回顾与复习1

课题: 回顾与思考（一）国本中学九年级备课组(王远成幸福李学英林豪)教学目标（一）教学知识点1、在回顾与思考中建立本章的知识框架图。

2、在回顾与思考中，复习有关定理的探索与证明，证明的思路和方法，尺规作图等。

（二）能力训练要求1、进一步体会证明的必要性，发展学生的初步的演绎推理能力。

2、进一步掌握综合法的证明方法，结合实例体会反证法的含义。

3、提高学生用规范的教学语言表达论证过程的能力。

（三）情感与价值观要求1、积极参加数学学习活动，对数学的证明有好奇心和求知欲。

2、在寻找几何命题的证明过程中，获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。

3、形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯。

教学重点1、在回顾与思考中建立本章的知识能力。

2、回顾本章的主要内容，包括探索与证明、思路与方法等。

教学难点进一步领会证明的思路和方法教学方法小组讨论法教具准备多媒体演示教学过程Ⅰ、创设问题情境，搭建“回顾与思考”的平台问题1 你能说说作为证明基础的几条公理吗？[生]公理：同位角相等，两直线平和。

公理：两直线平行，同位角相等。

公理：两边及其夹角相等的两个三角形全等。

公理：三边对应相等的两个三角形全等公理：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等公理：全等三角形的对应边相等，对应角相等问题2 向你的同伴讲述一两个命题的证明思路和证明方法[生]在这一章里，我们采用提问的方式让学生回忆了一些比较了解的结论，以及探索这些结论的方法和过程。

因为这些方法往往会对证明的思路有所启发，然后再利用公理和已有的定理去证明这些结论，这样往往可以将抽象的证明与直观的探索联系起来，如在证明“等腰三角形的两个底角相等”时从折纸中探索出证明思路：作底边上的中线构造全等三角形，从而利用公理证明了两个底角相等。

[生]这个命题的证明还可以有多种证法，例如作底边上的高线构造全等三角形，也可以证明两个底角相等，作顶角的角平分线构造全等三角形，也可以证明两个底角相等。

[师]很好！请同学们分别向你的同伴讲述这三种方法具体的证明过程。

（教师可关照基础较差的学生，给予辅导）我们以前已了解过的结论，在这一章利用公理和已学过的定理可以证明的还有哪些命题呢？[生]线段的垂直平分线的性质定理，角平分线的性质定理。

[生]勾股定理的逆命题[师]很好！我们这一章还涉及了一些以前没有探索过的命题，有哪些呢？[生]HL定理[师]你能用语言简单地叙述一下你是如何证明的吗？[生]因为直角三角形中，斜边和一条直角边确定，根据勾股定理，另一条直角边也相等，再根据“SSS”公理判定两个三角形全等。

[生]我们还学习过“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那以它所对的直角边等于斜边的一半。

”[师]我们是如何探索这个命题的证明思路的？[生]我们先是拼摆三角尺，在拼摆的过程中得到启示，寻找到了证明的思路。

[师]我们不妨再来一同证明一下这个命题，体会合情推理与演绎推理在获得结论中各自发挥的作用。

多媒体演示用两个含30°角的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？能拼出等边三角形吗？由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的关系？你能证明你的结论吗？[生]我们根据两个直角三角尺拼出的图形发现了结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那以它所对的直边等边斜边的一半，证明如下：如图（1）在△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，则∠B=60°（1） D （2）延长BC 至D ，使CD=BC ，连结AD （如图2）∵∠ACB=90°∴∠ACD=90°∵AC=AC∴△ABC ≌△ADC （SAS ）∴AB=AD （全等三角形的对应边相等）∴△ABD 是等边三角形（有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形）∴BC=21BD=21AB [师]上面我们想到的都是从已知出发，利用学过的公理和已证的定理证明的一些命题，这一章，我们还通过一个实例让同学们体会了反证法的含义。

[生]我们在证明了“等角对等边”这个命题后，发现：在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边了不相等，而证明这个命题，常用的方法行不通，于是我们先假设命题的结论不成立，然后推导出矛盾的结果，从而证明命题结论一定成立，具体过程如下： A如图：在△ABC 中，已知∠B ≠∠C ，此时AB 与AC 要么相等，要么不相等。

假设AB=AC ，根据“等边对等角”定理可得∠C=∠B ，但已知条件是∠B ≠∠C ，“∠C=∠B ”与已知条件“∠B ≠∠C ”相矛盾，因此，AB ≠AC 。

[师]通过本章的学习，我们不仅学习了用综合法证明一个几何命题，而且也了解了用反证法证明几何命题的思路。

我们还得出一个新命题，除了直观操作外，还有什么办法？你能举几个例子吗？[生]例如角平分线的判定定理就是由角平分线的性质定理构造逆命题，然后经过逻辑推理而得到的。

线段垂直平分线的判定定理也是构造出线段垂直平分线的性质定理的逆命题，然后经过逻辑推理而得到的。

[生]再例如等腰三角形的判定定理“等角对等边”是通过构造“等边对等角”的逆命题而推理得证的。

[师]很棒！请看问题3 你能说出一对互逆命题吗？它们的真假性如何？[生]例如“两直线平行，内错角相等”和“内错角相等，两直线平行”是互逆命题，且它们都是真命题。

[生]例如“如果ab=0,那么a=0,b=0”和“如果a=0,b=0，那么ab=0”是互逆命题，如果把第一个命题称作原命题，则第二个命题是逆命题，原命题是假命题，逆命题是真命题。

