线代框架

线性代数－知识框架
()000,n
T A r A n A A Ax x Ax A Ax A A A E ββ==⇔∀≠≠≠⇔∀∈=≅可逆 的列（行）向量线性无关 的特征值全不为0 只有零解 ，
0总有唯一解 是正定矩阵 12,s i
A p p p p n
B AB E AB E
⎧⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎨⎪
⎪⎪
⎪⎪=⋅⋅⋅⎪==⎪⎩ 是初等阵
存在阶矩阵使得 或 注：全体n 维实向量构成的集合
n
叫做n 维向量空间.
()0A r A n A A A Ax A λ<=⇔==不可逆 0的列（行）向量线性相关 0是的特征值 有非零解,其基础解系即为关于0的⎧⎪
⎪⎪
⎨⎪⎪⎪⎩特征向量
注：()()0a b r aE bA n aE bA aE bA x λ+<⎧⎪
+=⇔+=⎨⎪⎩
0有非零解=-
⎫
⎪
≅⎪−−−
→⎬⎪⎪⎭
具有
向量组等价矩阵等价()反身性、对称性、传递性矩阵相似()矩阵合同() √ 关于12,,,n e e e ⋅⋅⋅：
①称为
n
的标准基，
n
中的自然基，单位坐标向量152p 教材；
②12,,,n e e e ⋅⋅⋅线性无关； ③12,,,1n e e e ⋅⋅⋅=； ④tr =E n ；
⑤任意一个n 维向量都可以用12,,,n e e e ⋅⋅⋅线性表示.
12
1212
11
12121222()
121
2
()n n n
n n j j j n j j nj j j j n n nn
a a a a a a D a a a a a a τ=
=
-∑
1
√ 行列式的计算：
①行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.
②若A B 与都是方阵（不必同阶）,则
=
=()mn A O
A A O A B
O B
O B
B
O A A
A B B O B O
*
=
=*
*=-1
③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.
④关于副对角线：
(1)
2
1121
21
1211
1()n n n
n
n n n n n n n a O
a a a a a a a O
a O
---*
==-1
⑤范德蒙德行列式：()122
22
1
2
1
1
1112
n i
j n
n i j n n n n
x x x x
x x x x x x x ≥≥≥---=-∏111
由m n ⨯个数排成的m 行n 列的表111212122
212
n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫
⎪
⎪
= ⎪
⎪⎝⎭
称为m n ⨯矩阵.记作：()ij m n A a ⨯=或m
n A ⨯
()
1121112222*12n T
n ij
n
n
nn A A A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪
== ⎪ ⎪⎝⎭
，ij A 为A 中各个元素的代数余子式. √ 逆矩阵的求法:
① 1
A A A *-= 注： 1
a b d b c d c a ad bc --⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
1
②1()()A
E E A -−−−−→初等行变换
③1
2
31111
2
13a a a a a a -⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
=
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭
3
2
1
1
1
112
13a a a a a a -⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
=
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
√ 方阵的幂的性质：m n m n A A A += ()()
m n
mn
A A =
√ 设,,m n n s A B ⨯⨯A 的列向量为12,,,n ααα⋅⋅⋅,B 的列向量为12,,,s βββ⋅⋅⋅，
则
m s
AB C ⨯=⇔
()()
111212122
2121212,,,,,,s s n s n n ns b b b b b b c c c b b b ααα⎛⎫
⎪
⎪
⋅⋅⋅= ⎪
⎪⎝⎭
⇔
i i
A c β= ，
(,,)i s =1,2⇔
i
β为
i
Ax c =的解
⇔()()()121212,,,,,,,,
,s s s A A A A c c c ββββββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⇔12,,
,s c c c 可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示. 同理：C 的行向量能由B 的行向量线性表示，T A 为系数
矩阵.
√ 用对角矩阵Λ左乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量； 用对角矩阵Λ右乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.
