2019届高三文科数学《5年高考3年模拟》：§8.5 直线、平面垂直的判定和性质 Word版含答案

§8.5直线、平面垂直的判定和性质考纲解读分析解读从近几年的高考试题来看,线线、线面、面面垂直的判定与性质是考查的重点之一.考查的具体内容可分为两个层次:一是将定义、判定和性质结合起来,以客观题的形式出现,判断某些命题的真假;二是以常见几何体为背景,以解答题的形式出现,证明几何体中的线和平面的垂直关系,充分考查线线、线面、面面之间的相互转化.分值约为6分,属中档题.(1)证明:由已知∠BAP=∠CDP=90°,得AB⊥AP,CD⊥PD.由于AB∥CD,故AB⊥PD,从而AB⊥平面PAD.又AB⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD.(2)在平面PAD内作PE⊥AD,垂足为E.由(1)知,AB⊥平面PAD,故AB⊥PE,可得PE⊥平面ABCD.设AB=x,则由已知可得AD=x,PE=x.故四棱锥P-ABCD的体积V P-ABCD=AB·AD·PE=x3.由题设得x3=,故x=2.从而PA=PD=2,AD=BC=2,PB=PC=2.可得四棱锥P-ABCD的侧面积为PA·PD+PA·AB+PD·DC+BC2·sin 60°=6+2.五年高考考点直线、平面垂直的判定与性质1.(2017课标全国Ⅲ,10,5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CD的中点,则( )A.A1E⊥DC1B.A1E⊥BDC.A1E⊥BC1D.A1E⊥AC答案 C2.(2014浙江,6,5分)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面( )A.若m⊥n,n∥α,则m⊥αB.若m∥β,β⊥α,则m⊥αC.若m⊥β,n⊥β,n⊥α,则m⊥αD.若m⊥n,n⊥β,β⊥α,则m⊥α答案 C3.(2017课标全国Ⅲ,19,12分)如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,AD=CD.(1)证明:AC⊥BD;(2)已知△ACD是直角三角形,AB=BD.若E为棱BD上与D不重合的点,且AE⊥EC,求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比.解析(1)证明:取AC的中点O,连接DO,BO.因为AD=CD,所以AC⊥DO.又由于△ABC是正三角形,所以AC⊥BO.从而AC⊥平面DOB,故AC⊥BD.(2)连接EO.由(1)及题设知∠ADC=90°,所以DO=AO.在Rt△AOB中,BO2+AO2=AB2.又AB=BD,所以BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2,故∠DOB=90°.由题设知△AEC为直角三角形,所以EO=AC.又△ABC是正三角形,且AB=BD,所以EO=BD.故E为BD的中点,从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的,四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的,即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为1∶1.4.(2017江苏,15,14分)如图,在三棱锥A-BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD.求证:(1)EF∥平面ABC;(2)AD⊥AC.证明(1)在平面ABD内,因为AB⊥AD,EF⊥AD,所以EF∥AB.又因为EF⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,所以EF∥平面ABC.(2)因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,BC⊂平面BCD,BC⊥BD,所以BC⊥平面ABD.因为AD⊂平面ABD,所以BC⊥AD.又AB⊥AD,BC∩AB=B,AB⊂平面ABC,BC⊂平面ABC,所以AD⊥平面ABC.又因为AC⊂平面ABC,所以AD⊥AC.5.(2016课标全国Ⅰ,18,12分)如图,已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,PA=6.顶点P在平面ABC内的正投影为点D,D在平面PAB内的正投影为点E,连接PE并延长交AB于点G.(1)证明:G是AB的中点;(2)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由),并求四面体PDEF的体积.解析(1)证明:因为P在平面ABC内的正投影为D,所以AB⊥PD.因为D在平面PAB内的正投影为E,所以AB⊥DE.(2分)又PD∩DE=D,所以AB⊥平面PED,故AB⊥PG.