2015年高考数学第98天(含精析)
2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(陕西卷)(含答案全解析)
2015年普通高等学校招生全国统一考试陕西理科数学1.本试卷分为两部分,第一部分为选择题,第二部分为非选择题.2.考生领到试卷后,先按规定在试卷上填写姓名、准考证号,并在答题卡上填上对应的试卷类型信息.3.所有解答必须填写在答题卡上指定区域内.考试结束后,将本试卷及答题卡一并交回.第一部分(共60分)一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求(本大题共12小题,每小题5分,共60分).1.(2015陕西,理1)设集合M={x|x2=x},N={x|lg x≤0},则M∪N=()A.[0,1]B.(0,1]C.[0,1)D.(-∞,1]答案:A解析:解x2=x,得x=0或x=1,故M={0,1}.解lg x≤0,得0<x≤1,故N=(0,1].故M∪N=[0,1],选A.2.(2015陕西,理2)某中学初中部共有110名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则该校女教师的人数为()A.93B.123C.137D.167答案:C解析:由题图知,初中部女教师有110×70%=77人;高中部女教师有150×(1-60%)=60人.故该校女教师共有77+60=137(人).选C.3.(2015陕西,理3)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sinπx+φ +k.据此函数6可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为()A.5B.6C.8D.10答案:C解析:因为sinπx+φ ∈[-1,1],所以函数y=3sinπx+φ +k的最小值为k-3,最大值为k+3.由题图可知函数最小值为k-3=2,解得k=5.所以y的最大值为k+3=5+3=8,故选C.4.(2015陕西,理4)二项式(x+1)n(n∈N+)的展开式中x2的系数为15,则n=()A.7B.6C.5D.4答案:B解析:(x+1)n的展开式通项为T r+1=C n r x n-r.令n-r=2,即r=n-2.则x2的系数为C n n−2=C n2=15,解得n=6,故选B.5.(2015陕西,理5)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A.3πB.4πC.2π+4D.3π+4答案:D解析:由三视图可知,该几何体是一个半圆柱,圆柱的底面半径r=1,高h=2.所以几何体的侧面积S1=C底·h=(π×1+2)×2=2π+4.几何体的底面积S2=12π×12=12π.故该几何体的表面积为S=S1+2S2=2π+4+2×π2=3π+4.故选D.6.(2015陕西,理6)“sin α=cos α”是“cos 2α=0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析:由cos 2α=0,得cos2α-sin2α=0,即cos α=sin α或cos α=-sin α.故“sin α=cos α”是“cos 2α=0”的充分不必要条件.7.(2015陕西,理7)对任意向量a,b,下列关系式中不恒成立的是()A.|a·b|≤|a||b|B.|a-b|≤||a|-|b||C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)·(a-b)=a2-b2答案:B解析:A项,a·b=|a||b|cos<a,b>≤|a||b|,所以不等式恒成立;B项,当a与b同向时,|a-b|=||a|-|b||;当a与b非零且反向时,|a-b|=|a|+|b|>||a|-|b||.故不等式不恒成立;C项,(a+b)2=|a+b|2恒成立;D项,(a+b)·(a-b)=a2-a·b+b·a-b2=a2-b2,故等式恒成立.综上,选B.8.(2015陕西,理8)根据右边框图,当输入x为2 006时,输出的y=()A.2B.4C.10D.28答案:C解析:由算法框图可知,每运行一次,x的值减少2,当框图运行了1 004次时,x=-2,此时x<0,停止循环,由y=3-x+1可知,y=3-(-2)+1=10,故输出y的值为10,故选C.9.(2015陕西,理9)设f(x)=ln x,0<a<b,若p=f(ab),q=f a+b2,r=12(f(a)+f(b)),则下列关系式中正确的是()A.q=r<pB.p=r<qC.q=r>pD.p=r>q答案:B解析:因为0<a<b,所以a+b>ab.又因为f(x)=ln x在(0,+∞)上单调递增,所以f a+b2>f(ab),即p<q.而r=1(f(a)+f(b))=1(ln a+ln b)=12ln(ab)=ln ab,所以r=p,故p=r<q.选B.10.(2015陕西,理10)某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为()A.12万元B.16万元C.17万元D.18万元答案:D解析:设该企业每天生产甲产品x吨,乙产品y吨,获利z元.则由题意知3x+2y≤12,x+2y≤8,x≥0,y≥0,利润函数z=3x+4y.画出可行域如图所示,当直线3x+4y-z=0过点B 时,目标函数取得最大值.由 3x +2y =12,x +2y =8,解得 x =2,y =3.故利润函数的最大值为z=3×2+4×3=18(万元).故选D .11.(2015陕西,理11)设复数z=(x-1)+y i (x ,y ∈R ),若|z|≤1,则y ≥x 的概率为( )A.34+12π B.12+1πC.12-1πD.14-12π答案:D解析:由|z|≤1,得(x-1)2+y 2≤1.不等式表示以C (1,0)为圆心,半径r=1的圆及其内部,y ≥x 表示直线y=x 左上方部分(如图所示). 则阴影部分面积S=1π×12-S △OAC =1π-1×1×1=π-1.故所求事件的概率P=S 阴S 圆=π4−12π×12=14-12π.12.(2015陕西,理12)对二次函数f (x )=ax 2+bx+c (a 为非零整数),四位同学分别给出下列结论,其中有且只有一个结论是错误的,则错误的结论是( ) A.-1是f (x )的零点 B.1是f (x )的极值点 C.3是f (x )的极值 D.点(2,8)在曲线y=f (x )上 答案:A解析:f'(x )=2ax+b.若A 正确,则f (-1)=0,即a-b+c=0, ① 若B 正确,则f'(1)=0,即2a+b=0, ② 若C 正确,则f'(x 0)=0,且f (x 0)=3, 即f −b=3,即c-b2=3.③ 若D 项正确,则f (2)=8,即4a+2b+c=8.④假设②③④正确,则由②得b=-2a ,代入④得c=8,代入③得8-4a 24a=3,解得a=5,b=-10,c=8.此时f (x )=5x 2-10x+8,f (-1)=5×(-1)2-10×(-1)+8=5+10+8=23≠0,即A 不成立.故B ,C ,D 可同时成立,而A 不成立.故选A .第二部分(共90分)二、填空题:把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共4小题,每小题5分,共20分).13.(2015陕西,理13)中位数为1 010的一组数构成等差数列,其末项为2 015,则该数列的首项为 . 答案:5解析:由题意知,1 010为数列首项a 1与2 015的等差中项,故a 1+2 015=1 010,解得a 1=5.14.(2015陕西,理14)若抛物线y 2=2px (p>0)的准线经过双曲线x 2-y 2=1的一个焦点,则p= .答案:2解析:双曲线x 2-y 2=1的焦点为F 1(- 2,0),F 2( 2,0).抛物线的准线方程为x=-p 2.因p>0,故-p2=- 2,解得p=2 2.15.(2015陕西,理15)设曲线y=e x 在点(0,1)处的切线与曲线y=1(x>0)上点P 处的切线垂直,则P 的坐标为 . 答案:(1,1)解析:曲线y=e x 在点(0,1)处的切线斜率k=y'=e x |x=0=1;由y=1,可得y'=-12,因为曲线y=1(x>0)在点P 处的切线与曲线y=e x 在点(0,1)处的切线垂直,故-1P2=-1,解得x P =1,由y=1,得y P =1,故所求点P 的坐标为(1,1). 16.(2015陕西,理16)如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 .答案:1.2解析:以梯形的下底为x 轴,上、下底边的中点连线为y 轴,建立如图所示的坐标系,设抛物线的方程为y=ax 2,则抛物线过点(5,2),故2=25a ,得a=2,故抛物线的方程为y=2x 2.最大流量的比,即截面的面积比,由图可知,梯形的下底长为6,故梯形的面积为(10+6)×2=16,而当前的截面面积为2 52−2x 2 d x=2 2x −2x 3 |05=40,故原始流量与当前流量的比为16403=1.2. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题,共70分).17.(本小题满分12分)(2015陕西,理17)△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,向量m=(a , 3b )与n=(cos A ,sin B )平行. (1)求A ;(2)若a= 7,b=2,求△ABC 的面积.(1)解:因为m ∥n ,所以a sin B- b cos A=0.由正弦定理,得sin A sin B- 3sin B cos A=0. 又sin B ≠0,从而tan A= 3. 由于0<A<π,所以A=π3.(2)解法一:由余弦定理,得a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,而a= 7,b=2,A=π3,得7=4+c 2-2c ,即c 2-2c-3=0. 因为c>0,所以c=3.故△ABC 的面积为12bc sin A=3 3.解法二:由正弦定理,得 7sin π3=2sin B ,从而sin B= 21.又由a>b ,知A>B ,所以cos B=2 7.故sin C=sin (A+B )=sin B +π=sin B cos π3+cos B sin π3=3 2114.所以△ABC 的面积为12ab sin C=3 32. 18.(本小题满分12分)(2015陕西,理18)如图①,在直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠BAD=π,AB=BC=1,AD=2,E 是AD 的中点,O 是AC 与BE 的交点,将△ABE 沿BE 折起到△A 1BE 的位置,如图②.图①图②(1)证明:CD ⊥平面A 1OC ;(2)若平面A 1BE ⊥平面BCDE ,求平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值.(1)证明:在题图①中,因为AB=BC=1,AD=2,E 是AD 的中点,∠BAD=π,所以BE ⊥AC ,即在题图②中,BE ⊥OA 1,BE ⊥OC , 从而BE ⊥平面A 1OC ,又CD ∥BE ,所以CD ⊥平面A 1OC. (2)解:由已知,平面A 1BE ⊥平面BCDE ,又由(1)知,平面A 1BE ⊥平面BCDE , 又由(1)知,BE ⊥OA 1,BE ⊥OC ,所以∠A 1OC 为二面角A 1-BE-C 的平面角, 所以∠A 1OC=π.如图,以O 为原点,建立空间直角坐标系,因为A 1B=A 1E=BC=ED=1,BC ∥ED , 所以B 2,0,0 ,E −2,0,0 ,A 1 0,0,2,C 0,2,0 ,得BC = − 2, 2,0 ,A 1C = 0, 2,− 2,CD =BE =(-2,0,0).设平面A 1BC 的法向量n 1=(x 1,y 1,z 1),平面A 1CD 的法向量n 2=(x 2,y 2,z 2),平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角为θ,则 n 1·BC =0,n 1·A 1C =0,得 −x 1+y 1=0,y 1−z 1=0,取n 1=(1,1,1); n 2·CD =0,n 2·A 1C =0,得x 2=0,y 2−z 2=0,取n 2=(0,1,1), 从而cos θ=|cos <n 1,n 2>|=3× 2= 63, 即平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值为 6.19.(本小题满分12分)(2015陕西,理19)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T ,T 只与道路畅通状况有关,对其容量为100的样本进行统计,结果如下:(1)求T的分布列与数学期望ET;(2)刘教授驾车从老校区出发,前往新校区做一个50分钟的讲座,结束后立即返回老校区,求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率.解:(1)由统计结果可得T的频率分布为以频率估计概率得T的分布列为从而ET=25×0.2+30×0.3+35×0.4+40×0.1=32(分钟).(2)设T1,T2分别表示往、返所需时间,T1,T2的取值相互独立,且与T的分布列相同.设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”,由于讲座时间为50分钟,所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”.解法一:P(A)=P(T1+T2≤70)=P(T1=25,T2≤45)+P(T1=30,T2≤40)+P(T1=35,T2≤35)+P(T1=40,T2≤30)=0.2×1+0.3×1+0.4×0.9+0.1×0.5=0.91.解法二:P(=P(T1+T2>70)=P(T1=35,T2=40)+P(T1=40,T2=35)+P(T1=40,T2=40)=0.4×0.1+0.1×0.4+0.1×0.1=0.09,故P(A)=1-P(A)=0.91.20.(本小题满分12分)(2015陕西,理20)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的半焦距为c,原点O到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为12c.(1)求椭圆E的离心率;(2)如图,AB是圆M:(x+2)2+(y-1)2=5的一条直径,若椭圆E经过A,B两点,求椭圆E的方程.(1)解:过点(c,0),(0,b)的直线方程为bx+cy-bc=0,则原点O到该直线的距离d=bcb+c2=bc,由d=1c,得a=2b=2 a2−c2,解得离心率c=3.(2)解法一:由(1)知,椭圆E 的方程为x 2+4y 2=4b 2.①依题意,圆心M (-2,1)是线段AB 的中点,且|AB|= 10.易知,AB 与x 轴不垂直,设其方程为y=k (x+2)+1,代入①得,(1+4k 2)x 2+8k (2k+1)x+4(2k+1)2-4b 2=0. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则x 1+x 2=-8k (2k +1)1+4k2,x 1x 2=4(2k +1)2−4b21+4k2.由x 1+x 2=-4,得-8k (2k +1)1+4k2=-4,解得k=1.从而x 1x 2=8-2b 2.于是|AB|= 1+ 122|x 1-x 2|= 52 (x 1+x 2)2−4x 1x 2= 10(b 2−2). 由|AB|= 10,得 2−2)= 10,解得b 2=3. 故椭圆E 的方程为x 212+y 23=1.解法二:由(1)知,椭圆E 的方程为x 2+4y 2=4b 2.②依题意,点A ,B 关于圆心M (-2,1)对称,且|AB|= 10. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 12+4y 12=4b 2,x 22+4y 22=4b 2,两式相减并结合x 1+x 2=-4,y 1+y 2=2, 得-4(x 1-x 2)+8(y 1-y 2)=0. 易知AB 与x 轴不垂直,则x 1≠x 2, 所以AB 的斜率k AB =y 1−y 2x 1−x 2=12. 因此,直线AB的方程为y=12(x+2)+1,代入②得,x 2+4x+8-2b 2=0.所以x 1+x 2=-4,x 1x 2=8-2b 2. 于是|AB|= 1+ 122|x 1-x 2|= 5(x 1+x 2)2−4x 1x 2= 10(b 2−2). 由|AB|= 10,得 10(b 2−2)= 10,解得b 2=3.故椭圆E 的方程为x 2+y 2=1.21.(本小题满分12分)(2015陕西,理21)设f n (x )是等比数列1,x ,x 2,…,x n 的各项和,其中x>0,n ∈N ,n ≥2.(1)证明:函数F n (x )=f n (x )-2在 12,1 内有且仅有一个零点(记为x n ),且x n =12+12x n n +1;(2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列,其各项和为g n (x ),比较f n (x )和g n (x )的大小,并加以证明.(1)证明:F n (x )=f n (x )-2=1+x+x 2+…+x n -2,则F n (1)=n-1>0,F n 12 =1+12+ 12 2+…+ 12 n-2 =1− 12n +11−12-2=-1n <0,所以F n (x )在 1,1 内至少存在一个零点. 又F n '(x )=1+2x+…+nx n-1>0, 故F n (x )在 12,1 内单调递增,所以F n (x )在 1,1 内有且仅有一个零点x n . 因为x n 是F n (x )的零点,所以F n (x n )=0,即1−x nn +1n -2=0,故x n =1+1x n n +1. (2)解法一:由假设,g n (x )=(n +1)(1+x n )2.设h (x )=f n (x )-g n (x )=1+x+x 2+…+x n -(n +1)(1+x n ),x>0. 当x=1时,f n (x )=g n (x ).当x ≠1时,h'(x )=1+2x+…+nx n-1-n (n +1)x n−1. 若0<x<1,h'(x )>x n-1+2x n-1+…+nx n-1-n (n +1)x n-1=n (n +1)x n-1-n (n +1)x n-1=0. 若x>1,h'(x )<x n-1+2x n-1+…+nx n-1-n (n +1)2x n-1=n (n +1)2x n-1-n (n +1)2x n-1=0.所以h (x )在(0,1)上递增,在(1,+∞)上递减, 所以h (x )<h (1)=0,即f n (x )<g n (x ). 综上所述,当x=1时,f n (x )=g n (x ); 当x ≠1时,f n (x )<g n (x ).解法二:由题设,f n (x )=1+x+x 2+…+x n ,g n (x )=(n +1)(x n +1)2,x>0. 当x=1时,f n (x )=g n (x ).当x ≠1时,用数学归纳法可以证明f n (x )<g n (x ).①当n=2时,f 2(x )-g 2(x )=-1(1-x )2<0, 所以f 2(x )<g 2(x )成立.②假设n=k (k ≥2)时,不等式成立,即f k (x )<g k (x ). 那么,当n=k+1时,f k+1(x )=f k (x )+x k+1<g k (x )+x k+1=(k +1)(1+x k )2+x k+1 =2x k +1+(k +1)x k +k +1.又g k+1(x )-2x k +1+(k +1)x k +k +12=kx k +1−(k +1)x k +1,令h k (x )=kx k+1-(k+1)x k +1(x>0),则h k '(x )=k (k+1)x k -k (k+1)x k-1=k (k+1)x k-1(x-1). 所以,当0<x<1时,h k '(x )<0,h k (x )在(0,1)上递减; 当x>1时,h k '(x )>0,h k (x )在(1,+∞)上递增. 所以h k (x )>h k (1)=0, 从而g k+1(x )>2x k +1+(k +1)x k +k +12.故f k+1(x )<g k+1(x ),即n=k+1时不等式也成立. 由①和②知,对一切n ≥2的整数,都有f n (x )<g n (x ).解法三:由已知,记等差数列为{a k },等比数列为{b k },k=1,2,…,n+1.则a 1=b 1=1,a n+1=b n+1=x n , 所以a k =1+(k-1)·x n −1(2≤k ≤n ), b k =x k-1(2≤k ≤n ),令m k (x )=a k -b k =1+(k−1)(x n −1)n-x k-1,x>0(2≤k ≤n ), 当x=1时,a k =b k ,所以f n (x )=g n (x ). 当x ≠1时,m k '(x )=k−1·nx n-1-(k-1)x k-2=(k-1)x k-2(x n-k+1-1). 而2≤k ≤n ,所以k-1>0,n-k+1≥1. 若0<x<1,x n-k+1<1,m k '(x )<0;若x>1,x n-k+1>1,m k '(x )>0,从而m k (x )在(0,1)上递减,在(1,+∞)上递增, 所以m k (x )>m k (1)=0.所以当m>0且m ≠1时,a k >b k (2≤k ≤n ), 又a 1=b 1,a n+1=b n+1,故f n (x )<g n (x ). 综上所述,当x=1时,f n (x )=g n (x ); 当x ≠1时,f n (x )<g n (x ).考生注意:请在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑.22.(本小题满分10分)(2015陕西,理22)选修4—1:几何证明选讲 如图,AB 切☉O 于点B ,直线AO 交☉O 于D ,E 两点,BC ⊥DE ,垂足为C.(1)证明:∠CBD=∠DBA ;(2)若AD=3DC ,BC= 2,求☉O 的直径. (1)证明:因为DE 为☉O 直径,则∠BED+∠EDB=90°.又BC ⊥DE ,所以∠CBD+∠EDB=90°, 从而∠CBD=∠BED.又AB 切☉O 于点B ,得∠DBA=∠BED , 所以∠CBD=∠DBA. (2)解:由(1)知BD 平分∠CBA ,则BA =AD=3, 又BC= 2,从而AB=3 2.所以AC=2−BC 2=4,所以AD=3. 由切割线定理得AB 2=AD ·AE ,即AE=AB 2=6,故DE=AE-AD=3,即☉O 直径为3.23.(本小题满分10分)(2015陕西,理23)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为 x =3+12t ,y = 3t(t 为参数),以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,☉C 的极坐标方程为ρ=2 3sin θ. (1)写出☉C 的直角坐标方程;(2)P 为直线l 上一动点,当P 到圆心C 的距离最小时,求P 的直角坐标. 解:(1)由ρ=2 θ,得ρ2=2 3ρsin θ,从而有x 2+y 2=2 3y ,所以x 2+(y- 3)2=3. (2)设P 3+1t , 3t ,又C (0, 3),则|PC|= 3+1t + 3t − 3 2= t 2+12,故当t=0时,|PC|取得最小值, 此时,P 点的直角坐标为(3,0).24.(本小题满分10分)(2015陕西,理24)选修4—5:不等式选讲已知关于x的不等式|x+a|<b的解集为{x|2<x<4}.(1)求实数a,b的值;(2)求at+12+bt的最大值.解:(1)由|x+a|<b,得-b-a<x<b-a,则−b−a=2,b−a=4,解得a=-3,b=1.(2)−3t+12+t=34−t+t≤[(3)2+12][(4−t)2+(t)2]=24−t+t=4,当且仅当4−t3=t,即t=1时等号成立.故(−3t+12+t)max=4.11。
二项分布、正态分布 (新教材新高考)-高中数学精讲