√ 分块矩阵的转置矩阵：T
T
T T
T A B A C C D B
D ⎛⎫
⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
分块矩阵的逆矩阵：1
11A A B B ---⎛⎫⎛⎫
=
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭ 1
11A B B A
---⎛
⎫
⎛
⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
1
111A C A A CB O B O
B ----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1
111A O A O C B B CA
B ----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪
-⎝⎭⎝⎭
分块对角阵相乘：11112222,A B A B A B ⎛⎫⎛⎫
==
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
1111
2222A B AB A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭
分块对角阵的伴随矩阵：*
*
*A BA B AB ⎛⎫⎛⎫=
⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
√ 矩阵方程的解法(0A ≠)：设法化成AX B XA B ==(I) 或 (II)
A B E X −−−−
→初等行变换
(I)的解法：构造()()
T T T T
A X
B X X
=(II)的解法：将等式两边转置化为， 用(I)的方法求出，再转置得
√ 0Ax =与0Bx =同解（,A B 列向量个数相同）,则：
① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等； ② 它们对应的部分组有一样的线性相关性； ③ 它们有相同的内在线性关系.
√ 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯的行向量组等价⇔齐次方程组0Ax =与0Bx =同解⇔PA B =（左乘可逆矩阵P ）；101p 教材 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯的列向量组等价⇔PQ B =（右乘可逆矩阵Q ）. √ 判断12,,
,s ηηη是0Ax =的基础解系的条件：
① 12,,,s ηηη线性无关； ② 12,,
,s ηηη都是0Ax =的解；
③ ()s n r A =-=每个解向量中自由未知量的个数.
√ 一个齐次线性方程组的基础解系不唯一.
① 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. ② 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关. ③ 部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关.
④ 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关.
⑤ 两个向量线性相关⇔对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关114p 教材. ⑥ 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅中任一向量i α(1≤i ≤)n 都是此向量组的线性组合.
⑦ 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性相关⇔向量组中至少有一个向量可由其余n -1个向量线性表示. 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关⇔向量组中每一个向量i α都不能由其余n -1个向量线性表示. ⑧ m 维列向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性相关()r A n ⇔<； m 维列向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关()r A n ⇔=. ⑨ ()r A A O =⇔=0.
⑩ 若12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关，而12,,,,n αααβ⋅⋅⋅线性相关,则β可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且表示法唯一. ⑪ 矩阵的行向量组的秩=列向量组的秩=矩阵的秩. 行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.
可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元
为1，且这些非零元所在列的其他元素都是0⑫ 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系；
矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系. 即：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩.
√ 矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：
对A 施行一次初等行变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵左乘A ； 对A 施行一次初等列变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵右乘A .
如果矩阵A 存在不为零的r 阶子式，且任意r +1阶子式均为零，则称矩阵A 的秩为r .记作()r A r =
向量组12,,
,n ααα的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩.记作12(,,,)n r ααα
A 经过有限次初等变换化为
B . 记作：A B =
12,,,n ααα⋅⋅⋅和12,,,n βββ⋅⋅⋅可以相互线性表示. 记作：()()1212,,,,,,n n αααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅
⑬ 矩阵A 与B 等价⇔PAQ B =，,P Q 可逆⇔()(),r A r B A B =≠>作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价.
矩阵A 与B 作为向量组等价⇔1212(,,,)(,,,)n n r r αααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=1212(,,,,,,)n n r αααβββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⇒ 矩阵A 与B 等价.
⑭ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示⇔AX B =有解⇔12(,,,)=n r ααα⋅⋅⋅1212(,,,,,,)n s r αααβββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⇒12(,,,)s r βββ⋅⋅⋅≤
12(,,,)n r ααα⋅⋅⋅.
⑮ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且s n >，则12,,,s βββ⋅⋅⋅线性相关.
向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅线性无关,且可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,则s ≤n .
⑯ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且12(,,,)s r βββ⋅⋅⋅12(,,,)n r ααα=⋅⋅⋅,则两向量组等价；p 教材94,例10 ⑰ 任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价. ⑱ 向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定.
⑲ 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.
