2018届高考数学(理)二轮专题复习限时规范训练18排列与组合、二项式定理
2018届高考理科数学通用版三维二轮专题复习课件排列与组合、二项式定理
10b－a ab
a x＋ n 3．(2018 届高三· 西安八校联考)已知关于 x 的二项式 3 x 的展开式的二项式系数之和为 32，常数项为 80，则实数 a
a a 5 x ＋ x ＋ n 解析：依题意得 2n＝32，n＝5，二项式 ＝ 3 3 x x
位自然数中“凹数”共有 100＋36＋9＋1＝146 个． 答案：D
解析：中国领导人站在前排正中间位置，美、俄两国领导 人站前排并与中国领导人相邻，有 A2 2种站法；其他 18 国 领导人可以任意站，因此有 A18 18种站法．根据分步计数原
18 理，共有 A2 A 2 18种站法．
答案：D
4．(2017· 浙江高考)从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人，副 队长 1 人，普通队员 2 人组成 4 人服务队，要求服务队中至 少有 1 名女生，共有________种不同的选法．(用数字作答)
解析：法一：分两步，第一步，选出 4 人，由于至少 1 名女生，
4 故有 C4 8－C6＝55 种不同的选法；第二步，从 4 人中选出队长、
副队长各 1 人，有 A2 4＝12 种不同的选法．根据分步乘法计数原 理知共有 55×12＝660 种不同的选法．
2 法二：不考虑限制条件，共有 A2 8C6种不同的选法， 2 而没有女生的选法有 A2 6C4种， 2 2 2 故至少有 1 名女生的选法有 A2 8C6－A6C4＝840－180＝660(种)．
不同的住宿安排共有 90－18＝72 种．
答案：72
[准解·快解·悟通]
快 1.看到“在”与“不在”的排列问题，想到特殊优先原则． 审 2.看到相邻问题，想到捆绑法；看到不相邻问题，想到插空法． 题 3.看到“至少”“最多”的问题，想到用直接法或间接法． 1.明确排列、组合问题求解的 4 个角度 解答排列组合应用题要从“分析”“分辨”“分类”“分 步”的角度入手． (1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”， 准 哪些是“位置”； 解 (2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有 题 无限制等； (3)“分类”就是对于较复杂的应用题中的元素往往分成互 相排斥的几类，然后逐类解决； (4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都 是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．
2018届高考数学二轮复习排列与组合学案含答案（全国通用）
2018届⾼考数学⼆轮复习排列与组合学案含答案（全国通⽤）排列与组合【考点梳理】1.排列与组合的概念(1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的排列数.(2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的组合数.3.排列数、组合数的公式及性质考点⼀、排列问题【例1】(1)六个⼈从左⾄右排成⼀⾏，最左端只能排甲或⼄，最右端不能排甲，则不同的排法共有()A.192种B.216种C.240种D.288种(2)把5件不同产品摆成⼀排.若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种.[答案] (1)B(2)36[解析] (1)第⼀类：甲在最左端，有A55＝5×4×3×2×1＝120(种)⽅法；第⼆类：⼄在最左端，有4A44＝4×4×3×2×1＝96(种)⽅法.所以共有120＋96＝216(种)⽅法.(2)记其余两种产品为D，E，A，B相邻视为⼀个元素，先与D，E排列，有A22A33种⽅法；再将C插⼊，仅有3个空位可选，共有A22A33C13＝2×6×3＝36种不同的摆法.【类题通法】1. 第(1)题求解的关键是按特殊元素甲、⼄的位置进⾏分类.注意特殊元素(位置)的优先原则，即先排有限制条件的元素或有限制条件的位置.对于分类过多的问题，可利⽤间接法.2．对相邻问题采⽤捆绑法、不相邻问题采⽤插空法、定序问题采⽤倍缩法等常⽤的解题⽅法.【对点训练】1．7⼈站成两排队列，前排3⼈，后排4⼈，现将甲、⼄、丙三⼈加⼊队列，前排加⼀⼈，后排加两⼈，其他⼈保持相对位置不变，则不同的加⼊⽅法种数为( )A.120B.240C.360D.480[解析] 第⼀步，从甲、⼄、丙三⼈选⼀个加到前排，有3种，第⼆步，前排3⼈形成了4个空，任选⼀个空加⼀⼈，有4种，第三步，后排4⼈形成了5个空，任选⼀个空加⼀⼈有5种，此时形成6个空，任选⼀个空加⼀⼈，有6种，根据分步计数原理有3×4×5×6＝360种⽅法.2．某班准备从甲、⼄等七⼈中选派四⼈发⾔，要求甲⼄两⼈⾄少有⼀⼈参加，那么不同的发⾔顺序有( )A.30B.600C.720D.840[答案] C[解析]若只有甲⼄其中⼀⼈参加，有C12C35A44＝480种⽅法；若甲⼄两⼈都参加，有C22C25A44＝240种⽅法，则共有480＋240＝720种⽅法，故选C.考点⼆、组合问题【例2】某市⼯商局对35种商品进⾏抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.(1)其中某⼀种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某⼀种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？(4)⾄少有2种假货在内，不同的取法有多少种？(5)⾄多有2种假货在内，不同的取法有多少种？[解析] (1)从余下的34种商品中，选取2种有C234＝561种，∴某⼀种假货必须在内的不同取法有561种.(2)从34种可选商品中，选取3种，有C334种或者C335－C234＝C334＝5 984种.∴某⼀种假货不能在内的不同取法有5 984种.(3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有C120C215＝2 100种.∴恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种.(4)选取2种假货有C120C215种，选取3件假货有C315种，共有选取⽅式C120C215＋C315＝2 100＋455＝2 555种.∴⾄少有2种假货在内的不同的取法有2 555种.(5)选取3件的总数为C335，因此共有选取⽅式C335－C315＝6 545－455＝6 090种.∴⾄多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.【类题通法】组合问题常有以下两类题型变化：1.“含有”或“不含有”某些元素的组合题型；“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补⾜；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.2．“⾄少”或“⾄多”含有⼏个元素的组合题型：解这类题必须⼗分重视“⾄少”与“⾄多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.⽤直接法和间接法都可以求解，通常⽤直接法分类复杂时，考虑逆向思维，⽤间接法处理.【对点训练】1．现有6个不同的⽩球，4个不同的⿊球，任取4个球，则⾄少有两个⿊球的取法种数是()B.115C.210D.385[答案] B[解析] 分三类，取2个⿊球有C24C26＝90种，取3个⿊球有C34C16＝24种，取4个⿊球有C44＝1种，故共有90＋24＋1＝115种取法，选B.2．若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A.60种B.63种C.65种D.66种[答案] D[解析]共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，∴共有不同的取法有C45＋C44＋C25C24＝66(种).考点三、排列、组合的综合应⽤【例3】4个不同的球，4个不同的盒⼦，把球全部放⼊盒内.(1)恰有1个盒不放球，共有⼏种放法？(2)恰有1个盒内有2个球，共有⼏种放法？(3)恰有2个盒不放球，共有⼏种放法？[解析] (1)为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒⼦中任意取出去⼀个，问题转化为“4个球，3个盒⼦，每个盒⼦都要放⼊球，共有⼏种放法？”即把4个球分成2，1，1的三组，然后再从3个盒⼦中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒⼦内，由分步乘法计数原理，共有C14C24C13×A22＝144(种).(2)“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒⼦放2个球，每个盒⼦⾄多放1个球，也即另外3个盒⼦中恰有⼀个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同⼀件事，所以共有144种放法.(3)确定2个空盒有C24种⽅法.4个球放进2个盒⼦可分成(3，1)、(2，2)两类，第⼀类有序不均匀分组有C34C11A22种⽅法；第⼆类有序均匀分组有C24C22A22·A22种⽅法.故共有C24(C34C11A22＋C24C22A22·A22)＝84(种). 【类题通法】1. 解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满⾜特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置).对于排列组合的综合题⽬，⼀般是将符合要求的元素取出或进⾏分组，再对取出的元素或分好的组进⾏排列.2．不同元素的分配问题，往往是先分组再分配.在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组⽅法的差异.其次对于相同元素的“分配”问题，常⽤的⽅法是采⽤“隔板法”.【对点训练】1．某校⾼⼆年级共有6个班级，现从外地转⼊4名⽣，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排⽅案种数为( )A.A 26C 24B.12A 26C 24C.A 26A 24D.2A 26 [答案] B[解析] 法⼀将4⼈平均分成两组有12C 24种⽅法，将此两组分配到6个班级中的2个班有A 26(种).所以不同的安排⽅法有12C 24A 26(种).法⼆先从6个班级中选2个班级有C 26种不同⽅法，然后安排⽣有C 24C 22种，故有C 26C 24C 22＝12A 26C 24(种). 2．在8张奖券中有⼀、⼆、三等奖各1张，其余5张⽆奖.将这8张奖券分配给4个⼈，每⼈2张，不同的获奖情况有________种(⽤数字作答).[答案] 60[解析] 把8张奖券分4组有两种分法，⼀种是分(⼀等奖，⽆奖)、(⼆等奖，⽆奖)、(三等奖，⽆奖)、(⽆奖，⽆奖)四组，分给4⼈有A 44种分法；另⼀种是⼀组两个奖，⼀组只有⼀个奖，另两组⽆奖，共有C 23种分法，再分给4⼈有C 23A 24种分法，所以不同获奖情况种数为A 44＋C 23A 24＝24＋36＝60.。
2018届高考数学(理)二轮专题复习限时规范训练：第一部分专题一集合常用逻辑用语平面向量复数1-1-3含答案
限时规范训练三算法、框图与推理限时45分钟，实际用时分值80分，实际得分一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1．请仔细观察1,1,2,3,5，( )，13，运用合情推理，可知写在括号里的数最可能是( ) A．8 B．9C．10 D．11解析：选A.观察题中所给各数可知，2＝1＋1,3＝1＋2,5＝2＋3,8＝3＋5,13＝5＋8，∴括号中的数为8.故选A.2．执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为2，则输出的y的值为( )A．2 B．5C．11 D．23解析：选D.x＝2，y＝5，|2－5|＝3＜8；x＝5，y＝11，|5－11|＝6＜8；x＝11，y＝23，|11－23|＝12＞8.满足条件，输出的y的值为23，故选D.3．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)等于( ) A．f(x) B．－f(x)C．g(x) D．－g(x)解析：选D.由所给等式知，偶函数的导数是奇函数．∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数，从而g(x)是奇函数．∴g(－x)＝－g(x)．4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为－4时，则输入的S0的值为( )A．7 B．8C．9 D．10解析：选D.根据程序框图知，当i＝4时，输出S.第1次循环得到S＝S0－2，i＝2；第2次循环得到S＝S0－2－4，i＝3；第3次循环得到S＝S0－2－4－8，i＝4.由题意知S0－2－4－8＝－4，所以S0＝10，故选D.5．(2017·高考山东卷)执行如图所示的程序框图，当输入的x的值为4时，输出的y的值为2，则空白判断框中的条件可能为( )A．x＞3 B．x＞4C．x≤4D．x≤5解析：选B.输入x＝4，若满足条件，则y＝4＋2＝6，不符合题意；若不满足条件，则y＝log24＝2，符合题意，结合选项可知应填x＞4.故选B.6．如图所示的程序框图的运行结果为( )A ．－1B ．12C ．1D ．2解析：选A.a ＝2，i ＝1，i ≥2 019不成立；a ＝1－12＝12，i ＝1＋1＝2，i ≥2 019不成立； a ＝1－112＝－1，i ＝2＋1＝3，i ≥2 019不成立；a ＝1－(－1)＝2，i ＝3＋1＝4，i ≥2 019不成立；…，由此可知a 是以3为周期出现的，结束时，i ＝2 019＝3×673，此时a ＝－1，故选A. 7．设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c.类比这个结论可知：四面体S ABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球半径为R ，四面体S ABC 的体积为V ，则R 等于( )A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C.3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4解析：选C.把四面体的内切球的球心与四个顶点连起来分成四个小三棱锥，其高都是R ，四个小三棱锥的体积和等于四面体的体积，因此V ＝13S 1R ＋13S 2R ＋13S 3R ＋13S 4R ，解得R ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4.8．按照如图所示的程序框图执行，若输出的结果为15，则M 处的条件为( )A ．k ≥16B ．k ＜8C ．k ＜16D ．k ≥8解析：选A.根据框图的循环结构依次可得S ＝0＋1＝1，k ＝2×1＝2；S ＝1＋2＝3，k ＝2×2＝4；S ＝3＋4＝7，k ＝2×4＝8；S ＝7＋8＝15，k ＝2×8＝16，根据题意此时跳出循环，输出S ＝15.所以M 处的条件应为k ≥16.故A 正确．9．如图所示的程序框图中，输出S ＝( )A ．45B ．－55C ．－66D ．66解析：选B.由程序框图知，第一次运行T ＝(－1)2·12＝1，S ＝0＋1＝1，n ＝1＋1＝2；第二次运行T ＝(－1)3·22＝－4，S ＝1－4＝－3，n ＝2＋1＝3；第三次运行T ＝(－1)4·32＝9，S ＝－3＋9＝6，n ＝3＋1＝4…直到n ＝9＋1＝10时，满足条件n ＞9，运行终止，此时T ＝(－1)10·92，S ＝1－4＋9－16＋…＋92－102＝1＋(2＋3)＋(4＋5)＋(6＋7)＋(8＋9)－100＝1＋92×9－100＝－55.故选B.10．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k ]，即[k ]＝{5n ＋k |n ∈Z }，k ＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：①2 018∈[3]； ②－2∈[2]；③Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“a －b ∈[0]”． 其中正确结论的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C.因为2 018＝403×5＋3，所以2 018∈[3]，①正确；－2＝－1×5＋3，－2∈[3]，所以②不正确；因为整数集中被5除的数可以且只可以分成五类，所以③正确；整数a ，b 属于同一“类”，因为整数a ，b 被5除的余数相同，从而a －b 被5除的余数为0，反之也成立，故整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“a －b ∈[0]”，故④正确．所以正确的结论有3个，故选C.11．执行如图所示的程序框图，如果输入x ，t 的值均为2，最后输出S 的值为n ，在区间[0,10]上随机选取一个数D ，则D ≤n 的概率为( )A.25B.12C.35D.710解析：选D.这是一个循环结构，循环的结果依次为M ＝2，S ＝2＋3＝5，k ＝1＋1＝2；M ＝2，S ＝2＋5＝7，k ＝2＋1＝3.最后输出7，所以在区间[0,10]上随机选取一个数D ，则D ≤n 的概率P＝710，故选D. 12．定义方程f (x )＝f ′(x )的实数根x 0叫做函数f (x )的“新驻点”，若函数g (x )＝x ，h (x )＝ln(x ＋1)，φ(x )＝x 3－1的“新驻点”分别为α，β，γ，则α，β，γ的大小关系为( )A ．α＞β＞γB ．β＞α＞γC ．γ＞α＞βD ．β＞γ＞α解析：选C.g (x )＝g ′(x )，即x ＝1，所以α＝1；h (x )＝h ′(x )，即ln(x ＋1)＝1x ＋1，0＜x＜1，所以β∈(0,1)；φ(x)＝φ′(x)，即x3－1＝3x2，即x3－3x2＝1，x2(x－3)＝1，x＞3，所以γ＞3.所以γ＞α＞β.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则输入的数是________．解析：令a≥b得，x2≥x3，解得x≤1.所以当x≤1时，输出a＝x2，当x＞1时，输出b＝x3.当x≤1时，由题意得a＝x2＝8，解得x＝－8＝－2 2.当x＞1时，由题意得b＝x3＝8，得x＝2，所以输入的数为2或－2 2.14．刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去西安参加自主招生考试，考试结束后刘老师向四名学生了解考试情况．四名学生回答如下：甲说：“我们四人都没考好．”乙说：“我们四人中有人考得好．”丙说：“乙和丁至少有一人没考好．”丁说：“我没考好．”结果，四名学生中有两人说对了，则这四名学生中的________两人说对了．解析：甲与乙的关系是对立事件，二人说话矛盾，必有一对一错，如果选丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时乙正确．故答案为乙，丙．答案：乙，丙15．已知实数x∈[2,30]，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于103的概率是________．解析：实数x ∈[2,30]，经过第一次循环得到x ＝2x ＋1，n ＝2；经过第二次循环得到x ＝2(2x ＋1)＋1，n ＝3；经过第三次循环得到x ＝2[2(2x ＋1)＋1]＋1，n ＝4，此时输出x ，输出的值为8x ＋7.令8x ＋7≥103，解得x ≥12.由几何概型的概率公式，得到输出的x 不小于103的概率为30－1230－2＝914. 16．集合{1,2,3，…，n }(n ≥3)中，每两个相异数作乘积，将所有这些乘积的和记为T n ，如：T 3＝1×2＋1×3＋2×3＝12×[62－(12＋22＋32)]＝11；T 4＝1×2＋1×3＋1×4＋2×3＋2×4＋3×4＝12×[102－(12＋22＋32＋42)]＝35； T 5＝1×2＋1×3＋1×4＋1×5＋…＋3×5＋4×5＝12×[152－(12＋22＋32＋42＋52)]＝85.则T 7＝________.(写出计算结果)解析：由T 3，T 4，T 5归纳得出T n ＝12[(1＋2＋…＋n )2－(12＋22＋…＋n 2)]，则T 7＝12×[282－(12＋22＋…＋72)]．又∵12＋22＋…＋72＝16×7×8×15＝140，∴T 7＝12×(784－140)＝322.答案：322。
2018届高考数学二轮复习 二项式定理专题
二项式定理专题[基础达标](35分钟55分)一、选择题(每小题5分，共35分)1.在(x-1)4的展开式中，x的系数为()A.6B.-6C.4D.-4A【解析】T r+1=C4r(x)4-r(-1)r=C4r(-1)r x2-r2，令2-r2=1，得r=2，则C42(-1)2=6.2.设二项式 x-12n(n∈N*)展开式的二项式系数和与各项系数和分别为a n，b n，则a1+a2+…+a nb1+b2+…+b n=() A.2n-1+3 B.2(2n-1+1) C.2n+1D.1C【解析】由于二项式 x-12n(n∈N*)展开式的二项式系数和与各项系数和分别为a n，b n，则a n=2n，b n=2-n，所以a1+a2+…+a nb1+b2+…+b n =2(1-2n)1-22-1(1-2-n)1-2-1=2n+1.3x10=a0+a1(x+1)+…+a8(x+1)8+a9(x+1)9+a10(x+1)10，则a8=()A.45B.9C.-45D.-9A【解析】a8是x10=[-1+(x+1)]10的展开式中第九项(x+1)8的系数，故a8=C108(-1)2=45.4.C101+2C102+4C103+…+29C1010=()A.310-12B.3102C.39-12D.392A【解析】因为C100+2C101+22C102+23C103+…+210C1010=(1+2)10，所以C101+2C102+4C103+…+29C1010=310-12.5.1x2+4x2+43的展开式中的常数项为()A.120B.140C.150D.160D【解析】1x +4x2+43=1x+2x6，展开式中的第r+1项为T r+1=C6r·1 x 6-r·(2x)r=C6r·2r·x2r-6，令2r-6=0，得r=3，故展开式中的常数项为C63·23=160.6 2 015被9除所得的余数是 ( )A .4B .5C .7D .8B 【解析】22 015=4×22 013=4×8671=4×(9-1)671=4(9671-C 6711·9670+…+C 671670·9-1)，故22015被9除所得的余数是5.7(1+x )(1-2x )7=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 8x 8，则a 1+a 2+…+a 7的值是( ) A .-2B .-3C .125D .-131C 【解析】令x=1，则a 0+a 1+a 2+…+a 8=-2.又a 0=C 70·17·20=1，a 8=C 77(-2)7=-128，所以a 1+a 2+…+a 7=-2-1-(-128)=125. 二、填空题(每小题5分，共10分)8.若(1+mx )6=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 6x 6且a 1+a 2+a 3+…+a 6=63，m>-1，则a 0+a 3+a 6= .22 【解析】令x=0，得a 0=1；令x=1，得a 0+a 1+…+a 6=(1+m )6=64，m>-1，则m=1，则a 0+a 3+a 6=1+C 63+C 66=1+20+1=22.9.在(1+x )5(1+y )4的展开式中，记x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (2，3)= .40 【解析】设展开式中通项为C 5m x m C 4n y n =C 5m C 4n x m y n ，则f (m ，n )=C 5m C 4n ，所以f (2，3)=C 52C 43=40.三、解答题(共10分)10.(10分)已知(a 2+1)n展开式中的各项系数之和等于 165x 2+x5的展开式的常数项，而(a 2+1)n 的展开式的系数最大的项等于54，求正数a 的值. 【解析】 165x 2+x5展开式的通项T r+1=C 5r165x 25-r·x r=C 5r 1655-rx20-5r ，令20-5r=0，得r=4，故常数项T 5=C 54·165=16.又(a 2+1)n 展开式的各项系数之和为2n ， 由题意得2n =16，所以n=4.所以(a 2+1)4展开式中系数最大的项是中间项T 3，从而C42(a2)2=54，所以a=3.[高考冲关](15分钟30分)1.(5分)若(1-3x)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9，则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|=()A.49B.49-1C.29D.29-1A【解析】因为x的奇数次方的系数都是负数，x的偶数次方的系数都是正数，所以|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|=a0-a1+a2-…-a9，在已知条件中只要令x=-1即可，则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|=a0-a1+a2-…-a9=(1+3)9=49.2.(5分)已知(2x+3)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值为() A.1 B.-1 C.0 D.2A【解析】在等式中令x=1，得(2+3)4=a0+a1+a2+a3+a4；令x=-1，得(-2+)4=a0-a1+a2-a3+a4，所以(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=(a0+a1+a2+a3+a4)(a0-a1+a2-a3+a4)=(2+3)4(-2+3)4=[(2+ 3)(-2+3)]4=(-1)4=1.3.(5分)(1+x+x2) x-1x 6的展开式中的常数项为()A.5B.-5C.15D.-20B【解析】 x-1x 6的展开式的通项为T r+1=C6r(-1)r x6-2r.当r=3时，T4=-C63=-20；当r=4时，常数项为C64=15，因此常数项为-20+15=-5.4.(5分)设a≠0，n是大于1的自然数，1+xa n的展开式为a0+a1x+a2x2+…+a n x n.若点A i(i，a i)(i=0，1，2)的位置如图所示，则a=.3【解析】由图得a0=1，a1=3，a2=4，由二项式定理得C n11a =3，C n21a2=4，即na=3，n(n-1) 2a =4，解得a=3，n=9.5.(10分)(1)求证：1+2+22+…+25n-1(n∈N*)能被31整除；(2)求S=C271+C272+…+C2727除以9的余数.【解析】(1)1+2+22+…+25n-1=25n-12-1=25n-1=32n-1=(31+1)n-1=C n0×31n+C n1×31n-1+…+C n n-1×3 1+C n n-1=31(C n0×31n-1+C n1×31n-2+…+C n n-1)，显然C n0×31n-1+C n1×31n-2+…+C n n-1为整数，所以原式能被31整除.(2)S=C271+C272+…+C2727=227-1=89-1=(9-1)9-1=C90×99-C91×98+…+C98×9-C99-1=9(C90×98-C91×97+…+C98)-2.显然C90×98-C91×97+…+C98是整数，所以S被9除的余数为7.。
2018届高考理科数学二轮专题复习 排列、组合、二项式定理
解析
人，
因为5位大学毕业生分配到3家单位，每家单位至少录用1
2 C1 C 5 4 所以共有两种方法： 一， 一个单位 1 名， 其他两个单位各 2 名， 有 A 2 ×A 3 3 2
＝90(种)分配方法；
3 二，一个单位 3 名，其他两个单位各 1 名，有 C3 × A 5 3＝60(种)分配方法，
解析 ① 当组成四位数的数字中有一个偶数时，四位数的个数为
1 4 C3 · C A4＝960. 5 4·
②当组成四位数的数字中不含偶数时，四位数的个数为 A4 5＝120.
