2.4.1 抛物线的标准方程

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2018版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4.1抛物线的标准方程课件苏教版选修1_1

引申探究若将本例(4)中条件改为y＝ax2(a≠0)，结果又如何？解答
1 y＝ax 可变形为 x ＝ay，
2 2
1 1 所以焦点坐标为(0，4a)，准线方程为 y＝－4a.
反思与感悟
如果已知抛物线的标准方程，求它的焦点坐标、准线方程时，首先要判
断抛物线的对称轴和开口方向．一次项的变量若为x(或y)，则x轴(或y轴)
图形
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
焦点坐标
p ， 0 2 ______
p －，0 2 ________
p 0， 2 _________
答案
p 是抛物线的焦点到准线的距离，抛物线方程中一次项决定
开口方向．
思考 2
已知抛物线的标准方程，怎样确定抛物线的焦点位置和开口
方向？答案一次项变量为x(或y)，则焦点在x轴(或y轴)上．若系数为正，
则焦点在正半轴上；若系数为负，则焦点在负半轴上．焦点
确定，开口方向也随之确定．
梳理
抛物线的标准方程有四种类型
p 3 2p＝6，p＝3，2＝2， 3 3 所以焦点坐标为(－2，0)，准线方程为 x＝2.
(2)3x2＋5y＝0；解答
5 将 3x ＋5y＝0 变形为 x ＝－3y，
2 2
5 5 p 5 知抛物线开口向下，2p＝3，p＝6，2＝12，
5 5 所以焦点坐标为(0，－12)，准线方程为 y＝12.
是抛物线的对称轴，一次项系数的符号决定开口方向．
跟踪训练2
若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝____ 2 ，准线方

