2016年江苏省南通市通州区中考数学一模试卷带答案解析
2016年江苏省南通市中考数学试卷(含解析版)
2016年江苏省南通市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）（2016•南通）2的相反数是（）A．﹣2 B．﹣C．2 D．2．（3分）（2016•南通）太阳半径约为696000km，将696000用科学记数法表示为（）A．696×103B．69.6×104C．6.96×105D．0.696×1063．（3分）（2016•南通）计算的结果是（）A．B．C．D．4．（3分）（2016•南通）下列几何图形：其中是轴对称图形但不是中心对称图形的共有（）A．4个B．3个C．2个D．1个5．（3分）（2016•南通）若一个多边形的内角和与它的外角和相等，则这个多边形是（）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形6．（3分）（2016•南通）函数y=中，自变量x的取值范围是（）A．x且x≠1 B．x且x≠1 C．x且x≠1 D．x且x≠17．（3分）（2016•南通）如图，为了测量某建筑物MN的高度，在平地上A处测得建筑物顶端M的仰角为30°，向N点方向前进16m到达B处，在B处测得建筑物顶端M的仰角为45°，则建筑物MN的高度等于（）A．8（）m B．8（）m C．16（）m D．16（）m8．（3分）（2016•南通）如图所示的扇形纸片半径为5cm，用它围成一个圆锥的侧面，该圆锥的高是4cm，则该圆锥的底面周长是（）A．3πcm B．4πcm C．5πcm D．6πcm9．（3分）（2016•南通）如图，已知点A（0，1），点B在x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰直角三角形ABC，使点C在第一象限，∠BAC=90°，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，则表示y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．10．（3分）（2016•南通）平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣1）三点，D（1，m）是一个动点，当△ACD的周长最小时，△ABD的面积为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．（3分）（2016•南通）计算：x3•x2=______．12．（3分）（2016•南通）已知：如图直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB，∠COE=60°，则∠BOD等于______度．13．（3分）（2016•南通）某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的名称是______．14．（3分）（2016•南通）如图Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=2，AC=3，则cosA=______．15．（3分）（2016•南通）已知一组数据5，10，15，x，9的平均数是8，那么这组数据的中位数是______．16．（3分）（2016•南通）设一元二次方程x2﹣3x﹣1=0的两根分别是x1，x2，则x 1+x2（x22﹣3x2）=______．17．（3分）（2016•南通）如图，BD为正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC，交DC与点E，将△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△DCF，若CE=1cm，则BF=______cm．18．（3分）（2016•南通）平面直角坐标系xOy中，已知点（a，b）在直线y=2mx+m2+2（m＞0）上，且满足a2+b2﹣2（1+2bm）+4m2+b=0，则m=______．三、解答题（本大题共10小题，共96分）19．（10分）（2016•南通）（1）计算：|﹣2|+（﹣1）2+（﹣5）0﹣；（2）解方程组：．20．（8分）（2016•南通）解不等式组，并写出它的所有整数解．21．（9分）（2016•南通）某水果批发市场新进一批水果，有苹果、西瓜、桃子和香蕉四个品种，统计后将结果绘制成条形图（如图），已知西瓜的重量占这批水果总重量的40%．回答下列问题：（1）这批水果总重量为______kg；（2）请将条形图补充完整；（3）若用扇形图表示统计结果，则桃子所对应扇形的圆心角为______度．22．（7分）（2016•南通）不透明袋子里装有红色、绿色小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，求两次都摸到红色小球的概率．23．（8分）（2016•南通）列方程解应用题：某列车平均提速60km/h，用相同的时间，该列车提速前行驶200km，提速后比提速前多行驶100km，求提速前该列车的平均速度．24．（9分）（2016•南通）已知：如图，AM为⊙O的切线，A为切点，过⊙O上一点B作BD⊥AM于点D，BD交⊙O于点C，OC平分∠AOB．（1）求∠AOB的度数；（2）当⊙O的半径为2cm，求CD的长．25．（8分）（2016•南通）如图，将▱ABCD的边AB延长到点E，使BE=AB，连接DE，交边BC于点F．（1）求证：△BEF≌△CDF；（2）连接BD、CE，若∠BFD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形．26．（10分）（2016•南通）平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2+bx+c经过（﹣1，m2+2m+1）、（0，m2+2m+2）两点，其中m为常数．（1）求b的值，并用含m的代数式表示c；（2）若抛物线y=x2+bx+c与x轴有公共点，求m的值；（3）设（a，y1）、（a+2，y2）是抛物线y=x2+bx+c上的两点，请比较y2﹣y1与0的大小，并说明理由．27．（13分）（2016•南通）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，BC=12，CO⊥AB 于点O，D是线段OB上一点，DE=2，ED∥AC（∠ADE＜90°），连接BE、CD．设BE、CD的中点分别为P、Q．（1）求AO的长；（2）求PQ的长；（3）设PQ与AB的交点为M，请直接写出|PM﹣MQ|的值．28．（14分）（2016•南通）如图，平面直角坐标系xOy中，点C（3，0），函数y=（k＞0，x＞0）的图象经过▱OABC的顶点A（m，n）和边BC的中点D．（1）求m的值；（2）若△OAD的面积等于6，求k的值；（3）若P为函数y═（k＞0，x＞0）的图象上一个动点，过点P作直线l⊥x 轴于点M，直线l与x轴上方的▱OABC的一边交于点N，设点P的横坐标为t，当时，求t的值．2016年江苏省南通市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）（2016•南通）2的相反数是（）A．﹣2 B．﹣C．2 D．【解答】解：2的相反数是﹣2．故选：A．2．（3分）（2016•南通）太阳半径约为696000km，将696000用科学记数法表示为（）A．696×103B．69.6×104C．6.96×105D．0.696×106【解答】解：将696000用科学记数法表示为：6.96×105．故选：C．3．（3分）（2016•南通）计算的结果是（）A．B．C．D．。
2016年江苏省南通市中考数学试卷
2016年江苏省南通市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）2的相反数是（）A．﹣2B．C．2D．2．（3分）太阳半径约为696000km，将696000用科学记数法表示为（）A．696×103B．69.6×104C．6.96×105D．0.696×106 3．（3分）计算的结果是（）A．B．C．D．4．（3分）下列几何图形：其中是轴对称图形但不是中心对称图形的共有（）A．4个B．3个C．2个D．1个5．（3分）若一个多边形的内角和与它的外角和相等，则这个多边形是（）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形6．（3分）函数y中，自变量x的取值范围是（）A．x且x≠1B．x且x≠1C．x＞且x≠1D．x＜且x≠1 7．（3分）如图，为了测量某建筑物MN的高度，在平地上A处测得建筑物顶端M的仰角为30°，向N点方向前进16m到达B处，在B处测得建筑物顶端M的仰角为45°，则建筑物MN的高度等于（）A．8（）m B．8（）m C．16（）m D．16（）m 8．（3分）如图所示的扇形纸片半径为5cm，用它围成一个圆锥的侧面，该圆锥的高是4cm，则该圆锥的底面周长是（）A．3πcm B．4πcm C．5πcm D．6πcm9．（3分）如图，已知点A（0，1），点B在x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰直角三角形ABC，使点C在第一象限，∠BAC＝90°，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，则表示y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．10．（3分）平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣1）三点，D （1，m）是一个动点，当△ACD的周长最小时，△ABD的面积为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．（3分）计算：x3•x2＝．12．（3分）已知：如图直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB，∠COE＝60°，则∠BOD等于度．13．（3分）某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的名称是．14．（3分）如图Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝2，AC＝3，则cos A＝．15．（3分）已知一组数据5，10，15，x，9的平均数是8，那么这组数据的中位数是．16．（3分）设一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两根分别是x1，x2，则x1+x2（x22﹣3x2）＝．17．（3分）如图，BD为正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC，交DC与点E，将△BCE 绕点C顺时针旋转90°得到△DCF，若CE＝1cm，则BF＝cm．18．（3分）平面直角坐标系xOy中，已知点（a，b）在直线y＝2mx+m2+2（m＞0）上，且满足a2+b2﹣2（1+2bm）+4m2+b＝0，则m＝．三、解答题（本大题共10小题，共96分）19．（10分）（1）计算：|﹣2|+（﹣1）2+（﹣5）0；（2）解方程组：，①．．20．（8分）解不等式组＜＞，并写出它的所有整数解．21．（9分）某水果批发市场新进一批水果，有苹果、西瓜、桃子和香蕉四个品种，统计后将结果绘制成条形图（如图），已知西瓜的重量占这批水果总重量的40%．回答下列问题：（1）这批水果总重量为kg；（2）请将条形图补充完整；（3）若用扇形图表示统计结果，则桃子所对应扇形的圆心角为度．22．（7分）不透明袋子里装有红色、绿色小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，求两次都摸到红色小球的概率．23．（8分）列方程解应用题：某列车平均提速60km/h，用相同的时间，该列车提速前行驶200km，提速后比提速前多行驶100km，求提速前该列车的平均速度．24．（9分）已知：如图，AM为⊙O的切线，A为切点，过⊙O上一点B作BD⊥AM于点D，BD交⊙O于点C，OC平分∠AOB．（1）求∠AOB的度数；（2）当⊙O的半径为2cm，求CD的长．25．（8分）如图，将▱ABCD的边AB延长到点E，使BE＝AB，连接DE，交边BC于点F．（1）求证：△BEF≌△CDF；（2）连接BD、CE，若∠BFD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形．26．（10分）平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+bx+c经过（﹣1，m2+2m+1）、（0，m2+2m+2）两点，其中m为常数．（1）求b的值，并用含m的代数式表示c；（2）若抛物线y＝x2+bx+c与x轴有公共点，求m的值；（3）设（a，y1）、（a+2，y2）是抛物线y＝x2+bx+c上的两点，请比较y2﹣y1与0的大小，并说明理由．27．（13分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，CO⊥AB于点O，D是线段OB上一点，DE＝2，ED∥AC（∠ADE＜90°），连接BE、CD．设BE、CD的中点分别为P、Q．（1）求AO的长；（2）求PQ的长；（3）设PQ与AB的交点为M，请直接写出|PM﹣MQ|的值．28．（14分）如图，平面直角坐标系xOy中，点C（3，0），函数y（k＞0，x＞0）的图象经过▱OABC的顶点A（m，n）和边BC的中点D．（1）求m的值；（2）若△OAD的面积等于6，求k的值；（3）若P为函数y═（k＞0，x＞0）的图象上一个动点，过点P作直线l⊥x轴于点M，直线l与x轴上方的▱OABC的一边交于点N，设点P的横坐标为t，当时，求t 的值．2016年江苏省南通市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）2的相反数是（）A．﹣2B．C．2D．【解答】解：2的相反数是﹣2．故选：A．2．（3分）太阳半径约为696000km，将696000用科学记数法表示为（）A．696×103B．69.6×104C．6.96×105D．0.696×106【解答】解：将696000用科学记数法表示为：6.96×105．故选：C．3．（3分）计算的结果是（）A．B．C．D．【解答】解：原式，故选：D．4．（3分）下列几何图形：其中是轴对称图形但不是中心对称图形的共有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【解答】解：正方形和圆既是中心对称图形，也是轴对称图形；等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形．故选：C．5．（3分）若一个多边形的内角和与它的外角和相等，则这个多边形是（）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形【解答】解：设多边形的边数为n，根据题意得（n﹣2）•180°＝360°，解得n＝4．故这个多边形是四边形．故选：B．6．（3分）函数y中，自变量x的取值范围是（）A．x且x≠1B．x且x≠1C．x＞且x≠1D．x＜且x≠1【解答】解：2x﹣1≥0且x﹣1≠0，解得x且x≠1，故选：B．7．（3分）如图，为了测量某建筑物MN的高度，在平地上A处测得建筑物顶端M的仰角为30°，向N点方向前进16m到达B处，在B处测得建筑物顶端M的仰角为45°，则建筑物MN的高度等于（）A．8（）m B．8（）m C．16（）m D．16（）m 【解答】解：设MN＝xm，在Rt△BMN中，∵∠MBN＝45°，∴BN＝MN＝x，在Rt△AMN中，tan∠MAN，∴tan30°，解得：x＝8（1），则建筑物MN的高度等于8（1）m；故选：A．8．（3分）如图所示的扇形纸片半径为5cm，用它围成一个圆锥的侧面，该圆锥的高是4cm，则该圆锥的底面周长是（）A．3πcm B．4πcm C．5πcm D．6πcm【解答】解：∵扇形纸片半径为5cm，用它围成一个圆锥的侧面，该圆锥的高是4cm，∴圆锥的底面半径为：3（cm），∴该圆锥的底面周长是：2π×3＝6π（cm）．故选：D．9．（3分）如图，已知点A（0，1），点B在x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰直角三角形ABC，使点C在第一象限，∠BAC＝90°，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，则表示y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：作AD∥x轴，作CD⊥AD于点D，若右图所示，由已知可得，OB＝x，OA＝1，∠AOB＝90°，∠BAC＝90°，AB＝AC，点C的纵坐标是y，∵AD∥x轴，∴∠DAO+∠AOD＝180°，∴∠DAO＝90°，∴∠OAB+∠BAD＝∠BAD+∠DAC＝90°，∴∠OAB＝∠DAC，在△OAB和△DAC中，∠∠，∴△OAB≌△DAC（AAS），∴OB＝CD，∴CD＝x，∵点C到x轴的距离为y，点D到x轴的距离等于点A到x的距离1，∴y＝x+1（x＞0）．故选：A．10．（3分）平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣1）三点，D （1，m）是一个动点，当△ACD的周长最小时，△ABD的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：由题可得，点C关于直线x＝1的对称点E的坐标为（2，﹣1），设直线AE的解析式为y＝kx+b，则，解得，∴y x，将D（1，m）代入，得m，即点D的坐标为（1，），∴当△ACD的周长最小时，△ABD的面积AB×||4．故选：C．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．（3分）计算：x3•x2＝x5．【解答】解：原式＝x5．故答案是：x5．12．（3分）已知：如图直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB，∠COE＝60°，则∠BOD等于30度．【解答】解：由垂线的定义，得∠AOE＝90°，由余角的性质，得∠AOC＝∠AOE﹣∠COE＝30°，由对顶角相等，得∠BOD＝∠AOC＝30°，故答案为：30．13．（3分）某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的名称是圆柱．【解答】解：根据主视图和左视图为长方形判断出是柱体，根据俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆柱，故答案为：圆柱．14．（3分）如图Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝2，AC＝3，则cos A＝．【解答】解：∵直角△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∴AB＝2CD＝2×2＝4，则cos A．故答案是：．15．（3分）已知一组数据5，10，15，x，9的平均数是8，那么这组数据的中位数是9．【解答】解：根据平均数的定义可知，（5+10+15+x+9）÷5＝8，解得：x＝1，把这组数据从小到大的顺序排列为1，5，9，10，15，处于中间位置的那个数是9，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是9；故答案为：9．