数值分析4-2
数值分析-第4章 数值积分和数值微分
A0+A1=2 A0x0+A1x1=0 A0x02+A1x12=2/3 A0x03+A1x13=0
A0 A1 1 解得: 1 x 0 x1 3
求积公式为
1 1 1 f ( x)dx f ( ) f ( ) 3 3
x f(x)
数值分析
1 4
2 4.5
3 6
4 8
5 8.5
1
一、数值积分的基本概念 求积节点 数值积分定义如下：是离散点上的函数值的线性组合
I [ f ] f ( x)dx I n [ f ] Ai f ( xi )
b a i 0 n
称为数值积分公式
称为求积系数,与f (x)无关,与积分区间和求积节点有关
b a
Rn ( x) dx
定理：形如 Ak f ( xk ) 的求积公式至少有 n 次代数精度
A 该公式为插值型（即： k a l k ( x)dx ）
数值分析
b
5
例1 试确定参数A0,A1,A2,使求积公式
1 f ( x)dx A0 f (1) A1 f (0) A2 f (1)
证明 因为Simpson公式对不高于三次的多项式精确成立。即
b
a
p 2 ( x)dx
ba ab [ p 2 (a) 4 p 2 ( ) p 2 (b)] 6 2
构造三次多项式H3(x),使满足 H3(a)=(a) ,H3(b)=(b),
H 3 (( a b) / 2) f (( a b) / 2), H 3 (( a b) / 2) f (( a b) / 2), 这时插值误差为
1
数值分析公式、定理等
第一章 绪论1. *x ＝ n 21k a a a .010⨯±，如果｜*x －x|≤0.5n k 10-⨯（这里n 是使此式成立的最大正整数），则称*x 为x 的具有n 位有效数字的近似值。
2．定理：设x 的近似值*x 有（1-1）的表示式： （１）如果*x 有n 位有效数字，则n 1110a 21|x ||x x |-**⨯≤- （２）如果n 1110)1a (21|x ||x x |-**⨯+≤-，则*x 至少有n 位有效数字。
第二章 非线性方程根求解1. （零点存在定理）如果f(x)在[a,b]上连续，使f(a)⋅f(b)<0，则必存在α∈(a,b)，使f(α)=0。
2.二分法的误差： |1k 1k k k 2ab |x x ||x x +-*-=-≤- 3. 局部收敛性：设α是f(x)=0的根，若存在α的一个邻域∆，当迭代初值属于∆时，迭代法得到的序列{k x }收敛到α，则称该迭代法关于根α具有局部收敛性。
4. 收敛速度：设i x 为第i 次迭代值，α是f(x)=0的根，令α-=εi i x ，且假设迭代收敛，即α=∞→i i x lim 。
若存在实数P ≥1，使 c ||||limpi 1i i =εε+∞→≠0 ，则称此方法关于根α具有P阶收敛速度。
C 称为渐近误差常数，渐近误差常数C 与f(x)有关。
C ≠0保证了P 的唯一性。
对于特殊的函数，C 可能为零，此时，由这个函数针对此方法迭代产生的序列收敛得更快。
一般情况下，P 越大，收敛就越快。
当P=1时，我们称为线性收敛。
P>1，称为超线性收敛。
P=2，称为平方收敛。
5.牛顿迭代法：)x (f )x (f x x k k k 1k '-=+定理3：如果方程f(x)=0的根α是单根，且在α的某领域内f(x)具有二阶的连续导数,则Newton 迭代法必是局部收敛的 且 )(f 2)(f lim2i1i i α'α''-=εε+∞→（即具有二阶收敛速度）定理4：如果α是方程f(x)=0的r 重根（r>1），且f(x)在α的某邻域内具有r 阶连续导数，则Newton 法具有局部收敛性，且具有线性收敛速度。
数值分析 教案
数值分析教案教案标题：数值分析教学目标：1. 了解数值分析的基本概念和原理2. 掌握数值分析的常用方法和技巧3. 能够应用数值分析解决实际问题4. 培养学生的数学思维和分析能力教学内容：1. 数值分析的基本概念和分类2. 插值与逼近3. 数值微分与数值积分4. 常微分方程的数值解法5. 线性代数的数值方法6. 数值分析在实际问题中的应用教学过程：1. 导入：通过引入一个实际问题，引起学生对数值分析的兴趣和认识2. 理论讲解：介绍数值分析的基本概念和分类，以及常用的数值分析方法和技巧3. 案例分析：通过具体的案例，演示数值分析在实际问题中的应用过程，引导学生理解和掌握数值分析的解决方法4. 