【初三数学】大连市九年级数学下(人教版)第二十七章《相似》测试卷(含答案解析)

人教版九下数学《第27章相似》单元测试卷（解析版）
一．选择题（共10小题）
1．已知2x＝3y，则下列比例式成立的是（）
A．＝B．＝C．＝D．＝
2．已知线段a、b、c、d满足ab＝cd，把它改写成比例式，错误的是（）A．a：d＝c：b B．a：b＝c：d C．d：a＝b：c D．a：c＝d：b 3．已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则下列等式中成立的是（）A．AB2＝AC•CB B．CB2＝AC•AB C．AC2＝BC•AB D．AC2＝2BC•AB 4．AD是△ABC的中线，E是AD上一点，AE：ED＝1：3，BE的延长线交AC于F，AF：FC＝（）
A．1：3B．1：4C．1：5D．1：6
5．通过一个3倍的放大镜看一个△ABC，下面说法正确的是（）
A．△ABC放大后，∠A是原来的3倍
B．△ABC放大后周长是原来的3倍
C．△ABC放大后，面积是原来的3倍
D．以上都不对
6．如图，一张矩形纸片ABCD的长AB＝a，宽BC＝b．将纸片对折，折痕为EF，所得矩形AFED与矩形ABCD相似，则a：b＝（）
A．2：1B．：1C．3：D．3：2
7．如图所示，△ACB∽△A′CB′，∠BCB′＝30°，则∠ACA′的度数为（）
A．20°B．30°C．35°D．40°
8．如图，已知在△ABC中，P为AB上一点，连接CP，以下条件中不能判定△ACP∽△ABC 的是（）
A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB C．D．
9．如图，点F是▱ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是（）
A．＝B．＝C．＝D．＝
10．如图，身高1.6m的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC＝3.2m，CA＝0.8m，则树的高度为（）
A．4.8 m B．6.4 m C．8 m D．10 m
二．填空题（共5小题）
11．已知3x＝5y，则＝．
12．在比例尺为1：2000的地图上，测得A、B两地间的图上距离为4.5厘米，则其实际距离为米．
13．点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），AB＝2，则AC＝．（用根号表示）14．如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD＝1，DB＝2，则的值为．
15．若一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，则此三角形的周长扩大为原来的倍．三．解答题（共5小题）
16．已知线段a、b、c满足，且a+2b+c＝26．
（1）求a、b、c的值；
（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x．
17．如图，A、B两地隔着湖水，从C地测得CA＝50m，CB＝60m，∠ACB＝145°，用1厘米代表10米（就是1：1000的比例尺）画出如图的图形．量出AB的长（精确到1毫米），再换算出A、B间的实际距离．
18．定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2＝BC•AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．
如图2，△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D．
（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；
（2）求出线段AD的长．
19．如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F．（1）如果AB＝6，BC＝8，DF＝21，求DE的长；
（2）如果DE：DF＝2：5，AD＝9，CF＝14，求BE的长．
20．如图，菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”．在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等．
（1）设菱形相邻两个内角的度数分别为m°和n°，将菱形的“接近度”定义为|m﹣n|，于是|m﹣n|越小，菱形越接近于正方形．
①若菱形的一个内角为70°，则该菱形的“接近度”等于；
②当菱形的“接近度”等于时，菱形是正方形．
（2）设矩形相邻两条边长分别是a和b（a≤b），将矩形的“接近度”定义为|a﹣b|，于是|a﹣b|越小，矩形越接近于正方形．
你认为这种说法是否合理？若不合理，给出矩形的“接近度”一个合理定义．
2019年人教版九下数学《第27章相似》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【分析】把各个选项依据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，已知的比例式可以转化为等积式2x＝3y，即可判断．
【解答】解：A、变成等积式是：xy＝6，故错误；
B、变成等积式是：3x＝2y，故错误；
C、变成等积式是：2x＝3y，故正确；
D、变成等积式是：3x＝2y，故错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查了判断两个比例式是否能够互化的方法，即转化为等积式，判断是否相同即可．
2．【分析】根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积．对选项一一分析，选出正确答案．
【解答】解：A、a：d＝c：b⇒ab＝cd，故正确；
B、a：b＝c：d⇒ad＝bc，故错误；
C、d：a＝b：c⇒dc＝ab，故正确；
D、a：c＝d：b⇒ab＝cd，故正确．
故选：B．
【点评】掌握比例的基本性质，根据比例的基本性质实现比例式和等积式的互相转换．3．【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．
【解答】解：根据线段黄金分割的定义得：AC2＝BC•AB．
故选：C．
【点评】本题主要考查了黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键，难度适中．