16．（3分）设一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两根分别是x1，x2，则x1+x2（x22﹣3x2）＝3．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两根分别是x1，x2，∴x12﹣3x1﹣1＝0，x22﹣3x2﹣1＝0，x1+x2＝3，∴x22﹣3x2＝1，∴x1+x2（x22﹣3x2）＝x1+x2＝3，故答案为3．17．（3分）如图，BD为正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC，交DC与点E，将△BCE 绕点C顺时针旋转90°得到△DCF，若CE＝1cm，则BF＝2cm．【解答】解：过点E作EM⊥BD于点M，如图所示．∵四边形ABCD为正方形，∴∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，∴△DEM为等腰直角三角形．∵BE平分∠DBC，EM⊥BD，∴EM＝EC＝1cm，∴DE EM cm．由旋转的性质可知：CF＝CE＝1cm，∴BF＝BC+CF＝CE+DE+CF＝11＝2cm．故答案为：2．18．（3分）平面直角坐标系xOy中，已知点（a，b）在直线y＝2mx+m2+2（m＞0）上，且满足a2+b2﹣2（1+2bm）+4m2+b＝0，则m＝﹣1．【解答】解：∵点（a，b）在直线y＝2mx+m2+2（m＞0）上，∴b＝2ma+m2+2代入a2+b2﹣2（1+2bm）+4m2+b＝0，整理得到（b﹣2m）2+（a+m）2＝0，∵（b﹣2m）2≥0，（a+m）2≥0，∴a＝﹣m，b＝2m代入b＝2ma+m2+2得到，2m＝﹣2m2+m2+2，∴m2+2m﹣2＝0，∴m＝﹣1，∵m＞0，∴m＝﹣1，故答案为﹣1三、解答题（本大题共10小题，共96分）19．（10分）（1）计算：|﹣2|+（﹣1）2+（﹣5）0；（2）解方程组：，①．．【解答】解（1）原式＝2+1+1﹣2＝2，（2）①+得，4x＝4，∴x＝1，把x＝1代入①得，1+2y＝9，∴y＝4，∴原方程组的解为．20．（8分）解不等式组＜＞，并写出它的所有整数解．【解答】解：＜①＞由①，得x＜2，由，得x＞﹣4，故原不等式组的解集是﹣4＜x＜2，∴这个不等式组的所有整数解是x＝﹣3，﹣2，﹣1，0，1．21．（9分）某水果批发市场新进一批水果，有苹果、西瓜、桃子和香蕉四个品种，统计后将结果绘制成条形图（如图），已知西瓜的重量占这批水果总重量的40%．回答下列问题：（1）这批水果总重量为4000kg；（2）请将条形图补充完整；（3）若用扇形图表示统计结果，则桃子所对应扇形的圆心角为90度．【解答】解：（1）设这批水果总重量为mkg，应用m•40%＝1600，解得m＝4000kg，故答案为4000．（2）∵苹果的重量＝总重量﹣西瓜的重量﹣桃子的重量﹣香蕉西瓜的重量＝4000﹣1600﹣1000﹣200＝1200，条形图如图所示，（3）∵桃子的重量占这批水果总重量的25%，∴桃子所对应扇形的圆心角为360°×25%＝90°，故答案为90．22．（7分）不透明袋子里装有红色、绿色小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，求两次都摸到红色小球的概率．【解答】解：画树状图得：∵共有4种等可能的结果，两次都摸到红球的只有1种情况，∴两次都摸到红球的概率是．23．（8分）列方程解应用题：某列车平均提速60km/h，用相同的时间，该列车提速前行驶200km，提速后比提速前多行驶100km，求提速前该列车的平均速度．【解答】解：设提速前列车的平均速度为xkm/h，由题意得，，解得：x＝120，经检验，x＝120是原分式方程的解，且符合题意．答：提速前列车的平均速度为120km/h．24．（9分）已知：如图，AM为⊙O的切线，A为切点，过⊙O上一点B作BD⊥AM于点D，BD交⊙O于点C，OC平分∠AOB．（1）求∠AOB的度数；（2）当⊙O的半径为2cm，求CD的长．【解答】解：（1）∵AM为圆O的切线，∴OA⊥AM，∵BD⊥AM，∴∠OAD＝∠BDM＝90°，∴OA∥BD，∴∠AOC＝∠OCB，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC，∴∠BOC＝∠OCB＝∠OBC＝60°，∴∠AOB＝120°；（2）过点O作OE⊥BD于点E，∵∠BOC＝∠OCB＝∠OBC＝60°，∴△OBC是等边三角形，∵∠OED＝∠EDA＝∠OAD＝90°，∴四边形OADE是矩形，∴DE＝OA＝2，∴EC＝DC＝1．25．（8分）如图，将▱ABCD的边AB延长到点E，使BE＝AB，连接DE，交边BC于点F．（1）求证：△BEF≌△CDF；（2）连接BD、CE，若∠BFD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∵AB＝CD，AB∥CD．∵BE＝AB，∴BE＝CD．∵AB∥CD，∴∠BEF＝∠CDF，∠EBF＝∠DCF，在△BEF与△CDF中，∵∠∠，∴△BEF≌△CDF（ASA）；（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∠A＝∠DCB，∵AB＝BE，∴四边形BECD是平行四边形，∴BF＝CF，EF＝DF，∵∠BFD＝2∠A，∴∠BFD＝2∠DCF，∴∠DCF＝∠FDC，∴DF＝CF，∴DE＝BC，∴四边形BECD是矩形．26．（10分）平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+bx+c经过（﹣1，m2+2m+1）、（0，m2+2m+2）两点，其中m为常数．（1）求b的值，并用含m的代数式表示c；（2）若抛物线y＝x2+bx+c与x轴有公共点，求m的值；（3）设（a，y1）、（a+2，y2）是抛物线y＝x2+bx+c上的两点，请比较y2﹣y1与0的大小，并说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过（﹣1，m2+2m+1）、（0，m2+2m+2）两点，∴，∴，即：b＝2，c＝m2+2m+2，（2）由（1）得y＝x2+2x+m2+2m+2，令y＝0，得x2+2x+m2+2m+2＝0，∵抛物线与x轴有公共点，∴△＝4﹣4（m2+2m+2）≥0，∴（m+1）2≤0，∵（m+1）2≥0，∴m+1＝0，∴m＝﹣1；（3）由（1）得，y＝x2+2x+m2+2m+2，∵（a，y1）、（a+2，y2）是抛物线的图象上的两点，∴y1＝a2+2a+m2+2m+2，y2＝（a+2）2+2（a+2）+m2+2m+2，∴y2﹣y1＝[（a+2）2+2（a+2）+m2+2m+2]﹣[a2+2a+m2+2m+2]＝4（a+2）当a+2≥0，即a≥﹣2时，y2﹣y1≥0，当a+2＜0，即a＜﹣2时，y2﹣y1＜0．27．（13分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，CO⊥AB于点O，D是线段OB上一点，DE＝2，ED∥AC（∠ADE＜90°），连接BE、CD．设BE、CD的中点分别为P、Q．（1）求AO的长；（2）求PQ的长；（3）设PQ与AB的交点为M，请直接写出|PM﹣MQ|的值．【解答】解：（1）如图1中，∵CO⊥AB，∴∠AOC＝∠ACB＝90°，∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△ACO，∴，∵AB13，∴OA．（2）如图2中，取BD中点F，CD中点Q，连接PF、QF，则PF∥ED，FQ∥BC，PF⊥FQ，且PF ED＝1，FQ BC＝6，在Rt△PFQ中，PQ．（3）如图3中，取AD中点G，连接GQ，∵GQ∥AC，ED∥AC，PF∥ED，∴PF∥GQ，∴△PMF∽△QMG，∴，∵PM+QM，∴PM，MQ，∴|PM﹣QM|．28．（14分）如图，平面直角坐标系xOy中，点C（3，0），函数y（k＞0，x＞0）的图象经过▱OABC的顶点A（m，n）和边BC的中点D．（1）求m的值；（2）若△OAD的面积等于6，求k的值；（3）若P为函数y═（k＞0，x＞0）的图象上一个动点，过点P作直线l⊥x轴于点M，直线l与x轴上方的▱OABC的一边交于点N，设点P的横坐标为t，当时，求t 的值．【解答】解：（1）∵点C（3，0），▱OABC的顶点A（m，n），∴B（m+3，n），∴D（3，），∵函数y（k＞0，x＞0）的图象经过▱OABC的顶点A（m，n）和边BC的中点D，∴mn＝k，（3）＝k∴m＝2，（2）∵点D是平行四边形BC中点，∴S平行四边形OABC＝2S△OAD＝12，∵S平行四边形OABC＝3×n＝12，∴n＝4，由（1）知，m＝2，∴k＝mn＝8，（3）①如图1，点N在OA上，由（1）知，m＝2，∴A（2，n）．即0＜t＜2，直线OA的解析式为y x，设点P的横坐标为t，∴P（t，），∵过点P作直线l⊥x轴于点M．∴N（t，t），M（t，0），∴PN t，PM，∵，∴4（t），∴t或t（舍），如图2，当点N在AB上时，由（1）知，B（5，n），∴2≤t≤5，由题意知，P（t，）．N（t，n），M（t，0），∵，∴4（n）∴t③如图3，4，当点N在BC上时，（3＜t≤5）∵B（5，n），C（3，0），∴直线BC解析式为y nx n，∴P（t，），N（t，nt n），M（t，0），∵，∴4|nt n|，∴t或t（舍）或t或t（舍）∴t的值为，，或．。
江苏省南通市2016年中考数学试题(含解析)
南通市2016年初中毕业、升学考试试卷解析数 学一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上） 1． 2的相反数是A ．2-B ．21-C ．2D ．21 考点：相反数的定义解析： 2的相反数是2- ，选A2． 太阳半径约为696000km ，将696000用科学记数法表示为A ．696×103B ．69.6×104C ．6.96×105D ．0.696×106考点：科学记数法解析：将696000用科学记数法表示为6.96×105，选C 3． 计算x x 23-的结果是 A ．26xB ．x 6C ．x 25D ．x1 考点：分式的减法 解析：x x 23-=x1，选D 4． 下面的几何图形:其中是轴对称图形但不是中心对称图形的共是A ． 4个B ．3个C ．2个D ．1个考点：轴对称图形，中心对称图形，正方形、正多边形和等腰三角形的性质 解析：是轴对称图形但不是中心对称图形有等腰三角形、正五边形，共两个，选C 5． 若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形考点：多边形的内角和解析：多边形的外角和为360，多边形的外角和与它的内角和相等，则内角和为360，为四边形，选B等腰三角形正方形正五边形圆6． 函数y =112--x x 中，自变量x 的取值范围是 A ．21≤x 且1≠x B ．21≥x 且1≠xC ．21>x 且1≠x D ．21<x 且1≠x 考点：二次根式的意义，分式的意义，函数自变量的取值范围解析：由⎩⎨⎧≠-≥-01012x x ，解得21≥x 且1≠x ，选B7． 如图为了测量某建筑物MN 的高度，在平地上A 处测得建筑物 顶端M 的仰角为30°，沿N 点方向前进16 m 到达B 处，在B 处 测得建筑物顶端M 的仰角为45°，则建筑物MN 的高度等于A ．8（3＋1）mB ． 8 (3—1) mC ． 16 (3＋1) mD ．16（3－1）m考点：锐角三角函数 解析：由1645tan 30tan =-MNMN ，得)13(81316+=-=MN m ，选A 8． 如图所示的扇形纸片半径为5 cm ，用它围成一个圆锥的侧面，该圆锥的高是4 cm ，则该圆锥的底面周长是A ．π3 cmB ．π4 cmC ．π5 cmD ．π6 cm考点：扇形、弧长公式，圆周长，圆锥侧面展开图解析：圆锥底面圆的半径为34522=-cm ，该圆锥的底面周长是π6cm 9. 如图，已知点)1,0(A ，点B 是x 轴正半轴上一动点，以AB 为边作等腰 直角三角形ABC ，使点C 在第一象限，90=∠BAC .设点B 的横坐标为x ，点C 的纵坐标为y ，则表示y 与x 的函数关系的图像大致是考点：函数图象，数形结合思想解析：过C 点作y CD ⊥轴，易得ACD ∆≌BAO ∆全等；OB AD =∴ 设点B 的横坐标为x ，点C 的纵坐标为y ；则x y =-1（0>x ）；（第8题）1+=x y （0>x ），故选A 10．平面直角坐标系xOy 中，已知)0,1(-A 、)0,3(B 、)1,0(-C 三点，,1(m D 是一个动点，当ACD ∆周长最小时，ABD ∆的面积为A ．31B ．32C ．34D ．38考点：最短路径问题解析：D 为直线1=x 上一动点，点A 、B 关于直线1=x 对称，连接BC 直线BC 方程为：131-=x y ，右图为ACD ∆周长最小，)32,1(-D 此时 ABD ∆的面积为3443221=⨯⨯，选C二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上）11．计算25x x ⋅= ▲ ． 考点：幂的运算 解析：25x x ⋅=7x12．已知，如图，直线AB ，CD 相交于点O ，OE ⊥AB ，∠COE ＝60°，则∠BOD 等于 ▲ 度． 考点：相交线，对顶角，垂直，余角解析：OE ⊥AB ，∠COE ＝60°，则∠BOD=∠AOC=3013．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的名称是 ▲ ． 考点：三视图，圆柱解析：由几何体的三视图可知，该几何体为圆柱14．如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，已知CD ＝2，AC ＝3，则cos A 的值是 ▲ ． 考点：直角三角形斜边中线等于斜边的一半，锐角三角函数 解析：直角三角形斜边中线等于斜边的一半,CD ＝2，则AB=4，cos A =43=AB ACEDCB A O（第12题）ABDC（第14题）15．已知一组数据5，10，15，x ，9的平均数是8，那么这组数据的中位数是 ▲ ． 考点：平均数，中位数 解析：85915105=++++x ，1=x ，这组数据的中位数是916．设一元二次方程0132=--x x 的两根分别是1x ，2x ，则)3(22221x x x x -+= ▲考点：一元二次方程根的概念，一元二次方程根与系数的关系解析：2x 是一元二次方程0132=--x x 的根，∴013222=--x x ，13222=-x x ， 则3)3(2122221=+=-+x x x x x x17．如图，BD 为正方形ABCD 的对角线，BE 平分DBC ∠，交DC 于点E ，将BCE ∆绕点C 顺时针旋转90得到DCF ∆，若CE=1cm ，则BF= ▲考点：角平分线的性质，勾股定理，正方形 解析：BE 平分DBC ∠，则GE=CE=1cm DG=GE=1cm ；2=DE cm,BC=CD=1)2(+cm;)22(+=∴BF cm18．平面直角坐标系xOy 中，已知点),(b a 在直线222++=m mx y （0>m ）上，且满足04)21(2222=+++-+b m bm b a ，则=m ▲ ．考点：配方法；求根公式解析：已知点),(b a 在直线222++=m mx y （0>m ）上，222++=∴m ma b （＊）代入04)21(2222=+++-+b m bm b a 整理得：0)()2(22=++-m a m b 解得⎩⎨⎧=-=mb ma 2回代到（＊）式得22222++-=m m m ，即0222=-+m m ，解得31±-=m ，又0>m ，13-=∴m三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（本小题满分10分）（1）计算4)5()1(202--+-+-；（2） 解方程组：⎩⎨⎧-=-=+52392y x y x考点：（1）非零数的零次幂等于1，实数运算 （2）二元一次方程的解法 解析：（1）原式=22112=-++（2）①+②，得：1,44==x x ；代入①，得4=y ，⎩⎨⎧==∴4,1y x20．（本小题满分8分） 解不等式组⎩⎨⎧+>++<-71533315x x x x ，并写出它的所有所有整数解.考点：一元一次不等式组解析：解：由①，得2<x ，由②，得4->x ；所以不等式组的解集为24<<-x ；它的整数解1,0,1,2,3---21．（本小题满分9分）某水果批发市场新进一批水果，有苹果、西瓜、桃子和香蕉四个品种，统计后将结果绘制成条形图（如图）．已知西瓜的重量占这批水果总重量的40%．回答下列问题：（1）这批水果总重量为 ▲ kg ； （2）请将条形图补充完整；（3）若用扇形图表示统计结果，则桃子 所对应扇形的圆心角为 ▲ 度． 考点：条形图、扇形图，条形图的画法，统计 解析：（1）4000（2）1200200100016004000=---（3）9022．（本小题满分7分）（第21题）重量（kg 品种重量（kg（第21题）在不透明的袋子里装有红色、绿色小球各一个，除颜色外无其他差别.随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随即摸出一个，求两次都摸到红色小球的概率. 考点：树形图,随机事件等可能性 解析：画出树形图如下：从树形图看出，所有可能出现的结果共有4种，两次都摸到红色小球的情况有1种.∴两次都摸到红色小球的概率为4123．（本小题满分8分） 列方程解应用题：某列车平均提速h km /60,用相同的时间，该列车提速前行使km 200，提速后比提速前多行使km 100,求提速前该列车的平均速度.考点：二元一次方程应用题解析：设提速前该列车的平均速度为v h km /，行使的相同时间为t h由题意得：⎩⎨⎧=+=300)60(,200t v vt 解得：⎪⎩⎪⎨⎧==35120t v答：提速前该列车的平均速度为h km / 120 24．（本小题满分9分）已知：如图，AM 为⊙O 的切线，A 为切点，过⊙O 上一点B 作AM BD ⊥于点D ，BD 交⊙ O 于C ，OC 平分AOB ∠（1）求AOB ∠的度数；（2）若⊙O 的半径为2 cm ，求线段CD 的长.考点：圆的切线，角平分线，直线平行，三角形的内角和。
江苏省南通市通州区中考数学模拟试卷(含解析版答案)
