《圆的对称性》导学案湘教版

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2.1 圆的对称性教案2023—2024学年湘教版数学九年级下册

然而，我也发现了一些不足之处。在课堂练习环节，我布置的练习题可能过于简单，学生们能够轻松地完成，但这并不意味着他们真正理解了圆的对称性。此外，在实践作业的反馈中，我发现有些学生并没有真正去观察生活中的对称现象，而是直接抄袭了别人的作业。
针对这些不足，我认为在今后的教学中，我需要更多地关注学生的实际理解情况，而不仅仅是他们的答案。我计划增加一些更具挑战性的练习题，让学生们在解决问题的过程中更深入地理解圆的对称性。同时，我也会加强对学生实践作业的指导，鼓励他们去发现和理解生活中的对称现象，培养他们的观察力和创造力。
（3）例题3：一个圆的周长是30.24厘米，求圆的半径。
解答：由圆的周长公式C=2πr，将C=30.24厘米代入得30.24=2πr。解得r=30.24/(2π)=5厘米。
（4）例题4：一个圆的面积是125.6平方厘米，求圆的半径。
解答：由圆的面积公式A=πr²，将A=125.6平方厘米代入得125.6=πr²。解得r=125.6/(π)=4厘米。
-性质：圆具有旋转对称性和轴对称性。
-符号表示：用字母“O”表示圆心，用字母“r”表示半径。
②圆的对称性质
-旋转对称性：圆心是旋转对称的中心，任何一条通过圆心的直线都是旋转对称轴。
-轴对称性：任何一条直径都是圆的对称轴。
-图形不变性：圆的旋转和对称操作不会改变圆的形状和大小。
③圆的对称性在实际问题中的应用
5.总结：回顾本节课所学内容，强调圆的对称性的重要性和应用。
五、教学方法
1.采用问题驱动法，引导学生主动思考。
2.运用实例分析法，让学生更好地理解圆的对称性。
3.采用小组讨论法，培养学生的合作能力。
六、作业布置
1.课后习题：完成教材后的相关练习题。

湘教版数学九年级下册教学设计：2.1 圆的对称性

湘教版数学九年级下册教学设计：2.1 圆的对称性一. 教材分析《圆的对称性》是湘教版数学九年级下册的教学内容，这部分内容主要让学生了解圆的对称性质，掌握圆的对称性的证明和应用。

教材通过引入圆的半径垂直平分线的性质，让学生探究圆的对称性，从而培养学生的观察能力、思考能力和解决问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本概念和性质，如圆的周长、面积的计算，以及圆的直径、半径的定义。

但是，对于圆的对称性的理解和证明，对学生来说是一个新的挑战。

因此，在教学过程中，我需要引导学生通过观察、思考和动手操作，来理解和掌握圆的对称性。

三. 教学目标1.了解圆的对称性的概念和性质。

2.学会用几何语言和符号表示圆的对称性。

3.能够运用圆的对称性解决实际问题。

四. 教学重难点1.圆的对称性的概念和性质的理解。

2.圆的对称性的证明。

五. 教学方法1.问题驱动法：通过提出问题，引导学生观察、思考和解决问题。

2.动手操作法：让学生通过实际操作，加深对圆的对称性的理解。

3.小组合作法：让学生通过小组合作，共同探讨和解决问题。

六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的教学PPT，以便于展示和讲解。

2.几何画板：准备几何画板，以便于学生直观地观察和理解。

3.练习题：准备一些相关的练习题，以便于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出问题：“你们知道什么是圆的对称性吗？”引导学生思考和讨论，从而引出本节课的主题。

2.呈现（10分钟）利用PPT和几何画板，展示圆的对称性的定义和性质，让学生直观地理解和掌握。

3.操练（10分钟）让学生通过实际的操作，来加深对圆的对称性的理解。

比如，让学生画出一个圆，然后通过旋转、翻转等方式，来展示圆的对称性。

4.巩固（10分钟）通过一些练习题，让学生巩固所学知识，并及时给予反馈和讲解。

5.拓展（10分钟）让学生思考和讨论：圆的对称性在实际生活中有哪些应用？引导学生将所学知识应用到实际生活中。

湘教版九年级数学下册《圆的对称性》精品教案

《圆的对称性》精品教案你还能举例说明生活中哪些物体是圆形吗？2、圆的定义圆是平面内到一定点的距离等于定长的所有注意：1.在同一个圆中，所有半径都相等.2.在同一个圆中，半径有无数条.圆也可以看成是平面内一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形，定点叫作圆心，定点与动点的连线叫做半径．二、点与圆的位置关系1、我们把到圆心的距离小于半径的点叫作圆内的点；到圆心的距离大于半径的点叫作圆外的点．等于半径的点叫做圆上的点.2、点与圆的位置关系有几种？点与圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外．观察图中点A ，B ，C ，D ，E ，F 与圆的位置关系？点A ，D 在圆内，点B ，F 在圆上，点C ，E 在圆外．3、怎样确定点与圆的位置关系？一般地，设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离OP =d ．观察图形，交流、讨论、归纳出点与圆的位置关系．理解并掌握与圆的有关概念．理解并掌握点与圆的位置关系，会判定点与圆的位置关系．准确掌握与圆有关的概念，为今后的学习打下基础．三、与圆的有关概念1、弦：连接圆上任意两点的线段（图中的线段AB 、CD ）叫做弦．经过圆心的弦（图中的AB ）叫做直径．观察图中AB 和CD 的特点，说出弦和直径之间的关系．注意：凡直径都是弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径．2、圆弧：连接圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧叫作半圆．小于半圆的弧叫作劣弧．以A 、B 为端点的弧记作⋯AB ．读作“圆弧AB ”或“弧AB ”．大于半圆的弧叫作优弧．A 、B 间大于半圆的弧记作⋯AMB ．其中点M 是优弧上一点．四、圆的对称性1、等圆和等弧：如图，在一块硬纸板和一张薄的白纸上分别画一个圆，使它们的半径相等，把白纸放在硬纸板上面，使两个圆的圆心重合，观察这两个圆是否重合．能够重合的两个圆叫作等圆，能够互相重合的弧叫作等弧．动手操作，认识圆的对称性．使学生通过操作探究认识并掌握圆的对称性．2、旋转对称和中心对称：如图，用一根大头针穿过上述两个圆的圆心．让硬纸板保持不动，让白纸绕圆心旋转任意角度．观察旋转后白纸上的圆是否仍然与硬纸板上的圆重合？这体现圆具有什么样的性质？由于圆是由一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形．因此圆绕圆心旋转任意角度，都能与自身重合．圆是旋转对称图形，即圆绕圆心旋转任意角度，都能与自身重合．圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心．3、圆的轴对称性如图，在纸上任画一个⊙O ，并剪下来．将⊙O 沿任意一条直径（例如直径CD ）对折，你发现了什么？直径CD 两侧的两个半圆能完全重合．上述操作中体现了圆具有怎样的对称性？圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴．圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线，它有无数条对称轴．4、为什么通常要把车轮设计成圆形？请说说理由．同学之间交流、讨论．通过交流活动使学生进一步加强对圆的认识．把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心（圆心）的距离都等于车轮的半径，当车轮在平面上滚动时，车轮中心与平面的距离保持不变．因此，当车辆在平坦的路上行驶时，坐车的人会感觉到非常平稳，这也是车轮都做成圆形的数学道理．1、下列说法：①半圆是弧；②弧是半圆；③圆中的弧分为优弧和劣弧．其中正确的个数有（）A ．0B ．1C ．2D ．32、如图所示，MN 为⊙O 的弦，∠N =52°，则∠MON 的度数为（）A ．38°B ．52°C ．76°D ．104°3、圆内最大的弦长为10cm ，则圆的半径（）A ．小于5cm B ．大于5cm C ．等于5cmD ．不能确定4、下列语句中，不正确的是（）A ．当圆绕它的中心旋转89°57′时，不会与原来的圆重合B ．圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴C ．圆既是中心对称图形，又是旋转对称图形D ．圆的对称轴有无数条，但是对称中心只有一个5、填空：（1）______是圆中最长的弦，它是半径的____倍．（2）图中有_____条直径，_____条非直径的弦，圆中以A 为一个端点的优弧有_____条，学生先自主思考，完成后小组交流确定结果，最后上台展示成果．通过练习加深对圆的理解．劣弧有_____条．6、正方形ABCD 的边长为2cm ，以A 为圆心2cm 为半径作⊙A ，则点B 在⊙A _____；点C 在⊙A _____；点D 在⊙A _____.7、一点和⊙O 上的最近点距离为4cm ，最远的距离为10cm ，则这个圆的半径是________________.课堂小结圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形．平面内一动点绕一定点旋转一周所形成的图形．圆有关概念：弦(直径：是圆中最长的弦)．点与圆的位置关系：圆的对称性：圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心．圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴．回顾本节课所学知识．通过小结，再次让学生认识圆及有关概念，会判定点和圆的位置关系，强化了学生的学习成果．板书圆的定义：圆有关概念：弦(直径：是圆中最长的弦)．点与圆的位置关系：圆的对称性：圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心．圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴．。

湘教版九年级数学下册《圆的对称性》导学案1-新版

2.1 圆的对称性学案【学习目标】1、知道并领会圆、弦、直径、弧、半圆、等圆、等弧的概念；2、能根据点到圆心的距离d 和圆的半径r 的关系判定点与圆的位置关系；3、知道圆的轴对称性和中心对称性。

一、新知学习1、自学课本43页到45页，写下疑惑摘要：2、请同学们画一个圆，并从画圆的过程中阐述圆是如何形成的。

如下左图，在一个平面内，线段OA 绕着它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的图形叫做_____。

固定的端点O 叫做_____，线段OA 叫做_____，用r(或R)表示。

这个以点O 为圆心的圆叫作“圆O”，记作“o ”，圆的位置由______决定，圆的大小由__________决定。

如上右图，经过圆上一点可以画无数弦，其中一条弦AB 经过圆心O,则AB 就是o 直径，显然，直径是半径的2倍。

(1) 弦：什么是弦呢？什么样的弦是直径呢？(2) 弧：什么是弧呢？什么是半圆呢？(3) 什么是等弧呢？什么是等圆呢？A(4) 点与圆的位置关系有几种呢？都是哪几种？(5)圆是轴对称图形吗？是中心对称图形呢？3、你知道车轮为什么做成圆的吗？阐述一下你的观点。

