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九年级培优材料1

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九年级化学培优题(1)

九年级化学培优题(1)

九年级化学培优试卷（一）1、经分析，某种物质只含有一种元素，则该物质不可能是（ ）A 、混合物B 、化合物C 、纯净物D 、单质2、新制的蒸馏水不宜用于养金鱼，因为蒸馏水中含有较少的（ ）A 、氧元素B 、氧原子C 、氧分子D 、氢元素3、某学生用量筒取液体，他将量筒放平稳后面对刻度读数。

初次仰视液体凹液面的最低处，此时读数为25mL ；倒出部分液体后，倒出部分液体后，俯视液体凹液面的最低处，此时读数为17mL 。

该学生倒出的液体的体积是（ ）A 、8mLB 、大于8mLC 、小于8mLD 、无法确定4、有一份纯氯酸钾固体a ，另有一份混有少量二氧化锰的氯酸钾固体，两份固体质量相等。

分别同时加热a 和b ，能正确表示生成氧气的质量随反应时间而变化的图像是（ ）5、保持水的化学性质的最小粒子是（ ）A 、氧原子和氢原子B 、氧原子和氢分子C 、氧元素和氢元素D 、水分子6、下列各组物质通过过滤进行分离的是（ ）A 、食盐、泥沙B 、酒精、水C 、氧化铜、木炭D 、水、蔗糖7、下列物质中含氧分子的是（ ）A 、 22H OB 、2SOC 、4KMnOD 、液态空气 8、氢气将成一种重要的新型燃料，主要原因是（ ）A 、氢气密度小B 、氢气具有可燃性C 、氢气具有还原性D 、燃烧后无污染9、一种物质能发生分解反应，该反应一定不是（ ）A ．化合物B ．混合物C ．单质D ．纯净物10、甲、乙两同学分别用托盘天平称量食盐，甲在调节天平平衡时,指针偏右,称量食盐时天平平衡，称量结果为10.4g ，乙在调节天平平衡时指针偏左，称量食盐时天平平衡，称量结果为6.3g ，由甲、乙两同学所称食盐的实际质量之差（ ）A ．等于4.1gB ．大于4.1gC ．小于4.1gD ．无法确定11、下列叙述中正确的是（ ）A 、由一种元素组成的物质一定是纯净物B 、由不同种元素组成的物质一定是化合物C 、由同种分子构成的物质一定是纯净物D 、纯净物一定由同种分子构成12、北京奥运火炬所用燃料是丙烷（38C H ），下列有关丙烷的说法不正确的是（ ）A 、从组成上看：丙烷由碳、氢两种元素组成B 、从结构上看：一个丙烷分子由3个碳原子、8个氢原子构成C 、从性质上看：丙烷具有可燃性D 、从变化上看：丙烷完全燃烧只生成水13、催化剂在化学反应前后：①质量减少 ②质量不变 ③化学性质改变 ④化学性质不变 ⑤二氧化锰可以作为各种化学反应的催化剂，以上说法中的是（ ）A 、①和③B 、②和④C 、②、④和⑤D 、②和③14、下列说法中不正确的是（ ）A 、单质一定由同种元素组成B 、保持氧气化学性质的最小粒子是氧分子C 、原子是不能再分的最小粒子D 、化合物一定是由不同元素组成的纯净物15.在2H O 、OH -、H 、H +四种粒子中，属于分子的是（ ）A 、OH -B 、HC 、2H OD 、H +16、核外电子数相同而质子数不同的一组微粒是（ ）A 、Na 、Na +B 、2H O 、3NHC 、2H 、HeD 、2O-、Ne17、下列化合物中，含铁的质量分数最高的是（ ）A 、FeOB 、23Fe OC 、34Fe OD 、FeS18、下列叙述中正确的是（ ）A 、混合物中元素一定呈化合态。

物理九年级知识点培优

物理九年级知识点培优

物理九年级知识点培优物理是自然科学中一门重要的学科，它探究了世界的物质组成和各种现象的规律。

对于九年级学生来说，物理的学习不仅仅是为了应对考试，更是为了培养学生的观察力、实验能力和解决问题的能力。

下面将围绕九年级物理学习的重点知识点进行详细介绍和分析。

一、力的作用力是物体相互作用的结果，常用单位是牛顿（N）。

力的作用可以使物体发生运动、改变形状或者改变速度方向。

力的大小与物体的质量和加速度有关。

1. 重力：地球或其他天体对物体的吸引力称为重力，公式为F= mg，其中F是重力，m是物体的质量，g是重力加速度。

2. 弹力：当物体发生形状变化时，力的作用会使物体恢复原状，这种力称为弹力。

3. 摩擦力：物体在受到表面或其他物体的阻碍时，发生的力称为摩擦力。

摩擦力有两种类型：静摩擦力和动摩擦力。

二、运动的描述运动的描述需要考虑到物体的位移、速度和加速度。

位移描述了物体从起始位置到终止位置的变化量。

速度描述了物体位移变化的快慢和方向，加速度描述了速度增加或减少的快慢。

1. 速度：速度是位移在时间上的变化率，公式为v = Δx / Δt，其中v是速度，Δx是位移，Δt是时间。

2. 加速度：加速度是速度在时间上的变化率，公式为a = Δv / Δt，其中a是加速度，Δv是速度变化量，Δt是时间。

3. 运动图像：运动图像可以通过位移-时间图像、速度-时间图像和加速度-时间图像来表示运动情况。

根据图像的特征，可以进一步判断物体的运动状态。

三、力与运动力的作用能够改变物体的运动状态。

牛顿三定律是物体力学的基本定律。

1. 牛顿第一定律（惯性定律）：物体如果没有外力作用，将保持匀速直线运动或静止状态。

这意味着物体会维持自己原有的运动状态，只有外力的作用才能改变物体的运动状态。

2. 牛顿第二定律（运动定律）：物体的加速度与作用在它上面的力成正比，与物体质量成反比。

公式为F = ma，其中F是力，m是质量，a是加速度。

3. 牛顿第三定律（作用-反作用定律）：作用在物体上的力总有一个与之大小相等、方向相反的反作用力。

九年级英语培优文档

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I.阅读。

Some people believe that you can be a better learner if you know what kind of learner you are. There are three kinds of learners: people who learn through sight, people who learn through sound and people who learn through experiences.The first kind of learner learns by looking at things. They learn best from reading and seeing information, not just in words but in pictures too. They can often improve their English by making lists of new words, drawing charts for grammar and using pictures and diagrams in their study notes.People who learn through sound like hearing information. Often they enjoy listening to music,radio and conversations. They learn by discussing problems with others and making sure they can hear teachers easily. It’s easy for them to improve their self-study by reading their notes aloud or listening to English tapes.Some people learn best through experiences. One famous example would be the Wright brothers who invented the plane. They worked with bicycles and went out to study birds for long periods of time to find out the best way to build a plane that could fly. People who learn best this way are probably very active can’t sit still! This is because they learn best by doing something. These learners can learn new words by using actions for each word and taking part in discussions. They can join an English or a teacher club. It’s easy for these learners to get bored, so they can improve their self-study by taking short regular breaks to exercise or do something else.Which kind of learner are you?2.判断句子正（T）误（F）。

北师大版本数学九年级上册培优精品(全套)

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北师大版本初三数学培优教案（精品资源）目录第一讲：相似三角形的判定及模型 (1)模块一：相似三角形的判定与性质 (1)模块二：Ａ字型与8字型 (4)模块三：射影定理 (7)第二讲：相似三角形的计算及证明 (9)模块一：共线三等角 (9)模块二：相似中的比例证明 (13)第三讲：动态几何专题一 (17)模块一：相似三角形 (17)模块二：特殊四边形 (20)第四讲：相似综合计算及应用 (24)模块一:相似应用 (24)模块二:相似的综合计算 (26)第五讲：反比例函数 (29)模块一:反比例函数定义和性质 (29)模块二:反比例函数k值意义初步 (34)第六讲:反比例K意义进阶 (37)模块一：反比例K意义进阶 (37)第七讲：反比例函数综合及应用 (45)模块一：函数应用 (45)模块二：函数综合 (48)第八讲：一元二次方程及其应用 (55)模块一：一元二次方程 (55)模块二：一元二次方程的应用 (60)第一讲：相似三角形的判定及模型模块一：相似三角形的判定与性质1．相似三角形的判定（1）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似．（2）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．（3）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．2．相似三角形的性质（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．（2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．（3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方．（4）由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方．例题精讲知识点一：相似三角形的判定例1．（1）如图，点D ，E 分别在△ABC 的AB ，AC 边上，增加下列条件中的一个：△△AED=△B ，△△ADE=△C ，△BC DE AB AE =，△ABAE AC AD =，△AC 2=AD·AE ，使△ADE 与△ACB 一定相似的有（ ）A ． △△△B ．△△△C ． △△△△D ．△△△△*（2）如图，已知△ABC，AB=AC，点E、F在边BC上，满足△EAF=△C，若BF=6，CE=4，则AC的值为．训练1-1．如图，已知△1=△2，若再增加一个条件不一定能使结论△ADE△△ABC成立，则这个条件是（）A．△D=△B B．C．D．△AED=△C训练1-2．如图，在四边形ABCD中，如果△ADC=△BAC，那么下列条件中不能判定△ADC 和△BAC相似的是（）A．△DAC=△ABC B．AC是△BCD的平分线C．AC2=BC•CD D．=训练1-3．如图所示，矩形ABCD中，点E在DC上且DE：EC=2：3，连接BE交对角线AC于点O．延长AD交BE的延长线于点F，则△AOF与△BOC的面积之比为．知识点二：相似三角形的性质例2．如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，△BAD的平分线交BC于E，交DC 的延长线于F，BG△AE于G，BG=，则△EFC的周长为（）A．11B．10C．9D．8训练2-1．如图，在△ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，则△BEF与△DCB的面积比为（）A．B．C．D．训练2-2．若△ADE△△ACB，且=，若四边形BCED的面积是2，则△ADE的面积是．模块二：Ａ字型与8字型1．A 字型及其变形：EC AE DB AD =，BCDE AC AE AB AD == AB AE AC AD ⋅=⋅2．8字型及其变形：CD AB CO BO DO AO == CDAB DO BO CO AO ==例题精讲知识点一：A 字型例1．（1）如图，在△ABC 中，正方形EFGH 的两个顶点E 、F 在BC 上，另外两个顶点G 、H 分别在AC 、AB 上，BC=15，BC 边上的高是10，则正方形的面积为（ ）A ．6B ．36C ．12D ．49（2）如图，已知△ABC 、△DCE 、△FEG 、△HGI 是4个全等的等腰三角形，底边BC 、CE 、EG 、GI 在同一直线上，且AB=2，BC=1，连接AI ，交FG 于点Q ，则QI= ．训练1-1．（1）如图，要在一起△ABC 的纸片上截取正方形DEFG 模型，其中G 、F 在BC 边上，D 、E 分别在 AB 、AC 边上，AH△BC 交于DE 于M ，若BC=12，AH=8，则正方形DEFG 的边长为（ ）A ．524 B ．4 C ．724D ．5训练1-2．如图，n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△B 2D 1C 1面积为S 1，△B 3D 2C 2面积为S 2，…，△B n+1D n C n 面积为S n ，则S n 等于（ ）A ．B ．C ．D ．知识点二：8字型例2．（1）如图，点D 是AB 边的中点，AF△BC ，CG:GA=3:1，BC=8，则AF= ．（2）如图，已知△ABC△△DCE△△HEF，三条对应边BC、CE、EF在同一条直线上，连接BH，分别交AC、DC、DE于点P、Q、K，其中S△PQC=1，则图中三个阴影部分的面积和为．训练2．（1）如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，连接AF交CG于M点，则FM=．（2）如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…M n分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，B n B n+1的中点，△B1C1M1的面积为S1，△B2C2M2的面积为S2，…△B n C n M n的面积为S n，则S n=．（用含n的式子表示）模块三：射影定理1．射影定理射影定理图模：如右图所示，图中所有的直角三角形都是相似的，则有：AC2=AD·AB；CD2=AD·DB；BC2=BD·AB．2．广义射影定理图模如右图所示，当△ACD=△B时，△ACD△△ABC，则有：AC2=AD·AB例题精讲知识点一：射影定理例1．（1）如图，Rt△ABC在中，△C=90°，CD△AB于点D，且AD:BD=9:4，AC:BC的值为．（2）如图，在矩形ABCD中，F是AB的中点，且CF△BD于G，DG=2，CG值为，CD值为．（3）如图，已知△ACP=△B，AC=4，AP=2，则AB=．3，则训练1-1．（1）如图，Rt△ABC在中，△C=90°，CD△AB于点D，且AD=6，AC=6CB=．（2）如图，在矩形ABCD中，AF:BF=2:1，且CF△BD于G，DG=3，CG值为，CD值为．（3）如图，已知△ACD=△B，AC=5，AD=3，则AB=．第二讲：相似三角形的计算及证明模块一：共线三等角1．三垂直及斜K模型△ABE△△ECD △ AB·CD = BE·EC2．共线三等角拓展模型特别地，当点E 是BC 的中点时，△ABE△△ECD△△AED，AE、DE 分别平分△ABD、△ADE．3．手拉手模型：结论：△ABC△△ADE△ABD△△ACE例题精讲知识点一：三垂直例1．（1）在矩形ABCD中，由8个边长均为1的正方形组成的“L 型”模板如图2放置，则BC边的长度为．（2）在平面坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1，…按这样的规律进行下去，第2018个正方形的面积为．训练1-1．（1）如图，正方形ABCD的边长为10，内部有6个全等的正方形，小正方形的顶点E、F、G、H分别落在边AD、AB、BC、CD上，则DE 的长为．（2）如图，点P1，P2，P3，P4均在坐标轴上，且P1P2△P2P3，P2P3△P3P4，若点P1，P2的坐标分别为（0，﹣1），（﹣2，0），则点P4的坐标为．训练1-2．（1）如图为两正方形ABCD 、BEFG 和矩形DGHI 的位置图，其中G 、F 两点分别在BC 、EH 上．若AB=5，BG=3，则△GFH 的面积为何？（ ）A ．10B ．11C ．D ．（2） 如图，直线y=﹣2x+2与坐标轴交于A ，B 两点．以AB 为短边在第一象限作一个矩形ABCD ，使得AB ：AD=1﹕2．则D 点的坐标为 ．知识点二：斜K 模型例2．如图，四边形ABCD ，M 为BC 边的中点．若∠B=∠AMD=∠C=45°，AB=8，CD=9，则BC 的长为 ．训练2．如图，在等边△ABC 中，D 为BC 边上一点，E 为AC 边上一点，且∠ADE=60°，BD=4，CE=34，则△ABC 的周长为 ．知识点三：手拉手模型例3．（1）如图，△ABC 中，AC=3，分别以BC 、AB 为底边作顶角为120°的等腰△BDC 和△AEB ，D 在△ABC 内，E 在△ABC 外，那么ED 的长等于 ．（2）如图，Rt△ABC 中，△BCA=90°，AB=AC ，AC 边上有点 D ，连结BD ，以BD 为腰作等腰直角三角形的BDE ，DE 交BC 于F ，那么下面结论：△△ABD△△CBE ； △△BCE=90°△DF·EF=BF·CF ； △BC －CE=2CD ．其中正确的有（ ）A ．△△B ．△△△C ．△△△D ．△△△△训练3．（1）如图，△ABC 中，AC=5，分别以BC 、AB 为底边作等边△BDC 和△AEB ，D 在△ABC 内，E 在△ABC 外，那么ED 的长等于（ ）A ．5B ．52C ．55D ．5（2）如图，在同一平面内将两个全等的等腰Rt△ABC和△AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF，AG与边BC的交点分别为D，E(点D不与点B重合，点E不与点C重合)．若BD=4，，DE=5，CE=3，则AD= ，AE= ．模块二：相似中的比例证明例题精讲例4．（1）如图，已知正方形ABCD中，BE平分△DBC且交CD边于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，并延长BE交DF于点G．①求证：△BDG△△DEG；②若EG•BG=4，求BE的长．（2）如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，联结DE，过顶点B作BF△DE，垂足为F，BF交边DC于点G，求证：GD•AB=DF•BG．（3）如图，已知DE△BC，AO，DF交于点C．△EAB=△BCF，求证：OB2=OE•OF．训练4．（1）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，E为CD边的中点，将△ADE绕点E顺时针旋转180°，点D对应点为C，点A的对应点为F，过点E作ME△AF交BC于点M，交BD于点N，现有下列结论：△AM=AD+MC；△AM=DE+BM；△DE2=AD•CM；△点N为AM的中点其中正确的结论为．（4）如图，已知在△ABC中，△BAC=2△B，AD平分△BAC，DF△BE，点E在线段BA的延长线上，联结DE，交AC于点G，且△E=△C．①求证：AD2=AF•AB；②求证：AD•BE=DE•AB．（3）如图，已知A、B、C三点在同一条直线上，△ABD与△BCE都是等边三角形，其中线段AE交DB于点F，线段CD交BE于点G．求证：=．拓展（辅助线）△ABC，点D是AB的中点，过点D任作一条直线DF，交BC的延长线于F点，交AC于E点；求证：AE•CF=BF•EC．第三讲：动态几何专题一模块一：相似三角形例题精讲知识点一：直角相似例1．如图，在Rt△ABC中，△ACB=90°，AC=8，BC=6，CD△AB于点D．点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．（1）求线段CD的长；（2）当t为何值时，△CPQ与△ABC相似？（3）当t为何值时，△CPQ为等腰三角形？训练1-1．如图所示，已知直线l的表达式为y=﹣x+8，且l与x轴、y轴分别交于A、B 两点，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向A移动，同时动点P 从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，其中一点停止运动，另一点也随之停止运动，设点Q、P移动时间为t秒．（1）求点A、B的坐标（2）当t为何值时，△APQ与△AOB相似；（3）当t为何值时，△APQ的面积最大，最大面积是多少？知识点二：非直角相似例2．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在x轴负半轴上，顶点C在x轴正半轴上，顶点B在第一象限，过点B作BD△y轴于点D，线段OA，OC的长是一元二次方程x2﹣12x+36=0的两根，BC=4，△BAC=45°．（1）求点A，C的坐标；（2）在y轴上是否存在点P，使以P，B，D为顶点的三角形与以P，O，A为顶点的三角形相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．模块二：特殊四边形例题精讲（菱形+直角三角形）例3．如图，在Rt△ABC中，△B=90°，AC=60，AB=30．D是AC上的动点，过D作DF△BC 于F，过F作FE△AC，交AB于E．设CD=x，DF=y．（1）求y与x的函数关系式；（2）当四边形AEFD为菱形时，求x的值；（3）当△DEF是直角三角形时，求x的值．训练3．如图，在△ABC中，AB=AC，AD△BC于点D，BC=10cm，AD=8cm．点P从点B 出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m 从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）连接DE、DF，当四边形AEDF为菱形，请求出此时t的值；（2）是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．（面积+平行四边形）例4．如图△，矩形OABC的边OA、OC分别在坐标轴上，点B在第二象限，且点B的横、纵坐标是一元二次方程m2+m﹣12=0的两个实数根．把矩形OABC沿直线BE折叠，使点C落在AB边上的点F处，点E在CO边上．（1）直接填空：B（，），F（，）；（2）如图△，若△BCE从该位置开始，以固定的速度沿x轴水平向右移动，直到点C与原点O重合时停止．记△BCE平移后为△B′C′E′，△B′C′E′与四边形OABE重叠部分的面积为S，请求出面积S与平移距离t之间的函数关系式，并直接写出t的取值范围；（3）如图△，设点G为EF中点，若点M在直线CG上，点N在y轴上，是否存在这样的点M，使得以M、N、B、G为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．训练4．已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC 与点E、F，垂足为O．（1）如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周，即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止，在运动过程中，已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．第四讲：相似综合计算及应用模块一:相似应用例题精讲例1．如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1．5米，那么路灯A 的高度AB是多少？训练1．墙壁CD上D处有一盏灯（如图），小明站在A处测得他的影长与身长相等，都为1．6m，他向墙壁走1m到B处时发现影子刚好落在A点，则灯泡与地面的距离CD=．例2．（1）如图，当太阳光与地面上的树影成45°角时，树影投射在墙上的影高CD等于2米，若树根到墙的距离BC等于8米，则树高AB等于米．（2）如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上，已知铁塔底座宽CD=14m，塔影长DE=36m，小明和小华的身高都是1．6m，小明站在点E处，影子也在斜坡面上，小华站在沿DE方向的坡脚下，影子在平地上，两人的影长分别为4m与2m，那么塔高AB为m．训练2．（1）兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0．4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0．2米，一级台阶高为0．3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4．4米，则树高为．（2）如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知CD=12m，DE=18m，小明和小华的身高都是1．5m，同一时刻小明站在E处，影子落在坡面上，影长为2m，小华站在平地上，影子也落在平地上，影长为1m，则塔高AB是米．模块二:相似的综合计算深圳中考真题训练1．如图，四边形ABCD 是正方体，CEA ∠和ABF ∠都是直角且点,,E A B 三点共线，4AB =，则阴影部分的面积是 ．2．在Rt ABC ∆中，︒=∠90C ，AD 平分CAB ∠，AD BE 、相交于点F ，且4,2AF EF ==，则AC = ．3．如图，在Rt△ABC 中，△ABC=90°，AB=3，BC=4，Rt△MPN ，△MPN=90°，点P 在AC 上，PM 交AB 于点E ，PN 交BC 于点F ，当PE=2PF 时，AP= ．4．如图，CB=CA ，△ACB=90°，点D 在边BC 上（与B 、C 不重合），四边形ADEF 为正方形，过点F 作FG△CA ，交CA 的延长线于点G ，连接FB ，交DE 于点Q ，给出以下结论：△AC=FG ；△2:1==CEFG FAB S S 四边形△；△△ABC=△ABF ；△AC FQ AD •=2，其中正确的结论个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4例题精讲例3．（1）正方形ABCD中，F是AB上一点，H是BC延长线上一点，连接FH，将△FBH 沿FH翻折，使点B的对应点E落在AD上，EH与CD交于点G，连接BG交FH于点M，当GB平分△CGE时，BM=2，AE=8，则ED=．（2）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的顶点A在x轴上，OA=4，OC=3，点D为BC边上一点，以AD为一边在与点B的同侧作正方形ADEF，连接OE．当点D在边BC上运动时，OE的长度的最小值是．训练3．（1）正方形ABCD的边长AB=2，E为AB的中点，F为BC的中点，AF分别与DE、BD相交于点M，N，则MN的长为．（2）一块矩形木板ABCD，长AD=3cm，宽AB=2cm，小虎将一块等腰直角三角板的一条直角边靠在顶点C上，另一条直角边与AB边交于点E，三角板的直角顶点P在AD边上移动（不含端点A、D），当线段BE最短时，AP的长为．（3）如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线一点，连接AE交CD于F，作△AEG=△AEB，EG交CD的延长线于G，连接AG，当CE=BC=2时，作FH△AG于H，连接DH，则DH 的长为．第五讲：反比例函数模块一:反比例函数定义和性质1．反比例函数的定义形如y=（k 为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x 是自变量，y 是函数，自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数．三种形式：y=（k 为常数，k≠0）、y=kx ﹣1（k 为常数，k≠0）、k y x =⋅（k 为常数，k≠0）2．反比例函数图象的对称性反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：△二、四象限的角平分线y=﹣x ； △一、三象限的角平分线y=x ；对称中心是：坐标原点．3．反比例函数的性质（1）反比例函数y=kx （k≠0）的图象是双曲线；（2）当k ＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y 随x 的增大而减小；（3）当k ＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y 随x 的增大而增大．注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．例题精讲例1．（1）下列函数中，表示y 是x 的反比例函数的是（ ）A ．y=B ．y=C ．y=2xD ．y=（2）函数y=（m+1）x是y 关于x 的反比例函数，则m= ．（3）反比例函数y=（2m ﹣1）x ，在每个象限内，y 随x 的增大而增大，则m 的值是．训练1．（1）下列函数是反比例函数的是（）A．B．y=x2+x C．D．y=4x+8（2）若函数y=（m+1）是反比例函数，则m的值为．（3）若反比例函数的图象在第二、四象限，m的值为．例2．（1）在同一平面直角坐标系中，函数y=mx+2和y=（m≠0）的图象大致是（）A．B．C．D．（2）如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（1，3），C（3，1），若反比例函数y=在第一象限内的图象与△ABC有公共点，则k的取值范围是．训练2．（1）已知一次函数y=mx+n与反比例函数y=其中m、n为常数，且mn＜0，则它们在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．（2）如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，3），B（5，3），C（5，5），若反比例函数y=在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是（）A．1≤k≤15B．3≤k≤15C．3≤k≤25D．15≤k≤25例3．（1）如果直线y=mx与双曲线y=的一个交点A的坐标为（3，2），则它们的另一个交点B的坐标为．（2）函数y=﹣的图象经过点A（x1，y1）、B（x2，y2），若x1＜x2＜0，则y1、y2、0三者的大小关系是（）A．y1＜y2＜0B．y2＜y1＜0C．y1＞y2＞0D．y2＞y1＞0训练3．（1）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=的图象与正比例函数y=kx的图象交于点A（1，3）和点B，则点B的坐标为．（2）已知A（﹣4，y1），B（﹣1，y2）是反比例函数y=﹣图象上的两个点，则y1与y2的大小关系为．（3）若点A（x1，﹣6），B（x2，﹣2），C（x3，2）在反比例函数y=的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（）A．x1＜x2＜x3B．x2＜x1＜x3C．x2＜x3＜x1D．x3＜x2＜x1例4．（1）已知函数y1=，y2=x+1，若y1＞y2，则x的取值范围是（）A．x＜﹣1或0＜x＜2 B．﹣1＜x＜0或x＞2C．﹣2＜x＜0或x＞1D．x＜﹣2或0＜x＜1（2）如图，一次函数y1=x﹣1与反比例函数的图象交于点A（2，1）、B（﹣1，﹣2），则使y1＞y2的x的取值范围是．训练4．（1）已知直线y1=ax与双曲线y2=相交，如图所示，y1＞y2时x的范围是．（2）如图，直线y1=﹣x+b与双曲线y2=交于A、B两点，点A的横坐标为1，则不等式﹣x+b＜的解集是．模块二:反比例函数k 值意义初步1．k 的计算方法（1）一点坐标乘积xy=k （2）两点坐标乘积相等，列方程求k（3）三角形面积求k （4）矩形面积求k2．k 的几何意义（1）k =AOBP S 矩形 （2）ABO S △2k =（3）ABC S △=2|k| （4）ABM S △=|k|**3．面积问题中的两种方法（1）几何法：△通过三角形或矩形的面积转化，把要求的面积转化成熟悉的三角形或矩形面积； △充分抓住已知条件中的特殊关系（比值、中点等）△如果找不到或用不上熟悉三角形或矩形，则需要作辅助线，辅助线的做法通常是通过反比例函数图像上的点作x 轴或y 轴的垂线来构造出熟悉三角形或矩形；△最后通过三角形或矩形面积算出k 的值．（2）代数法：△在反比例函数上找一合适的点（跟中点或比值等特殊关系有关的点）并设其坐标为（x ，y ）；△用x 和y 表示出整块大图形的面积和除已知面积图形外的三角形面积，并将其代入方程：已知部分全S S S =-△解出x 和y ，并通过xy=k 计算出k 的值．例题精讲例5．（1）已知反比例函数图像上有两点A （a ，2）、B(m ，4)，已知a 和m 是方程0862=+-x x 的两个不等的解，则该反比例函数的解析式为 ．（2）如图，矩形ABCD 的对角线BD 经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C 在反比例函数y=的图象上，若点A 的坐标为（﹣2，﹣2），则k 的值为 ．训练5．（1）已知反比例函数图像经过二、四象限，并经过两点（a ，a+2）与（1，6a+5），则该反比例函数图像的解析式为 ．（2）如图，B （3，﹣3），C （5，0），以OC ，CB 为边作平行四边形OABC ，则经过点A 的反比例函数的解析式为 ．例6．（1）如图，已知函数y=kx 与函数y=的图象交于A 、B 两点，过点B 作BC△y 轴，垂足为C，连接AC．若△ABC 的面积为2，则k 的值为．（2）如图，直线l分别交x轴、y轴于点A、B，交双曲线y=（x＞0）于点C，若AB：AC=1：3，且S△AOB=，则k的值为．训练6．（1）如图，正比例函数y=﹣x与反比例函数y=﹣的图象相交于A、C两点，AB△x 轴于B，CD△x轴于D，则四边形ABCD的面积为．（2）如图，已知直线y=﹣2x+5与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB沿直线AB 翻折后，设点O的对应点为点C，双曲线y=（x＞0）经过点C，则k的值为．第六讲:反比例K 意义进阶模块一：反比例K 意义进阶面积问题中的两种方法（1）几何法：△通过三角形或矩形的面积转化，把要求的面积转化成熟悉的三角形或矩形面积； △充分抓住已知条件中的特殊关系（比值、中点等）△如果找不到或用不上熟悉三角形或矩形，则需要作辅助线，辅助线的做法通常是通过反比例函数图像上的点作x 轴或y 轴的垂线来构造出熟悉三角形或矩形； △最后通过三角形或矩形面积算出k 的值．（2）代数法：△在反比例函数上找一合适的点（跟中点或比值等特殊关系有关的点）并设其坐标为（x ，y ）；△用x 和y 表示出整块大图形的面积和除已知面积图形外的三角形面积，并将其代入方程：已知部分全S S S =-△解出x 和y ，并通过xy=k 计算出k 的值．中考真题训练1．如图，A B 、是函数12y x =上两点，P 为一动点，作//PB y 轴，//PA x 轴，下列说法正确的是（ ）△AOP BOP ∆≅∆；△AOP BOP S S ∆∆=；△若OA OB =，则OP 平分AOB ∠；△若4BOP S ∆=，则16ABP S ∆=．A ．△△B ．△△C ．△△D ．△△2．如图，四边形ABCO 是平行四边形，,6,2==AB OA 点C 在x 轴的负半轴上，将 ABCO 绕点A 逆时针旋转得到平行四边形ADEF ，AD 经过点O ，点F 恰好落在x 轴的正半轴上．若点D 在反比例函数)0(y <=x xk 的图像上，则k 的值为_________．3．如图，Rt△ABC 的直角边BC 在x 轴正半轴上，斜边AC 边上的中线BD 的反向延长线交y 轴负半轴于点E ，双曲线xk y =(k ＞0）的图象经过点A ，若S △BEC =8，则k 等于4．如图，双曲线y=经过Rt△BOC 斜边上的点A ，且满足=，与BC 交于点D ，S △BOD =21，求k= ．例题精讲考点一：边长比例类例1．（1）已知反比例函数y=在第二象限内的图象如图，经过图象上两点A、E分别引y 轴与x轴的垂线，交于点C，且与y轴与x轴分别交于点M、B．连接OC交反比例函数图象于点D，且=，连接OA，OE，如果△AOC的面积是15，则△ADC与△BOE的面积和为．（2）如图，点A在双曲线y=的第一象限的那一支上，AB垂直于y轴与点B，点C在x 轴正半轴上，且OC=2AB，点E在线段AC上，且AE=3EC，点D为OB的中点，若△ADE 的面积为3，则k的值为．训练1．（1）如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点A在x轴上的正半轴上，BC=2AC，点B、C在反比例函数y=（x＞0）的图象上，则△OAB的面积为．（2）如图，在直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴上，，△AOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数y=的图象过点C，若以CD为边的正方形的面积等于，则k的值是．考点二：两个反比例函数例2．（1）双曲线与在第一象限内的图象如图所示，作一条平行于y轴的直线分别交双曲线于A、B两点，连接OA、OB，则△AOB的面积为．（2）如图，点A与点B分别在函数y=与y=的图象上，线段AB 的中点M在y轴上．若△AOB的面积为2，则k1﹣k2的值是．（3）如图，已知点A是双曲线在第一象限分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边三角形ABC，点C在第四象限内，且随着点A的运动，点C的位置也在不断变化，但点C始终在双曲线上运动，则k的值是．训练2．（1）如图，点A在函数y=（x＞0）的图象上，点B在函数y=（x＞0）的图象上，且AB△x轴，BC△x轴于点C，则四边形ABCO的面积为．（2）如图，反比例函数y=﹣和y=上分别有两点B、C，且BC△x轴，点P是x轴上一动点，则△BCP的面积是．（3）如图，在Rt△ABC中，△ABC=90°，点B在x轴上，且B（﹣1，0），A点的横坐标是2，AB=3BC，双曲线y=（m＞0）经过A点，双曲线y=﹣经过C点，则Rt△ABC 的面积为．考点三：面积综合例3．（1）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B在双曲线y=（k是常数，且k≠0）上，过点A作AD△x轴于点D，过点B作BC△y轴于点C，已知点A的坐标为（4，），四边形ABCD的面积为4，则点B的坐标为．（2）如图，矩形ABCD的顶点D在反比例函数y=（x＜0）的图象上，顶点B，C在x 轴上，对角线AC的延长线交y轴于点E，连接BE，若△BCE的面积是6，则k的值为．（3）如图，△AOB和△BCD均为等边三角形，且顶点A、C均在双曲线y=（x＞0），AD 与BC相交于点P，则图中△OAP的面积为．训练3．（1）如图，点E、F在函数y=的图象上，直线EF分别与x轴、y轴交于点A、B，且BE：BF=1：3，则△EOF的面积是．（2）如图，点A是反比例函数y=（x＞0）的图象上一点，OA与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点C，点B在y轴的正半轴上，且AB=OA，若△ABC的面积为6，则k的值为．（3）如图，点A、B在双曲线y=的第一象限分支上，AO的延长线交第三象限的双曲线于C，AB的延长线与x轴交于点D，连接CD与y轴交于点E，若AB=BD，S△ODE=，则k=．拓展题1．如图，△AOB为等边三角形，点B的坐标为（﹣4，0），过点C（4，0）作直线l交AO 于D，交AB于E，点E在某反比例函数图象上，当△ADE和△DCO的面积相等时，那么该反比例函数的解析式为y=．2．如图，已知反比例函数y=（x＞0）的图象经过点A（3，4），在该图象上面找一点P，使△POA=45°，则点P的坐标为．第七讲：反比例函数综合及应用模块一：函数应用例题精讲例1．（1）某市一蔬菜生产基础用装有恒温系统的大棚栽培一种适宜生长温度为15﹣20△的新品种，图中是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（△）随时间x（h）变化的函数图象，其中AB段是恒温阶段，BC是双曲线y=的一部分．请根据图中的信息解答下列问题：（1）求k的值；（2）恒温系统在一天内保持大鹏温度在15△及15△以上的时间有多少小时？（2）一般情况下，学生注意力上课后逐渐增强，中间有段时间处于较理想的稳定状态，随后开始分散．实验结果表明，学生注意力指数y随时间x（min）的变化规律如图所示（其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）：（1）上课后第5min与第30min相比较，何时学生注意力更集中？（2）某道难题需连续讲19min，为保证效果，学生注意力指数不宜低于36，老师能否在所需要求下讲完这道题？训练1．（1）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x小时之间函数关系如图所示（当4≤x≤10时，y与x成反比例）．①根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式．②问血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间多少小时？（2）工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料烧到800△，然后停止煅烧进行锻造操作，经过8min时，材料温度降为600△．煅烧时温度y（△）与时间x（min）成一次函数关系；锻造时，温度y（△）与时间x（min）成反比例函数关系（如图）．已知该材料初始温度是32△．①分别求出材料煅烧和锻造时y与x的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围；②根据工艺要求，当材料温度低于480△时，须停止操作．那么锻造的操作时间有多长？。

