山东省潍坊市诸城龙城中学2020-2021学年高二数学文测试题含解析

山东省潍坊市诸城龙城中学2020-2021学年高二数学文测试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 命题“?n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（）
A．?n∈N*，f（n）?N*且f（n）＞n B．?n∈N*，f（n）?N*或f（n）＞n
C．?n0∈N*，f（n0）?N*且f（n0）＞n0 D．?n0∈N*，f（n0）?N*或f（n0）＞n0
参考答案：
D
【考点】2J：命题的否定．
【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．
【解答】解：命题为全称命题，
则命题的否定为：?n0∈N*，f（n0）?N*或f（n0）＞n0，
故选：D．
2. 在二项式的展开式中存在常数项，则n的值不可能为（）
A．12 B．8 C．6 D．4
参考答案：
C
【考点】DB：二项式系数的性质．
【分析】求出展开式的通项，化简后，从x 的指数分析解答．
【解答】解：二项式的展开式通项为
=，
因为二项展开式中存在常数项，所以3n﹣4r=0成立，所以n的值不可能为6；
故选：C．
【点评】本题考查了二项展开式的特征项求法；关键是正确写出展开式的通项，化简后从字母的指数进行分析．
3. 已知等差数列{a n}前n项和为,则下列一定成立的是( )
A. B. C.
D.
参考答案：
B
4. 平面上的整点（横、纵坐标都是整数）到直线的距离中的最小值是（）
（A）(B) (C) (D)
参考答案：
B
5. 下列集合中表示同一集合的是（）
A、
B、
C、
D、
参考答案：
A
6. 已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案：
C
7. 已知a＞b＞0，则方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0的曲线在同一坐标系中大致是（）
A．B．C．D．
参考答案：
D
【考点】曲线与方程．
【分析】根据题意，a＞b＞0，可以整理椭圆a2x2+b2y2=1与抛物线ax+by2=0变形为标准形式，可以判断其焦点所在的位置，进而分析选项可得答案．
【解答】解：由a＞b＞0，
椭圆a2x2+b2y2=1，即=1，焦点在y轴上；
抛物线ax+by2=0，即y2=﹣x，焦点在x轴的负半轴上；
分析可得，D符合，
故选D．
【点评】本题考查由椭圆、抛物线的方程判断图象的方法，注意先判断曲线的形状，再分析焦点等位置．
8. 若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是（）
A．H B．G C.F D．E
参考答案：
A
由复数的几何意义，得，
则，则该复数对应的点为，即点H.
9. 定义，已知x、y满足条件，若，则z的取值范围
是（）
A.[-10, 8]
B.[2, 8]
C.[-10,
6] D.[-16, 6]
参考答案：
A
10. 若椭圆过抛物线y2=8x的焦点，且与双曲线x2﹣y2=1有相同的焦点，则该椭圆的方程为（）
A．B．C．D．
参考答案：
A
【考点】KF：圆锥曲线的共同特征．
【分析】求出抛物线的焦点坐标，求出双曲线的两焦点坐标，即为椭圆的焦点坐标，即可得到c的值，然后根据椭圆的基本性质得到a与b的关系，设出关于b的椭圆方程，把抛物线的焦点坐标代入即可求出b的值，得到椭圆方程．
【解答】解：抛物线y2=8x的焦点为（2，0），双曲线 x2﹣y2=1的焦点坐标为（，0），（﹣，0），
所以椭圆过（2，0），且椭圆的焦距2c=2，即c=，则a2﹣b2=c2=2，即a2=b2+2，
所以设椭圆的方程为： +=1，把（2，0）代入得： =1即b2=2，
则该椭圆的方程是：．
故选A
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 以下几个命题中:其中真命题的序号为_________________(写出所有真命题的序号)
①设A 、B 为两个定点,k 为非零常数,
,则动点P 的轨迹为双曲线;
②过定圆C 上一定点A 作圆的动弦AB,O 为坐标原点,若则动点P 的轨迹为椭
圆;
③双曲线
有相同的焦点.
④在平面内,到定点
的距离与到定直线
的距离相等的点的轨迹是抛物线;
参考答案：
③ 略
12. 设F 为抛物线y 2=12x 的焦点（O 为坐标原点），M （x ，y ）为抛物线上一点，若|MF|=5，则点M 的横坐标x 的值是 ，三角形OMF 的面积是 ．
参考答案：
2, 3
.
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】利用抛物线的性质，推出M 的横坐标；然后求解三角形的面积．
【解答】解：F 为抛物线y 2
=12x 的焦点（3，0）（
O 为坐标原点），M （x ，y ）为抛物线上一点， |MF|=5，设M 的横坐标为x ，可得|MF|=x ﹣（﹣3），可得x=2； 纵坐标为：y==
． 三角形OMF 的面积是： =3
．
故答案为：
；
13. 设数列{a n }满足a 2+a 4=10，点P n （n ，a n ）对任意的n ∈N +，都有向量 =（1，2），则数列{a n }
的前n 项和S n = ．
参考答案：
n 2
【考点】数列与向量的综合．
【分析】由已知得a n }等差数列，公差d=2，将a 2=a 1+2，代入a 2+a 4=10，中，得a 1=1，由此能求出{a n }
的前n 项和S n ．
【解答】解：∵P n （n ，a n ），∴P n+1（n+1，a n+1）， ∴
=（1，a n+1﹣a n ）=（1，2），
