2018高考数学大一轮复习第九章解析几何课时达标检测(四十九)直线与圆锥曲线理
近年高考数学大一轮复习 第九章 解析几何 课时达标检测(四十九)直线与圆锥曲线 理(2021年整理)
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课时达标检测（四十九）直线与圆锥曲线［练基础小题——强化运算能力]1．已知双曲线错误!－错误!＝1的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的取值范围是( )A.错误! B．(－错误!，错误!)C。
错误! D．［－错误!，错误! ]解析:选C 由题意知，右焦点为F(4,0)，双曲线的两条渐近线方程为y＝±错误!x.当过点F的直线与渐近线平行时,满足与双曲线的右支有且只有一个交点，数形结合可知该直线的斜率的取值范围是错误!，故选C。
2．已知经过点（0，错误!)且斜率为k的直线l与椭圆错误!＋y2＝1有两个不同的交点P 和Q，则k的取值范围是( ）A.错误!B.错误!∪错误!C．(－错误!，错误!) D．（－∞,－错误!）∪(错误!,＋∞）解析:选B 由题意得，直线l的方程为y＝kx＋错误!，代入椭圆方程得错误!＋（kx＋错误!）2＝1，整理得错误!x2＋2错误!kx＋1＝0。
直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ＝8k2－4错误!＝4k2－2>0，解得k<－错误!或k〉错误!，即k的取值范围为错误!∪错误!。
故选B.3．过抛物线y2＝2x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2,则这样的直线（)A．有且只有一条 B．有且只有两条C．有且只有三条 D．有且只有四条解析：选B ∵通径2p＝2，｜AB|＝x1＋x2＋p，∴｜AB|＝3>2p，故这样的直线有且只有两条．4．斜率为1的直线l与椭圆错误!＋y2＝1相交于A,B两点,则｜AB｜的最大值为（)A．2 B。
高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.8 圆锥曲线的综合问题 第1课时 直线与圆锥曲线教师用
题第1课时直线与圆锥曲线教师用书文新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.8 圆锥曲线的综合问题第1课时直线与圆锥曲线教师用书文新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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问题第1课时直线与圆锥曲线教师用书文新人教版1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x（或y)的一元方程:ax2＋bx＋c＝0（或ay2＋by＋c＝0)．(1）若a≠0,可考虑一元二次方程的判别式Δ,有①Δ〉0⇔直线与圆锥曲线相交；②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切;③Δ〈0⇔直线与圆锥曲线相离．(2）若a＝0,b≠0，即得到一个一元一次方程,则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点，①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k（k≠0）的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1),B(x2，y2)两点,则｜AB｜＝错误!｜x－x1|＝错误!|y2－y1|.2【知识拓展】过一点的直线与圆锥曲线的位置关系（1）过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；过椭圆内一点的直线与椭圆相交．（2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线。
2018课标版理数一轮(9)第九章-平面解析几何(含答案)9 第九节 直线与圆锥曲线的位置关系夯基提能作业本
第九节直线与圆锥曲线的位置关系A组基础题组1.过抛物线y2=2x的焦点作一条直线与抛物线交于A,B两点,它们的横坐标之和等于2,则这样的直线()A.有且只有一条B.有且只有两条C.有且只有三条D.有且只有四条2.已知双曲线x 2a -y2b=1与直线y=2x有交点,则双曲线离心率的取值范围为()A.(1,5)B.(1,5]C.(5,+∞)D.[5,+∞)3.过点0,-12的直线l与抛物线y=-x2交于A、B两点,O为坐标原点,则OA²OB的值为()A.-12B.-14C.-4D.无法确定4.已知双曲线x 2a -y2b=1(a>0,b>0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4,若抛物线y=ax2上的两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y=x+m对称,且x1x2=-12,则m的值为()A.32B.52C.2D.35.直线y=kx+2与抛物线y2=8x有且只有一个公共点,则k的值为.6.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F且倾斜角为60°的直角l与抛物线C在第一、四象限分别交于A,B两点,则|AF||BF|的值等于.7.已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,离心率e=22,P为椭圆上任一点,且△PF1F2的最大面积为1.(1)求椭圆C的方程;(2)设斜率为22的直线l交椭圆C于A,B两点,且以AB为直径的圆恒过原点O,求△OAB的面积.8.已知椭圆E:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22,右焦点为F(1,0).(1)求椭圆E的标准方程;(2)设点O为坐标原点,过点F作直线l与椭圆E交于M,N两点,若OM⊥ON,求直线l的方程.B组提升题组9.(2016四川,20,13分)已知椭圆E:x 2a +y2b=1(a>b>0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点,点P12在椭圆E上.(1)求椭圆E的方程;(2)设不过原点O且斜率为12的直线l与椭圆E交于不同的两点A,B,线段AB的中点为M,直线OM与椭圆E 交于C,D,证明:|MA|²|MB|=|MC|²|MD|.10.设抛物线过定点A(-1,0),且以直线x=1为准线.(1)求抛物线顶点的轨迹C的方程;平分,设弦MN的垂直平分线的方程为(2)若直线l与轨迹C交于不同的两点M,N,且线段MN恰被直线x=-12y=kx+m,试求m的取值范围.答案全解全析A组基础题组1.B设该抛物线焦点为F,A(x A,y A),B(x B,y B),则|AB|=|AF|+|FB|=x A+p2+x B+p2=x A+x B+1=3>2p=2,所以符合条件的直线有且只有两条.2.C双曲线的一条渐近线方程为y=bax,由题意得ba>2,∴e=ca =1+ba2>1+4=5.3.B由题意知直线l的斜率存在.设A(x1,y1)、B(x2,y2),直线l的方程为y=kx-12,代入抛物线方程得2x2+2kx-1=0,由此得x1+x2=-k,x1x2=-12,∴OA²OB=x1x2+y1y2=x1x2+ kx1-12kx2-12=(k2+1)²x1x2-12k²(x1+x2)+14=-12(k2+1)-12k²(-k)+1 4=-14.故选B.4.A由双曲线的定义知2a=4,得a=2,所以抛物线的方程为y=2x2.因为点A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线y=2x2上,所以y1=2x12,y2=2x22,两式相减得y1-y2=2(x1-x2)(x1+x2),不妨设x1<x2,又A,B关于直线y=x+m对称,所以y1-y2x1-x2=-1,故x1+x2=-12,而x1x2=-12,解得x1=-1,x2=12,设A(x1,y1),B(x2,y2)的中点为M(x0,y0),则x0=x1+x22=-14,y0=y1+y22=2x12+2x222=54,因为中点M在直线y=x+m上,所以5 4=-14+m,解得m=32.5.答案0或1解析由y=kx+2,y2=8x,得k2x2+(4k-8)x+4=0.若k=0,则y=2.若k≠0,则Δ=0,即64-64k=0,解得k=1.所以直线y=kx+2与抛物线y2=8x有且只有一个公共点时,k的值为0或1.6.答案 3解析 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),易知x 1>x 2. 由直线l 的倾斜角为60°,且过点F p2,0 , 得直线l 的方程为y-0= 3 x -p2 , 即y= 3x- 32p,联立y = 3x-32p,y 2=2px,消去y 并整理,得12x 2-20px+3p 2=0, 则x 1=32p,x 2=16p, 则|AF ||BF |=32p+12p 16p+12p =3.7.解析 (1)e=c a = 22,设P(x 0,y 0),△PF 1F 2的面积S=|y 0|c,又|y 0|≤b,所以最大面积为bc=1,则b=c=1,a= 2,所以椭圆C 的方程为x 22+y 2=1.(2)设直线l 的方程为y= 22x+m,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),联立 y = 22x +m,x 2+2y 2=2,消去y 并整理得2x 2+2 2mx+2m 2-2=0,则 x 1+x 2=- 2m,x 1²x 2=m 2-1.由题意知OA ²OB =x 1x 2+y 1y 2=0, 又y 1y 2=22x 1+m22x 2+m=12x 1x 2+ 22m(x 1+x 2)+m 2,所以OA²OB =32x 1x 2+ 22m(x 1+x 2)+m 2=32m 2-32=0, 解得m=±1.则|AB|= 1+ 22 2² (x 1+x 2)2-4x 1x 2= 3,因为原点到直线l 的距离为1+ 22= 63,所以S △AOB =12³ 3³ 63= 22.8.解析(1)依题意可得1a=22,a2=b2+1,解得a=2,b=1,所以椭圆E的标准方程为x22+y2=1.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),①当MN垂直于x轴时,直线l的方程为x=1,不符合题意;②当MN不垂直于x轴时,设直线l的方程为y=k(x-1).联立x22+y2=1, y=k(x-1),消去y并整理,得(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0,所以x1+x2=4k21+2k ,x1²x2=2(k2-1)1+2k.所以y1²y2=k2[x1x2-(x1+x2)+1]=-k21+2k.因为OM⊥ON,所以OM²ON=0,所以x1²x2+y1²y2=k2-21+2k2=0,所以k=±2,所以直线l的方程为y=±2(x-1).B组提升题组9.解析(1)由已知,a=2b.又椭圆x2a +y2b=1(a>b>0)过点P12,故34b2+14b2=1,解得b2=1.所以椭圆E的方程是x24+y2=1.(2)设直线l的方程为y=12x+m(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),由方程组x24+y2=1,y=12x+m,得x2+2mx+2m2-2=0,①方程①的判别式为Δ=4(2-m2),由Δ>0,即2-m2>0,解得-2<m<2. 由①得x1+x2=-2m,x1x2=2m2-2.所以M点的坐标为-m,m2,直线OM的方程为y=-12x,由方程组x24+y2=1,y=-12x,得C-2,22,D2,-22.所以|MC|²|MD|=52(-m+2)²52(2+m)=54(2-m2).又|MA|²|MB|=14|AB|2=14[(x1-x2)2+(y1-y2)2]=516[(x1+x2)2-4x1x2]=516[4m2-4(2m2-2)]=54(2-m2),所以|MA|²|MB|=|MC|²|MD|.10.解析(1)设抛物线的顶点为Q(x,y),则焦点为F(2x-1,y).根据抛物线的定义得|AF|=2,即(2x)2+y2=4,所以轨迹C的方程为x2+y24=1.(2)设弦MN的中点为P-12,y0,M(x M,y M),N(x N,y N),则由点M,N为椭圆C上的点,可知4x M2+y M2=4,4x N2+y N2=4,两式相减,得4(x M-x N)(x M+x N)+(y M-y N)(y M+y N)=0,(*)将x M+x N=2³-12=-1,y M+y N=2y0,y M-y Nx M-x N=-1k代入(*)式得k=-y02.又点P-12,y0在弦MN的垂直平分线上,所以y0=-12k+m,所以m=y0+12k=34y0.又点P-12,y0在线段BB'上,B',B为直线x=-12与椭圆的交点,如图所示所以y B'<y0<y B,所以-3<y0<3.所以-334<m<334,且m≠0.。
2018课标版理数一轮(9)第九章-平面解析几何(含答案)9 第九节 直线与圆锥曲线的位置关系
即m2=2k2+1.
y 2 4 x, 由 消去y,整理得k2x2+(2km-4)x+m2=0, y kx m
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Δ2=(2km-4)2-4k2m2=16-16km=0,即km=1,
m 2 2k 2 1, ① ∴ km 1.② 1 1 2 4 2 由②得m= ,代入①得 2 =2k +1,即2k +k -1=0. k k
3 2 3 2
a b
) D.
2 3 27
B.
2 3 3
C.
