数列的复习

⑴求{an}和{bn}的通项公式； ⑵求数列{a2nb2n1}的前n 项和(n N * ).
解：（1）an 3n 2，bn 2n.
（2）由（1）得a2nb2n1 (3n 1)4n ，设数列{a2nb2n1}的前n 项和为Tn
故Tn 2 4 5 42 8 43 (3n 1) 4n,
的值.
求
a7 b7
的值：
13(a1 a13)
a7
解法 1： b7
2a7 2b7
a1 a13 b1 b13
2 13(b1 b13)
S13 T13
2
解法
2：
a7 b7
a1 6d1 b1 6d2
，
Sn Tn
na1
n(n
1)d1 2
nb1
n(n
1)d2 2
a1
(n
1)d1 2
b1
(n
1)d 2
（1）求{an}和{bn}的通项公式；
（2）设数列{Sn}的前 n 项和为Tn (n N)，
（i）求Tn ；
n
（ii）证明
(Tk bk2 )bk
2n2 2(n N ).
k1 (k 1)(k 2) n 2
解：（1）设等比数列{an} 的公比为 q.由 a1 1, a3 a2 2,
1 2
Tn
3
4
1 2
4 ( 1 )2 2
4 ( 1 )n2 (4n 5) ( 1)n1，
2
2
因此Tn
14
(4n
3) ( 1 )n2 , n 2
2，
又b1
1，所以bn
15 (4n
3) ( 1 )n2. 2
二、解答题： 2. 裂项法
例 1.（2016 天津理，18）已知an是各项均为正数的等
4Tn
2 42 5 43 (3n 4) 4n (3n 1) 4n1,
上述两式相减，得
3Tn 2 4 3 42 3 43 3 4n (3n 1) 4n1
8
3
42 4n1 1 4
(3n
1)4n1
,
8 4n1 16 (3n 1)4n1,
8 (3n 2)4n1
练习
1：设
Sn
是等差数列{an} 的前
n
项和，若
a6 a5
9 11
，则
S11 S9
.
练习 2:
已知an
(2n)2 (2n)2
1 1
，求数列an
的前n
项和.
练习 3:
已知an
22n-1
2n-1 3 2n1
，求数列
1
an
的前 n 项和.
练习 4:
已知an
(2n
2n 5 1)(2n
3) 2n
bn 是 an 和 an1 的等比中项.
∴ cn
b2 n 1
bn2
an1an2
anan1
2dan1 ，
∴ cn1 cn 2d (an2 an1) 2d 2 为定值；
∴数列{cn} 是等差数列.
⑵ Tn
2n k 1
(1)k bk2
c1
c3
… c2n1
nc1
n(n 1) 2
• 4d 2
(k 1)(k 2) k 2 k 1
n
所以，
(Tk bk2 )bk
( 23 22 ) ( 24 23 )
( 2n2 2n1 ) 2n2 2 .
k1 (k 1)(k 2) 3 2 4 3
n 2 n 1 n 2
二、解答题： 3. 方法综合运用
数列问题 巩固练习
例 2：（2010 天津理，6）已知an 是首项为 1 的等比数列，Sn 是an
的前
n
项和，且 9S3
S6
，则数列
1
an
的前
5
项和为（
）
A.
15 8
ห้องสมุดไป่ตู้
或
5
B.
31 16
或
5
C.
31 16
D.
15 8
解：若 q 1 ，则 9S3 27a1 27 ， S6 6a1 6 ，显然不满足.
所以 q
2
3n
n1 ，
令
n
2
1
6
，可得
a7 b7
S13 T13
.
求
a6 b7
的值
由已知，可设 Sn 3kn2 ，Tn kn(n 1) ，
a6 S6 S5 b7 T7 T6
例 4：已知{an}和{bn} 都是等比数列，其前 n 项和分别为 Sn ，Tn ，
且
Sn Tn
2n
1
，求
a7 b7
和
a6 b7
（2）（i）由（1），有 Sn
1 2n 1 2
2n
1 ，故
Tn
n k 1
(2k
1)
n k 1
2k
n
2 (1 2n ) 1 2
n
2n1
n2
.