专题11.7 二项分布、正态分布1．（2015·全国高考真题（理））投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ） A ．0.648B ．0.432C ．0.36D ．0.3122.（2020·湖北十堰·期末）设某地胡柚（把胡柚近似看成球体）的直径（单位：服从正态分布，则在随机抽取的1000个胡柚中，直径在，内的个数约为 附：若，则，．A ．134B ．136C ．817D ．8193.（2020·青铜峡市高级中学高二期末（理））有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次（每次1件），若X 表示取得次品的次数，则（ ） A ．B ．C ．D ．4．（2021·全国·高二课时练习）抛掷骰子2次，每次结果用表示，其中，分别表示第一次､第二次骰子朝上的点数.若设，，则______.5．（2021·全国·高二课时练习）若随机变量，则服从的正态分布为______（填序号）.①；②；③；④.6．（2021·全国·高二课时练习）一个盒子中有6只好晶体管，4只坏晶体管，任取两次，每次取1只，每一次取后不放回．若已知第1只是好的，则第2只也是好的的概率是______．7．（2021·全国·高二课时练习）设随机变量服从正态分布，则下列结论正确的是______.（填序号）①； ②； ③；练基础)mm (75,16)N (7983]()2~(,)X N μσ()0.6827P X μσμσ-<+=…(22)0.9545P X μσμσ-<+=…(2)P X ≤=3813144578()12,x x 1x 2x (){}1212,10A x x x x =+=(){}1212,B x x x x =>()P B A =()2,X N μσ Y aX b =+()2,N a μσ()0,1N 2,N a b μσ⎛⎫ ⎪⎝⎭()22,N a b a μσ+ξ()0,1N ()()()()0P a P a P a a ξξξ<=<+>->()()()210P a P a a ξξ<=<->()()()120P a P a a ξξ<=-<>④.8．（2021·全国·高二课时练习）设随机变量服从标准正态分布，已知，求．9.（2019·河北高二期末（理））互联网正在改变着人们的生活方式，在日常消费中手机支付正逐渐取代现金支付成为人们首选的支付方式. 某学生在暑期社会活动中针对人们生活中的支付方式进行了调查研究. 采用调查问卷的方式对100名18岁以上的成年人进行了研究，发现共有60人以手机支付作为自己的首选支付方式，在这60人中，45岁以下的占，在仍以现金作为首选支付方式的人中，45岁及以上的有30人.（1）从以现金作为首选支付方式的40人中，任意选取3人，求这3人至少有1人的年龄低于45岁的概率；（2）某商家为了鼓励人们使用手机支付，做出以下促销活动：凡是用手机支付的消费者，商品一律打八折. 已知某商品原价50元，以上述调查的支付方式的频率作为消费者购买该商品的支付方式的概率，设销售每件商品的消费者的支付方式都是相互独立的，求销售10件该商品的销售额的数学期望.10．（2021·全国·高二课时练习）某校从高三年级中选拔一个班级代表学校参加“学习强国知识大赛”，经过层层选拔，甲、乙两个班级进入最后决赛，规定回答1道相关问题做最后的评判选择由哪个班级代表学校参加大赛．每个班级4名选手，现从每个班级4名选手中随机抽取2人回答这个问题．已知这4人中，甲班级有3人可以正确回答这道题目，而乙班级4人中能正确回答这道题目的概率均为，甲、乙两班级每个人对问题的回答都是相互独立、互不影响的．（1）求甲、乙两个班级抽取的4人都能正确回答的概率．（2）设甲、乙两个班级被抽取的选手中能正确回答题目的人数分别为，，求随机变量，的期望，和方差，，并由此分析由哪个班级代表学校参加大赛更好．1．（2021·四川·成都七中高三期中（理））已知某品牌电子元件的使用寿命（单位：天）服从正态分布.()()()10P a P a a ξξ<=->>ξ()0,1N ()1.960.025Φ-=()1.96P ξ<2334X Y X Y ()E X ()E Y ()D X ()D Y 练提升X () 9864N ,（1）一个该品牌电子元件的使用寿命超过天的概率为_______________________； （2）由三个该品牌的电子元件组成的一条电路（如图所示）在天后仍能正常工作（要求能正常工作，， 中至少有一个能正常工作，且每个电子元件能否正常工作相互独立）的概率为__________________．（参考公式：若，则）2．（2021·全国·高二课时练习）设随机变量，函数没有零点的概率是0.5，则（）附：若，则，.A ．0.1587B ．0.1359C ．0.2718D ．0.34133．（2021·全国·高二课时练习）已知，，则下列式子成立的是（ ）①；②； ③； ④. A ．①②③④B ．②C ．②③D ．②④4．（2021·全国·高二课时练习）某学校工会积极组织该校教职工参与“日行万步”活动.界定日行步数不足4千步的人为“不健康生活方式者”，不少于10千步的人为“超健康生活方式者”，其他为“一般生活方式者”.某日，学校工会随机抽取了该校400名教职工，统计他们的日行步数，按步数分组，得到频率分布直方图如图所示.（1）求400名教职工日行步数（千步）的样本平均数（结果四舍五入保留整数）. （2）由频率分布直方图可以认为该校教职工的日行步数（千步）服从正态分布，其中为样本平均数，标准差的近似值为2.5，求该校被抽取的400名教职工中日行步数100100K A B ()2,X N μσ ()0.250.250.2P X μσμσ-<≤+=(),1N ξμ ()22f x x x ξ=+-()01P ξ<<≈()2,N ξμσ ()0.6827P X μσμσ-<<+≈()220.9545P X μσμσ-<<+≈()0P B >12A A φ=()10P A B >()()()()1212P A A B P A B P A B ⋃=+()120P A A B ≠()121P A A B=ξ()2,N μσμσ（千步）的人数（结果四舍五入保留整数）.（3）用样本估计总体，将频率视为概率.若工会从该校教职工中随机抽取2人作为“日行万步”活动的慰问奖励对象，规定：“不健康生活方式者”给予精神鼓励，奖励金额每人0元；“一般生活方式者”奖励金额每人100元；“超健康生活方式者”奖励金额每人200元.求工会慰问奖励金额X 的分布列和数学期望. 附：若随机变量服从正态分布，则，.5．（2021·全国·高三月考（理））2020年是比较特殊的一年，延期一个月进行的高考在万众瞩目下顺利举行并安全结束.在备考期间，某教育考试研究机构举办了多次的跨地域性的联考，在最后一次大型联考结束后，经统计分析发现，学生的模拟测试成绩服从正态分布（满分为750分）.已知，.现在从参加联考的学生名单库中，随机抽取4名学生.（1）求抽到的4名学生中，恰好有2名学生的成绩落在区间内，2名学生的成绩落在区间内的概率；（2）用表示抽取的4名同学的成绩落在区间内的人数，求的分布列和数学期望.6．（2021·全国·高二课时练习）现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求： （1）第1次抽到舞蹈节目的概率；（2）第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；（3）在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率.7．（2021·全国·高二课时练习）某市在实施垃圾分类的过程中，从本市人口数量在两万人左右的A 类社区（全市共320个）中随机抽取了50个进行调查，统计这50个社区某天产生的垃圾量（单位：吨），得到如下频数分布表，并将这一天垃圾数量超过8吨的社区定为“超标”社区. 垃圾量频数 56912867（1）估计该市类社区这一天垃圾量的平均值.（2）若该市类社区这一天的垃圾量大致服从正态分布，其中近似为个样本社区的平均值（精确到0.1吨，估计该市类社区中“超标”社区的个数.（3）根据原始样本数据，在抽取的50个社区中，这一天共有8个“超标”社区，市政府决定()2,4.5ξ∈ξ()2,N μσ()0.6827P μσξμσ-<<+≈()220.9545P μσξμσ-<<+≈X ()2550,N σ(450)0.1P X <=(600)0.3P X >=[500,600][650,750]ξ[500,600]ξ()E ξ[)12.5,15.5[)15.5,18.5[)18.5,21.5[)21.5,24.5[)24.5,27.5[)27.5,30.5[)30.5,33.5A x A (),27.04N μμ50x A从这8个“超标”社区中任选5个跟踪调查其垃圾来源.设这一天垃圾量不小于30.5吨的社区个数为，求的分布列和数学期望附：若服从正态分布，则，，.8．（2021·全国·高二课时练习）影响青少年近视形成的因素有遗传因素和环境因素，主要原因是环境因素.学生长时期近距离的用眼状态，加上不注意用眼卫生、不合理的作息时间很容易引起近视除了学习，学生平时爱看电视、上网玩电子游戏、不喜欢参加户外体育活动，都是造成近视情况日益严重的原因.为了解情况，现从某地区随机抽取16名学生，调查人员用对数视力表检查得到这16名学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)，如图.（1）写出这组数据的众数和中位数.（2）若视力测试结果不低于5.0，则称为“好视力”.①从这16名学生中随机选取3名，求至少有2名学生是“好视力”的概率；②以这16名学生中是“好视力”的频率代替该地区学生中是“好视力”的概率.若从该地区学生(人数较多)中任选3名，记表示抽到“好视力”学生的人数，求的分布列.9．（2021·安徽省怀宁中学高三月考（理））为了调查90后上班族每个月的休假天数，研究人员随机抽取了1000名90后上班族作出调查，所得数据统计如下图所示．（1）求的值以及这1000名90后上班族每个月休假天数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（2）以频率估计概率，若从所有90后上班族中随机抽取4人，求至少2人休假天数在6天X X X ()2,N μσ()0.6827P X μσμσ-<≤+≈()220.9545P X μσμσ-<≤+≈()330.9973P X μσμσ-<≤+≈XX a以上（含6天）的概率；（3）为研究90后上班族休假天数与月薪的关系，从上述1000名被调查者中抽取300人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有97.5%的把握认为休假天数与月薪有关．月休假不超过6天 月休假超过6天 合计 月薪超过5000 90 月薪不超过5000 140 合计30010．（2021·吉林·长春外国语学校高三期中（理））很多新手拿到驾驶证后开车上路，如果不遵守交通规则，将会面临扣分的处罚，为让广大新手了解驾驶证扣分新规定，某市交警部门结合机动车驾驶人有违法行为一次记12分､6分､3分､2分的新规定设置了一份试卷（满分100分），发放给新手解答，从中随机抽取了12名新手的成绩，成绩以茎叶图表示如图所示，并规定成绩低于95分的为不合格，需要加强学习，成绩不低于95分的为合格.（1）求这12名新手的平均成绩与方差；（2）将频率视为概率，根据样本估计总体的思想，若从该市新手中任选4名参加座谈会，用X 表示成绩合格的人数，求X 的分布列与数学期望.1．（2021·全国·高考真题）某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（）A ．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大B ．越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C ．越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D ．越小，该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等练真题()210,N σσ(9.9,10.1)σσσ(9.9,10.2)(10,10.3)2.（2021·天津·高考真题）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为____________，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为______________．3．（2020·天津高考真题）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．4.（2019·全国高考真题（理））甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．5．（2015·全国高考真题（理））某公司为了解用户对其产品的满意度，从A 、B 两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下： A 地区： 62 73 81 92 95 85 74 64 53 767886 95 66 97 78 88 82 76 89 B 地区： 73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93489581745654766579（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度的平均值及分散程度（不要求算出具体值，给出结论即可）：56151213（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级： 满意度评分低于70分 70分到89分 不低于90分 满意度等级不满意满意非常满意记事件C ：“A 地区用户的满意度等级高于B 地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C 的概率。
2015年吉林省高考理科数学试题与答案(word版)
2015年吉林省高考理科数学试题与答案(word版)2015年吉林省高考理科数学试题与答案注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡。
2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={-2,-1,2}，B={x|(x-1)(x+2)<0}，则A∩B={-1,1}。
2.若a为实数且(2+ai)(a-2i)=-4i，则a=1.3.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论不正确的是：逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著。
4.等比数列{an}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=63.5.设函数{an}=(1/3)^n，则(-2)^n+1=6.6.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为5/6.7.过三点(1,3)，(4,2)，(1,-7)的圆交于y轴于M、N两点，则MN=10.8.右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。
执行该程序框图，若输入a,b分别为14,18，则输出的a=2.开始输入a,b如果a不等于b，则执行以下操作：输出a否则，如果a大于b，则执行以下操作：a=a-b否则，执行以下操作：b=b-a结束9）已知球O上两点A,B，且∠AOB为θ，C为球面上的动点。
若三棱锥O-ABC的体积最大值为36，则球O的表面积为多少？解：设OC=h，则由勾股定理得AC²=AO²+OC²=OB²+OC²，即AC=OB。
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(陕西卷,含解析)
故 ABC 的面积为 1 bcsinA = 3 3 .
2
2
考点：1、平行向量的坐标运算；2、正弦定理；3、余弦定理；4、三角形的面积公式.
18．（本小题满分 12 分）如图1 ，在直角梯形 CD 中， D// C， D ， 2
C 1， D 2 ， 是 D 的中点， 是 C 与 的交点．将 沿 折起到 1 的
因为 A1B=A1E=BC=ED=1, BC ED
所以 B( 2 ,0,0), E(2
2 2
,
0,
0),
A1
(0,
0,
2 ),C(0, 2
2 ,0), 2
得 BC(-
2 , 2 ,0), 22
A1C(0,
2 ,2
2 ) ， CD = BE = (2
2,0,0) .
设平面 A1BC 的法向量 n1 = (x1, y1, z1) ，平面 A1CD 的法向量 n2 = (x2, y2, z2 ) ，平面 A1BC 与
又 sin 0 ，从而 tan A = 3 ， 由于 0 A ，所以 A
3 (II)解法一：由余弦定理，得 a2 = b2 +c2 - 2bc cos A 而 a = 7 b = 2,
3 得 7 = 4 +c2 - 2c ，即 c2 - 2c - 3 = 0 因为 c > 0 ，所以 c = 3 .
13.中位数 1010 的一组数构成等差数列，其末项为 2015，则该数列的首项为
．
【答案】 5
【解析】
试题分析：设数列的首项为 a1 ，则 a1 2015 2 1010 2020 ，所以 a1 5 ，故该数列的 首项为 5 ，所以答案应填： 5 ．
考点：等差中项．
2015年高考数学试卷附详细答案
2015年高考数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）1．（5分）（2015•原题）已知集合P={x|x2﹣2x≥0}，Q={x|1＜x≤2}，则（∁R P）∩Q=（）A ．[0，1）B．（0，2] C．（1，2）D．[1，2]2．（5分）（2015•原题）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A ．8cm3B．12cm3C．D．3．（5分）（2015•原题）已知{a n}是等差数列，公差d不为零，前n项和是S n，若a3，a4，a8成等比数列，则（）A ．a1d＞0，dS4＞0B．a1d＜0，dS4＜0C．a1d＞0，dS4＜0D．a1d＜0，dS4＞04．（5分）（2015•原题）命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞n B．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞n C．∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）＞n0D．∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n05．（5分）（2015•原题）如图，设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（）A ．B．C．D．6．（5分）（2015•原题）设A，B是有限集，定义：d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），其中card（A）表示有限集A中的元素个数（）命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）＞0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A，B，C，d（A，C）≤d（A，B）+d（B，C）A．命题①和命题②都成立B．命题①和命题②都不成立C．命题①成立，命题②不成立D．命题①不成立，命题②成立7．（5分）（2015•原题）存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有（）A ．f（sin2x）=sinxB．f（sin2x）=x2+xC．f（x2+1）=|x+1|D．f（x2+2x）=|x+1|8．（5分）（2015•原题）如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α，则（）A ．∠A′DB≤αB．∠A′DB≥αC．∠A′CB≤αD．∠A′CB≥α二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）（2015•原题）双曲线=1的焦距是，渐近线方程是．10．（6分）（2015•原题）已知函数f（x）=，则f（f（﹣3））= ，f（x）的最小值是．11．（6分）（2015•原题）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是，单调递减区间是．12．（4分）（2015•原题）若a=log43，则2a+2﹣a= ．13．（4分）（2015•原题）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是．14．（4分）（2015•原题）若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是．15．（6分）（2015•原题）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x，y∈R，，则x0= ，y0= ，|= ．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）（2015•原题）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．（1）求tanC的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．17．（15分）（2015•原题）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（1）证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．18．（15分）（2015•原题）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值．19．（15分）（2015•原题）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．20．（15分）（2015•原题）已知数列{a n}满足a1=且a n+1=a n﹣a n2（n∈N*）（1）证明：1≤≤2（n∈N*）；（2）设数列{a n2}的前n项和为S n，证明（n∈N*）．2015年高考数学试卷（理科）答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（原题卷）数学（理科）1．（5分）考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出P中不等式的解集确定出P，求出P补集与Q的交集即可．解答：解：由P中不等式变形得：x（x﹣2）≥0，解得：x≤0或x≥2，即P=（﹣∞，0]∪[2，+∞），∴∁R P=（0，2），∵Q=（1，2]，∴（∁R P）∩Q=（1，2），故选：C．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．（5分）考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：判断几何体的形状，利用三视图的数据，求几何体的体积即可．解答：解：由三视图可知几何体是下部为棱长为2的正方体，上部是底面为边长2的正方形奥为2的正四棱锥，所求几何体的体积为：23+×2×2×2=．故选：C．点评：本题考查三视图与直观图的关系的判断，几何体的体积的求法，考查计算能力．3．（5分）考点：等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：由a3，a4，a8成等比数列，得到首项和公差的关系，即可判断a1d和dS4的符号．解答：解：设等差数列{a n}的首项为a1，则a3=a1+2d，a4=a1+3d，a8=a1+7d，由a3，a4，a8成等比数列，得，整理得：．∵d≠0，∴，∴，=＜0．故选：B．点评：本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础题．4．（5分）考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．解答：解：命题为全称命题，则命题的否定为：∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0，故选：D．点评：本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．5．（5分）考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据抛物线的定义，将三角形的面积关系转化为的关系进行求解即可．解答：解：如图所示，抛物线的准线DE的方程为x=﹣1，过A，B分别作AE⊥DE于E，交y轴于N，BD⊥DE于E，交y轴于M，由抛物线的定义知BF=BD，AF=AE，则|BM|=|BD|﹣1=|BF|﹣1，|AN|=|AE|﹣1=|AF|﹣1，则===，故选：A点评：本题主要考查三角形的面积关系，利用抛物线的定义进行转化是解决本题的关键．6．（5分）考点：复合命题的真假．专题：集合；简易逻辑．分析：命题①根据充要条件分充分性和必要性判断即可，③借助新定义，根据集合的运算，判断即可．解答：解：命题①：对任意有限集A，B，若“A≠B”，则A∪B≠A∩B，则card（A∪B）＞card（A∩B），故“d（A，B）＞0”成立，若d（A，B）＞0”，则card（A∪B）＞card（A∩B），则A∪B≠A∩B，故A≠B成立，故命题①成立，命题②，d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），d（B，C）=card（B∪C）﹣card（B∩C），∴d（A，B）+d（B，C）=card（A∪B）﹣card（A∩B）+card（B∪C）﹣card（B∩C）=[card （A∪B）+card（B∪C）]﹣[card（A∩B）+card（B∩C）]≥card（A∪C）﹣card（A∩C）=d（A，C），故命题②成立，故选：A点评：本题考查了，元素和集合的关系，以及逻辑关系，分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系，注意本题对充要条件的考查．集合的元素个数，体现两个集合的关系，但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系，属于基础题．7．（5分）考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：利用x取特殊值，通过函数的定义判断正误即可．解答：解：A．取x=0，则sin2x=0，∴f（0）=0；取x=，则sin2x=0，∴f（0）=1；∴f（0）=0，和1，不符合函数的定义；∴不存在函数f（x），对任意x∈R都有f（sin2x）=sinx；B．取x=0，则f（0）=0；取x=π，则f（0）=π2+π；∴f（0）有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误；C．取x=1，则f（2）=2，取x=﹣1，则f（2）=0；这样f（2）有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误；D．令|x+1|=t，t≥0，则f（t2﹣1）=t；令t2﹣1=x，则t=；∴；即存在函数f（x）=，对任意x∈R，都有f（x2+2x）=|x+1|；∴该选项正确．故选：D．点评：本题考查函数的定义的应用，基本知识的考查，但是思考问题解决问题的方法比较难．8．（5分）考点：二面角的平面角及求法．专题：创新题型；空间角．分析：解：画出图形，分AC=BC，AC≠BC两种情况讨论即可．解答：解：①当AC=BC时，∠A′DB=α；②当AC≠BC时，如图，点A′投影在AE上，α=∠A′OE，连结AA′，易得∠ADA′＜∠AOA′，∴∠A′DB＞∠A′OE，即∠A′DB＞α综上所述，∠A′DB≥α，故选：B．点评：本题考查空间角的大小比较，注意解题方法的积累，属于中档题．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）双曲线的简单性质．考点：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．专题：确定双曲线中的几何量，即可求出焦距、渐近线方程．分析：解解：双曲线=1中，a=，b=1，c=，答：∴焦距是2c=2，渐近线方程是y=±x．故答案为：2；y=±x．本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．点评：10．（6分）函数的值．考点：计算题；函数的性质及应用．专题：分根据已知函数可先求f（﹣3）=1，然后代入可求f（f（﹣3））；由于x≥1时，f（x）=，析：当x＜1时，f（x）=lg（x2+1），分别求出每段函数的取值范围，即可求解解答：解：∵f（x）=，∴f（﹣3）=lg10=1，则f（f（﹣3））=f（1）=0，当x≥1时，f（x）=，即最小值，当x＜1时，x2+1≥1，（x）=lg（x2+1）≥0最小值0，故f（x）的最小值是．故答案为：0；．本题主要考查了分段函数的函数值的求解，属于基础试题．点评：11．（6分）两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．考点：专三角函数的求值．题：分由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2x﹣）+，易得最小正周期，解不等析：式2kπ+≤2x﹣≤2kπ+可得函数的单调递减区间．