最新高考理科数学精准模拟卷(六)(详解答案答题卡)
2020年普通高等学校招生全国统一考试模拟六数学理试题Word版含答案
2017年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题数学(理科)(六)第丨卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合A = {xI(x-2)(x +1) <0},5 = {x G ZI-1 <^< 1},则=A. {—1,0}B. {0,1}C. {—1,0,1}D. {—1,2} 2•方程〃 + 6x +13 = 0的一个根是A. —3 + 2i B・ 3 + 2/ C. —2 + 3/ D・ 2 + 3z3.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(-co,0)上单调递增，若实数"满足/(2M)>/(-V2),实数"的取值范围是A. B.4.如图，设区域Z) = {(^.y)IO<A：<l,O<y<l},向区域内随机投一点，且投入到区域内任一点都是等可能的，则点落到由曲线y = ^与y =X2所围成阴影区域内的概率是A. -B. -C.丄D.-6 3 2 35.执行如图所示的程序框图，若输出的5 = 86,则判断框内的正整数的值为A.7B. 6,7C. 6,7,8D. &95=1*=■0.6.向量讥满足p +片=2辰，且(方―可门=0,则方』的夹角的余弦值为j=r+2*A. 0B. -C. -D.—3 2 2G古束)第II 卷 (非选择题共90分)二.填空题：本大题共4小题,每小题5分，共20分.10.在体积为*的三棱锥S 一 ABC 中.AB = BC = 2.ZABC = 120 ,SA = SC 9且平面 SAC 丄平面ABC 9若该三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积为2 211.已知点人迅是双曲线C$-计=1(“>0小>0)的左、右焦点，0为坐标原点，点P 在双曲线C 的右支上，且满足再鸟= 引13|啓则双曲线C 的离心率的取值范围为A. (1,+co)B.1 — 11 — xL X G (—2 ),则函数 g(X)= f(X)-COS7TX 在区间[0,8] 3/(x-2),xe[2,+oo) 内所有零点的和为 A. 16 B. 30 C. 327. 已知等差数列｛©｝中，S “为其前"项和，若= an 2+4“+a—4(d w R),记数列、孑、n “的前项和为人，则心=&已知aj^c 均为正数，且(d+c)(Z? + c) = 2,则a + 2b+3c 的最小值是A. y/2B. 2>/2C. 4D. 89•某几何体的三视图如下图所示，且该几何体的体积为 芈则正视图和的值为A” B. 2 亦C. £2D.- 320逅兀A. -----------3B.芈C. 20龙 D&12•已知函数/(兀)=彳D. 40C.D.\+y-2<013.已知满足约束条件x-2y-2<0,若2x+y + A:>0恒成立，则实数斤的取值范2x-y+2>0围为________________ .14.若(1 — 2x) = a()+ ciyX + • • • +(x € R) 9则q + 2d? + …+ 201 厶勺仍= _______ •2 215.已知点A,F分别是椭圆C:-^- + p- = l(«>/7>0)的上顶点和左焦点，若AF与圆O:x2+y2=4相切于点T,且点T是线段AF靠近点A的三等分点，则椭圆C的标准方程为________________ .16.若数列｛①｝满足a2一% > a3 -①> 5 -佝> …〉冷+1 -则称数列｛。
高考模拟试题(六)数学(后附参考答案解析)
绝密★启用前高考模拟试题（六）数学时间：120分钟分值：150分注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题：“012<+-∈∃ax x R x ，”的否定为()01.2≥+-∈∃ax x R x A ，01.2≥+-∈∀ax x R x B ，01.2<+-∈∀ax x R x C ，01.2>+-∈∃ax x R x D ，2.抛物线x y 22=的准线方程是()1.-=x A 1.=x B 21.-=x C 21.=x D 3.若点2,2(在幂函数αx x f =)(的图像上，则=)41(f ()21.A 1.B 2.C 4.D 4.在10)(a x +的展开式中，7x 的系数为15，则=a ()21.-A 21.B 1.-C 1.D 5.已知函数4(sin 31)(2π+-=x x f ，则)(x f 的最小正周期为()2.πA π.B 23.πC π2.D 6.已知点C 在直线AB 上运动，O 为平面上任意一点，且)(4+∈+=R y x OB y OA x OC ，，则y x ⋅的最大值是()41.A 81.B 161.C 321.D 7.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何?”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤?”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为M ，现将该金杖截成长度相等的10段，记第i 段的重量为)10,,2,1(⋅⋅⋅=i a i ，且⋅⋅⋅<<21a a 10a <，若M a i 548=，则=i ()4.A 5.B 6.C 7.D 8.在ABC △中，角C B A ，，的对应边分别为c b a ，，，已知222==c b ，，且4π=C ，则ABC △的面积为()31.+A 431.+B 62.+C 462.+D 9.设椭圆1222=+y x 的右焦点是F ，右准线为L ，点L A ∈，线段AF 交C 于点F .若FB FA 3=，=()2.A 3.B 2.C 3.D 10.将函数)32sin()(π+=x x f 向右平移32π个单位，再将所得的函数图象上的各点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数)(x g y =的图象，则函数)(x g y =与x x x ，32ππ=-=轴围成的图形面积为为()21.A 23.B 231.+C 231.-D 11.已知直三棱柱111C B A ABC -的各棱长均为1，棱1BB 所在直线上的动点M 满足1BB BM λ=，AM 与侧面C C BB 11所成的角为θ，若]2,22[∈λ，则θ的取值范围是()]6,12[.ππA 4,6[.ππB 3,4[.ππC ]125,3[.ππB 12.已知x a y =（0>a 且1≠a ）是定义在R 上的单调递减函数，记a 的所有可能取值构成集合A ；),(y x P 是椭圆191622=+y x 上一动点，点),(111y x P 与点P 关于直线1+=x y 对称，记411-y 的所有可能取值构成集合B ，若随机地从集合B A ，中分别抽出一个元素1λ，2λ，则21λλ>的概率是()21.A 31.B 32.C 43.D 第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：把答案填在相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．13.已知iibi a R b a 21711--=+∈，，(i 是虚数单位)，则=+b a ________.14.已知双曲线经过点22,1(，其一条渐近线方程为x y 2=，则该双曲线的标准方程为________.15.如框图所示，若13)(2-=x x f ，取1.0=ε，则输出的值为_______.16.已知{}]4,3[sin 2)(|上是增函数在ππ-==ax x f a M ，}013|{|1|有实数解方程=+-=--b b N x 有实数，设N M D =，且定义在R 上的奇函数mx nx x f ++=2)(在D 内没有最小值，则m 的取值范围是________.三、解答题：共70分。
2024届高三数学仿真模拟卷(全国卷)(理科)(全解全析)
2024年高考第三次模拟考试数学（理科）·全解全析（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}24A x x =-≤≤，{}260B x x x =-≥，则A B = （）A ．[]2,0-B ．[]0,4C ．[]2,6-D ．[]4,6【答案】A【分析】首先解一元二次不等式求出集合B ，再根据交集的定义计算可得.【详解】由260x x -≥，即()60x x -≥，解得6x ≥或0x ≤，所以{}(][)260,06,B x x x ∞∞=-≥=-⋃+，又{}24A x x =-≤≤，所以[]2,0A B ⋂=-.故选：A 2．已知3i 2z a =（R a ∈，i 是虚数单位），若21322z =，则=a （）A ．2B ．1C ．12D ．14【答案】C【分析】运用复数代数运算及两复数相等的性质求解即可.【详解】由题意知，22231(i)i=i2422z a a=+=-+，所以23142a⎧-=⎪⎪=，解得12a=.故选：C.3．如图，已知AM是ABC的边BC上的中线，若AB a=，AC b=，则AM等于（）A．()12a b-B．()12a b--C．()12a b+D．()12a b-+【答案】C【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得.【详解】因为AM是ABC的边BC上的中线，所以12CM CB=，所以12AM AC CM AC CB=+=+()()()111222AC A CB A AC aBA b=+-=+=+.故选：C4．已知函数()()πtan0,02f x xωϕωϕ⎛⎫=+><<⎝⎭的最小正周期为2π，直线π3x=是()f x图象的一条对称轴，则()f x的单调递减区间为（）A．()π5π2π,2πZ66k k k⎛⎤-+∈⎥⎝⎦B．()5π2π2π,2πZ33k k k⎛⎤--∈⎥⎝⎦C．()4ππ2π,2πZ33k k k⎛⎤--∈⎥⎝⎦D．()π2π2π,2πZ33k k k⎛⎤-+∈⎥⎝⎦【答案】B【分析】根据()()πtan0,02f x xωϕωϕ⎛⎫=+><<⎝⎭的最小正周期确定ω的值，根据函数的对称轴求出ϕ，结合正切函数的单调性，列出不等式，即可求得答案.【详解】由于()()πtan 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的图象是将()tan y x ωϕ=+的图象在x 轴下方部分翻折到x 轴上方，且()tan y x ωϕ=+π0,02ωϕ⎛⎫><<⎪⎝⎭仅有单调递增区间，故()()tan f x x ωϕ=+和()tan y x ωϕ=+的最小正周期相同，均为2π，则π12π,2ωω=∴=，即()1tan 2f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又直线π3x =是()f x 图象的一条对称轴，则1π1π,Z 232k k ϕ⋅+=∈，即1ππ,Z 26k k ϕ=-∈，结合π02ϕ<<，得π3ϕ=，故()1πtan 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令π1πππ,Z 223k x k k -<+≤∈，则5π2π2π2π,Z 33k x k k -<≤-∈，即()f x 的单调递减区间为()5π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦，故选：B5．已知直线l 过点()1,1A 交圆22:4O x y +=于,C D 两点，则“CD =l 的斜率为0”的（）A ．必要而不充分条件B ．充分必要条件C ．充分而不必要条件D ．即不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分性、必要性的定义，结合直线的斜率是否存在进行判断即可.【详解】当直线的斜率等于0时，直线的方程为1y =，代入方程224x y +=中，得x =，显然CD =；当直线的不存在斜率时，直线的方程为1x =，代入方程224x y +=中，得y =CD =因此是必要而不充分条件，故选：A6．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行唱歌比赛，决出第一名到第五名．丙和丁去询问成绩，回答者对丙说：很遗憾，你和丁都没有得到冠军，对丁说：你当然不会是最差的从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（）A ．24种B ．54种C ．96种D ．120种【答案】B【分析】根据题意，分2种情况讨论：①丙是最后一名，则丁可以为第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，②丙不是最后一名，丙丁需要排在第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，由加法原理计算可得答案．【详解】根据题意，丙丁都没有得到冠军，而丁不是最后一名，分2种情况讨论：①丙是最后一名，则丁可以为第二、三、四名，即丁有3种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有33A 6=种情况，此时有1863=⨯种名次排列情况；②丙不是最后一名，丙丁需要排在第二、三、四名，有23A 6=种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有33A 6=种情况，此时有6636⨯=种名次排列情况；则一共有361854+=种不同的名次情况，故选：B ．7．函数()πln sin 2x x f x x⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=的部分图象大致为（）A ．B ．C．D．【答案】C【分析】先求出函数的定义域和奇偶性，排除BD ，再求出特殊点的函数值，得到答案.【详解】()πln sin ln cos 2x x x x f x x x⎛⎫⋅- ⎪⋅⎝⎭==定义域为()(),00,∞-+∞U ，且()()()ln cos ln cos x x x x f x f x x x-⋅-⋅-==-=--，所以函数()f x 是奇函数，图象关于原点中心对称，排除B 、D ．又()ln 2cos 2202f ⋅=<，故A 错误.故选：C ．8．祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．例如，可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为R 的圆柱与半径为R 的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R ，高为R 的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面α去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用平行于半球底面的平面α去截半径为R 的半球，且球心到平面α，则平面α与半球底面之间的几何体的体积是（）A ．3π24R B ．3π24R C ．3π12R D ．3π12R 【答案】C 【分析】分别求得面α截圆锥时所得小圆锥的体积和平面α与圆柱下底面之间的部分的体积，结合祖暅原理可求得结果.【详解】 平面α截圆柱所得截面圆半径2r =，∴平面α截圆锥时所得小圆锥的体积2311ππ3212V r R R =⋅=，又平面α与圆柱下底面之间的部分的体积为232πV R R R =根据祖暅原理可知：平面α与半球底面之间的几何体体积33321πππ21212V V V R R R =-=-=.故选：C.9．已知函数()21e 3ln ,ln ,ln ,ln 222f x x a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c<a<bD ．a c b<<【答案】B【分析】用定义证明函数()f x 的奇偶性及在()0,1上的单调性，利用函数()f x 的奇偶性及单调性，对数函数ln y x =的性质及对数运算可得结果.【详解】因为函数()f x 的定义域为{}0x x ≠，又()()ln ln f x x x f x -=-==，所以()f x 为偶函数，当01x <<时，任取12x x >，()()12121221ln ln ln ln ln ln 0f x f x x x x x x x -=-=-=-<，即()()12f x f x <，所以()f x 在()0,1上为减函数，因为31ln2ln02>>>，所以()()()113ln ln2ln2ln2ln 22a f f f f f c-⎛⎫⎛⎫===-=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即a c <，设3401,1x x <<<，则()4444ln ln ln f x x x x ===，()3333ln ln ln f x x x x ===-，若()()34f x f x =，则34ln ln x x -=，所以341x x =，因为2e ln 2ln212=->，所以22e 11ln e 22ln2ln 2b f f f ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭，又()21ln21ln202ln22ln2--=>--，即11ln202ln2>>>-，所以()1ln22ln2f f ⎛⎫< ⎪-⎝⎭，即b a <，故选：B.10．已知数列{}n a 满足1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，若81a=，1a 的所有可能取值构成集合M ，则M 中的元素的个数是（）A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个【答案】B 【分析】由81a=，利用递推关系，分类讨论逆推出1a 的不同取值，进而可得答案.【详解】若81a =，又1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，根据上述运算法进行逆推，可得72a =，64a =，所以58a =或51a =；若58a =，则4316,32a a ==或35a =；当332a =时，2164,128a a ==或121a =；若35a =时，2110,20a a ==或13a =；当51a =，则4322,4,8a a a ===或21a =；当28a =时，116a =；当21a =时，12a =，故81a=时，1a 的所有可能的取值集合{}2,3,16,20,21,128M =即集合M 中含有6个元素．故选：B11．如图，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，点A 在C 上，点B 在y 轴上，A ，2F ，B 三点共线，若直线1BF1AF的斜率为C 的离心率是（）AB ．32CD ．3【答案】B【分析】根据斜率及双曲线的对称性得12BF F △为等边三角形，再根据同角间关系求解三角函数值，进而用正弦定理求出121410,33AF c AF c ==，由双曲线定义可得423c a =，从而得到离心率.【详解】由题意，直线1BF12π3BF F ∴∠=，又12BF BF =，所以12BF F △为等边三角形，故12122BF BF F F c ===，2112π2π,33BF F F F A ∠=∠=，在12AF F △中，21tan 0F F A ∠>，则21F F A ∠为锐角，则212111sin 14F F A F F A ∠=∠=，212πsin sin 3A F F A ⎛⎫=+∠= ⎪⎝⎭由正弦定理，12121221sin sin sin F F AF AF AF F AF F A==∠∠，=∴121410,33AF c AF c ==,由122AF AF a -=，得423c a =，32c e a ∴==.故答案选：B .12．已知()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，对任意x ，y 满足()()()()()f x y f x g y g x f y -=-，且()()210f f -=≠，则下列说法正确的是（）A ．()01f =B ．函数()21g x +的图象关于点()1,0对称C ．()()110g g +-=D ．若()11f =，则()202311n f n ==∑【答案】D【分析】利用赋值法结合题目给定的条件可判断AC ，取()()2π2πsin,cos 33f x xg x x ==可判断B ，对于D ，通过观察选项可以推断()f x 很可能是周期函数，结合()()()(),f x g y g x f y 的特殊性及一些已经证明的结论，想到令1y =-和1y =时可构建出两个式子，两式相加即可得出()()()11f x f x f x ++-=-，进一步得出()f x 是周期函数，从而可求()20231n f n =∑的值.【详解】解：对于A ，令0x y ==，代入已知等式得()()()()()000000f f g g f =-=，得()00f =，故A错误；对于B ，取()()2π2πsin,cos 33f x xg x x ==，满足()()()()()f x y f x g y g x f y -=-及()()210f f -=≠，因为()3cos 2π10g ==≠，所以()g x 的图象不关于点()3,0对称，所以函数()21g x +的图象不关于点()1,0对称，故B 错误；对于C ，令0y =，1x =，代入已知等式得()()()()()11010f f g g f =-，可得()()()()110100f g g f ⎡⎤-=-=⎣⎦，结合()10f ≠得()100g -=，()01g =，再令0x =，代入已知等式得()()()()()00f y f g y g f y -=-，将()00f =，()01g =代入上式，得()()f y f y -=-，所以函数()f x 为奇函数.令1x =，1y =-，代入已知等式，得()()()()()21111f f g g f =---，因为()()11f f -=-，所以()()()()2111f f g g =-+⎡⎤⎣⎦，又因为()()()221f f f =--=-，所以()()()()1111f f g g -=-+⎡⎤⎣⎦，因为()10f ≠，所以()()111g g +-=-，故C 错误；对于D ，分别令1y =-和1y =，代入已知等式，得以下两个等式：()()()()()111f x f x g g x f +=---，()()()()()111f x f x g g x f -=-，两式相加易得()()()11f x f x f x ++-=-，所以有()()()21f x f x f x ++=-+，即：()()()12f x f x f x =-+-+，有：()()()()()()11120f x f x f x f x f x f x -+=++--+-+=，即：()()12f x f x -=+，所以()f x 为周期函数，且周期为3，因为()11f =，所以()21f -=，所以()()221f f =--=-，()()300f f ==，所以()()()1230f f f ++=，所以()()()()()()()2023111232023202311n f n f f f f f f ===++++===∑ ，故D 正确.故选：D.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，当9n nS a +取最小值时，n =.【答案】3【分析】根据n S 求得n a ，再结合对勾函数的单调性，即可求得结果.【详解】因为2n S n n =+，则当2n ≥时，()()221112n n n a S S n n n n n -=-=+----=，又当1n =时，112a S ==，满足2n a n =，故2n a n =；则9n n S a +29191222n n n n n ++⎛⎫==++ ⎪⎝⎭，又9y x x=+在()1,3单调递减，在()3,+∞单调递增；故当3n =时，9n n+取得最小值，也即3n =时，9n n S a +取得最小值.故答案为：3.14．若函数()sin 1f x x x ωω=-在[]0,2π上恰有5个零点，且在ππ[,415-上单调递增，则正实数ω的取值范围为.【答案】9542ω≤≤【分析】根据给定条件，利用辅助角公式化简函数()f x ，再利用正弦函数的性质求解即得.【详解】依题意，函数π()2sin(13f x x ω=+-，由()0f x =，得π1sin()32x ω+=，则ππ2π36x k ω+=+或π5π2π,Z 36x k k ω+=+∈，由[0,2π]x ∈，得πππ[,2π333x ωω+∈+，由()f x 在[0,2π]上恰有5个零点，得29ππ37π2π636ω≤+<，解得935412ω≤<，由3ππ22πx ω+≤-≤，得5ππ66x ωω-≤≤，即函数()f x 在5ππ[,66ωω-上单调递增，因此5ππ[,]ππ[,]41566ωω-⊆-，即45π6πω≤--，且π6π15ω≥，解得502ω<≤，所以正实数ω的取值范围为9542ω≤≤.故答案为：9542ω≤≤15．