二、知识梳理1、圆是轴对称图形，对称轴有无数条（所有经过圆心的直线都是对称轴）2、圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．圆的中心对称性是其旋转不变性的特例．即圆是中心对称图形.对称中心为圆心．三、学习评价【当堂检测】1、已知圆的半径等于5cm，根据下列点P到圆心的距离：（1）4cm；（2）5cm；（3）6cm，判定点P与圆的位置关系，说明理由．2、点A在以O为圆心，3cm为半径的⊙O内，则点A到圆心O的距离d的范围是．3、如何在操场上画出一个很大的圆？说一说你的方法．⇔>rd参考答案：1、（1）点P在圆内（2）点P在圆上（3）点P在圆外2、0≤d<33、略【自我评价】1、本节课有困惑的题目是：2、本节课的学习收获是：。

湘教版本数学九年级的下册导的学案：2.1圆的对称性无答案

湘教版九年级下册导教案2.1 圆的对称性【学习目标】理解圆、弧、弦的观点，认识等圆、等弧的观点。

研究并认识点与圆的地点关系。

研究圆的中心对称性质和轴对称性质。

要点难点要点：理解圆的观点、点与圆的地点关系、圆的中心对称性质和轴对称性质。

难点：研究并理解圆的中心对称性质（含旋转对称性质）以及轴对称性。

【预习导学】自主预习教材43--45 页认识以下观点：什么叫做圆此中叫做圆心，圆是图形，叫做圆内的点；叫做圆外的点；叫做圆上的点。

同一平面内点与圆的三种地点关系：。

叫做半径。

是它的对称中心。

1.叫做弦，2.叫做直径。

3.叫做弧，用符号表示4.为。

5.叫做优弧，6.叫做劣弧。

7.【研究展现】8.（一）合作研究9. 1.如图，用一块硬纸板和一张薄的白纸分别画一个圆，使它们的半径相等，把白纸放在10.硬纸板上边，使两个圆的圆心重合，察看这两个圆能否重合。

11.叫做等圆；12.叫做等弧。

13. 2.如图，此刻用一根大头针穿过这两个圆的圆心. 让硬纸板保持不动，让白纸绕圆心旋14.转随意角度. 察看旋转后，白纸上的圆能否仍旧与硬纸板上的圆重合。

15.因为圆是由一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形，所以圆绕圆心旋转随意角度，都16.能与自己重合。

17.特别地，将圆绕圆心旋转180°时能与自己重合，所以，18.以以下图，在纸上任画一个⊙O，并剪下。

将⊙O沿随意一条直径（比如直径CD）对折，你19.发现了什么？20.直径CD双侧的两个半圆能。

21.由此我们获得：22.圆是图形，是它的对称轴。

23.（二）展现提高24.为何要把车轮设计成圆形？请谈谈原因。

25.下边的说法对吗？如不对请说明原因。

（1）直径是弦；第1 页2）弦是直径；3）半径相等的两个圆是等圆；4）圆既是中心对称图形，又是轴对称图形。

设计企图：经过比较判断，增强对直径、弦、等圆、圆的对称性等知识点的理解。

已知⊙O的半径为4cm，B为线段OA的中点，当线段OA知足以下条件时，分别指出点B与⊙O的地点关系：1）OA=6cm；2）OA=8cm；3）OA=10cm。

湘教版数学九年级下册2.1《圆的对称性》教学设计

湘教版数学九年级下册2.1《圆的对称性》教学设计一. 教材分析《圆的对称性》是湘教版数学九年级下册第2.1节的内容，主要介绍了圆的对称性质。

本节内容是在学生已经掌握了圆的基本概念和性质的基础上进行授课的，为后续学习圆的方程和应用打下基础。

教材从圆的轴对称性和中心对称性两个方面展开，通过实例和习题使学生理解和掌握圆的对称性质。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和空间想象力，他们对圆的基本概念和性质有一定的了解。

但是，对于圆的对称性质的理解可能会存在一定的困难，特别是对于圆的轴对称性和中心对称性的区别和联系。

因此，在教学过程中，需要通过具体的实例和习题，帮助学生理解和掌握圆的对称性质。

三. 教学目标1.理解圆的轴对称性和中心对称性的概念。

2.掌握圆的对称性质，并能够运用到实际问题中。

3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

四. 教学重难点1.圆的轴对称性和中心对称性的概念及区别。

2.圆的对称性质的应用。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过提问和解答的方式引导学生思考和探索圆的对称性质。

2.使用多媒体辅助教学，通过图形和动画的展示，帮助学生直观地理解和掌握圆的对称性质。

3.运用实例和习题，让学生在实践中巩固和应用圆的对称性质。

六. 教学准备1.多媒体教学设备。

2.教学PPT。

3.实例和习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾圆的基本概念和性质，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）使用PPT展示圆的轴对称性和中心对称性的定义和性质，让学生直观地理解圆的对称性质。

3.操练（10分钟）让学生通过观察和分析具体的实例，找出圆的对称轴和中心，加深对圆的对称性质的理解。

4.巩固（10分钟）让学生分组讨论，总结圆的对称性质，并互相解答疑问。

教师巡回指导，帮助学生巩固所学知识。

5.拓展（10分钟）引导学生运用圆的对称性质解决实际问题，如圆的切割、设计等，提高学生的应用能力。

湘教版九年级下《圆》学案

第三章圆3.1.1 圆的对称性（一）一、自学导航1、圆是平面内到一定点的等于的所有点组成的图形，这个定点叫做，定长叫做。

2、连结圆上任意两点的线段叫做，经过圆心的弦叫做。

3、圆是旋转对称图形，即圆绕圆心旋转都能与自身重合；圆也是中心对称图形，是它的对称中心；圆还是轴对称图形，都是它的对称轴。

4、垂径定理：垂直于弦的直径弦。

二、问题探究1、在白纸的圆上画任意一条直径，把白纸沿着这条直径所在直线折叠，观察圆的两部分是否互相重合，这体现圆具有什么样的对称性？2、如下图，你能利用圆的轴对称性证明：垂直于弦的直径平分这条弦吗？三、综合运用1．下列说法错误的是（）A．圆是中心对称图形，圆心是对称中心B．圆是旋转对称图形C．圆是轴对称图形，直径是对称轴D．圆有无数条对称轴2、已知⊙O的半径为R,弦AB的长也是R,则∠AOB的度数是_________.3、圆的一条弦把圆分为5: 1 两部分, 如果圆的半径是2cm, 则这条弦的长是_____cm.4、如图3—1,半径为2cm的⊙O中有长为的弦AB,则∠AOB的度数为( ) A. 60° B. 90°C. 120°D. 150°5．如图3—2,⊙O的直径为10cm,弦AB为8cm,P是弦AB上一点,若OP的长为整数, 则满足条件的点P有( )A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个6．如图3—3,A是半径为5的⊙O内一点,且OA＝3,过点A且长小于8的弦有( )A. 0条B. 1条C. 2条D. 4条BAOBPAO图3—1 图3—2图3—37．如图，⊙O中，弦AB的长为6cm，⊙O到AB的距离为4cm，求⊙O的半径。

图3—４8．如图3—4,AB 是⊙O 的弦(非直径),C 、D 是AB 上两点,并且AC ＝BD.试判断OC 与OD 的数量关系并说明理由.DCBAO图3—５９．如图3—5,AB 是⊙O 的直径,P 是AB 上一点,C 、D 分别是圆上的点,且∠CPB ＝DPB,且弧BD ＝弧BC ,.则线段PC 、PD 相等吗？请说明理由。

《2.1 圆的对称性》导学案-九年级下册数学湘教版

圆的对称性（导学案）教学目标：1．理解圆的有关概念及圆的对称性；(重点)2．掌握点与圆的位置关系的性质与判定．(重点)教学过程：一、情境导入二、合作探究探究点一：圆的定义：1.平面内到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。

其中，定点称为圆心，定长称为半径(radius)。

以点O为圆心的圆记作⊙O，读作“圆O”。

2.圆也可以看成平面内一动点绕一个定点旋转一周所形成的图形。

注：确定一个圆需要两个要素，一是位置，二是大小．圆心确定其位置，半径确定其大小。

只有圆心没有半径，虽圆的位置固定，但大小不定，因而圆不确定；只有半径而没有圆心，虽圆的大小固定，但圆心的位置不定，因而圆也不确定。

只有圆心和半径都固定，圆才被唯一确定。

探究点二：弦与弧的定义：1.连结圆上任意两点的线段叫做弦2.圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

3.等圆,等弧。

注：经过圆心的弦叫做直径,直径是弦，是圆内最长的弦，但弦不一定是直径。

弧包括优弧和劣弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。

优弧用三个大写字母表示，劣弧用两个大写字母表示。

半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫半圆弧，简称半圆也用三个大写字母表示。

半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧。

探究点三：点与圆的位置关系同一平面内点与圆有几种位置关系？怎么确定点与圆的关系？在圆上d=r在圆内d<r在圆外d>r探究点四：圆的对称性什么是轴对称，什么是中心对称？圆是中心对称图形，即圆绕圆心旋转180度，能与自身重合。

圆心是它的对称中心。

圆是轴对称图形，它的对称轴是过直径的直线，•我能找到无数多条直径，所以有无数条对称轴。

注：圆有无数条对称轴，圆的对称轴是过圆心的每一条直线，即直径所在的直线而不是圆的直径．三，巩固提高四，作业布置。

圆的对称性导学案

圆的对称性导学案学习目标：1、理解弧、优弧、劣弧、圆心角等概念。

掌握圆心角、弧、弦之间的关系定理及应用。

掌握“垂直于弦的直径平分这条弦所对的两条弧”这一结论。

2、通过教学内容向学生渗透事物相互转化的辩证唯物主义教育，渗透圆的内在美，激发学生的求知欲。

3、经历探索圆的对称性及相关性质的过程，培养学生实验观察、发现新问题，探究和解决问题的能力。

学习重点：圆心角、弧、弦之间关系定理学习难点：从感性到理性的认识，发现、归纳能力的培养。

学习过程：一、新课导入上节课，我们学习了圆的对称性及“垂径定理”，这节课我们将继续探究圆的其它特性。

二、自学探究1、自学提纲P61-63（1）理解下列概念的定义弧、优弧、劣弧、圆心角（2）在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧，所对的弦。