9 3 2
答案 A 设A(x1,y1)、B(x2,y2),AB的中点为M(x0,y0),结合题意,由点差法
2 得,
y y1 a x0 a 2 3 =- · =- · =-1,∴a = . x2 x1 b y0 b 3 b 2
14(b 2 4) 次方程根与系数的关系及题意得y1+y2= 2 =2,解得b2=8. 10b 4
所以a2=12.
x2 y 2 则椭圆的方程为 + =1. 8 12
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方法技巧 处理中点弦问题的常用方法 (1)点差法:即设出弦的两端点坐标后,代入圆锥曲线方程,并将两式相减,
1 式中含有x1+x2,y1+y2,
令t=k2,则2t2+t-1=0,
解得t1= ,t2=-1(舍),
2 2 k , k , ∴ 2 或 2 m 2 m 2. 2 2 ∴直线l的方程为y= x+ 2 或y=- x- 2 . 2 2
1 2
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考点二 典例2
弦长问题
x2 y 2 2 已知椭圆C: + =1( a > b >0) 的一个顶点为 A (2,0), 离心 所以椭圆C的方程为 + =1. 4 2
2018届高考数学(文)一轮复习精编配套试题(配最新试题汇编)第九章《解析几何》(含答案精细解析)
若在 C 上存在一点 P. 使 PF1⊥PF2, 且∠ PF1F2=30°, 则 C 的离心率为 ___________.
16、（ 2013 年高考辽宁卷
（文
15））已知 F 为双曲线
x2 C:
y2 1的左焦点 , P, Q 为 C 上
9 16
的点 , 若 PQ 的长等于虚轴长的 2 倍 , 点 A 5,0 在线段 PQ 上 , 则 PQF 的周长为
（ C） 1 或 2 2
（ D） 1 或 3 22
二、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线 上)
13．【北京市朝阳区 2013 届高三上学期期末考试数学文】已知双曲线中心在原点，一个焦
点为 F1 ( 5 ,0) ，点 P 在双曲线上，且线段 PF1的中点坐标为（ 0 ， 2 ），则此双曲线
的方程是
，离心率是 .
14. （ 2013 年高考江西卷（文 14）） 若圆 C 经过坐标原点和点 (4,0), 且与直线 y=1 相切 , 则圆
C的方程是 _________.
x2 y2
15、（ 2013 年高考湖南（文 14）） 设 F1,F 2 是双曲线 C,
a2
b2
1 (a>0,b>0) 的两个焦点 .
____________.
三、解答题 (本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤 )
17． (本小题满分 10 分 ) （ 2013 年高考四川卷（文））
已知圆 C 的方程为 x2 ( y 4)2 4 , 点 O 是坐标原点 . 直线 l : y kx 与圆 C 交于
双曲线的标准方程为（ ）
A ． x2 y2 1 3
2018高考数学理大一轮复习习题：第九章 解析几何 课时达标检测四十二 直线与方程 含答案 精品
课时达标检测（四十二） 直线与方程1．直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6解析：选D 由直线的方程得直线的斜率为k ＝－33，设倾斜角为α，则tan α＝－33，所以α＝5π6.2．若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则参数m 满足的条件是( )A ．m ≠－32B ．m ≠0C ．m ≠0且m ≠1D ．m ≠1解析：选D 由⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －3＝0，m 2－m ＝0，解得m ＝1，故m ≠1时方程表示一条直线．3．过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0解析：选A 依题意，设所求的直线方程为x －2y ＋a ＝0，由于点(1,0)在所求直线上，则1＋a ＝0，即a ＝－1，则所求的直线方程为x －2y －1＝0.4．已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是( ) A.1710 B.175C ．8D ．2解析：选D ∵63＝m 4≠14－3，∴m ＝8，直线6x ＋8y ＋14＝0可化为3x ＋4y ＋7＝0，两平行线之间的距离d ＝|－3－7|32＋42＝2. 5．若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋2y ＋5＝0相交于同一点，则m 的值为________． 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x ＋y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.所以点(1,2)满足方程mx ＋2y ＋5＝0，即m ×1＋2×2＋5＝0，所以m ＝－9.答案：－9一、选择题1．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－2或－1D ．－2或1解析：选D 由题意可知a ≠0.当x ＝0时，y ＝a ＋2.当y ＝0时，x ＝a ＋2a .故a ＋2a＝a ＋2，解得a ＝－2或a ＝1.2．直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a ，b ，c 应满足( ) A ．ab ＞0，bc ＜0 B ．ab ＞0，bc ＞0 C ．ab ＜0，bc ＞0D ．ab ＜0，bc ＜0解析：选A 由于直线ax ＋by ＋c ＝0同时经过第一、第二、第四象限，所以直线斜率存在，将方程变形为y ＝－ab x －c b .易知－a b ＜0且－c b＞0，故ab ＞0，bc ＜0.3．两直线x m －y n ＝a 与x n －y m＝a (其中a 是不为零的常数)的图象可能是( )解析：选B 直线方程x m －yn ＝a 可化为y ＝n m x －na ，直线x n －y m ＝a 可化为y ＝m nx －ma ，由此可知两条直线的斜率同号，故选B.4．若动点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)分别在直线l 1：x －y －5＝0，l 2：x －y －15＝0上移动，则P 1P 2的中点P 到原点的距离的最小值是( )A.522 B ．5 2 C.1522D ．15 2 解析：选B 由题意得P 1P 2的中点P 的轨迹方程是x －y －10＝0，则原点到直线x －y －10＝0的距离为d ＝|－10|2＝52，即P 到原点距离的最小值为5 2.5．已知A ，B 两点分别在两条互相垂直的直线2x －y ＝0和x ＋ay ＝0上，且AB 线段的中点为P ⎝⎛⎭⎪⎫0，10a ，则线段AB 的长为( )A ．11B ．10C ．9D ．8解析：选B 依题意，a ＝2，P (0,5)，设A (x,2x )，B (－2y ，y )，故⎩⎪⎨⎪⎧x －2y 2＝0，2x ＋y2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2，所以A (4,8)，B (－4,2)，∴|AB |＝＋2＋－2＝10.6．设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为3，且|PA |＝|PB |，若直线PA 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是( )A ．x ＋y －5＝0B ．2x －y －1＝0C ．x －2y ＋4＝0D ．x ＋y －7＝0解析：选D 由|PA |＝|PB |知点P 在AB 的垂直平分线上．由点P 的横坐标为3，且PA 的方程为x －y ＋1＝0，得P (3，4)．直线PA ，PB 关于直线x ＝3对称，直线PA 上的点(0,1)关于直线x ＝3的对称点(6,1)在直线PB 上，所以直线PB 的方程为x ＋y －7＝0.二、填空题7．已知直线l 1：y ＝2x ＋3，直线l 2与l 1关于直线y ＝－x 对称，则直线l 2的斜率为________．解析：因为l 1，l 2关于直线y ＝－x 对称，所以l 2的方程为－x ＝－2y ＋3，即y ＝12x ＋32，即直线l 2的斜率为12.答案：128．已知l 1，l 2是分别经过A (1,1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，则直线l 1的方程是__________________．解析：当直线AB 与l 1，l 2垂直时，l 1，l 2间的距离最大．因为A (1,1)，B (0，－1)，所以k AB ＝－1－10－1＝2，所以两平行直线的斜率为k ＝－12，所以直线l 1的方程是y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.答案：x ＋2y －3＝09．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________．解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1，0)和点B (1,0)时，b 分别取得最小值和最大值．∴b 的取值范围是．答案：10.如图，已知A (－2,0)，B (2,0)，C (0,2)，E (－1,0)，F (1,0)，一束光线从F 点出发射到BC 上的D 点，经BC 反射后，再经AC 反射，落到线段AE 上(不含端点)，则直线FD 的斜率的取值范围为________．解析：从特殊位置考虑．如图，∵点A (－2,0)关于直线BC ：x ＋y ＝2的对称点为A 1(2,4)， ∴kA 1F ＝4.又点E (－1,0)关于直线AC ：y ＝x ＋2的对称点为E 1(－2，1)，点E 1(－2,1)关于直线BC ：x ＋y ＝2的对称点为E 2(1,4)，此时直线E 2F 的斜率不存在，∴k FD >kA 1F ，即k FD ∈(4，＋∞)．答案：(4，＋∞) 三、解答题11．正方形的中心为点C (－1,0)，一条边所在的直线方程是x ＋3y －5＝0，求其他三边所在直线的方程．解：点C 到直线x ＋3y －5＝0的距离d ＝|－1－5|1＋9＝3105.设与x ＋3y －5＝0平行的一边所在直线的方程是x ＋3y ＋m ＝0(m ≠－5)， 则点C 到直线x ＋3y ＋m ＝0的距离d ＝|－1＋m |1＋9＝3105，解得m ＝－5(舍去)或m ＝7，所以与x ＋3y －5＝0平行的边所在直线的方程是x ＋3y ＋7＝0. 设与x ＋3y －5＝0垂直的边所在直线的方程是3x －y ＋n ＝0， 则点C 到直线3x －y ＋n ＝0的距离d ＝|－3＋n |1＋9＝3105， 解得n ＝－3或n ＝9，所以与x ＋3y －5＝0垂直的两边所在直线的方程分别是3x －y －3＝0和3x －y ＋9＝0. 12．已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．(1)l 1⊥l 2，且l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． 解：(1)由已知可得l 2的斜率存在，∴k 2＝1－a .若k 2＝0，则1－a ＝0，a ＝1. ∵l 1⊥l 2，直线l 1的斜率k 1必不存在，∴b ＝0.又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋4＝0，即a ＝43(矛盾)，∴此种情况不存在，∴k 2≠0，即k 1，k 2都存在． ∵k 2＝1－a ，k 1＝a b，l 1⊥l 2，∴k 1k 2＝－1， 即a b(1－a )＝－1.① 又∵l 1过点(－3，－1)， ∴－3a ＋b ＋4＝0.②由①②联立，解得a ＝2，b ＝2. (2)∵l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率存在，k 1＝k 2，即a b＝1－a .③ 又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且l 1∥l 2， ∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b＝b .④联立③④，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝2.∴a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.。
2018届高三(新课标)数学(理)大一轮复习课件：第九章 第八节 直线与圆锥曲线
m2 n2 m2 4－m 5 2 ∴ 9 ＋ 4 ＜ 9 ＋ 4 ＝1－36m ＜1， x2 y2 ∴点(m，n)在椭圆 9 ＋ 4 ＝1的内部， x2 y2 ∴过点(m，n)的直线与椭圆 9 ＋ 4 ＝1的交点有2个． 答案：B
3. [考点二] 若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同 的两点，则k的取值范围是
双曲线右支交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
1－k2≠0， 2 2 Δ＝16k －41－k ×－10＞0， 4k 则x1＋x2＝ 2＞0， 1 － k －10 x1x2＝1－k2＞0，
15 15 解得－ 3 ＜k＜－1.即 k 的取值范围是－ ，－ 1 . 3
[解析]
)
B．2
C．1 或 2
D．0
b b 因为直线 y＝ax＋3 与双曲线的渐近线 y＝ax 平行，
所以它与双曲线只有 1 个交点． [答案] A
由直线与圆锥曲线的位置关系求参数
[例2]
若直线l：y＝(a＋1)x－1与曲线C：y2＝ax恰好有一
个公共点，试求实数a的取值集合．
[解 ]
因为直线 l 与曲线 C 恰好有一个公共点， 有唯一一组实数解，
答案：D
x2 y2 4. [考点二]已知直线 l：y＝2x＋m，椭圆 C： 4 ＋ 2 ＝1.试问当 m 取何值时，直线 l 与椭圆 C：
2x＋m， y＝ x2 y2 ＋ 2 ＝1， 4
(1)有两个不重合的公共点；
解：将直线 l 的方程与椭圆 C 的方程联立，得方程组 ① ②
将①代入②，整理得 9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③ 方程③根的判别式 Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144. (1)当 Δ>0，即－3 2<m<3 2时，方程③有两个不同的实数根， 可知原方程组有两组不同的实数解． 这时直线 l 与椭圆 C 有两个不重合的公共点．
2018高考数学大一轮复习第九章解析几何第八节直线与圆锥曲线课件理
答案：D
x2 y2 4. [考点二]已知直线 l：y＝2x＋m，椭圆 C： 4 ＋ 2 ＝1.试问当 m 取何值时，直线 l 与椭圆 C：
2x＋m， ① y＝ x2 y2 ＋ ＝1， ② 4 2 将①代入②，整理得 9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③ 方程③根的判别式 Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144. (1)当 Δ>0，即－3 2<m<3 2时，方程③有两个不同的实数根， 可知原方程组有两组不同的实数解． 这时直线 l 与椭圆 C 有两个不重合的公共点．
1 1＋k2· y1＋y22－4y1y2 ＝________________________.