已知52345012345(23)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则123452345a a a a a -+-+=．（用数字作答）【答案】15【分析】根据条件，两边求导得到12342345415(23)2345x a a x a x a x a x +=++++，再取=1x -，即可求出结果.【详解】因为52345012345(23)x a a x a x a x a x a x +=+++++，两边求导可得12342345415(23)2345x a a x a x a x a x +=++++，令=1x -，得到23454115(23)2345a a a a a -=-+-+，即12345234515a a a a a -+-+=，故答案为：15.16．已知定义在R 上的函数()f x 满足()4()0f x f x '+>，且(01f =），则下列说法正确的是.①()f x 是奇函数②(0,),()0x f x ∃∈+∞>③41(1)e f >④0x ∀>时，41()e xf x <【答案】②③【分析】根据构造函数的规律由令()()4e xg x f x =，再结合奇函数的性质可得①，求导分析单调性和极值可得②③④.【详解】令()()4e x g x f x =，则()()()()()4444e e e 4x x x g x f x f x f x f x '''=+=+⎡⎤⎣⎦，若()f x 是奇函数，则()()f x f x -=-，取0x =时，即()00f =，但(01f =），故①错误；因为4e 0,(0,)x x >∈+∞恒成立，且()4()0f x f x '+>，所以()0g x '>恒成立，()g x 在(0,)+∞上为单调递增函数，所以()()()()()44110e 101e g g f f f >⇒>⇒>，故②正确；由②可知，③正确；因为()g x 在(0,)+∞上为单调递增函数，所以当0x >时有()()()()0,001g x g g f >==，所以()()441e 1e x xf x f x >⇒>，故④错误；故答案为：②③三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知()sin ,5sin 5sin m B A C =+ ，()5sin 6sin ,sin sin n B C C A =--垂直，其中A ，B ，C 为ABC 的内角．(1)求cos A 的大小；(2)若BC =ABC 的面积的最大值．【答案】(1)35；(2)4.【详解】（1）由()sin ,5sin 5sin m B A C =+ ，()5sin 6sin ,sin sin n B C C A =-- 垂直，得0m n ⋅=，...............1分即sin (5sin 6sin )(5sin 5sin )(sin sin )0B B C A C C A -++-=，整理得2226sin sin sin sin sin 5B C A B C +-=，...............2分在ABC 中，由正弦定理得22265b c a bc +-=，...............3分由余弦定理得2223cos 25b c a A bc +-==，所以cos A 的大小为35................5分（2）由（1）知，在ABC 中，3cos 5A =，则4sin 5A ==，...............6分由22265b c a bc +-=，得22266482555a b c bc bc bc bc ==+-≥-=，即10bc ≤，...................................................................................................8分当且仅当b c =时取等号，...................................................................................................9分因此ABC 的面积12sin 425ABC S bc A bc ==≤ ，..........................................................11分所以ABC 的面积的最大值是4.....................................................12分18．（12分）2016年10月“蓝瘦香菇”等网络新词突然在网络流行，某社区每月都通过问卷形式进行一次网上调查，现从社区随机抽取了60名居民进行调查．已知上网参与问卷调查次数与参与人数的频数分布如下表：参与调查问卷次数[)0,2[)2,4[)4,6[)6,8[)8,10[]10,12参与调查问卷人数814814106(1)若将参与调查问卷不少于4次的居民称为“关注流行语居民”，请你根据频数分布表，完成22⨯列联表，据此调查你是否有99%的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”？男女合计关注流行语8不关注流行语合计40(2)从被调查的人中按男女比例随机抽取6人，再从选取的6人中选出3人参加政府听证会，求选出的3人为2男1女的概率．附：参考公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++及附表()2P K k ≥0.1000.0500.0100.001k 2.706 3.841 6.63510.828【答案】(1)列联表见解析，有99%的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”；(2)35【详解】（1）依题意，关注流行语居民人数为81410638+++=，不关注流行语居民人数为81422+=，...................................................................................................2分所以22⨯列联表如下：男女合计关注流行语30838不关注流行语101222合计4020602K 的观测值2260(3012108)7.03 6.63540203822K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，................................................................4分所以有99%的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”...................5分（2）依题意，男居民选出406660⨯=（人），.......................................6分记为a b c d ,,,，女居民选出2人，记为,E F ，从6人中任选3人的样本空间{,,,,,,,,,,abc abd abE abF acd acE acF adE adF aEF Ω=,,,,,,,,,}bcd bcE bcF bdE bdF bEF cdE cdF cEF dEF ，共20个，.................................9分选出的3人为2男1女的事件{,,,,,,,,,,,}A abE abF acE acF adE adF bcE bcF bdE bdF cdE cdF =，共12个，...........11分所以选出的3人为2男1女的概率123()205P A ==......................................12分19．（12分）在几何体中，底面ABC 是边长为2的正三角形．⊥AE 平面ABC ，若,5,4,3AE CD BF AE CD BF ===∥∥．(1)求证：平面DEF ⊥平面AEFB ；(2)是否在线段AE 上存在一点P ，使得二面角P DF E --的大小为π3．若存在，求出AP 的长度，若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)存在；4AP =-【详解】（1）证明：如图，设,M N 分别为,EF AB 边的中点，连接,,MN DM CN ，..1分因为⊥AE 平面,,5,4,3ABC AE CD BF AE CD BF ===∥∥，所以42AE BFMN CD +===，//MN BF ,进而MN CD ∥，即四边形CNMD 为平行四边形，可得MD CN ∥，......................................3分在底面正三角形ABC 中，N 为AB 边的中点，则CN AB ⊥，......................................4分又⊥AE 平面ABC ，且CN ⊂平面ABC ，所以AE CN ⊥．由于⋂=AE AB A ，且AE AB ⊂、平面ABFE ，所以CN ⊥平面ABFE ．.....................5分因为,MD CN CN ⊥∥平面ABFE ，则MD ⊥平面ABFE ，又MD ⊂平面DEF ，则平面DEF ⊥平面AEFB ．......................................6分（2）如图，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系，则()())0,0,5,0,2,4,E D F ．设点()0,0,P t，则)()()1,1,0,2,1,0,2,4DF DE DP t =--=-=--．.................8分设平面PDF 的法向量为()1111,,n x y z = ，平面EDF 的法向量为()2222,,n x y z =．由题意知110,0,n DF n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即()111110,240,y z y t z --=-+-=⎪⎩令12z =，则114,y t x =-=14,2n t ⎫=-⎪⎭ ，......................................9分220,0,n DF n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即222220,20,y z y z --=-+=⎪⎩取22z =，则)22n = ，...............................10分由121212π1cos ,cos 32n n n n n n ⋅===，28290t t +-=，解得：4t =±-，由于点P 为线段AE 上一点，故05t ≤≤，所以4t =-，......................................11分当4t =-时，二面角P DF E --所成角为锐角，即存在点P 满足，此时4AP =．......................................12分20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且PF 垂直于x 轴．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 斜率存在，交椭圆C 于,A B 两点，,,A B F 三点不共线，且直线AF 和直线BF 关于PF 对称．（ⅰ）证明：直线l 过定点；（ⅱ）求ABF △面积的最大值．【答案】(1)22143x y +=(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）4【详解】（1）点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆C 上，且PF 垂直于x 轴，则有()1,0F 设椭圆C 的焦距为()20c c >，则1c =，.......................................................................1分点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入椭圆方程，有()222219191441a b a a +=+=-，解得2a =，则222413b a c =-=-=，所以椭圆C 的方程为22143x y +=...................................................................................3分（2）（ⅰ）设直线l 的方程为y kx m =+，由22143y y k x x m =+⎧⎪⎨⎪+⎩=，消去y ，整理得()2223484120kxkmx m +++-=，因为l 交椭圆C 于,A B 两点，所以()22Δ48430k m =-+>，设()()1122,,,A x y B x y ，所以21212228412,3434km m x x x x k k -+=-=++， (5)分因为直线AF 和直线BF 关于PF 对称，所以()()()()12121212121212220111111AF BF kx x m k x x my y kx m kx m k k x x x x x x +-+-+++=+=+==------所以()()()21212224128222203434m kmkx x m k x x m k m k m k k --+-+-=⨯+-⨯-=++所以222282488860km k km k m mk m --+--=解得4m k =-................................................................................................................7分所以直线l 的方程为()44y kx k k x =-=-，所以直线l 过定点()4,0................................,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.......8分（ⅱ）设直线l 的方程为4x ny =+，由224143x ny x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，整理得()223424360n y ny +++=，因为l 交椭圆C 于,A B 两点，所以()()()222Δ241443414440n n n =-+=->，解得24n >，........................................................................................................9分1212222436,3434n y y y y n n +=-=++，所以12y y -=所以121331822ABFS y y =⨯-=⨯⨯ .............................10分令()24,0n t t -=>则18184ABC S ==≤，当且仅当163t =时取等号，所以ABF △面积的最大值为4......................................................................12分21．（12分）已知函数()2,0eax x f x a =>．(1)当2a =时，求函数()f x 的单调区间和极值；(2)当0x >时，不等式()()2cos ln ln 4f x f x a x x ⎡⎤-≥-⎣⎦恒成立，求a 的取值范围．【答案】(1)单调递增区间为：(0,1)，单调递减区间为：(,0)-∞和(1,)+∞；极大值21(1)f e =，极小值(0)0f =；(2)(]0,2e 【详解】（1）当2a =时，()22=exx f x ()()2222222e e 22(1)=e e x x xxx x x x f x ⋅-⋅⋅--'=......................................2分令()=0f x '，解得0x =或1x =，......................................3分所以()()x f x f x '、、的关系如下表：x(,0)-∞0(0,1)1(1,)+∞()f x '-+-()f x 单调递减0单调递增21e 单调递减所以函数()f x 的单调递增区间为：(0,1)，单调递减区间为：(,0)-∞和(1,)+∞；......................................4分极大值21(1)f e=，极小值(0)0f =；......................................5分（2）[]222()cos ln ()ln 4cos ln 2ln 4e eaa x xx x f x f x a x x a x x ⎛⎫-≥-⇔-≥- ⎪⎝⎭ln 2e 2(ln 2)cos(ln 2)0a x x a x x a x x -⇔----≥......................................6分令()e 2cos t g t t t =--，其中ln 2a x x t -=，设l (2)n a x x F x =-，0a >2()2a a x x xF x --='=令()0F x '>，解得：02ax <<，......................................8分所以函数()F x 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，max ()ln 22a a F x F a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，且当0x +→时，()F x →-∞，所以函数()F x 的值域为,ln 2a a a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦；......................................9分又()e 2sin t g t t '=-+，设()e 2sin t h t t =-+，,ln 2a t a a ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦，则()e cos t h t t '=+，当0t ≤时，e 1,sin 1t t ≤≤，且等号不同时成立，即()0g t '<恒成立；当0t >时，e 1,cos 1t t >≥-，即()0h t '>恒成立，所以()h t 在(0,)+∞上单调递增，又(0)1g '=-，(1)e 2sin10g '=-+>，所以存在0(0,1)t ∈，使得0()0g t '=，当00t t <<时，()0g t '<，当0t t >时，()0g t '>，所以函数()g t 在0(,)t -∞上单调递减，在0(,)t +∞上单调递增，且(0)0g =......................................11分当ln 02aa a -≤即02e a <≤时，()0g t ≥恒成立，符合题意；当ln02a a a ->即2e a >时，取10min ln ,2a t a a t ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，必有1()0g t <，不符合题意.综上所述：a 的取值范围为(]0,2e ......................................12分（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.(1)求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴相交于点A ，动点B 在C 上，点M 满足AM MB =，点M 的轨迹为E ，试判断曲线C 与曲线E 是否有公共点.若有公共点，求出其直角坐标；若没有公共点，请说明理由.【答案】(1)C 的普通方程为()2214x y -+=，l 直角坐标方程为30x y -+=.(2)存在，坐标为33,,4444⎛⎛--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【详解】（1）由题设曲线C 的参数方程，消参得()2214x y -+=，............................2分由cos ,sin x y ρθρθ==，且)πsin sin cos 4ρθρθρθ⎛⎫-=-=⎪⎝⎭y =30x y -+=，......................................4分∴C 的普通方程为()2214x y -+=，l 直角坐标方程为30x y -+=...............................5分（2）当0y =时，()33,0x A =-⇒-，易知()12cos ,2sin B a a +，设(),M x y ，可得()()3,,2cos 1,2sin AM x y MB a x a y =+=-+-，......................................6分32cos 1cos 1,2sin sin x a x x a AM MB y a y y a +=-+=-⎧⎧=⇒⎨⎨=-=⎩⎩（a 是参数），消参得方程为()2211,x y ++=......................................8分且1,2,1,3E C C E C E r r r r r r ==-=+=，则圆心距离2,d ==得C E C E r r d r r -<<+，则两圆相交，故两圆存在公共点，联立方程组()()22221114x y x y ⎧++=⎪⎨-+=⎪⎩，解得34x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或34x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故坐标为33,,44⎛⎛--- ⎝⎭⎝⎭......................10分选修4-5：不等式选讲23．（10分）已知()2122f x x x x =-+-+.(1)求()2f x ≥的解集；(2)记()f x 的最小值为t ，且2(0,0)3a b t a b +=>>，求证：11254a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.【答案】(1)113x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或(2)证明见解析【详解】（1）()2122f x x x x =-+-+，当0x <时，532x -+≥，解得0x <，......................................1分当102x ≤<时，332x -+≥，解得103x ≤≤，......................................2分当112x ≤<时，12x +≥，解得x ∈∅，......................................3分当1x ≥时，532x -≥，解得1x ≥，......................................4分综上所述，()2f x ≥的解集为13x x ⎧≤⎨⎩或}1≥x .......................................5分（3）由已知可得()5301330211<12531x x x x f x x x x x -+<⎧⎪⎪-+≤≤⎪=⎨⎪+≤⎪⎪->⎩，所以当12x =时，()f x 的最小值为32...............................................................................................6分1a b ∴+=，211,24a b a b ab +⎛⎫+=∴≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==取等,......................................8分令t ab =，则104t <≤，211()212225224a b ab a b ab ab t a b ab ab ab t +-⎛⎫⎛⎫++=++=+-=+-≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当14t =取等，此时12a b ==.......................................10分。
高考数学(理科)模拟考试卷(附参考答案与解析)
