26.1二次函数y=ax2+c Microsoft Word 文档
26.1.2二次函数y=ax2的图象和性质
3、抛物线y=ax2 与y=-ax2有何关系？
作业：练习册相关题目
再 见
知识剖析
1、一次函数的图像有何特征？ 一次函数的图像是一条直线 。 当 k>0 时，y随x的增大而增大； 当 k<0 时，y随x的增大而减小。
2、反比例函数的图像有何特征？
反比例函数的图像是 双曲线 ，共有 两 支， 且关于 原点 对称。 当 k>0 时，图像在 一、三 象限，在每个象 限内y随x的增大而减小； 当 k<0 时，图像在 二、四 象限，在每个象 限内y随x的增大而 增大 。
？
yx
2
当x<0 (在对称轴的 左侧)时,y随着x的增大而 减小.
当x>0 (在对称轴的 右侧)时, y随着x的增大而 增大.
当x=-2时，y=4 当x=-1时，y=1
抛物线y=x2在x轴的 上方(除顶点外),顶点 是它的最低点,开口 向上,并且向上无限 伸展;当x=0时,函数y 的值最小,最小值是0.
当x=1时，y=1 当x=2时，y=4
做一做
描点,连线 2
-4 -3 -2 -1
y
-1
-2 -4 -6
?
-8 -10
0 1 2 3 4 x
2 y=-x
画一画
在同一坐标系中画出函数x<0 (在对称轴的 左侧)时,y随着x的增大而 增大.
y x
2
当x>0 (在对称轴 的右侧)时, y随着 x的增大而减小.
O
(2)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么? (3)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么? 你是如何知道的？ (4)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？ 当x>0呢？
26.1二次函数教案[修改版]
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第一篇：26.1二次函数教案26．1 二次函数[本课知识要点]通过具体问题引入二次函数的概念，在解决问题的过程中体会二次函数的意义．[创新思维]（1）正方形边长为a（cm），它的面积s（cm）是多少？s = a（2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长与宽都增加x厘米，则面积增加y平方厘米，试写出y与x的关系式．y = (4+x)(3+x)−4×3 = x+7x222请观察上面列出的两个式子，它们是不是函数？为什么？如果是函数，请你结合学习一次函数概念的经验，给它下个定义．二次函数的概念：形如ax+bx+c = 0(a≠0，a、b、c为常数)的函数叫二次函数．2[实践与探索]例题：补充例题：1．m取哪些值时，函数是以x为自变量的二次函数？分析若函数．解若函数解得因此，当，且，且时，函数．．是二次函数，须满足的条件是：是二次函数，则是二次函数．的函数只有在的条件下才是二次函数．回顾与反思形如探索若函数值？是以x为自变量的一次函数，则m取哪些2．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数．（1）写出正方体的表面积S（cm）与正方体棱长a（cm）之间的函数关系；（2）写出圆的面积y（cm）与它的周长x（cm）之间的函数关系；（3）某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y（元）与所存年数x之间的函数关系；（4）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S（cm）与一对角线长x（cm）之间的函数关系．解（1）由题意，得，其中S是a的二次函数；222（2）由题意，得（3）由题意，得其中y是x的一次函数；，其中y是x的二次函数；（x≥0且是正整数），（4）由题意，得数．，其中S是x的二次函3．正方形铁片边长为15cm，在四个角上各剪去一个边长为x（cm）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子．(1)求盒子的表面积S（cm）与小正方形边长x（cm）之间的函数关系式；(2)当小正方形边长为3cm时，求盒子的表面积．2解（1）（2）当x = 3cm时，；（cm）．2[当堂课内练习]1．下列函数中，哪些是二次函数？（1）（2）（3）（4）为二次函数？2．当k为何值时，函数3．已知正方形的面积为，周长为x（cm）．(1)请写出y与x的函数关系式；(2)判断y是否为x的二次函数．[本课课外作业]A组1．已知函数2．已知二次函数是二次函数，求m的值．，当x=3时，y= -5，当x= -5时，求y的值．3．已知一个圆柱的高为27，底面半径为x，求圆柱的体积y与x的函数关系式．若圆柱的底面半径x 为3，求此时的y．4．用一根长为40 cm的铁丝围成一个半径为r的扇形，求扇形的面积y与它的半径x之间的函数关系式．这个函数是二次函数吗？请写出半径r的取值范围．B组5．对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是（）A．B．C．（D．6．下列函数关系中，可以看作二次函数A．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系）模型的是（）B．我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）圆的周长与圆的半径之间的关系典型例题1．下列各式中，y是x的二次函数的是( ) A．x+y−1 = 0 B．y = (x+1)(x−1)−xC.y = 1+22D.2(x−1)+3y−2 = 0 答案：D2 4说明：选项A、C都不难看出关系式中不含x的平方项，因此，都不满足二次函数的定义，选项B，y = (x+1)(x−1)−x可化简为y = −1，也不满足二次函数的定义，只有选项D是正确的，答案为D．2．下列函数中，不是二次函数的是( )2A．y = 1−x B．y = 2(x−1)+4 C．y =2222(x−1)(x+4) D．y = (x−2)−x22答案：D说明：选项D，y = (x−2)−x可化为y = −4x+4，不是二次函数，而选项A、B、C中的函数都是二次函数，答案为D．3．函数y = (m−3)是二次函数，则m的值为：（答案：−3）说明：因为y = (m−3)且m≠3，即m = −3．4．已知函数y = ( 4a ＋3)是二次函数，所以m2−7 = 2，且m−3≠0，因此有m = ±3，＋x−1是一个二次函数，求满足条件的a的值．解：∵y = ( 4a ＋3)＋x−1是一个二次函数，∴，解得a = 1．习题精选21．在半径为4 cm的圆中，挖去一个半径为x(cm)的小圆，剩下的圆环面积为y(cm)，则y与x之间的函数关系式为( ) A．y = πx−4 B．y = π(2−x)C．y = −(x+4) D．y = −πx+16π答案：D说明：半径为4cm的圆，面积为16π(cm)，挖去的小圆面积为πx(cm)，所以剩下的圆环222面积为(16π-πx)(cm)，即有y =-πx+16π，答案为D．