2020-2021高三数学上期中试题(附答案)(6)

2020-2021高三数学上期中试题(附答案)(6)
一、选择题
1．设ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，则这
个三角形的形状是 （ ） A ．直角三角形
B ．等边三角形
C ．等腰直角三角形
D ．钝角三角形
2．设x ，y 满足不等式组110750310x y x y x y +-≤⎧⎪
--≥⎨⎪--≤⎩
，若Z ax y =+的最大值为29a +，最小值为
2a +，则实数a 的取值范围是（ ）.
A ．(,7]-∞-
B ．[3,1]-
C ．[1,)+∞
D ．[7,3]--
3．定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()f x ,如果对于任意给定的等比数列{}n a ,若
(){}n
f a 仍是比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”.现有定义在()()
,00,-∞⋃+∞上的如下函数： ①()3
f x x =；
②()x
f x e =；
③(
)f x =
④()ln f x x =
则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为（ ） A ．①②
B ．③④
C ．①③
D ．②④
4．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（ ） A ．一尺五寸
B ．二尺五寸
C ．三尺五寸
D ．四尺五寸
5．已知数列{}n a 满足11a =，12n
n n a a +=+，则10a =（ ）
A ．1024
B ．2048
C ．1023
D ．2047
6．关于x 的不等式()2
10x a x a -++<的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是（ ）
A ．[)(]3,24,5--⋃
B ．()()3,24,5--⋃
C ．(]4,5
D ．（4,5）
7．已知A 、B 两地的距离为10 km,B 、C 两地的距离为20 km,现测得∠ABC=120°，则A 、
C 两地的距离为 （ ） A ．10 km
B
km
C
．
D
． 8．已知数列{a n } 满足a 1=1，且111
()(233
n n n a a n -=+≥，且n ∈N*），则数列{a n }的通项公式为（ ）
A ．32
n
n a n =+
B ．2
3
n n n a +=
C ．a n =n+2
D ．a n =（ n+2）·3n
9．已知：0x >，0y >，且21
1x y
+=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()4,2- B ．(][),42,-∞-+∞U C ．()
2,4-
D ．(][),24,-∞-⋃+∞
10．,x y 满足约束条件362000
x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎪
⎨≥⎪⎪≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为
12，则23
a b
+的最小值为 ( ) A ．
256
B ．25
C ．
253
D ．5
11．设{}n a 是首项为1a ，公差为-2的等差数列，n S 为其前n 项和，若1S ，2S ，4S 成等比数列，则1a = ( ) A ．8
B ．-8
C ．1
D ．-1
12．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c
，若sin 2sin 0b A B +=
，
b =，则
c
a
的值为（ ） A ．1
B
C
D
．
7
二、填空题
13．若数列{}n a 满足11a =，()
()11132n
n n n a a -+-+=⋅ ()*n N ∈，数列{}n b 的通项公式
()()
1
12121n n n n a b ++=
-- ，则数列{}n b 的前10项和10S =___________
14．已知关于x 的一元二次不等式ax 2
+2x+b ＞0的解集为{x|x≠c}，则227
a b a c
+++（其中
a+c≠0）的取值范围为_____．
15．设0x >，则23
1
x x x +++的最小值为______.
16．设a ∈R ，若x ＞0时均有[(a －1)x －1]( x 2－ax －1)≥0，则a ＝__________．
17．如图所示，在平面四边形ABCD
中，AB =
，BC =，AB AD ⊥，
AC CD ⊥，3AD AC =，则AC =__________．
18．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，已知,,a b c 成等比数列，且
22a c ac bc -=-，则
sin c
b B
的值为________. 19．（理）设函数2
()1f x x =-，对任意3,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭
，2()4()(1)4()x
f m f x f x f m m
-≤-+恒成立，则实数m 的取值范围是______． 20．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得80CD =，135ADB ∠=︒，
15BDC DCA ∠∠==︒，120ACB ∠=︒，则A ，B 两点的距离为________．
三、解答题
21．在ABC V 中，3
B π
∠=，7b =，________________，求BC 边上的高．
从①21
sin A =
， ②sin 3sin A C =， ③2a c -=这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
