08级中大高数二期A卷 (1)

合集下载

2008文科数学高考真题全国卷Ⅱ试卷答案.doc

2008年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(必修+选修I)参考答案和评分参考评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分．一、选择题1．C 2．B 3．D 4．C 5．C 6．D 7．A 8．B 9．A 10．B 11．B 12．C 提示：1、αα,0sin < 在第三或四象限，0tan >α，α在第一或三象限α∴为第三象限角2、}1,0,1{},21|{-=∈<≤-=⋂Z x x x N M3、555==d4、)(x f 为奇函数5、c a b x x e <<∴<<-∴<<-0ln 1116、当⎩⎨⎧=-=22y x 时，83min -=-=y x Z7、ax y 2'=，当1=x 时，122,2'=∴==a a a y 8、如图，,60,32oSAO SA =∠=则6,3,360sin =∴==⋅=AB AO SA SO o CDS636312=⨯=∴V 9、444)1()1()1(x x x -=+- ，x ∴的系数为414-=-C 10、)4sin(2cos sin )(π-=-=x x x x f )(x f ∴最大值为211、设1||=AB ，则3=AC ，13||||2-=-=CB AC a ，1||2==AB C ，21322+==∴ace 12、1O 与2O 的公共弦为AB ，球心为Ｏ，AB 中点为C ，则四边形C OO O 21为矩形，所以OC AC AC OA OC O O ⊥===,1||,2|||,|||213||||||22=-=∴AC OA OC二、填空题13．2 14．420 15．216．两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形． 13、20)2(7)32(4)32,2(=∴=+-+∴++=+λλλλλλ ；14、42036310316=--C C C ； 15、设),(),(2211y x B y x A ，),(444122122121222x x y y x y x y -=-∴⎪⎩⎪⎨⎧==14121212=+=--y y x x y y AB ∴所在直线方程为22-=-x y 即x y =，又4,04212==⇒⎩⎨⎧==x x xy xy ， 22||||211||24||2||12==∴==-=∆OF AB S OF x x AB ABF ;注：上面给出了四个充要条件．如果考生写出其他正确答案，同样给分．三、解答题 17．解：（Ⅰ）由5cos 13A =-，得12sin 13A =，由3cos 5B =，得4sin 5B =． ···················· 2分所以16sin sin()sin cos cos sin 65C A B A B A B =+=+=． ········· 5分（Ⅱ）由正弦定理得45sin 13512sin 313BC B AC A ⨯⨯===． ·········· 8分所以ABC △的面积1sin 2S BC AC C =⨯⨯⨯1131652365=⨯⨯⨯83=．····· 10分 18．解：设数列{}n a 的公差为d ，则3410a a d d =-=-， 642102a a d d =+=+，1046106a a d d =+=+． ······················ 3分由3610a a a ，，成等比数列得23106a a a =，即2(10)(106)(102)d d d -+=+，整理得210100d d -=，解得0d =或1d =． ······················· 7分当0d =时，20420200S a ==． ··················· 9分当1d =时，14310317a a d =-=-⨯=，于是2012019202S a d ⨯=+207190330=⨯+=． ············12分 19．解：记12A A ，分别表示甲击中9环，10环，12B B ，分别表示乙击中8环，9环，A 表示在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数，B 表示在三轮比赛中至少有两轮甲击中的环数多于乙击中的环数，12C C ，分别表示三轮中恰有两轮，三轮甲击中环数多于乙击中的环数．（Ⅰ）112122A A B A B A B =++， ·················· 2分112122()()P A P A B A B A B =++ 112122()()()P A B P A B P A B =++112122()()()()()()P A P B P A P B P A P B =++0.30.40.10.40.10.40.2=⨯+⨯+⨯=． ················ 6分（Ⅱ）12B C C =+， ······················· 8分22213()[()][1()]30.2(10.2)0.096P C C P A P A =-=⨯⨯-=，332()[()]0.20.008P C P A ===，1212()()()()0.0960.0080.104P B P C C P C P C =+=+=+=． ······· 12分20．解法一：依题设，2AB =，1CE =．（Ⅰ）连结AC 交BD 于点F ，则BD AC ⊥．由三垂线定理知，1BD A C ⊥． ··················· 3分在平面1A CA 内，连结EF 交1A C 于点G ，由于1AA ACFC CE== 故1Rt Rt A AC FCE △∽△，1AA C CFE ∠=∠，CFE ∠与1FCA ∠互余．于是1A C EF ⊥．1A C 与平面BED 内两条相交直线BD EF ，都垂直，所以1A C ⊥平面BED ． ······················ 6分（Ⅱ）作GH DE ⊥，垂足为H ，连结1A H ．由三垂线定理知1A H DE ⊥，故1A HG ∠是二面角1A DE B --的平面角． ·············· 8分EF =CE CF CG EF ⨯==3EG ==． 13EG EF =，13EF FD GH DE ⨯=⨯=又1AC ==113A G A C CG =-=．11tan AG A HG HG∠== 所以二面角1A DE B --的大小为arctan ············ 12分解法二：以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系D xyz -．AB CD E A 1B 1C 1D 1 FH G依题设，1(220)(020)(021)(204)B C E A ，，，，，，，，，，，．(021)(220)DE DB ==，，，，，，11(224)(204)AC DA =--=，，，，，． ······· 3分（Ⅰ）因为10AC DB =，10AC DE =，故1A C BD ⊥，1A C DE ⊥．又DB DE D =，所以1A C ⊥平面DBE ． ······················ 6分（Ⅱ）设向量()x y z =，，n 是平面1DA E 的法向量，则DE ⊥n ，1DA ⊥n ．故20y z +=，240x z +=．令1y =，则2z =-，4x =，(412)=-，，n ． ············· 9分1AC <>，n 等于二面角1A DE B --的平面角， 11114cos 42A C A C A C<>==，n n n ．所以二面角1A DE B --的大小为arccos 42． ············ 12分 21．解：（Ⅰ）2()363(2)f x ax x x ax '=-=-．因为2x =是函数()y f x =的极值点，所以(2)0f '=，即6(22)0a -=，因此1a =．经验证，当1a =时，2x =是函数()y f x =的极值点． ········· 4分（Ⅱ）由题设，3222()336(3)3(2)g x ax x ax x ax x x x =-+-=+-+．当()g x 在区间[02]，上的最大值为(0)g 时，(0)(2)g g ≥，即02024a -≥．故得65a ≤． ·························· 9分反之，当65a ≤时，对任意[02]x ∈，，26()(3)3(2)5g x x x x x +-+≤23(210)5xx x =+- 3(25)(2)5xx x =+- 0≤，而(0)0g =，故()g x 在区间[02]，上的最大值为(0)g ．综上，a 的取值范围为65⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，． ·················· 12分22．（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为2214x y +=，直线AB EF ，的方程分别为22x y +=，(0)y kx k =>． ········ 2分如图，设001122()()()D x kx E x kx F x kx ，，，，，，其中12x x <，且12x x ，满足方程22(14)4k x +=，故21x x =-=由6ED DF =知01206()x x x x -=-，得021215(6)77x x x x =+==；由D 在AB 上知0022x kx +=，得0212x k=+．所以212k =+，化简得2242560k k -+=，解得23k =或38k =． ······················· 6分（Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点E F ，到AB 的距离分别为1h ==2h==．··············9分又AB==，所以四边形AEBF的面积为121()2S AB h h=+1525(14k=+==≤当21k=，即当12k=时，上式取等号．所以S的最大值为····12分解法二：由题设，1BO=，2AO=．设11y kx=，22y kx=，由①得2x>，21y y=->，故四边形AEBF的面积为BEF AEFS S S=+△△222x y=+····························9分===当222x y=时，上式取等号．所以S的最大值为．········12分2008年普通高等学校招生全国统一考试（2全国Ⅱ卷）数学(文)试题答案解析:一、选择题 ( 本大题共 12 题, 共计 60 分) 1、(5分) C 由sin α＜0得α在三,四象限. tan α＞0得α在一,三象限. 故α在第三象限.2、(5分) B 依题M={-2,-1,0,1},N={-1,0,1,2,3},从而M∩N={-1,0,1},故选B.3、(5分) D 由点到直线的距离公式知原点到已知直线的距离是.4、(5分) C∵f(x)=f(-x),∴f(x)=-x 是奇函数.∴f(x)的图象关于坐标原点对称. 5、(5分) C a=lnx,b=2lnx=lnx 2,c=ln 3x. ∵x∈(e -1,1),∴x＞x 2. 故a ＞b,排除A 、B.∵e -1＜x ＜1,∴-1＜lnx ＜ln1=0. ∴lnx＜ln 3x.∴a＜c.故b ＜a ＜c,选C. 6、(5分) D 作出可行域.令z=0,则l 0:x-3y=0,平移l 0在点M(-2,2)处z 取到最小,最小值为-8.7、(5分) A y=ax2,y′=2ax,∴y′|x=1=2,∵切线与直线2x-y-6=0平行,∴2a=2,∴a=1.8、(5分) B作图,依题可知SO=2sin60°=2·=3,CO=2·cos60°=2·=.∴底面边长为.从而VS—ABCD =SABCD·SO=×()2×3=6.9、(5分) A(1-)4(1+)4=［(1-)(1+)］4=x4-4x3+6x2-4x+1, ∴x的系数为-4.10、(5分) B f(x)=sinx-cosx=sin(x-),故f(x)max=.11、(5分) B∵A、B为两焦点且双曲线过C点,∴|CA|-|CB|=2a,2c=a′.不妨设AB=BC=a′,则AC=a′.∴e==.12、(5分) C依题意有示意图截面示意图为其中AH 为公共弦长的一半,OA 为球半径,∴OH=.故选C.二、填空题 ( 本大题共 4 题, 共计 20 分) 13、(5分) 2 λa +b =λ(1,2)+(2,3)=(λ+2,2λ+3), ∵λa +b 与c 共线,∴(λ+2)·(-7)-(2λ+3)·(-4)=0. 解出λ=2. 14、(5分) 420 N==420.15、(5分) 2 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),∴y 12=4x 1, y 22=4x 2.两式相减得(y 1+y 2)(y 1-y 2)=4(x 1-x 2). 又y 1+y 2=2×2=4,∴,即k AB =1.∴lAB:y-2=x-2,即y=x.∴x2-4x=0.∴x1+x2=4,x1x2=0.∴|AB|===.点F到AB的距离d=.∴S△A BF=××=2.16、(5分) 两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形．注：上面给出了四个充要条件．如果考生写出其他正确答案，同样给分．三、解答题 ( 本大题共 6 题, 共计 70 分)17、(10分) 解：（Ⅰ）由，得，由，得．所以．（Ⅱ）由正弦定理得．所以的面积．18、(12分) 解：设数列的公差为，则，，．由成等比数列得，即，整理得，解得或．当时，．当时，，于是．19、(12分) 解：记分别表示甲击中9环，10环，分别表示乙击中8环，9环，表示在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数，表示在三轮比赛中至少有两轮甲击中的环数多于乙击中的环数，分别表示三轮中恰有两轮，三轮甲击中环数多于乙击中的环数．（Ⅰ）,．（Ⅱ），，，．20、(12分) 解法一：依题设，，．（Ⅰ）连结交于点，则．由三垂线定理知，．在平面内，连结交于点，由于，故，，与互余．于是．与平面内两条相交直线都垂直，所以平面．（Ⅱ）作，垂足为，连结．由三垂线定理知，故是二面角的平面角．，，．，．又，．．所以二面角的大小为．解法二：以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系．依题设，．，．（Ⅰ）因为故，．又，所以平面．（Ⅱ）设向量是平面的法向量，则，．故，．令，则，，．等于二面角的平面角，.所以二面角的大小为．21、(12分) 解：（Ⅰ）．因为是函数的极值点，所以，即，因此．经验证，当时，是函数的极值点．（Ⅱ）由题设，．当在区间上的最大值为时，，即．故得．反之，当时，对任意，，而，故在区间上的最大值为．综上，的取值范围为．22、(12分) 解：（Ⅰ）依题设得椭圆的方程为，直线的方程分别为，．如图，设，其中，且满足方程，故．①由知，得；由在上知，得．所以，化简得，解得或．（Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点到的距离分别为，．又，所以四边形的面积为=，当，即当时，上式取等号．所以的最大值为．解法二：由题设，，．设，，由①得，，故四边形的面积为，当时，上式取等号．所以的最大值为．。