又由已知可得,PA=PB,从而G是AB的中点.(4分)(2)在平面PAB内,过点E作PB的平行线交PA于点F,F即为E在平面PAC内的正投影.(5分)理由如下:由已知可得PB⊥PA,PB⊥PC,又EF∥PB,所以EF⊥PA,EF⊥PC,又PA∩PC=P,因此EF⊥平面PAC,即点F为E在平面PAC内的正投影.(7分)连接CG,因为P在平面ABC内的正投影为D,所以D是正三角形ABC的中心,由(1)知,G是AB的中点,所以D在CG上,故CD=CG.(9分)由题设可得PC⊥平面PAB,DE⊥平面PAB,所以DE∥PC,因此PE=PG,DE=PC.由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6,可得DE=2,PE=2.在等腰直角三角形EFP中,可得EF=PF=2,(11分)所以四面体PDEF的体积V=××2×2×2=.(12分)6.(2016北京,18,14分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC.(1)求证:DC⊥平面PAC;(2)求证:平面PAB⊥平面PAC;(3)设点E为AB的中点.在棱PB上是否存在点F,使得PA∥平面CEF?说明理由.解析(1)证明:因为PC⊥平面ABCD,所以PC⊥DC.(2分)又因为DC⊥AC,AC∩PC=C,所以DC⊥平面PAC.(4分)(2)证明:因为AB∥DC,DC⊥AC,所以AB⊥AC.(6分)因为PC⊥平面ABCD,所以PC⊥AB.(7分)又AC∩PC=C,所以AB⊥平面PAC.又AB⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAC.(9分)(3)棱PB上存在点F,使得PA∥平面CEF.证明如下:(10分)取PB的中点F,连接EF,CE,CF.又因为E为AB的中点,所以EF∥PA.(13分)又因为PA⊄平面CEF,所以PA∥平面CEF.(14分)7.(2015课标Ⅰ,18,12分)如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交点,BE⊥平面ABCD.(1)证明:平面AEC⊥平面BED;(2)若∠ABC=120°,AE⊥EC,三棱锥E-ACD的体积为,求该三棱锥的侧面积.解析(1)证明:因为四边形ABCD为菱形,所以AC⊥BD.因为BE⊥平面ABCD,所以AC⊥BE.故AC⊥平面BED.又AC⊂平面AEC,所以平面AEC⊥平面BED.(2)设AB=x,在菱形ABCD中,由∠ABC=120°,可得AG=GC=x,GB=GD=.因为AE⊥EC,所以在Rt△AEC中,可得EG=x.由BE⊥平面ABCD,知△EBG为直角三角形,可得BE=x.由已知得,三棱锥E-ACD的体积V E-ACD=×AC·GD·BE=x3=.故x=2.从而可得AE=EC=ED=.所以△EAC的面积为3,△EAD的面积与△ECD的面积均为.故三棱锥E-ACD的侧面积为3+2.教师用书专用(8—19)8.(2013北京,8,5分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为对角线BD1的三等分点,P到各顶点的距离的不同取值有( )A.3个B.4个C.5个D.6个答案 B9.(2017山东,18,12分)由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到的几何体如图所示.四边形ABCD为正方形,O为AC与BD 的交点,E为AD的中点,A1E⊥平面ABCD.(1)证明:A1O∥平面B1CD1;(2)设M是OD的中点,证明:平面A1EM⊥平面B1CD1.证明(1)取B1D1的中点O1,连接CO1,A1O1,由于ABCD-A1B1C1D1是四棱柱,所以A1O1∥OC,A1O1=OC,因此四边形A1OCO1为平行四边形,所以A1O∥O1C.又O1C⊂平面B1CD1,A1O⊄平面B1CD1,所以A1O∥平面B1CD1.(2)因为AC⊥BD,E,M分别为AD和OD的中点,所以EM⊥BD,又A1E⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以A1E⊥BD,因为B1D1∥BD,所以EM⊥B1D1,A1E⊥B1D1,又A1E,EM⊂平面A1EM,A1E∩EM=E,所以B1D1⊥平面A1EM,又B1D1⊂平面B1CD1,所以平面A1EM⊥平面B1CD1.10.(2016江苏,16,14分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1. 求证:(1)直线DE∥平面A1C1F;(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.证明(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1∥AC.