云南省曲靖市会泽县火红乡中学高三数学文联考试题含解析

云南省曲靖市会泽县火红乡中学高三数学文联考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）
A．若，则
B．若，且，则
C．若，则
D．若，则
参考答案：
C
2. 已知f(x)在R上是奇函数，f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0，2)时，f(x)＝2x2，则f(7)＝( )．A．－2 B．2 C．－98 D．98
参考答案：
A
3. 设集合U={0，1，2，3，4，5}，A={1，2}，B={x∈Z|x2﹣5x+4＜0}，则?U（A∪B）=（）A．{0，1，2，3} B．{5} C．{1，2，4} D．{0，4，5}
参考答案：
D
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】求出集合B中不等式的解集，找出解集中的整数解确定出B，求出A与B的并集，找出全集中不属于并集的元素，即可求出所求．
【解答】解：集合B中的不等式x2﹣5x+4＜0，
变形得：（x﹣1）（x﹣4）＜0，
解得：1＜x＜4，
∴B={2，3}，
∵A={1，2}，
∴A∪B={1，2，3}，∵集合U={0，1，2，3，4，5}，
∴?∪（A∪B）={0，4，5}．
故选D．
4. 在等差数列{a n}中，S n为其前n项和.若，且，则等于
（）
A. －2021
B. －2020
C. －2019
D. －2018
参考答案：
D
【分析】
先证明数列是以为首项以为公差的等差数列，再求出的值，再利用等差数列的通项即可求出的值.
【详解】∵是等差数列，为其前项和，设公差为，
∴，∴，
所以数列是以为首项以为公差的等差数列，
则，
解得.
又∵，
∴，
∴.
故选：
【点睛】本题主要考查等差数列的通项和前项和的应用，考查等差数列通项的基本量的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
5. 函数的定义域为（）
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
D
6. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若
，，则实数的取值范围为（）
A. B. C. D.
参考答案：
【知识点】函数恒成立问题；函数奇偶性的判断；函数最值的应用．B1 B4
【答案解析】B 解析：当x≥0时，
f（x）=，
由f（x）=x﹣3a2，x＞2a2，得f（x）＞﹣a2；当a2＜x＜2a2时，f（x）=﹣a2；
由f（x）=﹣x，0≤x≤a2，得f（x）≥﹣a2．∴当x＞0时，．
∵函数f（x）为奇函数，∴当x＜0时，．
∵对?x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），∴2a2﹣（﹣4a2）≤1，解得：．
故实数a的取值范围是．故选：B．
【思路点拨】把x≥0时的f（x）改写成分段函数，求出其最小值，由函数的奇偶性可得x＜0时的函数的最大值，由对?x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），可得2a2﹣（﹣4a2）≤1，求解该不等式得答案．
7. 如图是秦九韶算法一个程序框图, 则输出的为（）A．的值
B．的值
C．的值
D．的值
参考答案：
C
8. 已知函数f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0），若?x1∈[﹣1，2]，?x2∈[﹣1，2]，使得f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围是（）
A．B．C．（0，3] D．[3，+∞）
参考答案：
D
【考点】34：函数的值域．
【分析】根据二次函数的图象求出f（x）在[﹣1，2]时的值域为[﹣1，3]，再根据一次g（x）=ax+2（a＞0）为增函数，求出g（x2）∈[2﹣a，2a+2]，由题意得f（x）值域是g（x）值域的子集，从而得到实数a的取值范围．
【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣2x的图象是开口向上的抛物线，且关于直线x=1对称
∴x1∈[﹣1，2]时，f（x）的最小值为f（1）=﹣1，最大值为f（﹣1）=3，
可得f（x1）值域为[﹣1，3]
又∵g（x）=ax+2（a＞0），x2∈[﹣1，2]，
∴g（x）为单调增函数，g（x2）值域为[g（﹣1），g（2）]
即g（x2）∈[2﹣a，2a+2]
∵?x1∈[﹣1，2]，?x2∈[﹣1，2]，使得f（x1）=g（x2），
∴?a≥3
故选D
9. 气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22 0C”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）：
① 甲地：5个数据的中位数为，众数为；
② 乙地：5个数据的中位数为，总体均值为；
③ 丙地：5个数据中有一个数据是，总体均值为，总体方差为．
则肯定进入夏季的地区有 ( )