（ii）证明：因为
(Tk + bk+2 )bk (2k1 k 2 k 2)k k 2k1 2k2 2k1 ，
(k 1)(k 2)
(k 1)(k 2)
1
= 2d 2
1
n
1
1
.
n
即不等式
1
T k 1 k
1 2d 2
成立.
例 2.（2018 天津理，18）设{an}是等比数列，公比大于0，
其 前 n 项 和 为 Sn (n N ) ， {bn} 是 等 差 数 列 . 已 知 a1 1 ，
a3 a2 2，a4 b3 b5，a5 b4 2b6 .
数列问题考点突破
一、基本问题： 基本量法
二、解答题： 1.错位相减法 2.裂项法 3.方法综合运用
一、基本问题：基本量法 例 1：（2011 天津文，11）已知an 为等差数列，Sn 为其前 n 项
和， n N * ，若 a3 16 ， S20 20 ，则 S10 的值为_______.
解法 1：由题意得 a3 a1 2d 16 ……① S20 20a1 190 d 20 ……② ①②联立解得 a1 20 ， d 2 ，
，记数列bn
的前n
项和为Tn
，
则Tn
1
1 2
0
2
1 2
1
3
1 2
2
(n
1)
1 2
n2
n
1 2
n1
1 2 Tn
1
1 2
1
2
1 2
2
3
1 2
3
(n
1)
1 2
n1
n
1 2
n
两式相减得
1 2
Tn
1 2
0
1 2
1
1 2
2
1 2
n1
n
1 2
n
2
n2 2n
1，故有
9(1 q3) 1 q
1 q6 1 q
1 q3
9
q
2
，
所以
1 an
是首项为
1，公比为
1 2
的等比数列，前
5
项和
T5
1 (1)5 2
1 1
31 16
.
2
例 3：已知{an} 和{bn} 是等差数列，其前 n 项和分别为 Sn,Tn ，且
Sn Tn
3n n 1
，求
a7 b7
和
a6 b7
1) 1)
，
设 Sn k (1 4n ) ，Tn k (1 2n ) ，
则
a6 b7
S6 T7
S5 T6
.
二、解答题：1. 错位相减法
例 1.（2017 天津理，18）已知{an}为等差数列，前n项和 为Sn (n N *)，{bn}是首项为 2 的等比数列，且公比大于 0， b2 b3 12,b3 a4 2a1, S11 11b4.
，n
N *，求数列bn的前n项和.
解：
（1）易求 q 2
当n 2k 1
n1
an a2k1 2k1 2 2
当n 2k
n
an a2k 2k 22
所以an 的通项公式为 an
2
n1 2
n
,
n为奇数.
2 2 ，n为偶数
⑵由⑴知bn
log2 a2n a2n1
n
1 2
n1
，n
N
*
差数列，公差为d ，对任意的n N *，bn 是an 和an1的等比中项.
⑴设cn
b2 n1
bn2，n
N *，求证：数列cn是等差数列；
2n
⑵设a1 d ，Tn
k 1
1
k
bk2
，n
N
* ，求证：
n k 1
1 Tk
1. 2d 2
证明：⑴∵{an} 是各项均为正数的等差数列，公差为 d ，对任意的n N* ，
，求数列an 的前n 项和.
练习
1：设
Sn
是等差数列{an} 的前
n
项和，若
a6 a5
9 11
，则
S11 S9
.
解法 1：
由
a6 a5
9 11
，得
a1 a1
5d 4d
9 11
，
19d
11a1 55d 9a1 36d ，从而 a1 2 ，
于是
S11 S9
11a1 55d 9a1 36d
(4n 5) ( 1)n2 (4n 9) ( 1)n3 7 1 3
2
2
2
设Tn
3
7
1 2
11 ( 1)2 2
(4n 5) ( 1)n2, n 2， 2
1 2 Tn
3 1 7 (1 )2 (4n 9) ( 1)n2 (4n 5) ( 1)n1
22
2
2
所以
19 11d 110 d 19 9d 72d
1.
解法 2：
由
S11
11(a1 2
a11 )
11a6
，
S9
9(a1 2
a9 )
9a5
，
则
S11 S9
11a6 9a5
1.
