指数与指数函数专题

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指数及指数函数知识点总结及经典例题

高中数学必修1知识点总结—指数及指数函数1、根式na （一般的，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中*1,n n N >∈且.）35325325n n n ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩正数的次方根是正数如当是奇数时，负数的次方根是负数如20,n a n an ⎧>±⎪⎨⎪⎩正数的次方根有个，且互为相反数如：则次方根为当是偶数时，负数没有偶次方根0的任何次方根都是0，记作0n2、nna的讨论 n nn a a =当是奇数时，；,0,0n n a a n a a a a ≥⎧==⎨-≤⎩当是偶数时，（2）分数指数幂的概念）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,mnmna a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：11()()(0,,,m mmnnnaa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr saa aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rsa a a r s R =>∈③()(0,0,)rr rab a b a b r R =>>∈一、指数计算公式：()Q s r a ∈>,,0_____=⋅s r a a ________=sraa _____)(=s r a ______)(=r ab )1,,0_______(>∈>=*n N n m a anm，________=n na 练习计算下列各式的值：计算下列各式的值：（1）)4()3)((636131212132b a b a b a ÷- （2）()322175.003129721687064.0+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛---（3）421033)21(25.0)21()4(--⨯+-- （4）33)3(625π-+-2．已知31=+-x x ，则=+-22x x 已知23=a,513=b，则=-ba 23＝____________. 3. 若21025x x =，则10x x-等于_________________【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数）指数函数函数名称函数名称指数函数指数函数定义定义函数(0x y a a =>且1)a ≠叫做指数函数叫做指数函数图象图象1a >01a <<定义域定义域 R 值域值域(0,)+∞过定点过定点图象过定点(0,1)，即当0x=时，1y =．奇偶性奇偶性非奇非偶非奇非偶单调性单调性在R 上是增函数上是增函数在R 上是减函数上是减函数函数值的函数值的变化情况变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对变化对图象的影响图象的影响在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．越大图象越低．题型1、求函数经过的点 1、2)(f 1-=+x a x )10(≠>a a 且过定点______________2、函数y=4+a x -1的图象恒过定点P 的坐标是________________3.已知指数函数图像经过点)3,1(-p ，则=)3(f题型2、图像问题1.下列说法中：下列说法中：①任取x ∈R 都有3x >2x ； ②当a >1时，任取x ∈R 都有a x >a －x ；③函数y =(3)－x 是增函数；④函数y =2|x |的最小值为1 ；⑤在同一坐标系中，y =2x 与y =2－x 的图象对称于y 轴。

指数与指数函数知识点与题型归纳

指数与指数函数知识点与题型归纳1．根式(1)根式的概念：若x n ＝a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n ＞1且n ∈N *.式子na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．(2)a 的n 次方根的表示；x n＝a ⇒⎩⎨⎧x ＝ n a (当n 为奇数且n >1时)，x ＝±n a (当n 为偶数且n >1时).2．有理数指数幂3a 变化对图象的影响在第一象限内，从逆时针方向看图象，a 逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向看图象，a 逐渐减小．（1）画指数函数图象的三个关键点画指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 1,1. （2）指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y ＝a x ，(2)y ＝b x ，(3)y ＝c x ，(4)y ＝d x 的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c >d >1>a >b .由此我们可得到以下规律：在y 轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．（3）指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)的图像和性质跟a 的取值有关，要特别注意应分a ＞1与0＜a ＜1来研究．题型一指数幂的化简与求值1．化简3a a 的结果是________．2．若(2a －1)2＝3(1－2a )3，则实数a 的取值范围为________． 3.=+3-2-233___________4．已知24714===cba，则cb a 111+-＝________. 5. 已知14x x-+=，求1122x x -+及1x x --的值．题型二指数函数的图象及应用类型一与指数函数有关的图象辨析 6．函数|1|--=x ey |的大致图象是( )7．函数||1)(x e x f -=的图象大致是( )8．函数12+=x y 的图象是________(填序号)．类型二指数函数图象的应用9．函数b a y x-=(a >0且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限，则a b 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(0,1)D ．无法确定 10．函数33+=-x ay (a >0，且a ≠1)的图象过定点________．11. 若曲线13-=x y 与直线y ＝m 有两个不同交点，则实数m 的取值范围是________． 12．若条件变为：方程m x =-13||有两个不同实根，则实数m 的取值范围是________．13．若条件变为：函数m 13+-=x y 的图像不经过第二象限，则实数m 的取值范围是________． 14．函数xa y =(a >0且a ≠1)与函数y ＝(a －1)x 2－2x －1在同一个坐标系内的图象可能是( )15．已知函数xa y ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=421的图象与指数函数xa y =的图象关于y 轴对称，则实数a 的值是___16．设函数⎩⎨⎧>≤+=0,20,1)(x x x x f x,则满足1)1()(>-+x f x f 的x 的取值范围是________． 17．已知实数a ，b 满足等式ba20202019=，下列五个关系式：①0＜b ＜a ；②a ＜b ＜0；③0＜a ＜b ；④b ＜a ＜0；⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式有________(填序号)． 18．设2m ＝3n ，则m ，n 的大小关系一定是（）A ．m ＞nB ．m ＜nC ．m ≥nD ．以上答案都不对题型三指数函数的性质及应用类型一比较指数式大小19．已知2.12=a ，2.021-⎪⎭⎫⎝⎛=b ，2log 25=c ，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b <a <cB ．c <a <bC ．c <b <aD ．b <c <a 20．已知xxx f --=22)(，4197-⎪⎭⎫ ⎝⎛=a ，5179⎪⎭⎫⎝⎛=b ，97log 2=c ，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系为( )A ．f (b )<f (a )<f (c )B ．f (c )<f (b )<f (a )C ．f (c )<f (a )<f (b )D ．f (b )<f (c )<f (a ) 21.设函数axx f -=2)(与xa x g =)((a ＞1且a ≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，则M ＝(a －1)0.2与1.01⎪⎭⎫⎝⎛=a N 的大小关系是( )A ．M ＝NB ．M ≤NC ．M ＜ND ．M ＞N 类型二解不等式与方程 22．不等式1472-->x x a a(0<a <1)的解集为____________．23．设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<-⎪⎭⎫ ⎝⎛=0,0,721)(x x x x f x,若1)(<a f ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)24．当x ∈(－∞，－1]时，不等式024)(2<-⋅-xxm m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－2,1)B ．(－4,3)C ．(－3,4)D ．(－1,2) 25.方程11214=-+xx 的解为________．26. 若不等式0421>⋅++a xx在x ∈(－∞，1]时恒成立，则实数a 的取值范围是________．类型三与指数函数有关的函数最值问题 27．函数y ＝3x 2－2x的值域为________．28．函数12221)(++-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x x f 的递减区间是________，值域是________．29．函数12141+⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=xxy 在区间[－3,2]上的值域是________．类型四与指数函数有关的函数单调性问题 30. 函数124)(+-=x xx f 的单调增区间是________．31. 已知函数|2|2)(m x x f -=(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上单调递增，则m 的取值范围是________． 32．函数221)(x x x f -⎪⎭⎫⎝⎛=的单调递增区间是( )A.⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-21, B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0 C.⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,2133．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]34．设xe xf =)(，0＜a ＜b ，若()ab fp =，⎪⎭⎫⎝⎛+=2b a f q ，)()(b f a f r =，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r ＜pB ．p ＝r ＜qC ．q ＝r ＞pD ．p ＝r ＞q35．若函数f (x )＝a x (a x －3a 2－1)(a >0，且a ≠1)在区间[0，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎥⎦⎤⎝⎛32,0 B.⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,33 C ．(]3,1 D.⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,23 36．已知定义域为R 的函数abx f x x ++-=+122)(是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式0)2()2(22<-+-k t f t t f 恒成立，求k 的取值范围．37．已知函数3241)(1+-=-x x x f λ(－1≤x ≤2)． (1)若23=λ，求函数)(x f 的值域； (2)若函数)(x f 的最小值是1，求实数λ的值．38．函数()4426xx f x +=--，其中[]0,3x ∈（1）求()f x 的最大值与最小值；（2）若存在[]00,3x ∈使()00f x a -≤成立，求实数a 的范围.39．设指数函数xm x f )2()(+=，幂函数32)1()(x m m x g ++=．（1）求m ；（2）设a ＜0，如果存在x 1，x 2∈[﹣2，2]，使得)()(21x g x af >，求a 的取值范围．2.解析：2a －12＝|2a －1|，31－2a3＝1－2a .因为|2a －1|＝1－2a .故2a －1≤0，所以a ≤12.3.解析：原式22(33)2(33)2(33)3324232(31)+++===-----22(33)2(1263)2266(33)(33)+===-+4.解析：由题设可得21a ＝14,21b＝7,21c ＝4，则2-11a b＝147＝2，∴2-+111a b c ＝2×4＝23，∴1a －1b ＋1c ＝3.5.解析：因为14x x-+=，所以 x ＞0，则112122()2426x x x x --+=++=+=，则11226x x-+=因为 1222()216x x x x --+=++=，则2214x x -+=，所以 1222()214212x x x x ---=+-=-=，所以11223x x--==±6.解析：因为－|x －1|≤0，所以0<e －|x －1|≤e 0，即0<y ＝e－|x －1|≤1，故选B.7.解析：选A 由f (x )＝1－e |x |是偶函数，其图象关于y 轴对称，排除B 、D.又e |x |≥1，所以f (x )的值域为 (－∞，0]，排除C.8.解析：由y ＝2x 的图象向左平移1个单位可得y ＝2x＋1的图象．答案：①9.解析：因为函数y ＝a x －b 的图象经过第二、三、四象限，所以函数y ＝a x －b 单调递减且其图象与y 轴的交点在y 轴的负半轴上．令x ＝0，则y ＝a 0－b ＝1－b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1，1－b <0，解得⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，b >1，故a b ∴(0,1)，故选C.10.解析：因为指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象过定点(0,1)，所以在函数y ＝a x －3＋3中，令x －3＝0，得x ＝3，此时y ＝1＋3＝4，即函数y ＝a x －3＋3的图象过定点(3,4)．11.解析：曲线y ＝|3x －1|的图像是由函数y ＝3x 的图像向下平移一个单位长度后，再把位于x 轴下方的图像沿x 轴翻折到x 轴上方得到的，而直线y ＝m 的图像是平行于x 轴的一条直线，它的图像如图所示，由图像可得，如果曲线y ＝|3x －1|与直线y ＝m 有两个公共点，则m 的取值范围是(0,1)．12.解析：作出函数y ＝3|x |－1与y ＝m 的图像如图所示，数形结合可得m 的取值范围是(0，＋∞)．]13.解析：作出函数y ＝|3x －1|＋m 的图像如图所示．由图像知m ≤－1，即m ∴(－∞，－1]．14.解析：选C ；两个函数分别为指数函数和二次函数，其中二次函数过点(0，－1)，故排除A 、D ；二次函数的对称轴为直线x ＝1a －1，当0<a <1时，指数函数递减，1a －1<0，C 符合题意；当a >1时，指数函数递增，1a －1>0，B 不符合题意，选C. 15.解析：由两函数的图象关于y 轴对称，可知12a －4与a 互为倒数，即a2a －4＝1，解得a ＝4.16.解析：画出函数f (x )的大致图象如图所示，易知函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增．又x >x －1，且x －(x －1)＝1，f (0)＝1，所以要使f (x )＋f (x －1)>1成立，结合函数f (x )的图象知只需x －1>－1，解得x >0.故所求x 的取值范围是(0，＋∞)．17.解析：作出y ＝2 019x 及y ＝2 020x 的图像如图所示，由图可知a ＞b ＞0，a ＝b ＝0或a ＜b ＜0时，有2 019a ＝2 020b ，故③④不可能成立．18.解：当m ＞n 时，因为函数y ＝2x 在R 上单调递增，所以2m ＝3n ＞2n ，所以（）n ＞1，所以m ＞n ＞0，当m ＝n 时，（）n ＝1，所以m ＝n ＝0，当m ＜n 时，因为函数y ＝2x 在R 上单调递增，所以2m ＝3n ＜2n ，所以（）n ＜1，所以n ＜0，则m ＜n ＜0，故选：D ．19.解析：因为2.021-⎪⎭⎫⎝⎛=b ＝20.2<21.2＝a ，所以a>b>1.又因为c ＝2log 52＝log 54<1，所以c<b<a.选C20.解析：易知f(x)＝2x －2－x 在R 上为增函数，又0797997514141>=⎪⎭⎫⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=-b a ，c ＝log 279<0，则a>b>c ，所以f(c)<f(b)<f(a)． 21.因为f (x )＝x 2－a与g (x )＝a x (a ＞1且a ≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，所以a ＞2，所以M ＝(a －1)0.2＞1，111.0<⎪⎭⎫⎝⎛=a N ，所以M ＞N .故选D.22.解析：因为y ＝a x (0<a <1)为减函数，所以2x －7<4x －1，解得x >－3；答案为(－3，＋∞)点评：(1)a f(x)＝a g(x)⇔f(x)＝g(x)．(2)a f(x)＞a g(x)，当a ＞1时，等价于f(x)＞g(x)；当0＜a ＜1时，等价于f(x)＜g(x)．23.解析：当a <0时，不等式f (a )<1可化为1721<-⎪⎭⎫ ⎝⎛a ，即821<⎪⎭⎫ ⎝⎛a ，即32121-⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛a ，因为0<12<1，所以a>－3，此时－3<a<0；当a≥0时，不等式f(a)<1可化为a<1，所以0≤a<1. 故a 的取值范围是(－3,1)．24.解析：因为(m 2－m )·4x －2x <0在(－∞，－1]上恒成立．所以(m 2－m )<12x 在x ∴(－∞，－1]上恒成立．因为y ＝12x 在(－∞，－1]上单调递减，所以当x ∴(－∞，－1]时，y ＝12x ≥2，所以m 2－m <2，所以－1<m <2.选D25.解析：当x ≥0时，原方程化为4x ＋2x －12＝0，即(2x )2＋2x －12＝0.∴(2x －3)(2x ＋4)＝0，所以2x ＝3，即x ＝log 23.当x ＜0时，原方程化为4x －2x －10＝0.令t ＝2x ，则t 2－t －10＝0(0＜t ＜1)．由求根公式得t ＝1±1＋402均不符合题意，故x ＜0时，方程无解．26.解析：从已知不等式中分离出实数a ，得⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛->x x a 2141.因为函数x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=41和xy ⎪⎭⎫⎝⎛=21在R 上都是减函数，所以当x ∴(－∞，1]时，4141≥⎪⎭⎫ ⎝⎛x，2121≥⎪⎭⎫ ⎝⎛x，所以4321412141=+≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛xx，从而得432141-≤⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x .故实数a 的取值范围为a ＞－34.即⎪⎭⎫⎝⎛+∞-,4327.解析：设u ＝x 2－2x ，则y ＝3u ，u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，所以y ＝3u ≥3－1＝13，所以函数y ＝3x 2－2x 的值域是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,31.28.解析：令u ＝－x 2＋2x ＋1，则u ＝－(x －1)2＋2.又uy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21在R 上是减函数，则函数12221)(+=-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x x f 的递减区间为函数u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间．由此函数f (x )的递减区间为(－∞，1]．因为u ≤2，则4121)(2=⎪⎭⎫⎝⎛≥x f ，即函数f (x )的值域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,41。