∴a n+1﹣a n =2，
∴{a n }等差数列，公差d=2，将a 2=a 1+2，a 4=a 1+6代入a 2+a 4=10中， 解得a 1=1，∴a n =1+（n ﹣1）×2=2n ﹣1，
∴S n =
=n 2．
故答案为：n 2．
14. 已知椭圆的上焦点为，直线和与椭圆相交于点，，，
，则
．
参考答案：
8
15. 已知线段AD∥平面α，且与平面α的距离等于4，点B 是平面α内动点，且满足AB=5，AD=10．则B 、D 两点之间的距离的最大值为 ．
参考答案：
【考点】直线与平面平行的性质．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．
【分析】记A 、D 在面α内的射影分别为A 1、D 1，由AB=5，可得出B 在面α内以A 1为圆心、3为半径的圆周上，由勾股定理能求出B 、D 两点之间的距离的最大值． 【解答】解：记A 、D 在面α内的射影分别为A 1、D 1， ∵AB=5，AA 1=4，∴A 1B=3，
即B 在面α内以A 1为圆心、3为半径的圆周上， 又A 1D 1=10，故D 1B 最大为13，最小为7，而DD 1=4， 由勾股定理得BB 、D 两点之间的距离的最大值为： =
．
故答案为：
．
【点评】本题考查两点间距离的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
16. 若为虚数单位，则的值为_______.
参考答案：
－4
略
17. 若且x+y=1,则当x= 时，有最大值；
参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知椭圆C的中心在坐标原点，离心率，且其中一个焦点与抛物线的焦点重合．（1）求椭圆C 的方程；
（2）过点S （，0）的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T，若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案：
【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．
【分析】（1）先设处椭圆的标准方程，根据离心率求的a和c的关系，进而根据抛物线的焦点求得c，进而求得a，则b可得，进而求的椭圆的标准方程．
（2）若直线l与x轴重合，则以AB为直径的圆是x2+y2=1，若直线l垂直于x轴，则以AB为直径的
圆是（x+）2+y2=．联立两个圆的方程求得其交点的坐标，推断两圆相切，进而可判断因此所求的点T如果存在，只能是这个切点．证明时先看直线l垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T（1，0）．再看直线l不垂直于x轴，可设出直线方程，与圆方程联立消去y，记点A（x1，y1），B（x2，y2），根据伟大定理求得x1+x2和x1x2的表达式，代入?的表达式中，求得?=0，进而推断TA⊥TB，即以AB为直径的圆恒过点T（1，0）．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的方程为，离心率，，抛物线
的焦点为（0，1），所以，椭圆C的方程是x2+=1
（Ⅱ）若直线l与x轴重合，则以AB为直径的圆是x2+y2=1，若直线l垂直于x轴，则以AB为直径的圆是（x+）2+y2=．
由解得即两圆相切于点（1，0）．
因此所求的点T如果存在，只能是（1，0）．
事实上，点T（1，0）就是所求的点．证明如下：
当直线l垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T（1，0）．
若直线l不垂直于x轴，可设直线l：y=k（x+）．
由即（k2+2）x2+k2x+k2﹣2=0．
记点A（x1，y1），B（x2，y2），则
又因为=（x1﹣1，y1），=（x2﹣1，y2），?=（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=（x1﹣1）（x2﹣1）+k2（x1+）（x2+）
=（k2+1）x1x2+（k2﹣1）（x1+x2）+k2+1
=（k2+1）+（k2﹣1）++1=0，
所以TA⊥TB，即以AB为直径的圆恒过点T（1，0）．
所以在坐标平面上存在一个定点T（1，0）满足条件
19. （1）S n为等差数列{a n}的前n项和，S2=S6，a4=1，求a5．
（2）在等比数列{a n}中，若a4﹣a2=24，a2+a3=6，求首项a1和公比q．
参考答案：
【考点】等比数列的通项公式；等差数列的前n项和．
【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，由已知可得，解之即可；（2）由
已知可得，解之可得．
【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，
由已知可得，
解之可得，故a5=1+（﹣2）=﹣1；
（2）由已知可得，
解之可得
【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式，属基础题．
20. 求由曲线y＝，y＝2－x，y＝－x围成图形的面积．（12分）参考答案：略
21. 证明：若则
参考答案：
证明：若,则
所以，原命题的逆否命题是真命题，从而原命题也是真命题。

略
22. 已知矩形的两条对角线相交于点,边所在直线的方程为：，点在边所在直线上.
（1）求矩形外接圆的方程；
（2）求矩形外接圆中，过点的最短弦所在的直线方程.
参考答案：
（1）设点坐标为且，又在上，
，，即点的坐标为。

又点是矩形两条对角线的交点点即为矩形外接圆的圆心，其半径圆方程为
（2）当时，弦BC最短，，，所以直线EF的方程为。