练习
2：已知 an
2n 2 2n 2
1 1
，求数列an 的前n
项和.
解：
an
2n2 2n2
1 1
2n2 1 2 2n2 1
（2）设cn (bn1 bn )an ，数列{cn}前n项和为Sn .
由cn
S1, n Sn
1, Sn1, n
2.解得cn
4n 1.由（1）可知an
2n1，
所以bn1
bn
(4n
1)
(
1 2
)n1
，故bn
bn1
(4n
5) ( 1)n2, 2
n
2，
bn b1 (bn bn1) (bn1 bn2 ) (b3 b2 ) (b2 b1)
数列的复习
数列问题的考查特点
3
数列问题的考点突破
数列复习的策略聚焦
4 数列问题的巩固练习
数列问题的考查特点
1.题型： 以解答题为主.
2.难度： 一般以中档题为主.
3.解法： 错位相减法、裂项法，还有分组求和 等基本方法.
数列复习的策略聚焦
1.知识： 数列的通项公式和前n项和公式，其中最常用的是 等差、等比两个基本数列的通项公式和前n项和公式. 2.方法： 解数列问题常用的方法分别是定义法、基本量法、 错 位相减法、裂项法、分组求和法. 3.策略： 常见的数列模型：等差数列模型、等比数列模型、裂项 法模型.
的值.
解法
1：
Sn Tn
a1(1 q2 )(1 q1n ) b1(1 q1)(1 q2n )
2n
1
，
a7 b7
a1q16 b1q26
，
令 n 1,2,3，可求得 a1 3b1， q1 4 ， q2 2 .
解法
2：
Sn Tn
(2n 1)(2n 1) (2n 1)
4n 2n
1 1
k(4n k(2n
nc1
2n(n
1)d 2
，
①nN* ，
由已知 c1 b22 b12 a2a3 a1a2 2da2 2d (a1 d ) 4d 2 ，
将 c1 4d 2 ，代入①得Tn 2n(n 1)d 2 ，
n
∴
1
T k 1 k
1 2d 2
n1 k1 k (k 1)
1 2d 2
(1 1 1 1 … 1 1 ） 2 2 3 n n1
an
22n1
2n1 3 2n1
= 1
2n1 2n 1 2n1 1
1 2n1 1
1 2n 1
Sn a1 a2 a3 an
S10 10a1 45d 110 .
解法 2: 由题意 a3 16 ，故 S5 5a3 80 ， 由数列的性质 S10 S5 80 25d ， S15 S10 80 50d ， S20 S15 80 75d ， 故 S20 320 150d ，解之得 d 2 ， 又 S10 S5 S10 S5 80 80 25d 160 50 110 .
1
2n
2
1 2n
1
1
1 2n 1
1 2n 1
Sn a1 a2 a3 an =1 1 1 1 1 1 1 1 1 13 35 57 =n 1 1 2n 1
1 1 1 2n 1 2n 1
练习
3：已知 an
2 2 n 1
2n1 3 2n1
1
，求数列
an
的前n 项和.
解：
所以得Tn
8 3
3n 3
2
4n1
例 2.（2015 天津理，18）已知数列an满足an2 qan（q
为实数，且q 1），n N *，a1 1，a2 2，且a2 a3, a3 a4 , a4 a5 成等差数列.
⑴求 q 的值和an 的通项公式；
⑵设bn
log2 a2n a2 n1
，
所以数列bn
的前n
项和为4
n2 2n1
例 3：已知等比数列an的公比q 1，且a3 a4 a5 28 ，
a4 2是a3, a5的等差中项．数列bn满足b1 1，数 列 (bn1 bn )an的前n项和为2n2 n ．
（1）求 q 的值；
（2）求数列bn的通项公式．
解：（1）q 2,
可得 q2 q 2 0 .因为 q 0 ，可得 q 2 ，故 an 2n1 .
设等差数列{bn} 的公差为 d，由 a4 b3 b5 ，可得b1 3d 4.
由 a5 b4 2b6 ，可得 3b1 13d 16, 从而b1 1, d 1, 故bn n.
则数列{an} 的通项公式为 an 2n1 ，数列{bn} 的通项公式为bn n.