故符合题意的四位数一共有960＋120＝1 080(个).
思维升华
解析
答案
跟踪演练2
(1)(2017· 兰州模拟)某国际会议结束后，中、美、
俄等21国领导人合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10 人，中国领导人站在前排正中间位置，美、俄两国领导人也站 前排并与中国领导人相邻，如果对其他国家领导人所站位置不 做要求，那么不同的站法共有
A.A18 18种
3 10 C.A2 A 3 18A10种
B.A20 20种
2 18 D.A √ 2A18种
街同侧有6块广告牌，牌的底色可选用红、蓝两种颜色，若要 求相邻两块牌的底色不都为蓝色，则不同的配色方案共有
A.20种
√
B.21种
D.24种
C.22种
解析
答案
(2)(2016· 全国Ⅱ)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红 会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到 老年公寓可以选择的最短路径条数为
D.35
k 解析 因为(1＋x)6 的通项为 Ck x 6 ，
1 1 44 6 2 2 2 所以1＋x2(1＋x) 的展开式中含 x 的项为 1· C6x 和x2· C6x .
专题12排列组合、二项式定理(2018年1月版)2018届高考高三数学(理)全国各地优质模拟试卷分类汇编解析版
专题 排列组合、二项式定理一、选择题1．【2018 ）A. 15B. -15C. 17D. -17 【答案】C2×66ð+1×46ð=17故选：C.点睛：二项展开式求常数项问题主要是利用好通项公式，在进行分类组合很容易解决，注意系数的正负.2．【2018湖南省两市九月调研】若()2018201801201813,x a a x a x x R -=+++∈ ，则22018122018333a a a ⋅+⋅++⋅ 的值为（ ） A. 201821- B. 201881- C. 20182 D. 20188【答案】B【解析】令0x =，得01a =.令3x =，得()20182201820180122018333198a a a a +⋅+⋅++⋅=-= .所以22018201820181220180333881a a a a ⋅+⋅++⋅=-=- . 故选B.3．【2018辽宁省辽南协作校一模】()4x y z ++的展开式共（ ）项 A. 10 B. 15 C. 20 D. 21 【答案】B 【解析】因为()()()()()()444x y⎡⎤++=++=++++++++⎣⎦所以再运用二项式定理展开共有5432115++++=项，应选答案B 。
4．【2018广东省海珠区一模】()()62x y x y +-的展开式中43x y 的系数为（ ） A. 80- B. 40- C. 40 D. 80 【答案】D5．【20184项的二项式系数为20，则） A. 60 B. 60- C. 80 D. 80- 【答案】A【解析】由题意可得3n ð=20，求得n=6，的展并式的通项公式为T r+1=6rð• r=4，展并式中的常数项为46ð•4=60.点睛：利用二项式系数的性质求得n=6，在（x 6的展并式的通项公式中，令x 的幂指数等于零，求得r 的值，可得展并式中的常数项．6．【2018 ）A. －15B. 15C. －20D. 20 【答案】B【解析】试题分析：二项式展开式的通项公式：.要使其为常数，则,即，常数项为.考点：二项式定理.7．【2018河南省新乡市三模】在的展开式中，系数为有理数的项为（ ）A. 第二项B. 第三项C. 第四项D. 第五项 【答案】B8．【2018内蒙古包钢一中一模】把5名师范大学的毕业生分配到A 、B 、C 三所学校，每所学校至少一人。
高三数学2018届高三数学专项训练(2018)《排列、组合二项式定理》
高三数学2021届高三数学专项训练(2021)?排列、组合二项式定理?1 / 412021届高三数学专项训练〔 09〕?排列、组合二项式定理?一、选择题〔此题每题 5分，共60 分〕1．以下各式中，假设 1 k n, 与C n k不等的一个是〔〕A ．k 1C n k 11B ．nC n k 11 C ． n n C n k1D ．kn C n k 11n 12 kk n 12．二项式(x)7展开式的第 4项与第5项之和为零，那么x 等于 〔〕xA ．1B ．2C ．2D ．463．设(12x)10 a 1 a 2x a 3x 2a 11x 10，那么a 3 a 5 a 7 a 9 a 11等于 〔 〕A ． 10 1 B． 1 10 C ． 1 10 1) ． 1310 1 3 3 (3 () 2 D 24．从10名女学生中选 2名，40 名男生中选 3名，担任五种不同的职务，规定女生不担任其中某种职务，不同的分配方案有 〔 〕A ．A 102A 403 ．C 102C 403A 42A 33 C ．C 102C 403A 55． 2 3 1040 B D CC5．用1，2，3，4，5，6，7七个数字排列组成七位数，使其中偶位数上必定是偶数，那么可得七位数的个数是 〔 〕 A ． 4 B ． 4 3 3 D ． 1 74 43 C ．6A 3 7AAAA26．假设( 3 2x)12 a 0 a 1xa 2x 2 a 12x 12，那么(a 1a 3 a 5 a 11)2 (a 0a 2 a 4 a 12)2的值是 〔 〕A ．1B ．－1 C ．2 D ．－27．在某次数学测验中，学号 i(i 1,2,3,4)的四位同学的考试成绩 f(i) {90,92,93,96,98} ，且满足f(1) f(2) f(3) f(4) ，那么这四位同学的考试成绩的所有可能情况的种数为 〔 〕 A ．9种 B ．5种 C ．23种 D ．15种 8．如果一个三位正整数形如“ a1a2a3〞满足a1 a 2且a 3 a 2 ，那么称这样的三位数为凸数〔如120、 363、374等〕，那么所有凸数个数为 〔 〕 A ．240 B ．218 C ．729 D ．920 9．使得多项式81x 4108x 3 54x 2 12x1能被5整除的最小自然数x 为 〔 〕A ．1B ．2C ．3D ．410．假设( x 2 )n 展开式中存在常数项 ,那么n 的值可以是 〔 〕A ．8 3xB ．9C ．10 D ．1211．在 AOB 的OA 边上取m 个点，在OB 边上取n 个点〔均除O 点外〕，连同O 点m 点，现任取其中三个点为顶点作三角形，可作的三角形有 〔A ．C m 1 1Cn 2 Cn 11Cm 2B ．C m 1C n 2C n 1C m 2 C ．C m 1C n 2C n 1C m 2 C m 1C n 1D ．Cm 1Cn 21 C 12．二项式(2x2)9(x R)的展开式的第7项为 21,那么lim(xx 2x n )的2 4 nA ．1B． 1 C ． 3 D ． 344 44高三数学2021届高三数学专项训练(2021)?排列、组合二项式定理?2 / 42二、填空题〔此题每题 4分，共 16分〕13．二项式(1 1)10的展开式中含 15的项的系数________〔请用数字作答〕2x x14．某学校要从高三的 6个班中派 9名同学参加市中学生外语口语演讲，每班至少派 1人，那么这9 个名额的分配方案共有 种.〔用数字作答〕15．在(1 x x 2)(1x)10的展开式中，x 4项的系数是.16．(理)有四个好友A,B,C,D 经常通 交流信息,在通了三次 后这四人都得悉某一条高考信息,那么第一个 是 A 打的情形共有 种.(文)甲、乙、丙、丁、戊5 名学生进行投篮比赛，决出了第 1至第5名的不同名次，甲、乙两 人向裁判询问成绩。
2018年高考数学(理)二轮复习讲练测专题1.7排列组合二项式定理(测)含解析
2018年高考数学（理）二轮复习讲练测专题七 排列组合二项式定理总分 _______ 时间 _______ 班级 _______ 学号 _______ 得分_______一、选择题（12*5=60分）1．【2018届广西南宁市高三9月摸底】（2x ﹣1x）5的展开式中x 3项的系数为（ ） A. 80 B. ﹣80 C. ﹣40 D. 48 【答案】B【解析】通项公式()()55521551212rrr r r r r r T C x C x x ---+⎛⎫=-=-⋅ ⎪⎝⎭，令523r -=，解得1r =，∴展开式中3x 项的系数415280C =-=-，故选B.2．从7名男队员和5名女队员中选出4人进行乒乓球男女混合双打，不同的组队种数是（ ） A. 2275C C B. 22754C C C. 22752C C D. 2275A A 【答案】C3．【2018届江西省临川二中、新余四中高三1月联考】若二项式62m x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为160-，则m 的值为（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1 【答案】C【解析】二项式62m x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()2612366C ()()C r r r r rr m x m x x ---=-.令1233r -=，解得3r =，则系数为()()33366C C 20160r rm m m =-=-=-.解得2m =. 故选C.4．【2018届河北衡水金卷高三高考模拟一】()61231x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中剔除常数项后的各项系数和为（ ）A. 73-B. 61-C. 55-D. 63- 【答案】A【解析】令1x =，得()61231264x x ⎛⎫-+=-=- ⎪⎝⎭，而常数项为0166329C C -⨯+⨯=，所以展开式中剔除常数项的各项系数和为64973--=-，故选A.5．【2018届辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校高三上期末】把四个不同的小球放入三个分别标有1〜3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种 【答案】C6．【2018届四川省绵阳市南山中学高三二诊】某学校需要把6名实习老师安排到,,A B C 三个班级去听课，每个班级安排2名老师，已知甲不能安排到A 班，乙和丙不能安排到同一班级，则安排方案的种数有（ ） A. 24 B. 36 C. 48 D. 72 【答案】C【解析】先考虑甲不能到A 班的方案： ()11225460C C C =种，减去其中乙和丙安排到同一班级的方案：()11123212C C C=种，即48种；故选C.7．【2018届河南省郑州市高三第一次检测（模拟）】在x x ⎛ ⎝的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为3：2，则2x 的系数为（ ）A. 50B. 70C. 90D. 120 【答案】C故二项式为5x ⎛ ⎝，其展开式的通项为()35521553rr r r r r r T C x C x x --+==，（ 0,1,2,3,4,5r =）． 令2r =得222235390T C x x ==．所以2x 的系数为90．选C ．8．若(1＋2x)6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x 的取值范围是( )A. 11125x <<B. 1165x <<C. 12123x <<D. 1265x <<【答案】A【解析】由题意可得： 2123{ T T T T >>，即： ()162126621{ 22C x C x C x ⨯>⨯>⨯， 求解关于实数x 的不等式组可得实数x 的取值范围是： 11125x <<. 本题选择A 选项.9．【2018届湖南师范大学附属中学高三上学期月考（三）（11月）】已知()()62701271...,x a x a a x a x a x a R +-=++++∈，若01267...0a a a a a +++++=，则3a 的值为（ ）A. 35B. 20C. 5D. 5-【答案】D【解析】令1x =，得()6017...21,1a a a a a +++=⋅-∴=，而3a 表示3x 的系数， ()()3232366115a C C ∴=-+-=-，故选D.10．【2018届河南省洛阳市高三年级第一次统考】若0sin a xdx π=⎰，则二项式61x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为（ ）A. -15B. 15C. -240D. 240 【答案】D【解析】0cos |2a x π=-=，而61x ⎛⎫ ⎪⎝⎭展开式的通项公式为(()()66366221666121212rr rn rr r r rr r r r r T C xC xC x x ------+⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭令630r -=，所以2r =，常数项的系数为()2622612240C --=，选D.11．在()()6411x y ++的展开式中，记mnx y 项的系数为(),f m n ，则()()()()3,02,11,20,3f f f f +++=( )A. 45B. 60C. 120D. 210 【答案】C12．【2018届四川省成都市第七中学高三上学期一诊】已知S 为执行如图所示的程序框图输出的结果，则二项式6⎛ ⎝的展开式中常数项的系数是（ ）A. -20B. 20C. 203- D. 60 【答案】A二、填空题（4*5=20分）13.【2018届广西壮族自治区贺州市桂梧高中高三上学期第五次联考】 5x x ⎛⎝展开式中各项的二项式系数之和为__________． 【答案】32【解析】5x x ⎛- ⎝展开式中各项的二项式系数之和为5232= 故答案为32.14．【2018届上海市长宁、嘉定区高三第一次调研（一模）】若12nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中的所有二项式系数之和等于256，则该展开式中常数项的值为____________. 【答案】1120【解析】因为二项展开式中的所有二项式系数之和等于2256n = ，故8n =，所以8888218822r r r r r r r r T C x x C x -----+=⋅=，当820r -=时，即4r =时，常数项的值为44821120C =,故填1120.15．将4个男生和3个女生排成一列，若男生甲与其他男生不能相邻，则不同的排法数有__________种（用数字作答） 【答案】1440【解析】2515353521440A A A A +⨯=。
2018年高考数学(理)二轮复习讲练测专题1.7排列组合二项式定理(讲)含解析
2018年高考数学（理）二轮复习讲练测专题七 排列组合二项式定理考向一 两个计数原理、排列组合的综合应用【高考改编☆回顾基础】2017课标II 改编】安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有 . 【答案】362.【两个计数原理】【2016高考新课标3改编】定义“规范01数列”{}n a 如下：{}n a 共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,k a a a 中0的个数不少于1的个数.若4m =，则不同的“规范01数列”共有 .【答案】14【解析】由题意，得必有10a =，81a =，则具体的排法列表如下：3.【计数原理、简单组合问题】【2016高考新课标2改编】如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 .【答案】184.【计数原理、简单排列组合问题】【2017天津，理14】用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答）【答案】1080【解析】413454541080A C C A+=.【命题预测☆看准方向】从近五年高考试题来看,高考命题对排列组合注重基础知识和基本解题方法、规律的考查以及运算能力的考查.题目的难度基本都为中等或中等以下.考查的重点重点，一是利用计数原理、排列、组合知识进行计数；二是与概率问题的综合等.【典例分析☆提升能力】【例1】【2018届山东省师大附中高三第三次模拟】将编号1,2,3,4的小球放入编号为1,2,3盒子中,要求不允许有空盒子,且球与盒子的编号不能相同,则不同的放球方法有（）A. 6种B. 9种C. 12种D. 18种【答案】C【解析】由题意可知,这四个小球有两个小球放在一个盒子中,当四个小球分组为如下情况时,放球方法有:当1与2号球放在同一盒子中时,有2种不同的放法;当1与3号球放在同一盒子中时,有2种不同的放法;当1与4号球放在同一盒子中时,有2种不同的放法; 当2与3号球放在同一盒子中时,有2种不同的放法; 当2与4号球放在同一盒子中时,有2种不同的放法; 当3与4号球放在同一盒子中时,有2种不同的放法; 因此,不同的放球方法有12种. 故选：C【趁热打铁】【2018届辽宁省沈阳市郊联体高三上学期期末】高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践，但去何工厂可自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的分配方案有（ ） A. 16种 B. 18种 C. 37种 D. 48种 【答案】C【例2】【2018届北京市西城区高三期末】把4件不同的产品摆成一排．若其中的产品A 与产品B 都摆在产品C 的左侧，则不同的摆法有____种．（用数字作答） 【答案】8【解析】当C 在最右边位置时，由336A = 种排法符合条件；当C 在从右数第二个位置时，由222A =种排法符合条件，把4件不同的产品摆成一排．若其中的产品A 与产品B 都摆在产品C 的左侧，则不同的摆法有6+2=8种，故答案为8.【趁热打铁】【2018届湖南师范大学附属中学高三上学期月考（五）】某班上午有五节课，分别安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是（ ） A. 16 B. 24 C. 8 D. 12 【答案】A【例3】【2017年12月浙江省重点中学期末热身联考】甲，乙，丙，丁四名同学做传递手帕游戏（每位同学传递到另一位同学记传递1次），手帕从甲手中开始传递，经过5次传递后手帕回到甲手中，则共有__________种不同的传递方法．（用数字作答）【答案】60种【解析】根据题意分3种情况①当甲第一次传给其余3人，有133C=种情况，第二次将手帕传给了甲，第三次甲再传给其余3人，有133C=种情况，第四次传给了除甲以外的2人，有122C=种情况，第五次传给甲，此时有33218⨯⨯=种情况；②当甲第一次传给其余3人，有133C=种情况，第二次将手帕传给了除甲以外的2人，有122C=种情况，第三次传给了甲，第四次传给了其余3人，有133C=种情况，第五次传给甲，此时有32318⨯⨯=种情况；③当甲第一次传给其余3人，有133C=种情况，第二次将手帕传给了除甲以外的2人，有122C=种情况，第三次再传给了除甲以外的2人，有122C=种情况，第四次仍然传给了除甲以外的2人，有122C=种情况，第五次传给甲，此时有322224⨯⨯⨯=种情况综上，共有18182460++=种不同的传递方法故答案为60.【趁热打铁】8人排成一排照相，分别求下列条件下的不同照相方式的种数.（1）其中甲、乙相邻，丙、丁相邻；（2）其中甲、乙不相邻，丙、丁不相邻；（要求写出解答过程，并用数字作答）【答案】(1)2880(2)23040【解析】试题分析：（1）相邻问题用捆绑法：即将甲、乙看作一个元素，丙、丁相邻看作一个元素，这样六个元素全排列，再分别乘以甲、乙排列数以及丙、丁排列数（2）不相邻问题用插空法：先排剩下六人全排列，再插空排甲、乙得甲、乙不相邻的排法总数，最后减去甲、乙不相邻时但丙、丁相邻的情况即得结果试题解析：（1）捆绑法，共有6226222880A A A=种不同排法.（2）间接法，先求出甲、乙不相邻的排法总数6267A A ，再减去甲、乙不相邻时但丙、丁相邻的情况，此时有522526A A A 种，故共有625226752623040A A A A A -=种.【方法总结☆全面提升】1.在分类加法计数原理中,每一种方法都能完成这件事情,类与类之间是相互独立的,不能重复.即分类的标准是“不重不漏,一步完成”.2.在分步乘法计数原理中,各个步骤相互依存,在各个步骤中任取一种方法,即是完成这个步骤的一种方法.3.应用两种原理解题要注意分清要完成的事情是什么,完成该事情是分类完成还是分步完成.分类的就应用分类加法计数原理,分步的就应用分步乘法计数原理;在综合应用两个原理时,一般先分类再分步,在每一步当中又可能用到分类加法计数原理.4.解决排列组合问题的基本方法有: 解决排列问题的主要方法(1)解决“在”与“不在”的有限制条件的排列问题，既可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁“特殊”谁优先．不管是从元素考虑还是从位置考虑，都要贯彻到底，不能既考虑元素又考虑位置．(2)解决相邻问题的方法是“捆绑法”，即把相邻元素看做一个整体和其他元素一起排列，同时要注意捆绑元素的内部排列．(3)解决不相邻问题的方法是“插空法”，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中．(4)对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列． (5)若某些问题从正面考虑比较复杂，可从其反面入手，即采用“间接法”．【规范示例☆避免陷阱】【典例】要从12人中选出5人去参加一项活动，按下列要求，有多少种不同选法？ (1)A ，B ，C,3人都参加； (2)A ，B ，C,3人都不参加； (3)A ，B ，C,3人中只有一个参加．【规范解答】(1)只需再从A ，B ，C 之外的9人中选择2人， 所以有方法29C ＝36(种)．(2)由于A ，B ，C 三人都不能入选，所以只能从余下的9人中选择5人，即有选法59C ＝126(种)． (3)可分两步：先从A ，B ，C 三人中选出一人，有13C 种选法；再从其余的9人中选择4人，有49C 种选法．所以共有选法1439378C C = (种)．【反思提高】解排列、组合的应用题，通常有以下途径：(1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．(2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数． 【误区警示】解答排列组合应用题要从“分析”“分辨”“分类”“分步”的角度入手. (1)“分析”就是找出题目的条件、结论,哪些是“元素”,哪些是“位置”; (2)“分辨”就是辨别是排列还是组合,对某些元素的位置有无限制等; (3)“分类”就是首先对于较复杂问题中的元素分成互斥的几类,然后逐类解决;(4)“分步”就是首先把问题化成几个互相联系的步骤,而每一步都是简单的排列组合问题,然后逐步解决.考向二二项式定理【高考改编☆回顾基础】1.【二项式定理求指定项系数】【新课标1，改编】621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 . 【答案】302．【二项式定理由指定项系数求n 】【2017山东，理11】已知()13nx +的展开式中含有2x 项的系数是54，则n = . 【答案】4【解析】试题分析：由二项式定理的通项公式()1C 3C 3rr r r rr n n x x +T ==⋅⋅，令2r =得：22C 354n ⋅=，解得4n =．3. 【虚数单位、二项式定理求指定项】【2016年高考四川改编】设i 为虚数单位，则6()x i +的展开式中含x 4的项为. 【答案】－15x 4【解析】二项式6()x i +展开的通项616r r rr T C xi -+=，令64r -=，得2r =，则展开式中含4x 的项为2424615C x i x =-.4. 【二项式定理由指定项系数求参数值】【2016高考山东理数】若（ax 2）5的展开式中x 5的系数是—80，则实数a=_______. 【答案】-2【解析】因为5102552155()r rrr r rr T C ax C a x x---+==，所以由510522r r -=⇒=，因此252580 2.C a a -=-⇒=-【命题预测☆看准方向】从近五年高考试题来看,高考命题对排二项式定理注重基础知识和基本解题方法、规律的考查以及运算能力的考查.题目的难度基本都为中等或中等以下.考查的重点重点是求二项展开式中的某一项的二项式系数、指定项、各项系数和、n 的值、参数的值等.【典例分析☆提升能力】【例1】【2018届黑龙江省七台河市高三上期末】已知()41(0)ax a +>展开式的所有项系数之和为81，则()211?2ax x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的常数项为__________．【答案】-2【解析】因为()41(0)ax a +>展开式的所有项系数之和为81，所以()4181a +=，解得2a =，所以()411?2x x ⎛⎫+-⎪⎝⎭中的常数项为01442242C C -=-=-，故填2-.【趁热打铁】【2018届四川省成都市龙泉中学高三12月月考】912x x ⎫⎪⎭的展开式中的常数项为___________.（用数字作答） 【答案】212-【例2】【2018届河北省鸡泽县第一中学高三上学期第四次月考】()()511x x +-展开式中含3x 项的系数为_______.（用数字表示） 【答案】0【解析】∵（x+1）（x ﹣1）5=（x+1）（05C x 5+()11451C x ⋅⋅-+()22351C x ⋅⋅-+()33251C x ⋅⋅-+()44151C x ⋅⋅-+()5551C ⋅-）， 故展开式中含x 3 的项的系数为﹣35C +25C =0， 故答案为 0．【趁热打铁】【2018届辽宁省凌源市高三上期末】82332x x ⎛ ⎝的展开式中，含2x 的项的系数为__________． 【答案】6316【解析】通项为()7168283188313322r rr rrr r r T C xC xx ---+⎛⎛⎫==- ⎪ ⎝⎭⎝ 令71623r -=，解得： 6r =，故含2x 的项的系数为668681633216C -⎛⎫-=⎪⎝⎭. 故答案为：6316【例3】【2018届安徽省皖南八校高三12月联考】若0a <， ()()52x y ax y -+展开式中， 42x y 的系数为-20，则a 等于()A. -1B. 32-C. -2D. 52- 【答案】A【解析】由()()342214255210xC ax y yC ax y x y -=，可得()310120,a a -=-将选项A B C D ，，，中的数值代入验证可得， 1a =-符合题意，故选A.【趁热打铁】在()3*212nx n N x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭的展开式中，若存在常数项，则n 的最小值是( )A. 3B. 5C. 8D. 10 【答案】B【方法总结☆全面提升】1. 求二项展开式中的指定项,一般是利用通项公式进行化简,令字母的指数符合要求(求常数项时,指数为零;求有理项时,指数为整数等),解出项数r+1,代回通项公式即可.2. 二项式定理给出的是一个恒等式,对于a,b 的一切值都成立.因此,可将a,b 设定为一些特殊的值.在使用赋值法,令a,b 等于多少时,应视具体情况而定,一般取“1,-1或0”,有时也取其他值.3. 一般地,若f(x)=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n,则f(x)的展开式中各项系数之和为f(1),奇数项系数之和为a 0+a 2+a 4+…=,偶数项系数之和为a 1+a 3+a 5+…=.【规范示例☆避免陷阱】【典例】设()20121nnn x a a x a x a x +=+++⋯+,若a 1+a 2+…+a n=63,则展开式中系数最大的项是( )A.15x 2B.20x 3C.21x 3D.35x 3【反思提升】二项展开式系数最大的项的求法:求(a+bx)n(a,b∈R)的展开式系数最大的项,一般是采用待定系数法,设展开式中各项系数分别为A1,A2,…,An+1,且第r项系数最大,应用解出r,即得展开式系数最大的项.要特别注意二项式系数与二项展开式系数的区别. 【误区警示】应用通项公式要注意五点:(1)它表示二项展开式的任意项,只要n与r确定,该项就随之确定;(2)Tr+1是展开式中的第(r+1)项,而不是第r项;(3)公式中a,b的指数和为n,且a,b不能随便颠倒位置;(4)要将通项中的系数和字母分离开,以便于解决问题;(5)对二项式(a-b)n展开式的通项公式要特别注意符号问题.。