⑳ 若A 是m n ⨯矩阵,则{}()min ,r A m n ≤,若()r A m =，A 的行向量线性无关；
若()r A n =，A 的列向量线性无关,即：12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关.
√ 矩阵的秩的性质：
①()A O r A ≠⇔若≥1 0≤()m n r A ⨯≤min(,)m n ②()()()T
T
r A r A r A A == p 教材101,例15 ③()()r kA r A k =≠ 若0
④()r A B ±≤()()r A r B + {}max (),()r A r B ≤(,)r A B ≤()()r A r B + p 教材70
⑤ ()()A O O A r r A r B O B B O ⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()A C r r A r B O B ⎛⎫≠+ ⎪⎝⎭
⑥()r AB ≤{}min (),()r A r B
⑦ ,,()()()m n n s A B r AB r A r B ⨯⨯=⇒+若且0≤n ⑧()()A r AB r B ⇒=若可逆
()()B r AB r A ⇒=若可逆
⑨若0()()()m n Ax r A n r AB r B ⨯⇔=⎧=⇒⎨
=⎩ 只有零解且A 在矩阵乘法中有左消去律0
AB B AB AC B C
=O ⇒=⎧⎨=⇒=⎩；
若()()()n s r B n r AB r B ⨯=⇒= 且B 在矩阵乘法中有右消去律.
√初等矩阵的性质：
1212,,,0,,,()()A n n Ax n Ax A Ax r A r A Ax n βαααβαααβββ⇔=<⇔⇒⇔=−−−−−→=⇔=⇔=⇔==当为方阵时有无穷多解 表示法不唯一
线性相关有非零解0 可由线性表示有解有唯一组解 1212,,,0()(),,,()(A n n Ax A r A r A Ax r A r αααββαααβ⎧⎪
⎪⎪⎪
⎨
⎪
⎪⇔⎪⇒⇔=−−−−−→≠⇒⎪⎩
⇔≠⇔=⇔
<当为方阵时
表示法唯一 线性无关只有零解0克莱姆法则 不可由线性表示无解)()1()A r A r A ββ⎧⎪
⎨⎪⇔+=⎩
注：
Ax Ax β
β⇒
=<≠
⇒=<≠
有无穷多解
其导出组有非零解有唯一解
其导出组只有零解
Ax β=1122n n x x x αααβ+++=
11121112122222
12,,n n m m mn n m a a a x b a a a x b A x a a a x b β⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 12,,2,
,j j j mj j n αααα⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
1
1212(,,
,)n n x x x αααβ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
线性方程组解的性质：1212121211221212(1),0,(2)0,,(3),,,0,,,,,(4),0,(5),,0(6k k k k Ax Ax k k Ax k Ax Ax Ax Ax Ax ηηηηηηηηηλλλληληληγβηγηβηηβηη=+⎫⎪=⎪⎬
=⎪⎪++⎭
==+==-= 是的解也是它的解 是的解对任意也是它的解齐次方程组 是的解对任意个常数 也是它的解 是的解是其导出组的解是的解
是的两个解是其导出组的解
211212112212112212),0(7),,,,1
00k k k k k k k Ax Ax Ax Ax Ax ηβηηηηηηβληληληβλλλλη
ληληλλλ⎧⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪
⎪⎨⎪⎪
⎪=⇔-=⎪
=⎪⎪++=⇔++=⎪
⎪++=⇔++=⎩ 是的解则也是它的解是其导出组的解 是的解则
也是的解 是的解 √ 设A 为m n ⨯矩阵,若()r A m =,⇒()()r A r A β=⇒Ax β=一定有解， 当m n <时,一定不是唯一解⇒<方程个数未知数的个数
向量维数向量个数
,则该向量组线性相关.
m 是()()r A r A β和的上限.
n 个n 维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1.
(,)0αβ=
.
1α=.
√ 内积的性质： ① 正定性：(,)0,(,)0αααααο≥=⇔=且 ② 对称性：(,)(,)αββα=
③ 双线性：1212(,)(,)(,)αββαβαβ+=+
1212(,)(,)(,)ααβαβαβ+=+ (,)(,)(,)c c c αβαβαβ==
E A λ-.