2008年考研数学二真题及解析

(C) y′′′ − y′′ − 4y′ + 4y = 0 . (D) y′′′ − y′′ + 4y′ − 4y = 0 .
【答案】应选(D).
【详解】由 y = C1ex + C2 cos 2x +C3 sin 2x ，可知其特征根为 λ1 = 1， λ2,3 = ±2 i ，故对应的特征值方程为 (λ − 1)(λ + 2i)(λ − 2i) = ( λ −1)( λ2 + 4)
⎜ ⎝
1
−2
⎟ ⎠
.
⎛ 2 −1⎞
(B)
⎜ ⎝
−1
2
⎟. ⎠
⎛2 1⎞
(C)
⎜ ⎝
1
2
⎟ ⎠
.
⎛ 1 −2 ⎞
(D)
⎜ ⎝
−2
1
⎟ ⎠
.
您所下载的资料来源于弘毅考研资料下载中心获取更多考研资料，请访问
【答案】应选(D).
【详解】 λE − A = λ −1 −2 = (λ −1)2 − 4 = λ 2 − 2λ − 3 = (λ +1)(λ − 3) = 0 −2 λ −1
表示【】．
(A) 曲边梯形 ABCD 的面积．
(B) 梯形 ABCD 的面积．
(C) 曲边三角形 ACD 面积．【答案】应选(C).
(D) 三角形 ACD 面积．
∫ ∫ ∫ 【详解】
a xf ' (x)dx =
a
xdf (x) = af (a) −
a
f ( x)dx ，
0
0
0
∫ ∫ 其中 af (a) 是矩形面积， a f (x)dx 为曲边梯形的面积，所以 a xf ' (x)dx 为曲边三角形 ACD

2008级第二学期高等数学试题及答案[1].

其中L为三顶点是(0，0)、(1，1)、(1，2)的三角形正项边界
解 P = e x sin y + yx，Q = e x cos y + x 2
∂P = e x cos y + x，∂Q = e x cos y + 2x
∂y
∂x
原式 = ∫∫ xdxdy
D
1 2x
∫ ∫ = dx xdy 0x
∫= 1 x 2dx 0
A. 3x 2 sin y B. − 3 x 2 sin y C. 3x 2 cos y D. − 3x 2 cos y
得分评阅人
2、曲线
⎪⎧ ⎨
x
2
+
⎪⎩ z =
y2 + z2 = x2 + y2
2在xOy面上的投影曲线方程为(
D
)
A.
⎧ ⎨ ⎩
x2 + y z=0
2
=
2
B.
⎧ ⎨ ⎩
x x
2+ =0
)
1 0
+
1 6
1e−y2d y2
0
= − 1 e −1 6
−
1 e−y2 6
1 0
= 1 (1 − 2e −1 ) 6
若积分次序反了图画对给 1 分
五、证明题(8 分)
设z =
y ，其中f (u)可导，
f(x2 − y2)
证明：1 ∂z + 1 ∂z = z x ∂x y ∂y y 2
证 ∂z = − 2 xyf ′
闭卷（√）
参考答案及评分标准考试日期：2009.7.8
三题号一二
四五
123456712

