高考数学题解法之数学思想指引
高中数学解题方法谈 解读高考中的数形结合思想
解读高考中的数学思想——数形结合篇数形结合是一种重要的数学思想方法，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动和直观来表明数之间的联系，即“以形助数”；二是借助于数的精确和严密来阐明形的某些属性，即“以数辅形”．这种思想方法在求解选择题和填空题的时候非常有用，对寻找解答题的求解思路也很有帮助．以下举例说明．一、用数形结合思想解决集合问题处理集合与集合的关系，借助图形进行直观思考，不仅可以使各集合之间的相互关系直观明了，而且也便于将各元素的归属确定下来，使抽象的集合问题，形象直观的得解． 例1 设22{()|(1)1}{()|0}A x y x y B x y x y m =+-==++，，，≥，则使A B ⊆成立的实数m 的取值范围是_____．解析：由于集合A ，B 都是点的集合，故可结合图形进行分析．集合A 是圆22(1)1x y +-=上的点的集合，集合B 是不等式0x y m ++≥表示的平面区域内的点的集合，要使A B ⊆，则应使圆被平面区域所包含（如图1），知直线0x y m ++=应与圆相切或相离且在圆的下方，即0m >．1=，解得1m =，故m的取值范围是1m ． 评述：如果所给集合是点的集合，那么在研究它们之间的关系时，可以借助数形结合思想，将问题转化为函数图象或曲线之间的关系求解．二、用数形结合思想解决方程问题在研究某些方程的根的个数问题、根的大小问题以及根的取值范围等问题时，都可以将方程进行恰当的变形，通过引进函数，转化为两个或几个函数图象之间的关系来解决． 例2 已知函数()()()2()f x x a x b a b =--+<，若()αβαβ<，是方程()0f x =的两个根，则实数a b αβ，，，之间的大小关系是（ ）．（A ）a b αβ<<< （B ）a b αβ<<<（C ）a b αβ<<< （D ）a b αβ<<<解析：若令()()()g x x a x b =--，显然函数()g x 的两个零点是a 、b ，函数()f x 的两个零点是αβ，，而函数()f x 的图象是由函数()g x 的图象沿y 轴向上平移两个单位得到的，结合图象可知a b αβ<<<，故应选（B ）．例3 若方程240x x m --=恰有4个不同的实数根，则实数m 的取值范围为_____． 解析：将方程化为24x x m -=，构造函数2()4()f x x x g x m =-=，，则方程240x x m --=恰有4个不同的实数根，亦即两个函数()f x 与()g x 的图象恰好有4个不同的交点，如图2，易知当-4＜m ＜0时方程有4个根．三、用数形结合思想解决函数问题我们学过的一些初等函数，如：正比例、反比例函数、一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等都蕴含着丰富的数形结合的思想，因此，在处理函数问题时，要充分联系函数图象．例4 （2006年辽宁高考题）已知函数11()(sin cos )sin cos 22f x x x x x =+--，则()f x 的值域是（ ）．（A ）[11]-， （B）12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（C ）12⎡-⎢⎣⎦， （D）12⎡--⎢⎣⎦， 解析：cos (sin cos )11()(sin cos )sin cos sin (sin cos )22x x x f x x x x x x x x ⎧=+--=⎨<⎩≥，，，即等价于min {sin cos }x x ，，因此在同一坐标系下分别画出函数sin cos y x y x ==，的图象，在两个图象的每两个交点之间取位于下方的图象，就是函数()f x 的图象，从而容易得到()f x 的值域是12⎡-⎢⎣⎦，，故答案为（C ）． 四、数形结合思想解决数列问题由于数列的通项公式和前n 项和公式都可以看成n 的函数，因此，许多数列问题可以借助函数的图象解决．例5 设{}()n a n *∈N 是公差为d 的等差数列，n S 是前n 项的和，且56678S S S S S <=>，，则下列结论错误的是（ ）． （A ）0d < （B ）70a =（C ）95S S > （D ）6S 和7S 均为n S 的最大值解析：可以把等差数列的前n 项和2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭看成是关于n的二次函数，结合图形可知，答案为（C ）．例6 已知在等差数列{}n a 中，312a =，前n 项和为n S ，且121300S S ><，．则当n S 取到最值时，n 等于（ ）（A ）6 （B ）7 （C ）12 （D ）13解析：由于121300S S ><，，所以130a <，而3120a =>，所以数列的公差d ＜0，即数列是递减数列．则2(0)n S an bn a b a =+∈<R ，，，如图3，可以把n S看成关于n 的二次函数，其图象是一条抛物线，经过原点，开口向下，又121300S S ><，，所以若设抛物线和x 正半轴的交点为(0)M m ，，则12＜m ＜13，于是抛物线的对称轴为(66.5)2m x =∈，，因此当n =6时n S 取到最大值，选（A ）． 编者注：数列的有关问题用函数的观点来解决是一种较好的方法，但要注意，他们并非真正意义上的一次、二次函数！五、用数形结合思想解决不等式问题例7 如图4，请你观察图形以及图形中线段的位置关系及其数量关系，说明如何通过该图形来说明不等式2a b +成立．你还能构造另外的图形来说明这个不等式成立吗？解析：在圆O 中，AB 是一条直径，M 是圆上任意一点，过M 点作MC ⊥AB 交AB 于C ，令CA =a ，CB =b ，则容易得到2a b MC MO +==，由于在Rt △MCO 中，MO 是斜边，MC是直角边，所以有2a b +>C 点与O点重合时，有2a b +=2a b +．由于问题的本质上是在Rt △AMB 中处理问题，所以可构造类似的图形如图5所示（注：CN a BN b ==，．）． 评述：几何图形的直观解释和证明，真正体现了代数和几何的有机统一，可谓“无字的证明”．六、用数形结合思想解决最值或范围问题例8 已知a 、b 、c 是某一直角三角形的三边的长，其中c 为斜边，若点（m ，n ）在直线ax +by +2c=0上，则22m n +的最小值等于_____．解析：令d ==d 表示点（m ，n ）与坐标原点之间的距离．由于点（m ，n ）在直线ax +by +2c =0上，所以d 的最小值就是坐标原点到直线ax +by +2c =022c c==，即22m n +的最小值等于4． 例9 在区间[01]，上给定曲线2y x =，试在此区间内确定点t的值，使图6中的阴影部分的面积1S 与2S 之和最小．解：1S 面积等于边长为t 与2t 的矩形的面积去掉曲线2y x =与x 轴、直线x t =围成的面积，即22312023tS t t x dx t S =-=⎰；的面积等于曲线2y x =与x 轴、1x t x ==，围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为2(1)t t -，，即12232221(1)33t S x dx t t t t =--=-+⎰． 所以阴影部分面积S 为：321241(01)33S S S t t t =+=-+≤≤ 由21()42402S t t t t t ⎛⎫'=-=-= ⎪⎝⎭，得 t =0，或12t =． 经验证知，当12t =时，S 最小．。
高考数学：数学解题七大基本思想方法
高考数学：数学解题七大基本思想方法
数学解题涉及到多种基本思想和方法，以下是高考数学中常见的七大基本思想方法：
1. 分析思想：对问题进行分析，了解问题的背景和条件，理清问题的主要要求和关键点。
通过理性思考，找出问题的关键信息和解题的具体思路。
2. 归纳思想：在解题过程中，通过观察和分析一系列具体问题的特点和规律，总结出普遍规律和定理。
通过推理和归纳，用普遍的结论解决具体的问题。
3. 定义思想：利用定义和性质，将一个复杂的问题转化成一个或多个简单的问题，从而得到解题的线索和方法。
通过准确的定义和原理，避免解题过程中的模糊和混乱。
4. 逆向思维：通过逆向思考，将问题的推理过程倒转，从后往前寻找解题的线索和方法。
当直接求解困难时，可以通过反向思考，先假设结论成立，然后倒推出问题的可能解。
5. 近似思想：在实际解题中，可能遇到问题过于复杂或计算困难的情况。
可以通过近似思想，将问题简化成近似问题，从而得到解题的方法和结果。
通过适当的近似和简化，可以减少计算量和复杂度。
6. 映射思维：通过建立不同对象之间的映射关系，将原问题转化成已知问题或同类问题。
通过找出问题之间的联系和相似性，来解决具体的问题。
7. 模型思想：将实际问题抽象成数学模型，通过建立数学模型和方程式来求解问题。
通过对实际问题的抽象和建模，可以将问题转化成更容易解决的数学问题。
这些思想方法在解决高考数学问题中都很有用，需要根据具体问题的特点和要求选择合适的思想方法。
高考数学题解法思想指引
高考数学题解法思想指引作为高中三年中的重要学科，数学在高考中扮演了至关重要的角色。
高考数学作为一门重要的考试科目，对学生的综合素质和学科能力有着很高的要求，需要学生具备综合性、专业性的知识和技能，并要求学生具备较高的思维能力和创造力。
面对广大考生的担心和焦虑，本文从高考数学考试的角度，对高考数学题解法和思想指引进行阐述。
1. 高考数学的题目类型及内容高考数学是以高中数学课程为基础，考查学生对数学知识和技能的掌握和运用能力，主要包括数与代数、几何、函数、概率与统计、解析几何、数学分析等内容。
高考数学涉及的题目类型较为复杂，除了基本题型（选择题、填空题、解答题）、证明题、计算题外，还包括实际应用题、分析题、拓展题等。
考试难度与复杂度较高，需要考生合理规划时间、努力备考，才能取得好成绩。
2. 高考数学的解题方法和思想指引对于高考数学的解题方法和思想指引，需要从以下角度进行分析和介绍：2.1 熟悉考试内容和要求高考数学考试是考察学生的掌握和运用能力，因此考生要熟悉考试的内容和要求，了解不同的题型和解题方式，熟练掌握数学知识和技能。
对于每一道题目，考生需要先了解题目的要求，分析清题意，并根据题目的特点、条件和要求进行推导和解析，正确分析题目，得出正确答案。
2.2 确定解题思路和方法在熟悉考试内容和要求之后，考生需要根据题目的特点和要求，确定解题思路和方法，制定行之有效的解题策略。
对于一些比较难的问题，考生应当先针对题目的特点和难点，进行解题思路的分析和规划，选择合适的解题方法，制定有针对性的解题方案。
2.3 加强基础知识的学习和联系高考数学对学生的基础知识要求非常高，因此考生应该在日常学习中，加强基础知识的学习和联系，做到对数学知识的熟练掌握和运用。
在备考阶段，考生应当多做练习题、模拟题，提高自身数学的应用能力和创造力。
2.4 完成考试时间合理规划高考数学考试的时间比较紧张，考生需要根据每一道题目所需的时间，进行时间的合理规划，尽量做到快速而准确地解答所需要的问题，不要过度纠结于某个问题，浪费过多的时间。
高中解题数学思想方法总结
高中解题数学思想方法总结高中解题数学思想方法总结在高中数学中，解题方法是我们学习的重点之一。
解题方法不仅是完成题目的工具，更是数学思想的体现。
合理的解题方法可以帮助我们更好地理解数学问题、提高解题效率、培养逻辑思维和分析能力。
下面将对高中解题数学思想方法进行总结。
一、认真阅读题目认真阅读题目是解题的第一步。
我们要仔细阅读题目，明确题目要求，理解题意，划清知识边界，找出问题的关键信息，搞清楚问题所求和给出的条件。
只有弄清楚题意，才能制定出合理的解题思路。
二、灵活运用数学方法在高中数学中，有很多数学方法可以帮助我们解题。
例如代数方法、几何方法、函数方法、随机变量方法等。
我们需要根据题目的特点和要求，选择合适的方法进行解题。
例如，在一些几何问题中，我们可以运用相似三角形的性质解决一些比例关系问题；在一些函数问题中，我们可以利用函数的性质和图像来解决一些函数关系问题。
灵活运用数学方法是解题的关键。
三、分析问题的结构在解题过程中，我们要善于分析问题的结构。
我们可以考虑问题的对称性、周期性、递推性、变化趋势等特点，以及利用数学模型来描述问题的结构。
通过分析问题的结构，我们能够更好地理解问题，找到解题的突破口。
四、合理利用已有的定理和性质高中数学中有许多定理和性质，我们在解题过程中可以充分利用这些已有的定理和性质。
例如在三角函数问题中，我们可以利用正弦定理、余弦定理等解决三角形的面积和边长问题；在概率问题中，我们可以利用排列组合的知识解决事件发生的概率问题。