4．【分析】作DH∥BF交AC于H，根据三角形中位线定理得到FH＝HC，根据平行线分线段成比例定理得到＝＝，计算得到答案．
【解答】解：作DH∥BF交AC于H，
∵AD是△ABC的中线，
∴FH＝HC，
∵DH∥BF，
∴＝＝，
∴AF：FC＝1：6，
故选：D．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
5．【分析】根据相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方来判断．
【解答】解：用一个能放大3倍的放大镜看△ABC，则看到的三角形与△ABC相似，相似比是3：1，
A、两个相似三角形的对应角相等，故A错；
B、周长的比等于相似比，即△ABC放大后，周长是原来的3倍，故B正确；
C、面积的比是相似比的平方，即9：1，△ABC放大后，面积是原来的9倍，故C错；
D、A选项错误，故D错．
故选：B．
【点评】本题考查对相似三角形性质的理解．（1）相似三角形周长的比等于相似比．（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方．（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
6．【分析】根据折叠性质得到AF＝AB＝a，再根据相似多边形的性质得到＝，即＝，然后利用比例的性质计算即可．
【解答】解：∵矩形纸片对折，折痕为EF，
∴AF＝AB＝a，
∵矩形AFED与矩形ABCD相似，
∴＝，即＝，
∴（）2＝2，
∴＝．
故选：B．
【点评】本题考查了相似多边形的性质：相似多边形对应边的比叫做相似比．相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．
7．【分析】根据相似三角形性质求出∠ACB＝∠A′CB′，都减去∠A′CB即可．【解答】解：∵△ACB∽△A′CB′，
∴∠ACB＝∠A′CB′，
∴∠ACB﹣∠A′CB＝∠A′CB′﹣∠A′CB，
∴∠ACA′＝∠BCB′，
∵∠BCB′＝30°，
∴∠ACA′＝30°，
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形性质的应用，注意：相似三角形的对应角相等．8．【分析】A、加一公共角，根据两角对应相等的两个三角形相似可以得结论；
B、加一公共角，根据两角对应相等的两个三角形相似可以得结论；
C、其夹角不相等，所以不能判定相似；
D、其夹角是公共角，根据两边的比相等，且夹角相等，两三角形相似．
【解答】解：A、∵∠A＝∠A，∠ACP＝∠B，
∴△ACP∽△ABC，
所以此选项的条件可以判定△ACP∽△ABC；
B、∵∠A＝∠A，∠APC＝∠ACB，
∴△ACP∽△ABC，
所以此选项的条件可以判定△ACP∽△ABC；
C、∵，
当∠ACP＝∠B时，△ACP∽△ABC，
所以此选项的条件不能判定△ACP∽△ABC；
D、∵，
又∠A＝∠A，
∴△ACP∽△ABC，
所以此选项的条件可以判定△ACP∽△ABC，
本题选择不能判定△ACP∽△ABC的条件，
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是关键．9．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得CD∥AB，AD∥BC，CD＝AB，AD＝BC，然后平行线分线段成比例定理，对各项进行分析即可求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，AD∥BC，CD＝AB，AD＝BC，
∴＝，故A正确，选项不符合题意；
∴＝正确，B选项不符合题意；
＝，正确，故C不符合题意；
∴＝，错误，D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系，避免错选其他答案．10．【分析】可由平行线分线段成比例求解线段的长度．
【解答】解：由题意可得，＝，
即树高＝＝8m，
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握平行线分线段成比例的性质是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．【分析】根据两外项的积等于两内项的积，可得答案．
【解答】解：∵3x＝5y，
∴＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了比例的性质，利用了比例的性质：外项的积等于内项的积．12．【分析】根据比例尺＝图上距离：实际距离，依题意列出比例式，即可求得实际距离．【解答】解：设A，B两地的实际距离为xcm，则：
1：2000＝4.5：x，
解得x＝9000．
9000cm＝90m．
故答案为：90．
【点评】本题考查了比例尺的定义．要求能够根据比例尺由图上距离正确计算实际距离，注意单位的换算．
13．【分析】用AC表示出BC，然后根据黄金分割点的定义列方程求解即可．【解答】解：∵AC＞BC，AB＝2，
∴BC＝AB﹣AC＝2﹣AC，
∵点C是线段AB的黄金分割点，
∴AC2＝AB•BC，
∴AC2＝2（2﹣AC），
整理得，AC2+2AC﹣4＝0，
解得AC＝﹣1+，AC＝﹣1﹣（舍去）．
故答案为：﹣1+．
【点评】本题考查了黄金分割，熟记黄金分割点的定义并列出关于AC的方程是解题的关键．
14．【分析】根据平行线分线段成比例定理推出＝，代入求出即可．【解答】解：∵DE∥BC，
∴＝，
∵AD＝1，BD＝2，
∴AB＝3，
∴＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：一组平行线被两条直线所截的对应线段成比例中的对应．题目较好，但是一道比较容易出错的题目．
15．【分析】由题意一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，根据相似三角形的性质及对应边长成比例来求解．
【解答】解：∵一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，
∴扩大后的三角形与原三角形相似，
∵相似三角形的周长的比等于相似比，
∴这个三角形的周长扩大为原来的5倍，
故答案为：5．
【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的周长的比等于相似比．
三．解答题（共5小题）
16．【分析】（1）设比值为k，然后用k表示出a、b、c，再代入等式求解得到k，然后求解即可；
