北京市朝阳区2019届高三第二次(5月)综合练习(二模)数学(文)试题Word版
2019届北京市朝阳区高三数学(文科)二模试题和答案详细解析及备考策略
“疫情+高考”考生家长该怎么做？【“疫情+高考”双压之下考生家长该怎么做？来听郑外校长赠送的七个“锦囊”】耐心倾听孩子的倾诉；尊重孩子的想法；做孩子需要的事情，而不是自己需要的事情......受疫情影响，今年参加高考的学子即将迎来人生的一场大考。
作为学生家长该怎么做？4月1日，郑州外国语学校校长王丽娟通过网络说了一段走心的话，给广大学生家长赠送了七个“锦囊”，引导家长正确帮助孩子度过关键时期。
◆锦囊一希望家长尝试去理解学生现在的焦虑，现阶段学生有焦虑、担忧和压力，这是很正常的。
因为大家知道，毕竟最后走到考场的是学生，我们家长要尽量尝试去理解为什么孩子会有现在的想法和焦虑，要敞开心扉多听孩子倾诉，多走进孩子的内心。
家长要做孩子的倾听者，这样会有助于孩子释放压力，有助于学习状态的调整。
家长朋友们，要知道，其实现在孩子们更多的时候是需要倾诉，做好倾听者，什么也不用说，可能孩子倾诉完之后，烦恼就解除了很多。
◆锦囊二希望家长把孩子当成大人，高三的学生18岁了，很多孩子对自己的生涯规划、职业发展是有一定主见的，那么在这样的情况下，孩子们更渴望的是被尊重、被认同，所以希望家长们能够多听孩子的想法，能够尊重孩子的意见，不要把自己的意见和想法强加给孩子，要明白孩子的想法都是有原因的，并非无理取闹。
◆锦囊三做孩子需要的事情，而不是自己需要的事情，有时候家长认为的“我都是为你好”不见得符合孩子的实际，也就是说孩子不见得领情，也许有时候，我们认为的“我都是为你好”只是我们的一厢情愿而已。
◆锦囊四学生在家期间，家长做好监督、约束和陪伴，这是家长要尽到的责任，但是我们又希望家长不要过多地打扰孩子的学习和生活，相信孩子是在按照自己的计划去学习的，让孩子独立自主地去学习。
因为我们知道，高三的学习、高三的解题需要深度的思考，没有规律的叨扰有时候会影响孩子们的学习状态，耽误时间。
有时候，孩子碰到难题，冥思苦想，刚有了思路，正在奋笔疾书，这时候家长推门而入，那么可以想象孩子会是一种什么样的心情。
朝阳区高考二模数学理试题目及答案word精品文档9页
北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学测试题（理工类）2019.5（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）注意事项：1.答第一部分前，考生必将自己的姓名、考试科目涂写在答题卡上。
考试结束时，将试题卷和答题卡一并交回。
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知全集U=R，集合A={x︱0<2x<1},B={x︱log3x>0},则A∩(C U B)=(A){x︱x>1} (B){x︱x>0} (C){x︱0<x<1} (D){x︱x<0}（2）设x,y∈R那么“x>y>0”是“xy>1”的（A）必要不充分条件（B）充分不必要条件（C）充分必要条件（D）既不充分又不必要条件（3）三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形，其正视图（如图所示）的面积为8,则侧视图的面积为（A）8 （B）4 （C）43（D）3（4）已知随机变量X服从正态分布N(a,4),且P(X>1)=0.5,则实数a的值为(A)1 (B)3(C)2 (D)4（5）若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”。
现从1,2,3, 4,5, 6 这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有（A）120个（B）80个（C）40个（D）20个（6）点P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到点A（0,–1）的距离与到直线x=–1的距离和最小值是（A）5（B）3（C）2 （D）2（7）已知棱长为1的正方体ABCD–A1 B1 C1 D1中，点E,F分别是棱BB1 ，DD1上的动点，且BE=D1 F=λ（0＜λ≤12）。
2019年最新北京市高考数学二模试卷(文科)及答案解析
北京市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．若集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x||x|≤1}，则A∩B=（）A．{﹣1，0，1} B．{0，1} C．{x|﹣1≤x≤1} D．{x|0≤x≤1}2．下列函数中，在（0，+∞）上为减函数的是（）A．y=B．y= C．y=log0.5x D．y=e x3．过圆C：x2+（y﹣1）2=4的圆心，且与直线l：3x+2y+1=0垂直的直线方程是（）A．2x﹣3y+3=0 B．2x﹣3y﹣3=0 C．2x+3y+3=0 D．2x+3y﹣3=04．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．3 B．4 C．5 D．65．如图，在正方形ABCD中，AD=4，E为DC上一点，且=3，则•（）A．20 B．16 C．15 D．126．设a∈R，“cos2α=0”是“sinα=cosα”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=（）x﹣1．则不等式f（x）﹣x2≥0的解集是（）A．[0，1] B．[﹣1，1] C．[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）8．小王的手机使用的是每月300M流量套餐，如图记录了小王在4月1日至4月10日这十天的流量使用情况，下列叙述中正确的是（）A．1日﹣10日这10天的平均流量小于9.0M/日B．11日﹣30日这20天，如果每天的平均流量不超过11M，这个月总流量就不会超过套餐流量C．从1日﹣10日这10天的流量中任选连续3天的流量，则3日，4日，5日这三天的流量的方差最大D．从1日﹣10日这10天中的流量中任选连续3天的流量，则8日，9日，10日这三天的流量的方差最小二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．复数的虚部为______．10．在△ABC中，已知AB=2，BC=5，cosB=，则△ABC的面积是______．11．若x，y满足，则z=2x+y的最大值为______．12．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣2，则抛物线C的方程为______；若某双曲线的一个焦点与抛物线C的焦点重合，且渐近线方程为y=±x，则此双曲线的方程为______．13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是______．14．为了促进公民通过“走步”健身，中国平安公司推出的“平安好医生”软件，最近开展了“步步夺金”活动．活动规则：①使用平安好医生APP计步器，每天走路前1000步奖励0.3元红包，之后每2000步奖励0.1元红包，每天最高奖励不超过3元红包．②活动期间，连续3天领钱成功，从第4天起走路奖金翻1倍（乘以2），每天最高奖励不超过6元红包．某人连续使用此软件五天，并且每天领钱成功．这五天他走的步数统计如下：三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出函数f（x）的最小正周期T及ω、φ的值；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣，]上的最大值与最小值．16．在等比数列{a n}中，a1=1，a4=8（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若a3，a5分别为等差数列{b n}的第6项和第8项，求|b1|+|b2|+|b3|+…+|b n|（n ∈N*）．17．2015年秋季开始，本市初一学生开始进行开放性科学实践活动，学生可以在全市范围内进行自主选课类型活动，选课数目、选课课程不限．为了了解学生的选课情况，某区有关部门随机抽取本区600名初一学生，统计了他们对于五类课程的选课情况，用“+”表示选，“﹣”表示不选．结果如表所示：（2）估计学生在五项课程中，选了三项课程的概率；（3）如果这个区的某学生已经选了课程二，那么其余四项课程中他选择哪一项的可能性最大？18．如图，P是菱形ABCD所在平面外一点，∠BAD=60°，△PCD是等边三角形，AB=2，PA=2，M是PC的中点，点G为线段DM上一点（端点除外），平面APG与BD交于点H．（Ⅰ）求证：PA∥GH；（Ⅱ）求证：平面PAC⊥平面BDM；（Ⅲ）求几何体M﹣BDC的体积．19．已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1（a＞0），g（x）=lnx（Ⅰ）求函数f（x）的极值；（Ⅱ）用max{m，n}表示m，n中的最大值．设函数h（x）=max{f（x），g（x）}（x＞0），讨论h（x）零点的个数．20．已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）的焦距为2，点D（0，）在椭圆M上，过原点O作直线交椭圆M于A、B两点，且点A不是椭圆M的顶点，过点A作x轴的垂线，垂足为H，点C是线段AH的中点，直线BC交椭圆M于点P，连接AP．（Ⅰ）求椭圆M的方程及离心率；（Ⅱ）求证：AB⊥AP；（Ⅲ）设△ABC的面积与△APC的面积之比为q，求q的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．若集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x||x|≤1}，则A∩B=（）A．{﹣1，0，1} B．{0，1} C．{x|﹣1≤x≤1} D．{x|0≤x≤1}【考点】交集及其运算．【分析】根据集合交集的概念求解即可．【解答】解：∵B={x||x|≤1}={x|﹣1≤x≤1}，∵A={﹣2，﹣1，0，1，2}，∴A∩B={﹣1，0，1}，故选A．2．下列函数中，在（0，+∞）上为减函数的是（）A．y=B．y=C．y=log0.5x D．y=e x【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】根据基本初等函数的性质判断选项中函数的单调性即可．【解答】解：对于A，y=是定义域[0，+∞）上的增函数，不满足题意；对于B，y=在（﹣∞，1）和（1，+∞）上是单调减函数，不满足题意；对于C，y=log0.5x在（0，+∞）是单调减函数，满足题意；对于D，y=e x在（﹣∞，+∞）是单调增函数，不满足题意．故选：C．3．过圆C：x2+（y﹣1）2=4的圆心，且与直线l：3x+2y+1=0垂直的直线方程是（）A．2x﹣3y+3=0 B．2x﹣3y﹣3=0 C．2x+3y+3=0 D．2x+3y﹣3=0【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；圆的标准方程．【分析】算出直线3x+2y+1=0的斜率k=﹣，结合题意可得所求垂线的斜率为k'=．求出已知圆的圆心C的坐标，利用直线方程的点斜式列式，化简即可得到经过已知圆心与直线3x+2y+1=0垂直的方程．【解答】解：圆x2+（y﹣1）2=4，∴圆心的坐标为C（0，1），∵直线3x+2y+1=0的斜率k=﹣，∴与直线3x+2y+1=0垂直的直线的斜率为k'=．因此，经过圆心C且与直线3x+2y+1=0垂直的直线方程是y﹣1=x，整理得2x﹣3y+3=0．故选：A．4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】程序框图．【分析】首先分析程序框图，循环体为“当型“循环结构，按照循环结构进行运算，求出满足题意时的S．【解答】解：模拟执行程序，可得S=0，i=1满足条件i＜4，执行循环体，S=2，i=2满足条件i＜4，执行循环体，S=6，i=3满足条件i＜4，执行循环体，S=14，i=4不满足条件i＜4，S=4，输出S的值为4．故选：B．5．如图，在正方形ABCD中，AD=4，E为DC上一点，且=3，则•（）A．20 B．16 C．15 D．12【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意把用表示，代入•，展开后由向量的数量积运算得答案．【解答】解：∵ABCD为边长是4正方形，∴，∵=3，∴，∴，则•==．故选：D．6．设a∈R，“cos2α=0”是“sinα=cosα”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由cos2α=cos2α﹣sin2α，即可判断出．【解答】解：由cos2α=cos2α﹣sin2α=（cosα﹣sinα）（cosα+sinα）=0，即cosα﹣sinα=0或c osα+sinα=0，即cosα=sinα或cosα=﹣sinα，∴“cos2α=0”是“sinα=cosα”的必要不充分条件，故选：B．7．已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=（）x﹣1．则不等式f（x）﹣x2≥0的解集是（）A．[0，1] B．[﹣1，1] C．[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）【考点】函数奇偶性的性质．【分析】设g（x）=f（x）﹣x2，由题意可得g（x）是定义在R上的偶函数，求出x≥0，不等式f（x）﹣x2≥0等价于（）x﹣1≥x2，可得0≤x≤1，即可解不等式．【解答】解：设g（x）=f（x）﹣x2，∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴g（x）是定义在R上的偶函数，∴x≥0，不等式f（x）﹣x2≥0等价于（）x﹣1≥x2，∴0≤x≤1∴不等式f（x）﹣x2≥0的解集为[﹣1，1]．故选：B．8．小王的手机使用的是每月300M流量套餐，如图记录了小王在4月1日至4月10日这十天的流量使用情况，下列叙述中正确的是（）A．1日﹣10日这10天的平均流量小于9.0M/日B．11日﹣30日这20天，如果每天的平均流量不超过11M，这个月总流量就不会超过套餐流量C．从1日﹣10日这10天的流量中任选连续3天的流量，则3日，4日，5日这三天的流量的方差最大D．从1日﹣10日这10天中的流量中任选连续3天的流量，则8日，9日，10日这三天的流量的方差最小【考点】频率分布折线图、密度曲线．【分析】求出平均数判断A，求出估计的总流量判断B，通过图象判断C、D．【解答】解：对应A：（6.2+12.4+14+11.6+4.8+6.2+5.5+9.5+10+11.2）=9.14，故A错误；对于B：11×20+91.4=311.4＞300，这个月总流量就超过套餐流量，故B错误；对于C、D，结合图象C正确，D错误；故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．复数的虚部为 1 ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】对所给的复数分子和分母同乘以1+i，再由i 的幂运算性质进行化简即可．【解答】解：∵==i，∴它的虚部是1，故答案为：1．10．在△ABC中，已知AB=2，BC=5，cosB=，则△ABC的面积是3．【考点】正弦定理．【分析】根据同角的三角公式求得sinB，再由三角形面积公式可求得结果．