圆的对称性
24.1圆的对称性
想一想P 想一想 88 2
圆的对称性
圆是轴对称图形. 圆是轴对称图形. 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线, 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无 数条对称轴. 数条对称轴. 可利用折叠的方法即可解决上述问题. 可利用折叠的方法即可解决上述问题. 圆也是中心对称图形. 圆也是中心对称图形. 它的对称中心就是圆心. 它的对称中心就是圆心.
平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心 并且垂直平分弦. 并且垂直平分弦
A
P
O
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
5.在半径为30㎜的⊙O中，弦AB=36 5.在半径为30㎜ 在半径为30 ㎜，则O到AB的距离是= 24mm ， AB的距离是= 的距离是 OAB的余弦值 的余弦值= ∠OAB的余弦值= 0.6 。 6.已知：如图，在以 为圆心的两个同心 已知： 已知 如图，在以O为圆心的两个同心 圆中，大圆的弦AB交小圆于 交小圆于C， 两点 两点。 圆中，大圆的弦 交小圆于 ，D两点。 你认为AC和 有什么关系 为什么？ 有什么关系？ 你认为 和BD有什么关系？为什么？ 证明： 证明：过O作OE⊥AB，垂足为 ， 作 ⊥ ，垂足为E， 则AE＝BE，CE＝DE。 ＝ ， ＝ 。 O ∴ AE－CE＝BE－DE － ＝ － 即 AC＝BD ＝ A C E 注意：解决有关弦的问题， 注意：解决有关弦的问题，过圆心作 弦的垂线，或作垂直于弦的直径， 弦的垂线，或作垂直于弦的直径，也 是一种常用辅助线的添法． 是一种常用辅助线的添法．
A B D C
●
A C
●
O
O
B D
圆的两条平行弦所夹的弧相等. 垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等
圆的对称性—知识讲解(基础)
圆的对称性—知识讲解（基础）【学习目标】1.理解圆的对称性；并能运用其特有的性质推出在同一个圆中,圆心角、弧、弦之间的关系，能运用这些关系解决问题，培养学生善于从实验中获取知识的科学的方法；理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧等与圆有关的概念，理解概念之间的区别和联系；2.通过探索、观察、归纳、类比，总结出垂径定理等概念，在类比中理解深刻认识圆中的圆心角、弧、弦三者之间的关系；3. 掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用.【要点梳理】要点一、圆的对称性圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴，有无数条对称轴．圆是中心对称图形，对称中心为圆心．要点诠释：圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．要点二、与圆有关的概念1.弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.要点诠释：直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.证明：连结OC、OD∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)∴直径AB是⊙O中最长的弦.2.弧弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；优弧：大于半圆的弧叫做优弧；劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.要点诠释：①半圆是弧，而弧不一定是半圆；②无特殊说明时，弧指的是劣弧.3.等弧在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.要点诠释：①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；②圆中两平行弦所夹的弧相等.要点三、垂径定理1.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.要点诠释：(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.要点四、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）要点五、弧、弦、圆心角的关系1.圆心角与弧的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．2. 圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．要点诠释：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；(2)注意关系中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.3. 圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.【典型例题】类型一、应用垂径定理进行计算与证明1．（巴中模拟）如图，AB为半圆直径，O为圆心，C为半圆上一点，E是弧AC的中点，OE交弦AC于点D，若AC=8cm，DE=2cm，求OD的长．【答案与解析】解：∵E为弧AC的中点，∴OE⊥AC，∴AD=AC=4cm，∵OD=OE﹣DE=（OE﹣2）cm，OA=OE，∴在Rt△OAD中，OA2=OD2+AD2即OA2=（OE﹣2）2+42，又知0A=OE，解得：OE=5，∴OD=OE﹣DE=3cm．【总结升华】主要是解由半径、弦的一半和弦心距（圆心到弦的垂线段的长度）构成的直角三角形. 举一反三：【变式】如图，⊙O中，弦AB⊥弦CD于E，且AE=3cm，BE=5cm，求圆心O到弦CD 距离。
圆的对称性
圆的对称性温故知新：1.已知:如图,点O是∠EPF的平分线的一点,以O为圆心的圆和∠EPF的两边分别交于点A、B和C、D.求证: ∠OBA=∠OCD1、圆的对称性(1)圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。
(2)圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。
(3)圆是旋转对称图形。
2、垂径定理。
(1)垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。
(2)推论：平分弦(非直径)的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。
平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。
【例1】如图，AB、AC、BC是⊙O的弦，∠AOC＝∠BOC.∠ABC与∠BAC相等吗？为什么？【例2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝28°，以C为圆心，DE的度数．CA为半径的圆交AB于点D，交BC与点E．求⌒AD、⌒【例3】如图，在同圆中，若⌒AB＝2⌒CD，则AB与2CD的大小关系是( ) ．A. AB＞2CDB. AB＜2CDC. AB＝2CDD. 不能确定【例4】如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径．【例5】如图，圆柱形水管内原有积水的水平面宽CD=10cm，水深GF=1cm，若水面上升1cm（EG=1cm），则此时水面宽AB为多少？【例6】有一座弧形的拱桥，桥下水面的宽度AB 为7.2米，拱顶高出水面CD ，长为2.4米，现有一艘宽3米，船舱顶部为长方形并且高出水面2米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座弧形拱桥吗？课堂练习1．如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠AOB ＝122°，则∠AOC 的度数为( )A ．122°B ．120°C ．61°D ．58°2．下列结论中，正确的是( )A ．同一条弦所对的两条弧一定是等弧B ．等弧所对的圆心角相等C ．相等的圆心角所对的弧相等D ．长度相等的两条弧是等弧3．如图，在⊙O 中，若C 是AB ︵的中点，∠A ＝50°，则∠BOC 等于( )A ．40°B ．45°C ．50°D ．60°4．如图，已知BD 是⊙O 的直径，点A ，C 在⊙O 上，AB ︵＝BC ︵，∠AOB ＝60°，则∠COD 的度数是________．5．如图，AB 是⊙O 的直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠BOC ＝40°，则∠AOE ＝________°.6．在⊙O 中，若弦AB 的长恰好等于半径，则弦AB 所对的圆心角的度数为________．7．如图，在⊙O 中，AB ，CD 是两条直径，弦CE ∥AB ，EC ︵的度数是40°，求∠BOD的度数．8．