（2）根据比例中项的定义列式求解即可．
【解答】解：（1）设＝＝＝k，
则a＝3k，b＝2k，c＝6k，
所以，3k+2×2k+6k＝26，
解得k＝2，
所以，a＝3×2＝6，
b＝2×2＝4，
c＝6×2＝12；
（2）∵线段x是线段a、b的比例中项，
∴x2＝ab＝6×4＝24，
∴线段x＝2．
【点评】本题考查了比例的性质，比例线段，利用“设k法”用k表示出a、b、c可以使计算更加简便．
17．【分析】根据比例尺的定义，1厘米代表10米，把CA＝50m，CB＝60m，转化为CA ＝5cm，CB＝6cm，结合题意画图，再测量AB的长，最后换算出A、B间的实际距离．【解答】解：如图，测得AB长约10.5cm，换算成实际距离约为10.5×1000＝10500cm＝105m．
即A、B间的实际距离是105m．
【点评】本题考查了比例问题以及两点之间的距离是连接两点的线段的长度．18．【分析】（1）判断△ABC∽△BDC，根据对应边成比例可得出答案．（2）根据黄金比值即可求出AD的长度．
【解答】解：（1）∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABD＝36°，∠BDC＝72°，
∴AD＝BD，BC＝BD，
∴△ABC∽△BDC，
∴＝，即＝，
∴AD2＝AC•CD．
∴点D是线段AC的黄金分割点．
（2）∵点D是线段AC的黄金分割点，
∴AD＝AC，
∵AC＝2，
∴AD＝﹣1．
【点评】本题考查了黄金分割的知识，解答本题的关键是仔细审题，理解黄金分割的定义，注意掌握黄金比值．
19．【分析】（1）根据三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例可得，再由AB＝6，BC＝8，DF＝21即可求出DE的长．
（2）过点D作DG∥AC，交BE于点H，交CF于点G，运用比例关系求出HE及HB 的长，然后即可得出BE的长．
【解答】解：（1）∵AD∥BE∥CF，
∴，
∵AB＝6，BC＝8，DF＝21，
∴，
∴DE＝9．
（2）过点D作DG∥AC，交BE于点H，交CF于点G，
则CG＝BH＝AD＝9，
∴GF＝14﹣9＝5，
∵HE∥GF，
∴，
∵DE：DF＝2：5，GF＝5，
∴，
∴HE＝2，
∴BE＝9+2＝11．
【点评】本题考查平行线分线段成比例的知识，综合性较强，关键是掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
20．【分析】（1）根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，相似图形的“接近度”相等．所以若菱形的一个内角为70°，则该菱形的“接近度”等于|m﹣n|；当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形；
（2）不合理，举例进行说明．
【解答】解：（1）①∵内角为70°，
∴与它相邻内角的度数为110°．
∴菱形的“接近度”＝|m﹣n|＝|110﹣70|＝40．
②当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形．
（2）不合理．
例如，对两个相似而不全等的矩形来说，它们接近正方形的程度是相同的，但|a﹣b|却不相等．
合理定义方法不唯一．
如定义为，
越小，矩形越接近于正方形；
越大，矩形与正方形的形状差异越大；
当时，矩形就变成了正方形，即只有矩形的越接近1，矩形才越接近正方形．【点评】正确理解“接近度”的意思，矩形的“接近度”|a﹣b|越小，矩形越接近于正方形．这是解决问题的关键．
人教版九的级数学下册第二十七章相似单元练习题（含答案）
一、选择题
1.为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图所示的图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于点D，C在BD上，有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC，∠ACB；②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC.能根据所测数据，求出A、B间距离的有()
A．4组
B．3组
C．2组
D．1组
2.如图，四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，AB＝12，CD＝15，A1B1＝9，则边C1D1的长是()
A．10
B．12
C．
D．
3.如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，E，使点A，B，D在一条直线上，且AD⊥DE，点A，C，E也在一条直线上且DE∥BC.如果BC＝24 m，BD＝12 m，DE＝40 m，则河的宽度AB约为()
A．20 m
B．18 m
C．28 m
D．30 m
4.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，如果S△ACD：S△ABC＝1∶2，那么S△AOD∶S△BOC是()
A．1∶3
B．1∶4
C．1∶5
D．1∶6
5.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－4,8)，B(－10，－3)，以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是()
A．(－2,4)
B．(－8,16)
C．(－2,4)或(2，－4)
D．(－8,16)或(8，－16)
6.在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD＝2，BD＝4，那么由下列条件能够判断DE∥BC的是()
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝
7.如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交，l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交，l1，l2，l3于点D，E，F.若DE＝3，EF＝6，AB＝4，则AC的长是()
A．6
B．8
C．9
D．12
8.如图，以点O为支点的杠杆，在A端用竖直向上的拉力将重为G的物体匀速拉起，当杠杆OA水平时，拉力为F；当杠杆被拉至OA1时，拉力为F1，过点B1作B1C⊥OA，过点A1作A1D⊥OA，垂足分别为点C、D.
