3 4圆周角和圆心角的关系1

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、 两条弦、
两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其 余各组量都分别相等
用心想一想，马到功成
在射门游戏中，球员射中球门的难易与他 所处的位置B对球门AC的张角（∠ABC）有 关。
用心想一想，马到功成
如图，当他站在B，D，E的位置射球时,对球门AC的 张角的大小相等吗？ 你能观察到这三个角有什么共同特征吗?
O.
X
A
B
4、 如图，在直径为AB的半圆中，O为圆心， C、D为半圆上的两点，∠COD=500，则 ∠CAD=__2_5__°____
总结
圆周角定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
规律:解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确 找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆 周角定理
九年级数学(下)第三章圆
3.4 圆周角和圆心角 的关系（1）
——圆周角定理
序言
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三、探究
A
O B
⌒ ⌒
有没有圆周角？ 有没有圆心角？ 它们有什么共同的特点？
C 它们都对着同一条弧
下列图形中，哪些图形中的圆心角∠BOC和 圆周角∠A是同对一条弧。
A
A
O
O
D
B
C
是
B
不是
C
A
A
A
O
O
O
B是 C
B 不是C D
B 是C
圆周角和圆心角的关系
如图,观察弧AC所对的圆周角∠ABC与圆心角∠AOC, 它们的大小有什么关系?
1、掌握圆周角定理及其第一个推论的 内容，了解其证明过程。
2、能熟练运用圆周角定理及其推论解 决问题。
一.复习 图中的∠AOB叫什么角？
∠AOB叫圆心角
O
1.圆心角的定义?
答:顶点在圆心的角叫圆心角.
A
B
2圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，
所对的弦相等，所对的弦心距相等。DCOD）
B
2
即ABC 1 AOC 2
一条弧所对的圆周角等于它所
对的圆心角的一半.
圆周角和圆心角的关系
3.当圆心在圆周角的外部时,圆周角∠ABC与 圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
解：过点B作直径BD.由1可得:
A C
∠ABD ∠COD, ∠ABD
=
1 ∠AOD,∠CBD
A C
A C
A C
●O
●O
●O
B
B
圆心O在ABC 的一条边上
B
圆心O在ABC
的内部
圆心O在ABC 的外部
教师提示:注意圆心与圆周角的位置关系.
圆周角和圆心角的关系
1.首先考虑一种特殊情况：（圆心在圆周角的边上） 研究圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系？
A
解：∵∠AOC是△ABO的外角
C
∴∠AOC=∠B+∠A.
1.判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。
不是
图１
不是
图２
是
图３
不是
不是
图４
图５
圆周角特征：
① ②
角的顶点在圆上. 角的两边都与圆相交
2.判断下列命题是否正确？
⑴圆周角的顶点一定在圆上。（√ ）
⑵顶点在圆上的角是圆周角。（×）
⑶圆周角的两边都和圆相交。（√ ）
⑷两边都和圆相交的角是圆周角。（×）
2
=
1 2
-∠CBD =
1 2
(∠AOD-∠COD),
B
●O
∴
∠ABC
=1
2
∠AOC
一条弧所对的圆周角等于它所
对的圆心角的一半.
圆周角和圆心角的关系
A C
●O
B
A
A
C
C
●O
B
●O
B
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的 圆心角的一半.
即：∠ABC = 1 ∠AOC
2
D
B E
●O
A
C
1.在圆O中，你能画出弧AC所对的圆心角吗？能画
谢谢观看！
为解决这个问题我们先来研究一种角。 观察图中的∠ABC，顶点在什么位置？角的两边有什么特点？
A
B C
当角的顶点发生变化时，这个角的位置有哪几种情况?
A.
A.
A
O.
O.
O.
B
B C
C
B
C
二.新授
图中的∠APB叫什么角？ 圆周角
圆周角：顶点在圆上，并且两边与圆相交 的角 叫做圆周角.
P
O
A
B
练习：
几个？试画出。 答：一个
2.在圆O中，你能画出弧AC所对的圆周角吗？能 画几个？试画出。 答：无数个 3.这些圆周角有什么关系？为什么？答：相等
想一想
当球员在B,D,E处射门时，所形成的三个张角 ∠ABC,∠ADC,∠AEC有什么关系？
推论：同弧或等弧所对的圆周角相等
四、巩固训练：
1.如图,在⊙O中,∠BOC=50°,求∠A的大
∵OA=OB，
●O
∴∠A=∠B.
B
∴∠AOC=∠B+∠A = 2∠B
即 ∠ABC = 1 ∠AOC 一条弧所对的圆周角等于它所
2
对的圆心角的一半.
圆周角和圆心角的关系
2.当圆心在圆周角的内部时,圆周角∠ABC与
圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
AD
解：过点B作直径BD.
C
由第一种情况可得:
●O
ABD 1 AOD,CBD 1 COD,
小.
B
C
解: ∠A= 1 ∠BOC=25°.
2
●O A
2.练习:在下列各图中， ∠α１＝ 150°，∠α２＝ 60°，
C
７５º α１
A
O
B A
C α２ O １２０º
B
∠α３＝ 120°，∠α４＝ 140° .
C
D
３０º O
α３
A
B
E
O
α４
A
１１０º
B
C
3.求圆中角X的度数
.O
C
70° x
A
B
D 120°