第2章不等式

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高一数学必修一第二章第二课基本不等式

高一数学必修一第二章第二课基本不等式摘要：一、基本不等式的概念与性质1.基本不等式的定义2.基本不等式的性质二、基本不等式的证明方法1.作差法2.替换法3.柯西-施瓦茨不等式三、基本不等式的应用1.求最值问题2.证明其他不等式四、练习与解答1.例题解析2.巩固练习正文：一、基本不等式的概念与性质在高中数学必修一第二章第二课中，我们学习了一个非常基础且重要的不等式——基本不等式。

基本不等式是指对于任意的实数a和b，都有a^2 + b^2 >= 2ab。

这个不等式在很多数学问题中都有广泛的应用，因此我们需要熟练掌握它的性质和证明方法。

二、基本不等式的证明方法1.作差法作差法是证明基本不等式最常用的方法。

具体操作如下：我们将a^2 + b^2 - 2ab分解因式，得到(a - b)^2。

因为一个数的平方一定大于等于0，所以(a - b)^2 >= 0，即a^2 + b^2 >= 2ab。

2.替换法替换法是将基本不等式中的a和b替换成其他表达式，从而简化证明过程。

常用的替换方法有柯西-施瓦茨替换和排序替换。

3.柯西-施瓦茨不等式柯西-施瓦茨不等式是基本不等式的一个推广，它是指对于任意的实数a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bn，都有(a1^2 + a2^2 + ...+ an^2)(b1^2 + b2^2 + ...+ bn^2) >= (a1b1 + a2b2 + ...+ anbn)^2。

这个不等式在求解某些问题时，可以提供更强的工具。

三、基本不等式的应用1.求最值问题基本不等式可以用来求解一些最值问题，如求函数的最值、求解不等式的最值等。

2.证明其他不等式基本不等式是许多其他不等式的基础，如柯西不等式、排序不等式等。

通过基本不等式，我们可以证明这些不等式，从而进一步解决实际问题。

四、练习与解答1.例题解析我们来看一道例题：已知a + b = 2，求a^2 + b^2的最小值。

中职数学基础模块(上册)基础练习-第二章不等式

第二章不等式第二章第一课时不等式的基本性质【知识回顾·一定要看】1．不等式的性质（1）对称性：a >b ⇔b <a ；（2）传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ；（3）不等式加等量：a >b ⇔a ＋c > b ＋c ；（4）不等式乘正量：a >b ，c >0⇒ac >bc ，不等式乘负量：a >b ，c <0⇒ac <bc ；（5）同向不等式相加：a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ； 3．知识点三、比较两代数式大小的方法作差法：任意两个代数式a 、b ，可以作差a b 后比较a b 与0的关系，进一步比较a 与b 的大小．一、选择题．1．若,a b c d ，则下列不等式一定成立的是（） A．22a b B．22ac bc C．a c b dD．ac bd2．已知05x ，11y ，则2x y 的取值范围是（） A．223x y B．223x y C．227x yD．227x y3．设实数a ，b ，c 满足0a b ，0c ，则下列不等式成立的是（） A．11a bB．22ac bcC．c a c b D．c c a b4．已知a ，b ，c ，d 为实数，a b 且c d ，则下列不等式一定成立的是（） A．ac bdB．a c b dC．a d b cD．1a b5．（1）已知12,24a b ，求23a b 与a b 的取值范围．6．比较下列各组中两个代数式的大小：（1）256x x 与2259x x ；（2）2(3)x 与(2)(4)x x ；第二章第二课时区间一、选择题．1．已知集合{|(3)(2)0}A x x x ， 13B x x ，则A B =（） A． 1,2B． 1,3C． 2,3D． 0,32．已知集合 2{20},320A x x B x x x ，则A B （） A． 1,2 B． 1, C． 2,D． 2,3．已知集合 22R 9,R 20A x x B x x x ，则 R A B （） A．[3,1)(2,3] B．[3,2)(1,3] C．(,3)(2,) D．(,1)(3,)二、填空题．4．已知集合(1,2),[1,)A B ，则集合A B . 5．设集合 ,1,0,3A B ，则A B .6．已知 ,0A ， ,B a ，且A B R ，则实数a 的取值范围为 . 三、解答题.7．已知集合 4,35A x x ， 3,22B . （1）若10x ，求A B ，A B ；（2）若A B A ，求实数x 的取值范围.8．已知非空集合2230A x x x ，非空集合(0,]B m （1）若4m ，求A B （用区间表示）；（2）若A B A ，求m 的范围.第二章第三课时一元二次不等式【知识回顾·一定要看】1．一元一次不等式解法任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax ＞b (a ≠0)的形式．当a ＞0时，解集为x |x ＞b a ；当a ＜0时，解集为x |x ＜b a ．若关于x 的不等式ax >b 的解集是R ，则实数a ，b 满足的条件是． 2．一元二次不等式及其解法(1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为不等式．(2)使某个一元二次不等式成立的x 的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的．(3)若一元二次不等式经过同解变形后，化为一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(或ax 2＋bx ＋c ＜0)(其中a ＞0)的形式，其对应的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实根x 1，x 2，且x 1＜x 2(此时Δ＝b 2－4ac ＞0)，则可根据“大于号取，小于号取 ”求解集． (4)一元二次不等式的解：有两相异实根 (x 1＜x 2)有两相等实根1＝x 2＝－b2无实根一、选择题．1．设集合 2{2},340S xx T x x x ∣∣，则 R S T （） A． 2,1 B． 4,1 C． 4,2 D． 2,42．不等式 20x x 的解集是（） A． ,02, B． 0,2 C． ,20,D． 2,03．不等式2320x x 的解为（） A．3x 或1xB．1x 或3xC．13xD．31x4．不等式210x 的解集是（）A．{1}xx ∣ B．{1}x x ∣ C． 1x x 或 1xD．{|11}x x5．已知不等式240x ax 的解集为R ，则a 的取值范围是（） A． 4,4B． 4,4C． ,44, D． ,44,6．不等式 120x x 的解集是（） A． 1,0,2B． ,01,C．10,2D．10,27．若关于x 的不等式20x ax b 的解集是 |2x x 或 3x ，则a b （） A．7B．6C．5D．18．已知集合 2|3210,|A x x x B x x a ，若A B ，则实数a 的取值范围为（） A． 1 ，B．1,3C．[1 ，）D．1,3二、填空题．9．不等式22240x x 的解集为 . 10．不等式223x x 的解集是 .11．已知集合 2|60A x x x ，2280B x x x ＞，则A B = . 12．设,b c R ，不等式20x bx c 的解集是(,1)(3,) ，则b c . 三、解答题. 13．解下列不等式；（1）2230x x ；（2） 2132x x ；14．已知不等式 2560ax x ．（1）当 1a 时，解不等式；（2）当 1a 时，解不等式．15．若不等式2(1)22ax a x a 对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围.16．已知不等式2230x x 的解集是A ，不等式2450x x 的解集是B . （1）求A B ；（2）若关于x 的不等式20x ax b 的解集是A B ，求a ，b 的值.第二章第四课时含绝对值的不等式【知识回顾·一定要看】绝对值不等式 1．绝对值的代数意义正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a2．绝对值的几何意义一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到__________的距离． 3．绝对值不等式：(0) x a a 的解集是{|} x a x a ，如图1； (0) x a a 的解集是{|} 或x x a x a ，如图2；(0)ax b c c ___________________________ (0)ax b c c ___________________________一、选择题．1．已知集合2230,32A x x x B x x ，则A B （） A．(3,5)B．(1,3)C．(1,1)D．,1(),)1(2．已知R 是实数集，集合 220A x x x ， 12B x x ，则()R A B （） A． 1,2B． 1,3C． 2,3D． 1,23．设集合 ||1|1A x x ，集合 2|1B x x ，则（） A．A BB．B AC．A BD．A B4．全集U R ，且{||1|2}A x x ，2{|680}B x x x ，则()U A B （） A．{|14}x x B．{|23}x x C．{|23}x xD．{|14}x x5．已知集合24,{|13}M xx x N x x ∣，则 M N R （） A．M B．NC．R N D．R M6．已知集合 31,A x x x Z ， 2560,B x x x x Z ，则A B （） A． 2,3B． 3C． 23x xD． 2,3,47．设集合 2|450P x x x ，=0Q x x a ，则能使P Q 成立的a 的取值范围是（） A． 5,B． 5,C． 1,5D． 1,8．不等式2211x 的解集为（） A． 11x x B． 22x x C． 02x x D． 20x x二、填空题．9．不等式211x 的解集为 . 10．不等式33x 的解集为 .11．已知集合 |11M x x ∣，21N x x ，M N . 12．若集合 2560A x x x ，集合 213B x x ，则集合A B . 三、解答题.13．求下列绝对值不等式的解集：（1）|12|3x ; （2）2|1|0x .14．已知集合 22|240A x x ax a ， ||25|3B x x ，当a =3时，求A B .15．已知2}0{8|2A x x x ＞，{|||5|}B x x a ，且A B R ，求a 的取值范围．。

第2章不等式不等关系与不等式

不等关系与不等式1．两个实数比较大小的方法 (1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b >0⇔a >b a －b ＝0⇔a ＝b a －b <0⇔a 1⇔a >b ab ＝1⇔a ＝b a b<1⇔a 0)2．不等式的基本性质概念方法微思考1．若a >b ，且a 与b 都不为0，则1a 与1b的大小关系确定吗？提示不确定．若a >b ，ab >0，则1a <1b ，即若a 与b 同号，则分子相同时，分母大的反而小；若a >0>b ，则1a >1b ，即正数大于负数．2．两个同向不等式可以相加和相乘吗？提示可以相加但不一定能相乘，例如2>－1，－1>－3.1．（2020•兴庆区校级三模）下列四个命题： ①若||a b >，则22a b >②若a b >，c d >，则a c b d ->- ③若a b >，c d >，则ac bd > ④若0a b >>，0c <，则c c a b> 其中正确命题的个数有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】B【解析】①||a b >，22a b ∴>，故正确；②a b >，c d >，a c b d ∴+>+，因此a c b d ->-不正确；③取2a =，1b =，2c =-，3d =-，满足a b >，c d >，但是43ac bd =-<=-，故不正确； ④0a b >>，0c <，∴110b a>>，0c ->， ∴c cb a-->，∴c c a b >，故正确．综上可知：只有①④正确．故选B ．2．（2020•福田区校级模拟）若a 、b 、c R ∈，且a b >，则下列不等式中，一定成立的是( ) A ．a b b c +- B ．ac bcC ．20c a b>-D ．2()0a b c -【答案】D 【解析】a b >， 0a b ∴->．又20c ，2()0a b c ∴-．故选D ．1．（2020•东城区一模）已知1x <-，那么在下列不等式中，不成立的是( ) A ．210x -> B ．12x x+<- C ．sin 0x x -> D ．cos 0x x +>【答案】D 【解析】1x <-，210x ∴->，12x x+<-，又sin x ，cos [1x ∈-，1]， sin 0x x ∴->，cos 0x x +<．可得：ABC 成立，D 不成立．故选D ．2．（2020•韩城市模拟）若0b a <<，则下列结论不正确的是( )A ．11a b C ．||||||a b a b +>+ D【答案】C【解析】0b a <<，∴11a b<，2ab a >，由函数y =在R ．设2a =-，1b =-时，||||||a b a b +=+与C 矛盾．因此只有C 错误．故选C ．3．（2020•马鞍山二模）已知a ，b ，c R ∈，32a =，45b =，54c =，则下列不等关系中正确的是( ) A ．a b c <．a cb ∴<<．故选D ．4．（2020•咸阳模拟）已知01a b <<<，则下列不等式不成立的是( ) A ．11()()22a b >B ．lna lnb >C ．11a b> D ．11lna lnb>【答案】B【解析】函数y lnx =，在(0,)+∞上单调递增，∴当01a b <<<时，lna lnb <．故选B ．5．（2020•汉中二模）若0a b <<，则下列不等式中不成立的是( ) A ．||||a b > B ．11a b a>- C ．11a b> D ．22a b >【答案】B【解析】0a b <<， 0a a b ∴<-<，∴11a b a<-．因此B 不正确．故选B ．6．（2020•重庆模拟）若0m <，0n >且0m n +<，则下列不等式中成立的是( )A ．n m n m -<<<-B ．n m m n -<<-<C ．m n m n <-<-<D ．m n n m <-<<- 【答案】D【解析】0n >，0n n ∴-<<； 0m n +<，m n ∴<-，n m <-；m n n m ∴<-<<-．故正确答案为D ．故选D ．7．（2020•杨浦区一模）已知实数a ，b 满足a b >，则下列不等式中恒成立的是( ) A ．22a b > B ．11a b< C ．||||a b >D ．22a b >【答案】D【解析】A 选项不正确，当1a =，2b =-时，不等式就不成立；B 选项不正确，因为1a =，2b =-时，不等式就不成立；C 选项不正确，因为1a =，2b =-时，不等式就不成立；D 选项正确，因为2x y =是一个增函数，故当a b >时一定有22a b >，故选D ．8．（2019•上城区校级模拟）设a ，b ，c 是互不相等的正数，则下列不等式中一定不成立的是( ) A ．||||||a b a c b c --+- B ．2211a a a a+<+C ．1||2a b a b-+- D 2a +-【答案】B【解析】a 为正数，12a a∴+， 2221111()()()2a a a a a a a a ∴+-+=+-+- 11(1)(2)0a a a a =+-+-， 2211a a a a∴++，故2211a a a a+<+一定不成立．故选B ．9．（2019•枣庄模拟）已知01a <<，01c b <<<，下列不等式成立的是( ) A ．b c a a > B ．c c ab b a+>+ C ．log log b c a a <D ．b cb ac a>++ 【答案】D【解析】01a <<．x y a ∴=是递减函数，又c b <，所以c b a a >，故不正确；()0c c a a c b b b a+>⇔->+，故B 不正确； ()0b ca b c b a c a>⇔->++，故D 正确．故选D ．10．（2019•西湖区校级模拟）a ，b R ∈，下列命题正确的是( ) A ．若a b <，则22a b ，故错误；选项B ，由||a b <和不等式的性质，平方可得22a b <，故正确；选项C ，取2a =-，1b =，显然满足||a b <，但不满足22a b <，故错误；选项C ，取1a =-，1b =，显然满足||a b ≠，但不满足22a b ≠，故错误．故选B ．11．（2017春•南昌期末）已知0a <，10b -<<，那么( ) A ．2a ab ab >> B ．2ab ab a >> C ．2ab a ab >> D ．2ab ab a >>【答案】D【解析】0a <，10b -<<， 0ab ∴>，210b >>，20ab a ∴>>， 2ab ab a ∴>>．故选D ．12．（2019•西湖区校级模拟）已知a b c >>，下列不等式成立的是( ) A ．a b ->- B ．a c b c +<+ C ．22a b > D ．11a b> 【答案】C【解析】a b c >>，a b ∴-<-；a c b c +>+；22a b >．故选C ．13．（2018秋•濉溪县期末）若0a b <<，则下列结论中不恒成立的是( )A ．||||a b >B ．11a b> C ．222a b ab +> D ．a b +>-【答案】D【解析】若0a b <<，不妨设2a =-，1b =-代入各个选项，错误的是A 、B ，当2a b ==-时，C 错．故选D ．14．（2019•涪城区校级模拟）已知a ，b ，c 满足c b a <<且0ac <，则下列选项中一定成立的是( ) A ．ab ac > B ．()0c b a -< C ．22cb ab < D ．()0ac a c ->【答案】A【解析】a ，b ，c 满足c b a <<且0ac <， 0c a ∴<<由此知A 选项ab ac >正确，由于()0c b a ->知B 选项不正确，由于2b 可能为0，故C 选项不正确，由于0ac <，0a c ->，故()0ac a c -<，所以D 不正确故选A ．15．（2020•西宁模拟）设a =2b =a ，b 的大小关系为__________．【答案】a b <【解析】3a =+2b =∴211a =+211b =+a ∴、b 的大小关系为a b <；故答案为：a b <．。

中职数学第二章不等式知识点

第二章不等式㈠不等式的性质用作差法比较大小性质1：如果a>b，那么b<a；反之也成立性质2：如果a>b，b >ｃ，那么a>ｃ性质3：如果a>b，那么a+ｃ>b+ｃ推论：如果a>b，ｃ>ｄ则a+ｃ>b+ｄ性质4：如果a>b，ｃ>0，那么aｃ>bｃ；如果a>b，ｃ<0，那么aｃ<bｃ推论1：如果a>b >0，ｃ>ｄ>0，那么aｃ>bｄ推论2：如果a>b >0，那么a n>b n (n∈N+ , n>1)，那么(n∈N+ , n>1)性质5：如果a>b >0㈡区间开区间：（a，b）表示a<ｘa，（－∞，b]表示ｘ≤b（－∞，b]∪(a，+∞）表示ｘ≤b或ｘ> a一元二次不等式的解题步骤：1.化标准式2.判断∆∆〉时求两个根，小的写左边大的写右边3.根据∆情况到上表中找到解集：如果0注：标准形式为分子，分母都是一元一次式，左边为一个分式，不等号右边为0㈤绝对值不等式解法当0a>时，{}/x a x x a x a>⇒<->或{}/x a x x a x a≥⇒≤-≥或{}/x a x a x a<⇒-<<{}/x a x a x a≤⇒-≤≤当0a<时，x a x R>⇒∈x a x R≥⇒∈x a<⇒∅x a≤⇒∅当0a=时，{}0/0x x x>⇒≠0x R≥⇒x<⇒∅{}00x≤⇒如果绝对值符号中是代数式，也看成是一个整体，替换成解集中的x即可例：1 354435433 x x x+<⇒-<+<⇒-<<-22247332473x x x x+-≤⇒-≤+-≤。