2008年(全国卷II)(含答案)高考理科数学

2008年(全国卷II)(含答案)高考理科数学2008年普通高等学校招生全国统一考试（2全国Ⅱ卷）数学(理)试题一、选择题 ( 本大题共 12 题, 共计 60 分)1．设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n M N =∈-=Z I 则，≤≤（） A ．{}01，B ．{}101-，，C ．{}012，，D ．{}1012-，，，2．设a b ∈R ，且0b ≠，若复数3()a bi +是实数，则（） A ．223b a = B ．223a b =C ．229b a =D ．229a b =3．函数1()f x x x=-的图像关于（） A ．y 轴对称 B ．直线x y -=对称C ．坐标原点对称D ．直线x y =对称4．若13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===，，，，，则（） A ．a <b <c B ．c <a <b C ． b <a <c D ． b <c <a5．设变量x y ，满足约束条件：222y x x y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩，，．≥≤≥，则y x z 3-=的最小值（）A ．2-B ．4-C ．6-D ．8-6．从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为（） A ．929B ．1029C ．1929D ．20297．64(1)(1)x x 的展开式中x 的系数是（） A ．4- B ．3-C ．3D ．48．若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为（） A ．1B 2C ．3D ．29．设1a >，则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是（） A ．22)，B ．25)，C ．(25)，D ．(25)，10．已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所成的角的余弦值为（）A ．13B ．23C ．3 D ．2311．等腰三角形两腰所在直线的方程分别为20x y +-=与740x y --=，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（） A ．3B ．2C ．13-D ．12-12．已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（） A ．1B ．2C ．3D ．2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13．设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线，则=λ ．14．设曲线ax y e =在点(01)，处的切线与直线210x y ++=垂直，则a = ．15．已知F 是抛物线24C y x =：的焦点，过F 且斜率为1的直线交C 于A B ，两点．设FA FB >，则FA 与FB 的比值等于．16．平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件① ；充要条件② ．（写出你认为正确的两个充要条件）三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）在ABC △中，5cos 13B =-，4cos 5C =．（Ⅰ）求sin A 的值；（Ⅱ）设ABC △的面积332ABC S =△，求BC 的长．18．（本小题满分12分）购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a 元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为41010.999-．（Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率p ；（Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）．19．（本小题满分12分）如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，124AA AB ==，点E 在1CC 上且EC E C 31=．（Ⅰ）证明：1A C ⊥平面BED ；（Ⅱ）求二面角1A DE B --的大小．E A 1B 1C 1D 120．（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知1a a =，13n n n a S +=+，*n ∈N ．（Ⅰ）设3n n n b S =-，求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若1n n a a +≥，*n ∈N ，求a 的取值范围．21．（本小题满分12分）设椭圆中心在坐标原点，(20)(01)A B ，，，是它的两个顶点，直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点．（Ⅰ）若6ED DF =u u u r u u u r，求k 的值；（Ⅱ）求四边形AEBF 面积的最大值．22．（本小题满分12分）设函数sin ()2cos xf x x=+．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）如果对任何0x ≥，都有()f x ax ≤，求a 的取值范围．2008年普通高等学校招生全国统一考试（2全国Ⅱ卷）数学(理)试题答案解析:一、选择题1．答案：B解析:依题M={-2,-1,0,1},N={-1,0,1,2,3},从而M∩N={-1,0,1},故选B. 2．答案：A解析: (a+bi)3=a3+3a2·bi+3a(bi)2+(bi)3=a3+3a2bi-3ab2-b3i=(a3-3ab2)+(3a2b-b3)i为实数3a2b-b3=0,又∵b≠0,∴3a2-b2=0.∴b2=3a2.选A.3．答案：C解析:∵f(x)=f(-x),∴f(x)= -x是奇函数.∴f(x)的图象关于坐标原点对称.4．答案：C解析:a=lnx,b=2lnx=lnx2,c=ln3x.∵x∈(e-1,1),∴x＞x2.故a＞b,排除A、B.∵e-1＜x＜1,∴-1＜lnx＜ln1=0.∴lnx＜ln3x.∴a＜c.故b＜a＜c,选C.5．答案：D解析:作出可行域.令z=0,则l0:x-3y=0,平移l在点M(-2,2)处z取到最小,最小值为-8.6．答案：D解析:排除法即可.P=1-=1-. 7．答案：B解析:化简原式=［(1-)4(1+)4］·(1-)2 =［(1-)(1+)］4·(1-)2=(1-x)4·(1-)2=(1-4x+6x2-4x3+x4)(1-2+x).故系数为1-4=-3,选B.8．答案：B解析:依题可知|MN|=|sina-cosa|=|sin(a-)|,故|MN|max=.9．答案：B解析:依题可知离心率e===,∵a＞1,∴0＜＜1.∴(+1)2∈(1,4).∴e∈(2,5).10．答案：C解析:作图.连结EO,则所求角为∠AEO或其补角.(∵EO∥SD)设侧棱长为a,则OE=SD=a,AO=a,AE= a.由余弦定理得cos∠AEO==. 11．答案：A解析:依题设底边所在直线斜率为k,则底边方程为l:y=kx,l1:x+y-2=0,k1=-1,l2:x-7y-4=0,k2=.由等腰三角形特征有:直线l到l1所成角的正切与直线l2到l所成角的正切相等,从而,得k=3,故选A.12．已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（）A．1 B．2C．3D．2答案：C解析:依题意有示意图截面示意图为其中AH为公共弦长的一半,OA为球半径,∴OH=.故选C.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．答案：2解析:λa+b=λ(1,2)+(2,3)=(λ+2,2λ+3),∵λa+b与c共线,∴(λ+2)·(-7)-(2λ+3)·(-4)=0.解出λ=2.14．答案：2解析:y=e ax,y′=e ax·a,y′|x=0=e a·0·a=a. 又x+2y+1=0的斜率为-,∴由题意a·(-)=-1.∴a=2.15．答案：解析:lAB:y-0=x-1,即y=x-1,联立xa =3+2,xb=3-2,∴=3+2.16．解析：两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形．注：上面给出了四个充要条件．如果考生写出其他正确答案，同样给分．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：（Ⅰ）由5cos13B=-，得12sin13B=，由4cos5C=，得3sin5C=．所以33sin sin()sin cos cos sin65A B C B C B C=+=+=． ······························ 5分（Ⅱ）由332ABCS=△得133sin 22AB AC A ⨯⨯⨯=，由（Ⅰ）知33sin 65A =，故 65AB AC ⨯=， ································································· 8分又 sin 20sin 13AB B AC AB C ⨯==，故 2206513AB =，132AB =．所以 sin 11sin 2AB A BC C ⨯==． ······················································ 10分 18．解：各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是p ，记投保的10 000人中出险的人数为ξ，则4~(10)B p ξ，．（Ⅰ）记A 表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金，则A 发生当且仅当0ξ=，··········································································· 2分()1()P A P A =-1(0)P ξ=-=4101(1)p =--，又410()10.999P A =-，故0.001p =． ················································································· 5分（Ⅱ）该险种总收入为10000a 元，支出是赔偿金总额与成本的和．支出 1000050000ξ+，盈利 10000(1000050000)a ηξ=-+，盈利的期望为 100001000050000E a E ηξ=--， ································· 9分由43~(1010)B ξ-，知，31000010E ξ-=⨯， 4441010510E a E ηξ=--⨯4443410101010510a -=-⨯⨯-⨯．0E η≥4441010105100a ⇔-⨯-⨯≥1050a ⇔--≥15a ⇔≥（元）．故每位投保人应交纳的最低保费为15元． ·········································· 12分 19．解法一：依题设知2AB =，1CE =．（Ⅰ）连结AC 交BD 于点F ，则BD AC ⊥．由三垂线定理知，1BD A C ⊥． ··························································· 3分在平面1A CA 内，连结EF 交1A C 于点G ，由于122AA ACFC CE==，故1Rt Rt A AC FCE △∽△，1AA C CFE ∠=∠，CFE ∠与1FCA ∠互余．于是1A C EF ⊥．1A C 与平面BED 内两条相交直线BD EF ，都垂直，所以1A C ⊥平面BED ． ····································································· 6分（Ⅱ）作GH DE ⊥，垂足为H ，连结1A H ．由三垂线定理知1A H DE ⊥，故1A HG ∠是二面角1A DE B --的平面角． ············································ 8分223EF CF CE =+= 23CE CF CG EF ⨯==2233EG CE CG =-=． 13EG EF =，12315EF FD GH DE ⨯=⨯= 又221126AC AA AC =+=1163A G A C CG =-=． A BC D E A 1B 1C 1D 1F H G11tan 55AG A HG HG∠== 所以二面角1A DE B --的大小为arctan 55 ······································ 12分解法二：以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系D xyz -．依题设，1(220)(020)(021)(204)B C E A ，，，，，，，，，，，． (021)(220)DE DB ==u u u r u u u r ，，，，，，11(224)(204)AC DA =--=u u u r u u u u r，，，，，． ··························································· 3分（Ⅰ）因为10AC DB =u u u r u u u r g ，10AC DE =u u u r u u u rg ，故1A C BD ⊥，1A C DE ⊥．又DB DE D =I ，所以1A C ⊥平面DBE ． ····································································· 6分（Ⅱ）设向量()x y z =，，n 是平面1DA E 的法向量，则DE ⊥u u u r n ，1DA ⊥u u u u r n ．故20y z +=，240x z +=．令1y =，则2z =-，4x =，(412)=-，，n ． ··········································· 9分 1AC u u u r ，n 等于二面角1A DE B --的平面角， 11114cos 42A C A C A C==u u u ru u u r g u u u r ，n n n ．所以二面角1A DE B --的大小为14． ······································ 12分 20．解：（Ⅰ）依题意，113n n n n n S S a S ++-==+，即123n n n S S +=+，由此得1132(3)n n n n S S ++-=-． ···························································· 4分A BC DE A 1B 1C 1D 1xz因此，所求通项公式为13(3)2n n n n b S a -=-=-，*n ∈N ．① ···················································· 6分（Ⅱ）由①知13(3)2n n n S a -=+-，*n ∈N ，于是，当2n ≥时，1n n n a S S -=-1123(3)23(3)2n n n n a a ---=+-⨯---⨯ 1223(3)2n n a --=⨯+-， 12143(3)2n n n n a a a --+-=⨯+-22321232n n a --⎡⎤⎛⎫=•+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当2n ≥时，21312302n n n a a a -+⎛⎫⇔•+- ⎪⎝⎭≥≥9a ⇔-≥．又2113a a a =+>．综上，所求的a 的取值范围是[)9-+∞，．12分21．（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为2214x y +=，直线AB EF ，的方程分别为22x y +=，(0)y kx k =>． ···························· 2分如图，设001122()()()D x kx E x kx F x kx ，，，，，，其中12x x <，且12x x ，满足方程22(14)4k x +=，故21214x x k=-=+由6ED DF =u u u r u u u r 知01206()x x x x -=-，得0212215(6)77714x x x x k=+==+；D F B y A O E由D 在AB 上知0022x kx +=，得0212x k=+．所以2212714k k=++，化简得2242560k k -+=，解得23k =或38k =． ········································································· 6分（Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点E F ，到AB 的距离分别为211122214)55(14)x kx k h k +-+==+22222222(1214)55(14)x kx k k h k +-+-+==+． ··············································· 9分又2215AB =+=，所以四边形AEBF 的面积为121()2S AB h h =+ 21525(14)k =+g g214k=+22144214k k k ++=+22≤当21k =，即当12k =时，上式取等号．所以S 的最大值为22． ············ 12分解法二：由题设，1BO =，2AO =．设11y kx =，22y kx =，由①得20x >，210y y =->，故四边形AEBF 的面积为BEF AEF S S S =+△△222x y =+ ······················································································· 9分222(2)x y =+22222244x y x y =++22222(4)x y +22=当222x y =时，上式取等号．所以S 的最大值为22 12分 22．解：（Ⅰ）22(2cos )cos sin (sin )2cos 1()(2cos )(2cos )x x x x x f x x x +--+'==++． ············ 2分当2π2π2π2π33k x k -<<+（k ∈Z ）时，1cos 2x >-，即()0f x '>；当2π4π2π2π33k x k +<<+（k ∈Z ）时，1cos 2x <-，即()0f x '<．因此()f x 在每一个区间2π2π2π2π33k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，（k ∈Z ）是增函数， ()f x 在每一个区间2π4π2π2π33k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，（k ∈Z ）是减函数． ··················· 6分（Ⅱ）令()()g x ax f x =-，则22cos 1()(2cos )x g x a x +'=-+ 2232cos (2cos )a x x =-+++211132cos 33a x ⎛⎫=-+- ⎪+⎝⎭．故当13a ≥时，()0g x '≥．又(0)0g =，所以当0x ≥时，()(0)0g x g =≥，即()f x ax ≤． ················ 9分当103a <<时，令()sin 3h x x ax =-，则()cos 3h x x a '=-．故当[)0arccos3x a ∈，时，()0h x '>．因此()h x 在[)0arccos3a ，上单调增加．故当(0arccos3)x a ∈，时，()(0)0h x h >=，即sin3x ax>．于是，当(0arccos3)x a∈，时，sin sin()2cos3x xf x axx=>>+．当0a≤时，有π1π222f a⎛⎫=>•⎪⎝⎭≥．因此，a的取值范围是13⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，．12分。

2008高考全国卷Ⅱ数学文科试卷含答案(全word版)-推荐下载

A．1
B． 2
C．3
C． 3
D．18
11．设 △ABC 是等腰三角形， ABC 120 ，则以 A，B 为焦点且过点 C 的双曲线的离
心率为（）
1 2
A．
2
1 3
B．
2
C． 1 2
12．已知球的半径为 2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为 2，则两圆的圆心距等于（）
；
．
19．（本小题满分 12 分）甲、乙两人进行射击比赛，在一轮比赛中，甲、乙各射击一发子弹．根据以往资料知，甲击中 8 环，9 环，10 环的概率分别为 0.6，0.3，0.1，乙击中 8 环，9 环，10 环的概率分别为 0.4，0.4，0.2．设甲、乙的射击相互独立．（Ⅰ）求在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中环数的概率；（Ⅱ）求在独立的三轮比赛中，至少有两轮甲击中的环数多于乙击中环数的概率．
A．1
B． 3
C．2
C．0，1 2，
D． 5
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置各试时类卷，管调需路控要习试在题验最到；大位对限。设度在备内管进来路行确敷调保设整机过使组程其高1在中正资，常料要工试加况卷强下安看与全22过，22度并22工且22作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

2007-2008(2)期末考试试卷(A)(高等数学)

学号：
武汉工业学院 2007 –2008 学年第 2 学期期末考试试卷(A 卷)
课程名称高等数学 2
注：1、考生必须在答题纸的指定位置答题，主观题要有必要的步骤。
2、考生必须在答题纸的密封线内填写姓名、班级、学号。
3、考试结束后只交答题纸。
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------一、填空题(每小题 2 分, 共 14 分)
7. x2dS=
其中∑是柱面 x 2 y 2 4 在0 z 1之间的部分曲面.
二、解答下列各题(每小题 7 分,，总计 70 分)
1.
求过直线l
:
3x 2y z 1 0 2x 3y 2z 2 0
且垂直于平面
:
x
2y
3z
5
0 的平面方程。
2.
已知平面
: 3x
y 2z 5 0 与直线l :
与路径无关，
其中 L 为上半平面内的任意曲线，并计算从点(3, 2) 沿曲线 L 到达点(1,2) 时该曲线积分之值。 3
A 卷第 1 页(共 1 页)
------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------