学案10：2.4.1 抛物线及其标准方程

2.4.1 抛物线及其标准方程预习导引区核心必知1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材的内容，回答下列问题．(1)观察教材，点F 是定点，l 是不经过点F 的定直线，H 是l 上任意一点，过点H 作MH ⊥l ，线段FH 的垂直平分线m 交MH 于点M ，拖动点H ，观察点M 的轨迹． ①M 的轨迹是什么形状？②|MH |与|MF |之间有什么关系？③抛物线上任意一点M 到点F 和直线l 的距离都相等吗？(2)观察教材，直线l 的方程为x ＝－p2，定点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，设M (x ，y )，根据抛物线的定义可知|MF |＝|MH |，则M 点的轨迹方程是什么？2．归纳总结，核心必记 (1)抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F ) 的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的，直线l 叫做抛物线的准线． (2)抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标准线方程y 2＝2px (p >0)⎝⎛⎭⎫p 2，0 x ＝－p2y 2＝－2px (p >0)⎝⎛⎭⎫－p 2，0 x ＝p 2 续表图形标准方程焦点坐标准线方程x 2＝2py (p >0)⎝⎛⎭⎫0，p 2 y ＝－p 2x 2＝－2py (p >0)⎝⎛⎭⎫0，－p 2y ＝p2问题思考(1)在抛物线定义中，若去掉条件“l 不经过点F ”，点的轨迹还是抛物线吗？(2)到定点A (3，0)和定直线l ：x ＝－3距离相等的点的轨迹是什么？轨迹方程又是什么？(3)若抛物线的焦点坐标为(2，0)，则它的标准方程是什么？课堂互动区知识点1 求抛物线的焦点坐标及标准方程思考1 抛物线的标准方程有哪几种类型？思考2 抛物线方程中p 的几何意义是什么？思考3 如何根据抛物线标准方程求焦点坐标和准线方程？讲一讲1．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： (1)y 2＝－14x ；(2)5x 2－2y ＝0; (3)y 2＝ax (a >0)．类题·通法根据抛物线方程求其焦点坐标和准线方程时，首先要看抛物线方程是否为标准形式，如果不是，要先化为标准形式；然后判断抛物线的对称轴和开口方向，再利用p的几何意义，求出焦点坐标和准线方程．练一练1．求抛物线y＝ax2(a≠0)的焦点坐标和准线方程．知识点2 求抛物线的标准方程思考1抛物线标准方程有什么特点？思考2如何求抛物线的标准方程？讲一讲2．求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)过点M(－6，6);(2)焦点F在直线l：3x－2y－6＝0上．类题·通法求抛物线标准方程的两种方法(1)当焦点位置确定时，可利用待定系数法，设出抛物线的标准方程，由已知条件建立关于参数p的方程，求出p的值，进而写出抛物线的标准方程．(2)当焦点位置不确定时，可设抛物线的方程为y2＝mx或x2＝ny，利用已知条件求出m，n 的值．练一练2．根据下列条件写出抛物线的标准方程：(1)准线方程为y＝－1;(2)焦点在x轴的正半轴上，焦点到准线的距离是3.知识点3 抛物线定义的应用讲一讲3．已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3，2)，求|P A|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时的P点坐标．类题通法(1)抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等，故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质．(2)解决与抛物线焦点、准线距离有关的最值、定值问题时，首先要注意应用抛物线的定义进行转化，其次是注意平面几何知识的应用，例如两点之间线段最短；三角形中三边间的不等关系；点与直线上点的连线中，垂线段最短等．练一练3．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点(0，2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值．知识点4 抛物线方程的实际应用讲一讲4．一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过截面为抛物线型的隧道，已知拱口宽AB恰好是拱高的4倍，若拱口宽为a m，求能使卡车通过的a的最小整数值．类题通法在建立抛物线的方程时，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系，这样可使得方程不含常数项，形式更为简单，便于计算．练一练4．喷灌的喷头装在直立管柱OA的顶点A处，喷出水流的最高点B高5 m，且与OA所在的直线相距4 m，水流落在以O为圆心，半径为9 m的圆上，则管柱OA的长是多少？—————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是抛物线标准方程的求法和焦点坐标、准线的求法．难点是抛物线定义的应用和抛物线方程的实际应用．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)由抛物线方程求焦点坐标和准线方程，如讲1；(2)求抛物线的标准方程，如讲2；(3)利用抛物线的定义解决最值问题，如讲3.3．由抛物线方程求焦点坐标和准线方程时，如果不是标准方程应先转化为标准方程，这是本节课的易错点．参考答案预习导引区核心必知1．(1)①提示：抛物线． ②提示：相等． ③提示：都相等． (2)提示：y 2＝2px (p >0)．2．(1)距离相等焦点准线问题思考(1)提示：不一定是抛物线，当直线l 经过点F 时，点的轨迹是过点F 且垂直于定直线的一条直线，l 不过定点F 时，点的轨迹是抛物线． (2)提示：轨迹是抛物线，轨迹方程为：y 2＝12x ．(3)提示：由焦点在x 轴正半轴上，设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，其焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，则p2＝2，故p ＝4.所以抛物线的标准方程是y 2＝8x ．课堂互动区知识点1 求抛物线的焦点坐标及标准方程思考1 名师指津：y 2＝2px (p >0)；y 2＝－2px (p >0)；x 2＝2py (p >0)；x 2＝－2py (p >0)．思考2 名师指津：p 的几何意义是：焦点到准线的距离．思考3 名师指津：先确定抛物线的对称轴和开口方向，然后求p ，利用焦点坐标及准线的定义求解．讲一讲1．解：(1)因为p ＝7，所以焦点坐标是⎝⎛⎭⎫－72，0，准线方程是x ＝72. (2)抛物线方程化为标准形式为x 2＝25y ，因为p ＝15，所以焦点坐标是⎝⎛⎭⎫0，110，准线方程是y ＝－110.(3)由a >0知p ＝a 2，所以焦点坐标是⎝⎛⎭⎫a 4，0，准线方程是x ＝－a 4. 练一练1．解：把抛物线方程y ＝ax 2化成标准方程x 2＝1a y .当a >0时，焦点坐标是⎝⎛⎭⎫0，14a ，准线方程是y ＝－14a ；当a <0时，焦点坐标是⎝⎛⎭⎫0，14a ，准线方程是y ＝－14a. 综上知，所求抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，14a ，准线方程为y ＝－14a . 知识点2 求抛物线的标准方程思考1 名师指津：等号一边是某个变量的完全平方，等号的另一边是另一个变量的一次项．思考2 名师指津：(1)确定抛物线的对称轴和开口方向；(2)求p 的值．讲一讲2．解：(1)∵点M (－6，6)在第二象限， ∴过M 的抛物线开口向左或开口向上．若抛物线开口向左，焦点在x 轴上，设其方程为y 2＝－2px (p >0)，将点M (－6，6)代入，可得36＝－2p ×(－6)， ∴p ＝3.∴抛物线的方程为y 2＝－6x .若抛物线开口向上，焦点在y 轴上，设其方程为x 2＝2py (p >0)，将点M (－6，6)代入可得，36＝2p ×6，∴p ＝3， ∴抛物线的方程为x 2＝6y .综上所述，抛物线的标准方程为y 2＝－6x 或x 2＝6y . (2)①∵直线l 与x 轴的交点为(2，0)， ∴抛物线的焦点是F (2，0)， ∴p2＝2， ∴p ＝4，∴抛物线的标准方程是y 2＝8x . ②∵直线l 与y 轴的交点为(0，－3)，即抛物线的焦点是F (0，－3)， ∴p2＝3，∴p ＝6， ∴抛物线的标准方程是x 2＝－12y .综上所述，所求抛物线的标准方程是y 2＝8x 或x 2＝－12y . 练一练2．解：(1)由准线方程为y ＝－1知抛物线焦点在y 轴正半轴上，且p2＝1，则p ＝2.故抛物线的标准方程为x 2＝4y .(2)设焦点在x 轴的正半轴上的抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，则焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线为x ＝－p 2，则焦点到准线的距离是⎪⎪⎪⎪－p 2－p2＝p ＝3，因此所求的抛物线的标准方程是y 2＝6x .知识点3 抛物线定义的应用讲一讲3．解：如图，作PN ⊥l 于N (l 为准线)，作AB ⊥l 于B ，则|P A |＋|PF |＝|P A |＋|PN |≥|AB |，当且仅当P 为AB 与抛物线的交点时，取等号． ∴()|P A |＋|PF |min＝|AB |＝3＋12＝72.此时y P ＝2，代入抛物线得x P ＝2，∴P 点坐标为(2，2)．练一练3．解：由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离．由图可知，当点P ，A (0，2)，和抛物线的焦点F ⎝⎛⎭⎫12，0三点共线时距离之和最小．所以最小距离d ＝⎝⎛⎭⎫0－122＋（2－0）2＝172. 知识点4 抛物线方程的实际应用讲一讲4．解：以拱顶为原点，拱高所在直线为y 轴，建立直角坐标系，如图所示，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，－a4，由点B 在抛物线上，得⎝⎛⎭⎫a 22＝－2p ⎝⎛⎭⎫－a 4，所以p ＝a2，所以抛物线方程为x 2＝－ay .将点(0.8，y )代入抛物线方程，得y ＝－0.64a .欲使卡车通过隧道，应有a 4－|y |＝a 4－0.64a >3.解得a >12.21，或a <－0.21(舍去)． ∵a 取整数， ∴a 的最小值为13. 练一练4．解：如图所示，建立直角坐标系，设水流所形成的抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)，因为点C (5，－5)在抛物线上，所以25＝－2p ·(－5)，因此2p ＝5，所以抛物线的方程为x 2＝－5y ，点A (－4，y 0)在抛物线上，所以16＝－5y 0，即y 0＝－165，所以OA 的长为5－165＝1.8(m)．所以管柱OA 的长为1.8 m.。

