天津高考数学理科试卷(带详解)

2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)

理 科 数 学

第Ⅰ卷

一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 本大题共8小题, 每小题5分，共40分.

1．已知{}|||2A x x =∈R ，{}|1B x x

=∈R ，

则A B = ( ) A.(],2-∞ B .[]1,2 C .[]2,2- D .[]2,1- 【测量目标】集合的基本运算.

【考查方式】考查了集合的表示法（描述法）、集合的交集运算. 【难易程度】容易 【参考答案】D

【试题解析】先化简集合A ，再利用数轴进行集合的交集运算. 由已知得{2

2}A x x =∈-

R ,于是{21}A B x x =∈-R

2．设变量x , y 满足约束条件0,230,306,x x y y y +----⎧⎪

⎨⎪⎩

则目标函数2z y x =-的最小值为 ( )

A. 7-

B.4-

C. 1

D. 2

【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.

【考查方式】给出约束条件，作出可行域，通过平移目标函数，求可行域的最值. 【难易程度】容易 【参考答案】A

【试题解析】作出可行域，平移直线x y 2=，当直线过可行域内的点)3,5(A 时，Z 有最小值,

min 3257Z =-⨯=-.

第2题图 jxq56

3．阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x 的值为1, 则输出S 的值为 （ ）

第3题图 jxq57 A. 64 B. 73

C. 512

D. 585

【测量目标】循环结构的程序框图.

【考查方式】直接执行程序框图中的语句求值. 【难易程度】容易 【参考答案】B

【试题解析】1,0,1,502,9,504,7350x S S S x S S x S ===<⇒==<⇒==>，跳出循环，输出

73S =.

4．已知下列三个命题:

①若一个球的半径缩小到原来的

12, 则其体积缩小到原来的18

; ②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等;

③直线x + y + 1 = 0与圆221

2

x y +=相切.

其中真命题的序号是: （ ） A. ①②③ B. ①② C. ①③ D. ②③ 【测量目标】球的体积，标准差，直线与圆的位置关系.

【考查方式】给出三个命题运用各个命题相关的知识判断真假. 【难易程度】容易 【参考答案】C

【试题解析】命题①，设球的半径为R ，则3

3

414ππ,3283

R R ⎛⎫= ⎪⎝⎭故体积缩小到原来的18，命题正确；(步

骤1)

对于命题②，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例如数据：1,3,5和3,3,3的平均数相同，但标准差不同，命题不正确；（步骤2） 对于命题③，圆2

2

12x y +=

的圆心()0,0到直线10x y ++=的距离2

22

d ==，等于圆的半径，所以直线与圆相切，命题正确.(步骤3)

5．已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O

为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 3则p = （ ） A. 1 B.

3

2

C. 2

D. 3 【测量目标】三角形面积，双曲线与抛物线的简单几何性质.

【考查方式】给出离心率及三角形面积，利用三角形面积公式，双曲线与抛物线的简单几何性质求值. 【难易程度】中等

【参考答案】C

【试题解析】由已知得2c a =，所以2224a b a +=，解得3b

a

=

，即渐近线方程为3y x =±.（步骤1） 而抛物线的方程为2p x =-

，于是33,,,2

222p p p p A B ⎛⎫⎛⎫

--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 从而AOB △的面积为

13=32

2

p

p

，可得2p =.（步骤2） 6．在△ABC 中, π

,2,3,4

AB BC ABC =∠==则sin BAC ∠ = （ ）

A.

10 B.

10 C.

310

D.

5 【测量目标】正弦定理，余弦定理.

【考查方式】给出三角形中的的部分条件，利用正、余弦定理求正弦值. 【难易程度】容易 【参考答案】C 【试题解析】 由余弦定理可得222

2cos 2922352

AC BA BC BA BC ABC =

+-∠=+-⨯⨯⨯

= （步骤1） 于是由正弦定理可得

sin sin BC AC

BAC ABC

=

∠∠，于是2

33102sin 105

BAC ⨯

∠==. （步骤2）

7． 函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为 （ ） A. 1 B. 2 C. 3

D. 4

【测量目标】函数的图象，函数零点的判断.

【考查方式】给出函数解析式，结合图象判断零点个数. 【难易程度】中等 【参考答案】B

【试题解析】令0.5()2|log |10x f x x =-=，可得0.51|log |2x

x ⎛⎫

= ⎪⎝⎭.设()()0.51|log |,2x

g x x h x ⎛⎫== ⎪⎝⎭

，

在同一坐标系下分别画出函数()g x (),h x 的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数

()f x 有2个零点.

第7题图 jxq58