2008年高考全国卷理科数学2全国卷数学2试卷与答案-推荐下载

C． b2 9a2
解： (a bi)3 a3 3a2 Abi 3aA(bi)2 (bi)3 （←考查和的立方公式，或二项式定理）
∵ a，b R 且 b 0
∴ 3a2 Ab b3 0
∴ b2 3a2 .
故选 A.
(a3 3aAb2 ) (3a2 Ab b3 )i （←考查虚数单位 i 的运算性质）
于 E、F 两点．
（Ⅰ）若 ED 6DF ，求 k 的值；（Ⅱ）求四边形 AEBF 面积的最大值．
22．（本小题满分 12 分）
设函数 f (x) sin x ． 2 cos x
（Ⅰ）求 f (x) 的单调区间；（Ⅱ）如果对任何 x ≥ 0 ，都有 f (x) ≤ ax ，求 a 的取值范围．
A． b2 3a2
B． a2 3b2
3．函数 f (x) 1 x 的图像关于（） x
A． y 轴对称
C．坐标原点对称 D．直线 y x 对称
B．直线 y x 对称
4．若 x (e1，1)，a，，ln x b 2 ln x c ln3 x ，则（）
A． a < b < c
（Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率 p ；
（Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为 50 000 元，为保证盈利的期望不小于 0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）． 19．（本小题满分 12 分）
第 2 页（共 11 页）
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置各试时类卷，管调需路控要习试在题验最到；大位对限。设度在备内管进来路行确敷调保设整机过使组程其高1在中正资，常料要工试加况卷强下安看与全22过，22度并22工且22作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案详解

2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. (1)设2()(1)(2)f x x x x =--，求()f x '的零点个数（）()A 0()B 1 ()C 2()D 3解：()D分析：()()()()()()22221212494f x x x x x x x x x x x '=--+-+-=-+令()0f x '=，则可得()f x '零点的个数为3.（2）曲线方程为()y f x =函数在区间[0,]a 上有连续导数，则定积分'()axf x dx ⎰（）()A 曲边梯形ABCD 面积.()B 梯形ABCD 面积.()C 曲边三角形ACD 面积.()D 三角形ACD 面积.解：()C分析：0()()()()aaaxf x dx xdf x af a f x dx '==-⎰⎰⎰，其中()af a 是矩形面积，0()af x dx⎰为曲边梯形的面积，所以()axf x dx '⎰为曲边三角形的面积。

（3）在下列微分方程中，以123cos2sin 2x y C e C x C x =++（123,,C C C 为任意常数）为通解的是（）()A 440y y y y ''''''+--=.()B 440y y y y ''''''+++=. ()C 440y y y y ''''''--+=.()D 440y y y y ''''''-+-=.解：()D .分析；由123cos2sin 2x y C e C x C x =++可知其特征根为12,31,2i λλ==±.故对应的特征方程为 2(1)(2)(2)(1)(4)i i λλλλλ-+-=-+，即32440λλλ-+-=所以所求微分方程为440y y y y ''''''-+-=, 选()D . （4）判断函数ln ()sin (0)1xf x x x x =>-间断点的情况( )()A 有1个可去间断点，1个跳跃间断点 ()B 有1个跳跃间断点，1个无穷间断点 ()C 有两个无穷间断点 ()D 有两个跳跃间断点解：()A分析：()f x 的间断点为1,0x =，而0lim ()0x f x →+=，故0x =是可去间断点；1lim ()sin1x f x →+=，1lim ()sin1x f x →+=-，故1x =是跳跃间断点故选()A 。