22．已知等差数列{}n a 满足12231()()()2(1)n n a a a a a a n n +++++++=+L （*n N ∈）. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列12n n a -⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和n S . 23．已知,,a b c 分别是ABC △的角,,A B C 所对的边，且2
2
2,4c a b ab =+-=． （1）求角C ；
（2）若2
2
sin sin sin (2sin 2sin )B A C A C -=-，求ABC △的面积． 24．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且211a =，7161S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若1
1
n n
n b a a +=
，求数列{}n b 的前n 项和n T . 25．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知0ccosB bsinC -=，
2cosA cos A =．
()1求C ；
()2若2a =，求，ABC V 的面积ABC S V
26．如图，Rt ABC V 中，,1,32
B AB B
C π
=
==.点,M N 分别在边AB 和AC 上，将
AMN V 沿MN 翻折，使AMN V 变为A MN '△，且顶点'A 落在边BC 上,设AMN θ∠=
（1）用θ表示线段AM 的长度，并写出θ的取值范围； （2）求线段CN 长度的最大值以及此时A MN '△的面积，
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一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】
先由ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，得出2,3
3
B A
C π
π
=
+=
,又因为sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，所以23
sin sin sin 4
B A
C =⋅=，整理计算即可得出答案.
【详解】
因为ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，
所以2,3
3
B A
C π
π=
+=
,
又因为sin A 、sin B 、sin C 成等比数列， 所以2
3sin sin sin 4
B A
C =⋅= 所以222sin sin sin sin cos sin cos
333A A A A A πππ⎛⎫⎛
⎫⋅-=⋅-
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
231311113
sin 2sin sin 2cos 2sin 2424442344
A A A A A π⎛⎫=
+=-+=-+= ⎪⎝⎭ 即sin 213A π⎛⎫-= ⎪⎝
⎭
又因为203
A π
<< 所以3
A π
=
故选B 【点睛】
本题考查数列与三角函数的综合，关键在于求得2,3
3
B A
C π
π
=+=
，再利用三角公式转化，属于中档题.
2．B
解析：B 【解析】 【分析】
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值. 【详解】
作出不等式组110750310x y x y x y +-≤⎧⎪
--≥⎨⎪--≤⎩
对应的平面区域（如图阴影部分），
目标函数z ax y =+的几何意义表示直线的纵截距，即y ax z =-+，
（1）当0a <时，直线z ax y =+的斜率为正，要使得z 的最大值、最小值分别在,C A 处取得，
则直线z ax y =+的斜率不大于直线310x y --=的斜率， 即3a -≤，
30a ∴-≤<.
（2）当0a >时，直线z ax y =+的斜率为负，易知最小值在A 处取得，
要使得z 的最大值在C 处取得，则直线z ax y =+的斜率不小于直线110x y +-=的斜率 1a -≥-， 01a ∴<≤.
（3）当0a =时，显然满足题意. 综上：31a -≤….
故选：B . 【点睛】
本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键.
3．C
解析：C 【解析】 【分析】
设等比数列{}n a 的公比为q ，验证()
()
1n n f a f a +是否为非零常数，由此可得出正确选项. 【详解】
设等比数列{}n a 的公比为q ，则
1
n n
a q a +=. 对于①中的函数()3f x x =，
()()3
3
131
12n n n n n n f a a a q f a a a +++⎛⎫=== ⎪⎝⎭
，该函数为“保等比数列函数”；
对于②中的函数()x
f x e =，
()()1
11n n n n a a a n a n f a e e f a e
++-+==不是非零常数，该函数不是“保等比数列函数”； 对于③中的函数(
)f x =
()
(
)
1n n f a f a +==
=，该函数为“保等比数
对于④中的函数()ln f x x =，()()1
1ln ln n n n n
a f a f a a ++=不是常数，该函数不是“保等比数列函
数”.故选：C. 【点睛】
本题考查等比数列的定义，着重考查对题中定义的理解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
4．B
解析：B 【解析】 【分析】
从冬至日起各节气日影长设为{}n a ，可得{}n a 为等差数列，根据已知结合前n 项和公式和等差中项关系，求出通项公式，即可求解. 【详解】
由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，
n S 是其前n 项和，则()19959985.52
a a S a +=
==尺，
所以59.5a =尺，由题知1474331.5a a a a ++==， 所以410.5a =，所以公差541d a a =-=-， 所以1257 2.5a a d =+=尺。

