5.1.2_垂线1
5.1.2 垂 线(1)
5.1.2垂线第课时1.知道垂直是相交的特殊情况,理解垂线的概念.2.会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线.通过操作、探究等活动,培养学生的动手能力,并通过活动使学生对知识的学习从感性认识上升到理性认识.通过生动、有趣的活动,使学生积极参与到数学活动中,并在活动中感受成功的快乐.【重点】垂线的定义,用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线.【难点】过一点画已知直线的垂线.【教师准备】相交线模型、三角尺、量角器.【学生准备】三角尺、直尺、量角器、硬纸条、图钉.导入一:出示意大利比萨斜塔图片.师:同学们,你们认识这个世界著名的建筑吗?对!是意大利的比萨斜塔.那么这个斜塔倾斜多少度呢?如图所示,直线AB可以看成地平面,射线OC可以看成塔身所在的直线.要回答这个问题,就涉及我们要学习的垂线问题.[设计意图]从学生比较熟悉的事物中抽象出数学问题,更能唤起学生探求新知的欲望.导入二:(学生事先准备宽约为1 cm,长约为20 cm的两张硬纸条,图钉一个)课堂操作:学生用图钉在中间把两张纸条订在一起,提示学生可以把两张纸条看作是两条直线,观察两条直线相交有几个交点?如图所示,可以看到,直线AB与CD相交,只有一个交点,可以说明直线AB,CD相交于点O.【思考】两条直线相交所构成的四个角能否相等?[设计意图]用现实生活中的例子,引入相交线所成的角,为理解垂直的定义做认知准备,同时也会激发学生的学习兴趣,有利于进入新的知识学习.导入三:如图所示,直线AB,CD相交于点O,若∠1=90°,求其他三个角.教师出示问题,学生独立解决问题,并在练习本上书写解答过程.在这一过程中,教师应当关注学生是否能够独立完成问题,并且能否较规范地写出解答过程.然后学生口述过程并说明理由.[设计意图]通过练习,一是复习上节课的邻补角和对顶角的概念及性质,二是逐步培养学生的推理论证能力.一、探究垂线的概念思路一利用相交线模型引入直线相互垂直的概念.教师出示相交线模型,如图(1)所示,固定其中一个木条a,转动另一个木条b,在这一过程中,它们的交角∠α在不停地变化,这一过程中,一定会出现它们的交角等于90°的情况,这时我们说a与b互相垂直,这时其中一条直线叫另一条直线的垂线,记作a⊥b,它们的交点叫做垂足,如图(2)所示,可记作:AB⊥CD,垂足为O.推理过程如下:因为∠AOC=90°(已知),所以AB⊥CD(垂直定义).[设计意图]通过模型的展示让学生认识到,垂直是相交的一种特殊情形,使学生对垂直首先有一个感性的认识,进而引入相关的概念.同时通过教师对图形的描述,使学生逐步学习用几何语言描述图形的语句.[知识拓展](1)垂直是相交线中一种特殊形式,当垂直时,这个公共点即为垂足.(2)线段与线段、线段与射线、射线与射线、线段与直线或射线与直线垂直,特指它们所在的直线互相垂直.(3)根据两条直线互相垂直的定义可知:若两条直线互相垂直,则所成的四个角都为直角;反之,若两条直线相交所成的四个角中的任意一个角等于90°,则这两条直线互相垂直.2.感受生活中互相垂直的实例.【思考】生活中有许多垂直的例子,你能举出一些例子吗?教师出示图片:(提示学生观察铁轨和枕木之间的位置关系)学生从中观察相互垂直的直线,然后举出一些互相垂直的例子.[设计意图]通过对实物的感知,使学生认识到生活中处处有数学图形,在感受生活中的数学的同时加深对垂线的理解与掌握.3.例题讲解(自设).如图所示,三条直线相交于点O.若CO⊥AB,∠1=56°,则∠2等于()A.30°B.34°C.45°D.56°〔解析〕∠1和∠2既不是对顶角也不是邻补角,这就需要根据给出的∠1的度数和相关位置进行思考.根据已知条件,把CO⊥AB转化为∠AOC=∠COB=90°是关键.发现∠AOD,∠DOB分别是∠2的邻补角和对顶角后,问题即可解决.方法1:因为CO⊥AB,所以∠COB=90°,所以∠DOB=90°-∠1=90°-56°=34°.所以∠2=∠DOB=34°(对顶角相等).方法2:因为CO⊥AB,所以∠COB=90°,所以∠AOD=90°+∠1=90°+56°=146°.所以∠2=180°-146°=34°(邻补角互补).故选B.[设计意图]角度计算题,目的是考查学生利用垂直定义以及对顶角性质解决问题的能力.思路二1.实验探究.教师自制教具,将两根木条钉在一起(如图所示),固定其中一根木条a,转动木条b,请学生观察:问题:在木条b的转动过程中,哪个量也随之发生改变?师生活动:学生发言,相互补充.教师借机和学生一起回忆上节课学习的内容:对顶角和邻补角的概念和性质.教师追问(1):当a与b所成角α为90°时,其余各角分别为多少度?师生活动:教师引导学生发现,当a与b所成角α为90°时,其余各角都为90°,是木条相交中最特殊的一种情况.教师追问(2):这时木条a与b有何位置关系呢?师生活动:学生根据小学已学的知识可以知道,此时木条a与b互相垂直.[设计意图]让学生借助已有的知识发现数学问题,并解决问题,进一步提高对垂直概念的认识.2.变换角度,认识垂直.仔细观察下图,当两条直线相交时所形成的4个角中,有一个角为90°,可以得出这两条直线有何位置关系呢?师生活动:学生回答,并归纳概括出垂直的定义.教师补充指出垂线和垂足的概念,并给出垂直的符号表示.教师追问(1):如图所示,如何用符号语言表示垂直的定义呢?师生活动:学生观察图形,独立完成用符号语言表示垂直的定义,教师点拨,规范学生的书写过程.如图所示,若AB和CD相交,且∠1=90°,则直线AB和CD互相垂直,记作“AB⊥CD”(或CD⊥AB),读作“AB 垂直于CD”.如果垂足是O,记作“AB⊥CD,垂足为O”.一般地,垂直在图中用“”表示,在推理计算的过程中用“⊥”表示.教师追问(2):如何判定两条射线互相垂直?两条线段呢?师生活动:学生积极踊跃发言,教师做总结,提醒学生注意:两条线段垂直、两条射线垂直、射线与直线垂直、线段与射线垂直、线段与直线垂直,都是指它们所在的直线垂直.根据两条直线互相垂直的定义可知:若两条直线互相垂直,则相交所成的四个角为直角;反之,若两条直线的交角为直角,则这两条直线互相垂直.如图所示,这个推理过程可以写成:因为AB⊥CD(已知),所以∠AOC=∠COB=∠BOD=∠AOD=90°(垂直的定义);反之,因为∠AOC=90°(已知),所以AB⊥CD.[设计意图]教师引导学生用几何语言描述图形的位置关系,并学会用符号语言表示,培养学生表达几何图形的能力.教师追问(3):你能举出一些生活中与垂直有关的实例吗?[设计意图]学生列举身边的实物,能由实物的形状想象出直线的垂直关系,将新知识应用到对周围环境的直接感知中,有利于学生建立直观、形象的数学模型.1.用三角尺或量角器画已知直线l的垂线,这样的垂线能画出几条?2.经过直线l上一点A画l的垂线,这样的垂线能画出几条?3.经过直线l外一点B画l的垂线,这样的垂线能画出几条?画法点拨:过一点画已知直线的垂线,可以用直角三角板来画,具体步骤为:(1)贴:将三角板的一条直角边紧贴在已知直线上;(2)过:使三角板的另一直角边经过已知点;(3)画:沿已知点所在直角边画出所求的直线.如图所示,图(1)是点在直线l上,图(2)是点在直线l外.两直线垂直的概念中的核心内容是直角,所以在画垂线时这个直角的位置就显得相当重要了,画错了位置,已知直线的垂线也就画错了.在画垂线时要注意让直角的一边与已知直线重合,而另一边要过已知点(即过此点画已知直线的垂线),在画垂线时要注意只有满足上述条件时,这两条直线才是垂直的.另外要画的已知直线的垂线是一条直线,千万不要画成线段或射线.提示:(1)过一点画射线或线段的垂线,是指画它们所在直线的垂线,垂足有时在延长线上.