2008年高考全国二卷理科数学题及其答案

2008年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷2数学）理科数学( 必修+选修Ⅱ)第Ⅰ卷一、选择题1．设集合M{ m Z| 3 m 2} ，N { n Z| 1 ≤n ≤3}，则M N （）A．0，1 B．1，0，1 C．0，1，2 D．1，0，1，22．设a，b R且b 0 ，若复数 3( a bi ) 是实数，则（）A． 2 2b a B．32 2a b C．32 2b a D．92 2a 9b3．函数1f ( x)xx的图像关于（）A．y 轴对称B．直线y x 对称C．坐标原点对称D．直线y x 对称4．若 1 3x ( e ，1)， a ln x，b 2 ln x，c ln x ，则（）A．a < b < c B．c <a < b C． b < a < c D． b < c < a≥，yx≤5．设变量x，y 满足约束条件：x 2 y 2 ，则z x 3 y 的最小值（），≥x 2．A． 2 B． 4 C． 6 D．86．从20 名男同学，10 名女同学中任选 3 名参加体能测试，则选到的 3 名同学中既有男同学又有女同学的概率为（）A．929B．1029C．1929D．20297． 6 4(1 x ) (1 x ) 的展开式中x 的系数是（）A． 4 B． 3 C．3 D．48．若动直线x a 与函数 f ( x ) sin x 和g ( x) cos x 的图像分别交于M ，N 两点，则MN 的最大值为（）A．1 B． 2 C． 3 D．22 2x y9．设a 1 ，则双曲线 2 2 1的离心率 e 的取值范围是（）a (a 1)A．( 2，2) B．( 2，5)C．(2 ，5) D．(2 ，5 )第1 页（共11 页）10．已知正四棱锥 S AB C D 的侧棱长与底面边长都相等， E 是 SB 的中点，则 AE ， SD 所成的角的余弦值为（）1 23 2A ．B ．C ．D ．333311．等腰三角形两腰所在直线的方程分别为 x y 2 0 与 x 7 y 4 0 ，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（） A ．3B ．2C ．1 3D ．1 212．已知球的半径为 2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为 2，则两圆的圆心距等于（）A ．1B ． 2C ． 3D ．2第Ⅱ卷二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上．13．设向量 a (1，2) ， b(2 ，3) ，若向量ab 与向量 c( 4， 7) 共线，则．14．设曲线 axye 在点 (0 ，1) 处的切线与直线 x 2 y 1 0 垂直，则 a．15．已知 F 是抛物线 2C ： yx 的焦点，过 F 且斜率为 1 的直线交 C 于 A ， B 两点．设 FA FB ，4则 FA 与 FB 的比值等于．16．平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件① ；充要条件②．（写出你认为正确的两个充要条件）三、解答题：本大题共6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分 10 分）在 △ A B C 中， cos 5 B ，13cos 4 C ．5（Ⅰ）求 sin A 的值；（Ⅱ）设 △ A B C 的面积 33△，求 B C 的长．SA BC218．（本小题满分 12 分）购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a 元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得 10 000 元的赔偿金．假定在一年度内有 10 000 人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金 10 000 元的概率为4101 0.999 ．（Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率p ；（Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000 元，为保证盈利的期望不小于 0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）．第2 页（共11 页）19．（本小题满分12 分）如图，正四棱柱A BC D ABCD 中，AA1 2 AB 4 ，点E 在CC 1 上且C1 E 3EC ．1 1 1 1（Ⅰ）证明：A C 平面B E D ；1 D1 C1（Ⅱ）求二面角 A D E B 的大小．1 A1 B1ED C A B20．（本小题满分12 分）设数列 a 的前n 项和为S ．已知n n a a ，1na 1 S 3 ，n n*n N．n（Ⅰ）设 b S 3 ，求数列n n b 的通项公式；n（Ⅱ）若a≥ a ，n 1 n*n N，求a 的取值范围．21．（本小题满分12 分）设椭圆中心在坐标原点， A (2 ，0)，B (0，1) 是它的两个顶点，直线y kx ( k 0) 与AB 相交于点D，与椭圆相交于E、F 两点．（Ⅰ）若ED 6DF ，求k 的值；（Ⅱ）求四边形A EBF 面积的最大值．22．（本小题满分12 分）sin x设函数 f ( x)．2 cos x（Ⅰ）求 f ( x) 的单调区间；（Ⅱ）如果对任何x≥0 ，都有 f ( x ) ≤ax ，求a 的取值范围．第3 页（共11 页）2008 年参考答案和评分参考一、选择题1．B 2．A 3．C 4．C 5．D 6．D7．B 8．B 9．B 10．C 11．A 12．C部分题解析：2. 设a，b R且b 0 ，若复数 3( a bi ) 是实数，则（）A． 2 2b a B．32 2a b C．32 2b a D．92 2a b ，9解： 3 3 2 2 3( a bi ) a 3a bi 3a(bi ) (bi ) （←考查和的立方公式，或二项式定理）3 2 2 3(a 3a b ) ( 3a b b ) i（←考查虚数单位i 的运算性质）R （←题设条件）∵a，b R且b 0∴ 2 33a b b 0 （←考查复数与实数的概念）∴ 2 2b a .3故选 A.6. 从20 名男同学，10 名女同学中任选 3 名参加体能测试，则选到的 3 名同学中既有男同学又有女同学的概率为（）A．929B．1029C．1929D．2029思路1：设事件A：“选到的 3 名同学中既有男同学又有女同学”，其概率为：P ( A )2 1 1 2C C C C20 10 20 103C30（←考查组合应用及概率计算公式）2 0 1 9 1 0 91 02 02 1 2 13 0 2 9 2 8（←考查组合数公式）3 2 11 0 1 9 1 0 1 0 1 0 9（←考查运算技能） 1 0 2 9 1 42029故选 D.思路2：设事件A：“选到的 3 名同学中既有男同学又有女同学”，事件 A 的对立事件为 A ：“选到的 3 名同学中要么全男同学要么全女同学”其概率为：P ( A) 1 P ( A) （←考查对立事件概率计算公式）13 3C C20 103C30（←考查组合应用及概率计算公式）第4 页（共11 页）20 19 8 10 9 81 32 13 2 130 29 28（←考查组合数公式）3 2 12 0 1 9 1 8 1 0 9 8（←考查运算技能） 3 0 2 9 2 82029故选 D.7. 已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（）A．1 B． 2 C． 3 D．2分析：如果把公共弦长为 2 的相互垂直的两个截球面圆，想成一般情况，问题解决起来就比较麻烦，许多考生就是因为这样思考的，所以浪费了很多时间才得道答案；但是，如果把公共弦长为2 的相互垂直的两个截球面圆，想成其中一个恰好是大圆，那么两圆的圆心距就是球心到另一个小圆的距离 3 ，问题解决起来就很容易了.二、填空题13．2 14．2 5．3 2 216．两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形．注：上面给出了四个充要条件．如果考生写出其他正确答案，同样给分．三、解答题17．解：（Ⅰ）由cos5B ，得13sin12B ，13由cos4C ，得5sin3C ．5所以33sin A sin( B C ) sin B cos C cos B sin C ．···········································5 分65（Ⅱ）由33S△得ABC21 33A B A C sin A ，2 2由（Ⅰ）知sin33A ，65故AB AC 65 ，·······································································································8 分又A B sin B 20A C A Bsin C 13，故20132A B 65 ，13A B ．2所以 B CA B sin A 11sin C 2 ． (10)分18．解：各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是p ，记投保的10 000 人中出险的人数为，第5 页（共11 页）4则~ B (10 ， p ) ．（Ⅰ）记A 表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000 元赔偿金，则A 发生当且仅当 0 ，···· ······ ······ ······ ······ ···· ·· ···· ······ ······ ······ ······ ······ ······ ······ ······ ···· ·· ···· ··· ······ ······ ······ ······ ······ ····2 分P ( A ) 1P ( A ) 1P (0)4101 (1 p ) ，又410 P (A ) 1 0.999 ，故 p 0.001 ． ····· ···· ·· ···· ······ ······ ······ ······ ······ ······ ······ ······ ··· ······ ···· ······ ······ ······ ······ ······ ····5 分（Ⅱ）该险种总收入为 10 000 a 元，支出是赔偿金总额与成本的和．支出 1 0 0 0 05 0 0，0盈利 1 0 0 0a0( 1 0 0 0 05 0，0盈利的期望为 E1 0 0 0 a 0 1 0 0E0 05 ，0 ····· ······ ···· ······ ······ ······ ······ ······ ····9 分由43~ B (10 ，10 ) 知，3E10 000 10 ，444E10 a10 E5 104443410 a 10 10105 10 ．E ≥44410 a 1010 5 10≥ 0a≥10 5a ≥（元）．15故每位投保人应交纳的最低保费为 15 元． ·· ······ ······ ······ ···· ·· ···· ··· ······ ······ ······ ······ ······ ··12 分19．解法一：D1依题设知 A B 2 ， C E 1 ．C 1（Ⅰ）连结A C 交 BD 于点 F ，则B D A C ．A 1B1由三垂线定理知， B DA C ． 1······ ······ ······ ······ ······ ··· ······ ······ ···· ······ ······ ······ ······ ······ ····3 分H E在平面 A C A 内，连结E F 交 A 1C 于点 G ，1G DA A A C C1 2 2由于， A BF F C C E第6 页（共11 页）故R t △A AC ∽Rt △FCE ，1 AA C CFE ，1C F E 与F C A 互余．1于是A C EF ．1A C 与平面B E D 内两条相交直线 B D，E F 都垂直，1所以A C 平面 B ED ．·······························································································6 分1（Ⅱ）作G H D E ，垂足为H ，连结A H ．由三垂线定理知A H D E ，1 1故A HG 是二面角1 A D E B 的平面角．1·······························································8 分2 2EF CF CE 3 ，C GC E C FE F 23， 2 23 EG C E C G．3EG 1 1 EF F D 2，G H ． EF 3 3 D E 15又 2 2A1 C AA1 AC 2 6 ，5 6A G A C C G ．1 13A G1tan A H G 5 51H G ．所以二面角A D E B 的大小为arctan 5 5 ．1························································12 分z解法二：以D 为坐标原点，射线 D A 为x 轴的正半轴，D1 C1建立如图所示直角坐标系D xyz ．A1 B1 依题设，B (2 ，2，0) ，C (0，2，0)，E (0，2，1)， A (2 ，0，4) ．1 ED E (0 ，2，1)，D B (2 ，2，0) ，xDA BCyA1 C ( 2，2，4)，DA1 (2，0，4) ．················································································3 分（Ⅰ）因为A1C DB 0 ，A1C DE 0 ，故A C BD ，A1C D E ．1又DB DE D ，第7 页（共11 页）所以A C 平面 D BE ．····························································································6 分1（Ⅱ）设向量n( x，y，z)是平面D A E 的法向量，则1n DE ，n D A ．1故2 y z 0 ，2 x 4 z 0 ．令y 1，则z 2 ，x 4 ，n(4 ，1，2) ．······························································9 分n等于二面角，A C1 A D E B 的平面角，1cos n A C，1 nnA C1A C11442．所以二面角 A D E B 的大小为a rccos11442．·························································12 分20．解：（Ⅰ）依题意，nS 1 S a 1 S 3 ，即n n n nnS 1 2S 3 ，n n由此得n 1 nS S ．···················································································4 分1 3 2( 3 )n n因此，所求通项公式为n n 1b S 3 ( a 3)2 ，n n*n N．①········································································6 分（Ⅱ）由①知n n 1S 3 ( a 3)2 ，n*n N，于是，当n ≥ 2 时，a S Sn n n1n n 1 n 1 n 2 3 ( a 3) 2 3 ( a 3) 2n 1 n 22 3 ( a 3)2 ，n 1 n 2a 1 a 4 3 (a 3)2n nn 2n2 32 12 a3 ，2当n ≥ 2 时，n 2 3a ≥ a 12 a 3≥0n 1 n2第8 页（共11 页）a ≥．9又a2 a13 a1 ．综上，所求的 a 的取值范围是9，．·································································12 分21．（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为2x42 1y ，直线A B，EF 的方程分别为x 2 y 2 ，y kx ( k 0) ．··········································2 分如图，设D ( x ，kx )，E ( x ，kx )，F ( x ，kx ) ，其中0 0 1 1 2 2 x x ，1 2且x ，x 满足方程1 22 2(1 4k ) x 4 ，yBF故x x2 121 4k 2．①EODAx由ED 6DF 知x0 x1 6( x2 x0 ) ，得1 5 10x (6 x x ) x0 2 1 27 7 7 1 4k 2；由D 在A B 上知x0 2kx0 2 ，得x 021 2 k．2 10所以，1 2 k 7 1 4k 2化简得 224 k 25 k 6 0 ，解得2k 或33k ．8··································································································6 分（Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点E，F 到 A B 的距离分别为h 12x 2kx 2 2(1 2k 1 4k ) 1 125 5(1 4 )k，h 22x 2kx 2 2(1 2k 1 4k )2 225 5(1 4 )k．······························································9 分又 2AB 2 1 5 ，所以四边形A EBF 的面积为1S A B (h h )1 221 4(12 k)52 5(1 4 2 )k第9 页（共11 页）2(1 2 k )2 1 4 k221 4k4k21 4k≤ 2 2 ，当2k 1 ，即当1k 时，上式取等号．所以S的最大值为2 2 ．2···························12 分解法二：由题设，BO 1 ，AO 2 ．设y kx ，1 1 y kx ，由①得2 2x2 0 ，y 2 y1 0 ，故四边形A EBF 的面积为S S△S△BEF AEFx2 2 y2 ····················································································································9 分( x 2 y )2 222 2x2 4 y2 4 x2 y2≤ 2 22( x 4 y )2 22 2 ，当x2 2 y2 时，上式取等号．所以S的最大值为2 2 ．············································12 分22．解：（Ⅰ） f ( x) (2 cos x) cos x sin x( sin x) 2 cos x 12 2(2 cos x) (2 cos x)．··································2 分当2 π2π2kπx 2kπ（k Z）时，3 3cos1x ，即 f ( x) 0 ；2当2 π4π2kπx 2kπ（k Z）时，3 3cos1x ，即 f ( x) 0 ．2因此 f ( x)在每一个区间2π2π2 π 2 πk ，k （k Z）是增函数，3 3f ( x)在每一个区间2π4π2 π 2 πk ，k （k Z）是减函数．3 3································6 分（Ⅱ）令g ( x ) ax f ( x)，则11 页）第10 页（共g (x) a2 cos x 12 (2 cos x)a2 32 cos x (2 cos x)2321 1 1a2 cos x3 3．故当1a ≥时，g ( x)≥0 ．3又g (0) 0 ，所以当x ≥0 时，g ( x)≥g (0) 0 ，即 f ( x ) ≤ax ．··························9 分当01a 时，令h(x ) sin x 3ax ，则h( x)cos x 3a．3故当x 0，arccos 3a 时，h ( x) 0 ．因此h( x ) 在0，arccos 3a 上单调增加．故当x (0 ，arccos 3a ) 时，h(x ) h (0) 0 ，即sin x 3ax ．于是，当x (0，arccos 3a)时，sin x sin xf ( x ) ax2 cos x 3．π 1 π当a ≤0 时，有f≥ a ．2 2 21因此， a 的取值范围是，．··············································································12 分311 页）第11 页（共。

08学年第二学期大学数学2试题(A卷)

华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2008学年第 2 学期考试科目：大学数学2 考试类型：闭卷考试考试时间： 120 分钟学号姓名年级专业参考数据：(1)0.8413Φ= (4)0.99996Φ= (3)0.99856Φ= 96.1)(025.0=∞t 65.1)(05.0=∞t 14.11)4(2025.0=χ 8.12)5(2025.0=χ 48.0)4(2975.0=χ831.0)5(2975.0=χ一、选择题[把所选的代码A 、B 、C 、D 之一填入( )内](每小题3分，共15分) 1．设一个盒子中有5件产品，其中有3件是正品，2件次品，从盒子中任取两件，则取出的两件产品中至少有一件次品的概率为（）。

（A ）103 （B ）105 （C ）107（D ）512．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则)1(>X P 的值为（）。

（A ）λλ-e（B ）λ-e（C ）λλ-e k k!（D ）λλλ----e e 13．设n XX X ,,,21 是取自总体),(2σμN 的样本，且11~()ni i X X X n ==∑，则。

2().(,)A N n n μσ , 2().(,)B N μσ , 2().(,)C N n μσ , 2().(,)D N n σμ4．设12,,,n X X X 是来自正态总体),(2σμN X （）。

（A ）)1,0(N （B ）),(2σμN（C ）)(n t（D ）)1(-n t5. 设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，)31,8(~B Y ，且Y X ,相互独立，则)43(--Y X D =（）。