专题09 指数与指数函数(学生版)高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇

【考点预测】1.指数及指数运算(1)高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇专题09指数与指数函数根式的定义：一般地，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中(1n >，)n N *∈，n 称为根指数，a 称为根底数．(2)根式的性质：当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数.当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数.(3)指数的概念：指数是幂运算(0)n a a ≠中的一个参数，a 为底数，n 为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘.(4)有理数指数幂的分类①正整数指数幂()n n a a a a a n N *=⋅⋅⋅⋅∈个；②零指数幂01(0)a a =≠；③负整数指数幂1(0nn aa a-=≠，)n N *∈；④0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．(5)有理数指数幂的性质①+(0m n m n a a a a >=，m ，)n Q ∈；②()(0m n m n a a a >=，m ，)n Q ∈；③()(0mm mab a a b >=，0b >，)m Q ∈(0mn a a >=，m ，)n Q ∈．2.指数函数⑥既不是奇函数，也不是偶函数【方法技巧与总结】1.指数函数常用技巧(1)当底数大小不定时，必须分“1a >”和“01a <<”两种情形讨论．(2)当01a <<时，x →+∞，0y →；a 的值越小，图象越靠近y 轴，递减的速度越快．当1a >时x →+∞，0y →；a 的值越大，图象越靠近y 轴，递增速度越快．(3)指数函数x y a =与1()xy a=的图象关于y 轴对称．【题型归纳目录】题型一：指数运算及指数方程、指数不等式题型二：指数函数的图像及性质题型三：指数函数中的恒成立问题题型四：指数函数的综合问题【典例例题】题型一：指数运算及指数方程、指数不等式例1．（2022·四川凉山·三模（文））计算：)2ln31e 1lg 4lg 0.254-⎛⎫+-++= ⎪⎝⎭______．例2．（2022·河北邯郸·一模）不等式10631x x x --≥的解集为___________.例3．（2022·陕西·榆林市教育科学研究所模拟预测（理））甲､乙两人解关于x 的方程220x x b c -+⋅+=，甲写错了常数b ，得到的根为2x =-或x =217log 4，乙写错了常数c ，得到的根为0x =或1x =，则原方程的根是（）A ．2x =-或2log 3x =B ．1x =-或1x =C ．0x =或2x =D ．1x =-或2x =例4．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()4322x x f x a =-⨯+．则关于x 的不等式()6f x ≤-的解集为（）A ．(,2]-∞-B ．(,1]-∞-C ．[)()2,00,2- D ．[)()2,02,-⋃+∞例5．（2022·全国·高三专题练习）化简：（1）126016(2018)449-⎛⎫+--⨯ ⎪⎝⎭（2111332ab a b -⎫⎪⎭a >0，b >0).（3）312211122211111a a aa a a a a -+--++++-.【方法技巧与总结】利用指数的运算性质解题.对于形如()f x a b =，()f x a b >，()f x a b <的形式常用“化同底”转化，再利用指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解.形如20xx a Ba C ++=或2)00(x x a Ba C ++ 的形式，可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解.题型二：指数函数的图像及性质例6．（2022·浙江绍兴·模拟预测）函数2()()-+=-x xx m f x a a ，的图象如图所示，则（）A ．0,01<<<m aB ．0,1<>m aC ．0,01m a ><<D ．0,1>>m a 例7．（2022·全国·高三专题练习）函数()21xf x m =--恰有一个零点，则m 的取值范围是（）A ．()1,+∞B ．{}()01,∞⋃+C ．{}[)01,∞⋃+D ．[)1,+∞例8．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））函数()11e xf x -=+，下列关于函数()f x 的说法错误的是（）A ．函数()f x 的图象关于原点对称B ．函数()f x 的值域为()0,1C ．不等式()12f x >的解集是()0,∞+D ．()f x 是增函数例9．（2022·河南·三模（文））已知()1f x -为定义在R 上的奇函数，()10f =，且()f x 在[)1,0-上单调递增，在[)0,∞+上单调递减，则不等式()250xf -<的解集为（）A ．()22,log 6B ．()()2,12,log 6-∞⋃C ．()2log 6,+∞D ．()()21,2log 6,⋃+∞例10．（2022·新疆阿勒泰·三模（理））函数11x y a -=+图象过定点A ，点A 在直线()31,0mx ny m n +=>>上，则121m n+-最小值为___________.例11．（2022·北京·高三专题练习）已知()212221x x xf x a +=+-+（其中a R ∈且a 为常数）有两个零点，则实数a 的取值范围是___________.例12．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()22x x f x k -=+⋅（k 为常数，k ∈R ）是R 上的奇函数．(1)求实数k 的值；(2)若函数()y f x =在区间[]1,m 上的值域为15,4n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求m n +的值．【方法技巧与总结】解决指数函数有关问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析，从图像与性质找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响.题型三：指数函数中的恒成立问题例13．（2022·北京·高三专题练习）设()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，()2xf x -=，若对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()2f x f x m -≥恒成立，则正数m 的取值范围为（）A ．m 1≥B ．1mC ．01m <<D ．01m <≤例14．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()33x xf x -=-．(1)利用函数单调性的定义证明()f x 是单调递增函数；(2)若对任意[]1,1x ∈-，()()24f x mf x ⎡⎤+≥-⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围．例15．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()3(21xf x a a =-+为实常数).（1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）当()f x 为奇函数时，对任意[]1,6x ∈，不等式()2xuf x ≥恒成立，求实数u 的最大值.例16．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数1()421x x f x a +=-+ ．（1）若函数()f x 在[0x ∈，2]上有最大值8-，求实数a 的值；（2）若方程()0f x =在[1x ∈-，2]上有解，求实数a 的取值范围．例17．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2()f x x =，1()2xg x m⎛⎫=- ⎪⎝⎭（1）当[1,3]x ∈-时，求()f x 的值域；（2）若对[]0,2x ∀∈，()1g x 成立，求实数m 的取值范围；（3）若对[]10,2x ∀∈，2[1,3]x ∃∈-，使得12()()g x f x 成立，求实数m 的取值范围．【方法技巧与总结】已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．题型四：指数函数的综合问题例18．（2022·天津河西·二模）已知定义在R 上的函数()f x 满足：①()2()0f x f x -+=；②()()20f x f x ---=；③在[]1,1-上的解析式为()[](]πcos ,1,021,0,1x x f x x x ⎧∈-⎪=⎨⎪-∈⎩，则函数()f x 与函数1()2xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象在区间[]3,3-上的交点个数为()A ．3B ．4C ．5D ．6例19．（2022·北京·二模）若函数()()223,02,0xx f x x x a⎧+≤⎪=⎨-<≤⎪⎩的定义域和值域的交集为空集，则正数a 的取值范围是（）A ．(]0,1B ．()0,1C ．()1,4D ．()2,4例20．（2022·甘肃省武威第一中学模拟预测（文））已知函数()4sin 22x x f x =++，则124043202220222022f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭______．例21．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为R ，满足()()121f x f x +=-，且当(]1,1x ∈-时，()12x f x -=，则()2020f =______．例22．（2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测）已知函数()221010,231,2x x x f x x x --⎧-≤⎪=⎨-->⎪⎩，则不等式()()10f x f x +-<的解集为___________.例23．（2022·江西·二模（文））设函数()2,111,12x a x f x x x --⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若()1f 是函数()f x 的最大值，则实数a 的取值范围为_______．【过关测试】一、单选题1．（2022·北京通州·模拟预测）已知函数1()33xxf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x （）A ．是偶函数，且在R 是单调递增B ．是奇函数，且在R 是单调递增C ．是偶函数，且在R 是单调递减D ．是奇函数，且在R 是单调递减2．（2022·安徽淮南·二模（理））1947年，生物学家Max Kleiber 发表了一篇题为《body size and metabolicrate 》的论文，在论文中提出了一个克莱伯定律：对于哺乳动物，其基础代谢率与体重的34次幂成正比，即340F c M =，其中F 为基础代谢率，M 为体重．若某哺乳动物经过一段时间生长，其体重为原来的10倍，则基础代谢率1.7783≈）（）A ．5.4倍B ．5.5倍C ．5.6倍D ．5.7倍3．（2022·陕西·西安中学模拟预测（文））英国著名数学家布鲁克-泰勒以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世.在数学中，泰勒级数用无限连加式来表示一个函数，泰勒提出了适用于所有函数的泰勒级数，并建立了如下指数函数公式：23e 126!nxx x x x n =+++++++ ，其中R,N x n ∈∈的近似值为（精确到0.01）（）A ．1.63B ．1.64C ．1.65D ．1.664．（2022·河南洛阳·二模（文））已知函数()()1331,1log 52,1x x f x x x +⎧-≥⎪=⎨-+-<⎪⎩，且()2f m =-，则()6f m +=（）A ．26B ．16C ．－16D ．－265．（2022·四川成都·三模（理））若函数()9x f x =0x ，则()0091xx -=（）．A ．13B ．1CD ．26．（2022·河南·开封高中模拟预测（文））若关于x 的不等式()221xxa x ⋅>+∈R 有实数解，则实数a 的取值范围是（）A ．()1,+∞B ．()2,+∞C ．[)1,+∞D ．[)2,+∞7．（2022·四川·内江市教育科学研究所三模（理））已知函数()f x 满足：对任意x ∈R ，1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．当[1,0)x ∈-时，()31x f x =-，则()3log 90=f （）A ．19B ．19-C ．1727D ．1727-8．（2022·上海宝山·二模）关于函数131()(22xx f x x =-⋅和实数,m n 的下列结论中正确的是（）A ．若3m n -<<，则()()f m f n >，下列选项中正确的为（）A 1=，则1a b －＜B ．若221a b －＝，则1a b －＜C ．若22=1a b -，则1a b －＜D ．若22log log 1a b -=，则1a b －＜11．（2022·广东肇庆·模拟预测）若a b >，则下列不等式中正确的有（）A ．0a b ->B ．22a b>C ．ac bc>D ．22a b >12．（2022·全国·模拟预测）已知函数14sin ,01()2,1x x x f x x x -<≤⎧=⎨+>⎩，若存在三个实数，使得()()()123f x f x f x ==，则（）A ．123x x x ++的取值范围为()2,3B ．()23x f x 的取值范围为5,23⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．123x x x 的取值范围为51,362⎛⎫⎪⎝⎭D ．()13x f x 的取值范围为1,23⎛⎫⎪⎝⎭三、填空题13．（2022·安徽淮北·一模（理））2log142-⎛⎫++= ⎪⎝⎭___________.14．（2022·四川·模拟预测（理））已知两个条件：①,,()()()a b f a b f a f b ∈+=⋅R ；②()f x 在(0,)+∞上单调递减.请写出一个同时满足以上两个条件的函数____________.15．（2022·河南·模拟预测（文））函数()1423x x f x +=-+在1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦的值域为______．16．（2022·山西·二模（理））已知函数()322x xx f x -=-给出下列结论：①()f x 是偶函数；②()f x 在()0, +上是增函数；③若0t >，则点()(),t f t 与原点连线的斜率恒为正．其中正确结论的序号为______．四、解答题17．（2022·全国·高三专题练习）由于突发短时强降雨，某小区地下车库流入大量雨水.从雨水开始流入地下车库时进行监测，已知雨水流入过程中，地下车库积水量y （单位：3m ）与时间t （单位：h ）成正比，雨停后，消防部门立即使用抽水机进行排水，此时y 与t 的函数关系式为25ty k ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭（k 为常数），如图所示.(1)求y 关于t 的函数关系式；(2)已知该地下车库的面积为25602m ，当积水深度小于等于0.05m 时，小区居民方可入内，那么从消防部门开始排水时算起，至少需要经过几个小时以后，小区居民才能进入地下车库？18．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算：1294⎛⎫- ⎪⎝⎭（﹣9.6）0﹣22327283--⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）已知1122a a-+=3，求22112a a a a --++++的值．19．（2022·全国·高三专题练习）已知a >0，且a ≠1，若函数y ＝|ax －2|与y ＝3a 的图象有两个交点，求实数a 的取值范围．20．（2022·全国·高三专题练习）设函数()(0x x f x ka a a -=->且1)a ≠是定义域为R 的奇函数；（1）若()10f >，判断()f x 的单调性并求不等式(2)(4)0f x f x ++->的解集；（2）若()312f =，且22()4()x xg x a a f x -=+-，求()g x 在[1,)+∞上的最小值．21．（2022·北京·高三专题练习）定义在D 上的函数()f x ，如果满足:对任意,x D ∈存在常数0,M >都有()M f x M -≤≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的上界.已知()422x x f x a =+⋅-.（1）当2a =-时，求函数()f x 在()0,∞+上的值域，并判断函数()f x 在()0,∞+上是否为有界函数﹐请说明理由﹔（2）若函数()f x 在(),0-∞上是以2为上界的有界函数，求实数a 的取值范围.22．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()(0,0,1,1)x x f x a b a b a b =+>>≠≠.(1)设12,2a b ==，求方程()2f x =的根；(2)设12,2a b ==，若对任意x ∈R ，不等式()()26f x f x m ≥-恒成立，求实数m 的最大值；(3)若01,1a b <<>，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值.。