(2)过一点包括两种情况:①点在直线外;②点在直线上.活动方式:教师出示问题,学生分小组讨论尝试,然后找学生回答讨论的结果,并找学生到黑板上画一画.师生共同归纳结论:经过一点,能画出已知直线的一条垂线,并且只能画出一条垂线,即在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.[设计意图]通过尝试、讨论、探究,找到画已知直线垂线的方法,使学生手脑并用,加深印象.通过师生的共同总结,培养学生的归纳总结能力,同时让学生认识到作已知直线的垂线的两种情况.(补充)如图(1)所示,在三角形ABC中,∠BCA为钝角.(1)画出过点C且与线段BA垂直的直线;(2)画出过点A且与线段BC垂直的直线.〔解析〕利用三角尺的直角正确画出图形,注意垂足的位置.(1)过点C作AB的垂线,垂足在线段AB 上.(2)因为∠BCA是钝角,过点A画BC的垂线时,垂足在BC的延长线上.解:(1)过点C画AB的垂线,交AB于D,CD就是所求,如图(2)所示.(2)过点A画BC的垂线,交BC的延长线于E点,AE就是要求的垂线,如图(2)所示.[知识拓展](1)在同一平面内,经过直线上一点或直线外一点画已知直线的垂线,只能画出一条.(2)经过一点画射线或线段的垂线,是指画它们所在直线的垂线,垂足有时在射线的反向延长线或线段的延长线上(如图所示).(3)画垂线时是实线,此时如需延长线段或反向延长射线,要用虚线延长或反向延长.1.垂线的概念:当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足.2.垂线的性质:(1)在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.(2)“有且只有”中,“有”指“存在性”,“只有”指“唯一性”.(3)“过一点”中的“点”在直线上或直线外都可以.1.下列说法中,正确的个数是()①相等的角是对顶角;②在同一平面内,过一点有且只有一条直线和已知直线垂直;③两条直线相交有且只有一个交点;④两条直线相交成直角,则这两条直线互相垂直.A.1B.2C.3D.4解析:两角相等指的是数量关系上的相等,对顶角是特殊位置关系的相等的角,故①错误;在同一平面内,过一点有且只有一条直线和已知直线垂直,故②正确;两条直线相交有且只有一个交点,故③正确;两条直线相交成直角,则这两条直线互相垂直,故④正确.即正确的个数是3.故选C.2.下列四个条件中能判断两条直线互相垂直的有()①两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角;②两条直线相交所成的四个角相等;③两条直线相交所成的四个角中,有一组相邻的角相等;④两条直线相交所成的四个角中,有一组对顶角的和为180°.A.4个B.3个C.2个D.1个解析:①两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角,是定义,能判断;②两条直线相交所成的四个角相等,则四个角都是直角,能判断;③两条直线相交所成的四个角中有一组相邻的角相等,根据邻补角的定义能求出这两个角都是直角,能判断;④两条直线相交所成的四个角中有一组对顶角的和为180°,根据对顶角相等求出这两个角都是直角,能判断.所以四个条件都能判断两条直线互相垂直.故选A.3.如图所示,过P点,画出射线OA,OB的垂线.解析:图(1)的P点在射线OA,OB之外,图(2)的P点在射线OA之外,在射线OB之上.图(2)过点P作射线OA的垂线时,要注意垂足在射线OA的反向延长线上,需要用虚线表示延长线.解:如图所示.4.如图所示,直线AB,CD相交于点O,OE⊥CD,OF⊥AB,∠BOD=25°,求∠AOE和∠DOF的度数.解:因为OE⊥CD,OF⊥AB,∠BOD=25°,所以∠AOE=90°-25°=65°,∠DOF=90°+25°=115°.第1课时1.探究垂线的概念当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足.例12.垂线的画法和性质在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.例2一、教材作业【必做题】教材第5页练习第1,2题.【选做题】教材第8页习题5.1第3,4题.二、课后作业【基础巩固】1.如图所示,已知点O在直线AB上,CO⊥DO于点O,若∠1=145°,则∠3的度数为()A.35°B.45°C.55°D.65°2.两条直线相交所构成的四个角中:①有三个角都相等;②有一对对顶角互补;③有一个角是直角;④有一对邻补角相等.其中能判定这两条直线垂直的有()A.1个B.2个C.3个D.4个3.如图所示,在正方体中和AB同在一个平面,且和AB垂直的边有()A.1条B.2条C.3条D.4条4.如图所示,已知AB,CD相交于O,OE⊥CD于O,∠AOC=30°,则∠BOE等于()A.30°B.60°C.120°D.130°【能力提升】5.如图所示,已知直线AB和CD相交于O点,CO⊥OE,OF平分∠AOE,∠COF=34°,求∠BOD的度数.6.如图所示,已知OC⊥AB于O,∠AOD∶∠COD=1∶2.(1)若OE平分∠BOC,求∠DOE的度数;(2)若∠AOE的度数比∠COE的度数的3倍多30°,试判断OD与OE的位置关系,并说明理由.7.如图所示,直线AB,CD相交于点O,∠BOD=40°,按下列要求画图并回答问题.(1)在直线AB上方画射线OE,使OE⊥AB;(2)分别在射线OA,OE上截取线段OM,ON,使OM=ON,连接MN;(3)画∠AOD的平分线OF,交MN于点F;(4)直接写出∠COF和∠EOF的度数:∠COF=度,∠EOF=度.【拓展探究】8.(1)在图(1)中以P为顶点画∠P,使∠P的两边分别和∠1的两边垂直;(2)量一量图(1)中∠P和∠1的度数,它们之间的数量关系是;(3)同样在图(2)和图(3)中以P为顶点作∠P,使∠P的两边分别和∠1的两边垂直,分别写出图(2)和图(3)中∠P和∠1之间的数量关系(不要求写出理由).图2:,图3:;(4)由上述三种情形可以得到一个结论:如果一个角的两边分别和另一个角的两边垂直,那么这两个角.(不要求写出理由)【答案与解析】1.C(解析:因为∠1=145°,所以∠2=180°-145°=35°,因为CO⊥DO,所以∠COD=90°,所以∠3=90°-∠2=90°-35°=55°.故选C.)2.D(解析:根据垂直的定义:两直线的交角为90°时,这两条直线互相垂直进行分析即可.)3.D(解析:因为正方体的每一个面都是正方形,即每一个角都为90°,所以与AB垂直的边有4条.故选D.)4.C(解析:因为OE⊥CD,所以∠EOD=90°,因为∠AOC=30°,所以∠BOD=∠AOC=30°,所以∠BOE=∠EOD+∠BOD=90°+30°=120°.故选C.)5.解:因为CO⊥OE,所以∠COE=90°.因为∠COF=34°,所以∠EOF=90-34°=56°.又因为OF平分∠AOE,所以∠AOF=∠EOF=56°.因为∠COF=34°,所以∠AOC=56°-34°=22°.则∠BOD=∠AOC=22°.6.解:(1)因为OC⊥AB于O,所以∠AOC=∠BOC=90°.因为∠AOC=90°,∠AOD∶∠COD=1∶2,所以∠DOC=60°.因为OE平分∠BOC,∠BOC=90°,所以∠COE=45°,∠DOE=∠DOC+∠COE=60°+45°=105°. (2)OD⊥OE.理由如下:OC⊥AB于O,所以∠AOC=∠BOC=90°.因为∠AOC=90°,∠AOD∶∠COD=1∶2,所以∠DOC=60°,因为∠AOE-∠COE=2∠COE+30°,且∠AOE-∠COE=90°,所以2∠COE+30°=90°,所以∠COE=30°.