练习与讨论：设计一些练习题，让学生在课堂上进行练习，并进行讨论和交流，加深对数值分析的理解5. 总结与拓展：总结本节课的重点内容，引导学生进行拓展思考，鼓励他们应用数值分析解决更多实际问题教学手段：1. 讲授2. 案例分析3. 讨论交流4. 练习与实践5. 总结与拓展教学评价：1. 课堂表现：学生是否积极参与讨论和练习，是否能够理解和掌握数值分析的基本概念和方法2. 作业与考试：设计一些作业和考试题目，检验学生对数值分析的掌握程度3. 实际应用：观察学生是否能够将数值分析应用到实际问题中，解决实际困难教学建议：1. 引导学生多进行实际问题的分析和解决，提高数值分析的实际应用能力2. 鼓励学生进行课外拓展阅读，了解数值分析在不同领域的应用案例3. 加强与其他学科的交叉融合，促进数值分析与实际问题的结合以上是关于数值分析的教案建议，希望对你有所帮助。
数值分析课件第4章数值积分与数值微分
森(simpson)公式(又称为抛物形求积公式)，即
S b a [ f (a) 4 f (a b) f (b)].
6
2
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n = 4 时的牛顿-柯特斯公式就特别称为柯特斯公 式. 其形式是
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4.1.1 数值求积的基本思想
由积分中值定理, 对连续函数f(x), 在区间[a, b]
内至少存在一点，使
I
b
a
f
(x)d
x
(b
a)
f
(
)
只要对平均高度 f() 提供一种近似算法, 便可相应
地获得一种数值求积方法. 即所谓矩形公式.
几何图形见书p119.
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例如, 用区间[a, b]两端点的函数值 f(a)与f(b)的
nn
(t j)dt
0 jk
(k=0,1,,n)
则 Ak (b a)Ck(n) , 于是得求积公式
n
In (b a) Ck(n) f ( xk )
k0
称为n 阶牛顿-柯特斯 (Newton-Cotes)公式, Ck(n) 称 为柯特斯系数。
显然, 柯特斯系数与被积函数 f (x) 和积分区间
如为了构造出上面的求积公式，原则上是一个 确定参数xk和Ak的代数问题.
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4.1.3 插值型求积公式
设给定一组节点 a x0 x1 xn1 xn b
且已知f(x)在这些节点上的函数值 f(xk), 则可求得f(x)
的拉格朗日插值多项式(因为Ln(x)的原函数易求)
n
Ln ( x) f ( xk )lk ( x) 则 f (x)Ln(x)
k0
如果对任I给n( 小f )正 I数n(ε~f>)0， 只n 要Ak误[ f差( x|δkk)|充 ~f分k ]小就 ,有
数值分析(颜庆津) 第4章 学习小结
第4章 非线性方程与非线性方程组的迭代解法--------学习小结一、本章学习体会本章我们主要学习了非线性方程的几种解法，主要有对分法、简单迭代法、steffensen 迭代法、Newton 法、割线法等。
这几种方法都有其思想，并且它们的思想彼此之间有一定的联系。
本章的思路大致可以理解为：1.如何选取迭代公式；2.如何判断迭代公式的收敛速度；3.如何进行迭代公式的修正，以加速收敛；4.如何选取最适合的迭代方法 。
二、本章知识梳理具体求根通常分为两步走，第一步判断根是否存在，若存在，确定根的某个初始近似值；第二步，将初始近似值逐步加工成满足精度要求的结果。
求初始近似值，即确定根的大致区间（a, b ），使（a, b ）内恰有方程的一个根。
本章的学习思路：针对一种迭代方法，找出迭代公式，并判断其收敛性，一般选取收敛速度最快的迭代公式，所以自然的提出了如何使收敛加速的问题。
4.1非线性方程的迭代解法非线性方程的迭代解法有：对分法、简单迭代法、steffensen 迭代法、Newton 法、割线法等。
4.1.1对分法设()[]()()0,<∈b f a f b a C x f 且，根据连续函数的介值定理，在区间()b a ,内至少存在有一个实数s ，使()0=s f 。
