第二章 时间序列的预处理
第二章时间序列的预处理
),,(),,(21,,21,,2121m t t t m t t t x x x F x x x F m m τττ+++=第二章 时间序列的预处理 2.1 平稳性检验 2.1.1 特征统计量 一、概率分布对时间序列},{T t X t ∈，,,,,21T t t t N m m ∈∀∈∀ 联合概率分布记为),,(21,,21m t t t x x x F m，由这些有限维分布函数构成的全体记为：},,,),,2,1(),,,({2121,,21T t t t m m x x x F m m t t t m ∈∀∈∀成为序列}{t X 的概率分布族二、特征统计量对时间序列},{T t X t ∈，取T s t ∈∀, 1、均值t t EX =μ为}{t X 在t 时刻的均值函数，},{T t t ∈μ反映},{T t X t ∈每时每刻的平均水平 2、方差2)(t t t X E DX μ-=3、自协方差函数（autocovariance function)和自相关函数(autocorrelatioi function) 定义 ),(s t γ为}{t X 的协方差函数：))((),(s s t t X X E s t μμγ--= 定义),(s t ρ为}{t X 的自相关系数，ACF. st DXDX s t s t ⋅=),(),(γρ2.1.2 平稳时间序列的定义 一、严平稳只有当序列所有的统计性质都不会随着时间的推移而发生变化时，该序列才能被认为是严平稳的。
定义 2.1 设}{t X 为一时间序列，对任意正整数m ，任取T t t t m ∈ ,,21，对任意整数τ 有则称时间序列}{t X 为严平稳时间序列。
二、宽平稳定义 2.2 如果}{t X 满足如下三个条件： （1）任取∞∈ 2,tEX T t 有；（2）任取μμ,,=∈tEXT t 有为常数；（3）任取),(),(T,t -s k T,k s,t,t s k k s t -+=∈+∈γγ有且; 则称}{t X 为宽平稳时间序列。
时间的序列预处理
时间序列预处理一、平稳性检验1、概率分布（1）意义：随机变量族的统计特性完全由它们的联合分布函数或联合密度函数决定（2）时间序列概率分布族的定义：Tt t t m m x x x F m m t t t m ,,,),,,2,1()},,,({2121,,,212、特征统计量均值：)(x xdF EX t t t 方差：)()()(22x dF x X E DX t t t t t自协方差：))((),(s s t t X X E s t 自相关系数：st DX DX s t s t ),(),(3、平稳时间序列的定义（1）严平稳严平稳是一种条件比较苛刻的平稳性定义，它认为只有当序列所有的统计性质都不会随着时间的推移而发生变化时，该序列才能被认为平稳。
（2）宽平稳宽平稳是使用序列的特征统计量来定义的一种平稳性。
它认为序列的统计性质主要由它的低阶矩决定，所以只要保证序列低阶矩平稳（二阶），就能保证序列的主要性质近似稳定。
4、平稳时间序列的统计定义满足如下条件的序列称为严平稳序列:正整数m ,T t t t m ,,,21,正整数,有:),,,(),,,(21,21,2121m t t t m t t t x x x F x x x F m m 满足如下条件的序列称为宽平稳序列: (1)T t EX t ,2;(2)T t EX t 为常数，,;(3)T t s kk s t t s k k s t 且，,,),(),(; 严平稳与宽平稳的关系:(1)一般关系严平稳条件比宽平稳条件苛刻，通常情况下，严平稳（低阶矩存在）能推出宽平稳成立，而宽平稳序列不能反推严平稳成立。
(2)特例不存在低阶矩的严平稳序列不满足宽平稳条件，例如服从柯西分布的严平稳序列就不是宽平稳序列;当序列服从多元正态分布时，宽平稳可以推出严平稳。
5、平稳时间序列的统计性质(1)常数均值。
(2)自协方差函数和自相关函数只依赖于时间的平移长度而与时间的起止点无关。
时间序列的预处理(平稳性检验和纯随机性检验)
1、时序图的绘制
在SAS系统中，使用GPLOT程序可以绘 制多种精美的时序图。
可以设置坐标轴、图形颜色、观察值点 的形状及点之间的连线方式等
例2-1
data example2_1;
input price1 price2;
time=intnx('month','01jul2004'd,_n_-1);
format time date.;
cards;
12.85 15.21
13.29 14.23
12.41 14.69
15.21 13.27
14.23 16.75
13.56 15.33
;
proc gplot data= example2_1; \\绘图过程开始
plot price1*time=1 price2*time=2/overlay; //确定纵横轴，按两种