江苏省南通市通州区中考模拟试卷数学一、选择题1．绝对值小于4的所有整数的和是（）A．4 B．8 C．0 D．12．地球的表面积约为510000000km2，将510000000用科学记数法表示为（）A．0.51×109B．5.1×108C．5.1×109D．51×1073．下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．4．下列计算正确的是（）A．﹣x3+3x3＝2x3B．x+x＝x2C．x3+2x5＝3x3D．x5﹣x4＝x5．若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是（）A．2 B．3 C．5 D．116．对于数据：80，88，85，85，83，83，84．下列说法中错误的有（）A、这组数据的平均数是84；B、这组数据的众数是85；C、这组数据的中位数是84；D、这组数据的方差是36．A．1个B．2个C．3个D．4个7．⊙O中，直径AB＝a，弦CD＝b，则a与b大小为（）A．a＞b B．a≥b C．a＜b D．a≤b8．骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温是随时间的变化而变化的，在这一问题中，因变量是（）A．沙漠B．体温C．时间D．骆驼9．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如上右图那样折叠，使点A与点B重合，则BE的长是（）A ．254B ．154C ．252D ．15210．明明骑自行车去上学时，经过一段先上坡后下坡的路，在这段路上所走的路程s （单位：千米）与时间t （单位：分）之间的函数关系如图所示．放学后如果按原路返回，且往返过程中，上坡速度相同，下坡速度相同，那么他回来时，走这段路所用的时间为（ ）A ．12分B ．10分C ．16分D ．14分11．在数轴上表示不等式x ﹣1＜0的解集，正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题12．图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝ 度．13．等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x 的一元二次方程x 2﹣12x +k＝0的两个根，则k的值是．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∠ACD＝4∠BCD，E是AB的中点，∠ECD是度．15．将一张长方形的纸对折，如图，可得到一条折痕（图中虚线），连续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折3次后，可以得7条折痕，连续对折5次后，可以得到条折痕．16．如图，△ABC是一张直角三角形彩色纸，AC＝15cm，BC＝20cm．若将斜边上的高CD分成n等分，然后裁出（n﹣1）张宽度相等的长方形纸条．则这（n﹣1）张纸条的面积和是cm2．17．如图，点A、B是双曲线y=6x上的点，分别过点A、B作x轴和y轴的垂线段，若图中阴影部分的面积为2，则两个空白矩形面积的和为．18．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图．A、B、C三点在格点上．（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；（2）在y轴上找点D，使得AD+BD最小，作出点D并写出点D的坐标．三、解答题19．设 x 、y 是有理数，且 x ，y 满足等式x 2+2y +√2y ＝17﹣4√2，求x ﹣y 的值．20．先化简，再求值：（1）√9x −√x 4+x √4x ，并将你喜欢的值代入计算（2）a 2−b 2a ÷(2ab−b 2a −a)，其中a =1+√2，b =1−√2．21．为了促进学生多样化发展，某校组织开展了社团活动，分别设置了体育类、艺术类、文学类及其它类社团（要求人人参与社团，每人只能选择一项）．为了解学生喜爱哪种社团活动，学校做了一次抽样调查．根据收集到的数据，绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，完成下列问题：（1）此次共调查了多少人？（2）求文学社团在扇形统计图中所占圆心角的度数；（3）请将条形统计图补充完整；（4）若该校有1500名学生，请估计喜欢体育类社团的学生有多少人？22．某校要求八年级同学在课外活动中，必须在五项球类（篮球、足球、排球、羽毛球、乒乓球）活动中任选一项（只能选一项）参加训练，为了了解八年级学生参加球类活动的整体情况，现以八年级2班作为样本，对该班学生参加球类活动的情况进行统计，并绘制了如图所示的不完整统计表和扇形统计图：八年级2班参加球类活动人数统计表项目 篮球 足球 乒乓球排球 羽毛球 人数a 6 5 7 6 根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）a ＝ ，b ＝ ；（2）该校八年级学生共有600人，则该年级参加足球活动的人数约 人；（3）该班参加乒乓球活动的5位同学中，有3位男同学（A ，B ，C ）和2位女同学（D ，E ），现准备从中选取两名同学组成双打组合，用树状图或列表法求恰好选出一男一女组成混合双打组合的概率．23．如图，在菱形ABCD 中，E 为AD 中点，EF ⊥AC 交CB 的延长线于F ．求证：AB 与EF 互相平分．24．如图，已知斜坡AB 长为80米，坡角（即∠BAC ）为30°，BC ⊥AC ，现计划在斜坡中点D 处挖去部分坡体（用阴影表示）修建一个平行于水平线CA 的平台DE 和一条新的斜坡BE ．（1）若修建的斜坡BE 的坡角为45°，求平台DE 的长；（结果保留根号）（2）一座建筑物GH 距离A 处36米远（即AG 为36米），小明在D 处测得建筑物顶部H 的仰角（即∠HDM ）为30°．点B 、C 、A 、G 、H 在同一个平面内，点C 、A 、G在同一条直线上，且HG ⊥CG ，求建筑物GH 的高度．（结果保留根号）25．（1）如图1，AD 、BC 相交于点O ，OA ＝OC ，∠OBD ＝∠ODB ．求证：AB ＝CD ．（2）如图2，AB 是⊙O 的直径，OA ＝1，AC 是⊙O 的弦，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，若OD =√2，求∠BAC 的度数．26．某地政府计划为农户购买农机设备提供补贴．其中购买Ⅰ型、Ⅱ型设备农民所投资的金额与政府补贴的额度存在下表所示的函数对应关系．型号金额Ⅰ型设备 Ⅱ型设备 投资金额x （万元） x 5x 2 4 补贴金额y （万元） y 1＝kx （k ≠0） 2 y 2＝ax 2+bx（a ≠0）2.84 （1）分别求y 1和y 2的函数解析式；（2）有一农户共投资10万元购买Ⅰ型、Ⅱ型两种设备，两种设备的投资均为整数万元，要想获得最大补贴金额，应该如何购买？能获得的最大补贴金额为多少？27．设抛物线y ＝mx 2﹣2mx +3（m ≠0）与x 轴交于点A （a ，0）和B （b ，0）．（1）若a ＝﹣1，求m ，b 的值；（2）若2m +n ＝3，求证：抛物线的顶点在直线y ＝mx +n 上；（3）抛物线上有两点P （x 1，p ）和Q （x 2，q ），若x 1＜1＜x 2，且x 1+x 2＞2，试比较p 与q 的大小．28．如图，抛物线经过A （﹣1，0），B （3，0），C （0，32）三点． （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P ，使PA +PC 的值最小，求点P 的坐标；（3）点M 为x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N ，使以A ，C ，M ，N 四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N 的坐标；若不存在，请说明理由．江苏省南通市通州区中考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、选择题1．绝对值小于4的所有整数的和是（）A．4 B．8 C．0 D．1【解答】解：绝对值小于4的所有整数有：﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2、3，它们的和是：（﹣3）+（﹣2）+（﹣1）+0+1+2+3＝0．故选：C．2．地球的表面积约为510000000km2，将510000000用科学记数法表示为（）A．0.51×109B．5.1×108C．5.1×109D．51×107【解答】解：510000000＝5.1×108，故选：B．3．下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项正确．故选：D．4．下列计算正确的是（）A．﹣x3+3x3＝2x3B．x+x＝x2C．x3+2x5＝3x3D．x5﹣x4＝x【解答】解：A．﹣x3+3x3＝（﹣1+3）x3＝2x3，所以此选项正确；B．x+x＝2x，所以此选项错误；C．x3与2x5不是同类项，所以不能合并，所以此选项错误；D．x5与x4不是同类项，所以不能合并，所以此选项错误；故选：A．5．若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是（）A．2 B．3 C．5 D．11【解答】解：设第三边长为x，由题意得：7﹣3＜x＜7+3，则4＜x＜10，故选：C．6．对于数据：80，88，85，85，83，83，84．下列说法中错误的有（）A、这组数据的平均数是84；B、这组数据的众数是85；C、这组数据的中位数是84；D、这组数据的方差是36．A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：由平均数公式可得这组数据的平均数为84；在这组数据中83出现了2次，85出现了2次，其他数据均出现了1次，所以众数是83和85；将这组数据从小到大排列为：80、83、83、84、85、85、88，可得其中位数是84；其方差S2=17[（80﹣84）2+（88﹣84）2+（85﹣84）2+（85﹣84）2+（83﹣84）2+（83﹣84）2+（84﹣84）2]=36 7；所以②、④错误．故选：B．7．⊙O中，直径AB＝a，弦CD＝b，则a与b大小为（）A．a＞b B．a≥b C．a＜b D．a≤b【解答】解：直径是圆中最长的弦，因而有a≥b．故选：B．8．骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温是随时间的变化而变化的，在这一问题中，因变量是（）A．沙漠B．体温C．时间D．骆驼【解答】解：∵骆驼的体温随时间的变化而变化，∴自变量是时间，因变量是体温，故选：B．9．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如上右图那样折叠，使点A与点B 重合，则BE 的长是（ ）A ．254B ．154C ．252D ．152【解答】解：∵△ADE 翻折后与△BDE 完全重合，∴AE ＝BE ，设AE ＝x ，则BE ＝x ，CE ＝8﹣x ，在Rt △BCE 中（BE ）2＝（BC ）2+（CE ）2，即x 2＝62+（8﹣x ）2，解得，x =254，∴BE ＝x =254．故选：A ．10．明明骑自行车去上学时，经过一段先上坡后下坡的路，在这段路上所走的路程s （单位：千米）与时间t （单位：分）之间的函数关系如图所示．放学后如果按原路返回，且往返过程中，上坡速度相同，下坡速度相同，那么他回来时，走这段路所用的时间为（ ）A ．12分B ．10分C ．16分D ．14分【解答】解：根据函数图象可得：明明骑自行车去上学时，上坡路为1千米，速度为1÷6=16千米/分，下坡路程为3﹣1＝2千米，速度为2÷（10﹣6）=12千米/分，放学后如果按原路返回，且往返过程中，上坡速度相同，下坡速度相同，那么他回来时，上坡路程为2千米，速度为16千米/分，下坡路程为1千米，速度为12千米/分，因此走这段路所用的时间为2÷16+1÷12=14分．故选：D．11．在数轴上表示不等式x﹣1＜0的解集，正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：x﹣1＜0，∴x＜1，在数轴上表示不等式的解集为：，故选：B．二、填空题12．图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝360 度．【解答】解：由多边形的外角和等于360°可知，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝360°，故答案为：360°．13．等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2﹣12x+k ＝0的两个根，则k的值是36 ．【解答】解：当3为等腰三角形的腰时，将x＝3代入原方程得9﹣12×3+k＝0，解得：k＝27，此时原方程为x2﹣12x+27＝0，即（x﹣3）（x﹣9）＝0，解得：x1＝3，x2＝9，∵3+3＝6＜9，∴3不能为等腰三角形的腰；当3为等腰三角形的底时，方程x2﹣12x+k＝0有两个相等的实数根，∴△＝（﹣12）2﹣4k＝144﹣4k＝0，解得：k＝36，此时x1＝x2=−−122=6，∵3、6、6可以围成等腰三角形，∴k＝36．故答案为：36．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∠ACD＝4∠BCD，E是AB的中点，∠ECD是54 度．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ACD＝4∠BCD，∴∠BCD＝90°×11+4=18°，∠ACD＝90°×41+4=72°，∵CD⊥AB，∴∠B＝90°﹣18°＝72°，∵E是AB的中点，∠ACB＝90°，∴CE＝BE，∴∠BCE＝∠B＝72°，∴∠ECD＝∠BCE﹣∠BCD＝72°﹣18°＝54°．故答案是：54．15．将一张长方形的纸对折，如图，可得到一条折痕（图中虚线），连续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折3次后，可以得7条折痕，连续对折5次后，可以得到31 条折痕．【解答】解：根据题意得：25﹣1＝32﹣1＝31，则连续对折5次后，可以得到31条折痕， 故答案为：3116．如图，△ABC 是一张直角三角形彩色纸，AC ＝15cm ，BC ＝20cm ．若将斜边上的高CD 分成n 等分，然后裁出（n ﹣1）张宽度相等的长方形纸条．则这（n ﹣1）张纸条的面积和是150(n−1)ncm 2．【解答】解：如图，∵∠ACB ＝90°，AC ＝15，BC ＝20， ∴AB =2+BC 2=25， ∵12CD •AB =12AC •BC ，∴CD ＝12，∵斜边上的高CD 分成n 等分， ∴CH =12n， ∵EF ∥AB ， ∴△CEF ∽△CAB ， ∴EF AB=CH CD，即EF 25=1n，解得EF =1n•25，即从上往下数，第1个矩形的长为1n•25，同理可得从上往下数，第2个矩形的长为2n•25，…从上往下数，第（n ﹣1）个矩形的长为n−1n•25，而所有矩形的宽都为1n •12，∴这（n ﹣1）张纸条的面积和是＝[1n •25+2n •25+⋯+n−1n •25]•1n •12=25n （1+2+…+n ﹣1）•1n •12=150(n−1)n（cm 2）．故答案为150(n−1)n．17．如图，点A 、B 是双曲线y =6x 上的点，分别过点A 、B 作x 轴和y 轴的垂线段，若图中阴影部分的面积为2，则两个空白矩形面积的和为 8 ．【解答】解：∵点A 、B 是双曲线y =6x 上的点， ∴S 矩形ACOG ＝S 矩形BEOF ＝6， ∵S 阴影DGOF ＝2，∴S 矩形ACDF +S 矩形BDGE ＝6+6﹣2﹣2＝8， 故答案为：818．△ABC 在平面直角坐标系中的位置如图．A 、B 、C 三点在格点上．（1）作出△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1，并写出点C 1的坐标 （3，﹣2） ； （2）在y 轴上找点D ，使得AD +BD 最小，作出点D 并写出点D 的坐标 （0，2） ．【解答】解：（1）如图所示，△A 1B 1C 1即为所求，由图知点C 1的坐标（3，﹣2）， 故答案为：（3，﹣2）；（2）如图所示，点D 即为所求，点D 的坐标为（0，2）． 故答案为：（0，2）． 三、解答题19．设 x 、y 是有理数，且 x ，y 满足等式x 2+2y +√2y ＝17﹣4√2，求x ﹣y 的值． 【解答】解：∵x 、y 是有理数，且 x ，y 满足等式x 2+2y +√2y ＝17﹣4√2， ∴{x 2+2y =17y =−4， 解得，{x =5y =−4或{x =−5y =−4，∴当x ＝5，y ＝﹣4时，x ﹣y ＝5﹣（﹣4）＝9， 当x ＝﹣5，y ＝﹣4时，原式＝﹣5﹣（﹣4）＝﹣1． 20．先化简，再求值：（1）√9x −√x 4+x √4x ，并将你喜欢的值代入计算（2）a 2−b 2a÷(2ab−b 2a−a)，其中a =1+√2，b =1−√2．【解答】解：（1）原式＝3√x −√x2+2√x =92√x ， 当x ＝4时，原式＝9；（2）原式=(a+b)(a−b)a ÷−(a 2−2ab+b 2)a =(a+b)(a−b)a •a −(a−b)=−a+b a−b， 当a ＝1+√2，b ＝1−√2时，原式=222=−√22．21．为了促进学生多样化发展，某校组织开展了社团活动，分别设置了体育类、艺术类、文学类及其它类社团（要求人人参与社团，每人只能选择一项）．为了解学生喜爱哪种社团活动，学校做了一次抽样调查．根据收集到的数据，绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，完成下列问题：（1）此次共调查了多少人？（2）求文学社团在扇形统计图中所占圆心角的度数； （3）请将条形统计图补充完整；（4）若该校有1500名学生，请估计喜欢体育类社团的学生有多少人？ 【解答】解：（1）80÷40%＝200（人）． ∴此次共调查200人． （2）60200×360°＝108°．∴文学社团在扇形统计图中所占 圆心角的度数为108°． （3）补全如图，（4）1500×40%＝600（人）． ∴估计该校喜欢体育类社团的学生有600人．22．某校要求八年级同学在课外活动中，必须在五项球类（篮球、足球、排球、羽毛球、乒乓球）活动中任选一项（只能选一项）参加训练，为了了解八年级学生参加球类活动的整体情况，现以八年级2班作为样本，对该班学生参加球类活动的情况进行统计，并绘制了如图所示的不完整统计表和扇形统计图：八年级2班参加球类活动人数统计表项目篮球 足球 乒乓球排球 羽毛球人数a 6 5 7 6根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）a ＝ 16 ，b ＝ 17.5 ；（2）该校八年级学生共有600人，则该年级参加足球活动的人数约 90 人； （3）该班参加乒乓球活动的5位同学中，有3位男同学（A ，B ，C ）和2位女同学（D ，E ），现准备从中选取两名同学组成双打组合，用树状图或列表法求恰好选出一男一女组成混合双打组合的概率．【解答】解：（1）a ＝5÷12.5%×40%＝16，5÷12.5%＝7÷b %，∴b＝17.5，故答案为：16，17.5；（2）600×[6÷（5÷12.5%）]＝90（人），故答案为：90；（3）如图，∵共有20种等可能的结果，两名同学恰为一男一女的有12种情况，∴则P（恰好选到一男一女）=1220=35．23．如图，在菱形ABCD中，E为AD中点，EF⊥AC交CB的延长线于F．求证：AB与EF互相平分．【解答】证明：连接BD，AF，BE，在菱形ABCD中，AC⊥BD∵EF⊥AC，∴EF∥BD，又ED∥FB，∴四边形EDBF是平行四边形，DE＝BF，∵E为AD的中点，∴AE＝ED，∴AE＝BF，又AE∥BF，∴四边形AEBF为平行四边形，即AB与EF互相平分．24．如图，已知斜坡AB长为80米，坡角（即∠BAC）为30°，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体（用阴影表示）修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE．（1）若修建的斜坡BE的坡角为45°，求平台DE的长；（结果保留根号）（2）一座建筑物GH距离A处36米远（即AG为36米），小明在D处测得建筑物顶部H 的仰角（即∠HDM）为30°．点B、C、A、G、H在同一个平面内，点C、A、G在同一条直线上，且HG⊥CG，求建筑物GH的高度．（结果保留根号）【解答】解：（1）∵修建的斜坡BE的坡角为45°，∴∠BEF＝45°，∵∠DAC＝∠BDF＝30°，AD＝BD＝40，∴BF＝EF=12BD＝20，DF=20√3，∴DE＝DF﹣EF＝20√3−20，∴平台DE的长为（20√3−20）米；（2）过点D作DP⊥AC，垂足为P．