1 1＋k2· |y1－y2|
考点贯通
抓高考命题的“形”与“神”
弦长问题
求解弦长的四种方法 (1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离 公式求解． (2)联立直线与圆锥曲线方程，解方程组求出两个交点坐 标，代入两点间的距离公式求解． (3)联立直线与圆锥曲线方程，消元得到关于x(或y)的一元 二次方程，利用根与系数的关系得到(x1－x2)2，(y1－y2)2，代 入两点间的距离公式． (4)当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长．
x2 y2 (1)直线 y＝kx－k＋1 与椭圆 9 ＋ 4 ＝1 的位置关系为 ( )
A．相交
B．相切
C．相离
D．不确定
[解析]
直线 y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1 恒过定点(1,1)，又
点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交． [答案] A
b x2 y2 (2)直线 y＝ax＋3 与双曲线a2－b2＝1 的交点个数是 ( A．1
突破点(二)
基础联通
2018版高考数学一轮复习 第九章 解析几何 9.9 圆锥曲线的综合问题 第1课时 直线与圆锥曲线 理
第九章解析几何 9.9 圆锥曲线的综合问题第1课时直线与圆锥曲线理1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．(1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有①Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交；②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切；③Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离．(2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点，①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝1＋k2|x2－x1|＝1＋1k2|y2－y1|.【知识拓展】过一点的直线与圆锥曲线的位置关系(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；过椭圆内一点的直线与椭圆相交．(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线.(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线． 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l 与抛物线y 2＝2px 只有一个公共点，则l 与抛物线相切．( × ) (2)直线y ＝kx (k ≠0)与双曲线x 2－y 2＝1一定相交．( × )(3)与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点．( √ ) (4)直线与椭圆只有一个交点⇔直线与椭圆相切．( √ ) (5)过点(2,4)的直线与椭圆x 24＋y 2＝1只有一条切线．( × )(6)满足“直线y ＝ax ＋2与双曲线x 2－y 2＝4只有一个公共点”的a 的值有4个．( √ )1．(2016·黑龙江鹤岗一中月考)在同一平面直角坐标系中，方程a 2x 2＋b 2y 2＝1与ax ＋by 2＝0(a >b >0)表示的曲线大致是( )答案 D解析 将方程a 2x 2＋b 2y 2＝1变形为x 21a 2＋y 21b 2＝1，∵a >b >0，∴1a 2<1b2，∴椭圆焦点在y 轴上．将方程ax ＋by 2＝0变形为y 2＝－a bx ， ∵a >b >0，∴－a b<0，∴抛物线焦点在x 轴负半轴上，开口向左．2．(2017·青岛月考)直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定答案 A解析 直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．3．若直线y ＝kx 与双曲线x 29－y 24＝1相交，则k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，23 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ 答案 C解析 双曲线x 29－y 24＝1的渐近线方程为y ＝±23x ，若直线与双曲线相交，数形结合，得k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，23.4．已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，则弦|AB |＝________. 答案 16解析 直线l 的方程为y ＝3x ＋1， 由⎩⎨⎧y ＝3x ＋1，x 2＝4y ，得y 2－14y ＋1＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝14，∴|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝14＋2＝16.5．(教材改编)已知与向量v ＝(1,0)平行的直线l 与双曲线x 24－y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为________． 答案 4解析 由题意可设直线l 的方程为y ＝m ， 代入x 24－y 2＝1得x 2＝4(1＋m 2)，所以x 1＝＋m2＝21＋m 2，x 2＝－21＋m 2，所以|AB |＝|x 1－x 2|＝41＋m 2， 所以|AB |＝41＋m 2≥4， 即当m ＝0时，|AB |有最小值4.第1课时 直线与圆锥曲线题型一 直线与圆锥曲线的位置关系例1 (2016·烟台模拟)已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．解 将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ， ①x 24＋y22＝1， ②将①代入②，整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144.(1)当Δ>0，即－32<m <32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点．(3)当Δ<0，即m <－32或m >32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l 与椭圆C 没有公共点．思维升华 (1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.(2)依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元，得到一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，则方程为一次方程；若不为0，则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解．(2016·全国乙卷)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H . (1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由．解 (1)由已知得M (0，t )，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ，t ， 又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2p ，t ，ON 的方程为y ＝p t x ，代入y 2＝2px 整理得px 2－2t 2x＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t 2p，因此H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 2p ，2t .所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点，理由如下：直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2tp(y －t )．代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与C 没有其他公共点．题型二 弦长问题例2 (2016·全国甲卷)已知A 是椭圆E ：x 24＋y 23＝1的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA .(1)当|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积． (2)当2|AM |＝|AN |时，证明：3<k <2.(1)解 设M (x 1，y 1)，则由题意知y 1>0，由|AM |＝|AN |及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4. 又A (－2,0)，因此直线AM 的方程为y ＝x ＋2.将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1得7y 2－12y ＝0，解得y ＝0或y ＝127，所以y 1＝127.因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449.(2)证明 将直线AM 的方程y ＝k (x ＋2)(k >0)代入x 24＋y 23＝1得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝0，由x 1·(－2)＝16k 2－123＋4k2得x 1＝－4k23＋4k2，故|AM |＝|x 1＋2|1＋k 2＝121＋k23＋4k 2.由题设，直线AN 的方程为y ＝－1k(x ＋2)，故同理可得|AN |＝12k 1＋k23k 2＋4. 由2|AM |＝|AN |，得23＋4k 2＝k 3k 2＋4，即4k 3－6k 2＋3k －8＝0， 设f (t )＝4t 3－6t 2＋3t －8，则k 是f (t )的零点，f ′(t )＝12t 2－12t ＋3＝3(2t －1)2≥0，所以f (t )在(0，＋∞)单调递增，又f (3)＝153－26<0，f (2)＝6>0，因此f (t )在(0，＋∞)有唯一的零点，且零点k 在(3，2)内，所以3<k <2. 思维升华 有关圆锥曲线弦长问题的求解方法涉及弦长的问题中， 应熟练的利用根与系数的关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点，过F 1且斜率为1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列． (1)求E 的离心率；(2)设点P (0，－1)满足|PA |＝|PB |，求E 的方程． 解 (1)由椭圆定义知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ， 又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝43a ，l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝a 2－b 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2a 2＋y2b2＝1，消去y ，化简得(a2＋b 2)x 2＋2a 2cx ＋a 2(c 2－b 2)＝0，则x 1＋x 2＝－2a 2c a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2c 2－b2a 2＋b 2.因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|＝x 1＋x 22－4x 1x 2]，即43a ＝4ab2a 2＋b2，故a 2＝2b 2，所以E 的离心率e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝22.(2)设AB 的中点为N (x 0，y 0)，由(1)知x 0＝x 1＋x 22＝－a 2c a 2＋b 2＝－2c 3，y 0＝x 0＋c ＝c3. 由|PA |＝|PB |，得k PN ＝－1，即y 0＋1x 0＝－1， 得c ＝3，从而a ＝32，b ＝3. 故椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.题型三 中点弦问题命题点1 利用中点弦确定直线或曲线方程例3 (1)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 (2)已知(4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，则l 的方程是________________． 答案 (1)D (2)x ＋2y －8＝0解析 (1)因为直线AB 过点F (3,0)和点(1，－1)，所以直线AB 的方程为y ＝12(x －3)，代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24＋b 2x 2－32a 2x ＋94a 2－a 2b 2＝0，所以AB 的中点的横坐标为32a 22⎝ ⎛⎭⎪⎫a24＋b 2＝1，即a 2＝2b 2，又a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝c ＝3，a ＝32，选D.(2)设直线l 与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 2136＋y 219＝1，且x 2236＋y 229＝1，两式相减得y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 2y 1＋y 2.又x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4， 所以y 1－y 2x 1－x 2＝－12， 故直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.命题点2 由中点弦解决对称问题例4 (2015·浙江)如图已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称．(1)求实数m 的取值范围；(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)． 解 (1)由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为y ＝－1m x ＋b .由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－1m x ＋b ，消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1m 2x 2－2b m x ＋b 2－1＝0.因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b 2＋2＋4m 2＞0，①将AB 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2mb m 2＋2，m 2b m 2＋2代入直线方程y ＝mx ＋12，解得b ＝－m 2＋22m 2，② 由①②得m ＜－63或m ＞63. (2)令t ＝1m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，62，则|AB |＝t 2＋1·－2t 4＋2t 2＋32t 2＋12.且O 到直线AB 的距离为d ＝t 2＋12t 2＋1.设△AOB 的面积为S (t )， 所以S (t )＝12|AB |·d ＝12－2⎝⎛⎭⎪⎫t 2－122＋2≤22.当且仅当t 2＝12时，等号成立．故△AOB 面积的最大值为22. 思维升华 处理中点弦问题常用的求解方法(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x 1＋x 2，y 1＋y 2，y 1－y 2x 1－x 2三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．(2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后，由根与系数的关系求解．(3)解决对称问题除掌握解决中点弦问题的方法外，还要注意：如果点A ，B 关于直线l 对称，则l 垂直直线AB 且A ，B 的中点在直线l 上的应用．设抛物线过定点A (－1,0)，且以直线x ＝1为准线．(1)求抛物线顶点的轨迹C 的方程；(2)若直线l 与轨迹C 交于不同的两点M ，N ，且线段MN 恰被直线x ＝－12平分，设弦MN 的垂直平分线的方程为y ＝kx ＋m ，试求m 的取值范围． 解 (1)设抛物线顶点为P (x ，y )，则焦点F (2x －1，y )． 再根据抛物线的定义得|AF |＝2，即(2x )2＋y 2＝4， 所以轨迹C 的方程为x 2＋y 24＝1.(2)设弦MN 的中点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 0，M (x M ，y M )，N (x N ，y N )，则由点M ，N 为椭圆C 上的点， 可知⎩⎪⎨⎪⎧4x 2M ＋y 2M ＝4，4x 2N ＋y 2N ＝4.两式相减，得4(x M －x N )(x M ＋x N )＋(y M －y N )(y M ＋y N )＝0，将x M ＋x N ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，y M ＋y N ＝2y 0，y M －y N x M －x N ＝－1k 代入上式得k ＝－y 02. 