天津高考数学理科试卷(带详解)
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2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
理 科 数 学
第Ⅰ卷
一.选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 本大题共8小题, 每小题5分,共40分.
1.已知{}|||2A x x =∈R ,{}|1B x x
=∈R ,
则A B = ( ) A.(],2-∞ B .[]1,2 C .[]2,2- D .[]2,1- 【测量目标】集合的基本运算.
【考查方式】考查了集合的表示法(描述法)、集合的交集运算. 【难易程度】容易 【参考答案】D
【试题解析】先化简集合A ,再利用数轴进行集合的交集运算. 由已知得{2
2}A x x =∈-
R ,于是{21}A B x x =∈-R
2.设变量x , y 满足约束条件0,230,306,x x y y y +----⎧⎪
⎨⎪⎩
则目标函数2z y x =-的最小值为 ( )
A. 7-
B.4-
C. 1
D. 2
【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.
【考查方式】给出约束条件,作出可行域,通过平移目标函数,求可行域的最值. 【难易程度】容易 【参考答案】A
【试题解析】作出可行域,平移直线x y 2=,当直线过可行域内的点)3,5(A 时,Z 有最小值,
min 3257Z =-⨯=-.
第2题图 jxq56
3.阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x 的值为1, 则输出S 的值为 ( )
第3题图 jxq57 A. 64 B. 73
C. 512
D. 585
【测量目标】循环结构的程序框图.
【考查方式】直接执行程序框图中的语句求值. 【难易程度】容易 【参考答案】B
【试题解析】1,0,1,502,9,504,7350x S S S x S S x S ===<⇒==<⇒==>,跳出循环,输出
73S =.
4.已知下列三个命题:
①若一个球的半径缩小到原来的
12, 则其体积缩小到原来的18
; ②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等;
③直线x + y + 1 = 0与圆221
2
x y +=相切.
其中真命题的序号是: ( ) A. ①②③ B. ①② C. ①③ D. ②③ 【测量目标】球的体积,标准差,直线与圆的位置关系.
【考查方式】给出三个命题运用各个命题相关的知识判断真假. 【难易程度】容易 【参考答案】C
【试题解析】命题①,设球的半径为R ,则3
3
414ππ,3283
R R ⎛⎫= ⎪⎝⎭故体积缩小到原来的18,命题正确;(步
骤1)
对于命题②,若两组数据的平均数相同,则它们的标准差不一定相同,例如数据:1,3,5和3,3,3的平均数相同,但标准差不同,命题不正确;(步骤2) 对于命题③,圆2
2
12x y +=
的圆心()0,0到直线10x y ++=的距离2
22
d ==,等于圆的半径,所以直线与圆相切,命题正确.(步骤3)
5.已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O
为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 3则p = ( ) A. 1 B.
3
2
C. 2
D. 3 【测量目标】三角形面积,双曲线与抛物线的简单几何性质.
【考查方式】给出离心率及三角形面积,利用三角形面积公式,双曲线与抛物线的简单几何性质求值. 【难易程度】中等
【参考答案】C
【试题解析】由已知得2c a =,所以2224a b a +=,解得3b
a
=
,即渐近线方程为3y x =±.(步骤1) 而抛物线的方程为2p x =-
,于是33,,,2
222p p p p A B ⎛⎫⎛⎫
--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 从而AOB △的面积为
13=32
2
p
p
,可得2p =.(步骤2) 6.在△ABC 中, π
,2,3,4
AB BC ABC =∠==则sin BAC ∠ = ( )
A.
10 B.
10 C.
310
D.
5 【测量目标】正弦定理,余弦定理.
【考查方式】给出三角形中的的部分条件,利用正、余弦定理求正弦值. 【难易程度】容易 【参考答案】C 【试题解析】 由余弦定理可得222
2cos 2922352
AC BA BC BA BC ABC =
+-∠=+-⨯⨯⨯
= (步骤1) 于是由正弦定理可得
sin sin BC AC
BAC ABC
=
∠∠,于是2
33102sin 105
BAC ⨯
∠==. (步骤2)
7. 函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3
D. 4
【测量目标】函数的图象,函数零点的判断.
【考查方式】给出函数解析式,结合图象判断零点个数. 【难易程度】中等 【参考答案】B
【试题解析】令0.5()2|log |10x f x x =-=,可得0.51|log |2x
x ⎛⎫
= ⎪⎝⎭.设()()0.51|log |,2x
g x x h x ⎛⎫== ⎪⎝⎭
,
在同一坐标系下分别画出函数()g x (),h x 的图象,可以发现两个函数图象一定有2个交点,因此函数
()f x 有2个零点.
第7题图 jxq58