在Rt△DPA中，DP=12AD=12×40＝20，PA＝AD•cos30°＝20√3，在矩形DPGM中，MG＝DP＝20，DM＝PG＝PA+AG＝20√3+36．在Rt△DMH中，HM＝DM•tan30°＝（20√3+36）×√33=20+12√3，则GH＝HM+MG＝20+12√3+20＝40+12√3．答：建筑物GH高为（40+12√3）米．25．（1）如图1，AD、BC相交于点O，OA＝OC，∠OBD＝∠ODB．求证：AB＝CD．（2）如图2，AB是⊙O的直径，OA＝1，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D，若OD=√2，求∠BAC的度数．【解答】（1）证明：∵∠OBD＝∠ODB，∴OB＝OD，在△AOB与△COD中，{OA=OC∠AOB=∠COD OB=OD，∴△AOB≌△COD（SAS），∴AB＝CD；（2）解：连接OC，如图所示：∵CD与⊙O相切，∴OC⊥CD，∵OA＝OC，OA＝1，∴OC＝1，∴CD=√OD2−OC2=√(√2)2−12=1，∴CD＝OC，∴△OCD为等腰直角三角形，∴∠COB＝45°，∴∠BAC=12∠COB＝22.5°．26．某地政府计划为农户购买农机设备提供补贴．其中购买Ⅰ型、Ⅱ型设备农民所投资的金额与政府补贴的额度存在下表所示的函数对应关系．型号金额Ⅰ型设备Ⅱ型设备投资金额x（万元）x 5 x 2 4 补贴金额y（万元）y1＝kx（k≠0） 2 y2＝ax2+bx（a≠0）2.8 4（1）分别求y1和y2的函数解析式；（2）有一农户共投资10万元购买Ⅰ型、Ⅱ型两种设备，两种设备的投资均为整数万元，要想获得最大补贴金额，应该如何购买？能获得的最大补贴金额为多少？【解答】解：（1）设购买Ⅰ型设备补贴的金额的解析式为：y1＝kx，购买Ⅱ型设备补贴的金额的解析式为y2＝ax2+bx，由题意，得：2＝5k，或{4a+2b=2.8 16a+4b=4，解得：k=25，{a=−15b=95，∴y1的解析式为：y1=25x，y2的函数解析式为：y2=−15x2+95x．（2）设投资Ⅱ型设备a万元，Ⅰ型设备（10﹣a）万元，补贴金额为W万元：所以W＝y1+y2=25（10﹣a）+（−15a2+95a）=−15（a−72）2+12920所以当a＝3或4时，W的最大值=32，所以投资Ⅰ型设备7万元，Ⅱ型设备3万元；或投资Ⅰ型设备6万元，Ⅱ型设备4万元，获得最大补贴金额，最大补贴金额为325万元． 27．设抛物线y ＝mx 2﹣2mx +3（m ≠0）与x 轴交于点A （a ，0）和B （b ，0）．（1）若a ＝﹣1，求m ，b 的值；（2）若2m +n ＝3，求证：抛物线的顶点在直线y ＝mx +n 上；（3）抛物线上有两点P （x 1，p ）和Q （x 2，q ），若x 1＜1＜x 2，且x 1+x 2＞2，试比较p 与q 的大小．【解答】解：（1）当a ＝﹣1时，把（﹣1，0）代入y ＝mx 2﹣2mx +3，∴解得m ＝﹣1，∴抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2+2x +3，令y ＝0代入y ＝﹣x 2+2x +3，∴x ＝﹣1或x ＝3，∴b ＝3，（2）抛物线的对称轴为：x ＝1，把x ＝1代入y ＝mx 2﹣2mx +3，∴y ＝3﹣m∴抛物线的顶点坐标为（1，3﹣m ），把x ＝1代入y ＝mx +n ，∴y ＝m +n ＝m +3﹣2m ＝3﹣m∴顶点坐标在直线y ＝mx +n 上，（3）由题意可知：抛物线的对称轴为：x ＝1，△＝4m 2﹣12m ＞0，∴解得：m ＜0或m ＞3，∵x 1+x 2＞2，∴x 2﹣1＞1﹣x 1，∵x 1＜1＜x 2，∴|x 2﹣1|＞|x 1﹣1|，∴P 离对称轴较近，当m ＞3时，p ＜q ，当m ＜0时，p ＞q ，28．如图，抛物线经过A （﹣1，0），B （3，0），C （0，32）三点． （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P ，使PA +PC 的值最小，求点P 的坐标；（3）点M 为x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N ，使以A ，C ，M ，N 四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y ＝ax 2+bx +c （a ≠0），∵A （﹣1，0），B （5，0），C （0，32）三点在抛物线上， ∴{a −b +c =09a +3b +c =0c =32，解得{ a =−12b =1c =32． ∴抛物线的解析式为：y =−12x 2+x +32．（2）∵抛物线的解析式为y =−12x 2+x +32，∴其对称轴为直线：x =−b 2a =−12×(−12)=1． 连接BC ，设直线BC 的解析式为y ＝kx +b （k ≠0），∵B （3，0），C （0，32）， ∴{3k +b =0b =32.解得{k =−12b =32.． ∴直线BC 的解析式为y =−12x +32．当x ＝1时，y =−12+32=1．∴P （1，1）；（3）存在．如图2所示．①当点N 在x 轴上方时，∵抛物线的对称轴为直线x ＝1，C （0，32）， ∴N 1（2，32）； ②当点N 在x 轴下方时，如图，过点N 2作N 2D ⊥x 轴于点D ， ∴△AN 2D ≌△M 2CO ．∴N 2D ＝OC =32，即N 2点的纵坐标为−32． ∴−12x 2+x +32=−32．解得x =1+√7或x =1−√7， ∴N 2（1+√7，−32），N 3（1−√7，−32）． 综上所述，点N 的坐标为（2，32），（1+√7，−32），（1−√7，−32）．。
南通市2016年初中毕业、升学模拟考试试卷 数 学
2016年南通市初中毕业、升学模拟考试数学试题参考答案与评分标准说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．11．x ≥－2且x ≠3；12．60； 13．－12； 14．3；15．2a ＞；16．10； 17 18．4．三、解答题：本大题共10小题，共96分． 19．（本小题满分10分）（1）解：原式＝2112--……………………………………………………… 4分2 ………………………………………………………………………5分（2）解：原式＝21+-a a ·()()11)1()2)(2(2-+⋅--+a a a a a …………………………………3分 ＝()()12+-a a ……………………………………………………………4分 ＝22--a a ………………………………………………………………5分20．（本小题满分8分）证明：∵AB =BC ，BD 平分∠ABC ，∴BD ⊥AC ，AD =C D ． ……………………………………………………………………2分 ∵四边形ABED 是平行四边形，∴BE ∥AD ，BE =AD ， ……………………………………………………………………4分 ∴BE ∥CD ，BE =CD ，∴四边形BECD 是平行四边形．……………………………………………………………6分 ∵BD ⊥AC ，∴∠BDC =90°，∴四边形BECD 是矩形．……………………………………………………………………8分21．（本小题满分8分）解：（1）200；…………………………………………………………………………………2分 （2）90200×360°=162°；…………………………………………………………………5分 （3）1－9025%+20%+100%200⨯（）=10%； 1200×10%=120（人）………………………………………………………………8分22．（本小题满分8分） 解：（1）画树形图：………………………………………………………………………………3分共有9种等可能的结果，其中符合要求的结果有3种，∴P （第2次传球后球回到甲手里）=39=13．…………………………………………………5分（2）第三次传球后球回到甲手里的概率是32(1)1n n n n n--=．…………………………………8分 23．（本小题满分8分）解：在Rt △ABD 中，tan ∠ADC =tan 64°=ACCD=2， CD =2AC①． …………………………………………………………………………………2分 在Rt △ABE 中tan ∠ABE =tan 53°=43AB BE =， BE =34AB ②．…………………………………………………………………………………4分 BE =CD ，得3532224AC AB DE AB AB ++===，………………………………………………6分 解得AB =70cm ，……………………………………………………………………………………7分 AC =AB +BC =AB +DE =70+35=105cm ．答：椅子高AC 约为105cm ．……………………………………………………………………8分 24（本小题满分8分）解：（1）直线1y x =-过点A （1-，m ），得m =－2，………………………………………2分反比例函数ky x=过点A （－1，－2），得k =2， ∴反比例函数解析式为2y x=…………………………………………………………4分（2）点P （n ，－1）是反比例函数2y x=图象上一点，所以n =－2， ………………5分当x =－2时，函数1y x =-中，3y =-，∴F 为（－2，－3），………………6分 y =0时，函数1y x =-中，1x =，∴C 为（1，0），……………………………7分 ∴11(12)3 4.522CEF S CE EF ∆==⨯+⨯=g g ………………………………………8分 25．（本小题满分10分）解：（1）直线BC 是⊙O 的切线，…………………………………………………………1分理由：连接MO ，CO ，∵直线l 与⊙O 相切于点M ， ∴∠PMO =90°，…………………………………………………………………………2分 在△OBC 和△OMC 中，∵BC ＝MC ，CO ＝CO ，BO ＝MO ， ∴△OBC ≌△OMC （SSS ）， ∴∠CBO =∠CMO =90°，………………………………………………………………4分 ∴直线BC 是⊙O 的切线；………………………………………………………………5分 （2）过点O 作ON ⊥AM 于点N ， ∵AB =2BP ，∴PB =BO =MO ，即MO =12PO ， 又∵∠PMO =90°， ∴∠MPO =30°， ∴∠POM =60°，则∠MOA =120°， ∴S 扇形OAM =21206360π==12πcm 2，………………………………………………………7分 ∵∠MOA =120°，ON ⊥AM ， ∴∠MON =∠AON =60°， ∴NO =3cm ，∴MN =CO ，∴AM ，∴S △OAM =12AM·NO =12·2，……………………………………………9分∴阴影部分的面积=12π－cm 2）．……………………………………………10分26．（本小题满分10分）解：（1）设线段BC 所在直线的函数表达式为11y k t b =+，∵37100,0,,233B C ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，∴1111302710033k b k b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得114060k b =⎧⎨=-⎩．∴线段BC 所在直线的函数表达式为4060y t =-．……………………………………………2分设线段CD 所在直线的函数表达式为22y k t b =+，∵()7100,,4,033C D ⎛⎫⎪⎝⎭ ，∴221171003340k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得222080k b =-⎧⎨=⎩．∴线段CD 所在直线的函数表达式为2080y t =-+．…………………………………………4分 （2）∵由CD 的解析式易得乙的速度是20km/h ，再由BC 的解析式易得甲的速度是60km/h ，∴7606013S t t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭甲≤≤，()2014S t t =乙≤≤．…………………………………………6分所画图形如下图：…………………………………………8分（3）当43t =时，803S =乙， 由点（0，80）和（43，803）可以求得丙距A 地的路程S 丙与时间t 的函数关系式为()408002S t t =-+丙≤≤． …………………………………………………9分解得()60601<3S t t =-≤甲与()408002S t t =-+≤≤丙图象交点的横坐标为75， ∴丙出发后75h 与甲相遇． ……………………………………………………10分27．（本小题满分12分）解：（1）…………………………………………………………4分………………………………………4分（2）……………………………………………9分……………………………………………9分（3）…………………………………………………………12分…………………………………11分………………………………………………………13分28．（本小题满分13分）解：。
江苏省南通市中考数学试卷及解析
2016年江苏省南通市中考数学试卷及解析-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One12016年江苏省南通市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）（2016•南通）2的相反数是（）A．﹣2 B．﹣C．2 D．2．（3分）（2016•南通）太阳半径约为696000km，将696000用科学记数法表示为（）A．696×103B．69.6×104C．6.96×105D．0.696×1063．（3分）（2016•南通）计算的结果是（）A． B．C．D．4．（3分）（2016•南通）下列几何图形：其中是轴对称图形但不是中心对称图形的共有（）A．4个B．3个 C．2个 D．1个5．（3分）（2016•南通）若一个多边形的内角和与它的外角和相等，则这个多边形是（）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形6．（3分）（2016•南通）函数y=中，自变量x的取值范围是（）A．x且x≠1 B．x且x≠1 C．x且x≠1 D．x且x≠17．（3分）（2016•南通）如图，为了测量某建筑物MN的高度，在平地上A处测得建筑物顶端M的仰角为30°，向N点方向前进16m到达B处，在B处测得建筑物顶端M的仰角为45°，则建筑物MN的高度等于（）A．8（）m B．8（）m C．16（）m D．16（）m8．（3分）（2016•南通）如图所示的扇形纸片半径为5cm，用它围成一个圆锥的侧面，该圆锥的高是4cm，则该圆锥的底面周长是（）A．3πcm B．4πcm C．5πcm D．6πcm9．（3分）（2016•南通）如图，已知点A（0，1），点B在x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰直角三角形ABC，使点C在第一象限，∠BAC=90°，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，则表示y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．10．（3分）（2016•南通）平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣1，0）、B（3，0）、C （0，﹣1）三点，D（1，m）是一个动点，当△ACD的周长最小时，△ABD的面积为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．（3分）（2016•南通）计算：x3•x2=______．12．（3分）（2016•南通）已知：如图直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB，∠COE=60°，则∠BOD等于______度．13．（3分）（2016•南通）某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的名称是______．14．（3分）（2016•南通）如图Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=2，AC=3，则cosA=______．15．（3分）（2016•南通）已知一组数据5，10，15，x，9的平均数是8，那么这组数据的中位数是______．16．（3分）（2016•南通）设一元二次方程x2﹣3x﹣1=0的两根分别是x1，x2，则x1+x2（x22﹣3x2）=______．17．（3分）（2016•南通）如图，BD为正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC，交DC 与点E，将△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△DCF，若CE=1cm，则BF=______cm．18．（3分）（2016•南通）平面直角坐标系xOy中，已知点（a，b）在直线y=2mx+m2+2（m＞0）上，且满足a2+b2﹣2（1+2bm）+4m2+b=0，则m=______．三、解答题（本大题共10小题，共96分）19．（10分）（2016•南通）（1）计算：|﹣2|+（﹣1）2+（﹣5）0﹣；（2）解方程组：．20．（8分）（2016•南通）解不等式组，并写出它的所有整数解．21．（9分）（2016•南通）某水果批发市场新进一批水果，有苹果、西瓜、桃子和香蕉四个品种，统计后将结果绘制成条形图（如图），已知西瓜的重量占这批水果总重量的40%．回答下列问题：（1）这批水果总重量为______kg；（2）请将条形图补充完整；（3）若用扇形图表示统计结果，则桃子所对应扇形的圆心角为______度．22．（7分）（2016•南通）不透明袋子里装有红色、绿色小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，求两次都摸到红色小球的概率．23．（8分）（2016•南通）列方程解应用题：某列车平均提速60km/h，用相同的时间，该列车提速前行驶200km，提速后比提速前多行驶100km，求提速前该列车的平均速度．24．（9分）（2016•南通）已知：如图，AM为⊙O的切线，A为切点，过⊙O上一点B 作BD⊥AM于点D，BD交⊙O于点C，OC平分∠AOB．（1）求∠AOB的度数；（2）当⊙O的半径为2cm，求CD的长．25．（8分）（2016•南通）如图，将▱ABCD的边AB延长到点E，使BE=AB，连接DE，交边BC于点F．（1）求证：△BEF≌△CDF；（2）连接BD、CE，若∠BFD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形．26．（10分）（2016•南通）平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2+bx+c经过（﹣1，m2+2m+1）、（0，m2+2m+2）两点，其中m为常数．（1）求b的值，并用含m的代数式表示c；（2）若抛物线y=x2+bx+c与x轴有公共点，求m的值；（3）设（a，y1）、（a+2，y2）是抛物线y=x2+bx+c上的两点，请比较y2﹣y1与0的大小，并说明理由．27．