五、巧妙运用数学运算在解题过程中，还可以巧妙运用数学运算来简化问题。
我们可以利用整式的性质进行因式分解、合并同类项，运用二次函数的基本变形得到特殊函数，利用换元法、递推式等将问题变换形式。
通过巧妙的运用数学运算，我们能够简化问题，提高解题效率。
六、实践和思考除了学习和掌握数学知识和解题方法外，还需要进行实践和思考。
通过大量的练习和实际问题的解决，我们能够更好地理解数学知识，掌握解题技巧，提高解题水平。
高考数学中数学思想方法的研究及启示
高考数学中数学思想方法的研究及启示一、本文概述本文旨在深入探讨高考数学中数学思想方法的重要性及其启示。
高考数学不仅是对学生数学知识掌握程度的检验，更是对他们数学思维能力和解题技巧的考察。
数学思想方法是数学学习的灵魂，掌握和应用数学思想方法对于提高数学解题能力和数学素养具有重要意义。
本文首先对高考数学中常见的数学思想方法进行梳理和分类，包括函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、化归与转化思想等。
接着，结合具体的高考数学试题，分析这些数学思想方法在解题过程中的应用和体现，揭示数学思想方法在解题中的关键作用。
然后，本文将从教育者和学习者的角度出发，探讨数学思想方法的教学和学习策略。
对于教育者而言，如何在日常教学中渗透数学思想方法，培养学生的数学思维能力和解题技巧，是值得深入研究的问题。
对于学习者而言，如何理解和掌握数学思想方法，如何运用数学思想方法解决实际问题，也是他们必须面对的挑战。
本文将对数学思想方法在高考数学中的启示进行总结和归纳，旨在为广大教育工作者和学习者提供有益的参考和启示，推动高考数学教学的改革和发展。
二、高考数学中常见的数学思想方法高考数学不仅是对学生数学知识掌握程度的检验，更是对数学思想方法理解和应用能力的考核。
以下是一些在高考数学中常见的数学思想方法。
函数与方程思想：这是数学中最基础且最重要的思想之一。
无论是解析几何、数列、不等式还是其他数学知识，都与函数和方程紧密相连。
在高考中，经常需要通过设立方程或函数，利用它们的性质来解决问题。
数形结合思想：这是一种将数学问题的文字描述转化为图形，或者将图形转化为数学表达式进行研究的思想。
数形结合不仅有助于理解问题，而且经常能够简化计算过程，使问题更加直观。
分类讨论思想：对于一些涉及多种可能性的数学问题，经常需要按照不同的条件进行分类讨论。
分类讨论的目的是将复杂的问题分解为若干个子问题，使得每个子问题都更加易于解决。
化归与转化思想：这是一种将复杂问题转化为简单问题，将未知问题转化为已知问题的思想。
高考数学题涉及的数学思想方法能力
高考数学题涉及的数学思想，方法，能力梁关化，2015，5，25A 、 数学思想 A1、函数思想现实中存在许多变量，而变量与变量之间存在着直接或间接的关系。
如果一个或几个变量的变动，引起另一个变量的变动,我们就说它们之间存在函数关系。
如果变量之间存在函数关系, 我们就可以建立函数模型,通过函数的图象和性质来解决它们的问题。
在数学中, 我们常常遇到很多含参数的问题, 如含参数的方程、含参数的不等式等，这时, 我们可以用函数思想去处理。
例1． 若不等式a x x ≤---56对一切x R ∈实数恒成立，求a.。
（a ≥1） 。
A2、方程思想求未知数，使之满足一定条件，这是数学中出现最多的问题。
这类问题，我们可以通过设未知数，建立方程或不等式进行求解。
一般步骤为：设，列，解。
例1． 曲线f(x)=x 4-x 在点P 处的切线平行于直线3x-y=0，求P 的坐标。
（（1，0）） 。
A3、和A4、转化和化归思想生活中，为了认识某一个人，我们可以通过他的朋友或认识他的人来认识他。
平时我们在研究问题时，也常常用转化的方法进行，如把陌生的问题转化为熟悉的问题，把A 问题归结B 问题来解决。
在数学中，同样也有很多问题需要用转化和化归思想来解决。
例1．如图所示，已知抛物线y 2=2px(p>0)。
过动点M(a,0)，且斜率为1的直线与该抛物线交于不同的两点A 、B ，|AB|≤2p 。
1． 求a 的取值范围；（-p/2<a ≤-p/4）2． 若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，求NAB ∆面积的最大值。
(22p )oxyBA Q NM。
A5、数形结合思想以图形助分析，往往使一些较抽象的数量关系问题变得具体形象，容易解决。
倒过来，一些几何变换转化为代数变换，可以省去空间想象的麻烦，这就是所谓的数形结合思想。
例1．双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 离心率为e ，过右焦点F 且斜率为k 的直线与（e 2>1+2k ）m 1或x>1;m=0,x>1;0<m<1,1<x<m 1;m=1, P （A ）+P （)A =1。
【高中数学】解数学题的基本思想方法
【高中数学】解数学题的基本思想方法怎样解数学题呢？美国著名数学教育家波利亚说：掌握数学意味着善于解决问题。
当我们在解决一个问题时遇到一个新问题时，我们总是想“设置”一个熟悉的问题类型，它只满足于解决它。
只有深入理解和掌握数学思想和方法，才能提出新的观点和巧妙的解决方案。
最近的高考试题非常重视数学思维方法的考试，尤其是突出考试能力的试题。
求解过程包含重要的数学思维方法。
要自觉运用数学思维和方法分析问题、解决问题，形成数学能力，提高数学素质，具有数学头脑和数学远见。
高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查：① 常用的数学方法有：配置法、元素交换法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法（方程法）等；②数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等；③ 数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳与演绎等；④常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想等。
与数学基础知识相比，它具有更高的地位和水平。
数学知识是可以用文字和符号记录和描述的数学内容。
随着时间的推移，记忆力会下降，将来可能会被遗忘。
数学思维方法是一种数学意识，它只能被理解和应用。
它属于思维的范畴。
它用于理解、处理和解决数学问题。
掌握数学思维方法不是一段时间的事，而是一辈子的事。
即使数学知识被遗忘，数学思维方法仍然适用于你。
数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式化与可操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段。
数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。
可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化的。
提高数学素质的核心是提高学生对数学思想和方法的理解和运用，数学素质的综合体现是“能力”。
为了帮助学生掌握解题的金钥匙，掌握解题的思想方法，我们先介绍高考中常用的数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法，再介绍高考中常用的数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想。
【数学】高考数学解题方法攻略思想方法理
【关键字】数学数学思想方法知识网络构建考情分析预测数学思想方法是对数学知识最高层次的提炼与概括，数学思想方法较之数学知识具有更高的层次，具有理性的地位，它是一种数学意识，属于思维和能力的范畴，它是数学知识的精髓，是知识转化为能力的桥梁．高考中把函数与方程的思想作为数学思想方法的重点进行考查，通过选择题和填空题考查函数与方程思想的基本运算，而在解答题中，则从更深的层次，在知识网络的交汇处，从思想方法与相关能力相综合的角度进行深入考查；对数形结合思想的考查侧重两个方面：一方面是充分利用选择题和填空题的题型特点(只需写出结果而无需写出解答过程)，突出将复杂的数量关系问题转化为直观的几何图形问题的意识，即由“数”到“形”的转化；另一方面在解答题中以由“形”到“数”的转化为主来考查数形结合思想；对于分类与整合思想是以解答题为主进行考查的，通常是通过对含有字母参数的数学问题进行分类与整合的研究，考查考生思维的严谨性与周密性；转化与化归思想在高考中的重点是一些常用的变换方法，如一般与特殊的转化，繁与简的转化，构造转化，命题的等价转化等．纵观近几年的高考试题，都加大了对数学思想方法的考查，把数学思想方法的考查寓于各部分知识的考查之中，以知识为载体，着重考查能力与方法题目很常见．预测2011年数学高考中，仍然会在选择题、填空题、解答题中以初等数学的各个知识点为背景，考查数学思想方法，对数学思想方法的考查不会削弱，会更加鲜明，更加重视．第19讲函数与方程思想主干知识整合1．“函数与方程”思想的地位函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重较大，综合知识多、题型多、应用技巧多．函数思想即将所研究的问题借助建立函数关系式亦或构造中间函数，结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决．2．“函数与方程”思想的作用运用方程思想解决问题主要从四个方面着手：一是把问题中对立的已知与未知建立相等关系统一在方程中，通过解方程解决；二是从分析问题的结构入手，找出主要矛盾，抓住某一个关键变量，将等式看成关于这个主变元(常称为主元)的方程，利用方程的特征解决；三是根据几个变量间的关系，符合某些方程的性质和特征(如利用根与系数的关系构造方程等)，通过研究方程所具有的性质和特征解决；四是中学数学中常见的数学模型(如函数、曲线等)，经常转化为方程问题去解决．3．“函数与方程”思想在高中数学中的体现(1)函数与方程是密切相关的，对于函数y＝f(x)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看做二元方程y－f(x)＝0.函数问题(例如求反函数，求函数的值域等)可以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程f(x)＝0，就是求函数y＝f(x)的零点．(2)函数与不等式也可以相互转化，对于函数y＝f(x)，当y＞0时，就转化为不等式f(x)＞0，借助于函数图象与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式．(3)数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要．(4)函数f(x)＝(ax＋b)n(n∈N*)与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题．(5)解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论．(6)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决．要点热点探究►探究点一函数方程思想在求解最值或参数的取值范围的应用例1 已知函数f(x)＝x3－2x2＋x，g(x)＝x2＋x＋a，若函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象有三个不同的交点，求实数a的取值范围．【解答】函数f(x)与y＝g(x)的图象有三个不同的交点等价于方程x3－2x2＋x＝x2＋x＋a有三个不同的实数根，即关于x的方程x3－3x2－a＝0有三个不同的实数根，令h(x)＝x3－3x2－a，则h′(x)＝3x2－6x.令h′(x)<0，解得0<x<2；令h′(x)>0，解得x<0或x>2.所以h(x)在(－∞，0)和(2，＋∞)上为增函数，在(0,2)上为减函数．所以h(0)为极大值，h(2)为极小值．从而h(2)<0<h(0)，解得－4<a<0.【点评】本题在求解参数取值范围时，利用函数的极值处理，迅速准确地使问题得到解决．变试题如果关于实数x的方程ax2＋1x＝3x的所有解中，仅有一个正数解，那么实数a的取值范围为( )A．{a|－2≤a≤2} B．{a|a≤0或a＝2}C．{a|a≥2或a<－2} D．{a|a≥0或a＝－2}B 【解析】原问题⇔a＝3x－1x3有且仅有一个正实数解．令1x＝t(t≠0)，则a＝－t3＋3t.