又点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 0在弦MN 的垂直平分线上，所以y 0＝－12k ＋m .所以m ＝y 0＋12k ＝34y 0.由点P (－12，y 0)在线段BB ′上(B ′，B 为直线x ＝－12与椭圆的交点，如图所示)，所以y B ′<y 0<y B ，也即－3<y 0< 3. 所以－334<m <334，且m ≠0.1．(2016·泰安模拟)斜率为3的直线与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是( ) A ．[2，＋∞) B ．(2，＋∞) C ．(1，3) D ．(3，＋∞)答案 B解析 要使直线与双曲线恒有两个公共点， 则渐近线的斜率的绝对值应大于3，所以|ba |>3，∴e ＝1＋b 2a2>2， 即e ∈(2，＋∞)，故选B.2．直线4kx －4y －k ＝0与抛物线y 2＝x 交于A ，B 两点，若|AB |＝4，则弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离等于( )A.74 B ．2 C.94D ．4 答案 C解析 易知直线4kx －4y －k ＝0过抛物线y 2＝x 的焦点(14，0)，∴|AB |为焦点弦． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB 中点N (x 1＋x 22，y 1＋y 22)，∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4.∴x 1＋x 22＝74.∴AB 中点到直线x ＋12＝0的距离为74＋12＝94.3．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为() A ．2 B.455 C.4105 D.8105答案 C解析 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t 消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0，则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝t 2－5.∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2 ＝2·－85t 2－4×t 2－5＝425·5－t 2， 当t ＝0时，|AB |max ＝4105.4．(2017·天津质检)直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的交点个数是( )A ．1B ．2C ．1或2D ．0答案 A解析 因为直线y ＝b a x ＋3与双曲线的渐近线y ＝ba x 平行，所以它与双曲线只有1个交点，故选A.5．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为( )A.54 B ．5 C.52D. 5 答案 D解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线为y ＝b ax ， 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b ax ，y ＝x 2＋1消去y ， 得x 2－b a x ＋1＝0有唯一解， 所以Δ＝(ba )2－4＝0，ba ＝2， e ＝c a ＝a 2＋b 2a＝ 1＋b a 2＝ 5. 6．已知F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，过点F 且斜率为1的直线l 交抛物线于A ，B 两点，则||FA |－|FB ||的值为( )A ．4 2B ．8C ．8 2D ．16答案 C解析 依题意知F (2,0)，所以直线l 的方程为y ＝x －2，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x －2，y 2＝8x ， 消去y 得x 2－12x ＋4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝4，x 1＋x 2＝12，则||FA |－|FB ||＝|(x 1＋2)－(x 2＋2)|＝|x 1－x 2|＝x 1＋x 22－4x 1x 2 ＝144－16＝8 2.7．(2016·安顺月考)在抛物线y ＝x 2上关于直线y ＝x ＋3对称的两点M ，N 的坐标分别为________．答案 (－2,4)，(1,1)解析 设直线MN 的方程为y ＝－x ＋b ，代入y ＝x 2中，整理得x 2＋x －b ＝0，令Δ＝1＋4b >0，∴b >－14. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－1，y 1＋y 22＝－x 1＋x 22＋b ＝12＋b ， 由(－12，12＋b )在直线y ＝x ＋3上， 即12＋b ＝－12＋3，解得b ＝2， 联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－x ＋2，y ＝x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝－2，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝1，y 2＝1. 8．已知抛物线y 2＝4x 的弦AB 的中点的横坐标为2，则|AB |的最大值为________．答案 6解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4，那么|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋2，又|AF |＋|BF |≥|AB |⇒|AB |≤6，当AB 过焦点F 时取得最大值6.9．过椭圆x 216＋y 24＝1内一点P (3,1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是____________． 答案 3x ＋4y －13＝0解析 设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，由于A ，B 两点均在椭圆上，故x 2116＋y 214＝1，x 2216＋y 224＝1， 两式相减得 x 1＋x 2x 1－x 216＋y 1＋y 2y 1－y 24＝0.又∵P 是A ，B 的中点，∴x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝2，∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－34. ∴直线AB 的方程为y －1＝－34(x －3)． 即3x ＋4y －13＝0.10．已知双曲线C ：x 2－y 23＝1，直线y ＝－2x ＋m 与双曲线C 的右支交于A ，B 两点(A 在B 的上方)，且与y 轴交于点M ，则|MB ||MA |的取值范围为________． 答案 (1,7＋43)解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－2x ＋m ，3x 2－y 2－3＝0可得x 2－4mx ＋m 2＋3＝0， 由题意得方程在[1，＋∞)上有两个不相等的实根，设f (x )＝x 2－4mx ＋m 2＋3，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2m >1，f，Δ>0，得m >1， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)，得x 1＝2m －m 2－，x 2＝2m ＋m 2－，所以|MB ||MA |＝x 2x 1＝2m ＋m 2－2m －m 2－＝－1＋42－ －1m 2， 由m >1得，|MB ||MA |的取值范围为(1,7＋43)． 11．(2016·郑州模拟)已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为22，且椭圆经过圆C ：x 2＋y 2－4x ＋22y ＝0的圆心．(1)求椭圆的方程；(2)设直线l 过椭圆的焦点且与圆C 相切，求直线l 的方程．解 (1)圆C 方程化为(x －2)2＋(y ＋2)2＝6，圆心C (2，－2)，半径r ＝ 6. 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋2b 2＝1，1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝8，b 2＝4. ∴所求的椭圆方程是x 28＋y 24＝1. (2)由(1)得到椭圆的左，右焦点分别是F 1(－2,0)， F 2(2,0)，|F 2C |＝－2＋＋22＝2< 6.∴F 2在C 内，故过F 2没有圆C 的切线，设l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0.点C (2，－2)到直线l 的距离d ＝|2k ＋2＋2k |1＋k2，由d ＝6，得|2k ＋2＋2k |1＋k 2＝ 6. 解得k ＝25或k ＝－2， 故l 的方程为2x －5y ＋22＝0或2x ＋y ＋22＝0.12．平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12. (1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值． 解 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b2＝1， y 2－y 1x 2－x 1＝－1. 由此可得b 2x 2＋x 1a 2y 2＋y 1＝－y 2－y 1x 2－x 1＝1. 因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 0x 0＝12，所以a 2＝2b 2. 又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故a 2－b 2＝3.因此a 2＝6，b 2＝3.所以M 的方程为x 26＋y 23＝1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －3＝0，x 26＋y 23＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝433，y ＝－33或⎩⎨⎧ x ＝0，y ＝ 3.因此|AB |＝463. 由题意可设直线CD 的方程为y ＝x ＋n (－533<n <3)， 设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋n ，x 26＋y 23＝1， 得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0.于是x 3,4＝－2n ±－n23.因为直线CD 的斜率为1,所以|CD |＝2|x 4－x 3|＝439－n 2. 由已知，四边形ACBD 的面积S ＝12|CD |·|AB |＝869－n 2.当n ＝0时，S 取得最大值，最大值为863. *13.(2016·广州联考)已知点P 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，过点P 作PQ ⊥y 轴于点Q ，延长QP 到点M ，使QP →＝PM →.(1)求点M 的轨迹E 的方程；(2)过点C (m,0)作圆O 的切线l ，交(1)中曲线E 于A ，B 两点，求△AOB 面积的最大值．解 (1)设点M (x ，y )，∵QP →＝PM →， ∴P 为QM 的中点，又PQ ⊥y 轴，∴P (x 2，y )． ∵点P 是圆O ：x 2＋y 2＝1上的点，∴(x 2)2＋y 2＝1， 即点M 的轨迹E 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)由题意可知直线l 不与y 轴垂直，故可设l ：x ＝ty ＋m ，t ∈R ， A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∵l 与圆O ：x 2＋y 2＝1相切，∴|m |t 2＋1＝1，即m 2＝t 2＋1.① 联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 2＝1，x ＝ty ＋m ，消去x ，得(t 2＋4)y 2＋2mty ＋m 2－4＝0.其中Δ＝(2mt )2－4(t 2＋4)(m 2－4)＝16(t 2－m 2)＋64＝48>0.∴y 1＋y 2＝－2mt t 2＋4，y 1y 2＝m 2－4t 2＋4.② ∴|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22 ＝[ty 1－y 22＋y 1－y 22 ＝t 2＋1y 1＋y 22－4y 1y 2.将①②代入上式得|AB |＝t 2＋14m 2t 2t 2＋2－m 2－t 2＋4 ＝43|m |m 2＋3，|m |≥1， ∴S △AOB ＝12|AB |·1 ＝12×43|m |m 2＋3＝23|m |＋3|m |≤2323＝1， 当且仅当|m |＝3|m |，即m ＝±3时，等号成立． ∴(S △AOB )max ＝1.。
高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 第9讲 圆锥曲线的综合问题 第1课时 直线与圆锥曲线试题
2018版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 第9讲 圆锥曲线的综合问题 第1课时 直线与圆锥曲线试题 理 新人教版基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.过抛物线y 2＝2x 的焦点作一条直线与抛物线交于A ，B 两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线( ) A.有且只有一条 B.有且只有两条 C.有且只有三条D.有且只有四条解析 ∵通径2p ＝2，又|AB |＝x 1＋x 2＋p ，∴|AB |＝3＞2p ，故这样的直线有且只有两条. 答案 B2.直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的交点个数是( )A.1B.2C.1或2D.0解析 因为直线y ＝b a x ＋3与双曲线的渐近线y ＝b ax 平行，所以它与双曲线只有1个交点. 答案 A3.经过椭圆x 22＋y 2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点，设O 为坐标原点，则OA →·OB →等于( ) A.－3 B.－13C.－13或－3D.±13解析 依题意，当直线l 经过椭圆的右焦点(1，0)时，其方程为y －0＝tan 45°(x －1)，即y ＝x －1，代入椭圆方程x 22＋y 2＝1并整理得3x 2－4x ＝0，解得x ＝0或x ＝43，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，∴OA →·OB →＝－13，同理，直线l 经过椭圆的左焦点时，也可得OA →·OB →＝－13.答案 B4.抛物线y ＝x 2到直线x －y －2＝0的最短距离为( ) A. 2B.728C.2 2D.526解析 设抛物线上一点的坐标为(x ，y )，则d ＝|x －y －2|2＝|－x 2＋x －2|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－742，∴x ＝12时， d min ＝728.答案 B5.(2017·石家庄调研)椭圆ax 2＋by 2＝1与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则ab 的值为( ) A.32B.233C.932D.2327解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 中点M (x 0，y 0)， 由题设k OM ＝y 0x 0＝32. 由⎩⎪⎨⎪⎧ax 21＋by 21＝1，ax 22＋by 22＝1，得（y 2＋y 1）（y 2－y 1）（x 2＋x 1）（x 2－x 1）＝－a b . 又y 2－y 1x 2－x 1＝－1，y 2＋y 1x 2＋x 1＝2y 02x 0＝32. 所以a b＝32. 答案 A 二、填空题6.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，F (2，0)为其右焦点，过F 且垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2.则椭圆C 的方程为________.解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，b 2a ＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2，∴椭圆C 的方程为x 24＋y22＝1.答案x 24＋y 22＝1 7.已知抛物线y ＝ax 2(a ＞0)的焦点到准线的距离为2，则直线y ＝x ＋1截抛物线所得的弦长等于________.解析 由题设知p ＝12a ＝2，∴a ＝14.抛物线方程为y ＝14x 2，焦点为F (0，1)，准线为y ＝－1.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14x 2，y ＝x ＋1，消去x ，整理得y 2－6y ＋1＝0，∴y 1＋y 2＝6，∵直线过焦点F ， ∴所得弦|AB |＝|AF |＋|BF |＝y 1＋1＋y 2＋1＝8. 答案 88.过椭圆x 216＋y 24＝1内一点P (3，1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是________. 解析 设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 由于A ，B 两点均在椭圆上， 故x 2116＋y 214＝1，x 2216＋y 224＝1， 两式相减得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）16＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）4＝0.