高考数学（理科）模拟考试卷(附参考答案与解析)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 若复数z满足iz=4+3i，则复数z在复平面内对应的点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 已知集合A={(x,y)|x2+y2=1}和B={(x,y)|y=x}，则A∩B中元素的个数为( )A. 3B. 2C. 1D. 03. 已知向量a⃗，b⃗⃗满足|a⃗|=1，|b⃗⃗|=√ 3和|a⃗⃗−2b⃗⃗|=3，则a⃗⃗⋅(a⃗⃗+b⃗⃗)=( )A. −2B. −1C. 1D. 24. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如16=3+13.在不超过16的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于16的概率是( )A. 15B. 215C. 115D. 255. 的展开式中x3y3的系数为40，则实数a的值为( )A. 4B. 2C. 1D. 126. 设椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1和F2，离心率为√ 22，P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为2，则a=( )A. 1B. 2C. √ 2D. 47. 在△ABC中cosC=23，AC=4和BC=3则cos A2=( )A. √ 306B. √ 33C. 13D. 568. 如图，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB//ED和AB=ED=2FB=2，则三棱锥F−ACE 的体积为( )A. 23B. 43C. 2D. √ 39. 在正方体AC1中，点M为平面ABB1A1内的一动点，d1是点M到平面ADD1A1的距离，d2是点M到直线BC的距离，且d1=λd2(λ>0)(λ为常数)，则点M的轨迹不可能是( )A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线10. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)的图象关于x=1对称.若f(1)=3，则f(2)+f(3)+⋯+f(50)=( )A. 3B. 2C. 0D. 5011. 设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，AB=AC=2√ 3和BC=6，则三棱锥D−ABC 体积的最大值为( )A. 3√ 3B. 6√ 3C. 12√ 3D. 18√ 312. 已知a∈R，设函数若关于x的不等式f(x)≥0在R上恒成立则a 的取值范围为( )A. [0,e2] B. [0,2] C. [0,1] D. [0,e]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知等差数列{a n}前9项的和为27，且a10=8，则a15=______ ．14.15. 在直线l：y=−2上取一点D作抛物线C：x2=4y的切线，切点分别为A，B，直线AB与圆E：x2+ y2−4x−2018=0交于M，N两点，当|MN|最小时，则D的横坐标是______ ．16. 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)，下述四个结论：①若φ=π5，且f(x)在[0,2π]有且仅有5个零点，则f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点；②若φ=π4，且f(x)在[0,2π]有且仅有4个零点，则f(x)在[0,2π]有且仅有2个极大值点； ③若φ=π5，且f(x)在[0,2π]有且仅有5个零点，则f(x)在(0,π10)上单调递增； ④若φ=π3，且f(x)在(0,π)有且仅有2个零点和3个极值点，则ω的范围是(136,83)． 其中所有正确结论的编号是______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。
高三数学模拟测试卷六答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在x=1时取得极小值，则a的取值范围是（）A. a > 0B. a < 0C. a ≠ 0D. a > 0 或 a < 0答案：A解析：由于函数在x=1时取得极小值，所以导数f'(x) = 2ax + b在x=1时为0，即2a + b = 0。
又因为函数是二次函数，a≠0，所以a的取值范围是a > 0。
2. 下列函数中，定义域为全体实数的是（）A. y = 1/xB. y = √(x^2 - 1)C. y = log(x - 1)D. y = x^3答案：D解析：A选项的定义域为x ≠ 0，B选项的定义域为x > 1或x < -1，C选项的定义域为x > 1，而D选项的定义域为全体实数。
3. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，则f'(1)的值是（）A. 0B. 1C. -1D. -3答案：A解析：f'(x) = 3x^2 - 3，将x=1代入得f'(1) = 31^2 - 3 = 0。
4. 若log2(x + 3) + log2(x - 1) = 1，则x的取值范围是（）A. x > 1B. x > 3C. 1 < x < 3D. 1 < x < 2答案：C解析：根据对数的性质，log2(x + 3) + log2(x - 1) = log2[(x + 3)(x - 1)] = 1。
解得x^2 + 2x - 3 = 2，化简得x^2 + 2x - 5 = 0，解得x = -1 ± √6。
由于x > 1，所以x的取值范围是1 < x < 3。
5. 若直线y = kx + 1与圆x^2 + y^2 = 1相切，则k的取值范围是（）A. k ≤ 1B. k ≥ 1C. k ≤ -1 或k ≥ 1D. k ≥ -1答案：C解析：圆的半径为1，圆心到直线的距离等于半径，即|k0 + 1 - 0| / √(k^2 + 1^2) = 1。
高三下学期数学(理科)模拟考试卷-附参考答案
高三下学期数学(理科)模拟考试卷-附参考答案注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级和考号填写在答题卡上.2.回答选择题时，则选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，则将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{220,M xx x N x y =--<==∣∣，则M N ⋃=（ ） A.(],e ∞- B.()0,2 C.(]1,e - D.()1,2- 2.已知复数z 满足()12i 34i z -=-，则z 的共轭复数z =（ ）A.12i --B.12i -+C.12i -D.12i +3.2023年3月24日是第28个“世界防治结核病日”，我国的宣传主题是“你我共同努力，终结结核流行”，呼吁社会各界广泛参与，共同终结结核流行，维护人民群众的身体健康.已知某种传染疾病的患病率为5%，通过验血诊断该病的误诊率为2%，即非患者中有2%的人诊断为阳性，患者中有2%的人诊断为阴性.若随机抽取一人进行验血，则其诊断结果为阳性的概率为（ ）A.0.46B.0.046C.0.68D.0.0684.过抛物线2:4C y x =焦点F 的直线交抛物线C 于()()1122,,,A x y B x y 两点，以线段AB 为直径的圆的圆心为1O ，半径为r ，点1O 到C 的准线l 的距离与r 的积为25，则()12r x x +=（ ）A.40B.30C.25D.205.根据《民用建筑工程室内环境污染控制标准》，文化娱乐场所室内甲醛浓度30.1mg /m为安全范围.已知某新建文化娱乐场所施工中使用了甲醛喷剂，处于良好的通风环境下时，则竣工1周后室内甲醛浓度为36.25mg /m ,3周后室内甲醛浓度为31mg /m ，且室内甲醛浓度()t ρ（单位：3mg /m ）与竣工后保持良好通风的时间t （*t ∈N ）（单位：周）近似满足函数关系式()eat bt ρ+=，则该文化娱乐场所的甲醛浓度若要达到安全开放标准，竣工后至少需要放置的时间为（ ） A.5周 B.6周 C.7周 D.8周6.在轴截面顶角为直角的圆锥内，作一内接圆柱，若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，则圆柱的底面半径与圆锥的底面半径的比值为（ ）A.14 B.4 C.12 D.27.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,F F ，点M 是双曲线右支上一点，且12MF MF ⊥，延长2MF 交双曲线C 于点P .若12MF PF =，则双曲线C 的离心率为（ ）8.在ABC 中90,4,,A AB AC P Q ===是平面ABC 上的动点，且2AP AQ PQ ===，M 是边BC 上一点，则MP MQ ⋅的最小值为（ ）A.1B.2C.3D.4二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列结论正确的有（ ）A.若随机变量,ξη满足21ηξ=+，则()()21D D ηξ=+B.若随机变量()23,N ξσ~，且(6)0.84P ξ<=，则(36)0.34P ξ<<=C.若样本相关系数r 的绝对值越接近1，则成对样本数据的线性相关程度越强D.按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：27,30,37,,40,50m ；乙组：24,,33,44,48,52n .若这两组数据的第30百分位数､第50百分位数都分别对应相等，则67m n +=10.2022年12月，神舟十四号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆（都包含,M N 点）组成的“曲圆”，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点()0,3F ，椭圆的短轴长等于半圆的直径，如图，在平面直角坐标系中下半圆与y 轴交于点G .若过原点O 的直线与上半椭圆交于点A ，与下半圆交于点B ，则（ ）A.椭圆的离心率为12B.AFG 的周长为6+C.ABF 面积的最大值是92D.线段AB长度的取值范围是6,3⎡+⎣11.如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是边长为1AA ⊥底面ABCD ，三棱锥1A BCD -的体积是3，底面ABCD 和1111A B C D 的中心分别是O 和1,O E 是11O C 的中点，过点E 的平面α分别交11111,,BB B C C D 于点,,F N M ，且BD ∥平面,G α是线段MN 上任意一点（含端点），P 是线段1A C 上任意一点（含端点），则（ ）A.侧棱1AAB.四棱柱1111ABCD A B C D -的外接球的表面积是40πC.当1125B F BB =时，则平面α截四棱柱所得的截面是六边形 D.PO PG +的最小值是512.已知()()e e ,, 1.01,1e 1e 0.9911a bc d a b c d c d a b >>==-=-=++，则（ ）A.0a b +>B.0c d +>C.0a d +>D.0b c +>三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在平面直角坐标系xOy 中角α的顶点为O ，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与圆229x y +=相交于点5t ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则sin 22πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________. 14.已知多项式5625601256(2)(1)x x a a x a x a x a x -+-=+++++，则1a =__________.15.已知函数()()2e 2ln x f x k x x x =+-和()2e xg x x=，若()g x 的极小值点是()f x 的唯一极值点，则实数k 的最大值为__________.16.“0，1数列”是每一项均为0或1的数列，在通信技术中应用广泛.设A 是一个“0，1数列”，定义数列()f A ：数列A 中每个0都变为“1,0,1”，A 中每个1都变为“0,1,0”，所得到的新数列.例如数列:1,0A ，则数列():0,1,0,1,0,1f A .已知数列1:1,0,1,0,1A ，且数列()1,1,2,3,k k A f A k +==，记数列k A 的所有项之和为k S ，则1k k S S ++=__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）如图，在平面四边形ABCD中3,,sin AC AB DAC BAC BAC ∠∠∠====.（1）求边BC ； （2）若23CDA π∠=，求四边形ABCD 的面积. 18.（本小题满分12分）在各项均为正数的数列{}n a 中()21112,2n n n n a a a a a ++==+. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若n b =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，证1n S <19.（本小题满分12分）2023年3月某学校举行了普通高中体育与健康学业水平合格性考试，考试分为体能测试和技能测试，其中技能测试要求每个学生在篮球运球上篮､羽毛球对拉高远球和游泳3个项目中任意选择一个参加.某男生为了在此次体育学业考试中取得优秀成绩，决定每天训练一个技能项目.第一天在3个项目中任意选一项开始训练，从第二天起，每天都是从前一天没有训练的2个项目中任意选一项训练.（1）若该男生进行了3天训练，求第三天训练的是“篮球运球上篮”的概率；（2）设该男生在考前最后6天训练中选择“羽毛球对拉高远球”的天数为X ，求X 的分布列及数学期望. 20.（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别是12,,F F P 是椭圆上一动点（与左､右顶点不重合），12PF F的内切圆半径的最大值是312.（1）求椭圆C 的方程；（2）过()4,0H 作斜率不为0的直线l 交椭圆于,A B 两点，过B 作垂直于x 轴的直线交椭圆于另一点Q ，连接AQ ，设ABQ 的外心为G ，求证：2AQ GF 为定值.21.（本小题满分12分）在三棱台111A B C ABC -中1AA ⊥平面111111,2,1,ABC AB AC AA A B AB AC ====⊥,E F 分别是1,BC BB 的中点，D 是棱11A C 上的动点.（1）求证：1AB DE ⊥（2）若D 是线段11A C 的中点，平面DEF 与11A B 的交点记为M ，求平面AMC 与平面AME 夹角的余弦值.22.（本小题满分12分）已知函数()ln 1f x x ax =-+有两个零点12,x x ，且122x x >. （1）求实数a 的取值范围；（2）证明：222112e x x x x ⎛⎫⋅+>⎪⎝⎭参考答案1.【答案】C 解析：2201,2M xx x =--<=-∣，由1ln 0x -，得0e x <，则{0,e]N x y ===∣，所以(]1,e M N ⋃=-.故选C.2.【答案】C 解析：因为()12i 34i 5z -=-==，可得()()()512i 512i 12i 12i 12i z +===+--+，所以12i z =-.故选C. 3.【答案】D 解析：设随机抽取一人进行验血，其诊断结果为阳性为事件A ，设随机抽取一人为患者为事件B ，随机抽取一人为非患者为事件B ，则()()()()()0.980.050.020.95P A P A B P B P A B P B =+=⨯+⨯=∣∣0.068.故选D.4.【答案】A 解析：由抛物线的性质知，点1O 到C 的准线l 的距离为12AB r =，依题意得2255r r =⇒=，又点1O 到C 的准线l 的距离为()121252x x r ++==，则有128x x +=，故()1240r x x +=.故选A.5.【答案】B 解析：由题意可知()()()()32341e6.25,3e 1,e 125a ba b a ρρρρ++======解得2e 5a=.设该文化娱乐场所竣工后放置0t 周后甲醛浓度达到安全开放标准，则()()0001102e e e6.255t a t at b a b t ρ--++⎛⎫==⋅=⨯ ⎪⎝⎭0.1，整理得01562.52t -⎛⎫ ⎪⎝⎭.设1562.52m -⎛⎫= ⎪⎝⎭ 因为455562.522⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以415m <-<，即56m <<，则011t m --，即0t m 故竣工后至少需要放置的时间为6周.故选B.6.【答案】D 解析：设圆柱和圆锥底面半径分别为,r R ，因为圆锥轴截面的顶角为直，设圆柱高为h ，则,h R r h R r R R-==-，由题意得()222R r r R r πππ⨯=+⨯-，解得2r R=.故选D .7.【答案】D 解析：设1(2)MF t t a =>，由双曲线的定义可得22MF t a =-，又21PF MF t == 则12PF t a =+，由12MF MF ⊥，可得22211||MF MP PF +=，即222(22)(2)t t a t a +-=+，解得3t a =.又2221221MF MF F F +=，即222(3)4a a c +=即c =，所以c e a ==.故选D.8.【答案】B 解析：取PQ 的中点N ，则,MP MN NP MQ MN NQ MN NP =+=+=-，可得()()2221,MP MQ MN NP MN NP MN NP MN MN MA AN MA AN ⋅=+⋅-=-=-=+-当且仅当点N 在线段AM 上时，则等号成立，故|||||||||||3|MN MA AN MA -=-显然当AM BC ⊥时，则MA 取到最小值|||||3||233|MN MA ∴--=故21312MP MQ MN ⋅=--=.故选B.9.【答案】BC 解析：对于A ，由方差的性质可得()()()224D D D ηξξ==，故A 错误；对于B ，由正态密度曲线的对称性可得(36)(6)0.50.34P P ξξ<<=<-=，故B 正确；对于C ，由样本相关系数知识可得，样本相关系数r 的绝对值越接近1，则成对样本数据的线性相关程度越强，故C 正确；对于D ，甲组：第30百分位数为30，第50百分位数为372m +，乙组：第30百分位数为n ，第50百分位数为33447722+=，则30,3777,22n m =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得30,40,n m =⎧⎨=⎩故70m n +=，故D 错误.故选BC. 10.【答案】BD 解析：由题知，椭圆中的几何量3b c ==，所以a =则离心率2c e a ===故A 不正确；因为3AB OB OA OA =+=+由椭圆性质可知332OA ，所以6332AB +故D 正确；设,A B 到y 轴的距离分别为12,d d则()1212113222ABFAOFOBFSSSd OF d OF d d =+=⋅+⋅=+当点A在短轴的端点处时，则12,d d 同时取得最大值3，故ABF 面积的最大值是9，故C 不正确；由椭圆定义知2AF AG a +==AFG 的周长6AFGCFG =+=+B 正确.故选BD.11.【答案】BCD 解析：对于选项A ，因为三棱锥1A BCD -的体积111323V AA=⨯⨯=解得1AA=A错误；对于选项B，外接球的半径满足22221440R AB AD AA=++=故外接球的表面积2440S Rππ==，故选项B正确；对于选项D，因为BD∥平面1111,,BD B D B Dα⊄∥平面α，所以11B D∥平面α，又平面1111A B C D⋂平面11,MN B Dα=⊂平面1111A B C D，所以11B D MN∥，又因为四边形1111A B C D是正方形1111A CB D⊥，所以11AC MN⊥，因为侧棱1AA⊥底面1111,A B C D MN⊂底面1111A B C D 所以1AA MN⊥，又1111AC AA A⋂=，所以MN⊥平面11AAC C，垂足是E，故对任意的G，都有PG PE，又因为1111114OO O E AC===，故215PO PG PO PE OE OO++==，故选项D正确；对于选项C，如图，延长MN交11A B的延长线于点Q，连接AQ交1BB于点F，在平面11CC D D内作MH AF∥交1DD于点H，连接AH，则平面α截四棱柱所得的截面是五边形AFNMH，因为1112B Q B N AB==，所以此时1113B FBB=，故11113B FBB<<时截面是六边形，1113B FB<时截面是五边形，故选项C正确.故选BCD.12.【答案】AD 解析：对于A，e e1.010,1,111a ba ba b==>∴>->-++令()e(1)1xf x xx=>-+则()2e1)xxf xx=+'所以()f x在()1,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，且()01f=，又()1 1.01f>故01,10a b<<-<<令()()()()()()ln ln2ln1ln1,1,1h x f x f x x x x x=--=-++-+∈-，则()2112220111h xx x x-=-+=-<+-+-'，所以()h x在()1,1-上单调递减，且()()00,1,0h b=∈-()()()()()()ln ln0,,,f b f b f b f b f af b a b∴-->∴>-∴>-∴>-即0a b+>，故选项A 正确；对于B ，()()1e 1e 0.990,1,1c d c d c d -=-=>∴<< 令()()1e (1)x g x x x =-<，则()e x g x x '=-，所以()g x 在(),0∞-上单调递增，在()0,1上单调递减，且()01g =，又()10.99g -<，故01,10c d <<-<<.令()()()()()()()ln ln 2ln 1ln 1,1,1m x g x g x x x x h x x =--=-++-+=∈-，所以()m x 在()1,1-上单调递减，且()()()()()()00,0,1,ln ln 0,m c g c g c g c g c =∈∴--<∴<- ()(),g d g c d c ∴<-∴<-，即0c d +<，故选项B 错误；对于C ，()()()()()()()11100,0.99,1,0,101f xg a a g a g d g x f a =∴-==>-∈-∴->- 又()g x 在(),0∞-上单调递增 ,0a d a d ∴->∴+< 故选项C 错误；对于D ，由C 可知 ()()(),0,1g b g c b ->-∈ 又()g x 在()0,1上单调递减，b c ∴-< 即0b c +>，故选项D 正确.故选AD.13.【答案】35- 解析：因为角α的终边与圆229x y +=相交于点t ⎫⎪⎪⎝⎭，所以cos 3α=÷=223sin 2cos22cos 12125πααα⎛⎫+==-=⨯-=- ⎪⎝⎭⎝⎭. 14.【答案】74 解析：对于5(2)x -，其二项展开式的通项为515C (2)r r r r T x -+=-，令51r -=，得4r =，故4455C (2)80T x x =-=，对于6(1)x -，其二项展开式的通项为616C (1)k k k k T x -+=- 令61k -=，得5k =，故5566C (1)6T x x =-=-，所以180674a =-=.15.【答案】2e 4 解析：由()2e x g x x =可得()()22442e e e 2x x x x x x x g x x x'-⋅-⋅==，当0x <或2x >时，则()0g x '>，当02x <<时，则()0g x '<，所以()g x 的极小值点是2.由()()2e 2ln xf x k x x x=+-可得()()()()432e 2e 12,0,xx x x k f x k x x x x x x ∞-⎛⎫⎛⎫=+-='--∈+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()f x 的唯一极值点为2，所以3e 0x k x x -或3e 0x k x x -恒成立，所以2e x k x 或2e xk x在()0,∞+上恒成立，因为()2e xg x x=在()0,2上单调递减，在()2,∞+上单调递增，当x ∞→+时，则()g x ∞→+，所以2e x k x 在()0,∞+上恒成立，则()2min e ()24k g x g ==.16.【答案】1103k -⨯ 解析：设数列k A 中0的个数为,1k a 的个数为k b ，则112,2k k k k k k a a b b a b ++=+=+，两式相加，得()113k k k k a b a b +++=+，又115,a b +=∴数列{}k k a b +是以5为首项，3为公比的等比数列153k k k a b -∴+=⨯两式相减，得17.【答案】解：（1）因为sin 14BAC BAC ∠∠=为锐角，所以cos 14BAC ∠==.因为3AC AB ==，在ABC 中由余弦定理得2222cos BC AC AB AC AB BAC ∠=+-⋅⋅即279231BC =+-=，得1BC =. （2）在ADC 中由正弦定理得sin sin CD AC DAC ADC∠∠==，所以1CD =.在ADC 中由余弦定理得222cos 2AD CD AC ADC AD CD ∠+-=⋅，即211722AD AD+--=，解得2AD =.