解答：解：化简可得f（x）=sin2x+sinxcosx+1=（1﹣cos2x）+sin2x+1=sin（2x﹣）+，∴原函数的最小正周期为T==π，由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+可得kπ+≤x≤kπ+，∴函数的单调递减区间为[kπ+，kπ+]（k∈Z）故答案为：π；[kπ+，kπ+]（k∈Z）点评：本题考查三角函数的化简，涉及三角函数的周期性和单调性，属基础题．12．（4分）考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：直接把a代入2a+2﹣a，然后利用对数的运算性质得答案．解答：解：∵a=log43，可知4a=3，即2a=，所以2a+2﹣a=+=．故答案为：．点评：本题考查对数的运算性质，是基础的计算题．13．（4分）考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：连结ND，取ND 的中点为：E，连结ME说明异面直线AN，CM所成的角就是∠EMC通过解三角形，求解即可．解答：解：连结ND，取ND 的中点为：E，连结ME，则ME∥AN，异面直线AN，CM所成的角就是∠EMC，∵AN=2，∴ME==EN，MC=2，又∵EN⊥NC，∴EC==，∴cos∠EMC===．故答案为：．点评：本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．14．（4分）考点：函数的最值及其几何意义．专题：不等式的解法及应用；直线与圆．分析：根据所给x，y的范围，可得|6﹣x﹣3y|=6﹣x﹣3y，再讨论直线2x+y﹣2=0将圆x2+y2=1分成两部分，分别去绝对值，运用线性规划的知识，平移即可得到最小值．解答：解：由x2+y2≤1，可得6﹣x﹣3y＞0，即|6﹣x﹣3y|=6﹣x﹣3y，如图直线2x+y﹣2=0将圆x2+y2=1分成两部分，在直线的上方（含直线），即有2x+y﹣2≥0，即|2+y﹣2|=2x+y﹣2，此时|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|=（2x+y﹣2）+（6﹣x﹣3y）=x﹣2y+4，利用线性规划可得在A（，）处取得最小值3；在直线的下方（含直线），即有2x+y﹣2≤0，即|2+y﹣2|=﹣（2x+y﹣2），此时|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|=﹣（2x+y﹣2）+（6﹣x﹣3y）=8﹣3x﹣4y，利用线性规划可得在A（，）处取得最小值3．综上可得，当x=，y=时，|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值为3．故答案为：3．点本题考查直线和圆的位置关系，主要考查二元函数在可行域内取得最值的方法，属于中档题．评：15．（6分）空间向量的数量积运算；平面向量数量积的运算．考点：专创新题型；空间向量及应用．题：分由题意和数量积的运算可得＜•＞=，不妨设=（，，0），=（1，0，0），由析：已知可解=（，，t），可得|﹣（|2=（x+）2+（y﹣2）2+t2，由题意可得当x=x0=1，y=y0=2时，（x+）2+（y﹣2）2+t2取最小值1，由模长公式可得|．解解：∵•=||||cos＜•＞=cos＜•＞=，答：∴＜•＞=，不妨设=（，，0），=（1，0，0），=（m，n，t），则由题意可知=m+n=2，=m=，解得m=，n=，∴=（，，t），∵﹣（）=（﹣x﹣y，，t），∴|﹣（|2=（﹣x﹣y）2+（）2+t2=x2+xy+y2﹣4x﹣5y+t2+7=（x+）2+（y﹣2）2+t2，由题意当x=x0=1，y=y0=2时，（x+）2+（y﹣2）2+t2取最小值1，此时t2=1，故|==2故答案为：1；2；2点本题考查空间向量的数量积，涉及向量的模长公式，属中档题．评：三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）余弦定理．考点：解三角形．专题：分（1）由余弦定理可得：，已知b2﹣a2=c2．可得，a=．利析：用余弦定理可得cosC．可得sinC=，即可得出tanC=．（2）由=×=3，可得c，即可得出b．解解：（1）∵A=，∴由余弦定理可得：，∴b2﹣a2=bc﹣c2，答：又b2﹣a2=c2．∴bc﹣c2=c2．∴b=c．可得，∴a2=b2﹣=，即a=．∴cosC===．∵C∈（0，π），∴sinC==．∴tanC==2．（2）∵=×=3，解得c=2．∴=3．点评：本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角形基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（15分）考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系，通过•=•=0及线面垂直的判定定理即得结论；（2）所求值即为平面A1BD的法向量与平面B1BD的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可．解答：（1）证明：如图，以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系．则BC=AC=2，A1O==，易知A1（0，0，），B（，0，0），C（﹣，0，0），A（0，，0），D（0，﹣，），B1（，﹣，），=（0，﹣，0），=（﹣，﹣，），=（﹣，0，0），=（﹣2，0，0），=（0，0，），∵•=0，∴A1D⊥OA1，又∵•=0，∴A1D⊥BC，又∵OA1∩BC=O，∴A1D⊥平面A1BC；（2）解：设平面A1BD的法向量为=（x，y，z），由，得，取z=1，得=（，0，1），设平面B1BD的法向量为=（x，y，z），由，得，取z=1，得=（0，，1），∴cos＜，＞===，又∵该二面角为钝角，∴二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值为﹣．点评：本题考查空间中线面垂直的判定定理，考查求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题．18．（15分）考点：二次函数在闭区间上的最值．专题：函数的性质及应用．分析：（1）明确二次函数的对称轴，区间的端点值，由a的范围明确函数的单调性，结合已知以及三角不等式变形所求得到证明；（2）讨论a=b=0以及分析M（a，b）≤2得到﹣3≤a+b≤1且﹣3≤b﹣a≤1，进一步求出|a|+|b|的求值．解答：解：（1）由已知可得f（1）=1+a+b，f（﹣1）=1﹣a+b，对称轴为x=﹣，因为|a|≥2，所以或≥1，所以函数f（x）在[﹣1，1]上单调，所以M（a，b）=max{|f（1），|f（﹣1）|}=max{|1+a+b|，|1﹣a+b|}，所以M（a，b）≥（|1+a+b|+|1﹣a+b|）≥|（1+a+b）﹣（1﹣a+b）|≥|2a|≥2；（2）当a=b=0时，|a|+|b|=0又|a|+|b|≥0，所以0为最小值，符合题意；又对任意x∈[﹣1，1]．有﹣2≤x2+ax+b≤2得到﹣3≤a+b≤1且﹣3≤b﹣a≤1，易知|a|+|b|=max{|a﹣b|，|a+b|}=3，在b=﹣1，a=2时符合题意，所以|a|+|b|的最大值为3．点评：本题考查了二次函数闭区间上的最值求法；解答本题的关键是正确理解M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值，以及利用三角不等式变形．19．（15分）考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：创新题型；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由题意，可设直线AB的方程为x=﹣my+n，代入椭圆方程可得（m2+2）y2﹣2mny+n2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．可得△＞0，设线段AB的中点P（x0，y0），利用中点坐标公式及其根与系数的可得P，代入直线y=mx+，可得，代入△＞0，即可解出．（2）直线AB与x轴交点横坐标为n，可得S△OAB=，再利用均值不等式即可得出．解答：解：（1）由题意，可设直线AB的方程为x=﹣my+n，代入椭圆方程，可得（m2+2）y2﹣2mny+n2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．由题意，△=4m2n2﹣4（m2+2）（n2﹣2）=8（m2﹣n2+2）＞0，设线段AB的中点P（x0，y0），则．x0=﹣m×+n=，由于点P在直线y=mx+上，∴=+，∴，代入△＞0，可得3m4+4m2﹣4＞0，解得m2，∴或m．（2）直线AB与x轴交点纵坐标为n，∴S△OAB==|n|•=，由均值不等式可得：n2（m2﹣n2+2）=，∴S△AOB=，当且仅当n2=m2﹣n2+2，即2n2=m2+2，又∵，解得m=，当且仅当m=时，S△AOB取得最大值为．点评：本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、线段垂直平分线的性质、三角形面积计算公式、弦长公式、均值不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．（15分）考点：数列的求和；数列与不等式的综合．专题：创新题型；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）通过题意易得0＜a n≤（n∈N*），利用a n﹣a n+1=可得≥1，利用==≤2，即得结论；（2）通过=a n﹣a n+1累加得S n=﹣a n+1，利用数学归纳法可证明≥a n≥（n≥2），从而≥≥，化简即得结论．解答：证明：（1）由题意可知：0＜a n≤（n∈N*），又∵a2=a1﹣=，∴==2，又∵a n﹣a n+1=，∴a n＞a n+1，∴≥1，∴==≤2，∴1≤≤2（n∈N*）；（2）由已知，=a n﹣a n+1，=a n﹣1﹣a n，…，=a1﹣a2，累加，得S n=++…+=a1﹣a n+1=﹣a n+1，易知当n=1时，要证式子显然成立；当n≥2时，=．下面证明：≥a n≥（n≥2）．易知当n=2时成立，假设当n=k时也成立，则a k+1=﹣+，由二次函数单调性知：a n+1≥﹣+=≥，a n+1≤﹣+=≤，∴≤≤，即当n=k+1时仍然成立，故对n≥2，均有≥a n≥，∴=≥≥=，即（n∈N*）．点评：本题是一道数列与不等式的综合题，考查数学归纳法，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．。
2015年浙江高考理数答案详解-何易阳整理
解：设 AB =3i, AC 3 j , AD 2 z , AN
3i 3 j , CM z 3 j 2
3 3 9 9 2 iz j z i j j 2 2 2 , cos BAC 7 , cos CAD cos BAD 1 cos 2 9 3 2 22 2 9 7 1 2 2 7 cos 8 8
求是书院数学组长
浙江何易阳 QQ546873259
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合P {x / x 2 2 x 0}, Q {x /1 x 2}, 则CR P Q __ A.[0,1) B.(0, 2] C.(1, 2) D.[1, 2]
1 a b , 1 a b max
1 a 2 b 2 2b a 2 (b 1) 2 a 2, 得证
a (2)结合(1)知 a 2, M (a, b) f ( 1) , f (1) , f ( ) 2 max
解：设b在e1和e2面上的投影向量为me1 ne2 ,由已知计算得m 1, n 2 结合上图显然有x0 1, y0 2, b 2 2
求是书院数学组长
浙江何易阳 QQ546873259
三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
1 16.在 ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a, b, c,已知A= ，b 2 a 2 c 2 4 2 (1)求 tan C的值, (2)若 ABC的面积是2，求b的值.
解：CR P 0 x 2, Q 1 x 2, 故选C
2015年高考陕西省理科数学真题含答案解析(超完美版)
2015年高考陕西省理科数学真题一、选择题1.设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M N =（ ）A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(,1]-∞2.某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（ ）A ．167B ．137C ．123D ．933.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin()6y x k πϕ=++，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为（ ） A ．5B ．6C ．8D ．104.二项式(1)()nx n N ++∈的展开式中2x 的系数为15，则n =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．75.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．24π+D ．34π+ 6. “sin cos αα=”是“cos20α=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要 7.对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立的是（ ） A ．|?|||||a b a b ≤B ．||||||||a b a b -≤-C ．22()||a b a b +=+D ．22(a b)(a b)a b +-=-8.根据下边的图，当输入x 为2006时，输出的y =（ ）A ．28B ．10C ．4D ．29.设()ln ,0f x x a b =<<，若()p f ab =，()2a b q f +=，1(()())2r f a f b =+，则下列关系式中正确的是（ ）A ．q r p =<B ．q r p =>C ．p r q =<D ．p r q =>10.某企业生产甲乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额表所示，如果生产1吨甲乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）A ．12万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元11.设复数(1)z x yi =-+(,)x y R ∈，若||1z ≤，则y x ≥的概率（ ） A ．3142π+ B ．1142π- C ．112π- D ．112π+ 12.对二次函数2()f x ax bx c =++（a 为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ） A ．-1是()f x 的零点 B ．1是()f x 的极值点 C ．3是()f x 的极值D ．点(2,8)在曲线()y f x =上二、填空题13.中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为14.若抛物线22(0)y px p =>的准线经过双曲线221x y -=的一个焦点，则p=15.设曲线x y e =在点（0,1）处的切线与曲线1(0)y x x=>上点p 处的切线垂直，则p 的坐标为 16.如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为三、解答题17.C ∆AB 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ． 向量(),3m a b =与()cos ,sin n =A B 平行．()I 求A ； ()II 若7a =，2b =求C ∆AB 的面积．18.如图1，在直角梯形CD AB 中，D//C A B ，D 2π∠BA =，C 1AB =B =，D 2A =，E 是D A 的中点，O 是C A 与BE 的交点．将∆ABE 沿BE 折起到1∆A BE 的位置，如图2．()I 证明：CD⊥平面1CA O；()II若平面1A BE⊥平面CDB E，求平面1CA B与平面1CDA夹角的余弦值．19.设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：()I求T的分布列与数学期望ET；()II刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．20.已知椭圆:E22221x ya b+=（0a b>>）的半焦距为c，原点O到经过两点(),0c，()0,b的直线的距离为12c．()I求椭圆E的离心率；()II如图，AB是圆:M()()225212x y++-=的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，求椭圆E的方程．21.设()nf x是等比数列1，x，2x，⋅⋅⋅，n x的各项和，其中0x>，n∈N，2n≥．()I证明：函数()()F2n nx f x=-在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个零点（记为nx），且11122nn nx x+=+；()II设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为()ng x，比较()nf x与()ng x的大小，并加以证明．22.如图，AB切O于点B，直线DA交O于D，E两点，C DB⊥E，垂足为C．()I证明：C D D∠B=∠BA；()II若D3DCA=，C2B=，求O的直径．23.在直角坐标系x yO中，直线l的参数方程为13232x ty t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数）．以原点为极点，x轴正半轴为极轴C ()I 写出C 的直角坐标方程；()II P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．2015年高考陕西省理科数学真题答案一、选择题 1.答案：A 解析过程： 由==⇒=2{x }{0,1},M xx M=≤⇒=<≤N {x lg 0}N {x 0x 1}x所以0,1MN ⎡⎤=⎣⎦，选A2.答案：B解析过程：由图可知该校女教师的人数为，选B3.答案：C 解析过程：试题分析：由图像得， 当时，求得， 当时，，选C4.答案：B 解析过程：二项式(1)nx +的展开式的通项是1r rr n T C x +=，令2r =得2x 的系数是2n C ，因为2x 的系数为15，所以215n C =，即2300n n --=，解得：6n =或5n =-，11070%150(160%)7760137⨯+⨯-=+=sin()16x π+Φ=-min 2y =5k =sin()16x π+Φ=max 3158y =⨯+=因为n N +∈，所以6n =，选C 5.答案：D 解析过程：试题分析：由几何体的三视图可知该几何体为圆柱的截去一半， 所以该几何体的表面积为，选 6. 答案：A 解析过程：ααα=⇒-=22cos 20cos sin 0αααα⇒-+=(cos sin )(cos sin )0所以sin cos 或sin =-cos αααα=，选A 7.答案：B 解析过程：因为cos ,a b a b a b a b ⋅=<>≤，所以选项A 正确；当a 与b 方向相反时，a b a b -≤-不成立，所以选项B 错误； 向量的平方等于向量的模的平方，所以选项C 正确；22(a b)(a b)a b +-=-所以选项D 正确，选B8.答案：C 解析过程：初始条件：；第1次运行：；第2次运行：； 第3次运行：；；第1003次运行：； 第1004次运行：．不满足条件，停止运行， 所以输出的，故选 B ．9.答案：B 解析过程：()ln p f ab ab ==，()ln22a b a bq f ++==， 11(()())ln ln 22r f a f b ab ab =+==函数()ln f x x =在()0,+∞上单调递增，21121222342πππ⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯=+D 2006x =2004x =2002x =2000x =⋅⋅⋅⋅⋅⋅0x =2x =-0?x ≥23110y =+=因为2a b ab +>，所以()()2a bf f ab +>， 所以q p r >=，故选C10.答案：D 解析过程：设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为、吨，则利润由题意可列，其表示如图阴影部分区域：当直线过点时，取得最大值， 所以，故选D 11.答案：D解析过程：如图可求得，，阴影面积等于 若，则的概率是，故选B ． 12.答案：A 解析过程：假设选项A 错误，则选项B 、C 、D 正确，()2f x ax b '=+， 因为1是()f x 的极值点，3是()f x 的极值，所以(1)0(1)3f f '=⎧⎨=⎩，203a b a b c +=⎧⎨++=⎩，解得23b ac a=-⎧⎨=+⎩，因为点(2,8)在曲线()y f x =上，所以428a b c ++=， 解得：5a =，所以10b =-，8c =， 所以2()5108f x x x =-+x y 34z x y =+32122800x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩340x y z +-=(2,3)A z max 324318z =⨯+⨯=2222(1)||(1)1(1)1z x yi z x y x y =-+⇒=-+≤⇒-+≤(1,1)A (1,0)B 21111114242ππ⨯-⨯⨯=-||1z ≤y x ≥211142142πππ-=-⨯因为()215(1)10(1)8230f -=⨯--⨯-+=≠，所以1-不是()f x 的零点，所以假设成立，选A 二、填空题 13.答案：5 解析过程：设数列的首项为，则， 所以，故该数列的首项为 14.答案：解析过程：抛物线22(0)y px p =>的准线方程是2px =-， 双曲线221x y-=的一个焦点1(F ， 因为抛物线22(0)y px p =>的准线 经过双曲线221x y -=的一个焦点， 所以2p-=p =15.答案：（1,1） 解析过程：因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率，设的坐标为（），则， 因为，所以， 所以曲线在点处的切线的斜率， 因为，所以，即，解得， 因为，所以，所以，即的坐标是1a 12015210102020a +=⨯=15a =5xy e =xy e '=xy e =()0,10101x k y e ='===P ()00,x y 00x >001y x =1y x =21y x'=-1y x=P 02201x x k y x ='==-121k k ⋅=-211x -=-201x =01x =±00x >01x =01y =P ()1,116.答案：1.2 解析过程：建立空间直角坐标系，如图所示：原始的最大流量是， 设抛物线的方程为（）， 因为该抛物线过点，所以，解得，所以，即， 所以当前最大流量是，故原始的最大流量与当前最大流量的比值是三、解答题 17.答案：（I ）；（II ）．解析过程：（I ）因为，所以，由正弦定理，得 又，从而，由于，所以(II)解法一：由余弦定理，得而得，即因为，所以.故ABC 的面积为()11010222162⨯+-⨯⨯=22x py =0p >()5,22225p ⨯=254p =2252x y =2225y x =()()5323535522224022255255257575753x dx x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤-=-=⨯-⨯-⨯--⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰161.2403=3π332//m n sin 3cos 0a B b A sinAsinB 3sinBcos A 0sin 0B ≠tan 3A 0A π<<3A π=2222cos a b c bc A 7b 2,a 3πA =2742c c 2230c c 0c3c ∆133bcsinA 22解法二：由正弦定理得72sin sin3Bπ=，从而21sin 7B =，又由a b >，知A B >，所以27cos 7B = 故sin sin()C A B =+sin()3B π=+sin coscos sin33B B ππ=+32114=所以ABC ∆的面积为133sin 22bc A = 18.答案：（I ）证明见解析；（II ）解析过程：（I ）在图1中，因为AB=BC=1,AD=2,E 是AD 的中点，BAD=，所以BE AC 即在图2中，BE ，BE OC 从而BE 平面又CD BE ，所以CD 平面. (II)由已知，平面平面BCDE ， 又由（1）知，BE ，BE OC所以为二面角的平面角，所以.如图，以O 为原点，建立空间直角坐标系，因为, 所以 63∠2π⊥⊥1OA ⊥⊥1A OC ⊥1A OC 1A BE ⊥⊥1OA ⊥1A OC ∠1--C A BE 1OC 2A π∠=11B=E=BC=ED=1A A BC ED 12222(,0,0),E(,0,0),A (0,0,),C(0,,0),2222B得 ，.设平面的法向量， 平面的法向量，平面与平面夹角为，则，得，取，，得，取， 从而， 即平面与平面夹角的余弦值为 19.答案：()I T 的分布列为：ET=32（分钟）()II解析过程：从而 （分钟） (II)设分别表示往、返所需时间，的取值相互独立，且与T 的分布列相同.22BC(,,0),22122A C(0,)22CD BE (2,0,0)1BC A 1111(,,)n x y z 1CD A 2222(,,)n x y z 1BC A 1CD A θ11100n BC n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩111100x y yz -+=⎧⎨-=⎩1(1,1,1)n 2210n CD n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩22200xy z =⎧⎨-=⎩2(0,1,1)n =12cos |cos ,|3n n θ=〈〉==1BC A 1CD A 30.910.4400.132⨯+⨯=12,T T 12,T T设事件A 表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟， 所以事件A 对应于“刘教授在途中的时间不超过70分钟”.