圆周角定理及推论
圆周角定理推论
圆周角定理推论
中心角定理：如果一个三角形的三条边的长度都已知，则可以用这三条边到三角形的三个角的长度来求解出这个三角形的三个角的大小，这个定理又称为三角形钝角定理。
也可以称之为圆周角定理，它是圆周角的一种表示法，说明圆周角满足三角形的钝角定理。
即如果已知圆周角的三边长度，则可求出其三个内角。
例如，已知圆周角的三边长度分别为4,4,4，则可求出其三个内角分别为60°，60°，60°。
圆周角定理的公式是：若a、b、c分别为圆周角的三边长度，则有A = arccos（（b2 + c2 - a2）/ 2bc），B = arccos（（a2 + c2 - b2）/ 2bc），C = arccos（（a2 + b2 - c2）/ 2bc）。
其中A，B，C分别为圆周角的三角形的三个内角。
第5课时 圆周角定理的推论
解：连接AO并延长交⊙O于 点E，连接BE所以∠E=30°, ∠ABE=90°.由AB=4得直 径AE=8.
B
●
A
O C
E
C E D O B
A
定理：圆的内接四边形的对角互补，任何一
个外角都等于它的内对角。
∠D＋∠B＝180° ∠A＋∠C＝180°
E
∠EAB＝∠BCD
∠FCB＝∠BAD
A O
B
D
135° _________
2.四边形ABCD内接于圆，AD∥BC， 若AD=4，BC=6，则四边形ABCD的面积为
25 _______
B
A
D
· O
C
3.（荆门〃中考）如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点 A在⊙O上，∠AMN=30°，B为弧AN的中点，点P是直 径MN上一个动点，则PA+PB的最小值为（ B ）
例2、如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接 圆直径。求证：AB 〃 AC = AE 〃 AD 分析：要证AB 〃 AC = AE 〃 AD
A
O
AC AD AE AB
△ADC∽△ABE
B
E
D
C
例3.船在航行过程中常通过测定角度来确定 是否会遇到暗礁. 如图，A，B表示灯塔，暗 礁分布在经过A，B两点的一个圆形区域内， 优弧AB上任一点C都是有触礁危险的临界点， ∠ACB就是“危险角”. 当船P位于安全区域 时，它与两个灯塔的夹角∠α与“危险角” 有怎样的大小关系？
C E α P
O A B
三、课堂检测
练习1 ：如图，以⊙O的半径OA为直径作⊙O1,⊙O的弦 AD交⊙O1于C,则OC与AD的位置关系是 OC⊥AD 。 OC与BD的位置关系是 OC∥BD 。 2 .在上题中,若AC = 2cm,则AD = 4 cm。
初三数学圆周角知识点
初三数学圆周角知识点初三数学圆周角知识点初三数学圆周角知识点11、定义：顶点在圆上，角的两边都与圆相交的角。
(两条件缺一不可)2、定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
3、推论：1)在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。
2)直径(半圆)所对的圆周角是直角;900的圆周角所对的弦为直径。
(①常见辅助线：有直径可构成直角，有900圆周角可构成直径;②找圆心的方法：作两个900圆周角所对两弦交点)4、圆内接四边形的性质定理：圆内接四边形的对角互补。
(任意一个外角等于它的内对角)补充：1、两条平行弦所夹的弧相等。
2、圆的两条弦1)在圆外相交时，所夹角等于它所对的两条弧度数差的一半。
2)在圆内相交时，所夹的角等于它所夹两条弧度数和的一半。
3、同弧所对的(在弧的同侧)圆内部角最大其次是圆周角，最小的是圆外角。
初三数学圆周角知识点2一、圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
①定理有三方面的意义：a.圆心角和圆周角在同一个圆或等圆中;(相关知识点如何证明四点共圆 )b.它们对着同一条弧或者对的两条弧是等弧c.具备a、b两个条件的圆周角都是相等的，且等于圆心角的一半.②因为圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，所以圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半.二、圆周角定理的推论推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等推论2：半圆(或直径)所对的`圆周角等于90°;90°的圆周角所对的弦是直径推论3：如果三角形一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形三、推论解释说明圆周角定理在九年级数学知识点中属于几何部分的重要内容。
①推论1是圆中证明角相等最常用的方法，若将推论1中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论就不成立.因为一条弦所对的圆周角有两个.②推论2中“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中”③圆周角定理的推论2的应用非常广泛，要把直径与90°圆周角联系起来，一般来说，当条件中有直径时，通常会作出直径所对的圆周角，从而得到直角三角形，为进一步解题创造条件④推论3实质是直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理.。
第1课时 圆周角定理及其推论
45°
．
半圆(或直径)所对的圆周角是
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习
反
馈
5．如图所示，点A，B，C在圆周上，∠A＝65°，则∠D的度数为 65° ．
6．如图，A，B，C均在⊙O上，且AB是⊙O的直径，AC＝BC，则∠C＝ 90° ，∠A
＝ 45° ．
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课