【解答】解：cosB=，sinB==，△ABC的面积S=AB•BC•sinB=×2×5×=3．故答案为：3．11．若x，y满足，则z=2x+y的最大值为7 ．【考点】简单线性规划．【分析】画出平面区域，利用目标函数的几何意义求z的最大值．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图：当直线y=﹣2x+z经过C时z最大，并且C（2，3），所以z的最大值为2×2+3=7；故答案为：712．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣2，则抛物线C的方程为y2=8x ；若某双曲线的一个焦点与抛物线C的焦点重合，且渐近线方程为y=±x，则此双曲线的方程为=1 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣2，求出p，可得抛物线的方程，确定抛物线的性质，利用双曲线的性质，即可得出结论．【解答】解：∵抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣2，∴p=4，∴抛物线C的方程为y2=8x；抛物线的焦点坐标为（2，0），∴c=2，∵渐近线方程为y=±x，∴=，∴a=1，b=，∴双曲线的方程为=1．故答案为：y2=8x；=1．13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是放倒一个直三棱柱，由三视图求出几三棱柱底面边长、高，由三棱柱的结构特征和面积公式求出几何体的表面积．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个直三棱柱、底面在左右，由侧视图知，底面是一个等腰直角三角形，两条直角边分别是2，则斜边是2，由正视图知，三棱柱的高是3，∴该几何体的表面积S==，故答案为：．14．为了促进公民通过“走步”健身，中国平安公司推出的“平安好医生”软件，最近开展了“步步夺金”活动．活动规则：①使用平安好医生APP计步器，每天走路前1000步奖励0.3元红包，之后每2000步奖励0.1元红包，每天最高奖励不超过3元红包．②活动期间，连续3天领钱成功，从第4天起走路奖金翻1倍（乘以2），每天最高奖励不超过6元红包．某人连续使用此软件五天，并且每天领钱成功．这五天他走的步数统计如下：为 1.0 元，为8.0 元．【考点】等比数列的前n项和．【分析】根据题意得到第1、2、3天的奖励红包都是0.3+×0.1；第4、5天的奖励红包都是2（0.3+×0.1）．【解答】解：因为每2000步奖励0.1元红包，所以依（x﹣1000）是2000的整数倍，依题意得：第1天红包奖励：0.3+×0.1=0.9（元）．第2天红包奖励：0.3+×0.1=1.0（元）．第3天红包奖励：0.3+×0.1=1.1（元）．第4天红包奖励：2×（0.3+×0.1）=2.4（元）．第5天红包奖励：2×（0.3+×0.1）=2.6（元）．所以这5天的红包奖励为：0.9+1.0+1.1+2.4+2.6=8.0（元）．故答案是：1.1；8.0．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出函数f（x）的最小正周期T及ω、φ的值；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣，]上的最大值与最小值．【考点】正弦函数的图象．【分析】（I）由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．（II）由以上可得，f（x）=sin（2x+），再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数的最值．【解答】解：（I）根据函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象，可得=﹣，求得ω=2，∴最小正周期T==π．再根据五点法作图可得2•+φ=π，求得φ=．（II）由以上可得，f（x）=sin（2x+），在区间[﹣，]上，2x+∈[﹣，]，sin（2x+）∈[﹣，1]，当2x+=﹣时，即x=﹣，函数f（x）取得最小值为﹣．当2x+=时，即x=，函数f（x）取得最大值为1．16．在等比数列{a n}中，a1=1，a4=8（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若a3，a5分别为等差数列{b n}的第6项和第8项，求|b1|+|b2|+|b3|+…+|b n|（n ∈N*）．【考点】等比数列的前n项和．【分析】（Ⅰ）设等比数列的公比为q．由a1=1，a4=8，求出q=2，问题得以解决；（II）先等差数列{b n}的通项公式b n=b1+（n﹣1）d=﹣26+6（n﹣1）=6n﹣32，可得当n≤5时b n≤0且当n≥6时b n≥0．因此分两种情况讨论，并利用等差数列的求和公式加以计算，可得|b1|+|b2|+…+|b n|的表达式．【解答】解：（I）设等比数列的公比为q．由a1=1，a4=8所以a4=a1q3=8所以q=2所以等比数列{a n}的通项公式a n=2n﹣1，n∈N*．（II）因为a3，a5分别为等差数列{b n}的第6项和第8项，所以b6=a3=4，b8=a5=16，设等差数列{b n}的公差为d解得，b1=﹣26，d=6，所以等差数列{b n}的通项公式b n=b1+（n﹣1）d=﹣26+6（n﹣1）=6n﹣32因为当6n﹣32≤0时，n≤5．（1）当n≤5时，可得|b1|+|b2|+|b3|+…+|b n|=﹣（b1+b2+…+b n）=﹣3n2+29，（2）当n≥6时，|b1|+|b2|+|b3|+…+|b n|=﹣（b1+b2+…+b5）+b6+b7+…+b n=70+（3n2﹣29n+70）=3n2﹣29n+140；综上所述：|b1|+|b2|+|b3|+…+|b n|=17．2015年秋季开始，本市初一学生开始进行开放性科学实践活动，学生可以在全市范围内进行自主选课类型活动，选课数目、选课课程不限．为了了解学生的选课情况，某区有关部门随机抽取本区600名初一学生，统计了他们对于五类课程的选课情况，用“+”表示选，“﹣”表示不选．结果如表所示：（2）估计学生在五项课程中，选了三项课程的概率；（3）如果这个区的某学生已经选了课程二，那么其余四项课程中他选择哪一项的可能性最大？【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）根据图表求得既选课程三，又选了课程四的人数，与总人数的比值；（2）观察图表查出选3项课程的总人数，与600的比值；（3）分别求得选课程一、三和四的概率，进行比较，选出最大的概率．【解答】解：（1）学生既选了课程三，又选了课程四的概率为：=，（2）学生在五项课程中，选了三项课程的概率为：=，（3）某学生已经选了课程二，再选课程一的概率为：=；再选课程三的概率为：=；再选课程四的概率为：=；所以，某学生已经选了课程二，那么该学生选择课程四的可能性最大．18．如图，P是菱形ABCD所在平面外一点，∠BAD=60°，△PCD是等边三角形，AB=2，PA=2，M是PC的中点，点G为线段DM上一点（端点除外），平面APG与BD交于点H．（Ⅰ）求证：PA∥GH；（Ⅱ）求证：平面PAC⊥平面BDM；（Ⅲ）求几何体M﹣BDC的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（I）连接MO，则MO∥PA，于是PA∥平面BDM，根据面面平行的性质得出PA∥GH；（II）计算DO，MO，DM，根据勾股定理的逆定理得出DO⊥MO，又DO⊥AC，得出DO⊥平面PAC，于是平面PAC⊥平面BDM；（III）由勾股定理的逆定理得出PA⊥PC，于是MO⊥PC，利用平面PAC⊥平面BDM的性质得出CM⊥平面BDM，于是V M﹣BDC=V C﹣BDM=【解答】（I）证明：连接MO．∵四边形ABCD是菱形，∴O为AC的中点，∵点M为PC的中点，∴MO∥PA．又MO⊂平面BDM，PA⊄平面BDM，∴PA∥平面BDM．又∵平面APG∩平面平面BDM=GH，PA⊂平面APG，∴PA∥GH．（II）证明：∵△PCD是边长为2的等边三角形，M是PC的中点．∴DM=．∵四边形ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°，∴△ABD是边长为2的等边三角形，∴DO=BD=1，又MO==，∴DO2+MO2=DM2，∴BD⊥MO．∵菱形ABCD中，BD⊥AC，又MO⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，MO∩AC=O，∴BD⊥平面PAC．又BD⊂平面BDM，∴平面PAC⊥平面BDM．（III）解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，∴AC=2AO=2．在△PAC中，∵PA=2，AC=2，PC=2，∴PA2+PC2=AC2，∴PA⊥PC，∵MO∥PA，∴PC⊥MO，又平面PAC⊥平面BDM，平面PAC∩平面BDM=MO，PC⊂平面PAC，∴PC⊥平面BDM．∴V M﹣BDC=V C﹣BDM====．19．已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1（a＞0），g（x）=lnx（Ⅰ）求函数f（x）的极值；（Ⅱ）用max{m，n}表示m，n中的最大值．设函数h（x）=max{f（x），g（x）}（x＞0），讨论h（x）零点的个数．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】（I ）令f′（x ）=0求出f （x ）的极值点，得出f （x ）的单调性与单调区间，从而得出f （x ）的极值；（II ）对x 和a 的范围进行讨论得出f （x ），g （x ）在（0，+∞）上的单调性，利用单调性及最值判断f （x ），g （x ）的零点个数，从而得出h （x ）的零点个数． 【解答】解：（ I ）f′（x ）=3ax 2﹣6x=3x （ax ﹣2）． 令f′（x ）=0，得x 1=0，x 2=． ∵a ＞0，x 1＜x 2，f′（x ）及f （x ）符号变化如下， ，） （，∴f （x ）的极大值为f （0）=1，极小值为f （）=﹣+1=﹣+1．（ II ）令g （x ）=lnx=0，得x=1．当0＜x ＜1时，g （x ）＜0；x=1时，g （x ）=0；当x ＞1时，g （x ）＞0． （1）当x ＞1时，g （x ）＞0，g （x ）在（1，+∞）上无零点． 所以h （x ）=max{f （x ），g （x ）}在（1，+∞）上无零点． （2）当x=1时，g （1）=0， 所以1为g （x ）的一个零点． f （1）=a ﹣2，①当a=2时，1是f （x ）的一个零点．所以当a=2时，h （x ）=max{f （x ），g （x ）}有一个零点． ②当0＜a ＜2时，h （x ）=max{f （x ），g （x ）}有一个零点． ③当a ＞2时，h （x ）=max{f （x ），g （x ）}无零点．（3）当0＜x ＜1时，g （x ）＜0，g （x ）在（0，1）上无零点．所以h （x ）=max{f （x ），g （x ）}在（0，1）上的零点个数就是f （x ）在（0，1）上的零点个数．当a ＞0时，由（ I ）可知f （x ）在（0，）上为减函数，在（，+∞）上为增函数，且f （0）=1，f （1）=a ﹣2，f （）=﹣+1=．①当，即0＜a＜2时，f（x）在（0，1）上为减函数，且f（1）=a﹣2＜0，f（0）=1＞0．所以f（x）在（0，1）上有1个零点，即h（x）有1个零点．②当，即a=2时，f（x）在（0，1）上为减函数，且f（1）=a﹣2=0，所以f（x）在（0，1）上无零点，即h（x）无零点．③当，即a＞2时，f（x）在（0，）上为减函数，在（，1）上为增函数，f（）=﹣+1=＞0，所以f（x）在（0，1）上无零点．即h（x）无零点．综上，当0＜a＜2时，h（x）有2个零点，当a=2时，h（x）有1个零点，当a＞2时，h（x）无零点．20．已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）的焦距为2，点D（0，）在椭圆M上，过原点O作直线交椭圆M于A、B两点，且点A不是椭圆M的顶点，过点A作x轴的垂线，垂足为H，点C是线段AH的中点，直线BC交椭圆M于点P，连接AP．（Ⅰ）求椭圆M的方程及离心率；（Ⅱ）求证：AB⊥AP；（Ⅲ）设△ABC的面积与△APC的面积之比为q，求q的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I）由题意知c=1，b=，求得a=2，进而得到椭圆方程和离心率；（II）设A（x0，y0），P（x1，y1），则B（﹣x0，﹣y0），C（x0，），将A，P代入椭圆方程．两式相减，由点B，C，P三点共线，可得直线PB，BC的斜率相等，化简整理求得k AB•k PA=﹣1，即可得证；或求得k PA•k PB=﹣，再由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，即可得证．（III）方法一、设k AB=k，由（II）知k AP=﹣，k BP=，联立直线AP，BP方程解得x1，将k=代入得x1，q===3+（﹣1），运用y0的范围，即可得到所求范围；方法二、设k AB=k，由（II）知k AP=﹣，k BP=，联立直线AP，BP方程解得x1，将=k代入x1，可得q===3+，由k的范围，即可得到所求范围．【解答】解：（I）由题意知c=1，b=，则a2=b2+c2=4，所以椭圆M的方程为+=1，椭圆M的离心率为e==；（II）证明：设A（x0，y0），P（x1，y1），则B（﹣x0，﹣y0），C（x0，），由点A，P在椭圆上，所以+=1①，+=1②点A不是椭圆M的顶点，②﹣①可得=﹣，法一：又k PB=，k BC==，且点B，C，P三点共线，所以=，即=，所以k AB•k PA=•=•==•（﹣）=﹣1．即AB⊥AP．法二：由已知AB，AP的斜率都存在，k PA•k PB=•==﹣，又k PB=k BC=，可得k PA=﹣，则k AB•k PA=•（﹣）=﹣1，即AB⊥AP．（III）法一：设k AB=k，由（II）知k AP=﹣，k BP=，联立直线AP与BP方程，解得x1=，将k=代入得x1==．q=====3+（﹣1），因为y02∈（0，3），所以q∈（3，+∞）．法二：设k AB=k，由（II）知k AP=﹣，k BP=，联立直线AP与BP方程：，解得x1===x0（1+），q====3+，因为k2∈（0，+∞），所以q∈（3，+∞）．。
北京市朝阳区2019届高三数学第二次(5月)综合练习(二模)试题理
18. （本小题满分 13 分）
已知函数 f (x) (2ax 2 4x) ln x ax 2 4x ( a R ,且 a 0 ).
（Ⅰ）求曲线 y f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程;
k ，则 k k 的值为_______；当 变化时，动点 L 一定在__________（填“圆、椭圆、双曲
线、抛物线”之中的一个）上.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题满分 13 分）
已知函数 f (x) 2sin x cos x 2 3 cos2 x 3 . （Ⅰ）求函数 f (x) 的最小正周期； （Ⅱ）当 x [ , ] 时，求证： f (x) 3 .
2k 1 k k 1
否 k≥3
是 输出 s
结束
A. 3 3
B. 3
3
C.
2
4
D.