第二章等式与不等式

章末整合知识结构·理脉络等式与不等式⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧等式⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧等式的性质与方程的解集一元二次方程：ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)⎩⎨⎧求根公式：x ＝－b ±b 2－4ac2a 根与系数的关系：x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca 方程组的解集⎩⎪⎨⎪⎧二元一次方程组三元一次方程组二元二次方程组等式与不等式⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧不等式⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧不等关系与不等式⎩⎪⎨⎪⎧不等式的概念实数(代数式)大小的比较⎩⎪⎨⎪⎧ 依据⎩⎪⎨⎪⎧a －b <0⇔a 0⇔a >b基本方法：作差法、作商法不等式的性质：对称性、传递性、可加性、可乘性等式与不等式⎩⎪⎨⎪⎧一元二次不等式及其解法⎩⎪⎨⎪⎧概念解法⎩⎪⎨⎪⎧ 因式分解法、配方法含参不等式的解法应用⎩⎪⎨⎪⎧ 解分式不等式——化归为整式不等式从实际问题中建立一元二次不等式模型等式与不等式⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧均值不等式⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧内容：a＋b2≥ab(a>0，b>0)，当且仅当a＝b时，等号成立证明⎩⎪⎨⎪⎧几何证明代数证明应用⎩⎪⎨⎪⎧比较大小证明不等式求最值⎩⎪⎨⎪⎧⎦⎥⎤积定和最小和定积最大具备条件一正、二定、三相等解决实际问题要点梳理·晰精华1．不等式基本性质中注意问题(1)不等式的基本性质中性质4、6要注意符号，另外还有一些常用的结论，同学们也要掌握．如：“a>b且ab>0，则1a<1b”，“a>b，c<d，则a－c>b－d”，“a>b>0，c>d>0，则ad>bc”．在使用这些性质时，要注意上述各不等式成立的条件．(2)不等式的基本性质中，对表达不等式性质的各不等式要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说，每条性质是否具有可逆性．运用不等式的基本性质解答不等式问题时，要注意不等式成立的条件，否则将会出现一些错误．2．一元二次不等式的解法判别式Δ＝b2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两相异实数根x1＝－b－Δ2a，x2＝－b＋Δ2a(x1<x2)有两相等实数根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1，或x>x2}{x|x∈R，x≠－b2a}Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅3．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－ba，x1＋x2＝ca，若bc ＝0时，关系式仍然成立．4．不等式组、简单分式不等式、绝对值不等式的解法(1)不等式组的解集等于组成该不等式组的每个不等式解集的交集． (2)解简单分式不等式应等价转化为整式不等式(整式不等式组)求解．(3)解绝对值不等式可根据绝对值的几何意义求解，也可按零点分段法逐段脱去绝对值号求解．5．均值不等式及有关结论(1)均值不等式：如果a >0，b >0，那么a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，即正数a 与b 的算术平均数不小于它们的几何平均数．(2)几个常用的重要结论：①b a ＋ab≥2(a 与b 同号，当且仅当a ＝b 时取等号)． ②a ＋1a ≥2(a >0，当且仅当a ＝1时取等号)，a ＋1a ≤－2(a <0，当且仅当a ＝－1时取等号)．③ab ≤(a ＋b 2)2(a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)．(3)利用均值不等式求最值已知x >0，y >0，则①如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p (简记：积定和最小)． ②如果x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值s 24(简记：和定积最大)．素养突破·提技能类型特殊不等式的解法 ┃┃典例剖析__■ 1．一元高次不等式的解法典例1 解不等式：(x ＋2)(x 2－x －12)>0.思路探究：可转化为不等式组或用数轴标根法两种方法求解．归纳提升：解简单的一元高次不等式，主要通过数轴标根法来求解，其步骤是(1)将f(x)最高次项系数化为正数．(2)将f(x)分解为若干个一次因式或二次不可分解的因式的积，然后求出f(x)＝0的解，并在数轴上标出．(3)自数轴正方向起，用曲线从右至左、自上而下依次从各解穿过数轴．(4)记数轴上方为正，下方为负，根据不等式写出解集．在用数轴标根法求解高次不等式的过程中要注意：①区间端点能否取到；②各因式中最高次项的系数要全为正数；③奇数个等根，穿过，偶数个等根，穿而不过．2．分式不等式的解法典例2解不等式：x2＋2x－3－x2＋x＋6<0.思路探究：一般地，解分式不等式的基本思想是化分式不等式为整式不等式或整式不等式组．归纳提升：分式不等式的求解在高考中比较常见，解分式不等式的过程就是转化的过程，通过不等式的性质和符号运算规律将其转化为整式不等式问题，注意不等式的等价变形．类型含参不等式恒成立问题的求解策略┃┃典例剖析__■不等式恒成立问题是高考中的热点内容，它以多种形式出现在高中数学的各个分支中，扮演着重要的角色．求解含参不等式的恒成立问题的关键是转化与化归思想．一般而言，针对不等式的表现形式，有如下两种策略．1．判别式法典例3对于x∈R，不等式x2－2x＋3－m≥0恒成立，求实数m的取值范围．思路探究：不等式x2－2x＋3－m≥0恒成立，可转化为函数y＝x2－2x＋3－m图像恒在x 轴及其上方，即Δ≤0.归纳提升：有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化为二次函数或一元二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决．2．分离变量法典例4 若关于x 的不等式ax 2－2x ＋2>0对于满足1<x <4的一切实数x 恒成立．求实数a 的取值范围．思路探究：可先将参数的a 分离出来即a >2x －2x 2，然后再求2x －2x 2的最值．归纳提升：如果能够将参数分离出来，建立明确的参数和变量x 的关系，那么可以利用函数的最值求解．a >y 恒成立⇔a >y max ，a <y 恒成立⇔a <y min .类型均值不等式的变形技巧 ┃┃典例剖析__■ 1．技巧一：添项典例5 求函数y ＝3x 2＋162＋x 2的最小值．思路探究：当求和的最小值时，尽可能凑定积，本题需添6，减6.2．技巧二：放入根号内或两边平方典例6 求函数y ＝x 1－x 2(0<x <1)的最大值．思路探究：求积的最值(因式中含根号)，把变量都放在同一条件下的根号里或者将两边平方去根号，整合结构形式，凑成定和，是解决本题的关键所在．3．技巧三：分子常数化典例7设x∈(0，＋∞)，求函数y＝2xx2＋4的最大值．思路探究：当分子的变量因子次数比分母的小且变量因子不为零时，都可同时除以分子所含变量因子使分子变量常数化，以实现变量形式的统一，从而使问题得以解决．归纳提升：运用均值不等式求解函数最值的关键是在求解过程中充分重视运用“一正、二定、三相等”这三个条件的基础上，观察结果，合理变形．其中，成功实现变形是关键．。

职高一年级第二章不等式

第二章《不等式》§2.1不等式的性质与证明一、高考要求：掌握不等式的性质、简单不等式的证明和重要不等式及其应用. 二、知识要点：1. 实数大小的基本性质: a-b ＞0⇔a ＞b; a-b =0⇔a =b; a-b ＜0⇔a ＜b.2. 不等式的性质:(1)传递性:如果a ＞b,b ＞c,则a ＞c;如果a ＜b,b ＜c,则a ＜c; (2)加法法则:如果a ＞b,则a+c ＞b+c;如果a ＞b,则a-c ＞b-c; (3)乘法法则:如果a ＞b,c ＞0,则ac ＞b c;如果a ＞b,c ＜0,则ac ＜b c; (4)移项法则:如果a+b ＞c ,则a ＞c-b;(5)同向不等式的加法法则:如果a ＞b 且c ＞d,则a+c ＞b+d;如果a ＜b 且c ＜d,则a+c ＜b+d; (6)两边都是正数的同向不等式的乘法法则:如果a ＞b ＞0,且c ＞d ＞0,则ac ＞b d. 3. 几个拓展的性质: a ＞b ＞0⇒a n ＞b n (n ∈N,n ＞1); a ＞b ＞0⇒n a ＞n b (n ∈N,n ＞1); a ＞b 且c ＞d ⇒a-d ＞b-c ; a ＞b ＞0,且c ＞d ＞0⇒cb d a >; a ＞b ＞0(或0＞a ＞b)⇒ba 11<; 4. 重要不等式:(1) 整式形式: a 2+b 2≥2a b （a 、b ∈R ）; a 2+b 2+c 2≥3a bc （a 、b 、c ∈R +）;ab ≤22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a (a 、b ∈R); abc ≤33⎪⎭⎫ ⎝⎛++c b a (a 、b 、c ∈R +);(2) 根式形式:2b a +≥ab (a 、b ∈R +); 3c b a ++≥3abc (a 、b 、c ∈R +); (3) 分式形式:b a a b +≥2（a 、b 同号）; c ab c a b ++≥3（a 、b 、c 同号）;(4) 倒数形式:a a 1+≥2（a ∈R +）; aa 1+≤-2（a ∈R -）. 三、典型例题：例1:已知a ＞b,则不等式①a 2＞b 2;②b a 11<;③ab a 11>-中不能成立的个数是( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个例2:证明不等式:(1)对∀实数a 、b,求证:22⎪⎭⎫⎝⎛+b a ≤222b a +; (2)求证:对∀正实数a 、b 、c,a+b+c ≥ca bc ab ++;(3)若p ＞0,q ＞0,p 3+q 3=2,试用反证法证明p+q ≤2; (4)对∀实数x 、y,求证:x 2+xy+y 2≥0; (5)对∀实数a 、b ∈R +,且a+b=1,求证:)11)(11(ba ++≥9.四、归纳小结：1.实数大小的基本性质反映了实数运算的性质和实数大小顺序之间的关系,是不等式证明和解不等式的主要依据.2.不等式证明的常用方法:(1)比较法常和配方法结合使用.用比较法证明的一般步骤是:作差→变形→判断符号;(2)综合法和分析法常结合使用.综合法就是“由因导果”,使用不等式的性质和已证明的不等式去直接推证;分析法就是“执果索因”,叙述的形式是:要证A,只要证B; (3)反证法的步骤:假设→推理→矛盾→原命题成立;3.在利用不等式求最大值或最小值时,要注意变量是否为正,和或积是否为定值,等号是否能成立.通过变形,使和或积为定值,是用不等式求最值的基本技巧. 五、基础知识训练：（一）选择题：1. (96高职-2)在下列命题中,是真命题的是( )A.x ＞y 和|x|＞|y|互为充要条件B.x ＞y 和x 2＞y 2互为充要条件C.a 2＞b 2 (b ≠0)和2211ba >互为充要条件 D.b a 4131-<-和4a ＞3b 互为充要条件 2. (98高职-2)已知a ＞b,c ∈R,由此能推出下列不等式成立的是( )A.a+c ＞b-cB.ac ＞bcC.ac 2＞bc 2D.a c2⋅＞b c2⋅ 3. (99高职-2)如果ab ＞0且a ＞b,则有( )A.a 1＞b 1 B.a 1＜b1C.a 2＞b 2D.a 2＜b 2 4. (2001高职-4)“a ＜b ＜0”是“a 1＞b1”成立的( )A.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.既不充分又不必要条件5. 不等式2>+abb a 成立的充要条件是( ) A.ab ＞0且a ≠b B.ab ≠0且a ≠b C.a ＞0,b ＞0且a ≠b D.a ≠1且b ≠1 6. (2003高职-2)已知x ＞2,则函数21-+=x x y 的最小值是( ) A.4 B.3 C.2 D.17. 不等式①a 2+2＞2a;②a 2+b 2＞2(a-b-1);③(a 2+b 2)(c 2+d 2)＞(ac+bd)2中,恒成立的个数是( )A.0个B.1个C.2个D.3个 8. 若实数a 、b 、c 满足b+c=3a 2-4a+6，b-c=a 2-4a+4,则a 、b 、c 的大小关系是( ) A.b ≥c ＞a B.b ＞c ＞a C.b ＜c ＜a D.b ＜c ≤a 9. 若f(x)=3x 2-x+1,g(x)=2x 2+x-1,则f(x)与g(x)的大小关系是( )A.f(x)＞g(x)B.f(x)=g(x)C.f(x)＜g(x)D.随x 值变化而变化 10. 若a ≠2或b ≠-1,则M=a 2+b 2-4a+2b 的值与-5的大小关系是( )A.M ＞-5B.M ＜-5C.M=-5D.不能确定 11. 已知0＜a ＜1,则aa 1、aa -、aa 的大小关系是( )A.aa 1＞aa ＞aa- B.aa -＞aa ＞aa 1 C.aa ＞aa 1＞aa- D.aa-＞aa 1＞a a12. 已知a ＜b ＜0,则下列不等式中不能成立的是( ) A.a 2＞b 2 B.b a > C. b a 11> D. ab a 11>- 13. 设a 、b 是不相等的正数,则( )A.2222b a ab ba +<<+ B.2222b a b a ab +<+< C.2222b a b a ab +<+< D.2222ba ab b a +<<+ 14. 若0＜x ＜1,0＜y ＜1,且x ≠y,而x 2+y 2,x+y,2xy,xy 2中最大的一个是( ) A.2xy B.x+y C.xy 2 D.x 2+y 215. 若a 、b 为非零实数,则在①222b a +≥ab ；②22⎪⎭⎫⎝⎛+b a ≤222b a +；③2b a +≥b a ab +；④baa b +≥2中，恒成立的个数是( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 16. 设正数a,b 满足ab=4,则2a+3b 的最小值是( )A.12B.10C.64D.3417. 设a,b ∈R 且a+b=3,则b a 22+的最小值是( )A.6B.8C.24D.22 18. 若实数x,y 满足方程x+y-4=0,则x 2+y 2的最小值是( )A.4B.6C.8D.10 19. 令0＜a ＜b,且a+b=1,则下列四数中最大的是( ) A.21B.aC.2abD.a 2+b 2 20. 设a 、b 是两实数,给出下列条件:①a+b ＞1；②a+b=2；③a+b ＞2；④a 2+b 2＞2；⑤ab ＞1.其中能推出“a 、b 中至少有一个数大于1”的条件是( )A.②③B.①②③C.③④⑤D.③21. 下列命题中,(1)x x 1+的最小值是2；(2)1222++x x 的最小值是2；(3)4522++x x 的最小值是2；(4)xx 432--的最小值是2.正确命题的个数是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个（二）填空题：22. 若x ＞y 且a ＞b,则在“①a-x ＞b-y ； ②a+x ＞b+y ； ③ax ＞by ；④x-b ＞y-a ； ⑤xby a >”这五个式子中恒成立的不等式的序号是 . 23. 已知三个不等式: ①ab ＞0；②bda c -<-；③bc ＞ad.以其中两个作为条件,余下的一个作为结论,则可以组成个正确的命题.24. 以下四个不等式: ①a ＜0＜b ；②b ＜a ＜0；③b ＜0＜a ；④0＜b ＜a.其中使ba 11<成立的充分条件有 .25. (99高职-17)已知x ＞0,函数xx y 432--=的最大值是 . 26. (2002高职-16)已知函数xx y 22+=,(x ＞0),则y 的最小值是 . （三）解答题： 27. (1)已知:1>x ,求294x x +的最小值；(2)已知:0<x ,求3364xx y +=的最大值.28. 已知:a 、b ∈R +,求证:2ba +≥ab .(要求用比较法、综合法、分析法、反证法分别证明)29. 若a 、b 、c ∈R +,且a+b+c=1,求证:(a 1-1)(b 1-1)(c1-1)≥8.六、综合能力提高： 30. 函数116-+=x x y (x ＞1)的最小值是 .31. 已知:R x ∈,求2322++=x x y 的最小值.§2.2一次不等式和不等式组的解法一、高考要求：熟练求不等式组的解集. 二、知识要点：1. 能直接表明未知数的取值范围的不等式叫做最简不等式，解集相等的不等式叫做同解不等式，一个不等式变为它的同解不等式的过程叫做同解变形.2. 一次不等式ax ＞b(a ≠0)的解法:当a ＞0时,解集是{a b x x >},用区间表示为(a b,+∞); 当a ＜0时,解集是{a b x x <},用区间表示为(-∞,ab).3. 不等式组的解集就是构成不等式组的各不等式解集的交集. 三、典型例题：例1:解下列不等式(组):(1) (x-3)2(x-4)≥0. (2) ⎩⎨⎧-<+<-+65430)3)(1(2x x x x .四、归纳小结：一次不等式和不等式组的解法是解各种不等式(组)的基础.解不等式实际上就是利用数与式的运算法则,以及不等式的性质,对所给不等式进行同解变形,直到变形为最简不等式为止.五、基础知识训练：（一）选择题：1. 已知方程x 2+(m+2)x+m+5=0有两个正根,则实数m 的取值范围是( )A.m ＜-2B.m ≤-4C.m ＞-5D.-5＜m ≤-4 2. 已知方程mx 2+(2m+1)x+m=0有两个不相等的实根,则实数m 的取值范围是( ) A.m ＜41-B.m ＞41-C.m ≥41-D.m ＞41-且m ≠0 （二）填空题： 3. 若关于x 的不等式组⎩⎨⎧>+->01a x ax 的解集不是空集,则实数a 的取值范围是 . （三）解答题： 4. 解不等式(组): (1)52(x-2)≤x-52 ⎪⎩⎪⎨⎧<->+<-06305201)2(x x x§2.3分式不等式的解法一、高考要求：会解线性分式不等式:0>++d cx b ax 或)0(0≠<++c dcx bax .二、知识要点：在分式的分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式.线性分式不等式的一般形式为:0>++d cx b ax 或)0(0≠<++c dcx bax ,不等号也可以是“≥”或“≤”.三、典型例题：例:解不等式:1523-+>-+x x x x .四、归纳小结：1. 分式不等式的求解可应用同解原理转化为整式不等式求解,常用的解法有： (1)转化为一次不等式组；(2)区间分析法.2. 解分式不等式的关键是利用除法运算的符号法则化成不等式组或用区间分析法. 注意：①不能按解分式方程的方法去分母；②不能忘记分母不能为零的限制. 五、基础知识训练：（一）选择题：1. 满足21<x 与31->x 的x 适合的条件是( ) A.2131<<x B. 21>x C. 31-<x D. 3121-<>x x 或2. 下列不等式中与xx --34≥0同解的是( )A.(x-4)(3-x)≥0B.43--x x≥0 C.)3(-x Ig ≤0 D.(x-4)(3-x)＞03. 不等式1212>-+x x 的解集是( )A.{x|0≤x ＜3}B.{x|-2＜x ＜3}C.{x|-6≤x ＜3}D.{x|x ＜-3或x ＞2} 4. 不等式1232+--x x x ＜0的解集是( ) A.{x|x ＜3} B.{x|1＜x ＜3} C.{x|x ＜3或x ≠1} D.{x|x ＜3且x ≠1}5. 不等式2)1()3(2--+x x x ≤0的解集是( )A.{x|1≤x ＜2}B.{x|1＜x ＜2或x=-3}C.{x|1≤x ＜2或x =-3}D.{x|1≤x ≤2或x=-3}6. 设a ＞b ＞c,则不等式cx b x a x ---))((≥0的解集是( )A.(-∞,c )∪[b,a )B.(c,b ]∪[a,+∞)C.(c,b]∪(b,a]D.(c,a]∪[b,+∞) （二）填空题： 7. 不等式1312>+-x x 的解集是 . 8. 不等式)3)(4()2()1(22x x x x --+-≥0的解集是 .9. 若不等式342+++x x ax ≥0的解集为{x|-3＜x ＜-1或x ≥2},则a= . 10. b 克糖水中有a 克糖(b ＞a ＞0),若再添上m 克糖(m ＞0),则糖水就变甜了,试根据这个事实提炼一个不等式 .11. 设关于x 的不等式ax+b ＞0的解区间为(1,+∞),则关于x 的不等式0652<+--bax x x 的解区间为 . （三）解答题： 12. 解下列不等式: (1) 12+<x x (2) 110<-<xx六、综合能力提高： 13. 若不等式x 2+px+q ＜0的解集是{x|1＜x ＜2},则不等式06522>--++x x qpx x 的解集是( ) A.(1,2) B.(-∞,-1)∪(6,+∞) C.(-1,1)∪(2,6) D.(-∞,-1)∪(1,2)∪(6,+∞)§2.4含有绝对值的不等式一、高考要求：熟练求绝对值不等式的解集. 二、知识要点：1. |x-a|(a ≥0)的几何意义是x 在数轴上的对应点到a 的对应点之间的距离.2. 不等式|x|≤a(a ＞0)的解集是{x|-a ≤x ≤a};不等式|x|＞a(a ＞0)的解集是{x|x ＜-a 或x ＞a}.3. 不等式|ax+b|＜c(c ＞0)的解集是{x|-c ＜ax+b ＜c},然后解这个一次不等式,求出原不等式的解集;不等式|ax+b|＞c(c ＞0)的解集是{x|ax+b ＜-c 或ax+b ＞c},然后解这个一次不等式,求出原不等式的解集,即这两个一次不等式的解集的并集为原不等式的解集. 三、典型例题：例:解下列不等式:(1) |x 2-3x|＞4 (2) 1≤|2x-1|＜5 (3) x+|x-1|＜2四、归纳小结：解绝对值不等式时,应先了解基本绝对值不等式|x|＜a 、|x|＞a (a ＞0)的解法,并把含有绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式. 五、基础知识训练：（一）选择题：1. (2002高职-2)不等式|x-2|＞1的解集是( )A.(1,3)B.(3,+∞)C.(-∞,1)D.(-∞,1)∪(3,+∞) 2. 不等式|2-3x|＞5的解集是( )A.(-1,37) B.(37,+∞) C.(-1,+∞) D.(-∞,-1)∪(37,+∞) 3. 不等式|2-3x|≤21的解集是( )A.{x|21＜x ＜65}B. {x|x ＜21或x ＞65}C. {x|x ≤21或x ≥65}D. {x|21≤x ≤65}4. 已知A={x 2+x ≥5},B={x x -3＜2},则A ∪B 等于( )A.{x|x ≤7或x ＞1}B.{x| -7≤x ＜1}C.{x|x ∈R}D.{x|x ≤7或x ≥3} 5. 已知A={x 2-x ＜3},B={x 1-x ＞1},则A ∩B 等于( )A.{x|x ＜0或x ＞2}B.{x| -1＜x ＜5}C.{x|-1＜x ＜0}D.{x|-1＜x ＜0或2＜x ＜5} 6. 设ab ＞0,下面四个不等式①|a+b|＞|a|；②|a+b|＜|b|；③|a+b|＜|a-b|；④|a+b|＞|a|-|b|中,正确的是( )A.①和②B.①和③C.①和④D.②和④7. 下面四个式子①|a-b|=|b-a|；②|a+b|+|a-b|≥2|a|；③a a =-2)(；④()b a +21＞ab 中,成立的有( )A.①、②B.①、②、④C.①、②、③D.①、②、③、④ （二）填空题：8. (2001高职-14)若不等式|x-a|＜b 的解集为{x|-3＜x ＜9},则ba2log = . 9. 若{x||a-2x|＞b,b ＞0}={x|x ＜-5或x ＞4},则a 2+b= . 10. 若x ∈Z,则不等式382<-x 的解集是 . （三）解答题：11. 设集合A={x||2x-1|≤3},B={x||x+2|＜1},求集合C,使其同时满足下列三条件: (1)C ⊆[(A ∪B)∩Z]；(2)C 中有三个元素；(3)C ∪B ≠Φ.12. 解下列不等式: (1) 3＜322-x ≤7 (2)123-+x x ≥1六、综合能力提高： 13. 解下列不等式:(1) |3x-1|＞x+3 (2) 42>++x x§2.5一元二次不等式的解法一、高考要求：熟练求一元二次不等式的解集.二、知识要点：三、典型例题：例1:求下列不等式的解集:(1)2x+3-x 2＞0；(2)x(x+2)-1≥x(3-x)；(3)x 2-32x+3＞0；(4)x 2+6(x+3)＞3；(5)3x 2+5≤3x.例2:m 是什么实数时,方程(m-1)x 2-mx+m=0有两个不相等的实数根?例3:已知ax 2+2x+c ＞0的解集为2131<<-x ,试求a 、c 的值,并解不等式-cx 2+2x-a ＞0.四、归纳小结：解一元二次不等式的方法主要有:(1)转化为一次不等式组；(2)区间分析法；(3)配方法；(4)利用二次函数的图象.五、基础知识训练：（一）选择题：1. (97高职-1)不等式x 2+2x+1＞0的解集是( )A.ΦB.RC.{x|x= -1}D.{x|x ≠-1,x ∈R}2. 不等式(x 2-4x-5)(x 2+8)＜0的解集是( )A.{x|-1＜x ＜5}B.{x|x ＜-1或x ＞5}C.{x|0＜x ＜5}D.{x|-1＜x ＜0}3. 不等式ax 2+2x+c ＞0(a ≠0)的解集是空集的充要条件是( )A.a ＜0且b 2-4ac ＞0B.a ＜0且b 2-4ac ＜0C.a ＜0且b 2-4ac ≥0D.a ＜0且b 2-4ac ≤04. 下列不等式中,解集是空集的不等式是( )A.4x 2-20x+25＞0B.2x 2-34x+6≤0C.3x 2-3x+1＞0D.2x 2-2x+1＜05. 若x 2-mx+1＜0,则实系数m 的取值范围为( )A.m ＞2或m ＜-2B.-2＜m ＜2C.m ≠±2D.m ∈R6. 若ax 2+5x+c ＞0的解集是}2131{<<x x ,则a+c 的值为( ) A.7 B.5 C.-5 D.-7（二）填空题：7. 已知不等式x 2+bx+c ＞0的解集为{x|x ＜3-或x ＞2},则b= ，c= .8. 已知(m+3)x 2+(2m-1)x+2(m-1)＜0对任意x ∈R 都成立,则实系数m 的取值范围为 .（三）解答题：9. 设集合A={x|x 2-2x-8≥0, x ∈R},B={x|1-|x-a|＞0, x,a ∈R},A ∩B=Φ,求a 的取值范围.10. 不等式(a 2-1)x 2-(a-1)x-1＜0的解是全体实数,求实数a 的取值范围.11. 若函数y=x 2-(1+k)x-k+2的值域为非负实数,求实数k 的取值范围.12.若关于x的方程x2+(a2-9)x+a2-5a+6=0的一根小于0,另一根大于2,求实数a的取值范围.六、综合能力提高：13.已知不等式：①x2-4x+3＜0；②x2-6x+8＜0；③2x2-9x+m＜0.要使同时满足①、②的x也满足③,则有( )A.m＞9B.m=9C.m≤9D.0＜m≤914.若关于x的方程3x2-5x+a=0的一根大于-2而小于0,另一根大于1而小于3,求实数a的取值范围.15.已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为0＜α＜x＜β,求不等式cx2-bx+a＞0的解集.§2.6不等式的应用一、高考要求：了解不等式或不等式组在解决实际问题中的应用,会列不等式或不等式组解简单的实际问题.二、知识要点：列不等式解应用题的主要步骤是：(1)设未知数；(2)根据题意,列出不等式(或不等式组)；(3)解不等式(或不等式组)；(4)检验结果是否符合实际,并作答.三、典型例题：例1:某渔业公司年初用98万元购进一艘渔船,用于捕捞,第一年需各种费用12万元,从第二年开始包括维修费在内,每年所需费用均比上一年增加4万元,该船每年捕捞的总收入为50万元.(1) 该船捕捞几年开始盈利(即总收入减去总成本及所有费用为正值)?(2) 该船捕捞若干年后,处理方案有两种:①当年平均盈利达到最大值时,以26万元的价格卖出；②当盈利总额达到最大值时,以8万元的价格卖出,问哪一种方案较为合算?请说明理由.例2:某种商品,现在定价每件p 元,每月售货卖出n 件,因而现在每月售货总金额为np 元.设定价上涨x 成,卖出数量减少y 成,售货总金额变成现在的z 倍.(1) 用x 和y 表示z;(2) 设y=kx,其中k 是满足0＜k ＜1的常数,利用k 来表示当售货总金额最大时的x 值;(3) 若x y 32,求使售货总金额有所增加时的x 的范围.四、归纳小结：应用不等式知识解应用题的关键是建立不等量关系.五、基础知识训练：（一）选择题：1. 某工厂第一年年产量为A,第二年的增长率为a,第三年的增长率为b,这两年的平均增长率为x,则( )A.x=2b a +B.x ≤2b a +C.x ＞2b a +D.x ≥2b a + （二）填空题：2. (97高职-19)设某型号的汽车在普通路面上的刹车距离S(米)与汽车车速x(千米/时)之间的关系是20005.02x x S +=,为了避免交通事故,规定该车的刹车距离不大于10米,则该车的车速不得超过 (千米/时).3. (98高职-23)1998年世界杯足球赛组委会决定以每张25美元的单价发行普通入场券,预计可发行80万张,如果定价每张提高1美元,发行量就减少2万张,欲使门票收入不低于2000万美元,则入场券的最高定价不超过 .（三）解答题：4. (2003高职-21)(本小题满分12分)某厂若以50元的价格销售一种产品,则可以销售8000件.如果这种产品的单价每增加1元,则销售量就将减少100件.为了使这种产品的销售收入不低于420000元,那么单价的取值范围应为多少?5. 工厂生产某种产品,每月固定成本10万元,而每件产品的变动成本为25元,产品销售单价为60元,若每月要获得最低利润3万元,求每月最少要销售多少件产品?6. 某地方政府为保护地方电子工业发展,决定对某一进口电子产品征收附加税,已知这种电子产品国内市场零售价每件250元,每年可销售40万件,若政府征收附加税率为每百元t 元时,则每年销售将减少58t 万件. (1) 将税金收入表示为征收附加税率的函数;(2) 若在该项经营中每年征收附加税金不低于600万元,那么政府征收附加税率应控制在什么范围内?。