课件1：2.4.1 抛物线及其标准方程

【答案】 y＝－18
4．抛物线 y2＝－2px(p>0)上有一点 M 的横坐标为－9，它到焦点的距离为 10，求此抛物线方程和 M 点的坐标．【解】设焦点为 F(－2p，0)， M 点到准线的距离为 d，则 d＝|MF|＝10，即 9＋p2＝10，∴p＝2， ∴抛物线方程为 y2＝－4x. 将 M(－9，y)代入抛物线的方程，得 y＝±6.∴M 点坐标为(－9,6)或(－9，－6)．
(p2，0)
x＝－p2
y2＝－2px(p>0) (－p2，0) x＝p2
x2＝2py(p>0)
(0，p2)
y＝－p2
x2＝－2py(p>0) (0，－p2)
y＝p2
互动探究
题型一：求抛物线的标准方程
例 1 求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)过点 M(－6,6)； (2)焦点 F 在直线 l：3x－2y－6＝0 上．
课堂小结
1．利用抛物线定义可以把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，这一相互转化关系能给解题带来很大的方便，要注意运用定义解题． 2．在求抛物线的标准方程时，由于其标准方程有四种形式，易于混淆，解题时一定要做到数形结合，按照“定形(抛物线焦点位置)→定量(参数 p 的值)”的程序求解．
第二章圆锥曲线与方程
§2.4.1 抛物线及其标准方程
高中数学选修2-1·同步课件
自主导学
1.掌握抛物线的定义及其标课标准方程．(重点、难点) 解读 2．会由抛物线方程求焦点
坐标和准线方程．(易错点)
知识点1：抛物线的定义
【问题导思】如图 2－4－1，把一根直尺固定在图板内直线 l 的位置，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘，再把一条绳子的一端固定于三角板的另一条直角边上的点 A，截取绳子的长等于 A 到直线 l 的距离 AC，并且把绳子的另一端固定在图板上的一点 F，用一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺上下滑动，这样铅笔描出一条曲线，思考下面两个问题：

第2章2.4.1 抛物线及其标准方程

高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
【解析】抛物线的焦点 F 的坐标为(p2，0)，线段 FA 的中
点 B 的坐标为(4p，1)，代入抛物线方程，得 1＝2p×p4，解得 p＝ 2，
故点
B
的坐标为(
42，1)，故点
B
到该抛物线准线的距离为
42＋
2 2
＝3
4
2 .
【答案】
32 4
第15页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
第18页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
②下图，当圆 P 与圆 A 内切时，有
||PPAB||＝＝rr－1⇒|PA|－|PB|＝－1，即（x－3）2＋y2－(x＋2)＝－1. 即 y2＝8(x－1)．
第19页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
题型二求抛物线的标准方程例 2 根据下列条件，求出抛物线的标准方程． (1)过点(－3，2)； (2)焦点在 x 轴上，且抛物线上一点 A(3，m)到焦点的距离为 5.
第24页
高考调研 ·新课标 ·数学选2-1
(2)直线 x－y＋2＝0 与两坐标轴的交点为(－2，0)，(0，2)．若抛物线的焦点为(－2，0)，设其方程 y2＝－2px. 由－p2＝－2，得－2p＝－8，所求方程为 y2＝－8x；若抛物线的焦点为(0，2)，设其方程为 x2＝2py. 由p2＝2，得 2p＝8，所求方程为 x2＝8y.
第23页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
【解析】 (1)设抛物线方程为 x2＝2py 或 y2＝－2px(p＞0)．将点(－2，3)代入抛物线方程 x2＝2py，得 2p＝34.∴x2＝34y. 将点(－2，3)代入抛物线方程 y2＝－2px，得 2p＝92. ∴y2＝－29x. ∴满足条件的抛物线的标准方程为 x2＝43y 或 y2＝－29x.

2.4.1抛物线及其标准方程

复习：
1、抛物线定义,标准方程的焦点、准线， P的几何意义。 2、抛物线的定义,标准方程类型与图象的对应关系以及判断方法
3、焦半径公式
4、注重数形结合的思想。
一、定义
平面内与一个定点F 和一条定直 l 线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 N 定点F 叫做抛物线的焦点。
M
定直线l 叫做抛物线的准线。
MF ︳︳若 1, 则点︳︳ MN
· F ·
即:
M 的轨迹是抛物线。
方程 = 2px（p＞0）叫做抛物线的标准方程
2 y
其中 p 为正常数，它的几何意义是:
焦点到准线的距离
﹒ ﹒ ﹒
y
图形
o
焦
点
准线
标准方程
x
y
o
x
y
o
x
y
﹒
o
x
问题：
根据上表中抛物线的标准方程的不同形式与图形，焦点坐标，准线方程对应关系如何判断抛物线的焦点位置，开口方向？第一：一次项的变量为X（或Y）则X轴（或Y轴）为抛物线的对称轴，焦点就在对称轴上第二：一次项的系数决定了开口方向
课堂作业：
课本P73 3 、8
练习 1 若抛物线y2=8x上一点M到原点的距离等于点M到准线的距离则点M的坐标是
2 已知定点A(3,2)和抛物线y2=2x, F是抛物线焦点，试在抛物线上求一点P,使 PA与PF的距离之和最小，并求出这个最小值。若 A(3,7)呢？
例1:已知抛物线方程为x=ay2（a≠0)，讨论抛物线的开口方向、焦点坐标和准线方程？ 1 1 2= x 即2p= a 解：抛物线的方程化为：y a
①当a>0时,

高二数学 2.4.1 抛物线及其标准方程

分析由定义知，抛物线上的点P到焦点F的距离等于点 P到准线的距离d，求|PA|与点P到x轴的距离之和的最小值，转化成求|PA|＋d－p2的最小值．
第32页
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第一章 §2.4 2.4.1
名师一号 ·数学 ·新课标A版 ·选修2-1
解如下图，易判断知点A在抛物线外侧，设P(x，y)，则P到x轴的距离即y值，设P到准线y＝－1的距离为d，则y＝ d－1.
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名师一号 ·数学 ·新课标A版 ·选修2-1
题型三与抛物线有关的最值问题例3 已知抛物线x2＝4y，点P是抛物线上的动点，点A 的坐标为(12,6)．求点P到点A的距离与点P到x轴的距离之和的最小值．
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第一章 §2.4 2.4.1
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变式训练3 已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则
点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值
为( )
17 A. 2
B．3
9
C. 5
D.2
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第一章 §2.4 2.4.1
名师一号 ·数学 ·新课标A版 ·选修2-1
2．抛物线的标准方程的特点：
抛物线标 y2＝2px y2＝－2px x2＝2py 准方程 (p＞0) (p＞0) (p＞0)
x2＝－2py (p＞0)