指数与指数函数知识点

指数与指数函数知识点一、指数运算的基本性质1.任何数的0次方等于12.非零数的负指数等于该数的倒数。

3.相同底数的指数之间的乘方运算，底数保持不变，指数相加。

4.相同指数的指数之间的乘方运算，指数保持不变，底数相乘。

二、指数运算的规律1.法则1：a的m次方乘以a的n次方，等于a的m加n次方。

2.法则2：a的m次方除以a的n次方，等于a的m减n次方。

3.法则3：（a的m次方）的n次方，等于a的m乘n次方。

4.法则4：a的m次方的p次方，等于a的m乘p次方。

5.法则5：零的任何正次方都是0，零的0次方没有意义，规定为1三、指数函数的定义与性质指数函数的定义为：y=a^x，其中a>0且a≠1，a为底数，x为指数。

指数函数可以看作是以底数为底，自变量为指数的函数。

指数函数的性质如下：1.底数a大于1时，指数函数是递增的，即自变量x的增大，函数值y也增大。

2.底数a介于0和1之间时，指数函数是递减的，即自变量x的增大，函数值y也减小。

3.指数函数的图象都经过点(0,1)，即当x=0时，y=14.指数函数的图象在直线x=0和y=0上均没有交点。

5.指数函数的图象没有水平渐近线，但有一条过点(0,0)的铅直渐近线。

指数函数常见的应用有：1.在金融领域中，指数函数可以用来描述货币的增长规律，例如复利计算。

2.在自然科学领域中，指数函数可以用来描述人口增长、病原体传播等现象。

3.在电路中，指数函数可以用来描述电容、电感等元件的充放电过程。

4.在计算机领域中，指数函数可以用来描述算法的时间复杂度、空间复杂度等特性。

总结：。

指数与指数函数高考知识点

指数与指数函数高考知识点指数和指数函数是高考数学中的重要知识点，涉及到数学中的指数概念、指数运算、指数函数及其性质等内容。

本文将以深入浅出的方式，详细介绍指数与指数函数的相关知识。

一、指数的概念及性质指数是数学中常用的表示方式，用于表示一个数的乘方。

指数的定义为：若a为非零实数，n为自然数（n≠0），则aⁿ称为以a为底的指数。

其中，a称为底数，n称为指数。

指数的性质有以下几点：1. 任何非零数的0次方都等于1，即a⁰=1（a≠0）；2. 任何非零数的1次方都等于它本身，即a¹=a（a≠0）；3. 指数相同、底数相等的两个指数相等，即aⁿ=aᵐ（a≠0，n≠0，m≠0）；4. 任何数的负整数次方都可以表示为其倒数的相应正整数次方，即a⁻ⁿ=1/(aⁿ)（a≠0，n≠0）；5. 不同底数、相同指数的指数大小可以通过底数的大小来判断，当0<a<b时，aⁿ<bⁿ（a，b，n都是实数且n>0）。

二、指数运算法则指数运算是指在进行乘方运算时，如何将指数进行运算。

在指数运算中，有以下几条法则：1. 乘法法则：同底数的指数相加，保持底数不变，指数相加，即aⁿ⋅aᵐ=aⁿ⁺ᵐ（a≠0，n≠0，m≠0）；2. 除法法则：同底数的指数相减，保持底数不变，指数相减，即aⁿ/aᵐ=aⁿ⁻ᵐ（a≠0，n≠0，m≠0）；3. 乘方法则：一个数的乘方再乘以另一个数的乘方，底数不变，指数相乘，即(aⁿ)ᵐ=aⁿᵐ（a≠0，n≠0，m≠0）；4. 开方法则：一个数的乘方再开方，底数不变，指数取两个数的最小公倍数，即(aⁿ)^(1/ᵐ)=aⁿ/ᵐ（a≠0，n≠0，m≠0）。

三、指数函数的定义与图像指数函数是一种特殊的函数形式，具有以下定义：形如y=aᵘ（a>0，且a≠1）的函数称为指数函数。

在指数函数中，a称为底数，u称为自变量，y称为因变量。

指数函数的图像特点如下：1. 当底数0<a<1时，函数图像呈现下降趋势，越接近x轴，函数值越接近于0；2. 当底数a>1时，函数图像呈现上升趋势，越接近x轴，函数值越接近于0；3. 当底数a=1时，函数图像为水平直线y=1，与自变量无关。

高考数学复习指数与指数函数-重难点题型精讲(解析)

专题2.11 指数与指数函数-重难点题型精讲1．分数指数幂（1)m na ＝n，a m (a >0，m ,n ∈N ＊，且n 〉1);m na＝1m na（a >0，m ，n ∈N ＊,且n 〉1);0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2）有理数指数幂的运算性质：a r a s ＝a r ＋s ，（a r )s ＝a rs ，(ab ）r ＝a r b r ，其中a 〉0，b >0，r ,s ∈Q . 2．指数函数的图象与性质（1）R 【思考】1。

如图所示是指数函数(1）y ＝a x ，(2）y ＝b x ,（3)y ＝c x ，(4）y ＝d x 的图象，则a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为________．提示 c 〉d >1〉a 〉b >02．结合指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1）的图象和性质说明a x >1(a >0,a ≠1）的解集是否与a 的取值有关．提示当a >1时，a x >1的解集为｛x |x >0}；当0<a <1时，a x >1的解集为｛x ｜x <0｝．【题型1 指数幂的运算】【例1】(2020秋•荔湾区校级期中）化简下列各式．（1)（√23⋅√3）6﹣4•（1649）−12−√24•80.25﹣（2020）0；（2）√a 3b 2⋅√ab 23(a 14b 12)4⋅√a3(a ＞0，b ＞0）．【解题思路】利用有理数指数幂的运算性质求解．【解答过程】解：（1）原式=(213×312)6−4×(47)2×(−12)−214×814−1 ＝4×27﹣7−(2×8)14−1 ＝108﹣7﹣2﹣1 ＝98．（2)原式=a 32⋅b 22⋅a 16⋅b 26a⋅b2⋅a −13⋅b 13=a 53⋅b 43a 23⋅b 73＝ab ﹣1．【变式1—1】（2020秋•济宁期中）（1）计算：（94）12−（﹣9.6）0﹣（278）−23+(23)−2;（2)已知a 12+a−12=3，求a 2+a −2+1a+a −1+2的值．【解题思路】（1）根据指数幂的运算法则即可求出；(2)根据完全平方公式即可求出．【解答过程】解：（1）原式=32−1﹣（32）3×(−23)+94=32−1−49+94=8336，（2)∵a 12+a −12=3，∴a +a ﹣1＝（a 12+a −12）2﹣2＝7，∴a 2+a ﹣2＝(a +a ﹣1）2﹣2＝47，∴原式=47+17+2=489=163．【变式1-2】(2020秋•新泰市校级期中）化简求值：（请写出化简步骤过程）①0.064−13−(−59)0+[(−2)3]−43+16−0.75+0.0112；②1.5−13×(−76)0+814×√24+(√23×√3)6−√(−23)23．【解题思路】把根式化为分数指数幂,根据幂的运算法则计算即可．【解答过程】解：①0.064−13−(−59)0+[(−2)3]−43+16−0.75+0.0112 =(0.43)−13−1+(−2)3×(−43)+（24）﹣0。

(完整word版)指数及指数函数知识点及习题

指数及指数函数（一）指数与指数幂的运算1．根式的概念一般地，如果a x n=，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *．当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数．此时，a 的n 次方根用符号n a 表示．式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号－n a 表示．正的n 次方根与负的n 次方根可以合并成±n a （a >0）．由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n ．结论：当n 是奇数时，a a n n =当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)0()0(||a a a a a a n n2．分数指数幂)1,,,0(*>∈>=n N n m a a an m nm)1,,,0(11*>∈>==-n N n m a a aanmnm nm0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．有理指数幂的运算性质（1）r a ·sr r aa += ),,0(Q s r a ∈>；（2）rssr a a =)( ),,0(Q s r a ∈>；（3）srra a ab =)(),0,0(Q r b a ∈>>．（一）指数函数的概念一般地，函数)1a ,0a (a y x≠>=且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ．注意：○1 指数函数的定义是一个形式定义 ○2 注意指数函数的底数的取值范围，底数为什么不能是负数、零和1．（二）指数函数的图象和性质注意内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．指数函数的图象如右图：4图象特征函数性质1a > 1a 0<< 1a > 1a 0<<向x 、y 轴正负方向无限延伸函数的定义域为R 图象关于原点和y 轴不对称非奇非偶函数函数图象都在x 轴上方函数的值域为R +函数图象都过定点（0，1） 1a 0=自左向右看，图象逐渐上升自左向右看，图象逐渐下降增函数减函数在第一象限内的图象纵坐标都大于1 在第一象限内的图象纵坐标都小于1 1a ,0x x >> 1a ,0x x <>在第二象限内的图象纵坐标都小于1 在第二象限内的图象纵坐标都大于1 1a ,0x x <<1a ,0x x ><图象上升趋势是越来越陡图象上升趋势是越来越缓函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快；函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢；利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [；（2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈；（3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =；（4）当1a >时，若21x x <，则)x (f )x (f 21<；指数与指数函数练习题一、选择题：1、化简1111132168421212121212-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，结果是（） A 、11321122--⎛⎫- ⎪⎝⎭B 、113212--⎛⎫- ⎪⎝⎭ C 、13212-- D 、1321122-⎛⎫- ⎪⎝⎭2、44等于（） A 、16a B 、8a C 、4a D 、2a3、若1,0a b ><,且b b a a -+=则b b a a --的值等于（）A 、6B 、2±C 、2-D 、24、函数()2()1xf x a =-在R 上是减函数，则a 的取值范围是（）A 、1>a B 、2<a C、a <、1a <<5、下列函数式中，满足1(1)()2f x f x +=的是( )A 、 1(1)2x +B 、14x + C 、2x D 、2x -6、已知01,1a b <<<-,则函数xy a b =+的图像必定不经过（） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限7、一批设备价值a 万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低%b ，则n 年后这批设备的价值为（）A 、(1%)na b -B 、(1%)a nb -C 、[1(%)]n a b -D 、(1%)na b -8、若103,104x y ==，则10x y -= 。

专题2.5 指数及指数函数(解析版)

第五讲指数及指数函数【套路秘籍】一．根式1.根式的概念2.两个重要公式①na n＝⎩⎨⎧a(n为奇数)，|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a(a≥0)，－a(a<0)(n为偶数)；②(na)n＝a(注意a必须使na有意义)．二．有理指数幂(1)分数指数幂的表示①正数的正分数指数幂是mna＝na m(a>0，m，n∈N*，n>1)；②正数的负分数指数幂是mna＝1mna＝1na m(a>0，m，n∈N*，n>1)；③0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂无意义．(2)有理指数幂的运算性质①a s a t＝a s＋t(a>0，t，s∈Q)；②(a s)t＝a st(a>0，t，s∈Q)；③(ab)t＝a t b t(a>0，b>0，t∈Q)．三．指数函数的图象与性质（1）指数函数的定义一般地，函数y ＝a x(a >0，a ≠1)叫做指数函数，函数的定义域是R . （2）指数函数的图象与性质R 【套路修炼】考向一指数的运算【例1】计算化简(1)(12)−1+823+(2019)0= .（2）(278)13−(30.5)2+(0.008)−23×425=______．（3）已知x 12+x −12=3，求下列各式的值： ①x +x−1；②x 2+x−2；③x 32−x−32x 12−x −12.【答案】（1）7 （2）52 （3）－6a b（4）①7②47③8【解析】(1)(12)−1+823+(2019)0=2+4+1=7（2）(278)13−(30.5)2+(0.008)−23×425，=(32)3×13−312×2+(15)3×(−23)×425 =32−3+4=52．（3）①因为x 12+x −12=3，所以(x 12+x −12)2=x +2+x −1=9,即x +x −1=7.②因为x +x −1=7所以(x +x −1)2=x 2+2x ⋅x −1+x −2=x 2+2+x −2=49，即x 2+x −2=47. ③x 32−x−32x 12−x −12=(x 12)3−(x−12)3x 12−x −12=(x 12−x−12)(x+1+x −1)x 12−x −12=x +1+x −1=8.【举一反三】1．0.027−13−(−16)−2+2560.75+(125729)−13+(59)−1−729−16＝__________.【答案】31 【解析】原式＝0.3−1−36+25634−(125729)−13+95−93×(−16)=103−36+43−95+95−13=31.故答案为：312．化简：(√3+√2)2015×(√3−√2)2016＝_________________________________. 【答案】√3−√2【解析】(√3+√2)2015×(√3−√2)2016 =[(√3+√2)(√3−√2)]2015×(√3−√2)=√3−√2. 故答案为：√3−√23．(0.25)12−[−2×(37)0]2×[(-2)3]43+(√2-1)-1-212＝________．【答案】−1252【解析】原式=(14)12−(−2)2×(−2)4√2−1√2=12−4×16+(√2−1)−√2 =12−4×16+(√2+1)−√2 =−1252，故答案为−1252.4.已知x ＋x －1＝3，则3322xx的值为．【答案】 2 5 【解析】11222()x x ＝x ＋2＋x －1＝5，11225,xx331112222()(1)x x x x x x ＝5(3－1)＝2 5.5.已知a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，且a >b >0，则a －ba ＋b＝ . 【答案】55【解析】由已知得，a ＝3＋5，b ＝3－5，所以a ＋b ＝6，ab ＝4，所以⎝⎛⎭⎪⎫a －b a ＋b 2＝a ＋b －2ab a ＋b ＋2ab ＝6－246＋24＝15.因为a >b >0，所以a >b ，所以a －b a ＋b ＝55. 6．设2x＝8y ＋1，9y ＝3x －9，则x ＋y 的值为．【答案】 27 【解析】 ∵2x＝8y ＋1＝23(y ＋1)，∴x ＝3y ＋3，∵9y ＝3x －9＝32y，∴x －9＝2y ，解得x ＝21，y ＝6，∴x ＋y ＝27.7．已知a －1a＝3(a >0)，则a 2＋a ＋a －2＋a －1的值为．【答案】 11＋13【解析】由a －1a＝3，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a 2＝9，即a 2＋1a2－2＝9，故a 2＋a －2＝11.又(a ＋a －1)2＝a 2＋a －2＋2＝11＋2＝13，且a >0，所以a ＋a －1＝13.于是a 2＋a ＋a －2＋a －1＝11＋13.考向二指数函数的判断【例2】函数f(x)＝(a 2－3a ＋3)a x是指数函数，则有（） A ．a ＝1或a ＝2 B ．a ＝1 C ．a ＝2 D ．a>0且a ≠1 【答案】C【解析】函数f(x)＝(a 2－3a ＋3)a x 是指数函数,根据指数函数的定义得到a 2－3a ＋3=1，且a>0,解得a=1或2，因为指数函数的底数不能为1，故结果为2.故答案为：C.【举一反三】1．函数y =（a 2–3a +3）⋅a x 是指数函数，则a 的值为 A ．1或2 B ．1 C ．2 D ．a >0且a ≠1的所有实数【答案】C【解析】∵y =（a 2–3a +3）⋅a x是指数函数，∴{a 2−3a +3=1a >0且a ≠1，解得a =2．故选C ．2．函数f （x ）=（2a –3）a x 是指数函数，则f （1）= A ．8 B ．32 C ．4 D ．2【答案】D【解析】函数f （x ）=（2a-3）a x 是指数函数，∴2a-3=1，解得a=2；∴f （x ）=2x ，∴f （1）=2．故选：D ． 3．函数f (x )=(m 2−m −1)a x 是指数函数，则实数m =（） A ．2 B ．1 C ．3 D ．2或−1 【答案】D【解析】由指数函数的定义，得m 2−m −1=1，解得m =2或−1，故选D.考向三指数函数的单调性【例3】函数f (x )=51−|2x+4|的单调递增区间为（） A ．[−2,+∞) B ．[−32,+∞)C ．(−∞,−32]D ．(−∞,−2]【答案】D【解析】由题意，函数f (x )的定义域为R ，设u =g (x )=1−|2x +4|={−2x −32x +5 x >−2x ≤−2，则g (x )在(−2,+∞)上单调递减，在(−∞,−2]上单调递增，又因为y =5u 在R 上单调递增，根据复合函数的单调性，可得函数f (x )的单调递增区间为(−∞,−2].【举一反三】 1.函数f （x ）=e −x 2+4x−9的单调递增区间是（）A ．(−2,+∞)B ．(2,+∞)C ．(−∞,−2)D ．(−∞,2)【答案】D【解析】因为y =e x ，是指数函数，是增函数，y =−x 2+4x −9是开口向下的二次函数，所以x ＜2时，二次函数y =−x 2+4x −9是增函数，x ＞2时，y =−x 2+4x −9是减函数，由复合函数的单调性可知：函数f （x ）=e −x 2+4x−9的单调递增区间是（−∞，2）．故选：D ．2.函数f (x )＝4x－2x ＋1的单调增区间是________．【答案】 [0，＋∞)【解析】设t ＝2x (t >0)，则y ＝t 2－2t 的单调增区间为[1，＋∞)，令2x ≥1，得x ≥0，又y ＝2x在R 上单调递增，所以函数f (x )＝4x －2x ＋1的单调增区间是[0，＋∞)．3．若函数f (x )＝a|2x －4|(a >0，a ≠1)满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是________．【答案】 [2，＋∞)【解析】由f (1)＝19，得a 2＝19，所以a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，所以f (x )在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减．考向四指数函数的定义域和值域【例4】（1）函数y =√4−2x 的定义域为_______．（2）设函数f （x ）=√4−4x ，则函数f （x4）的定义域为。