因为∠DOE=∠DOC+∠COE=60°+30°=90°,所以OD⊥OE.7.解:(1)如图所示的射线OE. (2)如图所示的ON,OM,线段MN. (3)如图所示的OF平分∠AOD,交MN于点F. (4)110208.解:(1)如图(1)所示. (2)∠P+∠1=180°(3)如图(2)(3)所示. ∠P=∠1∠APB+∠1=180°(4)相等或互补在这堂课中,学生的主体地位突出,真正经历了知识形成的全过程.在自主学习、合作交流的活动中升华了对知识的理解.教学实践也证明,在自由探索与合作交流的学习方式中,学生认识活动的强度和力度要比单纯接受知识大得多.在本节课中的每一个学习活动,都以学生个性思维、自我感悟为前提,多次设计了让学生自主探索、合作交流的活动.通过学生和谐有效地互动,强化了学生的自主学习意识.(1)在教学过程中学生归纳的少,教师说明的多,没有让学生充分发表自己的见解.(2)在学习画垂线的过程中,部分学生画的不够规范,教师在指导上不够到位.对于知识的形成,教师要充分让学生探索、观察,用自己的语言表述发现的问题,然后充分发挥集体的合力,取长补短,逐步完善,教师再给以适当的点拨,形成结论.画已知直线的垂线,教师要注意画图的指导,一要注意规范,二要注意对知识的分析与强化,使学生对垂线有更深一步的认识.从而达到对知识的理解和掌握,对于学生出现的问题一定要及时点评.。
垂线
5.1.2垂线（1）【学习目标】：1.理解并识记垂直、垂线的定义和性质.2.会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线.3.会正确运用垂直的定义和垂线的性质.【学习过程】：一、板书课题过渡语：同学们，这些图片给我们垂直、垂线的形象，它们不仅在生活中常见，在几何证明中也常常用到.今天我们来学习5.12垂线(1)（师板书）.二、出示目标（一）过渡语：要达到什么学习目标呢？请看：（二）出示学习目标学习目标1.理解并识记垂直、垂线的概念，会表示两条直线垂直.2.理解并识记垂线的性质，会画一条直线的垂线.三、自学指导（一）过渡语：怎样才能当堂达标呢？请看自学指导：（二）出示自学指导自学指导认真看课本(Ｐ3练习下面—Ｐ5练习前).要求：1.结合图形理解两条直线相交成多少度时，这两条直线互相垂直，如何表示垂直；2.理解、识记什么叫做垂线、垂足，思考垂直与相交的关系是什么；3.回答“探究”中的问题,思考过一点如何画已知直线的垂线，能画几条.如有疑问，可以小声问同学或举手问老师.5分钟后，比谁会画已知直线的垂线，并能运用垂直的定义和垂线的性质做对检测题.比谁看书最认真，谁先看完并背熟请举手.四、先学（一）学生看书，教师巡视，师督促每一位学生认真、紧张的自学.（二）检测1.出示检测题过渡语：同学们，会背垂直定义和垂线性质的请举手.能不能正确运用呢？请看检测题：检测题：必做题：Ｐ5：1、2 P8：5选做题：1.下列说法中，正确的个数是（ ）①两条直线相交形成的四个角中有一个角为直角，那么这两条直线互相垂直；②两条直线相交，其中一组对顶角互补，那么这两条直线互相垂直； ③两条直线相交形成的四个角相等，那么这两条直线互相垂直；④两条直线相交，如果有一组邻补角相等，那么这两条直线互相垂直.A.1B.2C.3D.42.如图所示，直线AB ⊥CD 于点O ，直线EF 经过点O,若∠1=26°，则∠2=___.要求：1.仿照例题，过程规范，书写工整.2. 6分钟独立完成.比谁做的又快又对，谁先完成，请举手. 分别让2位同学板演，其他同学在座位上做.2.学生练习，教师巡视.（收集错误进行二次备课）(教师面批面改最先完成的几名学生的作业，表扬做的又快又好的几名学生)五、后教（一）白板出示答案.1 2 C EB F A（二）学生对照答案，自改评分.（三）了解学情：全对，得满分的同学举手？表扬全对的学生.过渡语：但是还有部分同学没有全对，我们来帮帮他们，怎样帮助他们呢？利用垂直的概念和性质，以及画图时的注意事项来判断他们到底错在哪里.（教师站在讲台，由学生送错题卷）（四）请做错的同学把练习纸交给老师，老师把同学做错的题分类放到展示台上，白板出示，让做对的同学说说错在哪里？为什么？（不出示、不讨论做对的题）错误1：位置关系错误.（让后进生讲为什么错？正确答案是什么.引导学生说出：360°÷4=90°.两条直线相交所成的四个角中有一个角是90°时，这两条直线互相垂直.垂直是相交的一种特殊情形.(师板书)错误2：线段的垂线错误.（让后进生讲为什么错？正确答案是什么.注意事项：（1）垂线是一条直线(2)画出垂线后要在垂足处标上垂直符号.（3）同意把线段AB延长的请举手？为什么？引导学生说出:过点P作线段AB的垂线，其实就是作线段AB所在直线的垂线.（4）注意垂线用实线表示,延长线用虚线表示.延伸：过点P还可以画AB的垂线吗？为什么？引导学生说出不能.因为在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.（这一点可以在直线上也可以在直线外）.（师板出）错误3：∠AOD的度数求错.先引导学生分析：要求∠AOD，必须先∠AOC或∠BOD或∠BOC三种情况讨论：（1）如何求∠AOC.因为∠AOE=90°-35°.（2）如何求∠BOD,∠BOD=180°-35°-90°.(3)求∠BOC.∠BOC=90°+35°.∠AOE或∠BOE为什么等于90°？引导学生说出：因为OE⊥AB.（师强调：一题多解，灵活运用.）六、当堂训练（一）过渡语：同学们，画两条直线垂直时，要注意在垂直处加上垂直符号，要注意几何解题过程规范，书写工整.（二）出示作业题：必做题：Ｐ8 ： 6、7选做题：Ｐ9 ： 12（三）学生练习，教师巡视.七、教学反思5.1.2垂线（2）【学习目标】：１.理解并识记垂线的性质2和点到直线的距离的定义.２.会正确运用垂线段的性质2（垂线段最短）.【学习过程】一、板书课题过渡语：同学们，今天我们来学习5.1.2垂线（2）(师板书).二、出示目标（一）过渡语：要达到什么学习目标呢？请看：（二）出示学习目标学习目标１.理解并识记垂线的性质和点到直线的距离的定义.２.会正确运用垂线段的性质2（垂线段最短）.三、自学指导（一）过渡语：怎样才能当堂达标呢？请看自学指导：（二）出示自学指导自学指导认真看(P5练习下面-6练习前).要求：1.回答“思考”和“探究”中的问题，理解、识记垂线段最短；2.理解、识记什么是“点到直线的距离”；3.在P5“思考”中作出垂线段，量出图上距离，根据比例尺是1：100000计算出水渠的实际长度.如有疑问，可以小声问同学或举手问老师.5分钟后，比谁能熟背垂线段的性质和“点到直线的距离”的概念，并能正 确做出检测题.比谁看书最认真，谁先看完并背熟请举手.四 、先学（一）学生看书，教师巡视，师督促每一位学生认真.紧张的自学.（二）检测1.出示检测题过渡语：会背垂线段的性质和“点到直线的距离”的概念的请举手.能不能正确运用呢？请看检测题：检测题：必做题：P6 练习(2 名同学板演)选做题 1.如图，PO ⊥OR,垂足为O ，OQ ⊥PR,垂足为Q,且PO=4cm,RO=3cm,PR=5cm,OQ=2.4cm,PQ=3.2cm,则点O 到直线PR 的距离是 ______cm ；点P 到OQ 的距离是______cm ；点R 到直线______的距离是3cm.要求：1、书面整洁，作图规范;2、5分钟内独立完成.比谁做得又快又对，谁先完成，请举手.2.学生练习，教师巡视.（收集错误进行二次备课）(教师面批面改最先完成的几名学生的作业，表扬做得又对又快的几名学生)五 后教.（一）白板出示答案.（二）学生对照答案，自改评分. （每题10分,共计100分）（三）了解学情：全对，得满分的同学举手？表扬全对的学生.过渡语：但是还有部分同学没有全对，我们来帮帮他们，怎样帮助他么呢？利用点到直线的距离的概念来判断他们到底错在哪里.（教师站在讲台，由学生送错题卷）（四） 请做错的同学把练习纸交给老师，老师把同学做错的题分类放到展示台 上，白板出示， 让做对的同学说说错在哪里？为什么？（不出示、不讨论做 对的题） PO Q R错误1：点到直线的距离找错.（让后进生讲为什么错？正确答案是什么.）引导生回答点到直线的距离就是直线外一点到这条直线的垂线段的长度. （强调点到直线的距离→垂线段的长度）. 点A到直线BC的距离是线段AC,点B到直线AC的距离是线段BC.错误2：最长边找错.（让后进生讲为什么错？正确答案是什么.）引导学生说出：因为○1AC＜AB(理由＿＿＿＿)；○2BC＜AB（理由＿＿＿＿).所以线段AB边最长.(五)熟背概念.⑴垂线定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