又∵P 是A ，B 的中点，∴x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝2， ∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－34. ∴直线AB 的方程为y －1＝－34(x －3).即3x ＋4y －13＝0. 答案 3x ＋4y －13＝0 三、解答题9.设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 1且斜率为1的直线l与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列. (1)求E 的离心率；(2)设点P (0，－1)满足|PA |＝|PB |，求E 的方程. 解 (1)由椭圆定义知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ， 又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝43a ，l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝a 2－b 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2a 2＋y 2b2＝1，消去y ，化简得(a2＋b 2)x 2＋2a 2cx ＋a 2(c 2－b 2)＝0，则x 1＋x 2＝－2a 2c a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2（c 2－b 2）a 2＋b 2. 因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|＝2[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]，即43a ＝4ab2a 2＋b2，故a 2＝2b 2，所以E 的离心率e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝22.(2)设AB 的中点为N (x 0，y 0)，由(1)知x 0＝x 1＋x 22＝－a 2c a 2＋b 2＝－2c 3，y 0＝x 0＋c ＝c3. 由|PA |＝|PB |，得k PN ＝－1，即y 0＋1x 0＝－1， 得c ＝3，从而a ＝32，b ＝3. 故椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.10.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2，0)，离心率为22.直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N . (1)求椭圆C 的方程； (2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值. 解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2.解得b ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y 22＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)， x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2，所以|MN |＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝2（1＋k 2）（4＋6k 2）1＋2k2又因为点A (2，0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k2，所以△AMN 的面积为S ＝12|MN |·d ＝|k |4＋6k 21＋2k 2，由|k |4＋6k 21＋2k 2＝103，解得k ＝±1. 能力提升题组 (建议用时：25分钟)11.已知椭圆x 24＋y 2b2＝1(0＜b ＜2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是( ) A.1B.2C.32D. 3解析 由椭圆的方程，可知长半轴长为a ＝2，由椭圆的定义，可知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，所以|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3.由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，即2b 2a＝3，可求得b 2＝3，即b ＝ 3.答案 D12.(2016·四川卷)设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p >0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值是( )A.33B.23C.22D.1解析 如图所示，设P (x 0，y 0)(y 0>0)，则y 20＝2px 0，即x 0＝y 202p.设M (x ′，y ′)，由PM →＝2MF →，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′－x 0＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2－x ′，y ′－y 0＝2（0－y ′），解之得x ′＝p ＋x 03，且y ′＝y 03.∴直线OM 的斜率k ＝y ′x ′＝y 0p ＋y 02p ＝2p2p2y 0＋y 0又y 0＋2p2y 0≥22p ，当且仅当y 0＝2p 时取等号.∴k ≤2p 22p ＝22，则k 的最大值为22.答案 C13.设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足.如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝________.解析 直线AF 的方程为y ＝－3(x －2)，联立⎩⎨⎧y ＝－3x ＋23，x ＝－2，得y ＝43，所以P (6，43).由抛物线的性质可知|PF |＝6＋2＝8. 答案 814.已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且|QF |＝54|PQ |.(1)求C 的方程；(2)过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程. 解 (1)设Q (x 0，4)，代入y 2＝2px 得x 0＝8p.所以|PQ |＝8p ，|QF |＝p 2＋x 0＝p 2＋8p.由题设得p 2＋8p ＝54×8p，解得p ＝－2(舍去)或p ＝2.所以C 的方程为y 2＝4x .(2)依题意知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0).代入y 2＝4x 得y 2－4my －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4. 故AB 的中点为D (2m 2＋1，2m )， |AB |＝m 2＋1|y 1－y 2|＝4(m 2＋1).又l ′的斜率为－m ，所以l ′的方程为x ＝－1my ＋2m 2＋3.将上式代入y 2＝4x ，并整理得y 2＋4my －4(2m 2＋3)＝0.设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，则y 3＋y 4＝－4m，y 3y 4＝－4(2m 2＋3).故MN 的中点为E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 2＋2m 2＋3，－2m ，|MN |＝1＋1m 2|y 3－y 4|＝4（m 2＋1）2m 2＋1m2. 由于MN 垂直平分AB ，故A ，M ，B ，N 四点在同一圆上等价于|AE |＝|BE |＝12|MN |，从而14|AB |2＋|DE |2＝14|MN |2，即4(m 2＋1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋2m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 2＋22＝4（m 2＋1）2（2m 2＋1）m4. 化简得m 2－1＝0， 解得m ＝1或m ＝－1.所求直线l 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0.。
18高考数学大一轮复习第九章解析几何课时达标检测(四十九)直线与圆锥曲线理
课时达标检测（四十九） 直线与圆锥曲线[练基础小题——强化运算能力]1．已知双曲线x 212－y 24＝1的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 B ．(－3，3) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 D ．[－3， 3 ]解析：选C 由题意知，右焦点为F (4,0)，双曲线的两条渐近线方程为y ＝±33x .当过点F 的直线与渐近线平行时，满足与双曲线的右支有且只有一个交点，数形结合可知该直线的斜率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33，故选C. 2．已知经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q ，则k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞ C ．(－2，2) D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析：选B 由题意得，直线l 的方程为y ＝kx ＋2，代入椭圆方程得x 22＋(kx ＋2)2＝1，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2x 2＋22kx ＋1＝0.直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于Δ＝8k2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2＝4k 2－2>0，解得k <－22或k >22，即k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞.故选B.3．过抛物线y 2＝2x 的焦点作一条直线与抛物线交于A ，B 两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线( )A ．有且只有一条B ．有且只有两条C ．有且只有三条D ．有且只有四条解析：选B ∵通径2p ＝2，|AB |＝x 1＋x 2＋p ，∴|AB |＝3>2p ，故这样的直线有且只有两条．4．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( )A ．2 B.455 C.4105 D.8105解析：选C 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝x ＋t消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0.则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝t 2－5.∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－85t 2－4×t 2－5＝425·5－t 2，故当t ＝0时，|AB |max ＝4105. 5．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，F (2，0)为其右焦点，过F 且垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2.则椭圆C 的方程为________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，b2a ＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2，故椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.答案：x 24＋y 22＝1[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．椭圆ax 2＋by 2＝1与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则ab ＝( ) A.32 B.233C.932D.2327解析：选A 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，结合题意，由点差法得，y 2－y 1x 2－x 1＝－a b ·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－a b ·x 0y 0＝－a b ·23＝－1，所以a b ＝32. 2．经过椭圆x 22＋y 2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点．设O为坐标原点，则OA ·OB 等于( )A ．－3B ．－13C ．－13或－3D ．±13解析：选B 依题意，当直线l 经过椭圆的右焦点(1,0)时，其方程为y －0＝tan 45°(x －1)，即y ＝x －1，代入椭圆方程x 22＋y 2＝1并整理得3x 2－4x ＝0，解得x ＝0或x ＝43，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，∴OA ·OB ＝－13，同理，直线 l 经过椭圆的左焦点时，也可得OA ·OB ＝－13.3．已知抛物线y 2＝2px 的焦点F 与椭圆16x 2＋25y 2＝400的左焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且|AK |＝2|AF |，则点A 的横坐标为( )A ．2B ．－2C ．3D ．－3解析：选D 16x 2＋25y 2＝400可化为x 225＋y 216＝1，则椭圆的左焦点为F (－3,0)，又抛物线y 2＝2px 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线为x ＝－p2，所以p2＝－3，即p ＝－6，即y 2＝－12x ，K (3,0)．设A (x ，y )，则由|AK |＝2|AF |得(x －3)2＋y 2＝2[(x ＋3)2＋y 2]，即x 2＋18x ＋9＋y 2＝0， 又y 2＝－12x ，所以x 2＋6x ＋9＝0，解得x ＝－3.4．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2解析：选B 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵两点在抛物线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1， ①y 22＝2px 2， ②①－②得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝2p (x 1－x 2)， 又线段AB 的中点的纵坐标为2，∴y 1＋y 2＝4， 又直线的斜率为1，∴y 1－y 2x 1－x 2＝1，∴2p ＝4，p ＝2， ∴抛物线的准线方程为x ＝－p2＝－1.5．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是( )A ．4B ．3 3C ．4 3D ．8解析：选C ∵y 2＝4x ，∴F (1,0)，准线l ：x ＝－1，过焦点F 且斜率为3的直线l 1：y ＝3(x －1)，与y 2＝4x 联立，解得A (3,23)，∴AK ＝4，∴S △AKF ＝12×4×23＝4 3.6．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是( )A.x 24＋y 23＝1B.x 23＋y 22＝1C.x 25＋y 24＝1 D.x 28＋y 25＝1解析：选C 由题可设斜率存在的切线的方程为y －12＝k (x －1)(k 为切线的斜率)，即2kx －2y －2k ＋1＝0，由|－2k ＋1|4k 2＋4＝1，解得k ＝－34，所以圆x 2＋y 2＝1的一条切线的方程为3x ＋4y －5＝0，可求得切点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，易知另一切点的坐标为(1,0)，则直线AB的方程为y ＝－2x ＋2，令y ＝0得右焦点为(1,0)，令x ＝0得上顶点为(0,2)，故a 2＝b 2＋c 2＝5，所以所求椭圆的方程为x 25＋y 24＝1.二、填空题7．设双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F .过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．解析：c ＝5，设过点F 平行于一条渐近线的直线方程为y ＝43(x －5)，即4x －3y －20＝0，联立直线与双曲线方程，求得y B ＝－3215，则S ＝12×(5－3)×3215＝3215.答案：32158．在平面直角坐标系xOy 中，过y 轴正方向上一点C (0，c )任作一条直线，与抛物线y ＝x 2相交于A ，B 两点，若OA ·OB ＝2，则c 的值为________．解析：设过点C 的直线为y ＝kx ＋c (c >0)，代入y ＝x 2得x 2＝kx ＋c ，即x 2－kx －c ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝－c ，OA ＝(x 1，y 1)，OB ＝(x 2，y 2)，因为OA ·OB＝2，所以x 1x 2＋y 1y 2＝2，即x 1x 2＋(kx 1＋c )(kx 2＋c )＝2，即x 1x 2＋k 2x 1x 2＋kc (x 1＋x 2)＋c 2＝2，所以－c －k 2c ＋kc ·k ＋c 2＝2，即c 2－c －2＝0，所以c ＝2或c ＝－1(舍去)．