时间序列分析之
试验二
时间序列的预处理 （平稳性检验和纯随机性检验）
一、平稳性检验
时序图检验
根据平稳时间序列的均值、方差
及周期特征。
自相关图检验
根据平稳时间序列的短期相关性， 其自相关图中随着延迟期数 的增加，自相关系数会很快 地衰减向零。
cards;
97 154 137.7 149 164 157 188 204 179 210 202 218 209
204 211 206 214 217 210 217 219 211 233 316 221 239
215 228 219 239 224 234 227 298 332 245 357 301 389
平稳时间序列的时序图与自相关图
时间序列的预处理与分析
时间序列的预处理与分析时间序列预处理是时间序列分析的第一步，其目的是将原始时间序列数据转换为适合进行进一步分析的形式。
在进行时间序列预处理时，常常需要解决的问题包括数据缺失、异常值处理和平稳性检验。
数据缺失是指在时间序列数据中出现了缺失的数据点。
对于数据缺失问题，常见的处理方法包括插值法和删除法。
插值法是利用已有的数据点对缺失的数据点进行估计。
常见的插值方法包括线性插值、多项式插值和样条插值等。
删除法是直接删除缺失的数据点，将问题简化为无缺失数据的时间序列分析。
数据缺失处理的目标是保留尽可能多的有用信息，同时减小插值或删除对数据的影响。
异常值是指在时间序列中存在明显偏离其他值的数据点。
异常值的存在可能对进一步分析造成干扰，因此需要对其进行处理。
在处理异常值时，一种方法是通过定义阈值进行判断和排除。
例如，可以根据极差、标准差等统计量确定异常值的上下限，并将超过范围的数据点视为异常值进行处理。
另一种方法是利用异常值检测算法来识别和排除异常值，常见的算法包括离群点检测法和异常值分析法等。
平稳性是时间序列分析的重要前提条件，它指的是时间序列的均值和方差不随时间变化。
平稳性检验的目的是确定时间序列是否平稳，以决定是否需要进行平稳性转换。
常见的平稳性检验方法包括统计量检验和图形检验。
统计量检验是通过计算时间序列数据的平均数、方差等统计量，并利用假设检验方法来判断是否满足平稳性条件。
典型的统计量检验方法包括ADF检验和KPSS检验等。
图形检验是通过绘制时间序列的折线图、自相关图和偏自相关图等来观察数据的波动性和相关性是否存在明显的趋势和周期性。
除了预处理之外，时间序列的分析也包括模型选择、参数估计和模型检验等步骤。
模型选择是根据时间序列的特征和目标进行合适模型的选择，常见的时间序列模型包括ARIMA模型、GARCH模型和VAR模型等。
参数估计是通过最大似然估计等方法对模型的参数进行估计。
模型检验是通过残差分析和模型评价准则等来检验模型的拟合好坏和预测精度。
时间序列的预处理与分析
时间序列的预处理与分析一、时间序列的预处理步骤1. 数据清洗：首先，我们需要对时间序列数据进行清洗，去除可能存在的异常值、缺失值和异常数据。
异常值可以通过异常检测方法识别和处理，缺失值可以通过插值方法填补。
2. 数据转换：有时候，时间序列数据在原始尺度上的波动很大，难以进行分析。
这时，我们需要进行数据转换，常见的方法有对数变换、差分变换和平滑变换等，以使数据更平稳或更趋于正态分布。
3. 数据平滑：平滑是一种常用的数据预处理方法，可以消除噪声和随机波动，揭示时间序列的长期趋势。
常用的平滑方法包括移动平均法和指数平滑法。
4. 季节性调整：如果时间序列数据存在季节性变化，那么我们需要进行季节性调整。
常见的方法有季节差分法、季节指数法和回归模型法等，以便更好地分析和预测数据。
5. 数据分解：有时候，时间序列数据可能包含趋势、季节性和残差三个成分，我们需要将其分解出来，分别进行分析和建模。
分解方法有经典分解法和小波分解法等。
二、时间序列的分析方法1. 描述统计分析：描述统计分析是时间序列分析的基础，可以通过计算均值、方差、相关系数和自相关系数等指标，揭示数据的基本特征和变化规律。
2. 自相关分析：自相关分析是一种常用的时间序列分析方法，可以识别和度量数据内部存在的自相关关系。
自相关系数图和自相关函数图可以帮助我们判断数据是否存在自相关性，并确定合适的滞后阶数。
3. 谱分析：谱分析是一种用于分析时间序列数据频率特征的方法，可以揭示时间序列数据随时间变化的周期和频率成分。
常见的谱分析方法有周期图、功率谱图和谱密度图等。
4. ARIMA模型：ARIMA模型是一种常用的时间序列建模方法，包括自回归（AR）、差分（I）和移动平均（MA）三个部分。
通过对时间序列数据进行模型识别、参数估计和模型检验，可以进行预测和预测误差分析。
5. 指数平滑模型：指数平滑模型是一种简单且有效的时间序列预测方法，常用于对平稳或趋势性变化的数据进行预测。
chap 2 时间序列的预处理L
一、数值检验
方法一：将序列值与平滑值进行比较 判断标准：