因为121331273,12sin 214423ABCACDSS π=⨯⨯⨯==⨯⨯⨯=所以34ABCACDABCD S SS=+==四边形. 18.【答案】解：（1）()()()211112,20n n n n n n n n a a a a a a a a ++++=+∴-+=，则120n n a a +-=或10n n a a ++= 10,2n n n a a a +>∴=∴数列{}n a 为等比数列，公比为12,2,a =∴数列{}n a 的通项公式为2n n a =.（2）证明：由（1）得112,2n n n n a a ++==则n b ======∴数列{}n b 的前n项和为11n S n =+-=-1n S ∴<当2n时，则10,n n n S S b --===>∴当*n ∈N 时，则{}n S 为递增数列1n S S ∴n S1n S <19.【答案】解：（1）当第一天训练的是“篮球运球上篮”且第三天训练的也是“篮球运球上篮”为事件A ；当第一天训练的不是“篮球运球上篮”且第三天训练的是“篮球运球上篮”为事件B . 由题知，3天的训练过程中总共的可能情况为32212⨯⨯=种 所以，()()12112111,126126P A P B ⨯⨯⨯⨯==== 所以，第三天训练的是“篮球运球上篮”的概率()()13P P A P B =+=.（2）由题知，X 的可能取值为0,1,2,3考前最后6天训练中所有可能的结果有53296⨯=种当0X =时，则第一天有两种选择，之后每天都有1种选择，所以，()5521210329648P X ⨯====⨯； 当1X=时，则共有24444220+++++=种选择，所以()20519624P X ===； 当3X =时，则共有844824+++=种选择，所以()2413964P X ===； 所以()()()()5025210139648P X P X P X P X ==-=-=-=== 所以，X 的分布列为所以()1012324824484E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 20.【答案】解：（1）由题意知1,22c a c a =∴=，又222b a c =-，则,b =设12PF F 的内切圆半径为r ，则()()()121212112222PFF SPF PF F F r a c r a cr =++⋅=+⋅=+⋅. 故当12PF F 面积最大时，则r 最大，即点P 位于椭圆短轴顶点时r = )a c bc +=，把2,a c b ==代入，解得2,1a b c === 所以椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）由题意知，直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为4x ty =+代入椭圆方程得()()()222223424360,Δ(24)1443414440t y ty t t t +++==-+=-> 设()()1122,,,A x y B x y ，则1212222436,3434t y y y y t t -+==++ 因此可得1223234x x t +=+ 所以AB 中点的坐标为221612,3434t t t -⎛⎫ ⎪++⎝⎭因为G 是ABQ 的外心，所以G 是线段AB 的垂直平分线与线段BQ 的垂直平分线的交点，由题意可知,B Q 关于x 轴对称，故()22,Q x y -AB 的垂直平分线方程为2216123434tt x y t t ⎛⎫--=+ ⎪++⎝⎭ 令0y =，得2434x t =+，即24,034G t ⎛⎫⎪+⎝⎭，所以2222431,3434t GF t t =-=++ 又AQ ==221234t t ==+ 故24AQ GF =，所以2AQGF 为定值，定值为4. 21.【答案】解：（1）证明：取线段AB 的中点G ，连接1,A G EG ，如图所示 因为,E G 分别为,BC AB 的中点，所以EG AC ∥在三棱台111A B C ABC -中11AC AC ∥ 所以，11EG AC ∥，且11D A C ∈ 故1,,,E G A D 四点共面.因为1AA ⊥平面,ABC AG ⊂平面ABC ，所以1AA AG ⊥ 因为1111111,,AA A B AG AG A B AA AG ===⊥∥ 所以四边形11AA B G 是正方形，所以11AB AG ⊥. 又1111111111,,,AB AC AC AG A AC AG ⊥⋂=⊂平面1A DEG 所以1AB ⊥平面1A DEG .因为DE ⊂平面1A DEG ，所以1AB DE ⊥.（2）延长EF 与11C B 相交于点Q ，连接DQ ，则11DQ A B M ⋂=. 因为,F E 分别为1BB 和BC 的中点1B Q BE ∥，所以111B Q B FBE BF== 则11112B Q BE BC B C ===，所以，1B 为1C Q 的中点. 又因为D 为11A C 的中点，且11A B DQ M ⋂=，则M 为11A C Q 的重心 所以1112233A M AB == 因为1AA ⊥平面,ABC AC ⊂平面ABC ，所以1AA AC ⊥.因为11111,AB AC AC AC ⊥∥，所以1AB AC ⊥. 又因为1111,,AA AB A AA AB ⋂=⊂平面11AA B B 所以AC ⊥平面11AA B B ，所以1,,AC AB AA 两两垂直以A 为原点，1,,AC AB AA 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示空间直角坐标系则()()()()20,0,0,0,2,0,2,0,0,1,1,0,0,,13A B C E M ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以()()22,0,0,0,,1,1,1,03AC AM AE ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. 设平面AMC 的法向量为()1,,n a b c =则1120,20,3n AC a n AM b c ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩取3b =-，则()10,3,2n =-. 设平面AME 的法向量为()2,,n x y z =则220,20,3n AE x y n AM y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩取3y =-，可得()23,3,2n =-. 所以，12121213cos ,2213n n n n n n ⋅===⨯ 故平面AMC 与平面AME 夹角的余弦值为22. 22.【答案】解：（1）()ln 1f x x ax =-+的定义域为()()110,,ax f x a x x∞-+=='- 当0a 时，则()0f x '>恒成立，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，()f x 不可能有两个零点，故舍去；当0a >时，则令()0f x '>，解得10x a <<，令()0f x '<，解得1x a> 所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减 所以max 11()ln f x f a a ⎛⎫==⎪⎝⎭. 要使()f x 有两个零点，则max 1()ln 0f x a=>，解得01a <<. 又22111444242ln 10,ln 1110e e e e a f a f a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=-⋅+=-<=-+<-+=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以当01a <<时，则()f x 在11,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和214,a a ⎛⎫⎪⎝⎭上各有一个零点21,,x x 且122x x >，所以1122ln 10,ln 10,x ax x ax -+=⎧⎨-+=⎩由fx 的单调性知，当()21,x x x ∈时，则()0f x > 当()1,x x ∞∈+时，则()0f x <.因为2212x x x <<，所以()220f x >，即()2222ln 221ln 1x ax x ax -+>-+ 所以2ln2ax <，而22ln 1x ax +=，即2ln 1ln2x +<，所以220ex <<，而22ln 1x a x +=.令()ln 12,0,e x h x x x +⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则()221ln 1ln x x h x x x -'--== 因为20,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2ln ln 0ex ->->，所以()0h x '> 所以()h x 在20,e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增所以()2ln2eln22e 2eh x h ⎫<==⎪⎭，所以eln20,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（2）因为1220x x >>，所以22211212e e 2x x x x x x ⎛⎫⋅+⋅ ⎪⎝⎭，当且仅当12x x =时取等号 而1220x x >>，故222112e e x xx x ⎛⎫⋅+>⋅⎪⎝⎭要证222112e x x x x ⎛⎫⋅+>⎪⎝⎭2e 42⋅，即证1228e x x ，即证1228ln ln e x x 即证12ln ln 3ln22x x +-.设12x t x =，因为1220x x >>，所以2t > 由（1）得1122ln 1,ln 1,x ax x ax +=⎧⎨+=⎩，两式作差，化简得21ln ln ln 1,ln 1ln 11t tx x t t t =-=-+-- 所以122ln ln ln ln 21tx x t t +=+--. 令()2ln ln 2,21tg t t t t =+->-，则()2212ln (1)t t t g t t t '--=-. 令()212ln t t t t ϕ=--，则()()2222ln ,20t t t t tϕϕ'=---''=>，易知()t ϕ'在()2,∞+上单调递增故()()222ln20t ϕϕ'>'=->，所以()t ϕ在()2,∞+上单调递增，所以()()234ln20t ϕϕ>=->所以()g t 在()2,∞+上单调递增，所以()()23ln22g t g >=-，即12ln ln 3ln22x x +>-得证.所以不等式222112e x x x x ⎛⎫⋅+> ⎪⎝⎭.。
高考理科数学模拟试卷(含答案)
高考理科数学模拟试卷(含答案)高考理科数学模拟试卷（含答案）本试卷共分为选择题和非选择题两部分，第Ⅰ卷（选择题）在1至2页，第Ⅱ卷（非选择题）在3至4页，共4页，满分150分，考试时间为120分钟。
注意事项：1.答题前，请务必填写自己的姓名和考籍号。
2.答选择题时，请使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，请使用橡皮擦擦干净后再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，请使用0.5毫米黑色签字笔，在答题卡规定位置上书写答案。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5.考试结束后，请只将答题卡交回。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={-1.0.1.2.3.4}，B={y|y=x,x∈A}，则A2B=A){0.1.2}B){0.1.4}C){-1.0.1.2}D){-1.0.1.4}2.已知复数z=1/(1+i)，则|z|=A)2B)1C)2D)23.设函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)=x-2，则f(f(1))=A)-1B)-2C)1D)24.已知单位向量e1，e2的夹角为π/2，则e1-2e2=A)3B)7C)3D)75.已知双曲线2x^2-y^2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±3x，则双曲线的离心率是A)10B)10/10C)10D)3/96.在等比数列{an}中，a1>0，则“a1<a4”是“a3<a5”的A)充分不必要条件B)必要不充分条件C)充要条件D)既不充分也不必要条件7.如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是A)i≤6?B)i≤5?C)i≤4?D)i≤3?8.已知a、b为两条不同直线，α、β、γ为三个不同平面，则下列命题中正确的是①若α//β，α//γ，则β//γ；②若a//α，a//β，则α//β；③若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β；④若a⊥α，XXXα，则a//b。
2019届全国新高考原创精准模拟密卷(六)数学理试题
2019届全国新高考原创精准模拟密卷（六）数学理试题本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知A＝｛x｜－1＜x＜2｝，B＝｛x｜x2＋2x＜0｝，则A∩B＝（）A. （－1，0）B. （－2，－1）C. （－2，0）D. （－2，2）【答案】A【解析】【分析】解一元二次不等式得集合B，利用集合交集的定义直接求解即可.【详解】由，A＝｛x｜－1＜x＜2｝，，所以A∩B＝.故选A.【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题.2.设，则｜z｜＝（）A. 5B.C. 5D. 5【答案】D【解析】【分析】由复数的乘法运算可得，进而得，可求模长.【详解】由，得.有.故选D.【点睛】本题主要考查了复数的乘法运算及模长的计算，涉及共轭复数的概念，属于基础题.3.若三个实数a，b，c成等比数列，其中，，则b＝（）A. 2B. －2C. ±2D. 4【答案】C【解析】【分析】由实数a，b，c成等比数列，得,从而得解.【详解】由实数a，b，c成等比数列，得.所以.故选C.【点睛】本题主要考查了等比数列的基本性质，属于基础题.4.函数在点（0，f（0））处的切线方程为（）A. y＝x－1B. y＝xC. y＝2x－1D. y＝2x【答案】B【解析】【分析】分别求函数值及切线斜率即可得解.【详解】由，可得，所以，又.所以切线方程为：y＝x.故选B.【点睛】本题主要考查了由函数导数求解函数的切线方程，属于基础题.5.在区间(0，)上随机取一个数，使得成立的概率是A. B. C. D.【答案】C【解析】此题考查几何概型；由，所以使使得成立的概率是，所以选C6.函数的图象大致为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的奇偶性，排除选项，通过函数的导数，判断函数的单调性，可排除选项，从而可得结果.【详解】函数是偶函数，排除选项；当时，函数，可得，当时，，函数是减涵数，当时，函数是增函数，排除项选项，故选C.【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象7.在△ABC中，，，且，则＝（）A. 1B.C. －D.【答案】C【解析】【分析】可根据条件画出图形，由，利用向量的加减运算及由平面向量基本定理即可求出λ+μ的值．【详解】根据条件画出图形如下：；又；∴根据平面向量基本定理得，；∴．故选：C．【点睛】考查向量加法的平行四边形法则，向量数乘和减法的几何意义，以及平面向量基本定理.8.将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有（）A. 12种B. 24种C. 36种D. 48种【答案】C【解析】【分析】从4个人中选2个作为一个元素，再将它与其他两个元素在一起进行排列，由分步计数原理计算可得答案．【详解】将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，只有一种分组方法，即1，1，2，首先从4个人中选2个作为一个元素，使它与其他两个元素在一起进行排列，共有C42A33＝36种结果，故选：C．【点睛】本题考查分步计数原理的应用分组分配问题，注意此类问题一般要首先分组，再进行排列，属于基础题.9.如图是某几何体的三视图，其中正视图和侧视图为正方形，俯视图是腰长为的等腰直角三角形，则该几何体的体积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为四棱锥A﹣BCDE，底面BCDE为矩形，BE=，DE=2，高为1，代入棱锥体积公式得答案．【详解】由三视图还原原几何体如图：该几何体为四棱锥A﹣BCDE，底面BCDE为矩形，BE=，DE=2，高为1，∴该几何体的体积为，故选：B．【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.10.已知函数和图象的对称轴完全相同，若，则y＝g（x）的值域是（）A. ［－1，2］B. ［－1，3］C. ［,0，2］D. ［0，,3］【答案】A【解析】【分析】根据两个函数的对称轴一样得周期相同，对称轴相同依次可得ω和φ，从而得g（x）＝2cos （2x）+1，进而利用定义域求解值域即可.【详解】∵函数和图象的对称轴完全相同，∴ω＝2，∴函数f（x）＝3sin（2x），则对称轴为2x kπ，k∈Z，即x，k∈Z，由g（x）＝2cos（2x+φ）+1，则2x+φ＝kπ，k∈Z，即x，k∈Z，∴，∴φ，∴g（x）＝2cos（2x）+1，∵x∈[0，]，∴2x∈[，]，∴cos（2x）∈[﹣1，]∴g（x）∈[﹣1，2]，故选：A．【点睛】本题主要考查了三角函数的图像和性质，涉及周期性和对称性，研究三角函数的对称性用到了整体换元的思想，属于中档题.11.已知双曲线的左、右焦点分别为，过作圆的切线，交双曲线右支于点，若，则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】作OA⊥于点A，于点B，可得，，，结合双曲线定义可得从而得到双曲线的渐近线方程.【详解】如图，作OA⊥于点A，于点B，∵与圆相切，∴，，又点M在双曲线上，∴整理，得，∴∴双曲线的渐近线方程为故选：A【点睛】本题考查了双曲线渐近线方程的求法，解题关键建立关于a，b的方程，充分利用平面几何性质，属于中档题.12.已知函数，若方程恰有四个不同的实数根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，作图，由与相切得，由与相切得设切点，如图可得实数的取值范围是，选B.点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题 ~ 第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题 ~ 第23题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13.已知x，y满足约束条件，则的最小值为___【答案】【解析】【分析】先根据约束条件画出可行域，再由表示直线在y轴上的截距最大即可得解.【详解】x，y满足约束条件，画出可行域如图所示.目标函数，即.平移直线，截距最大时即为所求.点A（，），z在点A处有最小值：z＝2，故答案为：.【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解决此类问题的基本方法．14.已知数列｛｝的通项，若数列｛｝的前n项和为Sn，则S8＝___【答案】【解析】【分析】利用分组求和，结合等比数列和等差数列的求和公式即可得解.【详解】由，可得.故答案为546.【点睛】本题主要考查了等差数列与等比数列的求和公式及分组求和的思想，属于基础题.15.远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满六进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是___【答案】【解析】【分析】由题意知该数为六进制，转化为十进制数即可．【详解】由题意满六进一，可知该图示为六进制数，化为十进制数为1×63+3×62+2×6+5＝341．故答案为：341．【点睛】本题考查了六进制数化为十进制数应用问题，是基础题．16.函数在区间[0，]上的值域为________.【答案】【解析】【分析】利用导数研究函数的单调性，可得可得的增区间为，减区间为，求出，从而可得结果. 【详解】，当时，；可得的增区间为，当时，，可得的减区间为，，，故答案为.【点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值与最值，属于难题. 求函数极值与最值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.三、解答题：（70分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（一）必考题：（共60分）17.如图，在三角形中，，，平面内的动点与点位于直线的异侧，且满足.（1）求；（2）求四边形面积的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）三角形中由余弦定理求得，再由正弦定理可得结果；（2）由（1）知的面积为定值，所以当的面积最大时，四边形的面积取得最大值．在中，由，，设，，则，结合三角形面积公式，利用基本不等式可得结果.【详解】（1）在中，因，，，由余弦定理得：，所以，再由正弦定理得：，所以．（2）由（1）知的面积为定值，所以当的面积最大时，四边形的面积取得最大值．在中，由，，设，，则，于是，即，当且仅当时等号成立．故的面积取得最大值.又的面积，所以四边形面积的最大值为.【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.18.四棱锥A－BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，侧面ABE⊥底面BCDE，BC ＝2，CD＝4。
2023年高考数学模拟试题（六）参考答案
