线性规划大M法两阶段法与几种特殊情况 ppt课件

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04第四章线性规划的求解法

第四章线性规划的求解法当线性规划的变量和约束条件比较多，而初始基本可行解又不知道时，是不容易用尝试的方法得到初始基本可行解的，何况有可能基本可行解根本就不存在。

在此时，大M 法可能是应付此类情况的一个行之有效的算法。

§4.1 大M 法的原理当初始基本可行解不知道时，则1.，2.两个特点不能兼得，即下列两条件不能兼得： 1. 中心部位具有单位子块； 2. 右列元素非负；这时可以先用容许的运算使由列为非负，然后在中心部位人为添加一个单位子块。

如下例所述：例4.1123123123123min 32..323624,,0z x x x s tx x x x x x x x x =-+++-=-+-=-≥ （4.1.1）列成表格：上述第三张表中人工增加了两个变量45,x x ，称为人工变量，即把原来的约束条件改为：1234123512345..323624,,,,0s tx x x x x x x x x x x x x +-+=-++=≥ （4.1.2）式（4.1）和（4.2）的约束方程组并不同解，但（4.1）的解和（4.2）中450x x ==的解是相对应的。

只要找到以（4.2）为约束条件，且人工变量45,x x 均为自由变量的基本可行解，也就找到了（4.1）的基本可行解，于是，要设法迫使450x x ==。

以上途径通过修改（4.1）的目标函数来实现。

具体修改为：12345min 32z x x x Mx Mx =-++++ （4.1.3）其中M 为足够大的正数，然后以（4.2）为约束条件，求（4.3）的最小值。

只要45,x x 不为零，就一定为正数，于是目标函数的值就会增加它们和的M 倍。

由于M 为足够大的正数，所以只要原问题有基本可行解，就不会在45,x x 取正值时达到最小值。

本例中把表改为：通过运算使它具备第三个特点：底行相应于单位子块位置的元素为0，然后再严格按照单纯形法的步骤求解：由于M 为足够大的正数，所以-3-4M 应视为负数，故选它。

《管理运筹学》02-4两阶段法和大m法

大M法的优势与局限性
优势
大M法能够处理大规模的整数规划问题，且计算过程相对简单，容易实现。
局限性
大M法只能求得问题的近似解，而非最优解，且当M值选取不合适时，可能导致求解结果偏离最优解较远。同时，对于一些特殊问题，如非线性、非凸等问题，大M法可能无法得到满意的结果。
04
大M法实施步骤
确定问题与目标
局限性
两阶段法需要花费更多的计算时间和资源，因为需要进行多次迭代和优化。此外，两阶段法对于初始解的选择比较敏感，如果初始解不好，可能会导致算法陷入局部最优解，而非全局最优解。
02
两阶段法实施步骤
阶段一：问题建模与求解
80%
确定问题目标
明确问题的目标，并将其转化为可量化的数学模型。
100%
建立数学模型
两阶段法案例
总结词
两阶段法是一种常见的求解线性规划问题的方法，通过将问题分解为两个阶段进行求解，可以找到最优解。
详细描述
在第一阶段，两阶段法首先确定一个初始解，然后通过迭代不断改进这个解，直到满足一定的收敛条件。在第二阶段，两阶段法使用一种称为对偶单纯形法的方法来求解子问
题，最终得到最优解。
大M法案例
输出求解结果，包括最优解、最优值等。
分析结果与决策
结果分析
对求解结果进行分析，包括最优解的合理性、最优值的可行性等。
制定决策方案
根据分析结果，制定相应的决策方案，包括最优解的实施方案、次优解的备选方案等。
方案评估与选择
对制定的决策方案进行评估和选择，确保方案符合实际需求和可行性。
05
案例分析
《管理运筹学》02-4两阶段法和大m法
目
CONTENCT