九年级语文培优记录表10篇

九年级语文培优记录表10篇
3、写作练习，写作讨论，写作指导。
训练收获
对写作不再排斥。
存在的问题
知识面窄，应多阅读课外书籍培养语感。
后记
通过训练，学生的对语文和写作的兴趣更浓厚了。
教师姓名：年下期
班级
106；107
科目
语文
时间跨度
11.10-11.24
本阶段优生
重点训练名单
训练要点
1、布置课外阅读任务，扩大阅读量；
2、阅读理解训练；
训练收获
综合能力及应考能力有所提高。
存在的问题
阅读理解的主观题正确率不高。
后记
通过训练，学生的对语文和写作的兴趣更浓厚了。
教师姓名：年下期
班级
106；107
科目
语文
时间跨度
10.28-11.9
本阶段优生
重点训练名单
训练要点
1、布置课外阅读任务，扩大阅读量；
2、加强基础知识与实际运用能力的训练，阅读理解训练；
3、写作练习。
训练收获
综合能力及应考能力有所提高。
存在的问题
阅读理解正确率不高
后记
通过训练，学生对写作的兴趣更浓厚了。
训练收获
综合能力及应考能力有所提高。
存在的问题
阅读理解正确率不高，尤其是主观题，思路不清晰。
后记
通过训练，学生的对语文和写作的兴趣更浓厚了。
教师姓名：年下期
班级
106；107
科目
语文
时间跨度
10.13-10.27
本阶段优生
重点训练名单
训练要点
1、布置课外阅读任务，扩大阅读量；
2、阅读理解训练；
3、写作练习。
存在的问题
阅读理解正确率不高，应多阅读课外书籍培养语感。

初中数学精品试题：九年级数学培优拓展练习一

初中数学精品试题：九年级数学培优拓展练习一

数学培优拓展练习（一）班级：姓名：【思维入门】1．二次函数y＝﹣x2+4x+1有（）A．最大值5B．最小值5C．最大值﹣3D．最小值﹣32．在抛物线y＝2（x﹣1）2经过（m，n）和（m+3，n）两点，则m的值为（）A．B．C．1D．3．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，下列结论正确的个数是（）①对称轴为直线x＝﹣1；②b2﹣4ac＞0；③方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1；④不等式ax2+bx+c＞3的解为﹣2＜x＜0．A．4B．3 C．2 D.14．已知关于x的二次函数y＝（x+m）2﹣3，当x＞2时，y随着x的增大而增大，则m的取值范围是（）A．m≤2B．m≥﹣2C．m＜﹣2D．m≤﹣25．已知A（0，y1），B（1，y2），C（4，y3）是抛物线y＝x2﹣3x上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y3＞y1＞y2C．y3＞y2＞y1D．y2＞y1＞y36．二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣2（a＜b）与x轴的两个交点的横坐标分别为m和n，且m＜n，下列结论正确的是（）A．m＜a＜n＜b B．a＜m＜b＜n C．m＜a＜b＜n D．a＜m＜n＜b【思维拓展】例1.当a≤x≤a+1时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a值为.变式1：当﹣1≤x≤2时，二次函数y＝（x﹣m）2﹣m2+1有最小值﹣1，则m值为 . 变式2：已知二次函数y＝ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而减小，且﹣4≤x≤1时，y的最大值为7，则a的值为．例2.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣mx+n．（1）当m＝2时，①求抛物线的对称轴，并用含n的式子表示顶点的纵坐标；②若点A（﹣2，y1），B（x2，y2）都在抛物线上，且y2＞y1，则x2的取值范围是；（2）已知点P（﹣1，2），将点P向右平移4个单位长度，得到点Q．当n＝3时，若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求m的取值范围．变式1：已知点A（﹣1，0），点B（1，1）都在y＝x+上，抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是（）A．a≤﹣2 B．a＜C．1≤a＜或a≤﹣2 D．﹣2≤a＜变式2：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax与x轴交于A，B两点（A在B左侧）．（1）求点A，B的坐标；（2）已知点C（2，1），P（1，﹣a），点Q在直线PC上，且Q点的横坐标为4．①求Q点的纵坐标（用含a的式子表示）；②若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．例3.在平面直角坐标系中四边形OABC是边长为6的正方形，平行于对角线AC的直线l从O出发，沿x轴正方向以每秒一个单位长度的速度运动，运动到直线l与正方形没有交点为止，设直线l扫过正方形OABC的面积为S，直线l的运动时间为t（秒），下列能反映S与t之间的函数图象的是( )A B C D变式1：如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝3cm，动点P从点A出发，以cm/s的速度沿AB方向运动到点B，动点Q同时从点A出发，以1cm/s的速度沿折线AC→CB方向运动到点B．设△APQ的面积为y（cm2），运动时间为x（s），则下列图象能反映y与x之间关系的是（）A B C D变式2：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，CD⊥AB于点D．点P从点A出发，沿A→D→C的路径运动，运动到点C停止，过点P作PE⊥AC于点E，作PF⊥BC于点F．设点P运动的路程为x，四边形CEPF的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是（）A B C D【思维升华】1．如图，点A在抛物线y＝x2﹣4x+6上运动，过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连结BD，则对角线BD的最小值为（）A．1 B．2 C．D．2．二次函数y＝ax2+bx+c自变量x的部分取值和对应函数值y如表：x…﹣2﹣10123…y…830﹣103…则在实数范围内能使得y﹣3＞0成立的x取值范围是（）A．x＞3B．x＜﹣1C．﹣1＜x＜3D．x＜﹣1或x＞33．如图，正方形四个顶点为（1，1），（3，1），（3，3），（1，3）．若抛物线y＝ax2图象与正方形有公共点，则实数a取值范围是（）A．≤a≤3B．≤a≤1C．≤a≤3D．≤a≤14．已知点M（m，2018），N（n，2018）是二次函数y＝ax2+bx+2017图象上的两个不同的点，则当x＝m+n时，其函数值y＝（）A．2019 B．2018 C．2017 D．2016 5.已知抛物线C：y＝ax2+2x﹣1（a≠0）和直线l：y＝kx+b，点A（﹣3，﹣3），B（1，﹣1）均在直线l上．（1）若抛物线C与直线l有交点，求a的取值范围；（2）当a＝﹣1，二次函数y＝ax2+2x﹣1的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最大值为﹣4，求m的值；（3）若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，请直接写出a的取值范围．。