解法一：.解法二：故.20.答案：()I 2()II 22x y +=1123解析过程：（I ）过点(c,0),(0,b)的直线方程为，则原点O 到直线的距离，由， 得，解得离心率. (II)解法一：由（I ）知，椭圆E 的方程为. (1) 依题意，圆心M(-2,1)是线段AB 的中点，且.易知，AB 不与x 轴垂直， 设其直线方程为，代入(1)得设 则 由，得解得. 从而.121212(A)P(70)P(25,45)P(30,40)P T T T T T T =+≤==≤+=≤1212P(35,35)P(40,30)T T T T +=≤+=≤10.210.30.90.40.50.10.91=⨯+⨯+⨯+⨯=121212(A)P(70)P(35,40)P(40,35)P T T T T T T 12P(40,40)T T 0.40.10.10.40.10.10.09=⨯+⨯+⨯=(A)1P(A)0.91P 0bx cy bc bcd a ==12d c 2222ab ac 32c a22244x y b |AB |10(2)1yk x 2222(14)8(21)4(21)40k x k k x k b 1122(,y ),B(,y ),A x x 221212228(21)4(21)4,.1414k k k b x x x x k k 124x x 28(21)4,14k k k 12k21282x x b于是. 由，得，解得.故椭圆E 的方程为.解法二：由（I ）知，椭圆E 的方程为. (2) 依题意，点A ，B 关于圆心M(-2,1)对称，且.设 则，，两式相减并结合得.易知，AB 不与x 轴垂直，则， 所以AB 的斜率 因此AB 直线方程为， 代入(2)得 所以，.于是. 由，得，解得.故椭圆E 的方程为.21.答案：（I ）证明见解析；（II ）当时， ，12|AB ||x x =-==|AB |1022)1023b 221123x y 22244x y b |AB |101122(,y ),B(,y ),A x x 2221144x y b 2222244x y b 12124,y 2,x x y 1212-4()80x x y y 12x x ≠12121k .2AB y y x x 1(2)12yx 224820.xx b 124x x 21282x x b 12|AB ||x x =-==|AB |1022)1023b 221123x y 1x ()()n n f x g x当时，，证明见解析．解析过程： （I ）则所以在内至少存在一个零点. 又，故在内单调递增，所以在内有且仅有一个零点. 因为是的零点，所以，即，故.(II)解法一：由题设，设当时,当时,若,1x ≠()()n n f x g x 2()()212,n n n F x f x x x x (1)10,n F n 1211111112()1220,12222212n nn n F +⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++-=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-()n F x 1,12⎛⎫⎪⎝⎭n x 1()120n n F x x nx -'=++>1,12⎛⎫⎪⎝⎭()n F x 1,12⎛⎫⎪⎝⎭n x n x ()n F x ()=0n n F x 11201n n nx x 111=+22n n n x x 11().2nn n x g x 211()()()1,0.2nnn n n x h x f x g x x x x x 1x ()()n n f x g x 1x ≠()111()12.2n n n n x h x x nx--+'=++-01x ()11111()22n n n n n n h x x x nx x ----+'>++-11110.22nnn n n n x x若,所以在上递增，在上递减， 所以，即.综上所述，当时, ；当时解法二 由题设，当时,当时, 用数学归纳法可以证明.当时, 所以成立.假设时，不等式成立，即.那么，当时，.又令，则所以当,,在上递减；当,,在上递增. 1x ()11111()22n n n n n n h x xx nx x ----+'<++-11110.22nnn n n n x x ()h x (0,1)(1,)+∞()(1)0h x h ()()n n f x g x 1x ()()n n f x g x 1x ≠()()n n f x g x 211()1,(),0.2nn n n n x f x x x x g x x 1x ()()n n f x g x 1x ≠()()n n f x g x 2n2221()()(1)0,2f xg x x 22()()f x g x (2)n k k =≥()()k k f x g x +1nk 111k+1k 11()()()2kk kk k k x f x f x x g x x x 12112kk x k x k 11k+121111()22kk kk x k x k kx k x g x 1()11(x 0)kk k h x kx k x ()()11()(k 1)11(x 1)kk k k h x k x k k x k k x --'=+-+=+-01x ()0k h x '<()k h x (0,1)1x ()0kh x '>()k h x (1,)+∞所以，从而故.即，不等式也成立.所以，对于一切的整数，都有.解法三:由已知，记等差数列为,等比数列为,则，，所以, 令当时, ,所以.当时, 而，所以，.若, ,,当,,, 从而在上递减,在上递增.所以，所以当又,，故综上所述，当时, ；当时22.答案：()I 见解析()II 直径为3 解析过程：（Ⅰ）因为是的直径，则，又，所以， 又切于点，得，所以；（Ⅱ）由（Ⅰ）知平分，则， ()(1)0k k h x h 1k+1211()2kk x k x k g x 11()()k k f x g x +1n k 2n ≥()()n n f x g x k a k b k 1,2,, 1.n 111a b 11n n na b x ()11+1(2n)n k x a k k n-=-⋅≤≤1(2),k k b x k n -=≤≤()()111(x)1,0(2).n k k k k k x m a b x x k n n---=-=+->≤≤1x =k k a b ()()n n f x g x 1x ≠()()12211()(k 1)11n k k n k k k m x nx x k x x n----+-'=--=--2k n ≤≤10k 11n k -+≥01x 11nk x ()0k m x '<1x 11nk x()0km x '>()k m x (0,1)()k m x (1,)+∞()(1)0k k m x m 01(2),k k x x a b k n >≠>≤≤且时,11a b 11n n a b ()()n n f x g x 1x ()()n n f x g x 1x ≠()()n n f x g x DE O 90BED EDB ∠+∠=︒BC DE ⊥90CBD EDB ∠+∠=︒AB O B DBA BED ∠=∠CBD DBA ∠=∠BD CBA ∠3BA ADBC CD==又，从而，由，解得，所以，由切割线定理得，解得， 故，即的直径为3.23.答案：()I 22（-3x y +=()II （3,0）解析过程：（1）由，得，从而有，所以（2）设，又， 则24.已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<．()I 求实数a ，b 的值；()II答案：()I a=-3,b=1()II 4 解析过程：（Ⅰ）由，得，由题意得，解得；，时等号成立， 故BC=AB =222AB BC AC =+4AC =3AD =2AB AD AE =⋅6AE =3DE AE AD =-=O ρθ=2sin ρθ=22x y +=(223x y +-=132P t ⎛⎫+⎪⎝⎭C PC ==x a b +<b a x b a --<<-24b a b a --=⎧⎨-=⎩3,1a b =-==+≤4===1t =min4=。
2015年高考数学江苏卷含答案解析
．
������ ← 1
������ ← 1
While ������ < 8
������ ← ������ + 2
������ ← ������ + 3
End While
Print ������
（第 4 题）
5. 袋中有形状、大小都相同的 4 只球，其中 1 只球，1 只红球，2 只黄球．从中一次随机摸出 2 只球，则这
半径最大的圆的标准方程为
．
答案：(������ − 1)2 + ������2 = 2． 建议解法：直线 ������������ − ������ − 2������ − 1 = 0 经过定点 (2, −1)． 当圆与直线相切于点 (2, −1) 时，圆的半径最大，此时半径 ������ 满足 ������2 = (1 − 2)2 + (0 + 1)2 = 2．
11.
设数列 {������������} 满足 ������1
= 1，且 ������������+1 − ������������
=
������
+
1（������
∈
������∗），则数列
{
1 ������������
}
前
10
项的和为
．
答案：2101 ．
建议解法：首先
������������+1
．
答案：√5． 建议解法：因为 |������|2 = |������2| = √32 + 42 = 5，所以 |������| = √5．
S 数学 I 试卷 第 1 页（共 11 页）
4. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果 ������ 为
2015年高考湖北理科数学试卷(含解析)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.i 为虚数单位，607i =（ ） A ．i B ．-i C ．1 D ．-1 【答案】A 【解析】试题分析：i i i i -=⋅=⨯31514607,选 B . 考点：复数概念.2.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ） A ．134石 B ．169石 C ．338石 D ．1365石 【答案】B 【解析】试题分析：依题意，这批米内夹谷约为169153425428=⨯石，选B. 考点：用样本估计总体.3.已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）A.122B ．112 C ．102 D ．92 【答案】D考点：1.二项式系数，2.二项式系数和. 4.设211(,)XN μσ，222(,)YN μσ，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ）A ．21()()P Y P Y μμ≥≥≥B ．21()()P X P X σσ≤≤≤C ．对任意正数t ，()()P X t P Y t ≤≥≤D ．对任意正数t ，()()P X t P Y t ≥≥≥【答案】C考点：正态分布密度曲线. 5．设12,,,n a a a ∈R ，3n ≥.若p ：12,,,n a a a 成等比数列；q ：22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++，则（ ）A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：对命题p ：12,,,n a a a 成等比数列，则公比)3(1≥=-n a a q n n且0≠n a ； 对命题q ，①当0=n a 时，22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++成立； ②当≠n a 时，根据柯西不等式，等式22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++成立，则nn a a a a a a 13221-=⋅⋅⋅==，所以12,,,n a a a 成等比数列， 所以p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件.考点：1.等比数列的判定，2.柯西不等式，3.充分条件与必要条件.6.已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩()f x 是R 上的增函数，()()()(1)g x f x f ax a =->，则（ ）A ．sgn[()]sgn g x x =B ．sgn[()]sgn g x x =-C ．sgn[()]sgn[()]g x f x =D ．sgn[()]sgn[()]g x f x =- 【答案】B 【解析】试题分析：因为()f x 是R 上的增函数，令x x f =)(，所以x a x g )1()(-=，因为1>a ，所以)(x g 是R 上的减函数，由符号函数1,0s g n 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩知，1,0s g n [()]0,0s g n1,0x g x x x x ->⎧⎪===-⎨⎪<⎩. 考点：1.符号函数，2.函数的单调性.7．在区间[0,1]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≥”的概率，2p 为事件“1||2x y -≤”的概率，3p 为事件“12xy ≤”的概率，则 （ ） A ．123p p p << B ．231p p p << C ．312p p p <<D ．321p p p <<【答案】B（1） （2） （3） 考点：几何概型.8．将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（ ） A ．对任意的,a b ，12e e >B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e <C ．对任意的,a b ，12e e <D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e > 【答案】D考点：1.双曲线的性质，2.离心率.9．已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为（ ）A ．77B ．49C ．45D ．30 【答案】C 【解析】试题分析：因为集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，所以集合A 中有9个元素（即9个点），即图中圆中的整点，集合{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z 中有25个元素（即25个点）：即图中正方形ABCD 中的整点，集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈的元素可看作正方形1111D C B A 中的整点（除去四个顶点），即45477=-⨯个.考点：1.集合的相关知识，2.新定义题型.10．设x ∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数. 若存在实数t ，使得[]1t =，2[]2t =，…，[]n t n = 同时成立．．．．，则正整数n 的最大值是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 【答案】B考点：1.函数的值域，2.不等式的性质.二、填空题：本大题共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．（一）必考题（11—14题）11.已知向量OA AB ⊥，||3OA =，则OA OB ∙=. 【答案】9 【解析】试题分析：因为OA AB ⊥，||3OA =，所以OA OB ∙=93||||)(222===∙+=+∙. 考点：1.平面向量的加法法则，2.向量垂直，3.向量的模与数量积. 12．函数2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22x f x x x x =---+的零点个数为．【答案】2考点：1.二倍角的正弦、余弦公式，2.诱导公式，3.函数的零点.13．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD =m.【答案】6100 【解析】试题分析：依题意， 30=∠BAC ， 105=∠ABC ，在ABC ∆中，由180=∠+∠+∠ACB BAC ABC ，所以 45=∠ACB ，因为600=AB ，由正弦定理可得30sin 45sin 600BC=，即230=BC m ， 在BCD Rt ∆中，因为 30=∠CBD ，2300=BC ，所以230030tan CD BC CD ==，所以6100=CD m.考点：1.三角形三内角和定理，2.三角函数的定义，3.有关测量中的的几个术语，4.正弦定理.14．如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （B 在A 的上方）， 且2AB =．（Ⅰ）圆C 的标准．．方程为； （Ⅱ）过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点，下列三个结论：①NA MA NBMB=； ②2NB MA NAMB-=； ③NB MA NAMB+=其中正确结论的序号是. （写出所有正确结论的序号）【答案】（Ⅰ）22(1)(2x y -+=；（Ⅱ）①②③所以11)2NB MA NAMB-==-=，11NB MA NAMB+===正确结论的序号是①②③.考点：1.圆的标准方程，2.直线与圆的位置关系.（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．）15．（选修4-1：几何证明选讲）如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且3BC PB =，则ABAC=.【答案】21考点：1.圆的切线、割线，2.切割线定理，3.三角形相似. 16．（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线l 的极坐标方程为(sin 3cos )0ρθθ-=，曲线C 的参数方程为1,1x t t y t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩( t 为参数) ，l与C 相交于A ,B 两点，则||AB =. 【答案】52考点：1.极坐标方程、参数方程与普通方程的转化，2.两点间的距离.三、解答题：本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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2015年江苏数学高考试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1．（5分）（2015•江苏）已知集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则集合A∪B中元素的个数为．2．（5分）（2015•江苏）已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为．3．（5分）（2015•江苏）设复数z满足z2=3+4i（i是虚数单位），则z的模为．4．（5分）（2015•江苏）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为．5．（5分）（2015•江苏）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．6．（5分）（2015•江苏）已知向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）（m，n∈R），则m﹣n的值为．7．（5分）（2015•江苏）不等式2＜4的解集为．8．（5分）（2015•江苏）已知tanα=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值为．9．（5分）（2015•江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为．10．（5分）（2015•江苏）在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx﹣y ﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为．11．（5分）（2015•江苏）设数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为．12．（5分）（2015•江苏）在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2﹣y2=1右支上的一个动点，若点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为．13．（5分）（2015•江苏）已知函数f（x）=|lnx|，g（x）=，则方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为．14．（5分）（2015•江苏）设向量=（cos，sin+cos）（k=0，1，2，…，12），则（a k•a k+1）的值为．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）（2015•江苏）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．（1）求BC的长；（2）求sin2C的值．16．（14分）（2015•江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E．求证：（1）DE∥平面AA1C1C；（2）BC1⊥AB1．17．（14分）（2015•江苏）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l2，l1在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=（其中a，b为常数）模型．（1）求a，b的值；（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t．①请写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．18．（16分）（2015•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程．19．（16分）（2015•江苏）已知函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）．（1）试讨论f（x）的单调性；（2）若b=c﹣a（实数c是与a无关的常数），当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），求c的值．20．（16分）（2015•江苏）设a1，a2，a3．a4是各项为正数且公差为d（d≠0）的等差数列．（1）证明：2，2，2，2依次构成等比数列；（2）是否存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列？并说明理由；（3）是否存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列？并说明理由．三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）【选做题】本题包括21-24题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修4-1：几何证明选讲】21．（10分）（2015•江苏）如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC的外接圆⊙O的弦AE交BC于点D．求证：△ABD∽△AEB．【选修4-2：矩阵与变换】22．（10分）（2015•江苏）已知x，y∈R，向量=是矩阵的属于特征值﹣2的一个特征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．（2015•江苏）已知圆C的极坐标方程为ρ2+2ρsin（θ﹣）﹣4=0，求圆C的半径．[选修4-5：不等式选讲】24．（2015•江苏）解不等式x+|2x+3|≥2．【必做题】每题10分，共计20分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤25．（10分）（2015•江苏）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=，PA=AD=2，AB=BC=1．（1）求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．26．（10分）（2015•江苏）已知集合X={1，2，3}，Y n={1，2，3，…，n）（n∈N*），设S n={（a，b）|a整除b或整除a，a∈X，B∈Y n}，令f（n）表示集合S n所含元素的个数．（1）写出f（6）的值；（2）当n≥6时，写出f（n）的表达式，并用数学归纳法证明．2015年江苏数学高考试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1．（5分）考点：并集及其运算．专题：集合．分析：求出A∪B，再明确元素个数解答：解：集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则A∪B={1，2，3，4，5}；所以A∪B中元素的个数为5；故答案为：5点评：题考查了集合的并集的运算，根据定义解答，注意元素不重复即可，属于基础题2．（5分）考点：众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：直接求解数据的平均数即可．解答：解：数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为：=6．故答案为：6．点评：本题考查数据的均值的求法，基本知识的考查．3．（5分）考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的模的求解法则，化简求解即可．解答：解：复数z满足z2=3+4i，可得|z||z|=|3+4i|==5，∴|z|=．故答案为：．点评：本题考查复数的模的求法，注意复数的模的运算法则的应用，考查计算能力．4．（5分）考点：伪代码．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的I，S的值，当I=10时不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7．