已知：如图，在⊙O 中，弦AB 的长为8，圆心O 到AB 的距离为3.(1)求⊙O 的半径；(2)若P 是AB 上的一动点，试求OP 的最大值和最小值．9．如图，已知在以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点C ，D.(1)求证：AC ＝BD ；(2)若大圆的半径R ＝10，小圆的半径r ＝8，且圆心O 到直线AB 的距离为6，求AC 的长．10．如图，已知在⊙O 中，AB 是弦，半径OC ⊥AB ，垂足为D.要使四边形OACB 为菱形，还需添加一个条件，这个条件可以是( )A ．AD ＝BDB ．OD ＝CDC ．∠CAD ＝∠CBDD ．∠OCA ＝∠OCB11．如图，AB 是⊙O 的弦，AB 的长为8，P 是⊙O 上一个动点(不与点A，B重合)，过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为________．12．如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，M是OA的中点，过点M的直线与⊙O交于C，D两点．若∠CMA＝45°，则弦CD的长为________．13．已知：如图，∠PAQ＝30°，在边AP上顺次截取AB＝3 cm，BC＝10 cm，以BC 为直径作⊙O交射线AQ于E，F两点，求：(1)圆心O到AQ的距离；(2)线段EF的长．14．如图，某地有一座圆弧形拱桥，圆心为O，桥下水面宽度AB为7.2 m，过点O作OC⊥AB于点D，交圆弧于点C，CD＝2.4 m．现有一艘宽3 m、船舱顶部为方形并高出水面2 m的货船要经过拱桥，则此货船能否顺利通过这座拱桥？15．如图，AB，CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，试求PA＋PC的最小值．课后练习1．圆是轴对称图形，____________都是它的对称轴，因此圆有________条对称轴．2．如图，已知⊙O 的直径AB ⊥CD 于点E ，则下列结论中不一定正确的是( )A ．CE ＝DEB ．AE ＝OEC.BC ︵＝BD ︵ D ．△OCE ≌△ODE3．在⊙O 中，非直径的弦AB ＝8 cm ，OC ⊥AB 于点C ，则AC 的长为( )A ．3 cmB ．4 cmC ．5 cmD ．6 cm4．如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D .若⊙O 的半径为5，AB ＝8，则CD 的长是( )A ．2B ．3C ．4D ．55．如图，⊙O 的直径CD 垂直弦AB 于点E ，且CE ＝2，DE ＝8，则AB 的长为( )A ．2B ．4C ．6D ．86．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点．若BC ＝6，AB ＝10，OD ⊥BC 于点D ，则OD 的长为________．7．如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，已知CD ＝6，EB ＝1，则⊙O 的半径为________．8．如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连接外圆上的两点A ，B ，外圆半径OC ⊥AB 于点D 交外圆于点C.测得CD ＝10 cm ，AB ＝60 cm ，则这个车轮的外圆半径是________cm .。
《圆的对称性》
01
在古希腊和古埃及，数学家们开始研究圆的对称性，并探索其
几何性质。
欧几里得几何
02
在欧几里得几何中，圆被定义为所有到定点距离相等的点的集
合，这个定点被称为圆心。
反射对称性
03
圆的反射对称性是指，如果一个点在圆上，那么与它关于圆心
对称的点也在圆上。
圆的对称性的发展现状
微积分学的发展
在微积分学中，圆的对称性被进一步研究，并应用于解决各种 问题。
更广泛的应用
随着科技的发展，圆的对称性将会在更多的领域得到应用，例如 计算机图形学、人工智能等。
感谢您的观看
THANKS
。
03
工程学
在工程学中，圆的对称性被广泛应用于机械设计、建筑设计等领域。
例如，许多机械零件和建筑结构都采用了旋转对称性和反射对称性的
பைடு நூலகம்
原理进行设计和建造。
02
圆的基本性质
圆的定义
圆是平面上所有与给定点（称为圆心）的距离等于给定长度（称为半径）的点的 集合。
圆的方程通常表示为(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2，其中(h, k)是圆心的坐标，r是 半径。
测量与计算
圆的对称性在测量和计算 中也经常用到，如计算圆 的周长、面积等。
在物理学中的应用
运动学
圆的对称性在运动学中有着重要的应用，如物体 做圆周运动时的向心力和离心力。
光学
圆的对称性在光学中也有着重要的应用，如各种 光学仪器（如望远镜、显微镜等）的设计。
电磁学
在电磁学中，圆的对称性对于理解电磁场的分布 和性质非常重要。
在日常生活中的应用
建筑设计
圆的对称性在建筑设计中有着广泛的应用，如圆形屋顶、圆形窗 户等。
圆的对称性
条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量
都分别相等。 符号语言： ∵⊙O 和⊙O′是等圆 AB=A′B′ ∴∠AOB=∠A′O′B′ AB= A′B′
O′ A′ B
O
A B′
1、如图，AB、ED是⊙O的直径，C是⊙O上的一点， 且AD=CE. BE与CE的大小有什么关系？为什么？
解：BE=CE. 理由如下
3、如图，AB是⊙O的直径，OD∥AC. CD与BD的大小有什么关系？为什么？ 解：CD=BD. 理由如下
连接OC
∵OD∥AC
●
∴ ∠1=∠2
∵OA=OC ∴ ∠1=∠4 ∴ ∠2=∠3 ∴CD=BD
∠3=∠4
4 ●1
3
●●
2
4、如图，在⊙O中，AB，CD是两条弦， OE⊥AB，OF⊥CD,重足分别为E，F. ⑴如果∠AOB=∠COD，那么OE与OF的 大小有什么关系？为什么？ ⑵如果OE=OF，那么AB与CD的大小有什么
第二节 圆的对称性
1、点与圆的位置关系： 点在圆外 d＞r 点在圆上 d=r
点在圆内
2、什么叫轴对称图形?
d＜r
把一个图形沿着某条直线对折,直线两旁的部分 能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形。
3、我们是用什么方法研究轴对称图形的? 折叠
1、圆是轴对称图形吗?
2、它的对称轴是什么?
3、你能找到多少条对称轴?
O B
∵⊙O 和⊙O′是等圆
∠AOB=∠A′O′B′
A
′
想一想
1、在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等， 那么它们所对的弦相等吗？这两个圆心角相等吗? 2、在同圆或等到圆中，如果两条弦相等，那么它们
所对的圆心角相等吗？它们所对的弧相等吗？
圆的对称性与圆的周长计算
一、圆的对称性【知识点一】圆是轴对称图形。
（1）轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，则这个图形叫做轴对称图形。
这条直线就是它的对称轴。
（2）圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴。
【知识点二】圆的对称轴的画法。
（1）圆的对称轴的画法：把圆的直径两端无限延长，就得到圆的对称轴。
（2）圆有无数条对称轴，所以圆以圆心为旋转点旋转任意角度都与自身重合。
半圆只有一条对称轴。
【知识点三】根据对称轴画出给定图形的轴对称图形。
画指定图形的轴对称图形，应根据轴对称图形的性质，找到原图形的关键点或关键线段。
圆是曲线图形，它的关键点就是圆心，关键线段就是直径和半径。
画指定图形的轴对称图形的方法：（1）找出所给图形的关键点或关键线段，圆的关键点为圆心，关键线段为半径或直径。
（2）画出关键点或关键线段的对应点和对应线段。
（3）圆应以对应点为圆心，对应半径为半径画圆，圆以外图形应连结对应点和对应线段。
误区警示：（1）圆的直径是圆的对称轴，圆有无数条直径，圆有无数条对称轴。
这种说法完全正确。
（2）判断：在同一平面内，任意两个圆都成轴对称。
（√）练一练：1、画出下面图形的另一半。
2、两个大小不同的圆可以组成六种图形，请找出每个图形的对称轴，并说一说它们的对称轴有什么共同特点。
3、判断。
（1）只有圆是轴对称图形。
（ ） （2）圆有无数条对称轴。
（ ）二、圆的周长（1） 圆的周长与直径有关，直径越长，周长越长。
（2） 任意一个圆的周长与它的直径的比是一个固定的数，我们把它叫做圆周率。
用字母π表示。
在小学阶段，如果不做特殊要求，π一般取3.14。
（3）=⇒=⨯圆的周长圆周率圆的周长直径圆周率直径圆的周长计算公式：直径×圆周率 或 半径×2×圆周率。
如果用字母C 表示圆的周长，r 表示半径，d 表示直径。
圆的周长字母公式为：C=πd 或C=2πr.（4）圆的周长的变化与该圆半径、直径的关系：① 如果圆的半径、直径扩大若干倍，它的周长也扩大若干倍。
苏科版2022年九年级数学上册 《圆的对称性》教材预习辅导讲义(附解析)