初三语文培优补差记录内容

初三语文培优补差记录内容

初三语文培优补差计划一:九年级语文培优补差计划（1215字）新的一个学年又已开始了,九年级是初中三年的关键时刻,面临着毕业的升学压力,对学生来说,取得好成绩就是最重要的事情.结合上期语文教学工作的得失,特对本期工作尤其是培优补差方面的工作做有的放矢的安排:一、指导计划提高优生的自主和自觉学习能力,进一步巩固并提高中等生的学习成绩,帮助差生取得适当进步,让差生在教师的辅导和优生的帮助下,逐步提高学习成绩,并培养较好的学习习惯,形成语文基本能力.培优计划要落到实处,发掘并培养一批语文尖子,挖掘他们的潜能,从培养语文能力入手,训练良好学习习惯,从而形成较扎实的基础和阅读写话能力,并能协助老师进行辅差活动,提高整个班级的语文素养和语文成绩.二、制定目标:在这个学期的培优辅差活动中,培优对象能按照计划提高读、说、写的综合语文能力,成绩稳定在96分左右,并协助老师实施辅差工作,帮助差生取得进步.辅差对象能按照老师的要求做好,成绩有一定的提高.特别是语文考试这一基本的能力.三、定内容:培优主要是继续提高学生的阅读能力和写话能力.介绍或推荐适量课外阅读,让优生扩大阅读面,摄取更多课外知识,尤其是散文化倾向方面,多给他们一定的指导,以期在写作中能灵活运用,提高写话水平,定时安排一定难度的练习任务要求他们完成,全面提高语文能力.辅差的内容是教会学生敢于做题,会做题,安排比较基础的内容让他们掌握,写话至少能写得出,可先布置他们摘抄.仿写,后独立完成,保证每个差生有话可说,有文可写.训练差生的口头表达能力,堂上创造情境,让差生尝试说、敢于说、进而争取善于说.四、主要措施:l．课外辅导,利用课余时间.2．采用一优生带一差生的一帮一行动.3．请优生介绍学习经验,差生加以学习.4．课堂上创造机会,用优生学习思维、方法来影响差生.5．对差生实施多做多练措施.优生适当增加题目难度,并安排课外作品阅读,不断提高做题和写作能力.6．采用激励机制,对差生的每一点进步都给予肯定,并鼓励其继续进取,在优生中树立榜样,给机会表现,调动他们的学习积极性和成功感.7．充分了解差生现行学习方法,给予正确引导,朝正确方向发展,保证差生改善目前学习差的状况,提高学习成绩.8．重视中等成绩学生,保持其成绩稳定和提高.9．必要时与家长联系,协助解决差生的学习问题.总之,不管是优等生还是差等生,包括班级中间的部分,在本期工作中,我都将一如既往的关注他们每一个人,设法提高他们对学习的兴趣,在课堂上力争以各种形式的教学方法去激发他们的兴趣,吸引他们的注意力,在课堂之外,则尽自己的最大可能让他们保持着这种兴趣,而且我永远记着一句话:“好孩子是夸出来的.”所以当他们取得成绩时,哪怕是微乎其微的,也要及时给予他们表扬,让他们看到自己的进步,看到自己的能力,当然这种夸是需要技术的,这就更加要求我在本期工作中多和孩子们沟通、交流,相信“一分耕耘,一分收获”,我将努力使每个学生都能在我的教育下,每天都有收获,每天都在进步.初三语文培优补差计划二:九年级语文培优辅差计划（1263字）一、指导思想以教师特别的爱奉献给特别的学生. 帮学生一把,带他们一同上路 .对学困生高看一眼,厚爱三分,以最大限度的耐心和恒心补出成效,对优秀生给予特别的爱,让他们更有信心迎接人生的第一次考验中考.二、学困生原因分析寻找根源,发现造成学习困难的原因有生理因素,也有心理因素,但更多的是学生自身原因.1、志向性障碍:学习无目的性、无积极性和主动性,对自己的日常学习抱自暴自弃的态度,把接受在校教育的活动看作是套在自己身上的精神枷锁.2、情感性障碍:缺乏积极的学习动机,成天无精打采,做一天和尚撞一天钟.随着时间的推移,知识欠帐日益增加,成绩每况愈下.上课有自卑心理,不敢举手发言,课上不敢正视教师的目光,班集体生活中存有恐慌感.久而久之成为学习困难学生.3、不良的学习习惯:学习困难学生通常没有良好的学习习惯,对学习缺乏兴趣,把学习当作完成父母教师交给的差事.他们一般贪玩,上课注意力不集中,自控能力差,较随便,上课不听讲,练习不完成,课前不预习,课后不复习,作业不能独立完成,甚至抄袭作业,拖拉作业常有发生,即使有不懂的问题也很少请教他人.不能用正常的逻辑思维和合理的推理分析来对待学习.他们对自己要求不高,甚至单纯为应付老师家长,学习并没有变成他们内在的需要.4.环境因素:其中家庭教育因素是造成学生学习困难的一个突出因素.父母的文化程度较低,期望水平低,他们大多缺乏辅导能力.有的家长对子女的教育方式简单粗暴,缺乏耐心；有的缺乏教育,缺少关心,放纵孩子,甚至认为读书无所谓,有的说: 我不识字不也过得很好. 这大大挫伤了孩子的上进心.有的家长长年在外打工,孩子在家无人管束总之,家庭的文化氛围差,使学生的学习受到了干扰,造成了学习上的困难.三、优秀生心理分析:1、骄傲心理:认为自己在班上属佼佼者,小尾巴翘上了天.2、浮躁心理:认为自己应还有潜力可挖,可怎么都没有提高.四、采取的措施由于各种不同的原因造成了学困生的学习困难,从而使这些学生自卑,自暴自弃,而优秀生又停步不前,怎么办？针对以上情况,我准备采取如下措施:１、引导学习困难生正确认识自我学习困难学生不善于自我评价、自我判断和自我反应,因而容易降低学习目标,放弃坚持不懈的学习努力.教师帮助他们寻找学习困难的真正原因,以利于取长补短,摆脱学习困难的困境.２、培养良好的学习态度３、优化课堂教学的手段教学由易到难,使学生层层有进展,处于积极学习状态.师生活动交替进行,多为学生提供自我表现的机会,对学生进步及时鼓励,发现问题即刻纠正.对待不同的学生采用不同的教学方法.４、教育他们学会如何学习.５、激发好奇心,引发求知欲.６、加强个别辅导,提高个别辅导的质量.７、提倡积极鼓励评价.８、给予学生成功的机会.五、培优转差学生名单.优秀生:(略）学困生:（略）六、培优转差目标:1、培优目标:争取优生在中考中人人上线.2、转差目标:争取学困生在中考中达到或超过及格分.六、时间安排:1、每周一三五的中午和课外活动时间为学困生补习.2、每周二四日的中午和课外活动时间为优秀生补习初三语文培优补差计划三:九年级语文培优辅差计划（1222字）为顺利完成九年级本学年的教学任务,提高本学期的质量,根据班级的实际情况,围绕学校工作目标,除了认真、上课、批改作业、定期评定成绩、优质完成每一节课的教学外,应采取课内外培优措施,制定培优辅差计划,以高度的责任心投入到紧张的及培优补差工作中,培优补差工作有着十分重要的必要性.计划如下:一、思想方面的指导以教师特别的爱奉献给特别的家访记录学生.“帮学生一把,带他们一同上路”.对学困生高看一眼,厚爱三分,以最大限度的耐心和恒心补出成效,对优秀生给予特别的爱,让他们更有信心迎接人生的第一次考验――中考.二、认真分析学困生原因寻找根源,发现造成学习困难的原因有生理因素,也有心理因素,但更多的是学生自身原因.1、志向性障碍:学习无目的性、无积极性和主动性,对自己的日常学习抱自暴自弃的态度,把接受在校安全教育的活动看作是套在自己身上的精神枷锁.2、情感性障碍:缺乏积极的学习动机,成天无精打采,做一天和尚撞一天钟.随着时间的推移,知识欠帐日益增加,成绩每况愈下.上课有自卑心理,不敢举手发言,课上不敢正视教师的目光,班集体生活中存有恐慌感.久而久之成为学习困难学生.3、不良的学习习惯:学习困难学生通常没有良好的学习习惯,对学习缺乏兴趣,把学习当作完成父母教师交给的差事.他们一般贪玩,上课注意力不集中,自控能力差,较随便,上课不听讲,练习不完成,课前不预习,课后不复习,作业不能独立完成,甚至抄袭作业,拖拉作业常有发生,即使有不懂的问题也很少请教他人.不能用正常的逻辑思维和合理的推理分析来对待学习.他们对自己要求不高,甚至单纯为应付老师家长,学习并没有变成他们内在的需要.4.环境因素:其中家庭教育因素是造成学生学习困难的一个突出因素.父母的文化程度较低,期望水平低,他们大多缺乏辅导能力.有的家长对子女的教育方式简单粗暴,缺乏耐心；有的缺乏教育,缺少关心,放纵孩子,甚至认为读书无所谓,有的说:“我不识字不也过得很好.”这大大挫伤了孩子的上进心.有的家长长年在外打工,孩子在家无人管束……总之,家庭的文化氛围差,使学生的学习受到了干扰,造成了学习上的困难.三、优秀生心理分析:1、骄傲心理:认为自己在班上属佼佼者,小尾巴翘上了天.2、浮躁心理:认为自己应还有潜力可挖,可怎么都没有提高.四、采取的措施由于各种不同的原因造成了学困生的学习困难,从而使这些学生自卑,自暴自弃,而优秀生又停步不前,怎么办？针对以上情况,我准备采取如下措施:１、引导学习困难生正确认识自我学习困难学生不善于自我评价、自我判断和自我反应,因而容易降低学习目标,放弃坚持不懈的学习努力.教师帮助他们寻找学习困难的真正原因,以利于取长补短,摆脱学习困难的困境.２、培养良好的学习态度３、优化课堂教学的手段教学由易到难,使学生层层有进展,处于积极学习状态.师生活动交替进行,多为学生提供自我表现的机会,对学生进步及时鼓励,发现问题即刻纠正.对待不同的学生采用不同的教学方法.。

《勤学早》九年级数学大培优全一册(教师用解析版)