故选:B . 【点睛】
本题考查等差数列应用问题，考查等差数列的前n 项和与通项公式的基本量运算，属于中档题.
5．C
解析：C 【解析】 【分析】 根据叠加法求结果. 【详解】
因为12n n n a a +=+，所以12n
n n a a +-=，
因此10
9
8
1010921198122221102312
a a a a a a a a -=-+-++-+=++++==-L L ，选C.
【点睛】
本题考查叠加法求通项以及等比数列求和，考查基本分析求解能力，属基础题.
6．A
解析：A
【分析】
不等式等价转化为(1)()0x x a --<，当1a >时，得1x a <<，当1a <时，得
1<<a x ，由此根据解集中恰有3个整数解，能求出a 的取值范围。

【详解】
关于x 的不等式()2
10x a x a -++<，
∴不等式可变形为(1)()0x x a --<，
当1a >时，得1x a <<，此时解集中的整数为2，3，4，则45a <≤； 当1a <时，得1<<a x ，，此时解集中的整数为-2，-1，0，则32a -≤<- 故a 的取值范围是[)(]3,24,5--⋃，选：A 。

【点睛】
本题难点在于分类讨论解含参的二次不等式，由于二次不等式对应的二次方程的根大小不确定，所以要对a 和1的大小进行分类讨论。

其次在观察a 的范围的时候要注意范围的端点能否取到，防止选择错误的B 选项。

7．D
解析：D 【解析】 【分析】
直接利用余弦定理求出A ，C 两地的距离即可． 【详解】
因为A ，B 两地的距离为10km ，B ，C 两地的距离为20km ，现测得∠ABC ＝120°， 则A ，C 两地的距离为：AC 2＝AB 2+CB 2﹣2AB •BC cos ∠ABC ＝102+202﹣2110202⎛⎫
⨯⨯⨯-
= ⎪⎝⎭
700． 所以AC ＝107km ． 故选D ． 【点睛】
本题考查余弦定理的实际应用，考查计算能力．
8．B
解析：B 【解析】
试题分析：由题可知，将111
()(233
n n n a a n -=
+≥，两边同时除以，得出
，运用累加法，解得
，整理得2
3n n
n a +=
； 考点：累加法求数列通项公式
9．A
【解析】 【分析】
若2
22x y m m +>+恒成立,则2x y +的最小值大于22m m +,利用均值定理及“1”的代换求得2x y +的最小值,进而求解即可. 【详解】 由题,因为
21
1x y
+=,0x >,0y >, 所以()214422242448x y x y
x y x y y x y x ⎛⎫++=+++≥+⋅=+=
⎪⎝⎭
,当且仅当4x y y x =,即
4x =,2y =时等号成立,
因为2
22x y m m +>+恒成立,则228m m +<,即2280m m +-<,解得42m -<<, 故选:A 【点睛】
本题考查均值不等式中“1”的代换的应用,考查利用均值定理求最值,考查不等式恒成立问题.
10．A
解析：A 【解析】 【分析】
先画不等式组表示的平面区域，由图可得目标函数(0,0)z ax by a b =+>>何时取最大值，进而找到a b ，之间的关系式236,a b +=然后可得23123
()(23)6a b a b a b
+=++，化简变形用基本不等式即可求解。

【详解】
不等式组表示的平面区域如图，由360
20x y x y --=⎧⎨-+=⎩
得点B 坐标为
B （4,6）.由图可知当直线z ax by =+经过点B （4,6）时，Z 取最大值。

因为目标函数
(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12，所以4612,a b +=即236,a b +=
所以
2312316616625
()(23)(13)(132)6666
a b a b a b a b a b b a b a +=++=++≥+⨯=。