3
5. 已知等差数列{an} 的首项为 a1 ，公差 d 0 .则“ a1, a3, a9 成等比数列” 是“ a1 d ”的
A . 充分而不必要条件
B . 必要而不充分条件
C . 充要条件
D . 既不充分也不必要条件
1
0
(1, )
f (x) ↘
极小值 ↗
极大值 ↘
此时 f ( 1 ) 3 2 ln(a) 1 ,解得 a 1 1，故不成立.
a aa
a
3 人，用频率估计概率， Y 表示评分不小于 9 分的人数；试求 E( X ) 与 E(Y ) 的值；
北京市朝阳区2019届高三第二次(5月)综合数学文试题含答案
北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学答案（文史类） 2019.5一、选择题：（满分40分） 题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D A C B A A C二、填空题：（满分30分） 题号 9 10 11 12 13 14答案 10 72- 12,210x y --=2x =-,5 (,2][0,1)-∞- 21960n n -+-,5 （注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）三、解答题：（满分80分） 15. （本小题满分13分）解：(Ⅰ) 在ABC ∆中，因为21cos 212sin 3A A =-=-， 所以6sin 3A =． 因为3,sin 6sin c A C ==，由正弦定理sin sin a c A C=，解得32a =． …………………6分(Ⅱ) 由6sin ,032A A π=<<得3cos 3A =. 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得22150b b --=.解得5b =或3b =-（舍）.152sin 22ABC S bc A ∆==. …………………13分 16. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）79+84+88+89+93+95==886x 甲，78+83+84+86+95+96==876x 乙. …………………4分（Ⅱ）甲区优秀企业得分为88,89,93,95共4个，乙区优秀企业得分为86,95,96共3个.从两个区各选一个优秀企业，所有基本事件为（88,86），（88,95），（88,96），（89，86），（89,95），（89,96），（93,86），（93,95），（93,96）（95,86）（95,95）（95,96）共12个.其中得分的绝对值的差不超过5分有（88,86），（89，86），（93,95），（93,96），（95,95），（95,96）共6个.则这两个企业得分差的绝对值不超过5分的概率61122p ==.………13分17. （本小题满分13分）解：(Ⅰ)因为2a ，4a ，9a 成等比数列，所以9224a a a ⋅=.将11=a 代入得 )81()1()31(2d d d +⋅+=+, 解得0=d 或 3=d .因为数列}{n a 为公差不为零的等差数列，所以3=d .数列}{n a 的通项公式1(1)332n a n n =+-⋅=-.……………………………6分（Ⅱ）因为对任意n *∈N ，6n ≠时，都有6n S S <，所以6S 最大，则0<d ，6765,.S S S S >⎧⎨>⎩ 所以760,0.a a <⎧⎨>⎩则1160,50.a d a d +<⎧⎨+>⎩ 因此156d a d -<<-.又1a ，d ∈Z ，0<d ，故当1-=d 时， 156a <<， 此时1a 不满足题意.当2-=d 时，11012a <<， 则111a =，当3-=d 时， 11518a <<,116,17a =,易知3-≤d 时,116a ≥，则1a 的最小值为11. ………………………………………………………13分18. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为ABE ∆为等边三角形，O 为BE 的中点，所以AO BE ⊥．又因为平面ABE ⊥平面BCDE ，平面ABE 平面BCDE BE =，AO ⊂平面ABE ，所以AO ⊥平面BCDE ．又因为CD ⊂平面BCDE ，所以AO CD ⊥．……………………………………………………………4分（Ⅱ）连结BD ，因为四边形BCDE 为菱形，所以CE BD ⊥．因为,O F 分别为,BE DE 的中点，所以//OF BD ，所以CE OF ⊥．由（Ⅰ）可知，AO ⊥平面BCDE ．因为CE ⊂平面BCDE ，所以AO CE ⊥.因为AO OF O =，所以CE ⊥平面AOF ．又因为CE ⊂平面ACE ，所以平面AOF ⊥平面ACE ．…………………………………………………9分 （Ⅲ）当点P 为AC 上的三等分点（靠近A 点）时，//BP 平面AOF ．证明如下：设CE 与,BD OF 的交点分别为,M N ，连结AN ,PM ．因为四边形BCDE 为菱形，,O F 分别为,BE DE 的中点， 所以12NM MC =． 设P 为AC 上靠近A 点的三等分点， 则12AP NM PC MC ==，所以//PM AN ． 因为AN ⊂平面AOF ，PM ⊄平面AOF ，所以//PM 平面AOF ．由于//BD OF ，OF ⊂平面AOF ，BD ⊄平面AOF ，所以//BD 平面AOF ，即//BM 平面AOF ．因为BM PM M =，所以平面//BMP 平面AOF ．因为BP ⊂平面BMP ，所以//BP 平面AOF . F OB C D A EPMN可见侧棱AC 上存在点P ，使得//BP 平面AOF ，且12AP PC =． …………………………………………………………………………14分19. （本小题满分13分）解：(Ⅰ) 函数()f x 的定义域为{}0x x >,222(1)1(1)(1)()=ax a x ax x f x x x-++--'=. （1） 当0a ≤时，1ax -<0,令()0f x '>，解得01x <<，则函数()f x 的单调递增区间为(01)，令()0f x '<，解得1x >，函数()f x 单调递减区间为1+∞（，）. 所以函数()f x 的单调递增区间为(01)，，单调递减区间为1+∞（，）. （2） 当01a <<时，11a>, 令()0f x '>，解得01x <<或1x a >，则函数()f x 的单调递增区间为 (01)，；令()0f x '<，解得11x a <<，函数()f x 单调递减区间为11)a（，. 所以函数()f x 的单调递增区间为(01)，，1+)a ∞（，，单调递减区间为11)a （，. （3） 当1a =时，22(1)()=0x f x x-'≥恒成立， 所以函数()f x 的单调递增区间为0+)∞（，. （4） 当1a >时，101a<<, 令()0f x '>，解得10x a<<或1x >，则函数()f x 的单调递增区间为 10)a（，，1+)∞（，； 令()0f x '<，解得11x a <<，则函数()f x 的单调递减区间为1(1)a，. 所以函数()f x 的单调递增区间为10)a （，，1+)∞（，，单调递减区间为1(1)a ，. …………………………………………………………………………………7分 （Ⅱ）依题意，在区间1[,e]e上min ()1f x >.222(1)1(1)(1)()ax a x ax x f x x x -++--'==，1a ≥. 令()0f x '=得，1x =或1x a=. 若e a ≥，则由()0f x '>得，1e x <≤，函数()f x 在(1,e )上单调递增. 由()0f x '<得，11e x ≤<,函数()f x 在(1,1e)上单调递减. 所以min ()(1)11f x f a ==->，满足条件；若1e a <<，则由()0f x '>得，11e x a<<或1e x <<； 由()0f x '<得，11x a<<. 函数()f x 在(1,e ),11(,)e a 上单调递增,在1(,1)a 上单调递减. min 1()min{(),(1)}ef x f f =， 依题意1()1e (1)1f f ⎧>⎪⎨⎪>⎩ ，即2e e 12a a ⎧>⎪+⎨⎪>⎩，所以2e a <<；若1a =，则()0f x '≥.所以()f x 在区间1[,e]e 上单调递增，min 1()()1e f x f =>，不满足条件；综上，2a >. ……………………………………………13分20. （本小题满分14分）解：(Ⅰ)依题2a λ=，222c λλλ=-=，所以椭圆C 离心率为222e λλ==.……………………………………………3分 （Ⅱ）依题意00x ≠，令0y =，由0012x x y y +=，得02x x =，则02(,0)A x .令0x =，由0012x x y y +=，得01y y =，则01(0,)B y . 则OAB ∆的面积0000112122OAB S OA OB x y x y ∆===. 因为00(,)P x y 在椭圆:C 2212x y +=上，所以220012x y +=. 所以2002001222x y x y =+≥，即0022x y ≤，则0012x y ≥. 所以001122OAB S OA OB x y ∆==≥. 当且仅当22002x y =，即0021,2x y =±=±时，O A B ∆面积的最小值为2． ……………………………………………………………8分 （Ⅲ）由220022102y x λλ=->，解得022x λλ-<<. ①当00x =时，(0,)P λ,(,2)Q λλ-,此时21F P k =-，21F Q k =-.因为22F Q F P k k =，所以三点2,,Q P F 共线.当(0,)P λ-时，也满足.②当00x ≠时，设(,)Q m n ，m λ≠-,1F Q 的中点为M ，则(,)22m n M λ-,代入直线l 的方程，得： 2000240x m y n x λλ+--=.设直线1F Q 的斜率为k ，则002y n k m x λ==+， 所以000220y m x n y λ-+=.由2000000240220x m y n x y m x n y λλλ⎧+--=⎨-+=⎩，解得22002200244x x m y x λλλ+=-+，20002200484x y y n y x λλ+=+. 所以22200000222200002448(,)44x x x y y Q y x y x λλλλλ++-++.当点P 的横坐标与点2F 的横坐标相等时，把0x λ=，222y λ=代入22002200244x x m y x λλλ+=-+中得m λ=，则2,,Q P F 三点共线.当点P 的横坐标与点2F 的横坐标不相等时, 直线2F P 的斜率为200F P y k x λ=-. 由022x λλ-≤≤，02x λ≠-.所以直线2F Q 的斜率为220002220000022222200000022004844824248224F Qx y y y x x y y k x x x x y x y x λλλλλλλλλλλ+++==++---+ 20000000022222000000482(2)4822x y y x y y y x x y x y x x λλλλλλλλλ+++===--+- 000000(2)()(2)y x y x x x λλλλ+==-+-.因为22F Q F P k k =，所以2,,Q P F 三点共线.综上所述2,,Q P F 三点共线. ……………………………………………………………14分。
北京市朝阳区2019届高三第二次(5月)综合练习(二模)数学(文)试题
绝密★启用前北京市朝阳区2019届高三第二次（5月)综合练习（二模)数学（文)试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知集合{|1}A x x =>，{|(2)0}B x x x =-<，则A B =( )A ．{|0}x x >B ．{|12}x x <<C ．{|12}x x ≤<D ．{|0x x >且1}x ≠2．复数(1)i i +的虚部为（ ） A ．-1B ．0C ．1D ．3．已知3log a e =，ln3b =，3log 2c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．c a b >> B ．c b a >> C ．a b c >>D ．b a c >>4．在数学史上，中外数学家使用不同的方法对圆周率π进行了估算．根据德国数学家莱布尼茨在1674年给出的求π的方法绘制的程序框图如图所示．执行该程序框图，输出s 的值为（ ）○…………外……○…………线…………○……题※※○…………内……○…………线…………○……A ．4B ．83C ．5215D ．3041055．已知平面向量,a b 的夹角为23π，且1,2a b ==，则a b +=（ ） A ．3B C ．7D 6．已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差0d ≠，则“139,,a a a 成等比数列” 是“1a d =”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知函数2,(),x x af x x x a⎧≥=⎨-<⎩若函数()f x 存在零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),0-∞B ．()0,∞+C ．(),1-∞D ．()1,+∞8．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为线段CD 和11A B 上的动点，且满足1CE A F =，则四边形1D FBE 所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和（ ）A．有最小值32B．有最大值52C．为定值3D．为定值2…装…………○…………订…………※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※…装…………○…………订…………第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题9．函数()2sin cos cos2f x x x x=+的最小正周期为______.10．已知点(1,2)M在抛物线2:2(0)C y px p=>上，则p=______；点M到抛物线C的焦点的距离是______.11．圆22:(1)1C x y+-=上的点P到直线:230l x y--=的距离的最小值是______.12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______.13．实数,x y满足1,,4.xy xx y≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩能说明“若z x y=+的最大值是4，则1,3x y==”为假命题的一组(,)x y值是_________.14．设全集{1,2,3,,20}U=，非空集合A，B满足以下条件：①A B U⋃=，A B=∅；②若x A∈，y B∈，则x y A+∉且xy B∉当7A∈时，1______B（填R∆或∉），此时B中元素个数为______.三、解答题…………○…………装……………○…………线学校:___________姓名：______________…………○…………装……………○…………线15．在等差数列{}n a 中，已知132412,18a a a a +=+=,n N *∈. （I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）求3693...n a a a a ++++.16．如图，在四边形ABCD 中，60A ∠=︒，90ABC ∠=︒．已知AD =，BD =（1）求sin ABD ∠的值；（2）若2CD =，且CD BC >，求BC 的长．17．某电视台举行文艺比赛，并通过网络对比赛进行直播.比赛现场由5名专家组成评委给每位参赛选手评分，场外观众也可以通过网络给每位参赛选手评分.每位选手的最终得分需要综合考虑专家评分和观众评分.某选手参与比赛后，现场专家评分情况如下表.另有约数万名场外观众参与评分，将观众评分按照[7,8),[8,9),[9,10]分组，绘成频率分布直方图如下图.（Ⅰ）求a 的值，并用频率估计概率，估计某场外观众评分不小于9的概率； （Ⅱ）从现场专家中随机抽取2人，求其中评分高于9分的至少有1人的概率； （Ⅲ）考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分.方案一：计算所有专家与观众评分的平均数x 作为该选手的最终得分； 12x x +…………订……订※※线※※内※※答※※…………订……选手最终得分.请直接写出x与122x x+的大小关系.18．