概率-讲义版

课程主题：概率【知识点】一、事件的概念定义：在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件来表示事件一般用大写字母生的事件不可能事件：一定不发事件必然事件：一定发生的确定事件也可能不发生的事件随机事件：可能发生，事件C B A ,,⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧ ➢ 无论是那种事件，都是在一定条件或相对某一条件下的某种结果二、随机事件的概率及其意义大量重复进行同一试验时，事件A 发生的频率nm总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作)(A P .➢ 概率是固定的，频率是不固定的，随着试验次数的增加，频率接近于概率. ➢ 概率表示事件发生的可能性大小，是大量随机事件现象的客观规律.三、事件间的关系及概率的基本性质 1. 事件的关系——对应集合间的关系包含、相等、并事件（和事件）、交事件（积事件）、互斥事件、对立事件（1）互斥事件：若=)(B A P I 0)(=AB P ，即事件A 与事件B 不可能在任一次试验中同时发生，满足)()()(B P A P B A P +=Y .（2）对立事件：若=)(B A P I 0)(=AB P ，=)(B A P Y 1)(=+B A P ，即事件A 与事件B 不可能在任一次试验中发生同时发生，但必有一个发生. 记作--==B A A B ,，满足1)()()()(=+=+-A P A PB P A P . 2. 概率()A P 的取值范围 （1）1)(0≤≤A P ；课程类型：☑ 1对1课程 ☐ Mini 课程 ☐ MVP 课程（2）必然事件的概率1)(=ΩP ，不可能事件的概率0)(=∅P ，随机事件的概率在)1,0(之间； （3）若B A ⊆,则()()B P A P ≤. 四、古典概型1. 基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件.基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以用它们来表示. ➢ 任何两个基本事件都是互斥的；➢ 任何事件（除不可能事件)都可以表示成基本事件的和. 2. 计算公式：=)(A P =总的基本事件个数包含的基本事件个数A步骤：① 判断该概率模型是否为古典概型； ② 算出基本事件的总个数n ；③ 算出事件A 中包含的基本事件的个数m ； ④ 应用等可能性事件概率公式()mP A n=计算. 五、几何概型1. 定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型 为几何概率模型，简称几何概型2. 特点：（1）无限性：在一次试验中，基本事件的个数可以是无限的；（2）等可能性：每个时间发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积、体积）成比例.3. 计算公式：=)(A P 积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A步骤：① 判断该概率模型是否为几何概型，或选择适当的观察角度，转化为几何概型； ② 把事件的全部结果转化为与之对应区域的长度（面积或体积）； ③ 把随机事件A 转化为与之对应区域的长度（面积或体积）； ④ 利用几何概率公式求解. 六、条件概率（*理科内容）概念：对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号P (B |A )来表示，其公式为P (B |A )＝()()A P AB P ． 在古典概型中，若用n (A )表示事件A 中基本事件的个数，则P (B |A )＝()()A n AB n ． 性质：①0≤P (B |A )≤1；②如果B 和C 是两互斥事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )．【课堂演练】题型一概念区分例1指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件（1）天上有云，下雨；（2）在标准大气压且温度高于0度时，冰融化；（3）某人射击一次，不中靶；（4）同时抛两枚硬币一次，都出现正面朝上；（5）没有水分，种子能发芽；（6）从3个次品，1个正品中抽2个产品，抽到的都是正品；（7）从标有1、2、3、4、5的5张标签中任取一张，得到4号签.练1下面语句可成为事件的是（）A.抛一只钢笔B.中靶C.这是一本书吗D.数学测试，某同学两次都是优秀练2从100件同类产品中（其中有2个次品），任取3个，则以下几种，那些是必然事件、不可能事件和随机事件（1）三个正品；（2）两个正品，一个次品；（3）一个正品，两个次品；（4）三个次品；（5）至少一个次品；（6）至少一个正品.例2下列说法正确的是（）A.任何事件的概率总是在)1,0(之间B.频率是客观存在的，与试验次数无关C.随着试验次数的增加，频率一般会非常接近概率D.概率是随机的，在试验前不能确定例3从一批产品中取出三件产品，设A=“三件产品全不是次品”，B=“三件产品全是次品”，C=“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（）A.A与C互斥B.任何两个均互斥C.B与C互斥D.任何两个均不互斥练3 从装有2个红球和2个白球的口袋里任取2个球，则互斥而不对立的两个事件是（ ） A .至少1个白球，都是白球 B .至少1个白球，至少1个红球 C .至少1个白球，都是红球 D .恰好1个白球，恰好2个白球练4 下列几对事件中是对立事件的是（ ） A .1>a 与1≥a B .1<a 与1>aC .10<<a 与30<<aD .1<a 与1≥a练5 将一枚硬币抛掷三次，有如下事件：①至少有一次正面和至多有一次正面②至多有一次正面和恰有两次正面③至多有一次正面和至少有两次正面④至少有一次正面和至多有两次正面.则其中互斥事件有 ，互为对立的事件有 .练6 若)(A B P +1=，则事件A 与B 的关系是（ ） A .A 、B 是互斥事件 B .A 、B 是对立事件C .A 、B 不是互斥事件D .以上都不对题型二 古典概型例4 下列实验中是古典概型的有（ ） A .种下一粒大豆观察它是否发芽B .从规格直径为mm )6.0250(±的一批合格产品中任意抽一件，测量其直径dC .抛一枚硬币，观察其出现正面或反面的情况D .某人射击中靶或不中靶例5 某人射击的命中率为0.3，则在连续的3次射击中，恰好命中两次的概率大概是多少？练7 若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为（ ）. A.23B.25C.35D.910练8 集合{}32，=A ，{}321，，=B ，从B A ，中各取一个数，则这两数之和等于4的概率是（ ） A .32B .21C .31D .61练9 从}5,4,3,2,1{中随机选取一个数为a ，从}3,2,1{中随机选取一个数为b ，则a b >的概率是（ ） A .45 B .35 C .25D .15练10 投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ,“骰子向上的点数为3”为事件B ，则事件A ， B 中至少有一件发生的概率为（ ） A .125B .21C .127D .43练11 随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为1p ，点数之和大于5的概率记为2p ，点数之和为偶数的概率记为3p ，则（ ） A .321p p p << B ．