（A ）13- （B ）15 （C ）19 （D ）23二、填空题（每小题3分，共15分）6．设事件B A ,的概率分别为31与81)(,21=AB P ，则)(A B P = 。

7. 随机变量2~(,)X N μσ，则(3)P X μσ-<=____________。

2008—数二真题、标准答案及解析

2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设2()(1)(2)f x x x x =--，则'()f x 的零点个数为（）()A 0 ()B 1. ()C 2 ()D 3（2）曲线方程为()y f x =函数在区间[0,]a 上有连续导数，则定积分()at af x dx ⎰（）()A 曲边梯形ABCD 面积. ()B 梯形ABCD 面积. ()C 曲边三角形ACD 面积.()D 三角形ACD 面积.（3）在下列微分方程中，以123cos2sin 2xy C e C x C x =++（123,,C C C 为任意常数）为通解的是（）()A ''''''440y y y y +--= ()B ''''''440y y y y +++= ()C ''''''440y y y y --+=()D ''''''440y y y y -+-=（5）设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是（）()A 若{}n x 收敛，则{}()n f x 收敛. ()B 若{}n x 单调，则{}()n f x 收敛. ()C 若{}()n f x 收敛，则{}n x 收敛.()D 若{}()n f x 单调，则{}n x 收敛.（6）设函数f 连续，若2222(,)uvD F u v dxdy x y =+⎰⎰，其中区域uv D 为图中阴影部分，则F∂= ()A 2()vf u ()B 2()vf u u()C ()vf u()D ()vf u u（7）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵. 若30A =，则（）()A E A -不可逆，E A +不可逆.()B E A -不可逆，E A +可逆. ()C E A -可逆，E A +可逆.()D E A -可逆，E A +不可逆.（8）设1221A ⎛⎫=⎪⎝⎭，则在实数域上与A 合同的矩阵为（） ()A 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭.()B 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭.()C 2112⎛⎫ ⎪⎝⎭.()D 1221-⎛⎫⎪-⎝⎭.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9）已知函数()f x 连续，且21cos[()]lim1(1)()x x xf x e f x →-=-，则(0)____f =.（10）微分方程2()0x y x e dx xdy -+-=的通解是____y =.（11）曲线()()sin ln xy y x x +-=在点()0,1处的切线方程为 . （12）曲线23(5)y x x =-的拐点坐标为______. （13）设x yy z x ⎛⎫=⎪⎝⎭，则(1,2)____z x ∂=∂.（14）设3阶矩阵A 的特征值为2,3,λ.若行列式248A =-，则___λ=.三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)（本题满分9分）求极限()40sin sin sin sin lim x x x x x→-⎡⎤⎣⎦. (16)（本题满分10分）设函数()y y x =由参数方程20()ln(1)t x x t y u du =⎧⎪⎨=+⎪⎩⎰确定，其中()x t 是初值问题0200x t dx te dt x --⎧-=⎪⎨⎪=⎩的解.求22y x ∂∂. (17)（本题满分9分）求积分1⎰.(18)（本题满分11分）求二重积分max(,1),Dxy dxdy ⎰⎰其中{(,)02,02}D x y x y =≤≤≤≤(19)（本题满分11分）设()f x 是区间[)0,+∞上具有连续导数的单调增加函数，且(0)1f =.对任意的[)0,t ∈+∞，直线0,x x t ==，曲线()y f x =以及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周生成一旋转体.若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍，求函数()f x 的表达式. (20)（本题满分11分）(1) 证明积分中值定理：若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则至少存在一点[,]a b η∈，使得()()()baf x dx f b a η=-⎰(2)若函数()x ϕ具有二阶导数，且满足32(2)(1),(2)()x d x ϕϕϕϕ>>⎰，证明至少存在一点(1,3),()0ξϕξ''∈<使得（21）（本题满分11分）求函数222u x y z =++在约束条件22z x y =+和4x y z ++=下的最大值与最小值. （22）（本题满分12分）设矩阵2221212n na a a A a a ⨯⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，现矩阵A 满足方程A X B =，其中()1,,T n X x x = ，()1,0,,0B = ，（1）求证()1nA n a =+；（2）a 为何值，方程组有唯一解，并求1x ；（3）a 为何值，方程组有无穷多解，并求通解.（23）（本题满分10分）设A 为3阶矩阵，12,αα为A 的分别属于特征值1,1-特征向量，向量3α满足323A ααα=+，（1）证明123,,ααα线性无关；（2）令()123,,P ααα=，求1P AP -.2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题 (1)【答案】D【详解】因为(0)(1)(2)0f f f ===，由罗尔定理知至少有1(0,1)ξ∈，2(1,2)ξ∈使12()()0f f ξξ''==，所以()f x '至少有两个零点. 又()f x '中含有因子x ，故0x =也是()f x '的零点， D 正确. 本题的难度值为0.719. (2)【答案】C 【详解】00()()()()()()aa a aaxf x dx xdf x xf x f x dx af a f x dx '==-=-⎰⎰⎰⎰其中()af a 是矩形ABOC 面积，0()af x dx ⎰为曲边梯形ABOD 的面积，所以0()axf x dx '⎰为曲边三角形的面积．本题的难度值为0.829.(3)【答案】D【详解】由微分方程的通解中含有xe 、cos 2x 、sin 2x 知齐次线性方程所对应的特征方程有根1,2r r i ==±，所以特征方程为(1)(2)(2)0r r i r i --+=，即32440r r r -+-=. 故以已知函数为通解的微分方程是40y y y ''''''-+-= 本题的难度值为0.832. (4) 【答案】A【详解】0,1x x ==时()f x 无定义，故0,1x x ==是函数的间断点因为 000ln 11lim ()lim lim lim csc |1|csc cot x x x x x xf x x x x x++++→→→→=⋅=-- 200sin lim lim 0cos cos x x x xx x x++→→=-=-=同理 0lim ()0x f x -→= 又 1111ln 1lim ()lim lim sin lim sin1sin11x x x x x f x x x x ++++→→→→⎛⎫=⋅== ⎪-⎝⎭ 所以 0x =是可去间断点，1x =是跳跃间断点.本题的难度值为0.486.(5)【答案】B【详解】因为()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，且{}n x 单调. 所以{()}n f x 单调且有界. 故{()}n f x 一定存在极限.本题的难度值为0.537. (6)【答案】A【详解】用极坐标得 ()222()2011,()vu uf r r Df u v F u v dv rdr v f r dr +===⎰⎰⎰所以()2Fvf u u∂=∂ 本题的难度值为0.638. (7) 【答案】C【详解】23()()E A E A A E A E -++=-=，23()()E A E A A E A E +-+=+= 故,E A E A -+均可逆．本题的难度值为0.663. (8) 【答案】D【详解】记1221D -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则()2121421E D λλλλ--==---，又()2121421E A λλλλ---==---- 所以A 和D 有相同的特征多项式，所以A 和D 有相同的特征值.又A 和D 为同阶实对称矩阵，所以A 和D 相似．由于实对称矩阵相似必合同，故D 正确. 本题的难度值为0.759. 二、填空题 (9)【答案】2【详解】222220001cos[()]2sin [()2]2sin [()2]()lim lim lim ()[()2]4(1)()x x x x xf x xf x xf x f x x f x xf x e f x →→→-⋅==⋅- 011lim ()(0)122x f x f →=== 所以 (0)2f = 本题的难度值为0.828. (10)【答案】()xx eC --+【详解】微分方程()20xy x e dx xdy -+-=可变形为x dy yxe dx x--= 所以 111()dx dx x x x x xy e xe e dx C x xe dx C x e C x ----⎡⎤⎛⎫⎰⎰=+=⋅+=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎰⎰本题的难度值为0.617.(11)【答案】1y x =+【详解】设(,)sin()ln()F x y xy y x x =+--，则1cos()11cos()x y y xy F dy y x dx F x xy y x--'-=-=-'+-，将(0)1y =代入得1x dy dx==，所以切线方程为10y x -=-，即1y x =+本题的难度值为0.759. (12)【答案】(1,6)-- 【详解】5325y xx =-⇒23131351010(2)333x y x x x -+'=-= ⇒134343101010(1)999x y x x x--+''=+= 1x =-时，0y ''=；0x =时，y ''不存在在1x =-左右近旁y ''异号，在0x =左右近旁0y ''>，且(1)6y -=- 故曲线的拐点为(1,6)-- 本题的难度值为0.501. (13)221)- 【详解】设,y xu v x y==，则v z u = 所以121()ln v v z z u z v y vu u u x u x v x x y-∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-+⋅∂∂∂∂∂ 2ln 11ln x yv vy u y y u uxy x y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=⋅-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以(1,2)21)2z x ∂=-∂本题的难度值为0.575.(14)【答案】-1【详解】||236A λλ =⨯⨯=3|2|2||A A =32648λ∴⨯=- 1λ⇒=- 本题的难度值为0.839.三、解答题 (15)【详解】方法一：4300[sin sin(sin )]sin sin sin(sin )limlim x x x x x x x x x →→--=22220001sin cos cos(sin )cos 1cos(sin )12lim lim lim 3336x x x xx x x x x x x →→→--==== 方法二：331sin ()6x x x o x =-+ 331sin(sin )sin sin (sin )6x x x o x =-+4444400[sin sin(sin )]sin sin (sin )1lim lim 66x x x x xx o x x x x →→⎡⎤-∴ =+=⎢⎥⎣⎦本题的难度值为0.823. (16)【详解】方法一：由20x dxte dt--=得2x e dx tdt =，积分并由条件0t x =得21x e t =+，即2ln(1)x t =+ 所以 2222ln(1)2(1)ln(1)21dydy t tdt t t dxt dx dt t +⋅===+++222222[(1)ln(1)]2ln(1)221dt t d y d dy t t tdt dx t dx dx dx dt t ++++⎛⎫===⎪⎝⎭+ 22(1)[ln(1)1]t t =+++方法二：由20x dxte dt--=得2x e dx tdt =，积分并由条件0t x =得21x e t =+，即2ln(1)x t =+ 所以 2222ln(1)2(1)ln(1)21x dydy t tdt t t e x dxt dx dt t +⋅===++=+所以 22(1)x d ye x dx=+ 本题的难度值为0.742. (17)【详解】方法一：由于21x -→=+∞，故21⎰是反常积分.令arcsin x t =，有sin x t =，[0,2)t π∈2212222000sin cos 2cos sin ()cos 22t t t t t tdt t tdt dt t πππ===-⎰⎰⎰⎰2222220001sin 21sin 2sin 2441644tt t td t tdt πππππ=-=-+⎰⎰ 222011cos 2168164t πππ=-=+ 方法二：2121dx x -⎰12201(arcsin )2x d x =⎰121122220001(arcsin )(arcsin )(arcsin )28x x x x dx x x dx π=-=-⎰⎰令arcsin x t =，有sin x t =，[0,2)t π∈1222200011(arcsin )sin 2cos 224x x dx tdt t d t ππ==-⎰⎰⎰ 222200111(cos 2)cos 242164t t t tdt πππ=-+=-⎰故，原式21164π=+ 本题的难度值为0.631.(18)【详解】曲线1xy =将区域分成两个区域1D 和23D D +，为了便于计算继续对区域分割，最后为()max ,1Dxy dxdy ⎰⎰123D D D xydxdy dxdy dxdy =++⎰⎰⎰⎰⎰⎰112222211102211x xdx dy dx dy dx xydy =++⎰⎰⎰⎰⎰⎰1512ln 2ln 24=++-19ln 24=+ 本题的难度值为0.524.(19)【详解】旋转体的体积2()tV f x dx π=⎰，侧面积02(tS f x π=⎰，由题设条件知2()(ttf x dx f x =⎰⎰上式两端对t 求导得2()(f t f t = 即y '=由分离变量法解得1l n ()y t C +=+，即t y C e =将(0)1y =代入知1C =，故t y e +=，1()2tt y e e -=+ 于是所求函数为 1()()2x xy f x e e -==+ 本题的难度值为0.497.(20)【详解】(I) 设M 与m 是连续函数()f x 在[,]a b 上的最大值与最小值，即()m f x M ≤≤ [,]x a b ∈由定积分性质，有 ()()()bam b a f x dx M b a -≤≤-⎰，即 ()baf x dx m M b a≤≤-⎰由连续函数介值定理，至少存在一点[,]a b η∈，使得 ()()b af x dx f b aη=-⎰即()()()baf x dx f b a η=-⎰(II) 由(I)的结论可知至少存在一点[2,3]η∈，使 32()()(32)()x dx ϕϕηϕη=-=⎰又由32(2)()()x d x ϕϕϕη>=⎰，知 23η<≤对()x ϕ在[1,2][2,]η上分别应用拉格朗日中值定理，并注意到(1)(2)ϕϕ<，()(2)ϕηϕ<得1(2)(1)()021ϕϕϕξ-'=>- 112ξ<<2()(2)()02ϕηϕϕξη-'=<- 123ξη<<≤在12[,]ξξ上对导函数()x ϕ'应用拉格朗日中值定理，有2121()()()0ϕξϕξϕξξξ''-''=<- 12(,)(1,3)ξξξ∈⊂本题的难度值为0.719. (21)【详解】方法一：作拉格朗日函数22222(,,,,)()(4)F x y z x y z x y z x y z λμλμ=++++-+++-令 2222022020040x y z F x x F y y F z F x y z F x y z λμλμλμλμ'=++=⎧⎪'=++=⎪⎪'=-+=⎨⎪'=+-=⎪'=++-=⎪⎩解方程组得111222(,,)(1,1,2),(,,)(2,2,8)x y z x y z ==-- 故所求的最大值为72，最小值为6.方法二：问题可转化为求2242242u x y x x y y =++++在224x y x y +++=条件下的最值设44222222(,,)2(4)F x y u x y x y x y x y x y λλ==++++++++-令 323222442(12)0442(12)040x y F x xy x x F y x y y y F x y x y λλλ'⎧=++++=⎪'=++++=⎨⎪'=+++-=⎩解得1122(,)(1,1),(,)(2,2)x y x y ==--，代入22z x y =+，得122,8z z == 故所求的最大值为72，最小值为6. 本题的难度值为0.486. (22)【详解】(I)证法一：2222122212132101221221122aa a a a a a a a A r ar aaa a =-=121301240134(1)2(1)3231(1)0n n n a a an a a n a r ar a n a nnn a n--+-=⋅⋅⋅=++证法二：记||n D A =，下面用数学归纳法证明(1)nn D n a =+．当1n =时，12D a =，结论成立．当2n =时，2222132a D a a a==，结论成立．假设结论对小于n 的情况成立．将n D 按第1行展开得2212102121212n n a a a a D aD a a-=-21221222(1)(1)n n n n n aD a D ana a n a n a ---- =-=--=+故 ||(1)nA n a=+ 证法三：记||n D A =，将其按第一列展开得 2122n n n D aD a D --=-，所以 211212()n n n n n n D aD aD a D a D aD ------=-=-222321()()n n n n a D aD a D aD a ---=-==-=即 12122()2n n n n n n n n D a aD a a a aD a a D ----=+=++=++2121(2)(1)n n n n n a a D n a a D --==-+=-+ 1(1)2(1)n n n n a a a n a -=-+⋅=+(II)因为方程组有唯一解，所以由Ax B =知0A ≠，又(1)nA n a =+，故0a ≠．由克莱姆法则，将n D 的第1列换成b ，得行列式为2221122(1)(1)112102121221122n n n nn n a aa a a a a a D na a a a a --⨯-⨯-===所以 11(1)n n D nx D n a-==+ (III)方程组有无穷多解，由0A =，有0a =，则方程组为12101101001000n n x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为1n -，所以方程组有无穷多解，其通解为 ()()10000100,TTk k + 为任意常数．本题的难度值为0.270. (23)【详解】(I)证法一：假设123,,ααα线性相关．因为12,αα分别属于不同特征值的特征向量，故12,αα线性无关，则3α可由12,αα线性表出，不妨设31122l l ααα=+，其中12,l l 不全为零(若12,l l 同时为0，则3α为0，由323A ααα=+可知20α=，而特征向量都是非0向量，矛盾)11,A αα=-22A αα=∴32321122A l l αααααα=+=++，又311221122()A A l l l l ααααα=+=-+ ∴112221122l l l l ααααα-+=++，整理得：11220l αα+=则12,αα线性相关，矛盾. 所以，123,,ααα线性无关.证法二：设存在数123,,k k k ，使得1122330k k k ααα++= (1)用A 左乘(1)的两边并由11,A αα=-22A αα=得1123233()0k k k k ααα-+++= (2)(1)—(2)得 113220k k αα-= (3)因为12,αα是A 的属于不同特征值的特征向量，所以12,αα线性无关，从而130k k ==，代入(1)得220k α=，又由于20α≠，所以20k =，故123,,ααα线性无关.(II) 记123(,,)P ααα=，则P 可逆，123123(,,)(,,)AP A A A A αααααα==1223(,,)αααα=-+123100(,,)011001ααα-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭100011001P -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭所以 1100011001P AP --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.本题的难度值为0.272.。