如图，在直角梯形ABCD中，//AB DC,90BAD∠=, 4AB=，2AD=，3DC=,点E在CD上，且2DE=，将ADE沿AE折起，使得平面ADE⊥平面ABCE（如图），G为AE中点.（Ⅰ）求证:DG⊥平面ABCE；（Ⅱ）求四棱锥D ABCE-的体积；（Ⅲ）在线段BD上是否存在点P，使得//CP平面ADE？若存在，求BPBD的值；若不存在，请说明理由.19．已知椭圆:C2221xya+=(>1)a（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l过点(1,0)M且与椭圆C相交于,A B两点.过点A作直线3x=的垂线，垂足为D.证明直线BD过x轴上的定点.20．已知函数()(1)ln()f x m x x m=++∈R.（1）当1m=时，求曲线()y f x=在(1,(1))f处的切线方程；（2）求函数()f x的单调区间；（3）若函数211()+()2g x x f xx=-在区间(1,2)内有且只有一个极值点，求m的取值范围.参考答案1．A【解析】【分析】根据不等式的解法得B={x|0＜x＜2}，然后根据并集的定义“由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合叫做并集”进行求解即可．【详解】根据不等式的解法，易得B={x|0＜x＜2}，又有A={x|x＞1}，则A∪B={x|x＞0}．故选：A．【点睛】本题考查并集的运算，注意结合数轴来求解，属于容易题．2．C【解析】【分析】将复数化简成a+bi的形式，从而可得到复数的虚部.【详解】i(1+i)=i11+i－＝－，所以复数的虚部为1，故选：C【点睛】本题考查复数的代数形式的乘法运算，考查复数的有关概念，属于简单题.3．D【解析】【分析】利用对数函数的单调性比较大小即可.【详解】32.7182o 8l g e x y ⋯＝，＝是增函数，所以33log e >log 2，即a c ＞，33log e <log 31a ==， ln 3log 3log 1e e b e ==>=，所以b a c ＞＞, 故选：D 【点睛】解决大小关系问题，一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间(,0),(0,1),(1,)-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答.4．C 【解析】 【分析】根据程序框图进行模拟运算即可． 【详解】 第一次，4,1,3s k k ==≥否，第二次，484,2,333s k k =-==≥否， 第三次，8452,3,33515s k k =+==≥是， 程序终止，输出s=5215，故选：C ． 【点睛】本题主要考查程序框图的识别和判断，根据条件进行模拟运算是解决本题的关键．比较基础． 5．B 【解析】 【分析】将a b +平方,利用向量的数量积公式计算可得答案. 【详解】22221||||||2||||cos14212332a b a b a b π⎛⎫+=++=++⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭,所以a b +=故选:B . 【点睛】本题考查向量的数量积公式的应用，考查向量的模的求法，属于简单题. 6．C 【解析】 【分析】根据题意，设数列{}n a 的公差为d ，从充分性与必要性的角度分析“139,,a a a 成等比数列”和“1a d =”的关系，综合即可得答案． 【详解】根据题意，设数列{}n a 的公差为d ，若139,,a a a 成等比数列，则2319a a a =，即（a 1+2d ）2=a 1•（a 1+8d ），变形可得：a 1=d ，则“139,,a a a 成等比数列”是“a 1=d”的充分条件；若a 1=d ，则a 3=a 1+2d=3d ，a 9=a 1+8d=9d ，则有2319a a a =，则“139,,a a a 成等比数列”是“a 1=d”的必要条件；综合可得：“139,,a a a 成等比数列”是“1a d =”的充要条件； 故选：C ． 【点睛】本题考查等差、等比数列的定义以及判断，涉及充分必要的定义与判断，属于基础题． 7．B 【解析】 【分析】分析函数f(x)解析式可知函数存在唯一零点x=0,则只需()0,a ∈-∞，从而得到a 的范围. 【详解】指数函数20xy =>，没有零点，y x =-有唯一的零点0x ＝，所以若函数()f x 存在零点，须()()f x x x a =-<有零点，即()0,a ∈-∞， 则0a >， 故选：B .【点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域(最值)问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解. 8．D 【解析】 【分析】分别在后，上，左三个平面得到该四边形的投影，求其面积和即可． 【详解】依题意，设四边形D1FBE的四个顶点在后面，上面，左面的投影点分别为D'，F'，B'，E'，则四边形D1FBE在上面，后面，左面的投影分别如上图．所以在后面的投影的面积为S后=1×1=1，在上面的投影面积S上=D'E'×1=DE×1=DE，在左面的投影面积S左=B'E'×1=CE×1=CE，所以四边形D1FBE所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和S=S后+S上+S左=1+DE+CE=1+CD=2．故选：D．【点睛】本题考查了正方体中四边形的投影问题，考查空间想象能力．属于中档题．9．π 【解析】 【分析】利用二倍角公式和辅助角公式将函数f(x)进行化简，然后由正弦函数的周期公式可得答案. 【详解】函数()sin 2cos 22cos 22224f x x x x x x π⎫⎛⎫=+=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭, 所以，最小正周期22T ππ==， 故答案为：π 【点睛】本题考查二倍角公式和辅助角公式的应用，考查正弦函数周期的求法，属于简单题. 10．2 2 【解析】 【分析】将点M 坐标代入抛物线方程可得p 值，然后由抛物线的定义可得答案. 【详解】点(1,2)M 代入抛物线方程得：2221p =⨯，解得：2p ＝；抛物线方程为：24y x =，准线方程为：1x ＝-， 点M 到焦点的距离等于点M 到准线的距离：112--=（） 故答案为：2,2 【点睛】本题考查抛物线的定义和抛物线的标准方程，属于简单题.111 【解析】 【分析】求圆心到直线的距离，用距离减去半径即可最小值. 【详解】圆C 的圆心为C(0,1)，半径为1R ＝，圆心C 到直线的距离为：d ==11 【点睛】本题考查圆上的点到直线的距离的最值，若圆心距为d ，圆的半径为r 且圆与直线相离，则圆上的点到直线距离的最大值为d+r ，最小值为d-r. 12．92π+【解析】 【分析】由三视图可知，该几何体由上部四棱柱、下部圆柱组成的组合体,由柱体体积公式计算可得答案. 【详解】由三视图可知，该几何体由上部四棱柱、下部圆柱组成的组合体，四棱柱的底面为边长为3的正方形，高为1，故体积为：13319V ⨯⨯＝＝， 圆柱的底面圆直径为1，高为2，故体积为：221V 222ππ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭， 所求体积为12V 92V π+=+，故答案为：92π+【点睛】本题以三视图为载体考查几何体的体积，解题的关键是对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，然后结合相应的公式求解． 13．()2,2（答案不唯一） 【解析】 【分析】画出约束条件的可行域，目标函数取得最大值的直线，然后求解即可．【详解】实数x ，y 满足1 4.x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，，的可行域以及x+y=4的直线方程如图：能说明“若z=x+y 的最大值为4，则x=1，y=3”为假命题的一组（x ，y ）值是（2，2）． 故答案为：（2，2）． 【点睛】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域是解题的关键． 14．R ∆ 18 【解析】 【分析】先假设1∈A ，推出与条件矛盾，得1∈B ，然后根据条件以及进行讨论求解即可． 【详解】（1）因为A B U ⋃=，AB =∅；所以，11A B ∈∈，有且只有一个成立，若1A ∈，对于任一个x B ∈， 1·x x B =∈，与若x A ∈，y B ∈，则xy B ∉矛盾， 所以，1A ∈不成立，只有1B ∈； （2）因为7,1B A ∈∈， 所以，718B,717A +=∈⨯=∈，若6A ∈，则617B +=∈与7A ∈矛盾，所以，6B ∈，由7A,6B ∈∈，可得：7613B +=∈， 同理71320B +=∈，若2A ∈，因为8B ∈，所以，2810B,21020A +=∈⨯=∈，与20B ∈矛盾，所以，2∈B ，因为2∈B ，所以，729B,7816B,2714A +=∈+=∈⨯=∈，7A,10B ∈∈，可推得：3B,71017B ∈+=∈，若4A ∈，由3B ∈，可得：437B +=∈，与7A ∈矛盾，所以，4B ∈， 所以，7411B,71118B +=∈+=∈，若5A ∈，由2∈B ，可得：527B +=∈，与7A ∈矛盾，所以，5B ∈， 所以，7512B,71219B +=∈+=∈， 所以，A {7,14}=，B {1,2,8,4,5,6,,8,,19,20}=，共有18个。
2019年北京市朝阳区高考数学二模试卷(文科)(有答案解析)
（x，y）值是______． 14. 设全集 U={1，2，3，…，20}，非空集合 A，B 满足以下条件：
①A∪B=U，A∩B=∅； ②若 x∈A，y∈B，则 x+y∉A 且 xy∉B． 当 7∈A 时，1______B（填∈或∉），此时 B 中元素个数为______． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 80.0 分） 15. 在等差数பைடு நூலகம்{an}中，已知 a1+a3=12，a2+a4=18，n∈N*． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）求 a3+a6+a9+…+a3n．
解析：解：点 M（1，2）在抛物线 C：y2=2px（p＞0）上， 可得 4=2p，解得 p=2； 抛物线方程为：y2=4x，抛物线的焦点坐标（1，0），
点 M 到抛物线 C 的焦点的距离是：
=2．
故答案为：2；2． 通过点的坐标满足方程求解 p；求出焦点坐标，利用两点间距离公式求解即可． 本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．
离是______． 11. 圆 C：x2+（y-1）2=1 上的点 P 到直线 l：x-2y-3=0 的距离的最小值是______． 12. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______．
13. 已知实数 x，y 满足
能说明“若 z=x+y 的最大值为 4，则 x=1，y=3”为假命题的一组
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则 2∈B，2+7=9∉A，即 9∈B， 7+9=16∈B，7+15=17∈B， 若 3∈A，则 3+2=5∈B，则 3×5=15∈A 与 15∈B 矛盾， 则 3∈B，则 3+7=10∈B，7+10=17∈B， 2×7=14∉B，即 14∈A， 若 4∈A，则 3+4=7∉A，与 7∈A 矛盾，则 4∈B 若 5∈A，则 2+5=7∉A，与 7∈A 矛盾，则 5∈B， 4+14=18∈B，5+14=19∈B， 若 6∈A，则 1+6=7∉A，与 7∈A 矛盾，则 6∈B， 6+14=20∈B， 4+7=11∈B，5+7=12∈B，6+7=13∈B， 则 B={1，2，3，4，5，6，8，9，10，11，12，13，15，16，17，18，19，20}， A={7，14}， B 中元素有 18 个， 故答案为：18． 先假设 1∈A，推出与条件矛盾，得 1∈B，然后根据条件以及进行讨论求解即可． 本题主要考查合情推理的应用，利用反证法结合分类讨论进行求解即可．
2019 朝阳二模文(官方版)
北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学（文）2019.5（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合{|1}A x x =>，{|(2)0}B x x x =-<，则AB =（A ）{|0}x x > （B ）{|12}x x << （C ）{|12}x x ≤< （D ）{|0x x >且1}x ≠ 2. 复数i(1+i)的虚部为（A ）1- （B ）0 （C ） 1 （D）3. 已知3log e a =，ln3b =，3log 2c =，则a ，b ，c 的大小关系是 （A ）c a b >> （B ） c b a >> （C ）a b c >> （D ） b a c >> 4. 在数学史上，中外数学家使用不同的方法对圆周率π进行了估算.根据德国数学家莱布尼茨在1674年给出的求π的方法绘制的程序框图如图所示.执行该程序框图，输出s 的值为 （A ）4（B ）83（C ）5215 （D ）3041055. 已知平面向量,a b 的夹角为2π3，且1,2==a b ，则+=a b （A ）3 （B（C ）7 （D6. 已知等差数列{}n a 首项为1a ，公差0d ≠. 则“139,,a a a 成等比数列” 是“1a d =”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件7. 已知函数2,,(),.x x a f x x x a ⎧≥=⎨-<⎩若函数()f x 存在零点，则实数a 的取值范围是（A ）(),0-∞ （B ）()0,+∞ （C ）(),1-∞ （D ）()1,+∞8. 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为线段CD 和11A B 上的动点，且满足1CE A F =，则四边形1D FBE 所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和A. 有最小值32B.有最大值52C. 为定值3D. 为定值2第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9. 函数()2sin cos cos 2f x x x x =+的最小正周期为 .10. 已知点(1,2)M 在抛物线2:2(0)C y px p =>上，则p = ；点M 到抛物线C 的焦点的距离是 .11. 圆22:(1)1C x y +-=上的点P 到直线:230l x y --=的距离的最小值是 .B12. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .13.实数,x y 满足1,, 4.x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩能说明“若z x y =+的最大值是4，则1,3x y ==”为假命题的一组(,)x y 值是 . 14. 设全集{1,2,3,,20}U =，非空集合A ，B 满足以下条件：①AB U =，A B =∅；② 若x A ∈，y B ∈，则x y A +∉且xy B ∉.当7A ∈时，1______B （填∈或∈/），此时B 中元素个数为______.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题满分13分）在等差数列{}n a 中，已知132412,18a a a a +=+=,n *∈N .（I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）求3693...n a a a a ++++.侧视图正视图俯视图如图，在四边形ABCD 中，60A ∠=︒，90ABC ∠=︒．已知3AD =，6BD =．（Ⅰ）求sin ABD ∠的值；（Ⅱ）若2CD =，且CD BC >，求BC 的长．17. （本小题满分13分）某电视台举行文艺比赛，并通过网络对比赛进行直播.比赛现场由5名专家组成评委给每位参赛选手评分，场外观众也可以通过网络给每位参赛选手评分.每位选手的最终得分需要综合考虑专家评分和观众评分.某选手参与比赛后，现场专家评分情况如下表.另有约数万名场外观众参与评分，将观众评分按照[7,8),[8,9),[9,10]分组，绘成频率分布直方图如下图.（Ⅰ）求a 的值，并用频率估计概率，估计某场外观众评分不小于9的概率； （Ⅱ）从现场专家中随机抽取2人，求其中评分高于9分的至少有1人的概率； （Ⅲ）考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分.