指数与指数函数

思维启迪换元令 t＝ax，利用二次函数和指数函数的单
调性来研究函数的单调性，构建方程获解．解令 t＝ax (a>0 且 a≠1)，
则原函数化为 y＝(t＋1)2－2 (t>0)． ①当 0<a<1 时，x∈[－1,1]，t＝ax∈a，1a，此时 f(t)在a，1a上为增函数．所以 f(t)max＝f1a＝1a＋12－2＝14. 所以1a＋12＝16，所以 a＝－15或 a＝13. 又因为 a>0，所以 a＝13.
3．指数函数的图象与性质
y＝ax
a>1
0<a<1
图象
定义域
(1) R
值域性质
(2) (0，＋∞)
(3)过定点 (0,1) (4)当 x>0 时， y>1 ； (5)当 x>0 时， 0<y<1 ；
x<0 时， 0<y<1
x<0 时， y>1
(6)在 R 上是增函数 (7)在 R 上是减函数
[难点正本疑点清源] 1．根式与分数指数幂的实质是相同的，通常利用分数
∴y2＝4a，y2＝ 2x2 ＝4a.
∴x2＝2a，即 B(2a,4a)．又∵点 O、A、B 共线，∴2aa＝24aa， ∴2a＝2，即 a＝1.∴A 的坐标为(1,2)．
题型三指数函数的性质
例3 设 a>0 且 a≠1，函数 y＝a2x＋2ax－1 在[－1,1]上
的最大值是 14，求 a 的值．
由上式推得 t2－2t>－2t2＋k.
[12 分]
即对一切 t∈R 有 3t2－2t－k>0，而 Δ＝4＋12k<0，解得 k<－13.

专题33指数运算与指数函数(基础巩固卷)(北师大版2019)(原卷版)

专题3.3 指数运算与指数函数（基础巩固卷）考试时间：120分钟；满分：150分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（2022·江苏省宝楠国际学校高一阶段练习）(32)12−100的值为（）A．﹣2B．2C．﹣4D．42．（2021·全国·高一专题练习）如果指数函数f(x)=a x(a>0，且a≠1)的图象经过点(2,4)，那么a的值是（）A．√2B．2C．3D．43．（2021·全国·高一专题练习（理））化简√a3b2√ab23(a 14b12)4⋅√ba3(a>0，b>0)的结果是（）A．ba B．abC．a2bD．b2a4．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，函数y=|2x−2|的图像是（）A．B．C．D．5．（2023·全国·高三专题练习）函数f(x)=a x−b的图像如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（）A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <06．（2021·全国·高一专题练习）函数y =2x −2−x （） A ．是R 上的减函数 B ．是R 上的增函数C ．在(−∞,0)上是减函数，在(0,+∞)上是增函数D ．无法判断其单调性7．（2022·全国·高一单元测试）若函数f (x )=a x （a >0且a ≠1）在区间[−2,2]上的最大值和最小值的和为103，则a 的值为（）A ．13B ．√33C ．√3D ．√33或√38．（2021·全国·高一课前预习）若0<a <b <1，x =a b ，y =b a ，z =b b ，则x ，y ，z 的大小关系为（） A ．x <z <y B ．y <x <z C ．y <z <x D ．z <y <x二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（2021·广东·珠海市田家炳中学高一期中）下列运算结果中，一定正确的是( ) A ．a 3·a 4=a 7B ．(−a 2)3=a 6C ．√a 88=aD ．√(−π)55=−π10．（2022·福建·宁德市高级中学高三阶段练习）若函数y =a x −(b +1)（a >0且a ≠1）的图像过第一、三、四象限，则必有（）． A ．0<a <1B ．a >1C ．b >0D ．b <011．（2022·福建·上杭一中高三阶段练习）下列函数既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的是（） A ．f (x )=2|x|B ．f (x )=x −2C ．f (x )=x −1xD ．f (x )=2x2+212．（2021·全国·高一专题练习）下列说法中，正确的是（） A ．任取x ∈R ，都有3x >2x .B ．y =(√3)−x 是增函数．C ．y =2|x|的最小值为1.D ．在同一坐标系中y =2x 与y =2−x 的图像关于y 轴对称．三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（2022·全国·高一单元测试）若a >0且a ≠1，则函数f(x)=a x−4+3的图像恒过的定点的坐标为______． 14．（2022·全国·高一单元测试）已知函数f (x )是指数函数，且f (2)=9，则f (12)=______． 15．（2022·全国·高一单元测试）函数f (x )=4x −2x+1+3在(−∞,12]的值域为______．16．（2022·全国·高一专题练习）已知a =(35)−13,b=(35)−14,c=(32)−34,则a ，b ，c 的大小关系是________.四．解答题（共6小题，满分70分）17．（2021·全国·高一课时练习）已知指数函数f(x)=a x （a >0，且a ≠1），且f(3)=π，求f(0),f(1),f(−3)的值.18．（2021·全国·高一专题练习）计算下列各式（式中字母均是正数）：（1）(2a 23b 12)(−6a 12b 13)÷(−3a 16b 56)；（2）(m 14n −38)8；（3）(√a 23−√a 3)÷√a 24.19．（2022·全国·高一课时练习）（1）已知x 12+x−12=3，计算：x2+x−2−7x+x−1+x12+x−12；（2）设2x=8y+1，9y=3x−9，求x+y的值．20．（2022·全国·高一课时练习）已知定义域为R的函数f(x)=−2x+b2x+1+a是奇函数．(1)求f(x)的解析式；(2)用定义证明f(x)的单调性．)．21．（2021·全国·高一课时练习）已知指数函数f(x)=a x(a>0且a≠1)的图象经过点(2,14 (1)求指数函数f(x)的解析式；的实数R的取值范围．(2)求满足不等式f(|x|)<1422．（2022·全国·高一课时练习）已知函数f(x)=2x−4x.（1）求y=f(x)在[−1,1]上的值域；（2）解不等式f(x)>16−9⋅2x；（3）若关于x的方程f(x)+m−1=0在[−1,1]上有解，求m的取值范围.。