2．若圆锥的体积为Vcm，高为6cm，底面半径为rcm．写出V与r之间的函数关系式，并判断它是否是二次函数?此题考查圆锥的体积公式及二次函数的概念．32222222解：由题意得：V=n+2πr×6，即V=2πr，此函数是二次函数．223．若函数y=2x+1是二次函数，求n的值．此题考查二次函数概念中关于自变量的二次式．解：由题意得：n+2=2 ∴n=04．若函数y=(a−1)x+x+1是二次函数，求a、b的取值范围．b+12 5此题综合考查二次函数的概念，分三种情况讨论：（1）(a−1)x是二次项（2）(a−1)x是一次项（3）(a−1)x是常数项．解：分三种情况：b+1b+1b+1（1）∴b = 1，a≠1（2）∴b = 0，a≠1（3）a−1 = 0 ∴a = 1∴a = 1；b = 0且a≠1且b = 15．一个长方形的周长为50cm，一边长为x(cm)，求这个长方形的面积y(cm)与一边长x(cm)之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围答案：y=−x+25x，0说明：由已知不难得出，该长方形的另一边长为50÷2−x，即25−x，长方形的两边长则分别为x、25−x，而这两边长都应该大于0，即x>0且25−x>0，同时，该长方形的面积为22x(25−x)=−x+25x，即有y=−x+25x，06．小明存入银行人民币200元，年利率为x，两年到期，本息和为y元(以单利计算)．(1)求y与x之间的函数关系式．(2)若年利率为2.25%，求本息和．(3)若利息税率为20%，求到期时，小明实际所得利息．答案：(1)y=200+400 (2)209 (3)7.2元说明：(1)两年到期的利息应该是2×200x，即400x，所以本息和y=200+400x(2)当x=2.25%时，y=200+400×2.25%=209(3)实际所得利息为2×200×2.25%×(1−20%)=7.2．22 6第二篇：《26.1二次函数》教学反思《26.1二次函数》教学反思龙潭镇第一初级中学黄海东这节课是安排在学了一次函数、反比例、一元二次方程之后的二次函数的第一节课，学习目标是要学生懂得二次函数概念，能分辨二次函数与其他函数的不同，能理解二次函数的一般形式，并能初步理解实际问题中对自变量的取值范围的限制。
华师大版数学九年级下册《26.1 二次函数》教学设计3
华师大版数学九年级下册《26.1 二次函数》教学设计3一. 教材分析华师大版数学九年级下册《26.1 二次函数》是学生在初中阶段学习二次函数的起始章节，它是在学生已经掌握了函数概念、一次函数和二次方程的基础上进行的。
本节课的主要内容是介绍二次函数的定义、性质和图像，以及二次函数的顶点公式。
教材通过生动的实例和丰富的练习，帮助学生理解和掌握二次函数的知识，为学生进一步学习高中数学打下坚实的基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对函数概念、一次函数和二次方程有一定的了解。
但二次函数相对于一次函数来说，其图像和性质更加复杂，需要学生通过实例和练习来进一步理解和掌握。
此外，学生的学习兴趣和动机对他们的学习效果有很大影响，因此教师需要设计有趣的教学活动来激发学生的学习兴趣。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解和掌握二次函数的定义、性质和图像，能够运用二次函数的知识解决实际问题。
2.过程与方法：通过实例和练习，培养学生的观察能力、推理能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的合作意识和创新精神。
四. 教学重难点1.重点：二次函数的定义、性质和图像。
2.难点：理解二次函数的顶点公式，并能运用其解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。
通过提出问题，引导学生思考和探索；通过分析具体案例，使学生理解和掌握二次函数的知识；通过小组合作，培养学生的合作意识和解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例和练习题。
2.准备多媒体教学设备，如投影仪和黑板。
3.准备教案和教学笔记。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出问题，引导学生思考和探索二次函数的概念。
例如：“什么是二次函数？它与一次函数有什么区别？”2.呈现（10分钟）通过分析具体案例，使学生理解和掌握二次函数的定义、性质和图像。
例如，展示一个二次函数的图像，引导学生观察其特点。
人教版九年级数学上学期(第一学期)《二次函数》同步练习及答案.docx
第二十六章二次函数26.1 二次函数(一)1.矩形周长是20cm,一边长是x㎝,面积是y㎝2,则y与x的函数关系式是,这个函数称作次函数.2.下列函数y=0.5x-1,y=3x2,y=0.5x2-4x+1,y=x(x-2),y=(x-1)2-x2中,二次函数的个数为( )(A)2个(B)3个(C)4个(D)5个3.k取哪些值时,函数y=(k2-k)x2+kx+(k+1)是以x为自变量是一次函数?二次函数?4.已知等腰直角三角形的斜边长为xcm,面积为ycm2,请写出y与x的函数关系式,并判断它是什么函数?5.如图,正方形ABCD边长是4,E､F分别在BC､CD上,设ΔAEF面积是y,EC=x,如果CE=CF,试求出y与x的函数关系及自变量取值范围,并判定y是x的什么函数?6.已知二次函数y=ax2+c,当x=0时，y=-3;当x=1时，y=-1,求当x=-2时，y的值.7.一块矩形耕地大小尺寸如下图,要在这块地上沿东西方向挖一条水渠,沿南北方向挖两条水渠,水渠宽为xm,余下的可耕地面积为ym2,(1)请你写出y与x之间的函数关系式.(2)根据你写出的函数关系式,求出水渠宽为1m时,余下的可耕地面积为多少?(3)若耕除去水渠剩余部分面积为4408m2,求此时水渠的宽度.26.1二次函数(二)1.已知函数y=ax2的图象过点(2,-4),则a=,对称轴是,顶点坐标是,抛物线的开口方向,抛物线的顶点是最点.2.下列关于函数y=-0.5x2的图象说法( )①图象是一条抛物线;②开口向下;③对称轴是y轴;④顶点(0,0).其中正确的有( )(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个3.已知函数y=x2的图象过点(a,b),则它必通过的另一点是( )(A)(a,-b) (B)(-a,b)(C)(-a,-b) (D)(b,a)4.抛物线y=ax2过A(-1,2),试判断B(-2,-3),C(,)是否在抛物线上.5､已知正方形的对角线长为x,面积为y.(1)写出y与x的函数关系;(2)画出这个函数的图象草图.6.抛物线y=ax2(a≠0)与直线y=4x-3交于点A(m,1),求:(1)点A的坐标及抛物线顶点C的坐标和对称轴;(2)抛物线y=ax2与直线y=4x-3是否还有其他交点?若有,请求出这个交点B的坐标,若没有,请说明理由. 