答案：29．中心为原点，一个焦点为F (0,52)的椭圆，截直线y ＝3x －2所得弦中点的横坐标为12，则该椭圆方程为________． 解析：由已知得c ＝52，设椭圆的方程为x 2a 2－50＋y 2a 2＝1，联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－50＋y 2a 2＝1，y ＝3x －2消去y 得(10a 2－450)x 2－12(a 2－50)x ＋4(a 2－50)－a 2(a 2－50)＝0，设直线y ＝3x －2与椭圆的交点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，由根与系数关系得x 1＋x 2＝a 2－10a 2－450，由题意知x 1＋x 2＝1，即a 2－10a 2－450＝1，解得a 2＝75，所以该椭圆方程为y 275＋x 225＝1. 答案：y 275＋x 225＝1 10．已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若MA ·MB ＝0，则k ＝________.解析：如图所示，设F 为焦点，易知F (2，0)，取AB 的中点P ，过A ，B 分别作准线的垂线，垂足分别为G ，H ，连接MF ，MP ，由MA ·MB ＝0，知MA ⊥MB ，则|MP |＝12|AB |＝12(|AF |＋|BF |)＝12(|AG |＋|BH |)，所以MP 为直角梯形BHGA 的中位线，所以MP ∥AG ∥BH ，由|MP |＝|AP |，得∠GAM ＝∠AMP ＝∠MAP ，又|AG |＝|AF |，AM 为公共边，所以△AMG ≌△AMF ，所以∠AFM ＝∠AGM ＝90°，则MF ⊥AB ，所以k ＝－1k MF＝2.答案：2 三、解答题11．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点分别为F 1(－2，0)，F 2(2,0)，离心率为63.过点F 2的直线l (斜率不为0)与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为D ，O 为坐标原点，直线OD 交椭圆于M ，N 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)当四边形MF 1NF 2为矩形时，求直线l 的方程．解：(1)由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，c a ＝63，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝6，b ＝ 2. 故椭圆C 的方程为x 26＋y 22＝1. (2)由题意可知直线l 的斜率存在．设其方程为y ＝k (x －2)， 点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 3，y 3)，N (－x 3，－y 3)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 22＝1，y ＝k x －得(1＋3k 2)x 2－12k 2x ＋12k 2－6＝0，所以x 1＋x 2＝12k 21＋3k2，则y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－4)＝－4k1＋3k2，所以AB 的中点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6k 21＋3k 2，－2k 1＋3k 2，因此直线OD 的方程为x ＋3ky ＝0(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3ky ＝0，x 26＋y22＝1解得y 23＝21＋3k 2，x 3＝－3ky 3.因为四边形MF 1NF 2为矩形， 所以F 2M ―→·F 2N ―→＝0，即(x 3－2，y 3)·(－x 3－2，－y 3)＝0， 所以4－x 23－y 23＝0.所以4－29k 2＋11＋3k2＝0. 解得k ＝±33.故直线l 的方程为3x －3y －23＝0或3x ＋3y －23＝0. 12．(2016·大连双基测试)已知过点(2,0)的直线l 1交抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)于A ，B 两点，直线l 2：x ＝－2交x 轴于点Q .(1)设直线QA ，QB 的斜率分别为k 1，k 2，求k 1＋k 2的值；(2)点P 为抛物线C 上异于A ，B 的任意一点，直线PA ，PB 交直线l 2于M ，N 两点，OM ·ON ＝2，求抛物线C 的方程．解：(1)设直线l 1的方程为x ＝my ＋2，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝2px ，得y 2－2pmy －4p ＝0，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－4p .k 1＋k 2＝y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2＝y 1my 1＋4＋y 2my 2＋4＝2my 1y 2＋y 1＋y 2my 1＋my 2＋＝－8mp ＋8mp my 1＋my 2＋＝0.(2)设点P (x 0，y 0)，直线PA ：y －y 1＝y 1－y 0x 1－x 0(x －x 1)， 当x ＝－2时，y M ＝－4p ＋y 1y 0y 1＋y 0，同理y N ＝－4p ＋y 2y 0y 2＋y 0.因为OM ·ON ＝2， 所以4＋y N y M ＝2， 即－4p ＋y 2y 0y 2＋y 0·－4p ＋y 1y 0y 1＋y 0＝16p 2－4py 0y 2＋y 1＋y 20y 1y 2y 2y 1＋y 0y 2＋y 1＋y 20＝16p 2－8p 2my 0－4py 2－4p ＋2pmy 0＋y 20＝－4p －4p ＋2pmy 0＋y 20－4p ＋2pmy 0＋y 0＝－2，故p ＝12，所以抛物线C 的方程为y 2＝x .。
高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.8 圆锥曲线的综合问题 第1课时 直线与圆锥曲线教师用
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9.8 圆锥曲线的综合问题第1课时直线与圆锥曲线1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x（或y)的一元方程:ax2＋bx＋c＝0（或ay2＋by＋c＝0)．（1）若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有①Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交;②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切；③Δ〈0⇔直线与圆锥曲线相离．(2）若a＝0,b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点．①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k（k≠0）的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B（x2，y2)两点，则AB＝错误!|x2－x1|＝错误!｜y2－y1|.【知识拓展】过一点的直线与圆锥曲线的位置关系（1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；过椭圆内一点的直线与椭圆相交．（2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线;过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点:一条与对称轴平行或重合的直线.(3）过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线;过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线．【思考辨析】判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）(1)直线l与抛物线y2＝2px只有一个公共点，则l与抛物线相切．( ×）（2）直线y＝kx(k≠0)与双曲线x2－y2＝1一定相交．（×)(3)与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点．( √)(4)直线与椭圆只有一个交点⇔直线与椭圆相切．（√）（5）过点(2，4）的直线与椭圆错误!＋y2＝1只有一条切线．（×）（6）满足“直线y＝ax＋2与双曲线x2－y2＝4只有一个公共点”的a的值有4个．( √)1．过点（0,1)作直线,使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有________条．答案3解析结合图形(图略）分析可知,满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点（0，1）且平行于x轴的直线以及过点（0,1）且与抛物线相切的直线(非直线x＝0)．2．（2016·常州模拟)直线y＝kx－k＋1与椭圆错误!＋错误!＝1的位置关系为________．答案相交解析直线y＝kx－k＋1＝k（x－1）＋1恒过定点(1，1）,又点（1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．3．若直线y＝kx与双曲线错误!－错误!＝1相交,则k的取值范围是__________________．答案错误!解析双曲线错误!－错误!＝1的渐近线方程为y＝±错误!x,若直线与双曲线相交，数形结合，得k∈错误!。
2018版高考数学(文理通用新课标)一轮复习课时达标检测第九章解析几何(四十二)直线与方程Word版含解析
课时达标检测（四十二） 直线与方程练基础小题——强化运算能力]1．直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：选D 由直线的方程得直线的斜率为k ＝－33，设倾斜角为α，则tan α＝－33，所以α＝5π6. 2．若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则参数m 满足的条件是( )A ．m ≠－32B ．m ≠0C ．m ≠0且m ≠1D ．m ≠1解析：选D 由⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －3＝0，m 2－m ＝0，解得m ＝1，故m ≠1时方程表示一条直线． 3．过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0解析：选A 依题意，设所求的直线方程为x －2y ＋a ＝0，由于点(1,0)在所求直线上，则1＋a ＝0，即a ＝－1，则所求的直线方程为x －2y －1＝0.4．已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是( ) A.1710 B.175 C ．8 D ．2解析：选D ∵63＝m 4≠14－3，∴m ＝8，直线6x ＋8y ＋14＝0可化为3x ＋4y ＋7＝0，两平行线之间的距离d ＝|－3－7|32＋42＝2.5．若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋2y ＋5＝0相交于同一点，则m 的值为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ，x ＋y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.所以点(1,2)满足方程mx ＋2y ＋5＝0，即m ×1＋2×2＋5＝0，所以m ＝－9.答案：－9练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( )A ．1B ．－1C ．－2或－1D ．－2或1解析：选D 由题意可知a ≠0.当x ＝0时，y ＝a ＋2.当y ＝0时，x ＝a ＋2a .故a ＋2a ＝a ＋2，解得a ＝－2或a ＝1.2．直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a ，b ，c 应满足( )A ．ab ＞0，bc ＜0B ．ab ＞0，bc ＞0C ．ab ＜0，bc ＞0D ．ab ＜0，bc ＜0解析：选A 由于直线ax ＋by ＋c ＝0同时经过第一、第二、第四象限，所以直线斜率存在，将方程变形为y ＝－a b x －c b .易知－a b ＜0且－c b ＞0，故ab ＞0，bc ＜0.3．两直线x m －y n ＝a 与x n －y m＝a (其中a 是不为零的常数)的图象可能是( )解析：选B 直线方程x m －y n ＝a 可化为y ＝n m x －na ，直线x n －y m ＝a 可化为y ＝m nx －ma ，由此可知两条直线的斜率同号，故选B.4．若动点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)分别在直线l 1：x －y －5＝0，l 2：x －y －15＝0上移动，则P 1P 2的中点P 到原点的距离的最小值是( ) A.522 B ．5 2 C.1522D ．15 2 解析：选B 由题意得P 1P 2的中点P 的轨迹方程是x －y －10＝0，则原点到直线x －y －10＝0的距离为d ＝|－10|2＝52，即P 到原点距离的最小值为5 2. 5．已知A ，B 两点分别在两条互相垂直的直线2x －y ＝0和x ＋ay ＝0上，且AB 线段的中点为P ⎝⎛⎭⎫0，10a ，则线段AB 的长为( ) A ．11 B ．10 C ．9 D ．8解析：选B 依题意，a ＝2，P (0,5)，设A (x,2x )，B (－2y ，y )，故⎩⎨⎧ x －2y 2＝0，2x ＋y 2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2，所以A (4,8)，B (－4,2)，∴|AB |＝(4＋4)2＋(8－2)2＝10. 6．设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为3，且|PA |＝|PB |，若直线PA 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是( )A ．x ＋y －5＝0B ．2x －y －1＝0C ．x －2y ＋4＝0D ．x ＋y －7＝0解析：选D 由|PA |＝|PB |知点P 在AB 的垂直平分线上．由点P 的横坐标为3，且PA 的方程为x －y ＋1＝0，得P (3，4)．直线PA ，PB 关于直线x ＝3对称，直线PA 上的点(0,1)关于直线x ＝3的对称点(6,1)在直线PB 上，所以直线PB 的方程为x ＋y －7＝0.二、填空题7．已知直线l 1：y ＝2x ＋3，直线l 2与l 1关于直线y ＝－x 对称，则直线l 2的斜率为________．解析：因为l 1，l 2关于直线y ＝－x 对称，所以l 2的方程为－x ＝－2y ＋3，即y ＝12x ＋32，即直线l 2的斜率为12. 答案：128．已知l 1，l 2是分别经过A (1,1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，则直线l 1的方程是__________________．解析：当直线AB 与l 1，l 2垂直时，l 1，l 2间的距离最大．因为A (1,1)，B (0，－1)，所以k AB ＝－1－10－1＝2，所以两平行直线的斜率为k ＝－12，所以直线l 1的方程是y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.答案：x ＋2y －3＝09．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________． 解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1，0)和点B (1,0)时，b 分别取得最小值和最大值．∴b 的取值范围是－2,2]．答案：－2,2]10.如图，已知A (－2,0)，B (2,0)，C (0,2)，E (－1,0)，F (1,0)，一束光线从F 点出发射到BC 上的D 点，经BC 反射后，再经AC 反射，落到线段AE 上(不含端点)，则直线FD 的斜率的取值范围为________．解析：从特殊位置考虑．如图，∵点A (－2,0)关于直线BC ：x ＋y ＝2的对称点为A 1(2,4)，∴kA 1F ＝4.又点E (－1,0)关于直线AC ：y ＝x ＋2的对称点为E 1(－2，1)，点E 1(－2,1)关于直线BC ：x ＋y ＝2的对称点为E 2(1,4)，此时直线E 2F 的斜率不存在，∴k FD >kA 1F ，即k FD∈(4，＋∞)．答案：(4，＋∞)三、解答题11．正方形的中心为点C(－1,0)，一条边所在的直线方程是x＋3y－5＝0，求其他三边所在直线的方程．解：点C到直线x＋3y－5＝0的距离d＝|－1－5|1＋9＝3105.设与x＋3y－5＝0平行的一边所在直线的方程是x＋3y＋m＝0(m≠－5)，则点C到直线x＋3y＋m＝0的距离d＝|－1＋m|1＋9＝3105，解得m＝－5(舍去)或m＝7，所以与x＋3y－5＝0平行的边所在直线的方程是x＋3y＋7＝0. 设与x＋3y－5＝0垂直的边所在直线的方程是3x－y＋n＝0，则点C到直线3x－y＋n＝0的距离d＝|－3＋n|1＋9＝3105，解得n＝－3或n＝9，所以与x＋3y－5＝0垂直的两边所在直线的方程分别是3x－y－3＝0和3x－y＋9＝0.12．已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b 的值．(1)l1⊥l2，且l1过点(－3，－1)；(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．解：(1)由已知可得l2的斜率存在，∴k2＝1－a.若k2＝0，则1－a＝0，a＝1.∵l1⊥l2，直线l1的斜率k1必不存在，∴b＝0.又∵l1过点(－3，－1)，∴－3a＋4＝0，即a＝43(矛盾)，∴此种情况不存在，∴k2≠0，即k1，k2都存在．∵k2＝1－a，k1＝ab，l1⊥l2，∴k1k2＝－1，即ab(1－a)＝－1.①又∵l1过点(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0.②由①②联立，解得a＝2，b＝2.(2)∵l2的斜率存在，l1∥l2，∴直线l 1的斜率存在，k 1＝k 2，即a b＝1－a .③ 又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且l 1∥l 2，∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b ＝b .④联立③④，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝23，b ＝2.∴a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.。