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九年级数学 大培优知识导航1.反比例函数的定义和解析式;2.反比例函数的图象和性质;3.反比例函数与方程及不等式;4.反比例函数与神奇的几何性质;5.反比例函数与直线y =a 或x =a ;6.反比例函数与全等相似;7.反比例函数与图形变换;8.反比例函数与定值及最值.ʌ板块一ɔ 反比例函数的定义和解析式方法技巧根据定义解题1.定义:一般地,形如y =k x(k 为常数,k ʂ0)的函数,叫做反比例函数,其中x 是自变量,y 是函数.自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数.2.解析式:y =k x(k ʂ0)或x y =k (k ʂ0)或y =k x -1(k ʂ0).▶题型一 根据定义判断反比例函数ʌ例1ɔ 下列函数:①y =x 2;②y =2x ;③y =-2x ;④y =12x ;⑤y =1x +2;⑥y =1x-2;⑦x y =2;⑧y =2x -1,⑨y =2x2.其中y 是x的反比例函数的有 (填序号).ʌ解析ɔ ②③④⑦⑧.▶题型二 根据定义确定k 值或解析式ʌ例2ɔ (1)反比例函数y =-32x ,化为y =k x的形式,相应的k =;(2)函数y =k x中,当x =2时,y =3,则函数的解析式为 .ʌ解析ɔ (1)-32;(2)y =6x.▶题型三 根据定义确定待定系数的值ʌ例3ɔ (1)如果函数y =x 2m +1是关于x 的反比例函数,则m 的值为;(2)若函数y =(m +2)x m2-5(m 为常数)是关于x 的反比例函数,求m 的值及函数的解析式.ʌ解析ɔ (1)-1;(2)m =2,y =4x -1.第19讲反比例函数第二十六章反比例函数(官方版教学资料精品）针对练习11.下列函数中,为反比例函数的是(B)A.y=x3B.y=13xC.y=1x-3D.y=1x22.反比例函数y=-32x化为y=k x的形式后,相应的k= -32.3.若关于x的函数y=(m2-4)x m2-m-7是反比例函数,求m的值.解:3.ʌ板块二ɔ反比例函数的图象和性质方法技巧抓住反比例函数的性质并结合图象解题一般地,对于反比例函数y=kx(kʂ0),由函数图象,并结合解析式,我们可以发现:1.图象分布当k>0时,x,y同号(同号或异号),函数图象为第一㊁三象限的两支曲线;当k<0时,x,y异号(同号或异号),函数图象为第二㊁四象限的两支曲线.因此反比例函数的图象也叫做双曲线.2.对称性若点(a,b)在反比例函数的图象上,则点(b,a),(-b,-a),(-a,-b)也在此图象上,故反比例函数的图象关于直线y=x,y=-x对称,关于点(0,0)成中心对称.3.增减性当k>0时,在每一个象限内,y随x的增大而减小;当k<0时,在每一个象限内,y随x的增大而增大.▶题型一反比例函数的增减性ʌ例1ɔ在反比例函数y=1-8m x的图象上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),若x1<0<x2,y1>y2,则m的取值范围是()A.m>18B.m<18C.mȡ18D.mɤ18ʌ解析ɔA.根据条件x1<0<x2,y1<y2,可判断其图象位于二㊁四象限,ʑ1-8m<0,ʑm>18.ʌ例2ɔ已知反比例函数y=-6x.(1)画出这个反比例的图象;(2)当-6ɤx<-2时,y的取值范围是;(3)当|y|ȡ3时,x的取值范围是.ʌ解析ɔ(1)图略;(2)1ɤy<3;(3)-2ɤx<0或0<xɤ2.九年级数学 大培优▶题型二 反比例函数的图象的对称性ʌ例3ɔ 如图,直线y =a x (a ʂ0)与双曲线y =k x(k ʂ0)交于A ,B 两点,试说明A ,B 两点关于原点对称.ʌ解析ɔ 联立y =a x ,y =k x{,得a x 2-k =0,ʑx A +x B =0,过A ,B 两点分别作x 轴的垂线,由全等即可得O A =O B ,ʑA ,B 两点关于原点对称.▶题型三 反比例函数的图象与系数的关系ʌ例4ɔ 如图,反比例函数①y =k 1x ,②y =k 2x ,③y =k 3x ,④y =k 4x的部分图象如图所示,则k 1,k 2,k 3,k 4的大小关系是.ʌ解析ɔ k 3<k 4<k 1<k 2.|k |越大,其图象离坐标原点越远.▶题型四 反比例函数中k的几何意义如图,过双曲线上任意一点P 作x 轴,y 轴的垂线段P M ,P N ,则所得的矩形P M O N 的面积S =P M ㊃P N =|y |㊃|x |=|x y|=|k |,即在反比例函数y =k x(k ʂ0)的图象上任取一点向两坐标轴作垂线段,则两垂线段与两坐标轴所围成的矩形的面积等于|k |,且这个面积的值与取点的位置无关.特别地,S әP M O =S әP N O =12|k |.ʌ例5ɔ 如图,平行于x 轴的直线A B 与双曲线y =k 1x 和y =k 2x(k 1>k 2)在第一象限内交于A ,B 两点,若S әO A B =2,求k 1-k 2的值.ʌ解析ɔ 延长A B 交y 轴于点C ,则S әO A B =S әO A C -S әO B C =12k 1-12k 2=2,ʑk 1-k 2=4.ʌ例6ɔ 如图,直线y =-12x 与双曲线y =k x(k <0)交于A ,B 两点,且点A 的横坐标为-4.(1)求k 的值;(2)过原点的另一直线交双曲线y =k x(k <0)于P ,Q 两点,点P 在第二象限.若A ,B ,P ,Q 四点组成的四边形面积为24,求点P 的坐标.ʌ解析ɔ (1)A (-4,2),k =-8;(2)易知四边形A P B Q 是平行四边形,ʑS әA P O =14S 四边形A P B Q =6,过点A 作A D ʅx 轴于点D ,过点P 作P E ʅx 轴于点E ,S 四边形A D O P =S әA D O +S әA P O =S 四边形A D E P +S әP E O ,ȵS әA D O =S әP E O ,ʑS әA P O =S 四边形A D E P ,设P (a ,-8a ),则12㊃(2-8a)㊃(a +4)=6,ʑa 1=8,a 2=-2,ȵ点P 在第二象限,ʑa <0,ʑa =-2,ʑP (-2,4).针对练习21.对于反比例函数y =3x ,下列说法正确的是( D )A.图象经过点(1,-3)B .图象在第二㊁四象限C .y 随x 的增大而减小 D.x <0时,y 随x 增大而减小2.在同一平面直角坐标系内画出函数y =k x +1和函数y =k x(k ʂ0)的图象大致是( B )3.反比例函数y =a 2-a +1x(a 为常数)的图象上有三个点(x 1,y 1),(x 2,y 2),(x 3,y3),其中x 1<x 2<0<x 3,则y 1,y 2,y3的大小关系是 y 2<y 1<y 3 .4.如图,点A 是反比例函数y =k x(x <0)的图象上一点,过点A 作A B ʅx 轴于点B ,点P 是y 轴负半轴上一点,әA B P 的面积为1,求k 的值.解:连接A O ,ȵA B ʊy 轴,ʑS әA B P =S әA B O =1,ʑ12|k |=1,ʑk =-2.5.点A (a ,y 1),B (2a ,y2)是反比例函数y =k x(k >0)的图象上的两点.(1)比较y 1与y 2的大小关系;(2)若A ,B 两点在一次函数y =-43x +b 位于第一象限的图象上(如图所示),分别过A ,B 两点作x 轴的垂线,垂足分别为点C ,D ,连接O A ,O B ,且S әO A B =8,求a 的值;(3)在(2)的条件下,如果3m =-4x +24,3n =32x,求使得m >n 的x 的取值范围.解:(1)ȵA ,B 是反比例函数y =k x(k >0)图象上的两点,ʑa ʂ0,当a >0时,点A ,B 在第一象限,由a <2a 可知,y 1>y 2,同理,a <0时,y 1<y2;(2)ȵA (a ,y 1),B (2a ,y2)在反比例函数y =k x (k >0)的图象上,ʑA C =y 1=k a ,B D =y 2=k 2a,ʑy 1=2y 2.又ȵ点A (a ,y 1),B (2a ,y 2)在一次函数y =-43x +b 的图象上,ʑy 1=-43a +b ,y2=-83a +b ,ʑ-43a +b =2(-83a +b ),ʑb =4a ,ȵS әA O C +S 梯形A C D B =S әA O B +S әB O D ,又ȵS әA O C =S әB O D ,ʑS 梯形A C D B =S әA O B ,ʑ12[(-43a +b )+(-83a +b )]×a =8,ʑa 2=4,ȵa >0,ʑa =2;(3)由(2)得,一次函数的解析式为y =-43x +8,反比例函数的解析式为y =323x,A ,B 两点的横坐标分别为2,4,且m =-43x +8,n =323x,因此使得m >n 的x 的取值范围就是反比例函数的图象在一次函数图象下方的点中横坐标的取值范围,从图象可以看出或x <0.九年级数学 大培优ʌ板块三ɔ 反比例函数与方程㊁不等式方法技巧根据直线与双曲线的交点并结合图象解题▶题型一 反比例函数与方程ʌ例1ɔ 如图,直线y =-x +5与双曲线y =4x 交于A ,B 两点.(1)求A ,B 两点的坐标;(2)将直线A B 向左平移n 个单位长度,若平移后直线A B 与双曲线有唯一公共点,求n 的值.ʌ解析ɔ (1)A (1,4),B (4,1);(2)将直线A B 向左平移n 个单位长度后其解析式为y =-(x +n )+5,联立y =4x,y =-(x +n )+5{,得x 2+(n -5)x +4=0,依题意,Δ=(n -5)2-4ˑ1ˑ4=0,解得n =1或9.ʌ例2ɔ 直线y =2x +4与反比例函数y =6x的图象交于A ,B 两点,直线y =m (m >0)与直线A B 相交于点M ,与反比例函数的图象相交于N ,若MN =4,求m 的值.ʌ解析ɔ ȵ点M 在直线A B 上,ʑM (m -42,m ),ȵ点N 在反比例函数y =6x的图象上,所以N (6m ,m ),MN =x N -x M =6m -m -42=4或MN =x M -x N =m -42-6m =4,ȵm>0,ʑm =2或m =6+43.▶题型二 反比例函数与不等式ʌ例3ɔ 如图,一次函数y =-x +4与反比例函数y =m x (m >0,x >0)的图象交于A ,B 两点,与x 轴,y轴分别相交于C ,D 两点.如果点A 的横坐标为1,利用函数图象求关于x 的不等式4-x <m x的解集.ʌ解析ɔ 当x =1时,y =3,ʑA (1,3)代入y =m x ,得m =3,y =3x,联立y =4-xy =3{x,得B (3,1),ʑ原不等式的解集为0<x <1或x >3.▶题型三 反比例函数与数形结合比较大小ʌ例4ɔ 如图,直线y =2x +4与反比例函数y =k x 的图象相交于A (-3,a )和B 两点.(1)求A ,B 两点的坐标;(2)直接写出不等式k xɤ2x +4的解集.ʌ解析ɔ (1)A (-3,-2),B (1,6);(2)-3ɤx <0或x ȡ1.ʌ例5ɔ 如图,双曲线y =k x (k >0)与直线y =-12x +4相交于A ,B 两点.(1)当k =6时,求点A ,B 的坐标;(2)在双曲线y =k x (k >0)的同一支上有三点C (x 1,y 1),D (x 2,y 2),P (x 1+x 22,y0),请你借助图象,直接写出y 0与y 1+y 22的大小关系;(3)点M (x 1,y 1),N (x 2,y2)是双曲线y =6x (x >0)上任意两点,s =y 1+y 22,t =12x 1+x 2,试比较s 与t 的大小.备用图ʌ解析ɔ (1)A (2,3),B (6,1);(2)当x 1>0时,y0<y 1+y 22;当x 1<0时,y0>y 1+y 22.(3)设线段MN 的中点为Q ,则点Q 的坐标为(x 1+x 22,y 1+y 22),过点Q 作Q R ʊy 轴交双曲线于点R ,则点R 的坐标为(x 1+x 22,12x 1+x 2),观察图象可知y 1+y 22>12x 1+x 2,ʑs >t .ʌ例6ɔ 当1ɤx ɤ4时,直线y =-2x +b 与双曲线y =4x 只有一个公共点,则b 的取值范围是 b =42或6<b ɤ9 .ʌ解析ɔ ①当直线y =-2x +b 过点(1,4)时,-2+b =4,b =6;②当直线y =-2x +b 过点(4,1)时,-8+b =1,b =9;③当直线y =-2x +b 与y =4x 相切时,联立4x =-2x +b ,得2x 2-b x +4=0,Δ=b 2-4ˑ2ˑ4=0,ʑb 1=42,b 2=-42(舍),由图象可知,b =42或6<b ɤ9.九年级数学 大培优针对练习31.如图,在平面直角坐标系中,直线A B :y 1=x +m 与双曲线C :y2=k x 相交于A (2,5),B 两点.(1)求点B 的坐标;(1)当y 1>y2时,x 的取值范围是;(2)当x <2时,y2的取值范围是.解:(1)B (-5,-2);(2)x >2或-5<x <0;(3)y2<0或y 2>5.2.如图,一次函数y 1=x +1的图象与反比例函数y 2=k x (k 为常数,且k ʂ0)的图象都经过点A (m ,2).(1)求点A 的坐标及反比例函数的表达式;(2)结合图象直接写出当x >0时,比较y 1和y 2的大小;(3)直接写出不等式4x -2ɤx +1的解集.解:(1)将A (m ,2)代入y 1=x +1得m =1,ʑA (1,2),将A (1,2)代入y 2=k x ,得k =2,ʑy 2=2x ;(2)当0<x <1时,y 1<y2;当x =1时,y 1=y 2;当x >1,y 1>y 2;(3)-2ɤx <2或x ȡ3.3.如图,一次函数y 1=x +5的图象与反比例函数y 2=k x 的图象交于A ,B 两点.当x >1时,y 1>y2;当0<x <1时,y 1<y2.(1)直接写出反比例函数y 2的解析式;解:ȵ当x >1时,y 1>y 2;当0<x <1时,y 1<y2,ʑA 点的横坐标是1,纵坐标为y =1+5=6,ʑA (1,6),代入y 2=k x ,可得k =x y =6,ʑy 2=6x;(2)过点D (t ,0)(t >0)作x 轴的垂线,分别交双曲线y 2=k x和直线y 1=x +5于P ,Q 两点.若P Q=备用图3P D 时,求t 的值.解:当P Q =3P D 时,直线P Q 在点A 的右侧,ȵ直线P Q 分别交双曲线y 2=k x和直线y 1=x +5于P ,Q 两点,ʑP (t ,6t ),Q (t ,t +5),ȵP Q =3P D ,ʑt +5-6t =3ˑ6t ,解得t 1=3,t 2=-8(舍去),ʑt 的值为3.ʌ板块四ɔ 反比例函数与神奇的几何性质方法技巧根据反比例函数k 的意义,结合全等㊁相似或参数思想㊁根系关系,可得出反比例函数一些重要几何性质,在解题中可运用这些重要性质,从而大大提高解题效率.性质一 如图,直线A B :y =m x +n 交x 轴于点A ,交y 于点B ,交双曲线k x于C ,D 两点.求证:A C =B D.图1图2证明:证法一:(利用根系关系得全等)过点C 作C E ʅx 轴于点E ,过点D 作D F ʅy 于点F ,联立y =m x +n ,y =k x{,得m x 2+n x -k =0,则有x C +x D =-n m .易知A (-n m,0),ʑx C +x D =O A ,可得D F =A E ,ʑәA C E ɸәD B F ,ʑA C =B D .证法二:(利用k 的意义得相似)过点C 作C E ʅx 轴于点E ,C M ʅy 轴于点M ,过点D 作D F ʅy 轴于点F ,D N ʅx 轴于点N ,ȵx D ㊃y D =x C ㊃yC =k ,ʑD F ㊃D N =C M ㊃CE ,ʑC M DF =D N C E ,ʑB C B D =A D A C ,等式两边同时减1,得C D B D =C D A C,ʑA C =B D .性质应用ʌ例1ɔ 如图,直线y =x +6交x 轴于点A ,交y 轴于点B ,交双曲线y =k x于点C ,D ,若C D =2(A C +B D ),则k 的值为.ʌ解析ɔ -5.过点C 作C E ʅx 轴于点E ,由性质可得A C =B D ,ȵC D =2(A C +B D ),ʑC D =4A C ,ʑA B =6A C ,ʑC E =16O B =16ˑ6=1,同理A E =1,ʑO E =5,ʑC (-5,1),ʑk =-5ˑ1=-5.性质二 如图1,A ,B 为双曲线y =k x上任意两点,A C ʅy 轴于点C ,B D ʅx 轴于点D ,直线AC ,BD 交于点E .求证:①A B ʊC D ; ②A C A E =B D B E.图1证明:证法一:(面积法)连接A D ,B C ,则S әA C D =S әB C D =12|k |,ʑ①A B ʊC D ;②A C A E =B DB E.证法二:(相似法)利用x A y A =x B y B =k ,可得A C ㊃D E =B D ㊃C E ,进而得A E C E =B E D E ,ʑәA B E ~әC D E ,ʑ①A B ʊC D ;②A C A E =B DB E.九年级数学 大培优变式1:如图2,A C ʅx 轴于点C ,B D ʅy 轴于点D ,A C ,B D 交于点E .求证:①A B ʊCD ; ②A C AE =B D B E.图2证明:证法同上.变式2:如图3,A ,B 为双曲线y =k x 上任意两点,A C ʅy 轴于点C ,B D ʅx 轴于点D ,直线AC ,B D交于图3点E .求证:①A B ʊC D ; ②A C A E =B D B E.证明:证法同上.ʌ例2ɔ 如图,双曲线y =k x经过矩形O A B C 边A B 的中点F ,交B C于点E ,且四边形O E B F 的面积为2,则k =.ʌ解析ɔ 过点E 作E H ʅx 轴于点H ,ȵ点F 为A B 中点,则点E 为B C 边的中点,可得S 四边形O E B F =12S 矩形O A B C =S 矩形O C E H =k ,ʑk =2.ʌ例3ɔ 如图,点P 为双曲线y =8x(x >0)上一点,P A ʅx 轴于点A ,P Bʅy 轴于点B ,P A ,P B 分别交双曲线y =k x (x >0)于C ,D 两点,若S әP C D =1,则k =.ʌ解析ɔ 设点P (a ,8a ),则点C (a ,k a ),D (a k 8,8a ),ʑS әP C D =12ˑ8-k a ˑ(a -a k 8)=(8-k )216=1,ʑk 1=4,k 2=12(舍),ʑk =4.性质三 如图,直线A B 与双曲线y =k x只有唯一公共点A ,且A B 与y 轴不平行,A B 交x 轴于点B ,连接O A .求证:O A =A B.证明:(解析法)过点A 作AH ʅx 轴于点H ,设点A a ,k ()a ,L A B :y =m (x -a )+k a.联立y =k x y =m (x -a )+k ìîíïïïïa得m x 2+k a -()a m x -k =0,依题意Δ=k a -()a m2+4m k=ka+()a m2=0,ʑm =-k a 2,ʑy =-k a2x +2k a ,ʑB (2a ,0),ʑO H =B H =a ,ʑO A =A B .性质四 如图,直线y =m x 交双曲线y =k x于A ,B 两点,点P 为双曲线上一点,直线P A ,P B 分别交x轴于M ,N 两点.求证:P M =P N .证明:(解析法)设点A a ,k ()a ,B -a ,-k ()a ,P b ,k ()b,由待定系数法可得l P A :y =-k a b x +(a +b )k a b ,l P B :y =k a b x +(a -b )k a b ,ʑx M =b +a ,x N =b -a ,ʑx M +x N =2x P ,可得P M =P N .ʌ例4ɔ (2018十堰中考)如图,直线y =-x 与反比例函数y =k x的图象交于A ,B 两点,过点B 作B Dʊx 轴,交y 轴于点D ,直线A D 交反比例函数y =k x 的图象于另一点C ,求C B C A的值.ʌ解析ɔ (解析法)过点A ,C分别作y 轴的垂线,垂足分别为点E ,F ,设点A (a ,-a ),则B (-a ,a ),D (0,a ),由待定系数法得l D A :y =-2x +a ,联立y =-2x +a y =k{x得2x 2-a x +k =0,ʑx A +x C =a 2,ȵx A =a ,ʑx C =-12a =x B +x D2,ʑ点C 在B D 的垂直平分线上,ʑC B =C D ,由面积法可得C D A D =C F A E =12aa =12,ʑC B =C D =13C A ,ʑC B C A =C D C A =13.针对练习41.如图,点A ,B 分别是双曲线y =4x 和y =2x第一象限分支上的点,且A B ʊy 轴,B C ʅy 轴于点C ,则A B ㊃B C = 2 .解:方法一:利用k的几何意义 面积法求.延长A B 交x 轴于点E ,过点A 作y 轴的垂线,垂足为F .A B ㊃B C =S 矩形A B C F =S 矩形A E O F -S 矩形B E O C =4-2=2.方法二:设点A 坐标,分别表示出点B ,C 坐标,运用参数进行计算.2.如图,直线y =-3x +b 与y 轴交于点A ,与双曲线y =k x在第一象限交于B ,C 两点,且A B ㊃A C =4,则k = 3 .解:方法提示:斜化直,线段转坐标.设直线A B 交x 轴于点D ,则由性质可得A B =C D ,ʑA C =B D ,由条件知øO A D =30ʎ,ʑA B =2x B ,A C =B D =233y B ,ʑA B ㊃A C =2x B ㊃233y B =433x B ㊃y B =4,ʑk =x B ㊃y B =3.九年级数学 大培优3.如图,әO A C 的顶点A 在双曲线y =9x上,点C 在x 轴上,O A 交双曲线y=1x 于点B ,直线A C 与双曲线y =9x只有唯一公共点,且A C 与y 轴不平行,则S әA B C =.解:设A (a ,9a ),O A 解析式为y =9a 2x ,可得B (a 3,3a ).易得直线A C 解析式为y =-9a2x +18a .可得A O =A C ,ȵS әO B CS әO A C =12O C ㊃y A12O C ㊃y B =3a 9a=13,ʑS әA B C =23S әA O C =23ˑ9=6.4.如图1,直线y =-2x +6交x 轴于点B ,交y 轴于点A ,直线A B 与双曲线y =k x(k <0)交于C ,D 两点,C E ʅx 轴于点E ,D F ʅx 轴于点F .(1)若k =-8,求C D 的长;(2)求C E -D F 的值;(3)如图2,P 是双曲线y =k x (k <0)上第二象限上一动点,P G ʅx 轴于G ,交双曲线y =k 2x(k <0)于M ,PH ʅy 轴于H ,交y =k 2x(k <0)于N ,请直接写出MN 的最小值为(用含k 的式子表示).图1 图2解:(1)ʑC (-1,8),D (4,-2),C D =55;(2)联立y =-2x +6y =k{x得2x 2-6x +k =0,x C +x D =3,ʑy C +y D =-2x C +6-2x D +6=-2ˑ3+12=6,C E =y C ,D F =-y D ,ʑC E -D F =y C +yD =6;(3)-2k 2.(提示:MN =12G H ).ʌ板块五ɔ 反比例函数与直线x =a 或y =a方法技巧此类问题一般可用a 表示相关点的坐标,从而表示出相关线段长,将几何问题坐标化.解题时注意情况不明时需分类讨论.ʌ例1ɔ 如图,在平面直角坐标系x O y 中,直线y =2x +n 与x 轴,y 轴分别交于点A ,B ,与双曲线y =4x在第一象限内交于点C (1,m ),过x 轴正半轴上的点D (a ,0)作平行于y 轴的直线l ,分别与直线和双曲线y =4x 交于点P ,Q ,且点P 不与点Q 重合.(1)求m 和n 的值;(2)当a >1,P Q =2Q D 时,求әA P Q 的面积;(3)连接C Q ,当C P =C Q 时,求a 的值.ʌ解析ɔ (1)m =4,n =2;(2)在y =2x +2中,令y =0,则x =-1,ʑA (-1,0),ȵD (a ,0),l ʊy 轴,ʑP (a ,2a +2),Q a ,4()a .ȵP Q =2Q D ,ʑ2a +2-4a =2ˑ4a,解得:a =2,a =-3.ȵP ,Q 在第一象限,ʑa =2,ʑP Q =4,又ȵA D =3,ʑS әA P Q =12ˑ4ˑ3=6;(3)过点C 作C M ʅP Q 于点M ,ȵC P =C Q ,ʑP M =M Q ,设P (a ,2a +2),Q a ,4()a ,M (a ,4).则2a +2+4a=8解得a =2或a =1(舍),针对练习51.如图,直线l :y =32x +3与双曲线y =k x 在第一象限内交于点A (a ,6).(1)求双曲线的解析式;(2)直线x =t (t >0且t ʂ2)分别交直线l ,双曲线y =k x 于C ,D 两点,连接A D ,若A C =A D ,请直接写出t 的值.解:(1)ȵ点A (a ,6)在直线y =32x +3上,ʑ32a +3=6,ʑa =2,ʑA (2,6),又A 在双曲线y =k x 上,ʑk 2=6,ʑk =12,即双曲线的解析式为y =12x.(2)t =4.理由如下:设C t ,32t ()+3,D t ,12()t ,则A C 2=(t -2)2+32t ()+3-62=134(t -2)2,A D 2=(t -2)2+12t ()-62=1+36t()2(t -2)2,由A C =A D ,有A C 2=A D 2,ʑ134(t -2)2=1+36t ()2(t -2)2,ȵt ʂ2,ʑ134=1+36t2,ʑt =4或t =-4(舍),ʑt =4.ʌ板块六ɔ 反比例函数与全等及勾股定理方法技巧利用全等㊁相似将线段关系转化为坐标关系,实现 几何问题坐标化 .▶题型一 反比例函数与全等ʌ例1ɔ 如图,点A 是双曲线y =8x在第一象限上的一动点,连接A O 并延长交另一分支于点B ,以A B为斜边作等腰R t әA B C ,随着点A 的运动,点C 的位置也不断地变化,但始终在一函数图象上运动,则这个函数的解析式为 y =-8x(x <0).ʌ解析ɔ 连接O C ,过点A ,C 分别作x 轴的垂线构造三垂直全等.ʌ例2ɔ (2018原创题)如图,点A (2,4),B 均为双曲线y =k x在第一象限上的点,且øA O B =45ʎ,求点B 的坐标.ʌ解析ɔ 过点A 作A D ʅO A 交O B 延长线于点D ,作A E ʅy 轴于点E ,D F ʅA E 于点F ,则әA D F ɸәO A E ,ʑA F =O E =4,D F =A E =2,ʑD (6,2),ʑl O D ʒy =13x ,ȵA (2,4),ʑy =8x,联立y =8x ,y =13x ìîíïïïï,得B (26,263).九年级数学 大培优▶题型二 反比例函数与勾股定理ʌ例3ɔ 如图,矩形A B C O 的顶点B (10,8),点A ,C 在坐标轴上,E 是B C 边上一点,将әA B E 沿A E 折叠,点B 刚好与O C 边上的点D 重合,过点E 的反比例函数y =k x (k >0)的图象与边A B 交于点F ,求点F 的坐标.ʌ解析ɔ 由题意知,A D =A B =10,A O =8,由勾股定理可求O D =6,则C D =4,设C E =x ,则D E =B E =8-x ,在R t әD C E 中,C D 2+C E 2=D E 2,即x 2+42=(8-x )2,解得x =3,ʑE (10,3),设F (a ,8),则10ˑ3=8a ,ʑa =154,ʑF (154,8).针对练习61.如图,A (2,3)是双曲线y =k x(x >0)上的一点,P 为x 轴正半轴上一点,将点A 绕点P 顺时针旋转90ʎ,恰好落在双曲线上的另一点B ,求点P的坐标.解:设P (t ,0),过点A 作AM ʅx 轴于点M ,过B 作B N ʅx 轴于点N ,则әA P M ɸәP B N ,ʑP N =AM =3,B N =P M =t -2,ʑB (t +3,t -2),又ȵ点A ,B 在y =k x上,ʑ(t +3)(t -2)=6,ʑt 1=-4,t 2=3,ȵt >0,ʑt =3,ʑP (3,0).2.如图,已知点A (2,2),P (0,a )是y 轴上一点,连接P A ,将线段P A 绕点P 逆时针旋转90ʎ得线段P A ᶄ,若线段P A ᶄ与反比例函数y =-3x(x <0)的图象有公共点,求a 的取值范围.解:当点A ᶄ恰好落在反比例函数y =-3x (x <0)的图象上时,过点A ᶄ作A ᶄD ʅy 轴于点D ,过点A 作A B ʅy 轴于点B ,则әA ᶄP D ɸәP A B ,ʑA ᶄD =P B =2-a ,P D =A B =2,O D =2+a ,ʑA ᶄ(a -2,a +2),ʑ(a -2)(a +2)=-3,ʑa =ʃ1,ʑ点A ᶄ的横坐标为-1或-3,均符合题意,ȵ线段P A ᶄ与反比例函数y =-3x (x <0)的图象有公共点,ʑ-1ɤa ɤ1.3.如图,直线y =3x -3交坐标轴于A ,B 两点,将әA O B 沿A B 翻折得到әA C B ,点D 在A C 的延长线上,且C D =4A C ,反比例函数y =k x的图象经过点D ,求k 的值.解:过点B 作B E ʊA C ,交x 轴于点E ,则øE B A =øB A C =øE A B ,ʑE A =E B ,易求O A =1,O B =3,设E A =E B =x ,则x 2=(x -1)2+32,解得x =5,由题意,A C =A O =1,ȵC D =4A C ,ʑA D =5A C =5,ʑA D =E B ,ʑ将线段E B 向右平移5个单位得线段A D ,ʑD (5,-3),ʑk =5ˑ(-3)=-15.ʌ板块七ɔ 反比例函数与图形变换方法技巧图形变换的本质是点的变换,解题的关键是根据变换规律,将变换后的关键点的坐标表示出来,再根据条件建立关系式.ʌ例1ɔ 平面直角坐标系中,点A (-2,0),B (0,3),点P 为第二象限内一点.(1)如图,将线段A B 绕点P 旋转180ʎ得线段C D ,点A 与点C 对应,试画出图形;(2)若(1)中得到的点C ,D 恰好在同一个反比例函数y =k x的图象上,求直线B C 的解析式;(3)若点Q (m ,n )为第四象限的一点,将线段A B 绕点Q 顺时针旋转90ʎ得到线段E F ,其中点A 与点E 对应,若点E ,F 恰好在同一个反比例函数的图象上,直接写出m ,n 之间的关系式为 m =-5n .备用图ʌ解析ɔ (1)略;(2)设P (m ,n ),则C (2+2m ,2n ),D (2m ,2n -3).ȵ点C ,D 恰好在同一个反比例函数y =k x 的图象上,ʑ2n (2+2m )=2m (2n -3),得2n =-3m ,设直线B C 的解析式为y =t x +3,将C (2+2m ,-3m )代入y =t x +3中,得(2+2m )t +3=-3m ,解得t =-32,ʑy =-32x +3;(3)由三垂直得,E (m -n ,m +n +2),F (m +3-n ,n +m ),ʑ(m -n )(m +n +2)=(m +3-n )(n +m ),整理得m =-5n .九年级数学 大培优ʌ例2ɔ 已知点A (a ,m )在双曲线y =8x 上且m <0,过点A 作x 轴的垂线,垂足为点B .(1)如图1,当a =-2时,P (t ,0)是x 轴上的动点,将点B 绕点P 顺时针旋转90ʎ至点C .①若t =1,直接写出点C 的坐标;②若双曲线y =8x经过点C ,求t 的值;(2)如图2,将图1中的双曲线y =8x(x >0)沿y 轴折叠得到双曲线y =-8x (x <0),将线段O A 绕点O 旋转,点A 刚好落在双曲线y =-8x(x <0)上的点D (d ,n )处,求m 和n 的数量关系.ʌ解析ɔ (1)将x A =-2代入y =8x 中得:y A =8-2=-4,ʑA (-2,-4),B (-2,0),①ȵt =1,ʑP (1,0),B P =1-(-2)=3,ȵ将点B 绕点P 顺时针旋转90ʎ至点C ,ʑx C =x P =1,P C =B P =3,ʑC (1,3);②ȵB (-2,0),P (t ,0),当t >-2时,由题意知C 的坐标为(t ,t +2),ȵC 在y =8x 上,ʑt (t +2)=8,解得t =2或-4.ȵt>-2,ʑt =2;当t <-2时,c (t ,t +2),t (t +2)=8,t =-4或t =2(舍),ʑt =2或-4;(2)过点D 作DH ʅy 轴于点H ,ʑO A =O D ,a 2+m 2=d 2+n 2,a m =8,d n =-8,(a +m )2=(d -n )2,(a -m )2=(d +n )2,又a <0,m <0,d <0,n >0,ʑa +m =d -n ,a -m =d +n 或a -m =-d -n ,a -d =-m -n a -d =m +{n 或a -d =-n -m a +d =m -{nʑm +n =0,或a =-nd ={m又a m =8,ʑ-m n =8,m n =-8,故m +n =0或m n =-8.针对练习71.在平面直角坐标系中,点A (a ,0)为x 轴上一动点,点M 的坐标为(1,-1),点N 的坐标为(3,-4),连接AM ,MN ,点N 关于直线AM 的对称点为点N ᶄ.(1)若a =2,在图1中画出线段MN 关于直线AM 的对称图形MN ᶄ(保留作图痕迹),直接写出点N ᶄ的坐标为 (-2,1) ;(2)若a >0,连接A N ,A N ᶄ,当点A 运动到øN ᶄA N =90ʎ时,点N ᶄ恰好在双曲线y =k x上(如图2),求k 的值;(3)点A 在x 轴上运动,若øN ᶄMN =90ʎ,此时a 的值为 -4或65.解:(1)N ᶄ(-2,1).提示:取点B (3,1),则B N ʅx 轴,M ㊁A ,B 三点在同一条直线上;(2)由A N ,A N ᶄ垂直且相等,可构建三垂直全等得N ᶄ(a -4,a -3),ʑk =(a -4)(a -3)=a 2-7a +12.ȵMN =MN ᶄ,由勾股定理得(a -5)2+(a -2)2=13,ʑa 2-7a +8=0,ʑ12-k =8,ʑk =4;(3)-4或65.由øN ᶄMN =90ʎ,构建三垂直全等得N ᶄ(4,1)或N ᶄ(-2,-3),ȵ直线A M 过N N ᶄ的中点C ,且点C 的坐标为(7,-3)或(1,-7),ʑ直线A M 的解析式为y =-1x -4或y =5x -6,令y =0,分别求得A (-4,0)或A (6,0).ʌ板块八ɔ 反比例函数与定值㊁最值方法技巧通过采取解析法求定值,建立二次函数模型求最值.▶题型一 反比例函数与定值ʌ例1ɔ 如图,点C (6,1),D (1,6)在双曲线y =6x的图象上.点T 在双曲线第一象限上(不同于C ,D ),直线T C ,T D分别交y 轴于E ,F ,则O F -O E 的值是 5 .ʌ解析ɔ O F -O E =5.理由如下:设点T m ,6()m,由D (1,6)得直线T D 的解析式:y =-6m x +6m +6,ʑO F =6m +6.由C (6,1)得直线T C 的解析式:y =-1m x +6m +1.ʑO E =6m+1,ʑO F -O E =5.▶题型二 反比例函数与最值ʌ例2ɔ 如图,双曲线y =2x的第一象限的分支上一动点P ,点A (-2,-2),B (2,2),则P A -P B 的值为4 .ʌ解析ɔ 方法1:设点P m ,2()m,则P A =(m +2)2+2m()+22=m +2m+2,同理P B =m +2m-2,ʑP A -P B =4.方法2:特殊位置法.ʌ例3ɔ 如图,在平面直角坐标系中,直线A B :y 1=x +m 与双曲线C :y2=k x 相交于A ,B 两点,其中点A (2,5),A C ʅy 轴于点C .(1)求直线与双曲线的解析式;(2)直接写出x <2时,反比例函数值y 2的取值范围;(3)点E 为点B 下方直线A B 上一动点,直线E F ʅA B ,分别与直线A B ,双曲线C 及y 轴交于E ,F ,G 三点,求E F ㊃F G 的最大值.ʌ解析ɔ (1)y 1=x +3,y2=10x;(2)y2<0或y 2>5;(3)作E I ʅy 轴于点I ,F J ʅy 轴于点J ,F H ʅE I 于点H ,设E (t ,t +3),易得B (-5,-2),由t <-5,F (m ,10m ),E H =H F ,则t +3-10m =m -t ,得t =5m +m 2-32,E 5m +m 2-32,m 2+5m +3()2,E F ㊃F G =2H E ㊃2H I =2(x F-x E)(-x F)=2(-x 2F+x E ㊃x F)=-2m 2+2m m 2+5m -3()2=-m 2-3m +10=-m +3()22+494,当m =-32时,E F ㊃F G 最大=494,此时t =-6712<-5,(E F ㊃F G )最大=494.九年级数学 大培优针对练习81.如图,若直线y =-x +m 与反比例函数y =4x(x >0)的图象相交于两个不同点E ,F (点E 在点F 的左边),与y 轴相交于点M.(1)m 的取值范围为;(2)求M E ㊃M F 的值.解:(1)设y =-x +m 代入y =4x 中,-x +m =4x ,整理得x 2-m x +4=0,ʑm >0Δ=m 2-16>{,解得m >4;(2)过点E ,F 分别作y 轴的垂线,垂足分别为G ,H .由y =-x +m 可知øM E G =øM F H =45ʎ,ʑM E =2G E ,M F =2H F .由y =-x +m =4x,得x 2-m x +4=0,ʑx E ㊃x F =4,ʑM E ㊃M F =2x E ㊃2x F =2x E ㊃x F =8.2.如图,已知反比例函数y =k x 和一次函数y =32x +6的图象有一个交点为P (-2,m ).(1)求反比例函数解析式;(2)若过点P 的直线l 与反比例函数y =k x的图象只有一个交点,求直线l 的解析式;(3)点Q 是双曲线在第四象限这一分支上的动点,过点Q 作直线,使其与双曲线y =k x只有一个公共点,且与x 轴,y 轴分别交于点C ,D ,直线y =32x +6与x 轴,y 轴分别交于点A ,B ,求四边形A BCD 面积的最小值.解:(1)将P (-2,m )代入y =32x +6得m =3,ʑP (-2,3),代入y =k x 得k =-2ˑ3=-6.ʑy =-6x.(2)①当l ʊx 轴时,直线l 为y =3;②当l ʊy 轴时,直线l 为x =-2;③当直线l 与坐标轴不平行时,ȵ过P (-2,3),ʑ可设解析式为y =a x +2a +3,由y =a x +2a +3y =-6{x得a x 2+(2a +3)x +6=0,依题意Δ=(2a +3)2-24a =(2a -3)2=0,ʑa =32,ʑy =32x +6.综上,直线l 为的解析式为y =3或x =-2或y =32x +6.(3)设Q t ,-6()t ,l C D :y =p x -t p -6t .由y =p x -t p -6t y =-6ìîíïïïïx得p x 2-t p +6()t x +6=0,ʑΔ=t p +6()t 2-24p =t p -6()t2=0,ʑp =6t 2,ʑl C D :y =6t2x -12t ,ʑD 0,-12()t ,C (2t ,0),ʑA C =2t +4,B D =6+12t .ʑS 四边形A B C D =12A C ㊃B C =12(2t +4)6+12()t =6t +4()t +24=6t -2æèçöø÷t 2+48,当t =2时,S m i n =48.第20讲实际问题与反比例函数知识导航1.根据实际问题列反比例函数关系式或确定函数图象;2.反比例函数的应用.ʌ板块一ɔ根据实际问题列反比例函数关系式或确定函数图象方法技巧解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系,然后利用待定系数法求出它们的关系式.▶题型一坐标与距离ʌ例1ɔ某闭合电路中,电源的电压为定值,电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例.下图表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象,则用电阻R表示电流I的函数解析式为()A.I=2RB.I=3RC.I=6RD.I=-6Rʌ解析ɔ C.ʌ例2ɔ某小学部课外兴趣小组的同学每人制作一个面积为1m2的矩形学具进行展示.设矩形的宽为x m,长为y m.那么这些同学所制作的矩形长y(m)与宽x(m)之间的函数关系的图象大致是()ʌ解析ɔ A.针对练习11.如果等腰三角形的底边长为x,底边上的高为y,则它的面积为定值S时,x与y的函数关系为(C)A.y=S xB.y=S2xC.y=2S xD.y=x2S2.在照明系统模拟控制电路实验中,研究人员发现光敏电阻值R(单位:Ω)与光照度E(单位:l x)之间成反比例函数关系,部分数据如下表所示:光照度E/l x0.511.522.53光敏电阻阻值R/Ω603020151210则光敏电阻值R与光照度E的函数表达式为R=30E.九年级数学 大培优ʌ板块二ɔ 反比例函数的应用方法技巧1.根据题意,建立反比例函数模型解题;2.正确认识图象,找到关键的点,运用好数形结合的思想.ʌ例1ɔ 实验数据显示,一般成人喝半斤低度白酒后,1.5小时内其血液中酒精含量y (毫克/百毫升)与时间x (时)的关系可近似地用二次函数y =-200x 2+400x 刻画;1.5小时后(包括1.5小时)y 与x 可近似地用反比例函数y =k x(k >0)刻画(如图所示).(1)根据上述数学模型计算:①喝酒后几小时血液中的酒精含量达到最大值?最大值为多少?②当x =5时,y =45,求k 的值.(2)按国家规定,车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于酒后驾驶 ,不能驾车上路.参照上述数学模型,假设某驾驶员晚上20:00在家喝完半斤低度白酒,第二天早上7:00能否驾车去上班?请说明理由.ʌ解析ɔ (1)①y =-200x 2+400x =-200(x -1)2+200,ʑ喝酒后1小时血液中的酒精含量达到最大值,最大值为200(毫克/百毫升);②ȵ当x =5时,y =45,y =k x,ʑk =x y =45ˑ5=225;(2)不能驾车上班.理由:ȵ晚上20:00到第二天早上7:00,一共有11小时,ʑ将x =11代入y =225x ,则y =22511>20.ʑ第二天早上7:00不能驾车去上班.ʌ例2ɔ 某校园艺社计划利用已有的一堵长为10m 的墙,用篱笆围一个面积为12m 2的矩形园子.(1)如图,设矩形园子的相邻两边长分别为x (m ),y (m ).①求y 关于x 的函数表达式;②当y ȡ4m 时,求x 的取值范围;(2)小凯说篱笆的长可以为9.5m ,洋洋说篱笆的长可以为10.5m.你认为他们俩的说法对吗?为什么?ʌ解析ɔ (1)①由题意x y =12,ʑy =12x x ȡ6()5;②y ȡ4时,65ɤx ɤ3;(2)当2x +12x =9.5时,整理得:4x 2-19x +24=0,ә<0,方程无实数解.当2x +12x =10.5时,整理得:4x 2-21x +24=0,ә=57>0,符合题意;ʑ小凯的说法错误,洋洋的说法正确.针对练习21.当温度不变时,某气球内的气压p (k P a )与气体体积V (m 3)的函数关系如图所示,已知当气球内的气压p >120k P a 时,气球将爆炸,为了安全起见,气球的体积V 应( C )A.不大于45m 3B .大于45m 3C .不小于45m 3 D.小于45m 32.为预防流感盛行,对教室进行 薰药消毒 .已知药物在燃烧及释放过程中,室内空气中每立方米含药量y (毫克)与燃烧时间x (分钟)之间的关系如图所示(即图中线段O A 和双曲线在A 点及其右侧的部分),根据图象所示信息,解答下列问题:(1)直接写出y 与x 之间的函数关系式及自变量的取值范围;(2)据测定,当空气中每立方米的含药量低于2毫克时,对人体无毒害作用,那么从消毒开始,至少在多长时间内,师生不能进入教室?解:(1)y =23x (0ɤx ɤ15),150x(x >15ìîíïïïï);(2)将y =2代入y =23x 得x =3;将y =2代入y =150x 得x =75;75-3=72.答:从消毒开始,师生至少在72分钟内不能进入教室.3.(2018㊃乐山)某蔬菜生产基地的气温较低时,用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜.如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后,大棚内的温度y (ħ)与时间x (h )之间的函数关系,其中线段A B ,B C 表示恒温系统开启阶段,双曲线的一部分C D 表示恒温系统关闭阶段.请根据图中信息解答下列问题:(1)求这天的温度y 与时间x (0ɤx ɤ24)的函数关系式;(2)求恒温系统设定的恒定温度;(3)若大棚内的温度低于10ħ时,蔬菜会受到伤害.问这天内,恒温系统最多可以关闭多少小时,才能使蔬菜避免受到伤害?解:(1)y =2x +10(0ɤx <5),20(5ɤx <10),200x(10ɤx ɤ24ìîíïïïï);(2)由(1)得恒温系统设定恒温为20ħ;(3)把y =10代入y =200x 中,解得x =20,ʑ20-10=10.答:恒温系统最多关闭10小时,蔬菜才能避免受到伤害.九年级数学 大培优第二十七章 相似第21讲 相似三角形的判定知识导航1.相似多边形.2.平行线分线段成比例定理.3.相似三角形的判定方法.ʌ板块一ɔ 平行线分线段成比例定理方法技巧1.在利用平行线分线段成比例定理时,注意对应线段的位置.2.由平行线+中点得线段中点,利用中位线解题.▶题型一 运用平行线分线段成比例定理探究线段关系ʌ例1ɔ 如图,已知直线A B ʊC D ʊE F ,A F 与B E 交于点G ,且A G =2,G D =1,D F =5,求B C C E的值.ʌ解析ɔ 由A B ʊC D ʊE F ,得B C C E =A D D F .又A D =A G +G D =2+1=3,D F =5,ʑB C C E =35.ʌ例2ɔ 如图,P 是▱A B C D 的边B C 的延长线上任意一点,A P 分别交B D 和C D 于点M 和N .求证:AM 2=MN ㊃MP .ʌ解析ɔ ȵA B ʊD N ,ʑәAM B ʐәNMD ,ʑAM MN =B M DM,又ȵA D ʊB P ,ʑәB M P ʐәDM A ,ʑM P AM =B M DM ,ʑAM MN =M P AM,ʑAM 2=MN ㊃M P .▶题型二 平行线等分线段定理证线段中点ʌ例3ɔ 如图,在正方形A B C D 中,点E 在对角线B D 上,连接A E ,D F ʅB D ,且D F =B E ,F B 与A C交于点M .求证:D E =2C M .ʌ解析ɔ 延长D F ,B C 交于点H ,易证øC D F =45ʎ=øD C A ,ʑDH ʊA C ,又A D ʊC H ,ʑ四边形A C HD 为平行四边形.ʑA D =C H =D C =B C ,DH =A C =B D .ȵAC //DH ,B C =AD =C H ,ʑB M =M F ,又B C =C H .ʑF H =2C M .又DH =B D ,BE =BF ,ʑDH -D F =B D -B E ,即D E =F H .ʑD E =2C M .针对练习11.如图,直线l1,l2,l3分别交直线l4于A,B,C三点,交直线l5于点D,E,F,且l1ʊl2ʊl3,已知D EʒD F =3ʒ8,A C=24.(1)求B C的长;(2)当A D=4,C F=20时,求B E的长.解:(1)B C=15;(2)连接C D交E B于点H,易得E H=38F C=152;H B=58A D=52;ʑB E=E H+H B=10.2.如图,A B是☉O的直径,C D是弦,A EʅC D,B FʅC D,垂足分别为点E,F.(1)求证:D E=C F;(2)若B F=1,A E=2,E F=4,求A B的长.解:(1)过点O作O NʅC D,垂足为点N,易证A EʊO NʊB F,ʑE N N F=A O O B=1.ʑE N=N F.ȵO NʅC D,ʑD N=N C.ʑD N-E N=N C-N F,ʑD E=C F;(2)延长A E交☉O于点M,连接B M.易证四边形E M B F为矩形.ʑE M=B F=1,B M=E F=4,ʑA B=AM2+B M2=5.3.如图,在正方形A B C D中,点E在D A的延长线上,A E=A B,点F在C D上,M为A F的中点,过点M作MNʅM C交B E于点N.求证:MN=M C.解:过点M作M PʅB C,垂足为点P,易证A BʊM PʊD C,ʑB P P C=AM M F=1.ʑB P=P C.ȵM PʅB C,ʑM B=M C.设øNM B=2x,易证øB M P=øP M C=45ʎ-x,øM B P=45ʎ+x,øA B M=45ʎ-x,øM B E=90ʎ-x,ʑøMN B=180ʎ-øNM B-øM B E=90ʎ-x.ʑøM B E=øMN B.ʑMN=M B=M C.九年级数学 大培优ʌ板块二ɔ 作平行线构造X 型相似方法技巧1.作平行线是构造三角形相似的基本方法,利用平行线对比例式进行转化.2.通常引入参数求比值或计算线段的长.▶题型一 延长平行线段构X 型相似ʌ例1ɔ 如图,▱A B C D 中,A B =2,A D =3,øA B C =60ʎ,A E ʅB C ,垂足为点E .F 为C D 的中点,D E与B F 相交于点P .(1)求E P D P 的值;(2)求B P 的长.ʌ解析ɔ (1)延长B F ,A D 交于点M ,易得B E =12A B =1,B C =A D =3,E C =2,由A D ʊB C 得DM B C =D F F C =1,E P P D =B E DM .ʑDM =B C =3,E P P D =B E DM =13;(2)过点M 作MN ʅB C 交B C 的延长线于点N .易证四边形A E NM 为矩形,ʑMN =A E =3,E N =AM =6,B M =B N 2+MN 2=213.ȵA D ʊB C ,ʑB P P M =E P P D =13.ʑB P B M =14,B P =14B M =132.▶题型二 作平行线构X 型相似,证线段关系ʌ例2ɔ 如图,在әA B C 中,A B =A C ,D 为B C 上一点,点E ,F 在A D 上,A E =E F =12B E ,øB E D =øB A C .(1)求证:A E =F C ;(2)求证:B D =2C D .ʌ解析ɔ (1)ȵA E =E F =12B E ,ʑB E =A F ,ȵøB E D =øB AC ,ʑøA B E =øC A F ,ʑәA B E ɸәC A F (S A S ),ʑA E =F C ;(2)过点C 作C M ʊB E 交A D 的延长线于点M .ȵәA B E ɸәC A F ,ʑøB E A =øA F C ,ȵøB E A +øB E D =180ʎ,øA F C +øD F C =180ʎ,ʑøB E D =øD F C .ȵB E ʊC M ,ʑøM =øB E D =øD F C .ʑF C =C M .ȵA E =F C ,A E =12B E ,ʑB E =2C M .ȵB E ʊC M ,ʑәB ED ʐәC MD .ʑB D D C =B EC M=2.ʑB D =2D C .▶题型三 作平行线构X 型相似,求比值ʌ例3ɔ 如图,øC A B =90ʎ,A C =A B ,D 是A C 的中点,A F ʅB C 分别交B D ,B C 于点E ,F .A G ʅD B交B C 于点G .求D E A G的值.ʌ解析ɔ 过点B 作B H ʊA C 交A F 的延长线于点H .易证әA C G ɸәB A E ,ʑA G =B E .易证C F =B F ,ȵB H ʊA C ,ʑB H A C =B F C F=1,ʑB H =A C ,又D 为A C 的中点,ʑB H =A C =2A D .ȵB H ʊA C ,ʑE B D E =B H A D =2.ʑE B =2D E .又A G =B E ,ʑA G =2D E ,ʑD E A G =12.ʌ另解ɔ 导角可知,әA D E ʐәB A G ,ʑD E A G =A D A B =1.。