方案一：计算所有专家与观众评分的平均数x 作为该选手的最终得分； 方案二：分别计算专家评分的平均数1x 和观众评分的平均数2x ，用122x x +作为该选手最终得分.请直接写出x 与122x x +的大小关系.专家 ABCDE评分 10 10 8.8 8.9 9.70.5a 0.2789 10 评分O频率 组距 A DCB如图1，在直角梯形ABCD 中，//AB DC ,90BAD ∠=, 4AB =，2AD =，3DC =,点E 在CD 上，且2DE =，将△ADE 沿AE 折起，使得平面ADE ⊥平面ABCE （如图2）. G 为AE 中点.（Ⅰ）求证:DG ⊥平面ABCE ； （Ⅱ）求四棱锥D ABCE -的体积；（Ⅲ）在线段BD 上是否存在点P ，使得//CP 平面ADE ？若存在，求BPBD的值；若不存在，请说明理由.19. （本小题满分14分）已知椭圆:C 2221x y a+=(>1)a的离心率为3（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 过点(1,0)M 且与椭圆C 相交于,A B 两点.过点A 作直线3x =的垂线，垂足为D .证明直线BD 过x 轴上的定点.20. （本小题满分14分）已知函数()(1)ln ()f x m x x m =++∈R .（Ⅰ）当1m =时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若函数211()+()2g x x f x x=-在区间(1,2)内有且只有一个极值点，求m 的取值 范围.图1 图2GEDCA EDCBA北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学（文）答案2019.5一、选择题（40分）二、填空题（30分）三、解答题（80分） 15． （本小题满分13分）解：（I ）因为{}n a 是等差数列，132412,18a a a a +=+=,所以112212,2418.a d a d +=⎧⎨+=⎩解得13,3d a ==.则3(1)33n a n n =+-⨯=,n *∈N . ………….7分（II）3693,,,...,na a a a 构成首项为3=9a ,公差为9的等差数列.则36931 (9)1)92n a a a a n n n +++++-⨯29=()2n n +. ………….13分16． （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）在△ABD 中，由正弦定理，得sin sin AD BDABD A=∠∠． 因为60A ∠=︒，AD =BD =所以sin sin sin 604AD ABD A BD ∠=⨯∠=︒=．………….6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，sin ABD ∠=， 因为90ABC ∠=︒，所以cos cos(90)sin 4CBD ABD ABD ∠=︒-∠=∠=在BCD ∆中，由余弦定理，得2222cos CD BC BD BC BD CBD =+-⋅∠． 因为2CD =，BD =所以2462BC BC =+- 232=0BC BC -+， 解得1BC =或2BC =．又CD BC >，则1BC =． ………….13分17． （本小题满分13分）解：（Ⅰ）0.3a =，某场外观众评分不小于9的概率是12． ………….3分 （Ⅱ）设“从现场专家中随机抽取2人，其中评分高于9分的至少有1人”为事件Q ．因为基本事件有AB ，AC ,AD ，AE ，BC ，BD ，BE ，CD ，CE ，DE共10种，事件Q 的对立事件只有CD 1种， 所以19()11010P Q =-=. ………….9分 （Ⅲ）122x x x +<． ………….13分18． （本小题满分13分） 解： （Ⅰ）证明：因为G 为AE 中点，2AD DE ==，所以DG AE ⊥.因为平面ADE ⊥平面ABCE ， 平面ADE平面ABCE AE =，DG ⊂平面ADE ，所以DG ⊥平面ABCE ． ………….4分 （Ⅱ）在直角三角形ADE中，易求AE =则AD DEDG AE⋅==． 所以四棱锥D ABCE -的体积的体积为1(14)232D ABCE V -+⨯=⨯． …………8分（Ⅲ） 过点C 作//CF AE 交AB 于点F ，则:1:3AF FB =．GEDC过点F 作//FP AD 交DB 于点P ，连接PC ,则:1:3DP PB =． 又因为//CF AE ， AE ⊂平面ADE ,CF ⊄平面ADE , 所以//CF 平面ADE ． 同理//FP 平面ADE ． 又因为CFPF F =，所以平面//CFP 平面ADE ． 因为CP ⊂平面CFP ， 所以CP //平面ADE ．所以在BD 上存在点P ，使得//CP 平面ADE ，且34BP BD =． ………….13分19． （本小题满分14分）（Ⅰ）由题意可得2221,.b ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩解得1,b a =⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以椭圆C 的方程为2213x y +=. ………….4分（Ⅱ）直线BD 恒过x 轴上的定点(2,0)N .证明如下 （1） 当直线l 斜率不存在时，直线l 的方程为1x =,不妨设A，(1,B，D . 此时，直线BD的方程为：2)y x =-，所以直线BD 过点(2,0). （2）当直线l 的斜率存在时，设:(1)l y k x =-，1122(,),(,)A x y B x y ,1(3,)D y .由22(1),33y k x x y =-⎧⎨+=⎩得2222(31)6330k x k x k +-+-=. 所以22121222633,3131k k x x x x k k -+==++.直线2112:(3)3y y BD y y x x --=--，令0y =，得1221(3)3y x x y y ---=-， 所以2112121333y y y x y x y y --+=-212213y y x y y -=-2122143x x x x x --=-2222112431k x k x x -+=-. 由于2122631k x x k =-+，所以2222221243126231k x k x k x k -+==-+. 故直线BD 过点(2,0).综上所述，直线BD 恒过x 轴上的定点(2,0). ………….14分 20． （本小题满分14分）解：（Ⅰ）当1m =时，()2ln f x x x =+，所以1()2f x x'=+，(1)3f '=． 又(1)2f =，所以曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为310x y --=．………….4分（Ⅱ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞． 1(1)1()1m x f x m x x++'=++=， （1） 当10≥m +即1≥m -时，因为(0,)x ∈+∞时，()0f x '>， 所以()f x 的单调增区间为(0,)+∞．（2） 当10m +<，即1m <-时，令()0f x '=，得11x m =-+． 当101x m <<-+时，()0f x '>； 当11x m >-+时，()0f x '<； 所以()f x 的单调增区间为1(0,)1m -+，减区间为1(,)1m -+∞+． 综上，当1≥m -时，()f x 的单调增区间为(0,)+∞；当1m <-时，()f x 的单调增区间为1(0,)1m -+，减区间为1(,)1m -+∞+．………….9分（Ⅲ）因为2+11()(1)ln 2g x x m x x x=-+-， 所以322211(1)1()(1)=x m x x g x x m x x x-+--'=--+-. 令32()(1)1h x x m x x =-+--，2()32(1)1h x x m x '=-+-.若函数()g x 在区间(1,2)内有且只有一个极值点, 则函数()h x 在区间(1,2)内存在零点. 又(0)10h '=-<，所以()h x '在()0,+∞内有唯一零点0x . 且()00,x x ∈时，()0;h x '<()0,x x ∈+∞时，()0,h x '>则()h x 在()00,x 内为减函数，在()0,x +∞内为增函数.11 又因为(0)10,h =-<且()h x 在()1,2内存在零点,所以(1)0,(2)0.h h <⎧⎨>⎩ 解得124m -<<. 显然()h x 在()1,2内有唯一零点，记为1x .当()11,x x ∈时，()0h x <，()1,2x x ∈时，()0h x >，所以()h x 在1x 点两侧异号，即()g x '在1x 点两侧异号，1x 为函数()g x 在区间(1,2)内唯一极值点.当2m ≤-时，(1)20,h m =--≥又(1)0,()0h h x ''>>在(1,2)内成立,所以()h x 在(1,2)内单调递增，故()g x 无极值点. 当14m ≥时，(2)0,(0)0,h h ≤<易得()1,2x ∈时,()0,h x <故()g x 无极值点. 所以当且仅当124m -<<时，函数()g x 在区间(1,2)内有且只有一个极值点. …….14分。
北京市朝阳区2019届高三数学第二次(5月)综合练习(二模)试题理
状元考前提醒拿到试卷：熟悉试卷刚拿到试卷一般心情比较紧张，建议拿到卷子以后看看考卷一共几页，有多少道题，了解试卷结构，通览全卷是克服“前面难题做不出，后面易题没时间做”的有效措施，也从根本上防止了“漏做题”。
答题策略答题策略一共有三点：1. 先易后难、先熟后生。
先做简单的、熟悉的题，再做综合题、难题。
2. 先小后大。
先做容易拿分的小题，再做耗时又复杂的大题。
3. 先局部后整体。
把疑难问题划分成一系列的步骤，一步一步的解决，每解决一步就能得到一步的分数。
立足中下题目，力争高水平考试时，因为时间和个别题目的难度，多数学生很难做完、做对全部题目，所以在答卷中要立足中下题目。
中下题目通常占全卷的80%以上，是试题的主要构成，学生能拿下这些题目，实际上就是有了胜利在握的心理，对攻克高档题会更放得开。
确保运算正确，立足一次性成功在答卷时，要在以快为上的前提下，稳扎稳打，步步准确，尽量一次性成功。
不能为追求速度而丢掉准确度，甚至丢掉重要的得分步骤。
试题做完后要认真做好解后检查，看是否有空题，答卷是否准确，格式是否规范。
要学会“挤”分考试试题大多分步给分，所以理科要把主要方程式和计算结果写在显要位置，文科尽量把要点写清晰，作文尤其要注意开头和结尾。
考试时，每一道题都认真思考，能做几步就做几步，对于考生来说就是能做几分是几分，这是考试中最好的策略。
检查后的涂改方式要讲究发现错误后要划掉重新写，忌原地用涂黑的方式改，这会使阅卷老师看不清。
如果对现有的题解不满意想重新写，要先写出正确的，再划去错误的。
有的同学先把原来写的题解涂抹了，写新题解的时间又不够，本来可能得的分数被自己涂掉了。
考试期间遇到这些事，莫慌乱！北京市朝阳区2019届高三数学第二次（5月）综合练习（二模）试题理（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{|1}A x x =>，{|(2)0}B x x x =-<，则A B =UA.{|0}x x >B.{|12}x x <<C.{|12}x x ≤<D.{|0x x >且1}x ≠ 2. 复数i(1+i)的虚部为A.1 C. 0 D. 1-3.在数学史上，中外数学家使用不同的方法对圆周率π进行了估算.根据德国数学家莱布尼茨在1674年给出的求π的方法绘制 的程序框图如图所示.执行该程序框图，输出s 的值为 A.4B.83C.5215D.3041054.在△ABC 中，6B π=，4c =，cos C =,则b =A. 3 C.32 D. 435. 已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差0d ≠.则“139,,a a a 成等比数列” 是“1a d =”的A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件6. 已知函数2,,(),.x x a f x x x a ⎧≥=⎨-<⎩若函数()f x 存在零点，则实数a 的取值范围是A.(),0-∞B.(),1-∞C. ()1,+∞D. ()0,+∞7. 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为线段CD 和11A B 上的动点，且满足1CE A F =，则四边形1D FBE 所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和A. 有最小值32B.有最大值52C. 为定值3D. 为定值28.在同一平面内,已知A 为动点,,B C 为定点,且3BAC π∠=, 2ACB π∠≠,1BC =,P 为BC 中点.过点P 作PQ BC ⊥交AC 所在直线于Q ,则AQ uuu r 在BC uuur 方向上投影的最大值是A. 13B. 12C. 33D.23第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9. 已知3log e a =，ln3b =，3log 2c =，则a ，b ，c 中最小的是 .10.已知点(1,2)M 在抛物线2:2(0)C y px p =>上，则点M 到抛物线C 焦点的距离是 . 11.圆cos ,:1sin x C y θθ=⎧⎨=+⎩(θ为参数)上的点P 到直线12,:1x t l y t=+⎧⎨=-+⎩(t 为参数)的距离最小值是 .12. 已知实数,x y 满足1,, 4.x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩能说明“若z x y =+的最大值为4，则1,3x y ==”为假命题的一组(,)x y 值是 .ED 1C 1B DAF13.由数字1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的三位数，偶数共有 个，其中个位数字比十位数字大的偶数共有 个.14. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,0),(4,0),(4,0),(0,2),(0,2)O M N P Q --，(4,2)H .线段OM 上的动点A 满足((0,1))OA OM λλ=∈u u u r u u u u r；线段HN 上的动点B 满足HB HN λ=u u u r u u u r.直线PA 与直线QB 交于点L ，设直线PA 的斜率记为k ，直线QB 的斜率记为k '，则k k '⋅的值为_______；当λ变化时，动点L 一定在__________（填“圆、椭圆、双曲线、抛物线”之中的一个）上.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题满分13分）已知函数2()2sin cos 23cos 3f x x x x =+-. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）当[,]312x ππ∈-时，求证：()3f x ≥-. 16.（本小题满分13分）某电视台举行文艺比赛，并通过网络对比赛进行直播.比赛现场有5名专家评委给每位参赛选手评分，场外观众可以通过网络给每位参赛选手评分.每位选手的最终得分由专家评分和观众评分确定.某选手参与比赛后，现场专家评分情况如下表；场外有数万名观众参与评分，将评分按照[7,8),[8,9),[9,10]分组，绘成频率分布直方图如下：专家 A[ B C D E评分 9.9.9.8.9.0.5a0.2频率 组距N M H FEQy xLGPO BA[]（Ⅰ）求a 的值，并用频率估计概率，估计某场外观众评分不小于9的概率；（Ⅱ）从5名专家中随机选取3人，X 表示评分不小于9分的人数；从场外观众中随机选取3人，用频率估计概率，Y 表示评分不小于9分的人数；试求()E X 与()E Y 的值； （Ⅲ）考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分：方案一：用所有专家与观众的评分的平均数x 作为该选手的最终得分. 方案二：分别计算专家评分的平均数1x 和观众评分的平均数2x ，用122x x +作为该选手最终得分. 请直接写出x 与122x x +的大小关系.17.