令f(t)＝－t3＋3t(t≠0)，f′(t)＝－3t2＋3，由f′(t)＝0，得t＝1或t＝－1.又t∈(－1,1)且t≠0时，f′(t)>0；t∈(－∞，－1)，(1，＋∞)时，f′(t)<0. 所以f(t)极大值＝f(1)＝2.又t→－∞，f(t)→＋∞；t→＋∞，f(t)→－∞.结合三次函数图象即可得到答案．►探究点二准确认识函数关系中的主从变量，解决有关问题例2 已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，向量OA →，OB →，OC →满足：OA →－[y ＋2f ′(1)]OB →＋ln(x ＋1)OC →＝0.(1)求函数y ＝f (x )的表达式；(2)若x >0，证明：f (x )>2x x ＋2； (3)若不等式12x 2≤f (x 2)＋m 2－2bm －3时，x ∈[－1,1]及b ∈[－1,1]都恒成立，求实数m 的取值范围．【解答】 用三点共线的充要条件构建目标函数，借助导数研究单调性，利用值域构建不等式求解参数范围问题．(1)∵OA →－[y ＋2f ′(1)]OB →＋ln(x ＋1)OC →＝0，∴OA →＝[y ＋2f ′(1)]OB →－ln(x ＋1)OC →， 由于A 、B 、C 三点共线，即[y ＋2f ′(1)]＋[－ln(x ＋1)]＝1，∴y ＝f (x )＝ln(x ＋1)＋1－2f ′(1)，f ′(x )＝1x ＋1， 故f ′(1)＝12，∴f (x )＝ln(x ＋1)． (2)令g (x )＝f (x )－2x x ＋2，由g ′(x )＝1x ＋1－2x ＋2－2x x ＋22＝x 2x ＋1x ＋22，∵x ＞0，∴g ′(x )＞0，∴g (x )在(0，＋∞)上是增函数，故g (x )＞g (0)＝0，即f (x )＞2x x ＋2. (3)原不等式等价于12x 2－f (x 2)≤m 2－2bm －3， 令h (x )＝12x 2－f (x 2)＝12x 2－ln(x 2＋1)， 由h ′(x )＝x －2x x 2＋1＝x 3－x x 2＋1＝x x 2－1x 2＋1， 当x ∈[－1,1]时，h (x )max ＝0，∴m 2－2bm －3≥0.令Q (b )＝m 2－2bm －3，则⎩⎪⎨⎪⎧ Q 1＝m 2－2m －3≥0，Q －1＝m 2＋2m －3≥0，解得m ≥3或m ≤－3.变试题 对于满足0≤p ≤4的所有实数p ，不等式x 2＋px ＞4x ＋p －3都成立，则实数x 的取值范围是____________． x >3或x <－1【解析】 原不等式可化为p (x －1)＋(x 2－4x ＋3)＞0，记f (p )＝p (x －1)＋x 2－4x ＋3，由已知0≤p ≤4，f (p )＞0恒成立，有⎩⎪⎨⎪⎧ f 0＝x 2－4x ＋3>0，f 4＝x 2－1>0.解之得x ＞3或x ＜－1.【点评】 反客为主，变换主元是解题的关键．► 探究点三 利用函数与方程的相互转化，解决有关问题例3 (1)设a >1，若仅有一个常数c 使得对于任意的x ∈[]a ，2a ，都有y ∈[]a ，a 2满足方程log a x ＋log a y ＝c ，这时a 的取值的集合为____________．(1){2}【解析】 由log a x ＋log a y ＝c ，得y ＝a c x(x ∈[a,2a ])， 则当x ∈[a,2a ]时，y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤a c －12，a c －1. 又对于任意的x ∈[a,2a ]，都有y ∈[a ，a 2]， 因此⎩⎪⎨⎪⎧ a c －12≥a ，a c －1≤a 2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ c ≥2＋log a 2，c ≤3，又仅有一个常数c ，所以2＋log a 2＝3⇒a ＝2.(2)函数f (x )＝sin x5＋4cos x (0≤x ≤2π)的值域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，14B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，23 (2)C【解析】 由y ＝sin x 5＋4cos x ，得y 2＝sin 2x 5＋4cos x ⇒1－cos 2x ＝5y 2＋4y 2cos x . 令t ＝cos x (t ∈[－1,1])，则等价于方程t 2＋4y 2·t ＋5y 2－1＝0在[－1,1]上有实数根．令g (t )＝t 2＋4y 2·t ＋5y 2－1，∵g (－1)＝y 2≥0，g (1)＝9y 2≥0，故⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，－1≤－2y 2≤1，⇒y 2≤14， 因此值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，选C.► 探究点四 运用函数、方程、不等式的相互转化，解决有关问题例4 若关于x 的方程x 2＋2kx －1＝0的两根x 1、x 2满足－1<x 1<0<x 2<2，则k 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－34，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34 A【解析】设函数f (x )＝x 2＋2kx －1，∵关于x 的方程x 2＋2kx －1＝0的两根x 1、x 2满足－1<x 1<0<x 2<2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ f －1>0，f 0<0，f 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2k <0，－1<0，4k ＋3>0，∴－34<k <0，故选择A. 变试题 已知a ∈R ，若关于x 的方程x 2＋x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝0有实根，则a 的取值范围是__________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14 【解析】方程即⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝－x 2－x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋14∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14， 利用绝对值的几何意义，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋a ≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |≤14， 可得实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14.► 探究点五 函数方程思想在数列问题中的应用例5 [2010·全国卷Ⅰ] 记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，设S 3＝12，且2a 1，a 2，a 3＋1成等比数列，求S n .【解答】 设数列{a n }的公差为d ，依题设有⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1a 3＋1＝a 22，a 1＋a 2＋a 3＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 21＋2a 1d －d 2＋2a 1＝0，a 1＋d ＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝8，d ＝－4.因此S n ＝12n (3n －1)，或S n ＝2n (5－n )． 变试题 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3－a x －3，x ≤7，a x －6，x >7，若数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *)，且{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫94，3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫94，3 C ．[2,3) D ．(1,3) 【解析】A 依题意，数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *)，且{a n }是递增数列，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≥3－a ×7－3，3－a >0，解得94≤a <3，选择A. 教师备选习题 (选题理由：均为高考中的重点：1.导数与不等式〈构造函数〉； 2数列与不等式〈选择函数中恰当的主元〉) 1．[2010·安徽卷] 设a 为实数，函数f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R.(1)求f (x )的单调区间与极值；(2)求证：当a >ln2－1且x >0时，e x >x 2－2ax ＋1.【解答】(1)f ′(x )＝e x －2，所以当x ∈[ln2，＋∞)时，f (x )是增函数；当x ∈(－∞，ln2)时，f ′(x )是减函数．所以f (x )的单调递增区间是[ln2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，ln2)．所以f (x )极小值＝f (ln2)＝2－2ln2＋2a .(2)证明：设g (x )＝e x －x 2＋2ax －1，则g ′(x )＝e x －2x ＋2a ，由(1)知当a >ln2－1时，g ′(x )最小值＝2－2ln2＋2a ，所以有g ′(x )最小值>0，即g (x )在R 上是增函数，于是当a >ln2－1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )>g (0)，所以g (x )＝e x －x 2＋2ax －1>0，所以e x >x 2－2ax ＋1.2．[2010·抚州卷] 已知数列{a n }，{b n }中，a 1＝0，b 1＝1，且当n ∈N *时，a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)求最小自然数k ，使得当n ≥k 时，对任意实数λ∈[0,1]，不等式(2λ－3)b n ≥(2λ－4)a n ＋(λ－3)恒成立．【解答】 (1)依题意2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1＝b n ·b n ＋1.又∵a 1＝0，b 1＝1，∴b n ≥0，a n ≥0，且2b n ＝b n －1b n ＋b n b n ＋1，∴2b n ＝b n －1＋b n ＋1(n ≥2)，∴数列{b n }是等差数列，又b 2＝4，b 3＝9，∴b n ＝n ，n ＝1也适合．∴b n ＝n 2，a n ＝(n －1)n .(2)将a n ，b n 代入不等式(2λ－3)b n ≥(2λ－4)a n ＋(λ－3)，整理得(2n －1)λ＋n 2－4n ＋3≥0.令f (λ)＝(2n －1)λ＋n 2－4n ＋3，则f (λ)是关于λ的一次函数，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ f 0≥0，f1≥0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ n 2－4n ＋3≥0，n 2－2n ＋2≥0，解得n ≤1或n ≥3.∴存在最小自然数k ＝3，使得当n ≥k 时，不等式恒成立．规律技巧提炼1．函数方程思想就是用函数、方程的观点和方法处量变量或未知数之间的关系，从而解决问题的一种思维方式，是很重要的数学思想．(1)函数思想：把某变化过程中的一些相互制约的变量用函数关系表达出来，并研究这些量之间的相互制约关系，最后解决问题，这就是函数思想．