数列及其应用(学生版)

四、数列（课堂讲评）
广东省历年高考题
1、(07年)已知函数2()1, f x x x αβ=+-、是方程()0f x =的两个根()αβ>,()f x '是()f x 的导数.设11()
1,(1,2,)()
n n n n f a a a a n f a +==-=', (1)求αβ、的值；
(2)已知对任意的正整数n ，都有n a α>，记l n (1,2,)n n n a b n a βα
-==-,求数列{}
n b 的前n 项和n S 。

2、(08年)设数列{}n a 满足11=a ，22=a ，)2(3
1
21--+=n n n a a a ),4,3( =n ，数
列{}n b 满足11=b ，b b ),4,3,2( =n 是非零整数，且对任意的正整数m 和自然数k ，都有111≤+++≤-++k m m m b b b (1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；
(2)记n n n b na c = ),2,1( =n ，求数列{}n c 的前n 项和n S .
3、(09年)已知点)3
1
,1(是函数()(0,1)x f x a a a =>≠且的图像上一点，等比数列
{}n a 的前n 项和为()f n c -，数列{}(0)n n b b >的首项为c ，且前n 项和n S 满足
)2(11≥+=---n S S S S n n n n 。

(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；
(2)若数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n
T ，问满足20091000
>n T 的最小正整数n 是多少？
2009年广州质检、一模、二模 GZ-T 20．（本小题满分14分）
设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且 244n S n n =-+. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设2n n n a b =，数列{}n
b 的前n 项和为n T ，求证：14
1
<≤n T .
GZ-1 21. (本小题满分14分)
已知数列{}n a 的相邻两项1,+n n a a 是关于x 的方程022=+-n n b x x ∈n (N )*的两根, 且11=a .
(1) 求证: 数列⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧⨯-
n n a 231是等比数列; (2) 设n S 是数列{}n a 的前n 项和,
问是否存在常数λ,使得0>-n n S b λ对任意∈n N *
都成立, 若存在, 求出λ的取值范围; 若不存在, 请说明理由.
GZ-2（本小题满分14分）
已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若m a ，2m a +，1m a +()
*
m ∈N 成等差数列，试判
断m S ，2m S +，1m S +是否成等差数列，并证明你的结论．
2009年广东省各市模拟题 1、（2009深圳福田）已知数列
{}n a 是等差数列， 256,18a a ==；数列{}n b 的前n 项和是
n T ，且1
12n n T b +=．
(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ) 求证：数列{}n b 是等比数列；
(Ⅲ) 记n n n c a b =⋅，求{}n c 的前n 项和n S
2、（2009湛江师院附中）已知数列
{}n a 是等差数列，且355,9a a ==，
n S 是数列{}n a 的前n 项和．
(Ⅰ)求数列
{}n a 的通项公式n a 及前n 项和n S ；
(Ⅱ) 若数列{}n b
满足
n b =
，且
n T 是数列{}n b 的前n 项和，求n b 与n T ．
3、（2009广州海珠区）数列{}
n
b()*
∈N
n是递增的等比数列，且4
,5
3
1
3
1
=
=
+b
b
b
b
.
(Ⅰ)求数列{}
n
b
的通项公式;
(Ⅱ)若
3
log
2
+
=
n
n
b
a
,求证数列
{}
n
a
是等差数列;
(Ⅲ)若
+
+
+
3
2
2
1
a
a
a
(46)
a
a
m
≤
+
,求m的最大值.
4、（2009湛江21中）已知数列{}()
n
a n N*
∈
是等比数列,且13
0,2,8.
n
a a a
>==
(1)求数列{}
n
a
的通项公式;
(2)求证:
1
1
1
1
1
3
2
1
<
+
+
+
+
n
a
a
a
a
；
(3)设
1
log
2
2
+
=
n
n
a
b
,求数列
{}
n
b
的前100项和.
5、（2009深圳九校）等差数列}{n a 的公差0≠d ，它的一部分组成数列n
k k k k a a a a ,,,,321 为等比数列，其中
11k =，25k =，317k =.
（Ⅰ）求等比数列n
k k k k a a a a ,,,,321 的公比q ；
（Ⅱ）记
n k n f =)(，求)(n f 的解析式； （Ⅲ）求n k k k +++ 21的值;
6、（2009普宁）设数列
{}n a 的前项和为n S ，且n
S 11
22n -=-
，{}n b 为等差数列，且1
1a b =，2211()a b b a -=．
（1）求数列
{}n a 和{}n b 通项公式；
（2）设n
n n b c a =
，求数列{}n c 的前n 项和n T
7、（2009广东六校一）已知数列{}n a 的首项
11
2a =
，前n 项和()2
1n n S n a n =≥．
（Ⅰ）求数列
{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设10b =，()12n n n S b n S -=≥，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求证：
21n n T n <+．
8．【潮州·文科】已知数列}{n a 、}{n b 满足11=a ，32=a ，
)(2*1
N n b b n
n ∈=+，n n n a a b -=+1。

（1）求数列}{n b 的通项公式； （2）求数列{}n a 的通项公式；
（3）数列}{n c 满足)1(log 2+=n n a c )(*
N n ∈，求1335
2121
111
n n n S c c c c c c -+=+++。

9．【汕头澄海区·文】已知数列}{n a 中，02,311=-=+a a a n n , 数列}{n b 中，())( 1*N n a b n n n ∈-=⋅． （Ⅰ）求数列}{n a 通项公式；
（Ⅱ）求数列}{n b 通项公式以及前n 项的和．
10．【汕头澄海区·文】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2
1
1=a 且)2(021≥=⋅+-n S S a n n n ． (Ⅰ)求证}1
{
n
S 是等差数列，并求出n a 的表达式； (Ⅱ) 若)2()1(2≥-=n a n b n n ，求证12
2322<+++n b b b ．
11．【中山·理】已知数列{}n a 是首项为114a =
，公比1
4
q =的等比数列，设*)(log 324
1N n a b n n ∈=+，数列n n n n b a c c ⋅=满足}{.
（1）求数列}{n b 的通项公式；（2）求数列}{n c 的前n 项和S n .。