在△ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点,所以DE∥AC,于是DE∥A1C1.又因为DE⊄平面A1C1F,A1C1⊂平面A1C1F,所以直线DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A⊥平面A1B1C1.因为A1C1⊂平面A1B1C1,所以A1A⊥A1C1.又因为A1C1⊥A1B1,A1A⊂平面ABB1A1,A1B1⊂平面ABB1A1,A1A∩A1B1=A1,所以A1C1⊥平面ABB1A1.因为B1D⊂平面ABB1A1,所以A1C1⊥B1D.又因为B1D⊥A1F,A1C1⊂平面A1C1F,A1F⊂平面A1C1F,A1C1∩A1F=A1,所以B1D⊥平面A1C1F.因为直线B1D⊂平面B1DE,所以平面B1DE⊥平面A1C1F.11.(2015重庆,20,12分)如图,三棱锥P-ABC中,平面PAC⊥平面ABC,∠ABC=,点D,E在线段AC上,且AD=DE=EC=2,PD=PC=4,点F 在线段AB上,且EF∥BC.(1)证明:AB⊥平面PFE;(2)若四棱锥P-DFBC的体积为7,求线段BC的长.解析(1)证明:如图,由DE=EC,PD=PC知,E为等腰△PDC中DC边的中点,故PE⊥AC.又平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,PE⊂平面PAC,PE⊥AC,所以PE⊥平面ABC,从而PE⊥AB.因∠ABC=,EF∥BC,故AB⊥EF.从而AB与平面PFE内两条相交直线PE,EF都垂直,所以AB⊥平面PFE.(2)设BC=x,则在直角△ABC中,AB=-=-,从而S△ABC=AB·BC=x-.由EF∥BC知,==,得△AFE∽△ABC,==,即S△AFE=S△ABC.故△△由AD=AE,S△AFD=S△AFE=·S△ABC=S△ABC=x-,从而四边形DFBC的面积为S DFBC=S△ABC-S△AFD=x--x-=x-.由(1)知,PE⊥平面ABC,所以PE为四棱锥P-DFBC的高.在直角△PEC中,PE=-=-=2体积V P-DFBC=·S DFBC·PE=·x-·2=7,故得x4-36x2+243=0,解得x2=9或x2=27,由于x>0,可得x=3或x=3,所以,BC=3或BC=3.12.(2015湖北,20,13分)《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马P-ABCD中,侧棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD,点E是PC的中点,连接DE,BD,BE.(1)证明:DE⊥平面PBC.试判断四面体EBCD是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,请说明理由;(2)记阳马P-ABCD的体积为V1,四面体EBCD的体积为V2,求的值.解析(1)因为PD⊥底面ABCD,所以PD⊥BC.由底面ABCD为长方形,有BC⊥CD,而PD∩CD=D,所以BC⊥平面PCD.又DE⊂平面PCD,所以BC⊥DE.又因为PD=CD,点E是PC的中点,所以DE⊥PC.而PC∩BC=C,所以DE⊥平面PBC.由BC⊥平面PCD,DE⊥平面PBC,可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形.即四面体EBCD是一个鳖臑,其四个面的直角分别是∠BCD,∠BCE,∠DEC,∠DEB.(2)易知PD是阳马P-ABCD的高,所以V1=S ABCD·PD=BC·CD·PD;由(1)知,DE是鳖臑D-BCE的高,BC⊥CE,所以V2=S△BCE·DE=BC·CE·DE.在Rt△PDC中,因为PD=CD,点E是PC的中点,所以DE=CE=CD,于是=····=··=4.13.(2014湖北,20,13分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,P,Q,M,N分别是棱AB,AD,DD1,BB1,A1B1,A1D1的中点.求证:(1)直线BC1∥平面EFPQ;(2)直线AC1⊥平面PQMN.证明(1)连接AD1,由ABCD-A1B1C1D1是正方体,知AD1∥BC1,因为F,P分别是AD,DD1的中点,所以FP∥AD1.从而BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ,且BC1⊄平面EFPQ,故直线BC1∥平面EFPQ.(2)连接AC,BD,则AC⊥BD.由CC1⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,可得CC1⊥BD.又AC∩CC1=C,所以BD⊥平面ACC1.而AC1⊂平面ACC1,所以BD⊥AC1.因为M,N分别是A1B1,A1D1的中点,所以MN∥BD,从而MN⊥AC1.同理可证PN⊥AC1.又PN∩MN=N,所以直线AC1⊥平面PQMN.14.