高考数学专题：指数与指数函数

高考数学专题:指数与指数函数最新考纲 1.了解指数函数模型的实际背景；2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，3，10，12，13的指数函数的图象；4.体会指数函数是一类重要的函数模型.知识梳理1.根式(1)概念:式子na 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数.(2)性质:(na )n＝a (a 使na 有意义)；当n 为奇数时，n a n ＝a ，当n 为偶数时，n a n＝|a |＝⎩⎨⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.2.分数指数幂(1)规定:正数的正分数指数幂的意义是a mn a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是a －mn ＝1(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质:a r a s ＝a r ＋s ；(a r )s ＝a rs ；(ab )r ＝a r b r ，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q . 3.指数函数及其性质(1)概念:函数y ＝a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是变量，函数的定义域是R ，a 是底数.(2)指数函数的图象与性质R1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT 展示(1)4（－4）4＝－4.( ) (2)(－1)24＝(－1)12＝－1.( ) (3)函数y ＝2x －1是指数函数.( ) (4)函数y ＝a x2＋1(a >1)的值域是(0，＋∞).( )解析 (1)由于4（－4）4＝444＝4，故(1)错. (2)(－1)24＝4（－1）2＝1，故(2)错.(3)由于指数函数解析式为y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)，故y ＝2x －1不是指数函数，故(3)错. (4)由于x 2＋1≥1，又a ＞1，∴a x2＋1≥a .故y ＝a x2＋1(a ＞1)的值域是[a ，＋∞)，(4)错.答案 (1)× (2)× (3)× (4)×2.(必修1P52例5改编)化简[(－2)6]12－(－1)0的结果为( ) A.－9B.7C.－10D.9解析原式＝(26)12－1＝8－1＝7. 答案 B3.函数y ＝a x －a －1(a >0，且a ≠1)的图象可能是( )解析函数y ＝a x －1a 是由函数y ＝a x 的图象向下平移1a 个单位长度得到，A 项显然错误；当a >1时，0<1a <1，平移距离小于1，所以B 项错误；当0<a <1时，1a >1，平移距离大于1，所以C 项错误，故选D.答案 D4.（·山东卷)设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a 1，∴b <a <c . 答案 C5.指数函数y ＝(2－a )x 在定义域内是减函数，则a 的取值范围是________. 解析由题意知0<2－a <1，解得1<a <2. 答案 (1，2)考点一指数幂的运算【例1】化简:(1)a 3b 23ab 2（a 14b 12）4a －13b 13(a >0，b >0)；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－278－23＋(0.002)－12－10(5－2)－1＋(2－3)0. 解 (1)原式＝（a 3b 2a 13b 23）12ab 2a －13b 13＝a 32＋16－1＋13b 1＋13－2－13＝ab －1.(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－278－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1500－12－105－2＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－82723＋50012－10(5＋2)＋1 ＝49＋105－105－20＋1＝－1679. 规律方法 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意:①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序. (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 【训练1】化简求值:(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2350＋2－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫214－12－(0.01)0.5； (2)（a 23·b －1）－12·a －12·b 136a ·b 5.解 (1)原式＝1＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫4912－⎝ ⎛⎭⎪⎫110012＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615.(2)原式＝a －13b 12·a －12b 13a 16b 56＝a －13－12－16·b 12＋13－56＝1a . 考点二指数函数的图象及应用【例2】 (1)函数f (x )＝1－e |x |的图象大致是( )(2)若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________. 解析 (1)f (x )＝1－e |x |是偶函数，图象关于y 轴对称，又e |x |≥1，∴f (x )的值域为(－∞，0]，因此排除B 、C 、D ，只有A 满足.(2)曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可知:如果|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1，1].答案 (1)A (2)[－1，1]规律方法 (1)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.(2)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解. 【训练2】 (1)（·福建五校联考)定义运算a ⊕b ＝⎩⎨⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，则函数f (x )＝1⊕2x 的图象是( )(2)方程2x ＝2－x 的解的个数是________.解析 (1)因为当x ≤0时，2x ≤1；当x >0时，2x >1. 则f (x )＝1⊕2x ＝⎩⎨⎧2x ，x ≤0，1，x >0，图象A 满足.(2)方程的解可看作函数y ＝2x 和y ＝2－x 的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象(如图).由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解. 答案 (1)A (2)1考点三指数函数的性质及应用(易错警示) 【例3】 (1)下列各式比较大小正确的是( ) A.1.72.5>1.73 B.0.6－1>0.62 C.0.8－0.1>1.250.2D.1.70.3<0.93.1(2)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3.①若a ＝－1，求f (x )的单调区间； ②若f (x )有最大值3，求a 的值； ③若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值. (1)解析 A 中，∵函数y ＝1.7x 在R 上是增函数，2.5<3， ∴1.72.5<1.73，错误；B 中，∵y ＝0.6x 在R 上是减函数，－1<2，∴0.6－1>0.62，正确； C 中，∵(0.8)－1＝1.25，∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小. ∵y ＝1.25x 在R 上是增函数，0.1<0.2， ∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2，错误； D 中，∵1.70.3>1, 0<0.93.1<1， ∴1.70.3>0.93.1，错误.故选B. 答案 B(2)解 ①当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3，令u ＝－x 2－4x ＋3＝－(x ＋2)2＋7.在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的递增区间是(－2，＋∞)，递减区间是(－∞，－2).②令h (x )＝ax 2－4x ＋3，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13h （x ），由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，12a －164a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1.③由f (x )的值域是(0，＋∞)知，ax 2－4x ＋3的值域为R ，则必有a ＝0.规律方法 (1)比较指数式的大小的方法是:①能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；②不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小.(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.易错警示在研究指数型函数的单调性时，当底数a 与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论. 【训练3】 (1)（·天津卷)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a 0时，f (x )为增函数，log 0.53＝－log 23，所以log 25>|－log 23|>0，所以b ＝f (log 25)>a ＝f (log 0.53)>c ＝f (2m )＝f (0)，故b ＞a ＞c ，选B.(2)当x ≥8时，f (x )＝x 13≤3，∴x ≤27，即8≤x ≤27；当x <8时，f (x )＝2e x －8≤3恒成立，故x <8. 综上，x ∈(－∞，27]. 答案 (1)B (2)(－∞，27][思想方法]1.根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算.2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x ＝1得到底数的值再进行比较.3.指数函数的单调性取决于底数a 的大小，当底数a 与1的大小关系不确定时应分0<a <1和a >1两种情况分类讨论. [易错防范]1.对与复合函数有关的问题，要弄清楚复合函数由哪些基本初等函数复合而成，并且一定要注意函数的定义域.2.对可化为a 2x ＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x ＋c ≥0(≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解题，但应注意换元后“新元”的范围.基础巩固题组 (建议用时:40分钟)一、选择题1.（·衡水中学模拟)若a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x，b ＝x 2，c ＝log 23x ，则当x >1时，a ，b ，c 的大小关系是( )A.c <a <bB.c 1时，0<a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x <23，b ＝x 2>1，c ＝log 23x <0，所以c <a 1，b <0 B.a >1，b >0 C.0<a <1，b >0D.0<a <1，b <0解析由f (x )＝a x －b 的图象可以观察出，函数f (x )＝a x －b 在定义域上单调递减，所以0<a <1. 函数f (x )＝a x －b 的图象是在f (x )＝a x 的基础上向左平移得到的，所以b <0. 答案 D3.（·德州一模)已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，则( )A.a 25，∴b <c .又∵y ＝x 25在(0，＋∞)上为增函数，35>25，∴a >c ，∴b <c <a . 答案 D4.（·安阳模拟)已知函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)，如果以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，那么f (x 1)·f (x 2)等于( ) A.1 B.a C.2D.a 2解析 ∵以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上， ∴x 1＋x 2＝0.又∵f (x )＝a x ，∴f (x 1)·f (x 2)＝a x 1·a x 2＝a x 1＋x 2＝a 0＝1. 答案 A5.（·西安调研)若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( ) A.(－∞，2] B.[2，＋∞) C.[－2，＋∞)D.(－∞，－2]解析由f (1)＝19，得a 2＝19，解得a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减. 答案 B 二、填空题6.⎝ ⎛⎭⎪⎫32－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－760＋814×42－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2323＝________. 解析原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2313×1＋234×214－⎝ ⎛⎭⎪⎫2313＝2.答案 27.（·江苏卷)不等式2x 2－x<4的解集为________. 解析 ∵2x2－x<4，∴2x2－x<22，∴x 2－x <2，即x 2－x －2<0，解得－1<x <2. 答案 {x |－1<x <2}8.（·安徽江淮十校联考)已知max(a ，b )表示a ，b 两数中的最大值.若f (x )＝max{e |x |，e |x －2|}，则f (x )的最小值为________. 解析 f (x )＝⎩⎨⎧e x ，x ≥1，e |x －2|，x <1.当x ≥1时，f (x )＝e x ≥e(x ＝1时，取等号)，当x <1时，f (x )＝e |x －2|＝e 2－x >e ，因此x ＝1时，f (x )有最小值f (1)＝e. 答案 e 三、解答题9.已知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3(a >0，且a ≠1). (1)讨论f (x )的奇偶性；(2)求a 的取值范围，使f (x )>0在定义域上恒成立.解 (1)由于a x －1≠0，则a x ≠1，得x ≠0，所以函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}. 对于定义域内任意x ，有 f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －x －1＋12(－x )3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ax1－a x ＋12(－x )3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－1a x －1＋12(－x )3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3＝f (x ). ∴f (x )是偶函数.(2)由(1)知f (x )为偶函数，∴只需讨论x >0时的情况，当x >0时，要使f (x )>0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3>0，即1a x －1＋12>0，即a x ＋12（a x －1）>0，则a x >1. 又∵x >0，∴a >1. 因此a >1时，f (x )>0.10.已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b 2x ＋1＋a 是奇函数.(1)求a ，b 的值；(2)解关于t 的不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0. 解 (1)因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b2＋a＝0，解得b ＝1，所以f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a.又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a ，解得a ＝2.(2)由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1.由上式易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数(此处可用定义或导数法证明函数f (x )在R 上是减函数).又因为f (x )是奇函数，所以不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－1)＝f (－2t 2＋1).因为f (x )是减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋1，即3t 2－2t －1>0，解不等式可得t ＞1或t ＜－13，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫t |t >1或t <－13. 能力提升题组(建议用时:20分钟)11.若存在正数x 使2x (x －a )<1成立，则a 的取值范围是( )A.(－∞，＋∞)B.(－2，＋∞)C.(0，＋∞)D.(－1，＋∞) 解析因为2x >0，所以由2x (x －a )<1得a >x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，令f (x )＝x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以f (x )>f (0)＝0－⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝－1，所以a >－1.答案 D12.（·宜宾诊断检测)已知函数f (x )＝x －4＋9x ＋1，x ∈(0，4)，当x ＝a 时，f (x )取得最小值b ，则函数g (x )＝a |x ＋b |的图象为( )解析 ∵x ∈(0，4)，∴x ＋1>1，∴f (x )＝x ＋1＋9x ＋1－5≥29－5＝1，当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即x ＝2时，取等号.∴a ＝2，b ＝1.因此g (x )＝2|x ＋1|，该函数图象由y ＝2|x |向左平移一个单位得到，结合图象知A 正确.答案 A13.（·北京丰台一模)已知奇函数y ＝⎩⎨⎧f （x ），x >0，g （x ），x <0.如果f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)对应的图象如图所示，那么g (x )＝________.解析依题意，f (1)＝12，∴a ＝12，∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x >0.当x <0时，－x >0. ∴g (x )＝－f (－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x＝－2x . 答案－2x (x <0)14.（·天津期末)已知函数f (x )＝e x －e －x (x ∈R ，且e 为自然对数的底数).(1)判断函数f (x )的单调性与奇偶性；(2)是否存在实数t ，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由.解 (1)∵f (x )＝e x－⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ， ∴f ′(x )＝e x＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ， ∴f ′(x )>0对任意x ∈R 都成立，∴f (x )在R 上是增函数.又∵f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝e －x －e x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数.(2)存在.由(1)知f (x )在R 上是增函数和奇函数，则f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立， ⇔f (x 2－t 2)≥f (t －x )对一切x ∈R 都成立，⇔x 2－t 2≥t －x 对一切x ∈R 都成立，⇔t 2＋t ≤x 2＋x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－14对一切x ∈R 都成立，⇔t 2＋t ≤(x 2＋x )min ＝－14⇔t 2＋t ＋14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122≤0，又⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122≥0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＝0，∴t ＝－12. ∴存在t ＝－12，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立.。

