时,数列｛an}能成等差数列，其通项公式为an =1()*
n ∈N ，此
时1
()1f n n =+．…9分
（iii ） 若k=2，设22()f n an bn c
=++（0a ≠，a,b ，c 是常数）， 当2
n ≥时,
2n n a S an bn c
+=++， ⑤
211(1)(1)n n a S a n b n c
--+=-+-+， ⑥
⑤
－
⑥
得
122(2)
n n a a an b a n n --=+-∈N ，≥， (12)
分
要使数列{an ｝是公差为d(d 为常数）的等差数列，必须有
2n a an b a d
=+--,且d=2a ，
考虑到a1=1，所以1(1)2221n a n a an a =+-⋅=-+(
)*
n ∈N
．
故当k=2时，数列｛an}能成等差数列，其通项公式为
221n a an a =-+(
)*
n ∈N
，
此
时
22()(1)12f n an a n a
=+++-(a 为非零常
数)．……………………………………………14分 （iv ） 当3k ≥时，若数列｛an}能成等差数列,则n
n
a S +的表达式中n 的
最高次数为2,故数列｛an ｝ 不能成等差数列．
综上得,当且仅当k=1或2时，数列{an ｝能成等差数列． ……………………………………16分
数学Ⅱ 21．设矩阵
A 00m n ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
，若矩阵A 的属于特征值1的一个特征向量为
10⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，
A 第23题图
P
B
M
C
属于特征值2的一个特 征向量为01⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，求实数m n ,
的值． 【
解】由题意得
01110000002011m n m n ⎧⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎨⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎣
⎦⎣⎦⎣⎦
⎩, , (6)
分
化
简得100002m n m n =⎧⎪⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎪=⎩,
, ,
,
所以
12m n =⎧⎨
=⎩,
.
(10)
分
22．已知⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别是2cos ρθ=和2sin a ρθ=(a 是非零常数）．
（1） 将两圆的极坐标方程化为直角坐标方程; （2) 若两圆的圆心距为错误!,求a 的值． 解：(1)由ρ＝2cosθ，得ρ2＝2ρcosθ．
所以⊙O1的直角坐标方程为x2＋y2＝2x ． 即 （x －1）2＋y2＝1．(3分） 由 ρ＝2asinθ，得ρ2＝2aρsinθ．
所以⊙O2的直角坐标方程为x2＋y2＝2ay ， 即 x2＋(y －a ）2＝a2．（6分)
(2）⊙O 1与⊙O2的圆心之间的距离为错误!＝错误!，解得a ＝
±2． …………………………10分
23．在四棱锥P – ABCD 中,底面ABCD 是边长为1的正方形，PA 底面ABCD,点M 是棱PC 的中点,AM 平
面
PBD ．
⑴求PA 的长；
⑵求棱PC 与平面AMD 所成角的正弦值．
解:以A 为坐标原点,AB ，AD ，AP 分别为x,y ，z 轴建立空间直角坐标系，则A （0，0,0），B(1,0,0)，C(1，1，0),D （0,1,0),P （0,0，a ）． 因为M 是PC 中点，所以M 点的坐标为（错误!，错误!，错误!),所以错误! = (错误!，错误!，错误!)，
错误!
= （–1，1,0)，错误! = ( – 1，0，a ）．
⑴因为错误!平面PBD ，所以错误!·错误! = 错误!·错误! = 0．即 –
错误!
+
错误!
=
0,所以
a
=
1,即
PA
=
1． …………………………………4分
⑵由错误! = （0,1，0），错误! = (错误!,错误!，错误!)，可求得平面AMD 的一个法向量n = （ – 1,0,1)．又错误! = （ – 1，–1，1)．所以cos 〈n ，
错误!
> = 错误! = 错误! = 错误!．
所以，PC
与平面
AMD
所成角的正弦值为
错误!．……………………………10分
24．设n 是给定的正整数，有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，同时满足下列条件：
①{}n i a i
2,,2,1,1,1 =-∈； ②对任意的1k l n ≤≤≤,都有221
2
l
i i k a =-∑
≤．
P
B C
D A
M x
y
z
（1）记n
A 为满足对“任意的1k n ≤≤，都有021
2=+-k k a a
”的有序数组
122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，的个数，求n A ;
（2）记n
B 为满足“存在1k n ≤≤，使得021
2≠+-k k a a
”的有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，
，，的个数,求n
B ．
【解】（1）因为对任意的1k n ≤≤，都有021
2=+-k k a a ，
所以,
22222n
n n A =⨯⨯⋅⋅⋅⨯=个相乘
； …………
………………4分
（2）因为存在1k n ≤≤，使得21
20k k a a -+≠,
所以21
22
k k a
a -+=或21
22
k k a
a -+=-，
设所有这样的k 为1
2
(1)
m
k k k m n ⋅⋅⋅≤≤, , ，
不妨设
2122(1)
j j k k a a j m -+=≤≤，则
112122
j j k k a a ++-+=-(否则1
221
2
j j k i i k a +=->∑
=4)；
同理，若21
22(1)
j j k k a a j m -+=-≤≤，则1121
22
j j k k a
a ++-+=,
这说明
212j j
k k a a -+的值由
11
212k k a a -+的值（2
或
-
2)确
定， …………………………6分 又其余的()n m -对相邻的数每对的和均为0， 所
以，
11222C 22C 22C n n n n n n n
B --=⨯+⨯+⋅⋅⋅+ ……………………
……8分
11222(2+C 2C 2C )22n n n n n n n n --=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯
2(12)22n n =+-⨯
2(32)
n n =-． ……
……………………10分。