(2014重庆,20,12分)如图,四棱锥P-ABCD中,底面是以O为中心的菱形,PO⊥底面ABCD,AB=2,∠BAD=,M为BC上一点,且BM=.(1)证明:BC⊥平面POM;(2)若MP⊥AP,求四棱锥P-ABMO的体积.解析(1)证明:如图,连接OB,因为ABCD为菱形,O为菱形的中心,所以AO⊥OB.因为∠BAD=,所以OB=AB·sin∠OAB=2sin=1,又因为BM=,且∠OBM=,所以在△OBM中,OM2=OB2+BM2-2OB·BM·cos∠OBM=12+-2×1××cos=.所以OB2=OM2+BM2,故OM⊥BM.又PO⊥底面ABCD,所以PO⊥BC.从而BC与平面POM内两条相交直线OM,PO都垂直,所以BC⊥平面POM.(2)由(1)可得,OA=AB·cos∠OAB=2·cos=设PO=a,由PO⊥底面ABCD知,△POA为直角三角形,故PA2=PO2+OA2=a2+3.又△POM也是直角三角形,故PM2=PO2+OM2=a2+.连接AM,在△ABM中,AM2=AB2+BM2-2AB·BM·cos∠ABM=22+-2×2××cos=.由于MP⊥AP,故△APM为直角三角形,则PA2+PM2=AM2,即a2+3+a2+=,得a=或a=-(舍去),即PO=.此时S四边形ABMO=S△AOB+S△OMB=·AO·OB+·BM·OM=××1+××=.所以V P-ABMO=·S四边形ABMO·PO=××=.15.(2014课标Ⅰ,19,12分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,B1C的中点为O,且AO⊥平面BB1C1C.(1)证明:B1C⊥AB;(2)若AC⊥AB1,∠CBB1=60°,BC=1,求三棱柱ABC-A1B1C1的高.解析(1)连接BC1,则O为B1C与BC1的交点.因为侧面BB1C1C为菱形,所以B1C⊥BC1.又AO⊥平面BB1C1C,所以B1C⊥AO,故B1C⊥平面ABO.由于AB⊂平面ABO,故B1C⊥AB.(2)作OD⊥BC,垂足为D,连接AD.作OH⊥AD,垂足为H.由于BC⊥AO,BC⊥OD,故BC⊥平面AOD,所以OH⊥BC.又OH⊥AD,所以OH⊥平面ABC.因为∠CBB1=60°,所以△CBB1为等边三角形,又BC=1,所以OD=.由于AC⊥AB1,所以OA=B1C=.由OH·AD=OD·OA,且AD==,得OH=.又O为B1C的中点,所以点B1到平面ABC的距离为.故三棱柱ABC-A1B1C1的高为.16.(2013辽宁,18,12分)如图,AB是圆O的直径,PA垂直圆O所在的平面,C是圆O上的点.(1)求证:BC⊥平面PAC;(2)设Q为PA的中点,G为△AOC的重心,求证:QG∥平面PBC.证明(1)由AB是圆O的直径,得AC⊥BC.由PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,得PA⊥BC.又PA∩AC=A,PA⊂平面PAC,AC⊂平面PAC,所以BC⊥平面PAC.(6分)(2)连接OG并延长交AC于M,连接QM,QO,由G为△AOC的重心,得M为AC中点.由Q为PA中点,得QM∥PC.由O为AB中点,得OM∥BC.因为QM∩MO=M,QM⊂平面QMO,MO⊂平面QMO,BC∩PC=C,BC⊂平面PBC,PC⊂平面PBC,所以平面QMO∥平面PBC.因为QG⊂平面QMO,所以QG∥平面PBC.(12分)17.(2013四川,19,12分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AB=AC=2AA1=2,∠BAC=120°,D,D1分别是线段BC,B1C1的中点,P是线段AD上异于端点的点.(1)在平面ABC内,试作出过点P与平面A1BC平行的直线l,说明理由,并证明直线l⊥平面ADD1A1;(2)设(1)中的直线l交AC于点Q,求三棱锥A1-QC1D的体积.锥体体积公式:V=Sh,其中S为底面面积,h为高解析(1)如图,在平面ABC内,过点P作直线l∥BC,因为l在平面A1BC外,BC在平面A1BC内,所以l∥平面A1BC.因为AB=AC,D是BC的中点,所以BC⊥AD,则直线l⊥AD.因为AA1⊥平面ABC,所以AA1⊥直线l.又因为AD,AA1在平面ADD1A1内,且AD与AA1相交,所以直线l⊥平面ADD1A1.(7分)(2)过D作DE⊥AC于E.因为AA1⊥平面ABC,所以DE⊥AA1.又因为AC,AA1在平面AA1C1C内,且AC与AA1相交, 所以DE⊥平面AA1C1C.由AB=AC=2,∠BAC=120°,有AD=1,∠DAC=60°,所以在△ACD中,DE=AD=,又△=A1C1·AA1=1,所以-=-=DE·△=××1=.因此三棱锥A1-QC1D的体积是.(12分)18.(2013山东,19,12分)如图,四棱锥P-ABCD中,AB⊥AC,AB⊥PA,AB∥CD,AB=2CD,E,F,G,M,N分别为PB,AB,BC,PD,PC的中点.