【K12教育学习资料】2018版高考数学一轮复习第九章解析几何9.9直线与圆锥曲线真题演练集训理新人
2018版高考数学一轮复习 第九章 解析几何 9.9 直线与圆锥曲线真题演练集训 理 新人教A 版1．[2013·新课标全国卷Ⅰ]已知椭圆E ：x 2a ＋y 2b＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A. x 245＋y 236＝1B. x 236＋y 227＝1 C. x 227＋y 218＝1 D. x 218＋y 29＝1 答案：D解析：直线AB 的斜率k ＝0＋13－1＝12，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，①x 22a 2＋y 22b 2＝1，②①－②，得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.即k ＝－b 2a 2×2－2，∴b 2a 2＝12.③ 又a 2－b 2＝c 2＝9，④ 由③④得a 2＝18，b 2＝9.∴椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1，故选D.2．[2014·新课标全国卷Ⅱ]设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )A.334 B.938C.6332D.94答案：D解析：易知抛物线中p ＝32，焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，直线AB 的斜率k ＝33，故直线AB 的方程为y＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，代入抛物线方程y 2＝3x ，整理得x 2－212x ＋916＝0.设A (x 1，y 1) ，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝212.由抛物线的定义可得弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝212＋32＝12，结合图象可得O 到直线AB 的距离d ＝p 2sin 30°＝38，所以△OAB 的面积S ＝12|AB |·d ＝94.3．[2016·江苏卷]如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x －y －2＝0，抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)．(1)若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程； (2)已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q . ①求证：线段PQ 的中点坐标为(2－p ，－p )； ②求p 的取值范围．(1)解：抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，由点⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0在直线l ：x －y －2＝0上，得p2－0－2＝0，即p ＝4.所以抛物线C 的方程为y 2＝8x .(2)解：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，线段PQ 的中点M (x 0，y 0)．因为点P 和Q 关于直线l 对称，所以直线l 垂直平分线段PQ ，于是直线PQ 的斜率为－1，则可设其方程为y ＝－x ＋b .①证明：由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝－x ＋b 消去x 得y 2＋2py －2pb ＝0.(*)因为P 和Q 是抛物线C 上的相异两点， 所以y 1≠y 2，从而Δ＝(2p )2－4×(－2pb )>0， 化简得p ＋2b >0.方程(*)的两根为y 1,2＝－p ±p 2＋2pb ，从而y 0＝y 1＋y 22＝－p .因为M (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝2－p . 因此，线段PQ 的中点坐标为(2－p ，－p )．②解：因为M (2－p ，－p )在直线y ＝－x ＋b 上， 所以－p ＝－(2－p )＋b ，即b ＝2－2p . 由①知p ＋2b >0，于是p ＋2(2－2p )>0， 所以p <43.因此，p 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43. 4．[2016·山东卷]平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率是32，抛物线E ：x 2＝2y 的焦点F 是C 的一个顶点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D .直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M .①求证：点M 在定直线上；②直线l 与y 轴交于点G ，记△PFG 的面积为S 1，△PDM 的面积为S 2，求S 1S 2的最大值及取得最大值时点P 的坐标．(1)解：由题意知，a 2－b 2a ＝32，可得a 2＝4b 2，因为抛物线E 的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12， 所以b ＝12，a ＝1，所以椭圆C 的方程为x 2＋4y 2＝1.(2)①证明：设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 22(m >0)．由x 2＝2y ，可得y ′＝x ，所以直线l 的斜率为m .因此直线l 的方程为y －m 22＝m (x －m )，即y ＝mx －m 22.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝1，y ＝mx －m 22，得(4m 2＋1)x 2－4m 3x ＋m 4－1＝0.由Δ>0，得0<m <2＋5(或0<m 2<2＋5), (*)且x 1＋x 2＝4m34m ＋1，因此x 0＝2m34m 2＋1，将其代入y ＝mx －m 22，得y 0＝－m 2m 2＋，因为y 0x 0＝－14m，所以直线OD 的方程为y ＝－14mx . 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14m x ，x ＝m ，得点M 的纵坐标y M ＝－14，所以点M 在定直线y ＝－14上．②解：由①知直线l 的方程为y ＝mx －m 22.令x ＝0，得y ＝－m 22，所以G ⎝⎛⎭⎪⎫0，－m 22. 又P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 22，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m34m 2＋1，－m2m 2＋， 所以S 1＝12·|GF |·m ＝m 2＋m4，S 2＝12·|PM |·|m －x 0|＝12×2m 2＋14×2m 3＋m 4m 2＋1＝m 2m 2＋2m 2＋.所以S 1S 2＝m 2＋m 2＋2m 2＋2.设t ＝2m 2＋1.则S 1S 2＝t －t ＋t 2＝2t 2＋t －1t2＝－1t2＋1t＋2，当1t ＝12，即t ＝2时，S 1S 2取得最大值94， 此时m ＝22，满足(*)式， 所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，14， 因此S 1S 2的最大值为94，此时点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，14.课外拓展阅读 忽视讨论二次项系数致误[典例] 已知点A (0,2)和双曲线x 2－y 24＝1，过点A 与双曲线只有一个公共点的直线的条数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 设过点A (0,2)的直线为y ＝kx ＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2－y 24＝1，得(4－k 2)x 2－4kx －8＝0.当k 2＝4，即k ＝±2时，方程只有一解，即只有一个交点． 当k 2≠4时，方程有一解时Δ＝(－4k )2－4×(4－k 2)×(－8)＝0， ∴k 2＝8，∴k ＝±22k ，k 为切线的斜率． 综上，共有4条直线．故选D.[易错分析] 得出方程(4－k 2)x 2－4kx －8＝0后，不考虑k 2＝4，直接由Δ＝0，得k ＝±22，错选B.[答案] D 温馨提醒直线与双曲线只有一个公共点时，该直线可与双曲线相切(Δ＝0)，也可也其渐近线平行，故只有一个公共点不一定是相切关系，注意数形结合法的应用．。
18版高考数学一轮复习第九章解析几何课时跟踪检测49理新人教A版
课时跟踪检测(四十九)[高考基础题型得分练]1．点(1,2)与圆x 2＋y 2＝5的位置关系是( ) A ．在圆上 B ．在圆外 C ．在圆内 D ．不确定答案：A解析：把点(1,2)代入圆的方程知点在圆上． 2．方程x 2＋y 2＋2x －4y －6＝0表示的图形是( ) A ．以(1，－2)为圆心，11为半径的圆 B ．以(1,2)为圆心，11为半径的圆 C ．以(－1，－2)为圆心，11为半径的圆 D ．以(－1,2)为圆心，11为半径的圆 答案：D解析：由x 2＋y 2＋2x －4y －6＝0得(x ＋1)2＋(y －2)2＝11，故圆心为(－1,2)，半径为11. 3．以点(2，－1)为圆心且与直线3x －4y ＋5＝0相切的圆的方程为( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝3 B ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝3 C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝9 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝9答案：C解析：∵圆心(2，－1)到直线3x －4y ＋5＝0的距离d ＝|6＋4＋5|5＝3，∴圆的半径为3，即圆的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝9.4．圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0的圆心到直线x －y ＝1的距离为( ) A ．2 B.22C ．1 D. 2答案：D解析：已知圆的圆心是(1，－2)，到直线x －y ＝1的距离是|1＋2－1|12＋12＝22＝ 2. 5．已知圆C 与直线y ＝x 及x －y －4＝0都相切，圆心在直线y ＝－x 上，则圆C 的方程为( )A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 D ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2答案：D解析：由题意知，x －y ＝0 和x －y －4＝0之间的距离为|4|2＝22，所以r ＝2；又因为y ＝－x 与x －y ＝0，x －y －4＝0均垂直， 所以由y ＝－x 和x －y ＝0联立得交点坐标为(0,0)， 由y ＝－x 和x －y －4＝0联立得交点坐标为(2，－2)，所以圆心坐标为(1，－1)，圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.6．[2017·广东深圳五校联考]已知直线l ：x ＋my ＋4＝0，若曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上存在两点P ，Q 关于直线l 对称，则m 的值为( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1答案：D解析：因为曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0是圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝9，若圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝9上存在两点P ，Q 关于直线l 对称，则直线l ：x ＋my ＋4＝0过圆心(－1,3)，所以－1＋3m ＋4＝0，解得m ＝－1.7．[2017·山东济南模拟]已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1 D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1答案：B解析：设圆C 1的圆心坐标C 1(－1,1)关于直线x －y －1＝0的对称点为(a ，b )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧b －1a ＋1＝－1，a －12－b ＋12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2，所以圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1.8．若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y ＝2的距离等于1，则半径r 的取值范围是( )A ．(4,6)B ．[4,6]C ．[4,6)D ．(4,6]答案：A解析：易求圆心(3，－5)到直线4x －3y ＝2的距离为5. 令 r ＝4可知，圆上只有一点到已知直线的距离为1； 令r ＝6可知，圆上有三点到已知直线的距离为1. 所以半径r 取值范围在(4,6)之间符合题意．9．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于原点对称的圆的方程为________． 答案：(x －2)2＋y 2＝5解析：(x ，y )关于原点的对称点为(－x ，－y )，则(－x ＋2)2＋(－y )2＝5，即(x －2)2＋y 2＝5.10．在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．答案：(x －1)2＋y 2＝2解析：因为直线mx －y －2m －1＝0恒过定点(2，－1)， 所以圆心(1,0)到直线mx －y －2m －1＝0的最大距离为d ＝－2＋－1－2＝2，所以半径最大时的半径r ＝2，所以半径最大的圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.11．直线x －2y －2k ＝0与2x －3y －k ＝0的交点在圆x 2＋y 2＝9 的外部，则k 的取值范围是________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－35∪⎝ ⎛⎭⎪⎫35，＋∞解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －2k ＝0，2x －3y －k ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4k ，y ＝－3k .∴(－4k )2＋(－3k )2＞9，即25k 2＞9， 解得k ＞35或k ＜－35.12．设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线 x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为________．答案：4解析：如图所示，圆心M (3，－1)与定直线x ＝－3的最短距离为|MQ |＝3－(－3)＝6，又圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.[冲刺名校能力提升练]1．已知点M 是直线3x ＋4y －2＝0上的动点，点N 为圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1上的动点，则|MN |的最小值是( )A.95 B ．1 C.45 D.135答案：C解析：圆心(－1，－1)到点M 的距离的最小值为点(－1，－1)到直线的距离d ＝|－3－4－2|5＝95， 故点N 到点M 的距离的最小值为d －1＝45.2．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m,0)(m >0)．若圆C 上存在点P ，使得 ∠APB ＝90°，则 m 的最大值为( )A ．7B ．6C．5D ．4答案：B解析：根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C 的坐标为(3,4)，半径r ＝1，且|AB |＝2m ， 因为∠APB ＝90°，连接OP ，易知|OP |＝12|AB |＝m .要求m 的最大值，即求圆C 上的点P 到原点O 的最大距离．因为|OC |＝ 32＋42＝5，所以|OP |max ＝|OC |＋r ＝6，即m 的最大值为6.3．已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．52－4 B.17－1 C ．6－2 2 D.17答案：A解析：圆C 1，C 2的图象如图所示．设P 是x 轴上任意一点，则|PM |的最小值为|PC 1|－1，同理|PN |的最小值为|PC 2|－3，则|PM |＋|PN |的最小值为|PC 1|＋|PC 2|－4. 作C 1关于x 轴的对称点C 1′(2，－3)，连接C 1′C 2，与x 轴交于点P ，连接PC 1，可知|PC 1|＋|PC 2|的最小值为|C 1′C 2|，则|PM |＋|PN |的最小值为52－4.4．已知l 1和l 2是平面内互相垂直的两条直线，它们的交点为A ，异于点A 的两个动点B ，C 分别在l 1和l 2上，且|BC |＝42，则过A ，B ，C 三点的动圆所形成的区域的面积为________．答案：8π解析：因为AB 2＋AC 2＝(42)2，故过A ，B ，C 三点的动圆的轨迹是以BC 的中点为圆心，22为半径的圆，故其面积为8π. 5．已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求点M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求直线l 的方程及△POM 的面积． 解：(1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16， 所以圆心为C (0,4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x,2－y )，由题设知CM →·MP →＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0， 即(x －1)2＋(y －3)2＝2. 由于点P 在圆C 的内部，所以点M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知，M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆． 由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上， 又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .因为ON 的斜率为3，所以直线l 的斜率为－13，所以直线l 的方程为y ＝－13x ＋83.又|OM |＝|OP |＝22，点O 到l 的距离为4105，|PM |＝4105，所以△POM 的面积为165.。