（3）在同一个圆中，如果弧相等，那么它所对的圆心角，所对的弦。

（4）在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角，所对的优弧（或劣弧）。

（5）在同圆或等圆中，弦、弧、圆心角之间的关系是怎样得到的？（6）垂直于弦的直径平分这条弦所对的两条弧吗？你能用符号语言表示吗？（7）圆的两条平等弦所夹的弧相等吗？用符号语言怎么表示？2、小组讨论交流3、小组展示学习成果4、教师点拨（1）讨论圆心角、弧、弦之间的关系的前提是在同圆或等圆中。

（2）在同圆或等圆中，圆心角相等弧相等弦相等。

（3）利用同圆或等圆中，弧、弦、圆心角的关系可以证明线段相等产、角相等、弧相等。

三、小结反思这节课你有哪些收获？还有什么疑问？四、作业P63练习T1、2。

《圆的对称性(1)》(第2课时)导学案

3.2圆的对称性（1）导学案【学习目标】1．理解圆的轴对称性及其相关性质；2．理解垂径定理及其逆定理．【学习重点】垂径定理的理解和应用【学习难点】解决含三角函数值计算的实际问题．【课前自学】1、在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称【新课学习和探究】一、创设疑问，究知定义：1、你用什么方法验证“圆是轴对称图形”？。

概念：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。

2、圆弧、弦的概念是什么？3、弦和直径是什么关系？弧怎么表示？把上图中的弧和弦表示出来图中的弧：图中的弦：二、探索垂径定理1、导例：如图，CD 是⊙O 的一条直径，AB 是⊙O 的一条弦，已知CD ⊥AB 。

求证：AC=BC ，AM=BM总结得出垂径定理：___________________________________________。

2、如图，AB 是⊙O 的弦(不是直径)，作一条平分AB 的直径CD ，交AB 于点M ．利用圆纸片动手做一做，然后回答：（1）右图是轴对称图形吗?如果是，其对称轴是什么?︵︵（2）你能发现图中有那些等量关系？说一说你的理由。

总结得出垂径定理逆定理：_________________________________________.三、例题剖析：课本P99例1：如右图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中CD，点O是CD的圆心)，其中CD=600m，E为CD上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90 m．求这段弯路的半径．【巩固练习】1.圆既是轴对称图形,又是_________对称图形,它的对称轴是_______，对称中心是____。

2.已知⊙O的半径为R，弦AB的长也是R，则∠AOB的度数是_________.3.如右图，已知⊙O中,OC⊥弦AB于C,AB=8,OC=3,则⊙O的半径长等于________.B A O 4.如图,在半径为5cm 的⊙O 中有长为8cm 的弦AB,则弦AB 到圆心的距离是( ) cmA.3B.4C.5D.8C第3题第4题 5、已知:如图,在⊙O 中,弦AB 的长是半径OA,C 为AB 的中点,AB 、OC 相交于点M.试判断四边形OACB 的形状,并说明理由.【课堂小结】这节课你学到了什么？【作业布置】同步P119必做题1——6，选择做题7、8、9【课后反思】3.2圆的对称性（1）当堂训练1. 下列命题中，错误的命题是（）A. 平分一条弦的直径，垂直平分这条弧所对的弦B. 平分弦的直径垂直于弦，并平分弦所对的弧C. 在⊙O 中，AB 、CD 是弦，若，则AB ∥CDD. 圆是轴对称图形，对称轴是圆的每一条直径所在的直线。

2022年初中数学精品导学案《圆的对称性学案》导学案

第三章第 1课时课题：圆的对称性〔1〕课型：新授教学目标：1．知道圆是轴对称图形并会画出对称轴．2．说出垂径定理，理解其推出过程．3．会运用垂径定理进行有关的计算和证明．教学重点：圆的对称性和垂径定理教学难点：垂径定理预习任务：一、自学课本P68---70完成以下问题：1．圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？•你能找到多少条对称轴？归纳：圆是轴对称图形，__________________________都是对称轴。

2．如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足为M ．自学68页交流与发现〔3〕，根据得出：AM=BM ，⌒AC =⌒BC , ⌒AD =⌒BD即：垂径定理：垂直于弦的直径平分____,并且平分____________________. 3自学课本例1、例2，理解是如何利用垂径定理解答的，二、预习检测：1、以下所述图形中，对称轴最多的是〔〕2、：如图，⊙O 中， AB 为弦，OD ⊥AB 于D ，OD 的延长线交⊙O 于C ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求⊙O 的半径OA 教学过程：一：情境导入：前面我们已探讨过轴对称图形，那么圆是轴对称性图形吗？二：精讲点拨：1、圆是轴对称图形及其对称轴2、垂径定理的推出：利用圆的对称性3、垂径定理的应用：例1、2的解题方法和辅助线的添加方法三：拓展延伸：如以下图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中，点O 是的圆心)，其中CD ＝600m ，E 为上一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF ＝90m ，求这段弯路的半径．〔R ＝545〕四、系统总结:通过本节课的学习,你有哪些收获？还有哪些疑惑？五、限时作业:1. 判断题〔4分〕：A ．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形B.圆有无数条对称轴，任何一条直径都是它的对称轴C.直径是弦，但弦不一定是直径D.半圆是弧，但弧不一定是半圆2〔6分〕．如图2，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，求弦AB 的长.第3课时线段的性质及其应用一、导学上节课我们学习了线段的大小比拟和线段的和、差、倍、分，本课我们继B AC OM续探讨线段的有关性质.我们来看下面生活中的情景：从教室到图书馆，总有少数同学不走人行道而横穿草坪，这是为什么呢？试用有关数学知识来说明这个问题.今天，我们一起来学习有关线段的根本领实——两点之间，线段最短.2.三维目标：〔1〕知识与技能知道两点之间的距离和线段中点的含义.〔2〕过程与方法利用丰富的活动情景，让学生体验到两点之间线段最短的性质，并能初步应用.〔3〕情感态度初步应用空间与图形的知识解释生活中的现象以及解决简单的实际问题，体会研究几何图形的意义.4.自学指导：〔1〕自学范围：教材第128页“思考〞至第129页的内容.〔2〕自学时间：5分钟.〔3〕自学要求：认真阅读课本，联系生活实际理解领会相应结论.〔4〕自学参考提纲：①两点的所有连线中，线段最短，简写成：两点之间，线段最短.②用“＞〞“＜〞或“=〞填空：如图，在△ABC中，AB+AC＞BC，AB+BC＞AC,BC+AC＞AB.你能说明其中的道理吗？两点之间，线段最短.③你能举例说明“两点之间，线段最短〞的实际应用吗？与同学们交流一下.道路尽可能需要修直一点.④什么叫两点间的距离?“连接两点间的线段，叫做这两点间的距离〞这一说法是否正确？为什么？连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离.不正确，漏掉了线段的“长度〞，线段不是距离.二、自学同学们可结合自学指导进行学习.三、助学1.师助生：〔1〕明了学情：教师巡视课堂，了解学生的自学情况.〔2〕差异指导：根据学情进行针对性指导.2.生助生：小组同学间相互交流研讨、互助解疑难.四、强化1.两点之间，线段最短.2.两点间的距离的意义，注意“数〞与“形〞的区别.3.练习：教材第130页第8题.五、评价1.学生的自我评价：让学生交流学习目标的达成情况及学习的感受等.2.教师对学生的评价：(1)表现性评价：教师对学生在本节课学习中的整体表现进行总结和点评.(2)纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价〔教学反思〕：两点之间线段最短这一性质是度量的根底，在生产实际中经常要用到，这节课主要是让学生体验两点之间线段最短这一性质以及两点间距离的概念.经历从具体事例抽象出性质，再根据性质应用到具体事例的活动过程，体会从具体到抽象，再由抽象到具体的辩证关系.教科书分层次的安排了这些内容，本节课学生只要能根据具体事例判断能否利用两点之间线段最短这一性质，以及利用这一性质进行规划设计即可.此外，两点间距离的概念，学生一般也容易理解.本节课的目的是通过学习，进一步开展学生的空间观念，学生逐渐形成对空间图形与平面图形的认识与区别，体会现实生活中处处有图形，处处有数学.在这一课教与学的过程中，教师应积极渗透自主学习探索、合作交流、实践创新的学习理念，通过对内容的挖掘与整理，采用“问题情境——建立模型——解释、应用与拓展〞的模式展开教学，让学生经历“从生活中发现数学——在教室里学习数学——到生活中运用数学〞这一个过程，从而更好地理解数学知识的意义，开展应用数学知识的意识与能力，进一步增强学好数学的愿望和信心.一、根底稳固1.〔10分〕把弯曲的河道改直，能够缩短航程，这样做的道理是〔C〕A.两点之间，射线最短C.两点之间，线段最短D.两点之间，直线最短2.〔10分〕以下说法正确的选项是〔D〕3.〔10分〕如图，从A出发到B时，最近的路是〔C〕→C→D→B →C→F→E→B→C→E→B →C→G→B4.〔10分〕如图，河流l两旁有两个村庄A、B,现要在河边修一个水泵站，同时向A、B两村供水，问水泵站修在什么地方才能使所铺设的管道最短？试在图中标出水泵站的位置.解：如下图，将水泵站修在C点〔C点有两个，即河流l与线段AB相交的两个点，标在图上任何一点均可〕，才能使所铺设的管道最短.二、综合应用5.〔15分〕A、B、C三点在同一直线上，如果线段AB=6 cm，BC=3 cm，A、C两点的距离为d，那么〔C〕A.d=9 cmB.d=3 cmC.d=9 cm或d=3 cm6.〔15分〕如图，平原上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池，不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H点的位置，使它与四个村庄的距离之和最小.解：如下图.7.〔15分〕平面上有A，B两点,且AB=7 cm.(1)假设在该平面上找一点C，使CA+CB=7 cm,那么点C在何处？〔2〕假设使CA+CB＞7 cm,那么点C在何处？〔3〕假设使CA+CB＜7 cm,那么点C在何处？解：〔1〕点C在线段AB上；〔2〕点C在线段AB外；〔3〕不存在这样的点C.三、拓展延伸8.〔15分〕如图，一只蚂蚁要从正方体的一个顶点A沿外表爬行到顶点B，怎样爬行路线最短？如果要爬行到顶点C呢？说出你的理由.由A爬到B，沿AB连线直接爬行.如果要爬行到顶点C，有三种情况：假设蚂蚁爬行时经过面AD，可将这个正方体展开，在展开图上连接AC，与棱a(或b)交于D1〔或D2〕,蚂蚁沿AD1→D1C(或AD2→D2C)爬行，路线最短.类似地，蚂蚁经过面AB和AE爬行到顶点C，也分别有两条最短路线，因此，蚂蚁爬行的最短路线有6条.。