九年级物理培优训练----电路图、实物图专题

九年级物理培优训练----电路图、实物图专题

九年级物理培优训练----电路图、实物图专题类型一：简单串并联电路一、根据电路图连实物图1、按照图甲中的电路图，用笔画线代替导线，连图乙中的实物图。

2.按照图甲中的电路图，用笔画线代替导线，连图乙中的实物图。

3、按照图甲中的电路图，用笔画线代替导线，连图乙中的实物图。

4、按照图甲中的电路图，用笔画线代替导线，连图乙中的实物图。

5.按照图甲中的电路图，用笔画线代替导线，连图乙中的实物图。

6.按照图甲中的电路图，用笔画线代替导线，连图乙中的实物图。

二、根据实物图画电路图7、根据如图的实物图，在右侧虚线框内画出相对应的电路图。

8、根据如图的实物图，在右侧虚线框内画出相对应的电路图。

9.根据如图的实物图，在右侧虚线框内画出相对应的电路图。

10、根据如图的实物图，在右侧虚线框内画出相对应的电路图。

11、根据如图所示的实物图画出对应的电路图。

12.根据如图所示的实物图画出对应的电路图。

13、根据如图所示的实物图画出对应的电路图。

三、根据要求设计相应的电路图、实物图14、将图中的各器材连成电路。

要求：L1灯和L2灯并联；开关S1只控制L1灯，开关S2控制L1灯和L2灯。

15.根据以下要求，用笔画线连接实物电路图。

（1）只闭合开关S1时，红灯发光，绿灯不发光；（2）开关S1、S2都闭合时，两灯都发光；（3）只闭合开关S2时，两灯均不发光。

16、如图所示，学校有前、后两个门，在前、后门各装一个按钮开关，学校传达室有甲、乙两盏灯和电池组。

要求：前门来人按下开关时甲灯亮，后门来人按下开关时乙灯亮。

请连线图中实物。

17、高铁内如果两个相邻的洗手间都有人并且门都锁住时，红灯亮表示“有人”，如果两洗手间都没有人或者只有一个洗手间有人时，红灯不亮表示可以使用。

请设计电路将下图连接起来。

18.健健为抗击新冠疫情设计一个病床呼叫电路。

要求：病床1旁的开关S1控制指示灯L1和电铃；病床2旁的开关S2控制指示灯L2和电铃；患者只要按床旁的开关，医务人员就知道谁呼叫。

(必考题)初中英语九年级全册期末经典题(培优)(1)

(必考题)初中英语九年级全册期末经典题(培优)(1)

一、选择题1．Which sign means you can’t go straight?A．B．C．D． D解析：D【详解】句意：哪个标志的意思是你不能直行？根据图示可知，第四个图示中，箭头表示直行，斜线表示禁止，符合题意。

故选D。

2．—Which book is ______, this one or that one?—I think this one.A．interesting B．more interestingC．most interesting D．the most interesting B解析：B【解析】【详解】句意：——哪一本书更有趣，这本还是那本？——我认为是这本。

考查形容词的比较级。

根据this one or that one，可知此处应用形容词的比较级，interesting“有趣的”，其比较级为more interesting，结合选项可知B选项符合题意，故答案选B。

3．A flower show ______ in the city next year.A．will hold B．is held C．was held D．will be held D解析：D【解析】【详解】句意：明年这个城市将举行一场花展。

考查一般将来时的被动语态。

A. will hold一般将来时；B. is held一般现在时的被动语态；C. was held 一般过去时的被动语态；D. will be held 一般将来时的被动语态。

根据next year可知句子时态用一般将来时，由于主语a flower和动词hold之间是被动关系，所以应用一般将来时的被动语态，其结构为：will+be+动词过去分词，结合选项可知D选项符合题意，故答案选D。

4．— Could you tell me ______? Someone is waiting for him outside.—Sorry, I don’t know.A．where Mr. Green is B．where is Mr. GreenC．where Mr. Green was D．where was Mr. Green A解析：A【解析】【详解】句意：——你能告诉我格林先生在哪里吗？有人在外面等他。

【九年级数学几何培优竞赛专题】专题1 巧构圆,妙解题【含答案】

【九年级数学几何培优竞赛专题】专题1 巧构圆,妙解题【含答案】

第一章 圆专题1巧构圆，妙解题知识解读在处理平面几何中的许多问题时，常常需要借助圆的性质，问题才能解决.而有时候我们需要的圆并不存在，这就需要我们能利用已知的条件，借助图形的特点把实际存在的圆找出来，从而运用圆中的性质来解决问题，往往有事半功倍的效果，使问题获得巧解或简解，这是我们解题必须要掌握的技巧. 作辅助圆的常用依据有以下几种：①圆的定义：若几个点到某个固定点的距离相等，则这几个点在同一个圆上； ②有公共斜边的两个直角三角形的顶点在同一个圆上；③对角互补的四边形四个顶点在同一个圆上，简记为：对角互补，四点共圆；④若两个三角形有一条公共边，这条边所对的角相等，并且在公共边的同侧，则这两个三角形有公共的外接圆，简记为：同旁张等角，四点共圆.培优学案典例示范例1将线段AB 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AC ，继续旋转(0120)αα<<得到线段AD ，连接CD . (1)连接BD .①如图1-1-1①，若α=80°，则∠BDC 的度数为；②在第二次旋转过程中，请探究∠BDC 的大小是否改变？若不变，求出∠BDC 的度数；若改变，请说明理由；(2)如图1-1-1②，以AB 为斜边作Rt △ABE ，使得∠B =∠ACD ，连接CE ，DE .若∠CED =90°，求α的值.图1-1-1②①EDCBADBA【提示】(1)①∠BDC =∠ADC -∠ADB ，利用“等边对等角及三角形内角和为180°”可求出∠BDC 为30°； ②由题意知，AB =AC =AD ，则点B ，C ，D 在以A 为圆心，AB 为半径的圆上，利用“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”可快速求出∠BDC 仍然为30°；(2)过点A 作AM ⊥CD 于点M ，连接EM ，证明“点A ，C ，D 在以M 为圆心，MC 为半径的圆上”.跟踪训练如图1-1-2，菱形ABCD 中，∠B =60°，点E 在边BC 上，点F 在边CD 上.若∠EAF =60°，求证：△AEF 是等边三角形.角相等”获证.图1-1-2BFEDC A例2 (1)如图1-1-3①，正方形ABCD 中，点E 是BC 边上的任意一点，∠AEF =90°，且EF 交正方形外角平分线CF 于点F .求证：AE =EF ；(2)若把(1)中的条件“点E 是BC 边上的任意一点”，改为“点E 是BC 边延长线上的一点”，其余条件不变，如图1-1-3②，那么结论AE =EF 是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.①②图1-1-3A B E CFDFDCEBA【提示】连接AC ，AF ，显然∠ACF =∠AEF =90°，所以A ，E ，C ，F 四点在以AF 为直径的圆上. (1)如图1-1-4①，当点E 在BC 边上，则∠AFE =∠ACE =45°，于是△AEF 是等腰直角三角形，AE =EF 获证；(2)如图1-1-4②，当点E 在BC 边的延长线上，则∠F AE =∠FCE =45°，于是△AEF 是等腰直角三角形，AE=EF 获证.F图1-1-4②①【拓展】本题将“正方形”改为“正三角形”，“∠AEF =90°”相应改为“∠AEF =60°”，仍然可以运用构造“辅助圆”的思路.还可进一步拓展为“正n 边形”，360180AEF =-∠，仍然可延续这种思路，读者可自己完成.跟踪训练已知，将一副三角板(Rt △ABC 和Rt △DEF )如图1-1-5①摆放，点E ，A ，D ，B 在一条直线上，且D 是AB的中点.将Rt △DEF 绕点D 顺时针方向旋转角(090)αα<<，在旋转过程中，直线DE ，AC 相交于点M ，直线DF ，BC 相交于点N ，分别过点M ，N 作直线AB 的垂线，垂足为G ，H . (1)如图1-1-5②，当α=30°时，求证：AG =DH ； (2)如图1-1-5③，当α=60°时，(1)中的结论是否成立？请写出你的结论，并说明理由； (3)当090α<<时，(1)中的结论是否成立？请写出你的结论，并根据图1-1-5④说明理由.③④图1-1-5②①HGEAF D C (N )BFE DCBA【提示】本题除了常规解法外，还可考虑构造“辅助圆”.例3 已知，在△ABC 中，AB =AC ，过A 点的直线a 从与边AC 重合的位置开始绕点A 按顺时针方向旋转角θ，直线a 交BC 边于点P (点P 不与点B ，点C 重合)，△BMN 的边MN 始终在直线a 上(点M 在点N 的上方)，且BM =BN ，连接CN . (1)当∠BAC =∠MBN =90°时.①如图1-1-6①，当θ=45时，∠ANC 的度数为 ； ②如图1-1-6②，当45θ≠时，①中的结论是否发生变化？说明理由；(2)如图1-1-6③，当∠BAC =∠MBN ≠90°时，请直接写出∠ANC 与∠BAC 之间的数量关系，不必证明.③②C【提示】由于在旋转过程中不变的关系是：∠BAC =∠MBN ，AB =AC ，BM =BN ，易知∠ABC =∠ACB =∠BMN =∠BNM .由∠ACB =∠BNM 可知A ，B ，N ，C 四个点在同一个圆上(如图1-1-7)，则∠ANC =∠ABC =1902BAC -∠，这样思考，所有问题都会迎刃而解.跟踪训练在△ABC 中，BA =BC ，∠BAC =α，M 是AC 的中点，P 是线段BM 上的动点，将线段P A 绕点P 顺时针旋转2α得到线段PQ . (1)若α=60°且点P 与点M 重合(如图1-1-8①)，线段CQ 的延长线交射线BM 于点D ，请补全图形，并写出∠CDB 的度数；(2)在图1-1-8②中，点P 不与点B ，M 重合，线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，猜想∠CDB 的大小(用含α的代数式表示)，并加以证明；(3)对于适当大小的α，当点P 在线段BM 上运动到某一位置(不与点B ，M 重合)时，能使得线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，且PQ =QD ，请直接写出α的范围.①图1-1-8②DP BACMQQM (P )CB A例4如图1-1-9，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点．（1）使∠APB＝30°的点P有个；（2）若点P在y轴上，且∠APB＝30°，求满足条件的点P的坐标；（3）当点P在y轴上移动时，∠APB是否有最大值？若有，求点P的坐标，并说明此时∠APB最大的理由；若没有，也请说明理由．图1-1-9【提示】（1）已知点A、点B是定点，要使∠APB＝30°，只需点P在过点A、点B的圆上，且弧AB所对的圆心角为60°即可，显然符合条件的点P有无数个．（2）结合（1）中的分析可知：当点P在y轴的正半轴上时，点P是（1）中的圆与y轴的交点，借助于垂径定理、等边三角形的性质、勾股定理等知识即可求出符合条件的点P的坐标；当点P在y轴的负半轴上时，同理可求出符合条件的点P的坐标．（3）由三角形外角的性质可证得：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角大于同弧所对的圆外角．要∠APB最大，只需构造过点A、点B且与y轴相切的圆，切点就是使得∠APB最大的点P，然后结合切线的性质、三角形外角的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识即可解决问题．跟踪训练已知，如图1-1-10①，，∠MON＝60°，点A，B为射线OM，ON上的动点（点A，B不与点O重合），且AB＝43，在∠MON的内部，△AOB的外部有一点P，且AP＝BP，∠APB＝120°．（1）求AP的长；（2）求证：点P在∠MON的平分线上．（3）如图1-1-10②，点C，D，E，F分别是四边形AOBP的边AO，OB，BP，P A的中点，连接CD，DE，EF，FC，OP．若四边形CDEF的周长用t表示，请直接写出t的取值范围．图1-1-10例5已知，在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，动点M从点A出发沿边AD向点D运动．（1）如图1，当b＝2a，点M运动到边AD的中点时，请证明∠BMC＝90°；（2）如图2，当b＞2a时，点M在运动的过程中，是否存在∠BMC＝90°，若存在，请给与证明；若不存在，请说明理由；（3）如图3，当b＜2a时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．、① ②③图1-1-11【提示】本题除了建立方程模型，将问题转化为方程是否有解的判断外，还可以通过构造辅助圆，将问题转化为直线与圆的位置关系来讨论．跟踪训练1.如图1-1-12，直线y＝﹣x+3与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点P（2，1）．（1）求该反比例函数的关系式；（2）设PC⊥y轴于点C，点A关于y轴的对称点为A′；①求△A′BC的周长和sin∠BA′C的值；②对大于1的常数m，求x轴上的点M的坐标，使得sin∠BMC1m ．图1-1-12【提示】（1）①由直线y=-x+3写出OA=3，OB=3；由等腰直角三角形的边长关系，可得AB2；由PC⊥y轴，可得QC=1，BC=2；由对称知A'B=AB2，OA'=0A=3，然后用勾股定理求出A'C的长，也就可以求出△A'BC的周长；（2）②如果选用上一题的思路求∠BMC的正弦值，会陷入计算的麻烦，这里采用转化的思想，找到外接圆的半径，另外还应分类讨论。