线性规划-大M法、两阶段法与几种特殊情况课件

0 1 001 -1 2+2M -M -M 0
00 00
3 3/1
2 0 -1 1 0 1 -1
1 1/2
-1 1 0 -1 0 0 1
1
-
1 0 0 1 1 0 -1
2 2/1
1+2M 0 -M 2+M 0 0 -2-2M
1 0 -1/2 1/2 0 1/2 -1/2
1/2
0 1 -1/2 -1/2 0 1/2 1/2
-Mx7
-Mx8
s.t.
2x1
-x2
+ x3
+2x4
－x5
+x7
=50
(1)
3x1
-x3
+2x4
+x6
= 80
(2)
x1
+x2
+x4
＋x8
= 60
(3)
x1,
x2,
x3,
x4,
x5,
x6,
x7,
x8 ≥ 0
添加人工变量
min z=
4x1
+2x2
-3x3
+5x4
+Mx7
+Mx8
s.t.
2x1
-x2
+ x3
max z= 4x1 +2x2 -3x3 +5x4
s.t.
2x1 -x2 + x3 +2x4 －x5
=50 (1)
3x1
-x3 +2x4
+x6 = 80 (2)
x1 +x2
+x4
x1, x2, x3, x4, x5,

线性规划-大M法、两阶段法与几种特殊情况

x4,
x5,
x6,
x7,
x8 ≥ 0
School of Business ECUST
添加人工变量
min z=
4x1
+2x2
-3x3
+5x4
+Mx7
+Mx8
s.t.
2x1Hale Waihona Puke -x2+ x3
+2x4
－x5
+x7
=50 (1)
3x1
-x3
+2x4
+x6
= 80 (2)
x1
+x2
+x4
＋x8
= 60 (3)
x1,
x2,
x3,
x4,
x5,
x6,
x7,
x8 ≥ 0
School of Business ECUST
4 2 -3 5
0
0 MM
CB XB
[ x1]
x2
x3
x4
x5
x6 x7 x8 b
M [ x7]
2
-1
1
2
-1 0 1 0 50
0 x6
3 0 -1 2
0
1 0 0 80
M x8
1 10
1
0
0 0 1 60
1 0 0 1 1 0 -1
1+2M 0 -M 2+M 0 0 -2-2M
1 0 -1/2 1/2 0 1/2 -1/2
0 1 -1/2 -1/2 0 1/2 1/2
0 0 1/2 1/2 1 -1/2 -1/2
0 0 1/2 3/2 0 -1/2-M -3/2-M

运筹学大M法和两阶段法

0
0
0
-1
0
0
1
0
-3
0
x5
12
3
0
0
-2
1
2
-5
30
x2
1
0
1
0
-1
0
1
-2
0
x3
1
-2
0
1
0
0
0
1
Cj-Zj
→
0
0
0
0
0
0
-1
-1
结论
▪ 此时，目标函数已得最优值，人工变量均为0。转入第二阶段。
第二阶段
▪ 求原问题最优值。目标函数为原问题的目标函数，单纯形表初始表为第一阶段最后一段的元素值，但应去掉人工变量所在列。
↓
0
1
-M
-M
Cj-Zj
0
2
-M
-1
Cj-Zj
0
3
-1
-1
Cj-Zj 3
4
-1
-1
Cj-Zj
→
0
3
-1
-1
0
0
-M
-M
Qi 注
基
b
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P7
x4
11
1
-2
1
1
0
0
0
11
x6
3
-4
1
2
0
-1
1
0
3/2
x7
1
-2
0
（1）
0
0
0
1
1→
→
4M -6M+3 M-1 3M-1