2023年高考数学模拟试题(六)参考答案 一㊁选择题1.A 提示:z =(1+i)33-i=-2+2i3-i=(-2+2i )(3+i )(3-i )(3+i)=-1-32-1-32i,所以z =-1-322+1-322=2㊂2.C 提示:由x >0,l o g 2x +1ȡ0,得x ȡ12,故集合A =12,+ɕ,所以0<12xɤ22,即集合B =0,22,故A ɘB =12,22㊂3.B 提示:由题意得2c o s θ=-s i n θ,所以t a n θ=-2,而s i n 3θ+2c o s 3θs i n (π+θ)=s i n 3θ+2c o s 3θ-s i n θ=-s i n 3θ+2c o s 3θs i n θ(s i n 2θ+c o s 2θ)=-s i n 3θ+2c o s 3θs i n 3θ+s i n θc o s 2θ=-t a n 3θ+2t a n 3θ+t a n θ=-35㊂4.D 提示:由题意知2a n =a n -1+a n +1(n ȡ2),所以数列{a n }是首项为1,公差为94-1=12的等差数列,故a 9=1+8ˑ12=5,所以a 9=25㊂5.C 提示:在区间-π,π2上满足c o s X ɤ12的X 只能在区间-π,-π3ɣπ3,π2内,所以P (X ɤ2)=59㊂6.D 提示:当i =1时,S =10;当S =9时,i =2;当S =7时,i =3;当S =4时,满足题意,所以n 的最小值为5㊂7.B 提示:设圆台较小底面半径为r ,则另一底面半径为3r ,由S =π(r +3r )ˑ4=162π,可得r =2,所以圆台的高h =42-(22)2=22,所以圆台的体积为13ˑ22πˑ[(2)2+(32)2+2ˑ32]=522π3㊂8.A 提示:A 77A 22A 22A 33=210㊂9.D 提示:f (2x )=2x 2x =4x ㊃x =4f (x ),从而f (x 2-1)ȡ4f (-1-a x )⇔f (x 2-1)ȡf (-2-2a x )㊂当x >0时,f (x )=x x =x 2在[0,+ɕ)上单调递增,而f (x )为奇函数,所以f (x )在R 上单调递增㊂所以x 2-1ȡ-2-2ax 在R 上恒成立,即x 2+2a x +1ȡ0恒成立,所以Δ=4a 2-4ɤ0,解得-1ɤa ɤ1,故a 的取值范围为[-1,1]㊂图110.A 提示:将三视图还原得到三棱锥D A B C ,如图1所示,其中A B =B C =1,A D =C D =2,R =B D 2=32,所以V =43πR 3=3π2㊂11.C 提示:由双曲线m x 2-n y 2=1得渐近线方程为mnx ʃy =0,则圆心(1,0)到渐近线的距离为m n 1+m n =43-1,解得n =2m ,所以m +1n +1=m +12m +1=m+12+12m +12-12ȡ2m +12㊃12m +12-12=2-12,当且仅当2m +122=1,即m =2-12时,等号成立㊂12.B 提示:要使øA O B 最大,则A ,B两点必须在分段函数的不同部分上,不妨设A (x 1,x 1ex 1-1+1),B (x 2,y 2)(其中x 1>0,图2-1ɤx 2ɤ0),如图2,当øA O B最大时,直线O A 与y =x e x -1+1相切且A 为切点,此时有y '=(x +1)e x -1,从而k O A =x 1e x 1-1+1x 1=(x 1+1)ex 1-1,化简得x 21ex 1-1-1=0(x 1>0),令h (x )=x 2e x -1-1(x >0),易得h (x )在(0,+ɕ)上为增函数且h (1)=1,所以x 1=1,所以k O A =2;当-1ɤx ɤ0时,y =10-1-x 2,变形得x 2+(y -10)2=1(-1ɤx ɤ0,y ɤ10),则øA O B 最大时,直线O B 与圆相切,设此时直线O B 的方程为y =k x (k <0),则由0-101+k2=1得k O B =-3,所以t a n øA O B =k O B -k O A1+k O A k O B=1,故øA O B =π4㊂二㊁填空题13.3316提示:将A (1,2)代入y =a x 2,得a =4,所以抛物线C :x 2=14y ,焦点F 的坐标为0,116,准线方程为y =-116,由抛物线的定义得A F =2+116=3316㊂14.π4提示:10=2a -b =(2a -b )2=4a 2-4a ㊃b +b2=4-4㊃32c o s θ+18,解得c o s θ=22,因为θɪ[0,π],所以θ=π4㊂15.11π6 提示:由题意知π6--π3=T 4(2k +1)=π2ω(2k +1),解得ω=2k +1(k ɪZ ),由8π15ɤT 2=πω,得0<ωɤ158,所以ω=1,由f π6=0,得π6+φ=2k 1π,所以φ=2k 1π-π6(k 1ɪZ ),故φm i n =11π6㊂16.-23n -29(-2)n+29 提示:由a n +1-1=a 2n +a n -1-2a na n -1-1-1,得a n +1-1=(a n -1)2a n -1-1,所以(a n +1-1)(a n -1-1)=(a n -1)2,故{a n -1}是首项为2,公比为q 的等比数列,且a 6-1=-64=2q 5,则q =-2,所以a n -1=2(-2)n -1㊂令b n =n (a n -1),则b n =2n (-2)n -1㊂故T n =2(-2)0+4(-2)1+ +2(n -1)(-2)n -2+2n (-2)n -1;-2T n =2(-2)1+4(-2)2+ +2(n -1)(-2)n -1+2n (-2)n㊂两式相减得3T n =2(-2)0-2n (-2)n+2[(-2)1+ +(-2)n -1],化简得T n =-23n -29(-2)n+29㊂三㊁解答题17.由题得f (x )=(s i n 2ωx -c o s 2ωx )㊃(s i n 2ωx +c o s 2ωx )+23s i n ωx c o s ωx +1=s i n 2ωx -c o s 2ωx +23s i n ωx c o s ωx +1=3s i n 2ωx -c o s 2ωx +1=2s i n 2ωx -π6+1㊂所以T =2π2ω=π,所以ω=1,故f (x )=2s i n 2x -π6+1㊂由2x -π6=k π,得x =k π2+π12(k ɪZ ),故f (x )的对称中心为k π2+π12,1(k ɪZ )㊂(2)由f (A )=2s i n 2A -π6 +1=3,得s i n 2A -π6 =1,而0<A <π,故A =π3㊂由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2b c c o s A ,即1=b 2+c 2-b c ȡ2b c -b c =b c ,所以b c ɤ1,当且仅当b =c 时等号成立㊂S әA B C =12b c s i n A ɤ12㊃1㊃32=34,故әA B C 面积的最大值为34㊂18.(1)甲㊁乙两生产车间的茎叶图如图3所示㊂以下四个结论中选两个即可:图3①乙车间生产的药品的平均重量大于甲车间生产的药品的平均重量㊂②甲车间生产的药品的重量较乙车间生产的药品的重量更分散(或:乙车间生产的药品的重量较甲车间生产的药品的重量更集中(稳定))㊂③甲车间生产的药品的重量的中位数是134毫克;乙车间生产的药品的重量的中位数是140毫克㊂④甲车间生产的药品的重量的众数是119毫克;乙车间生产的药品的重量的众数是140毫克㊂(2)由题意知一件药品合格的概率为1050=15,故X ~B 3,15,X 的所有可能取值为0,1,2,3㊂P (X =0)=C 03㊃453=64125;P (X =1)=C 13㊃15㊃45 2=48125;P (X =2)=C 23㊃15 2㊃45=12125;P (X =3)=C 33㊃15 3=1125㊂故X 分布列为表1:表1X 0123P6412548125121251125所以E (X )=3ˑ15=35,D (X )=3ˑ15ˑ45=1225㊂19.(1)在面A B C D 内分别作B E ʅA D于E ,B F ʅC D 于F ㊂因为面D A A 1D 1ʅ面A B C D 且交于A D ,所以B E ʅ面D A A 1D 1,故B E ʅD D 1㊂同理得D D 1ʅB F ㊂而B E ɘB F =B ,所以D D 1ʅ面A BCD ㊂(2)由题意知A B 2=A D 2+B D 2,所以D A ʅD B ㊂由(1)知D D 1ʅ面A B C D ,所以D A ,D B ,D D 1两两垂直㊂以D 为坐标原点,图4D A ,D B ,D D 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图4所示的空间直角坐标系D -x yz ,设B D =1,则D (0,0,0),B (0,1,0),M 1,0,22,C 1(-1,1,2),所以B C 1ң=(-1,0,2),B D ң=(0,-1,0),B M ң=1,-1,22㊂设面B C 1M 的一个法向量为m =(x 1,y 1,z 1),则m ㊃B C 1ң=-x 1+2z 1=0,m ㊃B M ң=x 1-y 1+22z 1=0,可取m =(2,3,2)㊂同理可得面B C 1D 的一个法向量为n =(2,0,1),所以c o s <m ,n >=m ㊃nm n=105,故二面角M -B C 1-D 的正弦值为155㊂20.设直线A B 的直线为y =x +m ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),将y =x +m 代入x 2+3y 2=3,得4x 2+6m x +3(m 2-1)=0,Δ=12(4-m 2)>0,得0ɤm 2<4,由韦达定理得x 1+x 2=-32m ,x 1x 2=3(m 2-1)4㊂由弦长公式得A B =1+12㊃(x 1+x 2)2-4x 1x 2=62㊃4-m 2ɤ6,当m =0时,|A B |取得最大值6㊂(2)由题意知直线C D 的斜率必存在,设直线C D 的方程为y =k x +n ,C (x 3,y 3),D (x 4,y 4),直线P C 的斜率为k P C =y 3x 3+2,则直线P C 的方程为x =x 3+2y 3㊃y -2,将其代入x 2+3y 2=3,得x 3+2y 3㊃y -2 2+3y 2-3=0,即(4x 3+7)y 2-4y 3(x 3+2)y +y 23=0,所以y A y 3=y 234x 3+7,则y A =y 34x 3+7,x A =x 3+2y 3㊃y A -2=-7x 3-124x 3+7=-74+14(4x 3+7),故A-74+14(4x 3+7),y 34x 3+7㊂同理B -74+14(4x 4+7),y 44x 4+7㊂故k A B=y 34x 3+7-y 44x 4+714(4x 3+7)-14(4x 4+7)=4y 3(4x 4+7)-4y 4(4x 3+7)(4x 4+7)-(4x 3+7)=(k x 3+n )(4x 4+7)-(k x 4+n )(4x 3+7)x 4-x 3=(4n -7k )(x 4-x 3)x 4-x 3=4n -7k =1,所以n =74k +14,所以直线C D 的方程为y =k ㊃x +74+14,故直线C D 过定点-74,14 ㊂21.(1)当a =1时,f (0)=0,f'(x )=e x-1c o s 2x,所以f '(0)=0,故所求切线方程为y =0㊂(2)注意到f (0)=0,f '(x )=e x-a c o s 2x=e xc o s 2x -a c o s 2x,令h (x )=e x c o s 2x -a -π2<x <π2,当a ɤ0时,h (x )ȡ0,所以f (x )在-π2,π2上单调递增,而f (0)=0,所以f (x )在-π2,π2上只有一个零点,不符合题意(舍去)㊂当a >0时,h '(x )=e xc o s 2x -2e x㊃s i n x c o s x =e xc o s 2x (1-2t a n x ),由h '(x )>0得-π2<x <x 0;由h '(x )<0得x 0<x<π2,其中0<x 0<π2且t a n x 0=12㊂故h (x )在-π2,x 0上单调递增,在x 0,π2上单调递减㊂而h -π2 =hπ2 <0,所以h (x 0)一定大于0,即0<a <e x 0c o s 2x 0=45e x其中45e x>1㊂所以∃x 1ɪ-π2,x 0,∃x 2ɪx 0,π2 ,使得h (x 1)=h (x 2)=0,且f (x )在-π2,x 1上单调递减,在(x 1,x 2)上单调递增,在x 2,π2 上单调递减㊂而当x ң-π2时,f (x )ң+ɕ;当x ңπ2时,f (x )ң-ɕ㊂又f (0)=0,所以0ɪ(x 1,x 2),故f '(0)=1-a >0,所以0<a <1㊂22.(1)直线l 的普通方程为y =3x ,故极坐标方程为θ=π3(ρɪR )㊂曲线C 的直角坐标方程为(x -2)2+y 2=9,即x 2+y 2-4x -5=0,故曲线C 的极坐标方程为ρ2-4ρc o s θ-5=0㊂(2)将θ=π3代入ρ2-4ρc o s θ-5=0,得ρ2-2ρ-5=0,ρA ㊁B =1ʃ6,所以A B =ρA -ρB =26㊂由题知点P 的直角坐标为(3,1),所以点P 到直线l 的距离d =3㊃3-12=1㊂故S әP A B =12A B ㊃d =12㊃26㊃1=6㊂23.(1)f (x )=x -1+x +5+x +5ȡ(x -1)-(x +5)+x +5=6+x +5ȡ6,当且仅当x =-5时取等号,所以f (x )的最小值为6,故m =6㊂(2)由(1)知a +3b +2c =6,即(a +2b +1)+(b +2c )=5,所以1a +2b +1+4b +2c =15[(a +2b +1)+(b +2c )]㊃1a +2b +1+4b +2c=15㊃5+4(a +2b +1)b +2c +b +2c a +2b +1 ȡ15㊃5+24(a +2b +1)b +2c ㊃b +2c a +2b +1=95㊂(责任编辑 王福华)。
高考模拟试卷理科数学试题及详细答案解析06
高考模拟试卷理 科 数 学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．3i 1i -=-（ ） A ．12i - B ．12i + C ．2i - D ．2i +2．已知全集U =R ，集合{}220A x x x =--<，41log 2B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则（ ） A ．A B =∅I B ．U A B =R Uð C ．A B B =I D ．A B B =U3．已知,,a b c 是空间不同的三条直线，则下列四个命题正确的是（ ）①,a b b c a c ⇒∥∥∥； ②,a b b c a c ⊥⊥⇒⊥；③,a b b c a c ⊥⊥⇒∥； ④,a b b c a c ⊥⇒⊥∥．A ．①④B ．②④C ．①③D ．①③④ 4．若等比数列{}n a 的首项为23，且()44112a x dx =+⎰，则公比等于（ ）A ．－3B ．3C ．2D ．－25．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a b 、分别为5、2，则输出的n =（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 6．若点()cos ,sin P αα在直线2y x =-上，则2πsin cos 22αα⎛⎫++= ⎪⎝⎭（ ） A ．0 B ．25 C ．65 D ．85 7．已知变量x y ，满足24010x y x y +-⎧⎪⎨⎪⎩≤≥≥，则2z x y =-+的最大值是（ ） A ．12- B ．2 C ．－2 D ．－8 8．下列命题正确的个数是（ ） ①命题“0x ∃∈R ，20013x x +>”的否定是“x ∀∈R ，213x x +≤”； ②函数()22cos sin f x ax ax =-的最小正周期为π是“1a =”的必要不充分条件； ③22x x ax +≥在[]1,2x ∈上恒成立()()2max min 2x x ax ⇔+≥在[]1,2x ∈上恒成立； ④“平面向量a r 与b r 的夹角是钝角”的充分必要条件是“0a b ⋅<r r ”． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 9．若()()21ln 22f x x a x =-++在()1,-+∞上是减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．[)1,-+∞ B ．()1,-+∞ C ．(],1-∞- D ．()1,1- 10．若将函数()()()sin 23cos 2f x x x ϕϕ=+++()0πϕ<<的图象向左平移π4个单位长度，平移后的图象关于点π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，则函数()()cos g x x ϕ=+在ππ,26⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值 为（ ）此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号A ．12-B ．32-C ．22 D ．1211．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>，过点()3,6P 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为()12,15N ，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B ．32C ．355 D ．5212．若存在m ，使得关于x 的方程()()224e ln ln 0x a x m x x m x ++-+-=⎡⎤⎣⎦成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()1,0,2e ⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭U B ．10,2e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．(),0-∞D ．1,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．()62x y -的展开式中，24x y 的系数为__________．14．直线l 与圆()222403x y x y a a ++-+=<相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点为()2,3-，则直线l 的方程为__________．15．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若4a b +=，23c =，且23CA CB ⋅=u u u r u u u r ，则ABC △的面积是__________．16．已知O 为ABC △的外心，其外接圆半径为1，且BO BA BC λμ=+u u u r u u u r u u u r ．若60ABC ∠=︒，则λμ+的最大值为__________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且231n n S a =-．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设n n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 18．某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动．活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次（指针停在任一位置的可能性相等），并获得相应金额的返券．若指针停在A 区域返券60元；停在B 区域返券30元；停在C 区域不返券．例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和． （1）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率； （2）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为X （元）．求随机变量X 的分布列和数学期望． 19．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，32245AB AD ABC ==∠=︒，，，P 点在底面ABCD 内的射影E 在线段AB 上，且2PE =，2BE EA =，F 为AD 的中点，M 在线段CD 上，且CM CD λ=． （1）当23λ=时，证明：平面PFM ⊥平面PAB ； （2）当平面PAM 与平面ABCD 所成二面角的正弦值为25时，求四棱锥P ABCM -的体积．20．已知点P 在圆22:4C x y +=上，而Q 为P 在x 轴上的投影，且点N 满足PN NQ =u u u r u u u r ，设动点N 的轨迹为曲线E ．（1）求曲线E 的方程；（2）若A ，B 是曲线E 上两点，且||2AB =，O 为坐标原点，求AOB △的面积的最大值．21．设函数()ln 1f x x kx =-+．（1）研究函数()f x 的极值点；（2）当0k >时，若对任意的0x >，恒有()0f x ≤，求k 的取值范围；（3）证明：()2222222ln 2ln 3ln 21,2232(1)n n n n n n n --+++<∈+N L ≥．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4－4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，直线l 过定点()1,0-，且倾斜角为()0παα<<，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为()cos cos 8ρθρθ=+． （1）写出l 的参数方程和C 的直角坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 交于A ，B两点，且AB =α的值． 23．选修4－5：不等式选讲 设函数()1f x x x m =++-的最小值是－3． （1）求m 的值； （2）若11m a b +=，是否存在正实数,a b 满足()()7112a b ++=？并说明理由．答 案一、选择题1－5：DCABC 6－10：DABCD 11、12：BA二、填空题13．240 14．50x y -+= 15．3 16．23三、解答题17．【答案】（1）由231n n S a =-······①，11231n n S a --=-······②，()2n ≥①－②得1233n n n a a a -=-，∴13nn aa -=，又当1n =时，11231S a =-，即11a =，（符合题意）∴{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列，∴13n n a -=．（2）由（1）得：13n n nb -=，∴01211233333n n n T -=++++L ······③，121112133333n n n n nT --=++++L ······④， ③－④得：0121112111132331333333322313nn n n n nn n n T --+=++++-=-=-⨯-L ∴969443n n n T +=-⨯．18．【答案】设指针落在A B C 、、区域分别记为事件A B C 、、．则()16P A =，()13P B =，()12P C =，（1）消费128元的顾客，只能转一次，若返券金额不低于30元，则指针落在A 或B 区域，其概率()()111632P P A P B =+=+=，即消费128元顾客返券金额不低于30元概率是12．（2）该顾客可转动转盘2次．随机变量X 的可能值为0，30，60，90，120． ()1110224P X ==⨯=；()111302233P X ==⨯⨯=；()11115602263318P X ==⨯⨯+⨯=； ()111902369P X ==⨯⨯=；()1111206636P X ==⨯=； 所以，随机变量X 的分布列为：其数学期望()030604318E X =⨯+⨯+⨯9012040936+⨯+⨯=． 19．【答案】（1）证明：连接EC ，作AN EC ∥交CD 于点N ，则四边形AECN 为平行四边形， 1CN AE ==，在BCE △中，2BE =，BC =45ABC ∠=︒，由余弦定理得2EC =．所以222BE EC BC +=，从而有BE EC ⊥． 在AND △中，,F M 分别是,AD DN 的中点，则FM AN ∥，FM EC ∥， 因为AB EC ⊥，所以FM AB ⊥． 由PE ⊥平面ABCD ，FM ⊂平面ABCD ，得PE FM ⊥， 又FM AB ⊥，PE AB E =I ，得FM ⊥平面PAB ， 又FM ⊂平面PFM ，所以平面PFM ⊥平面PAB ． （2）以E 为坐标原点，,,EB EC EP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()1,0,0A -，()0,0,2P ，()0,2,0C ，()3,2,0D -， ()1,0,2AP =u u u r ，()13,2,0AM AC CD λλ=+=-u u u u r u u u r u u u r ． 平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1m =u r ．设平面PAM 的法向量为(),,n x y z=r ， 由0AP n ⋅=u u u r r ，0AM n ⋅=u u u u r r ，得()201320x z x y λ+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令2x =，得()2,31,1n λ=--r ． 由题意可得，cos ,m n m n m n ⋅<>===⋅u r r u r r u r r 解得13λ=，所以四棱锥P ABCM -的体积1833P ABCM ABCM V S PE -=⨯=梯形．20．【答案】（1）设(),p p P x y ，∴224p p x y +=，∵PQ x ⊥轴，所以(,0)p Q x ，又设(,)N x y ''，由PN NQ =u u u r u u u r 有2p p x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩代入224x y +=有2214x y ''+=．即曲线E 的方程为2214x y +=．（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线AB 方程为： y kx t =+， 联立2244x y ykx t ⎧+=⎨=+⎩得222(41)84(1)0k x ktx t +++-=， 故122814kt x x k +=-+，21224(1)14t x x k -=+， 由222222121124(1)()(1)[()4]AB k x x k x x x x ==+-=++-，得22222(41)(41)4(1)k t k k +=+-+，故原点O 到直线AB 的距离21d k =+21221S d k =⨯=+，令22141k u k +=+， 则22211(2)144S u u u =-+=--+，又∵[)22214341,411k u k k +==-∈++，当2u =时，max 21S =．当斜率不存在时，AOB △不存在，综合上述可得AOB △面积的最大值为1．21．【答案】（1）∵()ln 1f x x kx =-+，∴()f x 的定义域为()0,+∞，()11kxf x k x x -'=-=，当0k ≤时，()0f x '>，()f x 在()0,+∞上无极值点，当0k >时，令()=0f x '，∴()10,x k =∈+∞，()()f x f x '、随x 的变化情况如下表： x 1(0,)k 1k 1(,)k +∞ ()f x ' ＋ 0 － ()f x ↗ 极大值 ↘ 从上表可以看出：当0k >时()f x 有唯一的极大值点x k =； （2）当0k >时在1x k =处取得极大值也是最大值，要使()0f x ≤恒成立， 只需11ln 0f k k ⎛⎫= ⎪⎝⎭≤，∴1k ≥，即k 的取值范围为[)1,+∞； （3）令1k =，由（2）知，ln 10x x -+≤，∴ln 1x x -≤，∵,2n n ∈N ≥， ∴22ln 1n n -≤，∴22222ln 111n n n n n -=-≤， ()222222222222ln 2ln 3ln 1111111111232323n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+-++-=--+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L L ≤ ()()111123341n n n ⎛⎫<--+++ ⎪ ⎪⨯⨯+⎝⎭L ()111111123341n n n ⎛⎫=---+-++- ⎪+⎝⎭L ()()2112112121n n n n n --⎛⎫=---= ⎪++⎝⎭，∴结论成立． 22．选项4－4：坐标系及参数方程 【答案】（1）1cos :sin x t l y t αα=-+⎧⎨=⎩，2:8C y x =； （2）把直线方程代入抛物线方程得：22sin 8cos 80t t αα-+=， 1228cos sin t t αα+=，1228sin t t α=， ()22121212446sin 4810AB t t t t t t α-=-=+-== ∴4220sin 3sin 20αα+-=，∴21sin 4α=，∴1sin 2α=，∴π6α=或5π6α=．23．选项4－5：不等式选讲【答案】（1）因为()21,111,1x m x f x x x m m x +--⎧=++-=⎨--<-⎩≥，所以min 132y m m =--=-⇒=；（2）∵112a b+=，21a b ab ab +=⇒≥≥， ∵()()7111312a b a b ab ab ++=+++=+=， ∴516ab =<，矛盾．所以不存在正实数,a b 满足条件．。