堂
流 程
学 习 目 标
预 习 反 馈
预 习 反 馈
名 校 讲 坛
课 堂 小 结
24.1.4
圆周角
第1课时 圆周角定理及其推论
学
习
目
标
1．理解圆周角的定义，会区分圆周角和圆心角．
2．掌握圆周角定理及其两个推论，能在证明或计算中熟练的应用它们处
理相关问题．
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为 60° ．
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知识点2
校
讲
坛
圆周角定理的推论
例2 (教材P87例4)如图，⊙O的直径AB为10 cm，弦AC为6 cm，∠ACB的平分线交
⊙O于D，求BC，AD，BD的长．
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例3
校
讲
坛
2
，
(教材补充例题)如图，△ABC的顶点都在⊙O上，AD是⊙O的直径，AD＝ ．
∠B＝∠DAC，则AC＝ 1
【归纳总结】 1.圆周角定理及其推论中的转化思想： (1)弧是圆周角、圆心角的中介，通过弧可实现圆周角、圆 心角之间的转化； (2)在同圆或等圆中，90°的圆周角和直径之间可以相互转 化．
圆周角的定理及推论的应用
圆周角的定理及推论的应用圆周角是数学中的一个重要概念，掌握圆周角的定理及其推论，对于解决许多几何问题非常有帮助。
本文将围绕圆周角的定理及推论的应用展开阐述。
一、圆周角的定义圆周角是指落在圆周上的两条弧所对的角，即两个弧之间的角度量。
一般用大写字母表示圆周角，如∠ABC。
二、圆周角的定理1、相等圆周角定理：在同一个圆周上，所对的圆周角相等。
证明：作弦AB、CD相交于点E，则∠AEB=∠CED。
由于AE、BE、CE、DE均是从一个圆心O引出的弦，故∠AEB=∠CEB，∠CED=∠BED，又因为OE=OE，故OEB≌OED，由此可得∠OEB=∠OED，即∠AEB=∠CED。
2、圆心角的定理：在同一个圆中，所对的圆心角相等。
证明：连接圆心O到AB的中垂线OH，H为AB的中点。
则OH垂直于AB，因此∠AOH、∠BOH均为直角，所以∠AOB=2∠AOH=2∠BOH。
3、正弦定理：在任意三角形ABC中，设a、b、c分别为三角形BC、AC、AB 的边长，R为外接圆半径，则有：sinA=a/2R，sinB=b/2R，sinC=c/2R证明：如下图所示，以AB、BC、CA为边作三角形ABC的外接圆，设圆心为O。
连接AO、BO、CO，过O点作弦AD、BE、CF，则OD=OE=OF=R，所以AOD、BOE、COF都是等边三角形。
因此，∠OAB=∠CFO、∠OBA=∠CEO、∠OBC=∠AEO、∠OCB=∠AFO。
设∠BAC=x，∠ABC=y，∠ACB=z，由三角形内角和公式得：x+y+z=180又由圆周角定理得：∠BOC=2y，∠AOC=2z，∠AOB=2x于是：∠AOB+∠BOC+∠AOC=3602x+2y+2z=360，即x+y+z=180。
将sinA、sinB、sinC带入上述公式中，可得：sinA/BC=sinB/CA=sinC/AB=1/2R即sinA=a/2R，sinB=b/2R，sinC=c/2R。
4、余弦定理：在任意三角形ABC中，设a、b、c分别为三角形BC、AC、AB 的边长，R为外接圆半径，则有：cosA=(b²+c²-a²)/2bc，cosB=(a²+c²-b²)/2ac，cosC=(a²+b²-c²)/2ab证明：将ABC的外接圆的半径延长到BC、AC和AB上分别交于点D、E、F。
圆周角定理及推论
24.3 圆周角第1课时 圆周角定理及推论1．理解圆周角的概念，学会识别圆周角；2．了解圆周角与圆心角的关系，能够理解和掌握圆周角定理及推论，并进行简单的计算与证明(重点，难点)．一、情境导入你喜欢看足球比赛吗？你踢过足球吗？第六届东亚四强赛于2015年在武汉举行，共有来自亚洲的8支球队参加赛事，共进行24场比赛决定冠军队伍．比赛如图所示，甲队员在圆心O 处，乙队员在圆上C 处，丙队员带球突破防守把球传给乙，乙依然把球传给了甲，你知道为什么吗？你能用数学知识解释一下吗？二、合作探究探究点一：圆周角定理 【类型一】 利用圆周角定理求角如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 为圆上两点，∠AOC ＝130°，则∠D 等于( )A ．25°B ．30°C ．35°D ．50°解析：本题考查同弧所对圆周角与圆心角的关系．∵∠AOC ＝130°，∠AOB ＝180°，∴∠BOC ＝50°，∴∠D ＝25°.故选A.方法总结：在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题【类型二】 同弦所对圆周角中的分类讨论思想已知⊙O 的弦AB 长等于⊙O 的半径，求此弦AB 所对的圆周角的度数．解析：弦AB 的长恰好等于⊙O 的半径，则△OAB 是等边三角形，则∠AOB ＝60°.而弦AB 所对的弧有两段，一段是优弧，一段是劣弧，因此本题要分类讨论．解：分下面两种情况：如图①所示，连接OA ，OB ，在⊙O 上任取一点C ，连接CA ，CB .∵AB ＝OA ＝OB ，∴∠AOB ＝60°，∴∠ACB ＝12∠AOB ＝30°.即弦AB 所对的圆周角等于30°.如图②所示，连接OA ，OB ，在劣弧上任取一点D ，连接AD ，OD ，BD ，则∠BAD ＝12∠BOD ，∠ABD ＝12∠AOD .∴∠BAD ＋∠ABD ＝12(∠BOD ＋∠AOD )＝12∠AOB .∵AB 的长等于⊙O 的半径，∴△AOB 为等边三角形，∠AOB ＝60°.∴∠BAD ＋∠ABD ＝30°，∠ADB ＝180°－(∠BAD ＋∠ABD )＝150°，即弦AB 所对的圆周角为150°.综上所述，弦AB 所对的圆周角的度数是30°或150°.方法总结：本题考查了等边三角形的判定和性质、圆周角定理和圆内接四边形的性质．要注意的是弦AB 所对的圆周角有两种情况，需分类讨论，解题时可分别作图，结合图形求解，以免漏解．