并求点A､B､C三点构成的三角形的面积.2.6.1二次函数(三)1.函数y=-1.5x2+2的图象开口方向,对称轴是,顶点坐标是,当x=时,y最大.2.把抛物线y=-x2向上平移4个单位后,得到的抛物线的函数解析式为,平移后的抛物线的顶点坐标是,对称轴是,与y轴的交点坐标是,与x轴的交点坐标是.3.将抛物线y=2x2-3通过下列( )平移后得到抛物线y=2x2,(A)向下平移3个单位(B)向上平移3个单位(C)向下平移2个单位(D)向上平移2个单位4.已知抛物线的对称轴是y轴,顶点的纵坐标为5,且过点(1,2)求这条抛物线的解析式.5.抛物线y=ax2+c顶点是(0,2),且形状及开口方向与y=-0.5x2相同.(1)确定a､c的值;(2)画出这个函数的图象.6.在同一坐标系中,画出函数y=-x2+2与y=x2-2的图像请分别说出图象的顶点坐标､对称轴及开口方向,并比较两个图像之间有何联系?26.1二次函数(四)1.抛物线y=3(x-2)2的对称轴是( )(A)直线x=2 (B)直线x=-2 (C)y 轴 (D)x 轴2.将抛物线y=3x 2向左平移3个单位所得的抛物线的函数关系式为( )A ､332-=x y B ､2)3(3-=x y C ､332+=x y D ､2)3(3+=x y3.抛物线2)1(--=x y 是由抛物线向平移个单位得到的,平称后的抛物线对称轴是,顶点坐标是,当x=时,y 有最值,其值是.4.用配方法把下列函数化成y=a(x-h)2的形式,并指出开口方向,顶点坐标和对称轴.(1)y=x 2+4x+4(2)y=- x 2+3x-(3)y=2x 2-4x5､已知二次函数图像的顶点在x 轴上,且图像经过点(2,-2)与(-1,-8)求此函数解析式.6.抛物线2)2(-=x a y 经过(1,-1).(1)确定a 的值;(2)画出这个函数图象; (3)求出抛物线与坐标轴的交点坐标.2.6.1 二次函数(五) 1､填表2､下列抛物线顶点是(2,1)的是( )A.1)2(22--=x yB.2)1(32+-=x y C.1)2(22+-=x y D.2)1(42+-=x y 3､抛物线23x y =先向上平移2个单位,后向右平移3个单位,所得抛物线是( )A.2)3(32-+=x y B.2)3(32++=x y C.2)3(32--=x y D.2)3(32+-=x y 4､抛物线的顶点在(-1,-2)且又过(-2,-1). (1)确定抛物线的解析式; (2)画出这个函数的图象.综合与运用5､如图所示,求:(1)抛物线的解析式,(2)抛物线与x 轴的交点坐标.6.某同学在推铅球时,推球经过的路线是抛物线的一部分(如图),出手处A 点坐标是(0,2),最高点B 坐标是(6,5),(1)求此抛物线的函数表达式.(2)你能算出这位学生推出的铅球有多远吗?拓展与探索7.如图,在一幢建筑物里,从10m 高的窗户处用水管斜着向外喷水,喷出的水,在垂直于墙壁的平面内画出一条抛物线,其顶点离墙1m,并且在离墙3m 处落到地面上,问抛物线的顶点比喷出的水高出多少?26.1二次函数(六)1､二次函数322+-=x x y 的顶点坐标是( ) A ､(1,0) B ､(1,2) C ､(2,1) D ､(―1,―2)2､二次函数y= x 2+x-1的图像是由函数y=x 2的图像先向平移个单位,再向平移个单位得到的. 3､用配方法求下列抛物线的顶点坐标和对称轴(1)x x y -=2(2)122+--=x x y4､写出下列抛物线的开口方向､对称轴､顶点坐标,当x 为何值时,y 有最大(小)值?并求其值. (1)y=-x 2+3x-2 (2))12)(2(--=x x y综合与运用5､有一矩形的苗圃,其四周是总长为40m 篱笆,假设它的一边长为xm ,面积为2ym . (1)y 随x 的变化的规律是什么?请分别用函数的表达式､表格､函数的图象表示出; (2)由函数的图象指出当x 取何值时,苗圃的面积最大?最大面积是多少?6､有一条长为7.2m 的木料,做成如图所示的“日”字形的窗柜,窗柜的宽和高各取多少时,这个窗的面积S 最大?最大面积是多少?(不考虑木料加工时的损耗和中间木柜所占的面积)7､心理学家发现,学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x (单位:min)之间满足函数关系y=-0.1x 2+2.6x+43 (0≤x ≤30),y 值越大,表示接受能力越强.(1)x 在什么范围内,学生的接受能力逐步增强?x 在什么范围内,学生的接受能力逐步降低? (2)第10min 时,学生的接受能力是多少? (3)多长时间内,学生的接受能力最强? 复习巩固1､下列函数中,是二次函数的是( )A ､y=0.5(x-3)xB ､y=(x+2)(x-2)-x 2C ､y=-0.75xD ､y=2､抛物线1)1(22+-=x y 的顶点是( ) A ､(1,1) B ､(-1,1) C ､(1,-1) D ､(-1,-1)3､顶点是(-2,0),开口方向､形状与抛物线y=0.5x 2相同的抛物线是( )A ､y=0.5(x-2)2B ､y=0.5(x+2)2C ､y=-0.5(x-2)2D ､y=-0.5(x+2)2 4､抛物线32+=x y 向右平移2个单位,再向上平移3个单位,所得新的抛物线是. 5､写出一个开口向下且对称轴是x=-2的二次函数解析式 6､将二次函数222---=x x y 经配方后得( )A ､3)1(2---=x y B ､3)1(2-+-=x yC ､1)1(2---=x yD ､1)1(2-+-=x y 7､二次函数42-=x y 与x 轴的交点坐标为,8､二次函数a x ax y ++=42的最大值是3,则=a9､将一根铁丝长为x,围成一个等边三角形,则面积S 与周长x 的关系式为. 10､ 根据下列条件,分别确定二次函数中字母系数的值:(1)抛物线c x x y ++=42的顶点在x 轴上;c= (2)抛物线232+-=x ax y 的图像经过点(-1,3)a= (3)抛物线52+-=bx x y 的对称轴是直线x=-2,b=综合与运用11､如图,有一直角梯形的苗圃,它的两邻边借用夹角是135°的两围墙,另外两边用总长为30m的篱笆,问篱笆的两边各是多少米时,苗圃的面积最大?最大面积是多少?12､某商场将进价为30元的台灯以40元售出,平均每月能售出600个,调查表明:这种台灯的售价每上涨1元,其销售量就减少10个.(1)为了实现平均每月10000元的销售利润,这种台灯的售价应定为多少?这时应进台灯多少个?(2)如果商场要想每月的销售利润最多,这种台灯的售价又将定为多少?这时应进台灯多少个?13.某瓜果基地市场部为指导该基地某种蔬菜的生产和销售,在对历年市场行情和生产情况进行了调查的基础上,对今年这种蔬菜上市后的市场售价和生产成本进行了预测,提供了两个方面的信息,如图甲､乙两图请你根据图象提供的信息说明:(1)在3月份出售这种蔬菜,每千克的收益是多少元?(收益=售价-成本)(2)哪个月出售这种蔬菜每千克的收益最大?说明理由.