专题12排列组合、二项式定理(2018年4月版)2018届高考高三数学(理)全国各地优质模拟试卷分类汇编解析版
专题排列组合、二项式定理一、选择题1．【2018河北武邑中点高三上学期五调】3个单位从4名大学毕业生中选聘工作人员，若每个单位至少选聘1人（4名大学毕业生不一定都能选聘上），则不同的选聘方法种数为（）A. 60B. 36C. 24D. 42【答案】A【解析】当4名大学毕业都被选聘上，则有23436636C A=⨯=种不同的选聘方法，当4名大学毕业生有3位被选聘上，则有3424A=种不同的选聘方法，由分类加法计数原理，得不同的选聘方法种数为362460+=.故选A. 2．【2018河北廊坊八中高三模拟试题】为迎接中国共产党十九大的到来，某校举办了“祖国，你好”诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的6名学生中选派4名学生参加，且当这3名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么不同的朗诵顺序的种数为（）A. 320B. 324C. 410D. 416【答案】B【解析】6名学生选派4名参加，共有46360A=种，当甲乙丙都参加且甲乙朗诵次序相邻时，共有种数132 33236C A A=，由去杂法可知所求不同的朗诵顺序的种数为324,选B.3．【2018湖南株洲高三质检一】()1021x x+-展开式中3x的系数为（）A. 10B. 30C. 45D. 210【答案】B4．【2018贵州遵义高三上学期联考二】下边程序框图的算法思路是来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图时，若输入的a b 、分别为16、18，输出的结果为a ，则二项式开式中常数项是（ ）A. -20B. 52C. -192D. -160 【答案】D5．【2018 ）A. 73-B. 61-C. 55-D. 63- 【答案】A【解析】令1x =，得，而常数项为0166329C C -⨯+⨯=，所以展开式中剔除常数项的各项系数和为64973--=-，故选A.6．【2018的展开式中3x 的系数为160-，则m 的值为（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1 【答案】C令1233r -=，解得3r =，则系数为()()33366C C 20160r r m m m =-=-=-.解得2m =. 故选C.7．【2018四川广安高三一诊】()()5x y x y -+的展开式中， 24x y 的系数为（ ） A. 10- B. 5- C. 5 D. 10 【答案】B【解析】因为()5x y +展开式中， 4x y ， 23x y 的系数分别为43555,10C C ==，所以()()5x y x y -+的展开式中，24x y 的系数为5105-=-,故选B.【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1rn rrr n T C ab-+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.8．【2018四川广元高三第一次适应性统考】在0x =处的切线与直线0n x y -=平行，则二项式()()211nx xx ++-展开式中4x 的系数为（ ）A. 120B. 135C. 140D. 100 【答案】B故()()10211x x x ++-展开式中4x 的系数为4199135C C += ，故选B ．9．【2018广西南宁九月摸底】（2x 5的展开式中x 3项的系数为（ ）A. 80B. ﹣80C. ﹣40D. 48 【答案】B，令523r -=，解得1r =，∴展开式中3x 项的系数415280C =-=-，故选B.10．【2018河南郑州高三质检一】在3x⎛+⎝的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为3：2，则2x 的系数为（ ）A. 50B. 70C. 90D. 120 【答案】C令2r =得222235390T C x x ==．所以2x 的系数为90．选C ． 11．【2018四省名校联考一】()()6222a ba b +-的展开式中44a b 的系数为（ ）A. 320B. 300C. 280D. 260 【答案】B【解析】()62a b -展开式的通项为： ()()6616622rrr r r r r r T C a b C a b --+=-=-， 则： ()4464424562240T C a b a b -=-=， ()226224236260T C a b a b -=-=， 据此可得： 44a b 的系数为24060300+=. 本题选择B 选项.12．【2018四川成都七中高三上学期一诊】已知S 为执行如图所示的程序框图输出的结果，则二项式【答案】A【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图以及二项式定理，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.13．【2018上海徐汇区一模】现有8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙三从两两不相邻的排法的种数为（）A. 3353P P ⋅B. 863863P P P -⋅C. 3565P P ⋅D. 8486P P -【答案】C【解析】先排剩下5人，再从产生的6个空格中选3个位置排甲、乙、丙三人，即3565P P ⋅，选C.14．【2018陕西西安长安区一中高三上学期质检八】如图，三行三列的方阵中有9个数ij a （i=1，2，3；j=1，2，3），从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（ ）111213212223313233a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦【答案】D本题选择D 选项.点睛：解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．15．【2018广东广州高三上学期一调】某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2名，乙大学2名，丙大学1名，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有A. 36种B. 24种C. 22种D. 20种 【答案】B【解析】第一类：男生分为1,1,1，女生全排，男生全排得323212A A ⋅=，第二类：男生分为2,1，所以男生两堆全排后女生全排22232212C A A ⋅=，不同的推荐方法共有121224+= ，故选B.16．【2018河南洛阳高三第一次统测】若0s in a x d x π=⎰，则二项式 ）A. -15B. 15C. -240D. 240【答案】D二、填空题17．【2018河北武邑高三上学期五调】若()()7280128112x x a a x a x a x +-=++++，则1278a a a a ++++的值__________． 【答案】3-【解析】令1x =，得012782a a a a a +++++=-，令0x =，得01a =，则1278213a a a a ++++=--=-.点睛：本题考查二项式定理的应用；在利用二项式定理求二项展开式的系数和时，往往采用赋值法或整体赋值法，要灵活注意展开式中未知数的系数的特点合理赋值，往往是1，0,或1-.18．【2018__________．，得4r =，19.【2018百校联盟一月联考】．若()()()()()()5234540123451222222x x a a x a x a x a x a x --=+-+-+-+-+-，则2a =__________． 【答案】-38【解析】令2x t -=，则2x t =+．由条件可得()()542345012345122t t a a t a t a t a t a t +-+=+++++，故2t 的系数为322542238C C -⋅=-，即238a =-．答案： 38-20．【2018江苏如皋高三上学期质检三】从集合{}1,2,3,4,5,6A =中分别取两个不同的数,a b 作为对数的底数和真数，则事件“对数值大于2”的概率为_______. 【答案】225【解析】从集合{}1,2,3,4,5,6A =中分别取两个不同的数,a b 作为对数的底数和真数，若不含1共有2520A =种，若含1共有5种（注意尽管这五种取法对数值相同，却是不同的抽取方法），所以共有25种，其中大于2的共有2种，所以“对数值大于2”的概率为225，故答案为225.21．【2018河北涞水高三联考】两位同学分4本不同的书，每人至少分1本，4本书都分完，则不同的分法方式共有__________种． 【答案】1422．【2018湖南长沙二模】若()()()21010501210111x x a a x a x a x -=+-+-+⋯+-，则5a =__________． 【答案】251【解析】令1x t -= ，则()()1052100121011.......t t a a t a t a t +-+=++++， 5a 为5t 的系数，其中()101t +展开式中5t 的系数为510C ， ()51t +展开式中5t 的系数为05C ，则5051052521251a C C =-=-=.【点睛】解决二项式定理问题，第一常利用通项公式，求出展开式的某些指定项，第二要熟悉二项式系数及性质，弄清楚二项式系数和项的系数，第三要掌握赋值法求系数和，第四要学会利用换元法转化问题. 23．【2018四川内江一模】()()611x x +-的展开式中， 3x 的系数是_____________.（用数字作答） 【答案】5-【解析】由题意可知， ()61x -展开式的通项为()()616611r rrrr rr T C x C x -+=⋅⋅-=-⋅则()()611x x +-的展开式中，含3x 的项为()()323322333661120155C x x C xx x x -+-=-+=-，所以3x 的系数是5-24．【2018江西重点中学联盟联考一】从左至右依次站着甲、乙、丙3个人，从中随机抽取2个人进行位置调换，则经过两次这样的调换后，甲在乙左边的概率是________.25．【2018的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________. 【答案】112256，令x =1可得：2n=256，解得n =8，即r =2时,常数项为()22382112T C =-=.故答案为：112.26．【2018上海崇明区一模】从5男3女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成 4人志愿者服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有_____种不同的选法．（用数字作答） 【答案】78027．【2018河南洛阳高三第一次统测】某校有4个社团向高一学生招收新成员，现有3名同学，每人只选报1个社团，恰有2个社团没有同学选报的报法数有__________种（用数字作答）． 【答案】36【解析】先选出学生选报的社团，共有24C 种选法，再把这3名同学分配到这两个社团，共有22226⨯⨯-=，故恰有2个社团没有同学选报数有36．。
2018届高考数学(理)二轮限时规范训练(Word版,含答案解析)
限时规范训练一 集合、常用逻辑用语限时40分钟，实际用时分值80分，实际得分一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分) 1．集合A ＝{x ∈N |－1＜x ＜4}的真子集个数为( ) A ．7 B ．8 C ．15D ．16解析：选C.A ＝{0,1,2,3}中有4个元素，则真子集个数为24－1＝15.2．已知集合A ＝{x |2x 2－5x －3≤0}，B ＝{x ∈Z |x ≤2}，则A ∩B 中的元素个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选B.A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12≤x ≤3，∴A ∩B ＝{0,1,2}，A ∩B 中有3个元素，故选B. 3．设集合M ＝{－1,1}，N ＝{x |x 2－x ＜6}，则下列结论正确的是( ) A ．N ⊆M B ．N ∩M ＝∅ C ．M ⊆ND ．M ∩N ＝R解析：选C.集合M ＝{－1,1}，N ＝{x |x 2－x ＜6}＝{x |－2＜x ＜3}，则M ⊆N ，故选C. 4．已知p ：a ＜0，q ：a 2＞a ，则﹁p 是﹁q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.因为﹁p ：a ≥0，﹁q ：0≤a ≤1，所以﹁q ⇒﹁p 且﹁p ⇒/﹁q ，所以﹁p 是﹁q 的必要不充分条件．5．下列命题正确的是( )A ．若p ∨q 为真命题，则p ∧q 为真命题B ．“a ＞0，b ＞0”是“b a ＋ab≥2”的充要条件C ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1或x ＝2”的逆否命题为“若x ≠1或x ≠2，则x 2－3x ＋2≠0”D ．命题p ：∃x ∈R ，x 2＋x －1＜0，则﹁p ：∀x ∈R ，x 2＋x －1≥0解析：选D.若p ∨q 为真命题，则p ，q 中至少有一个为真，那么p ∧q 可能为真，也可能为假，故A 错；若a ＞0，b ＞0，则b a ＋a b ≥2，又当a ＜0，b ＜0时，也有b a ＋a b≥2，所以“a ＞0，b ＞0”是“b a ＋a b≥2”的充分不必要条件，故B 错；命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1或x ＝2”的逆否命题为“若x ≠1且x ≠2，则x 2－3x ＋2≠0”，故C 错；易知D 正确．6．设集合A ＝{x |x ＞－1}，B ＝{x ||x |≥1}，则“x ∈A 且x ∉B ”成立的充要条件是( )A ．－1＜x ≤1B ．x ≤1C ．x ＞－1D ．－1＜x ＜1解析：选D.由题意可知，x ∈A ⇔x ＞－1，x ∉B ⇔－1＜x ＜1，所以“x ∈A 且x ∉B ”成立的充要条件是－1＜x ＜1.故选D.7．“a ＝0”是“函数f (x )＝sin x －1x＋a 为奇函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.f (x )的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称．当a ＝0时，f (x )＝sin x －1x，f (－x )＝sin(－x )－1－x ＝－sin x ＋1x ＝－⎝⎛⎭⎪⎫sin x －1x ＝－f (x )，故f (x )为奇函数；反之，当f (x )＝sin x －1x＋a 为奇函数时，f (－x )＋f (x )＝0，又f (－x )＋f (x )＝sin (－x )－1－x ＋a ＋sin x －1x ＋a ＝2a ，故a ＝0，所以“a ＝0”是“函数f (x )＝sin x －1x＋a 为奇函数”的充要条件，故选C.8．已知命题p ：“∃x ∈R ，e x－x －1≤0”，则﹁p 为( ) A ．∃x ∈R ，e x－x －1≥0 B ．∃x ∈R ，e x －x －1＞0 C ．∀x ∈R ，e x －x －1＞0 D ．∀x ∈R ，e x －x －1≥0解析：选C.特称命题的否定是全称命题，所以﹁p ：∀x ∈R ，e x－x －1＞0.故选C. 9．下列命题中假命题是( ) A ．∃x 0∈R ，ln x 0＜0 B ．∀x ∈(－∞，0)，e x＞x ＋1 C ．∀x ＞0,5x＞3xD ．∃x 0∈(0，＋∞)，x 0＜sin x 0解析：选D.令f (x )＝sin x －x (x ＞0)，则f ′(x )＝cos x －1≤0，所以f (x )在(0，＋∞)上为减函数，所以f (x )＜f (0)，即f (x )＜0，即sin x ＜x (x ＞0)，故∀x ∈(0，＋∞)，sin x ＜x ，所以D 为假命题，故选D.10．命题p ：存在x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，使sin x 0＋cos x 0＞2；命题q ：命题“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1，则四个命题(﹁p )∨(﹁q )、p ∧q 、(﹁p )∧q 、p ∨(﹁q )中，正确命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2，故命题p 为假命题；特称命题的否定为全称命题，易知命题q 为真命题，故(﹁p )∨(﹁q )真，p ∧q 假，(﹁p )∧q 真，p ∨(﹁q )假．11．下列说法中正确的是( )A ．命题“∀x ∈R ，e x ＞0”的否定是“∃x ∈R ，e x＞0”B ．命题“已知x ，y ∈R ，若x ＋y ≠3，则x ≠2或y ≠1”是真命题C ．“x 2＋2x ≥ax 在x ∈[1,2]上恒成立”⇔“对于x ∈[1,2]，有(x 2＋2x )min ≥(ax )max ” D ．命题“若a ＝－1，则函数f (x )＝ax 2＋2x －1只有一个零点”的逆命题为真命题 解析：选B.全称命题“∀x ∈M ，p (x )”的否定是“∃x ∈M ，﹁p (x )”，故命题“∀x ∈R ，e x ＞0”的否定是“∃x ∈R ，e x≤0”，A 错；命题“已知x ，y ∈R ，若x ＋y ≠3，则x ≠2或y ≠1”的逆否命题为“已知x ，y ∈R ，若x ＝2且y ＝1，则x ＋y ＝3”，是真命题，故原命题是真命题，B 正确；“x 2＋2x ≥ax 在x ∈[1,2]上恒成立”⇔“对于x ∈[1,2]，有(x ＋2)min ≥a ”，由此可知C 错误；命题“若a ＝－1，则函数f (x )＝ax 2＋2x －1只有一个零点”的逆命题为“若函数f (x )＝ax 2＋2x －1只有一个零点，则a ＝－1”，而函数f (x )＝ax 2＋2x －1只有一个零点⇔a ＝0或a ＝－1，故D 错．故选B.12．“直线y ＝x ＋b 与圆x 2＋y 2＝1相交”是“0＜b ＜1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.若“直线y ＝x ＋b 与圆x 2＋y 2＝1相交”，则圆心到直线的距离为d ＝|b |2＜1，即|b |＜2，不能得到0＜b ＜1；反过来，若0＜b ＜1，则圆心到直线的距离为d ＝|b |2＜12＜1，所以直线y ＝x ＋b 与圆x 2＋y 2＝1相交，故选B. 二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．若命题“∃x 0∈R ，x 20－2x 0＋m ≤0”是假命题，则m 的取值范围是________． 解析：由题意，命题“∀x ∈R ，x 2－2x ＋m ＞0”是真命题，故Δ＝(－2)2－4m ＜0，即m ＞1.答案：(1，＋∞)14．若关于x 的不等式|x －m |<2成立的充分不必要条件是2≤x ≤3，则实数m 的取值范围是________．解析：由|x －m |<2得－2<x －m <2，即m －2<x <m ＋2.依题意有集合{x |2≤x ≤3}是{x |m－2<x <m ＋2}的真子集，于是有⎩⎪⎨⎪⎧m －2<2m ＋2>3，由此解得1<m <4，即实数m 的取值范围是(1,4)．答案：(1,4)15．设集合S ，T 满足∅≠S ⊆T ，若S 满足下面的条件：(i)对于∀a ，b ∈S ，都有a －b ∈S 且ab ∈S ；(ⅱ)对于∀r ∈S ，n ∈T ，都有nr ∈S ，则称S 是T 的一个理想，记作S ⊲T .现给出下列集合对：①S ＝{0}，T ＝R ；②S ＝{偶数}，T ＝Z ；③S ＝R ，T ＝C (C 为复数集)，其中满足S ⊲T 的集合对的序号是________．解析：①(ⅰ)0－0＝0,0×0＝0；(ⅱ)0×n ＝0，符合题意．②(ⅰ)偶数－偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数；(ⅱ)偶数×整数＝偶数，符合题意． ③(ⅰ)实数－实数＝实数，实数×实数＝实数；(ⅱ)实数×复数＝实数不一定成立，如2×i＝2i ，不合题意．答案：①②16．已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x－2.若同时满足条件： ①∀x ∈R ，f (x )＜0或g (x )＜0；②∃x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )＜0，则m 的取值范围是________．解析：当x ＜1时，g (x )＜0；当x ＞1时，g (x )＞0；当x ＝1时，g (x )＝0.m ＝0不符合要求．当m ＞0时，根据函数f (x )和函数g (x )的单调性，一定存在区间[a ，＋∞)使f (x )≥0且g (x )≥0，故m ＞0时不符合第①条的要求．当m ＜0时，如图所示，如果符合①的要求，则函数f (x )的两个零点都得小于1，如果符合第②条要求，则函数f (x )至少有一个零点小于－4，问题等价于函数f (x )有两个不相等的零点，其中较大的零点小于1，较小的零点小于－4.函数f (x )的两个零点是2m ，－(m ＋3)，故m 满足⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，2m ＜－m ＋，2m ＜－4，－m ＋＜1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，－m ＋＜2m ，2m ＜1，－m ＋＜－4，解第一个不等式组得－4＜m ＜－2，第二个不等式组无解，故所求m 的取值范围是(－4，－2)．答案：(－4，－2)限时规范训练二 平面向量、复数运算限时45分钟，实际用时分值80分，实际得分一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1．设i 是虚数单位，如果复数a ＋i2－i的实部与虚部相等，那么实数a 的值为( )A.13 B ．－13C ．3D ．－3解析：选C.a ＋i 2－i ＝2a －1＋a ＋5，由题意知2a －1＝a ＋2，解之得a ＝3.2．若复数z 满足(1＋2i)z ＝(1－i)，则|z |＝( ) A.25 B.35 C.105D.10解析：选C.z ＝1－i 1＋2i ＝－1－3i 5⇒|z |＝105.3．已知复数z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z－z 2的共轭复数是( )A ．－1＋3iB ．1＋3iC ．1－3iD ．－1－3i 解析：选 B.2z －z 2＝21＋i －(1＋i)2＝－＋－－2i ＝1－i －2i ＝1－3i ，其共轭复数是1＋3i ，故选B.4．若z ＝(a －2)＋a i 为纯虚数，其中a ∈R ，则a ＋i 71＋a i＝( )A ．iB ．1C ．－iD ．－1解析：选C.∵z 为纯虚数，∴a ＝2，∴a ＋i 71＋a i ＝2－i 1＋2i＝2－－2＋2－2＝－3i 3＝－i.5．已知复数z ＝11－i ，则z －|z |对应的点所在的象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 解析：选B.∵复数z ＝11－i ＝1＋i －＋＝12＋12i ， ∴z －|z |＝12＋12i －⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝1－22＋12i ，对应的点⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，12所在的象限为第二象限．故选B.6．若复数z 满足z (1－i)＝|1－i|＋i ，则z 的实部为( ) A.2－12B.2－1C ．1D.2＋12解析：选 A.由z (1－i)＝|1－i|＋i ，得z ＝2＋i1－i＝2＋＋－＋＝2－12＋2＋12i ，z 的实部为2－12，故选A. 7．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m ，使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选B.由MA →＋MB →＋MC →＝0知，点M 为△ABC 的重心，设点D 为边BC 的中点，则AM →＝23AD →＝23×12(AB →＋AC →)＝13(AB →＋AC →)，所以AB →＋AC →＝3AM →，故m ＝3，故选B. 8．已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(x ，y －1)且a ∥b ，若x ，y 均为正数，则3x ＋2y的最小值是( )A ．24B ．8 C.83D.53解析：选B.∵a ∥b ，∴－2x －3(y －1)＝0，即2x ＋3y ＝3，∴3x ＋2y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋2y ×13(2x ＋3y )＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋9y x ＋4x y ＋6≥13⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋29y x·4x y ＝8，当且仅当2x ＝3y ＝32时，等号成立．∴3x ＋2y的最小值是8.故选B.9．在平行四边形ABCD 中，AC ＝5，BD ＝4，则AB →·BC →＝( ) A.414B ．－414C.94D ．－94解析：选 C.