A． 0个B． 1个C． 2个
D． 3个
参考答案：
C
甲地肯定进入，因为众数为22，所以22至少出现两次，若有一天低于22 0C，则中位数不可能为24；丙地肯定进入，，若，上式显然不成立．乙地不一定进入，如13，23，27，28，29．
10. 已知函数,定义函数给出下列命题:
①; ②函数是奇函数;③当时,若,,总有
成立,其中所有正确命题的序号是（）
A．②B．①②C．③D．②③
参考答案：
D
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 下列命题中
①A+B=是sinA=cosB成立的充分不必要条件．
②的展开式中的常数项是第4项．
③在数列{a n}中，a1=2，S n是其前n项和且满足S n+1=+2，则数列{a n}为等比数列．④设过函数f（x）=x2﹣x（﹣1≤x≤1）图象上任意一点的切线的斜率为K，则K的取值范围是（﹣3，1）
把你认为正确的命题的序号填在横线上．
参考答案：
①③
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】对4个命题分别进行判断，即可得出结论．
【解答】解：①A+B=，可得A=﹣B，∴sinA=cosB，反之sinA=cosB，A+B=+2kπ（k∈Z），
∴A+B=是sinA=cosB成立的充分不必要条件，正确．
②的展开式，通项为，令r﹣3=0，可得r=2，常数项是第3项，不正确．
③在数列{a n}中，a1=2，S n是其前n项和且满足S n+1=+2，可得S n=S n﹣1+2，两式相减可得
a n+1=a n，故数列{a n}为等比数列，正确；
④f（x）=x2﹣x（﹣1≤x≤1），则f′（x）=2x﹣1∈[﹣3，1]，K的取值范围是[﹣3，1]，不正确．故答案为①③．
12.
已知，使不等式成立的的取值范围是__________.
参考答案：
答案:
13. 已知函数f（x）=是（﹣∞，+∞）上的增函数，那么实数a的取值范围
是．
参考答案：
（1，3]
【考点】指数函数单调性的应用．
【分析】由题意可得 a ＞1且 a 0≥3a﹣8，由此求得实数a 的取值范围．
【解答】解：∵函数是（﹣∞，+∞）上的增函数，∴a＞1且 a 0
≥3a ﹣
8，
解得 1＜a≤3，故实数a 的取值范围是（1，3]， 故答案为 （1，3]． 14. 计算复数
＝
▲ （为虚数单位）．
参考答案：
15. 已知集合
__________
参考答案：
｛3，5，13｝
16. △的三个内交为，，，若，则的最大值为 ． 参考答案：
试题分析：,,
展开化简得,所以,则
,当
,所求的
有最大值.
考点：1.三角恒等变换；2.二次函数的最值.
17. 在直角坐标系
中，已知任意角以坐标原点
为顶点，以轴的非负半轴为始边，若其终边
经过点，且
，定义：
，称“
”为“的正余弦函
数”，若
，则_________ .
参考答案：
略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知等差数列{a n }满足a 2=2，点（a 4，a 6）在直线x+2y ﹣16=0上． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设b n =a n +2
，求数列{b n }的前n 项和S n ．
参考答案：
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（I ）设等差数列{a n }的公差为d ，由点（a 4，a 6）在直线x+2y ﹣16=0上，可得a 4+2a 6﹣16=0，又a 2=2，即∴3a 1+13d ﹣16=0，a 1+d=2，解得a 1，d ，即可得出．
（II ）b n =a n +2=n+2n
．利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出．
【解答】解：（I ）设等差数列{a n }的公差为d ，
∵点（a 4，a 6）在直线x+2y ﹣16=0上，∴a 4+2a 6﹣16=0，又a 2=2， ∴3a 1+13d ﹣16=0，a 1+d=2，解得a 1=d=1，
∴a n =1+（n ﹣1）=n ． （II ）b n =a n +2
=n+2n ．
∴数列{b n }的前n 项和S n =+=+2n+1﹣2．
19. （本小题满分12分）
已知函数
是定义在
上的奇函数，且
.
（1）求函数的解析式；（2）证明
在
上是增函数；
（3）解不等式
.
参考答案：
【知识点】奇偶性与单调性的综合．B3B4
【答案解析】（1）；（2）见解析；（3）。

解析：（1）是（-1，1）上的奇函数
（1分）
又（2分）
（4分）
（2）证明：任设x1、x2（-1，1），且
则
（6分），且又
即（7分）
在（-1，1）上是增函数（8分）
（3）是奇函数不等式可化为
即（9分）
又在（-1，1）上是增函数
∴有解之得，（11分）
∴不等式的解集为．（12分）
【思路点拨】（1）根据函数的奇偶性和条件，建立方程即可求函数f（x）的解析式；（2）根据函数单调性的定义即可证明在上是增函数；（3）根据函数的奇偶性将不等式
进行转化，利用函数的单调性即可得到结论．
20. (本小题满分12分)已知函数.