拓展与探索14､已知二次函数y=-0.5x 2+x+1.5 (1)用配方法求它的顶点坐标和对称轴; (2)画出这个函数的图象;(3)根据图象回答:当x 取哪些值时,y =0,y >0,y <0第二十六章答案 26.1二次函数(一)1､x x y 102+-=,二. 2､B 3､k=1,k ≠0且k ≠1.4､241x y =它是二次函数 5､x x y 4212+-= 0<x<4,二次 6､5 7(1)480020022+-=x x y , (2)4602m 2, (3)此时水渠的宽度是2m.26､1二次函数(二)1､-1 y 轴 (0,0) 向下 高 2､D 3､B 4､点B 不在,点C 在 5､(1)221x y = (2)略 6､A 7(1)A(1,1) 顶点C(0,0)对称轴是y 轴.(2)(3,9)3 26､1二次函数(三)1、 下､y 轴､(0,2),1,2 2､42+-=x y (0,4) y 轴 (0,4) (2,0)(-2,0) 3､B 4､532+-=x y 5､(1)2,21=-=c a (2)略 6､顶点坐标分别是(0,2)(0,-2) 对称轴都是y 轴,开口方向向下与向上,两个图象关于x 轴对称, 6､ 26.1二次函数(四)1､A 2､D 3､2x y -= 右 1 直线x=1 1 大草原0 4､(1)2)2(+=x y 开口向上, 顶点(-2,0)对称轴是直线x=-2 (2)2)3(21--=x y 开口向下,顶点(3,0)对称轴是直线x=3 5､2)5(92--=x y 或2)1(2--=x y ,6､(1)-1,(2)略(3) (0,-4)(2,0) 26.1二次函数(五)1､略 2､C 3､D 4､(1)2)1(2-+=x y (2)略5､(1)3)2(432+--=x y (2)(0,0) (4,0 ) 6､(1)5)6(1212+--=x y (2)1526+ 7､310 26.1二次函数(六)1､B 2､左 2 下 2 3､(1)41)21(2--=x y 顶点()41,21- 对称轴是直线21=x (2)2)1(2++-=x y 顶点(-1,2)对称轴是直线x=-1, 4､(1)25)3(212+--=x y 开口向下,顶点(3,)25对称轴是直线x=3,当x=3时,y 有最大值是35 (2)87)45(22--=x y 开口向上,顶点()87,45- 对称轴是直线x=45,当x= 45时,y 有最小值87- 5､(1)变化规律是二次函数､x x y 202+-= 表格与图象略,(2)当x=10m 时,y 的最大值是100m 2,6､宽为,21m ⋅高为m 8.1,最大面积为216.2m . 7､(1) 0≤x ≤13 13<x ≤30 (3)x=13复习题1､A 2､A 3､B 4､6)2(2+-=x y 5､不唯一如2)2(+-=x y 6､D 7､(2,0) (-2,0)8､4或-1 9､2363x y = 10､(1)4 (2)-2 (3)-4 11､直角腰为10m,下底边为20m,最大面积为150m 2.12､(1)当售价定为50元时,销售量为500个,当售价定为80元时,销售量为200个,(2)当售价定为65元时,销售量为350个,获利最大是1225元.13､(1)1元,(2)每千克售价关于月份的函数关系式为7321+-=x y ,每千克成本关于月份的函数关系式1)6(3122+-=x y ,每千克的收益21y y y -=,故37)5(312+--=x y ,当x=5时,y 最大值37, 14､(1)2)1(212+--=x y 顶点点坐标(1,2) 对称轴是直线x=1,(2)略 (3)当x=-1或x=3时,y=0,当-1<x<3时y>0,当x<-1或x>3时,y<0.。
九年级数学下第26章二次函数26.1二次函数及其图象2二次函数y=ax2的图象习题新人教
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月27日星期日2022/3/272022/3/272022/3/27 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/272022/3/272022/3/273/27/2022 •3、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。 2022/3/272022/3/27March 27, 2022
x＞ 0时 ， y随 x的 增 大 而 增 大 ， x＜ 0时 ， y随 x的 增 大 而 减 小 .
2.a＜0⇔开口向下⇔有最大值⇔
x＞ 0时 ， y随 x的 增 大 而 减 小 ， x＜ 0时 ， y随 x的 增 大 而 增 大 .
知识点 2 求二次函数y=ax2的解析式
【例2】(2013·山西中考)如图是我省某地一座抛物线形拱桥,
(1)求此抛物线的解析式. (2)过点P作CB所在直线的垂线,垂足为点R, 求证:PF=PR.
【解析】(1)由题意可得:点A的坐标为(2,-1),
∵抛物线的顶点为坐标原点O,
∴可设抛物线的解析式为:y=ax2, 将点A(2,-1)代入可得:4a=-1,解得a=- 1 ,
4
∴抛物线的解析式为y=- 1 x2.
【例1】函数 ym2xm 2m 4 是关于x的二次函数,求:
(1)满足条件的m的值. (2)m为何值时,抛物线有最低点?求出这个最低点,这时当x为何 值时,y随x的增大而增大? (3)m为何值时,抛物线的开口方向向下?这时当x为何值时,y随x 的增大而减小?
【解题探究】(1)函数是二次函数的条件是自变量的最高次数
26.1 二次函数y=ax2的图象与性质 精品作业课件(课程配套练习) 公开课一等奖课件
1 2 解：(1)y＝ x (2)图略 (3)抛物线；当 x＞0 时，y 随 x 4 的增大而增大 (4)有最小值为 0
18． (10 分)如图所示， 某桥洞的截面是抛物线形， 在图中 建立的直角坐标系中，抛物线所对应的二次函数的关系式为 1 2 y＝－ x ，当桥洞中水面宽 AB 为 12 米时，求水面到桥拱顶 4 点 O 的距离．
解：水面到桥拱顶点 O 的距离为 9 米
【综合运用】 19．(12 分)已知点 A(－3，－9)是顶点在原点的抛物线上 的一点 ，点 P(x，y)是抛物线上的一个动点 ，且在第四象限 内．点 B 在 x 轴正半轴上，且 OB＝4，△OPB 的面积为 S. (1)求抛物线的函数关系式； (2)分别求 S 和 y，S 和 x 之间的函数关系式，并判断它们 是什么函数，直接写出自变量的取值范围．
)
3．(4分)某课外兴趣小组为了了解所在地区老年人的健康状况，分别做了四种不 同的抽样调查，你认为抽样比较合理的是( D ) A．在某个公园调查了1 000名老年人的健康状况 B．在医院调查了1 000名老年人的健康状况 C．调查了10名老年邻居的健康状况 D．利用派出所的户籍网随机调查了该地区10%的老年人的健康状况 4．(4分)下列调查的样本缺乏代表性的是( C ) A．在大学生中调查大学生课余时间娱乐的主要方式 B．调查学号为3的倍数的学生，以了解学生对学校某项新举措的意见和建议 C．在老年活动中心调查市民对春节联欢会的喜好程度 D．在某校九年级中调查全市九年级学生的身体发育情况
解： (1)y＝－x2 (2)S＝－2y， 它是一次函数， 自变量 y＜ 0；S＝2x2，它是二次函数，自变量的取值范围为 x＞0.