因为BD →2＝(AD →－AB →)2＝AD →2＋AB →2－2AD →·AB →，AC →2＝(AD →＋AB →)2＝AD →2＋AB →2＋2AD →·AB →，所以AC →2－BD →2＝4AD →·AB →，∴AD →·AB →＝AB →·BC →＝94.10．在△ABC 中，已知向量AB →＝(2,2)，|AC →|＝2，AB →·AC →＝－4，则△ABC 的面积为( ) A ．4 B ．5 C ．2D ．3解析：选C.∵AB →＝(2,2)，∴|AB →|＝22＋22＝2 2. ∵AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos A ＝22×2cos A ＝－4， ∴cos A ＝－22，∵0＜A ＜π，∴sin A ＝22， ∴S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|sin A ＝2.故选C.11．△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1,2AO →＝AB →＋AC →且|OA →|＝|AB →|，则向量BA →在BC →方向上的投影为( )A.12B.32 C ．－12D ．－32解析：选A.由2AO →＝AB →＋AC →可知O 是BC 的中点，即BC 为△ABC 外接圆的直径，所以|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，由题意知|OA →|＝|AB →|＝1，故△OAB 为等边三角形，所以∠ABC ＝60°.所以向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos∠ABC ＝1×cos 60°＝12.故选A.12．如图，菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝60°，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM →·AN →的最大值为( )A ．3B ．2 3C ．6D ．9解析：选D.由平面向量的数量积的几何意义知， AM →·AN →等于AM →与AN →在AM →方向上的投影之积，所以(AM →·AN →)max ＝AM →·AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋AD →·(AB→＋AD →)＝12AB 2→＋AD 2→＋32AB →·AD →＝9.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分) 13．已知复数z ＝3＋i －32，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝________.解析：∵z ＝3＋i －32＝3＋i－2－23i ＝3＋i －2＋3＝3＋－3－＋3－3＝23－2i －8＝－34＋14i ，∴z ·z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋14i ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－14i ＝316＋116＝14. 答案：1414．已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，且对一切实数x ，|a ＋x b |≥|a ＋b |恒成立，则a ，b 夹角的大小为________．解析：|a ＋x b |≥|a ＋b |恒成立⇒a 2＋2x a ·b ＋x 2b 2≥a 2＋2a·b ＋b 2恒成立⇒x 2＋2a ·b x －1－2a ·b ≥0恒成立，∴Δ＝4(a·b )2－4(－1－2a·b )≤0⇒(a·b ＋1)2≤0，∴a·b ＝－1，∴cos〈a ，b 〉＝a·b |a |·|b |＝－12，又〈a ，b 〉∈[0，π]，故a 与b 的夹角的大小为2π3.答案：23π15．已知在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝6，BC ＝7，其外接圆的圆心为O ，则AO →·BC →＝________.解析：如图，取BC 的中点M ，连OM ，AM ，则AO →＝AM →＋MO →， ∴AO →·BC →＝(AM →＋MO →)·BC →.∵O 为△ABC 的外心，∴OM ⊥BC ，即OM →·BC →＝0，∴AO →·BC →＝AM →·BC →＝12(AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝12(AC 2→－AB 2→)＝12(62－42)＝12×20＝10.答案：1016．已知非零向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|a －b |，〈c －a ，c －b 〉＝2π3，则|c ||a |的最大值为________．解析：设OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b . ∵非零向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|a －b |， ∴△OAB 是等边三角形． 设OC →＝c ，则AC →＝c －a ，BC →＝c －b .∵〈c －a ，c －b 〉＝2π3，∴点C 在△ABC 的外接圆上，∴当OC 为△ABC 的外接圆的直径时，|c ||a |取得最大值，为1cos 30°＝233.答案：233限时规范训练三 算法、框图与推理限时45分钟，实际用时分值80分，实际得分一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1．请仔细观察1,1,2,3,5，( )，13，运用合情推理，可知写在括号里的数最可能是( )A．8 B．9C．10 D．11解析：选A.观察题中所给各数可知，2＝1＋1,3＝1＋2,5＝2＋3,8＝3＋5,13＝5＋8，∴括号中的数为8.故选A.2．执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为2，则输出的y的值为( )A．2 B．5C．11 D．23解析：选 D.x＝2，y＝5，|2－5|＝3＜8；x＝5，y＝11，|5－11|＝6＜8；x＝11，y＝23，|11－23|＝12＞8.满足条件，输出的y的值为23，故选D.3．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)等于( ) A．f(x) B．－f(x)C．g(x) D．－g(x)解析：选D.由所给等式知，偶函数的导数是奇函数．∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数，从而g(x)是奇函数．∴g(－x)＝－g(x)．4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为－4时，则输入的S0的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：选D.根据程序框图知，当i ＝4时，输出S .第1次循环得到S ＝S 0－2，i ＝2；第2次循环得到S ＝S 0－2－4，i ＝3；第3次循环得到S ＝S 0－2－4－8，i ＝4.由题意知S 0－2－4－8＝－4，所以S 0＝10，故选D.5．(2017·高考山东卷)执行如图所示的程序框图，当输入的x 的值为4时，输出的y 的值为2，则空白判断框中的条件可能为()A ．x ＞3B ．x ＞4C ．x ≤4D ．x ≤5解析：选B.输入x ＝4，若满足条件，则y ＝4＋2＝6，不符合题意；若不满足条件，则y ＝log 24＝2，符合题意，结合选项可知应填x ＞4.故选B.6．如图所示的程序框图的运行结果为()A ．－1B ．12C ．1D ．2解析：选A.a ＝2，i ＝1，i ≥2 019不成立；a ＝1－12＝12，i ＝1＋1＝2，i ≥2 019不成立； a ＝1－112＝－1，i ＝2＋1＝3，i ≥2 019不成立；a＝1－(－1)＝2，i＝3＋1＝4，i≥2 019不成立；…，由此可知a是以3为周期出现的，结束时，i＝2 019＝3×673，此时a＝－1，故选A.7．设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝2Sa＋b＋c.类比这个结论可知：四面体SABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球半径为R，四面体SABC的体积为V，则R等于( )A.VS1＋S2＋S3＋S4B.2VS1＋S2＋S3＋S4C.3VS1＋S2＋S3＋S4D.4VS1＋S2＋S3＋S4解析：选C.把四面体的内切球的球心与四个顶点连起来分成四个小三棱锥，其高都是R，四个小三棱锥的体积和等于四面体的体积，因此V＝13S1R＋13S2R＋13S3R＋13S4R，解得R＝3VS1＋S2＋S3＋S4.8．按照如图所示的程序框图执行，若输出的结果为15，则M处的条件为( )A．k≥16B．k＜8C．k＜16 D．k≥8解析：选 A.根据框图的循环结构依次可得S＝0＋1＝1，k＝2×1＝2；S＝1＋2＝3，k ＝2×2＝4；S＝3＋4＝7，k＝2×4＝8；S＝7＋8＝15，k＝2×8＝16，根据题意此时跳出循环，输出S＝15.所以M处的条件应为k≥16.故A正确．9．如图所示的程序框图中，输出S＝( )A ．45B ．－55C ．－66D ．66解析：选B.由程序框图知，第一次运行T ＝(－1)2·12＝1，S ＝0＋1＝1，n ＝1＋1＝2；第二次运行T ＝(－1)3·22＝－4，S ＝1－4＝－3，n ＝2＋1＝3；第三次运行T ＝(－1)4·32＝9，S ＝－3＋9＝6，n ＝3＋1＝4…直到n ＝9＋1＝10时，满足条件n ＞9，运行终止，此时T ＝(－1)10·92，S ＝1－4＋9－16＋…＋92－102＝1＋(2＋3)＋(4＋5)＋(6＋7)＋(8＋9)－100＝1＋92×9－100＝－55.故选B.10．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k ]，即[k ]＝{5n ＋k |n ∈Z }，k ＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：①2 018∈[3]； ②－2∈[2]；③Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“a －b ∈[0]”． 其中正确结论的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C.因为2 018＝403×5＋3，所以2 018∈[3]，①正确；－2＝－1×5＋3，－2∈[3]，所以②不正确；因为整数集中被5除的数可以且只可以分成五类，所以③正确；整数a ，b 属于同一“类”，因为整数a ，b 被5除的余数相同，从而a －b 被5除的余数为0，反之也成立，故整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“a －b ∈[0]”，故④正确．所以正确的结论有3个，故选C.11．执行如图所示的程序框图，如果输入x ，t 的值均为2，最后输出S 的值为n ，在区间[0,10]上随机选取一个数D ，则D ≤n 的概率为( )A.25B.12C.35D.710解析：选D.这是一个循环结构，循环的结果依次为M＝2，S＝2＋3＝5，k＝1＋1＝2；M ＝2，S＝2＋5＝7，k＝2＋1＝3.最后输出7，所以在区间[0,10]上随机选取一个数D，则D≤n的概率P＝710，故选D.12．定义方程f(x)＝f′(x)的实数根x0叫做函数f(x)的“新驻点”，若函数g(x)＝x，h(x)＝ln(x＋1)，φ(x)＝x3－1的“新驻点”分别为α，β，γ，则α，β，γ的大小关系为( )A．α＞β＞γB．β＞α＞γC．γ＞α＞βD．β＞γ＞α解析：选C.g(x)＝g′(x)，即x＝1，所以α＝1；h(x)＝h′(x)，即ln(x＋1)＝1x＋1，0＜x＜1，所以β∈(0,1)；φ(x)＝φ′(x)，即x3－1＝3x2，即x3－3x2＝1，x2(x－3)＝1，x＞3，所以γ＞3.所以γ＞α＞β.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则输入的数是________．解析：令a≥b得，x2≥x3，解得x≤1.所以当x≤1时，输出a＝x2，当x＞1时，输出b ＝x3.当x≤1时，由题意得a＝x2＝8，解得x＝－8＝－2 2.当x＞1时，由题意得b＝x3＝8，得x＝2，所以输入的数为2或－2 2.14．刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去西安参加自主招生考试，考试结束后刘老师向四名学生了解考试情况．四名学生回答如下：甲说：“我们四人都没考好．”乙说：“我们四人中有人考得好．”丙说：“乙和丁至少有一人没考好．”丁说：“我没考好．”结果，四名学生中有两人说对了，则这四名学生中的________两人说对了．解析：甲与乙的关系是对立事件，二人说话矛盾，必有一对一错，如果选丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时乙正确．故答案为乙，丙．答案：乙，丙15．已知实数x∈[2,30]，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于103的概率是________．解析：实数x∈[2,30]，经过第一次循环得到x＝2x＋1，n＝2；经过第二次循环得到x ＝2(2x＋1)＋1，n＝3；经过第三次循环得到x＝2[2(2x＋1)＋1]＋1，n＝4，此时输出x，输出的值为8x ＋7.令8x ＋7≥103，解得x ≥12.由几何概型的概率公式，得到输出的x 不小于103的概率为30－1230－2＝914.16．集合{1,2,3，…，n }(n ≥3)中，每两个相异数作乘积，将所有这些乘积的和记为T n ，如：T 3＝1×2＋1×3＋2×3＝12×[62－(12＋22＋32)]＝11；T 4＝1×2＋1×3＋1×4＋2×3＋2×4＋3×4＝12×[102－(12＋22＋32＋42)]＝35； T 5＝1×2＋1×3＋1×4＋1×5＋…＋3×5＋4×5＝12×[152－(12＋22＋32＋42＋52)]＝85.则T 7＝________.(写出计算结果)解析：由T 3，T 4，T 5归纳得出T n ＝12[(1＋2＋…＋n )2－(12＋22＋…＋n 2)]，则T 7＝12×[282－(12＋22＋…＋72)]．又∵12＋22＋…＋72＝16×7×8×15＝140，∴T 7＝12×(784－140)＝322.答案：322限时规范训练四 函数的图象与性质 限时40分钟，实际用时分值80分，实际得分一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分) 1．函数y ＝x ＋x －2的定义域是( )A ．(－1，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．(－1,2)∪(2，＋∞)D ．[－1,2)∪(2，＋∞)解析：选C.由题意知，要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x －2≠0x ＋1＞0，即－1＜x ＜2或x ＞2，所以函数的定义域为(－1,2)∪(2，＋∞)．故选C.2．设函数f ：R →R 满足f (0)＝1，且对任意，x ，y ∈R 都有f (xy ＋1)＝f (x )f (y )－f (y )－x ＋2，则f (2 017)＝( )A ．0B ．1C ．2 016D ．2 018解析：选D.令x ＝y ＝0，则f (1)＝f (0)f (0)－f (0)＋2＝1×1－1＋2＝2，令y ＝0，则f (1)＝f (x )f (0)－f (0)－x ＋2，将f (0)＝1，f (1)＝2代入，可得f (x )＝1＋x ，所以f (2 017)＝2 018.故选D.3．若函数f (x )满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)”，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝(x －1)2B ．f (x )＝e xC ．f (x )＝1xD ．f (x )＝ln(x ＋1)解析：选C.根据条件知，f (x )在(0，＋∞)上单调递减． 对于A ，f (x )＝(x －1)2在(1，＋∞)上单调递增，排除A ； 对于B ，f (x )＝e x在(0，＋∞)上单调递增，排除B ； 对于C ，f (x )＝1x在(0，＋∞)上单调递减，C 正确；对于D ，f (x )＝ln(x ＋1)在(0，＋∞)上单调递增，排除D. 4．已知函数f (x )＝2x ＋1(1≤x ≤3)，则( ) A ．f (x －1)＝2x ＋2(0≤x ≤2) B ．f (x －1)＝2x －1(2≤x ≤4) C ．f (x －1)＝2x －2(0≤x ≤2) D ．f (x －1)＝－2x ＋1(2≤x ≤4)解析：选B.因为f (x )＝2x ＋1，所以f (x －1)＝2x －1.因为函数f (x )的定义域为[1,3]，所以1≤x －1≤3，即2≤x ≤4，故f (x －1)＝2x －1(2≤x ≤4)．5．若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2 018]，则函数g (x )＝f x ＋x －1的定义域是( ) A ．[－1,2 017]B ．[－1,1)∪(1,2 017]C ．[0,2 019]D ．[－1,1)∪(1,2 018]解析：选B.要使函数f (x ＋1)有意义，则0≤x ＋1≤2 018，解得－1≤x ≤2 017，故函数f (x ＋1)的定义域为[－1，2 017]，所以函数g (x )有意义的条件是⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤2 017x －1≠0，解得－1≤x ＜1或1＜x ≤2 017.故函数g (x )的定义域为[－1,1)∪(1,2 017]．6．下列函数为奇函数的是( ) A ．y ＝x 3＋3x 2B ．y ＝e x ＋e －x2C ．y ＝x sin xD ．y ＝log 23－x3＋x解析：选D.依题意，对于选项A ，注意到当x ＝－1时，y ＝2；当x ＝1时，y ＝4，因此函数y ＝x 3＋3x 2不是奇函数．对于选项B ，注意到当x ＝0时，y ＝1≠0，因此函数y ＝e x ＋e－x2不是奇函数．对于选项C ，注意到当x ＝－π2时，y ＝π2；当x ＝π2时，y ＝π2，因此函数y＝x sin x 不是奇函数．对于选项D ，由3－x3＋x＞0得－3＜x ＜3，即函数y ＝log 23－x3＋x的定义域是(－3,3)，该数集是关于原点对称的集合，且log 23－－x 3＋－x ＋log 23－x 3＋x ＝log 21＝0，即log 23－－x 3＋－x ＝－log 23－x 3＋x，因此函数y ＝log 23－x 3＋x是奇函数．综上所述，选D.7．设函数f (x )＝ln(1＋x )＋m ln(1－x )是偶函数，则( ) A ．m ＝1，且f (x )在(0,1)上是增函数 B ．m ＝1，且f (x )在(0,1)上是减函数 C ．m ＝－1，且f (x )在(0,1)上是增函数 D ．m ＝－1，且f (x )在(0,1)上是减函数解析：选B.因为函数f (x )＝ln(1＋x )＋m ln(1－x )是偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，则(m －1)ln 3＝0，即m ＝1，则f (x )＝ln(1＋x )＋ln(1－x )＝ln(1－x 2)，在(0,1)上，当x 增大时，1－x 2减小，ln(1－x 2)减小，即f (x )在(0,1)上是减函数，故选B.8．若关于x 的不等式4a x －1＜3x －4(a ＞0，且a ≠1)对于任意的x ＞2恒成立，则a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 C ．[2，＋∞) D ．(2，＋∞)解析：选B.不等式4ax －1＜3x －4等价于ax －1＜34x －1.令f (x )＝ax －1，g (x )＝34x －1，当a ＞1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图1所示，由图知不满足条件；当0＜a ＜1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图2所示，则f (2)≤g (2)，即a2－1≤34×2－1，即a ≤12，所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，故选B.9．已知函数y ＝a ＋sin bx (b ＞0且b ≠1)的图象如图所示，那么函数y ＝log b (x －a )的图象可能是( )解析：选C.由三角函数的图象可得a ＞1，且最小正周期T ＝2πb＜π，所以b ＞2，则y＝log b (x －a )是增函数，排除A 和B ；当x ＝2时，y ＝log b (2－a )＜0，排除D ，故选C.10．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ∈(－∞，0]时，f (x )为减函数，若a ＝f (20.3)，b ＝f (log 124)，c ＝f (log 25)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．c ＞a ＞bD ．a ＞c ＞b解析：选B.函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ∈(－∞，0]时，f (x )为减函数，∴f (x )在[0，＋∞)为增函数， ∵b ＝f (log 124)＝f (－2)＝f (2)，1＜20.3＜2＜log 25，∴c ＞b ＞a ，故选B. 11．已知函数f (x )＝x －4＋9x ＋1，x ∈(0,4)，当x ＝a 时，f (x )取得最小值b ，则函数g (x )＝a |x ＋b |的图象为( )解析：选A.∵x ∈(0,4)，∴x ＋1＞1， ∴f (x )＝x －4＋9x ＋1＝x ＋1＋9x ＋1－5≥ 29x ＋1x ＋－5＝1，当且仅当x ＝2时取等号，此时函数f (x )有最小值1. ∴a ＝2，b ＝1，∴g (x )＝2|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥－1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1，x ＜－1，此函数可以看成由函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x ＜0的图象向左平移1个单位得到，结合指数函数的图象及选项可知A 正确．故选A.12．若函数f (x )＝1＋2x ＋12x ＋1＋sin x 在区间[－k ，k ](k ＞0)上的值域为[m ，n ]，则m ＋n的值是( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选D.∵f (x )＝1＋2·2x2x ＋1＋sin x＝1＋2·2x＋1－12x ＋1＋sin x＝2＋1－22x ＋1＋sin x＝2＋2x－12x ＋1＋sin x .记g (x )＝2x－12x ＋1＋sin x ，则f (x )＝g (x )＋2，易知g (x )为奇函数，g (x )在[－k ，k ]上的最大值a 与最小值b 互为相反数， ∴a ＋b ＝0，故m ＋n ＝4.(a ＋2)＋(b ＋2)＝a ＋b ＋4＝4. 二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝log 2x －1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝________.解析：因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫log 222－1＝32. 答案：3214．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log a x ，x ＞2，－x 2＋2x －2，x ≤2(a ＞0，且a ≠1)的值域是(－∞，－1]，则实数a 的取值范围是________．解析：当x ≤2时，f (x )＝－x 2＋2x －2＝－(x －1)2－1，f (x )在(－∞，1)上递增，在(1,2]上递减，∴f (x )在(－∞，2]上的最大值是－1， 又f (x )的值域是(－∞，－1]，∴当x ＞2时， log a x ≤－1，故0＜a ＜1，且log a 2≤－1， ∴12≤a ＜1，故答案为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，115．已知函数f (x )在实数集R 上具有下列性质：①直线x ＝1是函数f (x )图象的一条对称轴；②f (x ＋2)＝－f (x )；③当1≤x 1＜x 2≤3时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)＜0，则f (2 015)、f (2 016)、f (2 017)从大到小的顺序为______________．解析：由f (x ＋2)＝－f (x )得f (x ＋4)＝f (x )，所以f (x )的周期是4，所以f (2 015)＝f (3)，f (2 016)＝f (0)，f (2 017)＝f (1)．因为直线x ＝1是函数f (x )图象的一条对称轴，所以f (0)＝f (2)．由1≤x 1＜x 2≤3时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)＜0，可知当1≤x ≤3时，函数f (x )单调递减，所以f (1)＞f (2)＞f (3)，即f (2 017)＞f (2 016)＞f (2 015)．答案：f (2 017)＞f (2 016)＞f (2 015)16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|2x ＋1|，x ＜1，log 2x －m ，x ＞1，若f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)(x 1，x 2，x 3互不相等)，且x 1＋x 2＋x 3的取值范围为(1,8)，则实数m 的值为________．解析：作出f (x )的图象，如图所示，可令x 1＜x 2＜x 3，则由图知点(x 1,0)，(x 2,0)关于直线x ＝－12对称，所以x 1＋x 2＝－1.又1＜x 1＋x 2＋x 3＜8，所以2＜x 3＜9.结合图象可知点A的坐标为(9,3)，代入函数解析式，得3＝log 2(9－m )，解得m ＝1.答案：1限时规范训练五 不等式及线性规划限时45分钟，实际用时分值80分，实际得分一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分) 1．