①△OB1C∽△OA1D;
②OA·OC＝OB·OD；
③OC·G＝OD·F1；
④F＝F1.
其中正确的说法有()
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
9.在平面直角坐标系中，△ABC顶点A(2,3)．若以原点O为位似中心，画三角形ABC的位似图形△A′B′C′，使△ABC与△A′B′C′的相似比为，则A′的坐标为()
A．(3，)
B．(，6)
C．(3，)或(－3，)
D．(，6)或(，－6)
10.下列各组图形相似的是()
A．
B．
C．
D．
二、填空题
11.两三角形的相似比为1∶4，它们的周长之差为27 cm，则较小三角形的周长为__________．
12.如图，在△ABC与△ADE中，＝，要使△ABC与△ADE相似，还需要添加一个条件，这个条件是__________．
13.已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为1，△DEF的周长为3，则△ABC与△DEF的面积之比为________．
14.如图，D、E分别是AB、AC上两点，CD与BE相交于点O，要使△ABE∽△ACD，则需要添加的一个条件是：________________.
15.已知△ABC∽△DEF，且S△ABC＝4，S△DEF＝25，则＝________.
16.如图，根据所给信息，可知的值为______________．
17.如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，若DE∥BC，＝，则＝__________.
18.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点均在格点(网格线的交点)上．以原点O为位似中心，画△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为2，则点B的对应点B1的坐标是______________．
19.一个等腰直角三角形和一个正方形如图摆放，被分割成了5个部分. ①，②，③这三块的面积比依次为1∶4∶41，那么④，⑤这两块的面积比是____________．
20.将一个矩形沿着一条对称轴翻折，如果所得到的矩形与这个矩形相似，那么我们就将这样的矩形定义为“白银矩形”．事实上，“白银矩形”在日常生活中随处可见．如，我们常见的A4纸就是一个“白银矩形”．请根据上述信息求A4纸的较长边与较短边的比值．这个比值是__________．
三、解答题
21.如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D，连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM＝∠DAC.
(1)求证：直线DM是⊙O的切线；
(2)求证：DE2＝DF·DA.
22.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点四边形ABCD(顶点是网格线的交点)和直线l，按要求画图．
(1)作出四边形ABCD关于直线l成轴对称的四边形A′B′C′D′；
(2)以B为位似中心，在点B的下方将四边形ABCD放大2倍得到四边形A1B1C1D1，画出四边形A1B1C1D1.
23.如图，AB是半圆O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点C，BD⊥PD，垂足为D，连接BC.
(1)求证：BC平分∠PBD；
(2)求证：PC2＝PA·PB；
(3)若PA＝2，PC＝2，求阴影部分的面积(结果保留π).
24.△ABC∽△A′B′C，顶点A、B、C分别与A′、B′、C′对应，它们的周长分别为60 cm和72 cm，且AB＝15 cm，B′C′＝24 cm，求BC、AC、A′B′、A′C′的长度．
25.如图，在△ABC中，DE∥BC.
(1)与有什么关系？过E点作EF∥AB，与有什么关系？
(2)由(1)可知与有什么关系？根据三角形相似的定义可知△ABC与△ADE相似吗？
(3)你能根据上面的结论证明三组对应边的比相等的两个三角形相似吗？
26.在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上一点，过点D作∠ADE＝45°，DE交
AC于点E，求证：△ABD∽△DCE.
27.如图，△ABC中，点E、F分别在边AB，AC上，BF与CE相交于点P，且∠1＝∠2＝∠A.