解答：解：模拟执行程序，可得S=1，I=1满足条件I＜8，S=3，I=4满足条件I＜8，S=5，I=7满足条件I＜8，S=7，I=10不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7．故答案为：7．点评：本题主要考查循环结构的程序，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．5．（5分）考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：根据题意，把4个小球分别编号，用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可．解答：解：根据题意，记白球为A，红球为B，黄球为C1、C2，则一次取出2只球，基本事件为AB、AC1、AC2、BC1、BC2、C1C2共6种，其中2只球的颜色不同的是AB、AC1、AC2、BC1、BC2共5种；所以所求的概率是P=．故答案为：．点评：本题考查了用列举法求古典概型的概率的应用问题，是基础题目．6．（5分）考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：直接利用向量的坐标运算，求解即可．解答：解：向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）可得，解得m=2，n=5，∴m﹣n=﹣3．故答案为：﹣3．点评：本题考查向量的坐标运算，向量相等条件的应用，考查计算能力．7．（5分）考点：指、对数不等式的解法．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：利用指数函数的单调性转化为x2﹣x＜2，求解即可．解答：解；∵2＜4，∴x2﹣x＜2，即x2﹣x﹣2＜0，解得：﹣1＜x＜2故答案为：（﹣1，2）点评：本题考查了指数函数的性质，二次不等式的求解，属于简单的综合题目，难度不大．8．（5分）考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：直接利用两角和的正切函数，求解即可．解答：解：tanα=﹣2，tan（α+β）=，可知tan（α+β）==，即=，解得tanβ=3．故答案为：3．点评：本题考查两角和的正切函数，基本知识的考查．9．（5分）考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意求出原来圆柱和圆锥的体积，设出新的圆柱和圆锥的底面半径r，求出体积，由前后体积相等列式求得r．解答：解：由题意可知，原来圆锥和圆柱的体积和为：．设新圆锥和圆柱的底面半径为r，则新圆锥和圆柱的体积和为：．∴，解得：．故答案为：．点评：本题考查了圆柱与圆锥的体积公式，是基础的计算题．10．（5分）考点：圆的标准方程；圆的切线方程．专题：计算题；直线与圆．分析：求出圆心到直线的距离d的最大值，即可求出所求圆的标准方程．解答：解：圆心到直线的距离d==≤，∴m=1时，圆的半径最大为，∴所求圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2．故答案为：（x﹣1）2+y2=2．点评：本题考查所圆的标准方程，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，比较基础．11．（5分）考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），利用“累加求和”可得a n=．再利用“裂项求和”即可得出．解答：解：∵数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），∴当n≥2时，a n=（a n﹣a n﹣1）+…+（a2﹣a1）+a1=+n+…+2+1=．当n=1时，上式也成立，∴a n=．∴=2．∴数列{}的前n项的和S n===．∴数列{}的前10项的和为．故答案为：．点评：本题考查了数列的“累加求和”方法、“裂项求和”方法、等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为x±y=0，c的最大值为直线x﹣y+1=0与直线x﹣y=0的距离．解答：解：由题意，双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为x±y=0，因为点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，所以c的最大值为直线x﹣y+1=0与直线x﹣y=0的距离，即．故答案为：．点评：本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．13．（5分）考点：根的存在性及根的个数判断．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：：由|f（x）+g（x）|=1可得g（x）=﹣f（x）±1，分别作出函数的图象，即可得出结论．解答：解：由|f（x）+g（x）|=1可得g（x）=﹣f（x）±1．g（x）与h（x）=﹣f（x）+1的图象如图所示，图象有两个交点；g（x）与φ（x）=﹣f（x）﹣1的图象如图所示，图象有两个交点；所以方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为4．故答案为：4．点评：本题考查求方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．14．（5分）考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列；平面向量及应用．分析：利用向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性即可得出．解答：解：=+=++++=++=++，∴（a k•a k+1）=+++++++…+++++++…+=+0+0=．故答案为：9．点评：本题考查了向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）考点：余弦定理的应用；二倍角的正弦．专题：解三角形．分析：（1）直接利用余弦定理求解即可．（2）利用正弦定理求出C的正弦函数值，然后利用二倍角公式求解即可．解答：解：（1）由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=4+8﹣2×2×3×=7，所以BC=．（2）由正弦定理可得：，则sinC===，∵AB＜BC，∴C为锐角，则cosC===．因此sin2C=2sinCcosC=2×=．点评：本题考查余弦定理的应用，正弦定理的应用，二倍角的三角函数，注意角的范围的解题的关键．16．（14分）考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）根据中位线定理得DE∥AC，即证DE∥平面AA1C1C；（2）先由直三棱柱得出CC1⊥平面ABC，即证AC⊥CC1；再证明AC⊥平面BCC1B1，即证BC1⊥AC；最后证明BC1⊥平面B1AC，即可证出BC1⊥AB1．解答：证明：（1）根据题意，得；E为B1C的中点，D为AB1的中点，所以DE∥AC；又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C；（2）因为棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1；又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1=C，所以AC⊥平面BCC1B1；又因为BC1⊂平面平面BCC1B1，所以BC1⊥AC；因为BC=CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，所以BC1⊥平面B1AC；又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1．点评：本题考查了直线与直线，直线与平面以及平面与平面的位置关系，也考查了空间想象能力和推理论证能力的应用问题，是基础题目．17．（14分）考点：函数与方程的综合运用．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）由题意知，点M，N的坐标分别为（5，40），（20，2.5），将其分别代入y=，建立方程组，即可求a，b的值；（2）①求出切线l的方程，可得A，B的坐标，即可写出公路l长度的函数解析式f （t），并写出其定义域；②设g（t）=，利用导数，确定单调性，即可求出当t为何值时，公路l的长度最短，并求出最短长度．解答：解：（1）由题意知，点M，N的坐标分别为（5，40），（20，2.5），将其分别代入y=，得，解得，（2）①由（1）y=（5≤x≤20），P（t，），∴y′=﹣，∴切线l的方程为y﹣=﹣（x﹣t）设在点P处的切线l交x，y轴分别于A，B点，则A（，0），B（0，），∴f（t）==，t∈[5，20]；②设g（t）=，则g′（t）=2t﹣=0，解得t=10，t∈（5，10）时，g′（t）＜0，g（t）是减函数；t∈（10，20）时，g′（t）＞0，g（t）是增函数，从而t=10时，函数g（t）有极小值也是最小值，∴g（t）min=300，∴f（t）min=15，答：t=10时，公路l的长度最短，最短长度为15千米．点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的综合运用，确定函数关系，正确求导是关键．18．（16分）考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）运用离心率公式和准线方程，可得a，c的方程，解得a，c，再由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；（2）讨论直线AB的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及两直线垂直的条件和中点坐标公式，即可得到所求直线的方程．解答：解：（1）由题意可得，e==，且c+=3，解得c=1，a=，则b=1，即有椭圆方程为+y2=1；（2）当AB⊥x轴，AB=，CP=3，不合题意；当AB与x轴不垂直，设直线AB：y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），将AB方程代入椭圆方程可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2（k2﹣1）=0，则x1+x2=，x1x2=，则C（，），且|AB|=•=，若k=0，则AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意；则k≠0，故PC：y+=﹣（x﹣），P（﹣2，），从而|PC|=，由|PC|=2|AB|，可得=，解得k=±1，此时AB的方程为y=x﹣1或y=﹣x+1．点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理和弦长公式，同时考查两直线垂直和中点坐标公式的运用，属于中档题．19．（16分）考点：利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）求导数，分类讨论，利用导数的正负，即可得出f（x）的单调性；（2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（﹣）=+b，则函数f（x）有三个不同的零点等价于f（0）f（﹣）=b（+b）＜0，进一步转化为a＞0时，﹣a+c＞0或a＜0时，﹣a+c＜0．设g（a）=﹣a+c，利用条件即可求c的值．解答：解：（1）∵f（x）=x3+ax2+b，∴f′（x）=3x2+2ax，令f′（x）=0，可得x=0或﹣．a=0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；a＞0时，x∈（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（﹣，0）时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（﹣∞，﹣），（0，+∞）上单调递增，在（﹣，0）上单调递减；a＜0时，x∈（﹣∞，0）∪（﹣，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（0，﹣）时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（﹣∞，0），（﹣，+∞）上单调递增，在（0，﹣）上单调递减；（2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（﹣）=+b，则函数f（x）有三个不同的零点等价于f（0）f（﹣）=b（+b）＜0，∵b=c﹣a，∴a＞0时，﹣a+c＞0或a＜0时，﹣a+c＜0．设g（a）=﹣a+c，∵函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），∴在（﹣∞，﹣3）上，g（a）＜0且在（1，）∪（，+∞）上g（a）＞0均恒成立，∴g（﹣3）=c﹣1≤0，且g（）=c﹣1≥0，∴c=1，此时f（x）=x3+ax2+1﹣a=（x+1）[x2+（a﹣1）x+1﹣a]，∵函数有三个零点，∴x2+（a﹣1）x+1﹣a=0有两个异于﹣1的不等实根，∴△=（a﹣1）2﹣4（1﹣a）＞0，且（﹣1）2﹣（a﹣1）+1﹣a≠0，解得a∈（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），综上c=1．点评：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，难度大．20．（16分）考点：等比关系的确定；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）根据等比数列和等差数列的定义即可证明；（2）利用反证法，假设存在a1，d使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列，推出矛盾，否定假设，得到结论；（3）利用反证法，假设存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列，得到a1n（a1+2d）n+2k=（a1+2d）2（n+k），且（a1+d）n+k（a1+3d）n+3k=（a1+2d）2（n+2k），利用等式以及对数的性质化简整理得到ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln （1+2t）ln（1+t）=4ln（1+3t）ln（1+t），（**），多次构造函数，多次求导，利用零点存在定理，推出假设不成立．解答：解：（1）证明：∵==2d，（n=1，2，3，）是同一个常数，∴2，2，2，2依次构成等比数列；（2）令a1+d=a，则a1，a2，a3，a4分别为a﹣d，a，a+d，a+2d（a＞d，a＞﹣2d，d≠0）假设存在a1，d使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列，则a4=（a﹣d）（a+d）3，且（a+d）6=a2（a+2d）4，令t=，则1=（1﹣t）（1+t）3，且（1+t）6=（1+2t）4，（﹣＜t＜1，t≠0），化简得t3+2t2﹣2=0（*），且t2=t+1，将t2=t+1代入（*）式，t（t+1）+2（t+1）﹣2=t2+3t=t+1+3t=4t+1=0，则t=﹣，显然t=﹣不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立，因此不存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列．（3）假设存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列，则a1n（a1+2d）n+2k=（a1+2d）2（n+k），且（a1+d）n+k（a1+3d）n+3k=（a1+2d）2（n+2k），分别在两个等式的两边同除以=a12（n+k），a12（n+2k），并令t=，（t＞，t≠0），则（1+2t）n+2k=（1+t）2（n+k），且（1+t）n+k（1+3t）n+3k=（1+2t）2（n+2k），将上述两个等式取对数，得（n+2k）ln（1+2t）=2（n+k）ln（1+t），且（n+k）ln（1+t）+（n+3k）ln（1+3t）=2（n+2k）ln（1+2t），化简得，2k[ln（1+2t）﹣ln（1+t）]=n[2ln（1+t）﹣ln（1+2t）]，且3k[ln（1+3t）﹣ln（1+t）]=n[3ln（1+t）﹣ln（1+3t）]，再将这两式相除，化简得，ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t）=4ln（1+3t）ln（1+t），（**）令g（t）=4ln（1+3t）ln（1+t）﹣ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t），则g′（t）=[（1+3t）2ln（1+3t）﹣3（1+2t）2ln（1+2t）+3（1+t）2ln（1+t）]，令φ（t）=（1+3t）2ln（1+3t）﹣3（1+2t）2ln（1+2t）+3（1+t）2ln（1+t），则φ′（t）=6[（1+3t）ln（1+3t）﹣2（1+2t）ln（1+2t）+3（1+t）ln（1+t）]，令φ1（t）=φ′（t），则φ1′（t）=6[3ln（1+3t）﹣4ln（1+2t）+ln（1+t）]，令φ2（t）=φ1′（t），则φ2′（t）=＞0，由g（0）=φ（0）=φ1（0）=φ2（0）=0，φ2′（t）＞0，知g（t），φ（t），φ1（t），φ2（t）在（﹣，0）和（0，+∞）上均单调，故g（t）只有唯一的零点t=0，即方程（**）只有唯一解t=0，故假设不成立，所以不存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列．点评：本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质，函数与方程等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力，属于难题．三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）【选做题】本题包括21-24题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修4-1：几何证明选讲】21．（10分）考点：相似三角形的判定．专题：推理和证明．分析：直接利用已知条件，推出两个三角形的三个角对应相等，即可证明三角形相似．解答：证明：∵AB=AC，∴∠ABD=∠C，又∵∠C=∠E，∴∠ABD=∠E，又∠BAE是公共角，可知：△ABD∽△AEB．点评：本题考查圆的基本性质与相似三角形等基础知识，考查逻辑推理能力．【选修4-2：矩阵与变换】22．（10分）考点：特征值与特征向量的计算．专题：矩阵和变换．分析：利用A=﹣2，可得A=，通过令矩阵A的特征多项式为0即得结论．解答：解：由已知，可得A=﹣2，即==，则，即，∴矩阵A=，从而矩阵A的特征多项式f（λ）=（λ+2）（λ﹣1），∴矩阵A的另一个特征值为1．点评：本题考查求矩阵及其特征值，注意解题方法的积累，属于中档题．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．（2015•江苏）考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；坐标系和参数方程．分析：先根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，求出圆的直角坐标方程，求出半径．解答：解：圆的极坐标方程为ρ2+2ρsin（θ﹣）﹣4=0，可得ρ2﹣2ρcosθ+2ρsinθ﹣4=0，化为直角坐标方程为x2+y2﹣2x+2y﹣4=0，化为标准方程为（x﹣1）2+（y+1）2=6，圆的半径r=．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，以及求点的极坐标的方法，关键是利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，比较基础，[选修4-5：不等式选讲】24．（2015•江苏）考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式．分析：思路1（公式法）：利用|f（x）|≥g（x）⇔f（x）≥g（x），或f（x）≤﹣g（x）；思路2（零点分段法）：对x的值分“x≥”“x＜”进行讨论求解．解答：解法1：x+|2x+3|≥2变形为|2x+3|≥2﹣x，得2x+3≥2﹣x，或2x+3≥﹣（2﹣x），即x≥，或x≤﹣5，即原不等式的解集为{x|x≥，或x≤﹣5}．解法2：令|2x+3|=0，得x=．①当x≥时，原不等式化为x+（2x+3）≥2，即x≥，所以x≥；②x＜时，原不等式化为x﹣（2x+3）≥2，即x≤﹣5，所以x≤﹣5．综上，原不等式的解集为{x|x≥，或x≤﹣5}．点评：本题考查了含绝对值不等式的解法．本解答给出的两种方法是常见的方法，不管用哪种方法，其目的是去绝对值符号．若含有一个绝对值符号，利用公式法要快捷一些，其套路为：|f（x）|≥g（x）⇔f（x）≥g（x），或f（x）≤﹣g（x）；|f（x）|≤g（x）⇔﹣g（x）≤f（x）≤g（x）．可简记为：大于号取两边，小于号取中间．使用零点分段法时，应注意：同一类中取交集，类与类之间取并集．【必做题】每题10分，共计20分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤25．（10分）（考点：二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系A﹣xyz．（1）所求值即为平面PAB的一个法向量与平面PCD的法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可；（2）利用换元法可得cos2＜，＞≤，结合函数y=cosx在（0，）上的单调性，计算即得结论．解答：解：以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系A﹣xyz如图，由题可知B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．（1）∵AD⊥平面PAB，∴=（0，2，0），是平面PAB的一个法向量，∵=（1，1，﹣2），=（0，2，﹣2），设平面PCD的法向量为=（x，y，z），由，得，取y=1，得=（1，1，1），∴cos＜，＞==，∴平面PAB与平面PCD所成两面角的余弦值为；（2）∵=（﹣1，0，2），设=λ=（﹣λ，0，2λ）（0≤λ≤1），又=（0，﹣1，0），则=+=（﹣λ，﹣1，2λ），又=（0，﹣2，2），从而cos＜，＞==，设1+2λ=t，t∈[1，3]，则cos2＜，＞==≤，当且仅当t=，即λ=时，|cos＜，＞|的最大值为，因为y=cosx在（0，）上是减函数，此时直线CQ与DP所成角取得最小值．又∵BP==，∴BQ=BP=．点评：本题考查求二面角的三角函数值，考查用空间向量解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．26．（10分）考点：数学归纳法．专题：综合题；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）f（6）=6+2++=13；（2）根据数学归纳法的证明步骤，分类讨论，即可证明结论．解答：解：（1）f（6）=6+2++=13；（2）当n≥6时，f（n）=．下面用数学归纳法证明：①n=6时，f（6）=6+2++=13，结论成立；②假设n=k（k≥6）时，结论成立，那么n=k+1时，S k+1在S k的基础上新增加的元素在（1，k+1），（2，k+1），（3，k+1）中产生，分以下情形讨论：1）若k+1=6t，则k=6（t﹣1）+5，此时有f（k+1）=f（k）+3=（k+1）+2++，结论成立；2）若k+1=6t+1，则k=6t+1，此时有f（k+1）=f（k）+1=k+2+++1=（k+1）+2++，结论成立；3）若k+1=6t+2，则k=6t+1，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；4）若k+1=6t+3，则k=6t+2，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；5）若k+1=6t+4，则k=6t+3，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；6）若k+1=6t+5，则k=6t+4，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立．综上所述，结论对满足n≥6的自然数n均成立．点评：本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，正确归纳是关键．。
全国高考理科数学试题word详解答案版天津卷