2.2 圆的对称性圆的对称性圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴；圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心． 【点拨】圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合． 弧、弦、圆心角的关系在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．【点拨】（1）一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征； （2）注意关系中不能忽视“同圆或等圆”这一前提. （3）圆心角的度数与它所对的弧的度数相等. 垂径定理1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 【点拨】(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段. 垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.【例题1】已知：如图，⊙O 中弦AB CD ．求证：AD=BC ．看例题，涨知识教材知识总结【例题2】如图，在⊙O 中，弧AB ＝弧AC ，∠A ＝120°，求∠ABC 的度数．【例题3】如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，若BE ＝5，CD ＝6，求AE 的长．【例题4】如图，在O 中，AB 是直径，弦EF ∥AB ．(1)请仅用无刻度．．．．．的直尺画出劣弧EF 的中点P ；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接OP 交EF 于点Q ，10AB =，6EF =，求PQ 的长度．一、单选题1．下列说法正确的是（）①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦②平分弦的直径平分弦所对的弧③垂直于弦的直线必过圆心④垂直于弦的直径平分弦所对的弧A．②③B．①③C．②④D．①④2．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，M是AB上任意一点，且OM的最小值为3，则⊙O的半径为（）A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm3．下列命题是真命题的是（）A．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧也相等B．平分弦的直径垂直于弦C．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等4．如图，CD为⊙O的直径，弦AB CD⊥，垂足为E，1CE=，10AB=，则CD的长为（）A．20 B．24 C．25 D．265．如图，在O中，⊥OD AB于点D，AD的长为3cm，则弦AB的长为（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm课后习题巩固一下6．如图，AB是O的直径，弦CD AB⊥于点E，如果20CD=，那么线段OE的长为（）AB=，16A．4 B．6 C．8 D．97．如图，AB为圆O的一弦，且C点在AB上．若6BC=，AB的弦心距为3，则OC的长度为何？AC=，2（）A．3 B．4 C11D138．如图，AB是O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交O于点E．若42DE=，AC=4则BC的长是（）A．1 B2C．2 D．49．如图，⊙O在△ABC三边上截得的弦长相等，即DE＝FG=MN，∠A＝50°，则∠BOC＝（）A．100°B．110°C．115°D．120°10．如图，在半径为5的A 中，弦BC ，DE 所对的圆心角分别是BAC ∠，DAE ∠．若6DE =，180BAC DAE ∠+∠=︒，则弦BC 的弦心距为（ ）.A 41B 34C ．4D ．3二、填空题11．在⊙O 中，弦AB ＝16cm ，弦心距OC ＝6cm ，那么该圆的半径为__cm ．12．如图，AB 为⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于E ，AB ＝8，CE ＝2，则⊙O 的半径为_____．13．已知⊙O 的半径为6cm ，弦AB ＝6cm ，则弦AB 所对的圆心角是________度．14．如图，在O 中，AB BC CD ==，连接AC ，CD ，则AC __2CD （填“>”，“ <”或“=” )．15．如图，AB ，CD 是O 的直径，弦CE AB ，CE 所对的圆心角为40°，则AOC ∠的度数为______．16．如图，A 、B 、C 、D 为⊙O 上的点，且 AB BC CD ==．若∠COD =40°，则∠ADO =______度．三、解答题17．如图，O的弦AB、CD相交于点E，且AB CD=．求证：BE DE=．18．如图，在⊙O中，直径AB=10，弦AC=8，连接BC．(1)尺规作图：作半径OD交AC于E，使得点E为AC中点；(2)连接AD，求三角形OAD的面积．∠，求19．如图，已知AB是O的直径，P是AO上一点，点C、D在直径两侧的圆周上，若PB平分CPD 证：劣弧BC与劣弧BD相等．20．如图，已知弓形的弦长AB＝8，弓高CD＝2（CD⊥AB并经过圆心O）．求弓形所在⊙O的半径r的长．21．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ， AM DM =，求证：BM ＝CM ．22．如图，AB 为圆O 的直径，点C 在圆O 上．(1)尺规作图：在BC 上求作一点E ，使OE AC ∥（不写作法，只保留作图痕迹）； (2)探究OE 与AC 的数量关系．23．如图，在⊙O 中，AB 、AC 是互相垂直且相等的两条弦，OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ． (1)求证：四边形ADOE 是正方形； (2)若AC=2cm ，求⊙O 的半径．24．如图，在扇形AOB 中，90AOB ∠=︒，C 、D 是AB 上两点，过点D 作DE OC ∥交OB 于E 点，在OD 上取点F ，使OF DE =，连接CF 并延长交OB 于G 点． (1)求证：OCF DOE ≌△△； (2)若C 、D 是AB 的三等分点，23=OA ①求OGC ∠；②请比较GE 和BE 的大小．2.2 圆的对称性解析教材知识总结圆的对称性圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴；圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心．【点拨】圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．弧、弦、圆心角的关系在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．【点拨】（1）一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；（2）注意关系中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.（3）圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.垂径定理1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.【点拨】(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（4）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（5）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（6）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.【例题1】已知：如图，⊙O中弦AB CD=．求证：AD=BC．【答案】见解析【分析】先根据等弦所对的劣弧相等得到AB CD=，从而得到AD AB BD CD BD BC=-=-=，再由等弧所对的弦相等即可得到AD BC=．【解析】证明：∵AB=CD，∴AB CD=，∴AD AB BD CD BD BC=-=-=，∴AD BC=．【例题2】如图，在⊙O中，弧AB＝弧AC，∠A＝120°，求∠ABC的度数．【答案】30°【分析】根据同圆中，相等的弧所对的弦相等，再根据等腰三角形的性质即可求解．【解析】解：∵在⊙O中，弧AB＝弧AC，∴AB=AC，∵∠A＝120°，∴∠ABC=()1801203012⨯︒-︒=︒．【例题3】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若BE＝5，CD＝6，求AE的长．看例题，涨知识【答案】95【分析】如图，连接OC ，设OE x =，由垂径定理知132CE CD ==，5OC BE OE x =-=-，在Rt OCE 中，由勾股定理知222CE OC OE =-，解出x 的值，由2AE BE OE =-，计算求解即可． 