全等三角形常见的几何模型图文稿

全等三角形常见的几何

模型

集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）

1、绕点型（手拉手模型）

（1）自旋转：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧，造中心对称遇中点旋全等

遇等腰旋顶角，造旋转，造等腰直角

旋遇，造等边三角形

旋遇自旋转构造方法0000

018090906060

（2）共旋转（典型的手拉手模型）

例1、在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形△ABD 和

△

BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC （2） A E=DC （3） A E 与DC 的夹角为60。

（4） △AGB ≌△DFB

（5） △EGB ≌△CFB

（6） B H 平分∠AHC

（7） G F ∥AC

变式练习1、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明：

（1） △ABE ≌△DBC

（2） A E=DC

（3） A E 与DC 的夹角为60。

（4） A E 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC

变式练习2、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明：

(1)△ABE ≌△DBC

(2)AE=DC

(3)AE 与DC 的夹角为60。

（4）AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC

3、（1）如图1，点C是线段AB上一点，分别以AC，BC为边在AB的同侧作等边△ACM和△CB N，连接AN，BM．分别取BM，AN的中点E，F，连接CE，CF，EF．观察并猜想△CEF的形状，并说明理由．

（2）若将（1）中的“以AC，BC为边作等边△ACM和△CBN”改为“以AC，BC为腰在AB的同侧作等腰△ACM和△CBN，”如图2，其他条件不变，那么（1）中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．

例4、例题讲解：

1. 已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B,C重合），以AD为边作菱形ADEF(按A,D,E,F逆时针排列），使∠DAF=60°,连接CF.

(1)如图1，当点D在边BC上时，求证：①BD=CF②AC=CF+CD.

(2)如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；

(3)如图3，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD 之间存在的数量关系。

2、半角模型

说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。

例1、如图，正方形ABCD的边长为1，AB,AD上各存在一点P、Q，若△APQ的周长为2，

求PCQ

的度数。

例2、在正方形ABCD 中，若M 、N 分别在边BC 、CD 上移动，且满足MN=BM +DN ，求证：①∠MAN=45°；②

△CMN 的周长=2AB ；③AM 、AN 分别平分∠BMN 和∠DNM 。

例3、在正方形ABCD 中，已知∠MAN=45°，若M 、N 分别在边CB 、DC 的延长线上移动：①试探究线段MN 、BM 、DN 之间的数量关系；②求证：AB=AH.

例4、在四边形ABCD 中，∠B+∠D=180°，AB=AD ，若E 、F 分别在边BC 、CD 且上，满足EF=BE+DF.求证：BAD EAF ∠=∠2

1

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