高三第一轮——第二章不等式及其性质(教师)

第二章不等式及其性质【知识点】1、不等式的基本性质（），100a b c ac bc c ac bc>>⇒><⇒<（），2a b c d a c b d >>⇒+>+（），300a b c d ac bd >>>>⇒>（），4011011a b a b a b a b>>⇒<<<⇒> （），50a b a b a b n n n n >>⇒>>()（），或60||||x a a a x a x a x a x a <>⇔-<<>⇔<->2、基本不等式（1）,a b R ∈⇒222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（2）,a b R +∈⇒2a b+≥当且仅当a ＝b 时取“=”号)． 3、常用不等式（1）3333(0,0,0).a b c abc a b c ++≥>>>（2）柯西不等式 22222()()(),,,,.a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈ （3）b a b a b a +≤+≤-.4、极值定理已知y x ,都是正数，则有（1）若积xy 是定值p ，则当y x =时和y x +有最小值p 2；（2）若和y x +是定值s ，则当y x =时积xy 有最大值241s . 【知识解读——常见不等式解法】 1、无理不等式（1()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩ （22()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x ≥⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或. （32()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩2、指数不等式与对数不等式 (1)当1a >时, ()()()()f x g x a a f x g x >⇔>;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩. (2)当01a <<时, ()()()()f x g x aa f x g x >⇔<; ()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩【典型例题】1、已知三个不等式：ab>0，bc-ad>0，bdac ->0(其中a,b ，c ，d 均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是 A.0个 B ．1个 C 2个 D ．3个【答案】 D 本题主要考查不等式的性质．解题的关键是把bdac ->0等价的转化为ab ad bc ->0，然后再根据不等式的性质(乘法性质)逐一判断．研究不等式的性质要善于进行等价转化． 2、已知a 、b 、c 满足c<b<a ，且ac<0，那么下列选项中一定成立的是 A ．ab>ac B ．c(b-a)<0C ．cb2<ab2 D ．ac(a-c)>0 【答案】 A 指导：∵c<b<a,且ac<0,∴a>0,c<0.由b>c,得ab>ac 3、对任意实数a ，b ，c 在下列命题中，真命题的是A ．“ac ，bc ”是“a>b ”的必要条件B ．“ac=bc ”是a=b 的必要条件C “ac>bc ”是“a>b 的充分条件”D ．“oc=bc ”是“a=b ”的充分条件【答案】B 指导：∵ac>bc ⇒a>b,且a>b ac>bc,∴“ac>bc ”是“a>b ”的概念不充分也不必要条件，又∵ac=bc a=b,量a=b ac=bc, ∴B 选项正确。