当且仅当66236a b
b a a b ⎧=⎪
⎨⎪+=⎩
即65a b ==时，上式取“=”号。

所以当65a b ==时，23a b +取最小值25
6。

故选A 。

【点睛】
利用基本不等式a b +≥可求最大（小）值，要注意“一正，二定，三相等”。

当
a b ，都取正值时，（1）若和+a b 取定值，则积ab 有最大值；（2）若积ab 取定值时，
则和 +a b 有最小值。

11．D
解析：D 【解析】 【分析】
利用等差数列的通项公式，以及等比中项公式和前n 项和公式，准确运算，即可求解. 【详解】
由题意，可得等差数列{}n a 的通项公式为11(1)(2)2(1)n a a n a n =+-⨯-=--， 所以112141,22,412S a S a S a ==-=-，
因为1S ，2S ，4S 成等比数列，可得2
111(22)(412)a a a -=-，解得11a =-.
故选：D . 【点睛】
本题主要考查了等差数列通项公式，以及等比中项公式与求和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和等比中项公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
12．D
解析：D 【解析】
分析：由正弦定理可将sin2sin 0b A B =
化简得cosA 2
=-
，由余弦定理可得222227a b c bccosA c =+-=，从而得解.
详解：由正弦定理，sin2sin 0b A B +=
，可得sin2sin 0sinB A B +=，
即2sin sin 0sinB AcosA B = 由于：0sinBsinA ≠，
所以cosA =：， 因为0＜A ＜π，所以5πA 6
=
．
又b =，由余弦定理可得22222222337a b c bccosA c c c c =+-=++=.
即227a c =，所以7
c a =
. 故选：D ．
点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
二、填空题
13．【解析】【分析】对于当n=1代入得-4依次得发现规律利用求出【详解】由当n=1代入得-4依次得发现规律利用得b=-求出故答案为【点睛】本题考查的是在数列中给了递推公式不好求通项公式时可以列举几项再发 解析：20462047
-
【解析】 【分析】 对于()
()11132n
n n n a a -+-+=⋅，当n=1，代入得2a =-4,依次得345a =10a =-22a =46...
，，发现规律， 利用()()
1
12
121n n n
n a b ++=--，求出10S .
【详解】 由()
()11132n
n n n a a -+-+=⋅，当n=1，代入得2a =-4,依次得
2345634567a =32-2a =-32+2a =32-2a =-32+2a =32-2...⨯⨯⨯⨯⨯，，，，发现规律， 利
用()()
1
1
2
121n n n
n a b ++=
--，得b 1=-
43
，234510224694b =
b =-b =b =-...3771515313163⨯⨯⨯⨯，，， ，求出102046
2047
S =-.
故答案为2046
2047
- 【点睛】
本题考查的是在数列中，给了递推公式不好求通项公式时，可以列举几项再发现规律，求出题中要求的前10项和，属于中档题.
14．（﹣∞﹣6∪6+∞）【解析】【分析】由条件利用二次函数的性质可得ac=﹣1ab=1即c=-b 将转为（a ﹣b ）+利用基本不等式求得它的范围【详解】因为一元二次不等式a x2+2x+b ＞0的解集为{x|x
解析：（﹣∞，﹣6]∪[6，+∞） 【解析】 【分析】
由条件利用二次函数的性质可得ac=﹣1，ab=1, 即c=-b 将227
a b a c +++转为（a ﹣b ）
+
9
a b -，利用基本不等式求得它的范围． 【详解】
因为一元二次不等式ax 2+2x+b ＞0的解集为{x|x≠c}，由二次函数图像的性质可得a ＞0，二次函数的对称轴为x=1
a
-
=c ，△=4﹣4ab=0， ∴ac=﹣1，ab=1，∴c=1a
-
，b=1
a ，即c=-b,
则227a b a c +++=()2
9
a b a b
-+-=（a ﹣b ）+9a b -，
当a ﹣b ＞0时，由基本不等式求得（a ﹣b ）+
9
a b
-≥6， 当a ﹣b ＜0时，由基本不等式求得﹣（a ﹣b ）﹣
9a b -≥6，即（a ﹣b ）+9a b
-≤﹣6, 故227
a b a c
+++（其中a+c≠0）的取值范围为：（﹣∞，﹣6]∪[6，+∞），
故答案为（﹣∞，﹣6]∪[6，+∞）． 【点睛】
本题主要考查二次函数图像的性质，考查利用基本不等式求最值.
15．【解析】【分析】利用换元法令将所给的代数式进行变形然后利用均值不等式即可求得最小值【详解】由可得可令即则当且仅当时等号成立故答案为：【点睛】本题主要考查基本不等式求最值的方法换元法及其应用等知识意在
解析：1
【解析】 【分析】
利用换元法，令1t x =+将所给的代数式进行变形，然后利用均值不等式即可求得最小值. 【详解】