图1
图2
(1)如图1，若AB＝AC，求证：BE＝CF；
(2)若图2，若AB≠AC，
①(1)中的结论是否成立？请给出你的判断并说明理由；
②求证：＝.
28.如图，△AED∽△ABC，相似比为1∶2.若BC＝6，则DE的长是多少？
答案解析
1.【答案】B
【解析】①因为知道∠ACB和BC的长，所以可利用∠ACB的正切来求AB的长；
②可利用∠ACB和∠ADB的正切求出AB；
③因为△ABD∽△EFD，可利用＝，求出AB；
④无法求出A，B间距离．
故共有3组可以求出A，B间距离．
故选B.
2.【答案】C
【解析】∵四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，
∴＝，
∵AB＝12，CD＝15，A1B1＝9，
∴C1D1＝＝.
故选C.
3.【答案】B
【解析】∵BC∥DE，
∴△ABC∽△ADE，
∴＝，
即＝，
∴AB＝18.
故选B.
4.【答案】B
【解析】∵在梯形ABCD中，AD∥BC，而且S△ACD∶S△ABC＝1∶2，
∴AD∶BC＝1∶2；
∵AD∥BC，
∴△AOD～△BOC，
∵AD∶BC＝1∶2，
∴S△AOD∶S△BOC＝1∶4.
故选B.
5.【答案】C
【解析】以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，
∴点A的对应点A′的坐标是(－4×，8×)或，即点A′的坐标为(－2,4)或(2，－4)．
故选C.
6.【答案】C
【解析】只有选项C正确，
理由是：∵AD＝2，BD＝4，＝，
∴＝＝=，
∵∠DAE＝∠BAC，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠ADE＝∠B，
∴DE∥BC，
根据选项A、B、D的条件都不能推出DE∥BC，
故选C.
7.【答案】D
【解析】∵l1∥l2∥l3，
∴＝，即＝，
∴BC＝8，
∴AC＝AB＋BC＝12，
故选D.
8.【答案】D
【解析】∵B1C⊥OA，A1D⊥OA，
∴B1C∥A1D，
∴△OB1C∽△OA1D，故①正确；
∴＝，
由旋转的性质，得OB＝OB1，OA＝OA1，
∴OA·OC＝OB·OD，故②正确；
由杠杆平衡原理，OC·G＝OD·F1，故③正确；
∴＝＝＝是定值，
∴F1的大小不变，
∴F＝F1，故④正确．
综上所述，说法正确的是①②③④.
故选D.
9.【答案】C
【解析】∵△ABC与△A′B′C′的相似比为，
∴△A′B′C′与△ABC的相似比为，
∵位似中心为原点O，
∴A′(2×，3×)或A′(－2×，－3×)，
即A′(3，)或A′(－3，－)．
故选C.
10.【答案】B
【解析】A.形状不同，大小不同，不符合相似定义，故错误；B．形状相同，但大小不同，符合相似定义，故正确；
C．形状不同，不符合相似定义，故错误；
D．形状不同，不符合相似定义，故错误．
故选B.
11.【答案】9 cm
【解析】令较大的三角形的周长为x cm.
小三角形的周长为(x－27) cm，
由两个相似三角形对应中线的比为1∶4，得
1∶4＝(x－27)∶x，
解之得x＝36，
x－27＝36－27＝9 cm.
12.【答案】∠B＝∠E
【解析】添加条件：∠B＝∠E；
∵＝，∠B＝∠E，
∴△ABC∽△AED，
13.【答案】1∶9
【解析】∵△ABC∽△DEF，△ABC的周长为1，△DEF的周长为3，∴△ABC与△DEF的周长比为1∶3，
∴△ABC与△DEF的相似比为1∶3，
∴△ABC与△DEF的面积之比为1∶9，
14.【答案】∠B＝∠C(答案不唯一)
【解析】要使△ABE∽△ACD，则需要添加的一个条件是：∠B＝∠C，理由如下：
∵∠A＝∠A，∠B＝∠C，
∴△ABE∽△ACD，
15.【答案】
【解析】∵△ABC∽△DEF，且S△ABC＝4，S△DEF＝25，
∴＝＝.
16.【答案】
【解析】由题意可得：△ABC∽△A′B′C′，
且＝，
故的值为.
17.【答案】
【解析】∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝.
故答案为.