（13分）（2016•南通）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，BC=12，CO⊥AB于点O，D是线段OB上一点，DE=2，ED∥AC（∠ADE＜90°），连接BE、CD．设BE、CD的中点分别为P、Q．（1）求AO的长；（2）求PQ的长；（3）设PQ与AB的交点为M，请直接写出|PM﹣MQ|的值．28．（14分）（2016•南通）如图，平面直角坐标系xOy中，点C（3，0），函数y=（k＞0，x＞0）的图象经过▱OABC的顶点A（m，n）和边BC的中点D．（1）求m的值；（2）若△OAD的面积等于6，求k的值；（3）若P为函数y═（k＞0，x＞0）的图象上一个动点，过点P作直线l⊥x轴于点M，直线l与x轴上方的▱OABC的一边交于点N，设点P的横坐标为t，当时，求t 的值．2016年江苏省南通市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）【考点】相反数．【分析】依据相反数的定义求解即可．【解答】解：2的相反数是﹣2．故选：A．【点评】本题主要考查的是相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．2．（3分）【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将696000用科学记数法表示为：6.96×105．故选：C．【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（3分）【考点】分式的加减法．【分析】根据同分母的分式相加的法则：分母不变，分子相加．【解答】解：原式==，故选D．【点评】本题考查了分式的加减，掌握分时加减的法则是解题的关键．4．（3分）【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：正方形和圆既是中心对称图形，也是轴对称图形；等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形．故选C．【点评】本题考查了中心对称图形，掌握好中心对称与轴对称的概念．轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合，中心对称是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．5．（3分）【考点】多边形内角与外角．【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°与多边形的外角和定理列式进行计算即可得解．【解答】解：设多边形的边数为n，根据题意得（n﹣2）•180°=360°，解得n=4．故这个多边形是四边形．故选B．【点评】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，熟记公式与定理是解题的关键．6．（3分）【考点】函数自变量的取值范围．【分析】根据二次根式的被开方数为非负数且分母不为0，列出不等式组，即可求x的范围．【解答】解：2x﹣1≥0且x﹣1≠0，解得x≥且x≠1，故选B．【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，当函数表达式是分式时，要注意考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，要注意考虑二次根式的被开方数大于等于．7．（3分）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】设MN=xm，由题意可知△BMN是等腰直角三角形，所以BN=MN=x，则AN=16+x，在Rt△AMN中，利用30°角的正切列式求出x的值．【解答】解：设MN=xm，在Rt△BMN中，∵∠MBN=45°，∴BN=MN=x，在Rt△AMN中，tan∠MAN=，∴tan30°==，解得：x=8（+1），则建筑物MN的高度等于8（+1）m；故选A．【点评】本题是解直角三角形的应用，考查了仰角和俯角的问题，要明确哪个角是仰角或俯角，知道仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角；并与三角函数相结合求边的长．8．（3分）【考点】圆锥的计算；弧长的计算．【分析】根据题意首先求出圆锥的底面半径，进而利用圆周长公式得出答案．【解答】解：∵扇形纸片半径为5cm，用它围成一个圆锥的侧面，该圆锥的高是4cm，∴圆锥的底面半径为：=3（cm），∴该圆锥的底面周长是：2π×3=6π（cm）．故选：D．【点评】此题主要考查了圆锥的计算以及圆周长公式，正确得出圆锥的底面半径是解题关键．9．（3分）【考点】动点问题的函数图象．【分析】根据题意作出合适的辅助线，可以先证明△ADC和△AOB的关系，即可建立y 与x的函数关系，从而可以得到哪个选项是正确的．【解答】解：作AD∥x轴，作CD⊥AD于点D，若右图所示，由已知可得，OB=x，OA=1，∠AOB=90°，∠BAC=90°，AB=AC，点C的纵坐标是y，∵AD∥x轴，∴∠DAO+∠AOD=180°，∴∠DAO=90°，∴∠OAB+∠BAD=∠BAD+∠DAC=90°，∴∠OAB=∠DAC，在△OAB和△DAC中，，∴△OAB≌△DAC（AAS），∴OB=CD，∴CD=x，∵点C到x轴的距离为y，点D到x轴的距离等于点A到x的距离1，∴y=x+1（x＞0）．故选：A．【点评】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，建立相应的函数关系式，根据函数关系式判断出正确的函数图象．10．（3分）【考点】轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质．【分析】先根据△ACD的周长最小，求出点C关于直线x=1对称的点E的坐标，再运用待定系数法求得直线AE的解析式，并把D（1，m）代入，求得D的坐标，最后计算，△ABD的面积．【解答】解：由题可得，点C关于直线x=1的对称点E的坐标为（2，﹣1），设直线AE的解析式为y=kx+b，则，解得，∴y=﹣x﹣，将D（1，m）代入，得m=﹣﹣=﹣，即点D的坐标为（1，﹣），∴当△ACD的周长最小时，△ABD的面积=×AB×|﹣|=×4×=．故选（C）【点评】本题属于最短路线问题，主要考查了轴对称性质的运用以及待定系数法的运用，解决问题的关键是运用两点之间线段最短这一基本事实．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．（3分）【考点】同底数幂的乘法．【分析】根据同底数的幂的乘法即可求解．【解答】解：原式=x5．故答案是：x5．【点评】本题考查了同底数幂的乘法法则，底数不变指数相加，理清指数的变化是解题的关键．12．（3分）【考点】垂线；对顶角、邻补角．【分析】根据垂线的定义，可得∠ACE的度数，根据余角的性质，可得∠AOC的度数，根据对顶角相等，可得答案．【解答】解：由垂线的定义，得∠AOE=90°，由余角的性质，得∠AOC=∠AOE﹣∠COE=30°，由对顶角相等，得∠BOD=∠AOC=30°，故答案为：30．【点评】本题考查了垂线，利用了垂线的定义，余角的性质，对顶角的性质．13．（3分）【考点】由三视图判断几何体．【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．【解答】解：根据主视图和左视图为长方形判断出是柱体，根据俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆柱，故答案为：圆柱．【点评】考查了由三视图判断几何体，主视图和左视图的大致轮廓为长方形的几何体为柱体，俯视图为圆就是圆柱．14．（3分）【考点】直角三角形斜边上的中线；锐角三角函数的定义．【分析】首先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得AB的长，然后利用余弦函数的定义求解．【解答】解：∵直角△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∴AB=2CD=2×2=4，则cosA==．故答案是：．【点评】本题考查了直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及三角函数的定义，理解性质求得AB的长是关键．15．（3分）【考点】中位数；算术平均数．【分析】根据平均数的定义先求出x的值，再根据中位数的定义即可得出答案．【解答】解：根据平均数的定义可知，（5+10+15+x+9）÷5=8，解得：x=1，把这组数据从小到大的顺序排列为1，5，9，10，15，处于中间位置的那个数是9，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是9；故答案为：9．【点评】本题主要考查了中位数，掌握中位数的定义是本题的关键；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．16．（3分）【考点】根与系数的关系．【分析】由题意可知x22﹣3x2=1，代入原式得到x1+x2，根据根与系数关系即可解决问题．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x﹣1=0的两根分别是x1，x2，∴x12﹣3x1﹣1=0，x22﹣3x2﹣1=0，x1+x2=3，∴x22﹣3x2=1，∴x1+x2（x22﹣3x2）=x1+x2=3，故答案为3．【点评】本题考查根与系数关系、一元二次方程根的定义，解题的关键是灵活运用根与系数的关系定理，属于中考常考题型．17．（3分）【考点】旋转的性质；正方形的性质．【分析】过点E作EM⊥BD于点M，则△DEM为等腰直角三角形，根据角平分线以及等腰直角三角形的性质即可得出DE的长度，再根据正方形以及旋转的性质即可得出线段BF 的长．【解答】解：过点E作EM⊥BD于点M，如图所示．∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAC=45°，∠BCD=90°，∴△DEM为等腰直角三角形．∵BE平分∠DBC，EM⊥BD，∴EM=EC=1cm，∴DE=EM=cm．由旋转的性质可知：CF=CE=1cm，∴BF=BC+CF=CE+DE+CF=1++1=2+cm．故答案为：2+．【点评】本题考查了旋转的性质、正方形的性质以及角平分线的性质，解题的关键是求出线段BC以及CF的长度．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合角平分线以及等腰直角三角形的性质求出线段的长度是关键．18．（3分）【考点】一次函数图象上点的坐标特征．【分析】把b=2ma+m2+2代入a2+b2﹣2（1+2bm）+4m2+b=0，利用非负数的性质，求出a、b（用m表示），再代入b=2ma+m2+2解方程即可解决问题．【解答】解：∵点（a，b）在直线y=2mx+m2+2（m＞0）上，∴b=2ma+m2+2代入a2+b2﹣2（1+2bm）+4m2+b=0，整理得到（b﹣2m）2+（a+m）2=0，∵（b﹣2m）2≥0，（a+m）2≥0，∴a=﹣m，b=2m代入b=2ma+m2+2得到，2m=﹣2m2+m2+2，∴m2+2m﹣2=0，∴m=﹣1，∵m＞0，∴m=﹣1+，故答案为﹣1+【点评】本题考查一次函数图象上点的特征，非负数的性质，完全平方公式等知识，解题的关键是熟练应用非负数的性质解决问题，属于中考填空题中的压轴题．三、解答题（本大题共10小题，共96分）19．（10分）【考点】解二元一次方程组；实数的运算；零指数幂．【分析】（1）先用绝对值，零指数，算术平方根化简最后合并即可；（2）用加减消元法解方程组即可．【解答】解（1）原式=2+1+1﹣2=2，（2）①+②得，4x=4，∴x=1，把x=1代入①得，1+2y=9，∴y=4，∴原方程组的解为．【点评】此题是解二元一次方程组，主要考查了绝对值，零指数幂，二次根式的化简，方程组的解法，解本题的关键是解方程组消元的方法的选择．20．（8分）【考点】一元一次不等式组的整数解；解一元一次不等式组．【分析】根据解不等式组的方法可以求得原不等式组的解集，从而可以求得它的所有整数解．【解答】解：由①，得x＜2，由②，得x＞﹣4，故原不等式组的解集是﹣4＜x＜2，∴这个不等式组的所有整数解是x=﹣3或x=﹣2或x=﹣1或x=0或x=1．【点评】本题考查一元一次不等式组的整数解、解一元一次不等式组，解题的关键是明确解一元一次不等式的方法．21．（9分）【考点】条形统计图；扇形统计图．【分析】（1）设这批水果总重量为mkg，根据西瓜的重量占这批水果总重量的40%，列出方程即可解决．（2）根据苹果的重量=总重量﹣西瓜的重量﹣桃子的重量﹣香蕉西瓜的重量，即可画出图形．（3）根据圆心角=360°×百分比，即可解决问题．【解答】解：（1）设这批水果总重量为mkg，应用m•40%=1600，解得m=4000kg，故答案为4000．（2）∵苹果的重量=总重量﹣西瓜的重量﹣桃子的重量﹣香蕉西瓜的重量=4000﹣1600﹣1000﹣200=1200，条形图如图所示，（3）∵桃子的重量占这批水果总重量的==25%，∴桃子所对应扇形的圆心角为360°×25%=90°，故答案为90．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．22．（7分）【考点】列表法与树状图法．【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到红球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．注意此题属于放回实验．【解答】解：画树状图得：∵共有4种等可能的结果，两次都摸到红球的只有1种情况，∴两次都摸到红球的概率是．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识．注意画树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．23．（8分）【考点】分式方程的应用．【分析】设提速前列车的平均速度为xkm/h，根据提速后，列车用相同时间比提速前多行驶100km，列方程求解．【解答】解：设提速前列车的平均速度为xkm/h，由题意得，=，解得：x=120，经检验，x=120是原分式方程的解，且符合题意．答：提速前列车的平均速度为120km/h．【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．24．（9分）【考点】切线的性质．【分析】（1）由AM为圆O的切线，利用切线的性质得到OA与AM垂直，再由BD与AM垂直，得到OA与BD平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再由OC为角平分线得到一对角相等，以及OB=OC，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到∠BOC=∠OBC=∠OCB=60°，即可得出答案；（2）过点O作OE⊥BD于点E，进而得出四边形OADE是矩形，得出DC的长即可．【解答】解：（1）∵AM为圆O的切线，∴OA⊥AM，∵BD⊥AM，∴∠OAD=∠BDM=90°，∴OA∥BD，∴∠AOC=∠OCB，∴∠OBC=∠OCB，∵OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠BOC，∴∠BOC=∠OCB=∠OBC=60°，∴∠AOB=120°；（2）过点O作OE⊥BD于点E，∵∠BOC=∠OCB=∠OBC=60°，∴△OBC是等边三角形，∴BE=EC=1，∵∠OED=∠EDA=∠OAD=90°，∴四边形OADE是矩形，∴DE=OA=2，∴EC=DC=1．【点评】此题考查了切线的性质，平行线的判定与性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．25．（8分）【考点】矩形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】（1）先根据平行四边形的性质得出AB=CD，AB∥CD，再由BE=AB得出BE=CD，根据平行线的性质得出∠BEF=∠CDF，∠EBF=∠DCF，进而可得出结论；（2）根据平行四边形的性质可得AB∥CD，AB=CD，∠A=∠DCB，再由AB=BE，可得CD=EB，进而可判定四边形BECD是平行四边形，然后再证明BC=DE即可得到四边形BECD是矩形【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∵AB=CD，AB∥CD．∵BE=AB，∴BE=CD．∵AB∥CD，∴∠BEF=∠CDF，∠EBF=∠DCF，在△BEF与△CDF中，∵，∴△BEF≌△CDF（ASA）；（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∠A=∠DCB，∵AB=BE，∴四边形BECD是平行四边形，∴BF=CF，EF=DF，∵∠BFD=2∠A，∴∠BFD=2∠DCF，∴∠DCF=∠FDC，∴DF=CF，∴DE=BC，∴四边形BECD是矩形．【点评】此题主要考查的值矩形的判定及平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的对边相等；对角相等；对角线互相平分．26．（10分）【考点】二次函数综合题．【分析】（1）由抛物线上两点代入抛物线解析式中即可求出b和c；（2）令y=0，抛物线和x轴有公共点，即△≥0，和非负数确定出m的值，（3）将两点代入抛物线解析式中，表示出y1，y2，求出y2﹣y1分情况讨论即可【解答】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过（﹣1，m2+2m+1）、（0，m2+2m+2）两点，∴，∴，即：b=2，c=m2+2m+2，（2）由（1）得y=x2+2x+m2+2m+2，令y=0，得x2+2x+m2+2m+2=0，∵抛物线与x轴有公共点，∴△=4﹣4（m2+2m+2）≥0，∴（m+1）2≤0，∵（m+1）2≥0，∴m+1=0，∴m=﹣1；（3）由（1）得，y=x2+2x+m2+2m+2，∵（a，y1）、（a+2，y2）是抛物线的图象上的两点，∴y1=a2+2a+m2+2m+2，y2=（a+2）2+2（a+2）+m2+2m+2，∴y2﹣y1=[（a+2）2+2（a+2）+m2+2m+2]﹣[a2+2a+m2+2m+2]=4（a+2）当a+2≥0，即a≥﹣2时，y2﹣y1≥0，当a+2＜0，即a＜﹣2时，y2﹣y1＜0．【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，抛物线与x轴的交点，比较代数式的大小，解本题的关键是求出b，用m表示出抛物线解析式，难点是分类讨论．27．（13分）【考点】平行线分线段成比例；绝对值．【分析】（1）由△ABC∽△ACO，得=，由此即可求出OA．（2）如图2中，取BD中点F，CD中点Q，连接PF、QF，在Rt△PFQ中，求出PF，QF 即可解决问题．（3）如图3中，取AD中点G，连接GQ，由PF∥GQ，推出△PMF∽△QMG，推出==，由PM+QM=，可以求出PM，QM，即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，∵CO⊥AB，∴∠AOC=∠ACB=90°，∵∠A=∠A，∴△ABC∽△ACO，∴=，∵AB===13，∴OA==．（2）如图2中，取BD中点F，CD中点Q，连接PF、QF，则PF∥ED，FQ∥BC，PF⊥FQ，且PF=ED=1，FQ=BC=6，在Rt△PFQ中，PQ===．（3）如图3中，取AD中点G，连接GQ，∵GQ∥AC，ED∥AC，PF∥ED，∴PF∥GQ，∴△PMF∽△QMG，∴==，∵PM+QM=，∴PM=，MQ=，∴|PM﹣QM|=．【点评】本题考查三角形相似综合题、平行线的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形以及相似三角形解决问题，属于中考压轴题．28．（14分）【考点】反比例函数综合题．【分析】（1）根据平行四边形的性质确定出B的坐标从而确定出D的坐标，而点A，D 在反比例函数图象上，建立方程求出m，（2）根据三角形OAD的面积是平行四边形OABC面积的一半，确定出n即可；（3）根据平行四边形的性质和双曲线的性质，确定出PM，ON即可．【解答】解：（1）∵点C（3，0），▱OABC的顶点A（m，n），∴B（m+3，n），∴D（+3，n），∵函数y=（k＞0，x＞0）的图象经过▱OABC的顶点A（m，n）和边BC的中点D，∴mn=k，，∴m=2，（2）∵点D是平行四边形BC中点，∴S平行四边形OABC=2S△OAD=12，∵S平行四边形OABC=3×n=12，∴n=4，由（1）知，m=2，∴k=mn=8，（3）如图，由（2）知，k=8，设P（t，），∴PM=，PN=n=4﹣，∵，∴，∴t=．【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积，平行四边形的面积，平行四边形的性质，解本题的关键是求出m，n的值．。