312p p p <<C .231p p p <<D ．213p p p <<练12 设{}3,2,1∈b a ，，那么函数()a bx x x f ++=2无零点的概率为（ ） A .31B .21 C .32 D .95练13 记a ，b 分别是投掷两次骰子所得的数字，则方程022=+-b ax x 有两个不同实根的概率为（ ） A .185 B .41 C .103 D .109例6将骰子先后抛掷两次，求：（1）向上的点数之和为几的概率最大，最大值是多少.（2）向上的点数之和是5的倍数的概率；（3）向上的点数中至少有一个是6点的概率；（4）两个点数中有2或3的的概率；（5）第一次得到的点数比第二次的点数大的概率.练14袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现一次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球,求：（1）一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果；（2）若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率.练15某班数学兴趣小组有男生和女生各3名，现从中任选3名学生去参加校数学竞赛，求：（1）恰有一名参赛学生是男生的概率；（2）至少有一名参赛学生是男生的概率；（3）至多有一名参赛学生是男生的概率.题型三 几何概型例7 某人向正方形的外接圆内投标，如果他每次都投入圆内，那么他投中正方形区域的概率为 ．例8 利用计算机产生0-1之间的均匀随机数a ，则事件“013<-a ”发生的概率为 ．例9 已知公共汽车每15分钟1个班次，每班车到站后停留2分钟，则乘客到达站台后立即乘上车的概率为（ ） A .213 B .215 C .1315 D .216练16 在区间[-2，4]上随机地取一个数x ，则x 满足m x ≤||的概率为65，则=m ．练17 甲乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去，则两人能会面的概率为 ．练18 函数2()2,[5,5]f x x x x =--∈-，那么任意0[5,5]x ∈-，使0()0f x ≤的概率为（ ） A .0.1 B .23C .0.3D .0.4练19 已知集合{}|28M x x =-≤≤，{}2|320N x x x =-+≤，在集合M 中任取一个元素x ，则“x M N ∈I ”的概率是（ ） A .110 B .16 C .310 D .12练20 如图，在边长为25cm 的正方形中挖去边长为23cm 的两个等腰直角三角形，现有均匀的粒子散落在正方形中，问粒子落在 中间带行区域的概率为多少？练21 下图的矩形，长为5，宽为2.在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗.则可以估计出阴影部分的面积约为（B ） A .2310 B .235 C .236 D .2311练22 已知函数R b a b ax x x f ∈+-=,,2)(22，若a 从区间]2,0[中任取一个数，b 从区间]3,0[中任取一个数，求方程0)(=x f 没有实根的概率.练23 甲乙两人相约12：00~13：00在某地会面，假定每人在这段时间的每个时刻到达会面地点的可能性是相同的，先到者等20分钟后便离去，试求两人能会面的概率.练24假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:30—7:30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上7:00—8:00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少.练25在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，从中随机取出2毫升水样到显微镜下观察，求发现大肠杆菌的概率.练26如果在一个5万平方公里的海域里有表面积达40平方公里的大陆架贮藏着石油，假如在这海领域里随意选定一点钻探，问钻到石油的概率是多少.题型四条件概率（*理科内容）例10如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则P(A)＝；P(B|A)＝．练27 一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A ，“第二次出现正面”为事件B ，则P (B |A )等于（ ） A ．12B ．14C ．16D ．18练28 从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )等于（ ） A ．18B ．14C ．25D ．12练29 将三个骰子各掷一次，设事件=A “三个点数都不相同”，=B “至少出现一个3点”，则()B A P 和()A B P 分别是（ ） A ．9160，21 B ．21，9160 C ．185，9160 D ．21691，21【课后巩固】 练习11．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是,M I N ，中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（ ） A ．815B ．18C ．115D ．1302．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（ ） A ．710B ．58C ．38D ．3103．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（ ）A ．13B ．12C ．23D ．564．某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ） A ．13B ．12C ．23D ．345．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是21，甲获胜的概率是31，则甲不输的概率为（ ） A ．65B ．52 C ．61 D ．316．从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ，2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（ ） A ．4n mB ．2n mC ．4mnD ．2m n7．同时掷两颗骰子，下列命题正确的个数是（ ）①“两颗点数都是6”比“两颗点数都是4”的可能性小；②“两颗点数相同的概率”是61； ③“两颗点数都是6”的概率最大；④“两颗点数之和为奇数”的概率与“两颗点数之和为偶数”的概率相等。