应用函数思想解题，确立变量之间的函数关系是一关键步骤，大体可分为下面两个步骤：①根据题意建立变量之间的函数关系式，把问题转化为相应的函数问题；②根据需要构造函数，利用函数的相关知识解决问题．2)方程思想(：在某变化过程中，往往需要根据一些要求，确定某些变量的值，这时常常列出这些变量的方程或(方程组)，通过解方程(或方程组)求出它们，这就是方程思想．2．函数与方程是两个有着密切联系的数学概念，它们之间相互渗透，很多方程的问题需要用函数的知识和方法解决，很多函数的问题也需要用方程的方法来支援，函数与方程之间的辩证关系，形成了函数方程思想．第20讲数形结合思想主干知识整合1．数形结合思想的概念数形结合思想，就是把问题的数量关系和图形结合起来考查的思想方法，即根据解决问题的需要，可以把数量关系的问题转化为图形的性质和特征去研究，或者把图形的性质问题转化为数量关系的问题去研究．数形结合思想，不仅是一种重要的解题方法，而且也是一种重要的思想方法，在高考中经常考查．2．数与形转换的三条途径(1)通过坐标系的建立，引入数量化静为动，以动求解．(2)转化，通过分析数与式的结构特点，把问题转化到形的角度来考虑．如将a2＋b2转化为勾股定理或平面上两点间的距离等．(3)构造，通过对数(式)与形特点的分析，联想相关知识构造图形或函数等．比如构造一个几何图形，构造一个函数，构造一个图表等．3．数形结合的主要解题方式(1)数转化为形，即根据所给出的“数”的特点，构造符合条件的几何图形，用几何方法去解决．(2)形转化为数，即根据题目特点，用代数方法去研究几何问题．(3)数形结合，即用数研究形，用形研究数，相互结合，使问题变得简捷、直观、明了．华罗庚先生说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”．运用数形结合思想解题，不仅直观，易于寻找解题途径，而且能避免繁杂的计算和推理，简化解题过程，可起到事半功倍的效果．所以华先生还一语双关地告诫学生“不要得意忘形”．要点热点探究► 探究点一 代数问题几何化——以形助数例1 (1)[2010·湖北卷] 若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，则b 的取值范围是( )A ．[－1,1＋22]B ．[1－22，1＋22]C ．[1－22，3]D ．[1－2，3](1)C【解析】 曲线方程可化简为(x －2)2＋(y －3)2＝4(1≤y ≤3)，即表示圆心为(2,3)，半径为2的半圆．依据数形结合，当直线y ＝x ＋b 与此半圆相切时须满足圆心(2,3)到直线y ＝x ＋b 距离等于2，∴|2－3＋b |2＝2，解得b ＝1＋22或b ＝1－2 2. 因为是下半圆，故可得b ＝1－22，当直线过(0,3)时，解得b ＝3，故1－22≤b ≤3，所以C 正确．(2)[2010·全国卷Ⅰ] 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ y ≤1，x ＋y ≥0，x －y －2≤0，则z ＝x －2y的最大值为( )A ．4B ．3C ．2D ．1(2)B 【解析】 画出可行域(如下图)，z ＝x －2y ⇒y ＝12x －12z ， 由图可知，当直线l 经过点A (1，－1)时，z 最大，且最大值为z max ＝1－2×(－1)＝3.【点评】 本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力．求解时，将代数式赋予了几何意义，那就是直线的“在轴上的截距的2倍的相反数”，再结合图形，从而使问题得到解决．除了赋予“截距”的意义外，我们还经常将式子赋予“斜率”“两点间的距离”等．请看下面变式题．变试题(1)已知实系数方程x 2＋(m ＋1)x ＋m ＋n ＋1＝0的两个实根分别为x 1，x 2，且0＜x 1＜1，x 2＞1，则n m的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－2，－12 C.⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12 D ．(－2，－1)(1) A【解析】 解答此题的关键是要由根的分布将条件转化为m ，n 的关系式， 令f (x )＝x 2＋(m ＋1)x ＋m ＋n ＋1，则f (x )＝0的两根分别满足0<x 1<1，x 2>1，即有⎩⎨⎧ f 0＝m ＋n ＋1>0，f 1＝2m ＋n ＋3<0，n m即为以上区域内的动点(m ，n )和原点连线的斜率的范围(如图)，从而得到－2<nm <－12.(2)若直线xa＋yb＝1通过点M(cosα，sinα)，则( )A．a2＋b2≤1 B．a2＋b2≥1 C.1a2＋1b2≤1 D.1a2＋1b2≥1【答案】D(3)当x∈R时，求函数f(x)＝x2＋2x＋2＋x2－4x＋8的最小值．(3)【解答】从代数角度难以找到解题的途径，若把f(x)稍作变形，f(x)＝x＋12＋1＋x－22＋4，可以观察到f(x)就是点P(x,0)到点A(－1，－1)、B(2，－2)的距离之和，如图，显然当P点与坐标原点重合时f(x)min＝2＋8＝3 2.高考命题者说【考查目的】本题考查直线与圆的位置关系的判定和点到直线的距离．【命制过程】根据直线方程和圆的方程判断直线和圆的位置关系、确定点的轨迹方程是解析几何的重要内容．本题命制过程中希望考生通过对点的坐标的观察或曲线参数方程的认识，建立点的轨迹方程，把直线与圆有交点的几何问题转化为代数问题，得到问题的求解．当然考生也可以利用点到直线的距离或柯西不等式求解，启发鼓励学有余力的考生积极拓展知识，提高数学素养．【解题思路】点M(cosα，sinα)的轨迹是圆x2＋y2＝1，从而转化为直线和圆有交点的问题；或根据直线过单位圆上一点，得到原点到直线的距离小于或等于1，利用点到直线的距离公式求解．【试题评价】本题对考生的能力要求比较高．试题把考生熟悉的直线和圆的位置关系的判断问题巧妙设计，使问题的解答具有灵活性，考生必须深入理解数形结合的思想，从解析几何的研究方法这个角度去认识和解决问题．(引自高等教育出版社2009年大纲版的《高考理科试题分析》第87页第10题)►探究点二几何问题代数化——以数辅形例2 (1)[2009·山东卷] 函数y＝e x＋e－xe x－e－x的图象大致为( )图7－20－1A【解析】 (1)函数有意义，需使e x－e－x≠0，其定义域为{x|x≠0}，排除C，D.又因为y＝e x＋e－xe x－e－x＝e2x＋1e2x－1，所以当x>0时函数为减函数，故选A.(2)[2010·安徽卷] 设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是( )图7－20－2D【解析】 (2)根据二次函数图象开口向上或向下，分a>0或a<0两种情况分类考虑．另外还要注意c值是抛物线与y轴交点的纵坐标，还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等．当a>0时，b、c同号，C、D两图中c<0，故b<0，－b2a>0，选项D符合．(3)[2010·重庆卷] 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是( )A．直线 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线(3)D 【解析】 (图形略)在边长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，DC与A1D1是两互相垂直的异面直线，平面ABCD过直线DC且平行于A1D1，以D为原点，分别以DA，DC为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设点P(x，y)在平面ABCD内且到A1D1与DC的距离相等，则|x|＝y2＋a2，∴x2－y2＝a2.【点评】转换数与形的重要途径之一就是通过坐标系的建立，引入数量，化静为动，以动求解．变试题(1)[2010·湖南卷] 函数y ＝ax 2＋bx 与y ＝log ⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a x (ab ≠0，|a |≠|b |)在同一直角坐标系中的图象可能是( )图7－20－3(1)D 【解析】 函数y ＝ax 2＋bx 与x 轴的两个交点是(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ，0.对于A 、B ， 由抛物线的图象知－b 2a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ∈(0,1)，所以y ＝log|b a |x 不是增函数，排除；对于C ，由抛物线的图象知a <0且－b a <－1，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a>1， 所以y ＝log|b a|x 应是增函数排除C ，故选D.(2)若动直线x ＝α与函数f (x )＝sin x 和g (x )＝cos x 的图象分别交于M 、N 两点，则||MN 的最大值为( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．2(2)B高考命题者说【考查目的】 本题考查三角函数的最大值的求法，考查数形结合的数学思想．【命制过程】 考生对f (x )＝sin x 和g (x )＝cos x 的图象是比较熟悉的．本题可以通过作图直观得到线段MN ，但要从图形的变化确定线段MN 的长度的最大值是困难的，这就必须将“形”转化为“数”．实际上|MN |＝|sin α－cos α|＝2sin α－π4.命制本题的目的是考查数形结合思想的应用和三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的最大值的求解方法．【解题思路】 |MN |＝|sin α－cos α|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4. 【试题评价】 试题以考生熟悉的三角函数图象入手，巧妙设计动态的图形变化，将“形”的问题——求|MN |的最大值，转化为“数”的问题——求函数y ＝|sin α－cos α|的最大值，不仅突出考查了三角函数的图象和性质，也考查了考生将知识迁移到不同情境中的能力，将数形结合的思想充分展现出来．(引自高等教育出版社2009年大纲版的《高考理科试题分析》第62页第8题)► 探究点三 “数”“形”互助——相得益彰例3 (1)[2010·全国卷1] 已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D, 且BF →＝2FD →，则C 的离心率为________． (1)33【解析】 (法一)如图，|BF |＝b 2＋c 2＝a ，作DD 1⊥y 轴于点D 1， 则由BF →＝2FD →，得|OF ||DD 1|＝|BF |BD ＝23，所以|DD 1|＝32|OF |＝32c ， 即x D ＝3c 2，由椭圆的第二定义得|FD |＝e ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c －3c 2＝a －3c 22a . 又由|BF |＝2|FD |，得a ＝2a －3c 2a ⇒e ＝33解法二：设椭圆方程为第一标准形式x 2a 2＋y 2b2＝1， 设D (x 2，y 2)，F 分BD 所成的比为2，x C ＝0＋2x 21＋2⇒x 2＝32x C ＝32c ；y C ＝b ＋2y 21＋2⇒y 2＝3y C －b 2＝3·0－b 2＝－b 2， 代入椭圆方程得9c 24a 2＋1b 24b 2＝1⇒e ＝33. (2)[2010·安徽卷] 椭圆E 经过点A (2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率e ＝12. (1)求椭圆E 的方程；(2)求∠F 1AF 2的角平分线所在直线的方程． 【解答】 (1)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1. 由e ＝12，即c a ＝12，a ＝2c ，得b 2＝a 2－c 2＝3c 2，所以椭圆方程x 24c 2＋y 23c2＝1.将A (2,3)代入上式，得1c 2＋3c 2＝1，解得c ＝2，∴椭圆E 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)由(1)知F1(－2,0)，F2(2,0)，所以直线AF1的方程为y＝34(x＋2)，即3x－4y＋6＝0；直线AF2的方程为x＝2.