高一函数(5)：指数与指数函数

专题一指数与指数函数题型一指数幂的化简与求值指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．【例1】化简：(a 2·5a 3)÷(a ·10a 9)＝________(用分数指数幂表示)．【解析(a 2·5a 3)÷(a ·10a 9)＝(a 2·a 35)÷(a 12·a 910)＝a 135÷a 75＝a 135－75＝a 65.【例2】614＋0.002－12－10×(5－2)－1－295-⎪⎭⎫ ⎝⎛＋[(－2)3]－23的值为________．【解析】原式＝225⎪⎭⎫⎝⎛＋50012－10×(5＋2)－1＋(23)－23＝52＋105－105－20－1＋2－2＝2.5－21＋0.25＝－18.25.【例3】．若x 12＋x －12＝3，则x 32＋x －32＋2x 2＋x －2＋3的值为________．【解析】由x 12＋x －12＝3，得x ＋x －1＋2＝9，所以x ＋x －1＝7，所以x 2＋x －2＋2＝49，所以x 2＋x －2＝47. 因为x 32＋x －32＝(x 12＋x －12)3－3(x 12＋x －12)＝27－9＝18，所以原式＝18＋247＋3＝25.题型二指数函数的图象及应用1．准确把握指数函数图象的特征(1)画指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎪⎭⎫ ⎝⎛a 11-，. (2)指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系，如图所示其中0<c <d <1<a <b ，在y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，在y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小，即无论在y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．如举例说明3.2．关注含参指数型函数图象恒过定点问题 (1)依据：恒等式a 0＝1(a ≠0)．(2)方法：求形如f (x )＝M ·a kx ＋b ＋N 的图象恒过的定点，首先由kx ＋b ＝0求定点的横坐标，计算定点纵坐标．3．有关指数函数图象问题的解题思路(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论． (3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解. 【例1】已知函数f (x )＝4＋2a x－1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是( )A ．(1,6)B ．(1,5)C ．(0,5)D ．(5,0) 【解析】由x －1＝0得x ＝1，f (1)＝4＋2a 0＝6.所以函数f (x )＝4＋2a x －1的图象恒过定点(1,6)．【例2】函数f (x )＝2|x －1|的大致图象为( )【解析】因为f (x )＝2|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x ，x ≤1，2x －1，x >1，所以f (x )在(－∞，1]上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故排除A ，C ，D.【例3】若关于x 的方程|a x －1|＝2a (a ＞0，且a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是________．【解析】方程|a x －1|＝2a (a ＞0，且a ≠1)有两个不等实根转化为函数y ＝|a x －1|与y ＝2a 有两个交点．(1)当0＜a ＜1时，如图①，所以0＜2a ＜1，即0＜a ＜12；(2)当a ＞1时，如图②，而y ＝2a ＞1不符合要求．所以0＜a ＜12.题型三指数函数的性质及应用考查视角一比较指数幂的大小比较幂值大小的常见类型及解决方法【例1】(2020·许昌四校联考)设a ，b 满足0＜a ＜b ＜1，则下列不等式中正确的是( ) A ．a a ＜a b B ．b a ＜b b C ．a a ＜b a D ．b b ＜a b 【解析】指数函数y ＝a x (0＜a ＜1)为减函数，因为a ＜b ，所以a a ＞a b ，A 错误；指数函数y ＝b x (0＜b ＜1)为减函数，因为a ＜b ，所以b a ＞b b ，B 错误；幂函数y ＝x a (0＜a ＜1)在(0，＋∞)上为增函数，又a ＜b ，所以a a ＜b a ，C 正确；由幂函数y ＝x b (0＜b ＜1)在(0，＋∞)上为增函数，又a ＜b ，所以b b ＞a b ，D 错误．【例2】(2020·闽粤赣三省十校联考)已知a ＝243，b ＝425，c ＝2513，则( ) A ．b <a <c B ．a <b <c C ．b <c <a D ．c <a <b 【解析】因为a ＝243，b ＝425＝245，由函数y ＝2x 在R 上为增函数知，b <a ；又因为a ＝243＝423，c ＝2513＝523由函数y ＝x 23在(0，＋∞)上为增函数知，a <c . 综上得b <a <c .故选A.考查视角二解指数不等式利用指数函数的性质解简单的指数方程或不等式的方法先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解【例3】若偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则不等式f (x －2)>0的解集为________．【解析】因为f (x )为偶函数，当x <0时，－x >0，则f (x )＝f (－x )＝2－x－4，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －4，x ≥0，2－x －4，x <0当f (x －2)>0时，有⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，2x －2－4>0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2<0，2－x ＋2－4>0，，解得x >4或x <0，所以不等式的解集为{x |x >4或x <0}．考查视角三指数型复合函数的单调性 1.两类复合函数的最值(或值域)问题(1)形如y ＝a 2x ＋b ·a x ＋c (a >0，且a ≠1)型函数最值问题多用换元法，即令t ＝a x 转化为y ＝t 2＋bt ＋c 的最值问题，注意根据指数函数求t 的范围．(2)形如y ＝a f (x )(a >0，且a ≠1)型函数最值问题，可令t ＝f (x )，则y ＝a t ，先由x 的取值范围求t 的取值范围，再求y ＝a t 的最值． 2．对于形如y ＝a f (x )的函数的单调性(1)若a >1，函数f (x )的单调增(减)区间即函数y ＝a f (x )的单调增(减)区间； (2)若0<a <1，函数f (x )的单调增(减)区间即函数y ＝a f (x )的单调减(增)区间．【例4】已知函数f (x )＝2|2x －m |(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是________．【解析】令t ＝|2x －m |，则t ＝|2x －m |在区间⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,2m 上单调递增，在区间⎥⎦⎤ ⎝⎛∞2-m ，上单调递减．而y ＝2t 为R 上的增函数，所以要使函数f (x )＝2|2x －m |在[2，＋∞)上单调递增，则有m2≤2，即m ≤4【例5】已知函数f (x )＝34231+-⎪⎭⎫ ⎝⎛x ax .(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值； (3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值．【解析】(1)当a ＝－1时，f (x )＝34-231+-⎪⎭⎫⎝⎛x x ，令u ＝－x 2－4x ＋3＝－(x ＋2)2＋7.则u 在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝u⎪⎭⎫⎝⎛31在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令h (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝)(31x h ⎪⎭⎫⎝⎛，由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，12a －164a＝－1，解得a ＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值为1.(3)由f(x)的值域是(0，＋∞)知，ax2－4x＋3的值域为R，则必有a＝0. 巩固提升1.(2020·上饶摸底)已知a＝20.4，b＝90.2，c＝(43)3，则( )A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a【解析】因为c＝(43)3＝334＝30.75＞30.4，b＝90.2＝30.4，所以b＜c，又20.4＜30.4，即a＜b，所以a＜b＜c.2．(2020·宜宾模拟)若函数f(x)＝2·a x＋m－n(a＞0且a≠1)的图象恒过定点(－1,4)，则m＋n＝( )A．3 B．1C．－1 D．－2【解析】因为函数f(x)＝2·a x＋m－n(a＞0且a≠1)的图象恒过定点(－1,4)，所以－1＋m＝0，且2·a0－n＝4.解得m＝1，n＝－2，所以m＋n＝－1.3.已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则( )A．a<b<c B．a<c<bC．c<a1，c＝0.20.3∈(0，1)，所以a<c<b.故选B.4．(2020·安徽皖江名校模拟)若e a＋πb≥e－b＋π－a，则有( )A．a＋b≤0B．a－b≥0C．a－b≤0D．a＋b≥0【解析】令f(x)＝e x－π－x，则f(x)在R上单调递增，因为e a＋πb≥e－b＋π－a，所以e a－π－a≥e－b－πb，则f(a)≥f(－b)，所以a≥－b，即a＋b≥0.故选D.5.已知函数f(x)＝a x，其中a>0，且a≠1，如果以P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))为端点的线段的中点在y轴上，那么f(x1)·f(x2)等于( )A ．1B ．aC ．2D ．a 2【解析】∵以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，∴x 1＋x 2＝0.又f (x )＝a x ，∴f (x 1)·f (x 2)＝ax 1·ax 2＝ax 1＋x 2＝a 0＝1，故选A. 6.(2019·凌源模拟)设a ＝7375⎪⎭⎫⎝⎛，b ＝7573⎪⎭⎫ ⎝⎛，c ＝7373⎪⎭⎫⎝⎛，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b ＜c ＜a B ．a ＜b ＜c C ．a ＜c ＜b D ．c ＜a ＜b【解析】因为函数y ＝x73⎪⎭⎫⎝⎛在R 上单调递减．所以7573⎪⎭⎫ ⎝⎛＜7373⎪⎭⎫ ⎝⎛，即b ＜c .又函数y ＝x 37在(0，＋∞)上单调递增，所以7373⎪⎭⎫ ⎝⎛＜7375⎪⎭⎫⎝⎛，即c ＜a .综上，b ＜c ＜a .7.若函数f (x )＝2x ＋12x －a是奇函数，则使f (x )>3成立的x 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞) 【解析】∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即2－x ＋12－x －a ＝－2x ＋12x －a ，整理得(a －1)(2x ＋2－x ＋2)＝0，∴a ＝1，∴f (x )>3，即为2x ＋12x －1>3，当x >0时，2x －1>0，∴2x ＋1>3·2x －3，解得0<x <1；当x <0时，2x －1<0，∴2x ＋1<3·2x －3，无解．∴x 的取值范围为(0,1)．8.设y ＝f (x )在(－∞，1]上有定义，对于给定的实数K ，定义f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），f （x ）≤K ，K ，f （x ）>K .给出函数f (x )＝2x ＋1－4x ，若对于任意x ∈(－∞，1]，恒有f K (x )＝f (x )，则( )A ．K 的最大值为0B ．K 的最小值为0C ．K 的最大值为1D ．K 的最小值为1【解析】对于任意x ∈(－∞，1]，若恒有f K (x )＝f (x )，则f (x )≤K 在x ≤1上恒成立，即f (x )最大值小于或等于K 令2x ＝t ，则t ∈(0，2]，f (t )＝－t 2＋2t ＝－(t －1)2＋1，可得f (t )的最大值为1，所以K ≥1，故选D.9.(2020·湖南株洲月考)如图，四边形OABC 是面积为8的平行四边形，AC ⊥CO ，AC 与BO 交于点E ，某指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的图象经过点E ，B ，则a ＝( )A. 2B. 3 C ．2 D ．3【解析】设C (0，y C )，因为AC ⊥CO ，则设A (x A ，y C )，于是B (x A ，2y C )，E ⎪⎭⎫⎝⎛C A y x ，21 因为平行四边形OABC 的面积为8，所以y C ·x A ＝8，因为点E ，B 在y ＝a x 的图象上，则axA ＝2y C ，a xA2＝y C ，所以y 2C ＝2y C ，解得y C ＝2或y C ＝0(舍去)，则x A ＝4，于是a 4＝4，因为a >0，所以a ＝ 2.10.已知函数f (x )＝|2x －1|，a f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是( ) A ．a <0，b <0，c <0 B ．a <0，b ≥0，c >0 C ．2－a <2c D ．2a ＋2c <2 【解析】作出函数f (x )＝|2x －1|的图象，如图，因为a f (c )>f (b )，结合图象知，0<f (a )<1，a <0，c >0，所以0<2a <1，所以f (a )＝|2a －1|＝1－2a <1，所以f (c )<1，所以0<c <1.所以1<2c <2，所以f (c )＝|2c －1|＝2c －1，又因为f (a )>f (c )，所以1－2a >2c －1，所以2a ＋2c <2，故选D.11．函数y ＝a x －b (a >0，且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限，则a b 的取值范围是________．【解析】因为函数y ＝a x －b 的图象经过第二、三、四象限，所以函数y ＝a x －b 单调递减且其图象与y 轴的交点在y 轴的负半轴上．令x ＝0，则y ＝a 0－b ＝1－b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，1－b <0，解得⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，b >1.故a b ∈(0，1)．12.定义区间[x 1，x 2]的长度为x 2－x 1，已知函数f (x )＝3|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,9]，则区间[a ，b ]长度的最小值为________．【解析】∵函数f (x )＝3|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,9]， ∴0∈[a ，b ]．2和－2至少有一个属于区间[a ，b ]，故区间[a ，b ]的长度最小时为[－2,0]或[0,2]．即区间[a ，b ]长度的最小值为2. 13.(2020·中山一中摸底)化简：(23a 2·b )(－6a ·3b )÷(－36a ·6b 5)＝________. 【解析】原式＝(2a 23·b 12)(－6a 12b 13)÷(－3a 16b 56)＝[2×(－6)÷(－3)]a 23＋12－16b 12＋13－56＝4a .14.已知函数f (x )＝(a －2)a x (a >0，且a ≠1)，若对任意x 1，x 2∈R ，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，则a 的取值范围是________．【解析】由题意知f (x )在R 上是单调递增函数，当0<a <1时，a －2<0，y ＝a x 单调递减，所以f (x )单调递增；当1<a <2时，a －2<0，y ＝a x 单调递增，所以f (x )单调递减；当a ＝2时，f (x )＝0；当a >2时，a －2>0，y ＝a x 单调递增，所以f (x )单调递增．故a 的取值范围是(0,1)∪(2，＋∞)．15.若不等式(m 2－m )2x －x⎪⎭⎫⎝⎛21＜1对一切x ∈(－∞，－1]恒成立，则实数m 的取值范围是___．【解析】(m 2－m )2x －x⎪⎭⎫ ⎝⎛21＜1可变形为m 2－m ＜x⎪⎭⎫⎝⎛21＋221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛x.设t ＝x⎪⎭⎫⎝⎛21(t ≥2)，则原条件等价于不等式m 2－m ＜t ＋t 2在t ≥2时恒成立．显然t ＋t 2在t ≥2时的最小值为6，所以m 2－m ＜6，解得－2＜m ＜3.16.不等式2221212-++⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫⎝⎛a x axx 恒成立，则a 的取值范围是________．【解析】由题意，y ＝x⎪⎭⎫⎝⎛21是减函数，因为2221212-++⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛a x axx 恒成立，所以x 2＋ax >2x ＋a －2恒成立，所以x 2＋(a －2)x －a ＋2>0恒成立，所以Δ＝(a －2)2－4(－a ＋2)<0，即(a －2)(a －2＋4)<0，即(a －2)(a ＋2)<0，故有－2<a <2，即a 的取值范围是(－2，2)．17.已知实数a ，b 满足等式a ⎪⎭⎫ ⎝⎛21＝b⎪⎭⎫⎝⎛31，下列五个关系式：①0＜b ＜a ；②a ＜b ＜0；③0＜a ＜b ；④b ＜a ＜0；⑤a ＝b ，其中可能成立的关系式有________．(填序号) 【解析】函数y 1＝x ⎪⎭⎫ ⎝⎛21与y 2＝x ⎪⎭⎫ ⎝⎛31的图象如图所示．由a ⎪⎭⎫ ⎝⎛21＝b⎪⎭⎫⎝⎛31得，a ＜b ＜0或0＜b ＜a 或a＝b ＝0.故①②⑤可能成立，③④不可能成立．18.设a >0，且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1，1]上的最大值是14，则实数a 的值为________．【解析】令t ＝a x (a >0，且a ≠1)，则原函数化为y ＝f (t )＝(t ＋1)2－2(t >0)．①当0<a <1，x ∈[－1，1]时，t ＝a x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡a a 1,，此时f (t )在⎥⎦⎤⎢⎣⎡aa 1,上为增函数．所以f (t )max ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛a f 1＝211⎪⎭⎫⎝⎛+a －2＝14.所以211⎪⎭⎫⎝⎛+a ＝16，解得a ＝－15(舍去)或a ＝13.②当a >1时，x ∈[－1，1]，t ＝a x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡a a,1，此时f (t )在⎥⎦⎤⎢⎣⎡a a,1上是增函数．所以f (t )max ＝f (a )＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3或a ＝－5(舍去)．综上得a ＝13或3. 19.已知函数f (x )＝2a ·4x －2x －1.(1)当a ＝1时，求函数f (x )在x ∈[－3，0]上的值域；(2)若关于x 的方程f (x )＝0有解，求a 的取值范围．【解析】(1)当a ＝1时，f (x )＝2·4x －2x －1＝2(2x )2－2x －1，令t ＝2x ，x ∈[－3，0]，则t ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡181，. 故y ＝2t 2－t －1＝2241⎪⎭⎫ ⎝⎛-t －98，t ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡181，，故值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡089-， (2)关于x 的方程2a (2x )2－2x －1＝0有解，设2x ＝m >0，等价于方程2am 2－m －1＝0在(0，＋∞)上有解，记g (m )＝2am 2－m －1，当a ＝0时，解为m ＝－1<0，不成立．当a <0时，开口向下，对称轴m ＝14a<0，过点(0，－1)，不成立．当a >0时，开口向上，对称轴m ＝14a>0，过点(0，－1)，必有一个根为正，综上得a >0.20．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b 2x ＋1＋a是奇函数． (1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．【解析】(1)因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b 2＋a＝0，解得b ＝1，所以f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a .又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a，解得a ＝2. (2)由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1，由上式易知f (x )在R 上为减函数，又因为f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k )．因为f (x )是R 上的减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋k ，即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0，从而Δ＝4＋12k <0，解得k <－13，故k 的取值范围为⎪⎭⎫⎝⎛∞31--，.。

高中指数与指数函数知识点+例题+练习含答案

教学过程④负分数指数幂：a n m-＝a n m1＝1na m(a＞0，m，n∈N，且n＞1)；⑤0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义．(2)有理数指数幂的性质①a r a s＝a r＋s(a＞0，r，s∈Q)；②(a r)s＝a rs(a＞0，r，s∈Q)；③(ab)r＝a r b r(a＞0，b＞0，r∈Q)．3．指数函数的图象与性质y＝a x a＞10＜a＜1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0,1)当x＞0时，y＞1；x＜0时，0＜y＜1当x＞0时，0＜y＜1；x＜0时，y＞1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数辨析感悟1．指数幂的应用辨析(1)(4－2)4＝－2.( )(2)(教材探究改编)(na n)＝a.( )2．对指数函数的理解(3)函数y＝3·2x是指数函数．( )(4)y＝⎝⎛⎭⎪⎫1ax是R上的减函数．( )教学效果分析教学过程(5)指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数的大小关系如图，无论在y轴的左侧还是右侧图象从上到下相应的底数由大变小．( )(6)(2013·金华调研)已知函数f(x)＝4＋a x－1(a＞0且a≠1)的图象恒过定点P，则点P的坐标是(1,5)．( )[感悟·提升]1．“na n”与“⎝⎛⎭⎫na n”的区别当n为奇数时，或当n为偶数且a≥0时，na n＝a，当n为偶数，且a＜0时，na n＝－a，而(na)n＝a恒成立．如(1)中4－2不成立，(2)中6－22＝32≠3－2. 2．两点注意一是指数函数的单调性是底数a的大小决定的，因此解题时通常对底数a按0＜a＜1和a＞1进行分类讨论，如(4)；二是指数函数在同一直角坐标系中的图象与底数的大小关系，在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，在y轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大．如(5)．考点一指数幂的运算【例1】(1)计算：＋(－2)2；(2)若＝3，求的值．规律方法进行指数幂运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．需注意下列问题：(1)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示；(2)应用平方差、完全平方公式及a p a－p＝1(a≠0)简化运算．(2)教学效果分析教学过程考点二指数函数的图象及其应用【例2】(1)(2014·泰安一模)函数f(x)＝a x－b的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是________．①a＞1，b＜0；②a＞1，b＞0；③0＜a＜1，b＞0；④0＜a＜1，b＜0.(2)比较下列各式大小．①1.72.5______1.73；②0.6－1______0.62；③0.8－0.1______1.250.2；④1.70.3______0.93.1.规律方法(1)对指数型函数的图象与性质(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象，然后数形结合使问题得解．(2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应指数型函数图象数形结合求解．【训练2】已知实数a，b满足等式2 011a＝2 012b，下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.其中不可能成立的关系式有________．教学效果分析教学过程1．判断指数函数图象的底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较．2．对和复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成．3．画指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，⎝⎛⎭⎪⎫－1，1a.4．熟记指数函数y＝10x，y＝2x，y＝⎝⎛⎭⎪⎫110x，y＝⎝⎛⎭⎪⎫12x在同一坐标系中图象的相对位置，由此掌握指数函数图象的位置与底数大小的关系．易错辨析2——忽略讨论及验证致误【典例】(2012·山东卷)若函数f(x)＝a x(a＞0，a≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)x在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________.[防范错施] (1)指数函数的底数不确定时，单调性不明确，从而无法确定其最值，故应分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论．(2)根据函数的单调性求最值是求函数最值的常用方法之一，熟练掌握基本初等函数的单调性及复合函数的单调性是求解的基础．【自主体验】当x∈[－2,2]时，a x<2(a>0，且a≠1)，则实数a的范围是________．教学效果分析课堂巩固一、填空题1．(2014·郑州模拟)在函数①f (x )＝1x ；②f (x )＝x 2－4x ＋4；③f (x )＝2x ；④f (x )＝中，满足“对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜f (x 2)”的是________．2．函数y ＝a x －1a (a ＞0，a ≠1)的图象可能是________．3.a 3a ·5a 4(a ＞0)的值是________．4．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m 等于________．5．函数y ＝a x －b (a ＞0且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限，则a b 的取值范围为________．6．(2014·济南一模)若a ＝30.6，b ＝log 30.2，c ＝0.63，则a 、b 、c 的大小关系为________．7．(2014·盐城模拟)已知函数f (x )＝a －x (a ＞0，且a ≠1)，且f (－2)＞f (－3)，则a 的取值范围是________．8．函数f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1)在[1,2]中的最大值比最小值大a2，则a 的值为________．9．函数f (x )＝a x －3＋m (a ＞1)恒过点(3,10)，则m ＝________. 10．(2014·杭州质检)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧(1－3a )x ＋10a ，x ≤7，a x －7，x >7是定义域上的递减函数，则实数a 的取值范围是________． 11．(2014·惠州质检)设f (x )＝|3x －1|，c ＜b ＜a 且f (c )＞f (a )＞f (b )，则关系式3c ＋3a ________2(比较大小)．二、解答题12．设a ＞0且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1,1]上的最大值是14，求a 的值．。