X t kSt X t 1 X t kSt
2
t
其中 X t 表示先对序列 X t 进行平滑再平方 2 得到的数值。X 表示先取平方再平滑得到 2 2 的值。并用 S = X t X t2表示样本方差。 t （k一般为3-9的整数）
非平稳时间序列→平稳时间序列
时间序列的函数变换
在实际问题中，有时需对数据做函数变换后再分解。 常见的函数有
对数函数 ln(x) 指数函数 exp(ax) 倒数函数 a/x 等等
时间序列非平稳的多样性表现出多样性 和复杂性。 均值平稳，方差与协方差不平稳。
BOX-COX变换
均值不平稳，方差与自协方差平稳。
d 阶差分 d xt d 1 xt d 1 xt 1
2 X t =X t X t 1 =(X t X t 1 ) ( X t 1 X t 2 )=X t 2 X t 1 +X t 2
s 步差分(本书中 季节差分)
s xt xt s
指数平滑法
指数平滑法是一种特殊的加权移动平 均法，其加权的特点是对离预测期近 的历史数据给予较大的权数，对离预 测期远的历史数据给予较小的权数， 权数由近到远按指数规律递减，所以， 这种方法被称为指数平滑法。
一次指数平滑法
⑴一次指数平滑的预测模型 x1 , x2 , , xn ，n为时间序列 已知时间序列为： 总期数，一次指数平滑的基本公式为：
xt p B p xt , p 1
后移算子的性质
B0 1
B(c xt ) c B( xt ) c xt 1 , c为任意常数
第2章时间序列的预处理PPT课件
第（1）条是OLS估计的需要 第（2）条是为了满足统计推断中大样本下的“一致
性”特性：
Plim(ˆ) n
▲如果X是非平稳数据（如表现出向上的趋势）， 则（2）不成立，回归估计量不满足“一致性”， 基于大样本的统计推断也就遇到麻烦。
nk t1
(xt
x)(xtk
x),0kn
n1ktkn1(xt x)(xtk x),0kn
或 ˆ*(k)1 nn t 1 k(xtx)(xtkx),0kn
可以证明
E[ˆ(k)](k)O(1)
n
E[ˆ*(k)](1k)(k)(1k)O(1)
n
nn
所以，ˆ ( k ) 是 ( k ) 的渐近无偏估计，而 ˆ * ( k ) 是 ( k )
第二章 时间序列的预处理
一、问题的引出：非平稳变量与经典回归模型
⒈常见的数据类型
到目前为止，经典计量经济模型常用到的数据有： 时间序列数据（time-series data) 截面数据(cross-sectional data) 平行/面板数据（panel data/time-series cross-section
自协方差 (t,s ) E (X tt)X (ss)
自相关系数 (t,s) (t,s)
DXt DXs
2.平稳时间序列的定义
(1)严平稳
严平稳是一种条件比较苛刻的平稳性定义，它认为 只有当序列所有的统计性质都不会随着时间的推移 而发生变化时，该序列才能被认为平稳。
(2)宽平稳
宽平稳是使用序列的特征统计量来定义的一种平稳 性。它认为序列的统计性质主要由它的低阶矩决定， 所以只要保证序列低阶矩平稳（二阶），就能保证 序列的主要性质近似稳定。
《时间序列分析》第二章 时间序列预处理习题解答[1]
![《时间序列分析》第二章 时间序列预处理习题解答[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/afd770ef524de518964b7d1f.png)
∧
（2）当延迟期数即 k （本题取值 1 2 3 4 5 6）远小于样本容量 n (本题为 20)时，自相关系数 ρ k 计算公式为
∧
ρk ≈
∧
∑(X
t =1
n−k
t n
− X )( X t + k − X )
t
∑(X
t =1
0<k <n
− X)
∧
2
即计算得 ρ1 = 0.8500 ， ρ 2 = 0.7015 ， ρ3 = 0.5560 ， ρ 4 = 0.4150 ， ρ5 = 0.2805 ，
number 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 01JAN80 01JAN81 01JAN82 01JAN83 01JAN84 01JAN85 01JAN86 01JAN87 01JAN88 01JAN89 01JAN90 01JAN91 01JAN92 01JAN93 01JAN94 01JAN95 01JAN96 01JAN97 01JAN98 01JAN99 time
ppm 342 341 340 339 338 337 336 335 334 333 332 331 330 329 328 01JAN75 01MAY75 01SEP75 01JAN76 01MAY76 01SEP76 01JAN77 01MAY77 01SEP77 01JAN78 01MAY78 01SEP78 01JAN79 01MAY79 01SEP79 01JAN80 01MAY80 01SEP80 01JAN81 time