08高数A(2)A卷答案-5页文档资料

s(x) = ( x ) 1 x
=
1 (1 x)2
， (1
x
1) ．
……10 分
第2页
线
4八．、设（10f
分(x)）是设区可域导D函数{(，x, y且) | 满x2 足 y条2 件1}：，计lim算 x0
f((1x)2
D

fy
(21)dxdxy)
2x4
。
1
，则曲线

f11

xf12

f2
yf 21

xyf 22
f11 x y f12 xyf22 f2
……4 ……6 ……8
专业：
订
学院：
装
第1页
五、（8 分）求曲面 x2 yz 3y2 2xz2 8z 上点 (1, 2, 1) 处的切平面和法线方程．
cos 2
d

1D.2
1f
(c3osesc2x)3dsec
x
)
ln1
3dx
0
2
40
2
4
……6 分 ……8 分
三、计算题（(1共 1)491分 5） .
4 4 16
……10 分
1九．、（解求8：分由lxi）m1z求函23x数xzx02，x211z
y2x在区。域 x2

设 s(x) nxn1 ， x (1,1) ．上式两边从 0 到 x 积分，得 n1
x s(x)dx
x
(
nxn1)dx

x nxn1dx xn
x
， (1 x 1) ，……7 分
0
0
n1

山东交通学院08-09第二学期高等数学理工试题A标准卷

题号
一二三四五六七总分审核得分
一、单项选择题（每小题2分，共20分）得分阅卷人二、填空题（将正确答案填在题中横线上，每小题 3 分，共 18 分）
得分阅卷人 ………………………密……………………封……………………线……………………
试卷适用班级 08 级理工类本专科各专业各班级班级姓名学号
三、计算题（每小题8 分，共32 分）
得分阅卷人试卷适用班级班级姓名学号
………………………密……………………封……………………线……………………
试卷适用班级 08 级理工类本专科各专业各班级
班级姓名学号
四、应用题（每小题8 分，共32 分）
得分
阅卷人 ………………………密……………………封……………………线…………………… 试卷适用班级 08 级理工类本专科各专业各班级班级姓名学号。