（本小题满分14分）在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是正三角形，侧棱1AA ⊥底面ABC . D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，线段1BC 与1B C 交于点G ，且4AB =，1BB =(Ⅰ) 求证：//EG 平面1AB D ； (Ⅱ) 求证：1BC ⊥平面1AB D ； (Ⅲ) 求二面角1A B C B --的余弦值.18. （本小题满分13分）已知函数22()(24)ln 4f x ax x x ax x =+--(a ∈R ,且0a ≠). （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程; （Ⅱ）若函数()f x的极小值为1a，试求a 的值. B 1B[Z,X,X,K]19. （本小题满分14分）已知椭圆:C 2221x y a+=(>1)a 的离心率为6.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 过点(1,0)M 且与椭圆C 相交于,A B 两点.过点A 作直线3x =的垂线，垂足为D .证明：直线BD 过x 轴上的定点.20.（本小题满分13分）对于由有限个自然数组成的集合A ,定义集合(){,}S A a ba Ab A =+∈∈∣, 记集合()S A 的元素个数为(())d S A . 定义变换T ，变换T 将集合A 变换为集合()()T A A S A =U . （Ⅰ）若{}0,1,2A =, 求(),()S A T A ;（Ⅱ）若集合A 有n 个元素，证明:“(())21d S A n =-”的充要条件是“集合A 中的所有元素能组成公差不为0的等差数列”;[]（Ⅲ）若{1,2,3,4,5,6,7,8}A ⊆且{1,2,3,,25,26}(())T T A ⊆L ，求元素个数最少的集合A .北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学（理）答案2019．5一、选择题：（本题满分40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ABCBCDDC题号 91011121314答案c251-(2,2)(答案不唯一)60 3614双曲线三、解答题：（本题满分80分） 15． (本小题满分13分)解：（Ⅰ）2()2sin cos 23cos 3f x x x x =+-sin 23cos2x x =+2sin(2)3x π=+所以()f x 的最小正周期2T ωπ==π. ………….6分（II ）因为[,]312x ππ∈-，即2+[,]332x πππ∈-, 所以()f x 在[,]312ππ-上单调递增.当2+=33x ππ-时，即=3x π-时，min ()= 3.f x -所以当[,]312x ππ∈-时， ()3f x ≥-. ………….13分16．(本小题满分13分)解：（Ⅰ）由图知0.3a =，某场外观众评分不小于9的概率是12. ………….3分 （Ⅱ）X 的可能取值为2,3.2141353(X 2)5C C P C ===；34352(X 3)5C P C ===. 所以X 的分布列为所以3212()23555E X =⨯+⨯=. 由题意可知，1~(3,)2Y B ，所以3()2E Y np ==. ………….10分（Ⅲ）122x x x +<. ………….13分 17．(本小题满分14分)(I)因为E 为AC 中点，G 为1B C 中点.所以1//EG AB . 又因为EG ⊄平面1AB D ，1AB ⊂平面1AB D, 所以//EG 平面1AB D . ………….4分(Ⅱ) 取11B C 的中点1D ，连接1DD .显然DA ，DC ，1DD 两两互相垂直，如图，建立空间直角坐标系D xyz -,[] 则(0,0,0)D ，A ，(0,2,0)B -，1(0,B -，1C,E ,(0,2,0)C .所以1(0,DB =-u u u u r ，DA =u u u r ，1BC =u u uu r.又因为100400BC DA ⋅=+⨯+⨯=u u u u r u u u r， 1100(2)40BC DB ⋅=⨯+-⨯+=u u u u r u u u u r,所以111,BC DA BC DB ⊥⊥.又因为1DA DBD =I ，所以1BC ⊥平面1AB D . ………….9分（Ⅲ）显然平面1B CB 的一个法向量为1(1,0,0)=n .设平面1AB C 的一个法向量为2(,,)x y z =n ，又(AC =-u u u r ，1(0,4,B C =-u u u r，B由2210,0,AC B C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n 得2320,4220.x y y z ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩ 设1x =，则3y =，6z =，则2(1,3,6)=n . 所以121212110cos 1010,⋅<>===n n n n n n . 设二面角1A B C B --的平面角为θ，由图可知此二面角为锐二面角， 所以10cos 10θ=. ………….14分 18． (本小题满分13分)解：由题意可知()4(1)ln f x ax x '=+，(0,)x ∈+∞. （Ⅰ）(1)0f '=，(1)4f a =--，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为4y a =--. ………….3分 （Ⅱ）①当1a <-时，x 变化时(),()f x f x '变化情况如下表：x1(0,)a - 1a -1(,1)a- 1(1,)+∞()f x ' -+-()f x ↘极小值 ↗ 极大值 ↘此时1()ln()f a a a a a -=+-=,解得1ea =->-，故不成立. ②当1a =-时，()0f x '≤在(0,)+∞上恒成立，所以()f x 在(0,)+∞单调递减. 此时()f x 无极小值，故不成立.③当10a -<<时，x 变化时(),()f x f x '变化情况如下表：x(0,1)11(1,)a-1a -1(,)a-+∞ ()f x ' -+-()f x↘极小值↗极大值↘此时极小值(1)4f a =--，由题意可得4a a--=，解得23a =-+或23a =--. 因为10a -<<，所以32a =-.④当0a >时，x 变化时(),()f x f x '变化情况如下表：x(0,1)1(1,)+∞()f x '-+()f x↘极小值↗此时极小值(1)4f a =--，由题意可得4a a--=， 解得23a =-+23a =--.综上所述23a =-+………….13分 19． (本小题满分14分)（Ⅰ）由题意可得2221,6,3.b ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩解得1,3.b a =⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以椭圆C 的方程为2213x y +=. ………….4分（Ⅱ）直线BD 恒过x 轴上的定点(2,0).证明如下 （1） 当直线l 斜率不存在时，直线l 的方程为1x =,不妨设6(1,3A ，6(1,3B -，6(3,3D . 此时，直线BD 的方程为：6(2)3y x =-，所以直线BD 过点(2,0). （2）当直线l 的斜率存在时，设:(1)l y k x =-，1122(,),(,)A x y B x y ,1(3,)D y .由22(1),33y k x x y =-⎧⎨+=⎩得2222(31)6330k x k x k +-+-=. 所以22121222633,3131k k x x x x k k -+==++.直线2112:(3)3y y BD y y x x --=--，令0y =，得1221(3)3y x x y y ---=-， 所以2112121333y y y x y x y y --+=-212213y y x y y -=-2122143x x x x x --=-2222112431k x k x x -+=-. 由于2122631k x x k =-+，所以2222221243126231k x k x k x k -+==-+.故直线BD 过点(2,0).综上所述，直线BD 恒过x 轴上的定点(2,0). ………….14分20． (本小题满分13分)解：（Ⅰ）若集合{}0,1,2A =, 则{}()()0,1,2,3,4S A T A ==. ….3分（Ⅱ）令12{,,}n A x x x =L .不妨设12n x x x <<<L .充分性：设{}k x 是公差为d ()0d ≠的等差数列.则111(1)(1)2(2)(1,)i j x x x i d x j d x i j d i j n +=+-++-=++-≤≤且22i j n ≤+≤.所以i j x x +共有21n -个不同的值.即(())21d S A n =-.必要性：若(())21d S A n =-.因为1122i i i i x x x x ++<+<，(1,2,,1)i n =-L .所以()S A 中有21n -个不同的元素：12122312,2,,2,,,,n n n x x x x x x x x x -+++L L .任意i j x x +(1,i j n ≤≤) 的值都与上述某一项相等.又1212i i i i i i x x x x x x +++++<+<+，且11122i i i i i x x x x x +++++<<+，1,2,,2i n =-L . 所以212i i i x x x +++=，所以{}k x 是等差数列，且公差不为0.….8分（Ⅲ）首先证明: 1A ∈. 假设1A ∈/, A 中的元素均大于1, 从而1()S A ∈/, 因此1()T A ∈/, 1(())S T A ∈/, 故1(())T T A ∈/, 与{}1,2,3,...,25,26(())T T A ⊆矛盾, 因此1A ∈.设A 的元素个数为n , ()S A 的元素个数至多为2n C n +, 从而()T A 的元素个数至多为2(3)2n n n C n n +++=. 若2n =, 则()T A 元素个数至多为5, 从而(())T T A 的元素个数至多为58202⨯=, 而(())T T A 中元素至少为26, 因此3n ≥. 假设A 有三个元素, 设23{1,,}A a a =, 且2318a a <<≤, 则223322331,2,,1,,1,2,,2(),a a a a a a a a T A +++∈从而1,2,3,4(())T T A ∈.若25a >, (())T T A 中比4大的最小数为2a ,则5(())T T A ∈/, 与题意矛盾, 故25a ≤.集合(())T T A 中最大数为34a , 由于26(())T T A ∈, 故3426a ≥, 从而37a ≥. (i)若2{1,,7}A a =且25a ≤. 此时, 22221,2,,1,7,8,2,7,14()a a a a T A ++∈, 则有81422,21428(())T T A +=⨯=∈, 在22与28之间可能的数为2214+2,21a a +.此时23,24,25,26不能全在(())T T A 中, 不满足题意.(ii)若2{1,,8}A a =且25a ≤. 此时, 22221,2,,1,8,9,2,8,16()a a a a T A ++∈, 则有16925(())T T A +=∈,若26(())T T A ∈, 则216226a +=或216(8)26,a ++=解得25a =或22a =.当{1,2,8}A =时, 15,21,22,23(())T T A ∈/, 不满足题意.当{1,5,8}A =时,(()){1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,29,32},T T A = 满足题意.故元素个数最少的集合A 为{}1,5,8 ………….13分。
北京市朝阳区2021届高三第二次(5月)综合练习(二模)数学(文)试题
【区级联考】北京市朝阳区2019届高三第二次（5月）综合练习（二模）数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{|1}A x x =>，{|(2)0}B x x x =-<，则AB =( ) A ．{|0}x x >B ．{|12}x x <<C ．{|12}x x ≤<D ．{|0x x >且1}x ≠ 2．复数(1)i i +的虚部为（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．3．已知3log a e =，ln3b =，3log 2c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．c a b >>B ．c b a >>C ．a b c >>D ．b a c >>4．在数学史上，中外数学家使用不同的方法对圆周率π进行了估算．根据德国数学家莱布尼茨在1674年给出的求π的方法绘制的程序框图如图所示．执行该程序框图，输出s 的值为（ ）A ．4B ．83 C ．5215 D ．3041055．已知平面向量,a b 的夹角为23π，且1,2a b ==，则a b +=( )A ．3BC ．7 D6．已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差0d ≠，则“139,,a a a 成等比数列” 是“1a d =”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知函数2,(),x x a f x x x a ⎧≥=⎨-<⎩若函数()f x 存在零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),0-∞B ．()0,∞+C ．(),1-∞D ．()1,+∞8．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为线段CD 和11A B 上的动点，且满足1CE A F =，则四边形1D FBE 所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和（ ）A ．有最小值32 B ．有最大值52 C ．为定值3 D ．为定值2二、填空题 9．函数()2sin cos cos2f x x x x =+的最小正周期为______.10．圆22:(1)1C x y +-=上的点P 到直线:230l x y --=的距离的最小值是______. 11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______.12．实数,x y 满足1,, 4.x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩能说明“若z x y =+的最大值是4，则1,3x y ==”为假命题的一组(,)x y 值是_________.三、双空题13．已知点(1,2)M 在抛物线2:2(0)C y px p =>上，则p =______；点M 到抛物线C的焦点的距离是______.14．设全集{1,2,3,,20}U =，非空集合A ，B 满足以下条件： ①A B U ⋃=，A B =∅；②若x A ∈，y B ∈，则x y A +∉且xy B ∉当7A ∈时，1______B （填∈或∉），此时B 中元素个数为______.四、解答题15．在等差数列{}n a 中，已知132412,18a a a a +=+=,n *∈N .（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）求3693...n a a a a ++++.16．如图，在四边形ABCD 中，60A ∠=︒，90ABC ∠=︒，已知AD =，BD =（1）求sin ABD ∠的值；（2）若2CD =，且CD BC >，求BC 的长.17．某电视台举行文艺比赛，并通过网络对比赛进行直播.比赛现场由5名专家组成评委给每位参赛选手评分，场外观众也可以通过网络给每位参赛选手评分.每位选手的最终得分需要综合考虑专家评分和观众评分.某选手参与比赛后，现场专家评分情况如下表.另有约数万名场外观众参与评分，将观众评分按照[7,8),[8,9),[9,10]分组，绘成频率分布直方图如下图.（Ⅰ）求a 的值，并用频率估计概率，估计某场外观众评分不小于9的概率；（Ⅱ）从现场专家中随机抽取2人，求其中评分高于9分的至少有1人的概率； （Ⅲ）考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分. 方案一：计算所有专家与观众评分的平均数x 作为该选手的最终得分；方案二：分别计算专家评分的平均数1x 和观众评分的平均数ABC ∆，用122x x +作为该选手最终得分. 请直接写出x 与122x x +的大小关系. 18．如图1，在直角梯形ABCD 中，//,90AB DC BAD ∠=︒，4,2,3AB AD DC ===，点E 在CD 上，且2DE =，将ADE 沿AE 折起，使得平面ADE ⊥平面ABCE (如图2).G 为AE 中点(1)求证:DG BC ⊥；(2)求四棱锥D ABCE -的体积；(3)在线段BD 上是否存在点P ，使得//CP 平面ADE ？