《圆的对称性》导学案2

3.2 圆的对称性导学案班级：_____________姓名：_____________ 家长签字：_____________一、学习目标1.利用圆的旋转不变性研究圆心角、弧、弦之间相等关系的定理．2.理解相关定理中“同圆”或“等圆”的前提条件．二、温故知新1、与圆有关概念：(1)请在图上画出弦CD，直径AB.并说明_______________________叫做弦；______________________叫做直径.(2)弧、半圆、优弧与劣弧的概念及表示方法.弧：_________________半圆：_________________ 优弧：___________ _ 表示方法：_________________ 劣弧：表示方法：_________________(3)同心圆: 圆: .(4) 同圆或等圆的半径_______.等弧: _______________________三、自主探究：阅读课本p70—73探究（一）在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦的关系问题1：一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，还能和原来的图形重合吗？试验：如图，在两张透明的纸上，分别作半径相等的⊙O和⊙O'，把两张纸叠在一起，使⊙O和⊙O'重合，然后固定圆心，旋转一个圆，观察它们还重合吗？结论：1.一个旋转圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合。

这个特性叫圆的旋转不变性2.圆是中心对称图形，对称中心是圆心做一做：结论：.想一想：结论：.探究（二）例1：如图，在⊙O中，AB，CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F（1）如果∠AOB = ∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？（2）如果OE = OF，那么AB与CD的大小有什么关系？弧AB与弧CD的大小有什么关系？为什么？∠AOB与∠COD呢？四．课堂练习1．如图，已知⊙O 、⊙O '半径相等，AB 、CD 分别是⊙O 、⊙O '的两条弦，填空：（1）若AB=CD ，则，（2）若弧AB=弧CD 则，（3）若∠AOB=∠CO 'D ，则 .2、如图，AB 、AC 、BC 都是⊙O 的弦，∠AOC=∠BOC ，∠ABC 与∠BAC 相等吗？为什么？C3、如图，在⊙O 中，弦AB=CD,AB 的延长线与CD 的延长线相交于点P,直线OP 交 ⊙O 于点E,F,以为∠APE 与∠CPE 有什么大小关系？为什么?五．课堂小结你还有什么收获或困惑？六．课堂测试 1.判断正误：（1）相等的圆心角所对弦相等（）（2）相等的弦所对的弧相等（）2.⊙O 中，弦AB 的长恰等于半径，则弦AB 所对圆心角是________度．3.如果两条弦相等，那么（） A.这两条弦所对的弧相等 B ．这两条弦所对的圆心角相等 C.这两条弦的弦心距相等D ．以上答案都不对4.如图，AB 是直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠BOC ＝40°，∠AOE 的度数是．A5. 一条弦把圆分成1：3两部分，则劣弧所对的圆心角为.6.已知A,B是⊙O上的两点,∠AOB=120°,C是弧AB 的中点,试确定四边形OACB的形状,并说明理由.课堂作业3.2 72页-73页：1,2,3A答案：四．课堂练习1．（1）∠AOB=∠CO’D,弧AB=弧CD,（2）AB=CD，∠AOB=∠CO’D（3）AB=CD，弧AB=弧CD2. 解：相等理由：因为∠AOC=∠BOC，所以AC=BC,所以∠ABC=∠BAC3.解：∠APE=∠CPE理由：因为弦AB=CD，OM垂直CD,ON垂直AB 所以OM=ON所以∠APE=∠CPE六．课堂测试1.错，错2. 60°3.D4. 60°5. 90°6. 解：四边形OACB是菱形理由：因为∠AOB=120°,C是弧AB 的中点,所以∠AOC=∠BOC=60°又因为OA=OB=OC所以△AOC和△BOC都是等边三角形所以OA=AC=BC=OB所以四边形OACB是菱形。

【湘教版九年级数学下册导学案】2.1圆的对称性

第2章圆2.1 圆的对称性学习目标：1．认识圆的定义，理解弧、弦、半圆、直径等有关圆的观点．2．从感觉圆在生活中大批存在到圆形及圆的形成过程，研究圆的有关观点．要点、难点1、要点：圆的有关观点2、难点：理解圆的有关观点导学过程：阅读教材 , 达成课前预习【课前预习】1：知识准备（ 1）举出生活中的圆的例子．（ 2）圆既是对称图形， O又是对称图形。

（ 3）圆的周长公式 C=圆的面积公式 S=A2：研究（ 1）圆的定义 ○1 ：在一个平面内，线段 OA绕它固定的一个端点 O 旋转端点所形成的图形叫做．固定的端点 O 叫做，线段 OA 叫做O 为圆心的圆，记作“”，读作“”决定圆的地点，决定圆的大小。

圆的定义 ○：到的距离等于的点的会合．2BC，另一个．以点（ 2）弦：连结圆上随意两点的叫做弦直径：经过圆心的叫做直径（ 3）弧：随意两点间的部分叫做圆弧，简称弧半圆：圆的随意一条的两个端点把圆分红两条弧，每一条都叫做半圆优弧：半圆的弧叫做优弧。

用个点表示，如图中叫做优弧劣弧：半圆的弧叫做劣弧。

用个点表示，如图中叫做劣弧等圆：能够的两个圆叫做等圆等弧：能够的弧叫做等弧【讲堂活动】活动 1：预习反应活动 2：典型例题例 1 假如四边形ABCD 是矩形，它的四个极点在同一个圆上吗？假如在，这个圆的圆心在哪里？例 2 已知：如图，在⊙O 中， AB ， CD 为直径 .求证：AD // BC .A COD B活动 3：随堂训练1、怎样在操场上画一个半径是5m 的圆？说出你的原因。

2、你见过树木的年轮吗？从树木的年轮，能够很清楚的看出树木生长的年轮。

把树木的年轮当作是圆形的，假如一棵20 年树龄的红杉树的树干直径是23cm，这棵红杉树的半径均匀每年增添多少?活动 4：讲堂小结圆的有关观点：【课后稳固】一．选择题：1．以点 O 为圆心作圆，能够作（A．1个 B．2 个）C．3 个D．无数个2．确立一个圆的条件为（A ．圆心 B ．半径）C．圆心和半径D．以上都不对.3．如图， AB 是⊙ O 的直径，若COD 为直角三角形，则CD 是⊙ O 的弦， AB 、CDE 的度数为（）的延伸线交于点 E ，已知AB2DE ，A ． 22.5B． 30C．45D． 15二．解答题：4．如图， OA 、 OB 为⊙ O 的半径， C 、 D 为 OA 、 OB 上两点，且 AC BD 求证：AD BC5．如图，四边形ABCD 是正方形，对角线AC 、 BD 交于点 O .求证：点A、B、C、D在以 O为圆心的圆上.6．如图，在矩形ABCD 中，点 E 、 F 、 G 、 H 分别为 OA 、 OB 、 OC 、 OD 的中点 .求证：点 E 、 F 、 G 、 H 四点在同一个圆上.。

圆的对称性(第一课时)导学案

圆的对称性（第一课时）导学案§3.2 圆的对称性（第一课时）导学学案【导入情景】我国古代石拱桥的杰出代表是举世闻名的河北省赵县的赵州桥（又称安济桥）该桥在隋朝大业初年（公元605年左右）为李春所创建，是一座空腹式的圆弧形石拱桥，赵州桥的设计构思和工艺的精巧，被誉为“国际历史土木工程的里程碑”。

赵州桥的主桥是圆弧形,它的跨度为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？开始学习：回顾与思考：探究圆的对称性 1、什么是轴对称图形？OACB2、我们所学的圆是不是轴对称图形呢？如果是，它的对称轴是什么？它有多少对称轴？结论：圆是轴对称图形.它的对称轴可以是任意一条经过圆心的直线。

有无数条对称轴。

3、我们可以用什么方法验证上述发现？我们可用折叠的方法验证其对称性。

全面地认识圆 1、图中表示圆的直径的线段是表示圆的半径的线段是2、写出图中圆的弦的线段3、写出图中的圆弧线：优弧：（至少写2个）劣弧：（至少写2个） 4、（弦心距）过圆心O作OF⊥AB于F，OG⊥CD于G，则OF的长度表示的距离，则OG的长度表示的距离、CGEAFBD 探究活动：垂径定理 1.如图1，AB是圆的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为P: 请同学们将图1沿着直径CD对折，你能发现什么结论？C2.如图2，AB是圆的一条弦，作直径CD，使CD与AB相较于点P: 请同学们将图2沿着直径CD对折，还有上面结论吗？ADCBABD探究活动2：提炼新知识梳理归纳：AB是⊙的一条弦，作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.ACB CD是直径CD⊥AB垂径定理: 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.1、看看下列图形，能否使用垂径定理？为什么？D2、写出垂径定理的逆命题，并判断其真假。

EEE例题分析例1如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米AB求⊙O的半径。

例2如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。

《圆的对称性(2)》导学案

课题 5.2圆的对称性（2）备课人案序学习目标1、了解1°的弧的意义，理解圆心角的度数与所对弧度数相等的关系；2、能够熟练运用圆的对称性及相关性质定理进行简单的计算和证明；3、通过小组合作学习中，培养学生的合作交流意识与习惯。