(1)求证:CE∥平面PAD;(2)求证:平面EFG⊥平面EMN.证明(1)证法一:取PA的中点H,连接EH,DH.因为E为PB的中点,所以EH∥AB,EH=AB.又AB∥CD,CD=AB,所以EH∥CD,EH=CD.因此四边形DCEH是平行四边形.所以CE∥DH.又DH⊂平面PAD,CE⊄平面PAD,因此,CE∥平面PAD.证法二:连接CF.因为F为AB的中点,所以AF=AB.又CD=AB,所以AF=CD.又AF∥CD,所以四边形AFCD为平行四边形.因此CF∥AD.又CF⊄平面PAD,所以CF∥平面PAD.因为E,F分别为PB,AB的中点,所以EF∥PA.又EF⊄平面PAD,所以EF∥平面PAD.因为CF∩EF=F,故平面CEF∥平面PAD.又CE⊂平面CEF,所以CE∥平面PAD.(2)因为E,F分别为PB,AB的中点,所以EF∥PA.又AB⊥PA,所以AB⊥EF.同理可证AB⊥FG.又EF∩FG=F,EF⊂平面EFG,FG⊂平面EFG,因此AB⊥平面EFG.又M,N分别为PD,PC的中点,所以MN∥CD.又AB∥CD,所以MN∥AB.因此MN⊥平面EFG.又MN⊂平面EMN,所以平面EFG⊥平面EMN.19.(2013江西,19,12分)如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB∥CD,AD⊥AB,AB=2,AD=,AA1=3,E为CD上一点,DE=1,EC=3.(1)证明:BE⊥平面BB1C1C;(2)求点B1到平面EA1C1的距离.解析(1)证明:过B作CD的垂线交CD于F,则BF=AD=,EF=AB-DE=1,FC=2.在Rt△BEF中,BE=.在Rt△CFB中,BC=.在△BEC中,因为BE2+BC2=9=EC2,故BE⊥BC.由BB1⊥平面ABCD得BE⊥BB1,所以BE⊥平面BB1C1C.(2)三棱锥E-A1B1C1的体积V=AA1·△=.在Rt△A1D1C1中,A1C1==3.同理,EC1==3,A1E==2.故△=3.设点B1到平面EA1C1的距离为d,则三棱锥B1-A1C1E的体积V=·d·△=从而d=,d=.三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点直线、平面垂直的判定与性质1.(2018广东七校联考,4)设α、β、γ为不同的平面,m,n,l为不同的直线,则m⊥β的一个充分条件为( )A.α⊥β,α∩β=l,m⊥lB.α∩γ=m,α⊥γ,β⊥γC.α⊥γ,β⊥γ,m⊥αD.n⊥α,n⊥β,m⊥α答案 D2.(2017广东广州一模,4)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )A.若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m⊥nB.若m⊥α,m∥n,n∥β,则α⊥βC.若m⊥n,m⊂α,n⊂β,则α⊥βD.若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥n答案 B3.(2017河北唐山一模,8)如图,在正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD的中点,G是EF的中点,现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个空间图形,使B、C、D三点重合,重合后的点记为H,那么,在这个空间图形中必有( )A.AG⊥平面EFHB.AH⊥平面EFHC.HF⊥平面AEFD.HG⊥平面AEF答案 B4.(2018福建福安一中期中联考,20)如图,四边形ABCD是边长为2的正方形,平面ABCD⊥平面ABEF,AF∥BE,AB⊥BE,BE=2,AF=1.(1)求证:AC⊥平面BDE;(2)求三棱锥C-DEF的体积.解析(1)证明:∵平面ABCD⊥平面ABEF,平面ABCD∩平面ABEF=AB,BE⊂平面ABEF,且AB⊥BE,∴BE⊥平面ABCD.又∵AC⊂平面ABCD,∴BE⊥AC.∵四边形ABCD为正方形,∴AC⊥BD.∵BD,BE⊂平面BDE,BD∩BE=B,∴AC⊥平面BDE.(2)取DE的中点G,记AC∩BD=O,连接OG,FG,∵四边形ABCD为正方形,∴O是BD的中点,所以OG∥BE,OG=BE,又AF∥BE,AF=BE,∴AF∥OG,AF=OG,∴四边形AOGF是平行四边形,∴OA∥FG.∵OA⊄平面DEF,FG⊂平面DEF,∴OA∥平面DEF.∴点C到平面DEF的距离等于点A到平面DEF的距离,∴V C-DEF=V A-DEF=V D-AEF=S△AEF×AD=,∴三棱锥C-DEF的体积为.5.(2018河南洛阳期中,21)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面四边形ABCD是直角梯形,∠ADC=90°,△AD P是边长为2的等边三角形,Q是AD的中点,M是棱PC的中点,BC=1,CD=,PB=.