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课时达标检测（四十九） 直线与圆锥曲线[练基础小题——强化运算能力]1．已知双曲线x 212－y 24＝1的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 B ．(－3，3) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 D ．[－3， 3 ]解析：选C 由题意知，右焦点为F (4,0)，双曲线的两条渐近线方程为y ＝±33x .当过点F 的直线与渐近线平行时，满足与双曲线的右支有且只有一个交点，数形结合可知该直线的斜率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33，故选C. 2．已知经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q ，则k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞ C ．(－2，2) D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析：选B 由题意得，直线l 的方程为y ＝kx ＋2，代入椭圆方程得x 22＋(kx ＋2)2＝1，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2x 2＋22kx ＋1＝0.直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于Δ＝8k2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2＝4k 2－2>0，解得k <－22或k >22，即k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞.故选B.3．过抛物线y 2＝2x 的焦点作一条直线与抛物线交于A ，B 两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线( )A ．有且只有一条B ．有且只有两条C ．有且只有三条D ．有且只有四条解析：选B ∵通径2p ＝2，|AB |＝x 1＋x 2＋p ，∴|AB |＝3>2p ，故这样的直线有且只有两条．4．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( )A ．2 B.455 C.4105 D.8105解析：选C 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝x ＋t消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0.则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝t 2－5.∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－85t 2－4×t 2－5＝425·5－t 2，故当t ＝0时，|AB |max ＝4105. 5．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，F (2，0)为其右焦点，过F 且垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2.则椭圆C 的方程为________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，b2a ＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2，故椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.答案：x 24＋y 22＝1[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．椭圆ax 2＋by 2＝1与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则ab ＝( ) A.32 B.233C.932D.2327解析：选A 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，结合题意，由点差法得，y 2－y 1x 2－x 1＝－a b ·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－a b ·x 0y 0＝－a b ·23＝－1，所以a b ＝32. 2．经过椭圆x 22＋y 2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点．设O为坐标原点，则OA ·OB 等于( )A ．－3B ．－13C ．－13或－3D ．±13解析：选B 依题意，当直线l 经过椭圆的右焦点(1,0)时，其方程为y －0＝tan 45°(x －1)，即y ＝x －1，代入椭圆方程x 22＋y 2＝1并整理得3x 2－4x ＝0，解得x ＝0或x ＝43，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，∴OA ·OB ＝－13，同理，直线 l 经过椭圆的左焦点时，也可得OA ·OB ＝－13.3．已知抛物线y 2＝2px 的焦点F 与椭圆16x 2＋25y 2＝400的左焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且|AK |＝2|AF |，则点A 的横坐标为( )A ．2B ．－2C ．3D ．－3解析：选D 16x 2＋25y 2＝400可化为x 225＋y 216＝1，则椭圆的左焦点为F (－3,0)，又抛物线y 2＝2px 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线为x ＝－p2，所以p2＝－3，即p ＝－6，即y 2＝－12x ，K (3,0)．设A (x ，y )，则由|AK |＝2|AF |得(x －3)2＋y 2＝2[(x ＋3)2＋y 2]，即x 2＋18x ＋9＋y 2＝0， 又y 2＝－12x ，所以x 2＋6x ＋9＝0，解得x ＝－3.4．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2解析：选B 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵两点在抛物线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1， ①y 22＝2px 2， ②①－②得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝2p (x 1－x 2)， 又线段AB 的中点的纵坐标为2，∴y 1＋y 2＝4， 又直线的斜率为1，∴y 1－y 2x 1－x 2＝1，∴2p ＝4，p ＝2， ∴抛物线的准线方程为x ＝－p2＝－1.5．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是( )A ．4B ．3 3C ．4 3D ．8解析：选C ∵y 2＝4x ，∴F (1,0)，准线l ：x ＝－1，过焦点F 且斜率为3的直线l 1：y ＝3(x －1)，与y 2＝4x 联立，解得A (3,23)，∴AK ＝4，∴S △AKF ＝12×4×23＝4 3.6．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是( )A.x 24＋y 23＝1B.x 23＋y 22＝1C.x 25＋y 24＝1 D.x 28＋y 25＝1解析：选C 由题可设斜率存在的切线的方程为y －12＝k (x －1)(k 为切线的斜率)，即2kx －2y －2k ＋1＝0，由|－2k ＋1|4k 2＋4＝1，解得k ＝－34，所以圆x 2＋y 2＝1的一条切线的方程为3x ＋4y －5＝0，可求得切点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，易知另一切点的坐标为(1,0)，则直线AB的方程为y ＝－2x ＋2，令y ＝0得右焦点为(1,0)，令x ＝0得上顶点为(0,2)，故a 2＝b 2＋c 2＝5，所以所求椭圆的方程为x 25＋y 24＝1.二、填空题7．设双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F .过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．解析：c ＝5，设过点F 平行于一条渐近线的直线方程为y ＝43(x －5)，即4x －3y －20＝0，联立直线与双曲线方程，求得y B ＝－3215，则S ＝12×(5－3)×3215＝3215.答案：32158．在平面直角坐标系xOy 中，过y 轴正方向上一点C (0，c )任作一条直线，与抛物线y ＝x 2相交于A ，B 两点，若OA ·OB ＝2，则c 的值为________．解析：设过点C 的直线为y ＝kx ＋c (c >0)，代入y ＝x 2得x 2＝kx ＋c ，即x 2－kx －c ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝－c ，OA ＝(x 1，y 1)，OB ＝(x 2，y 2)，因为OA ·OB＝2，所以x 1x 2＋y 1y 2＝2，即x 1x 2＋(kx 1＋c )(kx 2＋c )＝2，即x 1x 2＋k 2x 1x 2＋kc (x 1＋x 2)＋c 2＝2，所以－c －k 2c ＋kc ·k ＋c 2＝2，即c 2－c －2＝0，所以c ＝2或c ＝－1(舍去)．答案：29．中心为原点，一个焦点为F (0,52)的椭圆，截直线y ＝3x －2所得弦中点的横坐标为12，则该椭圆方程为________． 解析：由已知得c ＝52，设椭圆的方程为x 2a 2－50＋y 2a 2＝1，联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－50＋y 2a 2＝1，y ＝3x －2消去y 得(10a 2－450)x 2－12(a 2－50)x ＋4(a 2－50)－a 2(a 2－50)＝0，设直线y ＝3x －2与椭圆的交点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，由根与系数关系得x 1＋x 2＝a 2－10a 2－450，由题意知x 1＋x 2＝1，即a 2－10a 2－450＝1，解得a 2＝75，所以该椭圆方程为y 275＋x 225＝1. 答案：y 275＋x 225＝1 10．已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若MA ·MB ＝0，则k ＝________.解析：如图所示，设F 为焦点，易知F (2，0)，取AB 的中点P ，过A ，B 分别作准线的垂线，垂足分别为G ，H ，连接MF ，MP ，由MA ·MB ＝0，知MA ⊥MB ，则|MP |＝12|AB |＝12(|AF |＋|BF |)＝12(|AG |＋|BH |)，所以MP 为直角梯形BHGA 的中位线，所以MP ∥AG ∥BH ，由|MP |＝|AP |，得∠GAM ＝∠AMP ＝∠MAP ，又|AG |＝|AF |，AM 为公共边，所以△AMG ≌△AMF ，所以∠AFM ＝∠AGM ＝90°，则MF ⊥AB ，所以k ＝－1k MF＝2.答案：2 三、解答题11．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点分别为F 1(－2，0)，F 2(2,0)，离心率为63.过点F 2的直线l (斜率不为0)与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为D ，O 为坐标原点，直线OD 交椭圆于M ，N 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)当四边形MF 1NF 2为矩形时，求直线l 的方程．解：(1)由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，c a ＝63，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝6，b ＝ 2. 故椭圆C 的方程为x 26＋y 22＝1. (2)由题意可知直线l 的斜率存在．设其方程为y ＝k (x －2)， 点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 3，y 3)，N (－x 3，－y 3)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 22＝1，y ＝k x －得(1＋3k 2)x 2－12k 2x ＋12k 2－6＝0，所以x 1＋x 2＝12k 21＋3k2，则y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－4)＝－4k1＋3k2，所以AB 的中点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6k 21＋3k 2，－2k 1＋3k 2，因此直线OD 的方程为x ＋3ky ＝0(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3ky ＝0，x 26＋y22＝1解得y 23＝21＋3k 2，x 3＝－3ky 3.因为四边形MF 1NF 2为矩形， 所以F 2M ―→·F 2N ―→＝0，即(x 3－2，y 3)·(－x 3－2，－y 3)＝0， 所以4－x 23－y 23＝0.所以4－29k 2＋11＋3k2＝0. 解得k ＝±33.故直线l 的方程为3x －3y －23＝0或3x ＋3y －23＝0. 12．(2016·大连双基测试)已知过点(2,0)的直线l 1交抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)于A ，B 两点，直线l 2：x ＝－2交x 轴于点Q .(1)设直线QA ，QB 的斜率分别为k 1，k 2，求k 1＋k 2的值；(2)点P 为抛物线C 上异于A ，B 的任意一点，直线PA ，PB 交直线l 2于M ，N 两点，OM ·ON ＝2，求抛物线C 的方程．解：(1)设直线l 1的方程为x ＝my ＋2，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝2px ，得y 2－2pmy －4p ＝0，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－4p .k 1＋k 2＝y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2＝y 1my 1＋4＋y 2my 2＋4＝2my 1y 2＋y 1＋y 2my 1＋my 2＋＝－8mp ＋8mp my 1＋my 2＋＝0.(2)设点P (x 0，y 0)，直线PA ：y －y 1＝y 1－y 0x 1－x 0(x －x 1)， 当x ＝－2时，y M ＝－4p ＋y 1y 0y 1＋y 0，同理y N ＝－4p ＋y 2y 0y 2＋y 0.因为OM ·ON ＝2， 所以4＋y N y M ＝2， 即－4p ＋y 2y 0y 2＋y 0·－4p ＋y 1y 0y 1＋y 0＝16p 2－4py 0y 2＋y 1＋y 20y 1y 2y 2y 1＋y 0y 2＋y 1＋y 20＝16p 2－8p 2my 0－4py 2－4p ＋2pmy 0＋y 20＝－4p －4p ＋2pmy 0＋y 20－4p ＋2pmy 0＋y 0＝－2，故p ＝12，所以抛物线C 的方程为y 2＝x .。