线性规划-讲义-3

4)、解的几种情况： 4)、解的几种情况：唯一解无穷多解－最优表中非基变量检验数有为0者。无穷多解－最优表中非基变量检验数有为0 无界解 max, σ j > 0 但Pj ≤ 0 min, σ j < 0 但Pj ≤ 0 无可行解－最优表中人工变量在基中，无可行解－最优表中人工变量在基中，且＝0。建模有问题 5)、 5)、退化解问题
表2 -2
-1/3 -1/3
两阶段法步骤 n 原问题 max S=Σ Cj xj n j=1 Σ aij xj =bi ( i=1,2, …,m) xj ≥ 0 m 作辅助问题 min W=Σ yi n i=1 Σ aij xj + yi =bi ( i=1,2, …,m) Xj ， yi ≥ 0 阶段：解辅助问题，第1阶段：解辅助问题，当进行到最优表时 ①、若W=0, 则得到原问题的一个基本可行转入第2阶段阶段。解，转入第阶段。 ②、若W>0, 则判定原问题无可行解阶段：第2阶段：用求出的初始基可行解求最优解。阶段用求出的初始基可行解求最优解。
人工变量： x6 , x7 人工变量：
cj
XB b*
0
x1
0
x2
0
x3
0
x4
0
x5
-1
x6
-1
x7
x4 11 3 x6 x7 1 - W’ 0
XB b*
1 -4 -2
0
x1
-2 1 0
0
x2
1 2 1
0
x3
1 0 0
0
x4
0 -1 0
0
x5
0 1 0
-1
x6
0 0 1
-1
x7

大M法和两阶段法17页PPT

大M法和两阶段法
36、如果我们国家的法律中只有某种神灵，而不是殚精竭虑将神灵揉进宪法，总体上来说，法律就会更好。—— 马克·吐温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之时。— —威·皮物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律是丝毫没有力量的。 ——菲力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们迅速累聚，进而变成法律。 ——朱尼厄斯
40、人类法律，事物有规律，这是不容忽视的。— —爱献生
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
END

大M法和两阶段法PPT课件

行第二阶段的计算。
.
15
例1-22 用两阶段单纯形法求解例20的线性规划。
解: 标准型为 max Z 3 x1 2 x 2 x 3
4 x1 3x2 x3 x4 4
x
1
x2
2x3
x5
10
2
x
1
2x2
x3
1
x j 0, j 1,2, ,5
第一阶段问题为
min w x6 x7
2. 最优值 w*0 ,说明至少有一个人工变量不为零。
原LP无可行解。不再需要进入第二个阶段计算。
3. 最优值 w*0, 且存在人工变量为基变量，但取值为零，
把某个非基变量与该人工变量进行调换。
两阶段法的第一阶段求解的目的：
1.判断原LP有无可行解。
2.若有，则可得原LP的一个初始基本可行解，再对原LP进
多重最优解的判断:最优表中存在非基变量的检验数为零,则线性规划具有多重最优解。无界解的判断: 某个λk>0且aik≤０（i=1，2,…,m）则线性规划具有无界解。
无可行解的判断：(1)当用大M单纯形法计算得到最优解并且存在Ri>0时，则表明原线性规划无可行解。 (2) 当第一阶段的最优值w≠0时，则原问题无可行解。
max Z 3 x 1 2 x 2 x 3
解: 先化为标准形式
maxZ 3x1 2x2 x3
4 x1 3x2 x3 4
x
1
2x
x
1
2
2
2x x2
3
10 x3
1
x
、
1
x 2、
x3
0
4x1
s.t.
x1 2x1
3x2 x2 2x2

大M法和两阶段法

-3
1 0 2 -7 -1 -8 -1/3
1
1 1 -1 （3 ） 2 5 0
0
0 0 1 -2 -1 -4 1/3
1
0 0 0 1 0 0 1/3
0
1 0 0 0 1 0 0
3
7
2
-1 -1 Cj-Zj 0
2/3 5/2
→
3
0
-1 Cj-Zj 0
x4
x7 → x1 x4
2/3
11/3 11/3 3 3
Cj
→ 基 x5 x6 x7 → x1 x6 x7 →
0 b 2 6 7 15M 2 2 5 7M+4
-2 P1 （1） 2 1 4M-2 1 0 0 0
-1 P2 -1 1 1 M-1 -1 3 2 5M-3
1 P3 2 -3 1 1 2 -7 -1 -8M+5
1 P4 -1 1 1 M+1 -1 （3） 2 5M-1
第二阶段，求原问题最优值。目标函数为原问题的目标函数，单纯形表初始表为第一阶段最后一段的元素值，但应去掉人工变量所在列
例：用大M法和两阶段法求解
max F 2 x1 x 2 x3 x 4 s.t. x1 x 2 2 x3 x 4 2 2 x1 x 2 3 x3 x 4 6 x1 x 2 x3 x 4 7 x j 0, j 1,2,3,4,
Cj 段 ↓ -1 1
→ 基 x5
0 b 2
0 P1 （1）
0 P2 -1
0 P3 2
0 P4 -1
-1 P5 1
-1 P6 0
-1 Qi P7 0 2 → 注
-1
-1 Cj-Zj 0