18.【答案】(4,2)或(－4，－2)
【解析】如图所示：△A1B1C1和△A′B′C′与△ABC的相似比为2，点B的对应点B1的坐标是(4,2)或(－4，－2)．
19.【答案】9∶14
【解析】由题意，得①、②、④都是等腰直角三角形，
∵①，②这两块的面积比依次为1∶4，
∴设①的直角边为x，
∴②的直角边为2x，
设正方形的边长为y，
∵①，③这两块的面积比依次为1∶41，
∴①∶(①＋③)＝1∶42，
即x2∶3xy＝1∶42，
∴y＝7x，
∴④的面积为6x·6x÷2＝18x2，⑤的面积为4x·7x＝28x2，
∴④，⑤这两块的面积比是18x2∶28x2＝9∶14.
20.【答案】
【解析】由题意，得四边形ABFE∽四边形ADCB，
∴＝，
∴AB2＝，
∴＝.
21.【答案】证明(1)如图所示，连接OD，
∵点E是△ABC的内心，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴＝，
∴OD⊥BC，
又∵∠BDM＝∠DAC，∠DAC＝∠DBC，
∴∠BDM＝∠DBC，
∴BC∥DM，
∴OD⊥DM，
∴直线DM是⊙O的切线；
(2)如图所示，连接BE，
∵点E是△ABC的内心，
∴∠BAE＝∠CAE＝∠CBD，∠ABE＝∠CBE，∴∠BAE＋∠ABE＝∠CBD＋∠CBE，
即∠BED＝∠EBD，
∴DB＝DE，
∵∠DBF＝∠DAB，∠BDF＝∠ADB，
∴△DBF∽△DAB，
∴＝，即DB2＝DF·DA，
∴DE2＝DF·DA
【解析】
22.【答案】解(1)如图，四边形A′B′C′D′即为所求；
(2)如图，四边形A1B1C1D1即为所求．
【解析】(1)分别作出点A、B、C、D关于直线l的对称点，顺次连接即可得；
(2)延长AB到A1，使BA1＝2BA，同理分别作出点D、C的对应点，顺次连接即可得．23.【答案】(1)证明连接OC，
∵PD切⊙O于点C，
∴OC⊥PD，
∵BD⊥PD，
∴BD∥OC，
∴∠DBC＝∠BCO,
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠OBC＝∠CBD，
∴BC平分∠PBD；
(2)证明连接AC，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACO＋∠BCO＝∠ACO＋∠ABC＝90°，
∵∠PCA＋∠ACO＝90°，
∴∠ACP＝∠ABC，
∵∠P＝∠P，
∴△ACP∽△CBP，
∴＝，
∴PC2＝PA·PB；
(3)解∵PC2＝PA·PB，PA＝2，PC＝2，
∴PB＝6，
∴AB＝4，
∴OC＝2，PO＝4，
∴∠POC＝60°，
∴S
＝S△POC－S扇形＝×2×2－＝2－π.
阴影
【解析】
24.【答案】解∵△ABC∽△A′B′C，它们的周长分别为60 cm和72 cm，
∴两三角形相似之比为60∶72＝5∶6，
∵AB＝15 cm，
∴＝，
∴A′B′＝18(cm)，
∵B′C′＝24 cm，
∴A′C′＝72－18－24＝30(cm)，
∴＝＝，
解得BC＝20(cm)，AC＝25(cm)，
答：BC、AC、A′B′、A′C′的长度分别为20 cm,25 cm,18 cm,30 cm.
【解析】根据相似三角的性质得出相似比，进而得出A′B′的长，即可分别得出BC、AC、A′C′的长度．
25.【答案】解(1)∵DE∥BC，
∴＝；
∵EF∥AB，
∴＝；
(2)∵DE∥BF，EF∥AB，
∴四边形BFED为平行四边形，
∴DE＝BF，
∴＝，
∴＝，
∴根据三角形相似的定义可知，△ABC与△ADE相似；
(3)两个三角形三组对应边的比相等的三角形相似．
【解析】(1)根据平行线分线段成比例定理，由DE∥BC得到＝；由EF∥AB得到＝；
(2)由DE∥BF，EF∥AB，则可判断四边形BFED为平行四边形，所以DE＝BF，则＝，所以＝，于是根据三角形相似的定义可知，△ABC与△ADE相似；
(3)两个三角形三组对应边的比相等的三角形相似．
26.【答案】证明如图所示：
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠B＝∠C＝45°，
∴∠1＋∠2＝180°－∠B＝135°，
∵∠ADE＝45°，
∴∠2＋∠3＝135°，
∴∠1＝∠3，
∵∠B＝∠C，
∴△ABD∽△DCE.