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题探究点二：圆周角定理的推论 【类型一】 利用圆周角定理的推论1解题如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O 的圆心O 在格点上，则∠AED 的正切值等于( )A.55B.255 C ．2 D.12解析：根据同弧或等弧所对的圆周角相等来求解，∵∠E ＝∠ABD ，∴tan ∠AED ＝tan ∠ABD ＝AC AB ＝12.故选D.方法总结：解题的关键是在同圆或等圆中，相等的两条弧所对的圆周角也相等．注意与三角函数的结合．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题【类型二】 利用圆周角定理的推论2解题如图所示，已知△ABC 的顶点在⊙O 上，AD 是△ABC 的高，AE 是⊙O 的直径，求证：∠BAE ＝∠CAD .解析：连接BE 构造Rt △ABE ，由AD 是△ABC 的高得Rt △ACD ，要证∠BAE ＝∠CAD ，只要证出它们的余角∠E 与∠C 相等，而∠E 与∠C 是同弧AB 所对的圆周角．证明：连接BE ，∵AE 是⊙O 的直径，∴∠ABE ＝90°，∴∠BAE ＋∠E ＝90°.∵AD 是△ABC 的高，∴∠ADC ＝90°，∴∠CAD ＋∠C ＝90°.∵AB ︵＝AB ︵，∴∠E ＝∠C .∵∠BAE ＋∠E ＝90°，∠CAD ＋∠C ＝90°，∴∠BAE ＝∠CAD .方法总结：涉及直径时，通常是利用“直径所对的圆周角是直角”来构造直角三角形，并借助直角三角形的性质来解决问题． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题三、板书设计1．圆周角的概念2．圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．3．圆周角定理的推论推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．教学过程中，经历圆周角定理及其推论的探究，使学生掌握圆周角的相关性质；配合练习，巩固所学知识，结合实际应用来提升学生的思维能力.。
圆周角定理及推论
24.3 圆周角第1课时圆周角定理及推论1．理解圆周角的概念，学会识别圆周角；2．了解圆周角与圆心角的关系，能够理解和掌握圆周角定理及推论，并进行简单的计算与证明(重点，难点)．一、情境导入你喜欢看足球比赛吗？你踢过足球吗？第六届东亚四强赛于2015年在武汉举行，共有来自亚洲的8支球队参加赛事，共进行24场比赛决定冠军队伍．比赛如图所示，甲队员在圆心O处，乙队员在圆上C处，丙队员带球突破防守把球传给乙，乙依然把球传给了甲，你知道为什么吗？你能用数学知识解释一下吗？二、合作探究探究点一：圆周角定理【类型一】利用圆周角定理求角如图，AB是⊙O的直径，C，D为圆上两点，∠AOC＝130°，则∠D等于()A．25°B．30°C．35°D．50°解析：本题考查同弧所对圆周角与圆心角的关系．∵∠AOC＝130°，∠AOB＝180°，∴∠BOC＝50°，∴∠D＝25°.故选A.方法总结：在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．【类型二】同弦所对圆周角中的分类讨论思想已知⊙O 的弦AB 长等于⊙O 的半径，求此弦AB 所对的圆周角的度数．解析：弦AB 的长恰好等于⊙O 的半径，则△OAB 是等边三角形，则∠AOB ＝60°.而弦AB 所对的弧有两段，一段是优弧，一段是劣弧，因此本题要分类讨论．解：分下面两种情况：如图①所示，连接OA ，OB ，在⊙O 上任取一点C ，连接CA ，CB .∵AB ＝OA ＝OB ，∴∠AOB ＝60°，∴∠ACB ＝12∠AOB ＝30°.即弦AB 所对的圆周角等于30°.如图②所示，连接OA ，OB ，在劣弧上任取一点D ，连接AD ，OD ，BD ，则∠BAD ＝12∠BOD ，∠ABD ＝12∠AOD .∴∠BAD ＋∠ABD ＝12(∠BOD ＋∠AOD )＝12∠AOB .∵AB 的长等于⊙O 的半径，∴△AOB 为等边三角形，∠AOB ＝60°.∴∠BAD ＋∠ABD ＝30°，∠ADB ＝180°－(∠BAD ＋∠ABD )＝150°，即弦AB 所对的圆周角为150°.综上所述，弦AB 所对的圆周角的度数是30°或150°.方法总结：本题考查了等边三角形的判定和性质、圆周角定理和圆内接四边形的性质．要注意的是弦AB 所对的圆周角有两种情况，需分类讨论，解题时可分别作图，结合图形求解，以免漏解．探究点二：圆周角定理的推论【类型一】 利用圆周角定理的推论1解题如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O 的圆心O 在格点上，则∠AED 的正切值等于( )A.55B.255 C ．2 D.12解析：根据同弧或等弧所对的圆周角相等来求解，∵∠E ＝∠ABD ，∴tan ∠AED ＝tan ∠ABD ＝ AC AB ＝12.故选D. 方法总结：解题的关键是在同圆或等圆中，相等的两条弧所对的圆周角也相等．注意与三角函 【类型二】 利用圆周角定理的推论2解题如图所示，已知△ABC 的顶点在⊙O 上，AD 是△ABC 的高，AE 是⊙O 的直径，求证：∠BAE ＝∠CAD .解析：连接BE 构造Rt △ABE ，由AD 是△ABC 的高得Rt △ACD ，要证∠BAE ＝∠CAD ，只要证出它们的余角∠E 与∠C 相等，而∠E 与∠C 是同弧AB 所对的圆周角．证明：连接BE ，∵AE 是⊙O 的直径，∴∠ABE ＝90°，∴∠BAE ＋∠E ＝90°.∵AD 是△ABC 的高，∴∠ADC ＝90°，∴∠CAD ＋∠C ＝90°.∵AB ︵＝AB ︵，∴∠E ＝∠C .∵∠BAE＋∠E ＝90°，∠CAD ＋∠C ＝90°，∴∠BAE ＝∠CAD .方法总结：涉及直径时，通常是利用“直径所对的圆周角是直角”来构造直角三角形，并借助直角三角形的性质来解决问题．三、板书设计1．圆周角的概念2．圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．3．圆周角定理的推论推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．教学过程中，经历圆周角定理及其推论的探究，使学生掌握圆周角的相关性质；配合练。