北师大版九年级上册数学同步培优第一章特殊平行四边形 全章热门考点整合专训

北师大版九年级上册数学同步培优第一章特殊平行四边形 全章热门考点整合专训
即12×16×6＝12×10·OE－12×10·OF.
解得OE－OF＝9.6.∴OE＋OF的值发生变化，OE，OF之
间的数量关系为OE－OF＝9.6.
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11．如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在△ABC的内部， ∠BOC＝90°，OB＝OC，D，E，F，G分别是AB， OB，OC，AC的中点．
【答案】 B
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5．【2021·鞍山】如图，在▱ABCD中，G为BC边上一点， DG＝DC，延长DG交AB的延长线于点E，过点A作 AF∥ED交CD的延长线于点F.求证：四边形AEDF是 菱形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BAD＝∠C，AD∥BC，AB∥CD. ∵AF∥ED，∴四边形AEDF是平行四边形． ∵AD∥BC，∴∠DGC＝∠ADE. ∵DG＝DC，∴∠DGC＝∠C.∴∠BAD＝∠ADE. ∴AE＝DE.∴平行四边形AEDF是菱形．
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14．阅读
在平面直角坐标系中，以任意两点P(x1，y1)，Q(x2，
y2)为端点的线段的中点坐标为 运用
x1＋2 x2，y1＋2 y2.
(1)如图，矩形ONEF的对角线相交于点M，ON，OF分别
在x轴和y轴上，O为坐标原点，点E的坐标为(4，3)， 则点M的坐标为_(_2_，__1_.5_)_；
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4．【2021·河池】如图，在边长为4的正方形ABCD中，点
E，F分别在CD，AC上，BF⊥EF，CE＝1，则AF的
长是( ) A．2 2
B.32 2
C.43 2
D.54 2
【点方法】由于BF⊥EF，所以过F作AB的垂线交 AB于N，交CD于M，证明△MFE≌△NBF，设 ME＝x，利用MN＝4列方程，即可求解．
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2022年部编版九年级下册语文同步培优第一单元写作 学习扩写

2022年部编版九年级下册语文同步培优第一单元写作 学习扩写

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持之以恒,就要坚持不懈,而非一曝十寒。“锲而舍之,朽木不 折;锲而不舍,金石可镂。”一个人如果“不弃功于寸阴”,持之以恒, 锲而不舍,必将出类拔萃。司马迁撰写《史记》用时10多年,司马 光编写《资治通鉴》用时19年,徐霞客撰写《徐霞客游记》耗时 →围绕第二个分论点, 34年,曹雪芹完成《红楼梦》“批阅十载,增删五次”,达尔文撰写《 引用名人名言,列举大 物种起源》花费了20多年,哥白尼撰写《天体运行论》花费了30 量事例,论证有力。 多年,马克思撰写《资本论》整整用了40年。仔细审视,你会发现, 坚持是这些名人成功的共同点,无论际遇如何,无论困难多大,他们 都没有放弃。荀子曾说:“不积跬步,无以至千里;不积小流,无以成 江海。”正是他们数十年如一日的勤奋耕耘,才给我们、给世界留 下了一笔笔宝贵的精神财富,才使人类文明光辉灿烂,代代相传。
想,说了不少豪言壮语,甚至在梦中追求丰功伟绩。可一旦动
点一:“持之以恒,就 要注重平日积累,而
手实行,就在困难面前一筹莫展;遇到挫折就垂头丧气,一蹶 非临渴掘井”。
不振;在学习上则是一曝十寒,最后虚度年华,成为人们的笑
柄。事实证明,没有这些持之以恒的积累,成功绝不可能从天
而降!
写作 学习扩写
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阅读下面的语段,深入思考,把它扩写成一篇议论性文章,题目 自拟。不少于600字。
“苟有恒,何必三更眠五更起;最无益,莫过一日曝十日寒。 ”这是明代学者胡居仁撰写的对联,意在勉励自己:做事情贵在 持之以恒。持之以恒,就要注重平日积累,而非临渴掘井。持 之以恒,就要坚持不懈,而非一曝十寒。古今中外很多事例都 告诉我们,做事情有恒心方能成功。我们在求学、成长的路 途上,也应持之以恒。

九年级历史培优补差内容及措施

九年级历史培优补差内容及措施

九年级历史培优补差内容及措施
九年级历史培优补差的内容和措施主要包括以下几个方面：
1. 制定目标：针对不同层次的学生制定具体的培优和补差目标，如提高优生的历史思维能力、拓宽知识面，帮助差生提高学习兴趣和成绩等。

2. 优化课堂教学：根据学生的实际情况，采用多种教学方法和手段，如小组合作学习、情景模拟等，激发学生的学习兴趣和积极性。

3. 拓展知识：引导学生了解更多与历史相关的知识和信息，如文化、艺术、科技等，以拓宽学生的视野和思维方式。

4. 针对性辅导：根据学生的学习情况，针对薄弱环节进行有针对性的辅导，如辅导历史事件的背景、历史人物的思想等。

5. 培养自主学习能力：引导学生自主学习历史知识，培养其独立思考和解决问题的能力。

6. 加强师生沟通：与学生建立良好的师生关系，关注学生的情感需求，及时发现和解决问题。

7. 制定评价标准：根据学生的实际情况制定具体的评价标准，及时反馈学生的学习情况，鼓励其不断进步。

8. 开展课外活动：组织丰富多彩的课外活动，如历史讲座、历史剧表演等，以增强学生对历史的兴趣和认识。

9. 家校合作：与家长保持密切联系，共同关注学生的学习情况和成长问题，形成教育合力。

10. 自我反思与调整：定期对教学进行自我反思和调整，不断优化教学方法和手段，以提高教学效果。

以上措施可根据实际情况进行调整和补充，以达到更好的教学效果。

《勤学早》九年级数学大培优全一册(教师用解析版)

《勤学早》九年级数学大培优全一册(教师用解析版)