抽样调查时 ， 所选取的样本要有 __ 代表性 __ ， 样本容量要足够 __大__．仅仅增加调查人数不一定能够提高调查质量 ，开展调查 之前，要仔细检查总体中的每个个体是否都有可能成为 _调查对象 __．
九年级数学下册 26.1 二次函数 二次函数y=ax2的图像与
二次函数y＝ax²的图像与性质【导学】1.（1）画y＝x²的图像；（2）在同一坐标系中画y＝2x²、y＝0.5x²、y＝－x平方的图像2.抛物线y＝ax²的性质3.抛物线y＝ax²与y＝－ax²关于y轴对称.【例题】例1.已知二次函数y＝ax²（a≠0）的图像经过点A（1，－4）（1）求a的值，并写出这个二次函数的解析式；（2）说出这个二次函数图像的顶点坐标、对称轴、开口方向；（3）判断点B（－0.5，－2）是否在此抛物线上；（4）求出抛物线上纵坐标为﹣8的点的坐标.例2.已知y＝（k＋2）是关于x的二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而减小。
求k的值.【练习】1.函数y＝3x²的图像是，对称轴是；开口向；顶点是；顶点是图像的最点.2.抛物线y＝（a－2）x²经过点（1,3），则a＝ .3.二次函数y＝ax²，当x＝1时，y＝4，则y＝8时，x＝ .4.函数y＝m时二次函数，当m＝时，其图像开口向上；当m＝时。
其图像开口向下.5.若点A（2，n）在抛物线y＝－x²，则点A关于y轴对称点的坐标是6.对于函数y＝x²，当－1≤x≤2时，y的取值范围是 .7.抛物线y＝－2x²不具有的性质是（）A.开口向下B.对称轴是y轴C.与y轴不相交D.最高点是原点8.下列关于抛物线y＝x²和y＝－x²的关系的说法错误的是（）A.它们有共同的顶点和对称轴B.它们都关于y轴对称C.它们的形状相同，开口方向相反D.点A（－2,4）在抛物线y＝x²上也在y＝－x平方上9.下列抛物线中，开口向下且开口最大的是（）A.y＝－x²B.y＝－x²C. y＝x²D.y＝x²10.已知函数y＝ax²的图像过点（1,2）和点（4，m）（1）求a和m的值；（2）点（－1,2）在函数y＝ax²的图像上吗？为什么？。
26.1.2二次函数y=ax2的图象和性质
y
Q(0,b)
(-,+) o (-,-)
(+,+)
P(a,0)
x (+,-)
3. 点的位置及其坐标特征: ①.各象限内的点: ③.对称于坐标轴的两点: y
C(m,n) M(a,b)
②.各坐标轴上的点: ④.对称于原点的两点:
N(a,-b) A(x,y)
o
x
D(-m,-n) B(-x,y)
试学活动一
二次函数y=ax 二次函数y=ax2的图象和性质
y
x
平面直角坐标系: 一. 平面直角坐标系 1. 有关概念: 2. 平面内点的坐标:
你还记得有关 y 平面直角坐标 P (a,b) b 系的相关知识 吗? a o
(纵轴) 第二象限 第一象限 第三象限 第四象限
x(横轴)
3. 点的位置及其坐标特征: ①.各象限内的点: ②.各坐标轴上的点:
y=－ 2 3 x
2
试学活动二
2
，
的图象。
x
y= 1 2 x y=x2 2
... ... ... ...
-4 -3 8 4.5
-2 -1 2 0.5
0 0 0 0 0 0
1 0.5 0.5 0.5 1
− 2 3
2 2 1 2 1.5 1.5
3 4.5 1.5 4.5 2
− 8 3
4 8 2 8 3 -6
y = 2x2
y = − x2
2 y = − x2 3
二次函数y=ax2的图象形如物体抛射时 所经过的路线，我们把它叫做抛物线。 抛物线。 抛物线 这条抛物线关于y轴 这条抛物线关于 轴 这条抛物线关于y轴 这条抛物线关于 轴 这条抛物线关于y轴 这条抛物线关于 轴 对称， 轴就是它的 对称，y轴就是它的 对称， y轴就是它的 对称，y轴就是它的 对称， 对称， 轴就是它的 对称轴。 对称轴。轴就是它的 对称轴。 对称轴。 对称轴。 对称轴。 对称轴与抛物线 抛物线的交点 对称轴与抛物线的交点 对称轴与抛物线的交点 叫做抛物线的顶点。 叫做抛物线的顶点
26.1二次函数y=a(x-h)2图像与性质学案4
实验中学九年级数学学案
顶点
对称轴
最值
增减性
也画上去（草图）．①抛物线y ＝－12 (x ＋1)2 ，y ＝－12 x 2，y ＝－1
2 (x
．它们之间如何平移得到？
练习平台一、循序渐进：
2．对于二次函数的图象，只要｜a｜相等，则它们的形状_________，只是_________不同．3．抛物线y＝4 (x－2)2与y轴的交点坐标是___________，与x轴的交点坐标为________．4．把抛物线y＝3x2向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为________________．把抛物线y＝3x2向左平移6个单位后，得到的抛物线的表达式为_______________．
5．将抛物线y＝－1
3(x－1)x
2向右平移2个单位后，得到的抛物线解析式为____________．
6．写出一个顶点是（5，0），形状、开口方向与抛物线y＝－2x2都相同的二次函数解析式__________________．
7．抛物线y＝2 (x＋3)2的开口______________；顶点坐标为__________________；对称轴是_________；
当x＞－3时，y______________；当x＝－3时，y有_______值是_________．
8．抛物线y＝m (x＋n)2向左平移2个单位后，得到的函数关系式是y＝－4 (x－4)2，则m＝__________，n＝___________．
9．若将抛物线y＝2x2＋1向下平移2个单位后，得到的抛物线解析式为______________．
10．若抛物线y＝m (x＋1)2过点（1，－4），则m＝_______________．。
26.1 二次函数的概念
长春市第五十二中赫行实验校九年级（上）数学学案命题人：邵波 审题人：范贵志 时间： 2017 .926.1二次函数的概念【学习目标】1.理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式.2.能判断一个给定的函数是否为二次函数,会利用二次函数的概念分析解题.3.会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围. 【教学重、难点】1．重点：理解二次函数的概念，能根据已知条件写出函数表达式. 2．难点：理解二次函数的概念.【学习过程】一.复习：一次函数的概念 二.合作学习，探索新知:请用适当的函数关系式表示下列问题中的两个变量y 与x 之间的关系：1. 面积y(cm 2)与圆的半径 x(cm).2. 一个长方形的长是宽的2倍，写出这个长方形的面积y 与宽x 之间的函数关系式．3. 在边长为4的正方形中间挖去一个长为x 的小正方形, 剩下的四方框形的面积为y , 则y 与x 间的函数关系式.4.