圆周角定理的推论
圆周角定理的推论
圆周角定理指出了封闭图形中两个角的平行边之间的角的大小，可以用公式表示如下：
内角和 = 封闭图形中真实角的总和 - 360°
圆周角定理可以根据某些假设推出许多有用的结论。
一般来讲，由某一条边把图形分
割成两部分，图形中所有的角构成的闭合图形的内角和等于上面的定理中的表达式。
另外，如果一个图形有m条边，那么它的总角度数等于180（m - 2）。
例如，考虑一个六边形。
由定理可以推出，六边形的内角和等于720°，显然，它的
每一个角等于120°，证明了定理的准确性。
另外，如果在一个多边形中用一条边将其分
割为两个三边形，那么两个三边形内角和应该等于360°，三角形每一个内角应该等于180°/3 = 60°。
此外，如果一个图形中每个内角都相等，该图形是正多边形；正多边形中每个内角等
于（180•（n-2））/ n，其中n是多边形边数。
同样，如果图形中有两个内角是等腰三角形，那么其余一个内角的角度就是90°；若有四个等腰三角形，那么其他两个内角角度分别等于120°和30°。
由圆周角定理也可以推出，当一个图形三边框围时，其内角和等于180°；两个角等
于120°和60°；多边形三边框围时，其内角和等于270°；其余的内角等于80°和110°。
总而言之，圆周角定理为图形的绘制和多边形的构造提供了有用的信息。
圆周角定理
从几何学的角度给出了许多有用的结果和信息，并可以用于各种形状的几何图案的绘制。
圆周角定理及推论1
曲方园
学习目标
1 理解圆周角概念 理解圆周角定理及其推论，
2 并能进行相关的证明和计算
温故
圆心角 概念
顶点在圆心的角
圆心角、
关系
弧、弦
O.
A
B
在同圆或等圆中，有一组量相 等，其余各组量也分别相等
知新
圆心角 概念
顶点在圆心的角
O.
A
B
概念 圆周角
顶点在圆上，并且两边 都与圆相交 的角
相交于点 P,A 42,APD 77 ，则 B _3_5
B C
P
A
D
课 堂 1个概念，1个定理，2个推论 小 分类讨论和化一般为特殊的化归思想 结
巩固反馈
1.如图，在⊙O 中，∠ABC=50°，
则∠AOC 等于（ D ）
A、50°；
B、80°；
C、90°；
D、100°
巩固反馈
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等
练
如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD
的对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是
相等的角？
探究
半圆（或直径）所对的圆周角有什么特殊性?
推 对问∠题的论C1圆22：、：周如∠半图C角3圆，的是A度（B直是数或角⊙是直O_，的_径9_0直_°_）径_ 所，请问：∠C1、 是问直90直题径角圆2：。，周那若角么∠所∠C1A、对OB∠的是C12弦、80是∠°，C3
A6 A...
B
C
同一条弧所对的圆周角有无数个
探究
根据圆周角与圆心的位置关系进行分类
猜想：圆 一条周弧角所与对圆的心圆角周的角大等小于关它系所对 的圆心角的一半
圆周角定理及其推论的证明和应用
圆周角定理及其推论的证明和应用《圆周角定理及其推论的证明和应用》
圆周角定理又被称为“角定律”，是不论圆弧大小都成立的一个数学公理，它指出圆形中任意大小的圆弧所对应的圆心角之和，都是 360 度。
这一定理被著名数学家费马正式地证明。
圆周角定理表明，圆心角累加360度，任意两个圆心角之间的圆弧相连，形成一个封闭的面。
根据其特点，学者们推导出了以下几个推论：全角相等推论、全边相等推论、定点外接圆内接圆推论、正多边形五边形内角之和推论、外角等于内角和推论、立体角之和推论等。
圆周角定理及其推论的证明和应用，主要是在几何中，这些定理及其推论也被广泛应用到绘图，比如构造一个正多角形及相关图形，解决正多角形有关问题，画出平行线，学习平面三角函数等。
例如利用圆周角定理及其推论，可以将人们自然认定的几何图形（如梯形、多边形等），实际转化为一组有效的数学公式，以绘制直观的几何图形，从而解决数学问题。
总之，圆周角定理与其相关的推论，是构成数学的一项重要基础，在几何中有着广泛的应用，在数学中起到至关重要的作用，是值得大家及早去学习和掌握的重要内容。
第一章 §2 2.1 圆周角定理
2．1 圆周角定理对应学生用书P12]1．圆周角定理(1)文字语言：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．(2)符号语言：在⊙O BAC，∠BOC，则有∠BAC＝∠BOC＝(3)图形语言：如图所示．2．圆周角定理的推论(1)推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．(2)推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弧是半圆．1．圆周角定理中圆周角与圆心角所对的弧是同一段弧吗？提示：一定对着同一条弧才能有定理中的数量关系．2．推论1中若把“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论还成立吗？提示：不成立．因为一条弦所对的圆周角有两种可能，在一般情况下是不相等的．对应学生用书P13]利用圆周角定理解决计算问题[例1][思路点拨] 本题主要考查圆周角定理．顶点A的位置不确定，所以点A和圆心O可能在BC的同侧，也可能在BC的异侧．[精解详析] (1)当点A和圆心O在BC的同侧时，如图①所示．∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.