广东省珠海九中七年级数学下册《5.1.2 垂线》教案(1) 新人教版
《5.1.2 垂线（1）》教案教学目标1.经历观察、操作、想像、归纳概括、交流等活动,进一步发展空间观念,用几何语言准确表达能力.2.了解垂直概念,能说出垂线的性质“经过一点,能画出已知直线的一条垂线, 并且只能画出一条垂线”,会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线. 教学重点两条直线互相垂直的概念、性质和画法. 教学过程一、创设问题情境,研究垂直等有关概念1.学生观察教室里的课桌面、黑板面相邻的两条边, 方格纸的横线和竖线……,思考这些给大家什么印象?在学生回答之后,教师指出:“垂直”两个字对大家并不陌生, 但是垂直的意义,垂线有什么性质,我们不一定都了解,这可是我们要学习的内容.2.教师出示相交线的模型,演示模型,学生观察思考:固定木条a,转动木条, 当b 的位置变化时,a 、b 所成的角a 是如何变化的?其中会有特殊情况出现吗?当这种情况出现时,a 、b 所成的四个角有什么特殊关系?bb a教师在组织学生交流中,应学生明白:当b 的位置变化时,角a 从锐角变为钝角,其中∠a 是直角是特殊情况.其特殊之处还在于:当∠a 是直角时,它的邻补角,对顶角都是直角,即a 、b 所成的四个角都是直角,都相等. 3.师生共同给出垂直定义.师生分清“互相垂直”与“垂线”的区别与联系：“互相垂直”指两条直线的位置关系；“垂线”是指其中一条直线对另一条直线的命名。
如果说两条直线“互相垂直”时，其中一条必定是另一条的“垂线”， 如果一条直线是另一条直线的“垂线”，则它们必定“互相垂直”。
4.垂直的表示法.垂直用符号“⊥”来表示，结合课本图5.1－5说明“直线AB 垂直于直线CD ， 垂足为O”，则记为AB⊥CD,垂足为O ，并在图中任意一个角处作上直角记号,如图.O DCBA5.简单应用(1)学生观察课本P6图5.1-6中的一些互相垂直的线条, 并再举出生活中其他实例.(2)判断以下两条直线是否垂直:①两条直线相交所成的四个角中有一个是直角;②两条直线相交所成的四个角相等;③两条直线相交,有一组邻补角相等;④两条直线相交,对顶角互补.二、画图实践,探究垂线的性质1.学生用三角尺或量角器画已知直线L的垂线.(1)已知直线L(教师在黑板上画一条直线L),画出直线L的垂线.待学生上黑板画出L 的垂线后,教师追问学生:还能画出L的垂线吗?能画几条?通过师生交流, 使学生明确直线L 的垂线有无数多条,即存在,但有不确定性.教师再问:怎样才能确定直线L的垂线位置?在学生道出:在直线L上取一点A,过点A画L的垂线,并且动手画出图形.教师板书学生的结论:经过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直.(2)经过直线L外一点B画直线L的垂线,这样的垂线能画出几条?从中你又得出什么结论?教师板书学生的结论:经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直.教师让学生通过画图操作所得两条结论合并成一条,并板书:垂线性质1:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.2.变式训练,巩固垂线的概念和画法,如图根据下列语句画图:(1)过点P画射线MN的垂线,Q为垂足;(2)过点P画射线BN的垂线,交射线BN反向延长线于Q点;(3)过点P画线段AB的垂线,交线AB延长线于Q点.PM A NPBPBA学生画完图后,教师归结:画一条射线或线段的垂线, 就是画它们所在直线的垂线.三、小结本节学习了互相垂直、垂线等概念, 还学习了过一点画已知直线的垂线的画法,并得出垂线一条性质,你能说出相关的内容吗?四、作业1.课本P7练习,P9.3,4,5,9.2.选用课时作业设计.一、判断题.1.两条直线互相垂直,则所有的邻补角都相等.( )2.一条直线不可能与两条相交直线都垂直.( )3.两条直线相交所成的四个角中,如果有三个角相等,那么这两条直线互为垂直.( )二、填空题.1.如图1,OA⊥OB,OD⊥OC,O为垂足,若∠AOC=35°,则∠BOD=________.(1)ODC BA (2)O DCBAE(3)O D CBA2.如图2,AO⊥BO,O 为垂足,直线CD 过点O,且∠BOD=2∠AOC,则∠BOD=________.3.如图3,直线AB 、CD 相交于点O,若∠EOD=40°,∠BOC=130°,那么射线OE 与直线AB 的位置关系是_________. 三、解答题.1.已知钝角∠AOB,点D 在射线OB 上. (1)画直线DE⊥OB;(2)画直线DF⊥OA,垂足为F.2.已知:如图,直线AB,垂线OC 交于点O,OD 平分∠BOC,OE 平分∠AOC.试判断OD 与OE 的位置关系.E ODC BA3.你能用折纸方法过一点作已知直线的垂线吗?作业答案:一、1.× 2.∨ 3.∨二、1.145° 2.60° 3. 互相垂直 三、1.略 2.互相垂直 3.可以.将已知直线折叠使折线过这个已知点,那么这条折线是已知直线的垂线,因为折线把平角分成两个相等的角,所以每个角为90°.5.1.2垂线(第2课时)垂线(二)教学目标1.经历观察、操作、想像、归纳概括、交流等活动，进一步发展空间观念，用几何语言准确表达能力。
5.1.2垂线正式版(1)
BD 的长度
的长度.
BD .的距离.
B
E
AD
C
AO
B
∴ ∠DOB=40°(互余的定义)
C
F
∴ ∠AOC= ∠DOB=40°（对顶角相等）
又∵OB平分∠DOF ∴ ∠BOF= ∠DOB=40°（角平分线定义）
∴ ∠EOF= ∠EOB+ ∠BOF=90°+40°=130°
∴ ∠COF=∠COD－∠DOF=180°－80°=100°
(邻补角定义)
1.垂线的画法：
D
∴ ∠ EOD= ∠ EOB+ ∠ BOD
=90 °+55 °=145 °
例2 如图,直线AB、CD相交于点O,OE⊥AB于
O，OB平分∠ DOF，∠DOE=50°,求∠AOC、
∠ EOF、 ∠ COF的度数. E
解: ∵ AB⊥OE （已知）
D
∴ ∠EOB=90°(垂直的定义)
∵ ∠DOE= 50° （已知）
A
B
B
练习
1、如图，分别过A、B、C 作BC、AC、AB的垂线。
A
解：如图、AD⊥BC于D、 BE⊥AC于E、CF⊥AB于F
2、如图，过P分别作OA、
OB的垂线。
O
解：如图、PM⊥OA于M、 PN⊥OB于N
B F
CE D MA
P
NB
3、下面四种判定两条直线的垂直的方法，正确
的有（ A ）个
（1）两条直线相交所成的四个角中有一个角是
∴ ∠AOD=90° （垂直的定义）
应用垂直的定义：∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°
二、例题
例1 如图，直线AB、CD相交于点O， OE⊥AB，∠1=55°,求∠EOD的度数.