【解析】解：如图，连接OC ，设OE x =由垂径定理知132CE CD ==5OC BE OE x =-=-在Rt OCE 中，由勾股定理知222CE OC OE =- ∴()22235x x =-- 解得85x =92525AE BE OE x =-=-=∴AE 的长为95．【例题4】如图，在O 中，AB 是直径，弦EF ∥AB ．(1)请仅用无刻度．．．．．的直尺画出劣弧EF的中点P；（保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）的条件下，连接OP交EF于点Q，10AB=，6EF=，求PQ的长度．【答案】(1)见解析；(2)1【分析】（1）如图，连接BE，AF，BE交AF于C，作直线OC交EF于点P，点P即为所求．（2）利用垂径定理结合勾股定理求得OQ=4，进一步计算即可求解．【解析】(1)解：如图中，点P即为所求．(2)解：连接OF，由作图知OP⊥EF，EQ=QF=12EF=3，∵AB=10，∴OF=OP=12AB=5，∴OQ222254OF QF-=-，∴PQ= OP-OQ=1，∴PQ的长度为1．一、单选题1．下列说法正确的是（）①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦课后习题巩固一下②平分弦的直径平分弦所对的弧③垂直于弦的直线必过圆心④垂直于弦的直径平分弦所对的弧A．②③B．①③C．②④D．①④【答案】D【分析】根据垂径定理及其推论进行判断．【解析】解：根据垂径定理，①正确；②错误．平分弦（不是直径）的直径平分弦所对的弧；③错误．垂直于弦且平分弦的直线必过圆心；④正确．故选：D．2．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，M是AB上任意一点，且OM的最小值为3，则⊙O的半径为（）A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm【答案】B【分析】根据垂线段最短知，当OM⊥AB时，OM有最小值．根据垂径定理和勾股定理求解．【解析】解：根据垂线段最短知，当OM⊥AB时，OM有最小值，此时，由垂径定理知，点M是AB的中点，AB＝4，连接OA，AM＝12由勾股定理知，OA2＝OM2+AM2．即OA2＝42+32，解得：OA＝5．所以⊙O的半径是5cm．故选：B．3．下列命题是真命题的是（）A．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧也相等B．平分弦的直径垂直于弦C．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等【答案】C【分析】利用圆的有关性质、垂径定理、平行四边形的判定方法及平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项．【解析】A 、在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧不一定相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；B 、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原命题错误，是假命题，不符合题意；C 、如图，四边形ABCD ，AB ∥CD ，∠A=∠C ，∵AB ∥CD ，∴∠A +∠D =180°，又∵∠A =∠C ，∴∠C +∠D =180°，∴AD ∥BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，故一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，正确，是真命题，符合题意；D 、两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意．故选：C ．4．如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB CD ⊥，垂足为E ，1CE =，10AB =，则CD 的长为（ ）A ．20B ．24C ．25D ．26【答案】D 【分析】连接OA ，设圆的半径为x ，则OE =x -1，由垂径定理可得AB ⊥CD ，AE =5，Rt △OAE 中由勾股定理建立方程求解即可；【解析】如图，连接OA ，设圆的半径为x ，则OE =x -1，由垂径定理可得AB ⊥CD ，AE =BE =12AB =5，Rt △OAE 中，OA 2=AE 2+OE 2，x 2=25+（x -1）2，解得：x =13，，∴CD =26， 故选： D ．5．如图，在O 中，⊥OD AB 于点D ，AD 的长为3cm ，则弦AB 的长为（ ）A ．4cmB ．6cmC ．8cmD ．10cm【答案】B 【分析】根据垂径定理求出AD =BD =3cm 即可．【解析】解：∵AB 为非直径的弦，⊥OD AB ，∴AD =BD =3cm ，∴AB =AD +BD =6cm ．故选B ．6．如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，如果20AB =，16CD =，那么线段OE 的长为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．9【答案】B 【分析】连接OD ，那么OD =OA =12AB ，根据垂径定理得出DE =12CD ，然后在Rt △ODE 中，根据勾股定理求出OE ．【解析】解：如图，∵弦CD ⊥AB ，垂足为E∴CE =DE =1116822CD =⨯=， ∵OA 是半径∴OA =11201022AB =⨯=， 在Rt △ODE 中，OD =OA =10，DE =8，22221086OE OD DE =--=，故选：B ．7．如图，AB 为圆O 的一弦，且C 点在AB 上．若6AC =，2BC =，AB 的弦心距为3，则OC 的长度为何？（ ）A ．3B ．4C 11D 13【答案】D 【分析】作⊥OD AB 于点D ，由垂径定理得4AD BD ==，Rt OCD △中勾股定理即可求解．【解析】解：作⊥OD AB 于点D ，如图所示，由题意可知：6AC =，2BC =，3OD =， 8AB ∴=，4AD BD∴==，2CD∴=，在Rt OCD△中22223213OC OD CD∴+=+故选：D．8．如图，AB是O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交O于点E．若42AC=4DE=，则BC的长是（）A．1 B2C．2 D．4【答案】C【分析】根据垂径定理求出OD的长，再根据中位线求出BC=2OD即可．【解析】设OD=x，则OE=OA=DE-OD=4-x．∵AB是O的直径，OD垂直于弦AC于点，42AC=∴1222AD DC AC===∴OD是△ABC的中位线∴BC=2OD∵222OA OD AD=+∴222(4)(22)x x-=+，解得1x=∴BC=2OD=2x=2故选：C9．如图，⊙O在△ABC三边上截得的弦长相等，即DE＝FG=MN，∠A＝50°，则∠BOC＝（）A．100°B．110°C．115°D．120°【答案】C【分析】过点O 作OP ⊥AB 于点P ，OQ ⊥AC 于点Q ，OK ⊥BC 于点K ，由于DE ＝FG ＝MN ，所以弦的弦心距也相等，所以OB 、OC 是角平分线，根据∠A ＝50°，先求出180130ABC ACB A ∠+∠=︒-∠=︒，再求出，进而可求出∠BOC ．【解析】解：过点O 作OP ⊥AB 于点P ，OQ ⊥AC 于点Q ，OK ⊥BC 于点K ，∵DE ＝FG ＝MN ，∴OP ＝OK ＝OQ ，∴OB 、OC 平分∠ABC 和∠ACB ， 12OBC ABC ∴∠=∠，12OCB ACB ∠=∠， ∵∠A ＝50°，∴180130ABC ACB A ∠+∠=︒-∠=︒，∴1122OBC OCB ABC ACB ∠+∠=∠+∠ ()12ABC ACB =∠+∠ 65=︒，∴∠BOC ＝()180OBC OCB ︒-∠+∠18065=-︒115=︒故选：C ．10．如图，在半径为5的A 中，弦BC ，DE 所对的圆心角分别是BAC ∠，DAE ∠．若6DE =，180BAC DAE ∠+∠=︒，则弦BC 的弦心距为（ ）.A41B 34C．4 D．3【答案】D【分析】作AH⊥BC于H，作直径CF，连接BF，先利用等角的补角相等得到∠DAE=∠BAF，再利用圆心角、弧、弦的关系得到DE=BF=6，由AH⊥BC，根据垂径定理得CH=BH，则AH为△CBF的中位线，然后根据三角形中位线性质得到AH=12BF=3．【解析】作AH⊥BC于H，作直径CF，连接BF，如图，∵∠BAC+∠EAD=180°，而∠BAC+∠BAF=180°，∴∠DAE=∠BAF，∴DE BF=，∴DE=BF=6，∵AH⊥BC，∴CH=BH，而CA=AF，∴AH为△CBF的中位线，∴AH=12BF=3,故选：D.二、填空题11．在⊙O中，弦AB＝16cm，弦心距OC＝6cm，那么该圆的半径为__cm．【答案】10【分析】根据题意画出相应的图形，由OC垂直于AB，利用垂径定理得到C为AB别的中点，由AB的长求出BC的长，再由弦心距OC的长，利用勾股定理求出OB的长，即为圆的半径．【解析】解：如图所示：过点O作OC AB⊥于点C，∵AB＝16cm，OC⊥AB，∴BC＝AC12=AB＝8cm，6OC cm＝，在Rt△BOC中，2210.OB OC BC cm∴=+故答案为：10．12．