高考理科数学模拟试卷及详细答案解析06
高考模拟卷高三理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数2i1iz +=-，其中i 为虚数单位，则z 的虚部是（ ）A ．12B ．32C ．3i 2D ．3i 2-【答案】B 【解析】()()()()2i 1i 2i 13i 13i 1i 1i 1i 222z ++++====+--+． ∴z 的虚部是32．故选：B ．2．集合{}1,0,1,2,3A =-，(){}2log 12B x x =+<，则A B =I （ ） A ．{}0,1,2 B ．{}0,1,2,3C ．{}1,0,1,2,3-D ．{}1,0,1,2-【答案】A【解析】由()2log 12x +<，得：014x <+<，即13x -<<，∴()1,3B =-， ∴{}0,1,2A B =I ．故选：A ．3．如图是某公司10个销售店某月销售某产品数量（单位：台）的茎叶图，则数据落在区间[)22,31内的频率为（ ）A ．0.2B ．0.4C ．0.5D ．0.6【答案】C【解析】数据落在区间[)22,31内的产品数量为：22，22，27，29，30，共5个． 数据落在区间[)22,31内的频率为50.510=．故选：C ． 4．已知等比数列{}n a 满足12a =，23564a a a =，则3a 的值为（ ） A ．1 B ．2C ．14D ．12【答案】A【解析】∵等比数列{}n a 满足12a =，23564a a a =，∴22464a a =，又偶数项同号，∴462a a =，∴212q =，∴2311a a q =⨯=．故选：A ． 5．已知变量,x y 满足约束条件241x y x y y -⎧⎪+⎨⎪-⎩≥≤≥，则目标函数2z x y =-的最小值为（ ）A ．1B ．－1C ．3D ．7【答案】A【解析】作出可行域如图：根据图形，当目标函数过点()3,1时，z 有最小值321z =-=，故选A ．6．下列函数中，既是偶函数，又在()0,+∞上单调递增的是（ ） A ．()ln 1y x =- B ．1y x x=-C ．cos xy x=D ．e e x x y -=+【答案】D【解析】四个函数均为偶函数，下面判断单调性： 对于A ，()ln 1y x =-在区间(]0,1无意义，故A 错误； 对于B ，1y x x=-在区间(]0,1上单调递减，故B 错误； 对于C ，cos y x =为周期函数，所以cos xy x=在()0,+∞上不具有单调性； 此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号对于D ，e e x x y -=+是偶函数，又在()0,+∞上单调递增．故选：D ． 7．()()8211x x x ++-的展开式中，6x 的系数为（ ）A ．154B ．42C ．－42D ．126【答案】B【解析】()81x -的通项为()18C rrr T x +=-，{}0,1,,8r ∈⋅⋅⋅， 当第一个因子取1时，6x 的系数为68C ；当第一个因子取x 时，6x 的系数为()558C 1-； 当第一个因子取2x 时，6x 的系数为48C ；故系数为：()5654888C C 1C 42+-+=．故选：B ．8．如图，给出的是计算111147100+++⋅⋅⋅+的值的一个程序框图，则图中判断框内（1）处和执行框中的（2）处应填的语句是（ ）A ．100,1i n n >=+B ．34,3i n n <=+C ．34,3i n n >=+D ．34,3i n n =+≥【答案】C【解析】此时，经第一次循环得到的结果是：1,4,2S n i ===；经第二次循环得到的结果是：11,7,34S n i =+==；经第三次循环得到的结果是：111,10,447S n i =++==；由特例归纳总结：S 中最后一项的分母与i 的关系是分母35i =-，令35100i -=，解得：35i =，即需要35i =时输出，故图中判断框内（1）和执行框的（2）处应填的语句分别是34,3i n n >=+．故选：C ．9．关于函数π3cos 213y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，下列叙述有误的是（ ）A ．其图象关于对称直线π3x =对称 B ．其图象可由π3cos 13y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标变为原来的12得到C ．其值域是[]2,4-D ．其图象关于点5π112⎛⎫⎪⎝⎭，对称 【答案】D【解析】关于函数π3cos 213y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，令π3x =，求得3y =-，为函数的最小值，故A正确；由π3cos 13y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标变为原来的12倍，可得π3cos 213y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象，故B 正确；函数的值域为[]2,4-，故C 正确； 令5π12x =，求得πcos 203y x ⎛⎫=+≠ ⎪⎝⎭，可得函数的图象不关于点5π112⎛⎫⎪⎝⎭，对称，故D 错误；故选：D ．10．某学校有5位教师参加某师范大学组织的暑期骨干教师培训，现有5个培训项目，每位教师可任意选择其中一个项目进行培训，则恰有两个培训项目没有被这5位教师中的任何一位教师选择的情况数为（ ） A ．5400种 B ．3000种 C ．150种 D ．1500种【答案】D【解析】分两步：第一步从5个培训项目中选取三个，共35C 种情况； 第二步5位教师分成两类：一类：1人，1人，3人，共35C 种情况；一类：1人，2人，2人，共225322C CA 种情况；故情况数为：223335355322C C C C A A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭1500．故选：D ．11．如图，等边ABC △的边长为2，顶点B ，C 分别在x 轴的非负半轴，y 轴的非负半轴上滑动，M 为AB 中点，则OA OM ⋅uu r uuu r的最大值为（ ）A ．7B ．572+C ．72D ．3332+【答案】B【解析】设OBC θ∠=，则()2cos ,0B θ，()0,2sin C θ，ππ2cos 2cos ,2sin 33A θθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，ππ2cos cos ,sin 33M θθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，ππππ2cos 2cos 2cos cos 2sin sin 3333OA OM θθθθθθ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-+⨯-+++⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦uu r uuu r ()222222πππ4cos 2cos 6cos cos 2sin 333π1324cos 6cos cos 24cos 6cos cos sin 322513352cos 33sin cos cos 2sin 27sin 22222θθθθθθθθθθθθθθθθθθϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=+-+=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+-=++=++ ∴OA OM ⋅uu r uuu r 的最大值为572+．故选：B ．12．已知函数()e ,0ln ,0xx f x x x ⎧⎪=⎨>⎪⎩≤，则函数()()()211e F x f f x f x =--⎡⎤⎣⎦（e 为自然对数的底数）的零点个数是（ ） A ．3 B ．4C ．6D ．8【答案】C【解析】函数()f x 的图象如图所示：令()m f x =，则()()211e F x f m m =--，先看()y f m =与211e y m =+的交点情况，此时，211e y m =+与()y f m =在()1,+∞上相切于点()2e ,2，211ey m =+与()y f m =在()0,1上有一个交点，211ey m =+与()y f m =在(],0-∞上有两个交点，一个横坐标为0，一个横坐标为负值，故m 可以取到负值，0，大于零小于1，2e 共四个值，再看y m =与()y f x =的交点情况，m 取负值，x 不存在；m 取0，x 有一个；m 取大于零小于1，有三个解；m 取2e 时，有两个解，一共6个解，故选：C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知命题:p x ∀∈R ，都有2240x x -+<，则p ⌝为__________________． 【答案】x ∃∈R ，使得2240x x -+≥【解析】命题:p x ∀∈R ，都有2240x x -+<，p ⌝为x ∃∈R ，使得2240x x -+≥．14．如图所示，在平面直角坐标系内，四边形ABCD 为正方形且点C 坐标为112⎛⎫⎪⎝⎭，．抛物线Γ的顶点在原点，关于x 轴对称，且过点C ．在正方形ABCD 内随机取一点M ，则点M 在阴影区域内的概率为_________．【答案】23【解析】由抛物线Γ的顶点在原点，关于x 轴对称，且过点112C ⎛⎫⎪⎝⎭，，所以抛物线方程为214y x =，阴影区域的面积为320112220233xdx x ==⎰，正方形的面积为1，点M 在阴影区域内的概率为23．故答案为：23．15．已知三棱锥P ABC -，ABC △为等边三角形，PAC △为直角三角形，90PAC ∠=︒，30PCA ∠=︒，平面PAC ⊥平面ABC ．若3AB =，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为__________． 【答案】15π【解析】由90PAC ∠=︒，平面PAC ⊥平面ABC ，可知：PA ⊥平面ABC ，球心在经过ABC △的中心且垂直面ABC 的垂线上，也在线段PA 的中垂面上，故二者交点即球心．222154R =+=⎝⎭，所以外接球的表面积为24π15πS R ==，故答案为：15π． 16．已知1F ，2F 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线C 的一条渐近线垂直，与双曲线的左右两支分别交Q ，P 两点，且2PQ PF a -=，双曲线C 的渐近线方程为__________．【答案】y x = 【解析】过1F 的直线l 与双曲线C 的一条渐近线垂直，设垂足为A ，易得1F A b =，1cos bQFO c∠=，又2PQ PF a -=，所以112PF QF PF a --=，而122PF PF a -=，故1QF a =，23QF a =，在12QF F △中，利用余弦定理可得：2229422ba a c a c c=+-⨯⨯，即222a c ab =-，220a ab b +-=，得：12b a =，故渐近线方程为：12y x =±． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为π,,,3a b c A =． （1）若a =ABC △面积的最大值；（2）若2ac =，求sin B 的值．【答案】（1）ABC △（2【解析】试题分析：（1）有余弦定理易得223b c bc =+-，结合均值不等式得：3bc ≤，又1sin 2ABC S bc A ==△，从而ABC △面积的最大值可得；（2）由正弦定理得sin sin c C A a ==，从而cos C =，又πsin sin 3B C ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故可求得sin B 的值． 试题解析：（1）由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，即223b c bc =+-，所以223b c bc +=+， 因为222b c bc +≥，所以32bc bc +≥，即3bc ≤（当且仅当b c =时，等号成立），所以1sin 2ABC S bc A ==△，故ABC △．（2）由正弦定理得，sin sin a cA C=，所以1πsin sin sin 23c C A a ===所以cos 4C =±，又因为2ac =，所以c a <，所以C A <，故C 为锐角，所以cos 4C =， 所以()()πππsin sin πsin sin sin cos cos sin 333B A C A C C C C ⎛⎫=-+=+=+=+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭12=+=． 18．（12分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()2*122n n S a n ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N ．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列1221n n n n n a a b a a +++=，求数列{}n b 前n 项和n T 的值．【答案】（1）12n a n =-；（2）221616441n n n n +++．【解析】试题分析：（1）由2122n n S a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭推得()()1110n n n n a a a a --+--=，即11n n a a --=，其中2n ≥，故而得到数列{}n a 的通项公式；（2）利用裂项相消法求和． 试题解析：（1）当1n =时，即211122S a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得112a =，22112224n n n n n S a S a a ⎛⎫=+⇒=++ ⎪⎝⎭①2111124n n n S a a ---⇒=++②①－②：22112n n n n n a a aa a --=-+-，所以22110n n n n a a a a -----=，即()()1110n n n n a a a a --+--=，因为{}n a 是正项数列，所以11n n a a ---，即11n n a a --=，其中2n ≥，所以{}n a 是以12为首项，1为公差的等差数列，所以()111122n a n n =+-=-．（2）因为12n a n =-，所以112n a n +=+，所以222222221121122111111222222n n n n b n n n n n n ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()()221142121n n ⎡⎤=-⎢⎥-+⎢⎥⎣⎦， 所以()()1222222211111144413352121n n T b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-+⎢⎥⎣⎦ ()222116164144121n n n n n ⎡⎤+=-=⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦． 19．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为梯形，AB CD ∥，12AD CD BC AB ===，PAD △为等边三角形，PA BD ⊥．（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ； （2）求二面角A PB C --的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）二面角A PB C --的余弦值为6565-． 【解析】试题分析：（1）欲证面面垂直，即证线面垂直；（2）以DA 为x 轴，DB 为y 轴，过D 点与平面ABCD 垂直的直线为z 轴建立空间直角坐标D xyz -，平面PAB 的法向量()3,1,1n =r，平面PBC 的法向量()653,1,3,cos ,65m m n =-=u r u r r，从而得到二面角A PBC --的余弦值．试题解析：（1）如图取AB 的中点E ，连接DE ，依题意DC EB ∥且DC EB =， 所以四边形BCDE 是平行四边形， 所以DE BC =．因为E 是AB 中点， 所以12AE AB =，故AE AD DE ==， 所以ADE △为等边三角形，所以60AED ∠=︒， 因为AB CD ∥，所以60,EDC BC CD ∠=︒=， 所以平行四边形BCDE 为菱形，所以1302EDB EDC ∠=∠=︒，所以90ADB ∠=︒，即BD AD ⊥，又已知PA BD ⊥，所以BD ⊥平面PAD ，BD ⊂平面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD ．（2）由（1）知，BD ⊥平面PAD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，所以如图，以DA 为x 轴，DB 为y 轴，过D 点与平面ABCD 垂直的直线为z 轴建立空间直角坐标D xyz -．设2AB =，则3BD =1AD CD BC PA PD =====，所以()()13131,0,0,3,0,,,,0,2222A B C P ⎛⎫⎛- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭， 所以()13,0,,3,022PA AB ⎛=-=- ⎝⎭u u u r u u u r ．设平面PAB 的法向量(),,n x y z =r ，则13002030PA n x z AB n x ⎧⎧⋅=-=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪⎪⎩-=⎩u u u r r u u u r r ， 令3x =1,1y z ==，所以)3,1,1n =r．同理可得平面PBC 的法向量()3,1,3m =-u r ，所以65cos ,65m n =u r r ， 所以二面角A PB C --的余弦值为6565-． 20．（12分）为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的身体素质，学校对他们的体重进行了测量，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3，其中第2小组的频数为12．（1）求该校报考飞行员的总人数；（2）以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的学生中（人数很多）任选2人，设X 表示体重超过60公斤的学生人数，求X 的分布列和数学期望． 【答案】（1）48n =；（2）随机变量X 的分布列为：()54E X =．【解析】试题分析：（1）由条件可得：1230.125,0.25,0.375p p p ===，2120.25p n==，48n =；（2）由题意知X 服从二项分布，()()22530,1,288kkk P X k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而得到分布列及期望．试题解析：（1）设报考飞行员的人数为n ，前3个小组的频率分别为123,,p p p ，则由条件可得：()2131123230.0370.01351p p p p p p p ⎧=⎪=⎨⎪++++⨯=⎩， 解得1230.125,0.25,0.375p p p ===， 又因为2120.25p n==，所以48n =． （2）由（1）可得，一个报考学生体重超过60公斤的概率为：()350.0370.01358P p =++⨯=，由题意知X 服从二项分布，()()22530,1,288k kk P X k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以随机变量X 的分布列为：()55284E X np ==⨯=．21．（12分）已知点M 是圆心为E 的圆(22316x y +=上的动点，点()3,0F，线段MF 的垂直平分线交EM 于点P ．（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）矩形ABCD 的边所在直线与曲线C 均相切，设矩形ABCD 的面积为S ，求S 的取值范围．【答案】（1）2214x y +=；（2）810S ≤≤． 【解析】试题分析：（1）利用定义法求椭圆的轨迹方程；（2）设AB 的方程为1y k x m =+，BC 的方程为2y k x n =+，直线AB 与CD 间的距离为12121m d k =+，直线BC 与AD 间的距离为22221n d k =+，122212122229411124m nS d k k k k ===⎛⎫+++++ ⎪⎝⎭，从而得到S 的范围． 试题解析：（1）依题PM PF =，所以4PE PF PE PM ME +=+==（为定值），23EF =423>，所以点P 的轨迹是以E ，F 为焦点的椭圆，其中24,23a c ==所以P 点轨迹C 的方程是2214x y +=．（2）①当矩形的边与坐标轴垂直或平行时，易得8S =；②当矩形的边均不与坐标轴垂直或平行时，其四边所在直线的斜率存在且不为0，设AB 的方程为1y k x m =+，BC 的方程为2y k x n =+，则CD 的方程为1y k x m =-，AD 的方程为2y k x n =-，其中121k k ⋅=-， 直线AB 与CD 间的距离为1d ==同理直线BC 与AD间的距离为2d ==，所以()12*S d d =⋅=22221111121044x y k x k mx m y k x m ⎧+=⎪⎛⎫⇒+++-=⎨ ⎪⎝⎭⎪=+⎩， 因为直线AB 与椭圆相切，所以221410k m ∆=+-=，所以m=n =，所以S ===44==212112k k +≥（当且仅当11k =±时，不等式取等号）， 所以4S <≤，即810S <≤， 由①②可知，810S ≤≤． 22．（12分）已知函数()e ln xf x x =．（1）研究函数()f x 的单调性；（2）若不等式()()1f x a x >-在()1,+∞上恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）()f x 在()0,+∞上单调递增；（2）(,e]-∞．【解析】试题分析：（1）二次求导确定函数的单调区间；（2）不等式()()1f x a x >-在()1,+∞上恒成立．()()e ln 10x g x x a x =-->在()1,+∞上恒成立，转求()g x 的最小值即可． 试题解析：（1）易知函数()f x 的定义域为()0,+∞，()1e ln x f x x x ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，设()1ln h x x x =+，则()22111x h x x x x -'=-=，当01x <<时，()0h x '<，当1x >时，()0h x '>，所以()()min 110h x h ==>， 故()0f x '>，所以()f x 在()0,+∞上单调递增．（2）依题()e ln 1xx a x >-在()1,+∞上恒成立，设()()()e ln 11xg x x a x x =-->，则()0g x >在()1,+∞上恒成立，()10g =，()1e ln x g x x a x ⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭，欲使()0g x >在()1,+∞上恒成立，则()10g '≥，得e a ≤，反之，当e a ≤时，()11e ln e ln e x x g x x a x x x ⎛⎫⎛⎫'=+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥，设()()1e ln e 1x r x x x x ⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭，则()221e ln x r x x x x ⎛⎫'=+-⎪⎝⎭， 设()()221ln 1x x x x x φ=+->，则()()22233311122220x x x x x x x x xφ-+-+'=-+==>， 所以()x φ在()1,+∞上单调递增，所以()()110x φφ>=>，所以()0r x '>，所以()r x 在()1,+∞上单调递增，所以()()10r x r >=， 故()0g x '>，所以()g x 在()1,+∞上单调递增， 又()10g =，所以()0g x >在()1,+∞上恒成立， 综上所述，()0g x >在()1,+∞上恒成立e a ⇔≤， 所以a 的取值范围是(,e]-∞．。