5.12 垂线
C A
1（2） （ 4O ）3
B D
例1 如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB， ∠1=55°,求∠EOD的度数.
CE
A1
O
B
D
探究新知
问题:
1、已知直线m，如何画直线m的垂线,可以画几条?
m
O
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
孝感市文昌中学学生专用尺
Cm
探究新知
问题:
1、已知直线m，如何画直线m的垂线,可以画几条?
3、垂线的性质（1）
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知 直线垂直
布置作业
p练祝8页习同,题学第：们5、9、学6题1习0 进步！
O
黄义卿
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
孝感市文昌中学学生专用尺
Cm
5.1.2 垂线(1)
A
定州市留早初级中学
O
黄义卿
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
孝感市文昌中学学生专用尺
Cm
5.1.2 垂线(1)
A
定州市留早初级中学
O
黄义卿
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
如图： 可表示为：a⊥b或b⊥a,
若要强调垂足，
a
b O
则记为：a⊥b, 垂足为O
2.垂直的书写形式：
如图，当直线AB与CD相交于O点，
∠AOD=90°时，AB⊥CD，垂足为O。
书写形式：
A
D
① ∵∠AOD=90°（已知）
O
∴AB⊥CD（垂直的定义）
C
B
反之，若直线AB与CD垂直，垂足为O，那么，
人教版 七年级数学下册 5.1.2 垂线(一) 精品课时作业习题(含解析)
作业2 §5.1.2 垂线(一)典型例题【例1】 ①两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直；②两条直线相交，若有一组对顶角互补，则这条直线互相垂直；③两条直线相交，若所成的四个角相等，则这两条直线垂直；④两条直线相交，若有一组邻补角相等，则这两条直线垂直.其中说法正确的有( )A.1个B.2个C. 3个D. 4个【解析】 题中的4个说法，都是关于两条直线垂直的判定问题.根据垂直定义，只要推出两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，就可以判断两条直线互相垂直.①是垂直的定义，所以正确；②有一组对顶角互补，因为对顶角相等，所以这两个角都是90°，所以正确；③两条直线相交，所成的四个角相等，都是90°，所以正确；④有一组邻补角相等，而邻补是互补的，所以这两个角都是90°，所以正确.【答案】 D【例2】 如图5-16，过点A 、B 分别画OB 、OA 的垂线.图5-16 图5-17【解析】 画线段或射线的垂线，就是画这条线段或射线所在直线的垂线，本例中的垂足分别在OB 的反向延长线上和OA 的延长线上.【答案】如图5-17所示，直线AE 为过点A 与OB 垂直的直线，垂足为E;直线BD 为过点B 与OA 垂直的直线，垂足为D.【例3】 如图5-18，点O 为直线AB 上一点，OC 为一射线，OE 平分∠AOC ，OF 平分∠BOC(1)若∠BOC=50°，试探究OE 、OF 的位置关系；(2)若∠BOC=α(0°＜x ＜180°)，(1)中OE 、OF 的位置关系是否仍成立?请说明理由，由此你发现了什么规律?图5-18【解析】 要探究OE 、OF 的位置关系，可先用三角尺或量角器检测∠EOF 的大小来判断OE 、OF 的关系，再通过计算加以说明；第(2)问用代数代表示∠EOF ，再归纳出结论.【答案】 (1)由量角器测得∠EOF=90°,因此OE ⊥OF.由邻补角的定义，可得∠AOC=180°-∠BOC=130°.由OE 平分∠AOC ，OF 平分∠BOC 可得∠COF=21∠BOC=25°， ∠COE=21∠AOC=65°. 所以∠EOF=∠COF+∠COE=90°.因此OE ⊥OF.(2)OE ⊥OF 仍成立.因为∠AOC=180°-α，∠COF=21α，∠COE=21(180°-α)=90°-21α. 所以∠EOF=∠COF+∠COE=21α+(90°-21α)=90°. 由此发现:无论∠BOC 度数是多少，∠EOF 总等于90°.即邻补角的平分线互相垂直.总分100分 时间40分钟 成绩评定___________一、填空题(每题5分，共50分)课前热身1.两条直线互相垂直时，所得的四个角中有__________个直角.答案：42.过一点________条直线与已知直线垂直.答案：有且只有课上作业3.如图5-19，OA ⊥OB 于O ，直线CD 经过点O ，∠AOD=35°，则∠BOC=________.答案：125°4.如图5-20，直线AB 与CD 相交于点O ，EO ⊥AB 于O ，则∠1与∠2的关系是________.图5-19 图5-20答案：互为余角5.如图5-21，O 是直线AB 上一点OC ⊥OD ，有以下两个结论:①∠AOC 与∠BOD 互为余角；②∠AOC 、∠COD 、∠BOD 互为邻补角.其中说法正确的是________(填序号).图5-21 图5-22答案：①6.如图5-22，已知OC ⊥AB ，OE ⊥OD ，则图中互余的角共有________对.答案：4课下作业7.如果CD ⊥AB 于D ，自CD 上任一点向AB 作垂线，那么所画垂线均与CD 重合，这是因为________. 答案：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直8.如图5-23，直线AB 、CD 、EF 交于一点O ，CO ⊥EF 且∠GOB=30°，∠AOC=40°，则∠COE=________. 答案：20°9.从钝角∠AOB 的顶点O 引射线OC ⊥OA ，若∠ACO ∶∠COB=3∶1，则∠AOB=________.答案：120°10.如图5-24，直线AB 、CD 相交于O ，EO ⊥AB ，OB 平分∠DOF ，若∠EOC=115°，则∠BOF=________.∠COF=________.图5-23 图5-24答案：25°；130°二、选择题(每题5分，共10分)模拟在线11.(辽宁)如图5-25，∠PQR 等于138°，SQ ⊥QR ，TQ ⊥PQ 则∠SQT 等于( )A.42°B.64°C.48°D.24°图5-25答案：A12.(四川)如图5-26所示，AB 、CD 相交于点O ，OE ⊥AB ，那么下列结论错误的是( )A.∠AOC 与∠COE 互为余角E.∠BOD 与∠COE 互为余角C.∠COE 与∠BOE 互为补角D.∠AOC 与∠BOD 是对顶角图5-26答案：C三、解答题(每题20分，共40分)13.OC 把∠AOB 分成两部分且有下列两个等式成立：①∠AOC=31直角+31∠BOC ；②∠BOC=31平角-21∠AOC ，问∶ (1)OA 与OB 的位置关系怎样?(2)OC 是否为∠AOB 的平分线?并写出判断的理由.答案：(1)OA ⊥OB (2)O(C 为∠AOB 的平分线，因为∠BOC=∠AOC=45°.14.如图5-27，已知AB 、C D 、EF 相交于点O ，EF ⊥AB ，OG 为∠COF 的平分线，OH 为∠DOG 的平分线.图5-27(1)若∠AOC∶∠COG=4∶7，求∠DOF的大小；(2)若∠AOC∶∠DOH=8∶29，求∠COH的大小.答案：(1)∠DOF=110°(2)∠COH=107.5°。
5.1.2垂线(1)
5.1.2 垂线（第一课时）【概念】1.如图，当∠AOC=90°时，直线AB,CD互相垂直，记作AB⊥CD, 交点O叫做垂足。
读作AB垂直于CD。
其中，直线AB（或CD）叫做直线CD（AB）的垂线。
2.画垂线的基本方法：一贴：三角尺的一条直角边贴住已知直线；二靠；另一条直角边靠住已知点三画：按要求画垂线3.在同一个平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直4.连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
【典型例题】1.如图，直线AB、CD相交于O点，当︒∠90AOC时，∠BOD=________°，=∠BOC=________°直线AB、CD的位置是_________关系，记作____________。
2.如图，AB、CD相交于点O,OE⊥AB于O，∠1=30°，则∠1=___________°，∠COA=___________°3.画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线，如图，请过点P画出线段AB的垂线PN。
4.如图，直线AB、CD相交于点O，（1）若AB⊥CD,则∠AOC=∠BOC=∠BOD=∠AOD=_________°；（垂直的定义）（2）若∠AOC=90°，则AB⊥_______。
（垂直的定义）5.如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于O，∠COE=55°，则∠BOD的度数是（）A.40°B.45°C.30°D.35°6.已知，如图，（1）在图①中过点P画直线AB的垂线PN，垂足为N；（2）在图①中过点P画AP的垂线MP，交AB于M；（3）在图②中过点P画PC⊥AB,垂足为C.图①图②7.如图，已知直线MN和PQ互相垂直，O是垂足，RS是过O点的直线，∠1=50°则∠1=（）A.50°B.40°C.60°D.以上都不对8.如图，AB⊥CD与点B，BE是∠ABD的平分线，则∠CRE的度数为___________。
5.1.2-垂线
用“⊥”和直线字母表示垂直
a
αb O
例如、如图，a、b互相垂直, 垂足为O， 则记为：
a⊥b或b⊥a,
若要强调垂足，则记为：a⊥b于O.