时间序列分析第二章-时间序列的预处理
应用时间序列分析实验报告实验名称 第二章 时间序列的预处理、上机练习12.85 15.21 13.29 14.23 12.41 14.69 15.21 13.27 14.23 16.75 13.56 15.33proc gplot data =example2_1;语句说明：（1） “ proc gplot data=example2_1 ； 是告诉系统，下面准备对临时数据集 example2_1 数据绘图。
（2） " plot price1*time= 1 price2*time= 2/ overlay ; ” 是要求系统要绘制两条时序曲线。
（3） “symbol1 c=black v=star i =join;”，symbol 语句是专门指令绘制的格式。
输出的时序图见下图:中的242平稳性与纯随机性检验1平稳性检验为了判断序列是否平稳，除了需要考虑时序图的性质，还需要对自相关图进行检验。
SAS系统ARIMA过程中的IDENTIFY语句可以提供非常醒目的自相关图。
data example2 2;in put freq@@;year=intnx （'year' , '1jan1970'd ,n- 1）;format year year4. ;cards ;97 154 137.7 149 164 157 188 204 179 210 202 218 209204 211 206 214 217 210 217 219 211 233 316 221 239215 228 219 239 224 234 227 298 332 245 357 301 389;proc arima data =example2_2;den tify var =freq;run ;语句说明：（1 ）"proc arima data =example2_2; ”是告诉系统，下面要对临时数据集example2_2 中的数据进行ARIMA程序分析。
《时间序列分析》第二章 时间序列预处理习题解答[1]
ppm 342 341 340 339 338 337 336 335 334 333 332 331 330 329 328 01JAN75 01MAY75 01SEP75 01JAN76 01MAY76 01SEP76 01JAN77 01MAY77 01SEP77 01JAN78 01MAY78 01SEP78 01JAN79 01MAY79 01SEP79 01JAN80 01MAY80 01SEP80 01JAN81 time
时间序描述程序 data example1; input number@@; time=intnx('year','01jan1980'd, _n_-1); format time date.; cards; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 ; proc gplot data=example1; plot number*time=1; symbol1 c=black v=star i=join; run;
运行结果 rou_hat = 0.8500 0.7015 0.5560 0.4150 0.2801 0.1526
∧
（3） 绘制该 该样本自相关 关图
dat ta example e1; input number r@@; tim me=intnx('year','01 1jan1980'd d, _n_-1); format year year4.; cards; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 ; pro oc arima data=examp d ple1; identify var r=number; run n;
第二章 时间序列的预处理
} 用模型检验异常值是指对数据进行模型分析，然后 根据拟合模型后的剩余序列计算特定的统计量，测
出显著的异常值及其类型，并用相应的模型进行修
正，然后再对修正模型的剩余序列重复上述程序，
依次检测出各个异常值。
} 模型残差的正态性检验（JB检验）：
[ ] JB = n S 2 + (K − 3)2
6
断时间序列存在异常值；
（7）对检测到的异常值根据所研究的问题的需要剔除或 将哑变量（dummy variable，又称虚拟变量）加入到 模型分析中。
|
Xt
−
X 其中序列 Xt
，X
' t
然后序列
从首项开始取5项移动中位数生成X
' t
X
'' t
X从t'' 首项开始取3项移动中位X数t'''生成
再次，由序列
按照如下公式生成序列
：
X ''' t
=
1 4
X '' t −1