1南通一模2016数学含答案
2016南通一模数学试卷一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. 已知集合A ＝{x|－1<x<2}，B ＝{－1，0，1}，则A ∩B ＝________．2. 若复数z ＝a ＋2i (i 为虚数单位，a ∈R )满足|z |＝3，则a 的值为________．3. 从1，2，3，4这四个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为偶数的概率是________．4. 根据下图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________．5. 为了了解居民家庭网上购物消费情况，某地区调查了10 000户家庭的月消费金额(单位：元)，所有数据均在区间[0，4 500]上，其频率分布直方图如下图所示，则被调查的10 000户家庭中，有________户月消费额在1 000元以下．(第4题 )(第5题 )6. 设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3，S 4＝15，则S 6的值为________．7. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)过点P (1，1)，其一条渐近线方程为y ＝2x ，则该双曲线的方程为________．8. 已知正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱长为1，点E 是棱B 1B 的中点，则三棱锥B 1ADE 的体积为________．9. 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x －b ）， x ≥0，ax （x ＋2）， x<0(a ，b ∈R )为奇函数，则f (a ＋b )的值为________．10. 已知sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝13，则sin ⎝⎛⎭⎫x －5π6＋sin 2⎝⎛⎭⎫π3－x 的值为________．11. 在平面直角坐标系xOy 中，点A (1，0)，B (4，0)．若直线x －y ＋m ＝0上存在点P 使得P A ＝12PB ，则实数m 的取值范围是________．12. 已知边长为6的正三角形ABC ，BD →＝12BC →，AE →＝13AC →，AD 与BE 交于点P ，则PB →·PD →的值为________．13. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与曲线y ＝x 2(x >0)和y ＝x 3(x >0)均相切，切点分别为A (x 1，y 1)和B (x 2，y 2)，则x 1x 2的值为________．14. 已知函数f (x )＝2ax 2＋3b (a ，b ∈R )．若对于任意x ∈[－1，1]，都有|f (x )|≤1成立，则ab 的最大值是________．二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，(a ＋b －c)(a ＋b ＋c)＝ab. (1) 求角C 的大小；(2) 若c ＝2a cos B ，b ＝2，求△ABC 的面积．16. (本小题满分14分)如图，在直四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是菱形，点E 是A 1C 1的中点． 求证：(1) BE ⊥AC ； (2) BE ∥平面ACD 1.(第16题)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)过点A (2，1)，离心率为32.(1) 求椭圆的方程；(2) 若直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆相交于B ，C 两点(异于点A )，线段BC 被y 轴平分，且AB ⊥AC ，求直线l 的方程．(第17题)18. (本小题满分16分)如图，阴影部分为古建筑物保护群所在地，其形状是以O 1为圆心，半径为1 km 的半圆面．公路l 经过点O ，且与直径OA 垂直．现计划修建一条与半圆相切的公路PQ (点P 在直径OA 的延长线上，点Q 在公路l 上)，T 为切点．(1) 按下列要求建立函数关系：①设∠OPQ ＝α(rad )，将△OPQ 的面积S 表示为α的函数； ②设OQ ＝t (km )，将△OPQ 的面积S 表示为t 的函数．(2) 请你选用(1)中的一个函数关系，求△OPQ 的面积S 的最小值．(第18题)已知函数f(x)＝a＋xlnx(a∈R)．(1) 求f(x)的单调区间；(2) 试求f(x)的零点个数，并证明你的结论．20. (本小题满分16分)若数列{a n}中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称{a n}为“等比源数列”．(1) 已知数列{a n}中，a1＝2，a n＋1＝2a n－1.①求{a n}的通项公式；②试判断{a n}是否为“等比源数列”，并证明你的结论．(2) 已知数列{a n}为等差数列，且a1≠0，a n∈Z(n∈N*)．求证：{a n}为“等比源数列”．数学附加题21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．，．并作答．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A. [选修4-1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，圆O 的直径AB ＝10，C 为圆上一点，BC ＝6，过C 作圆O 的切线l ，AD ⊥l 于点D ，且交圆O 于点E ，求DE 的长．(第21-A 题)B. [选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1022，求逆矩阵M －1的特征值．C. [选修4-4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在极坐标系中，已知点A ⎝⎛⎭⎫2，π4，圆C 的方程为ρ＝42sin θ(圆心为点C)，求直线AC 的极坐标方程．D. [选修4-5：不等式选讲](本小题满分10分)已知a ≥0，b ≥0，求证：a 6＋b 6≥ab(a 4＋b 4)．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22. (本小题满分10分)如图，在四棱锥SABCD 中，底面ABCD 为矩形，SA ⊥平面ABCD ，AB ＝1，AD ＝AS ＝2，P 是棱SD 上一点，且SP ＝12PD.(1) 求直线AB 与CP 所成角的余弦值； (2) 求二面角APCD 的余弦值．(第22题)23. (本小题满分10分)已知函数f 0(x )＝x (sinx ＋cosx )，设f n (x )为f n －1(x )的导数，n ∈N *. (1) 求f 1(x )，f 2(x )的表达式；(2) 写出f n (x )的表达式，并用数学归纳法证明．2016南通一模数学试卷数学参考答案1. {0，1}2. ±53. 564. 145. 7506. 637. 2x 2－y 2＝18. 1129. －1 10. 5911. [－22，22] 12.274 13. 43 14. 12415. 解：(1) 在△ABC 中，由(a ＋b －c)(a ＋b ＋c)＝ab ，得a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，即cos C ＝－12.(3分)因为0<C<π，所以C ＝2π3.(6分)(2) (法一)因为c ＝2a cos B ，由正弦定理，得 sin C ＝2sin A cos B ，(8分)因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝sin (A ＋B)，所以sin (A ＋B)＝2sin A cos B ，即sin A cos B －cos A sin B ＝0，即sin (A －B)＝0，(10分) 又－π3<A －B<π3，所以A －B ＝0，即A ＝B ，所以a ＝b ＝2.(12分)所以△ABC 的面积为S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×2×sin 2π3＝ 3.(14分)(法二)由c ＝2a cos B 及余弦定理，得c ＝2a ×a 2＋c 2－b 22ac ，(8分)化简得a ＝b ，(12分)所以，△ABC 的面积为S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×2×sin 2π3＝ 3.(14分)16. 证明：(1) 在直四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中，连接BD 交AC 于点F ，连接B 1D 1交A 1C 1于点E. 因为四边形ABCD 是菱形，所以BD ⊥AC. 因为ABCDA 1B 1C 1D 1为直棱柱．所以BB 1⊥平面ABCD ，又AC ⊂平面ABCD ， 所以，BB 1⊥AC.(3分)又BD ∩BB 1＝B ，BD ⊂平面B 1BDD 1，BB 1⊂平面B 1BDD 1， 所以AC ⊥平面B 1BDD 1.(5分)而BE ⊂平面B 1BDD 1，所以BE ⊥AC.(7分)(通过证明等腰三角形A 1BC 1，得BE ⊥A 1C 1，再由AC ∥A 1C 1得BE ⊥AC ，可得7分) (2) 连接D 1F ，因为四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1为直棱柱， 所以四边形B 1BDD 1为矩形．又E ，F 分别是B 1D 1，BD 的中点， 所以BF ＝D 1E ，且BF ∥D 1E.(9分) 所以四边形BED 1F 是平行四边形． 所以BE ∥D 1F.(11分)又D 1F ⊂平面ACD 1，BE ⊄平面ACD 1， 所以BE ∥平面ACD 1.(14分)17. 解：(1) 由条件知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)离心率为e ＝c a ＝32，所以b 2＝a 2－c 2＝14a 2.又点A(2，1)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)上，所以4a 2＋1b2＝1，(2分)解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝2.所以，所求椭圆的方程为x 28＋y 22＝1.(4分)(2) 将y ＝kx ＋m(k ≠0)代入椭圆方程，得x 2＋4(kx ＋m)2－8＝0， 整理，得(1＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4m 2－8＝0. ① 由线段BC 被y 轴平分，得x B ＋x C ＝－8mk1＋4k 2＝0，因为k ≠0，所以m ＝0.(8分)因为当m ＝0时，B ，C 关于原点对称，设B(x ，kx)，C(－x ，－kx)， 由方程①，得x 2＝81＋4k 2，又因为AB ⊥AC ，A(2，1)，所以AB →·AC →＝(x －2)(－x －2)＋(kx －1)(－kx －1)＝5－(1＋k 2)x 2＝5－8（1＋k 2）1＋4k 2＝0，所以k ＝±12.(12分)由于k ＝12时，直线y ＝12x 过点A(2，1)，故k ＝12不符合题设．所以，此时直线l 的方程为y ＝－12x.(14分)18. 解：(1) ①由题设知，在Rt △O 1PT 中， ∠OPT ＝α，O 1T ＝1， 所以O 1P ＝1sin α.又OO 1＝1，所以OP ＝1sin α＋1.在Rt △OPQ 中，OQ ＝OP tan α＝⎝⎛⎭⎫1＋1sin αtan α＝1＋sin αcos α.(3分)所以，Rt △OPQ 的面积为S ＝12OP ·OQ ＝12⎝⎛⎭⎫1＋1sin α1＋sin αcos α＝（1＋sin α）22sin αcos α＝（1＋sin α）2sin 2α⎛⎭⎫0<α<π2.(5分)(取值范围不写或不正确扣1分)②由题设知，OQ ＝QT ＝t ，O 1T ＝1，且Rt △POQ ∽Rt △PTO 1， 所以OP OQ ＝TP TO 1，即OPt ＝t 2＋OP 2－t 1，化简，得OP ＝2t 2t 2－1(t>1)．(8分)所以，Rt △OPQ 的面积为S ＝12OQ ·OP ＝12t ·2t 2t 2－1＝t 3t 2－1(t>1)．(10分)(取值范围不写或不正确扣1分)(2) 选用(1)中①的函数关系S ＝（1＋sin α）2sin 2α⎝⎛⎭⎫0<α<π2.S ′＝2（1＋sin α）cos αsin 2α－（1＋sin α）22cos 2α（sin 2α）2＝2（1＋sin α）[cos αsin 2α－（1＋sin α）cos 2α]（sin 2α）2＝2（1＋sin α）[sin （2α－α）－（1－2sin 2α）]（sin 2α）2＝2（1＋sin α）2（2sin α－1）（sin 2α）2⎝⎛⎭⎫0<α<π2.(13分) 由S′＝2（1＋sin α）2（2sin α－1）（sin 2α）2＝0⎝⎛⎭⎫0<α<π2，得α＝π6. 列表所以，当α＝π6时，△OPQ 的面积S 的最小值为⎝⎛⎭⎫1＋sin π62sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＝332(km 2)．(16分)(2) 选用(1)中②的函数关系S ＝t 3t 2－1(t>1)．S ′＝3t 2（t 2－1）－t 3·2t （t 2－1）2＝t 2（t ＋3）（t －3）（t 2－1）2(t>1)(13分)由S′＝t 2（t ＋3）（t －3）（t 2－1）2＝0(t>1)，得t ＝ 3.列表所以，当t ＝3)19. 解：(1) 由函数f(x)＝a ＋x ln x(a ∈R )，得f ′(x )＝12x (ln x ＋2)．(2分)令f ′(x )＝0，得x ＝e －2，列表如下：因此，函数f (x )(2) 由(1)可知，f min (x )＝f (e －2)＝a －2e －1.(6分)(i) 当a >2e －1时，由f (x )≥f (e －2)＝a －2e －1>0，得函数f (x )的零点个数为0.(8分)(ii) 当a ＝2e －1时，因f (x )在(e －2，＋∞)上是单调增，在(0，e －2)上单调减，故x ∈(0，e －2)∪(e －2，＋∞)时，f (x )>f (e －2)＝0. 此时，函数f (x )的零点个数为1.(10分)(iii) 当a <2e －1时，f min (x )＝f (e －2)＝a －2e －1<0. ①a ≤0时，因为当x ∈(0，e －2]时，f (x )＝a ＋x ln x <a ≤0，所以，函数f (x )在区间(0，e －2]上无零点；另一方面，因为f (x )在[e －2，＋∞)单调递增，且f (e －2)＝a －2e －1<0，又e －2a ∈(e －2，＋∞)，且f (e －2a )＝a (1－2e －a )>0，此时，函数f (x )在(e －2，＋∞)上有且只有一个零点． 所以，当a ≤0时，函数f (x )零点个数为1.(13分)②0<a <2e －1时，因为f (x )在[e －2，＋∞)上单调递增，且f (1)＝a >0，f (e －2)＝a －2e －1<0，所以，函数f (x )在区间(e －2，＋∞)有且只有1个零点；另一方面，因为f (x )在(0，e －2]上是单调递减，且f (e －2)＝a －2e －1<0.又e －4a ∈(0，e －2)，且f ⎝⎛⎭⎫e －4a ＝a －4a e 2a>a －4a ⎝⎛⎭⎫2a 2＝0，(当x >0时，e x >x 2成立) 此时，函数f (x )在(0，e －2)上有且只有1个零点．所以，当0<a <2e －1时，函数f (x )零点个数为2.综上所述，当a >2e －1时，f (x )的零点个数为0；当a ＝2e －1，或a ≤0时，f (x )的零点个数为1；当0<a <2e －1时，f (x )的零点个数为2.(16分)20. 解：(1) ①由a n ＋1＝2a n －1，得a n ＋1－1＝2(a n －1)，且a 1－1＝1， 所以数列{a n －1}是首项为1，公比为2的等比数列．(2分)所以a n －1＝2n －1.所以，数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1＋1.(4分)②数列{a n }不是“等比源数列”，用反证法证明如下：假设数列{a n }是“等比源数列”，则存在三项a m ，a n ，a k (m<n<k)按一定次序排列构成等比数列．因为a n ＝2n －1＋1，所以a m <a n <a k .(7分)所以a 2n ＝a m ·a k ，得(2n －1＋1)2＝(2m －1＋1)(2k －1＋1)，即22n －m －1＋2n －m ＋1－2k －1－2k －m ＝1. 又m<n<k ，m ，n ，k ∈N *，所以2n －m －1≥1，n －m ＋1≥1，k －1≥1，k －m ≥1.所以22n －m －1＋2n －m ＋1－2k －1－2k －m 为偶数，与22n －m ＋1＋2n －m ＋1－2k －1－2k －m ＝1矛盾． 所以，数列{a n }中不存在任何三项，按一定次序排列构成等比数列． 综上可得，数列{a n }不是“等比源数列”．(10分) (2) 不妨设等差数列{a n }的公差d ≥0.当d ＝0时，等差数列{a n }为非零常数数列，数列{a n }为“等比源数列”． 当d >0时，因为a n ∈Z ，则d ≥1，且d ∈Z ，所以数列{a n }中必有一项a m >0. 为了使得{a n }为“等比源数列”，只需要{a n }中存在第n 项，第k 项(m <n <k )，使得a 2n ＝a m a k 成立，即[a m ＋(n －m )d ]2＝a m [a m ＋(k －m )d ]，即(n －m )[2a m ＋(n －m )d ]＝a m (k －m )成立．