日常生活中,两条直线互相垂直的情形很常 见,说出图5.1-6中的一些互相垂直的线条.
你能再举出其他例子 吗?
A
D
如图，当直线AB与CD相交于O点，
∠AOD=90°时，AB⊥CD，垂足
无数条
如图，已知直线 l和 上l 的一点A ,作 的l垂
线.
B 则所画直线AB是过
点A的直线l的垂线.
A
l
1: 放三角板,把三角板的一直角边放在已知直线上;
2:移动三角板到已知点;
3:沿着三角板的另一直角边画出垂线.
如图，已知直线 l和 外l 的一点A ,作 的l垂
线.
请同学们
A
则所画直线AB是过点
注意: 过一点画已知线段(或射线)的垂线,就是画
这条线段(或射线)所在直线的垂线.
练习一、
E
E
E 注意:画线段(或射线)的 垂线时,有时要将线段延 长(或将射线反向延长)后 再画垂线.
如图，分别过A、B、C作 BC、AC、AB的垂线。
A
解：如图、AD⊥BC于D、 BE⊥AC于E、CF⊥AB于F
B F
在相交线的模型中,固定木条a,转动木条b,
5.1.2垂线__学科信息：数学-人教版-七年级下
能作一条,而且只能作一条.
结论: 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
注意: 过一点画已知线段(或射线)的垂线,就
是画这条线段(或射线)所在直线的垂线.
5.1.2垂线
人教版本七年级下册第5章5.1.2垂线
练习3.
①过点P 向线段AB 所在直线引垂线，正确的是（C ）.
A
B
C
D
5.1.2垂线
②、
观察与思考
在相交线的模型中,固定木条a,转动木条b,
当b的位置变化时,a、b所 b 成的角α也会发生变化. b
b
bb
当α =90°时,a与b垂直.
α ）α
当α ≠90°时,a与b不垂
a
直，叫斜交.
斜交 两条直线相交
垂直 垂直是相交的特殊情况
5.1.2垂线
一、垂直的定义
人教版本七年级下册第5章5.1.2垂线
1.垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有
一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条
直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足。a
例如、如图，a、b互相垂直,O叫垂 足.a叫b的垂线，b也叫a的垂线。
b O
从垂直的定义可知， 判断两条直线互相垂直的关键：
只要找到两条直线相交时四个交角中一个角 是直角。
人教版本七年级下册第5章5.1.2 垂线
5.1.2 垂线
5.1.2垂线
入水姿势
人教版本七年级下册第5章5.1.2垂线
5.1.2垂线
复习：
一
般
情
况
两 条 直 线 相 交
特殊情况
人教版本七年级下册第5章5.1.2垂线
对顶角：相等
C
2O
5.1.2-垂线
问题:过已知直线 l 和l上(或外)的一 点A ,作l的垂线,可以作几条? 能作一条,而且只能作一条. 垂线基本性质 在平面内，经过直线上或直线外一点 作已知直线的垂线，有且只有一条。 简记：过一点有且只有一条直线与已 知直线垂直. 注意: 过一点画已知线段(或射线)的垂线,就是 画这条线段(或射线)所在直线的垂线.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Cm
A l
1放、 2靠、 3画线、
O
孝感市文昌中学学生专用尺
如图，已知直线 l 和l上的一点A ,过点A作l 的垂线. 则所画直线AB B 是过点A的直线l的 垂线.
A
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
l
1放:放直尺,直尺的一边要与已知直线重合; 2靠:靠三角板,把三角板的一直角边靠在直尺上; 孝感市文昌中学学生专用尺 3移:移动三角板到已知点; 4画线:沿着三角板的另一直角边画出垂线.
如果两条直线的夹角为直角，就称这两 条直线互相垂直，其中一条直线叫另一 条直线的垂线，它们的交点叫垂足。
如图，a、b互相垂直,O 叫垂足.a叫b的垂线，b 也叫a的垂线。 a b O
判定两条直线互相垂直的关键： 只要找到两条直线相交时四个交角中一个 角是直角。
2.垂直的表示： 用符号“⊥” 表示垂直.
两条直线相交形成四个小于 平角的角，其中不大于直角 的角叫做两条直线的夹角。
即两直线夹角 90
若两条直线的夹角为锐角，则称这两条直 线互相斜交，其中,转动木条b, b b b 当b的位置变化时,a、b所 b b 成的角α也会发生变化. α α ） 当α ≠90°时,a与b斜交. a 当α =90°时,a与b垂直. 两条直线相交 斜交 垂直 两直线的夹角为90度
5.1.2垂线 (教学课件)- 初中数学人教版七年级下册
注意： （1）“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可 以在已知直线外； （2）“有且只有”中，“有”指存在，“只有”表 示唯一性.
如图，从A点向已知直线 l 画一条垂直的线段和几条不垂直的 线段.
思考：
1.线段AB, AC, AD , AE 谁最短？ 线段AD的长度叫做点A到直线l的距离.
2.你能用一句话表示这个结论吗？
A
垂线的性质2：连接直线外一点与直线上各 点的所有线段中垂线段最短.简单说成：垂线 段最短
B
CD
l E
1.两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能判定两条直 线垂直的是( )
A. 存在两个角相等 B.存在邻补角 C. 存在三个角相等 D.有两对邻补角
2.过点P 向线段AB 所在直线作垂线，正确的是（ ）
二、垂线的符号语言
如右图，当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90°时，AB⊥CD，垂 A 足为O.
符号语言： ①判定：∵∠AOD=90°, ∴AB⊥CD.
反之，若直线AB与CD垂直,垂足为O，那么∠AOD=90°.
C
OD
B
符号语言：②性质：∵ AB⊥CD , ∴ ∠AOD=90° .
(∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°)
三、垂线的性质
1、画已知直线l的垂线能画几条?如图，已知直线 l,作l的垂线.
A
1.放
2.靠
3.画
l
O
无数条
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
孝感市文昌中学学生专用尺
Cm
2、过直线l上的一点A画l的垂线,这样的垂线能画几条? 如图，已知直线 l 和l上的一点A ,作l的垂线.
5.1.2 垂线(1)
The perpendicular line
泸州市蓝田中学 罗宏
学习目标
1．从实际问题发现两条直线的垂直关系及垂直
的第一个性质， 培养学生发现问题能力．
2．通过用三角板或量角器过一点画已知直线的 垂线，培养学生画图的基本技能． 3．通过学习垂直的表示方法，使学生建立初步 的符号感． 4．能初步运用垂直的定义解决有关问题.