九年级数学 大培优知识导航1.反比例函数的定义和解析式;2.反比例函数的图象和性质;3.反比例函数与方程及不等式;4.反比例函数与神奇的几何性质;5.反比例函数与直线y =a 或x =a ;6.反比例函数与全等相似;7.反比例函数与图形变换;8.反比例函数与定值及最值.ʌ板块一ɔ 反比例函数的定义和解析式方法技巧根据定义解题1.定义:一般地,形如y =k x(k 为常数,k ʂ0)的函数,叫做反比例函数,其中x 是自变量,y 是函数.自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数.2.解析式:y =k x(k ʂ0)或x y =k (k ʂ0)或y =k x -1(k ʂ0).▶题型一 根据定义判断反比例函数ʌ例1ɔ 下列函数:①y =x 2;②y =2x ;③y =-2x ;④y =12x ;⑤y =1x +2;⑥y =1x-2;⑦x y =2;⑧y =2x -1,⑨y =2x2.其中y 是x的反比例函数的有 (填序号).ʌ解析ɔ ②③④⑦⑧.▶题型二 根据定义确定k 值或解析式ʌ例2ɔ (1)反比例函数y =-32x ,化为y =k x的形式,相应的k =;(2)函数y =k x中,当x =2时,y =3,则函数的解析式为 .ʌ解析ɔ (1)-32;(2)y =6x.▶题型三 根据定义确定待定系数的值ʌ例3ɔ (1)如果函数y =x 2m +1是关于x 的反比例函数,则m 的值为;(2)若函数y =(m +2)x m2-5(m 为常数)是关于x 的反比例函数,求m 的值及函数的解析式.ʌ解析ɔ (1)-1;(2)m =2,y =4x -1.第19讲反比例函数第二十六章反比例函数(官方版教学资料精品）针对练习11.下列函数中,为反比例函数的是(B)A.y=x3B.y=13xC.y=1x-3D.y=1x22.反比例函数y=-32x化为y=k x的形式后,相应的k= -32.3.若关于x的函数y=(m2-4)x m2-m-7是反比例函数,求m的值.解:3.ʌ板块二ɔ反比例函数的图象和性质方法技巧抓住反比例函数的性质并结合图象解题一般地,对于反比例函数y=kx(kʂ0),由函数图象,并结合解析式,我们可以发现:1.图象分布当k>0时,x,y同号(同号或异号),函数图象为第一㊁三象限的两支曲线;当k<0时,x,y异号(同号或异号),函数图象为第二㊁四象限的两支曲线.因此反比例函数的图象也叫做双曲线.2.对称性若点(a,b)在反比例函数的图象上,则点(b,a),(-b,-a),(-a,-b)也在此图象上,故反比例函数的图象关于直线y=x,y=-x对称,关于点(0,0)成中心对称.3.增减性当k>0时,在每一个象限内,y随x的增大而减小;当k<0时,在每一个象限内,y随x的增大而增大.▶题型一反比例函数的增减性ʌ例1ɔ在反比例函数y=1-8m x的图象上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),若x1<0<x2,y1>y2,则m的取值范围是()A.m>18B.m<18C.mȡ18D.mɤ18ʌ解析ɔA.根据条件x1<0<x2,y1<y2,可判断其图象位于二㊁四象限,ʑ1-8m<0,ʑm>18.ʌ例2ɔ已知反比例函数y=-6x.(1)画出这个反比例的图象;(2)当-6ɤx<-2时,y的取值范围是;(3)当|y|ȡ3时,x的取值范围是.ʌ解析ɔ(1)图略;(2)1ɤy<3;(3)-2ɤx<0或0<xɤ2.九年级数学 大培优▶题型二 反比例函数的图象的对称性ʌ例3ɔ 如图,直线y =a x (a ʂ0)与双曲线y =k x(k ʂ0)交于A ,B 两点,试说明A ,B 两点关于原点对称.ʌ解析ɔ 联立y =a x ,y =k x{,得a x 2-k =0,ʑx A +x B =0,过A ,B 两点分别作x 轴的垂线,由全等即可得O A =O B ,ʑA ,B 两点关于原点对称.▶题型三 反比例函数的图象与系数的关系ʌ例4ɔ 如图,反比例函数①y =k 1x ,②y =k 2x ,③y =k 3x ,④y =k 4x的部分图象如图所示,则k 1,k 2,k 3,k 4的大小关系是.ʌ解析ɔ k 3<k 4<k 1<k 2.|k |越大,其图象离坐标原点越远.▶题型四 反比例函数中k的几何意义如图,过双曲线上任意一点P 作x 轴,y 轴的垂线段P M ,P N ,则所得的矩形P M O N 的面积S =P M ㊃P N =|y |㊃|x |=|x y|=|k |,即在反比例函数y =k x(k ʂ0)的图象上任取一点向两坐标轴作垂线段,则两垂线段与两坐标轴所围成的矩形的面积等于|k |,且这个面积的值与取点的位置无关.特别地,S әP M O =S әP N O =12|k |.ʌ例5ɔ 如图,平行于x 轴的直线A B 与双曲线y =k 1x 和y =k 2x(k 1>k 2)在第一象限内交于A ,B 两点,若S әO A B =2,求k 1-k 2的值.ʌ解析ɔ 延长A B 交y 轴于点C ,则S әO A B =S әO A C -S әO B C =12k 1-12k 2=2,ʑk 1-k 2=4.ʌ例6ɔ 如图,直线y =-12x 与双曲线y =k x(k <0)交于A ,B 两点,且点A 的横坐标为-4.(1)求k 的值;(2)过原点的另一直线交双曲线y =k x(k <0)于P ,Q 两点,点P 在第二象限.若A ,B ,P ,Q 四点组成的四边形面积为24,求点P 的坐标.ʌ解析ɔ (1)A (-4,2),k =-8;(2)易知四边形A P B Q 是平行四边形,ʑS әA P O =14S 四边形A P B Q =6,过点A 作A D ʅx 轴于点D ,过点P 作P E ʅx 轴于点E ,S 四边形A D O P =S әA D O +S әA P O =S 四边形A D E P +S әP E O ,ȵS әA D O =S әP E O ,ʑS әA P O =S 四边形A D E P ,设P (a ,-8a ),则12㊃(2-8a)㊃(a +4)=6,ʑa 1=8,a 2=-2,ȵ点P 在第二象限,ʑa <0,ʑa =-2,ʑP (-2,4).针对练习21.对于反比例函数y =3x ,下列说法正确的是( D )A.图象经过点(1,-3)B .图象在第二㊁四象限C .y 随x 的增大而减小 D.x <0时,y 随x 增大而减小2.在同一平面直角坐标系内画出函数y =k x +1和函数y =k x(k ʂ0)的图象大致是( B )3.反比例函数y =a 2-a +1x(a 为常数)的图象上有三个点(x 1,y 1),(x 2,y 2),(x 3,y3),其中x 1<x 2<0<x 3,则y 1,y 2,y3的大小关系是 y 2<y 1<y 3 .4.如图,点A 是反比例函数y =k x(x <0)的图象上一点,过点A 作A B ʅx 轴于点B ,点P 是y 轴负半轴上一点,әA B P 的面积为1,求k 的值.解:连接A O ,ȵA B ʊy 轴,ʑS әA B P =S әA B O =1,ʑ12|k |=1,ʑk =-2.5.点A (a ,y 1),B (2a ,y2)是反比例函数y =k x(k >0)的图象上的两点.(1)比较y 1与y 2的大小关系;(2)若A ,B 两点在一次函数y =-43x +b 位于第一象限的图象上(如图所示),分别过A ,B 两点作x 轴的垂线,垂足分别为点C ,D ,连接O A ,O B ,且S әO A B =8,求a 的值;(3)在(2)的条件下,如果3m =-4x +24,3n =32x,求使得m >n 的x 的取值范围.解:(1)ȵA ,B 是反比例函数y =k x(k >0)图象上的两点,ʑa ʂ0,当a >0时,点A ,B 在第一象限,由a <2a 可知,y 1>y 2,同理,a <0时,y 1<y2;(2)ȵA (a ,y 1),B (2a ,y2)在反比例函数y =k x (k >0)的图象上,ʑA C =y 1=k a ,B D =y 2=k 2a,ʑy 1=2y 2.又ȵ点A (a ,y 1),B (2a ,y 2)在一次函数y =-43x +b 的图象上,ʑy 1=-43a +b ,y2=-83a +b ,ʑ-43a +b =2(-83a +b ),ʑb =4a ,ȵS әA O C +S 梯形A C D B =S әA O B +S әB O D ,又ȵS әA O C =S әB O D ,ʑS 梯形A C D B =S әA O B ,ʑ12[(-43a +b )+(-83a +b )]×a =8,ʑa 2=4,ȵa >0,ʑa =2;(3)由(2)得,一次函数的解析式为y =-43x +8,反比例函数的解析式为y =323x,A ,B 两点的横坐标分别为2,4,且m =-43x +8,n =323x,因此使得m >n 的x 的取值范围就是反比例函数的图象在一次函数图象下方的点中横坐标的取值范围,从图象可以看出或x <0.九年级数学 大培优ʌ板块三ɔ 反比例函数与方程㊁不等式方法技巧根据直线与双曲线的交点并结合图象解题▶题型一 反比例函数与方程ʌ例1ɔ 如图,直线y =-x +5与双曲线y =4x 交于A ,B 两点.(1)求A ,B 两点的坐标;(2)将直线A B 向左平移n 个单位长度,若平移后直线A B 与双曲线有唯一公共点,求n 的值.ʌ解析ɔ (1)A (1,4),B (4,1);(2)将直线A B 向左平移n 个单位长度后其解析式为y =-(x +n )+5,联立y =4x,y =-(x +n )+5{,得x 2+(n -5)x +4=0,依题意,Δ=(n -5)2-4ˑ1ˑ4=0,解得n =1或9.ʌ例2ɔ 直线y =2x +4与反比例函数y =6x的图象交于A ,B 两点,直线y =m (m >0)与直线A B 相交于点M ,与反比例函数的图象相交于N ,若MN =4,求m 的值.ʌ解析ɔ ȵ点M 在直线A B 上,ʑM (m -42,m ),ȵ点N 在反比例函数y =6x的图象上,所以N (6m ,m ),MN =x N -x M =6m -m -42=4或MN =x M -x N =m -42-6m =4,ȵm>0,ʑm =2或m =6+43.▶题型二 反比例函数与不等式ʌ例3ɔ 如图,一次函数y =-x +4与反比例函数y =m x (m >0,x >0)的图象交于A ,B 两点,与x 轴,y轴分别相交于C ,D 两点.如果点A 的横坐标为1,利用函数图象求关于x 的不等式4-x <m x的解集.ʌ解析ɔ 当x =1时,y =3,ʑA (1,3)代入y =m x ,得m =3,y =3x,联立y =4-xy =3{x,得B (3,1),ʑ原不等式的解集为0<x <1或x >3.▶题型三 反比例函数与数形结合比较大小ʌ例4ɔ 如图,直线y =2x +4与反比例函数y =k x 的图象相交于A (-3,a )和B 两点.(1)求A ,B 两点的坐标;(2)直接写出不等式k xɤ2x +4的解集.ʌ解析ɔ (1)A (-3,-2),B (1,6);(2)-3ɤx <0或x ȡ1.ʌ例5ɔ 如图,双曲线y =k x (k >0)与直线y =-12x +4相交于A ,B 两点.(1)当k =6时,求点A ,B 的坐标;(2)在双曲线y =k x (k >0)的同一支上有三点C (x 1,y 1),D (x 2,y 2),P (x 1+x 22,y0),请你借助图象,直接写出y 0与y 1+y 22的大小关系;(3)点M (x 1,y 1),N (x 2,y2)是双曲线y =6x (x >0)上任意两点,s =y 1+y 22,t =12x 1+x 2,试比较s 与t 的大小.备用图ʌ解析ɔ (1)A (2,3),B (6,1);(2)当x 1>0时,y0<y 1+y 22;当x 1<0时,y0>y 1+y 22.(3)设线段MN 的中点为Q ,则点Q 的坐标为(x 1+x 22,y 1+y 22),过点Q 作Q R ʊy 轴交双曲线于点R ,则点R 的坐标为(x 1+x 22,12x 1+x 2),观察图象可知y 1+y 22>12x 1+x 2,ʑs >t .ʌ例6ɔ 当1ɤx ɤ4时,直线y =-2x +b 与双曲线y =4x 只有一个公共点,则b 的取值范围是 b =42或6<b ɤ9 .ʌ解析ɔ ①当直线y =-2x +b 过点(1,4)时,-2+b =4,b =6;②当直线y =-2x +b 过点(4,1)时,-8+b =1,b =9;③当直线y =-2x +b 与y =4x 相切时,联立4x =-2x +b ,得2x 2-b x +4=0,Δ=b 2-4ˑ2ˑ4=0,ʑb 1=42,b 2=-42(舍),由图象可知,b =42或6<b ɤ9.九年级数学 大培优针对练习31.如图,在平面直角坐标系中,直线A B :y 1=x +m 与双曲线C :y2=k x 相交于A (2,5),B 两点.(1)求点B 的坐标;(1)当y 1>y2时,x 的取值范围是;(2)当x <2时,y2的取值范围是.解:(1)B (-5,-2);(2)x >2或-5<x <0;(3)y2<0或y 2>5.2.如图,一次函数y 1=x +1的图象与反比例函数y 2=k x (k 为常数,且k ʂ0)的图象都经过点A (m ,2).(1)求点A 的坐标及反比例函数的表达式;(2)结合图象直接写出当x >0时,比较y 1和y 2的大小;(3)直接写出不等式4x -2ɤx +1的解集.解:(1)将A (m ,2)代入y 1=x +1得m =1,ʑA (1,2),将A (1,2)代入y 2=k x ,得k =2,ʑy 2=2x ;(2)当0<x <1时,y 1<y2;当x =1时,y 1=y 2;当x >1,y 1>y 2;(3)-2ɤx <2或x ȡ3.3.如图,一次函数y 1=x +5的图象与反比例函数y 2=k x 的图象交于A ,B 两点.当x >1时,y 1>y2;当0<x <1时,y 1<y2.(1)直接写出反比例函数y 2的解析式;解:ȵ当x >1时,y 1>y 2;当0<x <1时,y 1<y2,ʑA 点的横坐标是1,纵坐标为y =1+5=6,ʑA (1,6),代入y 2=k x ,可得k =x y =6,ʑy 2=6x;(2)过点D (t ,0)(t >0)作x 轴的垂线,分别交双曲线y 2=k x和直线y 1=x +5于P ,Q 两点.若P Q=备用图3P D 时,求t 的值.解:当P Q =3P D 时,直线P Q 在点A 的右侧,ȵ直线P Q 分别交双曲线y 2=k x和直线y 1=x +5于P ,Q 两点,ʑP (t ,6t ),Q (t ,t +5),ȵP Q =3P D ,ʑt +5-6t =3ˑ6t ,解得t 1=3,t 2=-8(舍去),ʑt 的值为3.ʌ板块四ɔ 反比例函数与神奇的几何性质方法技巧根据反比例函数k 的意义,结合全等㊁相似或参数思想㊁根系关系,可得出反比例函数一些重要几何性质,在解题中可运用这些重要性质,从而大大提高解题效率.性质一 如图,直线A B :y =m x +n 交x 轴于点A ,交y 于点B ,交双曲线k x于C ,D 两点.求证:A C =B D.图1图2证明:证法一:(利用根系关系得全等)过点C 作C E ʅx 轴于点E ,过点D 作D F ʅy 于点F ,联立y =m x +n ,y =k x{,得m x 2+n x -k =0,则有x C +x D =-n m .易知A (-n m,0),ʑx C +x D =O A ,可得D F =A E ,ʑәA C E ɸәD B F ,ʑA C =B D .证法二:(利用k 的意义得相似)过点C 作C E ʅx 轴于点E ,C M ʅy 轴于点M ,过点D 作D F ʅy 轴于点F ,D N ʅx 轴于点N ,ȵx D ㊃y D =x C ㊃yC =k ,ʑD F ㊃D N =C M ㊃CE ,ʑC M DF =D N C E ,ʑB C B D =A D A C ,等式两边同时减1,得C D B D =C D A C,ʑA C =B D .性质应用ʌ例1ɔ 如图,直线y =x +6交x 轴于点A ,交y 轴于点B ,交双曲线y =k x于点C ,D ,若C D =2(A C +B D ),则k 的值为.ʌ解析ɔ -5.过点C 作C E ʅx 轴于点E ,由性质可得A C =B D ,ȵC D =2(A C +B D ),ʑC D =4A C ,ʑA B =6A C ,ʑC E =16O B =16ˑ6=1,同理A E =1,ʑO E =5,ʑC (-5,1),ʑk =-5ˑ1=-5.性质二 如图1,A ,B 为双曲线y =k x上任意两点,A C ʅy 轴于点C ,B D ʅx 轴于点D ,直线AC ,BD 交于点E .求证:①A B ʊC D ; ②A C A E =B D B E.图1证明:证法一:(面积法)连接A D ,B C ,则S әA C D =S әB C D =12|k |,ʑ①A B ʊC D ;②A C A E =B DB E.证法二:(相似法)利用x A y A =x B y B =k ,可得A C ㊃D E =B D ㊃C E ,进而得A E C E =B E D E ,ʑәA B E ~әC D E ,ʑ①A B ʊC D ;②A C A E =B DB E.九年级数学 大培优变式1:如图2,A C ʅx 轴于点C ,B D ʅy 轴于点D ,A C ,B D 交于点E .求证:①A B ʊCD ; ②A C AE =B D B E.图2证明:证法同上.变式2:如图3,A ,B 为双曲线y =k x 上任意两点,A C ʅy 轴于点C ,B D ʅx 轴于点D ,直线AC ,B D交于图3点E .求证:①A B ʊC D ; ②A C A E =B D B E.证明:证法同上.ʌ例2ɔ 如图,双曲线y =k x经过矩形O A B C 边A B 的中点F ,交B C于点E ,且四边形O E B F 的面积为2,则k =.ʌ解析ɔ 过点E 作E H ʅx 轴于点H ,ȵ点F 为A B 中点,则点E 为B C 边的中点,可得S 四边形O E B F =12S 矩形O A B C =S 矩形O C E H =k ,ʑk =2.ʌ例3ɔ 如图,点P 为双曲线y =8x(x >0)上一点,P A ʅx 轴于点A ,P Bʅy 轴于点B ,P A ,P B 分别交双曲线y =k x (x >0)于C ,D 两点,若S әP C D =1,则k =.ʌ解析ɔ 设点P (a ,8a ),则点C (a ,k a ),D (a k 8,8a ),ʑS әP C D =12ˑ8-k a ˑ(a -a k 8)=(8-k )216=1,ʑk 1=4,k 2=12(舍),ʑk =4.性质三 如图,直线A B 与双曲线y =k x只有唯一公共点A ,且A B 与y 轴不平行,A B 交x 轴于点B ,连接O A .求证:O A =A B.证明:(解析法)过点A 作AH ʅx 轴于点H ,设点A a ,k ()a ,L A B :y =m (x -a )+k a.联立y =k x y =m (x -a )+k ìîíïïïïa得m x 2+k a -()a m x -k =0,依题意Δ=k a -()a m2+4m k=ka+()a m2=0,ʑm =-k a 2,ʑy =-k a2x +2k a ,ʑB (2a ,0),ʑO H =B H =a ,ʑO A =A B .性质四 如图,直线y =m x 交双曲线y =k x于A ,B 两点,点P 为双曲线上一点,直线P A ,P B 分别交x轴于M ,N 两点.求证:P M =P N .证明:(解析法)设点A a ,k ()a ,B -a ,-k ()a ,P b ,k ()b,由待定系数法可得l P A :y =-k a b x +(a +b )k a b ,l P B :y =k a b x +(a -b )k a b ,ʑx M =b +a ,x N =b -a ,ʑx M +x N =2x P ,可得P M =P N .ʌ例4ɔ (2018十堰中考)如图,直线y =-x 与反比例函数y =k x的图象交于A ,B 两点,过点B 作B Dʊx 轴,交y 轴于点D ,直线A D 交反比例函数y =k x 的图象于另一点C ,求C B C A的值.ʌ解析ɔ (解析法)过点A ,C分别作y 轴的垂线,垂足分别为点E ,F ,设点A (a ,-a ),则B (-a ,a ),D (0,a ),由待定系数法得l D A :y =-2x +a ,联立y =-2x +a y =k{x得2x 2-a x +k =0,ʑx A +x C =a 2,ȵx A =a ,ʑx C =-12a =x B +x D2,ʑ点C 在B D 的垂直平分线上,ʑC B =C D ,由面积法可得C D A D =C F A E =12aa =12,ʑC B =C D =13C A ,ʑC B C A =C D C A =13.针对练习41.如图,点A ,B 分别是双曲线y =4x 和y =2x第一象限分支上的点,且A B ʊy 轴,B C ʅy 轴于点C ,则A B ㊃B C = 2 .解:方法一:利用k的几何意义 面积法求.延长A B 交x 轴于点E ,过点A 作y 轴的垂线,垂足为F .A B ㊃B C =S 矩形A B C F =S 矩形A E O F -S 矩形B E O C =4-2=2.方法二:设点A 坐标,分别表示出点B ,C 坐标,运用参数进行计算.2.如图,直线y =-3x +b 与y 轴交于点A ,与双曲线y =k x在第一象限交于B ,C 两点,且A B ㊃A C =4,则k = 3 .解:方法提示:斜化直,线段转坐标.设直线A B 交x 轴于点D ,则由性质可得A B =C D ,ʑA C =B D ,由条件知øO A D =30ʎ,ʑA B =2x B ,A C =B D =233y B ,ʑA B ㊃A C =2x B ㊃233y B =433x B ㊃y B =4,ʑk =x B ㊃y B =3.九年级数学 大培优3.如图,әO A C 的顶点A 在双曲线y =9x上,点C 在x 轴上,O A 交双曲线y=1x 于点B ,直线A C 与双曲线y =9x只有唯一公共点,且A C 与y 轴不平行,则S әA B C =.解:设A (a ,9a ),O A 解析式为y =9a 2x ,可得B (a 3,3a ).易得直线A C 解析式为y =-9a2x +18a .可得A O =A C ,ȵS әO B CS әO A C =12O C ㊃y A12O C ㊃y B =3a 9a=13,ʑS әA B C =23S әA O C =23ˑ9=6.4.如图1,直线y =-2x +6交x 轴于点B ,交y 轴于点A ,直线A B 与双曲线y =k x(k <0)交于C ,D 两点,C E ʅx 轴于点E ,D F ʅx 轴于点F .(1)若k =-8,求C D 的长;(2)求C E -D F 的值;(3)如图2,P 是双曲线y =k x (k <0)上第二象限上一动点,P G ʅx 轴于G ,交双曲线y =k 2x(k <0)于M ,PH ʅy 轴于H ,交y =k 2x(k <0)于N ,请直接写出MN 的最小值为(用含k 的式子表示).图1 图2解:(1)ʑC (-1,8),D (4,-2),C D =55;(2)联立y =-2x +6y =k{x得2x 2-6x +k =0,x C +x D =3,ʑy C +y D =-2x C +6-2x D +6=-2ˑ3+12=6,C E =y C ,D F =-y D ,ʑC E -D F =y C +yD =6;(3)-2k 2.(提示:MN =12G H ).ʌ板块五ɔ 反比例函数与直线x =a 或y =a方法技巧此类问题一般可用a 表示相关点的坐标,从而表示出相关线段长,将几何问题坐标化.解题时注意情况不明时需分类讨论.ʌ例1ɔ 如图,在平面直角坐标系x O y 中,直线y =2x +n 与x 轴,y 轴分别交于点A ,B ,与双曲线y =4x在第一象限内交于点C (1,m ),过x 轴正半轴上的点D (a ,0)作平行于y 轴的直线l ,分别与直线和双曲线y =4x 交于点P ,Q ,且点P 不与点Q 重合.(1)求m 和n 的值;(2)当a >1,P Q =2Q D 时,求әA P Q 的面积;(3)连接C Q ,当C P =C Q 时,求a 的值.ʌ解析ɔ (1)m =4,n =2;(2)在y =2x +2中,令y =0,则x =-1,ʑA (-1,0),ȵD (a ,0),l ʊy 轴,ʑP (a ,2a +2),Q a ,4()a .ȵP Q =2Q D ,ʑ2a +2-4a =2ˑ4a,解得:a =2,a =-3.ȵP ,Q 在第一象限,ʑa =2,ʑP Q =4,又ȵA D =3,ʑS әA P Q =12ˑ4ˑ3=6;(3)过点C 作C M ʅP Q 于点M ,ȵC P =C Q ,ʑP M =M Q ,设P (a ,2a +2),Q a ,4()a ,M (a ,4).则2a +2+4a=8解得a =2或a =1(舍),针对练习51.如图,直线l :y =32x +3与双曲线y =k x 在第一象限内交于点A (a ,6).(1)求双曲线的解析式;(2)直线x =t (t >0且t ʂ2)分别交直线l ,双曲线y =k x 于C ,D 两点,连接A D ,若A C =A D ,请直接写出t 的值.解:(1)ȵ点A (a ,6)在直线y =32x +3上,ʑ32a +3=6,ʑa =2,ʑA (2,6),又A 在双曲线y =k x 上,ʑk 2=6,ʑk =12,即双曲线的解析式为y =12x.(2)t =4.理由如下:设C t ,32t ()+3,D t ,12()t ,则A C 2=(t -2)2+32t ()+3-62=134(t -2)2,A D 2=(t -2)2+12t ()-62=1+36t()2(t -2)2,由A C =A D ,有A C 2=A D 2,ʑ134(t -2)2=1+36t ()2(t -2)2,ȵt ʂ2,ʑ134=1+36t2,ʑt =4或t =-4(舍),ʑt =4.ʌ板块六ɔ 反比例函数与全等及勾股定理方法技巧利用全等㊁相似将线段关系转化为坐标关系,实现 几何问题坐标化 .▶题型一 反比例函数与全等ʌ例1ɔ 如图,点A 是双曲线y =8x在第一象限上的一动点,连接A O 并延长交另一分支于点B ,以A B为斜边作等腰R t әA B C ,随着点A 的运动,点C 的位置也不断地变化,但始终在一函数图象上运动,则这个函数的解析式为 y =-8x(x <0).ʌ解析ɔ 连接O C ,过点A ,C 分别作x 轴的垂线构造三垂直全等.ʌ例2ɔ (2018原创题)如图,点A (2,4),B 均为双曲线y =k x在第一象限上的点,且øA O B =45ʎ,求点B 的坐标.ʌ解析ɔ 过点A 作A D ʅO A 交O B 延长线于点D ,作A E ʅy 轴于点E ,D F ʅA E 于点F ,则әA D F ɸәO A E ,ʑA F =O E =4,D F =A E =2,ʑD (6,2),ʑl O D ʒy =13x ,ȵA (2,4),ʑy =8x,联立y =8x ,y =13x ìîíïïïï,得B (26,263).九年级数学 大培优▶题型二 反比例函数与勾股定理ʌ例3ɔ 如图,矩形A B C O 的顶点B (10,8),点A ,C 在坐标轴上,E 是B C 边上一点,将әA B E 沿A E 折叠,点B 刚好与O C 边上的点D 重合,过点E 的反比例函数y =k x (k >0)的图象与边A B 交于点F ,求点F 的坐标.ʌ解析ɔ 由题意知,A D =A B =10,A O =8,由勾股定理可求O D =6,则C D =4,设C E =x ,则D E =B E =8-x ,在R t әD C E 中,C D 2+C E 2=D E 2,即x 2+42=(8-x )2,解得x =3,ʑE (10,3),设F (a ,8),则10ˑ3=8a ,ʑa =154,ʑF (154,8).针对练习61.如图,A (2,3)是双曲线y =k x(x >0)上的一点,P 为x 轴正半轴上一点,将点A 绕点P 顺时针旋转90ʎ,恰好落在双曲线上的另一点B ,求点P的坐标.解:设P (t ,0),过点A 作AM ʅx 轴于点M ,过B 作B N ʅx 轴于点N ,则әA P M ɸәP B N ,ʑP N =AM =3,B N =P M =t -2,ʑB (t +3,t -2),又ȵ点A ,B 在y =k x上,ʑ(t +3)(t -2)=6,ʑt 1=-4,t 2=3,ȵt >0,ʑt =3,ʑP (3,0).2.如图,已知点A (2,2),P (0,a )是y 轴上一点,连接P A ,将线段P A 绕点P 逆时针旋转90ʎ得线段P A ᶄ,若线段P A ᶄ与反比例函数y =-3x(x <0)的图象有公共点,求a 的取值范围.解:当点A ᶄ恰好落在反比例函数y =-3x (x <0)的图象上时,过点A ᶄ作A ᶄD ʅy 轴于点D ,过点A 作A B ʅy 轴于点B ,则әA ᶄP D ɸәP A B ,ʑA ᶄD =P B =2-a ,P D =A B =2,O D =2+a ,ʑA ᶄ(a -2,a +2),ʑ(a -2)(a +2)=-3,ʑa =ʃ1,ʑ点A ᶄ的横坐标为-1或-3,均符合题意,ȵ线段P A ᶄ与反比例函数y =-3x (x <0)的图象有公共点,ʑ-1ɤa ɤ1.3.如图,直线y =3x -3交坐标轴于A ,B 两点,将әA O B 沿A B 翻折得到әA C B ,点D 在A C 的延长线上,且C D =4A C ,反比例函数y =k x的图象经过点D ,求k 的值.解:过点B 作B E ʊA C ,交x 轴于点E ,则øE B A =øB A C =øE A B ,ʑE A =E B ,易求O A =1,O B =3,设E A =E B =x ,则x 2=(x -1)2+32,解得x =5,由题意,A C =A O =1,ȵC D =4A C ,ʑA D =5A C =5,ʑA D =E B ,ʑ将线段E B 向右平移5个单位得线段A D ,ʑD (5,-3),ʑk =5ˑ(-3)=-15.ʌ板块七ɔ 反比例函数与图形变换方法技巧图形变换的本质是点的变换,解题的关键是根据变换规律,将变换后的关键点的坐标表示出来,再根据条件建立关系式.ʌ例1ɔ 平面直角坐标系中,点A (-2,0),B (0,3),点P 为第二象限内一点.(1)如图,将线段A B 绕点P 旋转180ʎ得线段C D ,点A 与点C 对应,试画出图形;(2)若(1)中得到的点C ,D 恰好在同一个反比例函数y =k x的图象上,求直线B C 的解析式;(3)若点Q (m ,n )为第四象限的一点,将线段A B 绕点Q 顺时针旋转90ʎ得到线段E F ,其中点A 与点E 对应,若点E ,F 恰好在同一个反比例函数的图象上,直接写出m ,n 之间的关系式为 m =-5n .备用图ʌ解析ɔ (1)略;(2)设P (m ,n ),则C (2+2m ,2n ),D (2m ,2n -3).ȵ点C ,D 恰好在同一个反比例函数y =k x 的图象上,ʑ2n (2+2m )=2m (2n -3),得2n =-3m ,设直线B C 的解析式为y =t x +3,将C (2+2m ,-3m )代入y =t x +3中,得(2+2m )t +3=-3m ,解得t =-32,ʑy =-32x +3;(3)由三垂直得,E (m -n ,m +n +2),F (m +3-n ,n +m ),ʑ(m -n )(m +n +2)=(m +3-n )(n +m ),整理得m =-5n .九年级数学 大培优ʌ例2ɔ 已知点A (a ,m )在双曲线y =8x 上且m <0,过点A 作x 轴的垂线,垂足为点B .(1)如图1,当a =-2时,P (t ,0)是x 轴上的动点,将点B 绕点P 顺时针旋转90ʎ至点C .①若t =1,直接写出点C 的坐标;②若双曲线y =8x经过点C ,求t 的值;(2)如图2,将图1中的双曲线y =8x(x >0)沿y 轴折叠得到双曲线y =-8x (x <0),将线段O A 绕点O 旋转,点A 刚好落在双曲线y =-8x(x <0)上的点D (d ,n )处,求m 和n 的数量关系.ʌ解析ɔ (1)将x A =-2代入y =8x 中得:y A =8-2=-4,ʑA (-2,-4),B (-2,0),①ȵt =1,ʑP (1,0),B P =1-(-2)=3,ȵ将点B 绕点P 顺时针旋转90ʎ至点C ,ʑx C =x P =1,P C =B P =3,ʑC (1,3);②ȵB (-2,0),P (t ,0),当t >-2时,由题意知C 的坐标为(t ,t +2),ȵC 在y =8x 上,ʑt (t +2)=8,解得t =2或-4.ȵt>-2,ʑt =2;当t <-2时,c (t ,t +2),t (t +2)=8,t =-4或t =2(舍),ʑt =2或-4;(2)过点D 作DH ʅy 轴于点H ,ʑO A =O D ,a 2+m 2=d 2+n 2,a m =8,d n =-8,(a +m )2=(d -n )2,(a -m )2=(d +n )2,又a <0,m <0,d <0,n >0,ʑa +m =d -n ,a -m =d +n 或a -m =-d -n ,a -d =-m -n a -d =m +{n 或a -d =-n -m a +d =m -{nʑm +n =0,或a =-nd ={m又a m =8,ʑ-m n =8,m n =-8,故m +n =0或m n =-8.针对练习71.在平面直角坐标系中,点A (a ,0)为x 轴上一动点,点M 的坐标为(1,-1),点N 的坐标为(3,-4),连接AM ,MN ,点N 关于直线AM 的对称点为点N ᶄ.(1)若a =2,在图1中画出线段MN 关于直线AM 的对称图形MN ᶄ(保留作图痕迹),直接写出点N ᶄ的坐标为 (-2,1) ;(2)若a >0,连接A N ,A N ᶄ,当点A 运动到øN ᶄA N =90ʎ时,点N ᶄ恰好在双曲线y =k x上(如图2),求k 的值;(3)点A 在x 轴上运动,若øN ᶄMN =90ʎ,此时a 的值为 -4或65.解:(1)N ᶄ(-2,1).提示:取点B (3,1),则B N ʅx 轴,M ㊁A ,B 三点在同一条直线上;(2)由A N ,A N ᶄ垂直且相等,可构建三垂直全等得N ᶄ(a -4,a -3),ʑk =(a -4)(a -3)=a 2-7a +12.ȵMN =MN ᶄ,由勾股定理得(a -5)2+(a -2)2=13,ʑa 2-7a +8=0,ʑ12-k =8,ʑk =4;(3)-4或65.由øN ᶄMN =90ʎ,构建三垂直全等得N ᶄ(4,1)或N ᶄ(-2,-3),ȵ直线A M 过N N ᶄ的中点C ,且点C 的坐标为(7,-3)或(1,-7),ʑ直线A M 的解析式为y =-1x -4或y =5x -6,令y =0,分别求得A (-4,0)或A (6,0).ʌ板块八ɔ 反比例函数与定值㊁最值方法技巧通过采取解析法求定值,建立二次函数模型求最值.▶题型一 反比例函数与定值ʌ例1ɔ 如图,点C (6,1),D (1,6)在双曲线y =6x的图象上.点T 在双曲线第一象限上(不同于C ,D ),直线T C ,T D分别交y 轴于E ,F ,则O F -O E 的值是 5 .ʌ解析ɔ O F -O E =5.理由如下:设点T m ,6()m,由D (1,6)得直线T D 的解析式:y =-6m x +6m +6,ʑO F =6m +6.由C (6,1)得直线T C 的解析式:y =-1m x +6m +1.ʑO E =6m+1,ʑO F -O E =5.▶题型二 反比例函数与最值ʌ例2ɔ 如图,双曲线y =2x的第一象限的分支上一动点P ,点A (-2,-2),B (2,2),则P A -P B 的值为4 .ʌ解析ɔ 方法1:设点P m ,2()m,则P A =(m +2)2+2m()+22=m +2m+2,同理P B =m +2m-2,ʑP A -P B =4.方法2:特殊位置法.ʌ例3ɔ 如图,在平面直角坐标系中,直线A B :y 1=x +m 与双曲线C :y2=k x 相交于A ,B 两点,其中点A (2,5),A C ʅy 轴于点C .(1)求直线与双曲线的解析式;(2)直接写出x <2时,反比例函数值y 2的取值范围;(3)点E 为点B 下方直线A B 上一动点,直线E F ʅA B ,分别与直线A B ,双曲线C 及y 轴交于E ,F ,G 三点,求E F ㊃F G 的最大值.ʌ解析ɔ (1)y 1=x +3,y2=10x;(2)y2<0或y 2>5;(3)作E I ʅy 轴于点I ,F J ʅy 轴于点J ,F H ʅE I 于点H ,设E (t ,t +3),易得B (-5,-2),由t <-5,F (m ,10m ),E H =H F ,则t +3-10m =m -t ,得t =5m +m 2-32,E 5m +m 2-32,m 2+5m +3()2,E F ㊃F G =2H E ㊃2H I =2(x F-x E)(-x F)=2(-x 2F+x E ㊃x F)=-2m 2+2m m 2+5m -3()2=-m 2-3m +10=-m +3()22+494,当m =-32时,E F ㊃F G 最大=494,此时t =-6712<-5,(E F ㊃F G )最大=494.九年级数学 大培优针对练习81.如图,若直线y =-x +m 与反比例函数y =4x(x >0)的图象相交于两个不同点E ,F (点E 在点F 的左边),与y 轴相交于点M.(1)m 的取值范围为;(2)求M E ㊃M F 的值.解:(1)设y =-x +m 代入y =4x 中,-x +m =4x ,整理得x 2-m x +4=0,ʑm >0Δ=m 2-16>{,解得m >4;(2)过点E ,F 分别作y 轴的垂线,垂足分别为G ,H .由y =-x +m 可知øM E G =øM F H =45ʎ,ʑM E =2G E ,M F =2H F .由y =-x +m =4x,得x 2-m x +4=0,ʑx E ㊃x F =4,ʑM E ㊃M F =2x E ㊃2x F =2x E ㊃x F =8.2.如图,已知反比例函数y =k x 和一次函数y =32x +6的图象有一个交点为P (-2,m ).(1)求反比例函数解析式;(2)若过点P 的直线l 与反比例函数y =k x的图象只有一个交点,求直线l 的解析式;(3)点Q 是双曲线在第四象限这一分支上的动点,过点Q 作直线,使其与双曲线y =k x只有一个公共点,且与x 轴,y 轴分别交于点C ,D ,直线y =32x +6与x 轴,y 轴分别交于点A ,B ,求四边形A BCD 面积的最小值.解:(1)将P (-2,m )代入y =32x +6得m =3,ʑP (-2,3),代入y =k x 得k =-2ˑ3=-6.ʑy =-6x.(2)①当l ʊx 轴时,直线l 为y =3;②当l ʊy 轴时,直线l 为x =-2;③当直线l 与坐标轴不平行时,ȵ过P (-2,3),ʑ可设解析式为y =a x +2a +3,由y =a x +2a +3y =-6{x得a x 2+(2a +3)x +6=0,依题意Δ=(2a +3)2-24a =(2a -3)2=0,ʑa =32,ʑy =32x +6.综上,直线l 为的解析式为y =3或x =-2或y =32x +6.(3)设Q t ,-6()t ,l C D :y =p x -t p -6t .由y =p x -t p -6t y =-6ìîíïïïïx得p x 2-t p +6()t x +6=0,ʑΔ=t p +6()t 2-24p =t p -6()t2=0,ʑp =6t 2,ʑl C D :y =6t2x -12t ,ʑD 0,-12()t ,C (2t ,0),ʑA C =2t +4,B D =6+12t .ʑS 四边形A B C D =12A C ㊃B C =12(2t +4)6+12()t =6t +4()t +24=6t -2æèçöø÷t 2+48,当t =2时,S m i n =48.第20讲实际问题与反比例函数知识导航1.根据实际问题列反比例函数关系式或确定函数图象;2.反比例函数的应用.ʌ板块一ɔ根据实际问题列反比例函数关系式或确定函数图象方法技巧解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系,然后利用待定系数法求出它们的关系式.▶题型一坐标与距离ʌ例1ɔ某闭合电路中,电源的电压为定值,电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例.下图表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象,则用电阻R表示电流I的函数解析式为()A.I=2RB.I=3RC.I=6RD.I=-6Rʌ解析ɔ C.ʌ例2ɔ某小学部课外兴趣小组的同学每人制作一个面积为1m2的矩形学具进行展示.设矩形的宽为x m,长为y m.那么这些同学所制作的矩形长y(m)与宽x(m)之间的函数关系的图象大致是()ʌ解析ɔ A.针对练习11.如果等腰三角形的底边长为x,底边上的高为y,则它的面积为定值S时,x与y的函数关系为(C)A.y=S xB.y=S2xC.y=2S xD.y=x2S2.在照明系统模拟控制电路实验中,研究人员发现光敏电阻值R(单位:Ω)与光照度E(单位:l x)之间成反比例函数关系,部分数据如下表所示:光照度E/l x0.511.522.53光敏电阻阻值R/Ω603020151210则光敏电阻值R与光照度E的函数表达式为R=30E.九年级数学 大培优ʌ板块二ɔ 反比例函数的应用方法技巧1.根据题意,建立反比例函数模型解题;2.正确认识图象,找到关键的点,运用好数形结合的思想.ʌ例1ɔ 实验数据显示,一般成人喝半斤低度白酒后,1.5小时内其血液中酒精含量y (毫克/百毫升)与时间x (时)的关系可近似地用二次函数y =-200x 2+400x 刻画;1.5小时后(包括1.5小时)y 与x 可近似地用反比例函数y =k x(k >0)刻画(如图所示).(1)根据上述数学模型计算:①喝酒后几小时血液中的酒精含量达到最大值?最大值为多少?②当x =5时,y =45,求k 的值.(2)按国家规定,车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于酒后驾驶 ,不能驾车上路.参照上述数学模型,假设某驾驶员晚上20:00在家喝完半斤低度白酒,第二天早上7:00能否驾车去上班?请说明理由.ʌ解析ɔ (1)①y =-200x 2+400x =-200(x -1)2+200,ʑ喝酒后1小时血液中的酒精含量达到最大值,最大值为200(毫克/百毫升);②ȵ当x =5时,y =45,y =k x,ʑk =x y =45ˑ5=225;(2)不能驾车上班.理由:ȵ晚上20:00到第二天早上7:00,一共有11小时,ʑ将x =11代入y =225x ,则y =22511>20.ʑ第二天早上7:00不能驾车去上班.ʌ例2ɔ 某校园艺社计划利用已有的一堵长为10m 的墙,用篱笆围一个面积为12m 2的矩形园子.(1)如图,设矩形园子的相邻两边长分别为x (m ),y (m ).①求y 关于x 的函数表达式;②当y ȡ4m 时,求x 的取值范围;(2)小凯说篱笆的长可以为9.5m ,洋洋说篱笆的长可以为10.5m.你认为他们俩的说法对吗?为什么?ʌ解析ɔ (1)①由题意x y =12,ʑy =12x x ȡ6()5;②y ȡ4时,65ɤx ɤ3;(2)当2x +12x =9.5时,整理得:4x 2-19x +24=0,ә<0,方程无实数解.当2x +12x =10.5时,整理得:4x 2-21x +24=0,ә=57>0,符合题意;ʑ小凯的说法错误,洋洋的说法正确.针对练习21.当温度不变时,某气球内的气压p (k P a )与气体体积V (m 3)的函数关系如图所示,已知当气球内的气压p >120k P a 时,气球将爆炸,为了安全起见,气球的体积V 应( C )A.不大于45m 3B .大于45m 3C .不小于45m 3 D.小于45m 32.为预防流感盛行,对教室进行 薰药消毒 .已知药物在燃烧及释放过程中,室内空气中每立方米含药量y (毫克)与燃烧时间x (分钟)之间的关系如图所示(即图中线段O A 和双曲线在A 点及其右侧的部分),根据图象所示信息,解答下列问题:(1)直接写出y 与x 之间的函数关系式及自变量的取值范围;(2)据测定,当空气中每立方米的含药量低于2毫克时,对人体无毒害作用,那么从消毒开始,至少在多长时间内,师生不能进入教室?解:(1)y =23x (0ɤx ɤ15),150x(x >15ìîíïïïï);(2)将y =2代入y =23x 得x =3;将y =2代入y =150x 得x =75;75-3=72.答:从消毒开始,师生至少在72分钟内不能进入教室.3.(2018㊃乐山)某蔬菜生产基地的气温较低时,用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜.如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后,大棚内的温度y (ħ)与时间x (h )之间的函数关系,其中线段A B ,B C 表示恒温系统开启阶段,双曲线的一部分C D 表示恒温系统关闭阶段.请根据图中信息解答下列问题:(1)求这天的温度y 与时间x (0ɤx ɤ24)的函数关系式;(2)求恒温系统设定的恒定温度;(3)若大棚内的温度低于10ħ时,蔬菜会受到伤害.问这天内,恒温系统最多可以关闭多少小时,才能使蔬菜避免受到伤害?解:(1)y =2x +10(0ɤx <5),20(5ɤx <10),200x(10ɤx ɤ24ìîíïïïï);(2)由(1)得恒温系统设定恒温为20ħ;(3)把y =10代入y =200x 中,解得x =20,ʑ20-10=10.答:恒温系统最多关闭10小时,蔬菜才能避免受到伤害.九年级数学 大培优第二十七章 相似第21讲 相似三角形的判定知识导航1.相似多边形.2.平行线分线段成比例定理.3.相似三角形的判定方法.ʌ板块一ɔ 平行线分线段成比例定理方法技巧1.在利用平行线分线段成比例定理时,注意对应线段的位置.2.由平行线+中点得线段中点,利用中位线解题.▶题型一 运用平行线分线段成比例定理探究线段关系ʌ例1ɔ 如图,已知直线A B ʊC D ʊE F ,A F 与B E 交于点G ,且A G =2,G D =1,D F =5,求B C C E的值.ʌ解析ɔ 由A B ʊC D ʊE F ,得B C C E =A D D F .又A D =A G +G D =2+1=3,D F =5,ʑB C C E =35.ʌ例2ɔ 如图,P 是▱A B C D 的边B C 的延长线上任意一点,A P 分别交B D 和C D 于点M 和N .求证:AM 2=MN ㊃MP .ʌ解析ɔ ȵA B ʊD N ,ʑәAM B ʐәNMD ,ʑAM MN =B M DM,又ȵA D ʊB P ,ʑәB M P ʐәDM A ,ʑM P AM =B M DM ,ʑAM MN =M P AM,ʑAM 2=MN ㊃M P .▶题型二 平行线等分线段定理证线段中点ʌ例3ɔ 如图,在正方形A B C D 中,点E 在对角线B D 上,连接A E ,D F ʅB D ,且D F =B E ,F B 与A C交于点M .求证:D E =2C M .ʌ解析ɔ 延长D F ,B C 交于点H ,易证øC D F =45ʎ=øD C A ,ʑDH ʊA C ,又A D ʊC H ,ʑ四边形A C HD 为平行四边形.ʑA D =C H =D C =B C ,DH =A C =B D .ȵAC //DH ,B C =AD =C H ,ʑB M =M F ,又B C =C H .ʑF H =2C M .又DH =B D ,BE =BF ,ʑDH -D F =B D -B E ,即D E =F H .ʑD E =2C M .针对练习11.如图,直线l1,l2,l3分别交直线l4于A,B,C三点,交直线l5于点D,E,F,且l1ʊl2ʊl3,已知D EʒD F =3ʒ8,A C=24.(1)求B C的长;(2)当A D=4,C F=20时,求B E的长.解:(1)B C=15;(2)连接C D交E B于点H,易得E H=38F C=152;H B=58A D=52;ʑB E=E H+H B=10.2.如图,A B是☉O的直径,C D是弦,A EʅC D,B FʅC D,垂足分别为点E,F.(1)求证:D E=C F;(2)若B F=1,A E=2,E F=4,求A B的长.解:(1)过点O作O NʅC D,垂足为点N,易证A EʊO NʊB F,ʑE N N F=A O O B=1.ʑE N=N F.ȵO NʅC D,ʑD N=N C.ʑD N-E N=N C-N F,ʑD E=C F;(2)延长A E交☉O于点M,连接B M.易证四边形E M B F为矩形.ʑE M=B F=1,B M=E F=4,ʑA B=AM2+B M2=5.3.如图,在正方形A B C D中,点E在D A的延长线上,A E=A B,点F在C D上,M为A F的中点,过点M作MNʅM C交B E于点N.求证:MN=M C.解:过点M作M PʅB C,垂足为点P,易证A BʊM PʊD C,ʑB P P C=AM M F=1.ʑB P=P C.ȵM PʅB C,ʑM B=M C.设øNM B=2x,易证øB M P=øP M C=45ʎ-x,øM B P=45ʎ+x,øA B M=45ʎ-x,øM B E=90ʎ-x,ʑøMN B=180ʎ-øNM B-øM B E=90ʎ-x.ʑøM B E=øMN B.ʑMN=M B=M C.九年级数学 大培优ʌ板块二ɔ 作平行线构造X 型相似方法技巧1.作平行线是构造三角形相似的基本方法,利用平行线对比例式进行转化.2.通常引入参数求比值或计算线段的长.▶题型一 延长平行线段构X 型相似ʌ例1ɔ 如图,▱A B C D 中,A B =2,A D =3,øA B C =60ʎ,A E ʅB C ,垂足为点E .F 为C D 的中点,D E与B F 相交于点P .(1)求E P D P 的值;(2)求B P 的长.ʌ解析ɔ (1)延长B F ,A D 交于点M ,易得B E =12A B =1,B C =A D =3,E C =2,由A D ʊB C 得DM B C =D F F C =1,E P P D =B E DM .ʑDM =B C =3,E P P D =B E DM =13;(2)过点M 作MN ʅB C 交B C 的延长线于点N .易证四边形A E NM 为矩形,ʑMN =A E =3,E N =AM =6,B M =B N 2+MN 2=213.ȵA D ʊB C ,ʑB P P M =E P P D =13.ʑB P B M =14,B P =14B M =132.▶题型二 作平行线构X 型相似,证线段关系ʌ例2ɔ 如图,在әA B C 中,A B =A C ,D 为B C 上一点,点E ,F 在A D 上,A E =E F =12B E ,øB E D =øB A C .(1)求证:A E =F C ;(2)求证:B D =2C D .ʌ解析ɔ (1)ȵA E =E F =12B E ,ʑB E =A F ,ȵøB E D =øB AC ,ʑøA B E =øC A F ,ʑәA B E ɸәC A F (S A S ),ʑA E =F C ;(2)过点C 作C M ʊB E 交A D 的延长线于点M .ȵәA B E ɸәC A F ,ʑøB E A =øA F C ,ȵøB E A +øB E D =180ʎ,øA F C +øD F C =180ʎ,ʑøB E D =øD F C .ȵB E ʊC M ,ʑøM =øB E D =øD F C .ʑF C =C M .ȵA E =F C ,A E =12B E ,ʑB E =2C M .ȵB E ʊC M ,ʑәB ED ʐәC MD .ʑB D D C =B EC M=2.ʑB D =2D C .▶题型三 作平行线构X 型相似,求比值ʌ例3ɔ 如图,øC A B =90ʎ,A C =A B ,D 是A C 的中点,A F ʅB C 分别交B D ,B C 于点E ,F .A G ʅD B交B C 于点G .求D E A G的值.ʌ解析ɔ 过点B 作B H ʊA C 交A F 的延长线于点H .易证әA C G ɸәB A E ,ʑA G =B E .易证C F =B F ,ȵB H ʊA C ,ʑB H A C =B F C F=1,ʑB H =A C ,又D 为A C 的中点,ʑB H =A C =2A D .ȵB H ʊA C ,ʑE B D E =B H A D =2.ʑE B =2D E .又A G =B E ,ʑA G =2D E ,ʑD E A G =12.ʌ另解ɔ 导角可知,әA D E ʐәB A G ,ʑD E A G =A D A B =1.。