∵∠OBC＝35°，∴∠BOC＝180°－2∠OBC＝110°.∴∠BAC＝∠BOC＝55°.(2)当点A和圆心O在BC的异侧时，如图②所示．设P为圆上与圆心O在BC的同侧一点，连接PB，PC.∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.∵∠OBC＝35°，∴∠BOC＝180°－2∠OBC＝110°.∴∠BPC＝∠BOC＝55°.∴∠BAC＝180°－∠BPC＝180°－55°＝125°.综上所得，∠A的度数是55°或125°.使用圆周角定理时，一定要注意“同一条弧”所对的圆周角与圆心角这一条件．1．如图，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A＝50°，则∠OCD的度数是( )A．40° B．25°C．50° D．60°解析：选A 连接OB.因为∠A＝50°，所以BC弦所对的圆心角∠BOC＝100°，∠COD＝∠BOC＝50°，∠OCD＝90°－∠COD＝90°－50°＝40°.所以∠OCD＝40°.[例2] 如图，已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC，交AC于D，BC＝4 cm.(1)试判断OD与AC的关系；(2)求OD的长；(3)若2sin A－1＝0，求⊙O的直径．[思路点拨] 本题主要考查圆周角定理推论2的应用．解题时，可判断∠ACB＝90°.利用OD∥BC可得OD⊥AC.用相似可得OD的长，由边角关系可求⊙O的直径．[精解详析] (1)∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵OD∥BC，∴∠ADO＝∠ACB＝90°，∴OD⊥AC.(2)∵△AOD∽△ABC，∴＝＝，∴OD＝BC＝×4＝2(cm)．(3)∵2sin A－1＝0，∴sin A＝.∵sin A＝，∴＝，∴AB＝2BC＝2×4＝8(cm)．“半圆(直径)所对的圆周角是直角，和直径能构成直角三角形”这一性质应用广泛，解题时注意直角三角形中有关定理的应用．本例的条件变为：“弦AC＝4，BC＝3，CD⊥AB于D”，求CD.解：由勾股定理知AB＝5，∵S△ACB＝AC·BC＝AB·CD，∴3×4＝5×CD，∴CD＝.利用圆周角定理解决证明问题[例3]E，求证：AE ＝BE.[思路点拨] 本题主要考查利用圆周角定理证明问题．解题时只需在△ABE中证明∠ABE＝∠EAB.而要证这两个角相等，只需借助∠ACB即可．[精解详析] ∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC为直角，又AD⊥BC，∴Rt△BDA∽Rt△BAC.∴∠BAD＝∠BCA.FBA＝∠ACB.∴∠BAD＝∠FBA.∴△ABE为等腰三角形．∴AE＝BE.有关圆的题目中，圆周角与它所对的弧及弦可以相互转化．即欲证圆周角相等，可转化为证明它们所对的弧相等．要证线段相等可以转化为证明它们所对的弧相等．这是证明圆中线段相等的常用方法．2．如图，AB是⊙O的直径，C为圆周上一点，∠ABC＝30°，⊙O过点B的切线与CO的延长线交于点D.求证：(1)∠CAB＝∠BOD.(2)△ABC≌△ODB.证明：(1)因为AB是⊙O的直径，所以∠ACB＝90°，由∠ABC＝30°，所以∠CAB＝60°.又OB＝OC，所以∠OCB＝∠OBC＝30°，所以∠BOD＝60°，所以∠CAB＝∠BOD.(2)在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，得AC＝AB，又OB＝AB，所以AC＝OB.由BD切⊙O于点B，得∠OBD＝90°.在△ABC和△ODB中，所以△ABC≌△ODB.本课时主要考查圆周角定理及推论的计算与证明问题，难度中档．[考题印证]如图，AB是圆O的直径，D，E为圆O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使BD＝DC，连接AC，AE，DE.求证：∠E＝∠C.[命题立意]本题主要考查圆周角定理的推论及平行线的性质．[自主尝试] 连接OD，因为BD＝DC，O为AB的中点，所以OD∥AC，于是∠ODB＝∠C.因为OB＝OD，所以∠ODB＝∠B.于是∠B＝∠C.因为点A，E，B，D都在圆O上，且D，E为圆O上位于AB异侧的两点，所以∠E和∠B为同弧所对的圆周角，故∠E＝∠B.所以∠E＝∠C.对应学生用书P14]一、选择题1.如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，∠BCD＝25°，则下列结论错误的是( )A．AE＝BE B．OE＝DEC．∠AOD＝50° D．D解析：选B 因为CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，AE＝BE，因为∠BCD＝25°，所以∠AOD＝2∠BCD＝50°，故A，C，D正确，B不能得证．2．如图所示，AB是⊙O的直径，C AC＝8，BC＝6，则⊙O的半径r等于( )A． B．5C．10 D．不确定解析：选B 由已知得∠ACB＝90°，∴AB＝＝10，即2r＝10，r＝5.3.如图，直径为10的⊙C经过点A(0,5)和点O(0,0)，B是y轴右侧⊙C弧上一点，则cos∠ABO的值为( )A． B．C． D．解析：选B 法一：设⊙C与x轴另一个交点为D，连接AD，如图所示：因为∠AOD＝90°，所以AD为⊙C的直径，又因为∠ABO与∠ADO为圆弧AO所对的圆周角，所以∠ABO＝∠ADO，又因为A(0,5)，所以OA＝5，在Rt△ADO中，AD＝10，AO＝5，根据勾股定理得：OD＝＝5.所以cos∠ABO＝cos∠ADO＝＝＝，故选B.法二：连接CO，因为OA＝5，AC＝CO＝5，所以△ACO为等边三角形，∠ACO＝60°，∠ABO＝∠ACO＝30°，所以cos∠ABO＝cos 30°＝.4．已知P R都在弦AB的同侧，且点P Q的圆内，点R(如图)，则( )A．∠AQB<∠APB<∠ARBB．