垂直的定义
b
a
a
观察 A
观察
两条直线相交所成的
D
C
角中，如果有一个角
O B
等于90°，就说这两
条直线互相垂直。
定义的解读
A
2．符号：“⊥”读作“垂直于
D
C
O B
3、垂直在图中的用“ ” 4、正向理解 ∵∠AOD=90 ° ,（已知） ∴AB⊥CD （垂直的定义）
1．定义：当两条直线相
交所成的四个角中，有一 个角是直角时，就说这两 条直线是另一条直线的垂
条直线互相垂直，其中一 5、逆向理解
线，交点叫做垂足．
∵AB⊥CD, （已知） ∴ ∠AOD=90 （垂直的定义） °
生活中的垂直
垂直的性质
用三角尺和量角器画已知直线l的垂线，这样的垂
线能画出几条？ A
A
观察
l
观察
l
操作方法：一贴、二靠、三画. 垂直的性质：经过一点有且只有一条直线与已知 直线垂直.
3. 如图，过点 A 作 AD ⊥ CB ，垂足为 D 。过点 B 作
BE⊥AC，垂足为E。
运用探究
如图， O 为直线 AB 上一点，∠ BOC=3 ∠ AOC ，
OC 是∠ AOD 的平分线 . （ 1 ）求∠ COD 的度数； （2）判断OD与AB的位置关系，并说明理由. 解：（1）∵∠BOC=3∠AOC，
5.1.2 垂 线 (第1课时)
知识拓展
(1)垂直是相交线中一种特殊形式,当垂直时,这个公 共点即为垂足. (2)线段与线段、线段与射线、射线与射线、线段 与直线或射线与直线垂直,特指它们所在的直线互相垂 直. (3)根据两条直线互相垂直的定义可知:若两条直线 互相垂直,则所成的四个角都为直角;反之,若两条直线 相交所成的四个角中的任意一个角等于90°,则这两条 直线互相垂直.
【思考】
生活中有许多垂直的例子,你能举出一些例子吗?
例：如图所示,三条直线相交于点O.若
CO⊥AB,∠1=56°,则∠2等于 B
A.30° C.45° B.34° D.56°
(
)
〔解析〕∠1和∠2既不是对顶角也不是邻补角,这就需要根据给出的 ∠1的度数和相关位置进行思考.根据已知条件,把CO⊥AB转化为 ∠AOC=∠COB=90°是关键.发现∠AOD,∠DOB分别是∠2的邻补角 和对顶角后,问题即可解决.方法1:因为CO⊥AB,所以∠COB=90°,所 以∠DOB=90°-∠1=90°-56°=34°.所以∠2=∠DOB=34°(对顶角 相等).方法2:因为CO⊥AB,所以∠COB=90°,所以 ∠AOD=90°+∠1=90°+56°=146°.所以∠2=180°-146°=34°(邻 补角互补).
(3)画垂线时是实线,此时如需延长线段或反向延长射 线,要用虚线延长或反向延长.
课堂小结
1.垂线的概念: 当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直 角时,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线 叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足.
课堂小结
2.垂线的性质:
(1)在同一平面内,过一点有且只有一条直线与 已知直线垂直.
七年级数学· 下 新课标[人]
第五章
5.1.2垂线(1) 任晓丽
2、判断题.（1）两条直线互相垂直,则所有的邻补角都相等.(
（2）两条直线相交所成的四个角中,如果有三个角相等,那么这两条直线互相垂 直.( ) （3）两条直线相交有一组对顶角互补，那么这两条直线互相垂直.( ).
3、填空题. （1）如图 1,OA⊥ OB,OD⊥ OC,O 为垂足,若∠ AOC=35° ,则∠ BOD=________. （2）如图 3,直线 AB、CD 相交于点 O,若∠ EOD=40° BOC=130° ,∠ ,那么射线 OE 与 直线 AB 的位置关系是_________. B
图1 图2 C 【定义】当两条直线 AB、CD 所构成的四个角有一个角为_____时，直线 AB、CD 互相垂直。 用几何语言记作“_______________” ，他们的交点 O 叫做_______。 我们把其中一条直线叫做另一条直线的________。 注：垂线的定义有以下两种含义： A A C 1 D C B (1) ∵ AB⊥ CD ∴ ___________（垂线的定义） 1 B D
襄阳市樊城区
上课时间：
中七年级数学学科课堂导学案
年 月 日 星期：
第
周
第
课时
备课组长签字：
蹲点领导签字：
课题： 5.1.2 垂线（第一课时）
课型：自学+展+评 （新授课）
主备人：任晓丽
复备人：
学习目标： 1、通过继续研究两条直线相交认识垂直和垂线，知道垂直是直线相交中的特殊位置关系并能用符号表示； 2、在探究中我将学会用三角尺或量角器画一条直线的垂线的方法；并归纳出垂线的基本性质； 3、在学习活动中形成良好的情感、合作交流、主动参与的意识，在独立思考的同时能够倾听他人意见。 一、明确目标（ （在教师的设疑、创景下，学生解读学习目标，从而基本明晰 活动 2：过直线 AB 上一点 P，求作直线 CD，使得 AB⊥CD，这样的垂线有_______条。 学习任务。 ） 活动 3：过直线 AB 外一点 P，求作直线 CD，使得 AB⊥CD，这样的垂线有_______条。 P 如图，若两条直线的夹角∠1=60°，那么∠2=_______、∠3=_______、 D P ∠4=_______ P P A B A B P B O A 由 2,3 我们可归纳垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有______条直线与 P C 二、思考探究（阅读课本 P3-5）回答问题： .. 已知直线垂直。 ． 1．垂直、垂线定义 3.练一练：P5 练习 ） 如图 1，直线 AB 与 CD 相交于点 O，现我们将直线 CD 绕着点 O 旋转，当∠BOD 为_____时（如图 2） ，其他三个角也都为_______. D D A ． C
5.1.2垂线(1)
2
D
E
练习
如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB， ∠1=55°,求∠EOD的度数. C E
A
1( O D
B
三.动手操作 问题：怎么样画已知直线的垂线？
1.用三角尺画垂线
(1)如图，已知直线 L,作L的垂线。
A
问题： 这样画L的 垂线可以 画几条？
1靠、 2画线、
O
L
无数条
(2)如图，已知直线 L 和L上的一点A ,作L的 垂线. 问题： B 则所画直线AB是过 这样画L的 点A的直线L的垂线. 垂线可以 画几条？ L
总结：
根据以上的操作，你能得出什么结论？ 垂线的第一性质：
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
注意：
（1）“过一点”中的点，可以在已知直线上， 也可以在已知直线外。 （2）“有且只有”中，“有”指存在， “只有”指唯一性。
练一练
1、 两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能判 定两条直线垂直的是( （A） 有两个角相等 （C） 有三个角相等
1 条
A
1靠（线）:把三角板的一直角边靠在直线上; 2过（点）:三角板的另一条直角边过已知点; 3画（线）:沿着三角板的另一直角边画出垂线.
(3)如图，已知直线 L 和L外的一点A ,作L的 垂线. 问题： 这样画L的 垂线可以 画几条？ 1 条
A
则所画直线AB是过点 A的直线L的垂线.
B
L
1靠（线）:把三角板的一直角边靠在直线上; 2过（点）:三角板的另一条直角边过已知点; 3画（线）:沿着三角板的另一直角边画出垂线.
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角 时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条 直线的垂线，它们的交点叫垂足。
5.1.2 垂线(1)
A
C
B
O
(2)
D
五、强化训练
3、如图所示，直线AB⊥CD于点O，直线EF经过 点O，若∠1=26°，求∠2的度数． 解： ∵ ∠1=26°， ∠DOF= ∠1
∴ ∠DOF=26° ∵ AB⊥CD ∴ ∠AOD=90° ∴ ∠2= ∠AOD﹣ ∠DOF
第五章 相交线和平行线 5.1.2 垂线（1）
二、学习目标
1 经历观察、操作、想像、归纳概括、交流等 活动,培养用几何语言准确表达的能力。
2 了解垂直概念,能说出垂线的性质。
3 会用三角尺或量角器过一点画一条 直线的垂线.