(1)求证:平面PAD⊥平面ABCD;(2)求三棱锥B-PQM的体积.解析(1)证明:∵底面四边形ABCD是直角梯形,Q是AD的中点,BC=1,AD=2,∴BC=QD=1,AD∥BC,∴四边形BCDQ为平行四边形,∴CD∥BQ,CD=BQ.∵∠ADC=90°,∴QB⊥AD.又PA=PD=2,AD=2,Q是AD的中点,故PQ=,又QB=CD=,∴PB2=PQ2+QB2,由勾股定理的逆定理可知PQ⊥QB,又PQ∩AD=Q,∴BQ⊥平面PAD,又BQ⊂平面ABCD,∴平面PAD⊥平面ABCD.(2)连接CQ,∵PA=PD,Q是AD的中点,∴PQ⊥AD.∵平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,PQ⊂平面PAD,∴PQ⊥平面ABCD.又M是棱PC的中点,故V B-PQM=V P-BQC-V M-BQC=V P-BQC-V P-BQC=V P-BQC,而PQ=,S△BQC=×1×=,∴V P-BQC=S△BQC·PQ=××=,∴V B-PQM=×=.6.(2017广东广州12月联考,19)在三棱锥P-ABC中,△PAB是等边三角形,∠APC=∠BPC=60°.(1)求证:AB⊥PC;(2)若PB=4,BE⊥PC,求三棱锥B-PAE的体积.解析(1)证明:因为△PAB是等边三角形,∠APC=∠BPC=60°,PC=PC,所以△PAC≌△PBC,所以AC=BC,如图,取AB的中点D,连接PD,CD,则PD⊥AB,CD⊥AB,因为PD∩CD=D,所以AB⊥平面PDC,因为PC⊂平面PDC,所以AB⊥PC.(2)由(1)知△PBC≌△PAC,又BE⊥PC,所以AE⊥PC,AE=BE.在Rt△PEB中,BE=4sin 60°=2,PE=4cos 60°=2.因为BE⊥PC,AE⊥PC,BE∩AE=E,所以PC⊥平面ABE.因为AB=4,AE=BE=2,所以△AEB的面积S=·AB·-=4.因为三棱锥B-PAE的体积等于三棱锥P-ABE的体积,所以三棱锥B-PAE的体积V=S·PE=×4×2=.B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:70分时间:60分钟)一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2018黑龙江哈六中模拟,8)如图,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,沿AE,AF,EF把正方形折成一个四面体,使B,C,D 三点重合为P点,点P在△AEF内的射影为O,则下列说法正确的是( )A.O是△AEF的垂心B.O是△AEF的内心C.O是△AEF的外心D.O是△AEF的重心答案 A2.(2018江西南昌调研,10)如图,四棱锥P-ABCD中,△PAB与△PBC是正三角形,平面PAB⊥平面PBC,AC⊥BD,则下列结论不一定成立的是( )A.PB⊥ACB.PD⊥平面ABCDC.AC⊥PDD.平面PBD⊥平面ABCD答案 B3.(2017江西南昌摸底考试,3)如图,在四面体ABCD中,已知AB⊥AC,BD⊥AC,那么点D在平面ABC内的射影H必在( )A.直线AB上B.直线BC上C.直线AC上D.△ABC内部答案 A4.(2017湖北武汉月考,9)如图,在矩形ABCD中,AB=,BC=1,将△ACD沿AC折起,使得D折起后的位置为D1,且D1在平面ABC上的射影恰好落在AB上,在四面体D1ABC的四个面中,有n对平面相互垂直,则n等于( )A.2B.3C.4D.5答案 B二、填空题(共5分)5.(2017豫西五校联考,14)如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,∠ABC=90°,AC=2a,BB1=3a,D是棱A1C1的中点,点F在AA1(不包括端点)上,当AF= 时,CF⊥平面B1DF.答案a或2a三、解答题(每小题15分,共45分)6.(2018湖北八校模拟,18)如图,直三棱柱ABC-A'B'C'中,AC=BC=5,AA'=AB=6,D,E分别为AB和BB'上的点,且=.(1)当D为AB的中点时,求证:A B⊥CE;(2)当D在AB上运动时,求三棱锥A'-CDE体积的最小值.解析(1)证明:∵D为AB的中点,=,故E为B'B的中点,∵三棱柱ABC-A'B'C'为直三棱柱,∴平行四边形ABB'A'为正方形,∴DE⊥A B,∵AC=BC,D为AB的中点,∴CD⊥AB,∵三棱柱ABC-A'B'C'为直三棱柱,∴CD⊥平面ABB'A',又A'B⊂平面ABB A ,∴CD⊥A B,又CD∩DE=D,∴A B⊥平面CDE,∵CE⊂平面CDE,∴A B⊥CE.(2)设BE=x(0<x<6),则AD=x,DB=6-x,B'E=6-x,由已知可得C到平面A'DE的距离即为△ABC的边AB上的高,设为h,则h=-=4,∴V A'-CDE=V C-A'DE=(S正方形ABB'A'-S△AA D-S△DBE-S△A B E)·h=--(-)-(-)·h=(x2-6x+36)=[(x-3)2+27](0<x<6),∴当x=3,即D为AB的中点时,V A'-CDE取得最小值18.7.