[生]再例如“如果两个角是对顶角，那么它们相等”和“如果两个角相等，那么它们是对顶角”是互逆命题，其肿第一个命题是真命题，第二个命题是假命题。

……问题4 任意画一个角，利用尺规将其二等分、四等分 A D 已知：如图，∠AOB ， C 求作：（1）射线OC ，使∠AOC=∠BOC ； E（2）射线OD 、OD ，使∠AOD=∠DOC=∠COE=∠EOD 。

O B 作法：（1）以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于M 、N ；再分别以M 、N 为半径，大于21MN 为半径画弧交∠AOB 内部于C 点；作射线OC ，则OC 就是所求作的射线。

（2）同上，分别在∠AOC 和∠BOC 内部作射线OD 、OE[师]你能说明这样做的理由吗？[生]由作图过程可知，OM=ON ，MC=NC ，OC=OC∴△MOC ≌△NOC （SSS ）∴∠MOC=∠NOC即∠AOC=∠BOC （全等三角形的对应边相等）Ⅱ、建立本章的知识框架图[师]本章所证明的命题大都与等腰三角形和直角三角形有关，主要包括哪些呢？[生]等腰三角形体（含等边三角形的性质定理及判定定理）、直角三角形的性质定理及判定定理、线段垂直平分线的性质定理及判定定理、角平分线的性质定理及判定定理。

[师]很好！下面我们一同来回忆一下本章的知识。

1、通过探索、猜测、计算、证明得到的定理：（1）与等腰三有形、等边三角形有关的结论；性质：等腰三角形的两个底角相等，即等边对等角（等边三角形三个角都相等，并且每个角都等于60°）；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；等腰三角形两底角的平分线相等，两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等。

判定：有两个角相等的三角形是等腰三有形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）。

三个角都相等的三角形是等边三角形。

（2）与直角三角形有关的结论勾股定理的逆定理；在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等。

（即HL定理）（3）与一般三角形有关的结论在一个三角形中，两个角不相等，它们所对的边也不相等（用反证法证明）2、命题的逆命题及其真假在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。

一个命题是真命题，它的逆命题却不一定时真命题。

如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理，例如勾股定理及其逆定理。

3、尺规作图线段垂直平分线的性质定理和判定定理；用尺规作线段的垂直平分线；已知底边和底边上的高，用尺规作等腰三角形。

角平分线的性质定理和判定定理；用尺规作已知角的平分线。

通过对以上知识的学习，使我们经历了探索、猜测、证明的过程、进一步体会了证明的必要性，在掌握了基本的证明步骤和要求的基础上，探索了证明的思路和方法，推理证明是本章的学习重点。

Ⅲ、例题讲解多媒体演示[列1]已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E、F， F E 且DE=DF，求证：△ABC是等腰三角形。

分析：要证△ABC是等腰三角形，可斑点∠B=∠C。

B D C 证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB∴∠DEB=∠DFC=90°在Rt△DEB和Rt△DFC中∵DB=DC，DE=DF∴Rt△DEB≌△DFC(HL定理)∴∠B=∠C（全等三有形的对应角相等）∴AB=AC（等角对等边）即△ABC是等腰三角形[例2]如，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于点E，已知△BCE的周长为8，AC－BC=2，求AB与AC的长。

分析：由已知AC－BC=2，即AB－BC=2，要求AB和BC的长，利用方程的思想，需找另一个AB与BC的关系。

解：∵DE垂直平分线段AB∴AE=BE（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）又∵△BCE的周长为8，即BC+BE+EC=8，∴BC+（AE+EC）=8∴BC+AC=8 ①又∵AC－BC=2 ②由①②得AC=5，BC=3又∵AB=AC，∴AB=5Ⅳ、课时小结本章的内容总结如下：与等腰三角形、等边三角形有关的结论通过探索、猜测、计算、证明得到定理与直角三角形有关节结论与一般三角形有关的结论命题的逆命题及其真假线段的垂直平分线尺规作图角的平分线Ⅴ、课后作业复习题A组Ⅵ、活动与探究已知等腰三角形一腰上的中线把它的周长分为15cm与12cm两部分求它的三边长[过程]在△ABC 中，AB=AC ，BD 是中线，BD 的周长分为12cm 和15cm 两部分，有可能是AB+AD=12cm ，也可能是BC+CD=12cm ，需分两种情况进行讨论。

在一个等腰三角形没有注明哪条边是腰、哪条边是底的情况下，要注意讨论，看一看各种条件是否符合题意。

[结果]设在△ABC 中，AB=AC ，BD 是它的中线，根据题意，设腰长为x cm ，底边为y cm ，则,1221=+x x ,1521=+x1521=+x y .1521=+x y 解这两个方程组得： x=8， x=10或Y=11 y=7.∴△ABC 三边长为：AB=AC=8，BC=11或AB=AC=10，BC=7备课资料线段垂直平分线的广泛应用垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，有时也简称中垂线，它的性质定理及其逆定理在解题中有广泛的应用，下面举例说明。