一、新课引入
1.学生观察思考:固定木条a,转动木条b, 当b的位 置变化时,a、b所成的角也发生变化。当 =90°时，会有特殊情况出现，a、b所成的四个 角有什么特殊关系?
记作 AB⊥C，D此时，∠AOD=∠COA = ∠DOB = ∠BOC =90°
点
A
一
C
D
O
B
三、研读课文
2、如图所示，OA⊥OB，OC是一条射线，若
知 ∠AOC=120°，求∠BOC度数
识 点 解：∵ OA⊥OB
一
∴∠AOB=90°
∵ ∠AOC=120°
∴ ∠BOC=∠AOC﹣∠AOB
=120 °﹣90°=30°
三、研读课文
垂线公理
知
在同一平面内，过一点有且只有 一条 直线与
识
已知直线垂直。
点 二
观察下图，分析探究作直线的垂线的方法，然 后作图：
三、研读课文
(1)过直线L外一点A作直线a与
A
5.1.2垂线
第2课时 垂线
如图，直线AB、CD相交于点O. 若∠AOC+∠BOD=100°，
求各角的度数.
解：因为∠AOC+∠BOD =100°且两角互 A 为对顶角， 所以依据对顶角相等的性质可得， ∠AOC =∠BOD = 50°， 所以∠AOD =∠BOC = 130°.
C O D B
引入新知
解：因为 AB⊥OE （已知）， 所以∠EOB=90°（垂直的定义）. 因为 ∠BOD =∠1=55° （对顶角相等）， 所以 ∠EOD =∠EOB +∠BOD =90°+55° =145°.
A
C
E
1
O D B
在灌溉时，要把河水中的水引到农田P处，如何挖掘能使渠
道最短？ 画图并用尺量一下，
看看哪一条线段最短？
2.靠
O
l
3.画线
这样画l的垂线可以画几条？
0 1 2 3 4 5 6 7
8
9
无数条
10
11 Cm
如图，已知直线 l和l上的一点A ，过点A作l 的垂线.
B
A
l
0
1
2
3
则所画直线AB是过点A的直线l的垂线.
4 5 6 7 8 9 10 11 Cm
如图，已知直线 l 和l外的一点A，过点A作l的垂线.
B
C
巩固练习
1.如图，分别过A、B、C作BC、AC、AB的垂线.
F A D C
B
E
课堂小结
1.垂线：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直
线垂直. 2.垂线段：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂
线段最短. 3.直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的 距离.
5.1.2垂线
日常生活中,两条直线互相垂直的情形很常 见,说出图5.1-6中的一些互相垂直的线条.
你能再举出其他例子吗?
十字路口的两条道路
围棋盘的横线和竖线
铅垂线和水平线
a
b
A O C 图2
D
O
图1 M A N B 图4
B A O B
图3
2.垂直的表示：
1）图形： 2）文字：a、b互相垂直, 垂足为O
a
则所画直线AB是过 点A的直线l的垂线.
A
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
l
1放:放直尺,直尺的一边要与已知直线重合; 2靠:靠三角板,把三角板的一直角边靠在直尺上; 孝感市文昌中学学生专用尺 3移:移动三角板到已知点; 4画线:沿着三角板的另一直角边画出垂线.
11 Cm
1.垂线的画法： 如图，已知直线 l 和l外的一点A ,作l的垂线.
拓展应用2
问题1：长方体的顶点A处有一 只蚂蚁想爬到点C处，请你帮 它画出爬行的最佳路线。并说 明理由。 F问题2：若A处的蚂蚁想爬到棱 BC上，你认为它的最佳路线是 什么？ E 问题3：若蚂蚁在点M处，想爬 到棱BC上，请你设计一条最佳 路线。
G D M· C
┏
N B
· A
小结：
1、垂线的定义
l A
l A
解:过P点作PA⊥l于点
A ，垂线段PA的长度就 是该同学的跳远成绩.
P
练习3. ①过点P 向线段AB 所在直线引垂线，正确的是（ C ）. A B C D
②、
E E
E 注意:画线段(或射线)的 垂线时,有时要将线段延 长(或将射线反向延长)后 再画垂线.
练习5、 点O是直线AB上的一点， OC是射线， OE平分∠AOC， OF平分∠BOC，试确定OE与
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3．如图，AOB为直线，∠AOD：∠DOB=3：1，OD平分 ∠COB． （1）求∠AOC的度数；（2）判断AB与OC的 位置关系． C
D
A O B
检测反馈 1.到直线L的距离等于2cm的点有( ) A.0个 B.1个; C.无数个 D.无法确定 2.如图1，已知直线AB、CD、EF相交于点O， AB⊥CD，∠DOE=127°，则∠COE= °， ∠AOF= ° 3.如图2所示，直线AD与直线BD相交于点 ， BE⊥ 垂足为点 ，点B到直线AD的距离是线 段BE的长度，点D到直线AB的距离是线段 的 D 长度。 C
自主学习： 1、观察思考：转动两条相交线，观察两条直线 所成的夹角的变化。当夹角变化到 °时，就 是我们今天要研究的两条直线垂直。 2、定义：两条直线相交所成的四个角中，有一 个角是 时，这两条直线就互相垂直。其中一条 直线叫做另一条直线的 ，它们的交点叫做 。 如右图，垂足是______。垂直用符号________来 C 表示，读作__________，
C
A
B
检测反馈 1、下列说法： ①一条直线只有一条垂线； ②画出点 P到直线l的距离；③两条直线相交就是垂直； ④线段 和射线也有垂线。其中正确的有＿＿＿＿ 2、如图，点O在直线AB上，且OC⊥OD,若∠COA=36° 则∠DOB的大小为（ ） C D A.36° B.54° C.64° D.72°
学习目标：
（1）理解垂线、垂线段的概念，会用三角 尺或量角器过一点画已知直线的垂线．理 解点到直线的距离的概念，能度量点到直 线的距离．掌握垂线的性质． （2）通过观察、思考、探究等活动归纳出 垂线的概念和性质，并利用所学知识进行 说理，体会从一般到特殊的方法，提高逻 辑思维能力．通过利用垂线的性质解决简 单的实际问题，提高应用意识．
木条a，转动木条b． （1）当a与b所成锐角α为35º 时，其余的角分别为 多少？ （2）当a与b所成角α为90 º 时，其余角的分别 为多少？
问题1： 取两根木条a、b，将它们钉在一起， 固定木条a，转动木条b．
（3）木条b与a成90º 的位置有几个？此时，木条 b与a所在的直线有什么位置关系？
3、过直线外一点o,作已知直线a的垂线， o 可作几条？ a
A O B
D
自主学习： 1.垂线的性质⑴：过一点 条直线与已 知直线垂直. 2.垂线的性质⑵：连接直线外一点与直线上 各点的所有线段中， 。 简单说成： 。 3.点到直线的距离：直线外一点到这条直线 的 ，叫做 。
小组讨论和展示提升
问题1： 取两根木条a、b，将它们钉在一起，固定
E A F D B
E A
B
C
本节课你有哪些收获，还 有哪些疑问？
作业 必做题：
教科书 习题5.1 第5、6、7题
选做题：
已知:如图,直线AB,射线OC交于点O,OD平分 ∠BOC,OE平分∠AOC.试判断OD 与OE的位 置关系.
如图：直线AB与直线CD相交于点O ，OE⊥AB，已知∠BOD=45， 求∠COE的度数。 E
45° A O C B
小组讨论和展示提升
问题1： 思考：如右图，在灌溉时，要把河中的水
引到农田P处，如何挖渠才能使渠道最短？
问题2： 如图，已知三角形ABC中，∠BAC为 钝角。 （1）画出点C到AB的垂线段； （2）过点A画BC的垂线； （3）点B到AC的距离是多少？