2015年全国高考理科数学试题word详解答案版-天津卷2015年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第I卷注意事项：·1、每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题，每小题5分，共40分参考公式：如果事件 A，B 互斥，那么·如果事件 A，B 相互独立，P(A∪B)=P(A)+P(B)． P(AB)=P(A) P(B)．柱体的体积公式V 柱体=Sh 锥体的体积公式V = V=1/3Sh其中 S 表示柱体的底面积其中 S 表示锥体的底面积，h 表示柱体的高． h 表示锥体的高．第Ⅰ卷注意事项：本卷共8小题，每小题5分，共40分.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知全集，集合，集合，则集合A∩C u B=（A）（B）（C）（D）（2）设变量x,y 满足约束条件，则目标函数的最大值为（A）3（B）4（C）18（D）40（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（A）（B）6 （C）142（D）18 （4）设，则是的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（5）如图，在圆O 中，M,N 是弦AB 的三等分点，弦CD,CE分别经过点M,N .若，则线段NE 的长为（A）8 3 （B）3 （C）10 3（D）5 2x2y2（6）已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为x2y2x2y2（B）（A）28212128x2y2x2y2（D）（C）3443（7）已知定义在R 上的函数（m 为实数）为偶函数，记，则a,b,c 的大小关系为（A） c （B）（C）（D）（8）已知函数函数，其中，若函数恰有4个零点，则b的取值范围是（A）（B）（C）（D）第II卷注意事项：1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2、本卷共12小题，共计110分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）i 是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数a 的值为 .（10）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为 m. 3（11）曲线与直线所围成的封闭图形的面积为（12）在的展开式中，的系数为（13）在中，内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，已知ABC的面积为，6则a 的值为4（14）在等腰梯形ABCD 中,已知动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上, 且，EAF的最小值为 . 则三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.（本小题满分13分）已知函数，(I)求f(x)最小正周期；(II)求f(x)在区间上的最大值和最小值16. （本小题满分13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(I)设A为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A发生的概率；(II)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.17. （本小题满分13分）如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱底面2，且点M和N分别为B1C和D1D的中点.(I)求证：MN∥平面ABCD(II)求二面角D1-AC-B1的正弦值；(III)设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为1，求线段A1E的长 318. （本小题满分13分）已知数列{an}满足为实数，且，，且a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数列.(I)求q的值和{an}的通项公式；(II)设log2a2n的前n项和，求数列｛bn｝x2y219. （本小题满分14分）已知椭圆2+2=1(a>b>0)的左焦点为F（-c,0）,离心率为，点ab3b4M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x+y=截得的线段的长为c，. 422(I)求直线FM的斜率；(II)求椭圆的方程；(III)设动点P在椭圆上，若直线FPOP（O为原点）的斜率的取值范围.20. （本小题满分14分）已知函数，其中(I)讨论f(x)的单调性；(II)设曲线y=f(x)与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g(x),求证：对于任意的正实数x，都有；(III)若关于x的方程f(x)=a(a为实数)有两个正实根x1，x2，求证：|x2-x1|<a+2. 1-n绝密★启用前2015年普通高等学校招生全套统一考试（天津卷）数学（理工类）参考解答一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。
高考数学试题分项版解析专题03导数的几何意义与运算文
【2019最新】精选高考数学试题分项版解析专题03导数的几何意义与运算文1.【2015高考北京，文8】某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每千米平均耗油量为（ ）100A ．升B ．升C ．升D ．升1012【答案】B【考点定位】平均变化率.【名师点晴】本题主要考查的是平均变化率，属于中档题．解题时一定要抓住重要字眼“每千米”和“平均”，否则很容易出现错误．解此类应用题时一定要万分小心，除了提取必要的信息外，还要运用所学的数学知识进行分析和解决问题．1002.【2014高考陕西版文第10题】如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连续（相切），已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为（ ）（A ） （B ） 321122y x x x =--3211322y x x x =+-（C ） （D ）314y x x =-3211242y x x x =+-【答案】A【解析】试题分析：由题目图像可知：该三次函数过原点，故可设该三次函数为，则，由题得：，，32()y f x ax bx cx ==++2()32y f x ax bx c ''==++(0)1f '=-(2)0f =(2)3f '=即，解得，所以，故选.184201243c a b c a b c =-⎧⎪++=⎨⎪++=⎩12121a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩321122y x x x =--A 考点：函数的解析式.【名师点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的性质，函数的解析式等知识，属于难题.解题时要认真理解题意，“一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连续（相切），已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分”，确定函数为三次函数，然后由已知函数图像，将图像语言转化为数学语言，，，，从而确定出参数 (0)1f '=-(2)0f =(2)3f '=,,a b c3.【2016高考四川文科】设直线l1，l2分别是函数f(x)= 图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P ，且l1，l2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是( )ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩(A)(0,1) (B) (0,2) (C) (0,+∞) (D) (1,+ ∞)【答案】A()1111ln y x x x x -=-，切线的方程为，即.分别令得又与的交点为，故选A.2l ()2221ln y x x x x +=--1111ln y x x x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭0x =()()110,1ln ,0,1ln .A x B x -++2l221111112222111121121,ln .1,1,0111211PAB A B P PAB x x x x P x x S y y x S x x x x ∆∆⎛⎫-++>∴=-⋅=<=∴<< ⎪++++⎝⎭ 考点：1.导数的几何意义；2.两直线垂直关系；3.直线方程的应用；4.三角形面积取值范围.【名师点睛】本题首先考查导数的几何意义，其次考查最值问题，解题时可设出切点坐标，利用切线垂直求出这两点的关系，同时得出切线方程，从而得点坐标，由两直线相交得出点坐标，从而求得面积，题中把面积用表示后，可得它的取值范围．解决本题可以是根据题意按部就班一步一步解得结论．这也是我们解决问题的一种基本方法，朴实而基础，简单而实用．,A B P 1x4.【2017课标1，文14】曲线在点（1，2）处的切线方程为______________．21y x x=+【答案】1y x =+【考点】导数几何意义【名师点睛】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．),(00y x P ),(00y x P )(x f y =P ))(('000x x x f y y -=-)(x f y =))(,(00x f x P y 0x x =5.【2017天津，文10】已知，设函数的图象在点（1，）处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为 .a ∈R()ln f x ax x =-(1)f 【答案】【解析】试题分析：，切点为，，则切线的斜率为，切线方程为：，令得出，在轴的截距为.(1)f a =(1,)a 1()f x a x '=-(1)1f a '=-(1)(1)y a a x -=--0x =1y =y 【考点】导数的几何意义【名师点睛】本题考查了导数的几何意义，属于基础题型，函数在点处的导数的几何意义是曲线在点处的切线的斜率．相应地，切线方程为．注意：求曲线切线时，要分清在点处的切线与过点的切线的不同,谨记，有切点直接带入切点，没切点设切点，建立方程组求切点.()f x 0x ()0f x '()y f x =()00,P x y ()()000y y f x x x '-=-P P6.【2014高考广东卷.文.11】曲线在点处的切线方程为________.53x y e =-+()0,2-【答案】或.52y x =--520x y ++=【解析】,,故所求的切线的斜率为,53x y e =-+5x y e '∴=-055k e =-=-故所求的切线的方程为,即或.()25y x --=-52y x =--520x y ++=【考点定位】本题考查利用导数求函数图象的切线问题,属于中等题.【名师点晴】本题主要考查的是导数的几何意义和直线的方程，属于容易题．解题时一定要抓住重要字眼“在点处”，否则很容易出现错误．解导数的几何意义问题时一定要抓住切点的三重作用：①切点在曲线上；②切点在切线上；③切点处的导数值等于切线的斜率．()0,2-7. 2016高考新课标Ⅲ文数]已知为偶函数，当 时，，则曲线在处的切线方程式_____________________________.()f x 0x ≤1()x f x e x --=-()y f x =(1,2)【答案】2y x =考点：1、函数的奇偶性；2、解析式；3、导数的几何意义．【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当时，函数，则当时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数为偶函数，则当时，函数的解析式为；若为奇函数，则函数的解析式为．0x >()y f x =0x <()f x 0x <()y f x =-()f x ()y f x =--8. 【2015高考陕西，文15】函数在其极值点处的切线方程为____________.x y xe = 【答案】1y e=- 【解析】，令，此时()()(1)x x y f x xe f x x e '==⇒=+()01f x x '=⇒=-1(1)f e -=-函数在其极值点处的切线方程为x y xe =1y e=-【考点定位】：导数的几何意义. 【名师点睛】1.本题考查导数的几何意义，利用导数研究曲线上某点处切线方程等基础知识，考查运算求解能力.2.解决导数几何意义的问题时要注意抓住切点的三重作用：切点在曲线上；切点在切线上；切点处导函数值等于切线斜率.9.【2015高考新课标1，文14】已知函数的图像在点的处的切线过点，则 .()31f x ax x =++()()1,1f ()2,7a =【答案】1考点：利用导数的几何意义求函数的切线；常见函数的导数；【名师点睛】对求过某点的切线问题，常设出切点，利用导数求出切线方程，将已知点代入切线方程得到关于切点横坐标的方程，解出切点的横坐标，即可求出切线方程，思路明确，关键是运算要细心.10. 【2014，安徽文15】若直线与曲线满足下列两个条件：C直线在点处与曲线相切；曲线在附近位于直线的两侧，则称直线在点处“切过”曲线，)(i ()00,y x P C )(ii C P P C下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号)①直线在点处“切过”曲线：0:=y l ()0,0P C 3y x =②直线在点处“切过”曲线：1:-=x l ()0,1-P C 2)1(+=x y③直线在点处“切过”曲线：x y l =:()0,0P C x y sin =④直线在点处“切过”曲线：x y l =:()0,0P C x y tan =⑤直线在点处“切过”曲线：1:-=x y l ()0,1P C x y ln =【答案】①③④，【解析】试题分析：由题意，①上在处的切线方程为，曲线在附近位于切线的两侧，满足条件；②上在处的切线方程为，曲线在附近位于切线的同侧，不满足条件；③上在处的切线方程为，曲线在附近位于切线的两侧，满足条件；④上在处的切线方程为，曲线在附近位于切线的两侧，满足条件；⑤上在处的切线方程为，曲线在附近位于切线的同侧，不满足条件，故选①③④，如下图：3y x =()0,0P 0x =C P 2)1(+=x y ()1,0P -0x =C P x y sin =()0,0P y x =C P x y tan =()0,0P y x =C P x y ln =()1,0P 1y x =-C P考点：1，函数的切线方程；2，对定义的理解，【名师点睛】对于函数新定义的创新题，要紧扣题目中所给的信息和对已知条件的解读理解，将其转化为已有的认知结构，然后利用函数性质解题.已知在点处的切线方程为.()f x 00(,())x f x 000'()()y y f x x x -=-11. 【2015高考天津，文11】已知函数 ,其中a 为实数,为的导函数,若 ,则a 的值为 ．()()ln ,0,f x ax x x =∈+∞()f x '()f x ()13f '=【答案】3【考点定位】本题主要考查导数的运算法则.【名师点睛】本题考查内容单一,求出由,再由可直接求得a 的值,因此可以说本题是一道基础题,但要注意运算的准确性,由于填空题没有中间分,一步出错,就得零分,故运算要特别细心.()()1ln f x a x '=+()13f '=12. 【2015新课标2文16】已知曲线在点 处的切线与曲线 相切,则a= ．ln y x x =+()1,1()221y ax a x =+++【答案】8【考点定位】本题主要考查导数的几何意义及直线与抛物线相切问题.【名师点睛】求曲线在某点处的切线方程的方法是：求出函数在该点处的导数值即为切线斜率,然后用点斜式就可写出切线方程.而直线与抛物线相切则可以通过判别式来解决,本题将导数的几何意义与二次函数交汇在一起进行考查,具有小题综合化的特点.13.【2017山东，文20】（本小题满分13分）已知函数.,()3211,32f x x ax a =-∈R (I)当a=2时,求曲线在点处的切线方程；()y f x =()()3,3f(II)设函数,讨论的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.()()()cos sin g x f x x a x x =+--()g x【答案】(I),（2）(II)⑴无极值；⑵极大值为,极小值为；390x y --=0a =0a <31sin 6a a --a - ⑶极大值为,极小值为.0a >a -31sin 6a a -- 【解析】试题分析：(I)根据求出切线斜率,再用点斜式写出切线方程；(II)由,通过讨论确定单调性,再由单调性确定极值.()()(sin )g x x a x x '=--()g x试题解析：（I ）由题意，'2()f x x ax =-所以，当时，，，2a =(3)0f ='2()2f x x x =-所以，'(3)3f =因此，曲线在点处的切线方程是，()y f x =(3,(3))f 3(3)y x =-即.390x y --=（II ）因为，()()()cos sin g x f x x a x x =+--所以，''()()cos ()sin cos g x f x x x a x x =+---令，()sin h x x x =-则，'()1cos 0h x x =->所以在上单调递增，()h x R因为，(0)0h =所以，当时，；当时，.0x >()0h x >0x <()0h x <所以，当时，取到极大值，极大值是，x a =()g x 31()sin 6g a a a =--当时，取到极小值，极小值是.0x =()g x (0)g a =-（2）当时，，0a ='()(sin )g x x x x =-当时，，单调递增；(,)x ∈-∞+∞'()0g x ≥()g x所以，在上单调递增，无极大值也无极小值.()g x (,)-∞+∞()g x（3）当时，，0a >'()()(sin )g x x a x x =--当时，，，单调递增；(,0)x ∈-∞0x a -<'()0g x >()g x当时，，，单调递减；(0,)x a ∈0x a -<'()0g x <()g x当时，，，单调递增.(,)x a ∈+∞0x a ->'()0g x >()g x所以，当时，取到极大值，极大值是；0x =()g x (0)g a =-当时，取到极小值，极小值是.x a =()g x 31()sin 6g a a a =--综上所述：当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是，极小值是.0a <()g x (,)a -∞(0,)+∞(,0)a 31()sin 6g a a a =--(0)g a =-当时，函数在上单调递增，无极值；0a =()g x (,)-∞+∞当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是，极小值是.0a >()g x (,0)-∞(,)a +∞(0,)a (0)g a =-31()sin 6g a a a =--【考点】导数的几何意义及导数的应用【名师点睛】(1)求函数f(x)极值的步骤：①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0,求出函数定义域内的所有根；④检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号,如果左正右负,那么f(x)在x0处取极大值,如果左负右正,那么f(x)在x0处取极小值．(2)若函数y ＝f(x)在区间(a,b)内有极值,那么y ＝f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值．14.【2017北京，文20】已知函数．()e cos x f x x x =-（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；()y f x =(0,(0))f（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．()f x π[0,]2【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）最大值1；最小值.1y =2π-【解析】试题解析：（Ⅰ）因为，所以.()e cos x f x x x =-()e (cos sin )1,(0)0x f x x x f ''=--= 又因为，所以曲线在点处的切线方程为.(0)1f =()y f x =(0,(0))f 1y =（Ⅱ）设，则.()e (cos sin )1x h x x x =--()e (cos sin sin cos )2e sin x x h x x x x x x '=---=- 当时，，π(0,)2x ∈()0h x '<所以在区间上单调递减.()h x π[0,]2所以对任意有，即.π(0,]2x ∈()(0)0h x h <=()0f x '< 所以函数在区间上单调递减.()f x π[0,]2因此在区间上的最大值为，最小值为.()f x π[0,]2(0)1f =ππ()22f =- 【考点】1.导数的几何意义；2.利用导数求函数的最值.【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点是需要求二阶导数，因为不能判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设 ，再求，一般这时就可求得函数的零点，或是恒成立，这样就能知道函数的单调性，根据单调性求最值，从而判断的单调性，求得最值.()f x '()()h x f x '=()h x '()h x '()h x '()h x ()y f x =15.【2016高考新课标2文数】已知函数.()(1)ln (1)f x x x a x =+--（I ）当时，求曲线在处的切线方程；4a =()y f x =()1,(1)f（Ⅱ）若当时，，求的取值范围.()1,x ∈+∞()0f x ＞【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）220x y +-=(],2.-∞【解析】试题解析：（I ）的定义域为.当时，()f x (0,)+∞4=a1()(1)ln 4(1),()ln 3'=+--=+-f x x x x f x x x，(1)2,(1)0.'=-=f f 所以曲线在处的切线方程为()=y f x (1,(1))f 220.x y +-=（II ）当时，等价于(1,)∈+∞x ()0>f x (1)ln 0.1-->+a x x x令，(1)()ln 1-=-+a x g x x x 则，222122(1)1(),(1)0(1)(1)+-+'=-==++a x a x g x g x x x x （i ）当，时， ，2≤a (1,)∈+∞x 222(1)1210+-+≥-+>x a x x x故在上单调递增，因此；()0,()'>g x g x (1,)∈+∞x ()0>g x（ii ）当时，令得，2>a ()0'=g x 1211=-=-x a x a由和得，21>x 121=x x 11<x故当时，，在单调递减，因此.2(1,)∈x x ()0'<g x ()g x 2(1,)∈x x ()0<g x综上，的取值范围是(],2.-∞考点： 导数的几何意义，函数的单调性.【名师点睛】求函数的单调区间的方法：(1)确定函数y ＝f(x)的定义域；(2)求导数y′＝f′(x)；(3)解不等式f′(x )>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．16.【2015高考山东，文20】设函数. 已知曲线 在点处的切线与直线平行.(1,(1))f（Ⅰ）求的值； （Ⅱ）是否存在自然数，使得方程在内存在唯一的根？如果存在，求出；如果不存在，请说明理由；()()f x g x =(,1)k k +（Ⅲ）设函数（表示，中的较小值），求的最大值.()min{(),()}m x f x g x ={},min p q ,p q ()m x【答案】（I ） ；(II) ；(III) .1a =1k =24e 【解析】 设2()()()(1)ln ,x x h x f x g x x x e=-=+-当时，.(0,1]x ∈()0h x < 又2244(2)3ln 2ln8110,h e e =-=->-= 所以存在，使.0(1,2)x ∈0()0h x = 因为所以当时，，当时，，1(2)'()ln 1,xx x h x x x e -=+++(1,2)x ∈1'()10h x e>->(2,)x ∈+∞'()0h x > 所以当时，单调递增.(1,)x ∈+∞()h x所以时，方程在内存在唯一的根.1k =()()f x g x =(,1)k k +（III ）由（II ）知，方程在内存在唯一的根，且时，，时，，所以.()()f x g x =(1,2)0x 0(0,)x x ∈()()f x g x <0(,)x x ∈+∞()()f x g x >020(1)ln ,(0,](),(,)xx x x x m x x x x e+∈⎧⎪=⎨∈+∞⎪⎩ 当时，若0(0,)x x ∈(0,1],()0;x m x ∈≤若由可知故0(1,),x x ∈1'()ln 10,m x x x=++>00()();m x m x <≤0()().m x m x ≤ 当时，由可得时，单调递增；时，单调递减；0(,)x x ∈+∞(2)'(),xx x m x e -=0(,2)x x ∈'()0,()m x m x >(2,)x ∈+∞'()0,()m x m x < 可知且.24()(2),m x m e≤=0()(2)m x m <综上可得函数的最大值为.()m x 24e【考点定位】1.导数的几何意义；2.应用导数研究函数的单调性、最值；3.函数零点存在性定理.【名师点睛】本题考查了导数的几何意义、应用导数研究函数的性质、函数零点存在性定理等，解答本题的主要困难是（II ）(III)两小题，首先是通过构造函数，利用函数零点存在性定理，作出判断，并进一步证明函数在给定区间的单调性，明确方程在内存在唯一的根.其次是根据（II ）的结论，确定得到的表达式，并进一步利用分类讨论思想，应用导数研究函数的单调性、最值.()()f x g x =(,1)k k +()m x本题是一道能力题，属于难题.在考查导数的几何意义、应用导数研究函数的性质、函数零点存在性定理等基础知识的同时，考查考生的计算能力、应用数学知识分析问题解决问题的能力及分类讨论思想.本题是教辅材料的常见题型，有利于优生正常发挥.17.【2014全国2，文21】（本小题满分12分）已知函数，曲线在点处的切线与轴交点的横坐标为.32()32f x x x ax =-++()y f x =(0,2)2- （Ⅰ）求；a（Ⅱ）证明：当时，曲线与直线只有一个交点.1k <()y f x =2y kx =-【解析】：（Ⅰ），．曲线在点处的切线方程为．由题设得，，所以．2'(x)3x 6x a f =-+'(0)f a =()y f x =(0,2)y 2ax =+22a-=-1a =（Ⅱ）由（Ⅰ）得，．设．由题设得．当时，，单调递增，，，所以在有唯一实根．当时，令，则．，在单调递减；在单调递增.所以．所以在没有实根，综上，在上有唯一实根，即曲线与直线只有一个交点.32()32f x x x x =-++32()()kx 23(1k)4g x f x x x x =-+=-+-+1k 0->0x ≤2'()3610g x x x k =-+->g()x g(1)k 10-=-<g(0)4=g()0x =(,0)-∞0x >32()34h x x x =-+()()(1k)x ()g x h x h x =+->2'()3x h x =-63(x 2)x x =-()h x (0,2)(2,)+∞()()(2)0g x h x h >≥=()=0g x (0,)+∞()=0g x R ()y f x =2y kx =-【考点定位】1. 利用导数研究曲线上某点切线方程；2. 利用导数研究函数图象的交点．【名师点睛】本题考查利用导数求函数的极值与利用导数研究函数的单调性、切线、函数的值域，综合性强，属于难题，第二问，需将两个函数交点个数的问题转化为一个函数的零的个数问题来加以研究．要求学生有较强的推理能力和计算能力． 18.