线性规划课件ppt

根据实际问题的特点，选择适合的线性规划模型进行建模和优化。
详细描述
在选择线性规划模型时，应根据实际问题的特点进行选择。例如，对于简单的最优化问题，可以使用标准型线性规划模型；对于需要约束条件或特殊处理的问题，可以选择扩展型线性规划模型。在建立模型后，还可以使用优化软件对模型进行优化，以提高求解效率和准确性。
CHAPTER
线性规划的求解方法
总结词
最常用的方法
要点一
要点二
详细描述
单纯形法是一种迭代算法，用于求解线性规划问题。它通过不断地在可行解域内寻找新的解，直到找到最优解或确定无解为止。单纯形法的主要步骤包括建立初始单纯形、确定主元、进行基变换和更新单纯形等。该方法具有简单易行、适用范围广等优点，但在某些情况下可能会出现迭代次数较多、计算量大等问题。
在选择变量时，应考虑其物理意义、数据的可靠性和敏感性等因素。
选择变量时，首先要考虑变量的物理意义和实际背景，以便更好地理解模型和求解结果。同时，要重视数据的可靠性，避免使用不可靠的数据导致模型失真或错误。敏感度分析可以帮助我们了解变量对目标函数的影响程度，从而更好地选择变量。
总结词
详细描述
总结词
线性规划在工业生产中的应用已经非常广泛，未来将会进一步拓展其应用领域。
工业生产
线性规划在物流运输领域中的应用也将会有更广阔的前景，例如货物的合理配载、车辆路径规划等。
物流运输
线性规划在金融管理中的应用也将逐渐增多，例如投资组合优化、风险控制等。
金融管理
非线性优化
将线性规划拓展到非线性优化领域是一个具有挑战性的研究方向，但也为线性规划的应用提供了更广阔的发展空间。
软件特点
Lingo具有强大的求解能力，可以高效地解决大规模线性规划问题，同时具有友好的用户界面，方便用户进行模型输入和结果输出。

运筹学大M法

第二节大M法
▪ 如果线性规划模型中约束条件系数矩阵中不存在单位向量组，解题时应先加入人工变量，人工地构成一个单位向量组。
▪ 人工变量只起过渡作用，不应影响决策变量的取值。 ▪ 两种方法可控制人工变量取值。
➢ 大M法 ➢ 两阶段法
例
min F 3 x 1 x 2 x 3 s .t. x 1 2 x 2 x 3 11 4 x1 x2 2 x3 3 2 x1 x3 1 x j 0 , j 1,2 ,3
解：引入松弛变量x4、剩余变量x5，将数学模型标准化
max F ' 3 x 1 x 2 x 3 s .t . x 1 2 x 2 x 3 x 4 11 4 x1 x2 2 x3 x5 3 2 x1 x3 1 x j 0, j 1,2,3,4,5
观察约束条件系数矩阵A
c 3 1 1 0 0 M M
1 2 1 1 0 0 0 A4 1 2 0 1 1 0
2 0 1 0 0 0 1
11 B 3
1
结论
∵cj-zj均为非正数 ∴得到最优解和最优值。
x1=4，x2=1，x3=9，x4=x5= x6=x7=0， minF= -maxF’=-2
例2：用大M法求解
例：加入人工变量x6，x7后，
原模型变为：
maxF' 3x1 x2 x3 0x4 0x5 M(x6 x x6 3 2x1 x3 x7 1 xj 0, j 1,2, ,7
用单纯形法求解
▪ 此时，各系数矩阵、向量为：
s .t . x1 2 x 2 x3 x 4 11 4 x1 x2 2 x3 x5 3 2 x1 x3 1 x j 0, j 1,2,3,4,5
s.t. x1 2 x2 x3 x4 11 4 x1 x2 2 x3 x5 x6 3 2 x1 x3 x7 1 x j 0, j 1,2, ,7

