2022年山西省忻州市宁远中学高三数学文月考试卷含解析

2022年山西省忻州市宁远中学高三数学文月考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 是定义在上的非负可导函数，且满足，对任意的正数，
，若，则必有
A． B．C． D．
参考答案：
C
2. 下列说法正确的是（）
A．正切函数在定义域内为单调增函数；
B．若是第一象限角，则是第一象限角；
C．用秦九韶算法计算多项式当时的值时，；
D．若扇形圆心角为2弧度，且扇形弧所对的弦长为2，则这个扇形的面积为．
参考答案：
D
3. 已知函数，则方程恰有两个不同的实根时，实数的取值范围是
（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
4. 已知点P时抛物线y2=﹣4x上的动点，设点P到此抛物线的准线的距离为d1，到直线x+y﹣4=0的距离为d2，则d1+d2的最小值是（）A．2 B．C．D．
参考答案：
D
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，过焦点F作直线x+y﹣4=0的垂线，此时d1+d2最小，根据抛物线方程求得F，进而利用点到直线的距离公式求得d1+d2的最小值．
【解答】解：点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，
过焦点F作直线x+y﹣4=0的垂线，此时d1+d2最小，
∵F（﹣1，0），则d1+d2==．
故选：D．
5. 已知，满足不等式组，则函数的最小值是（）
A．B．C．
D．
参考答案：
D
6. 已知非零向量、满足|﹣|=|+2|，且与的夹角的余弦值为﹣，则等于（）
A．B．C．D．2
参考答案：
D
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】由向量的平方即为模的平方．可得?=﹣2，再由向量的夹角公式：cos＜，＞
=，化简即可得到所求值．
【解答】解：非零向量、满足|﹣|=|+2|，
即有（﹣）2=（+2）2，
即为2+2﹣2?=2+4?+42，
化为?=﹣2，
由与的夹角的余弦值为﹣，
可得cos＜，＞=﹣==，
化简可得=2．
故选：D．
【点评】本题考查向量的数量积的夹角公式，以及向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．
7. 已知一组抛物线，其中a∈{1，3，5，7}，b∈{2，4，6，8）．从全部抛物线中任取两条，则这两条抛物线在：x=1处的切线相互平行的概率为
A．B．C．D．
参考答案：
B
8. 函数f（x）=sinx－lgx的零点有个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
参考答案：
C
略
9. 已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围
A．B．(0,1) C．D．
参考答案：
C
10. 将抛物线沿向量平移得到抛物线，则向量为
A．(－1,2) B．(1,－2) C．(－4,2) D．(4,－2) 参考答案：
A
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. ，且，则的最小值等于
．
参考答案：
略
12. 行列式的第2行第3列元素的代数余子式的值为．
参考答案：
4
【考点】三阶矩阵．
【专题】选作题；转化思想；综合法；矩阵和变换．
【分析】根据余子式的定义可知，在行列式中划去第2行第3列后所余下的2阶行列式为第3行第3列元素的代数余子式，求出值即可．
【解答】解：由题意得第2行第3列元素的代数余子式
M23=﹣=8﹣4=4
故答案为：4．
【点评】此题考查学生掌握三阶行列式的余子式的定义，会进行矩阵的运算，是一道基础题．
13. 若变量满足约束条件则的最大值为。

参考答案：
略
14. 若不等式对于一切恒成立，则实数的取值范围是___________．
参考答案：
15. 已知函数的图象关于直线x = 1对称，则
__________。

参考答案：
16. 的展开式中的常数项是______
参考答案：
220
略
17. 函数f(x)＝cos(π＋2x)－sin x的最大值为________。

参考答案：
2
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分14分）设函数f(θ)＝sinθ＋cosθ，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点P(x，y)，且0≤θ≤π.
(1)若点P的坐标为，求f(θ)的值；
(2)若点P(x，y)为平面区域，上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f(θ)的最小值和最大值．
参考答案：
19. （本小题满分12分）
已知函数f（x）=2lnx+．
（I）当函数f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y﹣4x+1=0垂直时，求实数m的值；（Ⅱ）若x≥1时，f（x）≥1恒成立，求实数m的取值范围．
参考答案：
（Ⅰ）9；（Ⅱ） [2，+∞）
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用
（Ⅰ）∵f′（x）=﹣，
∴函数f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率k=f′（1）=2﹣，
∵函数f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y﹣4x+1=0垂直，
∴2﹣=﹣，
∴m=9；
（Ⅱ）依题意不等式2lnx+≥1在x≥1时恒成立，即m≥x+1﹣2（x+1）lnx在x≥1时恒成立．令
g（x）=x+1﹣2（x+1）lnx（x≥1），则g′（x）=1﹣[2lnx+]=﹣，
∴x≥1时，g′（x）＜0，∴函数g（x）在[1，+∞）时为减函数，∴g（x）≤g（1）=2，∴m≥2
即实数m的取值范围是[2，+∞）．
【思路点拨】（Ⅰ）求出导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，即可得到
所求m的值；（Ⅱ）不等式2lnx+≥1在x≥1时恒成立，即m≥x+1﹣2（x+1）lnx在x≥1时恒成立．令g（x）=x+1﹣2（x+1）lnx（x≥1），求出导数，求得单调区间，即可得到最大值，令m不小于最大值即可．
20. 已知,
命题实系数一元二次方程无实根；
命题存在点同时满足且．
试判断：命题p是命题q的什么条件(充分、必要、充分不必要、必要不充分、充要或既不充分也不必要条件)？请说明你的理由．
参考答案：
解：若命题p为真，可得………… 4分
若命题q为真，可知圆和圆有交点，于是由图形不难得到
，若令集合，集合，…… 9分可知集合A和集合B之间互不包含，于是命题p是命题q的既不充分也不必要条件. 12分
21. 已知函数，(为自然对数的底数)
（1）当时，求的单调区间；
（2）对任意的恒成立，求的最小值；
（3）若对任意给定的，
使得成立，求的取值范围。

参考答案：
解：（1）当时，
由，由
故的单调减区间为单调增区间为…………3分
（2）即对恒成立。

令，则
再令
在上为减函数，于是
从而，，于是在上为增函数
故要恒成立，只要即的最小值为…7分
（3）当时，函数单调递增；
当时，，函数单调递减
所以，函数
当时，不合题意；
当时，
故①
此时，当变化时的变化情况如下：
—0+
对任意给定的，在区间上总存在两个不同的
使得成立，当且仅当满足下列条件
令
令，得
当时，函数单调递增
当时，函数单调递减ks5u
所以，对任意有
即②对任意恒成立。

由③式解得：④
综合①④可知，当
在使成立。

…………14分
略
22. 底面是正方形的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，E是CC1的中
点，O是AC、BD的交点。

（1）求证：AC1∥平面BDE；
（2）求证：平面BDE⊥平面ACC1。

参考答案：。