第2章不等式

第2章不等式考点解读1.不等式的性质（1）实数的大小比较与实数运算性质之间的关系0a b a b >⇔->；0a b a b <⇔-<；0a b a b =⇔-=（2）不等式的基本性质性质1.（传递性）如果,a b b c >>，那么a c > 性质2.（加法性质）如果a b >，那么a c b c +>+性质3.（乘法性质）如果a b >，0c >，那么ac bc >；如果a b >，0,c <那么ac bc < （3）从不等式的基本性质出发，还可以得到哪些有用的推论？推论1. ,a b c d a c b d >>+>+如果那么；推论2. ,a b c d a c b d ><->-如果那么推论3. 0,0a b c d ac bd >>>>>如果那么；推论4. 110,a b a b>><如果那么推论5. 0,0a ba b d c c d>>>>>如果那么；推论6. *0,()n n a b a b n N >>>∈如果那么推论7. 110,nna b a b >>>如果那么*(,1)n N n ∈>（4）如何比较不等式的大小？①作差法 ②作商法2. 解不等式（1）一元一次不等式的解集的讨论： 2.不等式的性质（1）不等式ax b >的解集：当0a >时，解集为{|}bx x a >；当0a <时，解集为{|}b x x a<；当0a =且0b <时，解集为R ；当0a =且0b ≥时，解集为∅. （2）一元二次不等式的解集的讨论：一元二次不等式解集如表所示：（当方程方程2+0ax bx c +=的两个不相等的实根时，不妨设为12,x x ，且12x x <）判别式24b ac ∆=-0∆> 0∆= 0∆<2y ax bx c =++()0a >的图像20ax bx c ++=()0a >的根有两相异实根12,x x ()12x x <有两相等实根122bx x a==-没有实根20ax bx c ++>()0a >的解集{}12x x x x x <>或2b x x a ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭R20ax bx c ++<()0a >的解集{}12x xx x <<∅ ∅【总结】不等式证明的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法；（8）图象法.其中比较法（作差、作商）是最基本的方法.（3）分式不等式的解法同解变形法（分式不等式⇔整式不等式⇔一次、二次不等式）①() ()()()()()()()()0000f x f xf xg x f x g xg x g x><><（或）与·或·同解；②()()()()00f x f xg x g x⎛⎫⎪⎪⎝⎭≥或≤与不等式组()()()()()()0000f xg x f x g xg x g x⎛⎫⎧⎧⎪⎪⎪⎨⎨⎪≠≠⎪⎪⎩⎩⎝⎭·≥·≤或同解.（4）一元高次不等式的解法——标根法其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现()f x的符号变化规律，写出不等式的解集.若naaaa<<<<Λ321，则不等式0)())((21>---naxaxaxΛ或0)())((21<---naxaxaxΛ的解法如下图（即“数轴标根法”）：（5）绝对值不等式的解法方法一：应用分类讨论思想去绝对值（最后结果应取各段的并集）；方法二：应用数形结合思想；方法三：应用化归思想等价转化.①最简单的绝对值不等式的同解变形,x a a x a<⇔-<<；,ax b c c ax b c+<⇔-<+<；x a x a>⇔<-或,x a>；cbaxcbax-<+⇔>+或,ax b c+>.②关于绝对值不等式的常见类型有下列的同解变形()()()()()f xg x g x f x g x≤⇔-≤≤；()()()()f xg x f x g x≥⇔≤-或()()f xg x≥；22()()()()f xg x f x g x≤⇔≤.【提醒】标根法主要用于简单的一元高次不等式题型，因为上海高考不作要求，可以简单的了解.（5）含参不等式的解法求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”3.常用的基本不等式（1）如果,a b R ∈，那么222a b ab +≥（当且仅当a =b 时等号成立）；（2）如果,a b R +∈，那么ba +≥ab （当且仅当a =b 时等号成立）.（1）比较法 ①作差比较法 A.理论依据0a b a b ->⇔> 0a b a b -=⇔= 0a b a b -<⇔<B.证明步骤：I:作差：对要比较大小的两个数（或式）作差；II ：变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和； III ：判断：结合变形的结果及题设条件判断差的符号.②作商比较法 A.理论依据当a b R +∈，时, 1,1,1a a aa b a b a b b b b>⇔><⇔<=⇔=. B.证明步骤：I:判断（判断能否作商）；II ：作商；III ：变形；IV: 下结论. （2）综合法证题时，从已知条件入手，经过逐步的逻辑推导，运用已知的定义、定理、公式等，最终达到要证结论，这是一种常用的方法（由因导果）. （3）分析法从要证明的结论出发，一步一步地推导，最后达到命题的已知条件（可明显成立的不等式、已知不等式等），其每一步的推导过程都必须可逆（执果索因）.2.1不等式的基本性质例题精讲【例1】（1）设x 、y 是不全为零的实数，试比较222y x +与xy x +2的大小；（2）设c b a ,,为正数，且1222=++c b a ，求证：3)(2111333222≥++-++abc c b a cb a . 【参考答案】（1）解法1：222222243)2()(2y y x xy y x xy x y x +-=-+=+-+ 因为x 、y 是不全为零的实数，所以043)2(22>+-y y x ，即xy x y x +>+2222 解法2：当0<xy 时， 22222y x x xy x +<<+；当0>xy 时，作差：02)(222222>=-≥-+=+-+xy xy xy xy y x xy x y x ；因为x 、y 是不全为零的实数，所以当0xy >时，xy x y x +>+2222．综上，xy x y x +>+2222（2）证明：当c b a ==时，取得等号3．作差比较：3)(2111333222-++-++abc c b a c b a =3)(2333222222222222-++-++++++++abc c b a c c b a b c b a a c b a=222222222222111111()()()2()a b c a b c b c a c a b bc ac ab+++++-++ =0)11()11()11(222222>-+-+-ba c ac b cb a所以，3)(2111333222≥++-++abc c b a cb a 【例2】已知41,145ac a c -≤-≤--≤-≤,试求9a c -的取值范围．【参考答案】把9a c -用a c -，4a c -来表示，再利用a c -，4a c -的范围得出9a c -的取值范围．1[(4)()]3a a c a c =---1[(4)4()]3c a c a c =---∴9a c -=3[(4)()]a c a c ----1[(4)4()]3a c a c ---85(4)()33a c a c =---由已知得8840-(4)333a c ≤-≤，5520()333a c ≤--≤∴85-1(4)()2033a c a c ≤---≤，即1920a c -≤-≤注意:这类题的常见错误是,由41441a c a c -≤-≤-⎧⎨-≤-≤⎩,从而得: 03a ≤≤,17c ≤≤,所以: 7926a c -≤-≤，即: 7(3)26f -≤≤,错误根源在于,a b c d ≥≥是a b b c -≥-充分但不是必要条件,因此必须从考虑9a c -与a c -,4a c -的关系去解此题.过关演练1. 若c b a >>，则一定成立的不等式是（）.A c b c a > .B ac ab > .C c b c a ->- .D cb a 111<< 2. 已知：,,0a b e f c >>>，求证：bc e ac f --＜． 3. 已知11a -<<，比较1a -和11a+的大小． 4. 对于实数c b a ,,，给出下列命题：①22,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,22； ③22,0b ab a b a >><<则若； ④ba b a 11,0<<<则若； ⑤baa b b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0； ⑦bc ba c ab ac ->->>>则若,0；其中正确的命题是 .5. 已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是 .6. 若11αβ-<<<，则下面各式中成立的是（）.A 20αβ-<-< .B 21αβ-<-<- .C 10αβ-<-< .D 11αβ-<-<7. 设a 和b 都是非零实数，求不等式b a >和ba 11>同时成立的充要条件．8. 下列几个不等式中（1）22a b a a b b +>+ （2）222211b b a a +>+ （3）11a b a b+>+ （4）a b a a > 其中恒成立的不等式个数是（）.A 0 .B 1 .C 2 .D 39. 若a >和均不成立 .B 不等式||1||111b a a b a >>-和均不成立 .C 不等式22)1()1(11a b b a a b a +>+>-和均不成立 .D 不等式22)1()1(||1||1ab b a b a +>+>和均不成立 10. 若二次函数)(x f 的图像关于y 轴对称，且2)1(1≤≤f ，4)2(3≤≤f ，求)3(f 的范围． 11. 已知c b a >>，且,0=++c b a 求ac的取值范围．2.2一元二次不等式的解法例题精讲【例1】解关于x 的不等式2(2)20mx m x +-->,并写出解集【参考答案】m =0时，不等式为-2x-2>0,不等式的解集为--1∞（，）； m ≠0时，可得2)(1)0,m x x m +>(-若m>0,则201m >>-, 此时不等式的解集为2--1+m∞⋃∞（，）（，）若m<0,则不等式同解于不等式2)(1)0x x m+<(- 当-2<m<0时，不等式的解集为2-1m （，）；当m<-2时不等式的解集为2-m （1，）；当m=-2时，不等式的解集为∅．注意：对字母m 分类讨论时，先要讨论二次项的系数，以区分是一次不等式还是二次不等式，还要注意化简后不等式的同解形式．【例2】有一批影碟机(DVD)原售价为800元,在甲,乙两家商场均有销售,甲商场用如下方法促销,买一台单价为国为780元,买两台单价为760元,依此类推,每多买一台,则所买各台单价均减少20元,但每台最低不能低于440元,乙商场一律都按原价75%销售,某单位需购买一批此类影碟机,应去哪家商场购买?【参考答案】设此单位需购买x 台影碟机,在甲商场购买共需花费1y 元,在乙商场购买共需花费2y ,由题意, 80020440,18x x -≥∴≤*1*(80020),118,440,18,x x x x N y x x x N⎧-≤≤∈⎪=⎨>∈⎪⎩ *280075%600,1,y x x x x N =⨯=≥∈,设此单位在甲,乙两家商场购货的差价为y,则2*21*(80020)60020020,118,440600,18,x x x x x x x N y y y x x x x N⎧--=-≤≤∈⎪=-=⎨->∈⎪⎩ 当118x ≤≤时,由220020y x x =->0得:0<x<10, 所以*110,x x N ≤<∈;由220020y x x =-=0得x=10,由220020y x x =->0得x>10, 所以*1018,x x N <≤∈;当x >18时,y <0答:若购买少于10台影碟机,则应去乙商场购买,若买10台,去甲乙均可,若购买超过计划10台,则应去甲商场购买.过关演练1. 若不等式022<+-a bx x 的解集为}51|{<<x x ，则a 为 .2. 求下列不等式的解集：⑴解不等式22350x x -++>；⑵解不等式24410x x -+>；⑶解不等式2230x x -+->.3.已知关于x 的不等式(1)(1)0ax x -+<的解集是()1,1,a ⎛⎫-∞⋃-+∞ ⎪⎝⎭，求实数a 的取值范围. 4. 解关于x 的不等式0)(322>++-a x a a x ．5. 关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为(1,2)-，则不等式20cx bx a ++<的解集为 .6. 已知关于x 的不等式组2122kx x k ≤++≤有唯一实数解，则实数k 的取值集合是 .7. 对于任意实数x ，不等式22(2)0ax ax a +-+<恒成立，则实数a 的取值范围是（） .A 10a -≤≤.B 10a -≤< .C 10a -<≤ .D 10a -<<8. a 为实数，关于x 的二次方程27(13)220x a x a -+++=有两个实数根分别介于0与1之间以及1与2之间，求a 的取值范围．9. 解不等式: ()()220x ax --> ．10. 如果集合2{|10}A x ax ax =-+<=∅，则实数a 的取值范围是 .11. 111222,,,,,a b c a b c 均为非零实数，不等式21110a x b x c ++>和22220a x b x c ++>的解集分别为集合M 和N ，那么“111222a b c a b c ==”是“M N =”的（） .A 充分非必要条件.B 必要非充分条件 .C 充要条件 .D 既非充分又非必要条件12. 函数()2(2)2(2)4f x a x a x =-+--，若()1,3x ∈时，()7f x mx <-恰成立，求,a m 的值．13. 关于x 的方程2(1)10x m x +-+=在区间()0,2上有实根，求实数m 的取值范围． 14. 若不等式)1(122->-x m x 对满足2≤m 的所有m 都成立，求x 的取值范围．15. 某公园举办雕塑展览吸引着四方宾客，旅游人数x 与人均消费t （元）的关系如下： 121600(1050,)61300(50200,)t t t x t t t -+≤≤∈⎧=⎨-+<≤∈⎩N N , （1）若游客客源充足，那么当天接待游客多少人时，公园的旅游收入最多？（2）若公园每天运营成本为5万元（不含工作人员的工资），还要上缴占旅游收入20%的税收，其余自负盈亏．目前公园的工作人员维持在40人．要使工作人员平均每人每天的工资不低于100元，并维持每天正常运营（不负债），每天的游客人数应控制在怎样的合理范围内？（注：旅游收入=旅游人数×人均消费）2.3其他不等式的解法例题精讲【例1】k 为何值时，下式恒成立：13642222<++++x x k kx x 【参考答案】原不等式可化为：0364)3()26(222>++-+-+x x k x k x ，而03642>++x x ∴原不等式等价于0)3()26(22>-+-+k x k x由0)3(24)26(2<-⨯⨯--=∆k k 得1< k <3【例2】解不等式210.122x x --< 【参考答案】这个绝对值不等式的绝对值符号内是一个分式，若先去绝对值符号，就变成一个形式上是分式的不等式：210.10.122x x --<-<，这样就为解题制造了障碍，但是如果我们不急于去绝对值符号，而是先将绝对值符号内的表达式进行化简，就可以得到212212222x x x x x x x -----===-．所比不等式的解集为{}1010x x x ><-或【例3】若不等式()11m x x ≤++-的解集为全集，求实数m 的求值范围．【参考答案】利用绝对值和的几何意义求解简捷、快速．2m ≤本题是一道恒成立问题，分离常数后，转化为求最小值问题．过关演练1. 若x R ∈，则()()110x x -+>的解集是（）.A {}01x x ≤< .B {0x x <且1}x ≠- .C {}11x x -<< .D {1x x <且1}x ≠- 2. 不等式2601x x x ---＞的解集为（） .A {}23x x x <->或 .B {}23x x x <-<<或1.C {}213x x x -<<>或 .D {}213x x x -<<<<或1 3. 求下列不等式的解集：⑴解不等式4321x x ->+；⑵解不等式22xxx x >++；⑶解不等式4|23|7x <-≤； ⑷解不等式123x x ->-； ⑸解不等式125x x -++<．4. 若不等式|32||2|x x a +≥+对x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围．5. 解关于x 的不等式：242mx m x +<+．6. 不等式242+<-x x 的解集为 .7. 已知关于x 的不等式23x x m -+-<的解集为非空集合，则实数m 的取值范围是（）.A 1m < .B 1m ≤ .C 1m > .D 1m ≥8. 若不等式102x m x m -+<-成立的一个充分非必要条件是1132x <<，则实数m 的取值范围是（） .A 14,,43⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U .B 14,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦ .C 13,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦ .D 以上结论都不对 9. 已知关于x 的不等式21<++ax x 的解集为P ，若P ∉1，则实数a 的取值范围为（） .A ),0[]1,(+∞--∞Y .B ]0,1[- .C ),0()1,(+∞--∞Y .D ]0,1(-10. 设全集U R =，解关于x 的不等式： 110x a -+->()x R ∈.11. 解不等式2(1)(2)0x x -+≥．12. 设关于x 的不等式4|4|2+≤+-x m x x 的解集为A ，且A A ∉∈2,0，则实数m 的取值范围是 . 13. 不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+->+->|22|330xx x x x 的解集是（） .A {|02}x x <<.B {|0 2.5}x x << .C {|0x x <<.D {|03}x x << 14. 对任何实数x ，若不等式12x x k +-->恒成立，则实数k 的取值范围为（）.A 3k < .B 3k <- .C 3k ≤ .D 3k ≤-15.2x <+.16. 解关于x 的不等式(1)1(1)2a x a x ->≠-. 17. 已知关于x 的不等式052<--ax ax 的解集为M ． (1) 当1=a 时，求集合M ；(2) 当M M ∉∈53且时,求实数a 的范围．2.4基本不等式及其应用例题精讲【例1】已知54x <，求541-+x x 的最大值. 【参考答案】45)45(41)45(541+-+-=-+x x x x ，由于54x <，045<-x ，所以1)45(41)45(-≤-+-x x ，4145)45(41)45(≤+-+-x x ，当且仅当)45(4145-=-x x 即43=x 时取等号. 【例2】求2710(1)1x x y x x ++=>-+的最小值. 【参考答案】方法一：当1->x 时，9514114)1(5)1(110722≥++++=+++++=+++x x x x x x x x ，当且仅当111+=+x x 即1=x 时取等号. 方法二：设)0(1>+=t x t ，则1-=t x ，原式9544510)1(7)1(22≥++=++=+-+-=tt t t t t t t 当且仅当tt 4=即1,2==x t 时取等号.【例3】某村计划建造一个室内面积为2800m 的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左右两侧与后侧内墙各保留1m 宽的通道，沿前侧内墙保留3m 宽的空地，当矩形室的变长各为多少时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积时多少？【参考答案】温室左侧变长2max 40,20,648a m b m S m ===过关演练1. 已知3>x ，则6211-++x x 的最小值是 . 2. 已知,,9a b R ab +∈=，则a b +的最小值是 .3. 下列不等式一定成立的是（）.A xy y x 2≥+ .B 21≥+x x .C xy y x 222≥+ .D xyxy y x 12≥+ 4. 已知,,,a b c R ∈求证222a b c ab bc ca ++≥++.5. 为了提高产品的年产量，某企业拟在2010年进行技术改革．经调查测算，产品当年的产量x 万件与投入技术改革费用m 万元(m ≥0)满足31k x m =-+ (k 为常数)．如果不搞技术改革，则该产品当年的产量只能是1万件．已知2010年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元．由于市场行情较好，厂家生产的产品均能销售出去．厂家将每件产品的销售价格定为每件产品生产成本的1.5倍(生产成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2010年该产品的利润y 万元(利润＝销售金额－生产成本－技术改革费用)表示为技术改革费用m 万元的函数；(2)该企业2010年的技术改革费用投入多少万元时，厂家的利润最大？6. 已知0,0x y >>，且191x y+=，则x y +的最小值为 . 7. 已知0,0a b >>，以下三个结论：①22ab a b a b +≤+，②2222a b a b ++≤ ③22b a a b a b+≥+，其中正确的个数是( ) .A 0 .B 1.C 2 .D 38. 已知b a ,为正实数，302=++a ab b ，求函数ab y 1=的最小值.9. 已知关于x 的不等式227x x a+≥-在(),x a ∈+∞上恒成立，求实数a 的最小值.10. 某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x 、y （单位：m ）的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8 m 2，问x 、y 分别为多少时用料最省？（精确到0.001m ）x y11. 已知1,0>>y x ，且2)1(=-y x ，则y x +2的最小值为 . 12. xzy z y x R z y x 2,032*,,,=+-∈的最小值为 . 13. 1,0,=+>y x y x ，且a y x ≤+恒成立, 则a 的最小值为（）A .22 B .22 C .2 D .2 14. 已知a 、b 、()0,c ∈+∞且1a b c ++=，求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 15. 三个同学对问题“关于x 的不等式232255x x x ++-ax ≥在[1，12]上恒成立，求实数a 的取值范围”提出各自的解题思路．甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”．丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图像”．参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，求出a 的取值范围.2.5不等式的证明例题精讲【例1】设,,a b R ∈求证：221a b ab a b +++>+．【参考答案】()22222211()221212a b ab a b a ab b a a b b +++-+=+++-++-+Q ()()()22211102a b a b ⎡⎤=++-+->⎣⎦ 221a b ab a b ∴+++>+【例2】已知0,0a b >>，求证：1111222222a b a b b a ⎛⎫⎛⎫+≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ．【参考答案】（分析法）要证明1111222222a b a b b a ⎛⎫⎛⎫+≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于0,0a b >>所以11220a b > 只需要证明111122221122a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫ ⎪+≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．即证 331111222222a b a b a b ⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭即证 1111111122222222a b a a b b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+≥+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即证1122a a b b -+1122a b ≥，即证211220a b ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭ 211220a b ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭显然成立，所以原不等式成立．过关演练1. 求证：（1）()()221x x x +<+；（2）设0>>b a ，求证：a b b a b a b a >.2. 已知0=++c b a ，求证： 0ab bc ca ++≤.3. 3725<.4. 已知,,a b m 都是正数，并且a b <，求证：a m ab m b +>+. 5. 设,,,,a b x y R ∈且22221,1,a b x y +=+=试证：||1ax by +≤.6. 实数,,x y z 满足1xy yz zx ++=-,求证：222584x y z ++≥.7. 已知正数a 、b 、c 满足2a b c +<，求证：22c c ab a c c ab -<<-8. 设a ＞0，b ＞0，求证： 111122222a b a b b a 2⎛⎫⎛⎫+≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.9. 已知a 、b 、c 为正实数，1a b c ++=.求证：(1) 22213a b c ++≥； (2)232323+++++c b a ≤6.10. 若,0x y >,且2x y +>，求证：1y x +和1x y +中至少有一个小于2.11. 证明不等式n n2131211<++++Λ ()n N *∈.直击高考一、填空题1.（2009年高考理文3）若行列式4513789x x 中，元素4的代数余子式大于0，则x 满足的条件是 .2. （2010年春季高考4）已知集合1{|||2},{|0}1A x x B x x =<=>+，则A B ⋂= . 3.（2010年高考理2文1）不等式204x x ->+的解集是 . 4.（2012年春季高考12）若不等式210x kx k -+->对()1,2x ∈恒成立，则实数k 的取值范围是 .5.（2012年春季高考13）已知等差数列{}n a 的首项及公差均为正数，令n b n a =2012n a -+(,2012)n N n *∈<，当k b 是数列{}n b 的最大项时，k = .6.（2013年高考理12）设a 为实常数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()97a f x x x=++．若()1f x a ≥+对一切0x ≥成立，则a 的取值范围为 . 7.（2013年高考文13）设常数0a >，若291a x a x+≥+对一切正实数x 成立，则a 的取值范围为．二、选择题8.（2010年春季高考16）已知)1,0(,21∈a a ，记1,2121-+==a a N a a M ，则M 与N的大小关系是（）.A N M < .B N M >； .C N M = .D 不确定9.（2011年高考理15文16）若,a b R ∈，且0ab >，下列不等式中，恒成立的是（）.A 222a b ab +> .B 2a b ab +≥ .C 11a b ab+> .D 2b a a b +≥ 10.（2013年春季高考17）如果0a b <<，那么下列不等式成立的是（）.A 11a b < .B 2ab b < .C 2ab a -<- .D 11a b-<- 11.（2013年高考理15文16）设常数a R ∈，集合{|A x =(1)(x x -)a -0}≥，{|1}B x x a =≥-．若A B R =U ，则a 的取值范围为（）.A (,2)-∞ .B (,2]-∞ .C (2,)+∞ .D [2,)+∞三、解答题12.（2009年高考文19）已知复数z a bi =+（,a b R +∈）(i 是虚数单位)是方程2450x x -+=的根，复数3w u i =+（u R ∈）满足25w z -<，求u 的取值范围．13.（2010年高考理文22）若实数x 、y 、m 满足m y m x ->-，则称x 比y 远离m .（1）若21x -比1远离0，求x 的取值范围；（2）对任意两个不相等的正数a 、b ，证明：33a b +比22a b ab +远离2ab 14.（2011年春季高考22）定义域为R ，且对任意实数1x 、2x 都满足不等式()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭的所有函数()f x 组成的集合记为M ．例如，函数()f x kx b M =+∈．(1)已知函数()0102x x f x x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩．证明：()f x M ∈；(2)写出一个函数()f x ，使得()f x M ∉，并说明理由．15.（2011年春季高考23）对于给定首项)300x a a >>，由递推式()112n n n a x x n N x +⎛=+∈ ⎝得到数列{}n x ，且对于任意的n N ∈，都有3n x a >{}n x 3a 的近似值．(1)取05,100x a ==，计算123,,x x x 的值(精确到0.01)；归纳出1,n n x x +的大小关系；(2)当n≥l 时，证明：()1112n n n n x x x x +--<-．16.（2012年春季高考20）某环线地铁按内、外环线同时运行，内、外环线的长均为30千米（忽略内、外环线长度差异）．（1）当9列列车同时在内环线上运行时，要使内环线乘客最长候车时间为10分钟，求内环线列车的最小平均速度；（2）新调整的方案要求内环线列车平均速度为25千米/小时，外环线列车平均速度为30千米/小时．现内、外环线共有18列列车全部投入运行，要使内外环线乘客的最长候车时间之差不超过1分钟，向内、外环线应各投入几列列车运行？17.（2012年高考理文21）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），A 处，如图.现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线21249y x =； ②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为7t .（1）当0.5t =时，写出失事船所在位置P 的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？18.（2013年高考理20）甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤），每一小时可获得的利润是310051x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭元．（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x 的取值范围；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．。