现假设在()b a ,内只有一个实数s ，使()0=s f 并要把s 求出来，用对分法的过程： 令b b a a ==00, 对于M k ,....,2,1,0=执行计算2kk k b a x +=若()ηε≤≤-k f a b k k 或，则停止计算取k x s ≈否则转（3）()()k k k k k k b b a a a f x f ==<++11,,0则令()()k k k k k k b b x a a f x f ==>++11,,0则令 若M k =则输出M 次迭代不成功的信息；否则继续。
对分法的局限：对分法只能求实根，而且只能求单根和奇数重根，不能求偶数根和复数根4.1.2简单迭代法及其收敛性迭代法是一种逐次逼近法,用某个固定公式反复校正根的近似值,使之逐步精确化,最后得到满足精度要求的解。
(完整版)数值分析每节课的教学重点、难点
计算方法教案新疆医科大学数学教研室张利萍一、课程基本信息1、课程英文名称：Numerical Analysis2、课程类别：专业基础课程3、课程学时：总学时544、学分：45、先修课程：《高等数学》、《线性代数》、《Matlab 语言》二、课程的目的与任务：计算方法是信息管理与信息系统专业的重要理论基础课程，是现代数学的一个重要分支。
其主要任务是介绍进行科学计算的理论方法，即在计算机上对来自科学研究和工程实际中的数学问题进行数值计算和分析的理论和方法。
通过本课程的学习，不仅使学生初步掌握数值分析的基本理论知识，而且使学生具备一定的科学计算的能力、分析问题和解决问题的能力，为学习后继课程以及将来从事科学计算、计算机应用和科学研究等工作奠定必要的数学基础。
三、课程的基本要求：1．掌握计算方法的常用的基本的数值计算方法2．掌握计算方法的基本理论、分析方法和原理3．能利用计算机解决科学和工程中的某些数值计算应用问题，增强学生综合运用知识的能力4．了解科学计算的发展方向和应用前景四、教学内容、要求及学时分配：(一) 理论教学：引论（2学时）第一讲（1-2节）1．教学内容：计算方法(数值分析)这门课程的形成背景及主要研究内容、研究方法、主要特点；算法的有关概念及要求；误差的来源、意义、及其有关概念。
数值计算中应注意的一些问题。
2．重点难点：算法设计及其表达法；误差的基本概念。
数值计算中应注意的一些问题。
3．教学目标：了解数值分析的基本概念；掌握误差的基本概念：误差、相对误差、误差限、相对误差限、有效数字；理解有效数字与误差的关系。
学会选用相对较好的数值计算方法。
A 算法B 误差第二讲典型例题第二章线性方程组的直接法（4学时）第三讲1．教学内容：线性方程组的消去法、Gauss消去法及其Gauss列主元素消去法的计算过程；三种消去法的程序设计。
2．重点难点：约当消去法，Gauss消去法，Gauss列主元素消去法3．教学目标：了解线性方程组的解法；掌握约当消去法、Gauss消去法、Gauss列主元素消去的基本思想；能利用这三种消去法对线性方程组进行求解，并编制相应的应用程序。
(完整)数值分析历年考题
数值分析A 试题2007.1第一部分:填空题10⨯51.设3112A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则A ∞=___________ 2()cond A =___________2.将4111A ⎛⎫= ⎪⎝⎭分解成TA LL =，则对角元为正的下三角阵L =___________，请用线性最小二乘拟合方法确定拟合函数()bx f x ae =中的参数:a = ___________ b =___________4.方程13cos 2044x x π--=在[0,1]上有 个根，若初值取00.95x =,迭代方法113cos 244k k x x π+=-的收敛阶是5.解方程2210x x -+=的Newton 迭代方法为___________,其收敛阶为___________6。
设()s x = 3232323,[0,1]31,[1,2]ax x x x x x bx x +-+∈--+∈为三次样条函数，则a = ___________ b =___________ 7。
要想求积公式：1121()(()f x dx A f f x -≈+⎰的代数精度尽可能高，参数1A = ___________ 2x =___________此时其代数精度为：___________8.用线性多步法2121(0.50.5)n n n n n y y h f f f ++++-=-+来求解初值问题00'(,),(),y f x y y x y ==其中(,)n n n f f x y =，该方法的局部截断误差为___________，设,0,f y μμ=〈其绝对稳定性空间是___________9。