∠AQB<∠ARB<∠APBC．∠APB<∠AQB<∠ARBD．∠ARB<∠APB<∠AQB解析：选D 如图所示，延长AQ交圆O于点C，设AR与圆O相交于点D，连接BC，BD，则有∠AQB>∠ACB，∠ADB>∠ARB.因为∠ACB＝∠APB＝∠ADB，所以∠AQB>∠APB>∠ARB.二、填空题5.如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOC＝60°，则∠ABC的度数是．解析：因为∠AOC＝60°，所以弧ABC的度数为60°，AC对的优弧的度数为360°－60°＝300°，所以∠ABC＝150°.答案：150°6.如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，∠B＝60°，∠BOD＝100°，则∠C的度数为．解析：因为∠BOD＝100°，所以∠A＝∠BOD＝50°.因为∠B＝60°，所以∠C＝180°－∠A－∠B＝70°.答案：70°7.如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D在⊙O 上，∠ADC＝68°，则∠BAC＝ .解析：因为AB是圆O的直径，所以弧ACB的度数为180°，它所对的圆周角为90°，所以∠BAC＝90°－∠ABC＝90°－∠ADC＝90°－68°＝22°.答案：22°8.如图，在半径为2 cm的⊙O内有长为2 cm的弦AB，则此弦所对的圆心角∠AOB为．解析：作OC⊥AB于C，则BC＝，在Rt△BOC中，∵OC＝＝＝1(cm)，∴＝，∴sin∠B＝，∠B＝30°，∴∠BOC＝60°，∴∠AOB＝120°.答案：120°三、解答题9.如图，在⊙O中，弦AB＝16，点C在⊙O上，且sin C＝.求⊙O的半径长．解：作直径AD，连接BD，则∠ABD＝90°，∠D＝∠C.因为sin C＝，所以sin D＝.在Rt△ABD中，sin D＝＝，又因为AB＝16，所以AD＝16×＝20，所以OA＝AD＝10，即⊙O的半径长为10.10．如图，已知在⊙O中，直径AB为10 cm，弦AC为6 cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC，AD和BD的长．解：因为AB为直径，所以∠ACB＝∠ADB＝90°.在Rt△ABC中，BC＝＝＝8(cm)．因为CD平分∠ACB，所以△ADB为等腰三角形．所以AD＝BD＝AB＝×10＝5(cm)．11.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点N，点M在⊙O上，∠1＝∠C.(1)求证：CB∥MD.(2)若BC＝4，sin M＝，求⊙O的直径．解：(1)证明：因为∠C与∠M是同一弧所对的圆周角，所以∠C＝∠M.又∠1＝∠C，所以∠1＝∠M，所以CB∥MD(内错角相等，两直线平行)．(2)由sin M＝知，sin C＝，所以＝，BN＝×4＝.由射影定理得：BC2＝BN·AB，则AB＝6.所以⊙O的直径为6.。
圆周角定理及其推论的证明
圆周角定理及其推论的证明1. 引言说到数学，大家的第一反应可能就是那些看起来复杂的公式，脑袋一团浆糊。
但其实，数学有时候就像一杯清爽的柠檬水，喝下去后让你清新无比！今天我们来聊聊一个非常经典而又简单易懂的知识点——圆周角定理。
想象一下，如果把数学比作一场派对，那么圆周角定理就是那位人人都想要和他搭讪的明星！那么，什么是圆周角定理呢？简单来说，就是在一个圆里，任何一个圆周角的度数等于它所对的弦所夹的中心角的一半。
这个定理可谓是数学界的小明星，闪耀着自己的光芒，吸引着无数人的目光。
2. 圆周角定理的证明2.1 先来个简单的图示好了，咱们先准备好纸和笔，来画个图。
想象一个圆，圆心叫 O，任意选两个点 A 和 B，连接起来形成一条弦。
然后，随便找个点 C，在圆的边上，形成一个圆周角∠ACB。
接下来，我们再从圆心O 向A 和B 连线，这样就形成了两个中心角：∠AOB。
接下来，我们就要通过一些小技巧来证明这个定理。
这里面可有趣了！2.2 把复杂变简单首先，我们知道，中心角∠AOB 的度数是与弦 AB 所对应的圆周角∠ACB 的两倍。
那为什么会这样呢？我们来试试从几何的角度分析一下。
当我们把 OA 和 OB 这两条线延长，就能把圆周角的顶点 C 和中心 O 连接起来。
这样，我们就能看到，∠ACB 是一个小角，而∠AOB 是个大角。
简单来说，∠AOB 就像是∠ACB 的“老大”，他可得分配个更大的份额，毕竟他是两条线夹起来的嘛！于是，大家就明白了：∠ACB = 1/2 ×∠AOB，这就是我们所说的圆周角定理啦！3. 推论与应用3.1 推论一：相等的圆周角现在我们说说这个定理的一个有趣推论。
你们知道吗？如果在同一个圆内，任意两条弦所对的圆周角相等，那么这两条弦必定相等。
这就像是“只要你有我有，大家都是好朋友”的道理！试想一下，假如你和朋友都穿着同样的衣服出门，别人会不会觉得你们很像？其实，圆周角也有这样的“搭档”，它们总是能通过弦的长度互相呼应。
最新1、圆周角定理及推论
一、圆周角定理：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半已知在⊙O中，∠BOC与圆周角∠BAC对同弧BC，求证：∠BOC=2∠BAC。
以下分五种情况证明【证明】情况1：当圆心O在∠BAC的内部时：图1连接AO，并延长AO交⊙O于D解：OA=OB=OC（OA、OB、OC是半径）∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等腰三角形底角相等）∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD（∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角，而三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和）∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC【证明】情况2：当圆心O在∠BAC的外部时：图2连接AO，并延长AO交⊙O于D，连接OB、OC。