如图，AB为⊙O的弦，半径OC⊥AB于E，AB＝8，CE＝2，则⊙O的半径为_____．【答案】5【分析】如图，连接OA，设OA＝r．在Rt△AOE中，根据OA2＝OE2+AE2，构建方程即可解决问题；【解析】解：如图，连接OA，设OA＝r．∵OC⊥AB，∴AE＝EB＝4，∠AEO＝90°，在Rt△AOE中，∵OA2＝OE2+AE2，∴r2＝42+（r﹣2）2，∴r＝5，故答案为：5．13．已知⊙O的半径为6cm，弦AB＝6cm，则弦AB所对的圆心角是________度．【答案】60【分析】连接OA、OB，可证得△OAB是等边三角形，由此得解．【解析】如图，连接OA、OB，∵OA=OB=AB=6，∴△OAB是等边三角形∴∠AOB=60°故弦AB所对的圆心角的度数为60°．故答案为：60．14．如图，在O中，AB BC CD==，连接AC，CD，则AC__2CD（填“>”，“ <”或“=” )．【答案】<【分析】根据AB BC CD==推出AB=BC=CD，利用三角形三边关系得到答案【解析】解：∵AB BC CD==，AB BC CD∴==，<+，AC AB BCAC CD∴<，2故答案为：<．∠的度数为______．15．如图，AB，CD是O的直径，弦CE AB，CE所对的圆心角为40°，则AOC【答案】70°【分析】连接OE，由弧CE的所对的圆心角度数为40°，得到∠COE=40°，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求出∠OCE ，根据平行线的性质即可得到∠AOC 的度数．【解析】解：连接OE ，如图，∵弧CE 所对的圆心角度数为40°，∴∠COE =40°，∵OC =OE ，∴∠OCE =∠OEC ，∴∠OCE =(180°-40°)÷2=70°，∵CE //AB ，∴∠AOC =∠OCE =70°，故答案为：70°．16．如图，A 、B 、C 、D 为⊙O 上的点，且 AB BC CD ==．若∠COD =40°，则∠ADO =______度．【答案】30【分析】先根据圆心角定理可得40AOB BOC COD ∠=∠=∠=︒，从而可得120AOD ∠=︒，再根据等腰三角形的性质即可得．【解析】解：∵AB BC CD ==，40COD ∠=︒，∴40AOB BOC COD ∠=∠=∠=︒，∴120AOD ∠=︒， 又OA OD =，∴1(180)302ADO OAD AOD ∠=∠=︒-∠=︒， 故答案为：30．三、解答题17．如图，O 的弦AB 、CD 相交于点E ，且AB CD =．求证：BE DE =．【答案】详见解析【分析】由弧、弦、圆心角的关系进行证明，结合等角对等边，即可得到结论成立．【解析】证明：AB CD=，CAB D∴=，AB AC CD AC∴-=-，即AD BC=，B D∴∠=∠，BE DE∴=；18．如图，在⊙O中，直径AB=10，弦AC=8，连接BC．(1)尺规作图：作半径OD交AC于E，使得点E为AC中点；(2)连接AD，求三角形OAD的面积．【答案】(1)见解析；(2)10【分析】（1）过点O作OD⊥AC，交AC于点E，交⊙O于点D；（2）由题意可得OD=5，由（1）得：OE⊥AC，点E为AC中点，继而可得118422AE AC==⨯=，然后根据三角形的面积公式即可求得答案．【解析】(1)解：如图，点E即为所求；(2)解：如图，连接AD，∵⊙O的直径是10，∴OD=5，由（1）得：OE⊥AC，点E为AC中点，∴118422AE AC==⨯=，∴11541022OADS OD AE=⋅=⨯⨯=．19．如图，已知AB是O的直径，P是AO上一点，点C、D在直径两侧的圆周上，若PB平分CPD∠，求证：劣弧BC与劣弧BD相等．【答案】见详解【分析】过点O分别作OE⊥PC，OF⊥PD，垂足分别为E、F，连接OC、OD，由题意易得OE=OF，然后可得BOC BOD∠=∠，进而问题可求证．【解析】证明：过点O分别作OE⊥PC，OF⊥PD，垂足分别为E、F，连接OC、OD，如图所示：∵PB 平分CPD ∠，∴OE =OF ，∵OC =OD ，∴EOC FOD △≌△（HL ），∴C D ∠=∠，∴BOC BOD ∠=∠，∴BC BD =．20．如图，已知弓形的弦长AB ＝8，弓高CD ＝2（CD ⊥AB 并经过圆心O ）．求弓形所在⊙O 的半径r 的长．【答案】r ＝5．【分析】先由垂径定理得AD =4，由于OD =r －2，则利用勾股定理得到62+（r －2）2=r 2，然后解方程即可．【解析】CD AB ⊥并经过圆心O ，∴118422AD BD AB ===⨯=，2OD OC CD r =-=-， 在Rt △OAD 中，2224(2)r r +-=，解得r ＝5．21．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ， AM DM =，求证：BM ＝CM ．【答案】见解析【分析】根据圆心距、弦、弧之间的关系定理解答即可．【解析】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD，∴AB CD=，∵AM DM=，∴AB AM CD DM+=+，即BM CM=，∴BM＝CM．22．如图，AB为圆O的直径，点C在圆O上．∥（不写作法，只保留作图痕迹）；(1)尺规作图：在BC上求作一点E，使OE AC(2)探究OE与AC的数量关系．【答案】(1)见解析；(2)AC＝2OE【分析】（1）过点O作OE⊥BC即可．（2）利用三角形中位线定理证明即可．【解析】(1)如图所示，点E即为所求的点．(2)结论：AC＝2OE．理由：由作图得：OE⊥BC∴BE=CE，即点E为BC的中点，∴OE为△ABC的中位线，∴AC＝2OC．23．如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E．(1)求证：四边形ADOE是正方形；(2)若AC=2cm，求⊙O的半径．【答案】(1)见解析；2cm【分析】（1）根据AC ⊥AB ，OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，可得四边形ADOE 是矩形，由垂径定理可得AD=AE ，根据邻边相等的矩形是正方形可证；（2）连接OA ，由勾股定理可得．【解析】(1)证明：∵AC ⊥AB ，OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，∴四边形ADOE 是矩形，12AD AB =，12AE AC =， 又∵AB=AC ，∴AD=AE ，∴四边形ADOE 是正方形．(2)解：如图，连接OA ，∵四边形ADOE 是正方形，∴112OE AE AC ===cm ， 在Rt △OAE 中，由勾股定理可得：22+2OA OE AE ， 即⊙O 2cm ．24．如图，在扇形AOB 中，90AOB ∠=︒，C 、D 是AB 上两点，过点D 作DE OC ∥交OB 于E 点，在OD 上取点F ，使OF DE =，连接CF 并延长交OB 于G 点．(1)求证：OCF DOE ≌△△； (2)若C 、D 是AB 的三等分点，23=OA①求OGC ∠； ②请比较GE 和BE 的大小．【答案】(1)证明见解析(2)①∠OGC=90°；②BE＞GE【分析】（1）先由平行线得出∠COD=∠ODE，再用SAS证△OCF≌△DOE即可；（2）①先由C、D是AB的三等分点，∠AOB=90°，求得∠AOC=∠COD=∠BOD=30°，由（1）知△OCF≌△DOE，所以∠OCF=∠DOE=30°，即可由三角形内角和求解；②由①∠OGC=90°，∠OCF=∠DOE=30°，利用直角三角形的性质和勾股定理即可求得3OG OF=2，又∠OCF=∠COF=30°，所以CF=OF，又由△OCF≌△DOE，所以OE=CF=OF=2，即可求得23GE= 232BE=，再比较即可得出结论；=OC，【解析】(1)解：∵DE AB2AC∴∠COD=∠ODE，∵OC=OD，OF=DE，∴△OCF≌△DOE(SAS)；(2)解：①∵C、D是AB的三等分点，∠AOB=90°，∴∠AOC=∠COD=∠BOD=30°，∵△OCF≌△DOE，∴∠OCF=∠DOE=30°，∵∠COG=∠COD+∠DOB=60°，∴∠OGC=90°．②∵23===，OA OC OB∴3OG又∵∠DOE=30°，∴OF=2，∵∠OCF=∠COF=30°，∴CF=OF，∵△OCF≌△DOE，∴OE=CF=OF=2，∴23GE OE OG=-=232=-=，BE OB OE∵3340－，BE GE=>∴BE＞GE．。
《圆的对称性》圆
《圆的对称性》圆日期:目录•圆的定义与基本性质•圆的对称性概述•圆的轴对称性•圆的中心对称性•圆的对称性在日常生活中的应用•总结与展望圆的定义与基本性质定义圆是平面上所有与给定点（称为圆心）距离相等的点的集合。
几何表示通常，我们用圆心O和半径r来表示一个圆，记为⊙O(r)。
圆的定义圆中心的点，记作O，是圆的对称中心。
圆心、半径与直径圆心从圆心到圆上任一点的线段，记作r，长度等于圆的半径。
半径通过圆心，且两个端点都在圆上的线段，记作d，长度等于半径的两倍，即d=2r。
直径圆的基本性质同心性：所有与给定圆同心的圆都共享同一个圆心。
等距性：圆上任意两点到圆心的距离相等。
这些基本性质不仅定义了圆，也为后续研究圆的性质和其在各种应用中的作用奠定了基础。
圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半。
对称性：圆具有旋转对称性，任何经过圆心的角度旋转后，圆保持不变。
