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新知初探 合作探究 规律方法 趁热打铁
新 第知 一初 部探 分
1 新知初探
分段函数 如果函数 y＝f(x)，x∈A，根据自变量 x 在 A 中不同的取值范围，有着 不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数． 思考：分段函数是一个函数还是几个函数？
提示：分段函数是一个函数，而不是几个函数．
1 新知初探
2 合作探究
∵1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)， ∴a＝1符合题意． 当a≥2时，2a－1＝3，即a＝2符合题意． 综上可得，当f(a)＝3时，a＝1或a＝2.
规 第律 三方 部法 分
3 规律方法
1．分段函数求函数值的方法： (1)确定要求值的自变量属于哪一段区间． (2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现 f(f(x0))的形式时， 应从内到外依次求值．
f(－ 3)＝(－ 3)2＋2×(－ 3)＝3－2 3. ∵f－52＝－52＋1＝－32， 而－2<－32<2， ∴ff－52＝f－32＝－322＋2×－32＝94－3＝－34.
2 合作探究
(2)当 a≤－2 时，a＋1＝3， 即 a＝2>－2，不合题意，舍去． 当－2<a<2 时，a2＋2a＝3， 即 a2＋2a－3＝0. ∴(a－1)(a＋3)＝0， 解得 a＝1 或 a＝－3.
3 规律方法
2．已知函数值求字母取值的步骤： (1)先对字母的取值范围分类讨论． (2)然后代入不同的解析式中． (3)通过解方程求出字母的值． (4)检验所求的值是否在所讨论的区间内． 提醒：求某条件下自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区 间的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验．
1．下列给出的式子是分段函数的是( ) ①f(x)＝x22x＋，1x，<11.≤x≤5， ②f(x)＝xx＋2，1x，≥x2∈. R，
1 新知初探
③f(x)＝2x2x，＋x3≤，11.≤x≤5，
x2＋3，x<0， ④f(x)＝x－1，x≥5.
A．①②
B．①④
C．②④
D．③④
B [结合分段函数的定义可知①④是分段函数，②③中不同对应关系 的定义域有重叠部分，故选 B.]
[思路点拨] 可按点E所在的位置分E在线段AB，E在线段AD及E在线 段CD三类分别求解．
4 趁热打铁
[解] 过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H. 因为四边形ABCD是等腰梯形，底角为45°，AB＝2 2 cm， 所以BG＝AG＝DH＝HC＝2 cm， 又BC＝7 cm，所以AD＝GH＝3 cm. (1)当点F在BG上，即x∈[0,2]时，y＝12x2； (2)当点F在GH上，即x∈(2,5]时，y＝x＋x2－2×2＝2x－2；
4 趁热打铁
[解] 设票价为y元，里程为x公里，定义域为(0,20]． 由题意得函数的解析式如下：
2，0<x≤5， y＝34，，51<0<x≤x≤101，5，
5，15<x≤20. 函数图象如图所示：
4 趁热打铁
1．分段函数是一个函数，而不是几个函数． 2．分段函数求值要先找准自变量所在的区间；分段函数的定义域、 值域分别是各段函数的定义域、值域的并集． 3．分段函数的图象 分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成．在同一直角坐标系中， 根据分段函数每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意确定每段图 象的端点是空心点还是实心点，各段函数图象组合到一起就可得到整个分 段函数的图象．
图象如图所示．
4 趁热打铁
1．当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函 数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画．
2．通过本例让学生初步尝试用分段函数解决实际问题的意识，培养 学生的建模素养．
4 趁热打铁
2．某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： (1)5公里以内(含5公里)，票价2元； (2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计 算)． 如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之 间的函数解析式，并画出函数的图象．
3 规律方法
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1．函数 f(x)＝xf－fx3＋，5x≥，1x0<，10， 则 f(7)＝________.
8 [∵函数 f(x)＝ x－3，x≥10， ffx＋5，x<10，
∴f(7)＝f(f(12))＝f(9)＝f(f(14)) ＝f(11)＝8.]
趁 第热 四打 部铁 分
4 趁热打铁
【例2】 如图所示，已知底角为45°的等腰梯形 ABCD，底边BC长为7 cm，腰长为2 2 cm，当垂直于 底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有 公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BF＝x，试写出左边部分的面积 y关于x的函数解析式，并画出大致图象．
1 新知初探
2．函数 y＝x－，xx，≥x0＜，0 的值域 是________．
3．函数 f(x)＝x－＋x1＋，3，x≤x>1，1， 则 f(f(4))＝________.
0 [∵f(4)＝－4＋3＝－1，f(－ 1)＝－1＋1＝0，
∴f(f(4))＝f(－1)＝0.]
合 第作 二探 部究 分
4 趁热打铁
(3)当点F在HC上，即x∈(5,7]时，y＝S五边形ABFED＝S梯形ABCD－SRt△CEF＝12 (7＋3)×2－12(7－x)2＝－12(x－7)2＋10.
综合(1)(2)(3)，得函数的解析式为 12x2，x∈[0，2]，
y＝2x－2，x∈2，5]， －12x－72＋10，x∈5，7].
高一年级数学
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2 合作探究
【例 1】
x＋1，x≤－2，
已知函数 f(x)＝x2＋2x，－2<x<2， 2x－1，x≥2.
(1)求 f(－5)，f(－ 3)，ff－52的值； (2)若 f(a)＝3，求实数 a 的值．
2 合作探究
[解] (1)由－5∈(－∞，－2]，－ 3∈(－2,2)，－52∈(－∞，－2]，知 f(－5)＝－5＋1＝－4，