高一数学讲义第二章不等式

高一数学讲义第二章不等式§2．1不等式的性质1．两个实数a 与b 之间的大小关系 ().a b a b a b a b a b a b 1->⇔>⎧⎪2-=0⇔=⎨⎪3->0⇔<⎩（）；（）；若a 、b +∈R ，则()()().aa b b aa b b aa b b ⎧4>1⇔>⎪⎪⎪5=1⇔=⎨⎪⎪6<1⇔<⎪⎩；；2．不等式的性质（1）（对称性或反身性）a b b a >⇔<；（2）（传递性）a b b c a c >>⇒>，；（3）（可加性）a b a c b c >⇒+>+，此法则又称为移项法则；（同向可相加）a b c d a c b d >>⇒+>+，；（4）（可乘性）a b c ac bc >>0⇒>，；a b >，c ac bc <0⇒<；（正数同向可相乘）a b c d ac bd >>0>>0⇒>，；（5）（乘方法则）()n n a b n a b >>0∈⇔>>0N ；（6）（开方法则）()a b o n n >>∈2⇔>0N ，≥；（7）（倒数法则）a b ab a b11>>0⇒<，. 我们证明性质（4）如果a b >，且c >0，那么ac bc >；如果a b >，且c <0，那么ac bc <. 证明：()ac bc a b c -=-. .a b a b >∴->0，根据同号相乘得正，异号相乘得负，得当c >0时，()a b c ->0，即ac bc >；当c <0时，()a b c -<0，即ac bc <.由性质（4），又可以得到：推论：如果a b >>0，且c d >>0，那么ac bd >．（同学们可以自己证明）很明显，这一推论可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，这就是说，两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向，由此，我们还可以得到：如果a b >>0，那么()n n a b n n >∈2N ，且≥. 例1．设()f x ax bx 2=+，且()()f f 1-12214，≤≤≤≤，求()f -2的取值范围.解：因()()f a b f a b 1-1=-221=+4，，≤≤≤≤为所以()()f f a 3-1+1=26，≤≤ 又()f a b a b a -2=4-2=2-2+2，所以()f 5-210≤≤.例2．已知二次函数()f x ax bx c 2=++的图像过点()-10，，问是否存在常数a b c ，，，使不等式()()x f x x 21+1≤≤2对一切x ∈R 都成立？解：假设存在常数a b c ，，，满足题意， ()f x 的图像过点()-10，， ()f a b c ∴-1=-+=0又不等式()()x f x x 211+2≤≤对一切x ∈R 都成立， ∴当x =1时，()()f 21111+12≤≤，即a b c 1++1≤≤， a b c ∴++=1由①②可得：a c b 11+==22，，()f x ax x a 211⎛⎫∴=++- ⎪22⎝⎭，由()()x f x x 211+2≤≤对一切x ∈R 都成立得：()x ax x a x 22111⎛⎫++-1+ ⎪222⎝⎭≤≤恒成立， ()ax x a a x x a 22⎧11⎛⎫-+-0 ⎪⎪22∴⎝⎭⎨⎪2-1+-20⎩≥≤的解集为R ， a a a >0⎧⎪∴11⎨⎛⎫-4-0 ⎪⎪42⎝⎭⎩≤且()a a a 2-1<0⎧⎪⎨1+82-10⎪⎩≤，即()a a 2>0⎧⎪⎨1-40⎪⎩≤且()a a 21⎧<⎪2⎨⎪1-40⎩≤， a c 11∴=∴=44，，∴存在常数a b c 111===424，，使不等式()()x f x x 211+2≤≤对一切x ∈R 都成立. 例3．已知()()f x x a x 2=+2-2+4，（1）如果对一切()x f x ∈>0R ，恒成立，求实数a 的取值范围；（2）如果对[]()x f x ∈-31>0，，恒成立，求实数a 的取值范围. 解：（1）()a a 2∆=4-2-16<0⇒0<<4；（2）()()a f ⎧--2<-3⎪⎨-3>0⎪⎩或()a ⎧-3--21⎪⎨∆<0⎪⎩≤≤或()()a f ⎧--2>1⎪⎨1>0⎪⎩，解得a ∈∅或a 1<4≤或a 1-<<12，∴a 的取值范围为1⎛⎫-4 ⎪2⎝⎭，.基础练习1．判断下列命题是否成立，并说明理由．（1）如果a b c d ><，，那么a c b d +>+；（2）如果a b c d >>，，那么a c b d -2>-2；（3）如果a b c d >>，，那么ac bd >. 2．对于实数a b c ，，中，判断下列命题的真假： ①若a b >，则ac bc 22>； ②若ac bc 22>，则a b >；③若a b <<0，则a ab b 22>>；④若a b <<0，则a b 11<；⑤若a b <<0，则b a a b>； ⑥若a b <<0，则a b >； ⑦若c a b >>>0，则a bc a c b>--； ⑧若a b a b11>>，，则a b >0<0，.3.设n >-1，且n ≠1，则n 3+1与n n 2+的大小关系是________. 4．比较下列两个数的大小：（1与2（2）2（3）从以上两小题的结论中，你能否得出更一般的结论？并加以证明． 5．已知()()()f x ax c f f 2=--41-1-125，，≤≤≤≤，求()f 3的取值范围. 能力提高6．若不等式()()a x a x 2-2+2-2-4<0对一切x ∈R 成立，求a 的取值范围. 7．若关于x 的方程x ax a 22++-1=0有一正根和一负根，求a 的取值范围.8．关于x 的方程()m x m x 2-3+3=的解为不大于2的实数，求m 的取值范围．9．已知6枝玫瑰花与3枝康乃馨的价格之和大于24元，4枝玫瑰花与5枝康乃馨的价格和小于22元，则2枝玫瑰花的价格和3枝康乃馨的价格比较结果是（） A ．2枝玫瑰花价格高； B ．3枝康乃馨价格高； C ．价格相同； D ．不确定．§2．2一元二次不等式及其解法求不等式的解集叫做解不等式，如果两个不等式的解集相等，那么这两个不等式就叫做同解不等式，一个不等式变形为另一个不等式时，如果这两个不等式是同解不等式，那么这种变形叫做不等式的同解变形．像x x 2-5<0这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．下面，我们来探究一元二次不等式x x 2-5<0的解集：（1）探究二次方程的根与二次函数的零点的关系：容易知道：二次方程有两个实数根：x x 12=0=5，二次函数有两个零点：x x 12=0=5，于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点．（2）观察图像，获得解集画出二次函数y x x 2=-5的图像，如图2-1，观察函数图像，可知：x图2-1当x <0，或x >5时，函数图像位于x 轴上方，此时，y >0，即x x 2-5>0；当x 0<<5时，函数图像位于x 轴下方，此时，y <0，即x x 2-5<0；所以，不等式x x 2-5<0的解集是{}|x x 0<<5. 探究一般的一元二次不筹式的解法任意的一元二次不等式，总可以化为以下两种形式： ()ax bx c a 2++>0>0，或()ax bx c a 2++<0>0，一般地，怎样确定一元二次不等式ax bx c 2++>0与ax bx c 2++<0的解集呢？从上面的例子出发，可以归纳出确定一元二次不等式的解集，关键要考虑以下两点：（1）抛物线y ax bx c 2=++与x 轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程ax bx c 2++=0的根的情况；（2）抛物线y ax bx c 2=++的开口方向，也就是a 的符号. 总结结果：（1）抛物线()y ax bx c a 2=++>0与x 轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次方程ax bx c 2++=0的判别式b ac 2∆=-4三种取值情况（∆>0∆=0∆<0，，）来确定．因此，要分二种情况讨论；（2）a <0可以转化为a >0，分∆>0∆=0∆<0，，三种情况，得到一元二次不等式ax bx c 2++>0与ax bx c 2++<0的解集.一元二次不等式ax bx c 2++>0或()ax bx c a 2++<0≠0的解集；设相就的一元二次方程()ax bx c a 2++=0≠0的两根为x 1、x 2且x x 12≤，b ac 2∆=-4，则不等式的解不等式的解集经常用区间来表示.区间是指介于某两个实数之间的全体实数，这两个实数叫做区间的端点. a b ∀∈R ，，且a b <.{}|x a x b <<称为开区间，记为；()a b ，； {}|x a x b ≤≤称为闭区间，记为[]a b ，； {}|x a x b <≤称为左闭右开区间，记为[)a b ，；{}|x a x b <≤，称为左开右闭区间，记为(]a b ，.以上都是有限区间，以下是无限区间：[){}|a x x a +∞=，≥、(){}|a x x a +∞=>，、(]{}|a x x a -∞=，≤、(){}|b x x b -∞=<，、实数集()=-∞+∞R ，，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”.区间长度的定义：两端点间的距离（线段的长度）称为区间的长度. 例1．解不等式x x 2-+2-3>0.解：整理，得x x 2-2+3<0.因为∆<0，方程x x 2-2+3=0无实数解，所以不等式x x 2-2+3<0的解集是∅.从而，原不等式的解集是∅. 例2．已知{}|A x x x 2=-3+20≤，(){}|B x x a x a 2=-+1+0≤，（1）若AB ，求a 的取值范围；（2）若B A ⊆，求a 的取值范围. 解：{}|A x x =12，≤≤当a >1时，{}|B x x a =1≤≤；当a =1时，{}B =1；当a <1时，{}|B x a x =1≤≤.（1）若AB ，则a a a >1⎧⇒>2⎨>2⎩；（2）若B A ⊆，当a =1时，满足题意；当a >1时，a 2≤，此时a 1<2≤；当a <1时，不合题意. 所以，a 的取值范围为[)12，.例3．已知关于x 的不等式()()kx k x 2--4-4>0，其中k ∈R .（1）当k 变化时，试求不等式的解集A ；（2）对于不等式的解集A ，若满足A Z B =（其中Z 为整数集）．试探究集合B 能否为有限集？若能，求出使得集合B 中元素个数最少的k 的所有取值，并用列举法表示集合B ；若不能，请说明理由. 解：（1）当k =0时，()A =-∞4，；当k >0且k ≠2时，()A k k 4⎛⎫=-∞4++∞ ⎪⎝⎭，，；当k =2时，()()A =-∞44+∞，，；（不单独分析k =2时的情况不扣分）当k <0时，A k k 4⎛⎫=+4 ⎪⎝⎭，.（2）由（1）知：当k ≥0时，集合B 中的元素的个数无限；当k <0时，集合B 中的元素的个数有限，此时集合B 为有限集．因为k k4+-4≤时取等号当且仅当k =-2时取等号，所以当k =-2时，集合B 的元素个数最少. 此时()A =-44，，故集合()B =-3-2-10123，，，，，，.例4，已知a 为实数，关于x 的二次方程()()x a x a a 227-+13+--2=0有两个实根分布在()()0112，，，上，求a 的取值范围.解：令()()()f x x a x a a 22=7-+13+--2，由二次函数图像知 ()()().f f f 0>0⎧⎪1<0⎨⎪2>0⎩，，即.a a a a a 222⎧--2>0⎪-2-8<0⎨⎪-3>0⎩，，解得a -2<<-1或a 3<<4. 所以a 范围是()()-2-134，，.基础练习1．设a b c a b c 111222，，，，，均为非零实数，不等式a x b x c 2111++>0，a x b x c 2222++>0的解集分别是集合M N ，，则a b c a b c 111222==是“M N =”的充要条件对吗？ 2．已知不等式ax bx c 2++>0的解集为{}|x x 2<<4，求不等式cx bx a 2++<0的解集. 3．不等式()ax ab x b 2++1+>0的解是x 1<<2，求a b ，的值. 4．若不等式x kx 2-+-4<0的解集为R ，求实数k 的取值范围. 5．已知不等式ax x 2-3+6>4的解集为{}|x x x b <1>或. （1）求a 、b ；（2）解不等式x cax b->0-（c 为常数）. 能力提高6．若关于m 的不等式()mx m x m 2-2+1+-10≥的解集为空集，求m 的取值范围. 7．已知不等式组x x a a x a 22⎧-+-<0⎨+2>1⎩的整数解恰好有两个，求a 的取值范围．8．已知()f x ax bx c 2=++在[]01，上满足()f x 1≤，试求a b c ++最大值.§2．3分式不等式像x x 16<-1-1这样，只含有一个未知数，并且分母含未知数的不等式，称为分式不等式，解分式不等式，关键是将它变为整式不等式去解，其一般特征为：分式不等式()()f xg x >0（或0≥）或()()f xg x <0（或0≤）要正确运用以下同解原理.（1）()()f xg x ≥0（或<0）与()()f x g x ⋅>0（或<0）同解.（2）()()f x g x 0≥（或0≤）与不等式组()()()f x g x g x ⎧⋅0⎪⎨≠0⎪⎩≥()()()f x g x g x ⎛⎫⎧⋅0⎪ ⎪⎨ ⎪≠0⎪⎩⎝⎭或≤同解. 例1．解不等式x x x x 22-9+117-2+1≥.解：移项，通分得x x x x 22-6+5+40-2+1≥，()()()x x x 22+13-4∴0-1≤ 转化为()()()()x x x x 22⎧2+13-4-10⎪⎨-1≠0⎪⎩，，≤ ()()x x x ⎧2+13-40⎪∴⎨-1≠0⎪⎩，，≤ 则所求不等式的解集为x x x ⎧14⎫-<11<⎨⎬23⎩⎭或≤≤.例2．解关于x 的不等式()x a x x ax222+-1+3>1+.解：原不等式等价于x x x ax22-+3>0+.由于x x 2-+3>0对x ∈R 恒成立， ∴x ax 2+>0，即()x x a +>0当a >0时，{}|x x a x <->0或；当a =0，{}|x x x ∈≠0R 且；当a <0时，{}|x x x a <0>-或.例3．k 为何值时，下式恒成立：x kx kx x 322+2+<14+6+3.解：原不等式可化为：()()x k x k x x 222+6-2+3->04+6+3，而x x 24+6+3>0，∴原不等式等价于()()x k x k 22+6-2+3->0，由()()k k 2∆=6-2-4⨯2⨯3-<0得k 1<<3. 基础练习1．解下列不等式：（1）x x x x 22-3+2<0-2-3；（2）x x -30-2≥；（3）x x1>；（4）()()x x x x 232-2≥+1>0++1；（5）x x x x 2215-11+2<0-2+3+2.2．已知关于x 的不等式k x bx a x c++<0++的解集为()()-2-123，，，求关于x 的不等式kx bx ax cx -1+<0-1-1的解集. 3．若a b c >>，a 、b 、c 为常数，求关于x 的不等式()()()x a x c x b 2-->0-的解集. 4．解不等式x x x x 1111+>++4+5+6+3. 5．若不等式x ax x 2+0+4+3≥的解集为{}|x x x -3<<-12或≥，求实数a 的值.6．若m n >>0，求关于x 的不等式()()mx n x x --20-1≥解集.§2．4 高次不等式像x x x 22+3>2+6这样，只含有一个未知数，并且未知数的次数高于两次的不等式称为高次不等式. 我们研究()()()()x x x x -1+1-2-3<0的解，此不等式的左端是关于x 的高次不等式，已不能用一元二次不等式解法求解，首先解方程()()()()x x x x -1+1-2-3=0得x 的四个解分别为1，-1，2，3．然后将x 的取值分成5段，使得四个因式x x x x -1+1-2-3，，，的积为负的范围就是所求的解集. 列表：借助于数轴并根据积的符号法则表示为图2-2.图2-2由图可知：原不等式的解集为()()23-11，，．此方法为“数轴标根法”也可以叫“串线法”，高次不等式常常用“数轴标根法”来解，其步骤是： ①等价变形后的不等式一边是零，一边是各因式的积．（未知数系数一定为正数） ②把各因式的根标在数轴上. ③用曲线穿根，（奇次根穿透，偶次根不穿透）看图像写出解集．例1．解不等式x x x 32+3>2+6.解：原不等式化为()(x x x +3>0∴原不等式的解为x x -3<<例2．解不等式：()()()()x x x x x 2+1-20-3-5≤.解：原不等式等价于()()()x x x x -20-3-5≤或x =-1.标根（见图2-3）；图2-3解集为[](){}0235-1，，.基础练习1．解不等式x x x 32+3>2+6.2．解不等式()()x x x x 22-4-5++2<0. 3．解不等式()()()()x x x x 23+2-1+1-2<0. 能力提高4．对于一切x 1⎡⎤∈-2⎢⎥2⎣⎦，，不等式ax x x 32-++10≥恒成立，求实数a 的取值范围．5．设P x x x x 432=+6+11+3+31，求使P 为完全平方数的整数x 的值.6．已知x y a x y b c >0>0=+=，，，m 使得对于任意正数x y ，可使a b c ，，为三角形的三边构成三角形，如果存在，求出m 的值，如果不存在，请说明理由. 7．已知函数()()x k k x f x x x 42242++2-4+4=+2+4的最小值是0，求非零实数k 的值.§2．5无理不等式像x3-不等式，关键是把它同解变形为有理不等式组．无理不等式一般有如下几种形式：()()()()f xg xf xg x⎧0⎫⎪⇒⎪⎬⎪⇔0⎨⎪⎭⎪>⎪⎩定义域≥≥例1>0.解：根式有意义∴必须有：xxx3-40⎧⇒3⎨-30⎩≥≥≥又有x-3x-3解之：x1>2∴{}{}|x x x x x x⎧1⎫>3>=>3⎨⎬2⎩⎭()()()()f xg xf xg x2⎧0⎪⎪⇔0⎨⎪>⎡⎤⎪⎣⎦⎩≥≥或()()fxg x⎧0⎪⎨<0⎪⎩≥例2x>4-3.解：原不等式等价于下列两个不等式组得解集的并集：Ⅰ：()xx xx x x222⎧4-30⎪⎪-+3-20⎨⎪-+3-2>4-3⎪⎩≥≥Ⅱ：x xx2⎧-+3-20⎨4-3<0⎩≥解Ⅰ：xx xx4⎧⎪3⎪64⎪12⇒<⎨53⎪⎪63<<⎪52⎩≤≤≤≤解Ⅱ：x4<23≤∴原不等式的解集为xx⎧6⎫<2⎨⎬5⎩⎭≤.()()()()()f xg x g xf xg x2⎧0⎪⎪⇔>0⎨⎪<⎡⎤⎪⎣⎦⎩型≥例3x +2. 解：原不等式等价于()x x x x x x 222⎧2-6+4⎪⎪+2>0⎨⎪2-6+4<+2⎪⎩≥0x x x x 21⎧⎪⇒>-2⎨⎪0<<10⎩或≥≤{}|x x x ⇒2<100<1或≤≤ 例4>.解：要使不等式有意义必须：x x x x x 1⎧2+10-⎧1⎪⇒⇒-2⎨⎨+102⎩⎪-1⎩≥≥≥≥≥.>)22∴>，即()x >-+1.x +10≥，∴不等式的解为x 2+10≥ 即x 1≥-2.基础练习1．解下列不等式：（1> （2）x x 3-3+3 （3> （4）(x -10. 2>3. 3>. 4>1.5．满足x 3-x 的集合为A ；满足()x a x a 2-+1+0≤的x 的集合为B . （1）若A B ⊂，求a 的取值范围；（2）若A B ⊇，求a 的取值范围；（3）若A B 为仅含一个元素的集合，求a 的值． 6．求不等式()x x 224<2+9的解集.7．求使关于x k 有解的实数k 的最大值. §2.6 绝对值不等式1．含有绝对值不等式有以下两种基本形式：（1）()x a a a x a <>0⇔-≤≤（()x a a a x a >0⇔-≤≤≤），（2）()x a a x a x a >>0⇔><-或（()x a a x a x a >0⇔-或≥≥≤）. 2．解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值的符号，一般有以下方法：（1）定义法；（2）零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式；（3）平方法：通常适用于两端均为非负实数时（比如()()f x g x <）；（4）图像法或数形结合法. 例1．解不等式x x 2-5+5<1.解法一：利用不等式()x a a <>0的解集是{}|x a x a -<<和整体的思想()()f x f x <1⇔-1<<1，因此，这个不等式可化为x x x x 22⎧-5+5<1⎪⎨-5+5>-1⎪⎩ ①②解不等式①得解集{}|x x 1<<4 解不等式②得解集{}|x x x <2>3或∴原不等式的解集是不等式①和不等式②的解集的交集，即解集为{}|x x x 1<<23<<4或解法二：平方去绝对值．原不等式可化为：()()xx x x 22-5+6-5+4<0，即()()()()x x x x -2-3-4-1<0 利用“数轴标根法”（见图2-4），图2-4∴原不等式的解集是{}|x x x 1<<23<<4或.例2．解关于x 的不等式()x m m 2-1<2-1∈R .解：若m 2-10≤，即m 12≤，则x m 2-1<2-1恒不成立，此时原不等式无解；若m 2-1>0，即m 1>2，则()m x m -2-1<2-1<2-1，所以m x m 1-<<. 综上，当m 12≤时，原不等式的解集为∅；当m 1>2时，原不等式解集为{}|x m x m 1-<<. 例3．解下列不等式：（1）x 4<2-37≤；（2）x x -2<+1；（3）x x 2+1+-2>4.解：（1）原不等式可化为x 4<2-3≤7或x 2-3<-4-7≤，∴原不等式解集为17⎡⎫⎛⎤-2-5⎪ ⎢⎥22⎣⎭⎝⎦，，.（2）原不等式可化为()()x x 22-2<+1，即x 1>2， ∴原不等式解集为1⎛⎫+∞ ⎪2⎝⎭，.（3）当x 1-2≤时，原不等式可化为x x -2-1+2->4，x ∴<-1，此时x ∴<-1；当x 1-<<22时，原不等式可化为x x 2+1+2->4，∴x >1，此时x 1<<2；当x 2≥时，原不等式可化为x x 2+1+-2>4， ∴x 5>3，此时x 2≥. 综上可得：原不等式的解集为()()-∞-11+∞，，.例4．某段城铁线路上依次有A 、B 、C 三站，km AB =5，km BC =3，在列车运行时刻表上，规定列车8时整从A 站发车，8时07分到达B 站并停车1分钟，8时12分到达C 站，在实际运行中，假设列车从A 站正点发车，在B 站停留1分钟，并在行驶时以同一速度km/h v 匀速行驶，列车从A 站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差．（1）分别写出列车在B 、C 两站的运行误差；（2）若要求列车在B 、C 两站的运行误差之和不超过2分钟，求v 的取值范围. 解：（1）列车在B 、C 两站的运行误差（单位：分钟）分别是 v 300-7和v 480-11 （2）由于列车在B 、C 两站的运行误差之和不超过2分钟，所以 v v 300480-7+-112≤ 当v 3000<7≤时，①式变形为v v300480-7+-112≤，解得v 300397≤≤. 当v 300480<711≤时，①式变形为v v 3004807-+-112≤，解得v 300480<711≤. 当v 480>11时，①式变形为v v3004807-+11-2≤，解得v 480195<114≤. 综上所述，v 的取值范围是195⎡⎤39⎢⎥4⎣⎦，.基础练习1.解不等式x x x 2-1<++1.2．已知{}|A x x a =2-3<，{}|B x x =10≤，且A B ，求实数a 的取值范围．