抗震作业

隧道与地下结构抗减震
（作业）
姓名：贾辉
学号：13011100
班级：隧道二班
结构动力学基础
1.问题
题目：如图所示某三层框架结构，横梁刚度视为无穷大，层内侧移刚度均为m kN k 40=，层高5m ，跨度7.5m 。

设防烈度8度，设计基本地震加速度0.30g ，设计地震分组为第二区，Ⅰ类场地，体系阻尼比05.0=ξ，求楼层各振型的剪应力？已知kN G 10001=，kN G 10002=，kN G 6003=。

2.分析
此刚架振动时各横梁不能竖向移动和转动而只能水平移动，故只有三个自由度。

属于多自由度结构的自由振动问题。

针对于多自由度体系自由振动的自振频率及主振型的计算，其计算方法一般有两种：柔度法和刚度法。

对于本题如多层刚架此类问题，用刚度法解算更为便利。

3.解答
解：㈠ 求自振频率，确定主振型
结构的刚度系数见图3-1，3-2，3-3
图3-1
图3-2
图3-3
由图3-1，3-2，3-3可建立刚度矩阵为，
[]m
kN k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎣⎡--+--+=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=40400408040040800033
33
222
21333231232221
131211
而质量矩阵为，
[]kg m m m m ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢
⎢⎣
⎡=6010010032
1
因而有[]
[](){}
,02
=-a m k ω 有非零解，即；
[][]
02
=-m k ω
代入数据得：
0604040
401008040040100802
2
2
=-------ωωω
令λω=2
，代入得
0644
41084004108=-------λ
λλ，解得：064768136060023=-+-λλλ
解此一元三次方程得：4158.1,7505.0,1004.0321===λλλ 可得：1
31
21
11899.1,8663.0,3169.0---===s s s ωωω
将32,1λλλ和分别代入下式
0A A A 6440410840
4108321=⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------λλλ
可求的标准化主振型，入下图
{}
{}{}⎪⎭
⎪
⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=371.1540.10.1，985.0124.00.1，058.2749.10.1332313332221223121111
a a a A a a a A a a a A
第一振型 第二振型 第三振型
图3-4
㈡主振型的正交性
{}
{}{}⎪⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=371.1540.10.1，985.0124.00.1，058.2749.10.1333231323222121312111
a a a A a a a A a a a A
体系的质量和刚度矩阵为
[]kg m m m m ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢
⎢⎣
⎡=6010010032
1
[]m kN k ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡----=4040040804004080
{}[]{}
[]00052.0985.0124.00.160100100058.2749.10.12
1
≈=⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=A m A T
{}[]{}
[]0055.0371.1540.10.160100100058.2749.10.13
1
≈-=⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=A m A T
{}[]{}[]01221.0371.1540.10.160100100985.0124
.00
.13
2
≈-=⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=A m A T
{}[]{}
[]00478.0985.0124.00.140404080404080058.2749.10.12
1
≈=⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=A k A T
{}[]{}
[]0118.0371.1540.10.140404080404080058.2749.10.13
1
≈-=⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=A m A T
{}[]{}[]0
1304.0371.1540.10.140404080404080985.0124
.00
.13
2
≈-=⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=A m A T
㈢计算层间剪力
结构j 振型i 质点的水平地震作用标准值计算公式：
()m j n i G a F i ji j j ji ,...,2,1;,...,2,1===γα
i n
i
ji i n i ji j G a G a ∑∑===
1
2
1
γ
式中
j α—相应于j 振型自震周期的影响系数
ji a —j 振型i 质点的相对水平位移
j γ—j 振型参与系数
6036
.02
.66008
.3983600058.21000749.11000600058.21000749.11000223
2
1322
1212
113132121111==
⨯+⨯+⨯+⨯+=
++++=
G a G a G a G a G a G a γ3336
.05
.1597533
600985.01000124.010********.01000124.010002232
2322
2212
213232221212==
⨯+⨯+⨯-⨯+=++++=
G a G a G a G a G a G a γ0628
.038
.44996
.282600
371.1100054.11000600371.1100054.11000223
2
3322
3212
313332321313==
⨯+⨯+⨯+⨯-=++++=G a G a G a G a G a G a γ
由条件设防烈度8度，设计基本地震加速度0.30g ，设计地震分组为第二区，Ⅰ类场地，体系阻尼比05.0=ξ，查表得24.0m ax =α
表3-1水平地震影响系数最大值
kN
G a F 86.14410000.16036.024.01111111=⨯⨯⨯==γαkN G a F 37.2531000749.16036.024.02121112=⨯⨯⨯==γαkN G a F 88.178600058.26036.024.03131113=⨯⨯⨯==γα
kN G a F 06.8010000.13336.024.01212221=⨯⨯⨯==γαkN
G a F 93.91000124.03336.024.02222222=⨯⨯⨯==γαkN G a F 32.47600)985.0(3336.024.03232223-=⨯-⨯⨯==γα
kN
G a F 07.151********.024.01313331=⨯⨯⨯==γαkN G a F 21.23100054.10628.024.02323332-=⨯-⨯⨯==γαkN G a F 40.12600371.10628.024.03333333=⨯⨯⨯==γα
绘图如下
第一振型 第二振型 第三振型
图3-5 楼层各振型惯性力示意图
(单位：kN)
图3-6 楼层各振型地震剪力示意图（单位：kN）。