由椭圆E的图形知∠F1AF2的角平分线所在直线的斜率为正数．设P(x，y)为∠F1AF2的角平分线所在直线上任一点，则|3x－4y＋6|5＝|x－2|.若3x－4y＋6＝5x－10，即x＋2y－8＝0，其斜率为负，不合题意，舍去．于是3x－4y＋6＝－5x＋10，即2x－y－1＝0.所以∠F1AF2的角平分线所在直线的方程为2x－y－1＝0.教师备选习题(选题理由：1,2均为数形结合，很有代表性)1．[2010·黄冈卷] 方程2sinθ＝cosθ，θ∈[0,2π)的根的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4【解析】B因为方程有根，故cosθ>0，令sinθ＝x，(－1≤x≤1)，则问题转化为方程2x＝1－x2的根的个数的问题，记C1：y＝2x，C2：y＝1－x2，则问题转化为两曲线交点个数的问题．在同一坐标系中画出它们的图象，如图所示，故选B.【点评】方程根的个数与曲线交点的个数是相同的．本例先对数式换元转化，再进行数形转化，最后考查曲线交点的个数．2．如果实数x，y满足等式(x－2)2＋y2＝3，则yx的最大值是( )A.12B.33C.32D. 3【解析】 D将yx写成y－0x－0的形式，这样y－0x－0就可以看成是圆(x－2)2＋y2＝3上任意一点到定点(0,0)连线的斜率．如图，显然当连线与圆相切时取得最值，其中倾斜角为锐角的切线斜率最大，为 3.规律技巧提炼1．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：(1)等价性原则：要注意由于所作的草图不能精确刻画数量关系带来的负面效应；(2)双向性原则：即进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易失真；(3)简单性原则：不要为了“数形结合”而数形结合，而取决于是否有效、简便和更易达到解决问题的目的．2．运用数形结合思想分析解决问题时要注意：(1)两个或两个以上的函数图象在同一个坐标系内时，必须要考虑它们的相对位置关系，否则极易出错．例如方程sin x＝lg x有多少个实数解？很多学生由图得只有1个解，这是错误的．(2)要熟记常见函数或曲线的形状和位置，画图要比较准确．第21讲分类讨论思想主干知识整合1．分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，同时也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有着重要的帮助，因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置．所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答．实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略．2．运用分类讨论思想解题的基本步骤：(1)明确讨论的对象：即对哪个参数进行讨论；(2)对所讨论的对象进行合理分类(分类时要做到不重复、不遗漏、标准要统一、分层不越级)；(3)逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决；(4)归纳总结：将各类情况总结归纳．3．明确引起分类讨论的原因，有利于掌握用分类讨论的思想方法解决问题，分类讨论的主要原因有：(1)由数学概念引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线与平面所成的角、直线的倾斜角、两条直线所成的角等；(2)由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零、偶次方根为非负、对数中真数与底数的要求、不等式中两边同乘以一个正数、负数对不等号方向的影响等；(3)由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论；(4)由图形的不确定性引起的分类讨论；(5)由参数的变化引起的分类讨论，某些含参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或者由于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法；(6)其他根据实际问题具体分析进行分类讨论，如排列、组合问题，应用问题等．要点热点探究► 探究点一 根据数学概念分类讨论例1 [2009·广东卷] 已知二次函数y ＝g (x )的导函数的图象与直线y ＝2x 平行，且y ＝g (x )在x ＝－1处取得极小值m －1(m ≠0)．设f (x )＝g x x .(1)若曲线y ＝f (x )上的点P 到点Q (0,2)的距离的最小值为2，求m 的值；(2)k (k ∈R)如何取值时，方程f (x )－kx ＝0有解，并求出该方程的解．【解答】(1)依题可设g (x )＝a (x ＋1)2＋m －1(a ≠0)，则g ′(x )＝2a (x ＋1)＝2ax ＋2a ，又g ′(x )的图象与直线y ＝2x 平行，∴2a ＝2，a ＝1，∴g (x )＝(x ＋1)2＋m －1＝x 2＋2x ＋m ，f (x )＝g x x ＝x ＋m x ＋2. 设P (x 0，y 0)，则|PQ |2＝x 20＋(y 0－2)2＝x 20＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋m x 02＝2x 20＋m 2x 20＋2m ≥22m 2＋2m ＝22|m |＋2m ，当且仅当2x 20＝m 2x 20时，|PQ |2取得最小值，即|PQ |取得最小值 2. 当m >0时，22＋2m ＝2，解得m ＝2－1； 当m <0时，－22＋2m ＝2，解得m ＝－2－1.(2)由y ＝f (x )－kx ＝(1－k )x ＋mx ＋2＝0(x ≠0)，得(1－k )x 2＋2x ＋m ＝0 (*)当k ＝1时，方程(*)有一解x ＝－m 2； 当k ≠1时，方程(*)有两解⇔Δ＝4－4m (1－k )>0，当m >0，k >1－1m 或者m <0，k <1－1m时， 方程f (x )－kx ＝0有两解x ＝－2±4－4m 1－k21－k ；当k ≠1时，方程(*)有一解⇔Δ＝4－4m (1－k )＝0，k ＝1－1m， 方程f (x )－kx ＝0，有一解x ＝1k －1＝－m . 综上，当k ＝1时，方程f (x )－kx ＝0有一解x ＝－m 2； 当k >1－1m (m >0)，或k <1－1m(m <0)时， 方程f (x )－kx ＝0有两解x ＝－2±4－4m 1－k21－k ；当k ＝1－1m 时，方程f (x )－kx ＝0有一解x ＝1k －1＝－m . 【点评】 本题有两次运用了数学概念进行分类，一次是根据绝对值的概念，另一次是根据一元二次方程的概念，要注意的是不能见到形如(*)式这样的方程就认定它是一元二次方程，要根据系数是否为零进行分类探究．► 探究点二 根据公式、定理、性质的条件分类讨论例2 设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和S n >0(n ＝1,2，…)．(1)求q 的取值范围；(2)设b n ＝a n ＋2－32a n ＋1，记{b n }的前n 项和为T n ，试比较S n 与T n 的大小． 【解析】 由于涉及等比数列的前n 项和公式的应用，须分q ＝1和q ≠1讨论．欲比较S n 与T n 的大小，只需求出S n 与T n 后，再用作差法比较．【解答】 (1)因为{a n }是等比数列，S n >0，可得a 1＝S 1>0，q ≠0.当q ＝1时，S n ＝na 1>0；当q ≠1时，S n ＝a 11－qn 1－q >0，即1－q n1－q >0，(n ＝1,2，…) 上式等价于不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧ 1－q <0，1－q n <0，(n ＝1,2，…)①或⎩⎪⎨⎪⎧ 1－q >0，1－q n >0，(n ＝1,2，…)②解①式得q >1；解②，由于n 可为奇数、可为偶数，得－1<q <1.综上，q 的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．（2) 由b n ＝a n ＋2－32a n ＋1，得b n ＝a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫q 2－32q ，T n ＝⎝⎛⎭⎪⎫q 2－32q S n . 于是T n －S n ＝S n ⎝ ⎛⎭⎪⎫q 2－32q －1＝S n ⎝ ⎛⎭⎪⎫q ＋12(q －2)． 又∵S n >0，且－1<q <0或q >0，①当－1<q <－12或q >2时T n －S n >0，即T n >S n ； ②当－12<q <2且q ≠0时，T n －S n <0，即T n <S n ； ③当q ＝－12或q ＝2时，T n －S n ＝0，即T n ＝S n . 【点评】 该题中在使用等比数列的前n 项和公式S n 时，须分q ＝1和q ≠1讨论，注意不要忽视q ＝1的情况．在第(2)问中，抓住b n ＝a a ＋2－32a n ＋1，利用等比数列的通项公式，巧妙地把b n 转化成b n ＝a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫q 2－32q ，T n ＝⎝⎛⎭⎪⎫q 2－32q S n .最后，作差比较S n 与T n ，即T n －S n ＝S n ⎝ ⎛⎭⎪⎫q 2－32q －1＝S n ⎝ ⎛⎭⎪⎫q ＋12(q －2)，最后为确定差的符号，应对q 进行分类讨论．一般地，在应用带有限制条件的公式时要小心，根据题目条件确定是否进行分类讨论．变试题 求和S n ＝a ＋a 2＋…＋a n ＝________.【解析】当a ＝0时，S n ＝0.当a ≠0时，此题为等比数列求和，①若a ≠1时，则由求和公式，得S n ＝a 1－an 1－a； ②若a ＝1时，S n ＝n . 综合可得，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a 1－a n 1－a ，a ≠1，n ，a ＝1.【点评】 由于等比数列定义本身有条件限制，等比数列求和公式是分类给出的，因此，应用等比数列求和公式时也需要讨论．这里进行了两层分类：第一层分类的依据是等比数列的概念，分为a ＝0和a ≠0；第二层分类依据是等比数列求和公式的应用条件．► 探究点三 根据参数的变化情况分类讨论例3 [2010·山东卷] 已知函数f (x )＝ln x －ax ＋1－ax －1(a ∈R)．(1)当a ＝－1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)当a ≤12时，讨论f (x )的单调性． 【解答】(1)当a ＝－1时，f (x )＝ln x ＋x ＋2x －1，x ∈(0，＋∞)，所以f ′(x )＝1x ＋1－2x2， 因此，f ′(2)＝1，即曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率为1，又f (2)＝ln2＋2，所以曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(ln2＋2)＝x －2，即x－y ＋ln2＝0.(2)因为f (x )＝ln x －ax ＋1－a x －1， 所以f ′(x )＝1x －a ＋a －1x 2＝－ax 2－x ＋1－a x 2，x ∈(0，＋∞)． 令g (x )＝ax 2－x ＋1－a ，x ∈(0，＋∞)，①当a ＝0时，g (x )＝－x ＋1，x ∈(0，＋∞)，所以当x ∈(0,1)时，g (x )>0，此时f ′(x )<0，函数f (x )在(0,1)上单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，g (x )<0，此时函数f ′(x )>0，函数f (x )在(1，＋∞)上单调递增．②当a ≠0时，由f ′(x )＝0，即ax 2－x ＋1－a ＝0，解得x 1＝1，x 2＝1a－1， (i)当a ＝12时，x 1＝x 2，g (x )≥0恒成立，此时f ′(x )≤0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减；(ii)当0<a <12时，x 1<x 2，当x ∈(0,1)时，g (x )>0，此时f ′(x )<0，函数f (x )在(0,1)上单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1a －1时，g (x )<0，此时f ′(x )>0，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1a －1上单调递增；x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1，＋∞时，g (x )>0，此时f ′(x )<0，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1，＋∞上单调递减；(iii)当a <0时，由于1a－1<0，故x 1>x 2， 当x ∈(0,1)时，g (x )>0，此时f ′(x )<0，函数f (x )在(0,1)上单调递减；x ∈(1，＋∞)时，g (x )<0，此时函数f ′(x )>0，函数f (x )在(1，＋∞)上单调递增．综上所述：当a ≤0时，函数f (x )在(0,1)上单调递减，函数f (x )在(1，＋∞)上单调递增；当0<a <12时，函数f (x )在(0,1)上单调递减， 函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1a －1上单调递增， 函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1，＋∞上单调递减；。