3．求不等式x x 3+14+2>5的解集. 4．求不等式x x -1+-5<7的解集.5．（1）对任意实数x x x a +1+-2>，恒成立，求a 的取值范围. （2）对任意实数x x x a -1-+3<，恒成立，求a 的取值范围.能力提高6．在一条公路上，每隔km 100有个仓库（如图2-5），共有5个仓库，一号仓库存有10t 货物，二号仓库存20t ，五号仓库存40t ，其余两个仓库是空的．现在想把所有的货物放在一个仓库里，如果每吨货物运输1km 需要0.5元运输费，那么最少要多少运费才行？五四三二一图2-57．若关于x 的不等式x x a -4++3<的解集不是空集，求a 的范围．§2.7绝对值的不等式的性质定理：a b a b a b -++≤≤证明：()a a a a b a b a b b b b ⎫-⎪⇒-+++⎬-⎪⎭≤≤≤≤≤≤a b a b ⇒++≤ ①又a a b b =+- b b -=由①a a b b a b b =+-++-≤ 即 a b a b -+≤ ② 综合①②：a b a b a b -++≤≤.注意：1︒左边可以“加强”同样成立，即a b a b a b -++≤≤.2︒这个不等式俗称“三角不等式”——三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．3︒a b ，同号时右边取“=”，a b ，异号时左边取“=”. 推论1．n n a a a a a a 1212++++++……≤. 推论2．a b a b a b --+≤≤. 证明：在定理中以b -代b 得：()()a b a b a b a b --+-+-+-≤≤≤，即a b a b a b --+≤≤.例1．设a b <1<1，，求证a b a b ++-<2.证明：当a b +与a b -同号时，a b a b a b a b a ++-=++-=2<2；当a b +与a b -异号时，()a b a b a b a b b ++-=+--=2<2. a b a b ∴++-<2.例2．已知()f x a b ≠时，求证：()()f a f b a b -<-. 证明：()()f a f b -===()()a b a b a b a b a ba b+-+-=++≤a b =-.基础练习1．ab >0，则①a b a +> ②a b b +< ③a b a b +<- ④a b a b +>-四个式中正确的是（） A.①②B.②③C.①④D.②④2．x 为实数，且x x m -5+-3<有解，则m 的取值范围是（）A.m >1B.m 1≥C.m >2D.m 2≥ 3．不等式a b a b+1+≤成立的充要条件是（）A.ab ≠0B.a b 22+≠0C.ab >0D.ab <04．已知a b ≠，a b a b m n a ba b-+==-+，，那么m 、n 之间的大小关系为（）A.m n >B.m n <C.m n =D.m n ≤能力提高5．已知()()f x x ax b a b 2=++∈R ，，求证：()()()f f f 1+22+32≥. 6．实数x 1、x 2、…、x 2007∈R ，满足x x x x x x 213220072008-+-++-=2007…，设kk x x x y k12+++=…，k =123，，…，2007.求y y y y y y 213220072006-+-++-…的最大值.§2.8 含字母系数的不等式像()ax a x 2-+1+1<0这样，只含有两个或两个以上的未知数的不等式，称为含字母系数的不等式．解不等式时，对字母的取值要进行恰当的分类，分类时要不重、不漏，然后根据分类进行求解．例1．解关于x 的不等式()ax a x 2-+1+1<0其中a >0 解：由一元二次方程()ax a x 2-+1+1<0的根为x x a121-1=，知（1）当a1>1，即a 0<<1时二次函数()y ax a x 2=-+1+1的草图为图2-6：故原不等式的解为a 1⎛⎫1 ⎪⎝⎭，.图2-6（2）a10<<1，即a >1时二次函数()y ax a x 2=-+1+1的草图为图2-7：图2-7故原不等式的解为a 1⎛⎫1 ⎪⎝⎭，. （3）a1=1，即a =1时二次函数()y ax a x 2=-+1+1的草图为图2-8：故原不等式的解为∅.图2-8综上，当a 0<<1时原不等式的解集为a 1⎛⎫1 ⎪⎝⎭，；当a >1时原不等式解集为a 1⎛⎫1 ⎪⎝⎭，；当a =1时原不等式解集∅.例2．解关于x 的不等式()x x a a 2---1>0. 解：原不等式可以化为：()()x a x a +-1->0. 若()a a >--1即a 1>2，则x a >或x a <1-. 若()a a =--1即a 1=2，则x x x 211⎛⎫->0⇒≠∈ ⎪22⎝⎭R ，.若()a a <--1即a 1<2，则x a <或x a >1-. 例3．关于x 的不等式()ax a x a 2+-1+-1<0对于x ∈R 恒成立，求a 的取值范围. 解：当a >0时不合题意，a =0也不合题意，必有：()()a a a a a a a 22<0⎧<0⎧⎪⇒⎨⎨3-2-1>0∆=-1-4-1<0⎪⎩⎩()()a a a a <0⎧1⎪⇒⇒<-⎨3+1-1>03⎪⎩.例4．解不等式：aa x >1--2. 解：原不等式可化为：()()a x a x -1+2->0-2，即()()()a x a x -1+2--2>0⎡⎤⎣⎦.当a >1时，原不等式与()a x x a -2⎛⎫--2>0 ⎪-1⎝⎭同解.若a a -22-1≥，即a 0<1≤时，原不等式无解：若a a -2<2-1，即a <0或a >1，于是a >1时，原不等式的解为()a a -2⎛⎫-∞2+∞ ⎪-1⎝⎭，，.当a <1时，若a <0，解集为a a -2⎛⎫2 ⎪-1⎝⎭，；若a 0<<1，解集为a a -2⎛⎫2 ⎪-1⎝⎭，. 综上所述：当a >1时，解集为()a a -2⎛⎫-∞2+∞ ⎪-1⎝⎭，，；当a 0<<1时，解集为a a -2⎛⎫2 ⎪-1⎝⎭，；当a =0时，解集为∅；当a <0时，解集为a a -2⎛⎫2 ⎪-1⎝⎭，.基础练习1．设a b >0>0，，解关于x 的不等式ax bx -2≥.2．解关于x 的不等式：()()x a x x x 22-+1+1>1-1（其中a >1）.3．解关于x 的不等式：()m x x 2+1-4+10≤()m ∈R . 4．解关于x 的不等式：ax x x 2-1>0--2．5．关于x 的不等式()()()m x m x m 2+1-2-1+3-1<0的解是一切实数，求实数m 的取值范围．能力提高6．设m m ∈≠0R ，，解关于x 的不等式x m x m m m 211⎛⎫-++-<0 ⎪⎝⎭.7．设不等式()()x m x 22-1>-1对满足m 2≤的一切实数m 的值都成立，求x 的取值范围. 8．若关于x 的不等式ax +2<6的解休是()-12，，求不等式xax 1+2≤的解集. 9．设不等式x ax a 2-2++20≤的解集为M ，如果[]M ⊆14，，求实数a 的取值范围． 10．已知不等式xy ax y 22+2≤对于[][]x y ∈12∈23，，，恒成立，求a 的取值范围. §2．9基本不等式及其应用图2-9是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客，你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？图2-9将图中的“风车”抽象成如图2-10，在正方形ABCD 中有个全等的直角三角形．设直角三角形的两条直角边长为a b ，.这样，4个直角三角形的面积的和是ab 2，正方形的面积为a b 22+.由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：a b ab 22+2≥.当直角三角形变为等腰直角三角形，即a b =时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有a b ab 22+=2. 定理1（基本不等式1）：C图2-10一般的，如果a b ∈R ，，那么a b ab 22+2≥（当且仅当a b =时取“=”号）证明：因为()a b ab a b 222+-2=-当a b ≠时，()a b 2->0，当a b =时，()a b 2-=0，所以，()a b 2-0≥，即a b ab 22+2≥.特别的，如果a b >0>0，，我们用分别代替a 、b，可得a b +≥()a ba b +>0>02，通常我们称a b+2为a 、ba 、b 的几何平均数. 例1．已知x 、y 都是正数，求证：（1）y xx y+2≥；（2）()()()x y x y xy x y 223333+++8≥.证明：x y ，都是正数x yx y x y y x2233∴>0>0>0>0>0>0，，，，，（1）x y y x +=2≥即x yy x+2≥. （2）x y x y x y 2233+0+>0+0，，≥≥≥()()()x y x y x y x y 223333∴+++=8≥ 即()()()x y x y xy x y 223333+++8≥.说明：在运用定理：a b+2时，注意条件a 、b 均为正数，结合不等式的性质（把握好每条性质成立的条件），进行变形. 例2．（1）用篱笆围成一个面积为2m 100的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？（2）段长为m 36的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？解：（1）设矩形菜园的长为m x ，宽为m y ，则xy =100，篱笆的长为()m x y 2+.由x y+2x y +≥()x y 2+40≥.等号当且仅当x y =时成立，此时x y ==10.因此，这个矩形的长、宽都为m 10时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m .（2）设矩形菜园的宽为m x ，则长为()m x 36-2，其中0x <<18，其面积()()x x S x x x x 22112+36-236⎛⎫=36-2=⋅236-2=⎪2228⎝⎭≤ 当且仅当x x 2=36-2，即x =9时菜园面积最大，即菜园长m 18，宽为9m 时菜园面积最大为2162m . 归纳：1．两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a b +∈R ，，且a b M +=，M 为定值，则M ab 24≤，等号当且仅当a b =时成立.2．两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a b +∈R ，，且ab P =，P 为定值，则a b +≥，等号当且仅当a b =时成立.定理2（基本不等式2）：如果a b c +∈R ，，，那么a b c abc 333++3≥（当且仅当a b c ==时取“=”）证明： ()a b c abc a b c a b ab abc 3333322++-3=++-3-3-3 ()()()()a b c a b a b c c ab a b c 22⎡⎤=+++-++-3++⎣⎦()a b c a ab b ac bc c ab 222⎡⎤=+++2+--+-3⎣⎦()()a b c a b c ab bc ca 222=++++---()()()()a b c a b b c c a 2221⎡⎤=++-+-+-⎣⎦2. a b c ∈+R ，，， ∴上式0≥.从而a b c abc 333++3≥.推论：如果a b c ∈+R ，，，那么a b c ++3a b c ==时取“=”）证明：a b c 333++++≥≥a b c++⇒3由此推出：a b c abc 3++⎛⎫⎪3⎝⎭≥.例3．求证：（1）()a b c a b c 111⎛⎫++++ ⎪⎝⎭≥9；（2）a b c b c a b c a a b c ⎛⎫⎛⎫++++9 ⎪⎪⎝⎭⎝⎭≥.证明：（1） a b c ，，都是正数a b c a b c ++111∴>0++>03，≥ ()a b c a b c 111⎛⎫∴++++=9 ⎪⎝⎭≥.（2）a b c ，，都是正数a b c b c a ∴++3≥，b c a a b c ++3≥. a b c b c a b c a a b c ⎛⎫⎛⎫∴++++9 ⎪⎪⎝⎭⎝⎭≥. 例4．一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度a 成正比，与它的厚度d 的平正比，与它的长度l 的平方成反比，见图2-11．lda图2-11（1）将此枕木翻转90︒（即宽度变为了厚度），枕木的安全负荷变大吗?为什么？（2）现有一根横断面为半圆（半圆的半径为R ）的木材，用它来成长方体形的枕木，木材长度即为枕木规定的长度，问如何截取，可使安全负荷最大？解：（1）由题可设安全负荷ad y k l 212=⋅（k 为正常数），则翻转90︒后，安全负荷da y k l 222=⋅.因为y dy a 12=，所以，当d a 0<<时，y y 12<，安全负荷变大；当a d 0<<时，y y 12>，安全负荷变小.（2）如图2-12，设截取的枕木宽为a ，高为d ，则图2-12a d R 222⎛⎫+= ⎪2⎝⎭即a d R 222+4=4 枕木长度不变，u ad 2∴=最大时，安全负荷最大．u d d ∴====当且仅当d R d 222=-2，即取d a ==，时，u 最大，即安全负荷最大. 定理3（基本不等式3）*ni a a a n a R i n n+12+++∈∈1N …，，≤≤.这个结论最终可用数学归纳法，二项式定理证明（这里从略）．这里涉及到“平均数”的概念.如果n a a a n +12∈>1R ，，…，，且n +∈N ，则na a a n12+++…叫做这n 做这n 个正数的几何平均数．定理3的语言表述为：n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．基础练习1．已知a 、b 、c 都是正数，求证：()()()a b b c c a abc +++8≥. 2．设a b c +∈R ，，，且ab bc ca ++=108，求ab bc cac a b++的最小值. 3．（1）若x >0，求()f x x x9=4+的最小值；（2）若x <0，求()f x x x9=4+的最大值. 4．（1）若x ≠0，求x x1+的取值范围；（2）若ab =1，求a b +的取值范围；（3）若x 5<4，求x x 14-2+4-5的最大值；（4）若x >2，求x x x 2-3+3-2的最小值；（5）若x y >0，，且x y 19+=1，求x y +的最小值；（6）若x y >0，，x y +=1，求x y41+的最小值；（7）求y 2y 2=（8）若a b >0，，且ab a b =++3，求ab 的取值范围.5．某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为3m 4800，深为m 3，如果池底每21m 的造价为150元，池壁每2m 1的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？6．某房屋开发公司用100万元购得一块土地，该地可以建造每层m 21000的楼房，楼房的总建筑面积（即各层面积之和）每平方米平均建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整幢楼房每平方米建筑费用提高%5．已知建筑5层楼房时，每平方米建筑费用为400元，公司打算造一幢高于5层的楼房，为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低（综合费用是建筑费用与购地费用之和），公司应把楼层建成几层？能力提高7．用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次．．．．的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的12，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上，设用x 单位量的水清冼一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数()f x ．（1）试规定()f 0的值，并解释其实际意义；（2）试根据假定写出函数()f x 应该满足的条件和具有的性质；（3）设()f x x 21=1+，现有()a a >0单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由．8．设a a a a 11211>-1≠=1+1+，.（1a a 12，之间；（2）a a 12，；（3.9．设常数a b +∈R ，，试探求不等式()ax a b b 2=+-1+>0对任意x >1成立的充要条件. 10.已知集合(){}|D x x x x x x k 121212=>0>0+=，，，（其中k 为正常数）. （1）设u x x 12=，求u 的取值范围；（2）求证：当k 1≥时，不等式k x x x x k 22212⎛⎫⎛⎫112⎛⎫--- ⎪⎪ ⎪2⎝⎭⎝⎭⎝⎭≤对任意()x x D 12∈，恒成立；（3）求使不等式k x x x x k 22212⎛⎫⎛⎫112⎛⎫--- ⎪⎪ ⎪2⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥对任意()x x D 12∈，恒成立誓k 2的范围.11．已知a b c +∈R ，，，且满足()()kabc a b a b c a b c22++++4++≥，求k 的最小值.§2.10 不等式的证明证明不等式不但用到不等式的性质，不等式证明的技能、技巧，还要注意到横向结合内容方方面面．如与数列、三角函数、函数等相结合，解答时需要综合运用这些知识.不等式的证明，由于题型多变，技巧性强加上无固定程序可循，因此常有一定的难度，解决个困难的出路在于深刻理解不等式证明中应用的数学思维方法和数学思想方法，熟练掌握等式的性质和一些基本不等式.不等式的证明常用方法有：比较法、分析法、综合性、反证法． 1，比较法比较法是证明不等式的常用方法，它有两种基本形式： ①求差比较法，步骤是：作差——变形——判断．变形方向：变为一个常数；或变为平方和形式；或变为因式之积的形式．这种比较法是普遍适用的，是无条件的.它的理论依据是实数大小关系：a b a b a b a b a b a b ->0⇔>⎧⎪-=0⇔=⎨⎪-<0⇔<⎩应用范围：常用于指（对）数式的比较．这种比较法是有条件的，这个条件就是“除式”的符号一定. 例1．若a b n >0>1，，，则n n n n a b a b ab -1-1++≥ 证明：()()()()n n n n n n a b a b ab a a b b a b -1-1-1-1++=---()()n n a b a b A -1-1=--=.若a b >，则n n a b -1-1>，则A >0；若a b <，则n n a b -1-1<，则A <0；若a b =，则A =0. ∴原不等式成立.②求商比较法，步骤是：作商——变形——判断. 做商法是依据当b >0，且ab>1时，则a b >，反之则亦然．例2．设a b c ，，为正数，证明()a b c a n ca b c abc ++3≥.证明：易知上式是轮换的，不妨设a b c ≥≥. 上式即()a b ca b c a b c abc ++333≥a bb ca ca b c b c a c a b a b c a b a a b c b c c ---222+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=1 ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥.∴原不等式成立．比较法是证明不等式最基本，也是最常用的方法之一，它主要有作差或作商，变形，判断三个步骤．基础练习1．（1）若x >1，求证：x x x31>+-1；（2）若a b ∈R ，，求证：a b ab a b 22+++-1≥；（3）若a b <<0，求证：a b a b a b a b2222++<--；（4）若a b >0>0，，求证：a b b a a b a b ≥. 2．若x y z a b c +∈∈R R ，，，，，，则()b c c a a b x y z xy yz zx a b c222+++++2++≥. 3．若a b c ，，为不全相等的正数，则a b ab b c a c ac abc 22222++++>6. 4．已知ab R +∈，且a b ≠，求证：()()()a b a ab b a b 222222--+<-.2．分析法证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法，分析法也称逆推法.例3>1+(22>即12+>16+2即35>19+，即4，即15<16(22>即12+>16+35>19+即35>19+，即4，即15<16例4．已知n ∈N ，求证：n n n n 111111111⎛⎫⎛⎫1++++++++ ⎪ ⎪+1352-12462⎝⎭⎝⎭……≥① 证明：要证明不等式（1），只须证()n n n n 1111111⎛⎫⎛⎫1+++++1++++ ⎪ ⎪352-12462⎝⎭⎝⎭……≥②②式左边即n n n n 111⎛⎫+++++ ⎪22352-1⎝⎭…③ ②式右边即n n n 11111111⎛⎫⎛⎫+++++++++ ⎪ ⎪24622462⎝⎭⎝⎭……④n n n n 1111111⎛⎫⎛⎫=+++++++++ ⎪ ⎪22462462⎝⎭⎝⎭…… 比较③和④可知要证②式成立，只须证明 n n 1111⎛⎫++++ ⎪22462⎝⎭…≥⑤ n n111111++++++352-1462……≥⑥ ⑤，⑥两式显然成立，故不等式①成立．用分析法证明不等式时，应注意每一步推理都要保证能够反推回来．分析法的优点就是比较符合探索题解的思路，缺点就是叙述往往比较冗长，因此，思路一旦打通，可改用综合法解答，它适用于条件简单而求证复杂或从条件无从下手的题．基础练习1<2．设,x y >0>0，证明不等式：()()x yxy11223323+>+.3．已知,,a b c 分别为一个三角形的三边之长，求证c a b a b b c c a++<2+++. 4.若,,x y z +∈R ，且x y z xyz ++=，证明不等式y z z x x yx y z x y z 2⎛⎫+++111++2++ ⎪⎝⎭≥.5，已知,,x y z ∈+R ，且x y z 222++=1，求证：x y z x y z 222++1-1-1-6．已知,,a b c 01≤≤，求证：a b cbc ca ab ++2+1+1+1≤. 3．综合法综合法是“由因导果”，即从已知条件出发，依据不等式性质，函数性质或熟知的基本不等式，逐步推导出要证明的不等式．例5．已知△的三边长为,,a b c ，且a b c s ++=2，求证：()()()abcs a s b s c ---8≤. 证明：由条件得：,,s a s b s c ->0->0->0 ()()()s a s b c s a s c s a b 222-+-1⎛⎫∴--=2--= ⎪244⎝⎭≤.同理：()()()(),a b s b s c s c s a 22----44≤≤.三式相乘再开方得()()()abcs a s b s c ---8≤.在实际应用中，常常用分析法寻找思路，用综合法表述，即所谓的综合分析法，这样使得叙述不会太过于冗长，请看下例：例6．设,,,a b x y R ∈，且,a b x y 2222+=1+=1，试证：ax by +1≤. 证法1：用分析法。