用100cm 长的铁丝围成一个扇形，试写出扇形面积y （cm 2）与半径x （cm ）的函数关系式.. 知识点：一般地，形如_________________________________的函数，叫做二次函数.其中x 是________， a 是_______________，b 是________________，c 是_____________． 三.典型例题：例1. 下列函数中，哪些是二次函数？(1)2x y = (2) 21xy -= (3) 122--=x x y （4）)1(x x y -=（5）)1)(1()1(2-+--=x x x y (6) y=c bx ax ++2练习.分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）12+=x y （2）12732-+=x x y （3）)1(2x x y -=例2.若()mm x m m y -+=22是二次函数，求m 的值.练习．函数y ＝(m －2)x 2＋mx －3（m 为常数）．（1）当m__________时，该函数为二次函数； （2）当m__________时，该函数为一次函数．例3. 已知y 与x 2成正比例，并且当x ＝－1时，y ＝－3．求：（1）函数y 与x 的函数关系式；（2）当x ＝4时，y 的值； （3）当y ＝－13 时，x 的值．例4．为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m ）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD ，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围住（如图）．若设绿化带的BC 边长为x m ，绿化带的面积为y m 2．求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．四.课堂训练： 1．y ＝(m ＋1)xmm -2－3x ＋1是二次函数，则m 的值为_________________．2．下列函数中是二次函数的是（ ） A ．y ＝x ＋12B ． y ＝3 (x －1)2C ．y ＝(x ＋1)2－x 2D ．y ＝1x2 －x3．在一定条件下，若物体运动的路段s （米）与时间t （秒）之间的关系为 s ＝5t 2＋2t ，则当t ＝4秒时，该物体所经过的路程为（ ） A ．28米B ．48米C ．68米D ．88米4．n 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式_______________________．26.1二次函数的概念课后作业班级：__________ 姓名：___________ 日期：____________ 分数：___________ 1．若函数y ＝(a －1)x 2＋2x ＋a 2－1是二次函数，则（ ） A ．a ＝1B ．a ＝±1C ．a ≠1D ．a ≠－12．下列函数中,不是二次函数的是( )2 B.y=2(x-1)2+4; C.y=12(x-1)(x+4) D.y=(x-2)2-x 23.已知函数y=(k-2)24k k x +-是关于x 的二次函数,则k=________.4.下列函数表达式中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出各对应项的系数． （1）y ＝1－3x 2（2）y ＝3x 2＋2x（3）y ＝x (x －5)＋2（4）y ＝3x 3＋2x 2 （5）y ＝x ＋1x5．已知二次函数y ＝－x 2＋bx ＋3．当x ＝2时，y ＝3，求 这个二次函数解析式．6.一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s （米）与时间t （秒）的数据如下表：写出用t 表示s 的函数关系式.7. 富根老伯想利用一边长为a 米的旧墙及可以围成24米长的旧木料，建造猪舍三间，如图，它们的平面图是一排大小相等的长方形。
26.1.2二次函数的性质(1)
4
对称轴
3
2
1
-6
-4
-2
0
2
4
6
x
自学展示：
1. 二次函数y＝x2的性质。 2．抛物线y＝x2与y＝－x2关于___对称，因此， 抛物线y＝ax2与y＝－ax2关于______ 对称， 开口大小______． 3．当a＞0时，a越大，抛物线的开口越__； 当a＜0时，｜a｜ 越大，抛物线的开口越 ___； 因此，｜a｜ 越大，抛物线的开口越_____， 反之，｜a｜ 越小，抛物线的开口越_____
m2 2
自学检测:
1.函数y＝x2的图象开口向___，顶点是___，对称轴是 ____，当x＝____时，有最___值是___． m2 m 2.二次函数y＝mx 有最低点，则m＝____． 3.二次函数y＝(k＋1)x2的图象如图所示，则k的取值 范围为____． 4.写出一个过点（1，2）的 函数表达式____． 5.如图， ① y＝ax2 ② y＝bx2 ③ y＝cx2 ④ y＝dx2 比较a、b、c、d的大小，用“＞”连接_______。
二次函数的图 象和性质（1）
学习目标:
1.知道二次函数的图象是一条抛物 线；
2.会画二次函数y＝ax2的图象； 3.掌握二次函数y＝ax2的性质，并
会灵活应用．
自学指导（一）:
看课本4页的内容,完成下列问题: 1.画二次函数y＝x2的图象． 2.观察图象，口答下列问题：
（1）二次函数y＝x2是一条曲线，把这条曲线叫____． （2）二次函数y＝x2中，二次函数a＝___，抛物线y＝x2开 口___． （3）自变量x的取值范围是___． （4）观察图象，当两点的横坐标互为相反数时，函数y值相 等，所描出的各对应点关于______对称，从而图象关于 ______对称． （5）抛物线y＝x2与它的对称轴的交点（ ， ）叫做抛物 线y＝x2的_________．因此，抛物线与对称轴的交点叫做抛 物线的_____________． （6）抛物线y＝x2有____点（填“最高”或“最低”） ．
上海教育版数学九上26.1《二次函数的概念》WORD教案
一、教学内容分析
二次函数是一种常见的函数，应用非常广泛，它是客观地反映现实世界中变量之间的数量关系和变化规律的一种非常重要的数学模型.许多实际问题往往可以归结为二次函数加以研究.本节课是学习二次函数的第一节课，通过实例引入二次函数的概念，并学习求一些简单的实际问题中二次函数的解析式和它的定义域.在教学中要重视二次函数概念的形成和建构，在概念的学习过程中，让学生体验从问题出发到列二次函数解析式的过程，体验用函数思想去描述备
二、教学目标设计 1.理解二次函数的概念
2.会求一些简单的实际问题中二次函数的解析式和它的定义域
3.在从问题出发到列二次函数解析式的过程中，体验用函数思想去描述、研究变量之间变化规律的意义.
三、教学重点及难点
教学重点：对二次函数概念的理解．
教学难点：由实际问题确定函数解析式和确定自变量的取值范围.