(2018广东七校第一次联考,19)已知四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为菱形,AD=2,∠DAB=60°,E为AB的中点.(1)证明:平面PCD⊥平面PDE;(2)若PD=求点E到平面PBC的距离.解析(1)证明:∵PD⊥底面ABCD,∴PD⊥AB,连接DB,在菱形ABCD中,∠DAB=60°,∴△DAB为等边三角形,又E为AB的中点,∴AB⊥DE,又PD∩DE=D,∴AB⊥平面PDE,∵CD∥AB,∴CD⊥平面PDE.∵CD⊂平面PCD,∴平面PCD⊥平面PDE.(2)∵AD=2,PD=AD,∴PD=2易知CD=2,则在Rt△PDC中,PC=4,同理,PB=4,连接EC,易知S△PBC=,S△EBC=,设点E到平面PBC的距离为h,由V P-EBC=V E-PBC得,S△EBC·PD=S△PBC·h,∴h=.故点E到平面PBC的距离为.8.(2017河南郑州一模,18)如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是梯形,AD∥BC,平面SAB⊥平面ABCD,△SAB是等边三角形,已知AC=2AB=4,BC=2AD=2CD=2,M是SD上任意一点,=m,且m>0.(1)求证:平面SAB⊥平面MAC;(2)试确定m的值,使三棱锥S-ABC的体积为三棱锥S-MAC的体积的3倍.解析(1)证明:在△ABC中,∵AB=2,AC=4,BC=2,∴AB2+AC2=BC2,故AB⊥AC.又平面SAB⊥平面ABCD,平面SAB∩平面ABCD=AB,AC⊂平面ABCD,∴AC⊥平面SAB,又AC⊂平面MAC,故平面SAB⊥平面MAC.(2)V S-MAC=V M-SAC=V D-SAC=V S-ADC,∴--=·--=·△△=·2=3⇒m=2.C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 判定或证明线面垂直的方法1.(2018河南、河北两省联考,20)如图,在梯形ABCD中,AB⊥AD,AB∥CD,CD=2AD=2,DE⊥平面ABCD,DE∥BF,BD⊥CF,AF⊥CE.(1)求证:CE⊥DF;(2)求证:BD⊥平面BCF;(3)求AB的长.解析(1)证明:因为AB⊥AD,AB∥CD,所以CD⊥AD.因为DE⊥平面ABCD,所以DE⊥AD.又因为CD∩DE=D,所以AD⊥平面CDE.所以AD⊥CE.又因为AF⊥CE,AD∩AF=A,所以CE⊥平面ADF.所以CE⊥DF.(2)证明:因为DE⊥平面ABCD,DE∥BF,所以BF⊥平面ABCD.所以BF⊥BD.因为BD⊥CF,且BF∩CF=F,所以BD⊥平面BCF.(3)作BB ⊥CD,垂足为B',由(2)得,BD⊥平面BCF,所以BD⊥BC.由作图知四边形ABB'D为矩形.设AB=DB'=x,则CB'=2-x.易证△CB B∽△BB D,所以=.易知BB'=AD=1,所以-=,解得x=1,即AB=1.2.(2017广东七校第二次联考,19)如图,在底面为菱形的四棱锥P-ABCD中,∠ABC=60°,PA=AC=1,PB=PD=,点E在PD上,且=2.(1)求证:PA⊥平面ABCD;(2)在棱PC上是否存在点F,使得BF∥平面EAC?若存在,指出F的位置;若不存在,请说明理由.解析(1)证明:∵在菱形ABCD中,∠ABC=60°,∴AC=AB=BC=1,∵PA=AC=1,∴PA=AB=AD=1,∵PB=PD=,∴PA2+AB2=PB2,PA2+AD2=PD2,∴PA⊥AB,PA⊥AD.∵AB∩AD=A,∴PA⊥平面ABCD.(2)存在.取PE的中点M,PC的中点F,连接BD交AC于O,连接OE,BM,BF,MF,∵四边形ABCD是菱形,∴O是BD的中点,∵=2,∴E是PD的靠近点D的三等分点,又M是PE的中点,∴E是MD的中点,∴OE是△BDM的中位线,∴BM∥OE,∵BM⊄平面AEC,OE⊂平面AEC,∴BM∥平面AEC,同理,MF∥平面AEC,又BM∩MF=M,BM,MF⊂平面BMF,∴平面AEC∥平面BMF,∵BF⊂平面BMF,∴BF∥平面AEC,∴在棱PC上存在点F,使得BF∥平面AEC,此时点F是PC的中点.方法2 判定或证明面面垂直的方法3.(2018江西南昌二中月考,20)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,且∠DAB=60°,PA=PD,M为CD的中点,BD⊥PM. (1)求证:平面PAD⊥平面ABCD;(2)若∠APD=90°,四棱锥P-ABCD的体积为,求三棱锥A-PBM的高.解析(1)证明:取AD的中点E,连接PE,EM,AC.∵PA=PD,∴PE⊥AD.∵四边形ABCD为菱形,∴BD⊥AC,又M为CD的中点,∴EM∥AC,∴EM⊥BD.