(13分) 当n ＝a m ＋m ，k ＝2a m ＋a m d ＋m 时，上式成立．所以{a n }中存在a m ，a n ，a k 成等比数列， 所以，数列{a n }为“等比源数列”．(16分) 附加题21. A. 解：因为圆O 的直径为AB ，C 为圆上一点，所以∠ACB ＝90°，AC ＝AB 2－BC 2＝102－62＝8.因为直线l 为圆O 的切线，所以∠DCA ＝∠CBA .所以Rt △ABC ∽Rt △ACD ，所以AB AC ＝AC AD ＝BC DC.(5分) 又因为AB ＝10，BC ＝6，所以AD ＝AC 2AB ＝325，DC ＝AC ·BC AB ＝245. 由DC 2＝DE ·DA ，得DE ＝DC 2DA ＝⎝⎛⎭⎫2452325 ＝185.(10分) B. 解：设M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则MM －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 02 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b 2a ＋2c 2b ＋2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，2a ＋2c ＝0，2b ＋2d ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，c ＝－1，d ＝12. 所以M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10－112.(5分) M －1的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 01 λ－12＝(λ－1)⎝⎛⎭⎫λ－12＝0，所以λ＝1或12. 所以矩阵M 的逆矩阵M －1的特征值为1或12.(10分) C. 解法一：以极点为原点，极轴所在直线为x 轴建立平面直角坐标系xOy .圆C 的平面直角坐标方程为x 2＋y 2＝42y ，即x 2＋(y －22)2＝8，圆心C (0，22)． A 的直角坐标为(2，2)．(4分)直线AC 的斜率k AC ＝22－20－2＝－1. 所以，直线AC 的直角坐标方程为y ＝－x ＋22，(8分)极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝22，即ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2.(10分) 解法二：在直线AC 上任取一点M (ρ，θ)，不妨设点M 在线段AC 上．由于圆心为C ⎝⎛⎭⎫22，π2，S △OAC ＝S △OCM ＋S △OAM ，(4分) 所以12×22×2sin π4＝12×2×ρsin(θ－π4)＋12×ρ×22sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ，即ρ(cos θ＋sin θ)＝2 2化简，得直线AC 的极坐标方程为ρsin(θ＋π4)＝2.(10分) D. 证明：∵ a 6＋b 6－ab (a 4＋b 4)＝a 5(a －b )－(a －b )b 5(2分)＝(a －b )(a 5－b 5)(4分)＝(a －b )2(a 4＋a 3b ＋a 2b 2＋ab 3＋b 4)(8分)又a ≥0，b ≥0，所以a 6＋b 6－ab (a 4＋b 4)≥0，即a 6＋b 6≥ab (a 4＋b 4)．(10分)22. 解：(1) 如图，分别以AB ，AD ，AS 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系． 则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，2，0)，S(0，0，2)．设P(x 0，y 0，z 0)，由SP →＝13SD →，得(x 0，y 0，z 0－2)＝13(0，2，－2)， ∴ x 0＝0，y 0＝23，z 0＝43，点P 坐标为(0，23，43)． CP →＝⎝⎛⎭⎫－1，－43，43，AB →＝(1，0，0)，(2分) 设直线AB 与CP 所成的角为α，则cos α＝⎪⎪⎪⎪－1×1＋⎝⎛⎭⎫－43×0＋43×01＋⎝⎛⎭⎫－432＋⎝⎛⎭⎫432×1＝34141.(4分)(2) 设平面APC 的一个法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ·AC →＝x 1＋2y 1＝0，m ·AP →＝23y 1＋43z 1＝0. 令y 1＝－2，则x 1＝4，z 1＝1，m ＝(4，－2，1)．(6分)设平面SCD 的一个法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，由于DC →＝(1，0，0)，DS →＝(0，－2，2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ·DC →＝x 2＝0，n ·DS →＝－2y 2＋2z 2＝0，令y 2＝1，则z 2＝1，n ＝(0，1，1)．(8分) 设二面角APCD 的大小为θ，由于cos 〈m ，n 〉＝0×4＋1×（－2）＋1×12×21＝－4242， 所以，由向量m ，n 的方向，得cos θ＝－cos 〈m ，n 〉＝4242.(10分) 23. 解：(1) 因为f n (x)为f n －1(x)的导数，所以f 1(x)＝f′0(x)＝(sin x ＋cos x)＋x(cos x －sin x)＝(x ＋1)cos x ＋(x －1)(－sin x)，(2分)同理，f 2(x)＝－(x ＋2)sin x －(x －2)cos x ．(4分)(2) 由(1)得f 3(x)＝f′2(x)＝－(x ＋3)cos x ＋(x －3)sin x ，(5分) 把f 1(x)，f 2(x)，f 3(x)分别改写为f 1(x)＝(x ＋1)sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋(x －1)cos (x ＋π2)， f 2(x)＝(x ＋2)sin ⎝⎛⎭⎫x ＋2π2＋(x －2)cos (x ＋2π2)， f 3(x)＝(x ＋3)sin ⎝⎛⎭⎫x ＋3π2＋(x －3)cos (x ＋3π2)， 猜测f n (x)＝(x ＋n)sin ⎝⎛⎭⎫x ＋n π2＋(x －n)cos (x ＋n π2) (*)．(7分) 下面用数学归纳法证明上述等式．(i ) 当n ＝1时，由(1)知，等式(*)成立；(ii ) 假设当n ＝k 时，等式(*)成立，即f k (x)＝(x ＋k)sin ⎝⎛⎭⎫x ＋k π2＋(x －k)cos ⎝⎛⎭⎫x ＋k π2. 则当n ＝k ＋1时，f k ＋1(x)＝f′k (x)＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋k π2＋(x ＋k)cos ⎝⎛⎭⎫x ＋k π2＋cos (x ＋k π2)＋(x －k)⎣⎡⎦⎤－sin ⎝⎛⎭⎫x ＋k π2 ＝(x ＋k ＋1)cos ⎝⎛⎭⎫x ＋k π2＋[x －(k ＋1)]⎣⎡⎦⎤－sin ⎝⎛⎭⎫x ＋k π2 ＝[x ＋(k ＋1)]sin ⎝⎛⎭⎫x ＋k ＋12π＋[x －(k ＋1)]cos ⎝⎛⎭⎫x ＋k ＋12π 即当n ＝k ＋1时，等式(*)成立．综上所述，当n ∈N *时，f n (x )＝(x ＋n )sin(x ＋n π2)＋(x －n )cos ⎝⎛⎭⎫x ＋n π2成立．(10分)。
江苏省南通市中考数学真题卷
南通市2016年初中毕业、升学考试试卷解析 数 学一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上） 1． 2的相反数是A ．2-B ．21- C ．2 D ．21 考点：相反数的定义解析： 2的相反数是2- ，选A2． 太阳半径约为696000km ，将696000用科学记数法表示为A ．696×103B ．69.6×104C ．6.96×105D ．0.696×106考点：科学记数法解析：将696000用科学记数法表示为6.96×105，选C 3． 计算x x 23-的结果是 A ．26xB ．x 6C ．x 25D ．x1 考点：分式的减法 解析：x x 23-=x1，选D 4． 下面的几何图形:其中是轴对称图形但不是中心对称图形的共是A ． 4个B ．3个C ．2个D ．1个考点：轴对称图形，中心对称图形，正方形、正多边形和等腰三角形的性质 解析：是轴对称图形但不是中心对称图形有等腰三角形、正五边形，共两个，选C等腰三角形正方形正五边形圆5． 若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形考点：多边形的内角和解析：多边形的外角和为360，多边形的外角和与它的内角和相等，则内角和为360，为四边形，选B 6． 函数y =112--x x 中，自变量x 的取值范围是 A ．21≤x 且1≠x B ．21≥x 且1≠xC ．21>x 且1≠x D ．21<x 且1≠x 考点：二次根式的意义，分式的意义，函数自变量的取值范围 解析：由⎩⎨⎧≠-≥-01012x x ，解得21≥x 且1≠x ，选B7． 如图为了测量某建筑物MN 的高度，在平地上A 处测得建筑物 顶端M 的仰角为30°，沿N 点方向前进16 m 到达B 处，在B 处 测得建筑物顶端M 的仰角为45°，则建筑物MN 的高度等于A ．8（3＋1）mB ． 8 (3—1) mC ． 16 (3＋1) mD ．16（3－1）m考点：锐角三角函数 解析：由1645tan 30tan =-MNMN ，得)13(81316+=-=MN m ，选A 8． 如图所示的扇形纸片半径为5 cm ，用它围成一个圆锥的侧面，该圆锥的高是4 cm ，则该圆锥的底面周长是A ．π3 cmB ．π4 cmC ．π5 cmD ．π6 cm（第8题）考点：函数图象，数形结合思想解析：过C 点作y CD ⊥轴，易得ACD ∆≌BAO ∆全等；OB AD =∴设点B 的横坐标为x ，点C 的纵坐标为y ；则x y =-1（0>x ）；1+=x y （0>x ），故选A10．平面直角坐标系xOy 中，已知)0,1(-A 、)0,3(B 、)1,0(-C 三点，是一个动点，当ACD ∆周长最小时，ABD ∆的面积为A ．31 B ．32 C ．34 D ．38考点：最短路径问题解析：D 为直线1=x 上一动点，点A 、B 关于直线1=x 对称，连接BC 直线BC 方程为：131-=x y ，右图为ACD ∆周长最小，)32,1(-D 此时 ABD ∆的面积为3443221=⨯⨯，选C二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上） 11．计算25x x ⋅= ▲ ． 考点：幂的运算 解析：25x x ⋅=7x12．已知，如图，直线AB ，CD 相交于点O ，OE ⊥AB ，∠COE ＝60°，则∠BOD 等于 ▲ 度． 考点：相交线，对顶角，垂直，余角解析：OE ⊥AB ，∠COE ＝60°，则∠BOD=∠AOC=30EDCB A O（第12题）13．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的名称是 ▲ ． 考点：三视图，圆柱解析：由几何体的三视图可知，该几何体为圆柱14．如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，已知CD ＝2，AC ＝3，则cos的值是▲ ． 考点：直角三角形斜边中线等于斜边的一半，锐角三角函数 解析：直角三角形斜边中线等于斜边的一半,CD ＝2，则AB=4，cos A=43=AB AC15．已知一组数据5，10，15，x ，9的平均数是8，那么这组数据的中位数是 ▲ ． 考点：平均数，中位数 解析：85915105=++++x ，1=x ，这组数据的中位数是916．设一元二次方程0132=--x x 的两根分别是1x ，2x ，则)3(22221x x x x -+= ▲考点：一元二次方程根的概念，一元二次方程根与系数的关系解析：2x 是一元二次方程0132=--x x 的根，∴013222=--x x ，13222=-x x ， 则3)3(2122221=+=-+x x x x x x17．如图，BD 为正方形ABCD 的对角线，BE 平分DBC ∠，交DC 于点E ，将BCE ∆绕点C顺时针旋转90得到DCF ∆，若CE=1cm 考点：角平分线的性质，勾股定理，正方形 解析：BE 平分DBC ∠，则GE=CE=1cm DG=GE=1cm ；2=DE cm,BC=CD=1)2(+cm;)22(+=∴BF cm18．平面直角坐标系xOy 中，已知点),(b a 在直线222++=m mx y （0>m ）上，且满足ABD（第14题）04)21(2222=+++-+b m bm b a ，则=m ▲ ．考点：配方法；求根公式解析：已知点),(b a 在直线222++=m mx y （0>m ）上，222++=∴m ma b （＊）代入04)21(2222=+++-+b m bm b a 整理得：0)()2(22=++-m a m b 解得⎩⎨⎧=-=mb ma 2回代到（＊）式得22222++-=m m m ，即0222=-+m m ，解得31±-=m ，又0>m ，13-=∴m三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本小题满分10分）（1）计算4)5()1(202--+-+-；（2） 解方程组：⎩⎨⎧-=-=+52392y x y x考点：（1）非零数的零次幂等于1，实数运算 （2）二元一次方程的解法 解析：（1）原式=22112=-++（2）①+②，得：1,44==x x ；代入①，得4=y ，⎩⎨⎧==∴4,1y x20．（本小题满分8分）解不等式组⎩⎨⎧+>++<-71533315x x x x ，并写出它的所有所有整数解.考点：一元一次不等式组解析：解：由①，得2<x ，由②，得4->x ；所以不等式组的解集为24<<-x ；它的整数解1,0,1,2,3---某水果批发市场新进一批水果，有苹果、西瓜、桃子和香蕉四个品种，统计后将结果绘制成条形图（如图）．已知西瓜的重量占这批水果总重量的回答下列问题：（1）这批水果总重量为 ▲ kg ； （2）请将条形图补充完整；（3）若用扇形图表示统计结果，则桃子 所对应扇形的圆心角为 ▲ 度． 考点：条形图、扇形图，条形图的画法，统计 解析：（1）4000（2）1200200100016004000=---（3）9022．（本小题满分7分）在不透明的袋子里装有红色、绿色小球各一个，除颜色外无其他差别.随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随即摸出一个，求两次都摸到红色小球的概率. 考点：树形图,随机事件等可能性 解析：画出树形图如下：从树形图看出，所有可能出现的结果共有4种，两次都摸到红色小球的情况有1种.∴两次都摸到红色小球的概率为41 （第21题）重量（kg 品种重量（kg（第21题）第一次第二次 红红 绿 绿红绿列方程解应用题：某列车平均提速h km /60,用相同的时间，该列车提速前行使km 200，提速后比提速前多行使 km 100,求提速前该列车的平均速度. 考点：二元一次方程应用题解析：设提速前该列车的平均速度为v h km /，行使的相同时间为t h由题意得：⎩⎨⎧=+=300)60(,200t v vt 解得：⎪⎩⎪⎨⎧==35120t v答：提速前该列车的平均速度为h km / 120 24．（本小题满分9分）已知：如图，AM 为⊙O 的切线，A 为切点，过⊙O 上一点B 作AM BD ⊥于点D ，BD 交⊙ O 于C ，OC 平分AOB ∠ （1）求AOB ∠的度数；（2）若⊙O 的半径为2 cm ，求线段CD 的长.考点：圆的切线，角平分线，直线平行，三角形的内角和。
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2016年江苏省南通市通州区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（3分）计算6÷（﹣2）的结果是（）A．﹣3 B．﹣ C．3 D．﹣122．（3分）中国国家图书馆是亚洲最大的图书馆，截止到今年初馆藏图书达3119万册，将3119万用科学记数法表示为（）A．31.19×106B．3.119×107C．3.119×108D．0.3119×1083．（3分）计算（﹣a）2•a3的结果是（）A．a5B．a6C．﹣a5 D．﹣a64．（3分）如图，∠1=50°，如果AB∥DE，那么∠D=（）A．40°B．50°C．130° D．140°5．（3分）用5个完全相同的小正方体组合成如图所示的立方体图形，它的主视图为（）A．B．C．D．6．（3分）已知一块扇形铁皮，用它做一个圆锥形烟囱帽（接缝忽略不计），烟囱帽的底面圆的直径为80cm，母线长为50cm，则所需扇形铁皮的圆心角为（）A．144°B．288°C．120° D．216°7．（3分）在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们除了颜色不同外，其余都相同，其中有4个白球，每次试验前，将盒子中的小球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中．大量重复上述试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4，那么可以推算出n大约是（）A．10 B．14 C．16 D．408．（3分）如图，表示甲、乙两人以相同路线前往离学校12千米的地方参加植树活动．甲、乙两人前往目的地所行驶的路程s（km）随时间t（min）变化的函数图象，则每分钟乙比甲多行驶的路程为（）A．1.5千米 B．2千米C．0.5千米 D．1千米9．（3分）如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若CD=AC，∠A=50°，则∠ACB的度数为（）A．90°B．95°C．100° D．105°10．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CM为AB边上的中线，AN⊥CM，交BC于点N．若CM=3，AN=4，则tan∠CAN的值为．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11．（3分）一组数据1，4，﹣3，3，4的众数为．12．（3分）计算（a+b）（a2﹣ab+b2）=．13．（3分）不等式的解集是．14．（3分）点P（﹣3，2）关于直线x=1对称的点的坐标为．15．（3分）关于x、y的二元一次方程组，则4x2﹣4xy+y2的值为．16．（3分）如图，利用标杆BE测量建筑物的高度．若标杆BE的高为1.2m，测得AB=1.6m，BC=12.4m，则楼高CD为m．17．（3分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D．若AB=，∠BAC=30°，则图中阴影部分的面积为．18．（3分）如图，矩形ABCD中，AB=2AD，点A（0，1），点C、D在反比例函数y=（k＞0）的图象上，AB与x轴的正半轴相交于点E，若E为AB的中点，则k的值为．三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（10分）计算：（1）﹣+﹣+2cos60°；（2）（m+2﹣）÷．20．