设0＜a ＜b ＜1，则下列不等式成立的是( ) A ．a 3＞b 3B.1a ＜1bC ．a b ＞1D ．lg(b －a )＜a解析：选D.∵0＜a ＜b ＜1，∴0＜b －a ＜1－a ，∴lg(b －a )＜0＜a ，故选D. 2．已知a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，则1a ＋4b( )A ．有最小值8B ．有最小值9C ．有最大值8D ．有最大值9解析：选B.因为1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b (a ＋b )＝5＋b a ＋4ab≥5＋2b a ·4a b ＝9，当且仅当b a ＝4a b且a ＋b ＝1，即a ＝13，b ＝23时取“＝”，所以1a ＋4b的最小值为9，故选B.3．对于任意实数a ，b ，c ，d ，有以下四个命题： ①若ac 2＞bc 2，则a ＞b ；②若a ＞b ，c ＞d ，则a ＋c ＞b ＋d ； ③若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd ；④若a ＞b ，则1a ＞1b.其中正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选B.①ac 2＞bc 2，则c ≠0，则a ＞b ，①正确； ②由不等式的同向可加性可知②正确； ③需满足a 、b 、c 、d 均为正数才成立；④错误，如：令a ＝－1，b ＝－2，满足－1＞－2，但1－1＜1－2.故选B. 4．已知不等式ax 2－bx －1＞0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜－13，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是( )A ．{x |2＜x ＜3}B ．{x |x ≤2或x ≥3}C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13＜x ＜12 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＜13或x ＞12 解析：选B.∵不等式ax 2－bx －1＞0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜－13， ∴ax 2－bx －1＝0的解是x 1＝－12和x 2＝－13，且a ＜0.∴⎩⎪⎨⎪⎧－12－13＝ba ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5.则不等式x 2－bx －a ≥0即为x 2－5x ＋6≥0，解得x ≤2或x ≥3. 5．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥12x 2，则z ＝y －x 的取值范围为( )A ．[－2,2] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，2C ．[－1,2]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 解析：选B.作出可行域(图略)，设直线l ：y ＝x ＋z ，平移直线l ，易知当l 过直线3x－y ＝0与x ＋y －4＝0的交点(1,3)时，z 取得最大值2；当l 与抛物线y ＝12x 2相切时，z 取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧z ＝y －x ，y ＝12x 2，消去y 得x 2－2x －2z ＝0，由Δ＝4＋8z ＝0，得z ＝－12，故－12≤z ≤2，故选B.6．设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n的最小值是( ) A.92 B.72 C ．22＋12D ．22－12解析：选A.∵a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝n＋n2， ∴S n ＋8a n＝n＋n2＋8n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋16n ＋1≥12⎝⎛⎭⎪⎫2n ·16n ＋1＝92，当且仅当n ＝4时取等号．∴S n ＋8a n 的最小值是92，故选A. 7．一条长为2的线段，它的三个视图分别是长为3，a ，b 的三条线段，则ab 的最大值为( )A. 5B. 6C.52D ．3解析：选C.如图，构造一个长方体，体对角线长为2，由题意知a 2＋x 2＝4，b 2＋y 2＝4，x 2＋y 2＝3，则a 2＋b 2＝x 2＋y 2＋2＝3＋2＝5，又5＝a 2＋b 2≥2ab ，所以ab ≤52，当且仅当a ＝b 时取等号，所以选C.8．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12，则x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是( ) A ．[1,5] B ．[2,6] C ．[3,11]D ．[3,10]解析：选C.画出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12的可行域如图阴影部分所示，则x ＋2y ＋3x ＋1＝x ＋1＋2y ＋2x ＋1＝1＋2×y ＋1x ＋1，y ＋1x ＋1的几何意义为过点(x ，y )和(－1，－1)的直线的斜率．由可行域知y ＋1x ＋1的取值范围为k MA ≤y ＋1x ＋1≤k MB ，即y ＋1x ＋1∈[1,5]，所以x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是[3,11]．9．设x ，y 满足不等式⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，x ＋y ≥1，x －y ≤1，若M ＝3x ＋y ，N ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－72，则M －N 的最小值为( )A.12 B ．－12C ．1D ．－1解析：选A.作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易求得A (－1,2)，B (3,2)，当直线3x ＋y －M ＝0经过点A (－1,2)时，目标函数M ＝3x ＋y 取得最小值－1.又由平面区域知－1≤x ≤3，所以函数N ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－72在x ＝－1处取得最大值－32，由此可得M －N 的最小值为－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝12.10．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域的形状是三角形，则a 的取值范围是( )A ．a ≥43B ．0＜a ≤1C ．1≤a ≤43D ．0＜a ≤1或a ≥43解析：选 D.作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示．其中直线x －y ＝0与直线2x ＋y ＝2的交点是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，而直线x ＋y ＝a 与x 轴的交点是(a,0)．由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需a ≥23＋23或0＜a ≤1，所以选D.11．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －10≥0，x ≤4，y ≤3表示区域D ，过区域D 中任意一点P 作圆x2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A 、B ，当∠APB 最大时，cos∠APB ＝( )A.32 B.12 C ．－32D ．－12解析：选B.画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，易知当点P 到点O 距离最小时，∠APB 最大，此时|OP |＝|3×0＋4×0－10|32＋42＝2，又OA ＝1，故∠OPA ＝π6， ∴∠APB ＝π3，∴cos∠APB ＝12.12．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0＜f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( ) A ．c ≤3 B ．3＜c ≤6 C ．6＜c ≤9D ．c ＞9解析：选C.由0＜f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，得0＜－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ≤3，由－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ，得3a －b －7＝0，① 由－1＋a －b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ，得 4a －b －13＝0，②由①②，解得a ＝6，b ＝11，∴0＜c －6≤3， 即6＜c ≤9，故选C.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．函数f (x )＝1＋log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －2＝0上，其中mn ＞0，则1m ＋1n的最小值为________．解析：因为log a 1＝0，所以f (1)＝1，故函数f (x )的图象恒过定点A (1,1)． 由题意，点A 在直线mx ＋ny －2＝0上，所以m ＋n －2＝0，即m ＋n ＝2. 而1m ＋1n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ×(m ＋n ) ＝12⎝⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ，因为mn ＞0，所以nm ＞0，m n＞0. 由均值不等式，可得n m ＋m n ≥2×n m ×mn＝2(当且仅当m ＝n 时等号成立)， 所以1m ＋1n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ≥12×(2＋2)＝2，即1m ＋1n的最小值为2.答案：214．设P (x ，y )是函数y ＝2x(x ＞0)图象上的点，则x ＋y 的最小值为________．解析：因为x ＞0，所以y ＞0，且xy ＝2.由基本不等式得x ＋y ≥2xy ＝22，当且仅当x ＝y 时等号成立．答案：2 215．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥x ，3x ＋2y ≤15，则w ＝4x ·2y的最大值是________．解析：作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．w ＝4x ·2y ＝22x ＋y，要求其最大值，只需求出2x ＋y ＝t 的最大值即可，由平移可知t ＝2x ＋y 在A (3,3)处取得最大值t ＝2×3＋3＝9，故w ＝4x·2y的最大值为29＝512.答案：51216．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，log 13x ，x ＞1，若对任意的x ∈R ，不等式f (x )≤m 2－34m 恒成立，则实数m 的取值范围为________．解析：由题意知，m 2－34m ≥f (x )max .当x ＞1时，f (x )＝log 13x 是减函数，且f (x )＜0；当x ≤1时，f (x )＝－x 2＋x ，其图象的对称轴方程是x ＝12，且开口向下，∴f (x )max ＝－14＋12＝14.∴m 2－34m ≥14，即4m 2－3m －1≥0，∴m ≤－14或m ≥1.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－14∪[1，＋∞)限时规范训练六 导数的简单应用限时45分钟，实际用时分值81分，实际得分一、选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分)1．设函数f (x )＝x 24－a ln x ，若f ′(2)＝3，则实数a 的值为( )A ．4B ．－4C ．2D ．－2解析：选B.f ′(x )＝x 2－a x ，故f ′(2)＝22－a2＝3，因此a ＝－4.2．曲线y ＝e x在点A 处的切线与直线x －y ＋3＝0平行，则点A 的坐标为( ) A ．(－1，e －1) B ．(0,1) C ．(1，e)D ．(0,2)解析：选B.设A (x 0，e x 0)，y ′＝e x，∴y ′|x ＝x 0＝e x 0.由导数的几何意义可知切线的斜率k ＝e x 0.由切线与直线x －y ＋3＝0平行可得切线的斜率k ＝1. ∴e x 0＝1，∴x 0＝0，∴A (0,1)．故选B.3．若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，则实数c 的取值范围为 ( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ B.⎝⎛⎭⎪⎫32，＋∞ C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ 解析：选D.若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，则f ′(x )＝3x 2－4cx ＋1＝0有两根，故Δ＝(－4c )2－12＞0，从而c ＞32或c ＜－32. 4．已知f (x )＝a ln x ＋12x 2(a ＞0)，若对任意两个不等的正实数x 1，x 2都有f x 1－f x 2x 1－x 2≥2恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(0,1)D ．(0,1]解析：选 A.由条件可知在定义域上函数图象的切线斜率大于等于2，所以函数的导数f ′(x )＝ax＋x ≥2.可得x ＝a 时，f ′(x )有最小值2.∴a ≥1.5．若定义在R 上的函数f (x )满足f (0)＝－1，其导函数f ′(x )满足f ′(x )＞k ＞1，则下列结论中一定错误的是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k＜1kB ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＞1k －1C ．f ⎝⎛⎭⎪⎫1k －1＜1k －1D ．f ⎝⎛⎭⎪⎫1k －1＞k k －1解析：选C.构造函数g (x )＝f (x )－kx ＋1，则g ′(x )＝f ′(x )－k ＞0，∴g (x )在R 上为增函数． ∵k ＞1，∴1k －1＞0，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1＞g (0)． 而g (0)＝f (0)＋1＝0， ∴g ⎝⎛⎭⎪⎫1k －1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1－k k －1＋1＞0，即f ⎝⎛⎭⎪⎫1k －1＞k k －1－1＝1k －1，所以选项C 错误，故选C.6．由曲线y ＝x 2，y ＝x 围成的封闭图形的面积为( ) A.16 B.13 C.23D ．1解析：选 B.由题意可知所求面积(如图中阴影部分的面积)为⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎫23x 32－13x 310＝13.所以选B.二、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)7．(2016·高考全国卷Ⅱ)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________.解析：直线y ＝kx ＋b 与曲线y ＝ln x ＋2，y ＝ln(x ＋1)均相切，设切点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由y ＝ln x ＋2得y ′＝1x ，由y ＝ln(x ＋1)得y ′＝1x ＋1，∴k ＝1x 1＝1x 2＋1，∴x 1＝1k ，x 2＝1k－1，∴y 1＝－ln k ＋2，y 2＝－ln k .即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k，－ln k ＋2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k－1，－ln k ，∵A 、B 在直线y ＝kx ＋b 上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2－ln k ＝k ·1k ＋b ，－ln k ＝k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1＋b解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1－ln 2，k ＝2.答案：1－ln 28．已知函数f (x )＝－12x 2－3x ＋4ln x 在(t ，t ＋1)上不单调，则实数t 的取值范围是________．解析：由题意得，f (x )的定义域为(0，＋∞)，∴t ＞0， ∴f ′(x )＝－x －3＋4x＝0在(t ，t ＋1)上有解，∴x 2＋3x －4x＝0在(t ，t ＋1)上有解，∴x 2＋3x －4＝0在(t ，t ＋1)上有解，由x 2＋3x －4＝0得x ＝1或x ＝－4(舍去)，∴1∈(t ，t ＋1)，∴t ∈(0,1)，故实数t 的取值范围是(0,1)．答案：(0,1)9．若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则实数b 的最大值是________．解析：函数的定义域是x ＋2＞0，即x ＞－2，而f ′(x )＝－x ＋bx ＋2＝－x 2－2x ＋bx ＋2.因为x ＋2＞0，函数f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，即－x 2－2x ＋b ≤0在x ∈(－1，＋∞)上恒成立，得b ≤x 2＋2x 在x ∈(－1，＋∞)上恒成立，令g (x )＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，x ∈(－1，＋∞)，g (x )＞g (－1)＝－1，所以b ≤－1.所以b 的最大值为－1.答案：－1三、解答题(本题共3小题，每小题12分，共36分) 10．已知f (x )＝2x ＋3－x ＋2x ＋1.(1)求证：当x ＝0时，f (x )取得极小值；(2)是否存在满足n ＞m ≥0的实数m ，n ，当x ∈[m ，n ]时，f (x )的值域为[m ，n ]？若存在，求m ，n 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：由已知得f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞. 当x ＞－12时，f ′(x )＝2－2－x ＋x ＋2＝8x 2＋8x ＋x ＋x ＋2.设F (x )＝8x 2＋8x ＋2ln(2x ＋1)，则f ′(x )＝F x x ＋2.当x ＞－12时，y ＝8x 2＋8x ＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－2是单调递增函数，y ＝2ln(2x ＋1)也是单调递增函数．∴当x ＞－12时，F (x )＝8x 2＋8x ＋2ln(2x ＋1)单调递增．∴当－12＜x ＜0时，F (x )＜F (0)＝0，当x ＞0时，F (x )＞F (0)＝0.∴当－12＜x ＜0时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，当x ＞0时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．∴当x ＝0时，f (x )取得极小值．(2)由(1)知f (x )在[0，＋∞)上是单调递增函数，若存在满足n ＞m ≥0的实数m ，n ，当x ∈[m ，n ]时，f (x )的值域为[m ，n ]，则f (m )＝m ，f (n )＝n ，即f (x )＝x 在[0，＋∞)上有两个不等的实根m ，n .∴2x 2＋7x ＋3－ln(2x ＋1)＝0在[0，＋∞)上有两个不等的实根m ，n . 设H (x )＝2x 2＋7x ＋3－ln(2x ＋1)，则 H ′(x )＝8x 2＋18x ＋52x ＋1.当x ＞0时，2x ＋1＞0,8x 2＋18x ＋5＞0， ∴H ′(x )＝8x 2＋18x ＋52x ＋1＞0.∴H (x )在[0，＋∞)上是单调递增函数，即当x ≥0时，H (x )≥H (0)＝3. ∴2x 2＋7x ＋3－ln(2x ＋1)＝0在[0，＋∞)上没有实数根． ∴不存在满足条件的实数m ，n .11．(2017·河南郑州质量检测)设函数f (x )＝12x 2－m ln x ，g (x )＝x 2－(m ＋1)x .(1)求函数f (x )的单调区间；(2)当m ≥0时，讨论函数f (x )与g (x )图象的交点个数．。
2018年高三年级数学全国二模汇编(理科)专题12排列组合、二项式定理
【2018高三数学各地优质二模试题分项精品】一、选择题1．【2018陕西咸阳高三二模】有5名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学不能相邻，则不同的站法有（ ）A. 8种B. 16种C. 32种D. 48种 【答案】B2．【2018新疆维吾尔自治区高三二模】若1nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭展开式中含x 项的系数为-80，则n 等于（ ）A. 5B. 6C. 7D. 8 【答案】A【解析】 由二项式1nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式为(()321112rn rn rr rn r r r n n T C C x x ---+⎛⎫=-=-⋅ ⎪⎝⎭，令32123n r n r --=⇒=，即()22223331280,n n n n C n N +--+-⋅=-∈， 经验证可得5n =，故选A.点睛：根据二项式展开式的通项，确定二项式系数或确定二项展开式中的指定项，是二项式定理问题中的基本问题，往往要综合运用二项展开式的系数的性质、二项式展开式的通项求解. 本题能较好地考查考生的思维能力、基本计算能力等.3．【2018河南商丘高三二模】高考结束后6名同学游览我市包括日月湖在内的6个景区，每名同学任选一个景区游览，则有且只有两名同学选择日月湖景区的方案有（ ） A.种 B.种 C.种 D.种【答案】D【解析】先确定选择日月湖景区两名同学，有种选法；其他4名学生游览我市不包括日月湖在内的5个景区，共有种选法，故方案有种，选D.4．【2018上海黄浦高三二模】二项式的展开式中，其中是有理项的项数共有 （ ）A. 4项B. 7项C. 5项D. 6项 【答案】B5．【2018安徽宣城高三二调】记()()()727017211x a a x a x -=+++++，则0126a a a a +++的值为（ ）A. 1B. 2C. 129D. 2188 【答案】C【解析】()()()727017211x a a x a x -=+++++中，令0x =，得70172128a a a =++⋅⋅⋅+=.∵()72x -展开式中含7x 项的系数为()7707211C -=-∴71a =-∴0167128129a a a a ++⋅⋅⋅+=-= 故选C.点睛：二项式通项与展开式的应用：(1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定项或指定项的系数等.(2)展开式的应用：①可求解与二项式系数有关的求值，常采用赋值法.②可证明整除问题(或求余数).关键是要合理地构造二项式，并将它展开进行分析判断.③有关组合式的求值证明，常采用构造法.6．【2018安徽马鞍山高三质监二】二项式的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中的指数为整数的顶的个数为（）A. 3B. 5C. 6D. 7【答案】D7．【2018河南高三4月适应性考试】的展开式中的系数为（）A. 10B. 15C. 20D. 25【答案】C【解析】=所以的展开式中的系数=故选C.8．【2018吉林长春高三质监三】本不同的书摆放在书架的同一层上,要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有（）种A. B. C. D.【答案】A【解析】第一步：甲、乙两本书必须摆放在两端，有种排法；第二步：丙、丁两本书必须相邻视为整体与其它两本共三本，有种排法；∴故选：A.、、三个不同社区进行帮扶活动，9．【2018河北保定高三一模】甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A B C每人只能去一个社区，每个社区至少一人.其中甲必须去A社区，乙不去B社区，则不同的安排方法种数为（）A. 8 B. 7 C. 6 D. 5【答案】B【解析】根据题意满足条件的安排为：A （甲，乙）B （丙）C （丁）；A （甲，乙）B （丁）C （丙）；A （甲，丙）B （丁）C （乙）； A （甲，丁）B （丙）C （乙）； A （甲）B （丙，丁）C （乙）；A （甲）B （丁）C （乙，丙）；A （甲）B （丙）C （丁，乙）；共7种，选B.10．【2018河北唐山高三二模】甲乙等4人参加4100⨯米接力赛，在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是（ ） A.29 B. 49 C. 23 D. 79【答案】D11．【2018河北邯郸高三一模】若()12nx x-的展开式中3x 的系数为80，其中n 为正整数，则()12nx x-的展开式中各项系数的绝对值之和为（ ） A. 32 B. 81 C. 243 D. 256 【答案】C【解析】由题意得()442805n C n -=∴=，()12nx x-的展开式中各项系数的绝对值之和为()5122431+=，选C.12．【2018江西上饶高三二模】二项式56x⎛ ⎝的展开式的常数项为（ ） A. -5 B. 5 C. -10 D. 10 【答案】B【解析】由题得()()()153056215510,1,2,3,4,5rr rr r r r T C x C x r --+⎛==-= ⎝.令1530042r r -=∴= 所以二项式展开式的常数项为()44515C -=,故选B. 13．