线性规划

第一章线性规划及单纯形方法主要内容线性规划的模型、标准型、图解法、解、单纯形法、大M法、两阶段法讲授重点线性规划问题的解、单纯形法、大M法、两阶段法教学方法讲授式、启发式本章知识结构图第一节线性规划问题及其数学模型一、问题的提出在生产和经营等管理工作中，需要经常进行计划或规划，即：在现有各项资源条件的限制下，如何确定方案，使预期目标达到最优。

看如下两个例子：例1美佳公司计划制造Ⅰ、Ⅱ两种家电产品。

已知各制造一件时分别占用的设备A,B的台时、调试时间、调试工序及每天可用于这两种家电的能力、各售出一件时的获利情况，如表1—1所示。

问该公司应制造两种家电各多少件，使获取的利润为最大。

表 1—1I Ⅱ每天可用能力设备A(h) 设备B(h) 调试工序(h) 06152l15245利润(元) 2 1例2 捷运公司拟在下一年度的l～4月的4个月内需租用仓库堆放物资。

已知各月份所需仓库面积数列于表1—2。

仓库租借费用随合同期而定，期限越长，折扣越大，具体数字见表1—3。

租借仓库的合同每月初都可办理，每份合同具体规定租用面积数和期限。

因此该厂可根据需要，在任何一个月初办理租借合同。

每次办理时可签一份，也可签若干份租用面积和租借期限不同的合同，试确定该公司签订租借合同的最优决策，目的是使所付租借费用最小。

表 1-2 单位：100m22二、线性规划问题的数学模型例1中先用变量x 1和x 2分别表示美佳公司制造家电I 和Ⅱ的数量。

这时该公司可获取的利润为(2x 1+x 2)元，令z=2x 1+x 2，因问题中要求获取的利润为最大，即max z 。

家电Ⅰ、Ⅱ的制造件数受设备A 、B 和调试工序能力的能力限制，同时家电Ⅰ、Ⅱ制造数量不可能为负值。

由此例1的数学模型可表为：目标函数 212max x x z += 约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤)1.1(0,)1.1(5)1.1(2426)1.1(1552121212d x x c x x b x x a x例2中若用变量x ij 表示捷运公司在第i(i=1，…，4)个月初签订的租借期方ｊ(ｊ＝1，…，4)个月的仓库面积的合同(单位为lOOm ２)。

单纯形法、大M法、两阶段法

缺点
对于一些问题，大M法可能无法得到精确解，且需要人工选择足够大的M值，容易造成误差。
04 两阶段法
两阶段法的原理
01
两阶段法是一种求解线性规划问题的迭代算法，它将问题分解为两个阶段进行求解。
02
第一阶段是预处理阶段，通过引入松弛变量和剩余变量，将原问题转化为标准形式。
03
第二阶段是求解标准形式的问题，通过迭代更新变量的值，直到找到最优解或满足终止条件。
04
约束条件是决策变量必须满足的条件，通常表示为 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n leq b$或 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n = b$。
02 单纯形法
单纯形法的原理
线性规划问题是在一组线性不等式约束下，最大化或最小化一个线性目标函数。单纯形法是一种求解线性规划问题的迭代算法。
03 大M法
大M法的原理
大M法是一种求解线性规划问题的近似算法，其基本思想是通过引入一个足够大的常数M，将原问题转化为一个易于求解的近似问题。
在大M法中，将约束条件中的“≤”或“≥”替换为“=”，并引入一个新变量，使得近似问题在某种意义下逼近原问题。
大M法的步骤
1. 确定原问题的约束条件和目标函数。
线性规划的应用场景
生产计划
01
在制造业中，线性规划可以用于制定生产计划，优化资源配置，
提高生产效率。
物流优化
02
在物流领域，线性规划可以用于优化运输路线、仓储布局和配
送方案，降低成本。
金融投资
03
在金融领域，线性规划可以用于投资组合优化，帮助投资者在