重点难点重点：了解1°的弧的意义，理解圆心角的度数与所对弧度数相等的关系。

难点：了解1°的弧的意义, 灵活运用圆的对称性及相关性质定理。

学习内容与流程一、复习旧知：1、叙述圆心角的意义，叙述圆的轴对称性与中心对称性。

2、叙述与圆心角定理及推论的内容，结合图形用几何推理的形式加以表述。

(学生思考讨论后，回答)二、导学过程：（一）目标1：探索圆心角的度数与所对弧度数的关系。

1、阅读课本第11-12页例2前的内容，思考下列问题：（1）把顶点在圆心的周角分成360份，每一份的圆心角的度数是多少？（2）什么是1°的弧? 1°的圆心角所对的弧的度数是多少？1°的弧所对的圆心角的度数是多少？与同伴交流。

（3）n°的圆心角的度数所对的弧的度数有怎样的关系?2、师生归纳定理：圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。

3、定理应用：课本13页随堂练习（二）目标2：圆的对称性及相关性质定理的应用。

1、阅读课本12页例2，独立完成解答过程。

(学生板演)2、小组交流自己的解法。

3、教师点评：此题可以有不同的解法,解题的关键是会求劣弧AB的度数以及过圆心O作弦AB的垂线利用勾股定理。

4、变式练习：例2中已知⊙O的半径为R，弦AB长为3R,试求弧AB的度数。

5、阅读课本12页例3，独立完成解答过程。

(学生板演)6、点评：求弧CE 的度数应先求它所对圆心角的度数。

三、当堂检测：1、如右图，已知AB 是⊙O 的直径，BC 为弦，30ABC．过圆心O 作OD BC 交BC 于点D ，连接DC ，则_______DCB 2、在⊙O 中,已知弦AB=43cm,OA=4cm,求弦AB 所对的两条弧的度数。

圆的对称性导学案设计

圆的对称性导学案设计导学案：圆的对称性一、导入（100字）1.引入：老师出示一张圆形画纸，请同学们观察它有哪些特点。

引导同学们发现圆是没有边界的，它的每一点到圆心的距离相等。

2.提问：圆是否具有对称性？如果有，又有哪些对称性？二、探究（500字）1.小组活动：将同学们分成小组，每组给一张圆形纸板。

让组员们互相交换纸板并观察，发现圆具有哪些对称性。

回到自己组内，同组成员共同探究和总结。

2.学生讨论：让小组成员展示他们发现的各种圆的对称性，并让其他同学提问和讨论。

引导他们探讨圆的对称轴的位置和性质。

三、归纳（300字）1.讲解：引导同学们总结圆的对称性。

圆有无数个对称轴，每一个经过圆心的直径都是圆的对称轴。

圆上的任意两点和圆心连线的中垂线也是圆的对称轴。

2.复习：老师可提问同学们圆上的点关于圆心的对称点是什么位置？让同学们回忆并作答。

四、应用（200字）1.实例分析：引导同学们观察和研究一些实际生活中的圆的应用例子，如太阳、存在对称轴的装饰品等。

让同学们思考并解释它们为何具有对称性。

2.创作：让同学们尝试用圆和它的对称性进行创作，可以画圆形的艺术作品或设计利用对称性来制作圆的折纸作品。

五、拓展（200字）1.拓展问题：让同学们思考圆的对称性在我们日常生活中的实际应用。

比如车轮、钟表等都具有圆的对称性。

让同学们发挥想象力，进一步探究圆的对称性的实际意义。

2.探究案例：引导同学们查阅相关资料，了解大脑的两个半球也具有对称性的结构，以及生物中的对称性的分布规律。

了解圆在不同领域的应用。

六、总结（100字）1.提示：让同学们回答圆的对称性能带给我们什么启示？2.统一讲解：引导同学们归纳总结圆的对称性的定义和特点，强调对称轴的位置和性质。

强调对称性在生活、艺术和科学中的重要性。

3.小结：通过本节课的学习，我们了解并掌握了圆的对称性的相关知识，发现了对称轴的位置和性质，培养了我们观察和分析问题的能力。

七、课后延伸（100字）1.延伸思考：同学们可以在日常生活中继续观察和探究圆的对称性，寻找更多的例子并加以说明和解释。

《圆的对称性》教案 (同课异构)2022年湘教版 (3)

九年级数学下册圆的对称性教案一湘教版教学目标1.使学生知道圆是中心对称图形和轴对称图形,并能运用其特有的性质推出在同一个圆中,圆心角、弧、弦之间的关系，2.能运用这些关系解决问题，培养学生善于从实验中获取知识的科学的方法。

教学重点由实验得到同一个圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系。

教学难点运用同一个圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系解决问题。

教学过程〔一〕情境导入要同学们画两个等圆，并把其中一个圆剪下，让两个圆的圆心重合，使得其中一个圆绕着圆心旋转，可以发现，两个圆都是互相重合的。

如果沿着任意一条直径所在的直线折叠，圆在这条直线两旁的局部会完全重合。

由以上实验，同学们发现圆是中心对称图形吗？对称中心是哪一点？圆不仅是中心对称圆形，而且还是轴对称图形，过圆心的每一条直线都是圆的对称轴。

(二)实践与探索11、同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等。

实验1、将图形28.1.3中的扇形AOB 绕点O 逆时针旋转某个角度，得到图28.1.4中的图形，同学们可以通过比拟前后两个图形，发现AOB AOB ∠=∠，AB AB =，AB AB =。

实质上，AOB ∠确定了扇形AOB 的大小，所以，在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧相等，图28.1.3图28.1.4所对的弦相等。

问题：在同一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角，所对的弦是否相等呢？在同一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角，所对的弧是否相等呢？〔三〕应用与拓展思考：如图，在一个半径为6米的圆形花坛里，准备种植六种不同颜色的花卉，要求每种花卉的种植面积相等，请你帮助设计种植方案。

如图28.1.5，在⊙O 中，AC BC =，145∠=︒，求2∠的度数。

如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠B ＝70°.求∠C 度数.(第3题)（第4题）4〕如图，AB 是直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠BOC ＝40°，求∠AOE 的度数〔四〕小结与作业本节课我们通过实验得到了圆不仅是中心对称图形，而且还是轴对称图形，而由圆的对称性又得出许多圆的许多性质，即〔1〕同一个圆中，相等的圆心角所对弧相等，所对的弦相等。

最新湘教版初中数学下册第2章圆导学案(1)