由0x >，可得11x +>.
可令()11t x t =+>，即1x t =-，则
()()2
211333
1111t t x x t x t t -+-+++==+-=+≥，
当且仅当t =1x =
时，等号成立.
故答案为：231-． 【点睛】
本题主要考查基本不等式求最值的方法，换元法及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
16．【解析】【分析】【详解】当时代入题中不等式显然不成立当时令 都过定点考查函数令则与轴的交点为时均有也过点解得或（舍去）故 解析：32
a =
【解析】 【分析】 【详解】 当时，代入题中不等式显然不成立 当
时，令
，
，都过定点
考查函数，令
，则
与轴的交点为
时，均有
也过点
解得或（舍去），
故
17．3【解析】分析：详解：设在直角中得所以在中由余弦定理由于所以即整理得解得点睛：在解有关三角形的题目时要有意识地考虑用哪个定理更合适或是两个定理都要用要抓住能够利用某个定理的信息一般地如果式子中含有角
解析：3 【解析】 分析：
详解：设,3AC x AD x ==， 在直角ACD ∆中，得2
2
22CD AD AC x -=，所以22
sin 3
CD CAD AD ∠=
=
， 在ABC ∆中，由余弦定理2222cos 222AB AC BC BAC AB AC x
+-∠==⋅
由于2
BAC CAD π
∠+∠=
，所以cos sin BAC CAD ∠=∠，
2
3=
23830x x --=，解得3x =. 点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
18．【解析】【分析】利用成等比数列得到再利用余弦定理可得而根据正弦定理和成等比数列有从而得到所求之值【详解】∵成等比数列∴又∵∴在中由余弦定理因∴由正弦定理得因为所以故故答案为【点睛】在解三角形中如果题
【解析】 【分析】
利用,,a b c 成等比数列得到222c b a bc +-=，再利用余弦定理可得60A =︒，而根据正弦定理和,,a b c 成等比数列有1
sin sin c b B A
=，从而得到所求之值. 【详解】
∵,,a b c 成等比数列，∴2b ac =.又∵22a c ac bc -=-，∴222c b a bc +-=.
在ABC ∆中，由余弦定理2221
cos 22
c b a A bc +-== ，
因()0,A π∈，∴60A =︒. 由正弦定理得
2
sin sin sin sin sin sin c C C
b B B B B
==， 因为2b ac =， 所以2sin sin sin B A C = ，
故
2sin sin 1sin sin sin sin C C B A C A ===
.
故答案为 3
. 【点睛】
在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件，如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件，如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.
19．或【解析】【分析】先化简不等式再变量分离转化为对应函数最值问题最后根据二次函数最值以及解不等式得结果【详解】即即因为当时所以或故答案
为：或【点睛】本题考查不等式恒成立问题以及二次函数最值考查综合分析
解析：m ≤
或m ≥ 【解析】 【分析】
先化简不等式，再变量分离转化为对应函数最值问题，最后根据二次函数最值以及解不等式得结果. 【详解】
2()4()(1)4()x
f m f x f x f m m
-≤-+Q
22222()14(1)(1)14(1)x
m x x m m
∴---≤--+- 即2
2
2
1(41)230m x x m +---≥ 即222123341,()2
m x m x x +-
≥+≥ 因为当3
2
x ≥时223238
3932
4
x x +≤+=
所以2
2
21834134m m m +-
≥∴≥
∴2m ≤-
或2
m ≥
故答案为：2m ≤-
或2
m ≥ 【点睛】
本题考查不等式恒成立问题以及二次函数最值，考查综合分析求解能力，属中档题.
20．【解析】【分析】△ACD 中求出AC △ABD 中求出BC △ABC 中利用余弦定理可得结果【详解】解：由已知△ACD 中∠ACD ＝15°∠ADC ＝150°∴∠DAC=15°由正弦定理得△BCD 中∠BDC ＝15
解析：
【解析】 【分析】
△ACD 中求出AC ，△ABD 中求出BC ，△ABC 中利用余弦定理可得结果. 【详解】
解：由已知，△ACD 中，∠ACD ＝15°，∠ADC ＝150°，
∴∠DAC=15
°由正弦定理得80sin15040
sin15
AC ===o
o
，
△BCD 中，∠BDC ＝15°，∠BCD ＝135°，
∴∠DBC=30°， 由正弦定理，
CD BC
sin CBD sin BDC
=∠∠，
所以
BC 80sin151601540
12
CD sin BDC sin sin CBD
⋅∠⨯︒
=
==︒=∠；