高考数学题难题巧解思路与方法
高考数学题难题巧解思路与方法一、定义法求解所谓定义法，就是直接用数学定义解题。
选择题的命题侧重于对圆锥曲线定义的考查，凡题目中涉及焦半径、通径、准线、离心率及离心率的取值范围等问题，用圆锥曲线的第一和第二定义解题，是一种重要的解题策略。
【例1】（2008年，山东卷，理10）设椭圆C 1的离心率为135，焦点在x 轴上且长轴长为26. 若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为（ ）（A ）1342222=-y x（B ）15132222=-y x（C ）1432222=-y x（D ）112132222=-y x【巧解】由题意椭圆的半焦距为5=c ，双曲线2C 上的点P 满足|,|8||||||2121F F PF PF <=- ∴点P 的轨迹是双曲线，其中5=c ，4=a ，∴3=b ，故双曲线方程为1342222=-y x ，∴选（A ）巧练一：（2008年，陕西卷）双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M 点，若MF 2垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ ）A ．6B ．3C ．2D ．33巧练二：（2008年，辽宁卷）已知点P 是抛物线x y 22=上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）（A ）217（B ）3（C ）5（D ）29 【例2】（2009年高考福建卷，理13）过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 作倾斜角为450的直线交抛物线于A 、B 两点，线段AB 的长为8，则=p ．【巧解】依题意直线AB 的方程为2p x y -=，由⎪⎩⎪⎨⎧=-=pxy p x y 222消去y 得：04322=+-p px x ，设),(11y x A ，),(22y x B ，∴p x x 321=+，根据抛物线的定义。
高考数学 解题方法攻略 数学思想2 理
摘要： 数学思想对中学数学的教学意义重大,在教学中渗透方程思想,分类讨论思想,数形结合思想,整体思想,化归思想,变换思想,辩证思想等多种数学思想方法，可以培养学生的思维能力,从而提高学生的学习效果。
中学数学教学过程,实质上是运用各种教学理论进行数学知识教学的过程。
在这个过程中,必然要涉及数学思想的问题。
数学思想是人类思想文化宝库中的瑰宝,是数学的精髓,它对数学教学具有决定性的指导意义。
关键词：方程思想 分类讨论思想 数形结合思想 整体思想 化归思想 变换思想 辩证思想前言数学教学的目的既要求学生掌握好数学的基础知识和基本技能,还要求 发展 学生的能力,培养他们良好的个性品质和学习习惯。
在实现教学目的的过程中,数学思想方法对于打好“双基”和加深对知识的理解、培养学生的思维能力有着独到的优势,它是学生形成良好认知结构的纽带,是由知识转化为能力的桥梁。
因此,在数学教学中,教师除了基础知识和基本技能的教学外,还应重视数学思想方法的渗透,注重对学生进行数学思想方法的培养,这对学生今后的数学学习和数学知识的应用将产生深远的影响。
从初中阶段就重视数学思想方法的渗透,将为学生后续学习打下坚实的基础,会使学生终生受益。
1、中学数学教学中应运用的思想方法(1)方程思想众所周知,方程思想是初等代数思想方法的主体,应用十分广泛,可谓数学大厦基石之一,在众多的数学思想中显得十分重要。
所谓方程思想,主要是指建立方程(组)解决实际问题的思想方法。
教材中大量出现这种思想方法,如列方程解应用题,求函数解析式,利用根的判别式、根于系数关系求字母系数的值等。
教学时,可有意识的引导学生发现等量关系从而建立方程。
如讲“利用待定系数法确定二次函数解析式”时,可启发学生去发现确定解析式的关键是求出各项系数,可把他们看成三个“未知量”,告诉学生利用方程思想来解决,那学生就会自觉的去找三个等量关系建立方程组。
例：某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴，设淡水鱼的市场价格为x 元/千克，政府补贴为t 元/千克，根据市场调查，当148≤≤x 时，淡水鱼的市场日供应量P 千克与市场日需求量Q 千克近似地满足关系：()()0,881000≥≥-+=t x t x P ()()1488405002≤≤--=x x Q 当P ＝Q 时的市场价格称为市场平衡价格。
高考解题必须掌握的数学思想方法
高考数学中数学思想的应用例析1、函数与方程思想函数与方程的思想就是用函数、方程的观点和方法来处理问题，从而可利用函数的性质、图象或解方程来获得问题的解的一种思维策略。
函数与方程的思想是中学数学中最重要的数学思想之一，许多问题一旦转化为函数或方程来研究，思考的方向就会非常明确，从而有效解决。
函数思想是指运用运动变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，通过建立函数关系运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题和解决问题;方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题转化为方程或不等式模型去解决问题。
同学们在解题时可利用转化思想进行函数与方程间的相互转化。
2、数形结合思想数学各分支“交叉渗透，学科整合”，无不体现着数形结合长盛不衰的魅力。
数形结合是推动数学向前发展的一种比较重要手段，数学一大部分知识都是围绕其演变、发展而展开的。
数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合。
应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决。
数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。
下面我们结合具体例子来共同学习一下数形结合的思想。
一、数形结合思想在解决方程的根或函数零点问题中的应用构建函数模型并结合其图象研究方程根或函数零点的范围．数形结合思想在求解不等式或参数范围中的应用构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系、求参数的取值范围或解不等式．3、特殊与一般的思想用这种思想解选择题有时特别有效，这是因为一个命题在普遍意义上成立时，在其特殊情况下也必然成立，根据这一点，同学们可以直接确定选择题中的正确选项。
高中数学解题四大思想方法(数学)
思想方法一、函数与方程思想方法1 构造函数关系，利用函数性质解题根据题设条件把所求的问题转化为对某一函数性质的讨论，从而使问题得到解决，称为构造函数解题。
通过构造函数，利用函数的单调性解题，在解方程和证明不等式中最为广泛，解题思路简洁明快。
例1 （10安徽）设232555322(),(),(),555a b c ===则,,a b c 的大小关系是（ ） ....A a c bB a b cC c a bD b c a >>>>>>>>例2 已知函数21()(1)ln , 1.2f x x ax a x a =-+-> （1） 讨论函数()f x 的单调性；（2） 证明：若5,a <则对任意12121212()(),(0,),, 1.f x f x x x x x x x -∈+∞≠>--有方法2 选择主从变量，揭示函数关系含有多个变量的数学问题中，对变量的理解要选择更加合适的角度，先选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系，再利用函数性质解题。
例3 对于满足04p ≤≤的实数p ，使243x px x p +>+-恒成立的x 的取值范围是 .方法3 变函数为方程，求解函数性质实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。
宇宙世界，充斥着等式和不等式，我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题一般是通过方程来实现的……函数与方程是密切相关的。
列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。
例4函数()2)f x x π=≤≤的值域是（ ） 11111122.,.,.,.,44332233A B C D ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦方法1 函数与不等式问题中的数形结合研究函数的性质可以借助于函数的图像，从函数图像上能直观地观察单调性、周期性、对称性等性质。
不等式问题与函数的图像也有密切的联系，比如应用二次函数的图像解决一元二次不等式，就体现了数形结合的思想方法。
高考数学思想方法总结
高考数学思想方法总结高考数学是高考的一门重要科目，考察的是学生对数学知识的掌握程度和解决实际问题的能力。
对于这门科目，学生必须掌握一定的数学思想和方法。
下面就高考数学的思想方法进行总结。
首先，高考数学要注重培养分析问题的能力。
在高考数学中，往往会出现一些复杂的问题。
要解决这些问题，首先要善于分析问题，找到问题的关键所在。
只有准确地把握问题的本质，才能从根本上解决问题。
其次，高考数学需要注重整体思维。
在高考数学中，往往会出现一些综合性的题目，需要学生将各个知识点进行整合运用。
这就需要学生具备整体思维的能力，能够从整体上把握问题，并将各个知识点进行合理的组合和运用。
再次，高考数学要求学生具备系统化的思维能力。
在高考数学中，不同的题目之间存在着一定的联系和相互影响。
只有将不同的知识点进行系统化的整合和运用，才能够更好地解决问题。
因此，学生应该注重培养系统化思维的能力，将各个知识点有机地结合起来。
此外，高考数学还要求学生善于寻找规律。
在高考数学中，有很多题目是按照一定的规律进行设计的。
只有学生具备寻找规律的能力，才能够更好地解决这些问题。
此外，高考数学还要求学生具备抽象思维的能力。
在高考数学中，往往会遇到一些抽象的概念和思想。
只有学生具备抽象思维的能力，才能够更好地理解和运用这些概念和思想。
最后，高考数学还要求学生进行逻辑推理。
在高考数学中，很多题目需要学生进行逻辑推理，从而得出最终的结论。
只有学生具备严密的逻辑推理能力，才能够在有限的时间内完成题目，确保答案的准确性。
综上所述，高考数学的思想方法包括分析问题能力、整体思维能力、系统化思维能力、寻找规律能力、抽象思维能力和逻辑推理能力。
只有学生在这些方面都有一定的能力，才能够在高考数学中取得好的成绩。
因此，学生在备考过程中应该注重培养这些思维方法，提高自己的解题能力。
高考数学解题思想秘籍--指导数学解题的七个数学思想(325张)
就可以得到 A a 1 a 1.
下面研究第(Ⅱ)问. 1 3 2 3 1 3 2 关于 f x 2 x x 的方程可以化为 4 x ax x 2 x x . 3 3 3 解得
x 0 和 x 2 ax 2 0 .
由于 a 2 8 0 ,所以方程 x 2 ax 2 0 有两个非零实根 x1 , x 2 .