又BD⊥PM,EM∩PM=M,∴BD⊥平面PEM,则BD⊥PE,∵BD∩AD=D,∴PE⊥平面ABCD.又PE⊂平面PAD,∴平面PAD⊥平面ABCD.(2)连接BE,设PA=PD=a,由∠APD=90°,可得AD=a,PE=a,S菱形ABCD=×(2×2=2.由(1)可知PE⊥平面ABCD,则V P-ABCD=×PE×S菱形ABCD=×a×a2=a3=,∴a3=2,则PA=PD=,AD=2.易知PE=1,BE=EM=BM=,PB=PM=2.∴S△PBM=,S△ABM=.设三棱锥A-PBM的高为h,则由V A-PBM=V P-ABM可得×h×S△PBM=×PE×S△ABM,即h==.∴三棱锥A-PBM的高为.4.(2017河北唐山一模,19)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A⊥平面ABC,∠ACB=90°,AC=CB=CC1=2,M是AB的中点.(1)求证:平面A1CM⊥平面ABB1A1;(2)求点M到平面A1CB1的距离.解析(1)证明:由A1A⊥平面ABC,CM⊂平面ABC,得A1A⊥CM.由AC=CB,M是AB的中点,得AB⊥CM.又A1A∩AB=A,所以CM⊥平面ABB1A1,又CM⊂平面A1CM,所以平面A1CM⊥平面ABB1A1.(2)设点M到平面A1CB1的距离为h.连接MB1.由题意可知A1C=CB1=A1B1=2MC=2,A1M=B1M=,则△=2,△=2.由(1)可知CM⊥平面ABB1A1,则CM是三棱锥C-A1MB1的高,由-=MC·△=-=h·△,得h==,即点M到平面A1CB1的距离为.方法3 翻折问题的处理方法5.(2018辽宁六校协作体调研,19)已知等腰梯形ABCE中,AB∥EC,AB=BC=EC=4,∠ABC=120°,D是EC的中点,将△ADE沿AD折起,构成四棱锥P-ABCD,M,N分别是BC,PC的中点.(1)求证:AD⊥平面DMN;(2)当平面PAD⊥平面ABCD时,求点C到平面PAB的距离.⇒解析(1)证明:取AD的中点O,连接PO,OB,BD,易知△PAD,△ABD都是等边三角形,∴PO⊥AD,BO⊥AD,∵PO∩BO=O,∴AD⊥平面POB.∵M,N分别为BC,PC的中点,∴MN∥PB,易知AD BC,又O,M分别为AD,BC的中点,∴OD BM,∴四边形OBMD是平行四边形.∴DM∥OB.∵MN∩DM=M,PB∩OB=B,∴平面DMN∥平面POB,∴AD⊥平面DMN.(2)连接AC.设点C到平面PAB的距离为h,∵平面PAD⊥平面ABCD,PO⊥AD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PO⊂平面PAD,∴PO⊥平面ABCD.∵V C-PAB=V P-ABC,易求PO=2,S△ABC=4,S△PAB=2,=.∴h=△·△6.(2017河南安阳调研,20)如图①所示,已知直角△ABC,其中∠ABC=90°,D,E分别是AB,AC边上的中点,现沿DE将△ADE翻折,使得A与平面ABC外一点P重合,得到如图②所示的几何体.(1)证明:平面PBD⊥平面BCED;(2)记平面PDE与平面PBC的交线为l,探究:直线l与BC是否平行.若平行,请给出证明;若不平行,请说明理由.解析(1)证明:∵D,E分别为边AB,AC的中点,∴DE∥BC,∵∠ABC=90°,∴AB⊥BC,∴BD⊥DE,∴PD⊥DE,∵PD∩BD=D,∴DE⊥平面PBD,∵DE⊂平面BCED,∴平面PBD⊥平面BCED.(2)平行.∵DE∥BC,DE⊂平面PDE,BC⊄平面PDE,∴BC∥平面PDE,∵BC⊂平面PBC,平面PDE∩平面PBC=l,∴l∥BC.7.(2017江西四校12月联考,19)在平面四边形ADBC(如图(1))中,△ABC与△ABD均为直角三角形且有公共斜边AB,设AB=2,∠BAD=30°,∠BAC=45°,将△ABC沿AB折起,构成如图(2)所示的三棱锥C'-ABD.(1)当C'D=时,求证:平面C AB⊥平面DAB;(2)当AC ⊥BD时,求三棱锥C'-ABD的高.解析(1)证明:取AB的中点O,连接C'O,DO,在Rt△AC B,Rt△ADB中,AB=2,则C O=DO=1,∵C D=∴C O2+DO2=C'D2,∴C O⊥OD,又由已知得C O⊥AB,AB∩OD=O,AB,OD⊂平面ABD,∴C O⊥平面ABD,∵C O⊂平面ABC',∴平面C AB⊥平面DAB.(2)当AC ⊥BD时,由已知AC ⊥BC ,得AC ⊥平面BDC',∵C D⊂平面BDC ,∴AC ⊥C D,∴△AC D为直角三角形,由勾股定理,得C'D=-=-=1,在△BDC 中,易知BD=1,BC'=,∴C D2+BD2=BC'2,∴△BDC 为直角三角形,∴S△BDC =×1×1=.三棱锥C'-ABD的体积V=×S△BDC ×AC =××=.S△ABD=×1×=,设三棱锥C'-ABD的高为h,则由×h×=,解得h=.即三棱锥C'-ABD的高为.。