圆的对称性概述对称性，在几何学中，是指图形在某个变换下保持不变的性质。
例如，一个图形在旋转、翻折等操作后，如果与原图形重合，那么这个图形就具有对称性。
对称性定义几何变换包括旋转、翻折、平移等。
如果一个图形在这些变换下保持不变，我们说这个图形具有相应的对称性。
变换的种类对称性的定义实际应用圆的对称性在建筑设计、艺术设计、工程学等领域都有广泛应用，对这些应用的理解和分析需要深入研究圆的对称性。
几何基本图形圆是最基本的几何图形之一，对于理解更复杂的几何形状和结构至关重要。
数学理论圆的对称性研究也有助于推动数学理论的发展，如群论、拓扑学等。
为何研究圆的对称性圆的对称性的种类旋转对称性：圆具有旋转对称性，即无论沿着哪个方向旋转，只要旋转的角度相同，都能与原始图形重合。
平移对称性：由于圆是各向同性的，它在任何方向的平移都不会改变它的形状，这也是圆的一种对称性。
翻折对称性：圆也具有翻折对称性，即无论沿着哪条直径翻折，都能与原始图形重合。
总结起来，圆的对称性是其在各个方向上均匀性的体现，这也是它在几何学和应用领域中重要地位的原因之一。
初三培优专题18 圆的对称性
AC
DB
（第 6 题图）
O
B
A
EC
DF
（第 7 题图）
A
E CP F D
B （第 8 题图）
7．如图，AB 为⊙O 的直径，CD 是弦．若 AB=10cm，CD=8cm，那么 A，B 两点到直线 CD 的距离之和
为（ ）
A．12cm
B．10cm
C．8cm
D．6cm
8．如图，半径为 2 的⊙O 中，弦 AB 与弦 CD 垂直相交于点 P，连结 OP．若 OP=1，求 AB2+CD2 的
AP
BE
C
O
F
D 图3
⑵ 如图 2，若弦 BC 经过半径 OA 的中点 E，F 是 C»D 的中点，G 是 F»B 的中点，⊙O 的半径为 1，求弦
FG 的长； ⑶ 如图 3，在⑵中若弦 BC 经过半径 OA 的中点 E，P 为劣弧上一动点，连结 PA，PB，PD，PF，求证：
PA PF
的定值．
PB PD
【例 4】如图，已知圆内接△ABC 中，AB>AC，D 为 B¼AC 的中点，DE⊥AB 于 E．求证：BD2-AD2=AB g
AC． （天津市竞赛试题）
解题思路：从化简待证式入手，将非常规几何问题的证明转化为常规几何题的证明． D A E C
B
圆是最简单的封闭曲线，但解决圆的问题还要用到直线形的有关知识和方法．同样，圆也为解决直线形
⑴如图 1，PA+PB= 3 PH；
⑵如图 2，PA+PB=PH；
⑶ 进 一 步 ， 如 图 3 ， 若 ∠ APB=α ， PH 平 分 ∠ APB ， 则 PA+PB=2PHcos 为 定
圆的对称性
圆的对称性〖圆的定义〗几何说：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆.定点称为圆心,定长称为半径.轨迹说：平面上一动点以一定点为中心,一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周,简称圆. 集合说：到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆.点与圆的位置三种位置关系：________、________、________．〖有关圆的基本性质与定理〗圆的确定：不在同一直线上的三个点确定一个圆.圆的对称性质：圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线.圆也是中心对称图形,其对称中心是圆心.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.垂径定理的推论：推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直与这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧? 推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧?推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧? 推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等?类型一、判断点和圆的位置关系： 【例1】已知圆的半径等于5?cm ，根据下列点P 到圆心的距离：(1)4?cm ；(2)5?cm ；(3)6?cm ，判定点P 与圆的位置关系，并说明理由．【例2】若A e 的半径为5，点A 的坐标为（3,4）点P 的坐标为（5,8）则点P 和A e 的位置关系．【搭配练习】1、已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，外接圆的圆心在△ABC 一条边上的是（ ）A.a=15，b=12，c=1???????? ??=5，b=12，c=12?=5，b=12，c=13???????????? ?=5，b=12，c=14?2、如图，点A 、B 、C 表示三个村庄，现要建一座深水井泵站，向三个村庄分别送水，为使三条输水管线长度相同，水泵站应建在何处？请画出图，并说明理由．类型二、垂径定理的应用【例3】1、如图，AB 是⊙O 的一条弦，OC ⊥AB 于点C ，OA = 5，AB = 8，求OC 的长．2、如图，⊙O 的半径为5，圆心O 到弦AB 的距离为3，则圆上到弦AB 所在的直线距离为2的点有（ ）．A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个3、如图，已知半径OD 与弦AB 互相垂直，垂足为点C ，若AB=8cm ，CD=3cm ，则圆O 的半径为______．4、如图，将半径为2cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O,则折痕AB 的长为_________.5、如图，在平面直角坐标系中，⊙A 经过原点O ，并且分别与x 轴、y 轴交于B 、C 两点，已知B （8，0），C （0，6），则⊙A 的半径为____________.6、在Rt ABC V 中，90ACB ∠=o ，3AC =，4BC =，以点CB为圆心，CA 为半径的圆与AB 交于点D ，则AD 的长为（ ）． A. 95 B. 245 C. 185 D. 527、如图，在以点O 为圆心的两个圆中，大圆的弦AB 交小圆于点C 、D ，求证：AC=BD ．8、如图是一名考古学家发现的一块古代车轮碎片，你能帮他找到这个车轮的半径吗？（画出示意图，保留作图痕迹）【搭配练习】1、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，已知，CD=8，AE=2，求⊙O 的半径．2、如图，⊙O 的半径为5，AB 为弦，OC ⊥AB ，交AB 于点D ，交⊙O 于点C ，CD=2，求弦AB 的长．3、如图，⊙O 的直径CD=10，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，OM ：OC=3：5．求AB 的长度．4、如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点P 在第一象限，P Θ与x 轴交于O,A 两点，点A 的坐标为（6,0），P Θ的半径为13，则点P 的坐标为 ____________. 类型三、圆中两条弦的问题：【例4】1、如图，⊙O 的半径为10cm ，弦AB ∥CD ，AB=16cm ，CD=12cm ，圆心O 位于AB 、CD 的上方，求AB 和CD 间的距离．2、AB,AC 分别是⊙O 中的两条弦，圆的半径为2，且AB=AC=求BAC ∠3、已知⊙O 的半径为13，弦.AB CD P AB=24cm,CD=10cm,求AB 和CD 的距离。
3.2圆的对称性
●
D
练一练：
C A
其实很简单！
AB 1.已知A,B是⊙O上的两点,∠AOB=1200,C是⌒ 的中点,试确定四边形OACB的形状,并说明理由.
B
.o
例2:
OE=OF
在⊙O中,AB、CD是两条弦,OE⊥AB,OF⊥CD,垂 足分别为E、F. (1) 如果∠AOB=∠COD,那么OE与OF的 大小有何关系?为什么?
B
O
┏ A′ D′ B′
由条件: 可推出 ①∠AOB=∠A′OB′
②AB=A′B′
⌒
⌒
③AB=A′B′
拓展与深化：
在同圆或等圆中,如果下面三组条件: ①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,有一组量 相等，那么其余三组量是否相等?
D
A
●
D O
A
●
B
B
O
┏ A′ D′ B′ ②AB=A′B′
⌒
⌒
可推出
①∠AOB=∠A′OB′ ③AB=A′B′
圆心角 , 弧,弦之间的关系定理: 圆心角定理的推论
在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条 弧,③两条弦中,有一组量相等,那么它们所对 应的其余各组量都分别相等.
D
A
●
D
A
●
B
O
B
O
┏ A′ D′ B′ ③AB=A′B′
可推出
①∠AOB=∠A′OB′
②AB=A′B′
⌒ ⌒
例1:如图，AB，DE是⊙O的直径, C是⊙O上的一 CE ,BE与CE的大小有什么关系？为 点 ,且 ⌒ AD = ⌒ 什么？
●
O
一个圆绕着它的圆心旋转任意一个 角度,都能与原来的图形重合.