艺术生高考数学专题讲义考点7指数与指数函数

艺术生高考数学专题讲义考点7指数与指数函数1.指数的定义与性质指数的定义：对于任意实数a和正整数n，a的n次方记为aⁿ，其中a称为底数，n称为指数。

指数的性质：a⁰=1，其中a≠0；aⁿ·aᵐ=aⁿ⁺ᵐ，其中a≠0；(aⁿ)ᵐ=aⁿᵐ，其中a≠0；a⁻ⁿ=1/aⁿ，其中a≠0。

2.指数函数的定义与性质指数函数的定义：指数函数y=aᵡ的定义域为全体实数，其中a>0且a≠1指数函数的性质：当x=0时，a⁰=1，所以指数函数的图像必经过点(0,1)；当x>0时，增长趋势会比较明显，例如指数函数y=2ᵡ，当x增大时，函数值也会快速增大；当0<a<1时，增长趋势会比较缓慢，例如指数函数y=(1/2)ᵡ，当x增大时，函数值会趋近于0。

3.对数和指数的相互转换对数与指数之间存在着一种互相转换的关系，即logₐ(b) = x ↔ aˣ = b。

其中，logₐ(b)表示以a为底数的对数，x表示指数，b表示指数函数的函数值。

4.指数方程与指数不等式指数方程是指含有指数的方程，指数不等式是指含有指数的不等式。

解决指数方程与指数不等式的关键在于将其转化为对数方程与对数不等式来求解。

5.指数函数的图像和性质指数函数的图像关于y轴对称，且必经过点(0,1)。

当a>1时，指数函数的图像是递增的，即随着x的增大，y也增大；当0<a<1时，指数函数的图像是递减的，即随着x的增大，y逐渐减小；当a>1时，指数函数具有水平渐近线y=0，即x趋近于负无穷时，y趋近于0；当0<a<1时，指数函数具有水平渐近线y=0，即x趋近于正无穷时，y趋近于0。

在高考数学中，指数与指数函数是一个重要的考点，基本的指数定义与性质不仅需要掌握，还需要能够熟练应用到解决问题中。

同时，对数与指数之间的相互转换以及指数方程与指数不等式的求解也是需要掌握的内容。

指数函数的图像和性质也需要熟悉，能够根据函数的表达式判断其图像及性质。

指数与指数函数知识点及题型归纳总结

指数与指数函数知识点及题型归纳总结知识点精讲一、指数的运算性质当a >0，b >0时，有 (1)a m a n=am +n(m ,n ∈R )；(2)mm n n a a a-=( m ,n ∈R) (3)(a m )n =a mn (m ,n ∈R )；(4)(ab )m =a m b m (m ∈R )；(5)pp a a-=1(p ∈Q ) (6)mm n n a a =(m ,n ∈N +)二、指数函数(1)一般地，形如y =a x (a >0且a ≠1)的函数叫做指数函数； (2)指数函数y =a x (a >0y =a x a >1 0<a <1图象(1)定义域：R (1)定义域：R 值域(2)值域：(0,+∞) (2)值域：(0,+∞) (3)过定点(0,1)(3)过定点(0,1) (4)在R 上是增函数. (4)在R 上是减函数. (5)0<y <1⇔x >0y =1⇔x =0 y >1⇔x <0(5)0<y <1⇔x <0y =1⇔x =0 y >1⇔x >0题型归纳及思路提示题型1指数运算及指数方程、指数不等式思路提示利用指数的运算性质解题.对于形如()f x a b =，()f x a b >，()f x a b <的形式常用“化同底”转化，再利用指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解.形如a 2x +B a x +C =0或a 2x +Ba x +C ≥0(≤0)的形式，可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解. 一、指数运算例2.48化简并求值.(1)若a =2，b =4()()a a b b ab a b b+÷+--223333311的值； (2)若x x -+=11223，x x x x --+-+-33222232的值； (3)设nna --=11201420142(n ∈N +)，求()n a a +21的值.分析：利用指数运算性质解题.===.当a=2，b=4，原式===12.(2)先对所给条件作等价变形：()x x x x--+=+-=-=11122222327，()()x x x x x x---+=++-=⨯=33111222213618，x2+x-2=(x+x-1)2-2=72-2=47.故x xx x--+--==+--3322223183124723.(3)因为n na--=11201420142，所以()n na-++=11222014201412，n n n nna---+--=-=111112014201420142014201422.所以)na-=12014.变式1 设2a=5b=m，且a b+=112，则m=( ).A. B. 10 C. 20 D. 100二、指数方程例2.49 解下列方程(1)9x-4⋅3x+3=0；(2)()()x x⋅=29643827；分析：对于(1)方程，将其化简为统一的底数，9x=(3x)2；对于()()x x⋅2938，对其底进行化简运算. 解析：(1)9x-4⋅3x+3=0⇒(3x)2-4⋅3x+3=0，令t=3x(t>0)，则原方程变形为t2-4t+3=0，得t1=1，t2=3，即x=131或x=233，故x1=0，x2=1.故原方程的解为x1=0，x2=1.(2)由()()x x⋅=29643827，可得()x⨯=33294383即()()x=33443，所以()()x-=33344，得x=-3.故原方程的解为x=-3.变式1方程9x-6⋅3x-7=0的解是________.变式2 关于x 的方程()x aa+=-32325有负实数根，则a 的取值范围是__________. 三、指数不等式例2.50若对x ∈[1,2]，不等式x m +>22恒成立，求实数m 的取值范围. 分析：利用指数函数的单调性转化不等式.解析：因为函数y =2x 是R 上的增函数，又因为x ∈[1,2]，不等式x m +>22恒成立，即对∀x ∈[1,2]，不等式x +m >1恒成立⇔函数y =x +m 在[1,2]上的最小值大于1，而y =x +m 在[1,2]上是增函数，其最小值是1+m ，所以1+m >1，即m >0.所以实数m 的取值范围是{m |m >0}.变式1 已知对任意x ∈R ，不等式()x mx m x x -+++>22241122恒成立，求m 的取值范围.变式2 函数()xf x x -=-21的定义域为集合A ，关于x 的不等式ax a x +<222(x ∈R)的解集为B ，求使A ∩B =A 的实数a 的取值范围.题型2 指数函数的图像及性质思路提示解决指数函数有关问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析，从图像与性质找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响. 一、指数函数的图像例2.51 函数()x bf x a-=的图象如图2-14所示，其中a ，b 为常数，则下列结论中正确的是( ).A. a >1，b <0B. a >1，b >0C. 0<a <1，00，得b <0，故选D. 评注：若本题中的函数变为()xf x a b =-，则答案又应是什么？由图2-14可知ƒ(x )单调递减，即0<a <1，函数y =a x 的图像向下平移得到xy a b =-的图像，故00且a ≠1)的图像经过第二、三、四象限，则一定有( ). A. 0<a <1且b >0 B. a >1且b >0 C. 0<a <1且b <0 D. a >1且b <0 变式2 (2012四川理5)函数x y a a=-1(a >0，a ≠1)的图象可能是( ).变式3 已知实数a ，b 满足()()a b =1123，下列5个关系式：①00且a ≠1)的图像过定点_________. 分析：指数函数的图像恒过定点(0,1)，即a 0=1.解析：因为函数ƒ(x )=a x (a >0且a ≠1)的图像过定点(0,1)，又函数ƒ(x )=x a +1(a >0且a ≠1)的图像是由函数ƒ(x )=a x (a >0且a ≠1)的图像向左平移一个单位得到的，故函数ƒ(x )=x a +1(a >0且a ≠1)的图像过定点(-1,1). 变式1 函数ƒ(x )=a x +1(a >0且a ≠1)的图像过定点________. 变式2 函数ƒ(x)=ax+x-2的图像过定点________.变式3 ƒ(x )=x a -1(a >0且a ≠1)的图像恒过定点A ，若点A 在直线mx +ny -1=0(m ,n >0)上，则m n+11的最小值为________.二、指数函数的性质(单调性、最值(值域))例2.53 函数ƒ(x )=a x (a >0且a ≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a2，则a 的值是_______. 分析：本题考查指数函数的单调性.解析：当0<a <1时，函数ƒ(x )=a x 在[1,2]上单调递减，故在[1,2]上最大值为a ，最小值为a 2，则a a a -=22，得a a =22，又0<a <1，所以a =12；当a >1时，函数ƒ(x )=a x 在[1,2]上单调递增，故在[1,2]上最大值为a 2，最小值为a ，那么a a a -=22，得aa =232，又a >1，所以a =32. 综上所述，a 的值是12或32.评注：函数ƒ(x )=a x (a >0且a ≠1)，不论0<a <1还是a >1都是单调的，故最大值和最小值在端点处取得. 所以||a a a -=22，解得a =12或a =32. 变式1 函数ƒ(x )=a x (a >0且a ≠1)在区间[a ,a +2]上的最大值是最小值的3倍，则a =_____.变式2 定义区间[x 1,x 2](x 1<x 2)的长度为x 2-x 1，已知函数y =2|x |的定义域为[a ,b ]，值域为[1,2]，则区间[a ,b ]的长度的最大值与最小值的差为________.变式3 若y =3|x |(x ∈([a ,b ])的值域为[1,9]，则a 2+b 2-2a 的取值范围是( ).A. [2.4]B. [4,16]D. [4,12]例2.54 函数xx y a --+=+248145(0<a <1)的单调增区间是________.分析：复合函数xx y a --+=+248145内层为二次函数，外层为指数型函数，根据复合函数单调性判定法求解.解析：因为u =-4x 2-8x +1=-4(x +1)2+5在[-1,+∞)上单调递减，在(-∞,-1]上单调递增，且y =a x (0<a <1)是减函数，所以xx y a --+=+248145(0<a <1)的单调增区间是[-1,+∞).变式1 函数()f x 1________.变式2 求函数()()()x x f x =-+11142(x ∈[-3,2])的单调区间及值域.变式3 已知0≤x ≤2，求函数x xa y a -=-⋅++1224212的最大值和最小值.变式4 设函数y =ƒ(x )在(-∞,+∞)内有定义，对于给定的正数k ，定义函数(),(),k f x f x k ⎧=⎨⎩()()f x kf x k ≤>，取函数ƒ(x )=2-|x |，当k =12时，函数ƒk (x )的单调增区间为( ). A. (-∞,0] B. [0,+∞) C. (-∞,-1] D. [1,+∞)变式5 若函数||()x y m -=+112的图像与x 轴有公共点，则m 的取值范围是________.变式6 已知函数()||x f x -=-21，x ∈R ，若方程ƒ(x )=a 有两个不同实根，则a 的取值范围是__________. 题型3 指数函数中的恒成立问题思路提示(1)利用数形结合思想，结合指数函数图像求解.(2)分离自变量与参变量，利用等价转化思想，转化为函数的最值问题求解.例2.55 设()x x f x a =++⋅124(x ∈R)，当x ∈(-∞,-1]时，ƒ(x )的图象在x 轴上方，求实数a 的取值范围. 分析：本题等价于当x ≤1时，x x a ++⋅124>0恒成立.分离自变量x 与参变量a ，转化为求解函数的最值. 解析：因为当x ∈(-∞,1]时，ƒ(x )的图像在x 轴上方，所以对于任意x ≤1，x x a ++⋅124>0恒成立，即x x a +>-214(x ≤1)恒成立.令()()()x x x x u x +=-=--2111424(x ≤1)，a >u (x )max ，x ∈(-∞,1].因为()x y =12，()x y =14均是减函数，所以u (x )在(-∞,1]上单调递增，故当x =1时，max ()()u x u ==-314，故a >-34.故实数a 的取值范围为(-34,+∞).变式1 已知函数()()x x af x a a a -=--21(a >0且a ≠1). (1)判断函数ƒ(x )的奇偶性； (2)讨论函数ƒ(x )的单调性；(3)当x ∈[-1,1]时，ƒ(x )≥b 恒成立，求实数b 的取值范围. 变式2定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数.（1）求a,b 的值.（2）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围. 变式3 已知函数1()22x xf x =-，若2(2)()0tf t mf t +≥对于[1,2]t ∈恒成立，求实数m 的取值范围.最有效训练题1.函数2(33)xy a a a =-+是指数函数，则有（）A a=1或a=2B a=1C a=2D 0a >且1a ≠ 2.设0.90.48 1.512314,8,()2y y y -===，则（）A 312y y y >>B 213y y y >>C 123y y y >>D 132y y y >>3.设函数()f x 定义在实数集上，其图像关于直线x=1对称，且当1x ≥时，()31xf x =-，则有（）A 132()()()323f f f <<B 231()()()323f f f <<C 213()()()332f f f <<D 321()()()233f f f <<4. 函数()22xxf x -=-是（） A 奇函数，在区间(0,)+∞上单调递增 B 奇函数，在区间(0,)+∞上单调递减 C 偶函数，在区间(,0)-∞上单调递增 D 偶函数，在区间(,0)-∞上单调递减.5.若关于x 的方程9(4)340xxa ++•+=有解，则实数a 的取值范围是（） A (,8)[0,)-∞-+∞ B (,4)-∞- C [8,4)- D (,8]-∞-6.函数221(0)(1)(0)(){ax ax x a e x f x +≥-<=在R 上单调，则a 的取值范围是（）A (,(1,2]-∞B [1)[2,)-+∞C （1）D )+∞7.不等式2223330x x a a •-+-->，当01x ≤≤时，恒成立，则实数a 的取值范围为 .8. 函数1(2y =的单调递增区间是 .9.已知关于x 的方程923310x x k -⨯+-=有两个不同实数根，则实数k 的取值范围为 .10. 偶函数()f x 满足 (1)(1)f x f x -=+，且在[0,1]x ∈时，()f x x =，则关于x 的方程1()()10xf x =，在[0,2014]x ∈上的解的个数是 .11.已知函数()xf x b a =⋅（其中a,b 为常数且0,1)a a >≠的图像经过点A （1,6），B （3,24）. （1）确定()f x .（2）若不等式11()()0x x m a b+-≥在(,1]x ∈-∞时恒成立，求实数m 的取值范围.12.已知函数1()(),[1,1]3x f x x =∈-，函数2()[()]2()3g x f x af x =-+的最小值为h(a). (1)求h(a);(2)是否存在实数m,n 同时满足下列条件：①3m n >>；②当h(a)的定义域为[n,m]时，值域为22[,]n m .若存在，求出m,n 的值；若不存在，说明理由.。