【2018凉山州高三二诊】某校在教师交流活动中，决定派2名语文教师， 4名数学教师到甲乙两个学校交流，规定每个学校派去3名老师且必须含有语文老师和数学老师，则不同的安排方案有（ ）种 A. 10 B. 11 C. 12 D. 15【答案】C14．【2018山东菏泽高三二模】若的展开式中含有常数项，且的最小值为，则A. B. C. D.【答案】C【解析】展开式的通项为，因为展开式中含有常数项，所以，即为整数，故n的最小值为5．所以.故选C点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.15．【2018湖南江西14校联考二】甲、乙、丙、丁、戊五位同学相约去学校图书室借A、B、C、D四类课外书（每类课外书均有若干本），已知每人均只借阅一本，每类课外书均有人借阅，且甲只借阅A类课外书，则不同的借阅方案种类为（）A. 48B. 54C. 60D. 72【答案】C【解析】分两类：乙、丙、丁、戊四位同学A 、B 、C 、D 四类课外书各借1本，共4424A =种方法； 乙、丙、丁、戊四位同学B 、C 、D 三类课外书各借1本，共有234336C A =中方法，故方法总数为60种.故选C.16．【2018福建福州高三3月质检】福州西湖公园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，不同的安排方案共有( ) A. 90种 B. 180种 C. 270种 D. 360种 【答案】B17．【2018湖南常州高三质检】将5个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（ ）A. 42种B. 48种C. 54种D. 60种 【答案】A【解析】最左端排甲时，有4424A = 种排法 最左端排乙时，有33318A = 种排法所以共有241842+=种排法，选A.18．【2018安徽黄山高三一模】我国的第一艘航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架“歼—15”飞机准备着舰，如果乙机不能最先着舰，而丙机必须在甲机之前着舰（不一定相邻），那么不同的着舰方法种数为A. 24B. 36C. 48D. 96 【答案】C【解析】5架“歼—15”飞机着舰的方法共有55A 种，乙机最先着舰共有44A 种，如果乙机不能最先着舰，而丙机必须在甲机之前着舰（不一定相邻）有：5454482A A -=. 故选C.19．【2018辽宁沈阳高三质监一】若4个人按原来站的位置重新站成一排，恰有一个人站在自己原来的位置，则共有（ ）种不同的站法. A. 4 B. 8 C. 12 D. 24 【答案】B【解析】由不对号入座的结论可知，三个人排队，对对号入座的方法共有2种， 据此结合乘法原理可知，满足题意的站法共有： 248⨯=种. 本题选择B 选项.20．【2018辽宁丹东高三质监】现将5张连号的电影票分给甲乙等5个人，每人一张，且甲乙分得的电影票连号，则共有不同分法的种数为A. 12B. 24C. 48D. 60 【答案】C21．【2018贵州遵义高三联考二】下边程序框图的算法思路是来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图时，若输入的a b 、分别为16、18，输出的结果为a ，则二项式6⎛⎝的展开式中常数项是（ ）A. -20B. 52C. -192D. -160 【答案】D22．【2018河南郑州高三一模】在nx⎛ ⎝的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为3：2，则2x 的系数为（ ）A. 50B. 70C. 90D. 120 【答案】C【解析】在nx⎛ ⎝中，令1x =得()134nn +=，即展开式中各项系数和为4n ；又展开式中的二项式系数和为2n．由题意得42322n nn ==，解得5n =．故二项式为5x⎛ ⎝，其展开式的通项为()35521553rr r r r r r T C x C x --+==，（ 0,1,2,3,4,5r =）． 令2r =得222235390T C x x ==．所以2x 的系数为90．选C ．23．【2018广州高三一调】某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2名，乙大学2名，丙大学1名，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有A. 36种B. 24种C. 22种D. 20种 【答案】B【解析】第一类：男生分为1,1,1，女生全排，男生全排得323212A A ⋅=，第二类：男生分为2,1，所以男生两堆全排后女生全排22232212C A A ⋅=，不同的推荐方法共有121224+= ，故选B.24．【2018河南洛阳高三一模】若0sin a xdx π=⎰，则二项式61x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为（ ）A. -15B. 15C. -240D. 240 【答案】D。
2018届高中数学高考二轮复习 排列组合、二项式定理教案含答案(全国通用)
教学过程一、考纲解读该部分在高考试卷中一般是1到2个小题，分值在5-10分。
主要考查两个基本原理、排列组合的基础知识和方法，考查二项式定理的基础知识及其简单应用.在复习中要在解一些常规题型上下功夫，需要掌握基本的解题方法.在平时的复习中要能够体会计数原理在概率分布中的应用，特别是用排列组合解决的大题.对于二项式定理，重点考查二项式定理的通项.以及二项式系数和项的系数.二、复习预习（1）分类加法计数原理、分步乘法计数原理①理解分类加法计数原理和分类乘法计数原理；②会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.（2）排列与组合①理解排列、组合的概念.②能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.③能解决简单的实际问题.（3）二项式定理①能用计数原理证明二项式定理.②会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.三、知识讲解考点1 分类加法计数原理、分步乘法计数原理①理解分类加法计数原理和分类乘法计数原理；②会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.考点2 排列与组合①理解排列、组合的概念.②能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.③能解决简单的实际问题.考点3 二项式定理①能用计数原理证明二项式定理.②会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.四、例题精析例1 [2014全国1卷] 4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率( )A.18B.38C.58D.78【规范解答】解法1.选D（直接法）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动共有4216=种，周六、周日都有同学参加公益活动有两种情况：①一天一人一天三人有11428C A=种；②每天2人有22 426C C=种，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为867 168 +=；解法2.选D（间接法）4位同学都在周六或周日参加公益活动有2种，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为1627 168-=；选D.【总结与反思】（1）本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．是一道基础题。
2018年高考数学(理)二轮复习 讲学案：概率与统计 第1讲 排列、组合、二项式定理(含答案解析)
第1讲排列、组合、二项式定理1.高考中主要利用计数原理求解排列数、涂色、抽样问题，以小题形式考查．2．二项式定理主要考查通项公式、二项式系数等知识，近几年也与函数、不等式、数列交汇，值得关注．热点一两个计数原理分类加法计数原理和分步乘法计数原理如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理，将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理，将各步的方法种数相乘．例1 (1)(2017·东北三省三校联合)在哈尔滨的中央大街的步行街同侧有6块广告牌，牌的底色可选用红、蓝两种颜色，若要求相邻两块牌的底色不都为蓝色，则不同的配色方案共有( )A．20种B．21种C．22种D．24种答案 B解析分类讨论．当广告牌没有蓝色时，有1种结果；当广告牌有1块蓝色时，有C16＝6(种)结果；当广告牌有2块蓝色时，先排4块红色，形成5个位置，插入2块蓝色，有C25＝10(种)结果；当广告牌有3块蓝色时，先排3块红色，形成4个位置，插入3块蓝色，有C34＝4(种)结果；由于相邻广告牌不能同为蓝色，所以不可能有4块蓝色广告牌．根据分类加法计数原理有1＋6＋10＋4＝21(种)结果．故选B.(2)(2016·全国Ⅱ)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )A．24 B．18C．12 D．9答案 B解析从E到F的最短路径有6条，从F到G的最短路径有3条，所以从E到G的最短路径为6×3＝18(条)，故选B.思维升华(1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理．(2)对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化．跟踪演练1 (1)某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏，现有4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢完，4个红包中有2个6元，1个8元，1个10元(红包中金额相同视为相同红包)，则甲、乙都抢到红包的情况有( )A．18种B．24种C．36种D．48种答案 C解析若甲、乙抢的是一个6元和一个8元的，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A22A23＝12(种)，若甲、乙抢的是一个6元和一个10元的，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A22A23＝12(种)，若甲、乙抢的是一个8元和一个10元的，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A22C23＝6(种)，若甲、乙抢的是两个6元的，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A23＝6(种)，根据分类加法计数原理可得甲、乙都抢到红包的情况共有36种．故选C.(2)(2017·江西省五市八校联考)某学校高三年级有2个文科班，3个理科班，现每个班指定1人对各班的卫生进行检查，若每班只安排一人检查，且文科班学生不检查文科班，理科班学生不检查自己所在的班，则不同的安排方法种数是( )A．24 B．32C．48 D．84答案 A解析首先安排文科学生，文科两个班的学生有A23种安排方法，然后安排理科学生，理科的学生有A12×A22种安排方法，利用分步乘法计数原理可得，不同的安排方法种数为A23×A12×A22＝24(种)．故选A.热点二排列与组合例2 (1)(2017届四川省广元市三诊)某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个小孩共8人，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名(乘同一辆车的4名小孩不考虑位置)，其中A户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭的乘坐方式共有( )A．18种B．24种C．36种D．48种答案 B解析若A户家庭的孪生姐妹乘坐甲车，即剩下的两个小孩来自其他的3个家庭，有C23·22＝12(种)方法，若A户家庭的孪生姐妹乘坐乙车，那来自同一家庭的2名小孩来自剩下的3个家庭中的一个，有C13·22＝12(种)，所以共有12＋12＝24(种)方法，故选B.(2)(2017·天津)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．(用数字作答)答案 1 080解析①当组成四位数的数字中有一个偶数时，四位数的个数为C35·C14·A44＝960.②当组成四位数的数字中不含偶数时，四位数的个数为A45＝120.故符合题意的四位数一共有960＋120＝1 080(个)．思维升华求解排列、组合问题的思路：排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘．具体地说，解排列、组合的应用题，通常有以下途径(1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．(2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．解答计数问题多利用分类讨论思想．分类应在同一标准下进行，确保“不漏”“不重”．跟踪演练2 (1)(2017·兰州模拟)某国际会议结束后，中、美、俄等21国领导人合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在前排正中间位置，美、俄两国领导人也站前排并与中国领导人相邻，如果对其他国家领导人所站位置不做要求，那么不同的站法共有( ) A ．A 1818种 B ．A 2020种 C ．A 23A 318A 1010种 D ．A 22A 1818种答案 D解析 先排美、俄两国领导人，方法有A 22种，剩下18人任意排有A 1818种，故共有A 22·A 1818种不同的站法．(2)(2017·广东省韶关市模拟)5位大学毕业生分配到3家单位，每家单位至少录用1人，则不同的分配方法共有( ) A ．25种 B ．60种 C ．90种 D ．150种答案 D解析 因为5位大学毕业生分配到3家单位，每家单位至少录用1人，所以共有两种方法：一，一个单位1名，其他两个单位各2名，有C 15C 24A 22×A 33＝90(种)分配方法；二，一个单位3名，其他两个单位各1名，有C 35×A 33＝60(种)分配方法，共有90＋60＝150(种)分法，故选D. 热点三 二项式定理 (a ＋b )n＝C 0n a n＋C 1n an －1b ＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n ，其中各项的系数C kn (k ＝0,1，…，n )叫做二项式系数；展开式中共有n ＋1项，其中第k ＋1项T k ＋1＝C k n an －k b k(其中0≤k ≤n ，k ∈N ，n ∈N *)称为二项展开式的通项公式． 例3 (1)(2017·河南省普通高中质量监测)(3－2x －x 4)·(2x －1)6的展开式中，含x 3项的系数为( ) A ．600 B ．360 C ．－600 D ．－360答案 C解析 依题意，由排列组合知识可知，展开式中x 3项的系数为3×C 3623(－1)3－2×C 4622(－1)4＝－600.故选C. (2)(2017届湖北省黄冈市质量检测)已知(1－2x )2 017＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 2 016(x －1)2 016＋a 2 017(x －1)2017(x ∈R )，则a 1－2a 2＋3a 3－4a 4＋…－2 016a 2 016＋2 017a 2 017等于( )A ．2 017B ．4 034C ．－4 034D ．0答案 C解析 因为(1－2x )2 017＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 2 016(x －1)2 016＋a 2 017(x －1)2 017(x ∈R )，两边同时求导可得－2×2 017(1－2x )2 016＝a 1＋2a 2(x －1)＋…＋2 016a 2 016(x －1)2 015＋2 017a 2 017(x －1)2 016(x ∈R )，令x ＝0，则－2×2 017＝a 1－2a 2＋…－2 016a 2 016＋2 017a 2 017 (x ∈R )＝－4 034，故选C. 思维升华 (1)在应用通项公式时，要注意以下几点①它表示二项展开式的任意项，只要n 与k 确定，该项就随之确定； ②T k ＋1是展开式中的第k ＋1项，而不是第k 项；③公式中，a ，b 的指数和为n ，且a ，b 不能随便颠倒位置；④对二项式(a －b )n的展开式的通项公式要特别注意符号问题．(2)在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法．跟踪演练3 (1)(2017·全国Ⅰ)⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x 2(1＋x )6的展开式中x 2的系数为( )A ．15B ．20C ．30D ．35答案 C解析 因为(1＋x )6的通项为C k 6x k ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x2(1＋x )6的展开式中含x 2的项为1·C 26x 2和1x2·C 46x 4.因为C 26＋C 46＝2C 26＝2×6×52×1＝30，所以⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x 2(1＋x )6的展开式中x 2的系数为30.故选C.(2)(2017·吉林调研)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数之和为A ，各项的二项式系数之和为B ，若A B＝32，则n 等于( )A ．5B ．6C ．7D ．8答案 A解析 令x ＝1，得各项系数之和为A ＝4n，二项式系数之和为B ＝2n，故A B ＝4n2n ＝32，解得n ＝5，故选A.真题体验1．(2017·全国Ⅱ改编)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有________种． 答案 36解析 由题意可得，其中1人必须完成2项工作，其他2人各完成1项工作，可得安排方式为C 13·C 24·A 22＝36(种)，或列式为C 13·C 24·C 12＝3×4×32×2＝36(种)．2．(2016·上海)在⎝⎛⎭⎪⎫3x －2x n的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于________．答案 112解析 2n＝256，n ＝8， 通项C k 8·83k x-·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x k ＝C k 8(－2)k·843k x -，令k ＝2，则常数项为C 28(－2)2＝112.3．(2017·浙江)已知多项式(x ＋1)3(x ＋2)2＝x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5，则a 4＝________，a 5＝________.答案16 4解析a4是x项的系数，由二项式的展开式得a4＝C33·C12·2＋C23·C22·22＝16.a5是常数项，由二项式的展开式得a5＝C33·C22·22＝4.4．(2017·浙江)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．(用数字作答)答案660解析方法一只有1名女生时，先选1名女生，有C12种方法；再选3名男生，有C36种方法；然后排队长、副队长位置，有A24种方法．由分步乘法计数原理，知共有C12C36A24＝480(种)选法．有2名女生时，再选2名男生，有C26种方法；然后排队长、副队长位置，有A24种方法．由分步乘法计数原理知，共有C26A24＝180(种)选法．所以依据分类加法计数原理知共有480＋180＝660(种)不同的选法．方法二不考虑限制条件，共有A28C26种不同的选法，而没有女生的选法有A26C24种，故至少有1名女生的选法有A28C26－A26C24＝840－180＝660(种)．押题预测1．某电视台一节目收视率很高，现要连续插播4个广告，其中2个不同的商业广告和2个不同的公益宣传广告，要求最后播放的必须是商业广告，且2个商业广告不能连续播放，则不同的播放方式有( )A．8种 B．16种C．18种 D．24种押题依据两个计数原理是解决排列、组合问题的基础，也是高考考查的热点．答案 A解析可分三步：第一步，最后一个排商业广告有A12种；第二步，在前两个位置选一个排第二个商业广告有A12种；第三步，余下的两个排公益宣传广告有A22种．根据分步乘法计数原理，可得不同的播放方式共有A12A12A22＝8(种)．故选A.2．为配合足球国家战略，教育部特派6名相关专业技术人员到甲、乙、丙三所足校进行专业技术培训，每所学校至少一人，其中王教练不去甲校的分配方案种数为( )A．60 B．120C．240 D．360押题依据排列、组合的综合问题是常见的考查形式，解决问题的关键是先把问题正确分类．答案 D解析6名相关专业技术人员到三所足校，每所学校至少一人，可能的分组情况为4,1,1；3,2,1；2,2,2.(1)对于第一种情况，由于王教练不去甲校，王教练自己去一个学校有C12种，其余5名分成一人组和四人组有C45A22种，共C45A22C12＝20(种)；王教练分配到四人组且该组不去甲校有C35C12A22＝40(种)，则第一种情况共有20＋40＝60(种)．(2)对于第二种情况，王教练分配到一人组有C35C22A22C12＝40(种)，王教练分配到三人组有C25C23C12A22＝120(种)，王教练分配到两人组有C15C12C34A22＝80(种)，所以第二种情况共有40＋80＋120＝240(种)．(3)对于第三种情况，共有C15C12C24C22＝60(种)．综上所述，共有60＋240＋60＝360(种)分配方案．3．设(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6＋a7x7，则代数式a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＋6a6＋7a7的值为( )A ．－14B ．－7C ．7D ．14押题依据 二项式定理作为选择题或填空题设计，属于必考试题，一般试题难度有所控制，考查常数项、指定项的系数、最值、系数和等类型，本题设问角度新颖、典型，有代表性． 答案 A解析 对已知等式的两边求导，得－14(1－2x )6＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋4a 4x 3＋5a 5x 4＋6a 6x 5＋7a 7x 6， 令x ＝1，有a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋5a 5＋6a 6＋7a 7＝－14. 故选A.4．(1＋2x )10的展开式中系数最大的项是________．押题依据 二项展开式中的系数是历年高考的热门考题，常考常新，本题通过求解系数最大的项，考查考生的运算求解能力． 答案 15 360x 7解析 设第k ＋1项的系数最大，由通项公式T k ＋1＝C k 102k x k，依题意知T k ＋1项的系数不小于T k 项及T k ＋2项的系数，即⎩⎪⎨⎪⎧C k102k≥C k －1102k －1，C k 102k ≥C k ＋1102k ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧2(11－k )≥k ，k ＋1≥2(10－k ).所以193≤k ≤223，即k ＝7.故最大的项为T 8＝C 71027x 7＝15 360x 7.A 组 专题通关1．在(x －2－1x )n的二项展开式中，若第四项的系数为－7，则n 等于( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．6答案 B解析 T 3＋1＝C 3n ·(x )n －3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 23＝－18×C 3n ·32n x+，－18C 3n ＝－7，C 3n ＝56⇒n (n －1)(n －2)1×2×3＝56，解得n ＝8，故选B.2．5名学生进行知识竞赛．笔试结束后，甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“你们5人的成绩互不相同，很遗憾，你的成绩不是最好的”；对乙说：“你不是最后一名”．根据以上信息，这5人的笔试名次的所有可能的种数是( ) A ．54 B ．72 C ．78 D ．96答案 C解析 由题得甲不是第一，乙不是最后，先排乙，乙得第一，有A 44＝24(种)，乙没得第一有3种，再排甲也有3种，余下的有A 33＝6(种)，故有6×3×3＝54(种)，所以一共有24＋54＝78(种)．3．(2017届四川省成都市九校模拟)某公司有五个不同的部门，现有4名在校大学生来该公司实习，要求安排到该公司的两个部门，且每部门安排两名，则不同的安排方案种数为( ) A ．60 B ．40 C ．120 D ．240答案 A解析 由题意得，先将4名大学生平均分为两组，共有C 24C 22A 22＝3(种)不同的分法；再将两组安排在其中的两个部门，共有3×A 25＝60(种)不同的安排方法，故选A.4．(2017届江西省重点中学盟校联考)将A ，B ，C ，D ，E 这5名同学从左至右排成一排，则A 与B 相邻且A 与C 之间恰好有一名同学的排法有( ) A ．18种 B ．20种 C ．21种 D ．22种答案 B解析 当A ，C 之间为B 时，看成一个整体进行排列，共有A 22·A 33＝12(种)，当A ，C 之间不是B 时，先在A ，C 之间插入D ，E 中的任意一个，然后B 在A 之前或之后，再将这四个人看成一个整体，与剩余一个进行排列，共有C 12·A 22·A 22＝8(种)，所以共有20种不同的排法．5．(2017·全国Ⅲ)(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 3y 3的系数为( ) A ．－80 B ．－40 C ．40 D ．80答案 C解析 因为x 3y 3＝x ·(x 2y 3)，其系数为－C 35·22＝－40，x 3y 3＝y ·(x 3y 2)，其系数为C 25·23＝80.所以x 3y 3的系数为80－40＝40. 故选C.6．(2017届河北省唐山市模拟)若(1－x )9＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 9|等于( ) A ．1 B ．513 C ．512 D ．511答案 D解析 令x ＝0，得a 0＝1，令x ＝－1，得|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 9|＝[1－(－1)]9－1＝29－1＝511.7．