若存在，求BP BD的值；若不存在，请说明理由19．已知椭圆:C 2221x y a +=(>1)a . （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 过点(1,0)M 且与椭圆C 相交于,A B 两点.过点A 作直线3x =的垂线，垂足为D .证明直线BD 过x 轴上的定点.20．已知函数()(1)ln ()f x m x x m =++∈R .（1）当1m =时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程；（2）求函数()f x 的单调区间；（3）若函数211()+()2g x x f x x=-在区间(1,2)内有且只有一个极值点，求m 的取值范围.参考答案1．A【解析】【分析】根据不等式的解法得B={x|0＜x ＜2}，然后根据并集的定义“由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合叫做并集”进行求解即可．【详解】根据不等式的解法，易得B={x|0＜x ＜2}，又有A={x|x ＞1}，则A ∪B={x|x ＞0}．故选A ．【点睛】本题考查并集的运算，注意结合数轴来求解，属于容易题．2．C【分析】将复数化简成a+bi 的形式，从而可得到复数的虚部.【详解】i(1+i)=i 11+i －＝－，所以复数的虚部为1，故选C【点睛】本题考查复数的代数形式的乘法运算，考查复数的有关概念，属于简单题.3．D【分析】利用对数函数的单调性比较大小即可.【详解】32.7182o 8l g e x y ＝，＝是增函数，所以33log e >log 2，即a c ＞，33log e <log 31a ==，ln 3log 3log 1e e b e ==>=，所以b a c ＞＞,故选D【点睛】解决大小关系问题，一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间(,0),(0,1),(1,)-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答.4．C【分析】根据程序框图进行模拟运算即可．【详解】第一次，4,1,3s k k ==≥否， 第二次，484,2,333s k k =-==≥否， 第三次，8452,3,33515s k k =+==≥是， 程序终止，输出s=5215， 故选C ．【点睛】本题主要考查程序框图的识别和判断，根据条件进行模拟运算是解决本题的关键．比较基础． 5．B【分析】 将模a b +平方后利用数量积的定义计算其结果，然后开根号得出a b +的值． 【详解】 ()222222222cos 3a b a b a a b b a a b b π+=+=+⋅+=+⋅+ 11212432⎛⎫=+⨯⨯⨯-+= ⎪⎝⎭，因此，3a b +=，故选B ． 【点睛】 本题考查利用平面向量的数量积来求平面向量的模，通常利用平方法结合平面向量数量积的定义来进行求解，考查计算能力，属于中等题．6．C【解析】【分析】根据题意，设数列{}n a 的公差为d ，从充分性与必要性的角度分析“139,,a a a 成等比数列”和“1a d =”的关系，综合即可得答案．【详解】根据题意，设数列{}n a 的公差为d ，若139,,a a a 成等比数列，则2319a a a =，即（a 1+2d ）2=a 1•（a 1+8d ），变形可得：a 1=d ，则“139,,a a a 成等比数列”是“a 1=d”的充分条件；若a 1=d ，则a 3=a 1+2d=3d ，a 9=a 1+8d=9d ，则有2319a a a =，则“139,,a a a 成等比数列”是“a 1=d”的必要条件；综合可得：“139,,a a a 成等比数列”是“1a d =”的充要条件；故选C ．【点睛】本题考查等差、等比数列的定义以及判断，涉及充分必要的定义与判断，属于基础题． 7．B【分析】分析函数f(x)解析式可知函数存在唯一零点x=0,则只需()0,a ∈-∞，从而得到a 的范围.【详解】指数函数20xy =>，没有零点， y x =-有唯一的零点0x ＝，所以若函数()f x 存在零点，须()()f x x x a =-<有零点，即()0,a ∈-∞，则0a >，故选B .【点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域(最值)问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.8．D【分析】分别在后，上，左三个平面得到该四边形的投影，求其面积和即可．【详解】依题意，设四边形D 1FBE 的四个顶点在后面，上面，左面的投影点分别为D'，F'，B'，E'，则四边形D 1FBE 在上面，后面，左面的投影分别如上图． 所以在后面的投影的面积为S 后=1×1=1， 在上面的投影面积S 上=D'E'×1=DE×1=DE ， 在左面的投影面积S 左=B'E'×1=CE×1=CE ，所以四边形D 1FBE 所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和S=S 后+S 上+S 左=1+DE+CE=1+CD=2． 故选D ． 【点睛】本题考查了正方体中四边形的投影问题，考查空间想象能力．属于中档题． 9．π 【解析】 【分析】利用二倍角公式和辅助角公式将函数f(x)进行化简，然后由正弦函数的周期公式可得答案. 【详解】函数()sin 2cos 22cos 22224f x x x x x x π⎫⎛⎫=+=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭, 所以，最小正周期22T ππ==，故答案为：π 【点睛】本题考查二倍角公式和辅助角公式的应用，考查正弦函数周期的求法，属于简单题.101 【分析】求圆心到直线的距离，用距离减去半径即可最小值. 【详解】圆C 的圆心为C(0,1)，半径为1R ＝，圆心C 到直线的距离为：d ==11 【点睛】本题考查圆上的点到直线的距离的最值，若圆心距为d ，圆的半径为r 且圆与直线相离，则圆上的点到直线距离的最大值为d+r ，最小值为d-r. 11．92π+【解析】 【分析】由三视图可知，该几何体由上部四棱柱、下部圆柱组成的组合体,由柱体体积公式计算可得答案. 【详解】由三视图可知，该几何体由上部四棱柱、下部圆柱组成的组合体，四棱柱的底面为边长为3的正方形，高为1，故体积为：13319V ⨯⨯＝＝， 圆柱的底面圆直径为1，高为2，故体积为：221V 222ππ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭， 所求体积为12V 92V π+=+，故答案为：92π+【点睛】本题以三视图为载体考查几何体的体积，解题的关键是对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，然后结合相应的公式求解． 12．()2,2（答案不唯一） 【分析】画出约束条件的可行域，目标函数取得最大值的直线，然后求解即可． 【详解】实数x ，y 满足1 4.x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，，的可行域以及x+y=4的直线方程如图：能说明“若z=x+y 的最大值为4，则x=1，y=3”为假命题的一组（x ，y ）值是（2，2）． 故答案为（2，2）． 【点睛】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域是解题的关键． 13．2 2 【分析】将点M 坐标代入抛物线方程可得p 值，然后由抛物线的定义可得答案. 【详解】点(1,2)M 代入抛物线方程得：2221p =⨯，解得：2p ＝；抛物线方程为：24y x =，准线方程为：1x ＝-，点M 到焦点的距离等于点M 到准线的距离：112--=（） 故答案为2,2 【点睛】本题考查抛物线的定义和抛物线的标准方程，属于简单题. 14．∈ 18 【分析】先假设1∈A ，推出与条件矛盾，得1∈B ，然后根据条件以及进行讨论求解即可． 【详解】（1）因为A B U ⋃=，AB =∅；所以，11A B ∈∈，有且只有一个成立，若1A ∈，对于任一个x B ∈， 1·x x B =∈，与若x A ∈，y B ∈，则xy B ∉矛盾， 所以，1A ∈不成立，只有1B ∈； （2）因为7,1B A ∈∈， 所以，718B,717A +=∈⨯=∈，若6A ∈，则617B +=∈与7A ∈矛盾，所以，6B ∈， 由7A,6B ∈∈，可得：7613B +=∈， 同理71320B +=∈，若2A ∈，因为8B ∈，所以，2810B,21020A +=∈⨯=∈，与20B ∈矛盾，所以，2∈B ，因为2∈B ，所以，729B,7816B,2714A +=∈+=∈⨯=∈，7A,10B ∈∈，可推得：3B,71017B ∈+=∈，若4A ∈，由3B ∈，可得：437B +=∈，与7A ∈矛盾，所以，4B ∈， 所以，7411B,71118B +=∈+=∈，若5A ∈，由2∈B ，可得：527B +=∈，与7A ∈矛盾，所以，5B ∈， 所以，7512B,71219B +=∈+=∈， 所以，A {7,14}=，B {1,2,8,4,5,6,,8,,19,20}=，共有18个．【点睛】本题主要考查合情推理的应用，利用反证法结合分类讨论进行求解即可． 15．（Ⅰ）3n a n =（Ⅱ）29()2n n + 【分析】（I ）将已知条件转为关于首项和公差的方程组，解方程组求出1,d a ，进而可求通项公式；（II ）由已知可得3693,,,...,n a a a a 构成首项为3a ,公差为9的等差数列，利用等差数列前n 项和公式计算即可. 【详解】（I ）因为{}n a 是等差数列，132412,18a a a a +=+=,所以112212,2418.a d a d +=⎧⎨+=⎩解得13,3d a ==.则3(1)33n a n n +-⨯==,n *∈N . （II ）3693,,,...,n a a a a 构成首项为3=9a ,公差为9的等差数列. 则36931...=9(1)92n a a a a n n n +++++-⨯29=()2n n + 【点睛】本题考查等差数列通项公式和前n 项和公式的应用，属于基础题. 16．（1）42）1BC = 【分析】（1）由正弦定理可得sin ABD ∠；（2）由（1）求得cos DBC ∠，然后利用余弦定理求解BC ． 【详解】（1）在ABD △中，由正弦定理，得sin sin AD BDABD A=∠∠，因为60A ∠=︒，AD =，BD =所以sin sin AD ABD A BD ∠=⨯∠==；（2）由（1）可知，sin ABD ∠=，因为90ABC ∠=︒，所以()cos cos 90sin 4CBD ABD ABD ∠=︒-∠=∠=， 在BCD 中，由余弦定理，得2222cos CD BC BD BC BD CBD =+-⋅∠，因为2CD =，BD =所以2462BC BC =+-， 即2320BC BC -+=，解得1BC =或2BC =， 又CD BC >，则1BC =. 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理解三角形，掌握正弦定理和余弦定理是解题关键． 17．（Ⅰ）0.3a =,12（Ⅱ）910（Ⅲ）122x x x +< 【分析】（Ⅰ）利用频率和为1可得a 值，结合直方图可得评分不小于9的概率;（Ⅱ）利用古典概型概率求解即可;（Ⅲ）分析可得122x x x +<. 【详解】（Ⅰ）由频率分布直方图可知0.2+0.5+a=1,解得0.3a =， 某场外观众评分不小于9的概率是12． （Ⅱ）设“从现场专家中随机抽取2人，其中评分高于9分的至少有1人”为事件Q ． 因为基本事件有,,,,,,,,,AB AC AD AE BC BD BE CD CE DE 共10种， 事件Q 的对立事件只有CD 1种， 所以19()11010P Q =-=. （Ⅲ）122x x x +<．【点睛】本题考查概率、平均数的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18．（1）证明见解析（23）存在，:3:4PB BD = 【分析】（1）证明DG ⊥AE ，再根据面面垂直的性质得出DG ⊥平面ABCE 即可证明 （2）分别计算DG 和梯形ABCE 的面积，即可得出棱锥的体积；（3）过点C 作CF ∥AE 交AB 于点F ，过点F 作FP ∥AD 交DB 于点P ，连接PC ，可证平面PCF ∥平面ADE ，故CP ∥平面ADE ，根据PF ∥AD 计算BPBD的值． 【详解】(1)证明:因为G 为AE 中点，2AD DE ==，所以DG AE ⊥. 因为平面ADE ⊥平面ABCE ，平面ADE平面ABCE AE =，DG ⊂平面ADE ，所以DG ⊥平面ABCE .又因为BC ⊂平面ABCE ，故DG BC ⊥(2)在直角三角形ADE 中，易求AE =AD DEDG AE⋅==所以四棱锥D ABCE -的体积为()142132D ABCK V -+⨯=⨯=(3)存在点P ，使得//CP 平面ADE ，且BPBD=3:4 过点C 作//CF AE 交AB 于点F ，则:1:3AF FB =.过点F 作//FP AD 交DB 于点P ，连接PC ，则:1:3DP PB =. 又因为//,CF AE AE ⊂平面,ADE CF ⊄平面ADE ， 所以//CF 平面ADE .同理//FP 平面ADE .又因为CF PF F ⋂=， 所以平面//CFP 平面ADE .因为CP ⊂平面CFP ，所以//CP 平面ADE ，由:1:3DP PB =，则BPBD=3:4 【点睛】本题考查了面面垂直的性质，面面平行性质，棱锥的体积计算，属于中档题．19．（1）2213x y +=；（2）见解析. 【分析】（1）由离心率列方程可求得椭圆方程；（2）当直线AB 的斜率不存在时，直线BD 过点（2，0）．当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 为y=k （x-1），联立方程组，消去y 整理得：（1+3k 2）x 2-6k 2x+3k 2-3=0．利用韦达定理、直线方程，结合已知条件求出直线BD 过x 轴上的定点． 【详解】（1）解：由题意可得2221b ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩,解得1a b ==， 所以椭圆C 的方程为2213x y += ．（2）直线BD 恒过x 轴上的定点N （2，0）．证明如下 （a ）当直线l 斜率不存在时，直线l 的方程为x =1， 不妨设A （1，3），B （1，3-），D （3，3）． 此时，直线BD 的方程为：y=3（x -2），所以直线BD 过点（2，0）． （b ）当直线l 的斜率存在时，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），直线AB 为y =k （x -1），D （3，y 1）．由()12233y k x x y =-⎧⎪+=⎨⎪⎩得：（1+3k 2）x 2-6k 2x +3k 2-3=0． 所以x 1+x 2=22631k k +，x 1x 2=223331k k -+．……（*）直线BD ：y -y 1=2123y y x --（x -3），只需证明直线BD 过点（2，0）即可.令y =0，得x -3=()12213y x y y ---，所以x =2112121333y y y x y y y --+-=212213y y x y y --=2122143x x x x x ---即证21221432x x x x x --=-，即证()211223x x x x +-=. 将（*）代入可得()222211222212339323313131k k k x x x x k k k -++-=-==+++.所以直线BD 过点（2，0）综上所述，直线BD 恒过x 轴上的定点（2，0）． 【点睛】本题考查椭圆方程求法，考查了直线恒过定点，考查推理论证能力、运算求解能力，考查由特殊到一般的思想，是难题．20．（Ⅰ）310x y --=（Ⅱ）见解析（Ⅲ）124m -<< 【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义求出切线的斜率，由点斜式方程可得答案；（Ⅱ）对m 进行讨论，解()0f x '>可得函数的增区间，解()0f x '<得函数的减区间；（III ）由题意可知g ′（x ）=0在（1，2）上有解，讨论m 的范围，判断g ′（x ）的单调性和零点个数，得出结论． 【详解】（Ⅰ）当1m =时，()2ln f x x x =+， 所以1(x)2'=+f x，(1)3f '=． 