高中数学2.4.1 抛物线的标准方程

§抛物线的标准方程要点精讲1.抛物线的定义：平面内与一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫抛物线.2.抛物线的标准方程：〔1〕px y 22= 〔2〕px y 22-= 〔3〕py x 22= 〔4〕py x 22-=其中0>p ，表示焦点到准线的距离.3.抛物线标准方程有以下四种形式,求抛物线标准方程主要用待定系数法,根据抛物线开口方向选定其中一种形式抛物线标准方程.标准方程y 2=2px y 2=－2px x 2=2py x 2=－2py图形焦点坐标)0,2(p )0,2(p － )2,0(p )2,0(p －准线方程2=p －x 2=p x 2=p －y 2=p y 开口方向向右向右向上向下典型题解析[例1]一抛物线拱桥跨度为40米，拱顶距水面6米(如图)，有一竹排上载有一宽4米，高5米的大箱，问能否安全通过此桥?[例2]巳知直线l :x ＋1＝0及圆C ：(x －2)2＋y 2＝1，假设动圆M 与z 相切且与圆C 外切，试求动圆圆心M 的轨迹方程；假设动圆M 与l 相切且与圆C 内切，M 的轨迹是什么曲线?[解]设M(x,y)，M 到直线l 的距离为d ,∵动圆M 与l 相切且与圆C 外切，∴｜MC ｜=d ＋1，∴动点M 到定点C 的距离与到定直线x=－2的距离相等，∴动点M 的轨迹是以C(2，0)为焦点,x=－2为准线的抛物线，其方程为y 2＝8x.[解][分析]假设动圆M与l相切且与圆C内切，那么｜MC｜=d－1，∴动点M到定点C的距离与到定直线x=0的距离相等，故动点M的轨迹是以C(2，0)为焦点x=0为准线的抛物线(此时抛物线的方程是非标准的抛物线方程) [点评]平面内，动点到定点的距离与判定直线的距离之差是一个常数，总可以转化为动点到定点的距离与到某条定直线的距离相等(只需将定直线作平行移动)，因而动点的轨迹仍为抛物线.[例3]倾斜角为的直线经过抛物线扩y2＝2px(p＞0)的焦点F，与抛物线交于A、B两点，求线段AB的长及其最小值．[解][点评]规律总结1.抛物线的定义用法：一是根据定义求轨迹；二是两个相等距离〔动点到焦点的距离与动点到准线的距离〕的互化．〔常用定义把抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离，把焦点弦长转化为点到准线的距离〕．2y＝±2px和2x＝±2py〔p＞0〕其中“±〞决定图形开口〔“＋〞号代表朝正方向，“－〞号代表朝负方向〕．。

§2.4.1抛物线的标准方程

【练习 3】已知抛物线的标准方程是(1) y 2 8 x ,(2) y 8 x 2 ,求它的焦点坐标和准线方程.
五.本节内容个人掌握情况反思,疑问
第2页
江苏省大港中学高二数学作业纸选修 2-1 选修 1-1
班级:二（
）姓名:
学号:
成绩:
编号:X2-1008
§2.4.1 抛物线的标准方程
第3页
江苏省大港中学高二数学作业纸选修 2-1 选修 1-1 §2.4.1 抛物线的标准方程
三.补充练习 6.顶点在原点,焦点在 y 上,且过点 p (4, 2 ) 的抛物线方程是 ______ .
纠错、总结栏
7.直线 y x 3 与抛物线 y 2 4 x 交于 A, B 两点,过 A, B 两点向抛物线的准线做垂线,垂足分别是 P, Q ,则梯形 APQB 的面积为 ______ .
0 的切线,求 p 的值及抛物线的方程.
【练习 1】求满足下列条件的抛物线的标准方程: (1)焦点坐标 F (5,0 ) ;(2)过点 A(3, 2 ) ;(3)焦点在 x 2 y 4 0 上;
【练习 2】求顶点在原点,焦点在 x 轴上的抛物线且截直线 2 x y 1 0 所得的弦长为 15 的抛物线的方程.
二次总结栏
【例 3】已知 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 是经过抛物线 y 2 2 px( p 0) 的焦点 F 的直线与抛物线的两个焦点,求证: AB x1 x2 p .
【例 4】已知抛物线 y 2 2 px p 0 的准线恰好是圆 x2 y 2 6x 7
二.今日作业 3.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程（1） x 2 20 y （2） y 2 8 x 0

2.4.1抛物线及其标准方程

2
10x
（2）
y 2 2 px( p 0)
1 2 x y （3） 4
（4）
y 2 ax(a 0)
课堂小结
1.抛物线的定义？
2.抛物线的标准方程？
3.求标准方程的方法？
抛物线及其标准方程
一.定义: MF MH
点M的轨迹叫做抛物线H 定点F 叫焦点，定直线l 叫准线
l y
M
标准方程的推导
探讨建立平面直角坐标系的方案(设F到 l 的距离是p) y y y . .
M M
.
M
O
.
F
x
l
.
l
F
x
l
O
.
F
x
l 方案(1)
y 2 px p
2 2
方案(2)
方案(3)
2
y 2 px p
2
y 2 px
2
标准方程的推导
（方案三）以过F且垂直于 l 的直线为 H M（x,y） x轴,垂足为K.以线段FK的中点O为坐 . x 标原点建立直角坐标系xOy. O F K 设点 M ( x, y) 为抛物线上的任意一点， FK P p 0 l 作 MH l 于点H. p p 则焦点 F ( , 0)，准线 l : x 2 2 p 2 p 2 由定义得 MF MH 所以 (x ) y x 2 2 两边平方，整理得 y 2 2 px( p 0)
2.4.1抛物线及其标准方程
喷泉
球在空中运动的轨迹是抛物线规律, 那么抛物线它有怎样的几何特征呢? 二次函数 y ax2 bx c(a 0) 又到底是一条怎样的抛物线?
画抛物线