第二章 2.1 第二课时等式性质与不等式的性质

第二课时等式性质与不等式的性质课标要求素养要求1.掌握不等式的基本性质；2.运用不等式的性质解决有关问题.通过学习不等式的性质及运用不等式的性质解决问题，提升数学抽象及数学运算素养.教材知识探究在日常生活中，糖水中加些糖后就会变的更甜，也可以用不等式来表示这一现象.问题你能利用这一事实表示出糖水浓度不等式吗？提示糖水变甜这一现象对应的不等式为a b <a ＋c b ＋c，其中a 0.1.等式的性质性质1 如果a ＝b ，那么b ＝a ；性质2 如果a ＝b ，b ＝c ，那么a ＝c ；性质3 如果a ＝b ，那么a ±c ＝b ±c ；性质4 如果a ＝b ，那么ac ＝bc ；性质5 如果a ＝b ，c ≠0，那么a c ＝b c .2.不等式的性质注意这些性质是否可逆(易错点) 性质1 如果a >b ，那么b <a ；如果b <a ，那么a >b .即a >b b <a .性质2 如果a >b ，b >c ，那么a >c ，即a >b ，b >c a >c . 性质3 如果a >b ，那么a ＋c >b ＋c .性质4 如果a >b ，c >0，那么ac >bc ；如果a >b ，c <0，那么ac <bc . 性质5 如果a >b ，c >d ，那么a ＋c >b ＋d . 性质6 如果a >b >0，c >d >0，那么ac >bd . 性质7 如果a >b >0，那么a n >b n (n ∈N ，n ≥2).教材拓展补遗[微判断] 1.a >bac 2>bc 2.(×)提示当c ＝0时，不成立.2.同向不等式相加与相乘的条件是一致的.(×)提示相乘需要看是否⎩⎨⎧a >b >0，c >d >0，而相加与正、负和零均无关系.3.设a ，b ∈R ，且a >b ，则a 3>b 3.(√) [微训练]1.已知a ，b ，m 是正实数，则不等式b ＋m a ＋m >ba 成立的条件是( )A.a <bB.a >bC.与m 有关D.恒成立解析b ＋m a ＋m －b a ＝m （a －b ）a （a ＋m ），而a >0，m >0且m （a －b ）a （a ＋m ）>0，∴a －b >0.即a >b . 答案 B2.已知m >n ，则( ) A.m 2>n 2 B.m >n C.mx 2>nx 2D.m ＋x >n ＋x解析由于m 2－n 2＝(m －n )(m ＋n )，而m ＋n >0不一定成立，所以m 2>n 2不一定成立，而m ，n 不一定有意义，所以选项A ，B 不正确；选项C 中，若x 2＝0，则不成立. 答案 D [微思考]1.若a >b ，c >d ，那么a ＋c >b ＋d 成立吗？a －c >b －d 呢？提示 a ＋c >b ＋d 成立，a －c >b －d 不一定成立，但a －d >b －c 成立. 2.若a >b ，c >d ，那么ac >bd 成立吗？提示不一定，但当a >b >0，c >d >0时，一定成立.题型一利用不等式的性质判断命题的真假【例1】若1a <1b <0，有下面四个不等式：①|a |>|b |，②a b 3，则不正确的不等式的个数是( ) A.0 B.1 C.2D.3解析由1a <1b <0可得b <a <0，从而|a |<|b |，①②均不正确；a ＋b <0，ab >0，则a ＋b <ab 成立，③正确；a 3>b 3，④正确. 故不正确的不等式的个数为2. 答案 C规律方法不等式的性质常与比较大小结合考查，此类问题一般结合不等式的性质，利用作差法或作商法求解，也可以用特殊值求解.【训练1】设a >b >0，c <d <0，则下列不等式中一定成立的是( ) A.ac >bd B.a d b cD.ac 2<bd 2解析 a >b >0，c <d <0，即为－c >－d >0，即有－ac >－bd >0，即ac <bd <0，故A 错；由cd >0，又ac <bd <0，两边同乘1cd ，可得a d <bc ，则B 对，C 错；由－c >－d >0，－ac >－bd >0，可得ac 2>bd 2，则D 错.故选B. 答案 B题型二利用不等式的性质证明不等式解决此类问题一定要记准，记熟不等式的性质，并注意在解题中灵活地加以应用【例2】若bc －ad ≥0，bd >0，求证：a ＋b b ≤c ＋dd . 证明 ∵bc －ad ≥0，∴bc ≥ad ，∴bc ＋bd ≥ad ＋bd ，即b (c ＋d )≥d (a ＋b ).又bd >0，两边同除以bd 得，a ＋b b ≤c ＋dd .规律方法 1.不等式证明的实质是比较两个实数(代数式)的大小；2.证明不等式可以利用不等式性质证明，也可以用作差比较法证明，利用不等式性质证明时，不可省略条件或跳步推导.【训练2】 (1)已知a >b ，e >f ，c >0，求证：f －ac <e －bc . (2)a b ，c >0，所以ac >bc ，即－ac <－bc . 又e >f ，即f <e ，所以f －ac <e －bc .(2)由于b a －a b ＝b 2－a 2ab ＝（b ＋a ）（b －a ）ab ，∵a 0，ab >0， ∴（b ＋a ）（b －a ）ab <0，故b a <a b . 题型三利用不等式的性质求范围同向可加性，同向同正可乘性是解这类问题的常用性质【例3】已知1<a <6，3<b <4，求a －b ，ab 的取值范围. 求解范围时，不可两式直接相减解 ∵3<b <4，∴－4<－b <－3. ∴1－4<a －b <6－3，即－3<a －b <3. 又14<1b <13，∴14<a b <63，即14<a b <2.规律方法求含字母的数(或式子)的取值范围时，一要注意题设中的条件，二要正确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减，可乘(同正)不可除.【训练3】已知－π2<β<α<π2，求2α－β的取值范围.解 ∵－π2<α<π2，－π2<β<π2， ∴－π2<－β<π2.∴－π<α－β<π. 又∵β<α，∴α－β>0，∴0<α－β<π，又2α－β＝α＋(α－β)，∴－π2<2α－β<32π.一、素养落地1.通过学习并理解不等式的性质，培养数学抽象素养，通过运用不等式的性质解决问题，提升数学运算素养.2.利用不等式的性质证明简单的不等式是否成立，实际上就是根据不等式的性质把不等式进行适当的变形，证明过程中注意不等式成立的条件. 二、素养训练1.设M ＝x 2，N ＝－x －1，则M 与N 的大小关系是( ) A.M >N B.M ＝N C.M <ND.与x 有关解析 M －N ＝x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34>0.∴M >N . 答案 A2.设a ，b ∈R ，若a ＋|b |<0，则下列不等式中正确的是( ) A.a －b >0 B.a 3＋b 3>0 C.a 2－b 2<0D.a ＋b <0解析本题可采用特殊值法，取a ＝－2，b ＝1，则a －b <0，a 3＋b 3<0，a 2－b 2>0，排除A ，B ，C ，故选D. 答案 D3.若8<x <10，2<y <4，则xy 的取值范围为________. 解析 ∵2<y <4，∴14<1y <12.又∵8<x <10，∴2<xy <5. 答案 2<xy <54.下列命题中，真命题是________(填序号).①若a >b >0，则1a 2<1b 2；②若a >b ，则c －2a <c －2b ；③若a <0，b >0，则－a b ，则2a >2b . 解析 ①a >b >00<1a <1b1a 2<1b 2；②a >b－2a <－2bc －2a <c －2b ；对③取a＝－2，b ＝1，则－a db ，bc >ad ，求证：ab >0.证明 ∵⎩⎪⎨⎪⎧c a >d b ，bc >ad ，∴⎩⎪⎨⎪⎧c a －d b >0，bc －ad >0.∴⎩⎪⎨⎪⎧bc －ad ab >0，bc －ad >0，∴ab >0.基础达标一、选择题1.已知a 1b C.a 2－12，可排除A ； (－3)2>(－2)2，可排除C ； a b ＝－3－2>1，可排除D ；而－13>－12，即1a >1b ，B 正确. 答案 B2.设x <a <0，则下列不等式一定成立的是( ) A.x 2<ax <a 2 B.x 2>ax >a 2 C.x 2<a 2<axD.x 2>a 2>ax解析 ∵x <a <0，∴x 2>a 2. ∵x 2－ax ＝x (x －a )>0，∴x 2>ax . 又ax －a 2＝a (x －a )>0，∴ax >a 2. ∴x 2>ax >a 2. 答案 B3.设a 2b B.ac <bc C.|a |>－bD.－a >－b 解析 a 2b ，选项A 正确；当c >0时选项B 成立，其余情况不成立，则选项B 不正确；|a |＝－a >－b ，则选项C 正确；由－a >－b >0，可得－a >－b ，则选项D 正确，故选B. 答案 B4.已知a <0，b <－1，则下列不等式成立的是( ) A.a >a b >a b 2 B.a b 2>a b >a C.a b >a >a b 2D.a b >a b 2>a解析由题意知ab >0，b 2>1，则a b 2>a ，且a b 2<0，所以a b >a b 2>a . 答案 D5.若1<a <3，－4b >0，则a ＋1b ________b ＋1a (用“<”，“>”，“＝”填空). 解析法一 ∵a >b >0，∴0<1a <1b ，即1b >1a >0，∴a ＋1b >b ＋1a .法二 a ＋1b －(b ＋1a )＝（a －b ）（1＋ab ）ab ，∵a >b >0，∴a －b >0，ab >0，1＋ab >0，则a ＋1b >b ＋1a . 答案 > 7.若a <b <0，则1a －b与1a 的大小关系是________. 解析1a －b －1a ＝a －（a －b ）（a －b ）a ＝b （a －b ）a， ∵a <b <0，∴a －b <0，则b （a －b ）a <0，1a －b <1a.答案1a －b <1a8.已知－π2≤α<β≤π2，则α－β2的取值范围是________. 解析 ∵－π2≤α<β≤π2，∴－π4≤α2<β2≤π4. ∴－π4≤α2<π4，①－π4<β2≤π4，∴－π4≤－β2<π4.② 由①＋②得－π2≤α－β2<π2.又知α<β，∴α－β<0.∴－π2≤α－β2<0. 答案－π2≤α－β2<0 三、解答题9.判断下列各命题的真假，并说明理由. (1)若a b ； (3)若a >b ，且k ∈N *，则a k >b k ； (4)若a >b ，b >c 则a －b >b －c . 解 (1)∵a 0， ∴1a >1b 不一定成立， ∴推不出c a <cb ，∴是假命题.(2)当c >0时，c 3>0，∴a b ，b >c 这两个条件，但是a －b ＝2a >b >0，求证：a c －a >b c －b. 证明a c －a －bc －b ＝a （c －b ）－b （c －a ）（c －a ）（c －b ）＝ac －ab －bc ＋ab （c －a ）（c －b ）＝c （a －b ）（c －a ）（c －b ）. ∵c >a >b >0，∴c －a >0，c －b >0，a －b >0. ∴c （a －b ）（c －a ）（c －b ）>0.∴a c －a >b c －b. 能力提升11.已知a >b >0，c <d <0，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a d 3<⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 3.证明 ∵c <d <0，∴－c >－d >0， ∴0<－1c <－1d .∵a >b >0，∴－a d >－bc >0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－a d 3>⎝ ⎛⎭⎪⎫－b c 3，即－⎝ ⎛⎭⎪⎫a d 3>－⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 3，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a d 3<⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 3. 12.已知1≤a ＋b ≤4，－1≤a －b ≤2，求4a －2b 的取值范围. 解法一设u ＝a ＋b ，v ＝a －b 得a ＝u ＋v 2，b ＝u －v2， ∴4a －2b ＝2u ＋2v －u ＋v ＝u ＋3v . ∵1≤u ≤4，－1≤v ≤2，∴－3≤3v ≤6. 则－2≤u ＋3v ≤10，即－2≤4a －2b ≤10. 法二令4a －2b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )， ∴4a －2b ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b . ∴⎩⎨⎧x ＋y ＝4，x －y ＝－2，∴⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3. 又⎩⎨⎧1≤a ＋b ≤4，－3≤3（a －b ）≤6. ∴－2≤4a －2b ≤10.。

第二章不等式 2.1不等式的基本性质

例5 某工人要在规定的时间内加工400 个零件，如果他每小时加工50个便可按时完成任务，但当他加工3个小时后，因有事停工50分钟，而后继续加工零件，问为了能按时或提前完成任务，该工人在以后的时间内平均每小时至少要加工多少个零件？
解：设该工人在以后的时间内平均每小时至少要加工x个零件，根据题意得
400 50 50 3 ( 3 )X 400 50 60 5 25 150 (8 3 )x 400, 150 x 400, 6 6
25 x 400, 6
x 60
因此，该工人在以后的时间内平均每小时至少要加工60个零件。
小结：
不等式性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数，不等号的方向不变.
如：比较-12.73与-13.56的大小。
因为（-12.73）-（-13.56）= 0.83 > 0
所以-12.73比-13.56大，即-12.73 > -13.56 二、例题 3 2 例1. 比较与的大小。
3 5 10 9 2 3 1 = = 解： 3 15 15 5 2 3 因此 > 。 5 3
不等式性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一正个数，不等式的方向不变。不等式性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等式的方向改变。
பைடு நூலகம்
布置作业：课本P22 2.（2）（3）3.（1）。
=（a+c）- (b+c), 所以（a+c）- （b+c）＞ 0，因此 a+c＞b+c
不等式的两边都加上（或减去）同一个数，不等号的方向不变. 性质3 （乘法性质）如果a＞b，c＞0，则ac ＞bc;如果a＞b，c＜0，则ac＜bc。不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等式的方向不变。不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等式的方向改变。

第二章不等式含答案

第二章一元二次函数、方程和不等式2.1 等式性质与不等式性质1．两个实数比较大小的方法(1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b >0⇔a > b a －b ＝0⇔a ＝ b a －b <0⇔a < b(a ，b ∈R )；(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab>1⇔a > b ab ＝1⇔a ＝ ba b<1⇔a 0)．2.等式的性质性质1：如果a =b ，那么b =a ；性质2：如果a =b ，b =c ，那么b =c ；性质3：如果a =b ，那么a ±c=b ±c ；性质4：如果a =b ，那么a c=bc ；性质5：如果a =b ，c 0≠那么cbc a =；3.不等式的性质性质1 a b >⇔ ________；(对称性) 性质2 a b >，b c >⇒ ________；(传递性)性质3 a b >⇒ ______________；(可加性) 推论：a b c >⇒＋___________；(移项法则) 性质4 a b >，0c >⇒ __________，(可乘性)a b >，0c ac bc <⇒<；(乘负反序性) 性质5 a b >，c d >⇒ ______________；(同向可加性) 性质6 0a b >>，0c d >>⇒ __________；(同正同向可乘性) 性质7 0a b >>⇒ __________()2n N n ∈≥，．(可乘方性)性质8 ①a >b ，ab >0⇒1a < 1b . ②a <0 D ．22ac bc > 例4 已知1025m <<，3015n -<<-，求m+n ，m n -与mn 的取值范围．例5 已知－1<x ＋y <4且2<x －y <3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________．课时作业1.设a ,b ∈R ,若a -|b|>0,则下列不等式中正确的是( ) A.b -a>0 B.a 3+b 3<0 C.a 2-b 2<0 D.b+a>02、当1x ≤时，比较大小：33x 231x x -+．3、设1≤a －b ≤2, 2≤a ＋b ≤4，求4a －2b 的取值范围．4、已知a ∈R ,且a ≠1,比较a+2与31-a的大小.2.2 基本不等式1. 重要的不等式：a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．2．基本不等式：ab ≤a ＋b2:两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数．（a+b ≥2ab ）注意：(1)此结论运用前提：一正、二定、三相等典例例1．（1）函数y ＝x ＋1x(x ＞0)的值域为( )A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)B ．(0，＋∞）C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞) （2）．已知m >0，n >0，且mn ＝81，则m ＋n 的最小值为( ) A ．18 B ．36 C ．81D ．243（3）.已知x ＜0，则y ＝2＋4x＋x 的最大值为_______例2、当x ＞0时，则y ＝2xx 2＋1的最大值为________．例3、若x >1，则x ＋4x －1的最小值为________．例4、已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，求1a ＋2b的最小值．例5、函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值是( )A ．23＋2B ．23－2C ．2 3D ．2例6 如图所示动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ (2)要使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？课时作业一、选择题1、已知x ＞0，函数y=x+的最小值是（） A ．2 B ．4C ．6D ．82、当x ∈R 时，x+的取值范围是（）A ．（﹣∞，﹣4]B ．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）C ．[4，+∞）D ．（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）3、已知x ＞0，y ＞0，且2x+y=1，则xy 的最大值是( ) A ．B ．C ．4D ．84、的最小值为）（函数)0(2>+=ab abb a y A ．B．12C ．4D ．65、函数15(1)1y x x x =++>-的最小值为A ．5B ．6C 7 D.86、已知正数x,y 满足431x y +=，则x+3y 的最小值为A ．5B ．12C ．13D ．25 7、设，，若，则的最小值为 A ． B ．6 C ． D ．8、已知y=，其中x≥0，则y 的最小值为（）A ．1B ．C ．D ．9.某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ,公园由形状为长方形A 1B 1C 1D 1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A 1B 1C 1D 1的面积为4 000平方米,人行道的宽分别为4米和10米(如图所示).(1)若设休闲区的长和宽的比|A 1B 1||B 1C 1|=x (x>1),求公园ABCD所占面积S 关于x 的函数解析式;(2)要使公园所占面积最小,休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽该如何设计?1a >0b >2a b +=121a b+-3+2.3 二次函数与一元二次方程、不等式一、形如20(0) (0)ax bx c a ++><≠或其中的不等式称为关于x 的一元二次不等式．二、“三个二次”之间的对应关系设()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为1x ，2，则不等式的解的各种情况如下表：0>∆ 0=∆0<∆c bx ax y ++=2cbx ax y ++=2cbx ax y ++=2三、一元二次不等式的解法：（1）化二次项系数为正；（2）令左边=右边，求出两根x 1 , x 2; （当0<∆时，需另作考虑）（3）大于取两根之外，小于取两根之间。

高一数学基本概念——第2章不等式

第2章不等式2.1不等式的基本性质2.2一元二次不等式的解法二、一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次，这样的不等式叫做一元二次不等式。

2.3其他不等式的解法一、分式不等式二、绝对值不等式1、|x|的含义2、小结3、零点分段法把每个绝对值对应的零点求出然后放入数轴上，分区间讨论转化为整式不等式或不等式组来求解，这种方法叫做零点分段法。

高中数学基本概念2.4基本不等式及其应用*2.5 不等式的证明1.比较法作差作商后的式子变形,判断正负或与1比较大小22(1),,2,a b R a b ab a b ∈+≥=对任意有当且仅当时等号成立。