①
把 a 2 8 看作关于 a 的函数 T a a 2 8 , 则①式等价于
m 2 tm 1 Tmax a
②
由于 a A ,则 T a a 2 8 1 8 3 ,从而②式转化为
m 2 tm 1 3,
即
m 2 tm 2 0
这些数学思想的名称与通常学习的数学概念或数学方法的名称有一些虽然 相同,但是,数学概念和数学方法本身并不等于数学思想,它们之间有联系,又有区 别,这些区别主要表现在不同的层次上.例如,学习了函数的定义和性质,并能基本 运用,并不一定具备函数思想,当题目明确了所研究的对象是函数时,你可能会想 到运用这个函数的性质去解决问题,如果没有明确所研究的对象是函数的时候， 你是否想到用函数与变化的观点去思考与解决问题呢？又如，解方程中的消元 法，恒等变形中的配方法，三角函数中的诱导公式，几何中的割补法等都是把问 题向简单方向转化的具体方法，是化归与转化思想的具体体现，但是，化归与转 化思想相对于消元法，配方法，诱导公式和割补法等来说，具有较高的层次。这 就是说， 数学中的一些具体方法都是在数学思想的指导下产生的， 我们在解题的 时候，如果能够站在数学思想的高度，抓住数学中最本质的东西去思考，就会高 屋建瓴，就会使解题更加科学与合理，就会使解题从被动变为主动，就会形成较 为完善的解题系统.
高考数学十大思想方法总结
高考数学十大思想方法总结高考数学是极富挑战性的科目，其复杂性和抽象性要求学生具备一定的思想方法。
下面是高考数学的十大思想方法的总结。
首先，归纳思想方法。
高考数学试题通常具有一定的规律性，学生可以通过观察、分析和总结题目的特点，把握题目的解题思路和方法。
其次，抽象思想方法。
高考数学试题中经常出现的问题是把具体问题转化为抽象问题。
学生需要将具体问题通用化，抽象出问题的本质和关键，从而解决问题。
再次，逻辑思想方法。
高考数学试题要求学生具备较强的逻辑思维能力，需要学生运用合理的逻辑推理，从而找到解题的关键。
第四，辅助构思方法。
高考数学试题中有很多问题需要用图形或表格来辅助构思。
学生需要善于运用这些辅助工具，从而更好地解答问题。
第五，推理证明思想方法。
高考数学试题中经常要求学生进行推理证明，学生需要掌握常用的证明方法和技巧，从而能够灵活运用。
第六，类比思想方法。
高考数学试题中往往会涉及到不同的知识点之间的联系，学生可以通过类比的方式，将所学的知识点应用到其他相关的问题上。
第七，质疑思想方法。
高考数学试题中有时候会涉及到一些陷阱或迷惑性的信息，学生需要具备质疑和排除错误答案的能力，从而找到正确的解题方法。
第八，分解思想方法。
高考数学试题往往较为复杂，学生需要将问题分解为若干个小问题，逐个解决，最后得到整体解答。
第九，递推思想方法。
高考数学试题中有很多问题可以通过递推法解决，学生需要善于发现问题的递推规律，从而得到通用解答。
最后，理论与实践相结合的思想方法。
高考数学试题要求学生既要具备扎实的理论知识，又要能够灵活运用于实际问题中，学生需要学会将理论知识与实际问题相结合。
综上所述，高考数学的思想方法有归纳、抽象、逻辑、辅助构思、推理证明、类比、质疑、分解、递推和理论与实践相结合。
学生在备考过程中应该灵活运用这些思想方法，从而提高解题能力和应试能力。
高考数学十大思想方法总结
高考数学十大思想方法总结高考数学十大思想方法总结数学是一门抽象而符号化的学科，它要求学生具备良好的逻辑思维和抽象推理能力。
为了帮助高考学生更好地应对数学考试，以下我总结了高考数学十大思想方法，希望能对广大考生有所帮助。
第一，联系实际。
数学是脱离实际生活而存在的学科，但我们学习数学的目的是为了应用于实际生活中。
因此，在解题过程中，我们要善于提取和建立实际情境，将抽象的数学问题归结为具体的实际问题，从而更好地理解和解决数学问题。
第二，由易到难。
数学知识呈递进关系，前面的知识是后面知识的基础。
因此，在学习和解题过程中，要善于由简单的问题开始，逐步深入，扩展思路，由易到难地解决问题。
尤其是考试中，遇到难题时，也要先从简单的题目入手，逐渐逼近难题，从而更好地解决难题。
第三，运用多种解法。
数学问题的解题方法不止一个，有时候，题目所要求的是用一种特定的方法来解决，有时候则要求学生运用多种方法进行求解。
因此，在解题过程中，要灵活运用各种解题方法，善于发现问题的多种解法，使解题方法更加多样化，更加灵活。
第四，注重动手实践。
数学是一门实践性很强的学科，理论结合实际，只有通过实际操作，才能更好地理解和掌握数学知识。
因此，我们要注重动手实践，进行数学推导和计算，做好数学练习题，运用数学方法解决实际问题，通过实践来加深对数学知识的理解和掌握。
第五，善于找到规律。
数学问题往往有一定的规律性，善于找到规律是解决数学问题的关键。
在解题过程中，要仔细观察数学问题，总结数列、图形、函数等的规律，做到有章可循，有据可依，从而更快地解决问题。
第六，运用数学语言。
数学是一门独特的语言，要想理解和解决数学问题，就需要掌握数学术语和公式符号，并善于运用数学语言描述和分析问题，通过数学语言的运用来深入思考和解决数学问题。
第七，善于思维导图。
数学问题的解决往往需要多个步骤和过程，善于运用思维导图可以更好地组织思路，提升解题效率。
在解题过程中，可以通过画思维导图的方式，将思路清晰地整理出来，从而更好地解决数学问题。
高考数学：数学解题七大基本思想方法
高考数学：数学解题七大基本思想方法高考数学：数学解题七大基本思想方法数学学科有自己独特的思维模式，所以在解决数学问题时，就要以数学的基本方法去考虑，这样才能在最有效的时间内答对题目。
第一：函数与方程思想(1)函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象，概括与提炼，在研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容时，起着重要作用(2)方程思想是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础注：高考把函数与方程思想作为七种重要思想方法重点来考查第二：数形结合思想(1)数学研究的对象是数量关系和空间形式，即数与形两个方面(2)在一维空间，实数与数轴上的点建立一一对应关系在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系数形结合中，选择、填空侧重突出考查数到形的转化，在解答题中，考虑推理论证严密性，突出形到数的转化第三：分类与整合思想(1)分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法(2)从具体出发，选取适当的分类标准(3)划分只是手段，分类研究才是目的(4)有分有合，先分后合，是分类整合思想的本质属性(5)含字母参数数学问题进行分类与整合的研究，重点考查学生思维严谨性与周密性第四：化归与转化思想(1)将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化为较易问题，将未解决问题化归为已解决问题(2)灵活性、多样性，无统一模式，利用动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途径与方法(3)高考重视常用变换方法：一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化第五：特殊与一般思想(1)通过对个例认识与研究，形成对事物的认识(2)由浅入深，由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论(3)由特殊到一般，再由一般到特殊的反复认识过程(4)构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点、确立特殊位置，利用特殊值、特殊方程(5)高考以新增内容为素材，突出考查特殊与一般思想必成为命题改革方向第六：有限与无限的思想(1)把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路(2)积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决的方向(3)立体几何中求球的表面积与体积，采用分割的方法来解决，实际上是先进行有限次分割，再求和求极限，是典型的有限与无限数学思想的应用(4)随着高中课程改革，对新增内容考查深入，必将加强对有限与无限的考查第七：或然与必然的思想(1)随机现象两个最基本的特征，一是结果的随机性，二是频率的稳定性(2)偶然中找必然，再用必然规律解决偶然(3)等可能性事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验、随机事件的分布列、数学期望是考查的重点。
高考数学解题方法之数学思想指引
高考数学解题方法之数学思想指引如今的高考，考的并不是谁的逻辑思维强，也不是谁的根底知识强；而是在考谁能最快、最准做出题来，得更多的分，可见掌握应试教育的技巧是多么的重要。
下面是为大家带来的高考数学题解法之数学思想指引，欢送阅读。
在数学的知识和技能中，蕴涵着具有普遍性的数学思想，它是数学的精髓和灵魂，是知识转化为能力的桥梁，是人们对数学事实与理论，经过高度提炼概括后产生的本质认识，是数学知识和方法产生的根根源泉，是解决数学问题的指路明灯. 对数学思想的应用，是数学学习走向更深层次的一个标志. 高考试题中也蕴涵了丰富的数学思想，只有挖掘其中的思想，才能深入认识试题，透彻分析试题，顺利解答试题.本文就以xx年浙江数学高考文科卷第16题为例，浅谈在数学思想指引下的解法探究.点评：此题虽小，却是亮点.看似平常，却是丰富多彩.入口宽，方法多，蕴涵着丰富的数学思想.构造法是一种极其重要的数学思想方法，其本质特征是构造，通过观察、分析条件和需要解决的问题，联系已有的知识，构造出适当的数学式子或数学模型，来解决问题.x，y∈R，x2+y2≥2xy，当且仅当x=y时取等.推论：x，y∈R，x2+y2≥，当且仅当x=y时取等.因为（b+c）2≤2（b2+c2），所以a2≤2-2a2，所以3a2≤2，所以-≤a≤，所以a的最大值是，当且仅当b=c时取等.所以bc==a2-. 因为b，c∈R，b2+c2≥2bc，所以a2≤2-2a2，所以3a2≤2，所以-≤a≤，所以a的最大值是，当且仅当b=c时取等.二维柯西不等式：任取实数x1，x2，y1，y2，（x21+x22）（y21+y22）≥（x1y1+x2y2）2，当且仅当xi=kyi（i=1，2）时取等.由柯西不等式可得（b2+c2）（12+12）≥（b+c）2，所以a2≤2-2a2，所以3a2≤2，所以-≤a≤，所以a的最大值是，当且仅当b=c时取等.探究视角2 函数与方程思想方法的应用函数与方程思想是数学本质的思想之一. 函数思想是指利用函数的概念与性质去分析问题、转化问题、解决问题.方程思想是指从问题的数量关系入手，用数学语言问题中的条件转化为数学模型，如方程、不等式、方程与不等式组等，然后通过解方程或不等式组使问题得到解决.因为a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以b+c=-a，b2+c2=1-a2，所以bc==a2-，所以b，c为一元二次方程x2+ax+a2-=0的两个分布在（-1，1）上的实根.所以Δ=a2-4a2-≥0，1+a+a2->0，1-a+a2->0，-1<-<1，所以a2≤，所以-≤a≤，所以a的最大值是.点评：此法是将条件转化为一元二次方程，常用判别式来探求根的情况，但要注意根的分布.因为a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以c= -（a+b）.所以（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+bc+ac），所以ab+bc+ac=-.消掉c得，a2+b2+ab-=0.因为a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以b+c=-a，b2+c2=1-a2.