△ABC 中，由余弦定理，
AB 2＝AC 2+BC 2﹣2AC •BC •cos ∠ACB
＝
(
(
081
1600816021600
2
-+++⨯⨯
⨯
16001616004160020=⨯+⨯=⨯
解得：
AB =
则两目标A ，B
间的距离为．
故答案为． 【点睛】
本题主要考查了正弦、余弦定理在解三角形中的应用问题，也考查了数形结合思想和转化思想，是中档题．
三、解答题
21．
选择①，h =
；选择②，h =
；选择③，h =【解析】 【分析】 （1
）选择①sin A =
，可由sin sin a b A B =解得2a =，再由2222cos b a c ac B =+-解得3c =，最后由sin h c B =可得解；
（2）选择②sin 3sin A C =，由sin sin()3sin A B C C =+=
得5sin C C =，结合
22sin cos 1C C +=
得sin 14
C =
，最后由sin h b C =可得解. （3）选择③2a c -=，由2222cos b a c ac B =+-可得：227a c ac +-=，结合
2a c -=解得1c =，最后由sin h c B =可得解. 【详解】
（1
）选择①sin 7
A =
，解答如下： 在ABC V ，由正弦定理得：
sin sin a b A B
=，
7=2a =， 由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，
221
2222
c c =+-⨯⨯，解得1c =-（舍去）或3c =，
则BC
边上的高sin h c B = （2）选择②sin 3sin A C =，解答如下：
在ABC V 中，[]sin sin ()sin()A B C B C π=-+=+， 由sin 3sin A C =可得：sin()3sin 3
C C π
+
=，
整理得5sin C C =┄①， 又22sin cos 1C C +=┄②，
由①②得sin C =
， 则BC
边上的高sin h b C ===
. （3）选择③2a c -=，解答如下：
在ABC V 中，由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-，
3
B π
∠=
Q
，b =
227a c ac ∴+-=┄①，
又2a c -=┄②， 由①②解得1c =， 则BC
边上的高sin h c B =. 【点睛】
本题考查了正余弦定理解三角形，考查了计算能力，属于中档题. 22．（1）21n a n =-；（2）1
23
62n n -+-. 【解析】 【分析】 【详解】
（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知得()()1212234,
{12,
a a a a a a +=+++=
即12234,
{
8,
a a a a +=+=所以()()()11114,
{
28,
a a d a d a d ++=+++=解得11,
{
2,
a d ==
所以21n a n =-． （Ⅱ）由（Ⅰ）得
1121
22n n n a n ---=，所以122
135232112222
n n n n n S ----=+++⋯++，① 23111352321
222222
n n n n n S ---=+++⋯⋯++，② -①②得：
2211112123
113222222n n n n n n S --+=++++⋯+-=-
所以46
62n n
n S +=-
． 点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn ”与“qSn ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn －qSn ”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
23．（1）3
C π
=（2 【解析】
试题分析：（1）由余弦定理得cos C 值，再根据三角形内角范围求角C ；（2）由正弦定理将条件化为边的关系：2224cos b c a ac A +-=，再根据余弦定理得2a b =，代人解得
a =
，b =2c =，由勾股定理得2B π=，最后根据直角三角形面积公式得
ABC V 的面积．
试题解析：解：（1）由余弦定理，得222cos 2a b c C ab +-== 22221
222
a b ab ab ab +-==，
又()0,C π∈，所以3
C π
=
．
（2）由()2
2
sin sin sin 2sin2sin B A C A C -=-， 得222sin sin sin 2sin2sin B C A A C +-=， 得222sin sin sin 4sin cos sin B C A A A C +-=，
再由正弦定理得2
2
2
4cos b c a ac A +-=，所以222
cos 4b c a A ac
+-=．①
又由余弦定理，得222
cos 2b c a A bc
+-=，②
由①②，得222222
42b c a b c a bc bc
+-+-=