(2),,2a b a b R a b ++∈≥=对任意有当且仅当是等号成立。

高中数学基本概念作差比较法-----要证明a>b,只要证明a-b>0.作商比较法---已知a,b都是正数,要证明a>b,只要证明a/b>12.分析法从要证明的不等式出发,寻找使这个不等式成立的某一"充分的"条件,为此逐步往前追溯(执果索因),一直追溯到已知条件或一些真命题为止.3.综合法了解算术平均数和几何平均数的概念,能用平均不等式证明其它一些不等式.*4. 放缩法这也是分析法的一种特殊情况,它的根据是不等式的传递性.我们可以用放缩法的一支——"逐步放大法".*5.数形结合法数形结合是指通过数与形之间的对应转化来解决问题.数量关系如果借助于图形性质,可以使许多抽象概念和关系直观而形象,有利于解题途径的探求,这通常为以形助数;而有些涉及图形的问题如能转化为数量关系的研究,又可获得简捷而一般化的解法,即所谓的以数解形.数形结合的思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维和形象思维结合,通过对图形的认识,数形的转化,可以培养思维的灵活性,形象性.通过数形结合,可以使复杂问题简单化,抽象问题具体化.*6.反证法先假定要证不等式的反面成立,然后推出与已知条件(或已知真命题)和矛盾的结论,从而断定反证假定错误,因而要证不等式成立.*7.穷举法对要证不等式按已知条件分成各种情况,加以证明(防止重复或遗漏某一可能情况).注意:在证明不等式时,应灵活运用上述方法,并可通过运用多种方法来提高自己的思维能力.。

《数学(基础模块)上册》课件第2章不等式

1.1 比较实数的大小
例 1 比较 2 与 3 的大小． 35
解 2 3 10 9 1 0 ，因此 2 3 ．
3 5 15 15
35
例 2 比较 a 2 与 a 4 的大小．解 (a 2) (a 4) a 2 a 4 6 0 ，因此 a 2 a 4 ．
1.1 不等式的基本性质
3 一元二次不等式
下面，我们通过具体例子来研究一元二次不等式与对应函数、方程之间的关系，以寻求一元二次不等式的一般解法．
例如，求一元二次不等式 x2 5x 4 0 与 x2 5x 4 0 的解集．
首先，求解对应的一元二次方程 x2 5x 4 0 ，得 x1 1 ， x2 4 ．
在比较两个实数的大小时，我们通常会考察两个实数的差与零的关系，以此作为判断依据，即作差比较法．例如，比较 12.73 与 13.56 的大小时，因为 (12.73) (13.56) 0.83 0 ，所以 12.73 比 13.56 大，即 12.73 13.56 ．
一般地，对于任意两个实数 a 和 b，有 a b 0 a b， a b 0 a b， ab0ab．
若使该饮料的月销售额不少于 10 000 元，这种饮料每箱最高定价是多少？请列出对应的不等式，并思考这个不等式应如何求解．
_____________________________________________________________________ 观察下面的不等式．（1） x2 x 2 0 ；（2） x2 7x 10 0 ；（3） x2 4x 12 0 ．不难发现，这三个不等式都只含有一个未知数 x，并且未知数 x 的最高次数都为二次．像这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为二次的不等式，称为一元二次不等式，其一般形式为 ax2 bx c ( ) 0 或 ax2 bx c ( ) 0 (a 0)

第二章 §2.1 第2课时等式性质与不等式性质

第2课时等式性质与不等式性质学习目标 1.了解等式的性质.2.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．知识点一等式的基本性质 1．如果a ＝b ，那么b ＝a . 2．如果a ＝b ，b ＝c ，那么a ＝c . 3．如果a ＝b ，那么a ±c ＝b ±c . 4．如果a ＝b ，那么ac ＝bc . 5．如果a ＝b ，c ≠0，那么a c ＝b c .知识点二不等式的性质性质别名性质内容注意 1 对称性 a >b ⇔b <a ⇔ 2 传递性 a >b ，b >c ⇒a >c 不可逆 3 可加性 a >b ⇔a ＋c >b ＋c 可逆 4 可乘性 a >b ，c >0⇒ac >bc a >b ，c <0⇒ac <bc c 的符号 5 同向可加性 a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d 同向 6 同向同正可乘性 a >b >0，c >d >0⇒ac >bd 同向 7 可乘方性a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥2)同正思考1 若a >b ，c >d ，那么a ＋c >b ＋d 成立吗？a －c >b －d 呢？答案 a ＋c >b ＋d 成立，a －c >b －d 不一定成立，但a －d >b －c 成立．思考2 若a >b ，c >d ，那么ac >bd 成立吗？答案不一定，但当a >b >0，c >d >0时，一定成立．1．若a >b ，则a －c >b －c .( √ ) 2．ab >1⇒a >b .( × ) 3．a >b ⇔ac 2>bc 2.( × )4．a >b ⇔a ＋c >b ＋c .( √ )5．⎩⎨⎧a >b ，c >d⇔a ＋c >b ＋d .( × )一、利用不等式的性质判断命题的真假例1 对于实数a ，b ，c ，下列命题中的真命题是( ) A ．若a >b ，则ac 2>bc 2 B ．若a >b >0，则1a >1bC ．若a abD ．若a >b ，1a >1b ，则a >0，b <0答案 D解析方法一 ∵c 2≥0，∴c ＝0时，有ac 2＝bc 2，故A 为假命题；由a >b >0，有ab >0⇒a ab >b ab ⇒1b >1a，故B 为假命题；⎩⎪⎨⎪⎧a －b >0⇒－1b >－1a >0，a －b >0⇒a b >ba，故C 为假命题；⎩⎨⎧a >b ⇒b －a <0，1a >1b ⇒1a －1b >0⇒b －a ab >0⇒ab <0.∵a >b ，∴a >0且b <0，故D 为真命题．方法二特殊值排除法．取c ＝0，则ac 2＝bc 2，故A 错．取a ＝2，b ＝1，则1a ＝12，1b ＝1.有1a <1b ，故B 错．取a ＝－2，b ＝－1，则b a ＝12，a b ＝2，有b a <ab ，故C 错．(学生)反思感悟利用不等式性质判断命题真假的注意点(1)运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质．(2)解有关不等式的选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．跟踪训练1 (多选)若1a <1b <0，则下面四个不等式成立的有( )A ．|a |>|b |B ．a <bC ．a ＋b <abD ．a 3>b 3答案 CD解析由1a <1b <0可得b <a <0，从而|a |<|b |，A ，B 均不正确；a ＋b <0，ab >0，则a ＋b <ab 成立，C 正确；a 3>b 3，D 正确．二、利用不等式的性质证明简单的不等式例2 若a >b >0，c <d <0，e <0，求证：e (a －c )2>e(b －d )2.证明 ∵c <d <0，∴－c >－d >0. 又∵a >b >0，∴a －c >b －d >0. ∴(a －c )2>(b －d )2>0.两边同乘以1(a －c )2(b －d )2，得1(a －c )2<1(b －d )2.又e <0，∴e (a －c )2>e(b －d )2.(教师) 延伸探究本例条件不变的情况下，求证：e a －c >eb －d .证明方法一 ∵c <d <0，∴－c >－d >0. 又a >b >0，∴a －c >b －d >0， ∴0<1a －c <1b －d. ∵e <0，∴e a －c >e b －d，不等式得证．方法二e a －c －eb －d ＝e [(b －d )－(a －c )](a －c )(b －d )＝e [(b －a )＋(c －d )](a －c )(b －d ).∵a >b >0，c <d <0，∴－c >－d >0. ∴a －c >0，b －d >0，b －a <0，c －d <0. ∴(b －a )＋(c －d )(a －c )(b －d )<0，又∵e <0，∴e [(b －a )＋(c －d )](a －c )(b －d )>0，∴e a －c >e b －d. (学生)反思感悟利用不等式的性质证明不等式注意事项(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．跟踪训练2 若bc －ad ≥0，bd >0，求证：a ＋b b ≤c ＋dd .证明方法一 ∵bc －ad ≥0，∴bc ≥ad ， ∴bc ＋bd ≥ad ＋bd ，即b (c ＋d )≥d (a ＋b )．又bd >0，两边同除以bd 得，a ＋b b ≤c ＋dd.方法二 a ＋b b －c ＋d d ＝(a ＋b )d －(c ＋d )b bd ＝ad －bcbd ，∵bc －ad ≥0， ∴ad －bc ≤0，又bd >0， ∴ad －bcbd ≤0，即a ＋b b ≤c ＋dd. 三、利用不等式的性质求范围例3 已知：3<a ＋b <4,01，又∵2<a <4，∴ab >2.(学生)反思感悟利用不等式的性质求取值范围的策略(1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围．(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．注意：求解这种不等式问题要特别注意不能简单地分别求出单个变量的范围，再去求其他不等式的范围．跟踪训练3 已知0<a ＋b <2，－1b 等价的不等式是( ) A ．|a |>|b | B ．a 2>b 2 C.ab >1 D ．a 3>b 3答案 D解析可利用赋值法．令a ＝1，b ＝－2，满足a >b ，但|a |<|b |，a 2b ⇒ac 2>bc 2 B.a c >bc ⇒a >b C.⎭⎪⎬⎪⎫a >b ，ab <0⇒1a >1b D.⎭⎪⎬⎪⎫ab >0，a >b⇒1a >1b答案 C解析当c ＝0时，A 不成立；当c <0时，B 不成立；ab <0，a >b ⇒a ab 1b ，C 成立．同理可证D 不成立．3．设a ，b ∈R ，若a ＋|b |<0，则下列不等式中正确的是( ) A ．a －b >0 B ．a 3＋b 3>0 C ．a 2－b 2<0 D ．a ＋b <0答案 D解析本题可采用特殊值法，取a ＝－2，b ＝1，则a －b <0，a 3＋b 3<0，a 2－b 2>0，a ＋b ＝－1<0故A ，B ，C 错误，D 正确． 4．若8<x <10,2<y <4，则xy 的取值范围为________．答案 2<xy<5解析 ∵2<y <4，∴14<1y <12.又∵8<x <10，∴2<xy<5.5．设x >1，－1<y <0，试将x ，y ，－y 按从小到大的顺序排列如下：________. 答案 y <－y <x解析 ∵－1<y <0，∴0<－y <1，∴y <－y ，又x >1，∴y <－y <x .1．知识清单： (1)等式的性质．(2)不等式的性质及其应用．2．方法归纳：作商比较法、乘方比较法．3．常见误区：注意不等式性质的单向性或双向性，即每条性质是否具有可逆性．1．如果a <0，b >0，那么下列不等式中正确的是( ) A.1a <1b B.－a |b |答案 A解析 ∵a <0，b >0，∴1a <0，1b >0，∴1a <1b .2．已知a ，b ，c ，d ∈R ，则下列命题中必成立的是( ) A ．若a >b ，c >d ，则a ＋b >c ＋d B ．若a >－b ，则c －a <c ＋b C ．若a >b ，c <d ，则a c >bdD ．若a 2>b 2，则－a <－b 答案 B解析选项A ，取a ＝1，b ＝0，c ＝2，d ＝1，则a ＋b <c ＋d ，A 错误；选项B ，因为a >－b ，所以－a b >0，c <0<d 时，不成立；选项D 只有a >b >0时才可以．否则如a ＝－1，b ＝0时不成立． 3．设a >1>b >－1，则下列不等式中恒成立的是( ) A.1a <1b B.1a >1b C ．a 2>2b D ．a >b 2答案 D解析 A 错，例如a ＝2，b ＝－12时，1a ＝12，1b ＝－2，此时，1a >1b ；B 错，例如a ＝2，b ＝12时，1a ＝12，1b ＝2，此时，1a <1b ；C 错，例如a ＝54，b ＝1516时，a 2＝2516，2b ＝3016，此时a 2<2b ；由a >1，b 2<1得a >b 2，故D 正确．4．已知a <0，b <－1，则下列不等式成立的是( ) A ．a >a b >a b 2B.a b 2>a b >aC.a b >a >a b 2D.a b >a b2>a 答案 D解析由题意知a b >0，b 2>1，∴0<1b 2<1，又a <0，∴a <ab 2<0，∴a b >ab2>a . 5．若1<a <3，－4b >0，则a ＋1b ________b ＋1a .(用“<”“>”或“＝”填空)答案 >解析方法一 ∵a >b >0，∴0<1a <1b ，即1b >1a >0，∴a ＋1b >b ＋1a.方法二 a ＋1b －⎝⎛⎭⎫b ＋1a ＝(a －b )(1＋ab )ab，∵a >b >0，∴a －b >0，ab >0,1＋ab >0，∴(a －b )(1＋ab )ab >0，即a ＋1b >b ＋1a .7．给出下列命题：①a >b ⇒ac 2>bc 2；②a >|b |⇒a 2>b 2；③a >b ⇒a 3>b 3；④|a |>b ⇒a 2>b 2.其中正确命题的序号是________．答案 ②③解析 ①当c 2＝0时不成立；②一定成立； ③当a >b 时，a 3－b 3＝(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝(a －b )·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＋34b 2>0成立； ④当b <0时，不一定成立．如|2|>－3，但22<(－3)2.8．已知1<α<3，－4<β<2，若z ＝12α－β，则z 的取值范围是________________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫z ⎪⎪－32<z <112 解析 ∵1<α<3，∴12<12α<32，又－4<β<2，∴－2<－β<4. ∴－32<12α－β<112，即－32<z <112.9．(1)a b ，1a <1b，求证：ab >0.证明 (1)由于b a －a b ＝b 2－a 2ab ＝(b ＋a )(b －a )ab，∵a 0，ab >0， ∴(b ＋a )(b －a )ab <0，故b a <ab .(2)∵1a <1b ，∴1a －1b <0，即b －a ab<0，而a >b ，∴b －a <0，∴ab >0.10．已知－π2<β<α<π2，求2α－β的取值范围．解 ∵－π2<α<π2，－π2<β<π2，∴－π2<－β<π2.∴－π<α－β<π.又∵α>β，∴α－β>0，∴0<α－β<π，又2α－β＝α＋(α－β)，∴－π2<2α－β<32π.11．已知x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．xy >yz B ．xz >yz C ．xy >xz D ．x |y |>z |y |答案 C解析因为x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，所以3x >x ＋y ＋z ＝0,3z <x ＋y ＋z ＝0，所以x >0，z <0.所以由⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >z ，可得xy >xz .12．有外表一样，重量不同的四个小球，它们的重量分别是a ，b ，c ，d ，已知a ＋b ＝c ＋d ，a ＋d >b ＋c ，a ＋c b >a >c B ．b >c >d >a C ．d >b >c >a D ．c >a >d >b答案 A解析 ∵a ＋b ＝c ＋d ，a ＋d >b ＋c ，∴a ＋d ＋(a ＋b )>b ＋c ＋(c ＋d )，即a >c .∴b <d . 又a ＋c b >a >c .13．已知－1≤x ＋y ≤4，且2≤x －y ≤3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________．答案 3≤z ≤8解析 ∵z ＝－12(x ＋y )＋52(x －y )，－2≤－12(x ＋y )≤12，5≤52(x －y )≤152，∴3≤－12(x ＋y )＋52(x －y )≤8，∴3≤z ≤8. 14．设a ，b 为正实数，有下列命题：①若a 2－b 2＝1，则a －b <1；②若1b －1a＝1，则a －b <1； ③若|a －b |＝1，则|a －b |<1.其中正确的命题为________(写出所有正确命题的序号)．答案 ①解析对于①，由题意a ，b 为正实数，则a 2－b 2＝1⇒a －b ＝1a ＋b⇒a －b >0⇒a >b >0，故a ＋b >a －b >0.若a －b ≥1，则1a ＋b ≥1⇒a ＋b ≤1≤a －b ，这与a ＋b >a －b >0矛盾，故a －b <1成立．对于②，取特殊值，a ＝3，b ＝34，则a －b >1. 对于③，取特殊值，a ＝9，b ＝4时，|a －b |>1.15．若x >0，y >0，M ＝x ＋y 1＋x ＋y ，N ＝x 1＋x ＋y 1＋y，则M ，N 的大小关系是( ) A ．M ＝NB ．M <NC ．M ≤ND ．M >N 答案 B解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋y ＋1>1＋x >0,1＋x ＋y >1＋y >0，∴x 1＋x ＋y <x 1＋x ，y 1＋x ＋y <y 1＋y，故M ＝x ＋y 1＋x ＋y ＝x 1＋x ＋y ＋y 1＋x ＋y <x 1＋x ＋y 1＋y＝N ，即M <N . 16．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 满足以下条件．(1)该函数图象过原点；(2)当x ＝－1时，y 的取值范围为大于等于1且小于等于2；(3)当x ＝1时，y 的取值范围为大于等于3且小于等于4；求当x ＝－2时，y 的取值范围．解 ∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象过原点，∴c ＝0，∴y ＝ax 2＋bx .又∵当x ＝－1时，1≤a －b ≤2.①当x ＝1时，3≤a ＋b ≤4，②∴当x ＝－2时，y ＝4a －2b .设存在实数m ，n ，使得4a －2b ＝m (a ＋b )＋n (a －b )，而4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(m －n )b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，m －n ＝－2，解得m ＝1，n ＝3， ∴4a －2b ＝(a ＋b )＋3(a －b )．由①②可知3≤a ＋b ≤4,3≤3(a －b )≤6，∴3＋3≤4a －2b ≤4＋6.即6≤4a －2b ≤10，故当x ＝－2时，y 的取值范围是大于等于6且小于等于10.。

新教材高中数学第二章等式与不等式2.3一元二次不等式的解法课件新人教B版必修第一册课件

分式不等式的解法其中f(x)、g(x)为关于x的整式,且g(x)≠0.
分式不等式
f (x)
g(x)>0
f (x)
g(x)<0
f (x) g(x)
>a(a≠0)
同解不等式
f (x) g(x)
0,或
0
f (x) g(x)
0, 0
f(x)g(x)>0
f (x) g(x)
0,或
0
f (x) g(x)
2
2.(
)若不等式ax2+2ax-(a+2)≥0的解集是⌀,求实数a的取值范围.
思路点拨:
ax2+2ax-(a+2)≥0的解集是⌀,即ax2+2ax-(a+2)<0在R上恒成立,对a进行分类讨论
求解.
解析不等式ax2+2ax-(a+2)≥0的解集是⌀,
等价于不等式ax2+2ax-(a+2)<0在R上恒成立.
1 x 4
2.在问题1中出现了分母中含有未知数的不等式,称为分式不等式.请归纳如何解这个不等式.
提示:移项,通分,得 3x 1 ≤0.
4(x 1)
因为x>0,所以x+1>0,
所以3x-1≤0,即0<x≤1 .
3
所以该不等式的解集为
0,
1 3
.
1.解分式不等式的思路:先转化为整式不等式,再求解.
②求出各因式对应方程的实数根,并在数轴上标出; ③自最右端上方起,用曲线自右向左依次由各根穿过数轴,遇奇次重根穿过,遇偶次重根穿而不过(即“奇过偶不过”); ④记数轴上方为正,下方为负,根据不等式的符号写出解集.

第2章 不等式

高一数学必修一第二章第二课基本不等式

中职数学基础模块(上册)基础练习-第二章不等式

第2章不等式不等关系与不等式

中职数学第二章不等式知识点

第二章 等式与不等式

职高一年级 第二章 不等式

高三第一轮——第二章不等式及其性质(教师)

第2章 不等式

高一数学讲义 第二章 不等式

第二章 2.1 第二课时等式性质与不等式的性质

第二章 不等式 2.1不等式的基本性质

第二章 不等式含答案

高一数学基本概念——第2章 不等式

《数学(基础模块)上册》课件 第2章 不等式

第二章 §2.1 第2课时 等式性质与不等式性质

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第2章不等式

第二章等式与不等式

职高一年级第二章不等式

第2章不等式

高一数学讲义第二章不等式

第二章不等式 2.1不等式的基本性质

第二章不等式含答案

高一数学基本概念——第2章不等式

《数学(基础模块)上册》课件第2章不等式

第二章 §2.1 第2课时等式性质与不等式性质

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