(2017·浙江省台州市一模)已知⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －1x 5的展开式中各项系数的和为32，则展开式中系数最大的项为( )A ．270x －1B ．270xC ．405x 3D ．243x 5答案 B解析 令x ＝1 ，(a －1)5＝32，解得a ＝3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －1x 5 中共有6项，其中奇数项的系数为正数，偶数项的系数为负数，所以比较奇数项的系数，奇数项分别为C 05(3x )5＝243x 5， C 25(3x )3⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2＝270x ，C 45(3x )⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 4＝15x3 ，所以系数最大的项为270x ，故选B.8．(2017届安徽省黄山市模拟)《中国诗词大会》(第二季)亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另确定的两首诗词排在后六场，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有( ) A ．144种 B ．288种 C ．360种 D ．720种答案 A解析 《将进酒》、《望岳》和另确定的两首诗词进行全排列共有A 44种排法，满足《将进酒》排在《望岳》的前面的排法共有A 44A 22种，再将《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》插排在4个空里(最后一个空不排)，有A 24种排法，《将进酒》排在《望岳》的前面、《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有A 44A 22×A 24＝144(种)，故选A.9．(2017·黑龙江省虎林市模拟)2017年1月27日，哈尔滨地铁3号线一期开通运营，甲、乙、丙、丁四位同学决定乘坐地铁去城乡路、哈西站和哈尔滨大街．每人只能去一个地方，哈西站一定要有人去，则不同的游览方案有________种． 答案 65解析 根据题意，甲、乙、丙、丁四位同学决定乘坐地铁去城乡路、哈西站和哈尔滨大街．每人只能去一个地方，则每人有3种选择，则4人一共有3×3×3×3＝81(种)情况，若哈西站没人去，即四位同学选择了城乡路和哈尔滨大街．每人有2种选择方法，则4人一共有2×2×2×2＝16(种)情况，故哈西站一定要有人去的游览方案有81－16＝65(种)．10．(2017届云南省曲靖市第一中学月考)若(1－2x )2 017＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 017x2 017(x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01722 017的值为________． 答案 －1解析 令等式中的x ＝0，得a 0＝1； 再令x ＝12，得a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01722 017＝0，所以a 12＋a 222＋…＋a 2 01722 017＝－a 0＝－1.11．(2017·浙江省杭州市二模)若⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 2n 的展开式中所有二项式系数和为64，则n ＝________；展开式中的常数项是________． 答案 6 240解析 由二项式定理性质可知，二项式系数和为2n＝64，所以n ＝6，则原式为⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x26，根据二项展开式可知通项公式为T k ＋1＝C k 6(2x )6－k⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2k ＝C k6(－1)k 26－k x 6－3k，令k ＝2，则T 3＝C 2624＝240， 所以展开式中的常数项为240.12．(2017·湖北省六校联考)把编号为1,2,3,4,5,6,7的7张电影票分给甲、乙、丙、丁、戊五个人，每人至少一张，至多分两张，且分得的两张票必须是连号，那么不同的分法种数为________． 答案 1 200解析 (1＋2＋3＋4)A 55＝1 200(种)．B 组 能力提高13.⎝⎛⎭⎪⎫x 2－x ＋2x 6的展开式中，x 6的系数为( )A ．240B ．241C ．－239D ．－240答案 C解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－x ＋2x 6＝x 6⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2x x－16，所以x 6的系数为C 66⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x x 0×(－1)6＋C 16C 25x 3⎝⎛⎭⎪⎫2x x 2(－1)1＝－239.故选C. 14．(2017届河北省衡水中学押题卷)为迎接中国共产党十九大的到来，某校举办了“祖国，你好”的诗歌朗诵比赛．该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名同学中至少有1人参加，且当这3名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生中不同的朗诵顺序的种数为( ) A ．720 B ．768 C ．810 D ．816答案 B解析 由题知结果有三种情况．(1)甲、乙、丙三名同学全参加，有C 14A 44＝96(种)情况，其中甲、乙相邻的有C 14A 22A 33＝48(种)情况，所以甲、乙、丙三名同学全参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻的有96－48＝48(种)情况； (2)甲、乙、丙三名同学恰有一人参加，不同的朗诵顺序有C 34C 13A 44＝288(种)情况；(3)甲、乙、丙三名同学恰有二人参加时，不同的朗诵顺序有C 24C 23A 44＝432(种)情况．则选派的4名学生不同的朗诵顺序有288＋432＋48＝768(种)情况，故选B.15．(2017·浙江省湖州、衢州、丽水三市联考)6个标有不同编号的乒乓球放在两头有盖的棱柱型纸盒中，正视图如图所示，若随机从一头取出一个乒乓球，分6次取完，并依次排成一行，则不同的排法种数是________．(用数字作答)11答案 32解析 排成一行的6个球，第一个球可从左边取，也可从右边取，有2种可能，同样第二个球也有2种可能，…，第五个球也有2种可能，第六个球只有1种可能，因此不同的排法种数为25＝32.16．(2017届江西省赣州市模拟)若(1＋y 3)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2y n(n ∈N *)的展开式中存在常数项，则常数项为________．答案 －84解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2y n展开式的通项为C k n x n －k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2y k＝C kn (－1)k x n －3ky －k ，(1＋y 3)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2y n 展开式的通项为C k n (－1)k x n －3k y －k和y 3C k n (－1)k x n －3k y －k ＝C k n (－1)k x n －3k y 3－k，若存在常数项则有⎩⎪⎨⎪⎧ n －3k ＝0，－k ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ n －3k ＝0，3－k ＝0，解得k ＝3，n ＝9， 常数项为C 39(－1)3＝－84.。
专题19排列、组合、二项式定理(教学案)-2018年高考理数二轮复习精品资料(原卷版)
1.排列、组合与二项式定理每年交替考察，主要以选择、填空的形式出现，试题难度中等或偏易.2.排列、组合试题具有一定的灵活性和综合性，常与实际相结合，转化为根本的排列组合模型解决问题，需用到分类讨论思想，转化思想.3.与二项式定理有关的问题比拟简单，但非二项问题也是今后高考的一个热点，解决此类问题的策略是转化思想 .1．两个重要公式(1)排列数公式mn！＝ n(n－1)(n－2) ⋯(n－ m＋*，且 m≤n)．A n＝n－m！1)(n，m∈ N(2)组合数公式mn！n n－ 1n－ 2 ⋯ n－ m＋ 1*，且 m≤n)．C n＝m！n－ m！＝m！(n， m∈ N2．三个重要性质和定理(1)组合数性质① C n m＝ C n n m(n， m∈N*，且 m≤n)；－m m m－1*，且 m≤n)；② C n＋1＝ C n＋ C n(n， m∈ N③C0n＝ 1.(2)二项式定理(a＋b)n＝ C0n a n＋ C1n a n－1b1＋ C2n a n－2b2＋⋯＋C k n a n－k·b k＋⋯＋ C n n b n，其中通项T r＋1＝ C r n a n－r b r.(3)二项式系数的性质①C0n＝ C n n， C1n＝ C n n－1，⋯， C r n＝ C n n－r；② C0n＋ C1n＋ C2n＋⋯＋ C n n＝2 n；③ C1n＋ C3n＋ C5n＋⋯＝ C0n＋ C2n＋ C4n＋⋯＝ 2n－1.考点一排列与组合例 1．【2017 课标 II ，理 6】安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成1 项，每项工作由1 人完成，那么不同的安排方式共有〔〕A． 12 种B．18 种C．24 种D．36 种【变式探究】【 2016 年高考XX理数】用数字1，2， 3， 4，5 组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为〔A〕24〔B〕48〔C〕60〔D〕72【变式探究】(2015 ·XX， 6)用数字 0， 1，2， 3， 4，5 组成没有重复数字的五位数，其中比40 000 大的偶数共有 ()A． 144 个B．120 个C．96 个D．72 个考点二排列组合中的创新问题例 2．用 a 代表红球， b 代表蓝球， c 代表黑球．由加法原理及乘法原理，从1 个红球和 1 个蓝球中取出假设干个球的所有取法可由(1＋ a)(1 ＋b)的展开式1＋ a＋b＋ ab 表示出来，如：―1表‖示一个球都不取、―a‖表示取出一个红球、而―ab‖那么表示把红球和蓝球都取出来．依此类推，以下各式中，其展开式可用来表示从5 个无区别的红球、 5 个无区别的蓝球、 5 个有区别的黑球中取出假设干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是()A． (1＋ a＋ a2＋ a3＋a4＋a5)(1 ＋ b5)(1＋ c)5B． (1＋ a5)(1 ＋b＋ b2＋ b3＋ b4＋ b5)(1＋ c)5C． (1＋ a)5(1 ＋b＋ b2＋ b3＋ b4＋ b5)(1＋ c5)D． (1＋ a5)(1 ＋b)5 (1＋ c＋ c2＋ c3＋ c4＋ c5)【变式探究】设集合A＝ {( x1， x2，x3，x4，x5)|x i∈{ － 1，0， 1} ， i＝ 1， 2， 3， 4， 5} ，那么集合 A 中满足条件―1 x≤|1＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5| ≤ 3的‖元素个数为 ()A． 60 B．90 C．120D．130考点三二项展开式中项的系数例 3 ．【 2016 年高考理数】在的展开式中，__________________. 〔用数字作答〕【变式探究】 (2015 ·新课标全国Ⅰ，10)(x2＋ x＋ y)5的展开式中， x5y2的系数为 ()A． 10 B． 20 C． 30D． 60考点四二项展开式中的常数项例 4．【 2016 年高考XX理数】设i 为虚数单位，那么( x i) 6的展开式中含x4 的项为〔 A 〕－ 15x4〔 B〕 15x4〔 C〕－ 20i x4〔D〕 20i x4x－a5【变式探究】 (2015 ·XX， 6)的展开式中含 x3的项的系数为30，那么 a＝ ()x2A. 3B．－ 3C． 6D．－6考点五二项式定理的综合应用例 5．【 2017课标 1，理6】162x2)(1x) 展开式中 x(1的系数为A． 15B．20C． 30D．35【变式探究】【2016 高考XX理数】假设〔ax2+1〕5的展开式中 x5的系数是—80，那么实数 a=_______. x【变式探究】(2015 ·XX， 4)二项式 (x＋ 1)n (n∈N＋)的展开式中 x2的系数为 15，那么 n＝ () A． 4B．5C．6D． 71.【 2017 课标 1，理 6】(11 6 展开式中 2 的系数为x2)(1 x)xA． 15B．20C． 30D．352.【 2017 课标 II ，理 6】安排 3名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由1 人完成，那么不同的安排方式共有〔〕A．12 种B．18 种C．24 种D．36 种3.【 2017 XX，理 14】用数字 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7，8， 9 组成没有重复数字，且至多有一个数字是例 3 ．【 2016 年高考理数】在的展开式中，__________________. 〔用数字作答〕【变式探究】 (2015 ·新课标全国Ⅰ，10)(x2＋ x＋ y)5的展开式中， x5y2的系数为 ()A． 10 B． 20 C． 30D． 60考点四二项展开式中的常数项例 4．【 2016 年高考XX理数】设i 为虚数单位，那么( x i) 6的展开式中含x4 的项为〔 A 〕－ 15x4〔 B〕 15x4〔 C〕－ 20i x4〔D〕 20i x4x－a5【变式探究】 (2015 ·XX， 6)的展开式中含 x3的项的系数为30，那么 a＝ ()x2A. 3B．－ 3C． 6D．－6考点五二项式定理的综合应用例 5．【 2017课标 1，理6】162x2)(1x) 展开式中 x(1的系数为A． 15B．20C． 30D．35【变式探究】【2016 高考XX理数】假设〔ax2+1〕5的展开式中 x5的系数是—80，那么实数 a=_______. x【变式探究】(2015 ·XX， 4)二项式 (x＋ 1)n (n∈N＋)的展开式中 x2的系数为 15，那么 n＝ () A． 4B．5C．6D． 71.【 2017 课标 1，理 6】(11 6 展开式中 2 的系数为x2)(1 x)xA． 15B．20C． 30D．352.【 2017 课标 II ，理 6】安排 3名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由1 人完成，那么不同的安排方式共有〔〕A．12 种B．18 种C．24 种D．36 种3.【 2017 XX，理 14】用数字 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7，8， 9 组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有__________ _个 .〔用数字作答〕例 3 ．【 2016 年高考理数】在的展开式中，__________________. 〔用数字作答〕【变式探究】 (2015 ·新课标全国Ⅰ，10)(x2＋ x＋ y)5的展开式中， x5y2的系数为 ()A． 10 B． 20 C． 30D． 60考点四二项展开式中的常数项例 4．【 2016 年高考XX理数】设i 为虚数单位，那么( x i) 6的展开式中含x4 的项为〔 A 〕－ 15x4〔 B〕 15x4〔 C〕－ 20i x4〔D〕 20i x4x－a5【变式探究】 (2015 ·XX， 6)的展开式中含 x3的项的系数为30，那么 a＝ ()x2A. 3B．－ 3C． 6D．－6考点五二项式定理的综合应用例 5．【 2017课标 1，理6】162x2)(1x) 展开式中 x(1的系数为A． 15B．20C． 30D．35【变式探究】【2016 高考XX理数】假设〔ax2+1〕5的展开式中 x5的系数是—80，那么实数 a=_______. x【变式探究】(2015 ·XX， 4)二项式 (x＋ 1)n (n∈N＋)的展开式中 x2的系数为 15，那么 n＝ () A． 4B．5C．6D． 71.【 2017 课标 1，理 6】(11 6 展开式中 2 的系数为x2)(1 x)xA． 15B．20C． 30D．352.【 2017 课标 II ，理 6】安排 3名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由1 人完成，那么不同的安排方式共有〔〕A．12 种B．18 种C．24 种D．36 种3.【 2017 XX，理 14】用数字 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7，8， 9 组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有__________ _个 .〔用数字作答〕例 3 ．【 2016 年高考理数】在的展开式中，__________________. 〔用数字作答〕【变式探究】 (2015 ·新课标全国Ⅰ，10)(x2＋ x＋ y)5的展开式中， x5y2的系数为 ()A． 10 B． 20 C． 30D． 60考点四二项展开式中的常数项例 4．【 2016 年高考XX理数】设i 为虚数单位，那么( x i) 6的展开式中含x4 的项为〔 A 〕－ 15x4〔 B〕 15x4〔 C〕－ 20i x4〔D〕 20i x4x－a5【变式探究】 (2015 ·XX， 6)的展开式中含 x3的项的系数为30，那么 a＝ ()x2A. 3B．－ 3C． 6D．－6考点五二项式定理的综合应用例 5．【 2017课标 1，理6】162x2)(1x) 展开式中 x(1的系数为A． 15B．20C． 30D．35【变式探究】【2016 高考XX理数】假设〔ax2+1〕5的展开式中 x5的系数是—80，那么实数 a=_______. x【变式探究】(2015 ·XX， 4)二项式 (x＋ 1)n (n∈N＋)的展开式中 x2的系数为 15，那么 n＝ () A． 4B．5C．6D． 71.【 2017 课标 1，理 6】(11 6 展开式中 2 的系数为x2)(1 x)xA． 15B．20C． 30D．352.【 2017 课标 II ，理 6】安排 3名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由1 人完成，那么不同的安排方式共有〔〕A．12 种B．18 种C．24 种D．36 种3.【 2017 XX，理 14】用数字 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7，8， 9 组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有__________ _个 .〔用数字作答〕例 3 ．【 2016 年高考理数】在的展开式中，__________________. 〔用数字作答〕【变式探究】 (2015 ·新课标全国Ⅰ，10)(x2＋ x＋ y)5的展开式中， x5y2的系数为 ()A． 10 B． 20 C． 30D． 60考点四二项展开式中的常数项例 4．【 2016 年高考XX理数】设i 为虚数单位，那么( x i) 6的展开式中含x4 的项为〔 A 〕－ 15x4〔 B〕 15x4〔 C〕－ 20i x4〔D〕 20i x4x－a5【变式探究】 (2015 ·XX， 6)的展开式中含 x3的项的系数为30，那么 a＝ ()x2A. 3B．－ 3C． 6D．－6考点五二项式定理的综合应用例 5．【 2017课标 1，理6】162x2)(1x) 展开式中 x(1的系数为A． 15B．20C． 30D．35【变式探究】【2016 高考XX理数】假设〔ax2+1〕5的展开式中 x5的系数是—80，那么实数 a=_______. x【变式探究】(2015 ·XX， 4)二项式 (x＋ 1)n (n∈N＋)的展开式中 x2的系数为 15，那么 n＝ () A． 4B．5C．6D． 71.【 2017 课标 1，理 6】(11 6 展开式中 2 的系数为x2)(1 x)xA． 15B．20C． 30D．352.【 2017 课标 II ，理 6】安排 3名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由1 人完成，那么不同的安排方式共有〔〕A．12 种B．18 种C．24 种D．36 种3.【 2017 XX，理 14】用数字 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7，8， 9 组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有__________ _个 .〔用数字作答〕。
高三数学二轮复习专题能力提升训练18 排列、组合、二项式定理与概率 理 试题
卜人入州八九几市潮王学校训练18排列、组合、二项式定理与概率(时间是：45分钟总分值是：75分)一、选择题(每一小题5分，一共25分)1．(2021·八校三模)某同学忘记了自己的QQ号，但记得QQ号是由一个2，一个5，两个8组成的四位数，于是用这四个数随意排成一个四位数，输入电脑尝试，那么他找到自己的QQ号最多尝试次数为()．A．6B．12 C．18D．242．(2021·)在5的二项展开式中，x的系数为()．A．10B．－10 C．40D．－403．如下列图的五个区域中，中心区域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色，有四种颜色可供选择．要求每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，那么不同的涂色方法种数为()．A．64B．72 C.84D．964．(2021·质检)如图，函数y＝sin x，x∈[－π，π]与x轴围成的区域记为M(图中阴影局部)，假设随机向圆O：x2＋y2＝π2内投入一米粒，那么该米粒落在区域M内的概率是()．A. B.C. D.5．(2021·丰台区二模)盒子中装有形状、大小完全一样的3个红球和2个白球，从中随机取出一个记下颜色后放回，当红球取到2次时停顿取球．那么取球次数恰为3次的概率是()．A. B.C. D.二、填空题(每一小题5分，一共15分)6．要安排4名学生在周六、周日参加社会理论活动，每天至少1人，那么学生甲被安排在周六的不同排法的种数为________(用数字答题)．7．(2021·三模)假设(1＋mx)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，且a1＋a2＋…＋a6＝63，那么实数m的值是________．8．(2021·)三位同学参加跳高、跳远、铅球工程的比赛．假设每人都选择其中两个工程，那么有且仅有两人选择的工程完全一样的概率是________(结果用最简分数表示)．三、解答题(此题一共3小题，一共35分)9．(11分)(1＋2)n的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，而又等于它后一项系数的.求展开式中所有项的系数之和及所有项的二项式系数之和．10．(12分)一个袋中装有四个形状大小完全一样的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n＜m＋2的概率．11．(12分)某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有10名工人，其中有6名女工人．现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中一共抽取4名工人进展技术考核．(1)求从甲、乙两组各抽取的人数；(2)求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；(3)求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率．参考答案训练18排列、组合、二项式定理与概率1．B[CA＝6×2＝12.]2．D[因为二项式5展开式的第r＋1项为T r＋1＝C(2x2)5－rr＝C·25－r×(－1)r x10－3r，当r＝3时，含有x，其系数为C·22×(－1)3＝－40.]3．C[将四种颜色编号为①②③④，A有4种涂法，设涂①，B有3种涂法，设涂②.下面分三类：假设C涂①，那么D可涂②③④，一共3种涂法；假设C涂③，那么D可涂②④，一共2种涂法；假设C涂④，那么D可涂②③，一共2种涂法．于是不同的涂法种数为4×3×(3＋2＋2)＝84.]4．C[S M＝2sin x d x＝2，S O＝π·π2＝π3，所以该米粒落在区域M内的概率是＝＝.]5．B[从5个球中随机取出一个球放回，连续取3次的所有取法有5×5×5＝125种，有两次取红球的所有取法有3A·A＝36种．所以概率为.]6．解析此题考察排列组合知识，由题意知：A·A＋1＝7.答案77．解析令x＝0得，a0＝1.令x＝1，那么(1＋m)6＝a0＋a1＋a2＋…＋a6＝64，∴m＋1＝±2，∴m＝1或者－3.答案1或者－38．解析根据条件求出根本领件的个数，再利用古典概型的概率计算公式求解．因为每人都从三个工程中选择两个，有(C)3种选法，其中“有且仅有两人选择的工程完全一样〞的根本领件有CCC个，故所求概率为＝.答案9．解根据题意，设该项为第r＋1项，那么有即亦即解得令x＝1得展开式中所有项的系数和为(1＋2)7＝37＝2187.所有项的二项式系数和为27＝128.10．解(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的根本领件有1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，一共6个．从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件一共有1和2,1和3两个．因此所求事件的概率P＝＝.(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果(m，n)有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，一共16个．又满足条件n≥m＋2的事件为(1,3)，(1,4)，(2,4)，一共3个，所以满足条件n≥m＋2的事件的概率为P1＝.故满足条件n＜m＋2的事件的概率为1－P1＝1－＝.11．解(1)由于甲、乙两组各有10名工人，根据分层抽样原理，要从甲、乙两组中一共抽取4名工人进展技术考核，那么从每组各抽取2名工人．(2)记A表示事件：从甲组抽取的工人中恰有1名女工人，那么P(A)＝＝.(3)A i表示事件：从甲组抽取的2名工人中恰有i名男工人，i＝0,1,2.B j表示事件：从乙组抽取的2名工人中恰有j名男工人，j＝0,1,2. B表示事件：抽取的4名工人中恰有2名男工人．A i与B j HY，i，j＝0,1,2，且B＝A0·B2＋A1·B1＋A2·B0.故P(B)＝P(A0·B2＋A1·B1＋A2·B0)＝P(A0)·P(B2)＋P(A1)·P(B1)＋P(A2)·P(B0)＝·＋·＋·＝.。