，得42ac bc =，得2a b =，
联立2242a b ab b a ⎧+-=⎨=⎩
，得3a =，3b =．
所以222b a c =+．所以2
B π
=．
所以ABC V
的面积1122233
S ac =
=⨯=
． 24．（1）61n a n =-；（2）1116565n T n ⎛⎫
=- ⎪+⎝⎭
【解析】 【分析】
（1）根据等差数列通项公式及前n 项和公式求得首项和公差，即可得到数列{}n a 的通项公式；
（2）将n b 化简后利用列项求和法即可求得数列{}n b 的前n 项和n T . 【详解】
(1)(方法一)由题意得217
111
721161a a d S a d =+=⎧⎨
=+=⎩，
解得15
6a d =⎧⎨=⎩
，
故61n a n =-.
(方法二)由747161S a ==得423a =， 因为42
642
a a d -=
=-，从而15a =， 故61n a n =-. （2）因为111111(61)(65)66165n n n b a a n n n n +⎛⎫
=
==- ⎪-+-+⎝⎭
， 所以121111111651111176165n n T b b b n n ⎛⎫
=+++=
-+-++- ⎪-+⎝⎭
L L 1116565n ⎛⎫
=
- ⎪+⎝⎭
. 【点睛】
本题主要考查的是数列的通项公式的基本量求法，以及等差数列通项公式、前n 项和公式的求法，同时考查的是裂项求和，是中档题. 25．(1) 12
π
．
(2) 【解析】 【分析】
()1由已知利用正弦定理，同角三角函数基本关系式可求1tanB =，结合范围()0,B π∈，
可求4
B π
=
，由已知利用二倍角的余弦函数公式可得2210cos A cosA --=，结合范围
()0,A π∈，可求A ，根据三角形的内角和定理即可解得C 的值．
()2由()1及正弦定理可得b 的值，根据两角和的正弦函数公式可求sinC 的值，进而根据
三角形的面积公式即可求解． 【详解】
() 1Q 由已知可得ccosB bsinC =，
又由正弦定理
b c
sinB sinC
=，可得ccosB csinB =，即1tanB =， ()0,B π∈Q ，
4
B π
∴=
，
2221cosA cos A cos A ==-Q ，即2210cos A cosA --=，
又()0,A π∈，
12cosA ∴=-，或1(舍去)，可得23A π
=，
12
C A B π
π∴=--=
．
()223A π=
Q ，4
B π
=，2a =， ∴由正弦定理
a b
sinA sinB
=
，可得
2a sinB b sinA ⨯
⋅===，
(
)1sin 22224
sinC A B sinAcosB cosAsinB ⎛⎫=+=+=
+-⨯=
⎪⎝⎭Q ，
11222ABC S absinC ∴=
=⨯=
V 【点睛】
本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角的余弦函数公式，三角形的内角和定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式等知识在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 26．()121
2sin 42AM ππθθ
⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭ ()
243；=
S 【解析】 【分析】
（1）在直角A BM '∆中，得出A M '与θ的关系，从而得出AM 与θ的不等式；
（2）在AMN ∆中，利用正弦定理求出AN ，得出AN 的最小值，从而得出CN 的最大值.
【详解】
（1）设MA MA x '==，则1MB x =-，
在直角A BM '∆中，1cos(1802)x x θ--=
o ， 解得2111cos 22sin x θθ==-，即212sin AM θ
=， 因为A '在边BC 上，所以
42ππθ≤≤.
（2）因为,1,2B AB BC π
∠===2AC =，所以60BAC ∠=o ，
在AMN ∆中，由AMN θ∠=，可得18060120ANM θθ∠=--=-o o o ， 又由212sin MN θ
=， 根据正弦定理，可得
sin sin(120)AN AM θθ=-o ， 所以sin 1sin(120)2sin sin(120)
AM AN θθθθ⋅==--o o ，
令21
2sin sin(120)2sin (sin )sin cos 22t θθθθθθθθ=-=⋅+
=+o
1112cos 2sin(230)222
θθθ=-=+-o ， 因为4590θ<<o o ，所以60230150θ<-<o o o ，
当且仅当23090θ-=o o 时，即60θ=o 时，t 有最大值
32， 即当60θ=o 时，AN 有最小值
23， 所以CN 的最大值为43
，
当60θ=o 时，AMN ∆为等边三角形，AMN ∆面积为22()3S =
= 【点睛】
本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力.。