【解析】先判断△ABC为等腰直角三角形得到∠B＝∠C＝45°，再利用三角形内角和得到∠1＋∠2＝135°，利用平角定义得到∠2＋∠3＝135°，则∠1＝∠3，于是可根据有两角对应相等的两个三角形相似得到结论．
27.【答案】(1)证明∵AB＝AC，
∴∠EBC＝∠FCB，
在△BCE与△CBF中，
∴△BCE≌△CBF,
∴BE＝CF；
(2)解①成立，理由如下：作∠A的平分线交BC于点D，连接DE、DF，
则∠DAF＝∠DAE＝∠A，
∵∠1＝∠2＝∠A，
∴∠DAF＝∠DAE＝∠1＝∠2，
∴A、B、D、F四点与A、E、D、C四点分别共圆，
∴BD＝DF，DE＝DC，
∵∠BDE＝∠A，∠CDF＝∠A，
∴∠BDE＝∠CDF，
在△DEB与△DCF中，
∴△DEB≌△DCF，
∴BE＝CF；
②由上面的证明易知，△DFB与△DEC均为等腰三角形，
∵∠1＝∠2，
∴△DFB∽△DEC，
∴＝，
∵AD是△ABC的内角平分线，
∴＝，
∴＝.
【解析】
28.【答案】解∵△AED∽△ABC，
∴DE∶CB＝1∶2，
∵BC＝6，
∴DE∶6＝1∶2，
∴DE＝3.
【解析】由△AED∽△ABC，相似比为1∶2，可得DE∶CB＝1∶2，又由BC＝6，即可求得DE的长．
人教版九年级数学下册第二十七章相似单元测试题
一、选择题(本大题共7小题，每小题4分，共28分)
1．如图1，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F.已知AB＝1，BC＝3，DE＝2，则EF的长为()
图1
A．4 B．5 C．6 D．8
2．如图2，点D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点，则△ADE的面积与四边形BCED 的面积的比为()
图2
A．1∶2 B．1∶3
C．1∶4 D．1∶1
3．如图3所示，P是△ABC的边AC上的一点，连接BP，以下条件中不能判定△ABP ∽△ACB的是()
图3
A.AB AP ＝AC AB
B.AC AB ＝BC BP
C ．∠ABP ＝∠C
D ．∠APB ＝∠ABC
4．已知△ABC 与△A ′B ′C ′是位似图形，且△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比是1∶2，△ABC 的面积是3，则△A ′B ′C ′的面积是( )
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12
5．如图4所示，在△ABC 中，若DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列比例式正确的是( )
图4
A.AD DB ＝DE BC
B.BF BC ＝EF AD
C.AE EC ＝BF
FC
D.EF AB ＝DE BC
6．如图5所示，∠A ＝∠B ＝90°，AB ＝7，AD ＝2，BC ＝3，在边AB 上取一点P ，使得△P AD 与△PBC 相似，则这样的点P 共有( )
图5
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
7．若两个扇形满足弧长的比等于它们半径的比，则称这两个扇形相似．如图6，如果扇形OAB 与扇形O 1A 1B 1相似，且半径OA ∶O 1A 1＝k (k 为不等于0的常数)，连接AB ，A 1B 1.那么下面四个结论：①∠AOB ＝∠A 1O 1B 1；②△AOB ∽△A 1O 1B 1；③AB A 1B 1＝k ；④扇形OAB
与扇形O 1A 1B 1的面积之比为k 2.其中正确的有( )
图6
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)
8．若△ABC∽△A′B′C′，∠A＝35°，∠C′＝85°，则∠B＝________°，∠B′＝________°.
9．若两个相似三角形的一组对应边分别为3 cm和5 cm，且较小三角形的周长为15 cm，则较大三角形的周长为________cm.
10．如图7，⊙O的两条弦AB，CD相交于点P，连接AC，BD.若S△ACP∶S△DBP＝16∶9，则AC∶BD＝________．
图7
11．如图8所示，小明用长为3 m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好在地面的同一点O，此时点O与竹竿的距离DO＝6 m，竹竿与旗杆的距离DB＝12 m，则旗杆AB的高为________ m.
图8
12．将三角形纸片(△ABC)按图9所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF.已知AB＝AC＝3，BC＝4.若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，则BF的长是__________．
图9
三、解答题(本大题共4小题，共47分)
13．(11分)如图10，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC 的顶点都在格点上，建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)将△ABC向左平移7个单位长度后再向下平移3个单位长度，请画出经过两次平移
后得到的△A1B1C1；
(2)以原点O为位似中心，将△ABC缩小，使变换后得到的△A2B2C2与△ABC对应边的比为1∶2.请在网格内画出在第三象限内的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．
图10
14．(12分)如图11所示，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形．
(1)当AC，CD，DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB?