人教版数学九年级上册第一单元培优讲义(附答案)

人教版数学九年级上册第一单元培优讲义(附答案)

九年级上册数学培优讲义专题01 配方法的综合应用——完全平方式的非负性【专题解读】配方法的实质是利用完全平方公式a 2+2ab +b 2=(a +b)2或a 2−2ab +b 2=(a −b)2进行运算，主要考察如何把一个代数式转化为完全平方式，包括各项系数之间的关系。

同时，由于完全平方数的非负性，可以延展出求代数式最值或证明代数式的正负性等问题，甚至可以结合比较两个代数式的大小等知识点进行考察。

【例题讲解】例1. 求代数式5822+-x x 的最小值是__________.解：先把代数式进行变形，得 3)2(258222--=+-x x x当2=x 时，此代数式取得最小值3-.例2. 求证：无论a 取何值，代数式622---a a 的值恒为负数．证明：先把代数式进行变形，得 5)1(6)112(62222-+-=--++-=---a a a a a因为0)1(2≥+a ，所以0)1(2≤+-a ，则05)1(2<-+-a ，命题得证。

例3. 若962++=a a A ，642-+-=b b B ；求证：无论a ，b 为何值，总有A ＞B . 证明： 2)2()3(244)3()64(96222222+-++=++-++=-+--++=-b a b b a b b a a B A因为0)3(2≥+a ,0)2(2≥-b ,所以2)2()3(22+-++=-b a B A ，即B A >，命题得证。

例4. 若已知0102622=+-++b b a a ，则a 的值为________，b 的值为_________. 解：0)1()3(12961026222222=-++=+-+++=+-++b a b b a a b b a a因为0)3(2≥+a ，0)1(2≥-b ，所以0)3(2=+a ，0)1(2=-b ，解得3-=a ，1=b .【同步练习】1. 求代数式1062+-x x 的最小值是__________.2. 求代数式1422+--x x 的最大值是__________.3. 如果多项式122+-mx x 是完全平方式，则m 的值为_________.4. 若方程01)1(252=+--x k x 的左边可以写成一个完全平方式，则k 的值为_________.5. 已知0)1(222=+-++b a b a ，则b a +的值为_________.6. 已知054222=++-+y x y x ，则2021)(y x +的值为_________.7. 利用配方法解方程： 0342=-+x x01422=--x x01432=-+x x1)2)(1(=++x x8. 求证：无论x 取何值，代数式30102+-x x 的值恒为正数．9. 若22332b ab a M -+=，2422--+=b ab a N ；求证：无论a ，b 为何值，总有M ＞N .专题02 一元二次方程的解法——选择最优的解法【专题解读】解一元二次方程的方法主要包括：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。

2023-2024学年九年级上册动态电路期末专题培优

2023-2024学年九年级上册动态电路期末专题培优
A．电路总功率变小
B．电压表示数变大
C．电压表与电流表示数的比值不变
D．电流表示数变大
3.(益阳) 如图所示，电源电压不变，R0为定值电阻，R为滑动变阻器，当滑片P向右移动时，电流表和电压表的示数变化情况是( )
A．电流表示数减小，电压表示数减小
B．电流表示数增大，电压表示数增大
C．电流表示数减小，电压表示数增大
A．A1示数变小，V示数变小 B．A1示数不变，V示数变小
C．A1示数不变，V示数不变 D．A1示数变小，V示数不变
8．小梅同学设计了如图所示的汽车有害尾气排放检测电路。其中，R为气敏电阻，它的阻值随有害尾气浓度的增大而变小，电源电压恒定不变，R0为定值电阻。闭合开关，当有害尾气浓度增大时
A．电压表示数变大，电流表示数变大
（1）若检测电路中电流表示数为0，电压表V1示数为U，表明输电线故障为＿＿＿。
（2）若检测电路中电流表示数大于I，电压表V1示数为U，表明输电线可能出现短路或形成间隙电阻。如图所示，小组在AB、CD之间某处连接一根导线模拟输电线短路，或在另一处连接未知电阻Rx模拟输电线之间形成间隙电阻，在右侧连接电压表V2。若输电线短路，则电压表V2示数＿＿＿；若输电线之间形成间隙电阻，则电压表V2示数＿＿＿。
10．如图电路中，电源电压不变，当开关闭合，滑动变阻器的滑片P由左端向右移动到中点的过程中，下列判断正确的是
A．电压表V和电流表A1、A2的示数都变大
B．电流表A2示数变大，电流表A1和电压表V示数不变
C．电流表A1示数变大，电流表A2和电压表V示数不变
D．若将电源正负极颠倒，电流表A2的示数总比A1的大
D．电流表示数增大，电压表示数减小
4.（龙东）在如图所示的电路中，电源电压为4V，电流表的量程为“0～0.6A”，电压表的量程为“0～3V”，小灯泡标有“2V 1W”字样（灯的电阻不变），滑动变阻器上标有“20Ω 1A”字样。闭合开关，在保证电路各元件安全的情况下，下列说法正确的是（ ）

人教版九年级全一册英语同步培优Unit 1 课时5 Section B (2a-2e)

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In my opinion, 25. ____it____doesn’t matter whether English or Chinese will be more widely used in the world. They are only communicating tools. What matters is that everyone can live peacefully with each other. Everyone in the world can live a happy life.
基础巩固练
一、 根据首字母或汉语提示写出正确的单词。 1. The more books you read, the more knowledge you
will certainly have. 2. She left the car lights on overnight and in the morning
答案显示
11 is born with
12 connect; with
13
have nothing in common
14 depends on
15 Whether or not
习题链接
能力提升练
16 D
21 that
17 A
22 by
18 C
23 will
19 C
24 the
20 B
25 it
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13. 莉萨和她姐姐没有共同之处。 Lisa and her sister ____h_a_v_e__ __n_o_t_h_in__g_ _____i_n___ __co_m__m__o_n_.
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14.［2020·南京改编］——先生，我应该选择哪种自行 车？
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九年级数学培优材料（1）
（相似三角形的判定）
一、知识解读
1.相似三角形的判定
（1）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.
（2）如果两个三角形两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. （3）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.
2.相似三角形的几个重要结论（经常用，但要证明）
（1）如果两个直角三角形的斜边的比等于一组直角边的比，那么这两个直角三角形相似. （2）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似.
（3）射影定理: Rt △ABC 中，CD 是斜边上的高,则有：
①BD AD CD ⋅=2
；
②AB AD AC ⋅=2
， AB BD BC ⋅=2
.
3.证明线段成比例的一般步骤
①“定”----确定比例式（等积式）中的四条线段所在的两个可能相似的三角形； ②“找”----找出这两个三角形相似所需的条件； ③“证”----根据以上分析，写出证明过程.
说明：如果这两个三角形不相似，只能采用其它方法，如利用找中间比代替，或引平行线等.
二、跟踪练习
1.下列条件中，可以得出△ABC 与△'
'
'C B A 相似的个数有（ ） （1）AB =1，AC =1.5，BC =2，''B A =12，''C A =8，''C B =16； （2）BC =2，AC =3，AB =4，2''=
C B ，3''=C A ，4''=B A ；
（3）△'''C B A 是△ABC 的三条中位线组成的三角形.
A .0个
B .1个
C .2个 D.3个
2.如图，给出下列条件：①∠B =∠ACD ； ②∠ADC =∠ACB ； ③
BC
AB CD AC =； ④AD AB AC ⋅=2
，其中单独能够判定 △ABC ∽△ACD 的个数为（ ）
A.1
B.2 C .3 D .4
3.下列命题：
①有一个角为30°的两个等腰三角形相似；②有一个角为100°的两个等腰三角形相似； ③两边的比对应相等的两个等腰三角形相似；④底边相等的两个等腰三角形相似.其中正确的命题是 .（填序号）
A
B
C
D
D
C
B
A
4.下列命题：
①有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似；②有一个角对应相等的两个直角三角形相似；③两条边成比例的两个直角三角形相似；④直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似. 其中正确的命题是 .（填序号） 5.如图，Rt △ABC 中，CD 是斜边上的高.
（1）写出图中所有的相似三角形； （2）若BC =2AC ，则
AD CD = ；AD
BD
= ； （3）判断下列的结论是否成立：
①BD AD CD ⋅=2
（ ） ②AD AB AC ⋅=2
（ ）
③BA BD BC ⋅=2
（ ） ④CD AB BC AC ⋅=⋅（ ）
6.如图，在□ABCD 中，EF ∥AB ，DE :AE =2:3，EF =4，则CD 的长为 .
7.如图，在△ABC 中，点D 、E 分别为AB 、AC 边上的点，AB
AE
AC AD =，若AD =3，AC=5，DE =4，则BC = .
8.△ABC 的三边长分别为3，3，15，△111C B A 的两边长分别为1和5，当△111C B A 的第三边长为 时，△ABC 与△111C B A 相似.
9.如图，正方形ABCD 的边长为2，BE =CE ，MN =1，线段MN 的两端点在CD 、AD 上滑动，当MD= 时，△ABE 与以D 、M 、N 为顶点的三角形相似.
10.如图，AC ⊥AB ，BE ⊥AB ，AB =10，AC =2，用一把三角尺进行如下操作：将直角顶点P 在线段AB 上滑动，一直角边始终通过点C ，另一直角边与BE 相交于点D ，若BD =8，则AP 的长
为 .
11.如图，点P 为四边形ABCD 的两条边的延长线的交点，点E 为对角线的交点，已知PC PD PB PA ⋅=⋅，下列四个结论： ①△P AD ∽△PCB ；②△P AC ∽△PDB ；③△DEC ∽△AEB ；
④△DEA ∽△CEB ，其中正确的结论是 .（填序号） D
C
B
A
E D F
C
B
A
E
D
C
B
A E
D C
B
A
M
N
P 2
P 1
A
B
C
D
E P
A
B
C D
E
12．如图，D 是△ABC 的边BC 上的一点，AB =2，BD =1，DC=3,求证：△ABD ∽△ABC.
13.如图，四边形ABCD 为正方形，E 是CD 中点，P 在BC 上，
3
2
=BC PB ，那么请你判断△APB 与△PCE 是否相似，并写出你的理由.
14.如图，正方形ABCD 中，P 为CD 的中点，点Q 为BC 上一点，BC =4CQ ，求证：AP =2PQ.
15.如图，△ABC 中，CD 是AB 上的高（点D 在边AB 上），且BD AD CD ⋅=2
，求∠ACB 的度数.
16.如图，已知DE ∥BC ，EF ∥CD ，求证：.2
AB AF AD ⋅=
17.如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，AD 的垂直平分线交AD 于E ，交直线BC 于F ，求证：
FC FB FD ⋅=2.
D
C
B A
P
A B
C
D
E
D
C
B
A
Q
D
C
B
A P
A
B
C
D E F A
B
C
D
E
F
18．如图，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG ，AE 与CG 相交于点M ，CG 与AD 相交于点N .求证：.MN CN DN AN ⋅=⋅
19.如图，在△ABC 中，AB =8cm ，BC =16cm ，点P 从A 开始沿AB 边向点B 以2cm/s 的速度运动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以4cm/s 的速度运动.如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，问经过几秒，△BPQ 与△ABC 相似？
20.如图，在一张55⨯的正方形方格纸中，△ABC 的顶点在单位正方形的
顶点上（格点上）. （1）请在图中画一个与△ABC 相似的最大△'''C B A ，且点△'
''C B A 、、都在格点上. （2）在（1）的条件下，△'''C B A 最多能画 个.(直接写结果)
21.如图，△ABC 为正三角形，D 、E 分别是AC 、BC 上的动点，若∠BDE =60°. （1）求证：△DEC ∽△BDA ；
（2）设△ABC 的边长为6，DC =x ，BE =y ，求y 与x 之间的函数关系式； （3）当D 点在何处时，BE 最短，此时△BDE 的面积是多少？
N E
D C B A M F
G E D
C
B
A。

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