（8分）已知关于x的方程x2+px+q=0根的判别式的值为0，且x=1是方程的一个根，求p和q的值．21．（8分）几个小伙伴打算去某景区游玩，他们准备用360元钱购买门票．下面是其中两人的对话：根据对话中的信息，请你求出这些小伙伴的人数．22．（8分）如图，AE是⊙O的直径，半径OD垂直于弦AB，垂足为C，AB=8cm，CD=2cm，求BE的长．23．（10分）学校为了解学生“自主学习、合作交流”的情况，对某班部分同学进行了一段时间的跟踪调查，将调查结果（A：特别好；B：好；C：一般；D：较差）绘制成以下两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）补全条形统计图；（2）扇形统计图中，D类所占圆心角为度；（3）学校想从被调查的A类（1名男生2名女生）和D类（男女生各占一半）中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用画树形图或列表的方法求所选的两位同学恰好是一男一女的概率．24．（8分）如图，已知∠ABM=37°，AB=20，C是射线BM上一点．（1）在下列条件中，可以唯一确定BC长的是；（填写所有符合条件的序号）①AC=13；②tan∠ACB=；③连接AC，△ABC的面积为126．（2）在（1）的答案中，选择一个作为条件，画出草图，求BC．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）25．（8分）如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，交BF于点C，BD平分∠ABC，交AE 于点D，连接CD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB=5，AC=6，求AE，BF之间的距离．26．（10分）已知代数式﹣2x+4（1）﹣2x+4x的函数（填“是”或“不是”）；（2）当x取3﹣a时，请你以a的取值为横坐标，对应的﹣2x+4的值为纵坐标，画出其图象；（3）若（2）中的图象与横轴、纵轴分别相交于点A、B，点P在线段AB上（不与A，B重合），P到横轴、纵轴的距离分别为d1、d2，求d1，d2的取值范围．27．（13分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△APQ，点C的对应点Q落在AB边上．连接BP，过点P作PH垂直于射线CA，垂足为H．（1）如图1，若点H与点A重合，求∠BPQ的度数；（2）如图2，若点H在CA边上（不与点A重合），BC=x，请用含x的代数式表示AH；（3）若∠APB=∠PAH，求AB的长．28．（13分）已知抛物线y=ax2+bx﹣3a的对称轴为直线x=1，且经过点（0，3）．（1）求a，b的值；（2）若抛物线与直线y=﹣（x﹣3）（m≠0）两交点的横坐标为x1，x2，n=x1+x2﹣2，P（1，y0），Q（x0，）两点在动点M（m，n）所形成的曲线上，求直线PQ的解析式；（3）若抛物线与x轴交于A，B两点，C是x轴下方抛物线上的一点，∠ACB=45°，求点C的坐标．2016年江苏省南通市通州区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（3分）计算6÷（﹣2）的结果是（）A．﹣3 B．﹣ C．3 D．﹣12【解答】解：6÷（﹣2）=﹣3，故选：A．2．（3分）中国国家图书馆是亚洲最大的图书馆，截止到今年初馆藏图书达3119万册，将3119万用科学记数法表示为（）A．31.19×106B．3.119×107C．3.119×108D．0.3119×108【解答】解：3119万用科学记数法表示为3.119×107，故选：B．3．（3分）计算（﹣a）2•a3的结果是（）A．a5B．a6C．﹣a5 D．﹣a6【解答】解：（﹣a）2•a3=a2•a3=a5．故选A．4．（3分）如图，∠1=50°，如果AB∥DE，那么∠D=（）A．40°B．50°C．130° D．140°【解答】解：∵∠1与∠2为对顶角，∴∠1=∠2=50°，∵AB∥DE，∴∠2+∠D=180°，则∠D=130°，故选C5．（3分）用5个完全相同的小正方体组合成如图所示的立方体图形，它的主视图为（）A．B．C．D．【解答】解：从正面看易得第一层有1个正方形，第二层有3个正方形．故选A．6．（3分）已知一块扇形铁皮，用它做一个圆锥形烟囱帽（接缝忽略不计），烟囱帽的底面圆的直径为80cm，母线长为50cm，则所需扇形铁皮的圆心角为（）A．144°B．288°C．120° D．216°【解答】解：设圆心角的度数为n°，故80π=，解得n=288°．故选B．7．（3分）在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们除了颜色不同外，其余都相同，其中有4个白球，每次试验前，将盒子中的小球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中．大量重复上述试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4，那么可以推算出n大约是（）A．10 B．14 C．16 D．40【解答】解：∵通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.4，∴=0.4，解得：n=10．故选A．8．（3分）如图，表示甲、乙两人以相同路线前往离学校12千米的地方参加植树活动．甲、乙两人前往目的地所行驶的路程s（km）随时间t（min）变化的函数图象，则每分钟乙比甲多行驶的路程为（）A．1.5千米 B．2千米C．0.5千米 D．1千米【解答】解：由图可知甲的行驶速度为：12÷24=0.5（km/min），乙的行驶速度为：12÷（18﹣6）=1（km/min），故每分钟乙比甲多行驶的路程为0.5km，故选：C．9．（3分）如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若CD=AC，∠A=50°，则∠ACB的度数为（）A．90°B．95°C．100° D．105°【解答】解：∵CD=AC，∠A=50°，∴∠ADC=∠A=50°，根据题意得：MN是BC的垂直平分线，∴CD=BD，∴∠BCD=∠B，∴∠B=∠ADC=25°，∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠B=105°．故选D．10．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CM为AB边上的中线，AN⊥CM，交BC于点N．若CM=3，AN=4，则tan∠CAN的值为．【解答】解：∵∠ACB=90°，CM为AB边上的中线，∴AB=2CM=6，∴∠B=∠MCB，∵AN⊥CM，∴∠MCB=∠CAN，∴∠B=∠CAN，∴△CAN∽△CBA，∴==，∴tan∠CAN==．故答案为：．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11．（3分）一组数据1，4，﹣3，3，4的众数为4．【解答】解：这组数据中，4出现的次数最多，故众数为4．故答案为：4．12．（3分）计算（a+b）（a2﹣ab+b2）=a3+b3．【解答】解：（a+b）（a2﹣ab+b2）=a3﹣a2b+ab2+a2b﹣ab2+b3=a3+b3．故答案为：a3+b3．13．（3分）不等式的解集是x≤8．【解答】解：由原不等式，得6+3x≥4x﹣2，移项，得﹣x≥﹣8，化系数为1，得x≤8．故答案是：x≤8．14．（3分）点P（﹣3，2）关于直线x=1对称的点的坐标为（5，2）．【解答】解：点P（﹣3，2）关于直线x=1对称的点的坐标为（5，2），故答案为：（5，2）．15．（3分）关于x、y的二元一次方程组，则4x2﹣4xy+y2的值为25．【解答】解：，①+②得：2x﹣y=5，则原式=（2x﹣y）2=25．故答案为：25．16．（3分）如图，利用标杆BE测量建筑物的高度．若标杆BE的高为1.2m，测得AB=1.6m，BC=12.4m，则楼高CD为10.5m．【解答】解：∵EB∥CD，∴△ABE∽△ACD，∴=，即=，∴CD=10.5（米）．故答案为10.5．17．（3分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D．若AB=，∠BAC=30°，则图中阴影部分的面积为﹣π．【解答】解：AD交⊙O于E，连结OE、OC、CE，如图，∵OA=OC，∴∠BAC=∠ACO=30°，∵CD为切线，∴OC⊥CD，∵AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠DAC=∠ACO=30°，∴∠EOC=2∠DAC=60°，∵OC=OE，∴△OCE为等边三角形，∴∠EOC=∠OCE=60°，CE=OC=AB=在Rt△CDE中，∵∠DCE=90°﹣60°=30°，∴DE=CE=，CD=DE=，∴S阴影部分=S梯形DEOC﹣S扇形EOC=×（+）×﹣=﹣π．故答案为﹣π．18．（3分）如图，矩形ABCD中，AB=2AD，点A（0，1），点C、D在反比例函数y=（k＞0）的图象上，AB与x轴的正半轴相交于点E，若E为AB的中点，则k的值为．【解答】解：如图，作DF⊥y轴于F，过B点作x轴的平行线与过C点垂直与x 轴的直线交于G，CG交x轴于K，作BH⊥x轴于H，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，∴∠DAF+∠OAE=90°，∵∠AEO+∠OAE=90°，∴∠DAF=∠AEO，∵AB=2AD，E为AB的中点，∴AD=AE，在△ADF和△EAO中，∴△ADF≌△EAO（AAS），∴DF=OA=1，AF=OE，∴D（1，k），∴AF=k﹣1，同理；△AOE≌△BHE，△ADF≌△CBG，∴BH=BG=DF=OA=1，EH=CG=OE=AF=k﹣1，∴OK=2（k﹣1）+1=2k﹣1，CK=k﹣2∴C（2k﹣1，k﹣2），∴（2k﹣1）（k﹣2）=1•k，解得k1=，k2=，∵k﹣1＞0，∴k=故答案是：．三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（10分）计算：（1）﹣+﹣+2cos60°；（2）（m+2﹣）÷．【解答】解：（1）原式=﹣3+2﹣﹣3+2×=﹣4；（2）原式=•=2（m+3）=2m+6．20．（8分）已知关于x的方程x2+px+q=0根的判别式的值为0，且x=1是方程的一个根，求p和q的值．【解答】解：由已知得：，解得：．21．（8分）几个小伙伴打算去某景区游玩，他们准备用360元钱购买门票．下面是其中两人的对话：根据对话中的信息，请你求出这些小伙伴的人数．【解答】解：设门票的价格为x元，根据题意，得+2=．解得x=60．经检验x=60是原方程的根且符合题意．则小伙伴的人数为360÷6+2=8（人），答：小伙伴的人数为8人．22．（8分）如图，AE是⊙O的直径，半径OD垂直于弦AB，垂足为C，AB=8cm，CD=2cm，求BE的长．【解答】解：∵半径OD垂直于弦AB，垂足为C，AB=8cm，∴AC=4cm，设CO=xcm，则DO=AO=（x+2）cm，在Rt△AOC中：AO2=CO2+AC2，∴（x+2）2=42+x2，解得：x=3，∵AO=EO，AC=CB，∴BE=2CO=6cm．23．（10分）学校为了解学生“自主学习、合作交流”的情况，对某班部分同学进行了一段时间的跟踪调查，将调查结果（A：特别好；B：好；C：一般；D：较差）绘制成以下两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）补全条形统计图；（2）扇形统计图中，D类所占圆心角为36度；（3）学校想从被调查的A类（1名男生2名女生）和D类（男女生各占一半）中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用画树形图或列表的方法求所选的两位同学恰好是一男一女的概率．【解答】解：（1）∵B有10人，占50%，∴总人数：10÷50%=20（人），A占：3÷20=15%，D占：1﹣25%﹣15%﹣50%=10%，∴C类：20×25%=5人，D类：20×10%=2人，补全统计图：（2）D类所占圆心角为：10%×360°=36°；故答案为：36；（3）画树状图得：∵共有6种等可能的结果，所选的两位同学恰好是一男一女的有3种情况，∴所选的两位同学恰好是一男一女的概率为：=．24．（8分）如图，已知∠ABM=37°，AB=20，C是射线BM上一点．（1）在下列条件中，可以唯一确定BC长的是②③；（填写所有符合条件的序号）①AC=13；②tan∠ACB=；③连接AC，△ABC的面积为126．（2）在（1）的答案中，选择一个作为条件，画出草图，求BC．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）【解答】解：（1）②③；（2）方案一：选②作AD⊥BC于D，则∠ADB=∠ADC=90°．在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∴AD=AB•sinB=12，BD=AB•cosB=16，在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，∴CD==5，∴BC=BD+CD=21．方案二：选③作CE⊥AB于E，则∠BEC=90°，=AB•CE得CE=12.6，由S△ABC在Rt△BEC中，∵∠BEC=90°，∴BC==21．25．（8分）如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，交BF于点C，BD平分∠ABC，交AE 于点D，连接CD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB=5，AC=6，求AE，BF之间的距离．【解答】（1）证明：∵AE∥BF，∴∠ADB=∠DBC，∠DAC=∠BCA，∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，∴∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC，∴∠BAC=∠ACB，∠ABD=∠ADB，∴AB=BC，AB=AD∴AD=BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD=AB，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：过A作AM⊥BC于M，则AM的长是AE，BF之间的距离，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO=OC=AC=×6=3，∵AB=5，∴在Rt△AOB中，由勾股定理得：BO=4，∴BD=2BO=8，∴菱形ABCD的面积为×AC×BD=×6×8=24，∵四边形ABCD是菱形，∴BC=AB=5，∴5×AM=24，∴AM=，即AE，BF之间的距离是．26．（10分）已知代数式﹣2x+4（1）﹣2x+4是x的函数（填“是”或“不是”）；（2）当x取3﹣a时，请你以a的取值为横坐标，对应的﹣2x+4的值为纵坐标，画出其图象；（3）若（2）中的图象与横轴、纵轴分别相交于点A、B，点P在线段AB上（不与A，B重合），P到横轴、纵轴的距离分别为d1、d2，求d1，d2的取值范围．【解答】解：（1））﹣2x+4是x的函数．故答案为：是．（2）由题意y=﹣2（3﹣a）+4，y=2a﹣2，图象如图所示，（3）由图象可知，0＜d1＜2，0＜d2＜1．27．（13分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△APQ，点C的对应点Q落在AB边上．连接BP，过点P作PH垂直于射线CA，垂足为H．（1）如图1，若点H与点A重合，求∠BPQ的度数；（2）如图2，若点H在CA边上（不与点A重合），BC=x，请用含x的代数式表示AH；（3）若∠APB=∠PAH，求AB的长．【解答】解：（1）由旋转得，△ABC≌APQ，∴∠PAQ=∠BAC，AP=AB，AQ=AC，PQ=BC，PQ⊥AB，∵PH⊥AC，∴∠PAC=90°，∴∠PAQ=∠BAC=45°，∴△APQ为等腰直角三角形，∴∠APQ=45°，∵AP=AB，∴∠APB=∠ABP=67.5°，∴∠BPQ=∠APB﹣∠APQ=22.5°，（2）由旋转得，AQ=AC=1，PQ=BC=x，∴AB=，设PH交AB于M，∴△ABC∽△PMQ，∴，∴，∴MQ=x2，∴AM=1﹣x2，∵△AMH∽△ABC，∴，∴，∴AH=，（3）①当点H在线段AC上时，如图1，延长PD交AC延长线于D，∴∠PAB=∠BAC=∠PAH，∠APB=∠ABP，∵∠PAH=∠APB，∴∠APB=∠ABP=2∠PAB，∴∠PAB=∠BAC=36°，∠APB=∠PAH=72°，∴∠D=∠BAC=36°，∴△PAB和△ABD是等腰三角形，∵BC⊥AC，∴PD=AD=2AC=2，设AB=x，∵△APB∽△DPA，∴，∴，∴PB=x2，∵BD=PD﹣PB，∴x=2﹣x2，∴x=﹣1+或x=﹣1﹣（舍），∴AB=﹣1+．②当点H在射线CA上时，如图2，∵∠APB=∠PAH，∴PB∥HC，∵∠H=∠C=90°，PA=AB，∴△PAH≌△BAC，∴AH=AC=1，PH=BC，由旋转知，∠PAQ=∠BAC，AQ=AC=1，PQ=BC，∴PH=PQ，∵PA=PA，∴Rt△PAH≌Rt△PAQ，∴∠PAH=∠PAQ，∴∠BAC=60°，∵AC=1，∴AB=2．即：AB的长为228．（13分）已知抛物线y=ax2+bx﹣3a的对称轴为直线x=1，且经过点（0，3）．（1）求a，b的值；（2）若抛物线与直线y=﹣（x﹣3）（m≠0）两交点的横坐标为x1，x2，n=x1+x2﹣2，P（1，y0），Q（x0，）两点在动点M（m，n）所形成的曲线上，求直线PQ的解析式；（3）若抛物线与x轴交于A，B两点，C是x轴下方抛物线上的一点，∠ACB=45°，求点C的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣3a经过点（0，3），∴﹣3a=3，∴a=﹣1∵抛物线y=ax2+bx﹣3a的对称轴为直线x=1，∴﹣=1，∴b=2，即：a=﹣1，b=2；（2）由（1）有，a=﹣1，b=1，∴抛物线y=﹣x2+2x+3，∵抛物线与直线y=﹣（x﹣3）（m≠0）两交点的横坐标为x1，x2，∴﹣x2+2x+3=﹣（x﹣3），∴x1=3，x2=﹣1，∵n=x1+x2﹣2，∴n=3+﹣1﹣2=，∵P（1，y0），Q（x0，）两点在动点M（m，n）所形成的曲线上，∴P （1，1），Q （2，），∴直线PQ 的解析式为y=﹣x +；（3）∵抛物线y=﹣x 2+2x +3与x 轴交于A ，B 两点， ∴A （﹣1，0），B （3，0）， 设点C （c ，d ），∴AB=4，AC=，BC=，∴S △ABC =AB ×|yc |=×4×|d |=2|d |，S △ABC =AC ×BCsin ∠ACB=××，∴2|d |=××①，∵点C 在抛物线y=﹣x 2+2x +3上， ∴d=﹣c 2+2c +3②①②联立解得，d=0（舍）或d=﹣3， ∴c=1±，∴C （1﹣，﹣3）或C （1+，﹣3）赠送：初中数学几何模型举例【模型四】 几何最值模型： 图形特征：P ABl运用举例：1. △ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为AP 的中点，则MF 的最小值为2.如图，在边长为6的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为AB 的中点，F 为AC 上一动点，则EF +BF 的最小值为_________。