又(1)2f =，所以曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为310x y --= （Ⅱ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞．1(1)1()1m x f x m x x'++=++=， （1）当10m +即1m -时， 因为(0,)x ∈+∞，()0f x '>，所以()f x 的单调增区间为(0,)+∞，无单调减区间. （2）当10+<m ，即1m <-时，令()0f x '=，得11x m =-+． 当101<<-+x m 时，()0f x '>； 当11x m >-+时，()0f x '<； 所以()f x 的单调增区间为10,1m ⎛⎫-⎪+⎝⎭，减区间为1,1m ⎛⎫-+∞⎪+⎝⎭． 综上，当1m -时，()f x 的单调增区间为(0,)+∞，无单调减区间； 当1m <-时，()f x 的单调增区间为10,1m ⎛⎫- ⎪+⎝⎭，减区间为1,1m ⎛⎫-+∞ ⎪+⎝⎭．（Ⅲ）因为211()(1)ln 2g x x m x x x=+-+-， 所以322211(1)1()(1)x m x x g x x m x x x'-+--=--+-=. 令322()(1)1,()32(1)1h x x m x x h x x m x '=-+--=-+-.若函数()g x 在区间(1,2)内有且只有一个极值点, 则函数()h x 在区间(1,2)内存在零点. 又(0)10h '=-<，所以()h x '在(0,)+∞内有唯一零点0x . 且()00,x x ∈时，()0h x '<()0,x x ∈+∞时，()0h x '>则()h x 在()00,x 内为减函数，在()0,x +∞内为增函数. 又因为(0)10h =-<且()h x 在(1,2)内存在零点,所以(1)0(2)0h h <⎧⎨>⎩解得124m -<<.显然()h x 在()1,2内有唯一零点，记为1x .当()11,x x ∈时，()1()0,,2h x x x <∈时，()0h x >，所以()h x 在1x 点两侧异号，即()g x '在1x 点两侧异号，1x 为函数()g x 在区间(1,2)内唯一极值点.当2m ≤-时，(1)20h m =--≥又(1)0,()0h h x ''>>在(1,2)内成立,所以()h x 在(1,2)内单调递增，故()g x 无极值点. 当14m ≥时，(2)0,(0)0h h ≤<易得(1,2)x ∈时,()0h x <故()g x 无极值点. 所以当且仅当124m -<<时，函数()g x 在区间(1,2)内有且只有一个极值点. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查导数与函数单调性的关系，导数与函数极值的关系，考查分类讨论思想，综合性较强．。
北京市朝阳区2019届高三数学第二次5月综合练习二模试题理2019053
北京市朝阳区届高三数学第二次（月）综合练习（二模）试题理（考试时间分钟满分分）本试卷分为选择题（共分）和非选择题（共分）两部分第一部分（选择题共分）一、选择题：本大题共小题，每小题分，共分•在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项..已知集合A 二｛x|x 1｝, B 二｛x|x（x—2）：： 0｝，则AUB =.{x|x 0} . {x|1 ：x ：：2} . {x |1 _ x :： 2} . {x |x 0且x = 1}.复数i（1+i）的虚部为2 . 1 . 0 . -1.在数学史上，中外数学家使用不同的方法对圆周率二进行了估算根据德国数学家莱布尼茨在年给出的求二的方法绘制的程序框图如图所示.执行该程序框图，输出s的值为.48.352.15304'105二\ 5.在厶ABC 中，B , c = 4 , cosC ,则b =6 33.3已知等差数列｛a n｝的首项为a1，公差d =0.则“ a1,a3,a9成等比数列”A .充分而不必要条件B.C .充要条件D.丄2x, x _a,已知函数f（X）二若函-x,x :a.必要而不充分条件既不充分也不必要条件f （x）存在零点，则实数a的取值范围是0,在棱长为的正方体 ABCD - A3GD 中，E,F 分别为线段CD 和A3上的动点，且满足CE 二AF ，则四边形D^BE 所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶ACB匕，BC J P 为BC 中点.过点P 作p Q 一BC 交AC 所在直线于Q ，则BC 方向上投影的最大值是_3 3第二部分（非选择题共分）、填空题：本大题共小题，每小题分，共分•把答案填在答题卡上. 已知 a = log 3 e , b = I n3 , c = log 3 2，贝y a , b , c 中最小的是.已知点M （1, 2在抛物线C ：『= 2px （ p 0上，则点M 到抛物线C 焦点的距离 是x = cos&"x = 1 + 2t.圆C:（ 为参数）上的点P 到直线l :（ t 为参数）的距离最小值y =1+si n 日』=-1+上是 ____ .",点的三个面上的正投影的面积之和.有最小值32.在同一平面内，已知A 为动点,有最大值-2为定值2AQAiD iAE.已知实数x, y满足y_x, 能说明“若z=x・y的最大值为4，贝U x=1,y=：3”为假命x y 冬4.题的一组（x, y）值是.由数字1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的三位数，偶数共有______________ 个，其中个位数字比十位数字大的偶数共有________ 个.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点 0(0,0), M (_4,0), N(4,0), P(0, _2),Q(0,2),HB 「怎.直线PA 与直线QB 交于点L ,设直线PA 的斜率记为k ，直线QB 的斜率记为k :则k k •的值为；当■变化时，动点L 一定在(填“圆、椭圆、双曲线、抛物线”之中的一个)上•.(本小题满分分)已知函数 f (x)二 2sin xcosx 2、3cos 2 x -.(I)求函数f(x)的最小正周期； (n)当 x [,]时，求证：f (x) 一 - 3 .3 12.(本小题满分分)某电视台举行文艺比赛，并通过网络对比赛进行直播 •比赛现场有名专家评委给每位参赛 选手评分，场外观众可以通过网络给每位参赛选手评分•每位选手的最终得分由专家评分和观众评分确定.某选手参与比赛后，现场专家评分情况如下表；场外有数万名观众参与评分，将评分按照[7,8),[8,9),[9,10]分组，绘成频率分布直方图如下: H (4,2).A 满足 OA = ■ OM(， (0,1))；线段 HN 上的动点 B 满足专家 [评分三、解答题:[]频率(n)从名专家中随机选取人，X表示评分不小于分的人数；从场外观众中随机选取人，用(I)求的值，并用频率估计概率，估评分不小于的概率；频率估计概率，Y表示评分不小于分的人数；试求E(X)与E(Y)的值;(川)考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分：方案一：用所有专家与观众的评分的平均数X作为该选手的最终得分•方案二：分别计算专家评分的平均数x1和观众评分的平均数x，用却翌作为该选手2最终得分•请直接写出X与亠上2的大小关系•2(本小题满分分)在三棱柱ABC -A1B1C1中，底面ABC是正三角形，侧棱AA(_底面ABC. D , E分别是边BC , AC的中点，线段BC1与B1C交于点G，且AB = 4, BB^ 2. 2 .(I)求证：EG// 平面AB1D ；(n )求证：BG _平面AB1D ；(川)求二面角A -BQ - B的余弦值..(本小题满分分)已知函数f (x)二(2ax 4x)ln x - ax -4x( a R ,且a =0).(I)求曲线y = f ( x)在点(1, f (1))处的切线方程；1(n)若函数f (x)的极小值为一，试求a的值.a[](本小题满分分)2x 2已知椭圆C : —2 ■ y =1 (a>1)的离心率为a(I)求椭圆C的方程；(n)从名专家中随机选取人，X表示评分不小于分的人数；从场外观众中随机选取人，用(n)设直线l过点M (1,0)且与椭圆C相交于A, B两点.过点A作直线x = 3的垂线，垂足为D.证明：直线BD过x轴上的定点(本小题满分分)对于由有限个自然数组成的集合A,定义集合S(A) ={a I 代『A},记集合S(A)的元素个数为d (S(A)).定义变换T，变换T将集合A变换为集合T(A)二AU S(A).(I)若A=「0,1,2?,求S(A),T(A);(n)若集合A有n个元素，证明：“ d(S(A)) =2n_1 ”的充要条件是“集合A中的所有元素能组成公差不为0的等差数列”;[](川)若A {1,2,3,4,5,6,7,8}且{1,2,3, |||,25,26} T(T(A)),求元素个数最少的集合A.。
北京市朝阳区2019届高三第二次(5月)综合练习(二模)数学(理)试题(含答案)
A. { x | x 0} B. { x |1 x 2} C. { x |1 x 2} D. { x | x 0且 x 1}
2. 复数 i(1+i) 的虚部为
A. 2
B. 1
C. 0
D. 1
3.在数学史上， 中外数学家使用不同的方法对圆周率
外观众可以通过网络给每位参赛选手评分
.每位选手的最终得分由专家评分和观众评分确定
.某选手参与比赛
后，现场专家评分情况如下表；场外有数万名 观众参与评分，将评分按照 [7,8),[8,9),[9,10] 分组，绘成频率
分布直方图如下：
专家 A [ B C D E 评分 9.6 9.5 9.6 8.9 9.7
uuur HN .直线 PA 与直线 QB 交
于点 L ，设直线 PA 的斜率记为 k ，直线 QB 的斜率记为 k ，则 k k 的值为 _______；当 变化时， 动点 L 一
定在 __________（填 “圆、椭圆、双曲线、抛物线 ”之中的一个）上 .
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
数共有
个.
14. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 O(0,0), M ( 4,0), N (4,0), P (0, 2), Q (0,2) ， H (4,2) .线段
uuur OM 上的动点 A 满足 OA
uuuur OM (
uuur (0,1)) ；线段 HN 上的动点 B 满足 HB
P(X
2)
C42C11 C53
3 ； P(X
5
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3. 已知 a log 3 e ， b ln3 ， c log3 2 ，则 a ， b ， c 的大小关系是
（ A） c a b （ C） a b c
（B） c b a （D） b a c
4. 在数学史上，中外数学家使用不同的方法对圆周率
进行了
估算 . 根据德国数学家莱布尼茨在 1674 年给出的求 的方法绘
制
的程序框图 如图所示 . 执行该程序框图，输出 s 的值为
（ A） 4
（ B） 8 3
（ C） 52 15
（ D） 304 105
开始
k 0, s 0 s s ( 1)k 4
2k 1
k k1 否
k ≥3 是
输出 s 结束
5. 已知平面向量 a, b 的夹角为 2π，且 a 1, b 2 ，则 a b 3
16. （本小题满分 13 分）
如图，在四边形 ABCD 中， A 60 ， ABC 90 ．已知 AD 3 ， BD 6 ．
（Ⅰ）求 sin ABD 的值；
（Ⅱ）若 CD 2 ，且 CD BC ，求 BC 的长．
D
C
A
B
17. （本小题满分 13 分）
某电视台举行文艺比赛，并通过网络对比赛进行直播
A. 有最小值 3
B.
2
C. 为定值 3
D.
有最大值 5 2
为定值 2
A1
F B1
D1 C1
A B
D E
C
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．把答案填在答题卡上．
9. 函数 f ( x) 2sin x cosx cos2 x 的最小正周期为 .
（ A） 3
（ B） 3
（ C） 7
（ D） 7
6. 已知等差数列 { an} 首项为 a1 ，公差 d 0 . 则“ a1, a3 ,a9 成等比数列” 是“ a1 d ”的
（ A）充分而不必要条件
（ B）必要而不充分条件
（ C）充要条件
（ D）既不充分也不必要条件
7. 已知函数 f ( x)
2x , x a, 若函数 f ( x) 存在零点， 则实数 a 的取值范围是
1 11 正视图
侧视图
3
俯视图
x 1, 13. 实数 x, y 满足 y x, 能说明“若 z x y 的最大值是 4 ，则 x 1, y 3”为假命题
x y 4. 的一组 ( x, y) 值是 . 14. 设全集 U {1,2,3, L ,20} ，非空集合 A ， B 满足以下条件： ① AU B U ， AI B ； ② 若 x A ， y B ，则 x y A 且 xy B . 当 7 A 时， 1______ B （填 或 ），此时 B 中元素个数为 ______.
. 比赛现场由 5 名专家组成评委给每
位参赛选手评分，场外观众也可以通过网络给每位参赛选手评分
. 每位选手的最终得分需要综
合考虑专家评分和观众评分 . 某选手参与比赛后，现场专家评分情况如下表
. 另有约数万名场
外观众参与评分，将观众评分按照 [7,8),[8,9),[9,10] 分组，绘成频率分布直方图如下图 .
x, x a.
（ A） ,0
（ B） 0,
（ C） ,1
（ D） 1,
8. 在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中， E, F 分别为线段 CD 和 A1B1 上的动点，且满
足 CE A1F ，则四边形 D1FBE 所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共
顶点的三个面上的正投影的面积之和
北京市朝阳区高三年级第二次综合练习
数学（文）
（考试时间 120 分钟 满分 150 分）
2019.5
本试卷分为选择题（共 40 分）和非选择题（共 110 分）两部分
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，选出符 合题目要求的一项．
10. 已知点 M (1,2) 在抛物线 C : y2 2 px( p 0) 上，则 p
点的距离是 .
；点 M 到抛物线 C 的焦
11. 圆 C : x2 ( y 1)2 1上的点 P 到直线 l : x 2 y 3 0 的距离的最小值是
.
12. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 1
. 3
.
方案一：计算所有专家与观众评分的平均数
x 作为该选手的最终得分； [Z&X&X&K]
方案二：分别计算专家评分的平均数 手最终得分 .
x1 和观众评分的平均数 x2 ，用 x1 x2 作为该选 2
请直接写出 x 与 x1 x 2 的大小关系 . 2
18. （本小题满分 13 分）
如图 1，在直角梯形 ABCD 中， AB //DC , BAD 90o , AB 4 ， AD 2 ， DC 3 ,
专家 A B[ C D E 评分 10 10 8. 8. 9.
8 97
频率 组距 0.5
a 0.2
（Ⅰ）求 a 的值，并用频率估计概率，估计某场外观众评分不小O于
79 的8 概率9 ；10 评分
（Ⅱ）从现场专家中随机抽取 2 人，求其中评分高于 9 分的至少有 1 人的概率；
（Ⅲ）考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分
请说明理由 . []
三、解答题：本大题 共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15. （本小题满分 13 分）
在等差数列 { an} 中，已知 a1 a3 12, a2 a4 18 , n N . （ I ）求数列 { an} 的通项公式； （ II ）求 a3 a6 a9 ... a3 n .
1. 已知集合 A { x | x 1} ， B { x | x( x 2) 0} ，则 A U B
（ A） { x | x 0}
（ B） { x |1 x 2}
（ C） {x |1 x 2}
2. 复数 i(1+i) 的虚部为
（ A） 1
（B） 0
（ D） { x | x 0且 x 1}
（ C） 1
点 E 在 CD 上，且 DE 2 ，将 △ ADE 沿 AE 折起， 使得平面 ADE 平面 ABCE（如图 2）.
G 为 AE 中点 .
（Ⅰ）求证 : DG 平面 ABCE ；
（Ⅱ）求四棱锥 D ABCE 的体积；
（Ⅲ）在线段 BD 上是否存在点 P ，使得 CP// 平面 ADE ？若存在，求 BP 的值；若不存在， BD