指数和指数函数练习题及答案

指数和指数函数专题 9.24一、选择题 1．（369a ）4（639a ）4等于（）（A ）a16（B ）a8（C ）a4（D ）a 22.若a>1,b<0,且a b+a -b=22,则a b-a -b的值等于（）（A ）6 （B ）±2 （C ）-2 （D ）23．函数f （x ）=(a 2-1)x在R 上是减函数，则a 的取值范围是（）（A ）1>a （B ）2<a （C ）a<2 （D ）1<2<a4.下列函数式中，满足f(x+1)=21f(x)的是( ) (A)21(x+1) (B)x+41 (C)2x (D)2-x5.下列f(x)=(1+a x )2xa-⋅是（）（A ）奇函数（B ）偶函数（C ）非奇非偶函数（D ）既奇且偶函数6．已知a>b,ab 0≠下列不等式（1）a 2>b 2,(2)2a>2b,(3)ba 11<,(4)a 31>b 31,(5)(31)a <(31)b中恒成立的有（）（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个7．函数y=1212+-x x 是（）（A ）奇函数（B ）偶函数（C ）既奇又偶函数（D ）非奇非偶函数 8．函数y=121-x的值域是（）（A ）（-1,∞）（B ）（-,∞0）⋃（0，+∞）（C ）（-1，+∞）（D ）（-∞，-1）⋃（0，+∞） 9．下列函数中，值域为R +的是（）（A ）y=5x-21（B ）y=(31)1-x （C ）y=1)21(-x （D ）y=x21-10.函数y=2xx e e --是（）（A ）奇函数且在R +上是减函数（B ）偶函数且在R +上是减函数（C ）奇函数且在R +上是增函数（D ）偶函数且在R +上是增函数 11．下列关系中正确的是（）（A ）（21）32<（51）32<（21）31 （B ）（21）31<（21）32<（51）32（C ）（51）32<（21）31<（21）32 （D ）（51）32<（21）32<（21）3112．若函数y=3+2x-1的图像经过定点P 点，则P 点坐标是（）（A ）（2，5）（B ）（1，3）（C ）（5，2）（D ）（3，1）13.某厂1998年的产值为a 万元，预计产值每年以n ％递增，则该厂到2010年的产值（单位：万元）是（） n a A +1(.％13) n a B +1(.％12) n a C +1(.％11) n D -1(910.％12) 14.若方程a x-x-a=0有两个根，则a 的取值范围是（）（A ）（1，+∞）（B ）（0，1）（C ）（0，+∞）（D ）φ 15.已知三个实数a,b=a a,c=aaa ,其中0.9<a<1,则这三个数之间的大小关系是（）（A ）a<c<b （B ）a<b<c （C ）b<a<c （D ）c<a<b16．已知0<a<1,b<-1,则函数y=a x+b 的图像必定不经过（）(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限二、填空题 1．若a 23<a2,则a 的取值范围是。

指数与指数函数高考复习试题与答案详细解析

指数及指数函数高考复习题1若点(a,9)在函数y ＝3x的图象上，则tana π6的值为( )A ．0 B.33C ．1 D. 3 2函数164x y =-的值域是 ( )（A ）[0,)+∞ （B ）[0,4] （C ）[0,4) （D ）(0,4)3设232555322555a b c ===（）,（），（），则a ，b ，c 的大小关系是( )（A ）a ＞c ＞b （B ）a ＞b ＞c （C ）c ＞a ＞b （D ）b ＞c ＞a4下列四类函数中，个有性质“对任意的x >0，y >0，函数f (x )满足f （x ＋y ）＝f （x ）f （y ）”的是 ( )（A ）幂函数（B ）对数函数（C ）指数函数（D ）余弦函数5.化简)31()3)((656131212132b a b a b a ÷-的结果（）A ．a 6B ．a -C ．a 9-D ．29a6已知函数()f x 满足：x ≥4,则()f x ＝1()2x；当x ＜4时()f x ＝(1)f x +，则2(2log 3)f +＝（）A.124 B.112 C.18 D.387. 不等式4x －3·2x ＋2<0的解集是( )A ．{x |x <0}B ．{x |0<x <1}C ．{x |1<x <9}D ．{x |x >9}8．若关于x 的方程|a x－1|＝2a (a >0，a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是( )A ．(0,1)∪(1，＋∞) B．(0,1) C ．(1，＋∞) D．(0，12)9(理)函数y ＝|2x－1|在区间(k －1，k ＋1)内不单调，则k 的取值范围是( )A ．(－1，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(－1,1)D ．(0,2)10(理)若函数y ＝2|1－x |＋m 的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是( )A ．m ≤－1B ．－1≤m <0C ．m ≥1D ．0<m ≤111．函数f (x )＝x 12 －(12)x的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．312(理)已知函数⎩⎨⎧>≤--=-7,7,3)3()()6(x ax x a x f x 若数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *)，且{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( )A ．[94，3)B ．(94，3) C ．(2,3) D ．(1,3)13．设函数f (x )＝|2x－1|的定义域和值域都是[a ，b ](b >a )，则a ＋b 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．414．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=1),1(log 1,)21()(2x x x x f x，则f (x )≤12的解集为________．15．若函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤=0,10,)31()(x xx x f x则不等式|f (x )|≥13的解集为________． 16．函数y ＝a x ＋2012＋2011(a >0且a ≠1)的图象恒过定点________．17．设f (x )是定义在实数集R 上的函数，满足条件y ＝f (x ＋1)是偶函数，且当x ≥1时，f (x )＝2x－1，则f (23)、f (32)、f (13)的大小关系是________．18．若定义运算a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧aa <b ，b a ≥b ，则函数f (x )＝3x *3－x的值域是________．19．定义区间[x 1，x 2]的长度为x 2－x 1，已知函数f (x )＝3|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,9]，则区间[a ，b ]的长度的最大值为______，最小值为______．20.设函数f(x)=,求使f(x)≥2 的x 的取值范围.21．(文)(2011·上海吴淞中学月考)已知函数f (x )＝a ·2x ＋a －22x＋1是奇函数．(1)求a 的值；(2)判断函数f (x )的单调性，并用定义证明；(3)求函数的值域．22．(文)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (x )在(－1,1)上的解析式； (2)证明：f (x )在(0,1)上是减函数．[]的值，求实数上的最大值是在函数且设a a a y a a x x 141,1-12,10.232-+=≠24.已知f (x )＝aa 2－1(a x －a －x)(a >0且a ≠1)． (1)判断f (x )的奇偶性； (2)讨论f (x )的单调性； (3)当x ∈[－1,1]时，f (x )≥b 恒成立，求b 的取值范围．指数及指数函数高考复习题答案1[答案] D[解析] 由点(a,9)在函数y ＝3x图象上知3a＝9，即a ＝2，所以tan a π6＝tan π3＝ 3. 2解析：[)40,0164161640,4x x x >∴≤-<∴-∈3.A 【解析】25y x =在0x >时是增函数，所以a c >，2()5xy =在0x >时是减函数，所以c b >。

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指数与指数函数 [基础训练]1．函数f (x )＝a x ＋b －1(其中0<a <1，且0<b <1)的图象一定不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：C 解析：由0<a <1可得函数y ＝a x 的图象单调递减，且过第一、二象限．∵0<b <1，∴－1<b －1<0，∴0<1－b <1，∴y ＝a x 的图象向下平移1－b 个单位即可得到y ＝a x ＋b －1的图象，∴y ＝a x ＋b －1的图象一定经过第一、二、四象限，一定不经过第三象限．2．已知x ，y 为正实数，则( )A ．2lg x ＋lg y ＝2lg x ＋2lg yB ．2lg(x ＋y )＝2lg x ·2lg yC ．2lg x ·lg y ＝2lg x ＋2lg yD ．2lg(xy )＝2lg x ·2lg y 答案：D 解析：2lg(xy )＝2(lg x ＋lg y )＝2lg x ·2lg y .3．设集合A ＝{x ||x －1|<2}，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈[0,2]}，则A ∩B ＝( )A ．[0,2]B ．(1,3)C ．[1,3)D ．(1,4) 答案：C 解析：由题意，得A ＝{x ||x －1|<2}＝{x |－1<x <3}，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈[0,2]}＝{y |1≤y ≤4}，所以A ∩B ＝[1,3)．4．下列函数中，与函数y ＝2x －2－x 的定义域、单调性与奇偶性均一致的是 ( )A ．y ＝sin xB ．y ＝x 3C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD ．y ＝log 2x答案：B 解析：y ＝2x －2－x 是定义域为R 的单调递增函数，且是奇函数．而y ＝sin x 不是单调递增函数，不符合题意；y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x是非奇非偶函数，不符合题意；y ＝log 2x 的定义域是(0，＋∞)，不符合题意；y ＝x 3是定义域为R 的单调递增函数．且是奇函数符合题意，故选B.5．设函数f (x )＝x 2－a 与g (x )＝a x (a >1且a ≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，则M ＝(a －1)0.2与N ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 0.1的大小关系是 ( )A ．M ＝NB ．M ≤NC ．M <ND ．M >N 答案：D 解析：因为f (x )＝x 2－a 与g (x )＝a x (a >1且a ≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，所以a >2，所以M ＝(a －1)0.2>1，N ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 0.1<1，所以M >N ，故选D.7．已知函数f (x )＝2x －2，则函数y ＝|f (x )|的图象可能是( )答案：B 解析：y ＝|f (x )|＝|2x－2|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2，x ≥1，2－2x，x <1，易知函数y ＝|f (x )|的图象的分段点是x ＝1，且过点(1,0)，(0,1)，|f (x )|≥0，又|f (x )|在(－∞，1)上单调递减，故选B.9．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23|x |－a.(1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )的最大值等于94，求a 的值．解：(1)令t ＝|x |－a ，则f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23t，不论a 取何值，t 在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23t是单调递减的，因此f (x )的单调递增区间是(－∞，0]，单调递减区间是[0，＋∞)． (2)设g (x )＝|x |－a ，由于f (x )的最大值是94，且94＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－2，所以g (x )＝|x |－a 有最小值－2. 所以a ＝2.2．已知x>0，函数f(x)＝2x－a2＋2－x＋a22x－2－x的最小值为2，则a ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2 答案：A 解析：f (x )＝2x －a2＋2－x ＋a 22x －2－x＝22x ＋2－2x －2a 2x －2－x ＋2a 22x －2－x＝2x －2－x2－2a 2x －2－x ＋2a 2＋22x －2－x＝2x －2－x ＋2a 2＋22x －2－x －2a ≥22x －2－x·2a 2＋22x －2－x－2a ＝22a 2＋2－2a ，故22a 2＋2－2a ＝2，得a ＝1，当且仅当2x －2－x ＝2时等号成立．3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)答案：C 解析：当a <0时，不等式f (a )<1可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a－7<1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3，即a >－3，此时－3<a <0.当a ≥0时，不等式f (a )<1可化为a <1， ∴0≤a <1.综上，a 的取值范围是(－3,1)．4．如图，四边形OABC 是面积为8的平行四边形，AC ⊥CO ，AC与BO 交于点E ，某指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的图象经过点E ，B ，则a ＝( )A. 2B. 3 C ．2 D ．3答案：A 解析：设E (t ，a t )，易知点B 的坐标为(2t,2a t )． ∵B 点在函数y ＝a x 的图象上， ∴2a t ＝a 2t ，∴a t ＝2(a t ＝0舍去)．∴平行四边形OABC 的面积＝OC ·AC ＝a t ·2t ＝4t . 又平行四边形OABC 的面积为8， ∴t ＝2，∴a ＝ 2.故选A.5．已知函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝c x 的图象如图所示，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a 1，b ＝12，c <12，故选B.6．已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120.3，b ＝log 120.3，c ＝a b ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a log 1212＝1>a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120.3，c ＝a b <a ，∴c <a 0，a ≠1)满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]答案：B 解析：由f (1)＝19，得a ＝13，因此f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|.因为y ＝|2x －4|在[2，＋∞)上单调递增，所以f (x )的单调递减区间是[2，＋∞)，故选B.8．已知max{a ，b }表示a ，b 两数中的最大值．若f (x )＝max{e |x |，e |x－2|}，则f (x )的最小值为________．答案：e 解析：由题意知，f (x )＝max{e |x |，e |x －2|}＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≥1，e 2－x ，x <1.当x ≥1时，f (x )≥e，且当x ＝1时，取得最小值e ；当x <1时，f (x )>e.故f (x )的最小值为f (1)＝e.9．若函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________.答案：14 解析：当a >1时，有a 2＝4，a －1＝m ，故a ＝2，m ＝12，此时g (x )＝－x 为减函数，不合题意；若0<a <1，则a －1＝4，a 2＝m ，故a ＝14，m ＝116，此时g (x )＝34x 在[0，＋∞)上是增函数，符合题意．故a ＝14.10．已知函数f (x )＝a a 2－1(a x －a －x )(a >0且a ≠1)．(1)判断f (x )的奇偶性； (2)讨论f (x )的单调性；(3)当x ∈[－1,1]时，f (x )≥b 恒成立，求b 的取值范围．解：(1)∵f (－x )＝aa 2－1(a －x －a x)＝－a a 2－1(a x －a －x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．(2)当a >1时，∵y ＝a x 为增函数，y ＝a －x 为减函数， ∴y ＝a x －a －x 为增函数．又∵a >1时，a a 2－1>0，∴f (x )＝aa 2－1(a x －a －x )为增函数．当0<a <1时，∵y ＝a x 为减函数，y ＝a －x 为增函数， ∴y ＝a x －a －x 为减函数．又∵0<a <1时，a a 2－1<0，∴f (x )＝aa 2－1(a x －a －x )为增函数．综上，函数f (x )为增函数．(3)要使x ∈[－1,1]时，f (x )≥b 恒成立，只需f (x )在x ∈[－1,1]上满足f (x )min ≥b 即可．又由(2)得函数f (x )为增函数，∴f(x)min＝f(－1)＝aa2－1(a－1－a)＝aa2－1·1－a2a＝－1，∴b≤－1.故b的取值范围为{b|b≤－1}．11.已知函数f(x)＝1－42a x＋a(a>0，a≠1)且f(0)＝0.(1)求a的值；(2)若函数g(x)＝(2x＋1)·f(x)＋k有零点，求实数k的取值范围；(3)当x∈(0,1)时，f(x)>m·2x－2恒成立，求实数m的取值范围．解：(1)对于函数f(x)＝1－42a x＋a(a>0，a≠1)，由f(0)＝1－42＋a＝0，得a＝2.(2)由(1)知f(x)＝1－42·2x＋2＝1－22x＋1.∵函数g(x)＝(2x＋1)·f(x)＋k＝2x＋1－2＋k＝2x－1＋k有零点，∴函数y＝2x的图象和直线y＝1－k有交点，∴1－k>0，即k<1.(3)∵当x∈(0,1)时，f(x)>m·2x－2恒成立，即1－22x＋1>m·2x－2恒成立，亦即m<32x －22x2x＋1恒成立，令t＝2x，则t∈(1,2)，且m<3t－2t t＋1＝3t＋1t t＋1＝1t＋2t＋1.11由于y ＝1t ＋2t ＋1在t ∈(1,2)上单调递减， ∴1t ＋2t ＋1>12＋22＋1＝76，∴m ≤76.。