+
1 2
X
'' t
+
1 4
X '' t +1
} 在采集时间序列时，有时会由于仪器故障、操作失误、 观测问题等种种原因，引起在某些观测点上未能记录下 来观测值，这种缺少的观测值称为缺损值（missing value）。
} 时间序列的非平稳性及处理方法：
} 1.均值非平稳：差分 } 2.方差和自协方差非平稳：Box-Cox变换
∇ } 差分算子
∇X X X t = t − t−1
B } 后移（延迟）算子
时间序列的预处理培训
时间序列的预处理培训时间序列预处理是时间序列分析的重要步骤之一。
预处理的目的是消除时间序列中的噪声，提取有用的信息，并使时间序列具备可分析性。
本文将介绍时间序列预处理的基本步骤和常用方法。
时间序列预处理的基本步骤如下：1. 数据收集：首先需要收集时间序列数据。
数据可以是连续的，例如每天、每小时或每分钟的数据，也可以是离散的，例如每周、每月或每年的数据。
2. 数据清洗：在进行预处理之前，需要对数据进行清洗。
这包括处理缺失值、异常值和噪声。
缺失值可以通过插值或删除处理。
异常值可以通过统计分析和可视化方法进行识别和处理。
噪声可以通过平滑或滤波等技术进行消除。
3. 数据转换：某些情况下，时间序列数据可能不符合预测模型的基本假设，需要进行数据转换。
常见的数据转换方法包括对数变换、差分、平移等。
4. 平稳性检验：平稳性是时间序列分析的重要前提。
平稳性意味着时间序列的统计特性不随时间变化而改变。
平稳性检验可以通过观察时间序列的均值、方差和自相关函数来进行。
5. 数据平滑：时间序列数据通常包含随机波动和季节性变动。
为了减少这些变动对预测模型的影响，可以采用平滑方法来消除季节性和长期趋势。
常见的平滑方法包括移动平均法和指数平滑法。
6. 季节性调整：如果时间序列数据存在季节性变动，需要进行季节性调整。
季节性调整可以通过季节性分解或季节性指标来实现。
7. 数据标准化：在进行比较和分析时，不同时间序列数据的量纲和幅度可能不同。
为了消除这种差异，可以对数据进行标准化处理，将其转换为相对数或百分比。
以上是时间序列预处理的基本步骤。
根据具体情况，还可以结合其他预处理方法，如去除趋势、去除周期等。
预处理的目标是获取可靠、准确的数据，为时间序列分析提供可靠的基础。
时间序列预处理是时间序列分析的重要步骤之一，它对于时间序列数据的准确性和可靠性具有重要的影响。
本文将继续探讨时间序列预处理中的一些相关内容。
1. 缺失值处理：时间序列数据中常常会存在缺失值，这可能是由于采集错误、设备故障等原因所致。
时间序列的预处理教材
时间序列的预处理教材时间序列的预处理是在进行时间序列分析之前的必要步骤。
它包括数据收集、数据清洗、数据转换和缺失值处理等过程，以确保时间序列数据的准确性和一致性。
本文将逐步介绍时间序列预处理的重要步骤。
1. 数据收集：在时间序列预处理的第一步，需要确定数据来源和收集数据。
数据可以从各种渠道获取，如公共数据库、传感器设备或实时数据流等。
确保数据的质量和完整性非常重要，因此应该选择可靠的数据源。
2. 数据清洗：数据清洗是时间序列预处理的关键步骤，旨在处理异常值、噪声和重复数据等问题。
首先，检查数据集中是否存在缺失值、异常值或错误值。
可以使用统计方法、可视化工具或专门的算法来检测这些问题。
一旦发现异常值，可以删除、替换或修正它们。
3. 数据转换：在某些情况下，时间序列可能会显示出非常不规则的波动，这会对后续的分析造成困扰。
数据转换可以通过应用平滑技术（如移动平均法或指数平滑法）或差分操作来减少数据波动。
这些转换操作可以使数据变得更加稳定，更容易分析。
4. 缺失值处理：在时间序列中，经常会遇到缺失值的情况。
这些缺失值可能会对分析结果产生不良影响，因此需要采取适当的处理方法来填补这些缺失值。
常见的方法包括用平均值、中值或插值等方法来填补缺失值。
但在填补缺失值之前，需要对缺失数据进行详细的分析，了解缺失的原因和模式。
5. 数据标准化：标准化是时间序列预处理的另一个重要步骤。
通过标准化，可以将不同尺度的数据转换为具有相似分布的数据。
这样可以确保不同时间序列的比较是可靠的。
一种常见的标准化方法是Z得分标准化，通过减去均值并除以标准差，将数据转换为标准正态分布。
总之，时间序列预处理是进行时间序列分析的必要步骤。
通过数据清洗、转换和标准化等处理，可以确保时间序列数据的准确性和稳定性。
在进行时间序列预处理之后，可以继续进行各种分析方法，如趋势分析、周期性分析和季节性分析等。
6. 噪声去除：在时间序列预处理中，噪声是造成数据不准确和干扰分析结果的主要因素之一。
时间序列的重要特征和预处理
.24 .20 .16 .12 .08 .04 .00 -.04 -.08 -.12 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 00