解：OA=OB=OC（OA、OB、OC是半径）∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等腰三角形底角相等）∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD（∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角，而三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和）∴∠BOC=∠COD-∠BOD=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC【证明】情况3：当圆心O在∠BAC的一边上时，即A、O、B在同一直线上时：图3∵OA、OC是半径解：∴OA=OC∴∠BAC=∠OCA（等边对等角）∴∠BOC=∠BAC+∠OCA=2∠BAC（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，由AB 为平角180°、三角形△AOC内角和为180°得到。
）【证明】情况4：圆心角等于180°：圆心角∠AOB=180°，圆周角是∠ACB，∵∠OCA=∠OAC=21∠BOC （BC弧）∠OCB=∠OBC=21∠AOC （AC弧）∴∠OCA+∠OCB=（∠BOC+∠AOC）/2=90度∴∠AOB2=∠ACB【证明】情况5：圆心角大于180°：图5圆心角是（360°-∠AOB），圆周角是∠ACB，延长CO交园于点E，∠CAE=∠CBE=90°（圆心角等于180°）∴∠ACB+∠AEB=180°，即∠ACB=180°-∠AEB∵∠AOB=2∠AEB∴360°-∠AOB=2（180°-∠AEB）=2∠ACB二、圆周角定理的推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等。
第1课时 圆周角定理及推论1
(2)求证:∠1=∠2.
【导2)证明:因为 BC=DC,所以 B»C = C»D , 所以∠BAC=∠CBD,
因为 EC=BC,所以∠CEB=∠CBE, 因为∠CEB=∠1+∠BAC,∠CBE=∠2+∠CBD, 所以∠1+∠BAC=∠2+∠CBD, 所以∠1=∠2.
证明:(1)因为∠ABC=∠ADB,所以 »AC = »AB .所以 AB=AC. (2)因为∠CAD=∠CBD,∠ACD=∠ABD,∠CAD=∠ACD,所以 ∠ABD=∠CBD. 所以BD平分∠ABC.
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【导学探究】 1.由AB∥CD可得∠BCD= ∠ABC .
2. B»D 所对的圆心角是 ∠BOD
∠BCD= 1 ∠BOD
系是
2
.
,所对的圆周角是
∠BCD
,两者之间的关
解:因为 AB∥CD,所以∠BCD=∠ABC=40°, 因为∠BCD= 1 ∠BOD,
2 所以∠BOD=2∠BCD=80°.
运用圆周角定理时注意 (1)定理中的圆周角与圆心角所对的弧是同一条弧; (2)从数量关系上看,圆周角的度数等于圆心角度数的一半,换而言之,圆心角 的度数等于圆周角度数的2倍.
3.如图,在☉O中,OC⊥AB,∠ADC=32°,则∠OBA的度数是( D ) (A)64° (B)58° (C)32° (D)26°
4.(2019湖州)已知一条弧所对的圆周角的度数是15°,则它所对的圆心角的 度数是 30° .
5.已知点A,B,C,D四点在☉O上. (1)若∠ABC=∠ADB,求证:AB=AC; (2)若∠CAD=∠ACD,求证:BD平分∠ABC.
24.3 第1课时 圆周角定理及其推论
圆周角定理推论1 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，
相等的圆周角所对的弧也相等.
AB
几何语言
∠CAD 和∠CGD 均是 CD 所对的
圆周角
CAD CGD C
CD EF
CAD EBF
E O
F G D
思考：如图，AC 是⊙O 的直径， D
则∠ADC = 90 °， ∠ABC = 90 °. A
有什么特点？
A
像∠A 这样，顶点在圆上，并
且两边都与圆还有另一个公共点
的角叫做圆周角.
B
O C
判断下列各图中的∠BAC 是否为圆周角，并简述理由.
B
B
C
A
C
O· A
O ·
·O
C A
是
A
顶点
A 不在圆上
B
边
B
AC
没有和圆相交
O· CA
B
顶点 A 不在圆上
CC ·O
是B
·O A
是
圆周角定理及其推论
观察与思考
又∵∠BAD =∠DCB = 30°，
A
∴∠APC =∠BAD +∠ADC = 30° + 70°
O PBห้องสมุดไป่ตู้
= 100°.
D
方法总结：在圆中，如果有直径，可考虑找直径所对的
圆周角，构造直角三角形解题．
P29 练习5证明：如果三角形一边上的中线等于该边的 一半，那么这个三角形是直角三角形
C
A
D
B
课堂小结 定义
O
C
B 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；90° 的
圆周角所对的弦是直径.
圆周角定理及其推论
在圆中，画一个角使其顶点在圆上， 并且两边都与圆还有另一个交点。
A A
A
A
你能仿照圆心角的定义给这个角起个名并下个定
义吗?
圆周角：顶 角点 叫在 圆圆 周上角，。两边都与圆还有另一个公共点的
圆中BC所对的圆周角与圆心角有几种位置关系？
A
O.
B
C
A
.OO
B
C
B
C
A
O.
C B
例.如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P， ∠ACD＝60°,∠ADC＝70°。求∠APC的度数．
解 ：连接BC, ∵ AB是⊙O的直径 ∴ ∠ACB＝ 90 ° ∵∠ACD＝60° ∴ ∠DCB ＝30°.