【2016高考北京文数】（本小题13分） 设函数()32.f x x ax bx c =+++（I ）求曲线在点处的切线方程；().y f x =()()0,0f（II ）设，若函数有三个不同零点，求c 的取值范围；4a b ==()f x （III ）求证：是有三个不同零点的必要而不充分条件.230a b -＞().f x 【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）;（III ）见解析.y bx c =+320,27c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【解析】试题解析：（I ）由，得．()32f x x ax bx c =+++()232f x x ax b '=++ 因为，，()0f c =()0f b '=所以曲线在点处的切线方程为．()y f x =()()0,0f y bx c =+ （II ）当时，，4a b ==()3244f x x x x c =+++ 所以．()2384f x x x '=++令，得，解得或．()0f x '=23840x x ++=2x =-23x =-()f x 与在区间上的情况如下：()f x '(),-∞+∞所以，当且时，存在，，0c >32027c -<()14,2x ∈--222,3x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭32,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得．()()()1230f x f x f x ===由的单调性知，当且仅当时，函数有三个不同零点．()f x 320,27c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()3244f x x x x c =+++ （III ）当时，，，24120a b ∆=-<()2320f x x ax b '=++>(),x ∈-∞+∞此时函数在区间上单调递增，所以不可能有三个不同零点．()f x (),-∞+∞()f x当时，只有一个零点，记作．24120a b ∆=-=()232f x x ax b '=++0x 当时，，在区间上单调递增；()0,x x ∈-∞()0f x '>()f x ()0,x -∞ 当时，，在区间上单调递增．()0,x x ∈+∞()0f x '>()f x ()0,x +∞ 所以不可能有三个不同零点．()f x综上所述，若函数有三个不同零点，则必有．()f x 24120a b ∆=-> 故是有三个不同零点的必要条件．230a b ->()f x当，时，，只有两个不同4a b ==0c =230a b ->()()232442f x x x x x x =++=+零点， 所以不是有三个不同零点的充分条件．230a b ->()f x因此是有三个不同零点的必要而不充分条件．230a b ->()f x 考点：利用导数研究曲线的切线；函数的零点 【名师点睛】1．证明不等式问题可通过作差或作商构造函数，然后用导数证明． 2．求参数范围问题的常用方法：(1)分离变量；(2)运用最值．3．方程根的问题：可化为研究相应函数的图象，而图象又归结为极值点和单调区间的讨论．4．高考中一些不等式的证明需要通过构造函数，转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键19.【2014高考重庆文第19题】（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）已知函数，其中，且曲线在点处的切线垂直于.23ln 4)(--+=x x a x x f R a ∈)(x f y =))1(,1(f x y 21= （Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数的单调区间与极值.)(x f【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）单调递增区间，单调递减区间，54a =()5,+∞()0,5()=f x 极小()5ln5f =- 【解析】 试题解析：解：（Ⅰ）对求导得，由在点处切线垂直于直线知解得；()f x ()2114a f x x x '=--()f x ()()1,1f 12y x =()32,4f x a '=--=-54a =（Ⅱ）由（Ⅰ）知，则53()ln 442x f x x x =+--()22215145,444x x f x x x x --'=--=令，解得或.因不在的定义域内，故舍去.()0f x '=1x =-5x =1x =-()f x ()0,+∞ 当时，故在内为减函数；()0,5x ∈()0,f x '<()f x ()0,5 当时，故在内为增函数；()5,x ∈+∞()0,f x '>()f x ()5,+∞ 由此知函数在时取得极小值.()f x 5x =()5ln5f =-考点：1、导数的求法；2、导数的几何意义；3、导数在研究函数性质中的应用. 【名师点睛】本题考查了导数的求法，导数的几何意义，导数在研究函数性质中的应用，属于中档题，准确应用导数公式及导数的运算法则是关键．20.【2015高考天津，文20】（本小题满分14分）已知函数4()4,,f x x x x R =-? （I ）求的单调区间;()f x（II ）设曲线与轴正半轴的交点为P,曲线在点P 处的切线方程为,求证:对于任意的正实数,都有;()y f x =()y g x =()()f x g x £（III ）若方程有两个正实数根且,求证:.()=()f x a a 为实数12x x ，，12x x <1321-43a x x <-+ 【答案】（I ） 的单调递增区间是 ,单调递减区间是;（II ）见试题解析;（III ）见试题解析.()f x (),1-∞()1,+∞ 【解析】根为 ,可得,由在 单调递减,得 ,所以 .设曲线 在原点处的切线为 方程 的根为 ,可得,由在在单调递增,且,可得所以 .2x '132412ax '=-+()g x (),-∞+∞()()()222g x f x a g x '≥==22x x '≤()y f x =(),y h x =()h x a =1x '14ax '=()4h x x =(),-∞+∞()()()111h x a f x h x '==≤11,x x '≤13212143a x x x x ''-≤-=-+试题解析:（I ）由,可得,当 ,即 时,函数 单调递增;当 ,即 时,函数 单调递减.所以函数 的单调递增区间是 ,单调递减区间是.4()4f x x x =-3()44f x x ¢=-()0f x '>1x <()f x ()0f x '<1x >()f x ()f x (),1-∞()1,+∞ （II ）设 ,则 , 曲线 在点P 处的切线方程为 ,即,令 即 则.()0,0P x 1304x =()012,f x '=-()y f x =()()00y f x x x '=-()()()00g x f x x x '=-()()()F x f x g x =-()()()()0F x f x f x x x '=--()()()0F x f x f x '''=-由于在 单调递减,故在 单调递减,又因为,所以当时,,所以当时,,所以 在单调递增,在单调递减,所以对任意的实数x, ,对于任意的正实数,都有.3()44f x x ¢=-(),-∞+∞()F x '(),-∞+∞()00F x '=()0,x x ∈-∞()0F x '>()0,x x ∈+∞()0F x '<()F x ()0,x -∞()0,x +∞()()00F x F x ≤=()()f x g x £（III ）由（II ）知 ,设方程 的根为 ,可得,因为在 单调递减,又由（II ）知 ,所以 .类似的,设曲线 在原点处的切线为 可得 ,对任意的,有 即 .设方程 的根为 ,可得,因为在单调递增,且,因此,所以 .()13124g x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()g x a =2x '132412a x '=-+()g x (),-∞+∞()()()222g x f x a g x '≥==22x x '≤()y f x =(),y h x =()4h x x =(),x ∈-∞+∞()()40f x h x x -=-≤()()f x h x ≤()h x a =1x '14ax '=()4h x x =(),-∞+∞()()()111h x a f x h x '==≤11,x x '≤13212143a x x x x ''-≤-=-+【考点定位】本题主要考查导数的几何意义及导数的应用.考查函数思想、化归思想及综合分析问题解决问题的能力【名师点睛】给出可导函数求单调区间,实质是解关于导函数的不等式,若函数解析式中不含参数,一般比较容易.不过要注意求单调区间,要注意定义域优先原则,且结果必须写成区间形式,不能写成不等式形式;利用导数证明不等式是近几年高考的一个热点,解决此类问题的基本思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性和极值破解.。
2015年全国高考理科数学试题与答案92948
绝密★启封并使用完成前试题种类： A 2015 年一般高等学校招生全国一致考试( 全国卷 1)理科数学注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷 1 至 3 页，第Ⅱ卷 3 至 5 页。
2.答题前，考生务势必自己的姓名、准考据号填写在本试题相应的地点。
3.所有答案在答题卡上达成，答在本试题上无效。
4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12 小题，每题 5 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的。
1+z（1）设复数z 知足=i ，则 |z|=（A）1（B）2（C）3（D）2（2） sin20 ° cos10 ° -con160 ° sin10 ° =（ A）3（ B）3（ C）2 2（3）设命题 P： n N，n2 > 2n，则P 为1（D）1 2 2（ A）n N, n2>2n （ B） n N, n2≤2n（ C）n N, n2≤2n （D） n N, n2 = 2n（4）投篮测试中，每人投 3 次，起码投中 2 次才能经过测试。
已知某同学每次投篮投中的概率为0.6 ，且各次投篮能否投中互相独立，则该同学经过测试的概率为（ A） 0.648（B）0.432（C）0.36（D）0.312（ 5 ）已知M ( x0 , y0 ) 是双曲线 C : x2 y2 1上的一点， F1,F2是C上的两个焦点，若2uuuur uuuurMF1 gMF2 0 ，则y0的取值范围是（ A）（- 3 ， 3 ）（ B）（- 3 ， 3 ）3 3 6 6（ C）（2 2，2 2）（ D）（ 2 3，2 3）3 3 3 3（ 6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有以下问题: “今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。
问 : 积及为米几何 ?”其意思为 : “在屋内墙角处堆放米 ( 如图，米堆为一个圆锥的四分之一 ) ，米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少 ?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估量出堆放斛的米约有A.14 斛B.22斛C.36斛D.66斛uuur uuur（7）设 D为V ABC所在平面内一点BC 3CD ，则uuur 1 uuur 4 uuur （A）AD AB AC3 3uuur 4 uuur 1 uuur （C）AD AB AC3 3(B)uuur 1 uuur 4 uuurAD AB AC3 3(D)uuur 4 uuur 1 uuurAD AB AC3 3（8）函数f (x) cos( x ) 的部分图像以下图，则 f ( x) 的单一递减区间为(A) ( k 1, k3), k Z (B) (2 k1,2 k3), k Z 4 4 4 4(C)1 3Z (D) (2 k1 3(k , k ), k ,2 k ), k Z4 4 4 4（9）履行右边的程序框图，假如输入的t=0.01 ，则输出的n=（A） 5（B）6（C）7（D）8（10 ） ( x2 x y)5的睁开式中， x5 y2的系数为（A） 10 （B） 20 （ C）30 （D） 60（11 ）圆柱被一个平面截去一部分后与半球( 半径为r ) 构成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图以下图。
2015年湖北省高考数学试卷（理科）答案与解析
A．i B．﹣i C．1D．﹣1 考点：虚数单位i及其性质．系的扩充和复数．专题：数系的扩充和复数．接利用复数的单位的幂运算求解即可．分析：直接利用复数的单位的幂运算求解即可．解答：解：i607=i604+3=i3=﹣i，它的共轭复数为：i．故选：A．点评：本题考查复数的基本运算，复式单位的幂运算以及共轭复数的知识，基本知识的考查．A．134石B．169石C．338石D．1365石考点：随机抽样和样本估计总体的实际应用．专题：计算题；概率与统计．算题；概率与统计．粒，可得比例，即可得出结论．分析：根据254粒内夹谷28粒，可得比例，即可得出结论．解答：解：由题意，这批米内夹谷约为1534×≈169石，石，故选：B．题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础．点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础．A．212B．211C．210D．29考点：二项式定理；二项式系数的性质．项式定理．专题：二项式定理．分析：直接利用二项式定理求出n，然后利用二项式定理系数的性质求出结果即可．，然后利用二项式定理系数的性质求出结果即可．解答：解：已知（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，项的二项式系数相等，可得，可得n=3+7=10．（1+x）10的展开式中奇数项的二项式系数和为：=29．故选：D．点评： 本题考查二项式定理的应用，组合数的形状的应用，考查基本知识的灵活运用以及计算能力．算能力．4．（5分）（2015•湖北）设X ～N （μ1，ς12），Y ～N （μ2，ς22），这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（如图所示．下列结论中正确的是（ ）A ． P （Y ≥μ2）≥P （Y ≥μ1）B ． P （X ≤ς2）≤P （X ≤ς1）C ． 对任意正数t ，P （X ≤t ）≥P （Y ≤t ）D ． 对任意正数t ，P （X ≥t ）≥P （Y ≥t ）考点： 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题： 概率与统计．率与统计． 分析： 直接利用正态分布曲线的特征，集合概率，直接判断即可．接利用正态分布曲线的特征，集合概率，直接判断即可． 解答： 解：正态分布密度曲线图象关于x=μ对称，所以μ1＜μ2，从图中容易得到P （X ≤t ）≥P（Y ≤t ）． 故选：C ．点评： 本题考查了正态分布的图象与性质，题考查了正态分布的图象与性质，学习正态分布，学习正态分布，学习正态分布，一定要紧紧抓住平均数一定要紧紧抓住平均数μ和标准差ς这两个关键量，结合正态曲线的图形特征，归纳正态曲线的性质．这两个关键量，结合正态曲线的图形特征，归纳正态曲线的性质． 5．（5分）（2015•湖北）设a 1，a 2，…，a n ∈R ，n ≥3．若p ：a 1，a 2，…，a n 成等比数列；q ：（a 12+a 22+…+a n ﹣12）（a 22+a 32+…+a n 2）=（a 1a 2+a 2a 3+…+a n ﹣1a n ）2，则（，则（ ） A ． p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件的必要条件 B ． p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件的充分条件 C ． p 是q 的充分必要条件的充分必要条件 D ． p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件的必要条件考点： 等比数列的性质． 专题： 等差数列与等比数列；简易逻辑．差数列与等比数列；简易逻辑．分析： 运用柯西不等式，可得：（a 12+a 22+…+a n ﹣12）（a 22+a 32+…+a n 2）≥（a 1a 2+a 2a 3+…+a n ﹣1a n ）2，讨论等号成立的条件，结合等比数列的定义和充分必要条件的定义，即可得到．，讨论等号成立的条件，结合等比数列的定义和充分必要条件的定义，即可得到．解答：解：由a1，a2，…，a n∈R，n≥3．运用柯西不等式，可得：运用柯西不等式，可得：（a12+a22+…+a n﹣12）（a22+a32+…+a n2）≥（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，若a1，a2，…，a n成等比数列，即有==…=，则（a12+a22+…+a n﹣12）（a22+a32+…+a n2）=（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，即由p推得q，但由q推不到p，比如a1=a2=a3=…=a n=0，则a1，a2，…，a n不成等比数列．不成等比数列． 故p是q的充分不必要条件．的充分不必要条件．故选：A．点评：本题考查充分必要条件的判断，题考查充分必要条件的判断，同时考查等比数列的定义，注意运用定义法和柯西不同时考查等比数列的定义，注意运用定义法和柯西不等式解题是关键．等式解题是关键．6．（5分）（2015•湖北）已知符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1），则（，则（ ）A．s gn[g（x）]=sgnx B．s gn[g（x）]=﹣sgnx C．s gn[g（x）]=sgn[f（x）]D．s gn[g（x）]=﹣sgn[f （x）]考点：函数与方程的综合运用．专题：函数的性质及应用．数的性质及应用．分析：直接利用特殊法，设出函数f（x），以及a的值，判断选项即可．的值，判断选项即可．解答：解：由于本题是选择题，可以常用特殊法，符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1），不妨令f（x）=x，a=2，则g（x）=f（x）﹣f（ax）=﹣x，sgn[g（x）]=﹣sgnx．所以A不正确，B正确，正确，sgn[f（x）]=sgnx，C不正确；D正确；正确；对于D，令f（x）=x+1，a=2，则g（x）=f（x）﹣f（ax）=﹣x﹣1，sgn[f（x）]=sgn（x+1）=；sgn[g（x）]=sgn（﹣x﹣1）=，﹣sgn[f （x ）]=﹣sgn （x+1）=；所以D 不正确；不正确；故选：B ．点评： 本题考查函数表达式的比较，选取特殊值法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．属于中档题．7．（5分）（2015•湖北）在区间[0，1]上随机取两个数x ，y ，记P 1为事件“x+y ≥”的概率，P 2为事件“|x ﹣y|≤”的概率，P 3为事件“xy ≤”的概率，则（的概率，则（ ） A ． P 1＜P 2＜P 3 B ． P 2＜P 3＜P 1 C ． P 3＜P 1＜P 2D ． P 3＜P 2＜P 1考点： 几何概型． 专题： 概率与统计．率与统计．分析： 作出每个事件对应的平面区域，出每个事件对应的平面区域，求出对应的面积，求出对应的面积，求出对应的面积，利用几何概型的概率公式进行计算利用几何概型的概率公式进行计算比较即可．比较即可． 解答： 解：分别作出事件对应的图象如图（阴影部分）：P 1：D （0，），F （，0），A （0，1），B （1，1），C （1，0）， 则阴影部分的面积S 1=1×1﹣=1﹣=，S 2=1×1﹣2×=1﹣=，S 3=1×+dx=+lnx|=﹣ln =+ln2，∴S 2＜S 3＜S 1， 即P 2＜P 3＜P 1，故选：B ．点评： 本题主要考查几何概型的概率计算，题主要考查几何概型的概率计算，利用数形结合是解决本题的关键．利用数形结合是解决本题的关键．利用数形结合是解决本题的关键．本题也可以直本题也可以直接通过图象比较面积的大小即可比较大小．接通过图象比较面积的大小即可比较大小． 8．（5分）（2015•湖北）将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b （a ≠b ）同时增加m （m ＞0）个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，则（，则（ ） A ． 对任意的a ，b ，e 1＞e 2 B ． 当a ＞b 时，e 1＞e 2；当a ＜b 时，e 1＜e 2 C ． 对任意的a ，b ，e 1＜e 2 D ． 当a ＞b 时，e 1＜e 2；当a ＜b 时，e 1＞e 2考点： 双曲线的简单性质． 专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 分别求出双曲线的离心率，再平方作差，即可得出结论．别求出双曲线的离心率，再平方作差，即可得出结论． 解答： 解：由题意，双曲线C 1：c 2=a 2+b 2，e 1=；双曲线C 2：c ′2=（a+m ）2+（b+m ）2，e 2=，∴=﹣=，∴当a ＞b 时，e 1＜e 2；当a ＜b 时，e 1＞e 2， 故选：D ． 点评： 本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．9．（5分）（2015•湖北）湖北）已知集合已知集合A={（x ，y ）|x 2+y 2≤1，x ，y ∈Z}，B={（x ，y ）||x|≤2，|y|≤2，x ，y ∈Z}，定义集合A ⊕B={（x 1+x 2，y 1+y 2）|（x 1，y 1）∈A ，（x 2，y 2）∈B}，则A ⊕B 中元素的个数为（素的个数为（ ）A．77 B．49 C．45 D．30 考点：集合中元素个数的最值．专题：新定义；开放型；集合．定义；开放型；集合．分析：由题意可得，A={（0，0），（0，1），（0，﹣1），（1，0），（﹣1，0），B={（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2）（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2）}，根据定义可求，根据定义可求解答：解：∵A={（x，y）|x 2+y2≤1，x，y∈Z}={（0，0），（0，1），（0，﹣1），（1，0），（﹣1，0），B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}={（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2）（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2）} ∵A⊕B={（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，∴A⊕B={（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2），（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2），（﹣2，3），（﹣2，﹣3），（0，﹣3），（2，﹣3），（﹣1，3），（﹣1，﹣3），（1，3），（2，3），（0，3），（3，﹣1），（3，0）（3，1），（3，2），（3，﹣2）（﹣3，2）（﹣3，1），（1，﹣3），（﹣3，﹣1），（﹣3，0），（﹣3，﹣2）}共45个元素个元素故选：C．点评：本题以新定义为载体，主要考查了几何的基本定义及运算，解题中需要取得重复的元素．素．10．（5分）（2015•湖北）设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数．若存在实数t，使得[t]=1，[t2]=2，…，[t n]=n同时成立，则正整数n的最大值是（的最大值是（ ）A．3B．4C．5D．6考点：进行简单的演绎推理．专题：创新题型；简易逻辑．新题型；简易逻辑．分析：由新定义可得t的范围，验证可得最大的正整数n为4 解答：解：∵[t]=1，∴t∈[1，2），又∵[t2]=2，∴t2∈[2，3），∴t∈[，），又t2∈[2，3），∴t4∈[4，9），∴[t4]=4，∴正整数n的最大值4 故选：B．点评：本题考查简单的演绎推理，涉及新定义，属基础题．题考查简单的演绎推理，涉及新定义，属基础题．湖北）已知向量⊥||=3，则•=9．考点：平面向量数量积的运算．面向量及应用．专题：平面向量及应用．已知结合平面向量是数量积运算求得答案．分析：由已知结合平面向量是数量积运算求得答案．解答：解：由⊥，得•=0，即•（）=0，∵||=3，∴．故答案为：9．题考查了平面向量的数量积运算，考查了向量模的求法，是基础的计算题．点评：本题考查了平面向量的数量积运算，考查了向量模的求法，是基础的计算题．cos﹣2．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．数的性质及应用．分析：利用二倍角公式化简函数的解析式，求出函数的定义域，画出函数的图象，求出交点个数即可．个数即可．解答：解：函数f（x）的定义域为：{x|x＞﹣1}．f（x）=4cos2cos（﹣x）﹣2sinx﹣|ln（x+1）| =2sinx﹣|ln（x+1）| =sin2x﹣|ln（x+1）|，的图象，分别画出函数y=sin2x，y=|ln（x+1）|的图象，由函数的图象可知，交点个数为2．所以函数的零点有2个．个．故答案为：2．点评：本题考查三角函数的化简，函数的零点个数的判断，考查数形结合与转化思想的应用．13．（5分）（2015•湖北）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=100m．考点：解三角形的实际应用．算题；解三角形．专题：计算题；解三角形．分析：设此山高h（m），在△BCD中，利用仰角的正切表示出BC，进而在△ABC中利用正弦定理求得h．解答：解：设此山高h（m），则BC=h，在△ABC中，∠BAC=30°，∠CBA=105°，∠BCA=45°，AB=600．根据正弦定理得=，解得h=100（m）故答案为：100．点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．关键是构造三角形，将各个已知条件向这个主三角形集中，再通过正弦、余弦定理或其他基本性质建立条件之间的联系，列方程或列式求解．列式求解．14．（5分）（2015•湖北）如图，圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且|AB|=2．