用线性多步法2121()n n n n n y ay by h f f ++++-+=-来求解初值问题00'(,),(),y f x y y x y ==其中(,)n n n f f x y =,希望该方法的阶尽可能高，那么a = ___________ b =___________,此时该方法是几阶的：___________10。
数值分析考试卷及详细答案解答
数值分析考试卷及详细答案解答姓名班级学号⼀、选择题1.()2534F,,,-表⽰多少个机器数(C ).A 64B 129C 257D 2562. 以下误差公式不正确的是( D)A ．()()()1212x *x *x *x *εεε-≈+B ．()()()1212x *x *x *x *εεε+≈+C ．()()()122112x *x *x *x *x x *εεε?≈+ D ．()()()1212x */x *x *x *εεε≈-3. 设)61a =, 从算法设计原则上定性判断如下在数学上等价的表达式，哪⼀个在数值计算上将给出a 较好的近似值？(D )A6)12(1+ B 27099- C 3)223(- D3)223(1+4. ⼀个30阶线性⽅程组, 若⽤Crammer 法则来求解, 则有多少次乘法? ( A )A 31×29×30!B 30×30×30!C 31×30×31!D 31×29×29!5. ⽤⼀把有毫⽶的刻度的⽶尺来测量桌⼦的长度, 读出的长度1235mm, 桌⼦的精确长度记为（ D ）A 1235mmB 1235-0.5mmC 1235+0.5mmD 1235±0.5mm⼆、填空1.构造数值算法的基本思想是近似替代、离散化、递推化。
2.⼗进制123.3转换成⼆进制为1111011.01001。
3.⼆进制110010.1001转换成⼗进制为 50.5625 。
4. ⼆进制0101.转换成⼗进制为57。
5.已知近似数x*有两位有效数字，则其相对误差限 5% 。
6. ln2=0.69314718…，精确到310-的近似值是 0.693 。
7.31415926x .π==，则131416*x .=，23141*x .=的有效数位分别为5 和3 。
8.设200108030x*.,y*.==-是由精确值x y 和经四舍五⼊得到的近似值，则x*y*+的误差限 0.55×10-3 。
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两种特殊偶阶求积公式的代数精度
辛甫生(Simpson)公式
ba ab S [ f (a ) 4 f ( ) f (b)] 6 2
首先它是二阶公式，因此至少具有二次代数 精度，进一步当 f(x)=x3时，
ba 3 ab 3 S [a 4( ) b3 ] 6 2 4 4 b 3 b a 而 I a x dx 这时有S=I 4
故一阶的牛顿—柯特斯公式为
梯形公式
当n=2时，
( 2) C0
2 ( 1) 20 1 ( t 1)( t 2)dt 2 0!( 2 0)! 0 6
( 2) C1
1 2 4 ( t 0)( t 2)dt 2 0 6 1 2 1 ( 2) C 2 ( t 0)( t 1)dt 4 0 6 ba ab S [ f (a ) 4 f ( ) f (b)] 6 2
故二阶的牛顿—柯特斯公式为
辛甫生(Simpson)公式
而 n= 4时的牛顿—柯特斯公式为
ba C [7 f ( x0 ) 32 f ( x1 ) 12 f ( x2 ) 32 f ( x3 ) 7 f ( x4 )] 90 ba x k a kh, h 这里 4
特别称为 柯特斯(Cotes)公式
1 n 1 n j 0 k j
jk
0
n
( t j )dt ( h b a ) j 0
jk
n
n
n n 1 1 1 ( t j )dt n k ( k 1)...1 ( 1)( 2)...( k n) 0 j 0 jk
n n ( 1) ( t j )dt nk ! ( n k )! 0 j 0 jk n k
b a b a (4) 余项为 RS f ( ) 180 2
4
( 2 1) (4) max | f ( x ) | 0.06890 2880 1 x 2
5
例：习题5.