第2章圆 2．1 圆的对称性1．通过观察实验操作，使学生理解圆的定义．2．结合图形理解弧、等弧、弦、等圆、半圆、直径等有关概念． 3．圆既是轴对称图形又是中心对称图形． 4．点与圆的位置关系．自学指导：阅读教材P 43～46，完成下列问题．(一)知识探究 1．圆的定义问题如教材P 43图所示，通过用绳子和圆规画圆的过程，你发现了什么？由此你能得到什么结论？ 2．点与圆的位置关系一般地，设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心O 的距离为d ，则有 (1)点P 在⊙O 内⇔d________r (2)点P 在⊙O 上⇔d________r (3)点P 在⊙O 外⇔d________r 3．与圆有关的概念弦：连接圆上任意两点的线段叫作弦．(如：线段AB ，AC) 直径：经过圆心的弦(如AB)叫作直径．直径是特殊的弦，但弦不一定是直径．弧：圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧．如图，以A ，B 为端点的弧记作AB ︵，读作：弧AB.(1)圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． (2)大于半圆的弧，用三个点表示，如图中的ABC ︵，叫做________．小于半圆的弧，用两个点表示，如图中的AC ︵，叫做________．等圆：能够重合的两个圆叫作等圆．半径相等的两个圆是等圆，反过来，同圆或等圆的半径相等．等弧：在等圆或同圆中，能够互相重合的弧叫等弧．(1)等弧是全等的，不仅是弧的长度相等．(2)等弧只存在于同圆或等圆中．4．圆的对称性(1)圆是中心对称图形，________是它的对称中心．(2)圆是轴对称图形，任意一条______________________都是圆的对称轴．(二)自学反馈1．以点O 为圆心作圆，可以作()A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个2．如图所示，图中共有多少条弦？() A ．1 B ．2 C ．3 D ．4第2题图第3题图3．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠C ＝15°，则∠BOC 的度数为() A ．15° B ．30° C ．45° D ．60° 4．下列说法正确的有()①半径相等的两个圆是等圆；②半径相等的两个半圆是等弧；③过圆心的线段是直径；④分别在两个等圆上的两条弧是等弧．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个活动1 小组讨论例1 下列说法中，正确的是(C ) A ．弦是直径 B ．弧是半圆C ．半圆是弧D ．过圆心的线段是直径例2 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3 cm ，AC ＝4 cm ，以B 为圆心，以BC 为半径作⊙B ，问点A ，C 及AB ，AC 的中点D ，E 与⊙B 有怎样的位置关系？解：如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3 cm ，AC ＝4 cm ， ∴AB ＝AC 2＋BC 2＝5 cm .∵⊙B 的半径为3 cm ，AB ＝5 cm >3 cm ， ∴点C 在⊙B 上，点A 在⊙B 外．又∵DB ＝12×5＝52 cm <3 cm ，∴点D 在⊙B 内．连接EB ，∵EB>BC ＝3 cm ， ∴点E 在⊙B 外．要确定某一点与圆的位置关系，只需计算该点与圆心的距离，再与半径的大小作比较．若半径为r ，点到圆心的距离为d ，则有：当d>r 时，点在圆外；当d ＝r 时，点在圆上；当d<r 时，点在圆内．例3 观察下列图形：请问以上三个图形中是轴对称图形的有①②③，是中心对称图形的有①③(分别用以上三个图形的代号填空)．圆有无数条对称轴，圆的对称轴是过圆心的每一条直线，即直径所在的直线，而不是圆的直径．活动2跟踪训练1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3 cm，BC＝2 cm，以点A为圆心，2 cm长为半径作圆，则点C() A．在⊙A内B．在⊙A上C．在⊙A外D．可能在⊙A上也可能在⊙A外2．(1)以点A为圆心，可以画________个圆．(2)以已知线段AB的长为半径，可以画________个圆．(3)以A为圆心AB长为半径，可以画________个圆．3．如图，半圆的直径AB＝________.第3题图第4题图4．如图，图中共有________条弦．活动3课堂小结1．师生共同回顾圆的两种定义，弦(直径)，弧(半圆、优弧、劣弧、等弧)，等圆等知识点．2．通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问？请与同伴交流．【预习导学】知识探究1．圆是平面内到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形，这个定点叫作圆心，定长叫作半径． 2.＜＝＞ 3.(2)优弧劣弧 4.(1)圆心(2)直径所在的直线自学反馈1．D 2.B 3.B 4.B【合作探究】活动2跟踪训练1．C 2.(1)无数(2)无数(3)1 3.22 4.22．2 圆心角、圆周角2．2.1 圆心角1．了解圆心角的概念．2．掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧之间的关系定理及该定理在解题中的应用．自学指导：阅读教材P 47～48，完成下列问题．(一)知识探究1．什么是圆心角？2．弧、弦、圆心角的关系：定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的________相等，所对的________也________．同样，还可以得到：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角________，所对的弦________．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角________，所对的弧________． 3．思考：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？(二)自学反馈1．如图所示，下列各角是圆心角的是 ()A ．∠ABCB ．∠AOBC ．∠OABD ．∠OBC第1题图第2题图2．如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四点．(1)如果∠AOB ＝∠COD ，那么AB ＝________，AB ︵＝________； (2)如果AB ︵＝CD ︵，那么∠AOB ＝________，AB ＝________； (3)如果AB ＝CD ，那么∠AOB ＝________，AB ︵＝________.活动1 小组讨论例1 如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是(B )A ．∠ABCB ．∠AOBC ．∠OABD ．∠OCB确定一个角是不是圆心角，只要看这个角的顶点是否在圆心上，顶点在圆心上的角就是圆心角，否则不是．例2 如图所示，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠B ＝70°，则∠A ＝40°．在应用弧、弦、圆心角之间的关系定理时，注意根据具体的需要选择有关部分，本题只需由两弧相等，得到两弦相等就可以了．例3 如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，M ，N 分别是OA ，OB 的中点，CM ⊥AB ，DN ⊥AB ，垂足分别为M ，N.求证：AC ︵＝BD ︵.证明：如图所示，连接OC ，OD ，则OC ＝OD. ∵OA ＝OB ，M ，N 分别是OA ，OB 的中点， ∴OM ＝ON.又∵CM ⊥AB ，DN ⊥AB ， ∴∠CMO ＝∠DNO ＝90°. ∴Rt △CMO ≌Rt △DNO. ∴∠1＝∠2. ∴AC ︵＝BD ︵.在同圆或等圆中，要证明圆心角、弧、弦、弦心距这四组量中的某一组量相等，通常是转化成证明另外三组量中的某一组量相等．活动2 跟踪训练1．如图，MN 为⊙O 的弦，∠M ＝50°，则∠MON 等于() A ．50° B ．55° C ．65° D ．80°第1题图第3题图2．半圆所对的圆心角()A ．大于180°B ．等于180°C ．在90°～180°之间D ．等于90°3．如图，在⊙O 中，AB ，CD 为直径，则弧AD 与弧BC 的大小关系是() A ．相等 B ．不相等C ．不一定相等D ．不能确定4．如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠A ＝30°，则∠B ＝________°.第4题图第5题图5．如图，在⊙O 中，点C 是AB ︵的中点，∠A ＝60°，则∠BOC 为________°.活动3 课堂小结本节课是从圆的旋转不变性出发，推出了弧、弦、圆心角之间的关系，只要确定一组等量关系，其他两组也随之确定了．【预习导学】知识探究 1．顶点在圆上，角的两边与圆相交，像这样的角叫做圆心角． 2.弧弦相等相等相等相等相等 3.略．自学反馈1．B 2.(1)CD CD ︵ (2)∠COD CD (3)∠COD CD ︵【合作探究】活动2 跟踪训练1．D 2.B 3.A 4.75 5.302．2.2 圆周角第1课时圆周角定理及其推论11．理解圆周角的概念，学会识别圆周角．2．在实际操作中探索圆的性质，了解圆周角与圆心角的关系，并能应用其进行简单的计算与证明．3．在探索过程中，体会观察、猜想的思维方法，在定理的证明过程中，体会化归和分类讨论的数学思想和归纳的方法．自学指导：阅读教材P 49～52，完成下列问题．(一)知识探究1．顶点在________，角的两边都与圆________的角叫作圆周角． 2．圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的________．3．在同圆(或等圆)中，同弧或等弧所对的圆周角________，相等的圆周角所对的弧也________．(二)自学反馈1．如图所示，点A ，B ，C 在圆周上，∠A ＝65°，求∠D 的度数．2．如图所示，已知圆心角∠BOC ＝100°，点A 为优弧BC ︵上一点，求圆周角∠BAC 的度数．3．如图所示，在⊙O 中，∠AOB ＝100°，C 为优弧AB ︵的中点，求∠CAB 的度数．活动1 小组讨论例1 下列图形中的角是圆周角的是(B )例2 如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 为圆上两点，∠AOC ＝130°，则∠D 等于(A ) A ．25° B ．30° C ．35° D ．50°例2题图例3题图例3 如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠AOB ＝50°，则∠ADC 的度数是(D ) A ．50° B ．40° C ．30° D ．25°本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．活动2 跟踪训练1．如图，锐角△ABC 的顶点A ，B ，C 均在⊙O 上，∠OAC ＝20°，求∠B 的度数．2．已知：如图，在⊙O 中，弦AB 与CD 相交于点M. (1)若AD ＝CB ，求证：△ADM ≌△CBM ；(2)若AB ＝CD ，△ADM 与△CBM 是否全等，为什么？活动3 课堂小结这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？【预习导学】知识探究1．圆上相交 2.一半 3.相等相等自学反馈1．65°. 2.50°. 3.65°.【合作探究】活动2 跟踪训练1．∵OA ＝OC ，∠OAC ＝20°，∴∠OCA ＝∠OAC ＝20°.∴∠AOC ＝180°－2∠OCA ＝180°－2×20°＝140°.∴∠B ＝12∠AOC ＝70°. 2.(1)证明：在△ADM 与△CBM 中，∵∠DMA ＝∠BMC ，∠DAM ＝∠BCM ，AD＝CB.∴△ADM ≌△CBM(AAS )．(2)△ADM ≌△CBM.理由：∵AB ＝CD ，∴ADB ︵＝CBD ︵，∴AD ︵＝CB ︵.∴AD ＝CB.与(1)同理可得△ADM ≌△CBM.第2课时圆周角定理推论2及圆内接四边形的性质1．在实际操作中探索圆的性质，进一步探索直径所对的圆周角的特征，并能应用其进行简单的计算与证明．2．掌握圆内接四边形的有关概念及性质．3．在探索过程中，体会观察、猜想的思维方法，在定理的证明过程中，体会化归和分类讨论的数学思想和完全归纳的方法．自学指导：阅读教材P53～55，完成下列问题．(一)知识探究1．直径所对的圆周角是________，反之，90°的圆周角所对的弦是________．2．四个顶点都在圆上的四边形叫作这个圆的________四边形，这个圆叫作四边形的外接圆；圆内接四边形的对角________．(二)自学反馈1．