(1)若f(x)=2，求x的值；
(2)若2t f(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围．
参考答案：
解：(1)当x<0时，f(x)＝0；
当x≥0时，f(x)＝2x－.
由条件可知2x－＝2，即22x－2·2x－1＝0，
解得2x＝1±.
∵2x>0，∴x＝log2(1＋)．
(2)当t∈[1,2]时，2t＋m≥0，
即m(22t－1)≥－(24t－1)．
∵22t－1>0，∴m≥－(22t＋1)．
∵t∈[1,2]，∴－(1＋22t)∈[－17，－5]，
故m的取值范围是[－5，＋∞)
略
21. 设{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，{b n}是首项为1，公比为q的等比数列．记c n=a n+b n，n=1，2，3，…．
（1）若{c n}是等差数列，求q的值；
（2）求数列{c n}的前n项和S n．
参考答案：
【考点】等差数列与等比数列的综合．
【分析】（1）分别运用等差数列和等比数列的通项公式，可得a n，b n ，再由等差数列中项的性质，
解方程可得q的值；
（2）求出c n=a n+b n=2n﹣1+q n﹣1．（n=1，2，…），运用数列的求和方法：分组求和，讨论公比q为1与不为1，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．
【解答】解：（1）{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，
所以a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，
{b n}是首项为1，公比为q的等比数列，
所以b n=q n﹣1．
所以c n=a n+b n=2n﹣1+q n﹣1．
因为{c n}是等差数列，
所以2c2=c1+c3，
即2（3+q）=2+5+q2，解得q=1．
经检验，q=1时，c n=2n，所以{c n}是等差数列．
（2）由（1）知c n=a n+b n=2n﹣1+q n﹣1．（n=1，2，…）
所以数列{c n}的前n项和S n=（1+3+5+…+2n﹣1）+（1+q+q2+…q n﹣1），
当q=1时，S n=n（1+2n﹣1）+n=n2+n；
当q≠1时，S n=n2+．
22. （12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB．（Ⅰ）求证：CE⊥平面PAD；
（Ⅱ）若PA=AB=1，AD=3，CD=，∠CDA=45°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．
（Ⅲ）在满足（Ⅱ）的条件下求二面角B﹣PC﹣D的余弦值的绝对值．
参考答案：
【考点】：用空间向量求平面间的夹角；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．【专题】：综合题；空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．
【分析】：（Ⅰ）证明PA⊥CE，CE⊥AD，利用线面垂直的判定，可得CE⊥平面PAD；
（Ⅱ）确定四边形ABCE为矩形，利用S ABCD=S ABCE+S△ECD，PA⊥平面ABCD，PA=1，可得四棱锥P﹣ABCD的体积；
（Ⅲ）建立以A为原点，AB，AD，AP为x，y，z轴的空间坐标系，求出平面PBC的法向量=（1，0，1），平面PCD的法向量为=（1，1，3），利用向量的夹角公式，可求二面角的余弦值的绝对值．
（Ⅰ）证明：因为PA⊥平面ABCD，CE?平面ABCD，所以PA⊥CE，
因为AB⊥AD，CE∥AB，所以CE⊥AD，
又PA∩AD=A，所以CE⊥平面PAD…．（3分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知CE⊥AD，在直角三角形ECD中，DE=CD?cos45°=1，CE=CD?sin45°=1．
又因为AB=CE=1，AB∥CE，所以四边形ABCE为矩形，
所以S ABCD=S ABCE+S△ECD==，
又PA⊥平面ABCD，PA=1，所以四棱锥P﹣ABCD的体积等于…（7分）（Ⅲ）解：建立以A为原点，AB，AD，AP为x，y，z轴的空间坐标系，
则A（0，0，0），P（0，0，1），C（1，2，0），D（0，3，0）
∴，
设平面PBC的法向量为=（x，y，1），则，∴x=1，y=0，∴=（1，0，1），
设平面PCD的法向量为=（1，y′，z′），则，∴y′=1，z′=3，∴=（1，1，3），
所以二面角的余弦值的绝对值是…．（12分）
【点评】：本题考查线面垂直，考查面面角，考查四棱锥的条件，考查向量方法的运用，属于中档题．。