中国总人口一阶差分序列
yt yt 1 0.1423 atຫໍສະໝຸດ (0.008)表2
案例2.中国GDP时间序列模型（中国gdp.wf1）
时序图：纵轴表示时序变量的观测值yt，横轴表示相应的时间t， 通过时序图能直观的反映出时间序列的基本样式。 散点图：又称相关图，表示的是yt与另一变量xt的坐标图，由于本 课程要考察的重点是时间序列分析，所以， xt通常用yt-1代替。
一、趋势
许多经济时间序列的一个最主要的特征就 是存在趋势，这种趋势可能是向上的也可 能是向下的，也许比较陡，也许比较平缓， 或者是指数增长或者是近似线性。 趋势序列包括确定性趋势序列和随机趋势 序列。
案例3. （文件名:北京月度销售.wf1）北京市1978.1-1989.12社 会商品零售额月度数据（yt,单位：亿元人民币），时序图如下 页所示。 由图可见，yt呈指数趋势。Lnyt呈线性趋势。
Y
900 800 700
LOG(Y)
6.8
6.4
6.0
600 500 400
5.6
5.2
300 200 100 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89
4.8
4.4 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89
北京市1978.1-1989.12社会商品零售额月度数据
DLOG(Y)
.3
取对数后的数据
.2
.1
.0
-.1
-.2
第二章 时间序列的预处理
2.2 纯随机性检验
纯随机序列的定义 纯随机性的性质 纯随机性检验
纯随机序列的定义
纯随机序列也称为白噪声序列，它满足如下 两条性质
(1) EX t , t T 2 , t s (2) (t , s ) , t , s T 0, t s
标准正态白噪声序列时序图
白噪声序列的性质
纯随机性
(k) 0，k 0
各序列值之间没有任何相关关系，即为 “没有记忆”的
序列
方差齐性
DX t (0) 2
根据马尔可夫定理，只有方差齐性假定成立时，用最小
二乘法得到的未知参数估计值才是准确的、有效的
纯随机性检验
检验原理 假设条件 检验统计量 判别原则
平稳时间序列的统计性质
常数均值 自协方差函数和自相关函数只依赖于时间的 平移长度而与时间的起止点无关
延迟k自协方差函数
(k ) (t , t k ),k为整数
延迟k自相关系数
k (k ) (0)
自相关系数的性质
规范性 对称性 非负定性 非唯一性
k 1 m
ˆ k2 nk
) ~ 2 (m)
判别原则
拒绝原假设
当检验统计量大于 12 (m)分位点，或该统计 量的P值小于 时，则可以以 1 的置信水
平拒绝原假设，认为该序列为非白噪声序列
接受原假设
2 当检验统计量小于 1 (m)分位点，或该统计 量的P值大于 时，则认为在 1 的置信水
Barlett定理
如果一个时间序列是纯随机的，得到一个观 察期数为n的观察序列，那么该序列的延迟非 零期的样本自相关系数将近似服从均值为零， 方差为序列观察期数倒数的正态分布
时间序列的预处理
cards;
97 154 101 149 221 157 128 215 129 239 155 238 276
204 136 296 176 307 154 227 200 291 233 356 221 309
321 156 234 432 278 356 254 349 322 254 327 432 401
特征统计量
自协方差 对于时间序列Xt，任取 t,sT，定义(t,s)为序
列Xt的自协方差函数：
( t,s ) E (X tt)X ( ss)
特征统计量
自相关系数 对于时间序列Xt ，任取t,sT，定义(t,s)为
序列Xt的自相关系数：
(t,s) (t,s)
DXt DXs
平稳时间序列的定义
严平稳
严平稳是一种条件比较苛刻的平稳性定义，它认为 只有当序列所有的统计性质都不会随着时间的推移 而发生变化时，该序列才能被认为平稳。
宽平稳
宽平稳是使用序列的特征统计量来定义的一种平稳 性。它认为序列的统计性质主要由它的低阶矩决定， 所以只要保证序列低阶矩平稳（二阶），就能保证 序列的主要性质近似稳定。
; proc gplot;下面准备对数据进行绘图 plot freq*year; 要求系统以freq为纵坐标，year为横坐标以symbol语句
所规定的格式绘图 symbol v=square c=red i=join; v表示观察值的图形，可选择star（星 号），dot（点），circle（圆）；diamond（菱形）等形状；c表示颜色；I 表示连线方式，可选择join（线性连接），spline（光滑连接）等连线方式。 run;
平下无法拒绝原假设，即不能显著拒绝序列
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2 2
.