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，若∠BAD＝110°，则∠BCD等于()A．110°B．90°C．70°D．20°第1题图第2题图2．如图所示，AB是⊙O的直径，弦DC与AB相交于点E.若∠ACD＝50°，则∠DAB＝________.活动1小组讨论例1如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为(C)A．30°B．45°C．60°D．75°例1题图例2题图例2如图所示，点C在以AB为直径的⊙O上，AB＝10 cm，∠A＝30°，则BC的长为5__cm．例3如图所示，已知△ABC的顶点在⊙O上，AD是△ABC的高，AE是⊙O的直径，求证：∠BAE＝∠CAD.证明：连接BE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE＝90°.∴∠BAE＋∠E＝90°.∵AD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°.∴∠CAD ＋∠C ＝90°. ∵AB ︵＝AB ︵，∴∠E ＝∠C.∵∠BAE ＋∠E ＝90°，∠CAD ＋∠C ＝90°， ∴∠BAE ＝∠CAD.涉及直径时，通常是利用“直径所对的圆周角是直角”来构造直角三角形，并借助直角三角形的性质来解决问题．例4 如图，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，点O 在∠D 的内部，四边形OABC 为平行四边形，则∠OAD ＋∠OCD ＝60度．活动2 跟踪训练1．如图，⊙O 的直径AB ＝4，点C 在⊙O 上，∠ABC ＝30°，则AC 的长是()A ．1B . 2C . 3D ．2第1题图第2题图2．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，且∠A ＝45°，则下列结论中正确的是() A ．BC ＝12AB B ．BC ＝ACC ．BC ＜ACD ．BC ＞AC 3．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上的一点．若BC ＝6，AB ＝10，OD ⊥BC 于点D ，则OD 的长为________．第3题图第4题图4．如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，∠BCD ＝110°，则∠BOD ＝________度．活动3 课堂小结1．这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？ 2．教师强调：(1)半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径； (2)圆内接四边形定义及性质；(3)关于圆周角定理运用中，遇到直径，常构造直角三角形．【预习导学】知识探究1．直角直径 2.内接互补自学反馈1．C 2.40°【合作探究】活动2跟踪训练1．D 2.B 3.4 4.140*2.3 垂径定理1．理解圆是轴对称图形，由圆的折叠猜想垂径定理，并进行推理验证． 2．理解垂径定理，灵活运用定理进行证明及计算．自学指导：阅读教材P 58～59，完成下列问题．(一)知识探究垂直于弦的直径________这条弦，并且________弦所对的两条弧，即一条直线如果满足：①____________________________；②________________；那么可以推出：③________；④CB ︵＝DB ︵；⑤CA ︵＝DA ︵.(二)自学反馈1．已知：⊙O 的直径为10 cm ，圆心O 到弦AB 的距离为3 cm ，则AB 的长为() A .91 cm B ．4 cm C ．291 cm D ．8 cm2．如图，⊙O 的半径为4，弦AB ⊥OC 于C ，且OC ＝3，则AB 的长等于________．活动1 小组讨论例1 如图，弦AB ＝8 cm ，CD 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，垂足为E ，DE ＝2 cm ，求⊙O 的直径CD 的长．解：连接OA.设OA ＝r cm ，则OE ＝r －2(cm )． ∵CD ⊥AB ，由垂径定理得AE ＝AB2＝4(cm )．在Rt △AEO 中，由勾股定理得 OA 2＝OE 2＋AE 2. 即r 2＝(r －2)2＋42. 解得r ＝5.∴CD ＝2r ＝10 cm .例2 证明：圆的两条平行弦所夹的弧相等．已知：如图，在⊙O 中，弦AB 与弦CD 平行．求证：AC ︵＝BD ︵.证明：作直径EF ⊥AB ， ∴AE ︵＝BE ︵.又∵AB ∥CD ，EF ⊥AB ， ∴EF ⊥CD.∴CE ︵＝DE ︵. 因此AE ︵－CE ︵＝BE ︵－DE ︵，即AC ︵＝BD ︵.活动2 跟踪训练1．如图，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为6，M 是AB 上的动点，则线段OM 长的最小值为() A ．2 B ．3 C ．4 D ．5第1题图第2题图2．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形(劣弧)，其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为() A ．5米 B ．8米 C ．7米 D ．53米3．如图，⊙O 的半径OC 为6 cm ，弦AB 垂直平分OC ，则AB ＝________cm .第3题图第4题图4．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的AB ︵)，点O 是这段弧的圆心，AB ＝120 m ，C 是AB ︵上一点，OC ⊥AB ，垂足为D ，CD ＝20 m ，则这段弯路的半径为________m .活动3 课堂小结1．这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？ 2．教师强调：(1)圆是轴对称图形，对称轴是过圆心的任一条直线；(2)垂径定理及推论中注意“平分弦(不是直径)的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”中的限制； (3)垂径定理的计算及证明，常作弦心距为辅助线，用勾股定理列方程； (4)注意计算中的两种情况．【预习导学】知识探究平分平分AB经过圆心O且与圆交于A，B两点AB⊥CD交CD于E CE＝DE 自学反馈1．D 2.27【合作探究】活动2跟踪训练1．C 2.B 3.63 4.1002.4过不共线三点作圆1．了解不共线三点确定一个圆的方法，三角形的外接圆及外心等概念．2．经历不共线三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力．自学指导：阅读教材P61～62，完成下列问题．(一)知识探究1．(1)经过一个已知点A画圆；想一想：经过已知点A可以画多少个圆？(2)经过两个已知点C、B画圆．想一想：①经过两个已知点可以画多少个圆？②圆心在哪儿？半径怎么确定？2．设三点A，B，C不在同一直线上．(1)过三点A，B，C的圆的圆心在哪儿？怎么确定？(2)过不在同一直线上的三点A，B，C如何作圆？已知：不在同一直线上的三点A，B，C，求作：圆O，使它经过点A，B，C.作法：①连接AB，作线段AB的____________；②连接BC，作线段BC的____________；③以________和________的交点O为圆心，以________为半径作圆，则圆O就是所求作的圆．(3)过不在同一直线上的三点A，B，C能作多少个圆？为什么？(4)过同一直线上的三点A，B，C能作一个圆吗？为什么？定理：不在同一直线上的三个点____________．强调：(1)过同一直线上三点不行；(2)“确定”一词应理解成“有且只有”．3．经过三角形各顶点的圆叫作这个三角形的__________，外接圆的圆心叫作这个三角形的________，这个三角形叫作这个圆的________________，三角形的外心是它的三条边的________________的交点．(二)自学反馈1．下列说法错误的是()A．过一点有无数多个圆B．过两点有无数多个圆C．过三点只能确定一个圆D．过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆2．如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是()A．点PB．点QC．点RD．点M活动1小组讨论例作出下列三角形的外接圆．(只要作图痕迹，不要求写出作法)解：略．活动2跟踪训练1．若三角形的外心在它的一条边上，那么这个三角形是________三角形．2．如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A，B，C，其中B点坐标为(4，4)，则该圆弧所在圆的圆心坐标为________．3．若O为△ABC的外心，且∠BOC＝60°，则∠BAC的度数为________________．活动3课堂小结本节课你学到了什么？有什么收获和体会？还有什么困惑？【预习导学】知识探究1．(1)无数个．(2)①无数个．②圆心选取线段BC的垂直平分线上任意一点．半径取这一点与点B(C)的距离． 2.(1)圆心为线段AB，BC垂直平分线的交点．(2)垂直平分线EF垂直平分线MN EF MN OA(或OB 或OC)(3)1个．(4)不能．理由略．确定一个圆 3.外接圆外心内接三角形垂直平分线自学反馈1．C 2.B【合作探究】活动2跟踪训练1．直角 2.(2，0) 3.30°或150°2.5 直线与圆的位置关系 2．5.1 直线与圆的位置关系1．了解直线和圆的不同位置关系及相关概念． 2．能运用直线与圆的位置关系解决实际问题．自学指导：阅读教材P 64～65，完成下列问题．(一)知识探究1．设圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，则：(1)当d ＜r 时，直线与圆恰好有________个不同的公共点，这时称直线与圆相交，这条直线叫作圆的________． (2)当d ＝r 时，直线与圆只有________个公共点，这时称直线与圆________，这条直线叫作圆的切线． (3)当d ＞r 时，直线与圆________公共点，这时称直线与圆________． 2．设⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d.那么：(1)直线l 和⊙O________⇔d ＜r ； (2)直线l 和⊙O________⇔d ＝r ； (3)直线l 和⊙O________⇔d ＞r.(二)自学反馈1．设⊙O 的半径为r ，直线l 到圆心O 的距离为d ，则有：直线l 和⊙O 相交⇔________；直线l 和⊙O 相切⇔________；直线l 和⊙O 相离⇔________.2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3 cm ，AB ＝6 cm ，以点C 为圆心，与AB 边相切的圆的半径为________cm . 3．已知⊙O 的半径r ＝3 cm ，直线l 和⊙O 有公共点，则圆心O 到直线l 的距离d 的取值范围是________cm . 4．已知⊙O 的半径是6，点O 到直线a 的距离是5，则直线a 与⊙O 的位置关系是________．活动1 小组讨论例如图，∠C ＝30°，O 是BC 上一点，且CO ＝6 cm ，以O 为圆心，r 为半径的圆与直线CA 有怎样的位置关系？为什么？(1)r ＝2.5 cm ； (2)r ＝3 cm ； (3)r ＝5 cm .解：过O 作OD ⊥CA 交CA 于D. 在Rt △CDO 中，∠C ＝30°， ∴OD ＝12CO ＝3 cm .即圆心O 到直线CA 的距离d ＝3 cm .(1)当r ＝2.5 cm 时，有d>r ，因此⊙O 与直线CA 相离； (2)当r ＝3 cm 时，有d ＝r ，因此⊙O 与直线CA 相切； (1)当r ＝5 cm 时，有d<r ，因此⊙O 与直线CA 相交．活动2 跟踪训练1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3 cm ，BC ＝4 cm ，以C 为圆心，r 为半径作圆．①当r 满足____________cm 时，⊙C 与直线AB 相离． ②当r 满足____________cm 时，⊙C 与直线AB 相切． ③当r 满足____________cm 时，⊙C 与直线AB 相交．2．已知⊙O 的半径为5 cm ，圆心O 到直线a 的距离为3 cm ，则⊙O 与直线a 的位置关系是________`．直线a 与⊙O 的公共点个数是________．3．已知⊙O 的直径是6 cm ，圆心O 到直线a 的距离是4 cm ，则⊙O 与直线a 的位置关系是________．活动3 课堂小结1．直线与圆的三种位置关系．2．根据圆心到直线的距离d 与半径r 的大小关系，判断出直线与圆的位置关系．【预习导学】知识探究1．(1)两割线 (2)一相切 (3)没有相离 2.