第二章 2.4.1 抛物线及其标准方程

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[一点通]
涉及桥的高度、隧道的高低等抛物线型问
题，通常用抛物线的标准方程解决.建立直角坐标系后，要结合点的位置分析坐标的符号，根据实际问题中的数据准确写出点的坐标，再结合实际问题求解．
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5．探照灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处．已知灯口直径是60 cm，灯深40 cm，则光源到反光镜顶点的距离是 ( )
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p＝4，解得 m＝2 6，
p＝4，或 m＝－2
6.
∴所求抛物线方程为 y2＝－8x，m＝± 6. 2 法二：设抛物线方程为 y2＝－2px(p>0), p p 则焦点坐标 F(－，0)，准线方程 x＝ . 2 2 由抛物线定义知，点 M 到焦点的距离等于 5，即点 M 到准线的距离等于 5，
答案：B
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4．已知点 P 是抛物线 y2＝2x 上的一个动点，则点 P 到点(0,2) 的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为 ( 17 A. 2 C. 5 B．3 9 D.2 )
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解析：由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离．由图可知，P 点，A(0,2)点，抛物线的 1 焦点 F( ，0)三点共线时距离之和最小．所以最小距离 d＝ 2 |AF|＝ 12 17 2 0－＋2－0 ＝ . 2 2
2
4，得 p＝8，故所求抛物线的标准方程为 y2＝16x.
答案：A
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2．已知抛物线的焦点在x轴上，抛物线上的点M(－3，m)、到焦点的距离是5. (1)求抛物线方程和m的值； (2)求抛物线的焦点和准线方程．
解：(1)法一：∵抛物线焦点在 x 轴上，且过点 M(－3，m)， ∴设抛物线方程为 y2＝－2px(p>0)， p 则焦点坐标 F(－，0). 2 m2＝6p，由题意知 p2 2 m ＋3－＝5， 2

课件11：2.4.1 抛物线及其标准方程

易知点 A(0,2)在抛物线 y2＝2x 的外部，
连接 AF，交 y2＝2x 于点 P′，
欲使所求距离之和最小，只需 A，P′，F 共线，
∴其最小7．
(2)若位于 y 轴右侧的动点 M 到 F21，0的距离比它到 y 轴的距离大12．求点 M 的轨迹方程．
初试身手
1．抛物线 x2＋8y＝0 的焦点坐标是( )
A．(0,2)
B．(0，－2)
C．(0,4)
D．(0，－4)
【解析】抛物线 x2＝－8y 的焦点在 y 轴的负半轴上，
且p2＝2，因此焦点坐标是(0，－2)．
【答案】B
2．抛物线 y2＝8x 的焦点到准线的距离是( )
A．1
B．2 C．4
D．8
2．设 M 是抛物线上一点，焦点为 F，则线段 MF 叫做抛物线的焦半径．若 M(x0，y0)在抛物线 y2＝2px(p＞0)上，则根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化，所以焦半径|MF|＝x0＋p2． 3．对于抛物线上的点，利用定义可以把其到焦点的距离转化为到准线的距离，也可以把其到准线的距离转化为到焦点的距离，因此可以解决有关距离的最值问题．
解：(1)设所求抛物线方程为 x2＝－2py(p>0)，由p2＋3＝5 得 p＝4，因此抛物线方程为 x2＝－8y，其准线方程为 y＝2，由 m2＝24 得 m＝±2 6．
(2)如图，作 PN⊥l 于 N(l 为准线)，作 AB⊥l 于 B，则|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PN|≥|AB|，当且仅当 P 为 AB 与抛物线的交点时，取等号． ∴(|PA|＋|PF|)min＝|AB|＝4＋1＝5．此时 yP＝2，代入抛物线得 xP＝1， ∴P(1,2)．