中考数学专题复习圆
第六章圆第二十三讲圆的有关概念及性质【基础知识回顾】一、圆的定义及性质：1、圆的定义：⑴形成性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫线段OA叫做⑵描述性定义：圆是到定点的距离等于的点的集合2、弦与弧：弦：连接圆上任意两点的叫做弦弧：圆上任意两点间的叫做弧，弧可分为、、三类3、圆的对称性：⑴轴对称性：圆是轴对称图形，有条对称轴，的直线都是它的对称轴⑵中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是【名师提醒：1、在一个圆中，圆心决定圆的半径决定圆的2、直径是圆中的弦，弦不一定是直径；3、圆不仅是中心对称图形，而且具有旋转性，即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合】二、垂径定理及推论：1、垂径定理：垂直于弦的直径，并且平分弦所对的。
2、推论：平分弦（）的直径，并且平分弦所对的。
【名师提醒：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其余三个，注意解题过程中的灵活运用2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的线（即弦心距）。
3、垂径定理常用作计算，在半径r、弦a、弦心d和弓高h中已知其中两个量可求另外两个量。
】三、圆心角、弧、弦之间的关系：1、圆心角定义：顶点在的角叫做圆心角2、定理：在中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量它们所对应的其余各组量也分别【名师提醒：注意：该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”】四、圆周角定理及其推论：1、圆周角定义：顶点在并且两边都和圆的角叫圆周角2、圆周角定理：在同圆或等圆中，圆弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的推论1、在同圆或等圆中，如果两个圆周角那么它们所对的弧推论2、半圆（或直弦）所对的圆周角是，900的圆周角所对的弦是【名师提醒：1、在圆中，一条弦所对的圆心角只有一个，而它所对的圆周角有个，是类，它们的关系是，2、作直径所对的圆周角是圆中常作的辅助线】五、圆内接四边形：定义：如果一个多边形的所有顶点都在圆上，这个多边形叫做，这个圆叫做。
圆的定义及对称性
第三十二讲圆的定义与圆的对称性【知识要点】1、圆的定义有以下两种（1）在同一平面内，一条线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点P所经过的封闭曲线叫做圆.定点O就是圆心，线段OP就是圆的半径.以点O为圆心的圆，记作“⊙O”,读作“圆O”.说明：①这是圆的描述性定定义，由定义可以看出：确定圆的两个条件是圆心和半径，圆心确定圆的位置，圆的半径确定圆的大小；②要注意圆是指“圆周”，而非“圆面”.(2）在同一个平面内，圆是到定点的距离等于定长的点的集合，定点叫做圆心，定长叫做半径. 说明：这是圆的点集定义，它包括两个方面的含义：①圆上各点到定点（即圆心）的距离等于定长（即半径）;②.到定点的距离等于定长的点都在圆上2、点和圆的位置关系点和圆的位置关系有点在圆内、点在圆上、点在圆外三种，点和圆的位置关系是由这个点r，这个点到圆心的距离为如果圆的半径是到圆心的距离与圆的半径的大小关系决定的.d，那么?d?r?d?r?d?r；点在圆内；点在圆上点在圆外3、圆的旋转不变性圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线(通过折叠可发现此性质)圆是中心对称图形，对称中心是圆心(利用旋转的方法可以得到此性质)圆具有旋转不变性：一个圆绕着它的圆心旋转任意角度，都能与原来的图形重合.说明：(1)中心对称图形：在平面内，一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。
轴对称图形是指沿对称轴对折后完全重合的图形.。
(2)圆的对称轴是直线，不能说直径是它的对称轴，而应说直径所在的直线是它的对称轴；圆的对称轴有无数条4、与圆有关的概念）连接圆上任意两点的线段叫做弦（1经过圆心的弦叫做直径，直径等于半径的2倍）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
弧用符号“⌒”表示，以A（2、B为端点AB,读作“圆弧AB”或“弧的弧记作AB”1；小于半圆的弧叫做劣弧大于半圆的弧叫做优弧（用三个字母表示）等圆(3；圆心不同，半径相等的两个圆叫做）圆心相同，半径不同的两个圆叫做同心圆等弧在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做提示：①同圆是指同一个圆；等圆、同心圆是指两个圆的关系，等圆是指能够重合，圆心不同的两个圆②等弧必须是同圆或等圆中的弧，因为只有在同圆或等圆中，两条弧才可能互相重合，长度相等的弧不一定是等弧弦心距；从圆心到弦的距离叫做(4）顶点在圆心的角叫做圆心角5、垂径定理及其推论垂径定理：垂直与弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧ABD⊥是直径, C如图所示，∵CDA = =,BCACBDAD ∴ AE=BE,若一条直线①过圆心,②垂直于一条弦，则此直线①平分此弦②平分此弦所对的优弧和劣弧DC OE）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并：（1推论（2）弦的垂直平分线经过圆且平分弦所对的两条弧；B）平分弦所对的一心，并且平分弦所对的两条弧；（3 条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧①过圆心②垂直于弦③平分弦④平分弦所（提示：1）对于一个圆和一条直线来说，如果以对的优弧⑤平分弦所对的劣弧这五个条件中任何两个作为题设，那么其它三个就是结论（）在应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构2 造如图所示的直角三角形，根据垂径定理与勾股定a222)?r?d(d,ra,三个量中，理有根据此公式，在Or2d知道任何两个量就可以求出第三个量Aa BAC 26、圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组相等，那. 么它们所对应的其余各组量都分别相等（1）注意在“同圆或等圆中”这个条件（2说明：）注意理解“所对应”的含义2【典型例题】）例1、下列语句中不正确的是（①直径是弦；②弧是半圆；③经过圆内一顶点可以作无数条弦；④长度相等的弧是等弧①④②④D. A.①③④ B. ②③C.) ( ，最小距离为1，则圆的半径为、由一已知点例2P到圆上各点的最大距离为542 或、4 D、 A、2或3 B、3 C的位置关O，则点P与⊙O5cm，点P到圆心的距离为3cm例3、在平面内，⊙O的半径为系是5cmC为圆心，,AC=2cm,BC=4cm,CM是AB边上的中线，以点ABC例4、在△中，∠ACB=90°，，在圆上的有C、M四点在圆外的有则为半径作圆，A、B、 .在圆内的有、垂足分别为DAB,O⊥E⊥AC、在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，O D例5cm的半径为，若EAC=2cm，则⊙O、AB、H分别为边，E、F、GAC 例6、如下图，菱形ABCD的对角线和BD相交于点O 是否在同一个圆上？、HE、F、GBC、CD、DA的中点，那么DGHCAO F EB、轴交于点C、B,与y APPP如图,点的坐标为(4,0),⊙的半径为5,且⊙与x轴交于点、例7.D、的坐标BD,试求出点A、、C yCOABxPD3例8、海军部队在灯塔A的周围进行爆破作业，A的周围3km的水域为危险水域，有一渔船误入离灯塔2km的某处B，为了尽快驶离危险区域，该船应按什么方向航行？请给予证明.例9、矩形的四个顶点是否能在同一个圆上，若在同一个圆上，请你指出来并加以证明例10、已知⊙O的直径为10cm，弦AB=6cm，求圆心O到弦AB的距离.例11、在直径为650mm的圆柱形油槽中装入一些油后，截面如图所示，如油面宽AB=600mm，求油的最大深度OEBAF【经典练习】）1．下列命题中错误的命题有（梯形的对角线互相?（）平分弦的直径垂直于弦；3）2）弦的垂直平分线经过圆心；（1（）圆的对称轴是直径．（平分；44A．1个B．2个C．3个D．4个2.点A的坐标为(3,0),点B的坐标为(0,4),则点B在以A为圆心, 6 为半径的圆的_______.3.已知⊙O的半径为6cm,P为线段OA的中点,若点P在⊙O上,则OA的长( )A.等于6cmB.等于12cm；C.小于6cmD.大于12cm4．半径为5的⊙O内有一点P，且OP=4，则过点P的最短弦长是_______，最长的弦长_______．5．如图1，已知⊙O的半径为5，弦AB=8，P是弦AB上任意一点，则OP?的取值范围是_______．OBAP(1) (2)6．如图2，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，若∠COD=120°，OE=3厘米，则OD=?___cm．7．如图3，AB是半圆的直径，O是圆心，C是半圆上一点，E是弧AC的中点，OE交弦AC 于D，若AC=8cm，DE=2cm，则OD的长为________cm．8．如图3，同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D，已知AB=4，CD=2，AB?的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为（）552D：．5 B．：：2 C．4：A．32ADADCOEB(3) (4)59．如图4，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中错误的是（）BD BC．D．B ．CE=DE CAE=BE DOE A．∠COE=∠10．如图，在以O为圆心的两个同心圆的圆中，大圆弦AB交小圆于C、D两点，?试判断AC与BD的大小关系，并说明理由．OABCD11．如图所示，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD于M，CD=15cm，OM：OC=3：5，求弦AB的长．COMBAD6。
九年级数学北师大版初三下册--第三单元3.2《圆的对称性》课件
归纳
知2－导
1.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对 的弦相等.
2.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦 中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分 别相等.