的标准方程为 （x﹣1）2+（y﹣）2=2；（1）圆C的标准方程为（2）过点A任作一条直线与圆O：x2+y2=1相交于M，N两点，下列三个结论：两点，下列三个结论：①=； ②﹣=2； ③+=2．其中正确结论的序号是其中正确结论的序号是 ①②③ ．（写出所有正确结论的序号）（写出所有正确结论的序号）考点： 命题的真假判断与应用；圆与圆的位置关系及其判定． 专题： 创新题型；简易逻辑．新题型；简易逻辑． 分析： （1）取AB 的中点E ，通过圆C 与x 轴相切于点T ，利用弦心距、利用弦心距、半径与半弦长之间半径与半弦长之间的关系，计算即可；的关系，计算即可；（2）设M （cos α，sin α），N （cos β，sin β），计算出、、的值即可．的值即可．解答： 解：（1）∵圆C 与x 轴相切于点T （1，0）， ∴圆心的横坐标x=1，取AB 的中点E ， ∵|AB|=2，∴|BE|=1， 则|BC|=，即圆的半径r=|BC|=，∴圆心C （1，），则圆的标准方程为（x ﹣1）2+（y ﹣）2=2，故答案为：（x ﹣1）2+（y ﹣）2=2．（2）∵圆心C （1，），∴E （0，），又∵|AB|=2，且E 为AB 中点，中点， ∴A （0，﹣1），B （0，+1）， ∵M 、N 在圆O ：x 2+y 2=1上，上， ∴可设M （cos α，sin α），N （cos β，sin β），∴|NA|=====，|NB|====，∴===，同理可得=，∴=，①成立，成立，正确．﹣=﹣（）=2，②正确．+=+（）=，③正确．正确．故答案为：①②③．点评：本题考查求圆的标准方程，用三角函数值表示单位圆上点的坐标是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．注意解题方法的积累，属于难题．=．考点：与圆有关的比例线段．理和证明．专题：推理和证明．，利用相似三角形求出比值即可．分析：利用切割线定理推出PA=2PB，利用相似三角形求出比值即可．解答：解：由切割线定理可知：P A2=PB•PC，又BC=3PB，可得PA=2PB，在△P AB与△P AC中，∠P=∠P，∠P AB=∠PCA（同弧上的圆周角与弦切角相等），可得△P AB∽△P AC，∴==．故答案为：．题考查切割线定理以及相似三角形的判定与应用，考查逻辑推理能力．点评：本题考查切割线定理以及相似三角形的判定与应用，考查逻辑推理能力．（．考点：简单曲线的极坐标方程；双曲线的参数方程．专题：坐标系和参数方程．标系和参数方程．参数方程化普通方程，联立直线方程和双曲线方程后极坐标方程化直角坐标方程，参数方程化普通方程，联立直线方程和双曲线方程后分析：化极坐标方程化直角坐标方程，求得交点坐标，由两点间的距离公式得答案．求得交点坐标，由两点间的距离公式得答案．解答：解：由ρ（sinθ﹣3cosθ）=0，得y﹣3x=0，由C的参数方程为（t为参数），两式平方作差得：x2﹣y2=﹣4．联立，得，即．∴A（），B（），∴|AB|=．故答案为：．考查了直线和圆锥曲线题考查极坐标方程化直角坐标方程，参数方程化普通方程，考查了直线和圆锥曲线点评：本题考查极坐标方程化直角坐标方程，参数方程化普通方程，的位置关系，是基础的计算题．的位置关系，是基础的计算题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（11分）（2015•湖北）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：ωx+φ0 π2πx Asin（ωx+φ）0 5 ﹣5 0 ）的解析式；（1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）将y=f（x）图象上所有点向左平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g（x）的图象．若y=g（x）图象的一个对称中心为（，0），求θ的最小值．的最小值．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．角函数的图像与性质．分析：（1）根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=﹣．从而可补全数据，解得函数表达式为f（x）=5sin（2x﹣）．（2）由（Ⅰ）及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律得g（x）=5sin（2x+2θ﹣）．令2x+2θ﹣=kπ，解得x=，k∈Z．令=，解得θ=，k∈Z．由θ＞0可得解．可得解．解答：．数据补全如下表： 解：（1）根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=﹣．数据补全如下表：ωx+φ0 π2πx Asin（ωx+φ）05 0 ﹣5 0 且函数表达式为f（x）=5sin（2x﹣）．（2）由（Ⅰ）知f（x）=5sin（2x﹣），得g（x）=5sin（2x+2θ﹣）．因为y=sinx的对称中心为（kπ，0），k∈Z．令2x+2θ﹣=kπ，解得x=，k∈Z．由于函数y=g（x）的图象关于点（，0）成中心对称，令=，解得θ=，k∈Z．由θ＞0可知，当K=1时，θ取得最小值．点评： 本题主要考查了由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式，函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律的应用，属于基本知识的考查．的图象变换规律的应用，属于基本知识的考查． 18．（12分）（2015•湖北）设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ，已知b 1=a 1，b 2=2，q=d ，S 10=100． （1）求数列{a n }，{b n }的通项公式的通项公式 （2）当d ＞1时，记c n =，求数列{c n }的前n 项和T n ．考点： 数列的求和． 专题： 等差数列与等比数列．差数列与等比数列． 分析： （1）利用前10项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可；项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可；（2）当d ＞1时，由（1）知c n =，写出T n 、T n 的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可．等比数列的求和公式，计算即可． 解答：解：（1）设a 1=a ，由题意可得，解得，或，当时，a n =2n ﹣1，b n =2n n ﹣11；当时，a n =（2n+79），b n =9•；（2）当d ＞1时，由（1）知a n =2n ﹣1，b n =2n ﹣1，∴c n ==， ∴T n =1+3•+5•+7•+9•+…+（2n ﹣1）•， ∴T n =1•+3•+5•+7•+…+（2n ﹣3）•+（2n ﹣1）•，∴T n =2+++++…+﹣（2n ﹣1）•=3﹣，∴T n =6﹣．点评： 本题考查求数列的通项及求和，题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．积累，属于中档题． 19．（12分）（2015•湖北）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P ﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE．（1）证明：PB⊥平面DEF．试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角；若不是，说明理由；（只需写出结论）；若不是，说明理由；（2）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，求的值．的值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间向量及应用．间位置关系与距离；空间向量及应用．分析：解法1）（1）直线与直线，直线与平面的垂直的转化证明得出PB⊥EF，DE∩FE=E，所以PB⊥平面DEF，即可判断DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，确定直角．面都是直角三角形，确定直角．（2）根据公理2得出DG是平面DEF与平面ACBD的交线．利用直线平面的垂直判断出DG⊥DF，DG⊥DB，根据平面角的定义得出∠BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角，转化到直角三角形求解即可．角的平面角，转化到直角三角形求解即可．解法2）（1）以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，运用向量的数量积判断即可．标系，运用向量的数量积判断即可．2）由PD⊥底面ABCD，所以=（0，0，1）是平面ACDB的一个法向量；由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以=（﹣λ，﹣1，1）是平面DEF的一个法向量．根据数量积得出夹角的余弦即可得出所求解的答案．积得出夹角的余弦即可得出所求解的答案．解答：解法1）（1）因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，由底面ABCD为长方形，有BC⊥CD，而PD∩CD=D，所以BC⊥平面ABCD．而DE⊂平面PDC，所以BC⊥DE．又因为PD=CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC．而PC∩CB=C，所以DE⊥平面PBC．而PB⊂平面PBC，所以PB⊥DE．又PB⊥EF，DE∩FE=E，所以PB⊥平面DEF．的四个面都是直角三角形， 由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB．（2）如图1，的交线． 在面BPC内，延长BC与FE交于点G，则DG是平面DEF与平面ACBD的交线．由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以PB⊥DG．又因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥DG．而PD∩PB=P，所以DG⊥平面PBD．所以DG⊥DF，DG⊥DB 所成二面角的平面角，故∠BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角，设PD=DC=1，BC=λ，有BD=，在Rt△PDB中，由DF⊥PB，得∠DGF=∠FDB=，则tan=tan∠DPF===，解得．所以==故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时，=．（解法2）（1）以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系．设PD=DC=1，BC=λ，则D（0，0，0），P（0，0，1），B（λ，1，0），C（0，1，0），=（λ1，﹣1），点E是PC的中点，所以E（0，，），=（0，，），于是=0，即PB⊥DE．又已知EF⊥PB，而ED∩EF=E，所以PB⊥平面DEF．因=（0，1，﹣1），=0，则DE⊥PC，所以DE⊥平面PBC．的四个面都是直角三角形，由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB．（2）由PD⊥底面ABCD，所以=（0，0，1）是平面ACDB的一个法向量；的一个法向量；的一个法向量． 由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以=（﹣λ，﹣1，1）是平面DEF的一个法向量．若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，则运用向量的数量积求解得出cos==，解得．所以所以==故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时，=．点评：本题综合考查了空间直线平面的垂直问题，直线与直线，直线与平面的垂直的转化，空间角的求解，属于难题．空间角的求解，属于难题．20．（12分）（2015•湖北）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A，B两种奶制品．生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每天生产A，B两种产品时间之和不超过12小时．假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为吨）是一个随机变量，其分布列为W 12 15 18 0.3 0.5 0.2 P P 0.3 该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z（单位：元）是一个随机变量．元）是一个随机变量．的分布列和均值；（1）求Z的分布列和均值；（2）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．的概率．考点：简单线性规划的应用；离散型随机变量的期望与方差．等式的解法及应用；概率与统计．专题：不等式的解法及应用；概率与统计．分析：（1）设每天A，B两种产品的生产数量分别为x，y，相应的获利为z，列出可行域，目标函数，通过当W=12时，当W=15时，当W=18时，分别求出目标函数的最大获的分布列．求出期望即可．利，然后得到Z的分布列．求出期望即可．）判断概率类型是二项分布，然后求解所求概率即可．（2）判断概率类型是二项分布，然后求解所求概率即可．分）解答：（12分），则有 解：（1）设每天A，B两种产品的生产数量分别为x，y，相应的获利为z，则有，①如图1，目标函数为：z=1000x+1200y．当W=12时，①表示的平面区域如图1，三个顶点分别为A（0，0），B（2.4，4.8），C （6，0）．将z=1000x+1200y变形为，轴上的截距最大，当x=2.4，y=4.8时，直线l：在y轴上的截距最大，最大获利Z=Z max=2.4×1000+4.8×1200=8160．当W=15时，①表示的平面区域如图2，三个顶点分别为A（0，0），B（3，6），C（7.5，0）．．将z=1000x+1200y变形为，轴上的截距最大，当x=3，y=6时，直线l：在y轴上的截距最大，最大获利Z=Z max=3×1000+6×1200=10200．当W=18时，①表示的平面区域如图3，四个顶点分别为A（0，0），B（3，6），C（6，4），D（9，0）．将z=1000x+1200y变形为：，当x=6，y=4时，直线l：y=﹣56x+z1200在y轴上的截距最大，最大获利Z=Z max=6×1000+4×1200=10800．的分布列为：故最大获利Z的分布列为：Z 8160 10200 10800 P 0.3 0.5 0.2 因此，E（Z）=8160×0.3+10200×0.5+10800×0.2=9708 （2）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000元的概率P1=P（Z＞10000）=0.5+0.2=0.7，元的概率为：由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为：．点评：本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，线性规划的应用，二项分布概率的求法，考查分析问题解决问题的能力．的求法，考查分析问题解决问题的能力．21．（14分）（2015•湖北）一种画椭圆的工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON 可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN=ON=1，MN=3，当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C，以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系．的方程；（1）求椭圆C的方程；（2）设动直线l与两定直线l1：x﹣2y=0和l2：x+2y=0分别交于P，Q两点．若直线l总与的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小求出该最小试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，有且只有一个公共点，试探究：椭圆C有且只有一个公共点，值；若不存在，说明理由．值；若不存在，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．新题型；开放型；圆锥曲线中的最值与范围问题．专题：创新题型；开放型；圆锥曲线中的最值与范围问题．的方程；分析：（1）根据条件求出a，b即可求椭圆C的方程；（2）联立直线方程和椭圆方程，求出原点到直线的距离，结合三角形的面积公式进行求解即可．行求解即可．解答：解：（1）∵|OM|≤|MN|+|NO|=3+1=4，当M，N在x轴上时，等号成立，轴上时，等号成立，轴时，等号成立． 同理|OM|≥|MN|﹣|NO|=3﹣1=2，当D，O重合，即MN⊥x轴时，等号成立．∴椭圆C的中心为原点O，长半轴长为4，短半轴长为2，其方程为．（2）①当直线l 的斜率k 不存在时，直线l 为：x=4或x=﹣4，都有S △OPQ =，②直线l 的斜率k 存在时，直线l 为：y=kx+m ，（k），由消去y ，可得（1+4k 22）x 22+8kmx+4m 22﹣16=0，∵直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，有且只有一个公共点，∴△=64k 2m 2﹣4（1+4k 2）（4m 2﹣16）=0，即m 2=16k 2+4，①， 由，可得P （，），同理得Q （，），原点O 到直线PQ 的距离d=和|PQ|=•|x P ﹣x Q |，可得S △OPQ=|PQ|d=|m||x P﹣x Q|=|m|||=||②，将①代入②得S △OPQ =||=8||，当k 22＞时，S △OPQ =8（）=8（1+）＞8，当0≤k 2＜时，S △OPQ =8||=﹣8（）=8（﹣1+），∵0≤k 2＜时，∴0＜1﹣4k 2≤1，≥2，∴S △OPQ =8（﹣1+）≥8，当且仅当k=0时取等号，时取等号，∴当k=0时，S △OPQ 的最小值为8，综上可知当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，三角形OPQ 的面积存在最小值为8． 点评： 本题主要考查椭圆方程的求解，题主要考查椭圆方程的求解，以及直线和圆锥曲线的位置关系的应用，结合三角形以及直线和圆锥曲线的位置关系的应用，结合三角形的面积公式是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．的面积公式是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．22．（14分）（2015•湖北）已知数列{a n }的各项均为正数，b n =n （1+）na n （n ∈N +），e 为自然对数的底数．然对数的底数．（1）求函数f （x ）=1+x ﹣e x的单调区间，并比较（1+）n与e 的大小；的大小；（2）计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明；的公式，并给出证明；（3）令c n =（a 1a 2…a n ），数列{a n }，{c n }的前n 项和分别记为S n ，T n ，证明：T n ＜eS n ．考点：数列与不等式的综合． 专题：创新题型；导数的综合应用；点列、递归数列与数学归纳法；不等式的解法及应用．创新题型；导数的综合应用；点列、递归数列与数学归纳法；不等式的解法及应用． 分析：（1）求出f （x ）的定义域，利用导数求其最大值，得到1+x ＜e x ．取x=即可得到答案；案；（2）由b n =n （1+）na n （n ∈N +），变形求得，，，由此推测=（n+1）n．然后利用数学归纳法证明．．然后利用数学归纳法证明． （3）由c n 的定义、=（n+1）n 、算术﹣几何平均不等式、b n 的定义及，利用放缩法证得T n ＜eS n ．解答： （1）解：f （x ）的定义域为（﹣∞，+∞），f ′（x ）=1﹣e x ． 当f ′（x ）＞0，即x ＜0时，f （x ）单调递增；）单调递增；当f ′（x ）＜0，即x ＞0时，f （x ）单调递减．）单调递减． 故f （x ）的单调递增区间为（﹣∞，0），单调递减区间为（0，+∞）．当x ＞0时，f （x ）＜f （0）=0，即1+x ＜e x．令，得，即．①（2）解：；=；．由此推测：=（n+1）n ．②下面用数学归纳法证明②．（1）当n=1时，左边=右边=2，②成立．成立．（2）假设当n=k 时，②成立，即．当n=k+1时，，由归纳假设可得，由归纳假设可得=．∴当n=k+1时，②也成立．也成立．根据（1）（2），可知②对一切正整数n 都成立．都成立．（3）证明：由c n 的定义，②，算术﹣几何平均不等式，b n 的定义及①得T n =c 1+c 2+…+c n = ====＜ea 1+ea 2+…+ea n =eS n ．即T n ＜eS n ．点评： 本题主要考查导数在研究函数中的应用，本题主要考查导数在研究函数中的应用，考查利用归纳法证明与自然数有关的问题，考查利用归纳法证明与自然数有关的问题，考查利用归纳法证明与自然数有关的问题，考考查推理论证能力、运算求解能力、创新知识，考查了利用放缩法法证明数列不等式，是压轴题．压轴题．。
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100天冲刺 第 98 天
一、选择题。
1．已知集合{}{}
|(3)0,|1|2,A x x x B x x =-<=-<则“A x ∈”是“B x ∈”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件 2．设x x x f ln )(=，若2)(0'=x f ，则=0x ( ) A ．2e B ．e C ．22ln D ．2ln
3．若正实数a b 、满足4a b +=，则22log log a b +的最大值是 （ ）
A 、0
B 、 1
C
D 、2
4．已知ABC ∆中，3BC =，4AC =，5AB =，点P 是三边上的任意一点，m PA PB =⋅
,
则m 的最小值是（ ） A ．-25 B ．25
4
-
C ．94-
D ．0
5．若(2,1)P -为圆15cos 5sin x y θ
θ=+⎧⎨=⎩
（θ为参数且02θπ≤<）的弦的中点，则该弦所在的
直线方程为（ ）
A ．30x y --=
B ．25x y +=
C ．10x y +-=
D ．250x y --= 6．已知数列{a n }的前n 项和n s 满足：n m n m s s s +=+，且1a =1．那么10a =（ ）
A ．1
B ．9
C ．10
D ．55
7．在一个2×2列联表中，由其数据计算得到K 2
的观测值k ＝13.097，则其两个变量间有关系的可能性为( )
A ．99.9%
B ．95%
C ．90%
D ．0
8．已知⎩⎨
⎧∉+∈+=R
x x i R
x x x f ,)1(,1)(，则=-))1((i f f （ ）
A.2i -
B.1
C.3
D.3i +
二、填空题。
9．已知两条平行直线1l ：m y =和2l ：3
1
y m =
+（这里0>m ），且直线1l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于点A 、B ，直线2l 与函数8log y x =的图像从左至右相交于C 、D ．若记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为 a 、b ，则当m 变化时，b
a
的最小值为 ．
10．若变量,x y 满足约束条件329
69x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =+的最小值为 ．
三、解答题。
11．若实数x 、y 、m 满足|x －m|＞|y －m|，则称x 比y 远离m.
(1)若x 2
－1比1远离0，求x 的取值范围；
(2)对任意两个不相等的正数a 、b ，证明：a 3
＋b 3
比a 2
b ＋ab 2
远离
12．（本小题满分14分）已知函数32
41)(1+-=-x x x f λ
（21≤≤-x ）． （1）若3
2
λ=
时，求函数)(x f 的值域； （2）若函数)(x f 的最小值是1，求实数λ的值.
参考答案
1．A
【解析】由题意知，集合}30{<<=x x A ，}31{<<-=x x B ，所以B A ⊆，且B A ≠，所以“A x ∈”能推出“B x ∈”，但“B x ∈”不能推出“A x ∈”，所以“A x ∈”是“B x ∈”
的充分不必要条件.故应选A . 2． B
【解析】因为所求的2
13.09710.828k =>，故可能性为99.9%，所以选A.
8．C
【解析】因为2)1)(1()1(=-+=-i i i f ，所以321)2())1((=+==-f i f f ，故应选C . 9．32
【解析】由题意得：3311
|28|,|28|m m m m b a --++=-=-，则3
39
1
11
3128||28228m
m m m m m m m b a ++++--+-==⨯=-
，又
99111511m m m m +
=++-≥-=++（当且仅当2m =时取等号），所以b a 的最
小值为5
232.=
10．-6
【解析】先画出二元一次不等式组所表示的平面区域，令0z =，画出基准线12
y x =-
，
在可行域上平移基准线，当直线的截距最小时，找到最优解为直线9x y -=和23x y +=的交点，解出两直线交点坐标为（4，-5），得出线性目标函数的最小值
242(5)6z x y =+=+⨯-=-；
11．（1）x ∈(∪)．（2）见解析
【解析】(1)解：x ∈(∪)． (2)证明：对任意两个不相等的正数a 、b ，有
a 3
＋b 3
a 2
b ＋ab 2
因为|a 3
＋b 3
－2ab
|－|a 2b ＋ab 2－2ab |＝(a ＋b)(a －b)2>0，所以|a 3＋b 3－
2
b ＋ab 2
－
①当4
1
≤
λ时，16492)41()(min +-==λg t g ， （8分）
令116492=+
-λ，得4
1
833>=λ，不符合舍去； （9分）
②当
24
1
≤<λ时，3)()(2min +-==λλg t g ， （10分） 令132=+-λ，得2=λ，或4
1
2<-=λ，不符合舍去； （11分）
③当2>λ时，74)2()(min +-==λg t g ， （12分） 令174=+-λ，得22
3
<=
λ，不符合舍去. （13分） 综上所述，实数λ的值为2． （14分）。