又 ∵ ∠BAD＝ ∠DCB=30° Nhomakorabea ∠APC＝∠BAD+∠ADC ＝30°+70° ＝100°．
C A OP B
D
直径条件常构造：90°的圆周角
知识内容：
圆周角定义 圆周角定理
推论1 推论2
数学思想方法： 类比思想、分类思想、划归方法等
1、习题24.3第2题、第3题． 2、《同步练习》24.3同步一
3、试找出下图中所有相等的圆周角
D
∠1=∠5
A1
87
3
2
6
54
B
C
∠2=∠6
∠3=∠7 ∠4=∠8
4、如图，AB是⊙O的直径，请问：
① ∠C1、∠C2、∠C3的度数是 90° 。
② 若∠C1、∠C2、∠C3是直角，则 ∠AOB= 180°。
C2 C1
C3
A
O
B
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径。
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2、如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD
A O D
C B
28.1.3圆周角
1、本节课我们学习了哪些知识？
2、本节课我们学习了哪些方法？
引辅助线的方法： （1）构造直径上的圆周角.
（2）构造同弧所对的圆周角.
28.1.3圆周角
作业：
4３页 ６ 、 ７.
思考题：
B O （1） A （2）
O
. O . Ａ B （3）
28.1.3圆周角
1、判断下列各图中，哪些是圆周角，为什么？
28.1.3圆周角
点A、B），那么，∠ACB就是直径AB所对的圆周角
∵OA=OB=OC ∴ ∠OAC= ∠OCA, ∠OBC= ∠OCB ∵ ∠OAC+ ∠ OBC+ ∠ ACB=180°, ∴ ∠ACB= ∠ OCA+ ∠ OCB=90°.
28.1.3圆周角
28.1.3圆周角
有一个没有圆心的圆，你能用所学知 识找到它的圆心吗？
方法一
C
A C O
B
A
O
B
D
导学提纲：
认知与探究：
简要提示：本节课要求掌握圆周角的定义及其性质.
28.1.3圆周角
阅读教材，回答下列问题：
1、 圆周角 叫做圆周角？你能在⊙O中画出几个圆周角吗？ 和圆心角有什么区别？
1 求证:∠ACB= 2
∠AOB. （1）圆心在圆周角的一条边上； （2）圆心在圆周角的内部; （3）圆心在圆周角的外部． A O A A
O
O
B
C
B C
B
C
28.1.3圆周角
（1）圆心O在圆周角的一条边上；
圆心O在∠BAC的一边上.
∵OA=OC， ∴∠A=∠C．
A
成立
∵∠BOC=∠A+∠C
O
·
C
∴∠BOC=2∠A 即
28.1.3圆周角
如图，在⊙O中，AB为直径，CB = CF, 弦CG⊥AB，交AB于D，交BF于E． 求证：BE=EC
O
·
C B
导学归纳：
28.1.3圆周角
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角 相等 等于这条弧所对的圆心角的一半．
90°的圆周角所对的弦是圆的直径.
疑难探究：
28.1.3圆周角
如果两个圆周角相等，它们所对弧一定相 等吗？为什么？
C A B A` B` C`
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它 们所对的弧一定相等．
2、半圆或直径所对的圆周角，你能在⊙O中画出这样的圆周角吗？ 并判断出这个角的度数是 °.如何用逻辑推理求出这个角的度数. ⌒ 3、在⊙O中AB所对的圆周角有 个.任意画出几个，并测量这几 个角的度数，你有什么发现？ ⌒ 4、你能画出AB所对的圆心角吗？用量角器测量一下它的度数，并 观察与它所对的圆周角有什么关系.说说你有什么发现?
C
28.1.3圆周角
6
A O P B
10
D
反馈训练：
28.1.3圆周角
1、如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边 形的对角线把４个 内角分成８个角，这些角中 哪些是相等的角？
D 8 A 1 2 3 B 6 4 5 C 7
反馈训练：
到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？为什 么？
28.1.3圆周角
例题精讲 例1: 如图，AB是⊙O的直径，∠A=80°. 求∠ABC 的度数.
28.1.3圆周角
A O
C
B
例题精讲 例2:试分别求出图中∠X的度数.
B D 60° E X 30° C
28.1.3圆周角
X
20° A
例题精讲： 例3: 如图，AB是⊙O的直径AB=10cm,弦 AC=6cm,∠ACB的平分线交⊙O于点D . 求 BC, AD ,BD 的长.
C A O B
D
半圆（或直径）所对的圆周角都相等， 都等于90°﹝直角﹞.
C A
E
·
O
B
28.1.3圆周角
同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数
等于这条弧所对的圆心角的度数的一半.成立吗？
C
D O
·
B F
A E
合作学习，小组讨论：
28.1.3圆周角
同弧所对圆周角与圆心角的关系
已知:在⊙O中,AB所对的圆周角是∠ACB,所对的圆心角是 ∠AOB.
·
C
B D
28.1.3圆周角
（3）圆心O在圆周角的外部．
圆心O在∠BAC的外部，作直径AD，利用（１）的结果，有
1 BAD BOD 2 1 DAC DOC 2 1 DAC DAB (DOC DOB) 2
成立
A
1 BAC BOC 2 可得出：同弧所对的圆周角都等于它所对 D 圆心角的一半.既然这样同弧所对的圆周 角也都是相等的.
B
1 A BOC 2
28.1.3圆周角
（2）圆心O在圆周角的内部．
圆心O在∠BAC的内部，作直径AD，利用（１）的 结果，有
1 BAD BOD 2
1 DAC DOC 2
成立
A
1 BAD DAC (BOD DOC ) 2
1 BAC BOC 2
O