第二章 2.4.1 抛物线及其标准方程

§2.4抛物线2．4.1抛物线及其标准方程学习目标 1.掌握抛物线的定义及其焦点、准线的概念.2.会求简单的抛物线方程．知识点一抛物线的定义1．定义：平面内与一定点F和一条定直线l(不经过点F)距离相等的点的轨迹．2．焦点：定点F.3．准线：定直线l.知识点二抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标准线方程y2＝2px(p>0) ⎝⎛⎭⎫p2，0x＝－p2y2＝－2px(p>0) ⎝⎛⎭⎫－p2，0x＝p2x2＝2py(p>0) ⎝⎛⎭⎫0，p2y＝－p2x2＝－2py(p>0) ⎝⎛⎭⎫0，－p2y＝p21．抛物线的方程都是二次函数．()2．抛物线的焦点到准线的距离是p.()3．抛物线的开口方向由一次项确定．()题型一求抛物线的标准方程例1分别求符合下列条件的抛物线的标准方程．(1)经过点(－3，－1)；(2)焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点．反思感悟用待定系数法求抛物线标准方程的步骤注意：当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，这样可以减少讨论情况的个数．跟踪训练1 根据下列条件分别求出抛物线的标准方程： (1)准线方程为y ＝23；(2)焦点在y 轴上，焦点到准线的距离为5.题型二抛物线定义的应用命题角度1 利用抛物线定义求轨迹(方程)例2 已知动圆M 与直线y ＝2相切，且与定圆C ：x 2＋(y ＋3)2＝1外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．反思感悟解决轨迹为抛物线问题的方法抛物线的轨迹问题，既可以用轨迹法直接求解，也可以先将条件转化，再利用抛物线的定义求解．后者的关键是找到满足动点到定点的距离等于到定直线的距离且定点不在定直线上的条件，有时需要依据已知条件进行转化才能得到满足抛物线定义的条件．跟踪训练2 已知动圆M 经过点A (3,0)，且与直线l ：x ＝－3相切，求动圆圆心M 的轨迹方程．命题角度2利用抛物线定义求最值例3如图，已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|P A|＋|PF|的最小值，并求此时P点坐标．引申探究若将本例中的点A(3,2)改为点(0,2)，求点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值．反思感悟抛物线的定义在解题中的作用，就是灵活地对抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离进行转化，另外要注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等．跟踪训练3已知P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l：2x－y＋3＝0和y轴的距离之和的最小值是() A. 3 B. 5 C．2 D.5－1抛物线的实际应用问题典例河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m 时，水面宽为8 m ，一小船宽4 m ，高2 m ，载货后船露出水面上的部分高0.75 m ，问：水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距多少m 时，小船开始不能通航？[素养评析] 首先确定与实际问题相匹配的数学模型．此问题中拱桥是抛物线型，故利用抛物线的有关知识解决此问题，操作步骤为：(1)建系：建立适当的坐标系． (2)假设：设出合适的抛物线标准方程． (3)计算：通过计算求出抛物线的标准方程． (4)求解：求出需要求出的量．(5)还原：还原到实际问题中，从而解决实际问题.1．若动点P 到定点F (－4,0)的距离与到直线x ＝4的距离相等，则P 点的轨迹是( )A ．抛物线B ．线段C ．直线D ．射线2．已知抛物线y ＝2px 2过点(1,4)，则抛物线的焦点坐标为( )A ．(1,0) B.⎝⎛⎭⎫116，0 C.⎝⎛⎭⎫0，116 D ．(0,1)3．一动圆过点(0,1)且与定直线l 相切，圆心在抛物线x 2＝4y 上，则l 的方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝116C ．y ＝－1D ．y ＝－1164．若抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(1,0)，则p ＝________，准线方程为________．5．抛物线y 2＝－2px (p >0)上有一点M 的横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求此抛物线方程和M 点的坐标．1．利用抛物线定义可以把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，这一相互转化关系能给解题带来很大的方便，要注意运用定义解题．2．在求抛物线的标准方程时，由于其标准方程有四种形式，易于混淆，解题时一定要做到数形结合，按照“定形(抛物线焦点位置)→定量(参数p 的值)”的程序求解.一、选择题1．抛物线y ＝2x 2的焦点到准线的距离是( )A ．2B ．1 C.14 D.122．若动点P 与定点F (1,1)和直线l ：3x ＋y －4＝0的距离相等，则动点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．直线3．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为( )A ．(－1,0)B ．(1,0)C ．(0，－1)D ．(0,1)4．经过点P (4，－2)的抛物线的标准方程为( )A ．y 2＝x 或x 2＝－8yB ．y 2＝x 或y 2＝8xC ．y 2＝－8xD ．x 2＝－8y5．已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0等于( )A ．4B ．2C ．1D ．86．设圆C 与圆x 2＋(y －3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，则C 的圆心轨迹为( )A ．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．圆7．已知抛物线y 2＝4x 上一点P 到焦点F 的距离为5，则△PFO 的面积为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．48．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.115 D.3716二、填空题9．已知双曲线x 2m －y 2＝1的右焦点恰好是抛物线y 2＝8x 的焦点，则m ＝________.10．若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是________．11．一抛物线形拱桥，当桥顶离水面2米时，水面宽4米，若水面下降2米，则水面宽为________米．三、解答题12．根据下列条件分别求抛物线的标准方程． (1)抛物线的焦点是双曲线16x 2－9y 2＝144的左顶点；(2)抛物线的焦点F 在x 轴上，直线y ＝－3与抛物线交于点A ，|AF |＝5.13．已知点P是抛物线x2＝4y上的动点，点P在x轴上的射影是点Q，点A的坐标是(8,7)，则|P A|＋|PQ|的最小值为()A．7 B．8 C．9 D．1014．平面上动点P到定点F(1,0)的距离比点P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程．。

2.4.1抛物线及其标准方程

l
y轴的正半轴上
x
•
x
x轴的焦点位置正半轴上标准方程焦点坐标
x轴的负半轴上
y轴的负半轴上
y2=2px
p F ( ,0 ) 2 p x =2
y2=-2px
p F(- ,0) 2 p x= 2
x2=2py
p F ( 0, ) 2 p y =2
x2=-2py
p F (0, - ) 2 p y= 2
第二课时
. 四种抛物线及其它们的标准方程
图形
l
o
y
y
•x
•o
l
x
o
•
y
o
y
l
l
y轴的正半轴上
x
•
x
x轴的焦点位置正半轴上标准方程焦点坐标
x轴的负半轴上
y轴的负半轴上
y2=2px
p F ( ,0 ) 2 p x =2
y2=-2px
p F(- ,0) 2 p x= 2
x2=2py
p F ( 0, ) 2 p y =2
分析：因为曲线段 C 上的任一点是以点 N 为焦点，以 l 2 为准线的抛物线的一段，所以本题关键是建立适当坐标系，确定 C 所满足的抛物线方程．
解：以 l1 为 x 轴，MN 的中点为坐标原点 O，建立直角坐标系．由题意，曲线段 C 是 N 为焦点，以 l 2 为准线的抛物线的一段，其中 A、B 分别为曲线段的两端点．∴设曲线段 C 满足的
y 8 x, m 2 6
2
2.已知抛物线的焦点在x轴上，抛物线上的点M(-3,m)到焦点的距离等于5，求抛物线的标准方程和m的值。变形：如果焦点在y轴上呢？法1：分x2=2py(p>0)与x2= -2py(p>0) 两种情况。