所以令b=-+x，c=--x，x∈R，那么-+x+--x=1-a2，x∈R.所以a2=（1-2x2），x∈R，所以a2≤，所以-≤a≤，所以a的最大值是.因为a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以b+c=-a，b2+c2=1-a2，b=sinθ，c=cosθ，那么-a=b+c=（sinθ+cosθ）=·sinθ+.所以sinθ+= ，所以≤1.所以a2≤，所以-≤a≤，所以a的最大值是.点评：换元法又称辅助元素法、变量代换法，即通过引进新的变量，可以将分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者将条件与结论联系起来，或者变为熟悉的形式，从而将复杂的计算和证明简化.华罗庚先生说过：“数与形本是两依倚，焉能分作两边飞. 数缺形时少直观，形少数时难入微.” 数形结合是一种重要的数学思想，运用时关键在于数形相互转化，即用代数方法处理几何问题，或通过构图解决代数问题，数形结合在解题中的应用不仅能整合学生相关的数学知识，而且能培养学生的创新思维.因为a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以b+c=-a，b2+c2=1-a2，所以点（b，c）在以原点为圆心，为半径的圆上，同时又在直线b+c+a=0上，那么由直线与圆的位置关系可得：圆心距d=≤.所以a2≤，所以-≤a≤，所以a的最大值是.因为a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以c= -（a+b），所以（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+bc+ac），所以ab+bc+ac=- 消掉c得，a2+b2+ab-=0？圯a2+b2-=-ab. 以a，b，为边构造三角形，令其所对角分别为A，B，D，那么由余弦定理可得，cosD==.（1）假设ab>0，那么cosD===-，那么D=，在△ABD中由正弦定理可得，=，那么a=sinA，A∈0，，0 （2）假设ab<0，那么cosD===，那么D=，A+B=，在△ABD中由正弦定理可得，=，那么a=sinA，A∈0，，0 由（1）（2）可得a的最大值是.探究视角4 特殊化思想的应用根据矛盾论的根本原理，我们在认识事物和解决问题的过程中，必须坚持具体问题具体分析. 也就是在矛盾普遍性原理的指导下，具体分析矛盾的特殊性.数学问题，特别是高考试题变化无穷、深浅莫测、精彩纷呈. 在解题中，假设能充分挖掘隐藏于问题之中或与之相关的特殊值、特殊点、特殊图形、特殊位置和特殊结构，那么可防止烦琐的运算、作图和推理，得到意想不到的、新颖独特的最正确解法. 这种利用特殊因素，采取特殊方法，解决特殊问题的思维方法，我们称之为特殊化思想方法. 每年的高考题中（尤其是选择题和填充题）都有几道题可直接运用特殊化思想方法获解.因为a+b+c=0，a2+b2+c2=1，令b=c，那么a=-2b，a2=1-2b2.所以消掉b得a2=1-2，所以a2=，所以a=±，所以a的最大值是.数学思想方法不是操作程序，没有具体的步骤，需要感悟、理解，但是，没有数学思想方法就找不到解题方向. 在上述解法探究中，要感悟试题中所蕴涵的数学思想，在上述四个视角中表达了构造思想、函数思想、方程思想、换元思想、数形结合思想、特殊化思想. 近年的高考越来越重视对数学思想方法的考查. 随着试题难度的上升，数学思想方法的作用会越来越重要.。
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高考数学题解法之数学思想指引
数学思想是人们对数学事实与理论经过高度提炼概括后产生的本质认识，是数学知识和方法产生的根本源泉，是解决数学问题过程中的指路明灯. 一道好的试题，不在于华丽的“包装”，而在于本身所蕴涵的思想方法.
在数学的知识和技能中，蕴涵着具有普遍性的数学思想，它是数学的精髓和灵魂，是知识转化为能力的桥梁，是人们对数学事实与理论，经过高度提炼概括后产生的本质认识，是数学知识和方法产生的根本源泉，是解决数学问题的指路明灯. 对数学思想的应用，是数学学习走向更深层次的一个标志. 高考试题中也蕴涵了丰富的数学思想，只有挖掘其中的思想，才能深入认识试题，透彻分析试题，顺利解答试题.本文就以2014年浙江数学高考文科卷第16题为例，浅谈在数学思想指引下的解法探究.
试题呈现：已知实数a，b，c满足a+b+c=0，a2+b2+c2=1，则a的最大值是_______. （2014年浙江省数学高考文科试卷第16题）
点评：此题虽小，却是亮点.看似平常，却是丰富多彩.入口宽，方法多，蕴涵着丰富的数学思想.
探究视角1 构造思想方法的应用
构造法是一种极其重要的数学思想方法，其本质特征是构造，通过观察、分析已知条件和需要解决的问题，联系已有的知识，构造出适当的数学式子或数学模型，来解决问题.
1. 构造重要不等式
x，y∈R，x2+y2≥2xy，当且仅当x=y时取等.
推论：x，y∈R，x2+y2≥，当且仅当x=y时取等.
解法1：因为a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以b+c=-a，b2+c2=1-a2，
因为（b+c）2≤2（b2+c2），所以a2≤2-2a2，所以3a2≤2，
所以-≤a≤，所以a的最大值是，当且仅当b=c时取等.
解法2：因为a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以a2=1-（b2+c2）≤1-=1-，所以a2≤2-2a2，所以3a2≤2，所以-≤a≤，当且仅当b=c时取等.
解法3：因为a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以b+c=-a，b2+c2=1-a2，
所以bc==a2-. 因为b，c∈R，b2+c2≥2bc，
所以a2≤2-2a2，所以3a2≤2，所以-≤a≤，
所以a的最大值是，当且仅当b=c时取等.
2. 构造柯西不等式
二维柯西不等式：任取实数x1，x2，y1，y2，（x21+x22）（y21+y22）≥（x1y1+x2y2）2，
当且仅当xi=kyi（i=1，2）时取等.
解法4：因为a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以b+c=-a，b2+c2=1-a2.
由柯西不等式可得（b2+c2）（12+12）≥（b+c）2，所以a2≤2-2a2，所以3a2≤2，所以-≤a≤，所以a的最大值是，当且仅当b=c时取等.
探究视角2 函数与方程思想方法的应用
函数与方程思想是数学本质的思想之一. 函数思想是指利用函数的概念与性质去分析问题、转化问题、解决问题.方程思想是指从问题的数量关系入手，用数学语言问题中的条件转化为数学模型，如方程、不等式、方程与不等式组等，然后通过解方程或不等式组使问题得到解决.
解法5：（构造方程）
因为a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以b+c=-a，b2+c2=1-a2，所以bc==a2-，所以b，c为一元二次方程x2+ax+a2-=0的两个分布在（-1，1）上的实根.
所以Δ=a2-4a2-≥0，1+a+a2->0，1-a+a2->0，-1<-<1，
所以a2≤，所以-≤a≤，所以a的最大值是.
点评：此法是将已知条件转化为一元二次方程，常用判别式来探求根的情况，但要注意根的分布.
解法6：（消元，减少变量）
因为a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以c= -（a+b）.
所以（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+bc+ac），所以ab+bc+ac=-.
消掉c得，a2+b2+ab-=0.
解法7：（增量换元，构造函数）
因为a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以b+c=-a，b2+c2=1-a2.
所以令b=-+x，c=--x，x∈R，则-+x+--x=1-a2，x∈R.所以a2=（1-2x2），x∈R，所以a2≤，所以-≤a≤，所以a的最大值是.
解法8：（三角换元）
因为a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以b+c=-a，b2+c2=1-a2，b=sinθ，c=cos θ，则-a=b+c=（sinθ+cosθ）=·sinθ+.
所以sinθ+= ，所以≤1.
所以a2≤，所以-≤a≤，所以a的最大值是.
点评：换元法又称辅助元素法、变量代换法，即通过引进新的变量，可以将分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者将条件与结论联系起来，或者变为熟悉的形式，从而将复杂的计算和证明简化.
探究视角3 数学结合思想
华罗庚先生说过：“数与形本是两依倚，焉能分作两边飞. 数缺形时少直观，形少数时难入微.”数形结合是一种重要的数学思想，运用时关键在于数形相互转化，即用代数方法处理几何问题，或通过构图解决代数问题，数形结合在解题中的应用不仅能整合学生相关的数学知识，而且能培养学生的创新思维.
解法9：（坐标思想，直线与圆的位置关系）
因为a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以b+c=-a，b2+c2=1-a2，
所以点（b，c）在以原点为圆心，为半径的圆上，同时又在直线b+c+a=0上，则由直线与圆的位置关系可得：圆心距d=≤.
所以a2≤，所以-≤a≤，所以a的最大值是.
解法10：（构造三角形，利用正余弦定理来解三角形）
因为a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以c= -（a+b），
所以（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+bc+ac），所以ab+bc+ac=-
消掉c得，a2+b2+ab-=0？圯a2+b2-=-ab. 以a，b，为边构造三角形，令其所对角分别为A，B，D，则由余弦定理可得，cosD==.
（1）若ab>0，则cosD===-，则D=，在△ABD中由正弦定理可得，=，则a=sinA，A∈0，，0 （2）若ab<0，则cosD===，则D=，A+B=，在△ABD中由正弦定理可得，=，则a=sinA，A∈0，，0 由（1）（2）可得a的最大值是.
探究视角4 特殊化思想的应用
根据矛盾论的基本原理，我们在认识事物和解决问题的过程中，必须坚持具体问题具体分析. 也就是在矛盾普遍性原理的指导下，具体分析矛盾的特殊性.数学问题，特别是高考试题变化无穷、深浅莫测、精彩纷呈. 在解题中，若能充分挖掘隐藏于问题之中或与之相关的特殊值、特殊点、特殊图形、特殊位置和特殊结构，则可避免烦琐的运算、作图和推理，得到意想不到的、新颖独特的最佳解法. 这种利用特殊因素，采取特殊方法，解决特殊问题的思维方法，我们称之为特殊化思想方法. 每年的高考题中（尤其是选择题和填充题）都有几道题可直接运用特殊化思想方法获解.
解法11：特殊值法
因为a+b+c=0，a2+b2+c2=1，令b=c，则a=-2b，a2=1-2b2.
所以消掉b得a2=1-2，所以a2=，所以a=±，
所以a的最大值是.
数学思想方法不是操作程序，没有具体的步骤，需要感悟、理解，但是，没有数学思想方法就找不到解题方向. 在上述解法探究中，要感悟试题中所蕴涵的数学思想，在上述四个视角中体现了构造思想、函数思想、方程思想、换元思想、数形结合思想、特殊化思想. 近年的高考越来越重视对数学思想方法的考查. 随着试题难度的上升，数学思想方法的作用会越来越重要.。