26.1.2(修改)二次函数y=ax2的图象和性质--
性质：a>0，图象开 口向上，顶点是抛 物线的最低点，a越 大开口越小，反之 越大
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
函数y=－ 像相比,有什么共同点和不同点? 开口向下，顶点是原点，对称轴是y轴， 共同点: 顶点是抛物线的最高点 除顶点外,图像都在x轴下方
不同点: 开口大小不同
y=x2
y x2பைடு நூலகம்
二次函数y=ax2的性质
1、抛物线y=ax2的顶点是 原点，对称轴是y轴。
y x2
2、当a>0时，抛物线y=ax2在x轴的上方
（除顶点外），它的开口向上，并且向 上无限伸展；a越大，抛物线的开口越小 当a<0时，抛物线y=ax2在x轴的下方 （除顶点外），它的开口向下，并且向 下无限伸展。a越大，抛物线的开口越大。
二次函数y=ax2的性质
y＝ax2 图象 a ＞0
O
a ＜0
O
开口
开口向上
开口向下
对称性
顶点 增减性
a的绝对值越大，开口越小 关于y轴对称 顶点坐标是原点（0，0） 顶点是最高点 在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减 顶点是最低点
耐心填一填
1、函数y=4x2的图象的开口 向上 ,对称轴 是 y轴 ,顶点是 (0,0); 2、函数y=－3x2的图象的开口 向下 ,对称轴 (0,0) 是 y轴 ,顶点是 ___ 顶点是抛物线的最 高 点
画函数y=x2的图像
解: (1) 列表 (2) 描点 (3) 连线 x … -3 -2 -1 0 y … 9 4 1 0
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 1
y
2 4
26.1.2二次函数Y=ax的平方的图像(2)Word 文档
的图象开口向上，则
解析式为 。若当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减 小，则解析式为 。 2、已知抛物线 y＝ax2 经过点 A(2，1)． (1)求这个函数的解析式； (2)写出抛物线上点 A 关于 y 轴 的对称点 B 的坐标； (3)求△OAB 的面积；
土坎中学校“自主互助学习型”数学高效课堂导学案 四、巩固检测： （约 8 分钟） （A.B.C 层完成） 1、在二次函数①y＝3x ；②
1 y x2 2 中，抛物线 y＝2x2 的 C．抛物线 y＝2x ，y＝－x ，
2 2
开口最小，抛物线 y＝－x2 的开口最大 D．不论 a 是正 2 数还是负数，抛物线 y＝ax 的顶点都是坐标原点 五、小结（约 2 分钟） 我的收获： 我的困惑： 六、课后升华（约 3 分钟） ： （A.B.层完成，鼓励 C 层完成） 2 1、二次函数 y＝ax 的图象大致如下，请将图中抛物线字母 的序号填入括号内． (1)y＝2x 如图( 图(
2
疑 惑：
（1）当 a＞O 时，抛物线 y ax 开口向
2
，在对称
轴的左边，曲线自左向右 ，函数值 y 随 x 的增大 而 ；在对称轴的右边，曲线自左向右 ，函数 值 y 随 x 的增大而 ； 顶点是抛物线上位置最 的 点，顶点的纵坐标就是函数的 。 （2）当 a<O 时，抛物线 y ax 开口向
2
y
2 2 4 x ; ③y x 2 3 3 中，图象在
同一水平线上的开口大小顺序用题号表示应该为( ) A．①＞②＞③ B．①＞③＞② C．②＞③＞ ① D．②＞①＞③ C2、对于抛物线 y＝ax2，下列说法中正确的是( ) A．a 越大，抛物线开口越大 B．a 越小，抛物线 开口越大 C．｜a｜越大，抛物线开口越大 D．｜a｜越小，抛 物线开口越大 C3、下列说法中错误的是( ) 2 A．在函数 y＝－x 中，当 x＝0 时 y 有最大值 0 B．在函数 y＝2x2 中，当 x＞0 时 y 随 x 的增大而增大
26.1.2(1)二次函数y=ax2的图像(公开课)
（０，０） 称轴是＿＿＿＿，顶点坐标是＿＿＿＿，当 减少 ｘ﹤０时，函数ｙ随着ｘ的增大而________。
二、填空题： ３．函数 y x 与 y x 的图象关于＿ 2 x轴 ＿＿＿＿对称，也可以认为函数 y x 的 2 原点 图象，是函数 y x 的图象绕＿＿＿＿旋 转得到。 4．若t﹥1点（t﹣１， y1 、（ｔ， y 2 ） 、 ） y 3）都在函数 y x 2 的图象上，判 （ｔ﹢１， y1 ２ ３ ｙｙ 断 y1、ｙ、ｙ 的大小关系＿＿＿＿＿＿＿。 ２ ３
当a<0时，在对称轴的 2 右侧，y随着x的增大而 减小。 _______。
yx
2
y x
2
抛物线y x 和y x ，两个图象
2 2
对称吗 ? 对称轴是什么？
二次函数y=ax2的性质
1、抛物线y=ax2的对称轴是y轴，顶点是原点。 当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是最低点， 当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是最高点。 2、当a>0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大 而减小；在对称轴右侧，y随x的增大而增大。。 当a<0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大 而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减小，
2 2
2.抛物线 象，开口最大的是（
1 2 A. y x 4
1 2 y x 、ｙ 8 x 2、y 2 x 2 4
的图
2
A
）
B . y 8x
2
C. y 2x
二、填空题： 2 向下 y 5x 的开口＿＿＿＿＿，对 1．抛物线 ｙ轴 （０，０） 称轴是＿＿＿＿，顶点坐标是＿＿＿＿，当 增大 ｘ﹤０时，函数ｙ随着ｘ的增大而________。
26.1.2二次函数y=ax2的图象与性质
26.1.2 二次函数y ＝ax 2的图象与性质学习目标：1．会画二次函数y ＝ax 2的图象； 2．掌握二次函数y ＝ax 2的性质，并会灵活应用。
导学过程：阅读教材P4—6，完成课前预习 【课前预习】1、准备知识作函数图象的一般步骤： ， ， 。
2、探究：在坐标系中画出函数y ＝x 2的图象。
由图象可得二次函数y ＝x 2的性质： （1）．二次函数y ＝x 2是一条曲线，把这条曲线叫做______________．（2）．二次函数y ＝x 2中，二次项系数a ＝_______，抛物线y ＝x 2的图象开口__________．（3）．自变量x 的取值范围是____________．（4）．观察图象，当两点的横坐标互为相反数时，函数值y 相等，所描出的各对应点关于________对称，从而图象关于___________对称．（5）．抛物线y ＝x 2与它的对称轴的交点（ ， ）叫做抛物线y ＝x 2的_________．因此，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的_____________．（6）．抛物线y ＝x 2有___点（填“最高”或“最低”） ．【课堂活动】例1 在同一直角坐标系中，画出函数y ＝12 x 2，y ＝x 2，y ＝2x 2的图象．归纳：抛物线y ＝12 x 2，y ＝x 2，y ＝2x 2的二次项系数a_____0；顶点都是______；对称轴是_________；顶点是抛物线的最_________点（填“高”或“低”） ．例2 请在例1的直角坐标系中画出函数y ＝－x 2，y ＝－12x 2， y ＝－2x 2的图象．归纳：抛物线y ＝－x 2，y ＝－12 x 2， y ＝－2x 2的二次项系数a___0，顶点都是_____，对称轴是____，顶点是抛物线的最____点（填“高”或“低”）2．若二次函数y ＝ax 的图象过点（1，－2），则a 的值是___________． 3．二次函数y ＝(m －1)x 2的图象开口向下，则m____________． 4．如图， ① y ＝ax 2 ② y ＝bx 2 ③ y ＝cx 2 ④ y ＝dx 2 比较a 、b 、c 、d 的大小，用“＞”连接．_______________________5、关于函数2y x =和22y x =，以下说法：（1）图象都是开口向上，（2）对称轴都是y轴，顶点都是原点，（3）当x>0时，y 都随x 的增大而增大，（4）它们的开口大小是一样的。
二次函数y=ax2的课件
二次项系数互为 相反数，开口相反， 大小相同，它们关 于x轴对称.
O
x
y=-ax2
探究新知
22.1 二次函数的图像和性质/
知识点 3 二次函数y=ax2的性质
1.观察图形，y随x的变化如何变化？
(-2,4)
(2,4)
(-1,1)
(1,1)
y x2
y ax2
探究新知
22.1 二次函数的图像和性质/
在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减
探究新知
22.1 二次函数的图像和性质/
二次函数y=ax2的性质
对于抛物线 y = ax 2 （a＞0） 当x＞0时，y随x取值的增大而增大； 当x<0时，y随x取值的增大而减小.