作业
习题
(第4 ， 5 版 )
3，4 ， 5
即辛甫生公式对次数不超过三次的多项式均
能准确成立， 又容易验证它对 f(x)=x4 是不准 确的，因此，二阶辛甫生公式实际上具有三 次代数精度。 对四阶柯特斯公式进行检验发现： 四阶柯特斯公式实际上具有五次代数精度。 这不是偶然，一般地，有下面的定理。
偶数阶求积公式的代数精度
定理
当n为偶数时，牛顿—柯特斯公式至少
有n+1次代数精度。
注：在实际应用时，出于对计算复杂性和计
算速度的考虑，我们常常使用低阶偶数求积
公式，代替高一阶的奇数求积公式。
三、几种低阶求积公式的余项
方法：根据定理： 若求积公式的代数精度为m，则余项形如
R[ f ] f ( x )dx Ak f ( xk ) Kf ( m 1) ( )
kf
(4)
( )
4
令f(x)=x4，可得K.
b a b a (4) RS f ( ) 180 2
3. 柯特斯公式的余项
2(b a ) b a 6 ( 6 ) Rc I C ( ) f ( ) 945 4
四、举例
试分别使用梯形公式和辛甫生公式计算积分
积公式
a f ( x )dx I n (b a ) k 0
b
n
( n) Ck
f ( xk )
称作Newton-Cotes公式
2. 柯特斯系数的计算 由插值型求积公式可知
Ak f ( x k ) f ( x k ) l k ( x )dx a f ( x )dx a k 0 k 0
f ( ) RT (b a ) 3 12
2. 求辛甫生公式的余项
辛甫生公式 S b a [ f (a ) 4 f ( a b ) f (b)]
6 2
解： 辛甫生公式的余项
RS
b a
ba ab f ( x )dx [ f (a ) 4 f ( ) f (b)] 6 2
即柯特斯系数的计算公式
( n) Ck n n ( 1) ( t j )dt nk ! ( n k )! 0 j 0 jk n k
当n=1时，
1 0 1 ( 1 ) 1 (1) C0 ( t 1)dt 1 0!(1 0)! 0 2 11 1 ( 1 ) 1 (1) C1 ( t 0)dt 1 1!(1 1)! 0 2
2
1 x
余项
b a b a (4) RS f ( ) 180 2
4
f
(4)
1 12 36 24 1 ( x ) ( 8 7 6 5 )e x , x x x x
所以
max | f
1 x 2
(4)
( x ) | f
(4)
(1) 198.43
b a k 0 n
其中K是不依赖于f(x)的待定参数。
例：求如下求积公式的余项
1
0
2 1 1 f ( x )dx f (0) f (1) f (0) 3 3 6
b n
解：由于此求积公式的代数精度为2，则余项
R[ f ] f ( x )dx Ak f ( xk ) Kf ( )
b n n b
所以 C ( n ) k
b 1 l k ( x )dx ba a
x xj b n 1 dx b a a j 0 xk x j
jk
引入变量变换
x a th
则
x k a kh , x j a jh
于是有
( n) Cn
n n t j h dt b a 0 j 0 k j jk
1 x
1 e
解
2
dx 的近似值，并估计余项。
用梯形公式计算
1 21 2 e dx ( e e ) 2.1835 1 2 f ( ) 3 RT (b a ) 余项 12
2
1 x
f ( x) e ,
1 x
1 1 f ( x ) 2 e x , x
2 1 1 f ( x ) ( 3 4 )e x , x x
所以 余项为
max | f ( x ) | f (1) 8.1548
1 x 2
f ( ) | RT | (b a ) 3 12
( 2 1) max | f ( x ) | 0.6796 12 1 x 2
3
用辛甫生公式计算
1 1 21 1.5 2 e dx ( e 4 e e ) 2.0263 1 6
注：哪里？？？？
机械求 积公式
2(n+1)
插值型 公式
(n+1)
N-C 公式
1
柯 特 斯 系 数
牛
二、偶阶牛顿-柯特斯求积公式的代数 精度
作为插值型的求积公式， n 阶 牛顿 — 柯特斯公式至少具有 n 次代数精度，那么
实际的代数精度
到底是多少？
a k 0
令f(x)=x3，则可得。 （省略）
1. 求梯形公式的余项
梯形公式 a
b
ba f ( x )dx T [ f (a ) f (b)] 2
解：梯形公式的余项
RT
b a
ba f ( x )dx [ f (a ) f (b)] 2
Kf ( )
令f(x)=x2，可得K.
第四章 数值积分与数值微分 §2 牛顿—柯特斯公式
一、牛顿—柯特斯公式 二、偶阶求积公式的代数精度 三、几种低阶求积公式的余项 四、举例
一、牛顿—柯特斯公式
1. 牛顿—柯特斯公式 对于机械求积公式
Ak f ( x k ) a f ( x )dx k 0
b n
柯特斯系数
ba , 将积分区间[a,b]划分为n等分，步长 h n 选取等距节点 xk a kh 构造出的插值型求