2.4.1抛物线及其标准方程

P 到直线 l1 和直线 l 2 的距
B、 3
离之和的最小值为（）
XX分校
A、2
11 C、 5
37 D、 16
A(12,6) 变式2 已知 P 是抛物线 x 4 y 上的动点，
2
求点 P 到点 A 的距离与到 x 轴的距离之和的最小值
XX分校
）
p a A、 2
p a B、 2
a p C、
a p D、
2 y 12x 上到焦点的距离为9的点的坐练习抛物线
标是_______
XX分校
2 2 ( x 2 ) y 1 外切，又与直线例若动圆与圆
x 1 0 相切，求动圆圆心 M 的轨迹方程
变式过点 A(3,0) 且与 y 轴相切的圆的圆心轨迹为（）
2
及准线方程
XX分校
例根据条件求抛物线的标准方程
1 （1）准线方程为 x 4 （2）焦点坐标为 F (0,2)
（4）经过点 P(3,2)
（3）焦点在直线 x 2 y 4 0 上
XX分校
例已知抛物线 y 2 px( p 0) 上一点 M 到焦点
2
的距离为 a ，则点M 的横坐标为（
A、圆
B、椭圆
C、双曲线
D、抛物线
XX分校
2 A ( 4 , 2 ), F y 4 x 的焦点，P 为抛例已知为抛物线
物线上的动点，求 | PA | | PF | 的最小值，并求取最
小值时点 P 的坐标变式1 已知直线 l1 : 4 x 3 y 6 0 ，直线 l2 : x 1,
2
p F ( ,0 ) 焦点坐标： 2
p x 准线方程： 2