（来自教材）
知2－讲
例2 下列命题中，正确的是( C ) ①顶点在圆心的角是圆心角；
形、圆、等腰三角形，这些图形中只是轴对称图
形的有( A )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
知1－练
4 【2017·黄石】下列图形中既是轴对称图形，又是 中心对称图形的是( D )
知2－导
知识点 2 圆心角与所对的弧、弦之间的关系
在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那 么它们所对的弦相等 吗？这两个圆心角相等吗？你是怎 么想的？
②相等的圆心角所对的弧也相等；
③在等圆中，圆心角不等，所对的弦也不等．
A．①和②
B．②和③
C．①和③
D．①②③
知2－讲
导引：①根据圆心角的定义知，顶点在圆心的角是圆心角， 故正确；②缺少条件，必须是在同圆或等圆中，相等 的圆心角所对的弧才相等，故错误；③根据弧、弦、 圆心角之间的关系定理，可知在等圆中，若圆心角相 等，则所对的弦相等，若圆心角不等，则所对的弦也 不等，故正确．
总结
知2－讲
本题考查了对弧、弦、圆心角之间的关系的理解，对于 圆中的一些易混易错结论应结合图形来解答．特别要注 意：看是否有“在同圆或等圆中”这个前提条件．
知2－练
1 下面四个图形中的角，是圆心角的是( D )
知2－练
2 如图，AB为⊙O的弦，∠A＝40°，则A︵B所对的 圆心角等于( C ) A．40° B．80° C．100° D．120°
圆的认知与属性
圆的认知与属性圆是一种基本的几何图形，具有独特的认知与属性。
从几何学的角度来看，圆是一个平面上所有与某一点的距离相等的点构成的集合。
圆形的外观呈现出统一、完美和无限的特点，因此在人们的认知中具有重要地位。
本文将从认知和属性两个方面探讨圆的特点。
一、圆的认知1.1 形状的唯一性圆的形状是唯一的，在感知过程中很容易区分。
圆形不只是一个点，也不是其他形状，而是一个看似平滑、连续的轮廓。
因此，圆在我们的认知中具有独特性和易于识别的特点。
1.2 完美的对称性圆具有完美的对称性，任意一点与圆心的距离相等，无论从哪个角度观察都能得到一样的视觉效果。
这种对称性使得圆在设计、艺术和建筑等领域中被广泛应用。
人们喜欢圆形的原因之一就是它的对称性能够给人以和谐、美丽的感受。
1.3 与周期性的联系圆形与周期性的概念有密切联系。
周期性指的是某种现象或事件在一定时间内重复出现。
圆形是一种自身具备周期性的形状，我们可以想象地球的自转、月亮的运行等周期性运动与圆形的形状有密切关系。
因此，人们在认知中将圆与周期性、循环性联系在一起。
二、圆的属性2.1 无始无终的完美性圆形在几何学中被认为是“无始无终”的形状，即圆形没有明确的起点和终点。
这种无限性与完美性在圆的属性中体现得淋漓尽致。
圆形没有棱角，呈现出一种柔和、流畅的特质，在设计和艺术创作中被广泛运用，给人以和谐、美好的感受。
2.2 统一与包容的特点圆形的特点是统一且包容的。
圆形能够将平面上无限个点包裹在自身之内，具有统一且没有分界的特质。
这种统一与包容的特点在人文、社会和团体关系中也有类似的应用。
人们常常用“大家庭”、“和谐共处”等词来形容具有圆融精神的人际关系和社会环境。
2.3 循环与再生的象征圆是由圆心到圆周任意一点的路径的长度相等，这种特性使得圆被视为循环和再生的象征。
循环性和再生性是自然界和生命过程中常见的现象，圆形的形状能够引发这些象征意义的联想。
在宗教、哲学和文化中，圆形常常被用作表达生命周期、宇宙循环或永恒不灭等概念的符号。
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. O
B
解：连结OA。过O作OE⊥AB，垂足为E， 则OE＝3厘米，AE＝BE。 ∵AB＝8厘米 ∴AE＝4厘米
在RtAOE中，根据勾股定理有OA＝5厘米 ∴⊙O的半径为5厘米。
讲解
例2 已知：如图，在以 O为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦AB交小圆于C， A D两点。
O
C
E
.
D
B
试说明：AC＝BD。 证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，则 AE＝BE，CE＝DE。 AE－CE＝BE－DE。 所以，AC＝BD
如图，矩形ABCD与圆O交于点A、B、E、F，
5 DE=1cm，EF=3cm，则AB=________cm
D A O E F C B
如图，在圆O中，已知AC=BD，
试说明：（1）OC=OD （2）AE= BF
O A C E D F B
︵
︵
小结:
解决有关弦的问题，经常是过圆 心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径， 连结半径等辅助线，为应用垂径定理 创造条件。
23.1圆的认识
（二）
回顾：
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的两条弧。 题设
C O B D 图 23.1.7
A
结论
（1）直径垂直于弦
｛
（2）直径平分弦
（3）直径平分弧
讲解
例1 如图，已知在⊙O中， A 弦AB的长为8厘米，圆心O 到AB的距离（弦心距）为3 厘米，求⊙O的半径。
A. OB Nhomakorabea在中国民间信仰中，漫漫诸天、天国、天界、乐园、仙界、神界等都是同义语，指与地上的人间相对的以玉皇大帝为天庭皇帝的神仙天界。 人们相信，人死了会升天，每一个人的祖先都在天上看着自己，祖先的在天之灵会保佑自己在人间的子孙后代。中国人有敬天祭祖的传统。 ； /xs/0/443/ 漫漫诸天 kfh74ndg 至少在周朝以前，人们就认为人分魂魄，作为阳气的魂和作为阴形的魄结合形成人，人死以后，神魂灵气归于天，精魄形骸归于地，以魂气 形魄来解释人前世、现世和来世的演化，并将精灵世界分为三界：地上的人间，天上神灵的漫漫诸天，地下精魄的往生门扉。
讲解
例3 已知⊙O的直径是50 cm，⊙O的 两条平行弦AB=40 cm ，CD=48cm， 求弦AB与CD之间的距离。
A C
20 E
25 25 24
15 . O
B D
A
C
E
F . O
B
D
7
EF有两解：15+7=22cm
15-7=8cm
如图，⊙ O 的半径为 5 ，弦 AB 的长为 8 ， M 是弦 AB 上的动点，则线段 OM 的长的最小 值为____. 3 最大值为____________. 5
儿给年家。往常，冰凝是不在这个时间弹琴的，昨日宴客无聊，才随意地弹了壹曲。不想她竟然发现，晚间弹琴还真是别有壹番情趣，静夜 琴曲，如泣如诉，立即就喜欢上了这种新的感觉。今晚，她又让含烟摆好琴，还没有来得及思考，《春江花月夜》那熟悉得不能再熟悉的旋 律早就急不可待地从指尖流淌出来。王爷在年府后花园的高墙外，已经呆了有小半个时辰，竟不得琴声，暗笑自己的发癫行痴，正待上得马 来，吩咐秦顺儿回府呢，忽然听到那熟悉而美妙的琴音倾泻而出，充满了耳朵，也充满了心间，不知不觉中，他竟掏出了玉箫，与那筝曲合 奏同鸣。冰凝也听到了院外的箫声，竟是与自己的合鸣，甚是奇怪。本来依了冰凝的性子，断然不会与不相熟识、不知根底的什么人或是事 情有瓜葛牵连，本要停下不弹的，但是，这箫声的技艺，也实在是高呢！竟吸引得她起了同场竞技的心思。冰凝对自己的筝艺水平相当自负， 其实，她也是同样弹得壹手的好琵琶，但是，琵琶弹出的曲子与筝曲相比，在意境总感觉差了壹些，而且她的琵琶技艺也确实不如筝艺好。 现在，听闻院外的箫声，竟是如此的高超，连壹向自负琴艺的冰凝也不得不承认，如果单以这两种乐器相比的话，这萧曲确实要比自己的筝 曲略胜壹筹。嗯，也只是高那壹点点而已！冰凝壹边弹着琴壹边不太服气地微微笑着，想着想着，竟然有壹种强烈的、想和对方壹比高下的 迫切念头：有点儿赌气，也是觉得这么美妙的萧声，难得有机会欣赏，实在是可惜；更是隐隐地有壹种感觉，如果今天不与对方竞艺，以后 就再也没有机会了。第壹卷 第二十七章 知音壹曲《春江花月夜》弹罢，冰凝重启壹曲：《良宵》。是啊，如此良辰美景，如此仙音妙曲， 真似人间仙境壹般。果然，对方停了壹会儿，听清了冰凝的曲目，不壹会儿，也跟着她的拍子和节奏，开始了新壹曲的琴瑟合鸣。《良宵》 奏罢，冰凝略壹思考，又新弹壹曲，《阳光三叠》。果不其然，不壹会儿，萧曲《阳光三叠》合着节拍加入了进来。《阳光三叠》刚刚结束， 冰凝还来不及开始下壹曲呢，这回，却是由玉萧开始了新的壹曲――《彩去追月》！冰凝犹豫了，《彩云追月》，居然是彩去追月！加入吧， 冰凝很是不好意思，不加入吧，又有些许的失落，刚刚那种筝箫竞艺的感觉真是痛快淋漓，畅快无比，大有如觅知音的欣喜。就在这思考之 间，壹曲《彩去追月》竟已经奏到最后壹个乐段了，犹豫间，冰凝双手抚上琴来，只来得及合奏上几个音符就已是全曲终了。此后，双方谁 也没有再重新开启任何壹首曲子，就这么各想着心事，四周突然安静了下来。也不知过了多长时间，待她发觉，已经是马蹄声渐行渐远。冰 凝的心早已被这个良辰美景搅得心