4.自协方差
(t , s) E( X t t )( X s s )
5.自相关系数
(t , s) (t , s)
DX t DX s
当t,s取遍所有可能的整数时，就形成了时间序列的自相关 函数，它描述了序列的自相关结构。它的本质等同于相关 系数。
本章SAS操作指导
绘制时序图
gplot程序的使用
平稳性和随机性检验
Identify var语句的使用
三、时间序列的分布、均值、协方差函数 1、分布函数 (1)一维分布函数:随机序列中每个随机变量的分布函数. F1(z) ,F2(z) ,„, Ft-1(z) , Ft(z) (2)二维分布函数:随机序列中任意两个随机变量的联合分 布函数 Fi,j(zi,zj).i,j=„,-2,-1,0,1,2,„ (3)m维分布函数
1) EX t2 , t T 2) EX t , 为常数，t T 3) (t , s ) (k , k s t )，t , s, k且k s t T
严平稳与宽平稳的关系
一般关系
严平稳条件比宽平稳条件苛刻，通常情况下，严平稳（低阶 矩存在）能推出宽平稳成立，而宽平稳序列不能反推严平稳 成立
二、随机序列（时间序列） 1、当时，即时刻t 只 取整数时，随机过程 可写 成 .此类随机过程 称为随机序列，也成时间 序列。 可见 （1）随机序列是随机过程的一种，是将连续时间的随机过 程等间隔采样后得到的序列； （2）随机序列也是随机变量的集合，只是与这些随机变量 联系的时间不是连续的、而是离散的。
延迟 k 自协方差函数
(k ) (t , t k ),k为整数
由此看出平稳序列方差为常量 延迟 k 自相关系数 (k ) k (0)
自相关系数的性质
规范性 对称性 非负定性
0 1 , 且 k 1
, k
k k
m为非负定阵， 正整数m 0 1 m m 1
原假设：延迟期数小于或等于 m 期的序列值之间 相互独立
H 0：1 2 m 0, m 1
备择假设：延迟期数小于或等于 m 期的序列值之 间有相关性
H1：至少存在某个 k 0, m 1，k m
检验统计量
Q统计量
ˆ k2 ~ 2 (m) Q n
延迟12期
5.35
0.9454
由于P值显著大于显著性水平 ，所以该序列不能拒 绝纯随机的原假设。
例2.5
对1950年——1998年北京市城乡居民定期储蓄所 占比例序列的平稳性与纯随机性进行检验
例2.5 时序图
例2.5自相关图
例2.5白噪声检验结果
LB统计量检验 延迟阶数 6 12 LB检验统计 量的值 75.46 82.57 P值 <0.0001 <0.0001
标准正态白噪声序列时序图
白噪声序列的性质
纯随机性
各序列值之间没有任何相关关系，即为 “没有记忆”的序 列
(k) 0，k 0
方差齐性
根据马尔可夫定理，只有方差齐性假定成立时，用最小二乘 法得到的未知参数估计值才是准确的、有效的
DX t (0) 2
在统计学中，高斯－马尔可夫定理陈述的是：在误差零
平稳性的检验
平稳性的检验：图检法、假设检验（单位根检验） 1.图检验方法 时序图检验
根据平稳时间序列均值、方差为常数的性质，平稳 序列的时序图应该显示出该序列始终在一个常数值 附近随机波动，而且波动的范围有界、无明显趋势 及周期特征。 案例
例2.1:中国纱年产量时序图
例2.2:奶牛月产奶量时序图
特例
不存在低阶矩的严平稳序列不满足宽平稳条件，例如服从柯 西分布的严平稳序列就不是宽平稳序列 当序列服从多元正态分布时，宽平稳可以推出严平稳
平稳时间序列的统计性质
常数均值 平稳时间序列均值为常数，为分析方便，假定E zt=0，当 均值不为零时，给每个值减去均值后再求均值，即等 于0。 自协方差函数和自相关函数只依赖于时间的平移长度 而与时间的起止点无关
平稳时间序列的定义
平稳时间序列的定义 严平稳
严平稳是一种条件比较苛刻的平稳性定义，它认为只有当序 列所有的统计性质都不会随着时间的推移而发生变化时，该 序列才能被认为平稳。
宽平稳
宽平稳是使用序列的特征统计量来定义的一种平稳性。它认 为序列的统计性质主要由它的低阶矩决定，所以只要保证序 列低阶矩平稳（二阶），就能保证序列的主要性质近似稳定。
可列多个随机变量，而每个变量只有一个样本观察值