2018届高三数学理二轮复习课时作业：第一部分 专题六 第二讲 排列、组合、二项式定理 含解析 精品
[限时规范训练] 单独成册A 组——高考热点强化练一、选择题1．(2017·河南八市质检)将标号为1,2,3,4的四个篮球分给三位小朋友，每位小朋友至少分到一个篮球，且标号1,2的两个篮球不能分给同一个小朋友，则不同的分法种数为( ) A ．15 B ．20 C ．30D ．42解析：四个篮球中两个分到一组有C 24种分法，三组篮球进行全排列有A 33种，标号1,2的两个篮球分给同一个小朋友有A 33种分法，所以有C 24A 33－A 33＝36－6＝30种分法，故选C. 答案：C2.⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－12x 6的展开式中，常数项是( ) A ．－54 B.54 C ．－1516D.1516解析：T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r C r 6x 12－3r ，令12－3r ＝0，解得r ＝4. ∴常数项为⎝ ⎛⎭⎪⎫－124C 46＝1516.故选D. 答案：D3．A ，B ，C ，D ，E ，F 六人围坐在一张圆桌周围开会，A 是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B ，C 二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有( ) A ．60种 B ．48种 C ．30种D ．24种解析：A 22A 44＝48.答案：B4．在⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 6＋b x 4的二项展开式中，如果x 3的系数为20，那么ab 3＝( )A ．20B ．15C ．10D ．5解析：T r ＋1＝C r 4·(ax 6)4－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫b x r ＝C r 4a 4－r b r x 24－7r，令24－7r ＝3，得r ＝3，则4ab 3＝20，∴ab 3＝5. 答案：D5．(2017·河北质量监测)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．不同取法的种数为( ) A ．232 B ．252 C ．472D ．484解析：由题意，不考虑特殊情况，共有C 316种取法，其中同一种颜色的卡片取3张，有4C 34种取法，3张卡片中红色卡片取2张有C 24·C 112种取法，故所求的取法共有C 316－4C 34－C 24·C 112＝560－16－72＝472种，选C. 答案：C6．(2017·漳州模拟)已知(2x －1)10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9＋a 10x 10，则a 2＋a 3＋…＋a 9＋a 10的值为( ) A ．－20 B ．0 C ．1D ．20解析：令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝1，再令x ＝0，得a 0＝1，所以a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝0，又易知a 1＝C 910×21×(－1)9＝－20，所以a 2＋a 3＋…＋a 9＋a 10＝20. 答案：D7．从数字1、2、3、4、5中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于40的概率为( ) A.15 B.25 C.35D.45解析：构成的两位数共有A 25＝20(个)，其中大于40的两位数有C 12C 14＝8(个)，所以所求概率为820＝25，故选B.答案：B8．在(1－x )5＋(1－x )6＋(1－x )7＋(1－x )8的展开式中，含x 3的项的系数是( ) A ．74 B ．121 C ．－74D ．－121解析：展开式中含x 3的项的系数为C 35(－1)3＋C 36(－1)3＋C 37(－1)3＋C 38(－1)3＝－121. 答案：D9．《爸爸去哪儿》的热播引发了亲子节目的热潮，某节目制作组选取了6户家庭到4个村庄体验农村生活，要求将6户家庭分成4组，其中2组各有2户家庭，另外2组各有1户家庭，则不同的分配方案的总数是( ) A ．216 B ．420 C ．720D ．1 080解析：先分组，每组含有2户家庭的有2组，则有C 26C 24A 22种分组方法，剩下的2户家庭可以直接看成2组，然后将分成的4组进行全排列，故有C 26C 24A 22×A 44＝1 080种不同的分配方案． 答案：D10．(2017·厦门海沧实验中学等联考)在⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x ＋1x 2 01510的展开式中，含x 2项的系数为( ) A ．10 B ．30 C ．45D ．120解析：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x ＋1x 2 01510＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋x )＋1x 2 01510＝(1＋x )10＋C 110(1＋x )91x2 015＋…＋C 1010⎝ ⎛⎭⎪⎫1x2 01510，所以x 2项只能在(1＋x )10的展开式中，所以含x 2的项为C 210x 2，系数为C 210＝45.答案：C11．(2017·衡水二中检测)用红、黄、蓝三种颜色给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是( )A ．12B ．24C ．30D ．36解析：按顺序涂色，第一个圆有三种选择，第二个圆有二种选择，若前三个圆用了三种颜色，则第三个圆有一种选择，后三个圆也用了三种颜色，共有3×2×1×C 12×C 12＝24种，若前三个圆用了两种颜色，则后三个圆也用了两种颜色，所以共有3×2＝6种，综上可得不同的涂色方案的种数是30. 答案：C12．在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0，3)＝( ) A ．45 B ．60 C ．120D ．210解析：在(1＋x )6的展开式中，x m 的系数为C m 6，在(1＋y )4的展开式中，y n 的系数为C n 4，故f (m ，n )＝C m 6·C n 4.从而f (3,0)＝C 36＝20，f (2,1)＝C 26·C 14＝60，f (1,2)＝C 16·C 24＝36，f (0,3)＝C 34＝4，故f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝120. 答案：C 二、填空题13．(2017·广西质检)包括甲、乙、丙三人在内的4个人任意站成一排，则甲与乙、丙都相邻的概率为________．解析：4个人的全排列种数为A 44，甲与乙、丙都相邻的排法有A 22A 22种，则所求概率为A 22A 22A 44＝16.答案：1614．(2017·安徽安庆模拟)将⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x －43展开后，常数项是________．解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x －43＝⎝⎛⎭⎪⎫x －2x 6展开后的通项是C k 6(x )6－k ·⎝⎛⎭⎪⎫－2x k ＝ (－2)k ·C k 6(x )6－2k.令6－2k＝0，得k＝3.所以常数项是C36(－2)3＝－160.答案：－16015．如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有________种．解析：若1,3不同色，则1,2,3,4必不同色，有3A44＝72种涂色法；若1,3同色，有C14C13A22＝24种涂色法．根据分类计数原理可知，共有72＋24＝96种涂色法．答案：9616．C0n＋3C1n＋5C2n＋…＋(2n＋1)C n n＝________.＋(2n＋1)C n n，解析：设S＝C0n＋3C1n＋5C2n＋…＋(2n－1)·C n－1n＋…＋3C1n＋C0n，∴S＝(2n＋1)C n n＋(2n－1)C n－1n∴2S＝2(n＋1)(C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n)＝2(n＋1)·2n，∴S＝(n＋1)·2n.答案：(n＋1)·2nB组——12＋4高考提速练一、选择题1．(2016·高考四川卷)设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为() A．－15x4B．15x4C．－20i x4D．20i x4解析：利用二项展开式的通项求解．T r＋1＝C r6x6－r i r，由6－r＝4得r＝2.故T3＝C26x4i2＝－15x4.故选A.答案：A2．(2016·高考四川卷)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为()A．24 B．48C．60 D．72解析：利用排列组合知识求解．第一步，先排个位，有C13种选择；第二步：排前4位，有A44种选择．由分步乘法计数原理，知有C13·A44＝72(个)．答案：D3．已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝()A．－4 B．－3C．－2 D．－1解析：展开式中含x2的系数为C25＋a C15＝5，解得a＝－1.答案：D4．设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝()A．5 B．6C．7 D．8答案：B5．在5×5的棋盘中，放入3颗相同的黑子和2颗相同的白子，它们均不在同一行也不在同一列，则不同的排列方法有()A．150种B．200种C．600种D．1 200种解析：首先选出3行3列，共有C35×C35种方法，然后放入3颗黑子，共有3×2×1种方法，然后在剩下的2行2列中放2颗白子，共有2×1种方法，所以不同的排列方法为C35×C35×3×2×1×2×1＝1 200(种)．故选D.答案：D6．用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有()A．144个B．120个C．96个D．72个解析：分两类进行分析：第一类是万位数字为4，个位数字分别为0,2；第二类是万位数字为5，个位数字分别为0,2,4.当万位数字为4时，个位数字从0,2中任选一个，共有2A34个偶数；当万位数字为5时，个位数字从0,2,4中任选一个，共有C13A34个偶数．故符合条件的偶数共有2A34＋C13A34＝120(个)．答案：B7．已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为()A．29B．210C．211D．212解析：先利用展开式中第4项与第8项的二项式系数相等建立关于n的方程，求出n；再利用二项式系数的性质求出奇数项的二项式系数和．由C3n＝C7n，得n＝10，故奇数项的二项式系数和为29.答案：A8．(2016·高考全国卷Ⅱ)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A．24 B．18C．12 D．9解析：先确定从E到G的步骤，再分别考虑每一步中最短路径的条数，最后求出最短路径的总条数．从E到G需要分两步完成：先从E到F，再从F到G，从F到G的最短路径，只要考虑纵向路径即可，一旦纵向路径确定，横向路径即可确定，故从F到G 的最短路径共有3条．如图，从E到F的最短路径有两类：先从E到A，再从A 到F，或先从E到B，再从B到F.因为从A到F或从B到F都与从F到G的路径形状相同，所以从A到F，从B到F最短路径的条数都是3，所以从E到F 的最短路径有3＋3＝6(条)．所以小明到老年公寓的最短路径条数为6×3＝18.答案：B9．三名男生和三名女生站成一排，若男生甲不站在两端，任意两名女生都不相邻，则不同的排法种数是()A．120 B．96C．84 D．36解析：依题意，得不同的排法种数是A33A34－2A22A33＝120，故选A.答案：A10．4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有()A．24种B．36种C．48种D．60种解析：每家企业至少录用一名大学生的情况有两种：一种是一家企业录用一名，有C34A33＝24(种)；一种是其中有一家企业录用2名大学生，有C24A33＝36(种)，故一共有24＋36＝60(种)，故选D.答案：D11．8名游泳运动员参加男子100米的决赛，已知游泳池有从内到外编号依次为1,2,3,4,5,6,7,8的8条泳道，若指定的3名运动员所在的泳道编号必须是3个连续数字(如：5,6,7)，则参加游泳的这8名运动员被安排泳道的方式共有() A．360种B．4 320种C．720种D．2 160种解析：先从8个数字中取出3个连续的数字共有6种方法，将指定的3名运动员安排在这3个编号的泳道上，剩下的5名运动员安排在其他编号的5条泳道上，共有6A33A55＝4 320(种)安排方式．答案：B12．(2016·高考全国卷Ⅲ)定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数．若m＝4，则不同的“规范01数列”共有()A．18个B．16个C．14个D．12个解析：首先明确“规范01数列”的含义，根据组合知识求解．由题意知：当m＝4时，“规范01数列”共含有8项，其中4项为0,4项为1，且必有a1＝0，a8＝1，不考虑限制条件“对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数”，则中间6个数的情况共有C36＝20(种)，其中存在k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数少于1的个数的情况有：①若a2＝a3＝1，则有C14＝4(种)；②若a2＝1，a3＝0，则a4＝1，a5＝1，只有1种；③若a2＝0，则a3＝a4＝a5＝1，只有1种．综上，不同的“规范01数列”共有20－6＝14(种)．故共有14个．故选C.答案：C二、填空题13．(2017·高考山东卷)已知(1＋3x)n的展开式中含有x2项的系数是54，则n＝__________.＝C r n(3x)r.令r＝2，得T3＝9C2n x2.由题意得解析：(1＋3x)n的展开式的通项为T r＋19C2n＝54，解得n＝4.答案：414．(2017·高考天津卷)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有__________个．(用数字作答)解析：①当组成四位数的数字中有一个偶数时，四位数的个数为C35·C14·A44＝960.②当组成四位数的数字中不含偶数时，四位数的个数为A45＝120.故符合题意的四位数一共有960＋120＝1 080(个)．答案：1 08015．(2017·高考浙江卷)已知多项式(x＋1)3(x＋2)2＝x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，则a4＝__________，a5＝__________.解析：a4是x项的系数，由二项式的展开式得a4＝C33·C12·2＋C23·C22·22＝16；a5是常数项，由二项式的展开式得a5＝C33·C22·22＝4.答案：16 416．(2017·高考浙江卷)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有__________种不同的选法．(用数字作答)解析：不考虑限制条件，共有A28C26种不同的选法，而没有女生的选法有A26C24种，故至少有1名女生的选法有A28C26－A26C24＝840－180＝660(种)．答案：660。
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限时规范训练十八排列与组合、二项式定理限时40分钟，实际用时分值80分，实际得分一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1．(x－3)6的展开式中，二项式系数的最大值为( )A．6 B．15C．20 D．60解析：选C.依题意，(x－3)6的展开式中一共有7项，第4项的二项式系数最大，二项式系数为C r6(r＝0,1,2,3,4,5,6)，当r＝3时，二项式系数最大，为20，选C.2．(2016·高考四川卷)设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为( )A．－15x4B．15x4C．－20i x4D．20i x4解析：选A.二项式(x＋i)6展开式的通项T r＋1＝C r6x6－r i r，则其展开式中含x4的项是当6－r＝4，即r＝2，则展开式中含x4的项为C26x4i2＝－15x4.3．(2017·山东济南模拟)某电视台一节目收视率很高，现要连续插播4个广告，其中2个不同的商业广告和2个不同的公益宣传广告，要求最后播放的必须是商业广告，且2个商业广告不能连续播放，则不同的播放方式有( )A．8种B．16种C．18种D．24种解析：选A.可分三步：第一步，最后一个排商业广告有A12种；第二步，在前两个位置选一个排第二个商业广告有A12种；第三步，余下的两个排公益宣传广告有A22种．根据分步乘法计数原理，可得不同的播放方式共有A12A12A22＝8(种)．4．(2017·贵州七校联考)(x2＋x＋1)(x－1)6的展开式中x4的系数是( )A．－10 B．－5C．5 D．10解析：选D.∵(x2＋x＋1)(x－1)＝x3－1，∴原式可化为(x3－1)(x－1)5，其展开式中，x4的系数为C45(－1)4－C15(－1)1＝5＋5＝10.故选D.5．(2017·福建厦门质检)有A、B、C、D、E五位学生参加网页设计比赛，决出了第一到第五的名次．A、B两位学生去问成绩，老师对A说：你的名次不知道，但肯定没得第一名；又对B 说：你是第三名．请你分析一下，这五位学生的名次排列的种数为( )A．6 B．18C．20 D．24解析：选B.A不是第一名有A44种．A不是第一名，B不是第三名有A33种．符合要求的有A44－A33＝18(种)．6．(2017·大连模拟)“辽宁舰”是中国人民解放军海军第一艘可以搭载固定翼飞机的航空母舰，舰载机为我国自主研发的歼－15.在某次舰载机起降飞行训练中，有6架歼－15(记编号为1,2,3,4,5,6)准备着舰，如果1,2号两机必须相邻着舰，而3,4号两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法种数是( )A ．72B ．36C ．144D ．288解析：选C.①把1,2号两机捆绑为一个元素A ，有A 22种方法；②A 与5,6号两机共3个元素进行全排，不同的排法有A 33种；③上述3个元素排好之后形成4个空位，然后从中选出两空，把3,4号两机插入进行排列即可，不同的排法有A 24种．由分步乘法计数原理可知共有A 22A 33A 24＝144(种)不同的着舰方法．7．(2017·高考全国卷Ⅰ)⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x2(1＋x )6展开式中x 2的系数为( )A ．15B ．20C ．30D ．35解析：选C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2(1＋x )6＝1·(1＋x )6＋1x 2·(1＋x )6则(1＋x )6的x 2项系数为C 26＝6×52＝15，1x2·(1＋x )6的x 2项系数为C 46＝15，∴x 2的系数为15＋15＝30，故选C.8．(2017·江西南昌模拟)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有( )A ．24对B ．30对C ．48对D ．60对解析：选C .通解：直接法：如图，在上底面中选B 1D 1，四个侧面中的对角线都与它成60°，共8对，同样A 1C 1对应的也有8对，因此一个面上的2条面对角线与其相邻的4个面上的8条对角线共组成16对，又正方体共有6个面，所以共有16×6＝96(对)，又因为每对被计算了2次，因此成60°的面对角线有12×96＝48(对)．优解：间接法：正方体的12条面对角线中，任意两条垂直、平行或成角为60°，所以成角为60°的共有C 212－12－6＝48(对)．9．(2017·山东青岛模拟)若多项式x 3＋x 10＝a 0＋a 1(x ＋1)＋…＋a 9(x ＋1)9＋a 10(x ＋1)10，则a 9＝( )A ．9B ．10C ．－9D ．－10解析：选D.x 3＋x 10＝[(x ＋1)－1]3＋[(x ＋1)－1]10， 因为[(x ＋1)－1]3的展开式中x ＋1的最高次幂为3， 故其展开式中没有含(x ＋1)9的项；[(x ＋1)－1]10的展开式中，含(x ＋1)9的项为T 2＝C 110(x ＋1)9×(－1)1＝－10(x ＋1)9，其系数为－10.因为x 3＋x 10的展开式中，(x ＋1)9项为－10(x ＋1)9， 所以(x ＋1)9项的系数a 9为－10.10．(2017·东北六校联考)为配合国家足球战略，教育部特派6名相关专业技术人员到甲、乙、丙三所足球学校进行专业技术培训，每所学校至少一人，其中王教练不去甲校的分配方案种数为( )A ．60B ．120C ．240D ．360解析：选D.先分配王教练有C 12种方案，其余5人分两种情况讨论：(1)当王教练所去学校只有1人时，这5人分两组去另外两所学校，有(C 35C 22＋C 15C 44)A 22＝30种方案．(2)当王教练所去学校不止1人时，这5人分三组去这三所学校有⎝ ⎛⎭⎪⎫C 35C 12C 112！＋C 25C 23C 112！A 33＝150种方案．所以分配方案共有C 12(30＋150)＝360(种)．11．如图所示的五个区域中，中心区域是一幅图画，现在要求在其余四个区域中涂色，现有四种颜色可供选择．要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为( )A ．64B ．72C ．84D ．96解析：选C.将四种颜色编号为①②③④，A 有4种涂法，设涂①，B 有3种涂法，设涂②，下面分3类：若C 涂①，则D 可涂②③④，共3种方法； 若C 涂③，则D 可涂②④，共2种方法； 若C 涂④，则D 可涂②③，共2种方法．于是，不同的涂法为4×3×(3＋2＋2)＝84(种)．12．(2017·河北衡水模拟)我们把各位数字之和为7的四位数称为“巧合数”(如2 014是“巧合数”)，则“巧合数”中首位为2的共有( )A ．18个B ．21个C ．15个D ．24个解析：选B.因为首位已经确定，所以“巧合数”的个数也就是其余三位数字的不同排法的种数．因为首位为2，所以其余三位数字之和为5，则其他三位数字中0的个数最多为2个． (1)若其他三位数字中含有两个0，则这三个数字为0,0,5，故不同的“巧合数”有C 13＝3(个)． (2)若其他三位数字中含有1个0，则这三个数字为0,1,4和0,2,3两种情况，故不同的“巧合数”有2A 33＝12(个)．(3)若其他三位数字中不含0，则这三个数字为1,1,3和1,2,2两种情况，故不同的“巧合数”有2C 13＝6(个)．由分类加法计数原理，可得不同的“巧合数”共有3＋12＋6＝21(个)． 二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2017·山东烟台三模)若⎝ ⎛⎭⎪⎫1x－x n 的展开式的各个二项式系数的和为256，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1x－x n的展开式中的常数项为________．解析：依题意得2n ＝256，解得n ＝8，所以T r ＋1＝C r 8⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 8－r·(－x )r ＝(－1)r C r 8x2r －8，令2r －8＝0，则r ＝4，所以T 5＝(－1)4C 48＝70，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1x－x n的展开式中的常数项为70.答案：7014．(2017·河北唐山三模)数学研究学习小组共有10名学生，其中男生8人，女生2人，从这10人中选出3人准备写报告．在选出的3人中，至多有1名女生，一共有________种选法．解析：如果没有限制条件，则有C 310种选法，而不符合条件，即选出的有2名女生的选法有C 22C 18种．因此，至多有1名女生的不同选法有C 310－C 22C 18＝112(种)．答案：11215．(2017·湖南长沙模拟)5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员，现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1,2号中至少有1名新队员的排法有________种．解析：分两类：第一类仅有1名老队员，此时有2名新队员，一定可以保证1,2号中至少有1名新队员，此时有C 12C 23A 33＝36种排法；第二类有2名老队员，此时，要注意将新队员安排在1,2号中，有C 13C 12A 22＝12种排法．于是，不同的排法数为36＋12＝48.答案：4816．(2017·山东潍坊模拟)已知⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14x 10＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋a 3(x ＋1)3＋…＋a 10(x＋1)10，则a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋10a 10＝________.解析：对⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14x 10＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋a 3(x ＋1)3＋…＋a 10(x ＋1)10两边求导，得－52⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14x 9＝a 1＋2a 2(x ＋1)＋3a 3(x ＋1)2＋…＋10a 10(x ＋1)9.令x ＝0，得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋10a 10＝－52.答案：－52。