探究新知
22.1 二次函数的图像和性质/
2.观察图形，y随x的变化如何变化？
y x2
(-1,-1) (-2,-4)
(1,-1) (2,-4)
y ax2
探究新知
y 9
6
3
-4 -2 o 2 4 x
探究新知
22.1 二次函数的图像和性质/
当取更多个点时，函数y=x2的图象如下：
y
9
6
对称轴与抛物线的交
这条抛物线关于y轴对称,
3
点叫做抛物线的顶点.
y轴就是它的对称轴.
-3 o
3
x
二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过 的路线,我们把它叫做抛物线.
探究新知
1.y＝x2的图象是一条抛物线; 2.图象开口向上; 3.图象关于y轴对称; 4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最低点．
探究新知
22.1 二次函数的图像和性质/
说说二次函数y=-x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.
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y= x 2的图
y=x 2的图像
x
y= -x
2的图像x
x
2x
26.1二次函数y= ax 2 +k 的图像及性质(3)
年级：九年级 科目：数学 设计者：九年级数学备课组 审核者：贺森虎
【学习目标】
1、 会做函数y= ax 2
和y= ax 2 +k 的图象，并能比较它们的异同；理解a ，k 对二次函数图象的影响。
能
正确说出两函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；了解抛物线y= ax 2
和y= ax 2 +k 上下平移规律。
2、 经历探索二次函数y= ax 2 +k 的图象的画法和性质的过程，增强对二次函数图象的理解，体会属性
结合的思想与方法。
3、 进一步获得表格、表达式、图象三者联系起来的经验，加深对知识的转化、图象移动的理解，感受
到数学数形之间转换的魅力。
学习重点：作出函数y= ax 2
和y= ax 2 +k 的图象，比较它们的异同，了解它们的性质。
教学互动设计 一 .创设问题情境 1、函数y= —
2
1x 2
的图象是__________，开口________，对称轴为____________，顶点为_________，当x=______，y 有最____值为_____；当x_______时，y 随x 的______________；当x_______时，y 随x 的______________。
2、我们已经学习了y= ax 2
的图像及性质，请一位同学说一说这类函数有哪些性质？（开口方向、开
口大小、对称轴、顶点、增减性、最值），下面我们一起学习y= ax 2
+k 图像及性质。
二、自主探究
（一）学生自学教材8页至9页类容，自学提纲：
1、在同一坐标系中画出y= x 2 ，
y= x 2 +1，y= x 2 -1的图像。
（步骤：列表、描点、连线） (1)选择适当的x 值，并计算相应的y 值，完成下表：
(3)用平滑的曲线连接各点，便得到y=x 2
，y= x 2 +1，y= x 2 -1的图象。
y= x 2 ， y= x 2 +1与y= x 2 -1的图象 y= -x 2
，y= -x 2 +1与 y= -x 2
-1的图像 2、用同样的步骤画出y= -x 2，y= -x 2 +1， y= -x 2
-1的图像。
（二）自学检测
23y ＝x 2向_______平移______个单位，就得到抛物线y ＝x 2－1．
4．抛物线y ＝x 2，y ＝x 2－1与y ＝x 2＋1的形状_____________． （三）知识归纳
1
2、平移的性质： y= ax 2
y= ax 2 +k 三、巩固与拓展
1、已知抛物线y= ax 2 +c 向下平移3个单位后，所得抛物线为y= -3x 2 +3，试求a ，c 的值。
四、当堂检测 1、函数y= —
2
1x 2
+2的开口________，对称轴为____________，顶点_________，当x=______，y 有_________；当x_______时，y 随x 的______________；当x_______时，y 随x 的______________。
2．将抛物线y =x 2 +1向下平移2个单位，•则此时抛物线的解析式是_____________；二次函数y= -4 x 2 -3
y=x 2的
y=x 2的图像
x
y o
x
(1)
x
x
的图象可以看成是由函数y= -4x 2的图象向______平移________个单位长度得到的。
3、在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图像：y= 2
1x 2
，y= 21x 2 +2，y= 21x 2 -2，观察三条抛
物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴、顶点、最值及增减性。
你能说出抛物线y= 2
1
x 2
+k ，的开口方向、对称轴及顶点吗？它与抛物线y= 21
x 2有什么关系？
五、小结与反思
六、课后作业 必做题
1、抛物线y= 2x 2向上平移5个单位，得到抛物线为__________________，再向下平移3.4单位，得到抛物线为__________________________。
2、如图，A 、B 是抛物线y= ax 2
上的点，AB ∥x 轴，且B 点的坐标为（2，3），则AB=________。
3、若a>1，点（-a-1，y 1），（a ，y 2），（a+1，y 3）都在函数y= -x 2
+1的图象上，则y 1，y 2，从大到小为______________
4、若二次函数y=mx 2 –(m 2 -3m)x+1-m 的图象关于y 轴对称，则m 的值为_____________。
5、将函数y= -2x 2 -2的图象绕其顶点旋转180°后，得到函数______________的图象，它们都关于______轴对称。
6．（2010台湾）坐标平面上有一函数y =24x 2-48的图形，其顶点坐标为（ ）
(A) (0，-2) (B) (1，-24) (C) (0，-48) (D) (2，48)
7．（2010江苏盐城）给出下列四个函数：①x y -=；②x y =；③x
y 1=；④2
x y =．0<x 时，y
随x 的增大而减小的函数有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
8．（2010 山东济南）在平面直角坐标系中，抛物线2
1y x =-与x 轴的交点的个数是（ ）
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
9．（2010贵州遵义）如图，两条抛物线y 1=-
21χ2+1、y 2=2
1
χ2-1 与分别经过点（-2，0），（2，0）且平行于y 轴的两条平行线围成的阴影部
分的面积为（ ）
A ．8
B ．6
C ．10
D ．4 10．（2010山东潍坊）已知函数y 1＝x 2与函数y 2＝－
1
2
x ＋3的图象大致如图，若y 1>y 2，则自变量x 的取值范围是（ ）．
A ．－
3
2
＜x ＜2 B ．x ＞2或x ＜－
32 C ．－2＜x ＜3
2
D ． x ＜－2或x ＞3
2
11、如图，有一座抛物线拱桥，桥下面在正常水位AB 时，宽20m ，这时拱高（O 点到AB 的距离）为
4m 。
（1）求出图（1）的坐标系中抛物线的解析式。
（2）如果将直角坐标系建成如图（2），抛物线的形状、解析式有变化吗？并求其解析式。
(3)若有一艘货船欲通过此桥，货物宽16m ，高2m 。
通过计算，正常水位下此船能否顺利通过大桥？
选做题
1．（2010浙江宁波） 如图，已知⊙P 的半径为1，圆心P 在抛物线
2
112
y x =
-上运动，当⊙P 与坐标轴相切时，求圆心P 的坐标。