时间序列并不是一个随机变量的反复抽样，而是 随机过程的一个实现，每个数据都是特定时间随 机变量的唯一实现值，时间序列样本均值和方差 的含义与截面数据也不同，这样以随机变量总体 均值和方差的推断为基础的计量经济分析的基础 就会出现问题。 并不是以时间序列数据为基础的计量分析都会存 在问题—— 只要所使用的时间序列数据是平稳的，以时间序列 数据为基础的计量经济分析就是有效的。 避免“伪回归“
平稳时间序列的统计定义
满足如下条件的序列称为严平稳序列
正整数m, t1 , t2 ,, tm T， 正整数， 有
Ft1 ,t2tm ( x1 , x2 ,, xm ) Ft1 ,t2 tm ( x1 , x2 ,, xm )
满足如下条件的序列称为宽平稳序列
k 1 m
LB统计量（小样本）
LB n(n 2) (
k 1 m
ˆ k2 nk
) ~ 2 (m)
判别原则
拒绝原假设
2 当检验统计量大于 1 (m) 分位点，或该统计量 的P值小于 时，则可以以1 的置信水平拒绝
原假设，认为该序列为非白噪声序列
接受原假设
检验原理 假设条件 检验统计量 判别原则
Barlett定理
如果一个时间序列是纯随机的，得到一个观察期 数为n 的观察序列，那么该序列的延迟非零期的 样本自相关系数将近似服从均值为零，方差为序 列观察期数倒数的正态分布
1 ˆk ~ N (0, ) n
, k 0
假设条件
2.2 纯随机性检验
本节结构
纯随机序列的定义 纯随机性的性质 纯随机性检验
纯随机序列的定义
纯随机序列也称为白噪声序列，它满足如下两条 性质
(1) EX t , t T 2 , t s (2) (t , s ) , t , s T 0, t s
第二章
时间序列的预处理
本章结构
1. 平稳性检验 2. 纯随机性检验
2.1平稳性检验
平稳时间序列分析的基础知识 一、 随机过程 1、定义： 在数学上，随机过程被定义为一组随机变量，即， 其中，T表示时间t的变动范围，对每个固定的时刻 t而言， Zt是一随机变量，这些随机变量的全体就构成一个随机过 程。 2、特征 （1）随机过程是随机变量的集合 （2）构成随机过程的随机变量是随时间产生的，在任意 时刻，总有随机变量与之相对应.
例2.3：北京市每年最高气温时序图
自相关图检验
平稳时间序列过程的自协方差，或由协方差计算的自相 关函数，应该很小、很快趋向于 0 ，具有截尾或拖尾特 征 。这些特征正是判断时间序列平稳性的重要依据。 首要问题是计算自相关函数。
自相关函数是以协方差函数为基础定义的 ， 因为只有时间序列的一个实现，因此不可能根据随机 变量协方差、方差的定义计算，只能用样本，也就 是时间序列观测值的时间平均代替总体平均，时间 矩代替总体矩，得到自相关函数的估计。
当检验统计量小于 12 (m)分位点，或该统计量 的P值大于 时，则认为在1 的置信水平下无 法拒绝原假设，即不能显著拒绝序列为纯随机 序列的假定
例2.4：标准正态白噪声序列纯随机性检验
样本自相关图
检验结果
延迟 延迟6期
QLB 统计量检验
QLB 统计量值
P值
0.8838
2.36
自相关函数最好的估计方法是样本自相关函数：
ˆk ˆk ˆ0
ˆk
其中：
n
(Y Y )(Y
t 1 t
tk
Y )
n
2 ( Y Y ) t t 1 n
ˆ0
n
21
例2.1自相关图
例2.2 平稳性检验 2. 纯随机性检验
均值，同方差，且互不相关的线性回归模型中，回归系数 的最佳无偏线性估计（BLUE）就是最小方差估计。一般而 言，任何回归系数的线性组合的最佳无偏线性估计就是它 的最小方差估计。在这个线性回归模型中，误差既不需要 假定正态分布，也不需要假定独立（但是需要不相关这个 更弱的条件），还不需要假定同分布。
纯随机性检验
{Ft1 ,t2 ,,tm ( x1 , x2 , , xm )} , m (1, 2, , m), t1 , t2 , , tm T
2、均值函数 对随机序列中的任一随机变量取期望。
t EX t xdFt ( x)
当t取遍所有可能整数时，就形成了离散时间的函数ut 称ut 为时间序列的均值函数。 3.方差
平稳性的重大意义
在平稳序列场合，序列的均值等于常数，这意味着原本含 有可列多个随机变量的均值序列变成了只含有一个变量的 常数序列。
{t , t T}
{, t T}
原本每个随机变量的均值（方差，自相关系数）只能依靠 唯一的一个样本观察值去估计，现在由于平稳性，每一个 统计量都将拥有大量的样本观察值。 这极大地减少了随机变量的个数，并增加了待估变量的样 本容量。极大地简化了时序分析的难度，同时也提高了对 特征统计量的估计精度