(1)相交 (2)相切 (3)相离自学反馈1．d<r d ＝r d>r 2.332 3.0≤d ≤3 4.相交【合作探究】活动2 跟踪训练1．①0<r<125 ②r ＝125 ③r>1252.相交 2个3.相离2.5.2 圆的切线第1课时切线的判定1．理解和掌握圆的切线的判定定理．2．能运用圆的切线的判定定理进行相关的计算和证明．自学指导：阅读教材P 66～67，完成下列问题．(一)知识探究经过____________并且____________的直线是圆的切线．(二)自学反馈1．下列说法中，正确的是()A ．垂直于半径的直线是圆的切线B ．经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线C ．经过半径的端点且垂直于半径的直线是圆的切线D ．到圆心的距离等于直径的直线是圆的切线2．已知在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝6，如果以AD 为直径作圆，那么与这个圆相切的矩形的边共有() A ．0条 B ．1条 C ．2条 D ．3条第2题图第3题图3．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，以BC 为直径作⊙O ，则⊙O 与AC 的位置关系是________________．4．如图，A ，B 是⊙O 上的两点，AC 是过A 点的一条直线．如果∠AOB ＝120°，那么当∠CAB 的度数等于________度时，AC 与⊙O 相切．活动1 小组讨论例1 如图，点D 在⊙O 的直径AB 的延长线上，点C 在⊙O 上，AC ＝CD ，∠D ＝30°.求证：CD 是⊙O 的切线．证明：连接OC ，∵AC ＝CD ，∠D ＝30°， ∴∠A ＝∠D ＝30°. ∵OA ＝OC ，∴∠ACO ＝∠A ＝30°.∴∠COD＝60°.∴∠OCD＝90°，即OC⊥CD.∴CD是⊙O的切线．一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线．例2如图，O为正方形ABCD的对角线AC上一点，以O为圆心，OA的长为半径的⊙O与BC相切于点M.求证：CD与⊙O相切．证明：连接OM，过点O作ON⊥CD于点N，∵⊙O与BC相切于点M，∴OM⊥BC.又∵ON⊥CD，O为正方形ABCD对角线AC上一点，∴OM＝ON.∴CD与⊙O相切．要证明直线与圆相切，如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到这条直线的距离等于半径．活动2跟踪训练1．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，AE交⊙O于点E，且AE⊥CP于点D，如果AC平分∠DAB.求证：直线CP与⊙O相切．2．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC＝BD，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E.求证：DE为⊙O的切线．3．如图，以线段AB为直径的⊙O交线段AC于点E，点M是弧AE的中点，OM交AC于点D，∠AOM＝∠C＝60°.(1)求∠A的度数；(2)求证：BC是⊙O的切线．活动3 课堂小结1．判定切线的方法有哪些？直线l ⎩⎪⎨⎪⎧与圆有唯一公共点→l 是切线与圆心的距离等于圆的半径→l 是切线经过半径外端且垂直这条半径→l 是切线2．常用的添辅助线方法？(1)直线与圆的公共点已知时，则连半径，证垂直． (2)直线与圆的公共点不确定时，则作垂直，证半径．【预习导学】知识探究半径的外端垂直于这条半径自学反馈1．B 2.D 3.相切 4.60【合作探究】活动2 跟踪训练1．证明：连接OC.∵OA ＝OC ，∴∠OCA ＝∠OAC.∵AC 平分∠DAB ，∴∠DAC ＝∠OAC.∴∠DAC ＝∠OCA.∴OC ∥AD.又∵AD ⊥CP ，∴OC ⊥CP.∴直线CP 与⊙O 相切． 2.证明：连接OD.∵CD ＝DB ，AO ＝OB ，∴OD ∥AC.∵DE ⊥AC ，∴DE ⊥OD.∴DE 是⊙O 的切线． 3.(1)∵∠AOM ＝60°，点M 是弧AE 的中点，∴∠EOM ＝60°.∴∠AOE ＝120°.∴∠BOE ＝60°.∴∠A ＝12∠BOE ＝30°.(2)证明：在△ABC 中，∵∠C ＝60°，∠A ＝30°，∴∠ABC ＝90°.∴AB ⊥BC.∴BC 是⊙O 的切线．第2课时切线的性质1．理解和掌握圆的切线的性质．2．能运用圆的切线的性质进行相关的计算和证明．自学指导：阅读教材P68～69，完成下列问题．(一)知识探究圆的切线垂直于过________的半径．(二)自学反馈1．如图，AB与⊙O相切于点B，⊙O的半径为25，AB＝4，则OA的长是()A．6 B．2 C．4 D．10第1题图第2题图2．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，C为切点，∠B＝25°，则∠D等于()A．25°B．50°C．30°D．40°3．如图，PT切⊙O于点T，经过圆心O的割线PAB交⊙O于点A，B.已知PT＝4，∠P＝30°，则⊙O的直径AB等于________．第3题图第4题图4．如图，已知直线AB是⊙O的切线，A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，且∠OBA＝40°，则∠ADC ＝________.活动1小组讨论例1如图，PA为⊙O的切线，A为切点．直线PO与⊙O交于B，C两点，∠P＝30°，连接AO，AB，AC.(1)求证：△ACB≌△APO；(2)若AP＝3，求⊙O的半径．解：(1)证明：∵PA为⊙O的切线，A为切点，∴∠OAP＝90°.又∵∠P＝30°，∴∠AOB＝60°.又OA＝OB，∴△AOB为等边三角形．∴AB＝AO，∠ABO＝60°.又∵BC 为⊙O 的直径，∴∠BAC ＝90°.在△ACB 和△APO 中，∠BAC ＝∠OAP ，AB ＝AO ，∠ABO ＝∠AOB ， ∴△ACB ≌△APO.(2)在Rt △AOP 中，∠P ＝30°，AP ＝3， ∴AO ＝1，即⊙O 的半径为1.已知圆的切线，利用圆的切线性质解题时，一般先要作出过切点的半径，再分析题中的关系，合理解答问题．例2 如图，AB 是⊙O 的直径，点F ，C 是⊙O 上的两点，且AF ︵＝FC ︵＝CB ︵，连接AC ，AF ，过点C 作CD ⊥AF 交AF 的延长线于点D.(1)求证：CD 是⊙O 的切线； (2)若CD ＝23，求⊙O 的半径．解：(1)证明：连接OC ，BC. ∵FC ︵＝CB ︵， ∴∠DAC ＝∠BAC. ∵CD ⊥AF ，∴∠ADC ＝90°.∴∠DAC ＋∠ACD ＝90°. ∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠ACO. ∴∠DAC ＝∠ACO.∴∠ACO ＋∠ACD ＝90°，即OC ⊥CD. 又∵OC 是⊙O 的半径， ∴CD 是⊙O 的切线． (2)∵AF ︵＝FC ︵＝CB ︵， ∴∠DAC ＝∠BAC ＝30°. ∵CD ⊥AF ，CD ＝23，∴AC ＝4 3.在Rt △ABC 中，∠BAC ＝30°，AC ＝43， ∴BC ＝4，AB ＝8.∴⊙O 的半径为4.活动2 跟踪训练1．如图，两个同心圆的圆心O ，大圆的弦AB 是小圆的切线，切点为C.求证：C 是AB 的中点．2．如图，AB 与⊙O 相切于点C ，∠A ＝∠B ，⊙O 的半径为6，AB ＝16.求OA 的长．3．如图，在⊙O 中，M 是弦AB 的中点，过点B 作⊙O 的切线，与OM 延长线交于点C.求证：∠A ＝∠C.活动3 课堂小结 1．切线性质：①切线和圆有且只有一个公共点； ②切线和圆心的距离等于半径； ③圆的切线垂直于经过切点的半径．2．能运用切线性质定理进行计算与证明． 3．掌握常见的关于切线辅助线作法．【预习导学】知识探究切点自学反馈1．A 2.D 3.8334.25°【合作探究】活动2 跟踪训练1．证明：连接OC.∵AB 是小圆的切线，∴OC ⊥AB.∴C 是AB 的中点． 2.连接OC ，∵AB 与⊙O 相切于点C ，∴OC ⊥AB.∵∠A ＝∠B ，∴OA ＝OB.∴AC ＝BC ＝12AB ＝8.∵OC ＝6，∴OA ＝62＋82＝10. 3.证明：连接OB.∵BC 是切线，∴∠OBC ＝90°.∴∠OBM ＋∠CBM ＝90°.∵OA ＝OB ，∴∠A ＝∠OBM.∵M 是AB 的中点，∴OM ⊥AB.∴∠C ＋∠CBM ＝90°.∴∠C ＝∠OBM.∴∠A ＝∠C.*2.5.3 切线长定理理解并掌握切线长定理、能熟练运用所学定理来解答问题．自学指导：阅读教材P 70～71，完成下列问题．(一)知识探究1．经过圆外一点作圆的切线，这点和________之间的线段长叫作切线长．2．过圆外一点所画的圆的两条切线长________，圆心和这一点的连线平分____________的夹角，这就是切线长定理．(二)自学反馈1．如图，PA ，PB 是⊙O 的两条切线，A ，B 为切点，直线OP 交⊙O 于点D ，E ，交AB 于C ，图中互相垂直的直线共有________对．第1题图第2题图2．如图，PA ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ，点E 是⊙O 上一点，且∠AEB ＝60°，则∠P ＝________度．3．如图，PA ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ，⊙O 的切线EF 分别交PA ，PB 于点E ，F ，切点C 在AB ︵上．若PA 长为2，则△PEF 的周长是________．4．自学教材P 72练习1、2.活动1 小组讨论例如图，直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，以AB 为直径的半圆切另一腰CD 于P.若AB ＝12 cm ，梯形面积为120 cm 2，求CD 的长．解：20 cm .这里CD ＝AD ＋BC.活动2 跟踪训练1．如图，AD ，DC ，BC 都与⊙O 相切，且AD ∥BC ，则∠DOC ＝________°.第1题图第2题图2．如图，AB ，AC 与⊙O 相切于B ，C 两点，∠A ＝50°，点P 是圆上异于B ，C 的一动点，则∠BPC ＝________°. 活动3 课堂小结能根据切线长定理进行相关计算．【预习导学】知识探究1．切点 2.相等两条切线自学反馈1．3 2.60 3.4 【合作探究】活动2 跟踪训练 1．90 2.652．5.4 三角形的内切圆1．了解三角形的内切圆及内心的特点，会画三角形的内切圆． 2．会进行三角形内切圆的相关计算．自学指导：阅读教材P 72～74，完成下列问题．(一)知识探究1．与三角形各边都__________的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心叫作三角形的__________，这个三角形叫作圆的____________．2．三角形的内心是这个三角形的三条__________的交点．(二)自学反馈1．如图，已知⊙O 是△ABC 的内切圆，且∠ABC ＝50°，∠ACB ＝80°，则∠BOC ＝________.第1题图第2题图2．⊙O 为△ABC 的内切圆，D ，E ，F 为切点，∠DOB ＝73°，∠DOE ＝120°，则∠DOF ＝________°，∠C ＝________°，∠A ＝________°.3．自学教材P 74练习1、2、3.活动1 小组讨论例1 如图，已知⊙O 是Rt △ABC(∠C ＝90°)的内切圆，切点分别为D ，E ，F. (1)求证：四边形ODCE 是正方形；(2)设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，求⊙O 的半径r.解：(1)证明略． (2)a ＋b －c 2.这里(2)的结论可记住作为公式来用．例2 如图所示，点I 是△ABC 的内心，∠A ＝70°，求∠BIC 的度数．解：125°.若I为内心，∠BIC＝90°＋12∠A；若I为外心，∠BIC＝2∠A.活动2跟踪训练1．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则△ABC的内切圆半径r＝________.第1题图第2题图2．如图，点O为△ABC的外心，点I为△ABC的内心．若∠BOC＝140°，则∠BIC＝________°.3．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝18 cm，BC＝28 cm，CA＝26 cm，求AF，BD，CE的长．活动3课堂小结会进行三角形的内切圆相关计算及内心，直角三角形内切圆半径公式的应用．【预习导学】知识探究1．相切内心外切三角形 2.角平分线自学反馈1．115° 2.1466086【合作探究】活动2跟踪训练1．2 2.125 3.根据切线长定理得AE＝AF，BF＝BD，CE＝CD.设AF＝AE＝x cm，则CE＝CD＝(26－x)cm，BF＝BD＝(18－x)cm.∵BC＝28 cm，∴(18－x)＋(26－x)＝28.解得x＝8.∴AF＝8 cm，BD＝10 cm，CE＝18 cm.。