2008高考全国卷Ⅱ数学文科试卷含答案(全word版)2008高考全国卷Ⅱ数学文科试卷含答案(全wo

2008年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(必修+选修I)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至10页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B = 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(012)k kn k k n P k C p p k n -=-=，，，，一、选择题 1．若sin 0α<且tan 0α>是，则α是（）A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角2．设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n M N =∈-=Z 则，≤≤（）A ．{}01，B ．{}101-，，C ．{}012，，D ．{}1012-，，，3．原点到直线052=-+y x 的距离为（）A ．1B ．3C ．2D ．54．函数1()f x x x=-的图像关于（）A ．y 轴对称 B ．直线x y -=对称 C ．坐标原点对称 D ．直线x y =对称5．若13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===，，，，，则（） A ．a <b <cB ．c <a <bC ． b <a <cD ． b <c <a6．设变量x y ，满足约束条件：222y x x y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩，，．≥≤≥，则y x z 3-=的最小值为（）A ．2-B ．4-C ．6-D ．8-7．设曲线2ax y =在点（1，a ）处的切线与直线062=--y x 平行，则=a （）A ．1 B ．12C ．12-D ．1-8．正四棱锥的侧棱长为32，侧棱与底面所成的角为︒60，则该棱锥的体积为（）A ．3 B ．6 C ．9 D ．189．44)1()1(x x +-的展开式中x 的系数是（）A ．4-B ．3-C ．3D ．410．函数x x x f cos sin )(-=的最大值为（） A ．1B ．2 C ．3D ．211．设ABC △是等腰三角形，120ABC ∠=，则以A B ，为焦点且过点C 的双曲线的离心率为（）A ．221+ B ．231+ C ． 21+ D ．31+12．已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（）A ．1B ．2C ．3D ．22008年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(必修+选修I)第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线，则=λ ．14．从10名男同学，6名女同学中选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的不同选法共有种（用数字作答）15．已知F 是抛物线24C y x =：的焦点，A B ，是C 上的两个点，线段AB 的中点为(22)M ，，则ABF △的面积等于．16．平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件① ；B. 根据德国营养医学会的研究显示化学教案“啤酒肚”与男遗传基因有关化学教案就开始充要条件② ．（写出你认为正确的两个充要条件）三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）在ABC △中，5cos 13A =-，3cos 5B =．（Ⅰ）求sinC 的值；（Ⅱ）设5BC =，求ABC △的面积． 18．（本小题满分12分）等差数列{}n a 中，410a =且3610a a a ，，成等比数列，求数列{}n a 前20项的和20S ． 19．（本小题满分12分）甲、乙两人进行射击比赛，在一轮比赛中，甲、乙各射击一发子弹．根据以往资料知，甲击中8环，9环，10环的概率分别为0.6，0.3，0.1，乙击中8环，9环，10环的概率分别为0.4，0.4，0.2．设甲、乙的射击相互独立．（Ⅰ）求在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中环数的概率；（Ⅱ）求在独立的三轮比赛中，至少有两轮甲击中的环数多于乙击中环数的概率． 20．（本小题满分12分）如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，124AA AB ==，点E 在1CC 上且EC E C 31=．（Ⅰ）证明：1A C ⊥平面BED ；（Ⅱ）求二面角1A DE B --的大小．AB CD EA 1B 1C 1D 121．（本小题满分12分）设a ∈R ，函数233)(x ax x f -=．（Ⅰ）若2=x 是函数)(x f y =的极值点，求a 的值；（Ⅱ）若函数()()()[02]g x f x f x x '=+∈，，，在0=x 处取得最大值，求a 的取值范围． 22．（本小题满分12分）设椭圆中心在坐标原点，(20)(01)A B ，，，是它的两个顶点，直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点．（Ⅰ）若6ED DF =，求k 的值；（Ⅱ）求四边形AEBF 面积的最大值．2008年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题（必修+选修Ⅰ）参考答案和评分参考评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分．一、选择题1．C 2．B 3．D 4．C 5．C 6．D 7．A 8．B 9．A 10．B 11．B 12．C 二、填空题13．2 14．420 15．216．两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形．注：上面给出了四个充要条件．如果考生写出其他正确答案，同样给分．三、解答题 17．解：（Ⅰ）由5cos 13A =-，得12sin 13A =，由3cos 5B =，得4sin 5B =． ··········································································· 2分所以16sin sin()sin cos cos sin 65C A B A B A B =+=+=． ····································· 5分（Ⅱ）由正弦定理得45sin 13512sin 313BC B AC A ⨯⨯===． ··········································· 8分所以ABC △的面积1sin 2S BC AC C =⨯⨯⨯1131652365=⨯⨯⨯83=． ····················· 10分 18．解：设数列{}n a 的公差为d ，则3410a a d d =-=-， 642102a a d d =+=+，1046106a a d d =+=+． ················································································ 3分由3610a a a ，，成等比数列得23106a a a =，即2(10)(106)(102)d d d -+=+，整理得210100d d -=，解得0d =或1d =．······················································································· 7分当0d =时，20420200S a ==． ······································································ 9分当1d =时，14310317a a d =-=-⨯=，于是2012019202S a d ⨯=+207190330=⨯+=． ············································· 12分 19．解：记12A A ，分别表示甲击中9环，10环，12B B ，分别表示乙击中8环，9环，A 表示在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数，B 表示在三轮比赛中至少有两轮甲击中的环数多于乙击中的环数，12C C ，分别表示三轮中恰有两轮，三轮甲击中环数多于乙击中的环数．（Ⅰ）112122A A B A B A B =++， ··································································· 2分112122()()P A P A B A B A B =++ 112122()()()P A B P A B P A B =++112122()()()()()()P A P B P A P B P A P B =++0.30.40.10.40.10.40.2=⨯+⨯+⨯=． ····························································· 6分（Ⅱ）12B C C =+， ······················································································ 8分22213()[()][1()]30.2(10.2)0.096P C C P A P A =-=⨯⨯-=， 332()[()]0.20.008P C P A ===，1212()()()()0.0960.0080.104P B P C C P C P C =+=+=+=． ··························· 12分20．解法一：依题设，2AB =，1CE =．（Ⅰ）连结AC 交BD 于点F ，则BD AC ⊥．由三垂线定理知，1BD A C ⊥． ········································································· 3分在平面1A CA 内，连结EF 交1A C 于点G ，由于1AA AC FC CE==，故1Rt Rt A AC FCE △∽△，1AA C CFE ∠=∠，CFE ∠与1FCA ∠互余．于是1A C EF ⊥．1A C 与平面BED 内两条相交直线BD EF ，都垂直，所以1A C ⊥平面BED ． ·················································································· 6分（Ⅱ）作GH DE ⊥，垂足为H ，连结1A H ．由三垂线定理知1A H DE ⊥，故1A HG ∠是二面角1A DE B --的平面角．························································ 8分AB CDE A 1B 1C 1D 1 FH GEF =CE CF CG EF ⨯==3EG ==． 13EG EF =，13EF FD GH DE ⨯=⨯=又1AC ==113A G A C CG =-=．11tan AG A HG HG∠== 所以二面角1A DE B --的大小为arctan ················································· 12分解法二：以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系D xyz -．依题设，1(220)(020)(021)(204)B C E A ，，，，，，，，，，，．(021)(220)DE DB ==，，，，，，11(224)(204)AC DA =--=，，，，，． ······························ 3分（Ⅰ）因为10AC DB =，10AC DE =，故1A C BD ⊥，1A C DE ⊥．又DBDE D =，所以1A C ⊥平面DBE ． ·················································································· 6分（Ⅱ）设向量()x y z =，，n 是平面1DA E 的法向量，则DE ⊥n ，1DA ⊥n ．故20y z +=，240x z +=．令1y =，则2z =-，4x =，(412)=-，，n ． ····················································· 9分1AC <>，n 等于二面角1A DE B --的平面角，11114cos 42A C A C A C<>==，n n n 所以二面角1A DE B --的大小为arccos 42． ················································· 12分 21．解：（Ⅰ）2()363(2)f x ax x x ax '=-=-．因为2x =是函数()y f x =的极值点，所以(2)0f '=，即6(22)0a -=，因此1a =．经验证，当1a =时，2x =是函数()y f x =的极值点． ········································· 4分（Ⅱ）由题设，3222()336(3)3(2)g x ax x ax x ax x x x =-+-=+-+．当()g x 在区间[02]，上的最大值为(0)g 时，(0)(2)g g ≥，即02024a -≥．故得65a ≤． ································································································ 9分反之，当65a ≤时，对任意[02]x ∈，， 26()(3)3(2)5g x x x x x +-+≤23(210)5xx x =+- 3(25)(2)5xx x =+- 0≤，而(0)0g =，故()g x 在区间[02]，上的最大值为(0)g ．综上，a 的取值范围为65⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，． ··································································· 12分22．（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为2214x y +=，直线AB EF ，的方程分别为22x y +=，(0)y kx k =>． ····································· 2分如图，设001122()()()D x kx E x kx F x kx ，，，，，，其中12x x <，且12x x ，满足方程22(14)4k x +=，故21x x =-=由6ED DF =知01206()x x x x -=-，得021215(6)77x x x x =+==；由D 在AB 上知0022x kx +=，得0212x k=+．所以212k =+，化简得2242560k k -+=，解得23k =或38k =． ······················································································ 6分（Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点E F ，到AB的距离分别为1h ==2h ==······················································· 9分又AB ==，所以四边形AEBF 的面积为121()2S AB h h =+ 14(12525(14k k +=+== ≤当21k =，即当12k =时，上式取等号．所以S 的最大值为． ························ 12分解法二：由题设，1BO =，2AO =．设11y kx =，22y kx =，由①得20x >，210y y =->，故四边形AEBF 的面积为 BEF AEF S S S =+△△ 222x y =+ ···································································································· 9分===当222x y =时，上式取等号．所以S 的最大值为 ······································· 12分。

DA2007-2008学年第二学期高数试卷A参考答案

2007-2008学年第二学期高数试卷A 参考答案试卷号：A20080630一、1. 0 ；2. 0)2(2)1(4=+-+-z y x ；3. =I ⎰⎰101),(xdy y x f dx ；4. 32a π, ；5、R = 2 。

6、(4)0y y -=。

二、1、 B ； 2、 A ；3、B ；4、 C ；5、 A ；6、（化工、食工做） D ；6、（物理、机电、电气、计算机做） D三．1、令,12t x =+则 212-=t x ，,tdt dx =当0=x 时1=t 。

4=x 时3=t⎰++40122dx x x =⎰⎰+=+-312312)3(21221dt t tdt t t =3221333213=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+t t2、)cos()sin(y x e y x e xzx x -+-=∂∂ ，)cos(y x e y z x --=∂∂ ))cos())cos()((sin(dy y x dx y x y x e dz x---+-=3、令1sin )1(11+-=++n u n n n ππ，111sin)1(2sin )1(lim lim11221<=+-+-=++++∞→+∞→πππππn n u u n n n n n nn n所以原级数收敛且是绝对收敛的。

4、原式=⎰⎰⎰--++-∂+∂-∂-∂aa D dy x y dx y x dxdy yy x x x y )2()())()2((22 =⎰⎰⎰---D aaxdx dxdy )3(=32ab π-5、设长方体得长、宽、高分别为z y x ,,，则)(2xz yz xy S ++=，3a xyz = 令)(),,(3a xyz xz yz xy z y x F --++=λ 则00=-+==-+==-+=xy y x F xz z x F yz z y F z y x λλλ，解得z y x ==，代入3a xyz =得a z y x === ， 2min 6a S =四 )(),(),(2x y y x Q xy y x P ϕ==。