运筹学第01章线性规划问题

线性规划建模步骤
设定决策变量明确约束条件并用决策变量的线性等式或不等式表示用变量的线性函数表示要达到的目标，并确定是求极小还是求极大根据变量的物理性质确定变量是否具有非负性注：其中最关键是设定决策变量这一步
生产计划问题(1)
某工厂用三种原料生产三种产品，已知的条件如下表所示，试制订总利润最大的日生产计划
线性规划问题解的有关概念(2)
基本解：令模型中所有非基变量的值等于零后，由模型的约束方程组得到的一组解。基本可行解：满足非负条件的基本解称为基本可行解。可行基：对应于基本可行解的基称为可行基。退化解：基本可行解的非零分量个数小于m时，称为退化解。最优基：若对应于基B的基本可行解X是线性规划的最优解，则称B为线性规划的最优基
人员安排问题(1)
医院护士24小时值班，不同时段需要的护士人数不等（见下表）。每个护士每天连续值班8小时，在各时段开始时上班。问最少需要多少护士？
序号 1 2 3 4 时段 06—10 10—14 14—18 18—22 最少人数 60 70 60 50
5 6
22—02 02—06
20 30
人员安排问题(2)
设xj为第j时段开始值班的护士人数
目标函数为：使人数最少，则有
min f ( X ) x1 x2 x3 x4 x5 x6 x6 x1 60 x x 70 1 2 x2 x3 60 s.t. x3 x4 50 x x 20 5 4 x5 x6 30 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 0且为整数
运筹学
第一章线性规划问题
本章重点
线性规划建模线性规划的图解法线性规划的标准形式单纯形法两阶段法大M法

线性规划教材教学课件

02
线性规划的基本理论
线性规划的几何解释
01
线性规划问题可以解释为在多维空间中寻找一个点，该点使得某个线性函数达到最大或最小值。
02
线性规划问题可以用图形表示，通过观察图形可以直观地理解问题的约束条件和目标函数。
线性规划的基本定理
线性规划问题存在最优解，且最优解必定在约束条件的边界上。
大M法的优点是计算量较小，可以快速找到一个近似解，但解的精度和可靠性相对较低。
大M法适用于一些对解精度要求不高，但需要快速得到近似解的场合。
两阶段法
两阶段法是一种求解线性规划问题的分解方法，将原问题分解为两个阶段进行
求解。
第一阶段是求解一个初始的线性规划问题，得到一个初步的解；第二阶段是在初步解的基础上进行修正和调整，以得
Python求解线性规划
总结词
Python是一种通用编程语言，也提供了求解线性规划的库。
详细描述
Python的PuLP库可以用来求解线性规划问题，用户只需要编写Python代码来定义线性规划的约束条件和目标函数，然后调用PuLP库的函数即可得到最优解。
总结词
PuLP库提供了多种求解器选项，包括GLPK、CBC、 CP，这些最优解称为最优解集。
线性规划的解的概念
线性规划问题的最优解称为最优解，而所有最优解的集合称为最优解集。
在最优解集中，存在一个最优解被称为最优基解，它是线性规划问题的一个基可行解。
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线性规划的求解方法
单纯形法
单纯形法是一种求解线性规划问题的经典方法，通过不断迭代和寻找最优解的过程，最终找到满足所有约束条件的解。
单纯形法具有简单易行、适用范围广等优点，但也有计算量大、需要多次迭代等缺点。