【备考2020】全国高考模拟考试数学试卷 (理科)6(含答案解析)
二〇二〇届全国高考模拟考试试卷理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，共12题，满分60分。
1．已知双曲线2222:1x yCa b-=的左、右焦点分别为1F，2F，以12F F为直径的圆与双曲线的四个交点依次连线恰好构成一个正方形，则双曲线的离心率为（）．A．2B．22+C．2D．22+2．如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入（）．A．A=12A+B．A=12A+C．A=112A+D．A=112A+3．设a∈Z，且0≤a<13，若512012+a能被13整除，则a=（）．A ．0B ．1C ．11D ．124．已知i 为虚数单位，,a b ∈R ，复数12ii a bi i+-=+-，则a bi -=（ ）． A ．1255i -B ．1255i +C ．2155i -D ．21i 55+5．已知数列{}n a 的通项公式2,,n a n n N =∈*则122334*********4455620142015.....a a a a a a a a a a a a a a a a ++++=（ ）．A ．-16096B ．-16104C ．-16112D ．-161206．在三棱锥S ABC -中，ABC ∆为正三角形，设二面角S AB C --，S BC A --，S CA B --的平面角的大小分别为,,,,2παβγαβγ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭，则下面结论正确的是（ ）．A ．111tan tan tan αβγ++的值可能是负数 B ．32παβγ++<C ．αβγπ++>D ．111tan tan tan αβγ++的值恒为正数 7．函数()12sin f x x x π=--的所有零点之和等于（ ）． A ．4 B ．5 C ．6 D ．78．已知等比数列{}n a 的各项都为正数，当3n ≥时，242410nn a a -=，设数列{}lg n a 的前n 项和为n S ，1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则2020T 等于（ ）．A ．20202021B ．20192020C ．20191010D ．404020219．求由曲线y =2y x =-+及y 轴所围成的图形的面积错误．．的为（ ）．A ．4(2)x x dx -+⎰B ．4xdx ⎰C ．222(2)y y dy ---⎰D ．022(4)y dy --⎰10．向量m ，n ，p 满足：2m n ==，2m n ⋅=-，1()()2m p n p m p n p -⋅-=-⋅-，则p 最大值为（ ）． A ．2 B ．2C ．1D ．411．设是直角坐标平面上的任意点集，定义．若，则称点集“关于运算*对称”．给定点集，，，其中“关于运算 * 对称”的点集个数为（ ）．A ．B ．C ．D ．12．古代数学名著《张丘建算经》中曾出现过高息借贷的题目：“今有举取他绢，重作券；要过限一日，息绢一尺；二日息二尺；如是息绢，日多一尺.今过限一百日，问息绢几何？”题目的意思是：债主拿欠债方的绢做抵押品，债务过期第一天要纳利息1尺绢，过期第二天利息是2尺，这样，每天利息比前一天增多1尺，若过期100天，欠债方共纳利息为（ ）． A ．100尺B ．4950尺C ．5000尺D ．5050尺二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
【高考冲刺】普通高等学校招生全国统一考试高考模拟卷(六)-理科数学(附答案及答题卡)
第卷
一选择题本题共小题每小题分共分在每小题给出的四个选项中只有一 项是符合题目要求的
!!若复数" 满足")#"#*')槡'+则" 的实部为
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#!已知集合#*$#%*槡012!# $3!&* $ $$33#!$$ 则
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4!某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为.$各成员的支付方式相互独立$设 /
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2021年普通高等学校招生全国统一考试理科数学模拟卷六(附带答案及详细解析)
绝密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（模拟卷六）本试卷共5页，23题(含选考题)。
全卷满分150分。
考试用时120 分钟。
★祝考试顺利★注意事项:1.答题前，先将白己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2. 选择题的作答:每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3. 非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡.上对应的答题区域内。
写在试卷、草稿纸和答题卡，上的非答题区域均无效。
4.选考题的作答: 先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案写在答题卡.上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡.上的非答题区域均无效。
.5.考试结束后，请将本试卷和答题卡-并上交。
一、单选题1.已知集合A={x|√x<2}，B={x||x−1|<2}，则A∩B=（）A. {x|0<x<3}B. {x|−1<x<3}C. {x|0≤x<3}D. {x|−1<x<2}2.若复数z满足(3−4i)z=11+2i，其中i为虚数单位，则z的虚部为（）A. −2B. 2C. −2iD. 2i3.已知△ABC内接于单位圆，则长为sinA、sinB、sinC的三条线段（）A. 能构成一个三角形，其面积大于△ABC面积的14B. 能构成一个三角形，其面积等于△ABC面积的14C. 能构成一个三角形，其面积小于△ABC面积的14D. 不一定能构成三角形4.已知 α,β 是平面， m,n 是直线，则下列命题中不正确的是（ ） A. 若 m ∥ n,m ⊥α ，则 n ⊥α B. 若 m ∥ α,α∩β=n ，则 m ∥nC. 若 m ⊥ α,m ⊥β ，则 α ∥ βD. 若 m ⊥ α,m ⊂β ，则 α⊥ β 5.执行如图所示的程序框图，若输入 a,b,c 的值分别是 1,2,3 ，则输出 a,b,c 的值依次为（ ）A. 2,3,3B. 2,3,1C. 3,2,1D. 1,3,3 6.设函数 y =x sin x +cos x 的图象在点 (t,f(t)) 处切线的斜率为 k ,则函数 k =g(t) 的部分图象为（ ）A. B. C. D.7.设 f(x)=||x −1|−1| ，关于 x 的方程 [f(x)]2+k ⋅f(x)+1=0 ，给出下列四个命题，其中假命题的个数是（ ）①存在实数k ，使得方程恰有3个不同的实根；②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根；③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数k ，使得方程恰有6个不同的实根.A. 0B. 1C. 2D. 38.已知等比数列{a n }的公比q=2，则 2a 1+a 22a 3+a 4的值为（ ）A. 14B. 12C. 18D. 19.一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为（ ）A. 13 + 23 πB. 13 + √23π C. 13 + √26π D. 1+ √26π10.已知函数y=log a （ax 2﹣x ）在区间[2，4]上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A. （ 14，1 ）∪（1，+∞） B. （1，+∞） C. (14，1) D. （0， 18 ） 11.在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)中，F 1,F 2分别是其左右焦点，若椭圆上存在一点P 使得|PF 1|=2|PF 2| ， 则该椭圆离心率的取值范围是( )A. (13,1) B. [13,1) C. (0,13) D. (0,13]12.函数 f(x)=sin(ωx +φ)(x ∈R)(ω>0,|φ|<π2) 的部分图象如图所示，如果 x 1,x 2∈(π6,2π3) ，且 f(x 1)=f(x 2) ，则 f(x 1+x 2)= （ ）A. −√32B. −12C. 12 D. √32二、填空题13.(1+x −x 2)6 的展开式中，含 x 10 项的系数是________14.已知向量序列 a 1⃗⃗⃗⃗ ,a 2⃗⃗⃗⃗ ,a 3⃗⃗⃗⃗ ⋅⋅⋅a n ⃗⃗⃗⃗ ⋅⋅⋅ ，满足如下条件： |a 1|=2 ， |d |=√24 ， 2a 1⃗⃗⃗⃗ ⋅d =−1 ，且 a n ⃗⃗⃗⃗ −a n−1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =d (n ≥2) ，若 a 1⃗⃗⃗⃗ ⋅a k ⃗⃗⃗⃗ =0 ，则 k = ________. 15.已知双曲线 C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的一条渐近线方程为 y =√52x ,且与椭圆x 212+y 23=1 有公共焦点．则曲线C 的方程为________．16.△ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，重心为 G ，若 a ⋅GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +b ⋅GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +√33c ⋅GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ , 则 A = ________. 三、解答题17.在 ΔABC 中， a 、 b 、 c 分别是角 A 、 B 、 C 的对边，且 acosA ,ccosB ,bcosB成等差数列.（1）求角 A 的大小；（2）若 a =√3 ，求 ΔABC 周长的取值范围.18.若关于x 的方程22x ＋2x a ＋a ＋1＝0有实根，求实数a 的取值范围．19.在四棱锥AB中，底面ABCD为平行四边形，平面PAD⊥平面ABCD，ΔPAD是边长为4的等边三角形，BC⊥PB，E是AD的中点.（1）求证：BE⊥PD；（2）若直线AB与平面PAD所成角的正弦值为√15，求平面PAD与平面PBC所成的4锐二面角的余弦值.20.已知函数f（x）=xlnx，g（x）= x．e x（1）证明方程f（x）=g（x）在区间（1，2）内有且仅有唯一实根；（2）记max{a，b}表示a，b两个数中的较大者，方程f（x）=g（x）在区间（1，2）内的实数根为x0，m（x）=max{f（x），g（x）}，若m（x）=n（n∈R）在（1，+∞）内有两个不等的实根x1，x2（x1＜x2），判断x1+x2与2x0的大小，并说明理由．21.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，长轴长为12，直线y=kx﹣4与椭圆交于A，B，弦AB的长为√10，求此直线的斜率．22.在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C1的极坐标方程为ρ2= 31+2cos x ，直线l的极坐标方程为ρ= 4sinθ+cosθ．（I）写出曲线C1与直线l的直角坐标方程；（II）设Q为曲线C1上一动点，求点Q到直线l距离的最小值．23.设函数f(x)=|x+2|.（1）求不等式f(x)+f(−x)≥6的解集；（2）若不等式f(x−4)−f(x+1)>kx+m的解集为(−∞,+∞)，求k+m的取值范围.答案解析部分一、单选题1.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】【解答】解不等式√x<2，可得0≤x<4；解不等式|x−1|<2，即−2< x−1<2，解得−1<x<3.所以，A={x|0≤x<4}，B={x|−1<x<3}，因此，A∩B={x|0≤x<3}.故答案为：C.【分析】求出集合A，B，利用交集的定义即可得到答案。
2022年新高考原创密卷数学试题(六)(含答案解析)
2022年新高考原创密卷数学试题（六）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．己知集合{}22A x x =-≤，{}1,2,3,4,5B =，则A B = （）A ．{}2,3,4,5B ．{}1,2,3,4C ．{}1,2,3D ．{}2,3,42．复数34i2iz +=-（其中i 为虚数单位）在复平面内对应的点在（）A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限3．已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的焦距为2，则双曲线C 的渐近线方程为（）A ．12y x =±B ．y =C ．2y x=±D ．2y x =±4．已知α为锐角，且sin sin 36ππαα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan α=（）AB ．2C D5．直线1y x =+被圆222x y r +=截得的弦长为2，则半径r =（）A BC ．2D ．26．在)7311⎛⋅ ⎝的展开式中，含1x 的项的系数为（）A ．21B ．35C ．48D ．567．在长方体1111ABCD A B C D -中，直线1AC 与平面ABCD 所成角为α，与平面11ABB A 所成角为β，与平面11ADD A 所成角为γ，若1tan 2α=，1tan 3β=，tan γ=（）A ．6B ．16C ．6D 8．已知sin1sin11e e a =+，tan 2tan 21e e b =+，cos3cos31e ec =+，则（）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．c a b>>二、多选题9．已知正实数,a b 满足221a b +=，则下列不等式一定成立的是（）．A ．12≤ab B ．1a b +≤C ．22114a b+≥D ．11a b+≥10．在某独立重复试验中，事件,A B 相互独立，且在一次试验中，事件A 发生的概率为p ，事件B 发生的概率为1p -，其中()0,1p ∈.若进行n 次试验，记事件A 发生的次数为X ，事件B 发生的次数为Y ，事件AB 发生的次数为Z .则下列说法正确的是（）A ．()()E X E Y =B ．()()D X Y D =C ．()()E Z D X =D ．()()()n D Z D X D Y ⋅=⋅11．已知函数()()πsin 0,0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫⎛⎫=+>∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若将()f x 的图象向右平移π6个单位后，所得函数的图象关于y 轴对称，则下列选项正确的是（）A ．若2ω=，则π6ϕ=B ．若π6ϕ=，则ω的最小值为4C ．若()3,4ω∈，则π0,6ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．存在ϕ，使得()0,3ω∈12．已知三棱锥-P ABC 外接球的球心为O ，外接球的半径为4，4AB AC ==，PB PC =，BC m =（m 为正数），则下列命题是真命题的是（）A ．若m =，则三棱锥-P ABC 的体积的最大值为323+B ．若,,P O A 不共线，则平面POA ⊥平面ABC C ．存在唯一一点P ，使得OP ⊥平面ABC D ．m的最大值为三、填空题13．已知向量()(),20a k k k =>，()3,4b = ，若()()a b a b +⊥- ，则实数k =___________.14．函数()()21ln f x f x x x '=+在1x =处的切线方程为__________．15．已知直线:1l y x =-与x 轴的交点为F ，A ，B 是直线l 上的两个动点，点P 是线段AB 上的任意一点，点P 到直线=1x -的距离为d .若d PF ≥恒成立，则线段AB 的最大长度为___________.四、双空题16．瀑布是庐山的一大奇观，唐代诗人李白曾在《望庐山瀑布中》写道：日照香炉生紫烟，遥看瀑布挂前川，飞流直下三千尺，疑是银河落九天.为了测量某个瀑布的实际高度，某同学设计了如下测量方案：沿一段水平山道步行至与瀑布底端在同一水平面时，在此位置测得瀑布顶端的仰角正切值为32，沿山道继续走20m ，测得瀑布顶端的仰角为π3.已知该同学沿山道行进的方向与他第一次望向瀑布底端的方向所成角为π3.根据这位同学的测量数据，可知该瀑布的高度为___________m ；若第二次测量后，继续行进的山道有坡度，坡角大小为π4，且两段山道位于同一平面内，若继续沿山道行进，则该同学望向瀑布顶端与底端的视角正切值为___________.（此人身高忽略不计）五、解答题17．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知222cos 2cos c bc A a ab C -=-，2c =．(1)求证：ABC 为等腰三角形；(2)设ABC 的面积为S ，若__________，求S 的值．在①7cos 2cos C B =；②2BA BC S ⋅=；③2224a c b +=三个选项中，选择一个填入上面空白处，并求解．18．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1132n n n S S a +++=-，且11a =.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)已知数列{}n c 是等差数列，且11c a =，32c S =，设n n n b a c =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .19．某大型跨国公司在年末举办员工抽奖活动，抽奖规则如下：①不透明的抽奖箱中有红、黄、蓝、白四种颜色的卡片共20张，每种颜色的卡片均有五张，且标号均为1,2,3,4,5，每张卡片的形状、大小均相同；②每位员工只能抽奖一次，员工在抽奖时，一次从抽奖箱中抽出三张卡片；③若抽出的三张卡片颜色相同，且编号连续，则为特等奖，奖金8000元；若三张卡片编号相同，则为一等奖，奖金5000元；若三张卡片的编号连续，但颜色不是同一种颜色（可以有两张卡片同色，也可以三张颜色两两不同），则为二等奖，奖金2000元；若三种卡片有两张编号相同，第三张编号不相同，则为三等奖，奖金1000元；其余情况为阳光普照奖，奖金500元．(1)某位员工打算用所得奖金买一部价值4000元的手机，求该员工得偿所愿的概率；(2)若该公司共有员工171000人，求该公司举办此抽奖活动需要发出的奖金总额的数学期望．20．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是矩形，AB =，2AD =，PA PD =，AC PB ⊥．(1)证明：平面PAD ⊥平面ABCD ；(2)若二面角P AB D --的大小为π4，求锐二面角D AP C --的余弦值．21．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点为12,F F ，离心率为2．过点()2,0P 作直线l 与椭圆C 相交于点,A B ．若A 是椭圆C 的短轴端点时，23AF AP ⋅=．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)试判断是否存在l ，使得222111,,2F P F A F B 成等差数列？若存在，求出直线l 的方程：若不存在，说明理由．22．已知函数()()ln x af x a x+=∈R .(1)当1a =时，求函数()f x 的极值；(2)若曲线()y f x x =-有1x ，()212x x x <两个零点.（i ）求a 的取值范围；（ii ）证明：存在一组m ，n （0n m >>），使得()f x 的定义域和值域均为[],m n .参考答案：1．B【分析】解不等式可求得集合A ，由交集定义可得结果.【详解】由22x -≤得：222x -≤-≤，解得：04x ≤≤，即[]0,4A =，又{}1,2,3,4,5B =，{}1,2,3,4A B ∴⋂=.故选：B.2．D【分析】化简21155z i =+，即可得到答案【详解】易知()()()()34i 2i 211i 2i 2i 5z +++==-+，所以复数z 对应的点为211,55⎛⎫⎪⎝⎭在第一象限，故选：D 3．C【分析】由双曲线的性质求解【详解】由题意可知，2c =22a =，所以c =1a =，所以2b ==，则2ba=，渐近线方程为2y x =±．故选：C 4．B【分析】运用两角和与差的正弦公式和同角的商数关系，计算即可得到所求值【详解】因为sin sin 36ππαα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以11sin cos 22αααα=-，所以))1cos 1sin αα+=，所以tan 2α=故选：B 5．D【分析】根据弦心距、半径和弦长的关系求解即可.【详解】圆心到直线的距离2d =，所以r ==．故选：D 6．D【分析】根据二项式定理可得展开式各项的表达式，令93216r k--=-可求得,r k 的取值，代入表达式即可求得所求系数.【详解】由二项式定理可知：展开式各项的表达式为：932363737C C C C kr krr k r kx ---⋅=，其中[]0,3r ∈，[]0,7k ∈，,r k ∈N ；令93216r k--=-得：3215r k +=，16r k =⎧∴⎨=⎩或33r k =⎧⎨=⎩，∴含1x的项的系数为16333737C C C C 213556+=+=.故选：D.7．D【分析】根据题意得1C AC α∠=，11C AB β∠=，11C AD γ∠=，设11C B a =，11A B b =，1CC c =，根据1tan 2α=，1tan 3β=，可以得到2217a b =，2227c b =，而tan γ=，再分析求解即可.【详解】根据题意，画出如下示意图：根据长方体的性质，1CC ⊥平面ABCD ，所以1C AC α∠=，11C B ⊥平面11ABB A ，所以11C AB β∠=，11C D ⊥平面11ADD A ，所以11C AD γ∠=，所以11tan 2CC AC α==，1111tan 3C B AB β==，111tan C D AD γ=，设11C B a =，11A B b =，1CC c =，所以AC ==12=，即2224c a b =+，又1AB ==，13=，即2229a b c =+，又1AD =，所以111tan D AD γ==联立22222249c a b a b c ⎧=+⎨=+⎩，解得22221727a b c b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以tan 3γ=.