北航数值分析B大作业一

目录

1、题目 (1)

2、算法设计方案 (1)

3、源程序 (2)

4、输出结果 (12)

5、迭代初始向量选取对计算结果的影响分析 (14)

1、 题目

设有501×501的矩阵

A = ⎥⎥⎥⎥

⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢

⎢⎢⎢⎢⎣

⎡501500499321

a b a c b a ...............

c b a c b a c b a b

c

b c

b c

b c b 其中0.1=(1.640.024)sin(0.24)0.64(=1,2,501)

i

ai i i e i －－…，;b=0.16,c=-0.064。矩阵A 的特征值(=1,2,501)i i λ…，

满足 12<<<λλλ501 (1501)

=min s i i λλ≤≤

试求：

1. 1λ，501λ和s λ的值；

2. A 的与1

1=+40

k k

λλμλ501－最接近的特征值(=1,2,39)k i k λ…，。

3. A 的（谱范数）条件数2cond(A)和行列式det A 。

2、算法设计方案

由已知可知，矩阵A 为带状矩阵，为了节省类存空间，对于矩阵中的大量0元素不存储。根据带状矩阵的特点，选择一个5行501列的二维数组存储。

1. 求解矩阵A 的最大、最小特征值和按模最小特征值，采用幂法进行计算。计算步骤如下：

a) 用幂法求出矩阵A 的按模最大特征值'λ，用反幂法求出矩阵A 的按模最小特征值s λ；

b) 用幂法求出矩阵A －'λI 的按模最大特征值''λ； c) 比较''λ+'λ与'λ的大小，较大特征值为

501λ，较小值1λ。

2. 求解与1

1=+40

k k

λλμλ501－最接近的特征值(=1,2,39)k i k λ…，，

可以按以下步骤完成： a) 用反幂法求出矩阵A －k μI 的按模最小特征值λμ； b) 则k i λ=λμ+k μ。

3. 求解矩阵A 的条件数和行列式值。对于条件数而言，由于A 为对称矩阵，根据条件数的定义可知，2'

cond(A)=

s

λλ，其中'λ为矩阵A 的按模最大特征值，s λ为矩阵A 的按模最小特征值；对于行列式值而言，可以先将矩阵A 按Doolittle 分解，则A = LU ，则

===A LU L U U 。

4. 程序设计思路。通过对题目进行分析以及算法可知，任务涉及矩阵Doolittle 分解求解带状方程组、求矩阵按模最大特征值、求矩阵按模最小特征值和用Doolittle 分解求解矩阵A 的行列式。为了能够简化主函数的复杂程度，可以将分模块完成相应的功能，最后在主函数中调用已经完成的功能函数即可。

3、源程序

源程序如下：

#include

#include

#define M 5

#define N 501

/************************************************************

求最大、最小值的函数

************************************************************/ int Max(int para1,int para2)

{

if(para1 >= para2)

return para1;

else

return para2;

}

int Min(int para1,int para2)

{

if(para1 < para2)

return para1;

else

return para2;

}

/************************************************************

初始化矩阵

************************************************************/ void Creat(double A[M][N],double b,double c)

{

int i = 0;

int j = 0;

/*初始化第一行*/

A[i][j] = 0;

j++;

A[i][j] = 0;

j++;

for (j=2; j < N;j++)

{

A[i][j] = c;

}

/*初始化第二行*/

i++;

j = 0;

A[i][j] = 0;

j++;

for (j=1; j < N;j++)

{

A[i][j] = b;

}

/*初始化第三行*/

i++; j = 0;

for (j=0; j < N;j++)

{

A[i][j] = (1.64 - 0.024 * (j+1)) * sin(0.2 * (j+1)) - 0.64 * exp(0.1 / (j+1));

}

/*初始化第四行*/

i++; j = 0;

for (j=0;j < (N - 1);j++)

{

A[i][j] = b;

}

A[i][j] = 0;

/*初始化第五行*/

i++; j= 0;

for (j=0;j < (N - 2);j++)

{

A[i][j] = c;

}

A[i][j] = 0; j++;

A[i][j] = 0;

}