(2)当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数．
图11
15．(12分)如图12所示，BE是锐角三角形ABC的外接圆⊙O的直径，CD是△ABC 的高．
(1)求证：AC·BC＝BE·CD；
(2)若CD＝6，AD＝8，BD＝3，求⊙O的直径BE.
图12
16．(12分)如图13所示，在△ABC中，BA＝BC＝20 cm，AC＝30 cm，点P从点A出发，沿AB边以每秒4 cm的速度向点B运动，同时点Q从点C出发，沿CA边以每秒3 cm 的速度向点A运动，设运动时间为x秒．
(1)当x为何值时，PQ∥BC?
(2)△APQ能否与△CQB相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由．
图13
详解详析
1．C
2．B [解析] 易知DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥BC 且DE ＝1
2BC ，∴△ADE ∽△ABC ，
∴S △ADE S △ABC ＝14，∴S △ADE S 四边形BCED ＝13
.故选B. 3．B [解析] A 正确，符合两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． B 不正确，不符合两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． C 正确，符合两角分别相等的两个三角形相似． D 正确，符合两角分别相等的两个三角形相似． 故选B.
4．D [解析] ∵△ABC 与△A ′B ′C ′是位似图形，且△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比是1∶2，△ABC 的面积是3，∴△ABC 与△A ′B ′C ′的面积比为1∶4，则△A ′B ′C ′的面积是12.故选D.
5．C [解析] ∵DE ∥BC ，EF ∥AB ，∴四边形DEFB 是平行四边形，∴DE ＝BF ，BD ＝EF .∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴AD AB ＝AE AC ＝DE BC ，∴AD AB ＝AE AC ＝BF
BC .∵EF ∥AB ，∴△
CEF ∽△CAB ，∴EF AB ＝CF BC ＝CE AC .∵EF ∥AB ，∴AE EC ＝BF
FC
.故选C.
6．C [解析] 设AP ＝x ，则有PB ＝AB －AP ＝7－x .若△PDA ∽△CPB ，则DA PB ＝AP BC ，即
2
7－x ＝x 3，解得x ＝1或x ＝6.若△PDA ∽△PCB ，则AD BC ＝AP PB ，即23＝x 7－x ，解得x ＝145.故这样的点P 共有3个．故选C.
7．D
8．[答案] 60 60
[解析] 相似三角形的对应角相等，故∠A ＝∠A ′＝35°，∠C ＝∠C ′＝85°，所以∠B ＝∠B ′＝60°.
9．25
10．[答案] 4∶3
[解析] 由圆周角定理可得∠A ＝∠D ，∠C ＝∠B ， ∴△ACP ∽△DBP ，∴S △ACP S △DBP ＝⎝⎛⎭⎫AC BD 2.
又∵S △ACP ∶S △DBP ＝16∶9，
∴⎝⎛⎭⎫AC BD 2
＝169，∴AC ∶BD ＝4∶3. 11．[答案] 9
[解析] 由题意，得CD ∥AB ， ∴△OCD ∽△OAB ，∴CD AB ＝OD OB ，
即
3AB ＝66＋12
，解得AB ＝9(m)． 12．[答案]
127
或2 [解析] 设BF ＝x ，则FC ＝4－x .
(1)若△CFB ′∽△CBA ，则x 3＝4－x 4，解得x ＝12
7；(2)若△CFB ′∽△CAB ，则FB ′＝FC ，即
x ＝4－x ，解得x ＝2.综上所述，BF ＝12
7或2.
13．解：(1)△A 1B 1C 1如
人教版数学九年级下册第二十七章 相似单元检测-普通用卷
一、选择题
1. 如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，DE ∥AB 交AC 于E ，如果 =
，那
么
等于（ ） A.
B.
C.
D.
2. 在△ABC 中，点D 、E 分别为边AB 、AC 的中点，则△ADE 与△ABC 的面积之比为（ ）
A.
B.
C.
D.
3. 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，∠ADE =∠EFC ，AD ：BD =5：3，CF =6，
则DE 的长为（ ）
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12
4.如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在
平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为2m，
旗杆底部与平面镜的水平距离为若小明的眼睛与地面距离为，则旗杆的高度为单位：
A. B. 9 C. 12 D.
5.如图，已知在△ABC中，P为AB上一点，连接CP，以下条件中不能判定
△ACP∽△ABC的是（）
A. ∠∠
B. ∠∠
C. D.
6.在下列图形中，不是位似图形的是（）
A. B.
C. D.
7.如图，△A′B′C′是△ABC在以点O为位似中心经过位似变
换得到的，若△ABC的面积与△A′B′C′的面积比是16：9，
则OA：OA′为（）
A. 4：3
B. 3：4
C. 9：16
D. 16：9。