黑龙江省鹤北林业局高级中学2013-2014学年高二数学上学期末联考试题(A)文

黑龙江省鹤北林业局高级中学2013-2014学年高二数学上学期末联考试题（A ）文1．已知命题p ：∃n ∈N,2n ＞1 000，则﹁p 为( )A ．∃n ∈N,2n ＜1 000B ．∀n ∈N,2n ＞1 000C ．∃n ∈N,2n ≤1 000D ．∀n ∈N,2n ≤1 0002．在2013年1月15日那天，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行了调查，5家商场的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：价格x 9 9.5 10 10.5 11 销售量y1110865由散点图可知，销售量y 与价格x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线的方程是y ^＝－3.2x ＋a ，则a ＝ ( )A ．－24B ．35.6C ．40.5D ．403．四边形ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点．在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为 ( )A.π4 B ．1－π4 C.π8 D ．1－π84．某算法的程序框图如图所示，则输出的S 的值为 ( ) A.2 0112 012 B.2 0124 025 C.2 0134 024D.2 0134 0255．某同学4次月考的数学成绩的茎叶图如图，则该同学数学成绩的方差是（ ）A ．125B ．5 5C ．45D ．3 5 6、有下列四个命题①“若x ＋y ＝0，则x 、y 互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q ≤1，则x 2＋2x ＋q ＝0有实根”的逆否命题； ④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题。

其中真命题为（ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④7．AB 是抛物线y 2＝2x 的一条焦点弦，|AB|=4，则AB 中点C 的横坐标是( ) A ．2B ．12C ．32D ．528．若函数f (x )满足f (x )＝13x 3－f ′(1)·x 2－x ，则f ′(1)的值为( )A ．0B ．2C ．1D ．－19已知g (x )为三次函数f (x )＝a3x 3＋a2x 2－2ax (a ≠0)的导函数，则它们的图象可能是（ ）12．下列命题正确的是（ ）①椭圆c c b e b a by a x (,22)0(12222==>>=+则的离心率为半焦距）。

②双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦点到渐近线的距离为b 。

③已知抛物线y 2＝2px 上两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)且OA ⊥OB(O 为原点),则y 1y 2＝－p 2。

A ．②③ B ．① C ．①② D ．①③第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在横线上)13、为规范学校办学，省教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查．抽到的班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应是 。

14.已知f(x)在x=x0处可导,则'0()0f x =是函数()f x 在点0x 处取极值的 条件。

15.已知圆x 2+y 2－6x －7=0与抛物线y 2=2px （p >0）的准线相切，则抛物线的焦点坐标是 。

16．若1F 、2F 为双曲线C : 1422=-y x 的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，∠21PF F =︒60，则P 到x 轴的距离为 。

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分)为庆祝国庆，某中学团委组织了“歌颂祖国，爱我中华”知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩(成绩均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后画出如图所示的部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题．(1)求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图； (2)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分．18.（本题满分12分）已知p ：方程x 2＋m x ＋1＝0有两个不等的负实根，q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1 ＝0无实根。

若：p 或q 为真，p 且q 为假。

求实数m 的取值范围。

19、(本题满分12分)已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，其准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点；又抛物线与双曲线的一个交点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－6，求抛物线和双曲线的方程． 20、(本题满分12分)已知椭圆G ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的离心率为63，右焦点为(22，0)． 斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3,2)． (1)、求椭圆G 的方程；(2)、求△PAB 的面积．21．(本题满12分)已知f (x )＝ax －ln x ，x ∈(0，e]，g (x ) ＝ln xx，（e 是自然常数，a ∈R .）(1)讨论a ＝1时，f (x )的单调性、极值； (2)求证：在(1)在条件下，f (x )>g (x )＋12；(3)是否存在实数a ，使f (x )的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．22．(本题满分12分)设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 、B ，点P 在椭圆上且异于A ，B 两点，O 为坐标原点．(1)若直线AP 与BP 的斜率之积为－12，求椭圆的离心率；(2)若|AP |＝|OA |，证明直线OP 的斜率k 满足|k |> 3. 鹤北林业高级中学 一、选择题DDBBC CCADB DC 二、填空题13. 20 14. 必要不充分 15. (1,0) 16.155三、解答题18解：由题意p ,q 中有且仅有一为真，一为假，....................................................................2分p真12120010x x m x x ∆>⎧⎪⇔+=-<⎨⎪=>⎩⇔m>2，.......................................................................................4分q真⇔∆<0⇔1<m<3,...............................................................................................................6分 若p 假q 真，则213m m ≤⎧⎨<<⎩⇔1<m ≤2；.................................................................................8分 若p 真q 假，则213m m a m >⎧⎨≤≥⎩或⇔m ≥3；.......................................................................10分综上所述：m ∈(1,2]∪[3，+∞)．.............................................12分19.解 ∵抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个交点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－6，∴设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，。

2分将点M 坐标代入得p ＝2，∴y 2＝4x ，其准线为x ＝－1，。

4分 ∵抛物线的准线过双曲线的一个焦点，∴双曲线的焦点为(±1,0)。

6分且点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－6在双曲线上，代入双曲线方程且c 2＝a 2+b 2,。

8分解得a 2＝14，b 2＝34，。

10分∴双曲线的方程为4x 2－4y23＝1..。

12分20.解：(1)由已知得，=22c ，6=3c a ．解得=23a ．....................................2分又b 2＝a 2－c 2＝4，所以椭圆G 的方程为22=1124x y +． .......................................4分(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ．由22==1124y x m x y +⎧⎪⎨+⎪⎩，得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0．①.............................6分 设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1＜x 2)，AB 中点为E (x 0，y 0)， 则1203==24x x m x +-，y 0＝x 0＋m ＝4m． 因为AB 是等腰△PAB 的底边，所以PE ⊥AB ．所以PE 的斜率24==1334mk m ---+． 解得m ＝2．满足方程①中∆>0.....................................8分此时方程①为4x 2＋12x ＝0．解得x 1＝－3，x 2＝0．所以y 1＝－1，y 2＝2． 所以|AB |＝32．........................................................................................................10.分此时，点P (－3,2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离为|322|32==22d --+， 所以△PAB 的面积S ＝12|AB |·d ＝92．...................................................................12分 21解：(1)∵f (x )＝x －ln x ，f ′(x )＝1－1x ＝x －1x，∴当0<x <1时，f ′(x )<0，此时f (x )单调递减；当1<x <e 时，f ′(x )>0，此时f (x )单调递增． ∴f (x )的极小值为f (1)＝1.。

3分(2)∵f (x )的极小值为1，即f (x )在(0，e]上的最小值为1，∴f (x )min ＝1，。