学案5：2.4.1 抛物线的标准方程

2.4.1 抛物线的标准方程学习目标核心素养1.理解抛物线的定义、标准方程及其推导过程．(重点)2.掌握抛物线的定义及其标准方程的应用．(难点) 1.通过抛物线的定义，标准方程的学习，培养学生的数学抽象，直观想象素养. 2.借助于标准方程的推导过程，提升逻辑推理，数学运算素养.新知初探 1．抛物线的定义思考1：平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线吗？2．抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标准线方程y 2＝2px (p ＞0)⎝⎛⎭⎫p 2，0 x ＝－p2y 2＝－2px (p ＞0)⎝⎛⎭⎫－p 2，0 x ＝p 2x 2＝2py (p ＞0)⎝⎛⎭⎫0，p 2 y ＝－p 2x 2＝－2py (p ＞0)⎝⎛⎭⎫0，－p 2y ＝p2思考3：已知抛物线的标准方程，怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向？初试身手1．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则实数a 的值为( ) A ．18 B ．－18 C ．8 D ．－82．抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是( ) A ．(0,2) B ．(0,1) C ．(2,0) D ．(1,0)3．已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P (－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________．合作探究类型1 求抛物线的标准方程例1 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)准线方程为2y ＋4＝0； (2)过点(3，－4)；(3)焦点在直线x ＋3y ＋15＝0上．规律方法求抛物线方程的主要方法是待定系数法，若已知抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p 值即可，若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论，另外，焦点在x 轴上的抛物线方程可统一设成y 2＝ax (a ≠0)，焦点在y 轴上的抛物线方程可统一设成x 2＝ay (a ≠0)．跟踪训练1．根据下列条件分别求抛物线的标准方程．(1)抛物线的焦点是双曲线16x 2－9y 2＝144的左顶点；(2)抛物线的焦点F 在x 轴上，直线y ＝－3与抛物线交于点A ，|AF |＝5.类型2 抛物线定义的应用探究问题1．抛物线定义的实质可归结为“一动三定”，这句话的含义是什么？2．如何通过抛物线定义实现距离转化？3．如何利用抛物线定义解决与抛物线有关的最值问题？例2 若位于y 轴右侧的动点M 到F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12.求点M 的轨迹方程．母题探究1．(变换条件、改变问法)若本例中点M 所在轨迹上一点N 到点F 的距离为2，求点N 的坐标．2．(变换条件、改变问法)若本例中增加一点A (3,2)，其他条件不变，求|MA |＋|MF |的最小值，并求出点M 的坐标．规律方法利用抛物线的定义可实现抛物线上的点到焦点和到准线距离的相互转化.解此类最值、定值问题时，首先要注意抛物线定义的转化应用，其次是注意平面几何知识的应用，例如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线中垂线段最短等. 类型3 与抛物线有关的应用问题例3河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m，高2 m，载货后船露出水面上的部分高0.75 m，则水面上涨到与抛物线形拱桥顶相距多少米时，小船开始不能通航？规律方法涉及桥的高度、隧道的高低等抛物线型问题，通常用抛物线的标准方程解决，建立直角坐标系后，要结合点的位置分析坐标的符号，根据实际问题中的数据准确写出点的坐标，再结合实际问题求解.跟踪训练2．某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，已知上部呈抛物线形，跨度为20 m，拱顶距水面6 m，桥墩高出水面4 m．现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18 m，目前吃水线上部分中央船体高5 m，宽16 m，且该货船在现在状况下还可多装1 000 t货物，但每多装150 t货物，船体吃水线就要上升0.04 m，若不考虑水下深度，问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？当堂达标1．思考辨析(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．()(2)抛物线x2＝－20y的焦点到准线的距离是10.()(3)抛物线y ＝－2x 2的准线方程是y ＝18. ( )2．若点P 到定点F (4,0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离小1，则点P 的轨迹方程是 ( ) A ．y 2＝－16x B ．y 2＝－32xC ．y 2＝16xD ．y 2＝16x 或y ＝0(x ＜0)3．抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点M 到焦点的距离是a ⎝⎛⎭⎫a ＞p2，则点M 的横坐标是 ( ) A ．a ＋p 2 B ．a －p2C ．a ＋pD ．a －p4．抛物线y 2＝2px (p ＞0)过点M (2,2)，则点M 到抛物线准线的距离为________．参考答案新知初探思考1：提示：不一定．当直线l 经过点F 时，点的轨迹是过定点F 且垂直于定直线l 的一条直线；l 不经过点F 时，点的轨迹是抛物线．思考2：提示：焦点到准线的距离．思考3：提示：一次项变量为x (或y )，则焦点在x 轴(或y 轴)上；若系数为正，则焦点在正半轴上；系数为负，则焦点在负半轴上．焦点确定，开口方向也随之确定．初试身手 1．【答案】B【解析】由y ＝ax 2，得x 2＝1a y ，14a ＝－2，a ＝－18.2．【答案】D【解析】∵y 2＝4x ，∴焦点F (1,0)． 3．【答案】y 2＝－8x 或x 2＝－y【解析】设抛物线方程为y 2＝2px (p ≠0)，或x 2＝2py (p ≠0)．将P (－2，－4)代入，分别得方程为y 2＝－8x 或x 2＝－y . 合作探究类型1 求抛物线的标准方程例1 解：(1)准线方程为2y ＋4＝0，即y ＝－2，故抛物线焦点在y 轴的正半轴上，设其方程为x 2＝2py (p >0)，又p2＝2，所以2p ＝8，故抛物线方程为x 2＝8y .(2)∵点(3，－4)在第四象限，∴设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p ＞0)或x 2＝－2p 1y (p 1＞0)．把点(3，－4)的坐标分别代入y 2＝2px 和x 2＝－2p 1y ，得(－4)2＝2p ·3,32＝－2p 1·(－4)，即2p ＝163，2p 1＝94.∴所求抛物线的标准方程为y 2＝163x 或x 2＝－94y .(3)令x ＝0得y ＝－5；令y ＝0得x ＝－15. ∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)．∴所求抛物线的标准方程为x 2＝－20y 或y 2＝－60x . 跟踪训练1．解：(1)双曲线方程可化为x 29－y 216＝1，左顶点为(－3,0)，由题意设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)且－p2＝－3，∴p ＝6，∴抛物线的方程为y 2＝－12x .(2)设所求焦点在x 轴上的抛物线的方程为y 2＝2px (p ≠0)，A (m ，－3)，由抛物线定义得5＝|AF |＝⎪⎪⎪⎪m ＋p 2. 又(－3)2＝2pm ，∴p ＝±1或p ＝±9，故所求抛物线方程为y 2＝±2x 或y 2＝±18x . 类型2 抛物线定义的应用探究问题1．提示：抛物线定义的实质可归结为“一动三定”，一个动点，设为M ；一个定点F ，即抛物线的焦点；一条定直线l ，即为抛物线的准线；一个定值，即点M 与点F 的距离和M 到l 的距离之比等于1.定点F 不能在直线上，否则，动点M 的轨迹就不是抛物线. 2．提示：根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题．3．提示：在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．例2 解：由于位于y 轴右侧的动点M 到F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12，所以动点M 到F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离与它到直线l ：x ＝－12的距离相等．由抛物线的定义知动点M 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，其方程应为y 2＝2px (p >0)的形式，而p 2＝12，所以p ＝1,2p ＝2，故点M 的轨迹方程为y 2＝2x (x ≠0)．母题探究1．解：设点N 的坐标为(x 0，y 0)，则|NF |＝2，即⎝⎛⎭⎫x 0－122＋y 20＝4 ①，又由典例的解析知点M 的轨迹方程为y 2＝2x (x ≠0)，故y 20＝2x 0 ②，由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝32，y 0＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝32，y 0＝－3，故点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫32，3或⎝⎛⎭⎫32，－3. 2．解：如图，由于点M 在抛物线上，所以|MF |等于点M 到其准线l 的距离|MN |，于是|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MN |，所以当A 、M 、N 三点共线时，|MA |＋|MN |取最小值，亦即|MA |＋|MF |取最小值，最小值为3＋12＝72.这时点M 的纵坐标为2，可设M (x 0,2)，代入抛物线方程得x 0＝2，即M (2,2)．类型3 与抛物线有关的应用问题例3 解：如图所示，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x 轴，建立平面直角坐标系．设抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)，由题意可知点B (4，－5)在抛物线上，故p ＝85，得x 2＝－165y .当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA ′，则A (2，y A )，由22＝－165y A ，得y A ＝－54.又知船面露出水面上的部分高为0.75 m ，所以h ＝|y A |＋0.75＝2(m)．所以水面上涨到与抛物线形拱桥顶相距2 m 时，小船开始不能通航．跟踪训练2．解：如图所示，以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为x 轴，竖直直线为y 轴，建立直角坐标系．∵拱顶距水面6 m ，桥墩高出水面4 m ， ∴A (10，－2)．设桥孔上部抛物线方程是x 2＝－2py (p >0)，则102＝－2p (－2)，∴p ＝25，∴抛物线方程为x 2＝－50y ，即y ＝－150x 2.若货船沿正中央航行，船宽16 m ，而当x ＝8时，y ＝－150×82＝－1.28 m ，即船体在x ＝±8之间通过，B (8，－1.28)，此时B 点距水面6＋(－1.28)＝4.72(m)，而船体高为5 m ，∴无法通行．又∵5－4.72＝0.28 m,0.28÷0.04＝7， 150×7＝1 050(t)，即若船通过增加货物通过桥孔，则要增加1 050 t ，而船最多还能装1 000 t 货物，所以货船在现有状况下不能通过桥孔. 当堂达标1．【答案】(1)× (2)√ (3)√ 2．【答案】C【解析】∵点F (4,0)在直线x ＋5＝0的右侧，且P 点到点F (4，0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离小1，∴点P 到F (4,0)的距离与它到直线x ＋4＝0的距离相等．故点P 的轨迹为抛物线，且顶点在原点，开口向右，p ＝8，故P 点的轨迹方程为y 2＝16x . 3．【答案】B【解析】设抛物线上点M (x 0，y 0)，如图所示，过M 作MN ⊥l 于N ⎝⎛⎭⎫l 是抛物线的准线x ＝－p2，连MF .根据抛物线定义，|MN |＝|MF |＝a ， ∴x 0＋p2＝a ，∴x 0＝a －p2，∴选B.4．【答案】52【解析】y 2＝2px 过点M (2,2)，于是p ＝1，所以点M 到抛物线准线的距离为2＋p 2＝52.。