()E A f λλ-=.
√ ()f λ是矩阵A 的特征多项式⇒()f A O =
E A λ-=0. Ax x Ax x λ=→ 与线性相关
√
12
n A λλλ= 1
n
i A λ=∑tr ，A tr 称为矩阵A √ 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n 各元素.
√ 若0A =,则λ=0为A 的特征值,且0Ax =的基础解系即为属于λ=0的线性无关的特征向量.
√ ()1r A =⇔A 一定可分解为A =()12
12,,
,n n a a b b b a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
、21122()n n A a b a b a b A =++
+,从而A 的特征值为：11122n n A a b a b a b λ==+++tr ,
23n λλλ====0 p 指南358.
√ 若A 的全部特征值12,,
,n λλλ，()f A 是多项式,则:
① ()f A 的全部特征值为12(),(),,()n f f f λλλ；12()()()
()n f A f f f λλλ=
② 若A 满足()0f A =,则A 的任何一个特征值必满足()i f λ=0.
√ 设1
110()m m m m f x a x a x a x a --=++++，对n 阶矩阵A 规定：1110()m m m m f A a A a A a A a E --=++
++为A 的一个多项式.
√
1231
122,T A m
m k kA
a b aA bE A A A A A A
λλλλλλλλλλλλ-*
⎧⎪++⎪⎪⎨= 是的特征值则:分别有特征值 .⎪⎪⎪
⎪⎪⎩ √ 123
1122,A m
m k kA
a b aA bE
A
x A x A A A
λλλλλλλλλλ-*⎧⎪++⎪⎪⎪⎨=⎪⎪⎪⎪⎩ 是关于的特征向量则也是关于的特征向量.
√ 2
,m
A A 的特征向量不一定是A 的特征向量. √ A 与T
A 有相同的特征值，但特征向量不一定相同.
1B P AP -
= （P 为可逆矩阵） 记为：A B 1B
P AP -= （P 为正交矩阵）
A 与对角阵Λ相似. 记为：A Λ （称Λ是A
√ A 可相似对角化⇔()i i n r E A k λ--= i k 为i λ的重数⇔A 恰有n 个线性无关的特征向量. 这时,P 为A 的特征向量拼成的矩阵，1
P AP -为对角阵,主对角线上
的元素为A 的特征值.设i α为对应于i λ的线性无关的特征向量,则有：
12
1212112212(,,
,)(,,,)(,,,)(,,
,)n n n n n n P
P
A A A A λλααααααλαλαλααααλΛ
⎛⎫
⎪
⎪=== ⎪ ⎪⎝
⎭
. 注：当i λ=0为A 的特征值时，A 可相似对角化⇔i λ的重数()n r A =-= 0Ax =基础解系的个数. √ 若A 可相似对角化,则其非零特征值的个数（重数重复计算）()r A =. √ 若n 阶矩阵A 有n 个互异的特征值,则A 可相似对角化.
√ 若A Λ⇒k A =1k P P -Λ=，121
1()()()()()n A P P P P ϕλϕλϕϕϕλ--⎛⎫
⎪
⎪=Λ= ⎪ ⎪⎝
⎭
√ 相似矩阵的性质：① A B =tr tr
② A B = 从而,A B 同时可逆或不可逆 ③ ()()r A r B = ④T
T A
B ；11A B -- （若,A B 均可逆）；**A B
⑤k
k A
B （k 为整数）；()()f A f B ，()()f A f B =
⑥,A B A B C
D C D ⎛⎫⎛⎫
⇒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⑦
E A E B λλ-=-,从而,A B 有相同的特征值,但特征向量不一定相同.
注:x 是A 关于0λ的特征向量,1
P x -是B 关于0λ的特征向量.
√ 数量矩阵只与自己相似.