故选：D.8．B【分析】构造函数()e e 1xxf x =+，利用导数得出单调性，比较sin1,tan 2,cos3的大小即可求出.【详解】设函数()e e 1xx f x =+，则()f x 为偶函数，且当0x ≥时，()1e 0e xxf x '=-≥，所以()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，因为sin12<，tan 21cos32<-<<-，所以tan 21cos3sin102->>->>，又()sin1a f =，()()tan 2tan 2b f f ==-，()()cos3cos3c f f ==-，所以b c a >>.故选：B.9．ACD【分析】利用基本不等式，并结合“1”的巧用依次判断各个选项即可.【详解】对于A ，由222a b ab +≥得：22122a b ab +=≤（当且仅当2a b ==时取等号），A 正确；对于B ，由()2222a b a b++≥得：()()22222a b a b +≤+=，a b ∴+2a b ==时取等号），B 错误；对于C ，()22222222221111224b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭（当且仅当a b ==取等号），C 正确；对于D ，由B知：a b +≤，1（当且仅当2a b ==时取等号），21111b aa b a b a b ++⎛⎫∴+≥+⋅ ⎪⎝⎭2a b ==时取等号），D 正确.故选：ACD.10．BC【分析】利用独立事件的乘法公式和二项分布的期望和方差公式进行判断即可.【详解】因为()E X np =，()()1E Y n p =-，即A 错误；因为()()1D X np p =-，()()1D Y n p p =-，即B 正确；因为,A B 独立，所以()()1P AB p p =-，所以()()()1E Z np p D X =-=，即C 正确；因为()()()2111n D Z n p p p p ⋅=---⎡⎤⎣⎦，()()()2221D X D Y n p p ⋅=-，即D 错误.故选：BC.11．BC【分析】由三角函数平移变换法则和三角函数奇偶性可得,ωϕ之间的关系，依次根据各选项中的,ωϕ的值或范围，结合,ωϕ的范围进行判断即可.【详解】πππsin sin 666f x x x ωϕωωϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 图象关于y 轴对称，()πππ62k k ωϕ∴-+=+∈Z ；对于A ，当2ω=时，()5ππ6k k ϕ=+∈Z ，则π6ϕ=不符合()5ππ6k k ϕ=+∈Z ，A 错误；对于B ，当π6ϕ=时，()πππ63k k ω-=+∈Z ，解得：()26k k ω=--∈Z ，又0ω>，min 264ω∴=-+=，B 正确；对于C ，由()πππ62k k ωϕ-+=+∈Z 得：()πππ62k k ϕω=++∈Z ，()3,4ω∈ ，()7πππ,π6k k k ϕ⎛⎫∴∈++∈ ⎪⎝⎭Z ，又π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1k ∴=-，即π0,6ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，C 正确；对于D ，由()πππ62k k ωϕ-+=+∈Z 得：()636πk k ϕω=--∈Z ，π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，()()36,6k k k ω∴∈---∈Z ，又0ω>，0k ∴<，363k ω∴>--≥，D 错误.故选：BC.12．AB【分析】由m =可求得球心O 到平面ABC 的距离，由此可得三棱锥高的最大值，由棱锥体积公式可知A 正确；设BC 的中点为H ，可证得BC ⊥平面PHA ，由外接球性质可知O ∈平面PHA ，由面面垂直判定可知B 正确；设直线OP 与球的另一交点为0P ，可知0OP ⊥平面ABC ，知C 错误；由,,,O A B C 四点共面可求得BAC ∠，由此可得BC ，知D 错误.【详解】对于A ，若m =222AB AC BC +=，AB AC ∴⊥，则ABC 外接圆的半径r =∴球心O 到平面ABC 的距离d ==∴三棱锥高的最大值为4+，∴体积的最大值为(2113244323+⨯⨯⨯+=，A 正确；对于B ，设BC 的中点为H ，连接,,,,OB OC OH PH AH ，则PH BC ⊥，AH BC ⊥，OH BC ⊥，又PH AH H = ，PH OH H = ，,PH AH ⊂平面PHA ，,PH OH ⊂平面PHO ，BC ∴⊥平面PHA ，BC ⊥平面PHO ，又平面PHA 平面PHO PH =，,,,P O H A ∴四点共面，BC ∴⊥平面POA ，又BC ⊂平面ABC ，∴平面POA ⊥平面ABC ，B 正确；对于C ，设直线OP 与球的另一交点为0P ，若OP ⊥平面ABC ，则0OP ⊥平面ABC ，C 错误；对于D ，当m 最大时，,,,O A B C 四点共面，4OB OC AB AC OA ===== ，23BAC π∴∠=，BC m ∴==D 错误.故选：AB.13【分析】由向量垂直关系可得()()0a b a b +⋅-=，由此构造方程求得结果.【详解】()()a b a b +⊥- ，()()222249160a b a b a b k k ∴+⋅-=-=+--= ，又0k >，k ∴=14．10x y ++=【分析】求导后，代入1x =可求得()1f '，即为切线斜率，结合()12f =-可得切线方程.【详解】()()21ln 1f x f x ''=++ ，()()1211f f ''∴=+，解得：()11f '=-，()2ln f x x x x ∴=-+，()12f ∴=-，∴所求切线方程为：()21y x +=--，即10x y ++=.故答案为：10x y ++=.15．8【分析】设00(,1)P x x -，则可得设01d x =+，01FP =-，然后由d PF ≥，可求出0x 的范围，从而可求出点P 的范围，进而可求得线段AB 的最大长度.【详解】设00(,1)P x x -，则00(1)1d x x =--=+，对于:1l y x =-，由0y =，得1x =，所以(1,0)F ，所以01FP ==-，因为d PF ≥，所以0011x +≥-，所以220000212(21)x x x x ++≥-+，得200610x x -+≤，解得033x -≤≤+，将3x =-1y x =-，得2y =-将3x =+1y x =-，得2y =+，所以8AB ≤，所以线段AB 的最大长度为8，故答案为：8.16．603【分析】根据题意画出图形，设高度为h，则可表示出2,33AC h BC h ==，在ABC 中利用余弦定理即可求出h 的值；由已知数据易知40CG CA ==，则40EF =，则可得到1tan 1,tan 2DFE CFE ∠=∠=，再由两角和的正切公式计算出结果.【详解】如图，设瀑布顶端为D ，底端为C ，高为h ，该同学第一次测量的位置为A ，第二次测量的位置为B ，则3tan ,202DAC AB ∠==，π3DBC CAB ∠=∠=,所以2,33AC h BC ==，在ABC 中由余弦定理可知：2222cos BC AC AB AC AB CAB =+-⋅⋅∠即224214002203932h h =+-⨯⨯⨯，解得：60h =;如图，两段山道为BF ,过F 作FE CD ⊥于点E ，由题意知：π4FBG ∠=，BF =所以20BG FG ==，在ABC中40,20AC BC AB ===，即222AB BC AC +=，所以CB BG ⊥，所以40CG ==，所以40EF CG ==，又20EC FG ==，所以40DE =，1tan 1,tan 2DE CE DFE CFE EF EF ∠==∠==，所以()11tan tan 2tan tan 311tan tan 12DFE CFE DFC DFE CFE DFE CFE +∠+∠∠=∠+∠===-∠⋅∠-.故答案为：60；3.17．(1)证明见解析(2)选①：4S =；选②：S =2S =【分析】（1）由已知等式可配凑出余弦定理的形式，得到a c =，由此可得结论；（2）若选①，由π2B C =-，结合二倍角公式可求得cos ,cos C B ，进而得到sin B ，代入三角形面积公式即可；若选②，由向量数量积运算的定义和三角形面积公式可化简求得π4B =，代入三角形面积公式即可；若选③，利用余弦定理可求得cos B ，进而得到sin B ，代入三角形面积公式即可.【详解】（1）由222cos 2cos c bc A a ab C -=-得：22222cos 2cos b c bc A b a ab C +-=+-，由余弦定理可知：22a c =，a c ∴=，即ABC 为等腰三角形.（2）若选条件①，由（1）得：2a c ==，A C =，()ππ2B A C C ∴=-+=-，()27cos 2cos π22cos 24cos 2C C C C ∴=-=-=-+，解得：1cos 4C =或cos 2C =-（舍），77cos cos 28B C ∴==，而B 为三角形内角，sin 8B ∴=，1sin 2284S ac B ∴==⨯；若选条件②，由（1）得：2a c ==，cos 4cos BA BC ac B B ∴⋅==，14cos 22sin 4sin 2B S ac B B ∴==⨯=，tan 1B ∴=，即三角形内角π4B =，sin B ∴=1sin 22S ac B ∴==⨯；若选条件③，由（1）得：2a c ==，22248b a c ∴=+=，解得：b =，2223cos 24a c b B ac +-∴==，而B为三角形内角，sin 4B ∴==，1sin 22S ac B ∴==⨯18．(1)12n n a -=(2)()121nn T n =-⋅+【分析】（1）根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，作差得到()122n n a a n +=≥，即可得到{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，从而得到通项公式；（2）首先求出{}n c 的通项公式，即可得到12n n b n -=⋅，利用错位相减法求和即可；【详解】（1）解：因为1132n n n S S a +++=-，所以()1322n n n S S a n -+=-≥，两式相减，可得()11332n n n n a a a a n +++=-≥，整理得()122n n a a n +=≥，∵1n =时，1221222232232242a S a a a a a a +=-⇒+=-⇒=⇒=，∴212a a =，所以公比2q =，即数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，所以12n n a -=；（2）解：易知111c a ==，323c S ==，所以公差3112d -==，所以n c n =，所以12n n n n b a c n -=⋅=⋅，因为01211222322n n T n -=⋅+⋅+⋅++⋅ ，则()12312122232122n nn T n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅ ，两式相减可得()()011122222212112nnn nn n T n n n --=⋅-+++=⋅-=-⋅+- .即()121nn T n =-⋅+19．(1)8285(2)180900000元【分析】（1）结合组合数的运算，由古典概型概率公式可求得结果；（2）设每位员工获得奖金值为随机变量X ，可求得X 每个取值对应的概率，由数学期望公司可求得人均获得奖金的期望值，进而求得奖金总额的数学期望.【详解】（1）由题意知：该员工必须中得特等奖或一等奖才可以得偿所愿，记其得偿所愿为事件A ，则()11313445320C C C C 12208201918C 285321P A ++===⨯⨯⨯⨯.（2）设每位员工获得奖金值为随机变量X ，则X 所有可能的取值为500，1000，2000，5000，8000，()1143320C C 1218000C 114095P X ∴====；()3145320C C 2015000C 114057P X ====；()()1111111134324343320C C C C C C C C 144122000C 114095P X ++====；()125432016C C 48081000C 114019P X ====；()()()()()50018000500020001000P X P X P X P X P X ==-=-=-=-=4841211140285==；∴人均获得奖金的数学期望()111281216030080005000200010005009557951928557E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，∴发出的奖金总额的数学期望为()171000180900000E X =（元）.20．(1)证明见解析【分析】（1）取AD 中点O ，连接OP ，OB ，首先利用线面垂直的判定得AC ⊥平面POB ，再利用线面垂直的性质定理得AC PO ⊥，最后再利用面面垂直的判定即可证明.（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角得余弦值.【详解】（1）取AD 中点O ，连接OP ，OB ，因为在矩形ABCD中，2AB AD==，所以1AO=，所以BC ABAB AO=，又π2DAB ABC∠=∠=，所以OAB ABC~，所以CAB AOB∠=∠，因为π2CAB OAC∠+∠=，所以π2AOB OAC∠+∠=，所以OB AC⊥，又因为,AC PB PB OB B⊥=且PB，OB⊂平面POB，所以AC⊥平面POB，因为PO⊂平面POB，所以AC PO⊥，因为PA PD=，O为AD中点，所以PO AD⊥，又,,,PO AC AC AD A AC AD⊥=⊂平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD，因为PO⊂平面PAD，所以平面PAD⊥平面ABCD；（2）因为PO⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以AB PO⊥，又AB AD⊥，,,AD PO O AD PO=⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD，又PA⊂平面PAD，所以AB PA⊥，又DA AB⊥，PA⊂平面PAB，DA⊂平面ABD，平面PAB⋂平面ABD AB=，所以PAD∠即为二面角P AB D--的平面角，因为PO AD⊥，且π4PAD∠=，所以tan1POPADAO∠==，所以1OP=，作BC中点M，连接OM，以{,,}OA OM OP为正交基底，建立空间直角坐标系，则(1,0,0),((0,0,1)A C P-，所以(1,0,1),(AP AC=-=-，设平面APC的法向量为(,,)m x y z= ，则20m AP x zm AC x⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取1x=，则1y z==，所以m=，因为平面PAD的法向量(0,1,0)n= ，设锐二面角D AP C--为θ，则||cos cos,||||2m nm nm nθ⋅===⋅．21．(1)2212x y+=(2)不存在，理由见解析【分析】（1）根据离心率、向量数量积坐标运算和椭圆,,a b c关系可求得椭圆标准方程；（2）假设存在满足题意的直线():2l y k x=-，与椭圆方程联立，由0∆>可得k的范围，并得到韦达定理的结论；利用两点间距离公式可表示出222111,,2F PF A F B，根据等差数列定义可构造关于2k的方程，结合2k的范围可知方程无解，由此可得结论.【详解】（1）由题意知：2cea==，即a，当A为椭圆的短轴端点时，不妨设()0,A b，则()2,AF b c=-，(),2AP b=-，2223AF AP b c∴⋅=+=，又2222b ac c=-=，2230c c∴+-=，解得：1c=，1b∴=，a=∴椭圆C的标准方程为2212x y+=.（2）假设存在直线l，使得222111,,2F PF A F B成等差数列；由题意知：直线l的斜率存在，设():2l y k x=-，由()22212y k xx y⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得：()2222218820k x k x k+-+-=，则()2281240k k∆=+->，解得：22k⎛⎫∈ ⎪⎪⎝⎭，设()()1122,,,A x yB x y，则2122812kx xk+=+，21228212kx xk-=+，()()()42222121212224821212k kx x x x x xk-+∴+=+-=+()11,0F-，()()2222221111111111112222F A x y x x x x∴=++=++-=++，同理可得：221221222F B x x =++，()()2242221211122248122244221x x k k F A F B x x k +++∴+=+++=++，又219F P =，()4222481224921k k k++∴+=+，整理得：4228830k k --=，由22k ⎛∈- ⎝⎭得：210,2k ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，()()42222883211430k k k k ∴--=-+<，即k 无解，∴不存在符合题意的直线l .【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的存在性问题的求解，解题基本思路是假设直线存在，根据存在时的结论构造出等量关系，结合韦达定理的结论化简等量关系，根据方程是否有解可确定是否存在.22．(1)极大值为1，无极小值(2)（i ）ln 2122a >+；（ii ）证明见解析【分析】（1）求出导函数，求出的根，列表确定的正负，()f x 的单调性与极值；（2）（i ）转化为2ln 0x x a -+=有两解，设()2ln g x x x a =-+，利用导数确定()g x 的单调性与极值，最大值大于0，确定有小于0的函数值（需引入新函数，再利用导数确定单调性得出），结合零点存在定理得结论；（ii ）先利用导数确定()f x 的单调性与最大值点0x ，然后由按0x 与区间[,]m n 的关系分类讨论确定函数()f x 在此区间内的值域，由值域是[,]m n 确定a 的取值范围，从而得证．【详解】（1）函数定义域是(0,)+∞，当1a =时，()ln 1x f x x+=，则，令，解得1x =，列表可知x()0,11()1,+∞+0－()f x 单调递增1单调递减()f x 的极大值为()11f =，无极小值；（2）（i ）解：由题意可知，ln 0x ax x+-=有两解，即2ln 0x x a -+=有两解，设()2ln g x x x a =-+，则，令，解得2x =（2-舍去），列表可知，()max ln 21222g x g a ⎛==--+ ⎝⎭，因为()g x 有两个零点，所以()max 0g x >，解得ln 2122a >+，当0e a x -<<时，有ln 0x a +<，可得()ln 0g x x a <+<，令()21ln 2x x x ϕ=-，有，01x <<时，()0x ϕ'>．1x >时，()0x ϕ'<，可得函数()x ϕ的减区间为()1,+∞，增区间为()0,1，有()()1102x ϕϕ=-<≤，可得21ln 02x x -<，当x >时，()2221111ln 202222g x x x a x a x a a ⎛⎫⎛⎫=-+-<-<-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以存在12x <，2x ，使得()()120g x g x ==，所以ln 2122a >+；（ii ）证明：因为()21ln a xf x x--'=，令，解得1e a x -=，列表可知，x()10,e a-1e a-()1e,a-+∞+0－()f x 单调递增极大值单调递减()f x 在()10,e a -上单调递增，在()1e ,a -+∞上单调递减，①若1e a m n -<≤，则()f x 在[,]m n 上单调递增，因此()f m m =，()f n n =，由上可知取1m x =，2n x =，此时()()1222e 1e 0a a g g x --=-≤=，ln 21122a +<≤，所以当ln 21122a +<≤时，存在一组m ，n 符合题意；②若1e a m n -≤<，则()f x 在[],m n 上单调递减，所以()ln m a f m n m +==，()ln n af n m n+==，所以ln ln m a n a mn +=+=，即m n =，不符题意；③若1e a m n -<<，()f x 在)1,e a m -⎡⎣上单调递增，在()1e ,a-+∞上单调递减，所以()()11max 1e eaaf x f n --===，由111e ea a-->得1a >，又因为()()11e 21e a af n a m --=->>，所以()()min f x f m m ==，即1m x =，11e an -=，所以当1a >时，存在一组m ，n 符合题意；综上，存在一组m ，n 符合题意.【点睛】本题考查用导数求函数的极值，研究方程的根与函数零点分布，研究函数的值域．难点有两个：第一个是由零点个数确定参数范围时，零点的存在性一般与零点存在定理结合，因此需要在某个区间的两个端点处函数值符号相反才能得出，本题中需要引入新函数，由函数的性质得出，第二个是确定函数值域问题，需对参数进行分类，一定要注意分类标准的确定，需要有统一标准，本题是按区间[,]m n 与函数的最大值点的关系分类，然后求出对应参数a 的取值范围，它们正好相适应，从而得出结论．本题对学生的逻辑能力，运算求解能力，分析问题解决问题的能力要求较高，属于困难题．。
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绝密★启用前
最新高三理科数学精准模拟卷（六）
本试卷共4页，23小题，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡的相应位置上。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{0,1,2,3,4}U =，{
}
2
|20A x Z x x =∈-„，{1,2,3}B =，则()
U A B =U ð（ ） A ．{3}
B ．{0,1,2}
C ．{1,2,3}
D ．{1,2,3,4}
2．设,m n u r r 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=u r r m n ”是“0m n ⋅<u r r
”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．已知实数x ，y 满足约束条件202201
x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩
，则目标函数212x y z -⎛⎫= ⎪⎝⎭的最大值为（ ）
A ．1
B ．
12
C ．
14
D ．
116
4．某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险：戊，重大疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理赔.该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图例，以下四个选项错误的是（ ）
A ．54周岁以上参保人数最少
B ．18～29周岁人群参保总费用最少
C ．丁险种更受参保人青睐
D ．30周岁以上的人群约占参保人群的80%
5．在直角坐标系xOy 中，角α的顶点在原点，始边与x 的非负半轴重合，
终边经过点P ，则cos 22πα⎛⎫
+
⎪⎝⎭
的值为（ ） A
．7
-
B
．
7
C
．7
-
D
．
7
6．如图，网格纸上的小正方形的边长均为1，粗线画的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）
A ．
32
B ．2
C ．3
D ．
92
7．在平行四边形ABCD
中，2AB AD ==E 是BC 的中点，F 点在边CD 上，且2CF FD =，若
17
2
AE BF ⋅=-u u u r u u u r ，则DAB ∠=（ ）
A ．30o
B ．60o
C ．120o
D ．150o
8．在数列{a n }中，若a n 2﹣a n ﹣12＝p ，（n ≥2，n ∈N *，p 为常数），则称{a n }为“等方差数列”，下列是对“
等方差数列。