√ 对称矩阵的性质： ① 特征值全是实数,特征向量是实向量；
② 不同特征值对应的特征向量必定正交；
注：对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；
③ 必可用正交矩阵相似对角化，即：任一实二次型可经正交变换化为标准形； ④ 与对角矩阵合同，即：任一实二次型可经可逆线性变换化为标准形；
⑤ 一定有n 个线性无关的特征向量,A 可能有重的特征值,该特征值i λ的重数=()i n r E A λ--）.
T AA E =
√ A 为正交矩阵⇔A 的n 个行（列）向量构成n
的一组标准正交基.
√ 正交矩阵的性质：① 1
T
A A -=；
② T
T
AA A A E ==；
③ 正交阵的行列式等于1或-1；
④ A 是正交阵,则T
A ，1
A -也是正交阵； ⑤ 两个正交阵之积仍是正交阵；
⑥ A 的行（列）向量都是单位正交向量组.
1211
(,,
,)n n
T
n ij i j i j f x x x x Ax a x x ====∑∑ ij ji a a =，即A 为对称矩阵，12(,,
,)T n x x x x =
T B C AC =. 记作：A B （,,A B C
为对称阵为可逆阵）
二次型的规范形中正项项数p r p -；
2p r -. (r 为二次型的秩)
√ 两个矩阵合同的充分必要条件是：它们有相同的正负惯性指数. √ 两个矩阵合同的充分条件是：A
B
√ 两个矩阵合同的必要条件是：()()r A r B =
√ 12(,,
,)T
n f x x x
x Ax =经过正交变换
合同变换
可逆线性变换
x Cy =化为21
n
i i f d y =∑√ 二次型的标准形不是唯一的,与所作的正交变换有关
,但非零系数的个数是由
()
r A +正惯性指数负惯性指数
唯一确定的.
√ 当标准形中的系数i d 为-1或0或1时,√ 实对称矩阵的正（负）惯性指数等于它的正（负）特征值的个数.
√ 惯性定理：任一实对称矩阵
A
与唯一对角阵111
1
0⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-
⎪
⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
合同.
√ 用正交变换法化二次型为标准形:
① 求出A 的特征值、特征向量； ② 对n 个特征向量正交化、单位化；
③ 构造C （正交矩阵）,作变换x Cy =,则11122
21()()T
T T T T n n n y d y y d y Cy A Cy y C ACY y C ACY y d y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪
⎪⎪ ⎪ ⎪⎪===
⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
新的二次型为21n
i i
f d y =∑,Λ的主对角
上的元素i d 即为A 的特征值.
123,,ααα线性无关,
112122111313233121122()()()()
()()T T
T T T T
βααββαβββαβαββαββββββ=⎧⎪⎪⎪⎪
=-⎨⎪
⎪=--⎪⎪⎩
正交化 单位化：111βηβ=
222β
ηβ= 333
βηβ= 技巧：取正交的基础解系，跳过施密特正交化。

例如：123x x x +-=0取1β-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭1 2 1，2β⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
101.
12,,
,n x x x 不全为零，12
(,,,)n f x x x >0.
正定二次型对应的矩阵.
√ ()T
f x x Ax =为正定二次型⇔（之一成立）：
① 0x ∀≠ ，T
x Ax >0； ② f 的正惯性指数为n ； ③ A 的特征值全大于0； ④ A 的所有顺序主子式全大于0；
⑤ A 与E 合同，即存在可逆矩阵C 使得T
C AC E =；
⑥ 存在正交矩阵C ，使得1
2
1
T n C AC C AC λλλ-⎛⎫
⎪
⎪== ⎪ ⎪⎝
⎭
（i
λ大于0）.
⑦ 存在可逆矩阵P ，使得T
A P P =；
√ 合同变换不改变二次型的正定性.
√ A 为正定矩阵的必要条件：ii a >0 ； 0A >. √ 若A 为正定矩阵⇒1
,,T
A A A -*
也是正定矩阵.
√ 若,A B 为正定矩阵⇒A B +为正定矩阵，但,AB BA 不一定为正定矩阵.
【完】。